APLICAÇÃO DOS MÉTODOS QUASE-NEWTON NA ANÁLISE DE VASOS DE ...

N° 39TESE DE MESTRADO

PRONUCLEAR

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS QUASE-NEWTON NA ANÁLISEDE VASOS DE PRESSÃO AXISSIMÊTRÍCOS

DÉBORA ATTILA COSTA PARISI

RECIFE

DÉBORA ATTILA COSTA PARISI

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS CÜASE-NEWTON

MA ANALISE DE VASOS DE PRESSÃO

AXISSIMÊTRICOS

Dissertação apresentada ao Cursode Mestrado em Ciências e Tecnologia Nuclear da Universidade Federal de Pernambuco, em cumprimentodas exigências para obtenção doGrau de Mestre.

AREA DE CONCENTRAÇÃO: Engenharia Nuclear

Orientador: Bernardo Horowitz

Co-orientador: Ezio da Rocha Araújo

Março/87

Dissertação apresentada ao Departamento de Energia Nuclear da Uni-

versidade Federal de Pernambuco, fazendo parte da Comissão Exami-

nadora os seguintes professores :

G^TULIOljZIDORO KATZ - Ph.D. em MatemáticaDepartamento de Matemática da UniversidadeFederal de Pernambuco - UFPE

JÚLIO ALVES HERMlNIO - DoutorDepartamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Rio Grande do NorteUFRN

PAULO JOSÉ CHAVES ARAtJJO E S^LVA - DoutorDepartamento de Engenharia Civil da Universidade federal de Pernambuco - UFPE

Visto e permitida a impressão

Recife, março de 1987.

Coord' iador do Curso de Mestrado em Ciên-cia e Vecnologia Nuclear do Departamentode Energia Nuclear da Universidade Fede-ral de Pernambuco.

- i -

A meus pais, meu

63poso Gerlando e

meus filhos Gerlando

e Painel] c.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Bernardo Horowitz pela sugestão e

orientação deste trabalho.

Ar» Professor Ezio da Rocha Araújo pela inestimá

vel colaboração.

A ffltiU . pais Costa e Ma th i Ide pela cooperação e

ceio apoio que roe of' eceram.

A Kátia pela colaboração na datilografia deste

t_

A todos os colegas e amigos que,, de alguma for

, contribuíram para a realização do pi.:sente trabalho.

- ii -

RESUMO

Esta tese trata da aplicação de métodos Quase - Newton

na análise não-linear física de vasos de pressão axissimétri

cos pelo método dos elementos finitos.

Na formulação o comportamento do material é descrito

por um modelo elastoplastico isotrõpico com endurecimento por

deformação. O domínio é discretizado por elementos finitos

triangulares de sólido axissimétrico com interpolação linear pa

ra o campo de deslocamentos. As equações incrementais que gove£

nam o problema são obtidas do princípio dos trabalhos virtuais.

A solução do sistema de equações não lineares resultan

te são resolvidas iterativamente pelo método BFGS. O desempenho

do método implementado é comparado com o método de Newton-Raph

son e algumas de suas variantes, mediante alguns exemplos de

aplicação selecionados.

- iii -

ABSTRACT

This work studies the application of Quasi—Newton tech

niques to material nonlinear analysis of axisymmetrical pressu

re vessels by the finite element method.

In the formulation the material behavior is described

by an isotropic elastoplastic model with strain hardening. The

continum is discretized through triangular finite elements of

axisymmetrical solids with linear interpolation of the displa

cement field. The incremental governing equations are derived

by the virtual work.

The solution of the system of simultaneous nonlinear

equations is solved iteratively by the Quasi-Newton method em

ploying the BFGS update. The numerical performace of the propo

sed method is compared with the Newton-Raphson method and some

of its variants through some selected examples.

- iv -

Í N D I C E

Páginas

I - INTRODUÇÃO 1

1.1 - Considerações Gerais 1

1.2» Objetivo é Abrangência 4

1.3 - Breve Descrição da Tese , 4

II - DECLARAÇÃO DO PROB'*"*" . 6

2.1- Introdução 6

2.2 - Equações Gerais da Mecânica do Continuo e

Linearizações 7

2.2.1 - Deslocamentos e Deformações 7

2.2.2 - Equações de Equilíbrio 8

2.2.3 - Principio dos Trabalhos Virtuais. 9

2.3 - Relações Constitutivas na Elastoplastici

dade 10

2.3.1 - Princípios Gerais 10

2.3.2 - A Função de Fluência 13

2.3.3 - Endurecimento 17

2.4 - Expressões Básicas para o Problema Axissi

métrico 20

2.5 - Discretização do Continuo pelo Método dos

Elementos Finitos 22

2.5.1 - O Elemento Utilizado 73

2.5.2 - Equações de Equilíbrio do Sólido.. 28

III - SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 31

3.1 - Introdução 31

- v -

Páginas

3.2 - O Processo Incremental-Iterativo 32

3.3 - O Né iodo de Newton-Raphson 33

3.4 - O Método de Newton-Raphson Modificado .... 37

3.5 - Outros Métodos 38

IV - C MÉTODO QÜASE-NEWTON 40

4.1- Introdução 40

4.2 - A Equação Quase—Newton 41

4.3 - As Atualizações Quase-Newton '..... 43

4 . 4 - 0 Método BFGS 48

4.4.1 - Desenvolvimento do Método 49

4.4.2 - Outras Implementações 54

V - IMPLEMENTAÇÃO E DESEMPENHO 57

5.1 - Introdução 57

5 . 2 - 0 Elemento Finito Triangular Axissimétrico 57

5 . 3 - 0 Algoritmo de Elastoplasticidade 59

5.4 - Os Métodos de Análise Não-Linear 64

5.5 - Aplicações Numéricas 65

5.5.1 - Cilindro de Paredes Grossas 55

5.5.2 - Vaso de Pressão Esférico 72

CONCLUSÕES 78

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 79

APÊNDICES

A - DESCRIÇÃO DO PROGRAMA 82

B - MANUAL DE ENTRADA DE DADOS 86

C ' LISTAGEM DO PROGRAMA 92

- vi -

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA ' . PAGINA

(2.3.2.1) Representação geométrica das superfícies de

escoamento de Tresca e Von Mises no - espaço

das tensões principais 15

(2.3.2.2) Representação dos critérios de escoamento

de Tresca e Von Mises no plano (o-, - o3) e

(o2 - ó3) 16

(2.5.1.1) Elemento Finito triangular axissimétrico

(a) Elemento de um sólido axissimétrico ... 24

(b) Convenção de tensões e deformações .... 24

(c) Representação bidimensional 24

(3.1.1) Matriz de rigidez secante para uma dimen -

são 32

(3.3.1) Método de Newton-Raphson para o caso unidi

mensional 35

(4.1.1) Método Quase-Newton no caso unidimensional- 42

(5.3.1) Mudança incrementai nas tensões

(a) Em um elemento já plastificado 61(b) Em um elemento elástico 61

(5.3.2) Processo de sub-incremento, para reduzir um

ponto de tensão ã superfície de fluência .. 63

(5.5.1.1) Cilindro de Paredes Grossas - malhaeproprie

dades do material empregado 66

- vii -

FIGURA PAGINA

í5.5.1.2) Curva pressão interna x deslocamento radi-

al (r = a) 67

(5.5.1.3) Distribuição das tensões no cilindro de pa

redes grossas.

(a) Tensões radiais 69

(b) Tensões circunferenciai. 69

(5.5.2.1) Malhas utilizadas para modelar o vaso de

pressão esférico.

(a) Setor de 909 com 72 elementos 73

(b) Setor de 909 com 144 elementos 73

(c) Setor de 7,59 com 16 elementos 73

(5.5.2.2) Curva pressão x deslocamento radial de um

ponto na face interna para as três malhas

utilizadas 74

(5.5.2.3) Distribuição das tensões no vaso de pressão

esférico.

(a) Tensões radiais , 75

(b) Tensões circunferênciais , 75

- viii -

ÍNDICE DE TABEiAS

TABELA PAGINA

(5.1) Deslocamentos (mm) na face interna do cilin

dro de paredes grossas pelos 5 métodos (32

elementos) 67

(5.2) Desempenho dos métodos para o exemplo do c.i

.lindro de paredes grossas 68

(5.3) Tensões radiais (or) para uma pressão

P = 16 dN/mm2 no cilindro de paredes gros

sas, utilizando os 5 métodos 70

(5.4) Tensões circunferenciais (og) para uma

são P = 16 dN/mm2 no cilindro de paredes

grossas, utilizando os 5 métodos 71

(5.5) Desempenho dos métodos para o exemplo do

vaso de pressão esférico 76

- ix -

SIMBOLOGIA

x^ . - componentes do vetor posição de um ponto

do corpo no estado indeformado.

x. - componentes do vetor posição de um ponto

do corpo na posição deformada.

u., u - componentes do vetor e vetor deslocamen

to de um ponto.

ds - segmento de reta definido por dois pon

tos infinitamente próximos na configura

ção indeformada.

dS - segmento de reta definido por dois pontos

infinitamente próximos na configuração

deformada.

e?., e?,, e,. - componentes do tensor de deformação elas

tica, plástica e total.

o.. - componentes do tensor de tensões.

b^ , b - componentes do vetor e vetor de forças de

massa.

t. , t - componentes do vetor e vetor de forças

de superfície,

n. - cosseno do ângulo entre a normal ã super3 fície e o eixo x*,

- x -

fie.

'ijkl

"a

Vi °kk

dA

dV

WT

resultante dai; forças que atuam na área

dA.

campo virtual de deslocamentos infinite

sintais.

- campo de deformações oriundo dé

- componentes do tensor de elasticidade.

m

- componentes do tensor elastoplastico.

- componentes do tensor desviador.

- componente hidrostática do tensor de ten

soes.

l:1 se i = j, delta de Kronecker.

0 se i + j

X«E v/(l + v) (1 - V)

Vi * E/2 (1 + v)

- elemento de área.

- elemento de volume.

- tensão de escoamento ã tração do material

- deformação plástica efetiva.

- volume.

- trabalho virtual.

- trabalho plástico total.

constantes de Lamé.

- xi -

E - modulo de elasticidade de Young.

v - coeficiente de Poisson.

h - parâmetro de endurecimento.

dX - multiplicador plástico.

Jl» ^2' J3 ~ invariantes do tensor de tensões.

A - tangente a curva ov - e_ do ensaio uni

axial de tração.

a - raio interno do cilindro ou esfera,

b - raio externo do cilindro ou esfera,

p - pressão aplicada.

F(Oj- h) - função de fluência.

g - tensor de tensões.

- tensões longitudinais.0 0 0Z, X, 4

tr - tensão de cizalhamento.

§ - tensor de deformações.

e2, er, es - deformações longitudinais.

- deformação transversal.

a - vetor de fluxo.

N,, N., Nm - funções de interpolação nodais,

- xii -

- motriz identidade.

- operador linear.

- :r.e.triz de deformação.

- -ensor de elasticidade.

- tensor elastopiástico.

- forças nodais equivalentes de massa do

elemento.

- forças nodais equivalentes de superfície

do elemento.

- forças internas nodais do elmento.

..' - reúne todas as fore ÍS nodais equivalen

tes do elemento.

- forças nodais equivalentes aplicadas a

estrutura.

~ forças nodais internas da estrutura.

- vetor de resíduos nodais.

- matriz de rigidez do elemento.

- matriz de rigidez da estrutura.

- 3ií>/3u . Jacobiano.

;>,. - aproximação para o Jacobiano.-r

- XÍÜ -

u. - - u. - diferença entre os vetores deslocamentos

em duas iterações consecutivas.

•jc+l"~ •jt ~ diferença entre os vetores resíduos no

dais em duas iterações consecutivas.

Xe - matriz de rotação.

Le - matriz booleana.

- xiv -

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

1.1 - Considerações Gerais

Os requisitos de economia dentro de padrões exigentes de

segurança têm estimulado a engenharia estrutural moderna na bus

ca de representações mais realistas de componentes estruturais.

Para Usinas Nucleares em particular o alto padrão de segurança

desejado requer análises especiais detalhadas,que frequentemen

te levam o modelo a um nível de sofisticação muito além do nor

malmente exigido para estruturas convencionais. Na simulação de

acidentes e condições extremas de cargas algum tipo de não 1^

nearidade é freqüentemente introduzida, sem a qual fica sem sen

tido a predição da resposta estrutural.

Quando a estrutura é levada a condições extremas de car

ga o seu comportamento estrutural torna-se não-linear,devido ã

sua mudança de forma e pela alteração das leia do comportamen

to do material que a compõe.

Os procedimentos analíticos de solução de problemas es

truturais não-lineares mostram-se bastante limitados, ou seja,

a gama de problemas para os quais se pode estabelecer equações

- 1 -

e obter sua solução exata é suite pequena. A &aa abordagem me

diante métodos numéricos aproximados com o uso de computadores

digitais tem-se mostrado mais eficaz.

Dentre rs métodos numéricos disponíveis aquele que mais

atenção ter. recebido por parte dos pesquisadores é sem dúvida

o método dos elementos finitos. C sucesso do método deve - se

principalmente .» forma sistemática e simples de se construir

funções de interpolação locais,para as variáveis do problema,

bem como à sua habilidade para tratar quaisquer condições de

forma e de contorno.

A análise de problemas lineares pelo Método dos Elemen

tos Finitos resulta geralmente na solução de um sistema de equa_

ções algébricas lineares simultâneas. Para a solução desses sis

temas já se dispõe de técnicas que permitem a solução eficien

te de sistemas com dezenas de milhares de incógnitas, tornando

possível a solução de problemas relativamente complexos,a eus

tos admissíveis ã engenharia atual.

As primeiras aplicações do método dos elementos finitos

à análise não linear tinham base intuitiva e consistiam de su

cessivas análises lineares para a obtenção de soluções de pro

blemas particulares conhecidos [22]. Desde então a análise não

linear tem sido continuamente aperfeiçoada e nos dias de hoje

já se dispõe de grandes programas gerais para a análise não li.

near de problemas da Mecânica do Contínuo, ^om grandes biblio

tecas de elementos finitos e de modelos de materiais, ou mesmo

pondo à disposição do usuário alguns métodos de solução de equa

ções não lineares.

A solução de problemas não lineares sempre requer proce

diroentos iterativos, e quando fortes não linearidades estão pre

sentes o custo pode suplantar algumas dezenas de vezes oda aná

lise linear. Isto atualmente restringe consideravelmente o uso

de modelos não lineares na engenharia estrutural.

- 2 -

A literatura registra una abundância de métodos de solu

ções de sistema de equações não lineares, a maioria dos quais

de alguma forma já usadas no método dos elementos finitos. Ca

da método .possui em geral alguma vantagem quando usado em al

gum tipo especifico de problema. Nenhum método parece impor-se

aos demais em toda categoria de problema. Porém, em geral,o me

todo de Newton-Raphson, ou slguma variação dele tem tido gran

de aceitação por parte da grande maioria dos usuãiros de ele

mentos finitos, principalmente pelas suas fortes característ_i

cas de convergência e sua possibilidade de bem aproveitar a es

parsidade das matrizes envolvidas no método dos elementos fini

tos.

Um dos problemas mais pertinentes ao projeto estrutural

de centrais nucleares é a análise de vasos de pressão. A maio

ria dos vasos de pressão são axissimétricos ou podem ser consi

derados como tal. São exemplo de vasos de pressão o próprio va

so do reator nuclear, as tubulações dos circuitos primários e

secundários e a própria casca envolvente do prédio do reator.

As leis constitutivas do material são geralmente modeladas coro

base na teoria da Plasticidade Incrementai. Isto introduz for

tes não linearidades nas ralações tensões - deformações,tornan

do impossível sua consideração no projeto de vasos de reatores,

nucleares, mediante procedimento que acompanha o traçado do áía

grama carga x deformação, desde o inicio do escoamento até o

colapso do vaso.

A estabilidade dos algoritmos elastoplásticos é dependen

te do tamanho dos incrementos de carga utilizados na análise.

Pequenos incrementos são em geral necessários para garantia de

estabilidade daqueles algoritmos. Isto faz aumentar o custo da

análise não linear, enfraquecendo as vantagens dos métodos de

solução de equações não lineares,em especial o método de Newton

- Raphson, geralmente o empregado.

- 3 -

1.2 - Cbjetivo e Abrangência

Ultimamente una nova classe de métodos para solução de

sistemas de equações não lineares denominados de Métodos Quase

- Newton surgiu na literatura como resultado de pesquisas na

área de otimização. Estes métodos vem sendo aplicado com suces

so no contexto de Elementos-*initos.

O presente trabalho tem por objetivo a implementação e

a aplicação do método BPGSr pertencente ã categoria dos Métodos

Quase-Newton,na análise não linear de vasos de Pressão - Axissi

métricos, pelo Método dos Elementos Finitos. Na formulação usa

da o comportamento não linear do material é descrito pela teo

ria Matemática da Plasticidade Incrementai. O desempenho do mé

todo BFGS é comparado com métodos do tipo Newton-Raphson.

1.3 - Breve Descrição da Tese

O Capitulo II apresenta as equações da Mecânica do Con

tinuo empregadas, enfatizando-se as linearizações geométricas

efetuadas. As relações Constitutivas da Elastoplasticidade são

a seguir descritas de uma forma bastante geral. Elas são justa

mente a fonte de não linearidade considerada no trabalho. Em

seguida as expressões genéricas são particularizadas para o pro

blema axissimétrico e então efetuada a discretização do conti

nuo pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o elemento

triangular com três noa e dois graus de liberdade por nó com

função de interpolação linear para o campo de deslocamentos em

seu interior. As equações de equilíbrio do sólido são então es

tabelecidas com base no Principio dos Trabalhos Virturais.

No Capitulo IIJ discute-se os procedimentos geralmente

utilizados na solução do sietama de equações não lineares re

- 4 -

sultante da discretização do continuo pelo método dos elementos

finitos, com ênfase aos processos incrementais - iterativos. O

método de Newton-Raphson é reapresentado bem como algumas de

suas variantes que mais tarde serão usadas para comparação de

desempenho.

No Capitulo IV discute-se os aétodos Quase-Newton a par

tir do método de Broyden, e outros julgados relevantes. O meto

do de Broyden é então usado como base para a formulação e di£

cussão do método BP6S em uma maior riqueza de detalhes. Discu

te-se suas características de implementação, e suas proprieda

des de convergência bem como suas vantagens e desvantagens f ren

te aos métodos do tipc Newton-Raphson.

No Capitulo V compara-se o desempenho do método propôs

to com os métodos do tipo Newton-Raphson através de exemplos

de aplicação.

Encerra-se esta tese sumarizando-se as principais con

clusões e sugerindo áreas para pesquisas posteriores.

Uma .listagem completa do programa fonte elaborado em 7.in

guagem FORTRAN é colocada no Apêndice C.

- 5 -

CAPITULO II

DECLARAÇÃO DO PROBLEMA

2.1 - Introdução

A análise estrutural de vasos de pressão axissinétricos

é um problema bidimensional da Mecânica dos Meios Contínuos. 0

principal interesse deste trabalho é portanto a determinação

dos campos de tensões e de deformações nos sólidos de geometria

e cargas axissimétricas.

Considera-se apenas os processos estáticos de deformação,

ou seja, aqueles que não envolvem velocidades e acelerações a

preciáveis. Matematicamente o problema resultante é um proble

ma de valor do contorno não linear. A única fonte de não linea

ridade considerada é aquela proveniente das relações constitu

tivas do material.

Neste capítulo são inicialmente expostos os princípios ge

rais da Mecânica dos Meios Contínuos, em que se fundamenta es

ta tese, evidenciando-se as linearizações geométricas efetua

das. Na formulação das leis constitutivas do material descreve

- se os princípios usados da Teoria Matemática da Plasticidade

Incrementai. Por fim descreve-se o processo de discretização

- 6 -

do domínio espacial pelo Método dos Elementos Finitos, desde a

formulação para um elemento até a obtenção das eqoações não l_i

neares de equilíbrio incrementai para todo osólido, fazendo-se

uso do Principio dos Trabalhos Virtuais.

