Matemáticas 7mo.docx

8/18/2019 Matemáticas 7mo.docx

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Matemáticas 7mo-T érrabaTema 1. Geometría

Contenidos ObjetivosPunto, recta y planoPuntos coplanares

Puntos no coplanares

Puntos colineales

Puntos no colinealesSegmentos de recta

Semirrectas

Rayos

Rectas concurrentes

Paralelas

Perpendiculares.

Reconocer la epresi!n simb!lica y

grá"ica en enunciados #ue utili$an

conceptos geométricos básicos.

%ngulos& 'oncepto y medida

'lasi"icaci!n de ángulos por su medida& agudos, rectos yobtusos.

Relaciones entre las medidas de los ángulos& ánguloscongruentes, suplementarios, complementarios. %ngulos opuestos por

el (értice.

Resol(er e)ercicios y problemas #ue

in(olucren la clasi"icaci!n de ángulos deacuerdo con su medida o su posici!n y las

relaciones entre las medidas de los

ángulos.

%ngulos determinados por dos rectas paralelas y una

trans(ersal a ellas& correspondientes, alternos internos,alternos eternos, con)ugados internos, con)ugados eternos.

Resol(er problemas #ue in(olucren las

relaciones entre las medidas de los

ángulos determinados por dos rectasparalelas y una trans(ersal a ellas.

Triángulos&

*esigualdad triangular.

'lasi"icaci!n seg+n la medida de sus lados is!sceles, e#uilátero y

escaleno.

'lasi"icaci!n seg+n la medida de sus ángulos rectángulo,

*eterminar, por medio de la desigualdad

triangular si una tripleta corresponde a

las medidas de los lados de un triángulo.

'lasi"icar un triángulo seg+n la medida

de sus lados y seg+n la medida de sus


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acutángulo y obtusángulo.

'aracterísticas y propiedades de estos triángulos.

Teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos.

Teorema de la suma del ángulo eterno.

Teorema de la suma de las medidas de los ángulos eternos.

ángulos.

Resol(er problemas #ue in(olucren los

teoremas acerca de los ángulos de un

triángulo.

Rectas notables del triángulo& altura, mediana, bisectri$ ymediatri$.

denti"icar las rectas notables de untriángulo.

Resol(er problemas #ue in(olucren el

concepto de rectas notables de un triángulo.

/nali$ar las relaciones #ue se establecen

entre las rectas notables de los triángulos

is!sceles, e#uiláteros y rectángulos.'uadriláteros&

'oncepto y clasi"icaci!n paralelogramos y no paralelogramos.

Teorema de la suma de las medidas de los ángulos

internos de un cuadrilátero.

Paralelogramos&

'lasi"icaci!n cuadrado, rectángulo, rombo y romboide

'aracterísticas.

Propiedades de las diagonales de cada uno de los

paralelogramos.

0o paralelogramos&

'lasi"icaci!n trapecios y trape$oides.

'aracterísticas de los trapecios.

Paralela media de un trapecio.

Resol(er problemas #ue in(olucren la

aplicaci!n de las características y

propiedades en los distintos tipos de

cuadriláteros.

Geometría Plana

1a geometría es la rama de la matemática #ue se dedica al estudio de las características y propiedades delespacio. 1a geometría plana estudia las "iguras planas, #ue tienen +nicamente dos dimensiones& largo y anc2o.Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuiti(o de punto, recta y plano. 3stos sontérminos no de"inidos #ue pro(een el inicio de la geometría.


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Punto es el ob)eto "undamental en geometría, el punto representa es una idea, no eiste solo posici!n

y no tiene dimensi!n, es decir, largo cero, anc2o cero y altura cero. Se representan por letras

may+sculas.

Se lee& los puntos /, 4 y '

Recta tiene solo longitud, no tiene anc2o ni altura ni grosor, ni comien$o, ni "inal. 3s un con)unto

in"inito de puntos #ue se etienden en una dimensi!n en ambas direcciones. 0o se puede medir por ser

in"inita. Se representa es una idea, realmente no eiste a tra(és de una línea recta.

Se le puede nombrar de dos maneras&

5- 6sando dos puntos #ue pertene$can a la recta, de manera #ue la recta /4 o /4 es la recta #ue pasa

por los puntos / y 4.