2.2 - Equações Gerais da Mecânica do Contínuo e Linearizações

2.2.1 - Deslocamentos e Defor»ações

Considere-se um corpo no seu estado indefornado, con

sua posição descrita pelas coordenadas cartesianas x ^ d » 1,2,3)

de seus pontos. A Medida em que o corpo sofre a ação de forças

externas esses pontos deslocam-se para novas posições x^. Para

cada um dos pontos do corpo define-se um vetor deslocamento co

mo a diferença entre sua nova coordenada e a coordenada na po

sição indeformada, isto é -

ui ' *i - xi

O segmento de reta ds definido por dois pontos infini

tesimalmente próximos na configuração indeformada assumirá um

novo comprimento dS devido ao processo de deformação. Usando a

convenção de somação para tensores cartesianos, a variação do

quadrado do comprimento desse segmento pode ser expresso exata

mente como

dS» - dsa = 2cij ãx± dx.

onde e--j são as componentes do tensor de deformação de Green da

da. por <l'2>

Vi VJ1

- 7 -

onde a vírgula indica a derivada com respeito à coordenada no

estado indefornado.

O tensor de deformações é simétrico e quadratico. Nes

ta tese assumimos que o processo de carga induz no corpo apenas

deformações infinitesimais. As componentes do tensor de defor

ções podem então ser linearizadas, desprezando os termos quadra

ticos nas derivadas dos deslocamentos, restando

eij " T (ui,j + Uj,i> . (2.2.1.1,

que é o tensor de deformações infinitesimais.

Supõe-se também aqui que o campo de deslocamentos não

seja muito grande de tal forma que as posições deformada e in

deformada do corpo sejam suficientemente próximas (pequenos áes

locamentos), tal que as equações de equilíbrio do corpo possam

ser formuladas identicamente em ambas as configurações.

2.2.2 - Equações de Equilíbrio

Sob as condições anteriormente expostas,de pequenos ães

locamentos e pequenas deformações,as equações de equilíbrio no

interior de um corpo carregado estaticamente podem ser escritas

em termos das tensões referidas à configuração indeformada co

mo '

o. . . + b. = 0 (2.2.2.1)J f J

onde o ^ são os elementos do tensor simétrico de tensões, e b^

as componentes do vetor de forças de massa.

Na fronteira do corpo as equações de equilíbrio são ex

pressas pela fórmula de Cauchy '*'2'

- 8 -

nj (2.2.2.2)

onde ti são as forças de superfície que atuam na área dA de nor

mal dada-pelo vetor de cossenos diretores n^. Sendo df^ aresuL

tante das forcas que atuam na área dA, as componentes do vetor

de forças de superfície são definidos por r

dfi/dA

2.2.3 - Principio dos Trabalhos Virtuais

As condições de equilíbrio de um sólido deformável da

das pelas equações (2.2.2.1) e (2.2.2.2) podem ser expressas de

forma mais adequada pelo principio dos trabalhos virtuais como

segue. Considere-se um corpo de volume indeformado V emequilí

brio sob a ação de forças de massa b^ em seu interior e de for

ças de superfície t na parte Clr de sua fronteira ft. Mantendo

todas as forças constantes e aplicando um campo virtual de des

locamentos inf initesimais ôu^, tal que fiu^ = 0 na região fi, on

de u^ são prescritos,o trabalho virtual das forças externas

pode ser escrito

6H = f b, ôu, dV + [ t. Ôu. dfi (2.2.3.1)iv X X h 1 1

O principio dos trabalhos virtuais declara que ' se

o corpo está em equilíbrio e satisfaz as condições de contor

no em Q: e ft; então

ÓW = [ o4. óe^. dV (2.2.3.2)ij

onde ôc^j é o campo de deformações oriundo de 6uif e portanto,

compatível. A expressão final do principio dos trabalhos vir

tuais assume a forma

- 9 -

f t± ÔUi d£i=[ o^ i e ^ dV ( 2 . 2 . 3 . 3 )

Jn JvdV +

Essa expressão será usada mais tarde para expressar as

condições de equilíbrio também do continuo discretizado pelo mé

todo dos elementos finitos.

2.3 - Relações Constitutivas na Elastoplasticidade

2.3.1 - Princípios Gerais

Sob cargas de pequena intensidade a deformação de um "

sólido é em geral um processo elástico linear. Por elástico en

tende-se um processo termodinâmico reversível, tal que retira

da a causa das deformações o corpo retorna à sua configuração

original uão deixando registro do processo a que foi submetido.

Por linear entende-se que as componentes do tensor de deforma

ções são proporcionais às do tensor de tensões.

Ultrapassado um certo limite de tensões (ou de deforma

ções) a maioria dos materiais usados na engenharia,sofrem uma

deteriorização de sua estrutura interna,tornando o processo de

deformação subsequente parcialmente irreversível. Macroscópica

mente isto é observado pelas deformações residuais no sólido

após a retirada do carregamento. Se o processo de deformações

continuar ativo sobrevem finalmente a ruptura do material.

Os materiais desse tipo, diz-se comportarem-se não li.

nearmente. Para tais materiais o tensor de deformações pode ser

decomposto em

e ^ = ef, + e?, (2.3.1.1)

- 10 -

e ponãe eAj e a parcela de deformação elástica (recuperável) e e^jé a parcela de deformação plástica (residual).

»A equação constitutiva para materiais elastoplasticos

é obtida a partir das três seguintes hipóteses adotadas nesta

tese, que se constituem nos princípios básicos da Teoria Mate

mãtica da Plasticidade Incrementai:

(a) todo incremento de tensões é devido apenas a incre

mentos de deformações elásticas, ou seja

d°ij - D!jkl d£kl • Díjkl (dekl - «íl> (2.3.1.2)

onde Dj i-i representam as componentes do tensor de elasticidjaj^i p pde 49 ordem, dadas por {1'2'4)

D!jkl " X8ij 6kl + ^ik 6jl + *6il 6jk (2-3.1.3)

onde X e u são as constantes de Lamé, e iy é o delta de Kro

necker. As constantes X e y relacionam-se como módulo de Young

E e o coeficiente de Poisson v por

E v E" " (1+v) (1-vT v 2 (1+v)

(b) existe uma função convexa F(o^j h) a valores reais

chamada funçãc de fluência tal que os estados mecânicos poss_í

veis do corpo se caracterizam por

Estado elástico : F (o.. h) < 0•*• J t

Estado elastoplastico: F (o.. h) = 0

sendo F (o^j h) > 0 um estado mecânico impossível de ser atin

o ido.

0 parâmetro h está relacionado com o endurecimento por

- 11 -

deformação do material durante a fase elastoplastica, e ê em

geral dependente das componentes do tensòr de deformações pláj>

ticas.»

(c) existe um potencial plástico G tal que podemos for

mular uma lei de fluxo plástico após iniciado o escoamento co

mo

Em geral não ê possível determinar G. Usa-se aqui G=F,

dando origem a lei associativa representada pelo principio da

normalidade.

deij = ãX l o (2.3.1.5)

dX é uma constante de proporcionalidade denominada multiplica

dor plástico. Com essa hipótese as componentes do tensor de de

formação plástica são proporcionais as componentes do gradien

te da função de fluência no espaço das tensões.

A partir das hipóteses acima a equação constitutiva in

cremental relacionando os incrementos de tensões com os incre(3 4 5 6)mentos de deformações totais sao obtidas ' ' '

d°ij • Dijkl d£kl (2.3.1.6)

onde D 6 ? ^ são as componentes do tensor elastoplastico dados

por

ijkl 9 o " v vep _ ne ^^ rs mn ,, , . 7.

Dijkl - Dijkl " d F ~è T F (2.3.1.7)3 ars ' rsmn ' T ^

- 12 -

válido para o material no estado elastoplâstico. A constante A

acima relaciona-se coin o multiplicador plástico dX a partir de

dF s 0 como

#

' dx " X -rfrr âoij - - X Ti" dh 12.3.1.8)

A constante A é obtida a partir das hipóteses a serem formula

das sobre o parâmetro de endurecimento h e de resultados expe

rimentais do material. Isso será discutido no contexto das hi

póteses especificas usadas nesta tese, na seção seguinte.

2.3.2 - A Função de Fluência

Nesta seção expõe as características gerais da função

de fluência F, suas conseqüências, e as formas especificas pa

ra materiais metálicos adotados.

A função F pode ser escrita sem perda de generalidade

F (o, . h) = f (o..) - k (h) = 0 (2.3.2.1)

onde f (OJ.-Í) é alguma função do estado de tensões do corpo obti

da geralmente a partir de considerações teóricas e empíricas. O

parâmetro de endurecimento h, em geral função de e^j, vai indi

car a maneira pela qual a função f (o^j) se modificará com a

continuidade das deformações plásticas. A função f (oij) é a

projeção instantânea de F(o^j h) no espaço de tensões.

£ suposto aqui que o material é isotrópico. Desta for

ma o escoamento plástico deve depender apenas da magnitude das

tensões principais, e não de suas direções. Portanto f deve ser

expressa como

f (J. J, J,) = k (h) (2.3.2.2)i. , if i

- 13 -

onde J,, J2 e J3 são os invariantes do tensor de tensões que ex

pressos em função das tensões principais air o2 e o, são

Jl " °1.+ °2 + °3 J2 = °1°2 + °1°3 * °2O3 J3 = °l °2 °3

Os únicos materiais tratados aqui são os metais dúcteis,

para os quais evidências experimentais indicam que oescoamento

plástico (em uma primeira aproximação) não é afetado por mode

radas pressões hidrostaticas, quer aplicadas sozinha ou em com

binação com qualquer outro estado de tensão . Matematicamente

isto significa que f depende apenas das componentes principais

do tensor desviador definido por

°ij = °ÍJ - -r 6ÍJ °kk = °ÍJ - - r Ji

onde -j- o k k é a componente hidrostática do estado de tensão.

Desde que o primeiro invariante do tensor desviador é nulo po

demos escrever a forma genérica final para f como

f (J ' j,') = k (h) (2.3.2.3)

onde J2 e J3 são o segundo e o terceiro invariantes do tensor

desviador dados por

J2 = \ °ij °ij J3 = 4 °ij °jk °ki

Duas das mais bem sucedidas formas de f são aqui adota

das. A primeira é a função de Von Mises

fVM = fVM ( J 2 ) - $2 * kVM {h) (2.3.2.4)

e a segunda a de Tresca

fTR = f (a^ o3) = a1 - o3 = k T R (h)

- 14 -

onde Oj 2 o2 2 oi são as tensões principais. Esta última forma

pode também ser coxocada em função de Jj e J»*7*, resultando no

entanto eu uma forma de mai.> difícil tratamento matemático.m

Uma representação geométrica dessas funções pode ser

feita convenientemente no espaço das tensões principais, cons^

derando todos os possíveis estados de tensão, conforme figura

2.3.2.1. o plano ir mostrado é aquele definido por at * a2 + o3 =

0.

FIGURA 2.3.2.1 - Representação geométrica das superficies de

escoamento de Tresca e Von Mises no espaço

das tensões principais.

Pode ser mostrado que todas as funções da forma

(2.3.2.3) podem ser representadas no plano de coordenadas oz-c

e o2 - o3, ou seja

f (J_ , J, ) = f (ot - o3, a2 - o3)

No caso das funções de V.Mises e TrescB e representação é a

da figura 2.3.2.2.

- 15 -

a,-o,

FIGURA 2.3.2.2 -Re

presentação dos cri

térios de escoanen

to de Tresca e Von

Mises no plano

(Oj - o3) e <°2~ °3*

Cs valores de k(h) são retirados de ensaios em estados

simples de tensão. É convencional usar o ensaio de tração unia

xial para este fi., para o qual oa = oy(h), o2 = a3 = 0, onde

a1(h) e a tensão de escoamento a tração do material. Para as

duas funções adotadas

VM(2.3.2.5)

TR- kTR(n)

resultando

1 ay(h)

Com os valores de k(h) retirados do ensaio uniaxial, a

máxima diferença entre os dois critérios se dará no caso de ci

salhar.iento simples onde o critério de V.Mises prevê o escoamen

to com Cj superior 2//T vezes o de Tresca.0 critério de V.Mises

relaciona-se melhor com os experimentos para a grande maioria

dos metais dúcteis, devendo portanto ser o preferido dentre os

- 16 -

dois. A inclusão nesta tese do critério de Tresca,resulta do fa

to de que para tal critério alguma solução analítica fechada

existe,permitindo uma comparação com os algaritmos de plastici

dade empregados.

O valor da função f tem a dimensão de tensão.Define-se

coro tensão efetiva ou tensão equivalente o múltiplo de f que

deve ser comparado com ov (h) para determinar se o ponto em ques_

tão atingiu ou não o estado de plastificação. Assim, chamando

õ este valor teremos para os dois critérios adotados.

5VM « fVM - t-V> Va (2.3.2.7)

5TR = fTR = o. - °B (2.3.2.8)

2.3.3 - Endurecimento

O valor experimental de o^(h) da tensão de escoamento

uniaxial medido em ensaios de materiais virgens (materiais que

ainda não sofreram deformações plásticas) é suficiente para com

pletar a descrição do comportamento elastoplástico. Aqui despre

za-se o efeito Bauschingir (pelo qual o material apó> atin

gir o escoamento pela primeira vez adquire alguma anísotropia)

considerando-se uma evolução progressiva de f, com o modelo cha

mado de endurecimento isotrópico. A expansão progressiva de f

é definida postulando o parâmetro h. Usa-se aqui a hipótese ter(3 4) ~

modinamicamente mais geral ' d e que h e o próprio trabalhoplástico total (por unidade de volume) definido como

W = h = í o i. dejj\. (2.3.3.1)

Para determinação das constantes ainda não explicitadas no pr£

sente modelo exige-se mais uma vez que ele reproduza os resul

tados do ensaio uniaxial.

- 17 -

W - h = íoy deP (2.3.3.2)

onde de , é o incremento de deformação plástica no ensaio unia_

xial. É útil definir uma medida de deformação plástica total

chamada deformação plástica efetiva ê tal que seu incremento

dê = jm (deÇ.. dej.) (2.3.3.3)

onde o fator /2/3 é usado para que dêp = de ao ensaio uniaxiaL

Neste caso (8)

W = h = o de (2.3.3.4)

As constantes A e dX podem agora ser identificadas. Pa

ra t^zei isto é conveniente reescrever o critério de escoamen

to como

F (oi. h) = õ (oij) - oy(h) = 0 (2.3.3.5)

A equação (2.3.1.8) de definição de A pode ser escrita

A d X = a 0F, doij = " TIT d h (2.3.3.6)

Da equação (2.3.3.1) e da equação (2.3.1.5) temos

dh = a±. deP = dX -~-^— o±.

mas de (2.3.3.5) podemos escrever

3 F 3 5—r 0 , • - , 0 . .

- 18 -

exigindo que o (e portanto f (o..|) seja uma função homogênea

de grau 1 em o i j r esta última equação pode ser escrita (condi

ção de Euler para funções homogêneas).

levando na expressão de dh acima

dh = dX oy

e, pela equação (2.3.3.2) dh = ov de_. Concluindo portanto por

comparação que

dX = dep

0 valor de A pode ser retirado levando esta última na equação

(2.3.3.6)

obtendo assim

(2.3.3.7)

ou seja, A é a tangente à curva o* — E p do ensaio uniaxial de

tração.

Se A é identicamente nulo o material é dito elastoplás

tico perfeito. Valores negativos de A significa material insta

vel, e não será considerado aqui. Materiais com valores positi

vos de A são chamados de materiais com endurecimento. Conside

ra-se apenas materiais com A = constante, chamados materiais

com endurecimento linear. Os seguintes estados de carga podem(8)ser identificados para os materiais com endurecimento

- 19 -

(a) Carregamento : õ = oy

fb) Carregamento neutro: o « aJ do

Ic) Descarregamento

Para materiais com endurecimento as deformações plãsti

cas ocorrem apenas no caso (a) - Para materiais elastoplásticos

perfeitos o caso (a) não existe, e as deformações plásticas

ocorrem no caso (b). Por hipótese o descarregamento sempre ocor

re elasticamente, de acordo com (2.3.1.2).

2.4 - Expressões Básicas para o Problema Axissimétrico

As expressões desenvolvidas até agora são aplicáveis ao

continuo tridimensional. O problema axissimétrico é um proble

ma bidimensional e será descrito em coordenadas cilíndricas.

Nesta seção aquelas expressões serão particularizadas para o

caso axissimétrico, introduzindo simultaneamente a notação roa

tricial que facilitara a descrição posterior do processo de dis

cretização pelo método dos elementos finitos, bem como sua im

plementação computacional.

Um ponto P do sólido axissimétrico é identificado pelas

coordenadas r,8 e z nesta ordem. O campo de deslocamentos será

identificado por

u = <u, v ) 1 (2.4.1)

onde u é descolamento na direção radial e v na direção axial.

- 20 -

As deformações infinitesiaais são colocadas sob a forma

s.- «•.. s.«.. {*.H--S-.H •*?)*«*•«•«

onde ez er e ee são as deformações longitudinais (diagonal do

tensor de deformações), e Y r 2= 2 Erz a âexorBacão transversal,

onde c E Z * czr são as únicas componentes não nulas fora da dia

gonal do tensor de deformações. As tensões correspondentes são

o = (o o o. t 1z, r, o, rz (2.4.3)

O tensor de deformações elásticas é dado por

E (1-V)(1+v) (l-2v)

V(1-v)

V

TT^v)

1

V

TT^vT

(2.4.4)

2 (1-v

Durante o estado elastoplastico o vetor de fluxo será

tLJT 8 F 9 F

°r ' 3 °9 ' * ^rz(2.4.5)

A matriz que representa o tensor constitutivo elasto

plástico.

D a a DDep = De - — ::—:: -— (2.4 6)

A + a1 De a

- 21 -

Enquanto que os vetores de forca de massa e de superfi

cie serão, respectivamente,

b =* (b , b , b , b ) t e t = (t , t , t , t )fc (2.4.7)— • * i o rz - z t o r*

Finalmente, a expressão matemática do principio dos trabalhos

virtuais, toma a forma

iu1 b dV + «u* t dí2 = f õe* o dV (2.4.8)

2.5 - Discretização do Continuo pelo Método dos Elementos Fini

tos

(9)Matematicamente o método dos elementos finitos pode

ser descrito como um procedimento sistemático através do qual

quelquer função continua é aproximada por um modelo discreto.

Esse modelo discreto consiste de um conjunto de valores da fun

ção em um número finito de pontos em seu domínio, chamados pon

tos nodais, conjuntamente com a discretização também do domínio

em um número finito de subdominios, os elementos finitos,conec

tados entre si através dos pontos nodais. A função é aproxima

da localmente em cada elemento finito por funções contínuas que

são definidas univocamente por seus valores, e possivelmente pe

los valores de suas derivadas até uma certa ordem, nos pontos

nodais conectados a cada elemento.

Um aspecto importante do conceito de elementos finitos

é que os elementos finitos podem inicialmente serem considera

dos disconectados para o propósito de aproximar a fur.ção local,

mente no elemento, independentemente do comportamento da função

em outros elementos.

Quando aplicado a problemas mecânicos estruturais, o

- 22 -

continuo é aproximado por elementos finitos, em cada um dos

quais todos os princípios mecânicos e propriedades do material

são modelados, e a função, deslocamentos, tensões ou ambos são

então aproximados localmente e seus valores interpolados a par

tir de valores nodais do elemento. Em seguida os elementos são

conectados através de um subconjunto de seus pontos nodais re

sultando em um modelo discreto com um número finito de graus

de liberdade que aproxima o continuo real de infinitos graus

de liberdade.

Se o conjunto de funções de interpelação escolhidas sa

tisfazem certos critérios de conpletividade e compatibilidade(9)

, é possível demonstrar que o comportamento do sistema dis

creto converge monotonicamente para o sistema continuo. Assim,

teoricamente, o discreto aproximará o continuo com um grau de

aproximação que se fizer necessário.