- Se puede nombrar con una letra min+scula, regularmente en cursi(a.

1as rectas regularmente se acortan, de manera #ue s!lo nos re"erimos a parte de la

recta completa. Tiene dos presentaciones&

Semirrecta y rayo las de"inimos como la porci!n de una recta #ue tiene principio pero no tiene "in. Se

nombra de la misma manera, sin embargo, sobre los dos puntos, se usa una "lec2a. Si no incluye el punto inicial se

indica con un círculo blanco sobre una de las letras, indicando #ue esa letra es un punto de re"erencia #ue

realmente no es parte de la semirrecta o el rayo, pero sí de la recta. /4

Segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fn, es decir sabemosdonde empieza y donde termina por ende lo podemos medir. Se nombre de la misma maneraque el rayo, pero con una línea únicamente, sin las echas. Si alguno de los límites delsegmento no están incluidos en el segmento, se indica usando un círculo vacío sobre la


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respectiva letra. !"#

3l punto medio de un segmento es a#uel #ue di(ide al segmento en dos segmentos congruentes iguales entre sí.Realmente, s!lo el segmento puede tener un punto medio, puesto #ue s!lo el segmento se puede medir, por tantos!lo con el segmento se puede determinar #ue los dos segmentos resultantes tienen un mismo tama8o.

Plano tiene anc2o y largo, sin altura ni grosor. 6n plano es una super"icie en dos dimensiones, se puede pensarcomo un con)unto de puntos in"initos en dos dimensiones. 3l nombre se indica con letras griegas& 9, :, ;,

Espacio es el +nico concepto geométrico básico #ue realmente es tangible, pues es el +nico #ue es realmente

tangible& tiene largo, anc2o y pro"undidad. Podemos re"erirnos a un espacio delimitado, o a un espacio in"inito.0o tienen nombres ni se representan puesto #ue estudiamos más #ue todo la geometría plana, nos re"erimos alos espacios como el espacio comprendido entre > y > solamente.

Más in"ormaci!n& 2ttp&??@@@.pro"esordedibu)o.com?inde.p2p?apuntes?5-conceptos-basicos.2tml

CONCEPTOS IPORT!NTES

/ntes de continuar, es importante #ue de)emos claros algunos conceptos generales.

5. Colineal" Todos los puntos #ue pertenecen a una misma recta se le llaman colineales. Si no están en lamisma recta, se les llaman puntos no colineales. Para representar la colinealidad de los puntos, seepresan los nombres de los puntos unidos por guiones, #ue representan la continuidad de la recta./demás esta manera de representar la colinealidad también epresa la posici!n de los puntos. *onde * -A B G implica #ue 2ay una recta a la cual pertenecen los puntos *, A y G son colineales y además, A seencuentra entre * y G.

. Coplanar" Todos los puntos #ue pertenecen a un mismo plano se le llaman coplanares. Si no están en elmismo plano, se les llaman puntos no coplanares. Si dos puntos de una recta pertenecen al mismo plano,entonces la recta también pertenece a ese plano.

C. edir& 3n geometría medir un segmento es determinar el n+mero de unidades #ue están contenidas endic2o segmento. Se debe medir usando una medida de re"erencia, como metro, pie, yarda, milla.... 3l (alorde la medida es el n+mero #ue epresa cuantas (eces cabe esa medida de re"erencia en el segmento(alorado.

D. #istancia" 3s el camino más corto #ue 2ay entre dos elementos geométricos.Medimos dos distancias importantes&

http://www.profesordedibujo.com/index.php/apuntes/1-conceptos-basicos.htmlhttp://www.profesordedibujo.com/index.php/apuntes/1-conceptos-basicos.html


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#istancia entre dos puntos$1a distancia entre dos puntos (iene determinada por la longitud del segmento #ue los une.

#istancia entre punto y recta$Se obtiene tra$ando por el punto una recta perpendicular a larecta dada 2asta su intersecci!n con ella

E. E%uidistancia" 3s la igualdad dedistancias entre dos o máselementos geométricos.

RE&!C IONES #E POSICI'N 1a posici!n de los elementos geométricos a"ecta todo su estudio, así #ue es de suma importancia

mantener claras las implicaciones de ciertos casos especiales.

5. 6no de los "undamentos de la geometría es el postulado de la recta, el cual establece #ue dados dos puntosdistintos, eiste una +nica recta a la cuál pertenecen ambos. 3ntonces si eiste un punto / cual#uiera y un punto4 cual#uiera, 2ay una +nica recta /4 a la #ue pertenecen tanto / como 4. 3sta recta puede tener más de unnombre, y a esta recta pertenecen una cantidad in"inita de puntos más.

. Si 2ay una recta /4 y un punto ' #ue no esté contenido en la recta o C puntos no colineales eiste un +nicoplano #ue los contiene. 3ste plano contiene una cantidad in"inita de rectas y de puntos, pero si tomamos esostres puntos o esa recta y ese punto, delimitamos especí"icamente un +nico plano.

C. 1a medici!n de un segmento debe tomarse desde su punto inicial 2asta su punto "inal, sin embargo, para medirla distancia entre un punto y una recta, se tra$a una nue(a recta, perpendicular sobre la recta, #ue contenga alpunto eterno y de esta manera determinar la distancia más corta entre cual#uiera de los puntos de la rectaoriginal y el punto en cuesti!n.

D. *os o más rectas en un mismo plano se relacionan entre sí seg+n sus posiciones&

o P/R/131/S& Se dice #ue dos rectas son paralelas si siempre se mantienen a una misma distanciaentre sí, y nunca se llegan a cortar. Se representa la paralelidad mediante el siguiente símbolo& ??*ebido a #ue nunca se tocan, no tienen una intersecci!n, o su intersecci!n en un con)unto (acío.

o CONC(RRENTES O SEC!NTES& *os rectas son secantes cuando al se cortan "ormando ángulosdistintos al ángulo recto. Son rectas #ue se intersecan en un +nico punto, el cual pertenece a ambasrectas al mismo tiempo. Se denota usando el símbolo , y s!lo debe contener un +nico punto. Sicontiene más de uno, las dos rectas son la misma son dos nombres para la misma recta.

Caso especial"P3RP30*'61/R3S& Se dice #ue dos rectas son perpendiculares cuando son concurrentes, de manera#ue al cortarse "orman D ángulos rectos F grados. Se denota usando el símbolo


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Prácticas


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)n*ulos

Se conoce como +n*ulo a la porci,n del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen com+nllamado (értice. 3n otros casos se 2ace re"erencia a la abertura #ue con"orman dos lados #ue parten de esepunto com+n, o se centran en el *iro #ue da el plano respecto de su origen. Se 2ace re"erencia a un punto en

com-n. con dos líneas %ue parten desde ese punto y %ue *eneran una cierta apertura. representada por unarco. 3l grado de apertura de esos arcos y no su etensi!n está representado por el ángulo, sin importar cuánle)os o cerca se 2aga del (értice. Para su medici!n usamos el transportador.

3n la designaci!n de los ángulos se suelen escribir tres letras, dos correspondiente a los lados #ue allí seintersectan y una al (értice, y por lo general se identi"ica el (értice mediante un pe#ue8o dibu)o a modo de cu8aen la parte superior.

6samos C ángulos con aperturas "ácilmente reconocibles de re"erencia&

Nulo es el ángulo #ue se abre entre dos rayos #ue no se despegan uno del otro. 1a apertura no eiste, es nula,por tanto el ángulo #ue #ueda mide H. 3n contraposici!n, si se mide en sentido contrario, los otros dos costadosde los rayos están lo más ale)ados posibles para encontrarse unidos a un (értice en com+n. 3l ángulo eternomide CIH, la apertura máima ángulo completo.

3l ∢ /J4 es el ángulo #ue contiene al rayo J/ y al rayo J4, por tanto la J,es el (értice y el inicio de ambos rayos. / y 4 son las etensiones del ángulo.

Recto es el ángulo #ue se abre de manera #ue uno de los rayos en el ángulo es completamente perpendicular al

otro. 3s la +nica manera de di(idir un ángulo completo CIH en D ángulos completamente iguales. Su apertura serepresenta con un pe#ue8o cuadrado sobre el (értice, paradenotar la característica de los cuadriláteros regulares, en loscuales sus D ángulos internos miden FH.