As equações do método dos elementos finitos podem ser

obtidas por uma variedade de caminhos. Neste trabalho é aproxi.

mado o campo de deslocamentos do elemento, resultando no chama

do modelo dos deslocamentos, para o qual resulta um sistema de

equações não lineares cujas incógnitas são os deslocamentos no

dais do contínuo.

0 elemento finito utilizado é bastante conhecido na li

teratura , tendo sido utilizado também em elastoplasticida

de ' i ü . o campo de deslocamentos no interior do elemento é

aproximado por funções lineares dos deslocamentos nodais,resol

tando em um elemento que satisfaz os critérios de completivida

de e compatibilidade necessários a convergência monotõnica. Al

guns detalhes de sua formulação são dados na seção seguinte.

2.5.1 - O Elemento Utilizado

0 elemento é o triangular com 3 nós e 2 graus de liber

dade por nó, esquematizado na figura (2.5.1.1). O campo de des

- 23 -

(o)

(b)

(e)

FIGURA 2.5.1.1 - Elemento finito triangular axissimétrico(a) Elemento de um sólido axissimétrico(b) Convenção de tensões e deformações(c) Representação bidimensional

- 24 -

locamentos no interior do elemento sendo aproximado por

u = ax+ a2r + a3 z

a r + o z

As 6 constantes a. podem ser colocadas em função dos desloca

mentos nodais

si - (ui, V *

Denominando i, j, m os 3 nós do elemento, os deslocamentos de

todos os seus nós são designados por

onde o símbolo e sobre o vetor indica valor nodal do elemento.

0 campo de deslocamentos interiores ao elemento podem ser escri

tos como

u = iu,v)t = I N,, I N., I N ue =N u e (2.5.1.1)|_- l ~ J - m j - - -

onde I é a matriz'identidade de ordem 2, e N^, Nj e N são as

funções de interpelação nodais dadas por

Ni = (ai + b i r + c i z ) / <2 A )' e t c

onde

ai = r j " z m " rm- zj

bi s zj " zm = Zjm

ci = rm " rj " rmj

- 25 -

na ordem cidica direta, e A é a área do elemento triangular.

As deformações infinitesimais no interior do elemento

serão

G = L U = L N u e = B ue (2.5.1.2)

onde L é o operador linear e B a matriz de deformação. Explici

tamente tem-se

"" n a

L =

3 r

1r

0

d3r

Bc z

c.

0

0

C.

m

r + Dj +

c. z a

- r - ° -F + bm

m

m

ra

A expressão do trabalho virtual para um elemento será,

utilizando a presente notação e a equação (2.4,8)

[ 6ufc b dV + í ou1 t dfl =t dfl = | ôeu o dVv

(2.5.1.3)

onde b é o vetor de forças de massa atuando sobre o elemento, t

as forças de superfície sobre o contorno do elemento.Usando as

- 26 -

expressões (2.5.1.1) e (2.5.1.2) nà (2.5.1.3) obtém-se, apôs

por em evidência os incrementos de deslocamentos nodais virtu

ais.

óue,t fv ü S avt |flNt o dV (2.5.1.4)

Como o principio dos trabalhos virtuais é válido para qualquer

incremento virtual não nulo de pequenos deslocamentos obtem-se

f Nfc b dV • f •* t dfl = f ç S•»» iv

(2.5.1.5)

Introduzindo a notação seguinte para os valores nodais do ele

men to

- I N* b ÓV; te = f N t. tj v _ - j^ - t d£2; f e = f Bfc o dV (2.5.1.6)

a expressão (2.5.1.5) torna-se

be + t

e = fe (2.5.1.7)

Os valores b e te são chamados de forças nodais equivalentes

do elemento, de massa e superfície, respectivamente. O vetor fe

são as forças internas nodais do elemento necessárias para e

quilibrar o campo interno de tensões.

A equação (2.5.1.7) expressa a condição de equilíbrio

do elemento em termos de forças nodais do elemento. Ela deve

ser satisfeita durante todo o processo de carga do sólido. Es

sa equação pode ser escrita

pe - fe (2.5.1.8)

- 27 -

onde Pe = b e + te reúne todas forças nodais equivalentes do ele

mento.

2.5.2 - Equações de Equilíbrio do Sólido

As equações de equilíbrio da estrutura são conseguidas

mediante a soma das contribuições de todos os elementos inci

dentes em cada nó, resultando nas equações de equilíbrio nodal

da estrutura. O processo de montagem dessas equações reveste-se

de duas preocupações. A primeira diz respeito a orientação das

quantidades vetoriais e tensoriais, ou seja, se os sistemas de

eixos de cada elemento possuem orientações distinta, cuidado

deve ser tomado para rotacionar as quantidades para um sistema

de eixos comuns. Para o presente elemento este problema é re

soivido adotando um único sistema de eixos para todos os elemen

tos coincidente coro o adotado para a descrição da estrutura.Pa

ra que isto seja realizado automaticamente é suficiente que se

defina univocamente a ordem de numeração dos nós dos elementos.

Adota-se aqui que esses nós devem ser numerados no sentido tri

gonométricô. A segunda preocupação diz respeito a identificação

inequívoca dos elementos incidentes em cada nó. Este problema

é tradicionalmente resolvido de forma inversa mediante a defi

nição de uma lista de conectividades pelas quais se define

quais os nós pelo qual o elemento se conecta a estrutura.Esses

nós recebem uma numeração seqüencial única para toda a estrutu

ra. Assim pode-se definir uma matriz de rotação X e uma

matriz booleana Le para cada elemento tal que a equação de equi

líbrio nodal da estrutura resulte.

Z L X P - Z L e Xe fe = 0 (2.5.2.1)1--- ! - - -

onde n é o número de elementos e Xe é, na nossa formulação a

matriz identidade, ou simplesmente

Ji • P-- f • 0 (2.5.2.2)

- 28 -

onde P e f são o vetor de forças nodais equivalentes aplicadas

ã estrutura e o vetor de forças nodais internos da estrutura,

respectivamente. O vetor ty de resíduos nodais deve ser ident_i

camente'nulo se a estrutura está em equilíbrio estático.

A solução de equação não linear (2.5.2.2) éa principal

preocupação desta tese. A não linearidade desta equação vem do

fato de que para calcular as forças nodais f é necessário de

terminar o nível de tensões de cada elemento. Se durante o pro

cesso de carga a estrutura permanece elástica linear pode-se

reduzir a equação (2.5.2.2) ã solução de um único sistema de

equações algébricas lineares, ou seja, pelo uso de (2.5.1.6),

(2.5.1.2) e (2.3.1.2) sob a forma matricial e não incrementai,

obtendo

P = K u (2.5.2.3)

onde

; L* f B D e B dV h 6 f =Z L e * X e Ke \ e > t ( 2 . 5 . 2 . 4 )

- ee a matriz de rigidez da estrutura, K a do elemento e n o numero de elementos.

Porém quando algum elemento plastifica durante oproce^

so de carga, para aplicar a teoria da plasticidade incrementai

desenvolvida na seção 2.3 a equação (2.5.2.2) deve ser escrita

sob forma incrementai

dip = dP - df = 0 (2.5.2.5)

ou

= dP - km. du = 0 (2.5.2.6)

- 29 -

onde K.J, é a matriz de rigidez tangente, com a mesma fona de

(2.5.2.4) porém substituindo-se a matriz D e pela corresponde»

te Dep dada P° r (2.4.6) para os elementos plastificados. A for

ma explicita da matriz de rigidez tangente l£ para o elemento

em estudo é dada na referência [11]. Ela pode também ser obti

da por integração numérica sobre cada elemento. Nesta tese am

bas as formas foram implementadas. As vantagens e desvantagens

das duas implementações serão discutidas no Capitulo V.

Não é numericamente possível nem economicamente viável

usar incrementos infinitesimais como indicado pela equação

(2.5.2.5). De fato, na prática os incrementos infinitesimals

são substituídos por incrementos finitos, tais que a equação

(2.5.2.5) transforma-se em

A* = AP - Af (2.5.2.7)

A equação acima em geral não é identicamente nula, fa

zendo-se então necessário usar algum procedimento iterativo pa

ra levar Ai|/ o mais próximo de zero quando se julgar convenien

te. Os métodos normalmente usados e o método proposto nesta te

se são discutidos nos capítulos seguintes.

Outro problema introduzido pela equação (2.5.2.7) em in

crementos finitos, dentro da própria teoria da plasticidade in

cremental, é abordado no Capitulo V.

- 30 -

CAPITULO III

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

3.1 - Introdução

Diversos algoritmos foram propostos na literatura para

a solução de sistemas de equações algêbricas não lineares. Ne£

te capitulo são revistos aqueles de maior sucesso no contexto

do método dos elementos finitos.

0 problema é encontrar uma solução do sistema de n equa

ções não lineares da forma

$ (x) = 0 (3.1.1)

em n variáveis x^. Não existe um método analítico geral para a

obtenção da solução exata . Portanto métodos numéricos de

vem ser usados para a obtenção de soluções com um pré-estabele

cido grau de aproximação da solução exata, que assume-se exis

tir. Na análise não linear pelo método dos elementos finitos,

uma forma explicita de ty (x) em termos de x não é em geral co

nhecida, entretanto, para um dado x, existe uma bem definida

seqüência de operações para avaliar ty (x). Assim, métodos nume

ricos são apropriados.

- 31 -

Neste trabalho usa-se o modelo dos deslocamentos, para

o qual a equação (3.1.1) é a equação (2.5.2.2) onde x são os

deslocamentos nodais do sólido discretizado.

= P - f(u) = P - K(u) u = 0 (3.1.2)

onde K(u) é chamada de matriz de rigidez secante, representada

na figura 3.1.1.

FIGURA 3.1.1 -Matriz de rigidez secante

para uma dimensão.

Neste capitulo discute-se os métodos de solução mais co

nhecidos da literatura mostrando as suas vantagens e limitações

e a necessidade de se buscarem métodos mais eficientes do que

os utilizados hoje.

3.2 - ü Processo Incrementai - Iterativo

Em geral uma análise não linear pelo método dos elemen

tos finitos é efetuada mais eficientemente usando uma formula

ção incrementai na qual as variáveis são atualizadas incremen

- 32 -

talmente a cada sucessiva etapa de carga, de modo a traçar o

curso completo da solução até o colapso . Nesta solução é

importante que as equações de equilíbrio sejam satisfeitas a

cada etapa de carga com exatidão suficiente. Se isto não ocor

re os erros podem acumular—se e levar a soluções posteriores

inaceitáveis com erros acumulados indetectáveis, e eventualmen

te a instabilidades numéricas, no caso de fortes não - lineari

dades.

Pode-se sempre conseguir uma solução precisa das equa

ções não-lineazes do método dos elementos finitos escolhendo -

se incrementos de carga suficientemente pequenos. Porém esta so

lução pode torna-se excessivamente dispendiosa devido ao grande

número de incrementos necessários .

Objetivando resolver o sistema de equações eficientemen

te, e simultaneamente manter o controle na precisão da solução,

deve-se empregar incrementos de cargas maiores, com o uso de mé

todos iterativos que assegurem uma solução precisa. Tal proces_

-so é chamado incremental-iterative

Dentro de um processo incremental-iterativo deve-se dar

atenção particular â escolha do número e tamanhos adequados dos

incrementos bem como ao processo iterativo associado. Atualmen

te pesquisas estão em desenvolvimento visando uma escolha auto

mática desses incrementos à medida que a solução avança

Nesta tese a seleção dos incrementos é feita antes do inicio

da análise, e discute-se apenas o comportamento de um processo

iterativo dentro de um incremento.

3.3 - 0 Método de Newton-Raphson

0 método usado mais freqüentemente para a solução de

equações não lineares do método dos elementos finitos é o meto

do de Newton-Raphson ou alguma modificação dele. A idéia do mé

- 33 -

todo é construir um node Io linear para • (u) no ponto u.

que se Au. e una pertubação de u., temosU5T

Auk

tal

(3.3.1)

onde f(u) deve ser continuamente diferenciavel tal que

3 • (u)

u u "(3.3.2)

é o Jacobiano de •(u) no ponto u. . Em seguida, como deseja-se

a raiz de 'Muk+1)» tem-se a partir de (3.3.1)

J(uk) (3.3.3a)

+ Au, (3.3.3b)

Desde que ufc+1 provavelmente não será a raiz de (3.1.2),

as equações (3.3.3) são aplicadas iterátivãmente a partir de um

ponto de partida uQ, resolvendo o sistema de equações indicado

em (3.3.3a) e atualizando o valor de u pela equação (3.3.3b) ,

constituindo assim o algoritmo de Newton-Raphson.

Aplicando este algoritmo a (3.1.2) identificamos

3 *(3.3.4)

ondeonde jç = Kt(uj,.) é a matriz de rigidez tangente de (2.5.2.6).

Nessa última equação desprezamos possíveis variações da carga

com os deslocamentos (carga conservativa), mantendo desta for(14)ma a Jacobiano simétrico

- 34 -

Aplicando o método a um processo incremental-iterativo

tem-se o seguinte algoritmo onde m indica o incremento e k a

iteração dentro do incremento.

ro(3.3.5a)

m mIr. i = U. + AU,

uk + Auk (3.3.5b)

com os seguintes valores iniciais para cada incremento.

u™ = u*-1 , fj = f 1 , K™ = K*-1 (3.3.5c)

A iteração termina quando um critério de convergência

apropriado é satisfeito.

A figura 3.3.1 é a representação gráfica do método de

Newton-Raphson para o caso unidimensional.

— • — •

/r r

.*-»

FIGURA 3.3.1 - Método de Newton-Raphson para o

caso unidimensional.

- 35 -

0 algoritmo descrito pode ser bastante eficiente em

certas análises não lineares especificas. As principais vanta

gens do algaritmo são enumeradas abaixo Í 1 0 » 1 2 - ! © ) ^

1 - Pode-se demonstrar que se i|>(u) é continuamente

diferenciãvel e se o Jacobiano na solução é não singular e pos

sui certas condições de continuidade em um conjunto aberto em

torno da solução uA, então a seqüência fu^l gerada pelo método

de Newton-Raphson é bem definida e converge quadraticamente pa

ra u*, ou seja, existe um 0>O tal que

1 - u J | < 6 1 u k - u# II'

Essa característica de convergência quadrática local é

a principal vantagem do algoritmo.

2 - Em problemas estruturais J (u ) é a-matriz de rigidez

elástica. Essa matriz possui um certo grau de esparsidade que

geralmente é levado em consideração na análise. Um fator impo£

tante é que J(um) mantém o mesmo grau de esparsidade de J(u ),

não requerendo memória adicional para o seu armazenamento.

Por outro lado o método de Newton-Raphson possui sérios

inconvenientes:

1 - A cada iteração a matriz de rigidez tangente KÍ" pre

cisa ser atualizada e decomposta para resolver (3.3.5a).Na aná

lise elastoplástica isto ocorre em todas as iterações após o

escoamento do primeiro ponto do sólido. Esse processo é computa

cionalmente dispendioso. Para uma solução eficiente é necessá

rio contrabalançar o custo com relativamente grandes incremen

tos. Porém em análise elastoplástica o tamanho do incremento é

restrito por considerações de estabilidade e precisão do algo-

ritmo elastoplástico .Além do mais, aproximações imprecisas

para os deslocamentos nas iterações podem introduzir erros si£

nificantes porque as propriedades do material dependem da his

tória das tensões e deformações.

- 36 -

2 - Quando a estrutura aproxima-se do colapso o Jacobia

no torna-se mal condicionado e a iteração diverge repentinanen

te.

Na seção seguinte discutiremos algumas modificações no

método de Newton-Raphson propostas na literatura que objetivam

eliminar ou diminuir as desvantagens do método.

3.4 - O Método de Newton-Raphson Modificado

Para reduzir o número de avaliações e decomposições da

matriz de rigidez, tem sido proposto ~ que a matriz de ri

gidez seja reavaliada apenas em determinadas iterações pré-fi

xadas. Chamando K esta matriz o algoritmo de Newton-Raphson mo

dificado torna-se

K . Auk = - $5 (3.4.1a)

com os seguintes valores iniciais para cada incremento

um um-um = um-\ fj = f-1 (3.4.1c)

Uma das possibilidades mais usadas é fazer K = KQ, a ma

triz elástica inicial. Esse método é também chamado de método

da tensão inicial. A vantagem deste esquema é que a matriz pre

cisa ser montada e triangularizada apenas uma vez, reduzindo

bastante o custo por iteração. Isto se dá ãs custas de uma con

vergência apenas linear, ' ou seja, existe um 0 < B < 1 tal

que

- 37 -

se o método convergir. Como conseqüência o número de iterações

por incremento pode ser excessivo. Um algoritmo para ser comp£

titivo deve ter no mínimo convergência superlinar .As obser

vações píáticas mostram que perto da solução, quando J(u^) é

singular, o método converge demasiadamente lento, quando con

verge.

Uma vantagem deste método é que a matriz de rigidez é

sempre não singular e bem condicionada.

Para melhorar a taxa de convergência do método é comum

atualizar K no início de cada incremento: K = K m . Alguns au(4) - -

tores sugerem apôs a primeira iteração de cada incremento pa

ra captar em K novos elementos plastificados: K = K1?. Esses e^

quemas geralmente diminuem o número de iterações por incremen

to, às custas de tantas montagens e decomposições, quantas fo

rem as atualizações. 0 número de atualizações da matriz de ri.

gidez para um custo mínimo é dependente de cada problema,e ain

da não se conseguiu automatizar o processo de atualização de K.

Alguns autores ' tem proposto o uso de aceleradores

de convergência ao método de Newton-Raphson modificado. Entre

tanto, tais aceleradores apresentam em geral problemas de diver

gência de solução. Nenhum deles parece apresentar garantias de

convergência

3.5 - Outros Métodos

Diversos outros métodos foram utilizados para a solução

alemãs

demos citar

de problemas não lineares em elementos finitos. Entre eles po(12,18)

1 - Método puramente incrementai ou incrementai conven

cional.

- 38 -

2 - Método incremental modificado

3 - Incremental auto-corretivo de primeira-ordem

4 - Runge-Kutta de quarta-ordem

3 - "Predictor - corrector" de Hamming

6 - "Continuations Methods"

7 - Métodos de minimização

8 - Métodos Quase-Newton

Alguns desses métodos (1,2,3) são ãs vezes usados para

estimar o curso da solução de ur novo problema no qual se des

conhece o grau de não linearidace ou o comportamento da estru

tura, e em geral não se tem garantias da precisão da solução

ou mesmo da convergência.

Outros (4 e 5) comportam-se muito bem em algumas aplica

ções, porém muitas vezes ãs custas de múltiplas avaliações da

função i/Mu) em cada iteração podendo surpreender com o custo

total excessivo ou mesmo com divergências.

Os métodos que se enquadram em 6 e 7 estão hoje em con

tínua evolução, merecendo pesquisas posteriores, e alguns dt;j.es(12)parecem promissores

Os métodos classificados como Quase-Newton são o objeto

deste trabalho e são discutidos no capítulo seguinte.

- 39 -

CAPÍTULO IV

O MÉTODO QUASE-NEWTON

4.1 - Introdução

Neste capítulo discute-se uma classe de métodos chamados

pelos nomes de Quase-Newton, secante, métrica variável, modifi- (19)cação ou atualização . Tais métodos surgiram da idéia de Da

vidon em otimização e Broyden em equações não lineares

de aproximar o Jacobiano (a matriz Hessiana em otimização) de

uma maneira simples em cada iteração, em lugar de recalculá-lo

(método de Newton-Raphson) ou mantê-lo fixo (método de Newton

-Raphson modificado).

A idéia vem do fato de que a atualização do Jacobiano

numa iteração requer 0(n3) operações, onde n é a sua dimensão,

enquanto é possível aproximá-lo a partir da iteração anterior

com apenas 0(n2) operações. 0 preço pago por isto, é reduzir a

taxa de convergência de quadrática para superlinear.

0 objetivo deste capítulo é apresentar os fundamentos

teóricos dos métodos Quase-Newton juntamente com uma revisão da

literatura, principalmente no que diz respeito ao seu uso no

no método dos elementos finitos e em particular ao método usa

do nesta tese, conhecido como BFGS.