3l ∢ 1M0 es el ángulo #ue contiene al rayo M1 y al rayo M0, portanto la M, es el (értice y el inicio de ambos rayos. 1 y 0 son lasetensiones del ángulo. 3n este caso, el (értice es rodeado porun pe#ue8o cuadrado, lo cual indica 5ero #ue su medida es de FH,do #ue el ángulo es un ángulo recto, y Cero #ue M0 M1

&lano o perí*ono es el ángulo #ue di(ide al ángulo completo en dos partes iguales. /l 2acerlo, los dos rayos sealinearán. Su apertura asimilará una +nica recta, y todos sus puntos serán colineales.

3l rayo s y el rayo r son continuaciones de una misma recta, la cual contieneal origen de ambos rayos, K. Si se mide la apertura entre s y r , su medidaserá de 5LH.


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/ partir de estos ángulos representati(os, clasi"icamos los ángulos seg+n calcen entre ellos. Si la medida delángulo es mayor #ue el nulo, pero menor #ue el recto, se llamará a*udo, y su medida estará entre el H y los FH.

3 l tipo de ángulo #ue es más abierto #ue un ángulo recto, pero más cerrado #ue un ángulo llano se llama ánguloobtuso, y su medida se encuentra entre los FH y los 5LH.

3n contraparte si se mide la apertura del ángulo del lado contrario, el ángulo medirá entre 5LH y CIH. /un#ue

estos di"ícilmente se estudian, estos se llaman ángulos c,ncavos.

Seg+n su posici!n

1os ángulos se eponen a di"erentes posiciones a lo largo de un mismo plano. 3specialmente por la propiedad de

dos rectas concurrentes de di(idir el plano en D D ángulos.

1as di"erentes posiciones #ue pueden tomar los ángulos in"luyen en las maneras en #ue se puede traba)ar con

ellos.

Supongamos dos ángulos, $S0 y $S de manera #ue el (értice de ambos ángulos es el mismo S y compartenun rayo S. 3stos dos ángulos se llaman ángulos consecutivos o adyacentes. 3sto 0J indica nada sobre su

medida, simplemente se encuentran uno contiguo al otro.

Supongamos dos ángulos cuya medida sea eactamente la misma. *onde $/AG y $R3, #ue no comparten ning+n

punto, donde ambos midan EH. 3sta situaci!n #ue se da entre ellos, se llama con*ruencia. 0o implica nada con

respecto a su posici!n, solamente indica #ue ambas aperturas son de igual medida. 3sta relaci!n se representa

pro medio de %, entonces $/AG % $R3 #uiere decir #ue la medida del ángulo $/AG y el ángulo $R3 es la

misma.

6namos ambos conceptos. Supongamos dos ángulos, $T*3 y $S*T, #ue son consecuti(os, y además $T*3 %

$S*T. 3sto implica #ue 5ero el rayo *T pertenece a ambos ángulos. do la medida de $T*3 y $S*T es la misma.

Cero 2ay un ángulos de mayor apertura, $S*3. Dto 1a medida de este ángulo $S*3 es el doble #ue la medida de

los otros dos ángulos. Eto el rayo *T está partiendo el ángulo $S*3 en dos partes iguales. 3n geometría, ese

concepto de partir algo en dos partes iguales es reali$ado por la bisectri/. 3ntonces, el rayo *T biseca al ángulo

$S*3. 3sto implica #ue los dos ángulos resultantes son adyacentes, y #ue esos dos ángulos resultantes son

congruentes.

N3s la bisectri$ el +nico rayo #ue puede di(idir un ángulo en dosO 0o, no lo es, la bisectri$ es la #ue parte

el ángulo en dos partes iguales, pero N#ué pasa con las #ue parten el ángulo en dos o más partes di"erentesO

Supongamos una recta 6, #ue contiene a un punto T -T-6. Sobre T se tra$a una recta AG.