4.2- A Equação Quase-Newton

Como no método de Newton-Rãphson parte-se de um modelo

linear local para a função \(i (u), no ponto u, .

Na impossibilidade de avaliar o Jacobiano J, , = J (u. .)

procura-se uma boa aproximação Alc+^. Existem muitas possibili

dades na escolha da aproximação A^+i para o Jacobiano. Nos mé

todos quase-Newton A^+^ é escolhida satisfazendo (4.2.1) iden

ticamente, ou seja

que é geralmente escrita na forma

*k+i- ?k • yk <4-2-3)

onde y^ = ty, , - ip, e s. = u. , - u, . Esta equação é chamada

de equação quase-Newton ou equação secante. Como no algoritmo

de Newton-Raphson o algoritmo quase-Newton gera uma seqüência

de vetores u, , que espera-se convergir para a solução u# do

problema i|>(u*) = 0, porém usando em cada iteração uma aproxima

ção A, , para o Jacobiano Jk+1/ aproximação esta que deve sa

tisfazer a equação quase-Newton (4.2.3).

No caso unidimensional, n=l, a equação quase-Newton de

termina unicamente A k + 1 = yk / sk, constituindo-se no conhecido

método secante, figura (4.1.1). Para os casos n>la equação qua

- 41 -

se-Newton não determina A k + 1 unicamente. Na verdade, se s^ i 0

existe um subespaçc afim de dimensão n(n-l) de matrizes sati£

fazendo (4.2.3)

#

Os algoritmos quase-Newton diferem entre si pela manei

ra de escolher a aproximação A k + 1 de J^+i'0 caminho mais imedia

to para escolher A k + 1 é exigir que ela satisfaça a equação qua

se-Newton também em iterações anteriores. Pode-se mostrar

que neste caso, embora a taxa de convergência seja teoricamen

te boa, o problema resultante é mal condicionado enecessita-se

n2 posições de memória adicionais, tornando o algoritmo mal su

cedido nas aplicações.

Existem outras possibilidades na escolha de Ajç^. As

mais bem sucedidas, conforme registro na literatura são discu

tidas na seção seguinte.

p

fb•B

//

/

t /

/ / / i

/ // /

/ /& ir 1

Jrr

• —

1»k

¥k •*hU

FIGURA 4.1.1 - Método Quase-Newton no ca

so unidimensional.

- 42 -

4.3 - As Atualizações Quase-Newton

0s. procedimentos para gerar A. , mais bem sucedidos ba

seiam-se no fato de que a única informação disponível após ca

da iteração é a equação quase-Newton, não se justificando por

tanto diferenças drásticas entre A, e A, ,, devendo-se preser

var tanto quanto possível as informações contidas em A,. Basea

dos neste principio o procedimento seguido é obter A. , a par

tir de A, , adicionando—se a esta última termos corretivos visan

do atualizar a aproximação do Jacobiano com base nas informa

ções contidas na equação quase-Newton.

A atualização mais seriamente usada na literatura para

a solução de sistemas de equações não lineares é a devida a

Broyden ' . Pelo menos duas maneiras bastante intuitivas

existem para desenvolver a atualização de Broyden.

No primeiro desenvolvimento parte-se da hipótese que qual

quer aproximação do Jacobiano que satisfaz a equação quase-New

ton é lima boa candidata para A, ,. Desejando-se preservar tan

to quanto possível as informações contidas em A,f Broyden pro

pôs que as duas matrizes difiram apenas de uma de posto um, ou

seja

A k + i - A k • íic- YÊ lA-2-1)

onde w, e v. são vetores n-dimensionais. Levando esta equação

na equação quase-Newton obtém-se

Y k ; k ? k * 0 (4.3.2); , v . s

-k ?k

A aproximação A k + 1 tem então a seguinte forma geral pa

ra atualizações de posto unitário

- 43 -

(4-3-3>

7I-k 3

Qiiando vk.s, = 0, a equação (4.3.1) ê identicamente nu

Ia e a correção não deve ser feita. Permanece a questão de de

terminar o vetor y^. Como após a k-ésima iteração á única infor

maçãc adicional é a direção determinada por s^, Broyden argüiu

que não existe qualquer razão para a transformação A^+j dife

rir de A^ na sua aplicação ao complemento ortogonal de s^. Por

tanto, se z^ é um vetor n-dimensional ortogonal a' sk, a candi

data a A ^ i , deve satisfazer

4-

-k + 1 fk ' VV fir ' zk * fk ~ »••.->.*i

Substituindo (4.3.1) nesta equação tem-se

(w vj). z = 0 , s}. Z. = 0 (4.3.5)

que determina unicamente v, = s,. A atualização de Broyden tem

assim a expressão recursiva

tI V — A <5 I <;•I\r " V Ir' V

A, . = A. + T (4.3. o)"JC + X •* JC "C

O algoritmo de Broyden em sua forma mais básica pode

ser escrito como:

Dados: u , , A , para k = 0,1,...

Resolva Ak §k = - ^k para §k 14.3.7)

Atualize u k + 1 = uk + § k

Calcule yk

- 44 -

(v " PL. S \ sAtualize A^ , = A. + - ^ I* " k — —

A expressão de A k + 1 pode ser simplificada notando as

definições de y. e de §. , para

?k ?

Esta última expressão não envolve o produto de unia matriz por

um vetor e é portanto levemente mais econômica. Entretanto, é

necessário decompor Ak+j a cada iteração. Formas mais econõmi

cas de atualizações serão desenvolvidas mais adiante.

Pode-se chegar ao método de Broyden de uma forma mat£

maticantente mais rigorosa. Ê possível demonstrar ' que a

atualização de Broyden é um mudança mínima de A. consistente

com a equação quase-Newton, e se a mudança '.Ak+ - A^) for me

dida na norma de Frobenius, ela é única. Ou seja, a eq (4.3.6)

é uma solução para o problema

Minimizar llAv+, - A. fl

Ak+1 (4.3.9)

Submetido a: Ak+1- sR = yR

onde || . || significa qualquer norma matricial tal que || A. B | <

II A II- II § II ' e' em especial, se || . || for a norma de Frobenius:

HA,, |U il I | A , J 2 ) l/> (4.3.10)

então a solução é única.

- 45 -

£ possível mostrar que se o valor inicial u for su

ficientemente próximo da solução u A, se J(uA) não for singular,

e se A for suficientemente próxima de J(u o), então a seqüência

converge para u A superlinearmente, ou sejaí U

uk+l " u * "

Este tipo de convergência é em geral obtida nos métodos

quase-Newton . É possível demonstrar também que A. não con

verge em geral para o Jacobiano da solução J(u*),'e que uma con

vergência no mínimo superlinear é obtida se A. convergir para

J(uA) apenas ao longo das sucessivas direções s. do processo

iterativo, ou seja:

|| I \ - J(u.) ] s ||lim — — — = 0 (4.3.12)

O método de Broyden tem sido extensivamente empregado na

literatura. No método dos elementos finit^os sua aplicação tem

sido bastante limitada, principalmente pelo fato de que embora

partindo de uma matriz A = K simétrica, a matriz aLualizada

não é mais simétrica. Isto significa a necessidade do dobro de

memória computacional, aumentando o custo total da análise.

No contexto da Mecânica dos Sólidos o fato de que o Ja

cobiano é simétrico é equivalente a ip(u) ser gradiente de algu

ma função escalar II (u). Uma atualização que preserve a proprie

dade de simetria contida no Jacobiano deve ser portanto prefe

rida.

É fácil ver que se a atualização é de posto unitário e

iji. , não é colinear com s, (problema não linear) a única forma

de manter a simetria é com v^ = yk - A^ sk na fórmula geral

(4.3.3). Esta atualização simétrica de posto um foi primeiro a

presentada por Davidon , e tem a forma

- 46 -

. . + % k h ) k j k / _ k+l & 1 < 4 , „ .A., = K* r = \ • —r (4.3.13)

Esta atualização tem apresentado instabilidades numéri

cas nas aplicações. Tal dificuldade tem motivado a procura de

outras atualizações simétricas.

Dentre as atualizações simétricas quase-Newton, a devi

da a Powel tem merecido destaque na literatura. Ela corres

ponde ã versão de posto dois do método de Broyden. Para obter

sua forma simétrica, Powel projetou ' , com a norma de Fro

benius, a atualização de Broyden, eq.(4.3.6), no subespaço das

matrizes simétricas, isto eqüivale a tomar

(?k " ^k sk ) sk} ^ +

somar com sua transposta e dividir por dois, obtendo

Obviamente (A k + 1 ) 2 é simétrica, poréra não satisfaz a

equação quase-Newton. Continuando o processo no entanto, para

m = 1,2,..., tem-se

sk

m+1 J

Powel mostrou que este processo converge para

(4.3.14)

- 47 -

que satisfaz a equação quase-Newton. Esta expressão é chamada

de atualização simétrica do Powel e Broyden (PSB) . No desenvol.

vipento, pode-se provar que cada lAk+l*2m+l ® a m a t r i z *Jue "^is

se aproxima de (A^+i)5_ satisfazendo a equação quase-Newton, e quee a simétrica mais próxima de (Ak+^) 2m+^-£ possível

também provar que se s. ^ 0, a expressão (4.3.14) é a solu

ção do problema.

Minimize

Ak+1Submetido a: AJc+1. sk = yk, ÍAj^ ~ A^) simétrica (4.3.15)

As características de convergência do PSB são as mesmas do mé

todo de Broyden.

Este método tem no entanto um inconveniente quando a

plicado a problemas de Mecânica dos Sólidos.A matriz de rigidez

tangente que se está querendo aproximar, além de simétrica épo

sitiva definida, pelo menos até quando a estrutura não atingir

o colapso, ou seja, enquanto a curva carga-deformação for a£

cendente. Isto significa que o trabalho realizado por um incre

mento de carga é positivo. Usando a atualização (4.3.14)não se

tem garantia que partindo de A^ positiva definida obtem-se A k + 1

também positiva definida. Existem atualizações quase-Newton que

preservam a simetria bem como a positividade da matriz, e devem

de preferência serem usadas. Na próxima seção será discutido o

método usado nesta tese que satisfaz estas duas exigências.

4 . 4 - 0 Método BFGS

Do exposto na seção anterior conclui-se que dados § k^0,

yk e Ak simétrica e positiva definida, o objetivo deve ser en

contrar uma matriz A k + 1 que preserve a simetria e positividade,

- 48 -

além de satisfazer a equação quase-Newton uma vez que desta for

ma tem-se alguma garantia de proximidade entre A. 1 e o Jaco

biano J^^j- 0 método usado nesta tese para atingir esse objeti

vo é corfhecido na literatura como BFGS por ter sido proposto

independentemente por Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno em

1970. Em problemas de otimização é geralmente reconhecido como

a melhor atualização ' . Nesta seção o método é desenvolvi

do visando sua aplicação às equações não lineares do método dos

elementos finitos.

4.4.1 - Desenvolvimento do Método

A matriz A, , será simétrica e positiva definida see só

se existir alguma matriz X, . não singular tal que

Ak +1 - *k+l & 1 (4.4.1.1)

A equação quase-Newton torna-se portanto-

2Í+r ?k - Xk (4.4.1.2)

Pode-se mostrar que se s^ i 0, então X. existirá se e só se

s v. y. > 0. Este é o caso em elastoplasticidade mesmo quando o(5)solido sofre descarga

No início do primeiro incremento de um método quase-New

ton parte-se seir.pre com a matriz de rigidez elástica K° que é

justamente a Jacobiano J = J(u = 0). Para determinar o primei

ro incremento de deslocamento §o, necessita-se resolver o siste

ma de equações dado pelo algoritmo básico (4.3.7). Escolhendo

o método de Cholesky, decompõe-se inicialmente o Jacobiano em

JQ = L Q L onde L é uma matriz triangular inferior. Assim, na

K-esima iteração tem-se

- 49 -

= ífc ¥* (4.4.1.3)

Desta forma pode-se reescrever (4.4.1.2) como

X k + 1. yk = yk (4.4.1.4)

X k + 1 . sR = yk (4.4.1.5)

Em lugar de aproximar diretamente o Jacobiano por A, ,,

procura-se uma aproximação X k + 1 para Lk de (4.4.1.3), satisfa

zendo a equação quase-Newton (4.4.1.4). Dos resultados da seção

4.3 conclui-se que é conveniente usar o método de Broyden para

obter X, , tão próxima de L k quanto possível:

X. , = L. + — ^ - ^ — — (4.4.1.6)

~k ~k

O v e t o r yk deve s a t i s f a z e r s imultaneamente a equação

( 4 . 4 . 1 . 5 ) . Levando ( 4 . 4 . 1 . 6 ) em ( 4 . 4 . 1 . 5 ) t e m - s e

t t (vk " Lk sk> %v - V <! - T « ? + v ~ " ~ Í4 4 1 71

Ir ~ V * l V- ~ V V V J. i f l .H.J. . /)

-k -k

Esta equação pode somente ser satisfeita se yk for colinear com

Lk sk, ou seja,

-k = ak i*k -k ' ak e R (4.4.1.8)

Substituindo-se (4.4.1.8) em (4.4.1.7) <*k é determinado

yk sk yk ska^ = ~ K—Z* = ~K ~K (4.4.1.9)

Como Ak é positiva definida e §k + 0 então §k Ak. §k > 0,

- 50 -

e a equação (4.4.1.9) tem solução real já que y£. s^ > 0. Esco

lhendo-se a raiz positiva em (4.4.1.9) e levando-a a (4.4.1.8)

obtem-se

(4.4.1.10)

A expressão final para X, 1 será portanto

X. . « L. + - ^ "". ~ " V ~ — - J V ~~ (4.4.1.11)" " o. s* L. L* s.

k -k -k -k -k

Na implementação do algoritmo a matriz At, deve ser ar1 -K -

mazenada em -=- n(n+l) posições de memória, e a matriz L, deve

ocupar a mesma área de A ,, tomando-se assim partido da simetria.

Entretanto X ^ ^ obtida por (4.4.1.11) não é simétrica nem trian

guiar. Considerando-se que se deseja L^+j e não X.+,, resta a

questão de como obter L, , sem efetivamente gerar X^ i, com o

mínimo de operações. Nesta tese esta questão é resolvida utili^

zando-se a fatorização Q R de XJt+^ a partir da fatorização Q Rde Ljç, onde Q é uma matriz ortogonal e R uma matriz triangular

superior. O procedimento seguido é descrito a seguir

Pode-se reescrever (4.4.1.11) sob a forma (4.3.1)

= L. + w. tj (4.4.1.12)

onde, usando (4.4.1.6)

w k = yk - L k vk (4.4.1.13a)

t. = -r^— (4.4.1.13b)

Ú Yk

Deseja-se a fatorização Q^i Bk+i ^ e xk+l*

zação é em geral obtida em 5n V3 operações, o que seria excess

- 51 -

sivo. No entanto pode-se fazer uso de particularidades de

(4.4.1.12) para obter diretamente L^i de (4,4.1.12) em apenas

0(n2) operações. Para isto, primeiramente note-se que Lt de A, =t - ~ - t

^k ^k e *in*-ca assim a decomposição Q^ Rj,_ = L^ fornece R^ = Lk,

Qj. = I, uma vez que Rj. também é triangular superior. Pode -se

portanto escrever a fatorização Qjt+i ?ir+i e X, icomo

- 9k ?

e obter a fatorização Q R de Rk + t

(4.4.1.14)

onde, por (4 .4 .1 .14) tem-se Q = Q^+i e R

pode ser imediatamente i d e n t i f i c a d a como

^k+l = ?k+l 5ç+l = Pk+1 9k+l 9k+l ?k+l = ?k

(4.4.1.15)

A matriz L, ,

como segue

k+1 íík+1

(4.4.1 .16)

jã que ainda aqui a decomposição A, , = tk+1 Lk+1 ® única.

Desta forma, dada a fatorização

L^, Q. =

wv) onde L

de L, , onde R. =x ^k ^?k + 1kobtem-se a fatorização

R, ,. Não é necessário formar explicitamente a

matriz Qk+1-

O procedimento seguido na obtenção de R. -, usa sucess^

vas rotações de Jacobi. Uma rotação de Jacobi é uma matriz o£

togonal P(i,j,ct,B) de dimensão nxn, com a estrutura:

- 52 -

1

a

• 1

1

. . ã

(4.4.1.17a)

onde õ e 6 são escolhidos para zerar o elemento (i,j) da matriz

pela qual P(i, j,a,g) premultiplicar, e mudando apenas duas linhas

da matriz. A rotação de Jacobi é na verdade uma rotação bidi.

mensional dentro de uma matriz n-dimensional, n 12. Os valores

5 e $ são definidos tais que, para quaisquer a e 3 reais

a = a

V - B2, B = * 0 (4.4.1.17b)

As rotações de Jacobi são aplicadas para tornar

uma matriz triangular superior. Como R já é triangular

superior, sucessivas rotações de Jacobi são aplicadas para ze

rar as linhas n, n-1, ..., 2 de t w . isto é efetuado com (n-1)

rotações de Jacobi aplicadas ao vetor t, zerando sucessivamen

te os elementos n, n-1, ... 2 desse vetor, ou seja

t ; t=(

(4.4.1.18)

- 53 -

Essas rotações são simultaneamente aplicadas aR^.O efei

to disto é transformá-la em uma matriz Hessrmberg superior R^.

A matriz total resultante Hk = (£k + ( |j t \ 2 0) vfc) é então

transformada em uma matriz triangular superior com mais (n-1)

rotações de Jacobi:

(4.4.1.19;

onde h. . é o elemento (i,j) de H. .1,3 -K

A fatorização descrita requer 0(nJ)operações. Um número

de operações maior é nccessãrio para formar os vetores t e w.

Para obtê-los em 0(n2) operações eles são escritos da seguinte

forma

?k = ?k - ak ^k <?* ?k> (4.4.1.70a)

"E V

ou = . ~\ ' (4.4.1.20c)

0 procedimento descrito foi o implementado nesta tese. A

principal vantagem é a redução do número de operações. Porém,

possui a desvantagem de não aproveitar a cara terística de ma

triz banda existente na matriz de rigidez. Na seção seguinte

discute-se sumariamente outras implementações já usadas na li

teratu; a do método dos elementos finitos.

4.4.2 - Outras i: olementações

Utilizando as equações (4.4.1.11) e (4.4.1.1) outem-se

A k + 1 = Ak -i - ^ — — - ~ ~* ~r ^ — (4.4.2.1)Yi* S, s. A,

Esta forma de atualização direta de A, requer 0(n3} operações

para sua impleme itação, não sendo em geral usada.

Ê possivel também implementar o BF' S atualizando a in

versa de Av. A forma inversa é obtida com 4.4.;.. 12) e a fórmu(19) ~~

Ia de Sherman Morrison - Woodbuiry ,

(M + u y*)" 1 = M"1 - - r M"1 u vt M"1 , M . Rnxn, não singular

o =

e, após substituição em (4.4.1.1) produz a forma '

w. = ~k (4.4.1.2)

Yk ?k

l. A, s. - -'.~k -k -~K

0 incremento de deslocamentos em cada iteração é obtido

diretamente

?k*i = - (? + k YK> - - - (í + o Ú] Í 1 (í + Yo é - < i + Yk $

(4.4.2.3)

Esta forma de implementação permite aproveitar a carac

terlstica de banda da matriz A^ = K°. Os vetores v, e v, de ca

da iteração são armazenados em memória secundária para uso nas

- 55 -

iterações subsequentes em (4.4.2.3). : s ^ forma é bastante con

veniente em sistemas com grande númerj tt graus de liberdade.

No entanto, quando o número i'e it rações totais cresce énece£

sário resolver o Jacobiano p; ra continuar o processo iterati

vo. O tempo de acesso â memória secundária pode vir a se tor

nar excessivo, dependendo do aroiente corr mtacional. Este es

quema tem sido usaâo com sucesso por alguns aurores

Em vez de usar a decomposição QR como na s cão ante

rior é possível usar a decomposição de Cr -mt A^ = L^ Djç L, e

atualizá-la em 0(n2) operações. Este esqu ma foi usado pelos

autores da referência [16] em análise não linear geométrica e

física, sem plasticidade.

- 56 -

CAFÍTUL V

IMPLEMLNTAÇ&C E LESEMPENHO

5.1 - Introdução

O principal objetivo deste capítulo é comparar o desem

penho do método proposto com o Método de Newton-Raph >on e suas

variações. O desempenho de um algoritmo e'sta intimamente rela

cionado com a sua implementação computacional. Faz-se necessá_

rio portanto anteceder a medida do desempenho por uma apresen

tação dos principais aspectos ligados ã implementação dos algo

ritmos nesta tese.

Neste capitulo inicialmente descreve-se os aspectos re

levantes do elemento finito triangular axissimétrico implemen

tado, seguido do algoritmo elastoplastico empregado. São a se

guir sumarizadas as implementações dos algoritmos para a solu

ção do sistema de equações não lineares e o critério de conver

gência empregado. Finalmente são efetuadas comparações nume ri.

cas entre os algoritmos, com deis exemplos de aplicação.

5.2 - 0 elemento finito triangular axissimétrico

- 57 -

A implementação do elemento passa por 3 importantes f£

ses: a determinação das forças nodais equivalentes às forças

distribuídas externas, ou seja e determinação cos valores b ee 't àe. equação (2.5-1.6); a segun.a fase e a determinação da m£

triz da rigidez do elemento in luíàa na expressão (2.5.2.4); i

terceira fase é a determinação das fon as internas fe da égua

ção (2.5.1.6), a partir do nível de tensões do elemento apôs

uma iteração, para a determinação to vetor de resíduos \\>.

A primeira fase não oferece qua.1 quer dific Idade, e pode

ser obtida explícitament'. , sem causar . aalquer incove iiente nu

mérico.

A expressão explícita dr matriz de rigidez do elemento

quer para o comportame: to elástico ou elastoplástico foi obtida

na referência [11} e implementada nesta te e. O principal inco

veniente da forma explícita são as express es dependentes de

termos coir. logarítmo natural da coordenada radial causando pro

blemas numéricos. Implementou-se também o cálculo da matriz de

rigidez por integração numérica (Gauss - Radan - Hammer [9]).

Não se obteve ainda a forma explícita para o cálculo das

forças internas f para este elemento. Uma expressão aproximada

pode ser obtida supondo-se as tensões constantes ao longo do ele

mento. Observou-se neste trabalho que esta prática introduz re

síduos adicionais em ty com erros da ordem de 1%. Implementou-se

também a obtenção de f por integração nur, ?rica, eliminando-se

esta dificuldade.

Como resultado das aplicações numéricas deste trabalho

sugere-se que a matriz de rigidez e as forças internas sejam ob

tidas por integração numérica. 0 custo computacional adicional

é irrisório, uma vez que as quantidade:; sêo calculadas com ap£

nas um ponto de integração no domínio (centroido,.

- 58 -

5.3 - O Algoritmo de Elasto-Pasticidade

O «algoritmo empregado é bem descrito na referência [4].

Aqui sumariza-se a descries :> do algoritme e suas particularida

des para o elemento em cues cão.

Durante a aplicação ce um incremento de carga um elemen

to inicialmente elástico pode pie :tificar. O presente elemento

plastifica integralmente uma vez rue apenas um ponto de integra^

ção é usado para o domínio. Para qualquer incremento de carga

é necessário determinar que proporção é puramente elástica e

qual parte da carga produz deformação plástica,e assim ajustar

os estados de tensões e defornações v.ria ido metodicamente as

componentes destes tensores até que ai leis constitutivas e o

critério de escoamento sejam satisfeitos.

0 procedimento adotado é o seguinte:

Eta >a a - As forças aplicadas na k-ésima iteração são as for

ças residuais i|i, dada pela equação (3.1.2)que pro

duzem o incremento de deslocamento Au, e o incremen

to de deformação de*4 = B dui,. do elemento.

k e i .Etapa b - Compute as mudanças incrementais dge = D deK, onde

o subscrito e indica que está-se assumindo comporta

mento linear.

Etapa c - Acumule as tensões totais do elemento no controidek k—1como oa = o +

na iteração k-1.

k k—1 k k—1como o^ = o^ + do onde o sao as tensões finais

Etapa d - Esta etapa depende se o elemento plastificou ou não

na iteração anterior (k-1). Para determinar isto ve

rifique se

- 59 -

ond? õ é a tensão equivalente o^a tensão de es

coamento instantânea, e r a t :nsão de escoamento

inicial co material. A ê parâmetro de endureci

" . mento liaear da equaçêo (. 3.3.7) . êp~ é a defor

inação efetiva exi tem a ap5s a iteração (k-1) . Se

a resposta é pos: iva segue-se o procedimentc abai.

so, se negativa o d.2;

Etapa d. 1 - fcsste caso o elemento plastificou na iteração ante—k k—1 k

rior. Verificar se oe > onde õe ç a tensão ef£

tiva baseada em ge. Se resposta é negativa signi

fica que o elemento est descarregando (penetrando

na função de fluência) elasticamente, vã para aeta

pa g. Se a resposta é positiva o elemento além de

ter plastificado na iteração anterior, continua a

plastificar, já que as tensões continuam aumen.an

do. Assim, todo excesso de tensões deve ser reduzi

do à superfície da função de fluên ia, conforme fi

gura (5.3.1a), com o fator R, que aefine a porção

das tensões que devem : er modificadas para satisfa

zer o critério de escoamento, igual a 1.

Etapa d.2 - Neste caso o elemento não escoou previamente. É ne

cessário verificar se ele escoou durante a presenk v -~te iteração, para isto verifique se õe > o

1 Se nao

o elemento ainda permanece elástico, vã para a eta

pa g. Se positivo então o elemento escoou durante

a presente iteração, conforme figura (5.3.1b).

A parte das tensões maior que o valor de escoamen

to deve ser reduzida à superfície de fluência.O va

lor de R é dado por

AC " _k _k-I

- 60 -

(b)

FIGURA 5.3.1 - Mudança incremental nas tensões.

(a) Em um elemento já plastificado

(b) Em um elemento elást ico.

- 61 -

Eta^a e - Para elemento plastificado calcule a parte das ten

soes totais que satisfazem o critério de escoamen

to como ç*"1 + (1-R) dok, ou seja f (o14"1 + (1-R).

' . dgk) = 0

Etapa f - A parte remanescen e das tensões, R dçe, deve ser

diminuida de alguma forma. Assim o ponto A deve ser

trazido ã superfície da função de f uêrcia permitiri

do que a deformação plástica ocorra N carregamen

to a pa: tir do ponto C o ponto de tensão move - se

elasticamente até a superfície de fluência em B. S*

o comportamento fosse elástico ele iria até o ponte

A. Poré.r. como a condição de escoamento deve ser SÍ

tisfe:.ta, F = 0 , o pent o de tensão não deve me /er-sc

para fora da superfície de fluência. Como consequên

cia o ponto de tensão não pode cruzar a superfície

de fluêncie a .é que, tanto as equações de equilíbrio

como as equações consti' -.*ivas sejam satisfeitas.

Das equações (2.3.1.6), . 3 . - 7 ) , (2.3.1.8)e (2.4.5),

sob forma matricial, poàerr.os \ scre^er:

de " = D e p dek = De dek - dX Dea

ou

ok = ok"1 + dak - dX De a

que são as tensões totais satisfazendo as condições de elasto-k-1

plasticidade quando as tensões sao incrementa ;ac a partir de o

Pelas figuras (5.3.1 a e b) note-se que o ponto de tensão sai day

função de fluência devido ao tamanho finito de do^. Se o incre

mento de carga for suficientemente pequeno isto poãe ser prat_i

camente eliminado. Para incrementos um pouco maiores o ponto o

pode ser trazido â superfície por escalonamento:k -. ok. E- , o1'. - 2 - ^ 2

V Jok -. ok. E- , o

V 7 J

reduzindo proporcionalmente caca componente o . No

te-se que o principio de normalidade é mantido. Se

grandes incrementos são usados o processo perde e£

tabilidade em sucessivas iterações (grandes impre

cissões são acumuladas). A técnica de sub-incremen

tos deve ser usada para permitir maiores increir.en

tos.

0 processo é descrito pela figura (5.3.2), onde o

ponto de tensão é trazido à superfície de fluência

por estágios (m ertágios). Ao final do último está

gio faz-se uir. escalonamento como já descrito. 0 pro

cesso pode ser melhorado se o escalonamento for f ei.

to após cada ciclo.

Quanto maior o número de estágios, maior <•• custo

computacional. Um número de estágios m que procure

balancear custo e eficiência p^e ser dado pc -:

m 8 + 1

FIGURA 5.3.2-Processo de sub-incremento, para reduzirum ponto de tensão â superfície de fluência.

- 63 -

k k—1Etapa g - Para elementos elásticos, apen; calcule 0 = 0

Etapa h -• A última etapa t onsis^« em obter fe pela equação

(2.5.1.6), de preferência por integração numérica

(fer = B* ok dv

5.4 - Os métodos de análise não .inear

Na implementação dos métodos tipo Newton-Raphson descri,

tos no Capítulo 3 seguiu-se procedimentos convencionais.Na arma

zenag-em da matriz de rigidez tomou-se partido de sua caracterís

ticÍ de banda mantida durante toda a análise. O algoritmo uti^i

zac o para a resoluçã > do sistema de eqi ações não-lineares algé

bricas simultâneas foi o de Crount (decomposição LDL )

No método BFGS não se pode tomar partido da característi

ca de banda original, já que durante as sucessivas iterações a

única característica topológica mantida i a simetria. Assim são

necessárias (n2 + n)/2 posições de memória para armazenar a ma

triz aproximativa do Jacobiano, contrastando com nb.n posições

necessárias nos métodos tipo Nev«ton-Raphson. O método de resolu

ção do sistema de equações não lineares a cada iteração é o de

Cholesky (decomposição LL ), conforme já citado no Capítulo 4, e

levemente mais custoso que o ile Crout.

Para posterior referência os algoritmos são simbolizados:

NRM - Newton-Raphson modificado: matriE de rigidez mantida

constante durante toda a análise.

NR - Newton-Raphson completo: atualização da matriz de rigi

dez a cada iteração.

NRM 1 - Newton-Raphson com atualização da matriz de rigidez na

primeira iteração de cada incremento.

NRM 2 - Newton-Raphson com atu:lização da matr:z de riridez na

segunda iteração de caca incremento.

BFGS - algoritmo desc ito no Capitulo 4.

Existem vários critérios de convergência descritos na li

teratura, apropriados a cada problei i. Aqui usa-se um único cri

tério: o processo diz-se ter convergido após a k-ésima iteração

quando

X 10( TüLER

onde || . I) indica a norma euclidiana, v o resíduo após a k-ésima

iteração, P o vetor de forças nodais aplicadas, e TOLER um parei

metro de convergência estipulado a priori (usualmente ú 1%) Adi

cionalmente, procura-se controlar a componente «JJ . de ^ de máxi

mo valor absoluto.

5.5 - Aplicações Numéricas

5.5.1 - Cilindro de Paredes Grossas

O primeiro problema estudado é o do colapso de um cilin

dro de paredes grossas de comprimento infinito (condição de e^

tado plano de deformações) sujeito a uma pressão interna crescen

te p. A malha utilizada com 32 elementos encontra-se na figura

(5.5.1.1) juntamente com as propriedaães usadas.

- 65 -

l i

f. io interrRaio exterMódulo âi .Coef icier*» v.

Twitfioe tscc •iK-rtto i-nicxic!-

Por6meiu! de rncJurscirnontr-Critério de Tret ca

o=?0.

<jY -- :

íN/nni»

I.C'iri/fcr:»

FIGURA 5.5.1.1 - Mí.lha e pr< priedades do material empregado.

A análise teórica indica -ue a plastificação é iniciada

pela face mais interna, propagar o-t-e com um raio a < c ú b ao

longo do cilindro tal que a pressão para uin dado raio de plasti

ficaçao c e dado por * '

p =Jln (^-) + -±-

Assim a pressão de escoamento iniciaiI é de p = 9 dN/mn,

e a de colapso P u l t = 16,6355 dN/mm" . Teor: jamente no valor p

o cilindro sofrerá deslocamento infinito cie seus pontos, sendo

portanto de se esperar que este valor licite não ac-ja alcançado

por qualquer algoritmo.

A figura (5.5.1.2) mostra a. curva pressão x deslocamento

da face imerna. Como se pocit aoduzir c TÒ-ÍJÍI,; 5.1 não existe

diferença apreciável no resultado numérico para os métodos usa

dos. Es .e problema pode ser caracterizado como medianamente não

linear. A taxa de convergência (TOLER) usada foi de 0,l%,basten

te rigorosa.

TABELA 5.1 - Deslocamentos (mm) n<- face interna pelos 5

métodos (32 elementos)

INCR.

01020304

05

060708

PRESSÃO(dN/mnt2)

9 . 0

11.013.014.015.016.016.516.6

MÉTODOS (deslocamentos)N R M

0.081680.10-770.13 410.16J37

0.196950.25280O.3113t0.33491

N R f NRM 10.08168 > 0.081680.103780.137400.16 ."35

0.196970.253060.312230.33646

0.103770.137400.16236

0.197060.253090.312310.33664

NRM 20.08168 '0.103780.137400.16238

0.197020.253070.312310.33660

Q N

0.081680.103860.137570.162710.197180.253160.312670.33782

£* 1 8 0

•£ 16J0z•o

*• 13.0

1.0

£ 9.0

0 02 0.4DESLOCAMENTO N ACE INTERNA, u(mm)

FIGURA 5.5.1.2 - Curva pressão interna x deslocamento rad ia lr = a.

- 67 -

Na tabela 5.2 estão as i srações necessárias a convergên

cia de cada método, bem como o terpo total de CPU (DEC-10,UFPE),

mostrando claramente a superioridade do método BFGS com rela_

ção ao te'mpo de CPU e número de iterações para convergência.

TABELA 5.2 - Desempenh > dcs métodos para o exemplo daficara 5.^.1.1.

INCR.

01

02

03

04

05

06

07

08

PRESSÃO(dN/mm2)

9 . 0

1 1 . 0

13.0

14.0

15.0

16.0

16.5

16.6

TOTAL

C P U

MÉTODOS (iterações)

N R M

01

09

13

16

23

37

74

70

243

1:07.58

N R ; NKR 1

01

07

08

08

10

15

27

26

102

1:16.65

01

09

10

09

1?

li:

33

28

1 2 1

3 7 . 9 1 .

NMR 2

0 1 "

07

08

09

1 1

3 j

31

28

111

35.30

U N

Cl

04

06

07

07

07

06

05

43

2 1 . 1 1

As tabelas 5.3 e 5.4 mostram a distribuição de tensões

circunferenciais e radias exatas e as obtidas com os diferentes

métodos, com os respectivos erros percentuais dados por.

exatoerro % = a - o

exato

para a pressões p = 16 dN/mm*

Nas figuras 5.5.1 3a e b são mostradas as curvas de ten

são (o_) e (cr ) exatas e as obtidas utilizando o método Quase-r 0

Newton para as pressões p = 14 dN/miri2 e p - 16 dN/mm2 .

- 68 -

100 129DIST&KCtA RADIAL, r (mm)

350 ITS SOO

1 - 8 . 0az

tft

-16.00(a)

ti:;

FIGURA 5.5.1.3 - Distribuição das tensões (a) radiais e (b) cir

ei nferenciais no cilindro de paredes çrossas.

- 69 -

TABELA 5.3 - Tensões radiais (or) para uma pressão P = 16 dN/mm2

r - centroide dos elementos

x

102106110114118122127131

135139

.0833

.2500

.Jibb

.5833

.7500

.9166083325004166

.58337500

147.9166152.0833156.160.164.168.172.177.181.185.189.193.197.

25004160583075009160083325004166583395009160

°rexato

- 15.5051- 14.5450- 13.6392- 12.7328- 11.8756- 11.0479- 10.2478- 9.4736- 8.7235- 7.9962- /.2902- 6.6045- 5.9378- 5.2891- 4.6576- 4.0421- 3.4421- 2.8733- 2.3441- 1.8509- 1.3907- 0.9604- 0.5576- 0.1801

N R M

- 15.2354- 14.7268- 13.4112- 12.5832- 11.9467- 10.9433- 10.1409- 9.5071- 8.6543- 7.8999- 7.3162- 6.5420- 5.8379- 5.3053- 4.6180- 3.5944- 3.5509- 3.0008- 2.1310- 1.8502- 1.5530- 0.7939_ 0.5635- 0.3207

1.71.2

1.71.20.60.91.00 . 3

0 .81.20.3

o . :1.70.30.811.13.24.49.00.03

11.117 31.0

7R,1

- 15- 14

- 13- 12- 12- 10- 10- 9- 8- 7_ 7- 6- 5- 5- 4- 3- 3- 3.- 2.- 1- 1.

_ 0.- 0.- 0.

N R

.2354

.7275

.4241

.4951

.0354

.8714

.1070

.5456

.6315

.8952

. 3?61

.5488

.832730946377592756010019133785255549794956423?61

MÉTODOS

•

1.71.21.61.91.31.61.40 . 8

1.11.30 . 50 .8

1.0.40.4

L l . l3.44.58.90 .1

11.817.21.2

8L1

--

-—---—__-

——_—_

—

—-

E ERRO

N R M

15.252614.717113.436412.519312.017110.891510.11159.54598.63377.89947.??666.55065.83215.30714.63493.59183.55943.00222.13361.85241.55490.79480.56420.3211

(%)

1

1.61.2

1.51.71.21.41.30.81.01.20.50.81.8

0 .511.13.44.58.90 .111.817.21.0

78.2

N R M

- 15.2363- 14.7293- 13.4237- 12.4993- 12.0337- 10.8745- 10.1147- 9.5404- 8.6377- 7.8993- 7.3289- 6.5430- 5 . £ ' "- 5.3092- 4.6253- 3.5914- 3.5596- 3.0023- 2.1Í37- 1.8525- 1.5550- 0.7949- 0.5643- 0.3211

2

11111110110

.7

.3

.6

.8

.3

.6

.3

.7

.0

.2

.50.910

LI3480

11

.5.4

• T• i

.1

.4

.5,9. 1.8

i.7,2179

.2.2

Q N

- 15.3155- 14.6089- 13.6095- 12.4433- 12.0362- 10.9465- 10.1131- 9.5499- 8.6523- 7.837S- 7.3673- 6.5525- 5.5310- 5.4843- 4.6025- ~> C942- 3.5663- 3.0017- 2.1351- 1.8537- 1.5559- 0.7954- 0.5646• 0.3213

10021010021b

6

11134.

011.YL

.2

.4

.2

.3

.3

.9

.3

.8

.8

.0

.0

.872

, i

65

928

21,2

4

TABELA 5.4 - Tensões circunferenciais (Og) para uma pressão P = 16 dN/nun*r - centroide dos elementos.

r

102.0833

106.2500110.3366114.5833

118.7500

122.9166127.0833

131-2500135.4166139.58331^.7500147.9165

152.0833

156.2500160.4160164.5830168.7500172.9160177.0833

181.2500185.4166189.5833

193.7500

197.9160

exato

8.4949

9.455010.360811.2672

12.1244

12.952113.7522

14.526415.276516.003816.709817.3955

18.0622

18.710919.342419.957920.454419.885619.3564

18.863218.403017.9727

17.5699

17.1924

N R M

8.7646

9.273210.388811.416812.0533

13.0567]3.8591

14.492815.345616.100016.683717.4580

18.1620

18.694519.381920.405520.2558ly.o/2019.2948

18.723618.190517.9056

17.4391

17.0017

3.2

1.92.2

1.30.6

0.80.8

0.20.40.60.10.3

0.5

0.10.22.2

0.91.00.3

0.7

1.10.4

0.7

1.0

MÉTODOS

N R

8.7646

9.272410.5759

11.504911.9646

13.128613.8930

14.454315.368516.104816.6738

•n.451218.1673

18.690419.362320.407320.278819.6974

19.3186

18.746818.213017.9277

17.4607

17.0227

3.2

1.9

2.12.11.3

1.3J-. -

0.50.60.60.20.3

0.5

0.10.1

2.20.80.90.2

0.61.00.3

0.6

1.0

E ERRO (%)

N R M

8.7474

9.282810.5636

11.480711.9828

13.10P'13.8885

14.454015.366316.100*16.673317.4494

18.1679

18.692619.365120.488220.278719.696919.3183

18.746418.212617.9274

17.4603

17.0224

1

2.9

1.8

1.91.91.2

x.21.0

0.50.60.6LI. 20.3

0.6

0.10.12.60.8

0.90.2

0.61.00.3

0.6

1.0

N R M

8.7637

9.270610.5763

11.500711.9663

13.125513.8853

14.4:.-15.362316.100616.671"17.4570

16.1536

18.690619.J/*4t»20.408620.2795

19.697719.3191

18.747218.213417.92E2

17.4610

17.0231

2

3.2

.1 ?