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• Si esta recta es perpendicular, di(idirá cada uno de los dos ángulos #ue se "orman sobre el (értice T

5LH en dos ángulos de FH cada uno. 3n este escenario, y este escenario en especí"ico, 6 es bisectri$

de $ATG y AG es bisectri$ de $T6, de manera #ue se "orman D ángulos de FH.• Si esta recta no es perpendicular, cada ángulo estará di(idido por dos ángulos de di"erentes medidas,

por tanto no es bisectri$ de los ángulos, es simplemente una recta secante a la otra. Jbser(ando bien

notamos #ue se "orman D ángulos, dos de los cuales son agudos, y los otros dos son gra(es. 1os dosagudos son de igual medida, y los dos obtusos son de igual medida también. 'ada par de ángulos son como

un re"le)o uno de otro, usan la parte de la recta #ue el otro ángulo no us!. 3sta posici!n en la #ue se

encuentran los ángulos de igual medida se llama opuestos por el v0rtice .

'uando describimos los dos ángulos #ue se "ormaron a cada lado de la recta 6, debido a #ue cada ángulo

sobre la recta 6 con (értice T antes de tra$ar la recta AG medía 5LH, este par de ángulos son

suplementarios o par lineal. *os o más ángulos cuyas medidas sumen 5LH, aun#ue no sean adyacentes, son

ángulos suplementarios. Si la medida de dos o más ángulos suma FH, estos ángulos son complementarios.


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&'(

))'

&'(

*+(

)+(*+(*+(


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&'( &+(&+(

*'(

)+(


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¿Cómo?


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-ercicio de conceptualización

Siga las instrucciones usando un )uego geométrico de precisi!n.

5. 6bi#ue el centro de la 2o)a. *ibu)e un punto en él. 0ombre al punto 1.. *ibu)e una recta #ue pase sobre el punto 1. 0ombre a la recta l.C. Mar#ue cada ángulo #ue se 2a "ormado sobre l con centro 1. 0!mbrelos 9 y :.D. 'alcule cuánto debe medir cada ángulo si yo decide partir a 9 en E ángulos congruentes.E. 6sando el transportador, con centro en 1 y un rayo de la recta l en H, mar#ue el ángulo de la medida #ue

2abía calculado.I. Trace una recta m la cual pasa por la marca #ue acaba de 2acer y por el centro 1.7. Repita E y I con la recta m en H, y llamo a la nue(a recta n .L. Repita E y I con la recta n en H, y llamo a la nue(a recta o .F. Repita E y I con la recta o en H, y llamo a la nue(a recta p .5. Repita el paso E para asegurarse #ue la marca #uede )usto sobre l . Si es así contin+e. *e lo contrario, por

"a(or de(uél(ase y re(ise con más detenimiento las instrucciones. 'ada ángulo debi! medir 5LH?EQCI55. Sobre la recta l mar#ue dos putos, / y A, de manera #ue se cumpla #ue &

/-1-A m/1Q5 cms m/AQ5C cms5. Sobre la recta m mar#ue dos puntos, 4 y G, #ue cumplan con las siguientes características&

m$/14QCIH m14QC cms mG4Q5C cms 4-1-G5C. Sobre la recta n mar#ue dos puntos ' y , de manera #ue&

'-1- m$'1AQ5LH m'1Q5 cms m1Q C cms5D. Sobre la recta o mar#ue dos puntos * e , de manera #ue&

*-1- m$/1*Q5LH m1Q5 cms m*Q C cms5E. Sobre la recta p mar#ue dos puntos, 3 y , donde&

3l segmento 31 comparta con el segmento 1 +nicamente el punto 1.m31Q5 cms m$/1 Q m$/14 m1 Q m1

5I. Tra$o los segmentos /4 4' '* *3 3A AG G /

Transversales'uando dos rectas di"erentes son atra(esadas por una tercera recta, esta tercera recta se llamatransversal o secante, y determina L ángulos.

1os ángulos #ue se encuentran entre las dos rectas iniciales se llaman +n*ulos internos. 1os ángulos #ue seencuentran 2acia a"uera reciben el nombre de +n*ulos eternos.

Seg+n su posici!n, los ángulos en cada (értice tienen di"erentes nombres& si nos re"erimos a los ángulos pore)emplo #ue están arriba a la derec2a de ambos (értices, estos se llaman correspondientes. 1os ánguloscorrespondientes son los #ue se encuentran en eactamente la misma posici!n, pero en el otro (értice.

También nos podemos re"erir a los ángulos #ue opuestos por el (értice al ángulo correspondiente. Para esto,ambos ángulos son eternos o internos, y están de lados opuestos de la trans(ersal. 3stos se llaman ángulosalternos, y pueden ser tanto internos como eternos.