2.02.11.3

1.31.0

0.50.50.60.20.3

0.5

0.10.12.20.8

0.90.2

0.61.00.20.61.0

*

Q N

8.6794

9.3904

10.390511.556711.9631

13.053513.8869

14.446915.347616.162416.f?W

17.447518.466*

16.^^

19.397520.405820.2904

19.711219.3312

18.759018.224817.9394

17.4720

17.0339

2.2

0.7

•2.o

2.6

1.3

0.7

1..00.50.51.00.50.32.2

1.00.22.20.8

0.80.1

0.61.00.20.61.0

5.5.2 - Vaso de Pressão Esférico

0 .segundo problema estudado consiste de um vaso òa pre£

são esférico. Mais uma vez supõe-se que o material obedeça ao

critério de Tresca. Neste caso a referência [3] fornece a solu

ção exata do problema.

As propriedades do material usadas nesta aplicação são:

E = 2,1 x 10 kgf/cm2 , v = 0,30 e oy = 2.500kgf/cn,1. O raio in

terno da esfera é a = 22cm e o externo é b = 31cm. Uma press;D

interna p crescente foi aplicada até valores perto do colapso

p = 1715 kgf/cm2.

O problema foi modulado com as três malhas da figura

5.5.2.1. Nas malhas (a) e (b) modelou-se um setor, 90°. Os nós

de coordenada radial r nulos não introduziram qualquer dificul

dade na integração numérica enquanto a esfera permanece elásti

ca. A partir do início de plastificaçao os resultados começam

a apresentar discrepancias com relação aos resultados exatos

em ambas as malhas. A análise dos resultados destas duas malhas

indicam uma velocidade de plastificaçao maior na região de raio

nulo dando origem a uma instabilidade localizada prematura na

matriz de rigidez. A introdução de valores levemente diferen

tes de zero nas coordenadas radiais não conseguiu melhorar subs

tancialmente o desempenho do elemento.

O problema foi então analisado com a malha (c) que usa

um setor de 7,5°, com apenas 16 elementos. 0 uso desta malha

exigiu a introdução de condições de contorno inclinadas em rela_

ção aos eixos r e z no programa desenvolvido. A curva carga -

deslocamento de um ponto da face interna para as três malhas

usadas encontra-se na figura 5.5.2.2. Os resultados demonstram

a deficiência no desempenho do elemento finito utilizado quan

do seus pontos nodais estão sobre o eixo de revolução.

- 72 -

52 nosTZ cirrr.vnto»

(o)

(b)

(c)

68 nós144 «Umtnto»

.0 —\

14 nós16 «Umtntot

FIGURA 5.5.2.1 - Malhas utilizadas para modelar o vaso de pres

são esférico.

in

r:c

soc

100

Setcr í V - ' •- in ! '•' '•

S s t o r K • . b i l < I'.'. <•'••

feator (ãC ; tit:* 7 E el

' • • • *

£00DESLOCAMENTO

400

FIGURA 5.5.2.2 - Curva pressão x deslocamento radial de um pon

to na face interna para as três malhas util i

za; as.

Com a malha (c) foi possível chegar a valores bem pró

ximos da pressão de colapso sem qualquer dificuldade em todos

os algoritmos utilizados.

A distribuição de tensões para as pressões de 14 e 16

kgf/cm2 encontram-se na figura 5.5.2.3. Os resultacos são con

siderados excelentes para a malha utilizada. Os valores dos grá

ficos são tirados no centroide de et ia elemento.

0 desempenhe dos métodos de análise não linear estão

sumarizados na tabula 5.5. Os resultados demonstram mais uma

vez a superioridade do método BFGS quer no tempo total de CPU,

quer no número de iterações necessárias a convergência. Os valo

res numéricos dos resultados obtidos entre oz métodos distin

tos não apresentam diferenças apreciáveis.

- 74 -

DISTANCIA RADIAL, R (evaj27

£* 1900

I5talKw

ooIO

990

22

FIGURA 5 . 5 . 2 . 3

P»1600Kçf/cmc

P« 1400K4f/cm*

27 31DISTÂNCIA RADIAL, R (Cffl)

Distribuição das tensões (a) nodais e (b) cir

cunferenciais nc vaso de pressão esférico.

- 75 -

TABELA 5.5 - Desempenho dos mêtocos para o exemplo da figura

5.5.2.1 (c).

INCR.

01

02

03

04

05

06

07

08

PRESSÍD

(kgf/cm2)

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1650

TOTAL

C P U

CPU/ i te ração

MÉTODOS ( i t e r a ç õ e s )

N R M

01

01

04

05

06

08

11

12

48

9.73

0.203

N R

01

01

03

05

05

07

08

09

39

20.54

0.527

NRM 1

0 1

0 1

04

04

05

06

09

10

40

10.61

0.265

NRM 2

0 1

0 1

03

0 5

05

16

0 8

10

39

10.16

0.260

Q N

01

02

04

0 3

C3

03

04

0 5

2 5

6.94

0.278

Ê interessante observar, que o tempo médio de CPU por

iteração é maior no método de Newton Raphson (NR) com atualizei

ção em cada iteração, seguido do método BFGS. Entretanto ambos

necessitam de i m menor número de interações por incremento. No

método BFGS no entanto a redução no número de iterações por in

cremento é mais drástica ã medida que avança a plastificaçao ao

longo da espessura da parede da esfera indicando possivelmente

sua maior estabilidade numérica. Isto é obtido pelo fato de

conseguir-se avançar as cargas mais próximas da carga de colag

so com o BFGS do que com o NR.

Observe-se que a carga inicial exata de plastificaçao

é p = 1070,96 kgf/cn3, ene. íanto a carga de plastif icaçao no cen

troide do elemento 1 (malha c é p = 1124,49. Assim como o prime .i

ro incremento foi efetuado c<m p = 1000 kgf/cma e o segundo

- 76 -

com p = 1100 kgf/cm2, e as tensões são calouladcs no centroide,

o elemento 1 não plastificou em nenhura dos dois : .icrementos.Des

ta forna a matriz de rigidez no métc o de Wewtor.-r^phson e seus

variances-eram ainda exatas (linear) durante o segundo incren2n

to, convergindo cada método em apenas uma iteração como espera

do. 0 nétodo Quase-Newton no entanto faz a sua atualização BFGS

nó inicio do segundo incremento produzindo uma rnatr.z de rigj.

d»z apenas aproximada da exata e necessitando então de 2 (duas)

iterações para a convergência. A tolerância para a convergência

usada foi de 1% (Toler = 1 % ) .

- 77 -

CONCLUSÕES

O método BFGS mostra-se sem dúvida competitivo frente

aos métodos tipo Newton-Raphson quando aplicado ã análise não

linear de vasos de pressão. Nos dois exemplos apresentados pr£

cisou ce um menor número de iterações e menor tempo total de

CPU para cada nível de carga até o colapsc.

Outras implementações do metoao são possíveis com van

tagens e desvantagens para o desempenho global do algoritmo, e

algumas delas foram mostradas no Cap-tulo IV.

A principal desvantagem do algoritmo BFGS é não pre

servar a característica de banda da matriz de rigidez inicial.

Isto pode se tornar um inconveniente sério para matrizes com

pequenas larguras de banda. Alternativas para a solução deste

problema são as implementações seguidas em (13) e (17) e descri,

tas no Capítulo IV, além de sugeridas em (16), todas às custas

do aumento do tempo de acesso ã memória secundária.Um algoritmo

Quase-Newton eficiente que preserve a e spars idade da matriz in_i

ciai além da positividade e da simetria não foi até o presente

elaborado.

A formulação usada nesta teso conseguirá um desempenho

ainda melhor se usada em problemas de análise não linear loca

lizada em conjunção com técn cas de subestruturaçao. Com estas

técnicas o método BFGS seria aplicado apenas àestrutura não li

neares conseguindo-se uma grande economia c ? memória e preser

vando as demais vantagens do método.

- 78 -

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÃFICi S

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Large Deflection Analisys of Complex Structures Subjected to

Heating and External Loads, J. Aerospace Sci., 27,97-1*6,1960.

- 81 -

APÊNDICE A

DESCRIÇÃO DO PROGRAMA

O Programa foi desenvolvido em linguagem FORTRAN para

o Computador DEC-10 da UFPE. Na figura A-l está o diagrama de

blocos do programa indicando as etapas básicas dos algoritmos

de análise não linear implementado, j programa desenvolvido

bem como a estrutura básica é apresentada na referência (4), pa£

ticularmente no que se refere aos elementos de elastcplastici

dade. As partes relativas ao algoritmo BFGS segue a orientação

da referência (15).

- 82 -

INICIO

J_F°CMAC

Calcula o rero da máquina

4DIMEK

Estabe. see o valor das variáveis associadascoa o ciaensionanento dinâmico

INPUTEntrada de dados efinindo geoaetria, condições contorno,propriedades do Material, avalia as forças nodais t mivalentes para pressSo

±ZERO / ZER(Q

Zera os vetores necessár as para acuatilaçao de dados

INCREMtncreaenta as cargas aplicadas de acordo COMos fatores de carga especificadas

O

(0«UKeoins

ALGOR

Estabelece o valor do indicado; do t ipode nlgoritao (BFGS, NR )

Figura A.1 (a) - Programa Principal

- 8 3 -

NSo

ZERD5TZera a Matriz de rigidez

si»

ISTIFFMonta a «atr iz de rigidezcoa integraçfio numérica

STIFFPMonta a mrtriz de rigidez.con integ- ção explicita

_Toicc

Introduz condições te contorno na Matriz de rigidez

±CHOLDEDecomposição de cholesky da matriz de ripidez

ICCCIntroduz condições de contorno no vetor de cargas

ICCCIntroduz condições de contorno no vetor de cargas

Calcule: , - ? K±BFGS

Obter

CHOLSOLVEResolve o sisteaa de equações lineares Cholesky

¥K 41

RESIOUCalcula o vetor de resíduos: Z\ 1)

NSo CONVERVerifica se o processo convergiu

VSimOUTPUT

Imprinir safoa de resultados

Figura A.1 (b.) - BFGS- 84 -

II II *

I Siir

2ERDSTZera a matriz de rigice:

S i *

ISTIFFMon a a aatriz de rigidezco* integração mmérica

STIFFPHonta a matriz de rigidezCos integração explicita

JIt J

Introduz condições de contorno na Matriz de rigidez

ICCCIntroduz condições de contorno nc vetor de cargas

1SOLVE

Resolve o sistema de equações lineares por Crount

i

RESIDUCalcula o vetor de resíduos: u'k +1

NSc COKVERVerifica se o pr- cesso convergiu

Sin>

OUTPUTImpriair saida de resultados

FIM

Figura A.1 (c ) - NR

- 85 —

APÊNDICE B - MANUAL DE ENTRADA DE DADOS

A- seguir apresentamos um manual de entrada de dados on

de as variáveis possuem o seguinte significado:

MPOIN - Número máximo de nós da estrutura.

MELEM - Número máximo de elementos da estrutura.

MMATS - Numere máximo de materiais da estrutura.

MVFIX - Número máximo de nõs r >s quais um ou mais graus de

liberdade estão restritos.

NPROP - Número de propriedade do mataria!.

MAXLB - Máxima largura de banda.

As variáveis acima definidas são fornecidas através da

subrotina DIMEN, para pern.itir um dimensionamento dinâmico. As

que se seguem são introduzidas pela subrotina IMPUT. e INCREM.

NDOFN - Número de graus de liberdade por nó.

NPOIN - Número cie nõs da estrutura.

NELEM - Número de elementos da estrutura.

NVFIX - Número de nós nos quais um ou mais graus de liberda

de estão restritos.

NNODE - Número de nõs do elemento.

NMATS - Número de materiais da estrutura.

NALGO - Indicador do algoritmo a ser utilizado para resolu

ção do sistema de equações.

NINCS - Número de incrementos de carga.

NSTRE - Número de componentes de tensão independentes.

NCRIT - Indicador do critério de escoamento.

NOFIX - Número do nó restrito.

- 86 -

NINTEG - Indicador da determinação da raatriz de rigidez do

elemento (=o-»- utiliza a forma explicita para cal.

cular a matriz de rigidez, = 1 •+• tiliza integra^

. ção numérica para calcular a iae.tri- ce rigidez) .

NINCL - Número de nós com condição tíe contorro inclinada.

NUMEL - Número do elemento.

MATNO - Número do material correspondente ao elemento.

LNODS - Número dos nós cone rados ao element^ (sentido tri.

gonométricô).

- Número do nó.

- Coordenadas globais do nó.

IPOIN

COORD

IFPRE - Indicador de direç es restrigida (o - direção livre,

1 - direção restringida).

PRESC - Valor do deslocamento prescrito.

NUMAT - Número do material.

PROPS - Vetor das propriedades do material.

IPLOD - Indicador de carga nodal aplicada (= o se não existe

carga nodal aplicada,* o se existe carga nodal apli

cada).

IEDGE - Indicador de carga distribuída nos lados dos elemen

tos (= o se não existir, * o se existe).

LODPT - Número do nó carregado.

POINT - Carga aplicada no nó.

NEDGE - Número de lados carregados.

NEASS - Número do elemento ao qual o Lado carregado está as;

soeiado.

NOPRS - Número dos nós que definem o lado carregado (sent_i

do trigonométrico).

PRESS - Pressão aplicada no lado (normal ao lado).

FACTOR - Indicador da magnitude do incremento de carga.

- 87 -

TOLER - Indicador da tolerar cia p< mitida no processo de con

vergência (%).

MI TER ' .- Número máximo de iterações permitidas.

NOÜTP(l) - = 1, imprime apenas os deslocamentos após a 1* ite

ração de cada incre ..ent .

= 3, imprime os deslocai tentos e tensões após a 1?

iteração de cada incremento.

NOUTP(2) - = 1, imprime apenas os deslocamentos finais, após

convergir.

= 3 , imprime deslocamentos e tensões finais, após

convergir.

- 88 -

00

N<? DECARTÕES

1

VARIÁVEIS

NPOIN.NELEM, NVFIX, NNODE,NMATS, NALGO, NINCS, NSTRE,NCRIT, NINTEG, NINCL.

FORMATOS

1115

•

COMENTÁRIOS

NALGO = 1 •+ NRM (Newton-Rapl.son cora a matriz de rigidez% mantidaconstante).

NALGO = 2 •*• NR (Newton-Raphson coro atualização *a matriz de rigidez a cada iteração).

NALGu = 3 + NRM 1 (Newton-Raphson com atualização da matriz derigidez na primeira iteração de cada Incremento) .

NALGO = 4 •*• NRM 2 (Newton-Raphson com atualização da matriz de'çfidez na segunda ite

ração de cada incremento).

NALGO = 5 •*• QN (Quase-Newtc^, .

NCRIT = 1 -• Critério rle Escoamento deTresca.

NCRIT = 2 •* Critério «>_ scodia^nto deVon Mises.

NINTEG = 0 •*• Matriz de rigidez do elemento calc''1^--^ pela forma explicita.

NINTEG = 1 -»• f'~' -••? de rigidez do elemento calculada com inteqração numérica.

V0O

NELEM

NPOIN

NVFIX

NMATS

1

I, MATNO (I), (LNODS (I,J),

J = 1, NNODE)

I, (COORD (I,J), J=1,NDOFN)

I, IFPRE, (PRESC(I,J), J = 1

NDOFN)

I» (PROPS (I,J), J = l NPROP)

IPLOD, IEDGE

515

15, 2F10.3

215, 2F10.3

15, 6F10.3

215

I B Número do elemento.

I = Número do nõ. *

COORD (1,1) = Coordenada na direção RCOORD (1,2) = Coordenada na direção Z

I = Número do nõ restrito.

IFPRE » 01 (o livre na direção R,

1 fixo na direção Z)

= 10 (jL fixo na direção R,

o livre na direção Z)

I = Número do material.

PROPS (1,1) = E, módulo elasticid: .12

PROPS (1,2) = v, . r.ljiente de Poisson

PROPS(1,3) = t, espessura do material

PROPS(1,4) = p, densidade de massa

PROPS(1,5) = Oy, tensão de escoamentouniaxial

PROPS (1,6) = H1, parâmetro de endurecimento

IPLOD * o -»• se existir carga nodal *pliCada

IEDGE * o + se existir carga distribuídanos lados

I

*

1

NEDGE

NINCS

LOPDT, (POINT (I), I = I,

NDOFN)

NEDGE

NEASS, (NOPRS(I) I = 1,2),

PRESS

FACTOR, TOLER, MITER,

NOUT.(I), NOUTP(2)

15, 2F10.3

15

315, F10.3

2F10.5, 315

* 0 número de cartões inbroduzidos é"exa

tamente o número de nós carregados +

1, caso o último nô não esteja carre

gado. 0 último nó sempre deve ser in

troduzido, pois ele determina o último

cartão introduzido.

POINT (1) •+ carga nodal na direção R

POINT(2) •*• carga nodal na direção Z,

para o caso axissimétrico.

Variáveis ±nt_r~*••->-•<• .aves da

subroutine '" REM

APÊNDICE C

LISTAGEM DO PROGRAMA

- 92 -

ccccc

IV£>

**************************************************************

PLA5T

***************************************************************DIMENSION ASDIS(400).COORD(200,2),ELOAD(310,6),ESTIF(6,6),

FIXED(400).IFFIX(400).LNQDS(310,3),MATNO(310).NOFIXC3O).PRESC(30,2),PR0PS(S.6)fRLOAD(310,6),STRSG(4,J10),TLOAD(310.6).EPSTN1310),EFFST(310),TREAC(30,2),SSTIF(1S000),ELDIS(20),ELCODC2,310),NOUTP(2).TDISPC400).CARGA 1400),TOFOR(400)>STFOR(400)

DIMENSION FC(400),FMf400).Y(400),U(400j , J ( 400) , XCÍ400 ">X»(400),S(400)

EQUIVALENCE (ASDISC1),S(1)),(CARGA(l),FM(l))i(TDISP(I).XM(I))

COMMON/GERAL/IR,1W,NT5,NT6 W T 7COMMON/CRITY/NCRIT,SINT3,THE1ACOHMON/TNCL/NTNCL.ALFA(200)COMMON/ALG/NALGO.N1NTEG

.^5=30NT6r31NT7*33ÜPFN(UNTT=NTb,ACCESS='RANDÜM',HECORD SIZE=16)OPEN(UNTT=NT6.ACCESSs'RANDOM>.RECORD SlZt=36)0PEN(UNTT=NT7,ACCESS='RAND0M« ,RECOnr SIZE:=36)

1233

CALL EPSMACfEPS)CALL DIMfcNCMELEM,MfcVABfMMATS,WFC~",MTOTV,MVFlX,NUOrN,NPROP,

NSTRE.MAXLB)WRITE(IW.1233)EPSFORMATdX.' EPS DA MACHINA ' ,E12,5)

CALL INPUT(COURD.IFFlX,LNODS,MATNO,MELEM,MEVAB,MMATS,MPOIN,* MVFIX,NAIÇO.NDOFN,NELEM,NP01N,NEVAB,NINCS,NMAT$,* NOFIX,NPROP,N5IRE,NTCIV,NVFIX,PR0PvS,P"l!:srfRll0A0,* MTOTV,NNODE.NSTR1»LB,NINTEG)CALL ZEPO(ELOAD.MELEM,MEVAB,MPUIN,MTUTV,NDOFN.NELEM,NEVAB,

* NSTR1.EPSTN.EFFST,NTOTV.NVFIX.STRSG.TFACT,TLOAD,* TRLACMVFIX.TDISP)

IF(NALGO.EQ.S) CALL ZEROQ(FC,XC,Y.U.T.NTOTV)

DO 100 TINCSsl .NlNCSMUIINCS

TALL INCREMtELOAD.FIXED,Hi,MELEM.MEVBB,MITER.HTOTV.MVFIX,* NDOFN.NEl.EH,NEVAB,NCUTP,NOFIX.MUTV,NVFIX,PRESC,* RLOAQ.TFACT.TL0A0.10LER)

DO 50 IITERsl .MIIERMJsIITER

K«RITE(5.7)M1.M27 FOHMATÍ '

NRITE(IW.S000)M25000 FORMAT(5X.«11ERACAO NUMEKOa',13,//)

CALL ALGUR(FJXED,Ml,M2,KRESL,MTOTV,NALtíO,NTOTV)IF(NALGO.EQ.S) THEN

IF(KRESL.EQ.1)TH£NCALL ZEROSTÍSSTIF.NTOTV.NTOTV.NTOTV)IF(NINTEG.LO.O)THENCALL STIFFP(CDORD,EPSTN,M1,LNODS,

* *ATN0,MEVAB,MMAT5,MP0IN,NT0TV,* NtLEM,NEVAB,NNODE,NSTRE,NSTR1,* PROPS,MELEM,STPSG,SSTIF,LB,MAXLB,* KTOTV)

ELStCALL IsTIFF(COOFC._.:TN,Ml,LNODS,

* MATN0,HEVAB,MMAT5,MP0IN,NT0TV,* NfcLEM,NEVAB,NNOUE,NSTRE,NSTR1,* PROPS,MELEM,STRSG,SSTIF»LC.MAXLB,

*

**

12

14

ELSE

WTOTV)END IFCALL GlCCCSSTIF.NOrTX,IFFIX,MVFlX,

NTOTV #NVF1X,NDOFN.NTOTV)CALL CHOLDECNTOTV.SSTIF.EPS.NTOTV)CALL ICCCC£LOAD,FM,LNOD5,NOFIX,

IfFlX,MVFIX,MTOTV,NVFIX,NDOFN,NELEM,NNODE,NTOTV,MELEM,MEVAB)

CALL ICCC(tLOAD,FM#LNODS,NüFIX,IFF1X,MVFIX,NTOTV,NVFIX,NDOFN,NtLEM,NNODE,NTOTV,MELEM,MEVAB}

DO 12 I«1,NTOTVy(I)s-£FM(I)-FC(I))

CONTINUECALL BFGS(SSTIF,EPS.S,y.U.T,NTOTV,

END IFCALL CHOLSO(NTOTV,FM,S5TIF,S,NTOTV)DO 14 I = 1,NT(JTV

XM(I)sXC(I)+S(I)CALL n-SlDu(S,COORD,eFFSX,ELC^,

FACTO,M2.LNÜDS.LPROP.MATNO,MELEM,MMAIS,MpOlN#MIOTV,NDDFN,NKLtM,NEVAB,NNODF.,NsTRl, PROPS, NSTkc,uiRSG,XM,

CALL CONVER(ELUAD,M2,LNOD5,KiELeM,MEVAB,MTOIV,NCHEK,NDOFN,NfcLEM,;; . ,NNODE,NTOTVfPvALU,STFüR,TLOftD,TUrüR,TüLE.R,NOFIX,IFFIX,MVFIX,NVFIX)

ir Í(II1ER.EO.1).AND.(NOL1TPC1).GT,O))CALL 0UXPUT(M2,MELr" "TOTV,HVFIX,

NELEM,NOFIX.NOUTP,NPOIN,NVFIX,STRSti,XM,TREAC,EPSTN,NCHE,K)

DO 16

CONTINUEIF(NCHEK.EQ.O)GO TO 74

ELSEIFLAG*2IF(KRESL.EQ.1)THEN

CALL ZEPOST(SSTIF.MTOTV,NTOTV,LB)1F(NINTEG.EO.O)THENCALL STIFFP(COO*D.EPSTN.M1,LNODS,

* *ATN0,MEVAB,MMAT8,MP0IN,MT0TV,* NELEM,NEVAB,NNODE,NSTRE,NSTH1,* PROpS,MfcLb.H#STRSG,SSTIF,LB#MAXLB,* NTOTV)

ELSECALL ISTIFF(COORD,EPSTN,ML,LNOOS,

* NELEM!NEVABÍNNOÜE',NSTRE,'NSTRIÍ* PROPS,MELEM,5TRSG,SSTIF,LB,MAXLB,• NTOTV)

END IFCALL IcC(SSTIF,NOFIX,lFPlX,LB,MVFir,

• MTOTV,NVHX,NDOFN)END IF

CALL' ""CCtELOAD,CARGA,LüüDS,NOFIX,• IFFlX,MVFIX,MTnTV.NVFIX,NDOFN,* NELEM#NNOUE,NTOii- ,MELEM,MEVAB)

CALL SOLVECSSTIF,CARGA,TJB.NTOTV,• FTOTV,IFLAG)

DO 30 1*1,NTOTV

30 TD25PCl)=TDISP(I)+ASDlStI)CALL RE.S1DU(ASDIS.COORD,EFFST.ELOAU,

* FACTO,M2,LNUDS,LPROP,NATNO,MELEM.* MMAIS,MpOIN,MTOTV,NDOíN,NEL£M,NKVAB,* NNHDE.NSTRI,PROPS,NSTRÊ.STRSG,TDISP,

SO

100

EPSTN,ELD1S,ELCUD,NI0TV)CÜLL "-'VEpttLüAü.HS.LNODS,MELEM,HEVAB,

HIOIV,NCHt;K,NDOFN,Nfc;Lfc;M,NEVAB,NNODE,NIOTV,PvALU,STFOR,TLGAD,TOFUR,TOLER,NOFlXjlFFIXfMVTiX.NVFlXjIF (ÍÍITER. EQ.i). AND. (NOUTPO ) .GT.O) JCALL OUTPUTCM2,MELEM,MTOTV,MVFIX,

NELrM.NOFIX,NOUTP,NPOIN.NVFIX,STRSG,XDISP.TRtAC.EPSTN,iJCHEK)

IF(hCHEK.EO.O)GO TO 74END IF

CONTINUEIF(NAtt;n.EQ."2)G0 TO 74STOPCONTINÜFCALT. OUTPUKM2.MELEM.HTOTV,HVFlX,NF.LEffNOFlX,NUUTP,WPOIN,NVFIX,

STRSG.TDISP.TREACEPSTN.NCHEK)CONTINUFSTOPEND

SUBROUTINE DlMKrUMELE^U:VAB,MMAlS,MPOIN,MTOTV,MVFlX,NDOFN,• NPHUP,NSTKE,KAXLB)

CCC . FAR.A FUKiJECKK AS VARIÁVEIS ASSOCIADAS COM O DJMENSIONA-C wfcMlo nitiA'-IICU

cc * * * * * * ^^******^*** ********* *******^********* ii***^******** ***$tn

KPROFsb

RF.TLIHNK ••; u

SUHRUUTIUK IiiPUT(CUUpD.IFFlXfLN0D5,MAIN0,MEl.f:MrMEVABrMMATS,* MPOlNtHVFJX,NALGG,Nl>OFN,Nf:LEM,Nt>QlN,NEVAB,• NlNCS.NMATS,NOFIX,fiPKUP,NSTRC,NTOTV,NVFIX,• PKOpS.PRESC,KLOAD,MTOrv,NNOl)E,NSTR.i,LB,NINTtG)

Cc v*•*•**••*•***•*••**•**•••••***•**••*•*••••••**••*•****•**•*••cC ***t>HO(;RAMA PARAC .LFR PAHfUETROS DE CONTHOLEC .LFR fc-LfcMENTOS K CONECCUESC .LFR COORDENADAS NODAISC .LFR RtSTRlCOtS E CONDICCES DF CONTORNOC . l,KK WROPklEDADCS DCS MATERIAISC .LTK TIPO DE CARREGAMENTO,CARGAS NODA1S E DISTRIBUÍDASC

******************************************************COüRO(t-)PUlN»2), tFFIX(K10TV)»LNUDS(Mf;LEM,3),MATNDC

* ííELF.,O , HUF lX(MVFlX) , PRtSCC MVF IX , NDOFN) , PRn"^ (MMATS ,• .iFfvOr»1» ELC0LU2.3),NCFFÈ»C?),RL0AD(Mlr;LEM,6),P01NI(2),• K (b , 6 )

DT.-IKíSIOtí KK(b)COMÍU1N' /TKKAL/IR . IW , MT5 » NT6 , HI 7

CC ***r.r.R FTMt-Hl-'iR nS PAFAMtTi<OS CtC

KKAPdK.gOOlfiPfllM.WtLFM.KVflX^^ODR, N^ATS , NALGH, MNCS , NSTRK ,* ;iCliIT,tilNTfcG,HINCI.

900

.VTOTVsi-JPi)i;i*rjD()FN

]F(r>INCI,.Gl.ü) CALL INCLbt MNCL. IR , IW)ft'RITSt1w,901)NPPIN,NELEM,NVF1X,NNODE,NMAIS,NEVAB,NALGO,NINCE,

* NSTRE,NCRIT,NIN1E(,,MNCL901 FOHHATÍ// BH NPOIK =,I4,«iX,BH NELEM S , H , 4 X , 8 H MVFlX s,l4,4X,

* RH NfJODK s , I 4 , 4 X . 0 H MMA'JS s , j 4 , / / , B H MEVAÜ s , I 4 , 4 X ,* Rh i.fcLGO = . 1 4 , 4 X . 8 H N I N C 5 s , l 4 , 4 X , f l H N S T R E s l 4 , 4 X .* 8r i Í . C R I T s . I 4 , / / , é H h J M t Ü 5 , I 4 , « H N I N C L s , I 4 )

CC • • • U P E lMPKlr-!lR ELEMENTÜS.TIKC Do MATERIAL,CUNECCOES***C

902 H W A T ( / / 9 h ELKMENTO, 3X , 8HMATERIAL ,6X , 14HNUMER0 DOS NOS)

fc-L. 1NUDE) , INOUE»1 ,NNO* DE)

Ff)RMAT(SI5)

904 H j R M ü T ( I X , l ! > , 1 9 , b X , 3 l 5 )C CALCULA» LAK*j!Jr(A DF HANDA LPC

0 0 COOK K ( J ) a

K K ( * ) = a » L-MDllt- ( I EbEH , J.)DO «01 T=l,6K=KK(IJUÜ (Í02 ,1 = 1,0L=KK ( , J ) - K H

802801800 COMTU'UF

ccC * * *Z t :PA U Vbl'OR ÜE COORDENADAS ANTFS DEC

DD 4 IP01Hsi#*!K l . l»OÜ 4 TDV"E=l , 2

4 CtMUíOC JI-1 i 1T . ' . 1 U 1 I V C ) S O . O

CC •**?,!•• . ! ! e I PP1 r.ilR AS COOWUKNAUASC

^ l T r ( 1 , - , Í O b )9 0 S p - l J H ' - - A T » / / 4 n i••'.), 1 O X , l h i - í . l O X . l H Z )b V l AT ( IH . 9 O D ) 1 FUI I!, (CuOh D (IPUIN , 1D ] Mt J , 1D J MKs l , 2 )90b füK.«AT(Tb.mO.J)

9 0 7 H i r - i T ( U . l 3 , Z K l C . 3 )TF ( I t ' l l l M . N e . r ' P u l h)t iO TO ft

CC * * * r , t » !•• l i . ? i a ^ I t . : NOS WfcSIMTClSfCUvD. Ut CUNTOHHO E

, C VAI.ORM .• h' J I'r: C 1 - . 9 0 » )o «JOB fl»Kr.iATl//í>ii ' iü.feXífeHCDDJGCfcX.lSHVALOH^ Ud H I V K i X s l . N V K I X

909 KüWi'-AT(?15,2M'J.3). -PITE (IV . > í l ü ) f a . i b i X ( l V F l X ) , I F l i B t # ( P » h ; S C ( I V r j X , I Ü U F N ) , ] l ) O F N :

• l f i D U F N )910 ,

1 F ( I K P Í ? F . I * T . I F 0 L > F ) G Ü TD D

8 IFiJOKslFL'Of/l 0CC » » * | t k h l r i f r l r l k P P U P K I E . D A D E S t U S

C

t f l * , 9 1 1 )911 KURNftT(//7H tJUMEktl.hX.ilHPHOtRlbDAofcS DO MATERIAL, h., I' iT »

* 10Hp.SlG>.AV.h. / )DO 10 I"A'J'i;sl.nMATS•^ Apt lK.'n;<)i'U'.«AT. lPPOPS(Nl^AI,lPRr»P),lPROP=l .NPRUP)

91210913 FOKrATJJX.a4,3x.6E10.4JCC ***7t\Khu n V'KJ'nH DE CAHRAS NUDATS***C

DU 1/ I f- uCi - 1 » nb:i.fcr;00 1 / IPVA-* = 1 , Í ! Í .VAB

12 «LUJÍLM IF l .E ; . IEVAÜ)=0 .0CC •*U.fcU E 1HPH1MIH PARÂMETROS OUE C P M T R Ü L A M ü TIPO DEC CARREGAMKMTO***

914.•iR 1 Tt; ( 1'.-, 91 b J J pUüU. 1 fcDGE

915 F U R » I Í V T ( / / . 7 H lPbOU= , 13 , 3X ,6H1 hDGfc = , ICC •*»t.ER K IMPUlh l * US PONTOS NOUA.ISC

l F ( l P | . i i p . c ! J . O ) t ; U TO 500»«rtTTL( 1 . , 9 1 fa)

916 KORM4TI//, Ui) NO C A R R E G A D U , bX , 9HUI»fc I.AÜ R , 3X , 9MniRECA0 Z)14

917A R I T Ü Í l l - . ' , 9 m i . 0 D P T , ( P O l M ' l i n u F I - i ) , InOI-Msl , ? )

918 F O R M A T ( 5 X . l 5 . a x ! 2 F 1 0 . 3 JCC «••BSv'idriAR A CARGA NODAL I-UNIUAL COM UM KI.KMF.UTD***C

1)0 1o I e LE" ' = 1 .ri

DO 16 JNUDK=1NLÜCA=1ABS(LNUOS(1£LRM,1NODE)

16 IF(L0nPT,fO.MLOCA)G0 TO 1818 DO 70 JPQFM=1.2

NPÜS1=(20 XLOAD

lF(LOnPT,Lf.MPOlM)GO TU 14500 COHTINl'F

1F(ILDGF.EQ,0)GO TO 600CC ***l,hP E TMPFIMIR NUMERO TOTAL DE LADOS CARREGADOS***C

919 FORMAT(IS]wRITfcflw,920)NFDUE

920 FOP-1AT(//"28H «UMtRÜ DE LADOS CARRF.GADOSs, 15, //)CC ***U:R F. IMPRIMIR CARGA DISTRIBUÍDA NOS LADOS***Q

N0DFG=2921 FUtH<AT(5X.43HM5TA DOS LAÜUS CARRERAUÜS ti CARCA APLICAÜA,/ / )CC * * *PARi CADA LADO CARREGADO***C

DO ?4 IFOGE = 1 .NElíGECC * * * I L P F IMPRIMIR O LADO CAPKtGADO fc À CARGA APLICADA***

RKA(HlR.c>22)NeAS5. CNOPRS(IUPEG) ,10nfcHi=l .NOOEG) rPRF.SS922 FU«MAT{3I5,F1O.3)

WRITt>(lW,923)NtA5S.(NüPPS(I0DFC;),If)Ut.G=l,N0DKG),PRF;SS923 FÜRMATdOH ELE«E,NT[:)=.I3.3X,32HPL1NToS NODAIS DO LADO CARREGADO*,

* lã . 1 »4E . T5. 3X , BHPRL6SA0= . F X0. 3 , / / JCC •**CALCl'LO DAS COORDENADAS DOS NOS Dü LADO DO ELEMENTO

C CARREUAIH)***C

DD •)>

DO 7i iniMt=1.222 f.LCOUr iniMK.IODEOsCoORDdKOüE, I D I M K )CC •***C'A?,C"LO ÜA3 CUMPOUEriTES Dfc. CAHGAS NHDAJS KOUIVA|,KNTfcS***c

CALL rii«::P(r4EASs#tLCQD. PRESS, HNUDfc , l.NODS , NQPHS , RLl) AR# MKLKM,

CC ***FÜCHEVEK AS CARGAS NODAIS PARA CAÜA ELEMENTO***C24600

K I T E ( I , 9 2 ]924 FÜHMA1'{5X.4OH FOftCAS MUDAIS TD1A1S PAHA CADA

H 5 C R }1)0 20 IFLEH=l,NfcLEM

26 «RlTEf IW,925)1 EI.LH, (R1.0ADÍIELEH , lEvAH) , IEVAH = 1 ,NKVAB)925 KüRi'AT(lX,l5,bX,btl2.4,/)

IKMMCI..GT.0) THENDO 40 IEljEhsl.WELEMCALL IfJCl,O(R.IELEP,LNODS,i»ttE:H»NNODE,KONT}iKCKOMT.GT.O) CALL 1 tiCh J IRLOA»» MÜLEH , IELEM , R )

40 C 0 l l ) kKIU! IF

SUHROUTTNE CNEp(NEASS.ELCOl), PRESS. NNODfc.LNODS.NOPRS.RLOAD, MELEM,• NDUEU.NDOFN)

Cc #•***••••*•*•*•*•*•#•••*•••••*•*••**•**••#**••••*•*#•*•*•*••*••*CC ***k'POC;RAHA PARAC .CBLCUL.AR AS COMPUNENTES DAS CAHGAS N Ü D A I S EQUIVALENTESC .ASSOCIAR A5 CARGAS NODAI5 KQuIVALENTES CüM UM ELEMENTOCC ******•**••****•**•**»*$****•****•**•********••***•***•***•****

DlMFNSinN £^000(2,3).LNOÜStMELt^,3).NOPP5(23,PLOAD(MELEM,6),• PRCOM(2).PZCOM(2)

PI=4.*ATAN(1.0)CC ***rAT,CULO DAS COMPONENTES DAS CARf.AS NODAIS EQUIVALENTES***

I CM ZPOSI=t?COn(2.2)-ELCOD(2.1)o RP0Sl = KI,cnü(l,2]-ELCüDtl .1)"* .1 ) + ELCÜD( 1,2)

.tJ+2*ELCOD(1,2)PRCOHf1)=+PI*PRESS*ZP0SI*RR0SI/3P Z C O M Í I ) = - P I * P R E S S * R P O S J * R R O S I / 3PRCPM(2!s+P!*PRES5*ZPOSI*ZROSI/3

cC ***ASSOriA AS CARGAS NOÜAIS tOUIVALENTKS COM UM ELEMENTÜ***c

DO ? TNnDF=l,NNODENLQCA=lAHS(LwODS(NEASS,IMODE))IFtNhrCA.EQ.NUPRStUlGO TO 4

2 COWTlMUr4 JNUnEsIMUnEl + KODfc'G-l

KtMJNTsOUO f- KM"l>E=IiKmE,JWODElFíKMfiDF.E0.4)KM0DE=lKUUVTsKnUNT+1

I

o

I

-l)*ND0FN+2

CONTINUAUETUPN

SUBROUTINE ZERO(KLÜAD.MELEM,MEVAB.HPOIM.MTUTV.NDOFN.NBLEM,NEVAB,• NSIRl,EPSTN,EFFSI,NTÜTV,NVFIX,STRSG,TFACT,TLOAD.* TRKAC.MVFIX,TDJSP)

CC *************************************************************cC ***PROGRAHAC .PAHA ZERAR VAR.IUS VETORESC

c *************************************************************DIMENSION ELOAD(MELEM,MEVAB),STFSG(4,MELEM),TDISPCMTOTV),

* TbOAIJ(KEl.EM,MEVAb),THEACfMVFlX,2),EPSTNCMELEM),• KFFST(MELEM)