Si nos #ueremos re"erir al ángulo adyacente del ángulo correspondiente #ue se encuentra en el mismo lado,nos re"erimos al ángulos conju*ado. 3ste ángulo estará del mismo lado, en el otro ángulo, pero ambos seráninternos o eternos.


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Con respecto a las medidas/ntes de resol(er cual#uier e)ercicio con respecto a la posici!n de estos ángulos, debo asegurarme #ue lasdos rectas sean paralelas, de manera #ue los D pares de ángulos correspondientes sean de igual medida entresí. 3n dado caso, las medidas de cada par de ángulos s!lo pueden presentar dos relaciones& o sonsuplementarios, o son con*ruentes.

'ongruentes& Jpuestos por el (értice, alternos y correspondientes igual medida

Suplementarios& 'on)ugados y adyacentes o contiguos suman 5LH


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2i*uras Geom0tricas

Sobre estos 'onceptos Geométricos 4ásicos, se arman la geometría moderna. 1a uni!n de segmentosconsecuti(os 2asta delimitar un espacio es lo #ue se conoce como 3i*ura *eom0trica plana, y tiene un borde, elcual se llama perímetro, y comprende un sector de un plano, el cual se llama +rea.

1as "iguras cuyos lados se componen por segmentos de recta se llaman polígonos. 3n ellos, los puntos #ue

unen una recta con otra se llaman (értices, y los segmentos de recta se llaman lados. ay dos maneras declasi"icar los polígonos& seg+n la posici!n de sus (értices, y seg+n la cantidad de lados #ue poseen.

'uando todos los (értices #ue "orman el polígono "orman ángulos internos #ue miden menos de 5LH elpolígono es con(eo, lo #ue #uiere decir #ue todos sus (értices apuntan 2acia a"uera.

'uando alguno de los (értices #ue "orman el polígono "orman un ángulo interno #ue mide más de 5LH, elpolígono es c!nca(o, se (a a (er como si uno de sus (értices está 2undido.

Si los lados del polígono se cru$an, este polígono se llama polígono comple)o.

Seg+n sus lados, los polígonos se clasi"ican de la siguiente manera&

'ada uno de ellos se #uede clasi"icar en irregular

o regular. 1os polígonos regulares son a#uellos en los #uecada lado y cada ángulo en la "igura es congruente entresí. 1os polígonos #ue no cumplen con esta situaci!n sellama polígono irregular.

Todas las "iguras geométricas tienen unperímetro, #ue es la medida de todos sus lados sumadas.Se mide en unidades de longitud, típicamentecentímetros.

También tienen un +rea, #ue es la cantidad deespacio del plano #ue ocupan. 3sta se mide en unidades de

longitud al cuadrado.

0ombre 0H de lados

Trígono o triángulo C tetrágono, cuadrángulo o

cuadrilátero

4

pentágono 5hexágono 6heptágono 7octógono u octágono 8eneágono o nonágono 9decágono 10

endecágono o undecágono 11

dodecágono 12

tridecágono 13tetradecágono 14

pentadecágono o pentedecágono 15

hexadecágono 16

heptadecágono 17

octodecágono u octadecágono 18

eneadecágono o nonadecágono 19

isodecágono o icoságono 20

triacontágono 30

tetracontágono 40

pentacontágono 50

hexacontágono 60

heptacontágono 70octocontágono u octacontágono 80

eneacontágono o nonacontágono 90

hectágono 100

chiliágono 1000

miriágono 10000

decemiriágono 100000

hectamiriágono o megágono 1000000

apeirógono ∞

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#esi*ualdad Trian*ular

Para "ormar un polígono con C lados, los C segmentos de recta deben cumplir un re#uisito, de lo contrariono se podrá "ormar una "igura geométrica. 3l lado mayor de los C lados no puede ser más grande #ue la suma delos otros dos lados.

3sto se debe a #ue si los dos lados menores "ueran menores #ue el lado mayor, los etremos de lossegmentos no se podrían tocar, por lo #ue no "ormarían una secuencia cerrada. 1a secuencia de segmentos seinterrumpiría, y no "ormaría una "igura geométrica, sino una línea #uebrada.

3ntonces si un triángulo tiene lados a, b y c donde a es el lado más largo, entonces se cumple #ue b c U a.

1a apertura de cada ángulo en un triángulo también depende de la longitud del lado opuesto, entonces si aes el lado más largo, entonces el ángulo opuesto a a es el ángulo más abierto también, y si c es el ángulo máspe#ue8o, el ángulo opuesto a c es el más ángulo de menor medida también. 'on esto dic2o, si dos lados tienenigual medida, sus ángulos opuestos también tendrán la misma medida.

Clasi3icaci,n de los Tri+n*ulos

Podemos 2ablar de triángulos regulares e irregulares. 1os triángulos regulares son a#uellos cuyos ángulosinternos son congruentes. 1a suma de los ángulos internos de un triángulo es 5LH, entonces si tenemos C ángulosinternos, 5LH ? C cada ángulo interno debe medir IH. /demás de esto, para ser un triángulo regular, debe sere%uil+tero, lo #ue signi"ica #ue sus lados también deben tener la misma medida.

Seg+n la medida de sus lados, los triángulos también se pueden clasi"icar en is,sceles, si s!lo tiene doslados iguales y por ende dos ángulos también, y en escalenos, si sus tres lados son di"erentes entre sí al igual#ue los tres ángulos internos.

'uando se obser(a el ángulo de mayor medida, se puede clasi"icar el triángulo también. Si el ángulo demayor medida es agudo, el triángulo es un triángulo acut+n*ulo, si el ángulo de mayor medida es recto, el

triángulo es un triángulo rect+n*ulo, y si el ángulo de mayor medida es obtuso, el triángulo es un triánguloobtus+n*ulo.

'uando se anali$an los triángulos rectángulos, se re"iere a los lados #ue "orman el ángulo de FH c!mocatetos, y al lado opuesto al ángulo de FH como 4ipotenusa. 3n los triángulos is!sceles, el lado di"erente sellama base.

Teoremas sobre los )n*ulos

a 2emos mencionado #ue los ángulos internos de los triángulos )untos miden 5LH. 3sta a"irmaci!n sellama el teorema de la suma de la medida de los +n*ulos internos. /demás de esto, si los lados opuestos a

ángulos son de igual medida, los ángulos también tendrán la misma medida, y si los C lados miden lo mismo, los Cángulos medirán IH cada uno.

/demás de los ángulos internos también eiste unteorema de la suma de la medida de los +n*uloseternos de un tri+n*ulo. 3ste teorema indica #ue lossuplementos de los ángulos internos, suman CIH, eldoble. /demás de esto, suponiendo un triángulo conángulos 9, : y V, el ángulo eterno a 9 medirá lo mismo #ue: V.


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Rectas Notables

3n cada triángulo 2ay D rectas especiales #ue se emplean en el estudio de los triángulos.

!ltura" 3s el segmento de recta #ue une el (értice con el lado opuesto, "ormando u ángulo de FH.

1as tres alturas se unen en un punto. 3ste punto se llama ortocentro.

ediana" 3s el segmento de recta #ue una el (értice con el punto medio del lado opuesto.

1as tres alturas se intersecan en el baricentro, #ue resulta ser también el centro de gra(edad.

ediatri/& 3s el segmento de recta #ue "orma un ángulo recto sobre el punto medio de un lado.

1as tres mediatrices se intersecan en el circuncentro.

5isectri/& 3s el segmento de recta #ue biseca al ángulo lo parte en ángulos congruentes.

1as tres bisectrices se intersecan en el incentro.

Si se "orma un círculo usando el circuncentro como centro, tocando uno de los (értices, el círculo (a atocar los tres (értices. Si se "orma un círculo tocando cada uno de los lados dentro del triángulo, el incentro

sería su centro.

3n un triángulo e#uilátero, las D rectas notables coinciden son la misma al igual #ue los C centros. 3l lostriángulos is!sceles las rectas sobre la base lado desigual también coinciden.

3l baricentro di(ide a las medianas en dos partes de manera #ue la parte más cerca de los (értices mideel doble #ue la parte #ue (a 2acia los lados. 3n un

1os ortocentros en los triángulos obtusángulos se encuentran eternos al triángulo.

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