TFAC'fsO.OPO "?O IKLEM=1 , MELEMDO 30 IPVAD=1,NEVABELUAD(IFLEh,IEVAU)=0.0

30 TliOAOf IEL£ft,IEVAH)=0.00Ü 40 ITOTV=1.UTUTV

40 TOISPtITOTV)sO.ODÜ 50 IVFIXsl,fjVFIXDO 50 inüFi\i = t,NDOFN

50 TRLAC{IVFTX,IOUKN)=0.0DO 60 lFLt-;H=l.NELEM

DO fO ISTR1=1,NSTR160 STRSGdSTRl.IELEMjsO.O

RETURNt'.rif)

SUBPÜUTTUE IUCREMtELOAD.FIXED, HlvCS.MfcLEM.MEVAB.MITER,MTOTV,* MVFIX.NDÜFN.NELEM,NEVAB,NOUTP,NÜF1X,NTOTV,* NVFIX.PRtSC,Rl.üAD,TFACT.TLUAÜ,TOLF.R)

CC t************************************************************cC ***PRPGRAMAC .PaRA I Í J C R E N E N T A R A CARGA APLICADACC *************************************************************

cDlHFlíSIflh ELOAíX MELEM, HEVAB) ,FIXED(MTOTV J ,

* íJOHX(MVFIX) ,NOUTP(2) ,FREvSC(MVFlX,NDOFN) ,* rtLOADfKRLEM.MEVAB),TLCAD(MfciLEM,HKVAH)

COf'!WüN/r,ERAL/lR,IW,NT5,NT6,NT7.vHJT&f IW.9OO)HNCS

1 900 FURMATC5X.16H INCREMENTO HUMERü,15, / / )g V.RlTtf 5 .940)oo 940 FÜKMATC IliTRODUZIR FACTOP , TüLER ,MTTER , NOUTP ( 1 ) , N0UTPÍ2 ) = ? ' ), REAn(TH.95ü)KACTU.TaLER.M3TE.H,NÜUTp(l) ,NÜUTPl2)

9bO FORMAT(?F10.J.3I5)TFArT=TKACT+FACTOnRITEfTW,96ODTFACT,TOLER,MlTER,NOUTP(13,NOUTPC2)

960 F0RK"AT(!?X.16H KAIOR DE CARGA= .1-10 . «5 , 5X , 21H TOLERÂNCIA DE CONVER* 7HGKUCI* = »F10.5,5X,26H NUMfcRO MAX* l)t INTERACOES= , 15, / / , &X , 5HPARAH* 'ETRÜ DF: RAIDA IN ICIAL» ' , I5 ,5X,2 feH PARÂMETRO DE SAÍDA FINAL»,15/ )

DO RODO 60

80 TL0ADfIFLEM,IiíVAH)=TLOADCItLk;M,It.VAB}*Rl,UAD(IE:LEM,IEVAB)*FACT0CC ***Al>líf:SEMTA DADOS FIXOS NA FORPA DE VETUR***C

DO 100 TTOTVsl.NlOTV100 FIXEüf1TUTV)=O.O

DO 1 in TVFIXsl.NVFIX

O

[JL.ÜCA=(WUFIX(IUKIX)-1i)0 UO

H o CCIIMTIHUF:RETUHM

SUBROUTINE Al-GOR(FIXED. I INCS, 11TE.R .XRESL, MTUTV, NALGO, NTOTV)CC ^0^4*t*9********************************************************cC ***PRfifiRAMAC ,WBKA ESTABELECER O ALGURITIMa OK SOLUCAOCC ^Tnm**m******w************************************************

cDIMFMSION FIXEDfHTUTV)IF(NAI,GO.EQ.l.ANO.llNCS.EO.i.AND.IrTER.F.Q.l)KRESLsllF(NALGO.EQ.2)KRESL=iIF(NAl.Gn.EQ.3.ANU.I3TER.EO.IF(NAI.c;n.FQ.4.AND.IlNCS.EO.IF(NAfCO.tG.4.AND.IiTFR.KO.XF(NAf,GO.EQ.S.AND.IlNCS.EQ.

| IF(IITER.Eü.l)RETURN0 DO 100 iTOTVsi.NTOTV1 FIXED(IT0TV)=0.0

100 CUNTIMUF

cc

Sl.iBHOUTPJK ÜEF C ( l ) . X C < l ) . Y ( l ) . U C l ) , T ( l l

DO 1 0 0 1 = 1 .

c

cc

c

c

cc# • •

cccccc

1(11=0100 COf'Tl i .

u • • «i* , i f»Kr x LI W r:

KM?

SUHKDUDIMEMS

Uij 100DO ](H>

100 SST1» IKETURü

En D

* * W » l

* 4 * p 1

I'E

T l M t '/.KWIlSTtSSTlF , M . M , N 2 )7(IM S ü T I F ( M . l )

1 = 1.MJsl.N2

1 .. l)=0.

*

JDTIfJt: UlCC(SSTlF,NOílX(IhFIX,MVHX,MT0TV,NVFIX,NüüFN,NI0TV)fffT*TTT*ÍT#T'*¥™T¥T™TTTTfTTflpT'T"T™f¥ífff#fff»^*T"fffffTf

íUCFfA 'ft.PAHA I'JTHUOUZlP AS CnWi:jC(jF..s Ut CONTORNO NA MATRI2 UK

WIGIDfcZ. HA tSTRUTUPA

t * * * * * 4 * 4 4 * * * * * * * 4 * 4 4 4 * 4 4 * » 4 4 4 * + * 4 4 * 4 4 * * * 4 * * * * * * * * * * * 4 * * 4 »

DIMENSION SSTIF(NTOTV,1 ) ,^OHX<MVFI*) , IFFIX(NTOTV)DO SOO N=l.UVFIXI=KOFIX(N)NRO*R3f I-l)*NiiUFNDO 490 Msl.MDOFN^untiiDwkiuni.inA 1

CONTINUERETURN

SURHDUTINE 1,TSULV(M.Y,L,X,N)C **************************************************************CC ***HPOnRAMAC .PAHA RESOLVER L * X=Y,FAFA XC (Al.GClRTTMU A3.2.3H(LTSOLVE) .L1VRO DO UfcNNlS,PAG 309,AP.A)CC **************************************************************

DIMKMSION Y(M).L(M,l)fX(MJRfcAL LX(N)=YfN)/L(N.N)I F f f i . E O . l J RETURNI = MDO 2 Ks l .N-11=1-1SUW = 0 .

1 CONTTNUtX(T)a(Y(T)-SUM)/L(I.I)

2 CONTINUEPETÜPNENDSUBROUTINE CHOLSOLVECH,G»L,S,N)

C *************************************************************CC ***PRCJGRAMAC .PARA «EsOLVER O SISTEMA CE F0UACUE5(METUDü DF CHOLESKY)C TC CLt)S=-G,PARASC ULGORITIMU A3.2.3CCHOIS(3LVE).LIVPU DO DENNIS.PAG 307,AP.A)C

«««ft********************************************************DIMENSION b ( M , l ) , t i ( M ) , S ( M )HEAL LCAf.b L R O L V E ( M . G , 1 . , S . N )CAf.L L T S U L V t C M . S . L . S . N )

ENPSUBROUTINE .

Q ***** **********************•••«»•*••**••***••«••*•**•*****•*•*•CC ***PROGKAMAC .PAHA EFKTUAH A DECOMPOSIÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ (METO-C Dü DF CHOLESKY)C ÍALíJORITIMO Ab.5.2fCHOLDECOMP).LlVRU DO DENNIS, PAG. 318 , AP. A )Cç * * * • * * * • • * * • * • * • * • * * * * • * * * * * • • * • • * • • • • * • * * * • • * * * • • * * * • * * * * • • • • •

DIMEWSTON L(M.l)COitMÜN/^ERAL/IR. IW.NT5.NT6,NT7

RKiL LCC * * * K T A P A 1 . 2CcC * * * k . T A P A S 3 . 4C

DO 4 J s i . W1 1 = J - 1SUM=0.DO 4 1 1 = 1 . 1 1

41 CüiMTTNUE

DQ 43 T=«.U.NSUM=O.DU 4 3 1 K = 1 . I 1

SUMsSUH+lJ(T,K)*L(J.K)431 CONTINUE

L I T . , J ) = L ( J . J ) - . S U «43 CONTlIiUK

IF ÍL, (J .Ü) .LE.ETA) THENWRJTE(Ifc.bb5) J.L(J.J)

bbS FÜRMATC/.' L(J.J) NAO PnSlTI VÜ. >]• ' , 15, • LJJ= • ,Ei2.5)STOP

t H D T rL(J.vl)=fiQRT(L(J,J))no 46 r=.Jl.HL ( T . J ) s b C l . J ) / L ( J , J )

46 CUHTIMtlE4 CONTTNUK

HKTUPM

SU&RPUTTMf. OHUPDA(N,U.V,M,ETA,MM)CCC •••PROGRAMAC .PARA ATUALIZAR A MATRIZ DECnHPASTAC (AT.ViílRiTIhn A3.4.1.(ORUPDATE),LlVpO PU DFHNIS.PAG 311fAp.A)CC **t**^ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ***********************ii*^

U(l),VC1).M(MH.l)RKAL M

CcC •**fcTAPA 1.2C

UTK.LF.1J «U TÜ 2IFÍAP;Í(U(K)).(;T.ETA) Gn TO

60 TO 12 COMTTNUK

cC * * * £ T A P A 3C

IsKno j J=I.K-II=T-1CALL v j a C R O T C N . I , U ( I ) . - U l I +

U ( I ) s * B S C U ( I + l ) )KbSEU( l ) rS0RT(U( I ) *U ( l )+U( I + lEiin I F

3 CONTTfjnt;CC ***tTAPA -1,5C

DO 1 J s l i H

4 CONTINUEDO b J = l . K - iCAT.L

5 COWTINUK

SURHOUTINE JACROT(N.I,A,B,W,E1A#MM)Q 4 4* .t 4 t*****-f *************************************************CC J.LGÜRITIMO A 3 . 4 . 1 A (JACROTATK), L i VHO DC) DENNIS,PAG312 'CC ^^t***********************************************************

DlMfcNSIOM HCMH. l )HfcftL M

C •**k,TAPA 1C

1Kr AKS f A).LE.fcTA)THENCsO.OS=l.S=SIGN(S.B)

C=A/DKM

KM D TKC

c

ÜU 2 Ü B I . N

Y=M(T.,1)

»i(T.J)=C*Y-S*W

CONTINUE

tunSUBROUTINE BFGS(L.ETA,S,V,U,T,N,TnL.»XM,XC#GM,GC,M)

ccCC .PAHA ATUALIZAR A MATRIZ CE R I Ü I Ü E Z DA ESTRUTURAÍBFGS)C «-AT,r,nKTT»«U A9.4.2 (BFGSKAC) ,LIVRO DU DENNIS,PAG. 356,AP. A)C

l)IMtwSTUN L(M.1).S(1),Y(1)»U(1),T(1),XM(1),XC(1),GH(1),GC(1)RKRL Li-OGJrAr. S K I P

CC ETAPAS 1.2.3

TKMPlsQ.SNsO.YNsU,DO 1C 1=1.N

:i)*¥(i)

10 CUM

SKaSORT(Sii)PsSORTfEIA)*SM«YN

1

H"

no

1

ccc

41

42

***ETAPAS 4 ( 4 . 1 . 4 . 2 . 4 . 3 , 4 . 5 , 4 . 6 )

IFfTEMPI,GE.PJTHENno 41 J = I , NT(I)=O.DO 41 JsI.NTdJsTÍD+tCJíD^Sdl)TtMPZrO.ÜÜ 42 1=1,NTtMP2=TEMP2*T(I)*T(I)ALFA=80KT(ltMt'l/TtMp2)SKlPs.TRUE.00 46 1=1,NTEHP3=0.DO 461 J = 1 , I

461

IF(ADS(Y(I)-TEMP3).f;E;.(T0L«AMAXl(ABGrlABGM)))• SKIPS.FALSE.

U(I)sym-ALFA»TEMPl46 CONTINUEC

C *•* ETAPA 4.7C

IFt .NOT.SK It') THEN

DO 472 1=1,N

00 473 1=2,NDO 4731 J=1,I-1l,(J.I)sL(T.J)L(I,J)=O.

4731 CONTINUE473 CONTINUE

CALL QHUPDA(N.T,U,L,KTA,M)DO 475 1 = 2,NDO 4751 Jsl.I-1L(I.J)=L(v),I)COUTINUECONTINUE

4751475

fcMDENn

TFTF

RKTURiJEMI>SUBROUTINC QBiGK3D(KSlIF,lELEK,LN0DSfHTUTV,SSlIF,MEVABiMELEM,

* NELEM.NTUTV)C **t^.*4********************************************************CC •••PPDCRAMAC .PAHA hOHTAR A MATRIZ DE B I G T D ^ Z DA ESTRUTURA.[CHEIA)Ccc *************************************************************

COMMON/GERAL/IR.1W.NIS.NT6.NT7IUNENSTON KK(fe),E5TIF(MfcVAB,f»bVAB) , L,NÜDS( MKLEM , 3 ) , S5TIF ( NTOTV , 1 )KKfi)=

too

KKr41=2*LN0DS(IKLfc:M.2)KKf51s?*LN0DS(IEl.tM.3)-lM<r6)=?*L[«'ODSCIfcLEM,3)DO 400 1=1.0

DO 300 J=l,fcL=KKfJ)SSTIF(K.L)sSSTlF(K,L)tEST]F(l,J)

300 CONT1N1JK400 CONTINUE

I F f IFLPM.IIE.NEI.KMJGO TO 7 0 0C W H I T F ( I * , b O 0 )CbOO FURMHTP Mft'lRlZ DK RIGIDEZ DA EoTRUlURA'JC \ N H l T F ( T W . 6 0 0 ) ( ( S S T I F ( I . J ) . J = l » N T O r V ) , 1 = 1 .NTOTV)C600 H I H M A i r 8 ( f c l 4 . 3 . 5 X ) . / )700 RE.TURN

cSUPROUTIi«IE tPSMAC(LPS)EPS=1.

10 KKS=FPS/2.IFn i . - f fMSJ.LE. l . JGQ TO 1 bGO TO 10

15 LPS=?.*tP5RfcTURUEiJD

CC WRTMUTt ESCREVER MATHIZ A(l!M,ljN)C

E WRTVAT(A.M,N,TITUL0.K.MMfIW5A(MM.l)

CHftfUrT£R*l TITULO(N)C

W R T T K C T - I » 1 ) ( T I I Ü I . Ü ( I ) , I = 1 # K )1 F Ü R M Ü T Í 3 O ( : A 1 3 )

OU 1 0 0 I s l . ü« « I T E : < T W . S O K A ( I , V J )

50 FURr-lAT f / . l O O K l ? . 5 )100 CONTTfciMfc

RETUPIM

I

SUHPOU'MNE STlFFP(COOPD.EPSTN,IlNCStLNODS,MATNO,MEVAB,riATS,* MPOIN.MTOTV.NELEM.NEVAÜ.NNODE»NSTRE,NSTP1,* PROPS.MELEM,SIRSG.SSTIF.LB,MAXLB,NTOTV)

C #•*•****•••*•••**•*•$**••*•*••*»*•«,•**•**•*••*****•***•*****•**

cC .P8«A AVALIAR A MATRIZ DE PlGlDt-Z DE CADA ELEMENTOCÇ «*«**4.***^4***4>*****t** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

DJMFU51OU BMATX(6.6).CUPRD(MPOIN,2),DMATX(4,4),DEVIA(4),ELCOD* (2,3).fc;pSTM(MELfc:M),F.SlIF(6,6),LNODS(MELEM,3),MATNa(* f -eLEM).PHOPS{MMAIS,6J,STRES(4) fDVeCTí4) ,AVECT(4J,A(3) .* B(3 ) .CC3) .MOS(J) ,ZUSC3) ,qF(3 ) ,RB(3) ,STRSG(4 ,MELEM) ,* SSTlF(MTOTV.l)

i<tAI. MUSroer

CC *«»?.(?np SOüPK CADA ELEMENTO***C

l)ü 7^M isT Kl,KM

CC ***Pt:Tk:P fINA AS COORDENADAS DOS POIOTUS NUDAIS DO ELEMENTO***c

DO 10 1NOÜE=l.NNODfc

i)U 10lPU

10

cC ***7(-:vaw A MATKIZ Db) R I G I P t Z 130 El.FHfc.NT0***C

1>U 70 1FVAB=1 , .»iKV*hUÜ ?O Js;VAB=l . N'KVAB

20 t S ) T F f I « r V A h . d i : v A b 1 = 0 . 0CC ***PHTKRMIMA A MATRIZ ÜF. Tt WS A0-ÜEF0KM ACA0 , £ \) ]C

CAI.il. "nr>PS(Dr.ATX,LPRrjP,MMATS,PRCPS,w.*}CC ***Dfe;TFPMTtiA A MATRI/. DE Db FOHMACAn • IB JC

CALT, OMaTPS(eMATX.fcLC0D,M3,Rl , l \ , R2 . W , R3 . Z3 , ARFA)C

, l F ( l l N C S . E 0 . n « 0 TO BOC «KTTF tTW,2000HfcLtM.EPSTNCI tL fcV)

!3 C2000 F O P : A T ( ' IELCws • . 1 3 , 5X . ' FPSTN ( IfeLpM ) s • , Kl 4 . 3 )w IF(AHSCFPSTNCieLLM)}. l fc: .DELTA)GC T(i 80i C * K T l F t T * . 3 4 b 9 i

C 34h9 F D K U T r i X , 1 ELEMENTO PLASTIFICADO :CALC11LARALTERACAO DE D ' )00 «O ISIR1=1.NSTP1

90 .STHFSÍ ISTWJ )=STRSG£ ISTP1 ,IELEM)CAL1, Tt!VAR(ÜLVIA.STE;FF,STÍKP lVAP\32.Ylk;Ln)CAL! YIFtnFCAVECT.UEVIA.STfcFf ,VAhJ? ,M5TR1)CALL FLnAlPLÍAVKCT.ABETA.DVECTtPRÜPS.LPROP.f^STPl.NMATS)DO IDO TSTREsl.NSTREf>C 1Ü^ JSTPEsl.NSTRE

100 üMATXf iSTRt..JSTRIi:)=DMATXCISTRfe:,JíTpKJ-AHfc:TA*nVL'CTClSTRt)** DVET'l f JSTRt)

80 CHÜTIPUF

cC ***rALCMLO DAS RJGIDEZKS DU tLtftMTO**•C

D C 1 1 0 1 = 1 . 3

1=0.0no zosm=o.o

Atnsf (P2*Z3)-(R3*Z2))/(2.0*ARLA)

C(11=(P3-P2)'12.0*AREA)C(2>=f»l-R3)/(2.0*AREAJ

TO 140120130

140

150

160170

IF(P3IF (PIc;u TUtfOSf 1CO TUMGSf 2GO TU••'1OSÍ3ZOSf 17 n w t otwo i /

ZOSf 3WFÍ11

. f S " . R 2 ) G 0

.WF.R3)GO170

)=fz?-zn/170

)=fZ3-Z2)/no

)=fZ3-Zl ) /)=Z1-(MOSCw?O«f uncfJ —/• « V wU'v> I

)=Z3-(woS(= K1

TO 150TU 160

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(R3-R2)

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DO 1HP T=l("bVABDÜ 1B0 >1=I.M

180 ESTlFtI.J)=0.0DO 190 T=1.5.200 190 ,1=1,5,2

190

3,3J J*B(L)* fOr*ftTXl?.4)+üMATX(3.4))*BCL)*C(K)4{DHATX(4,2)+DMATX(4, J))*• C(L-)*MK)4ÜMATX(4.4)*C(L)*C(K)

A2=fOMATX(3,2)+DMAlXr3,3))*A(L)»B(K)+(l>MATX(2.3)+DMATX(3,3))* •H(T>*flfK)+D.vATX(3.4)*A(L)*C(KJ*DMATX(4,3)*C(L)*AfK)

A3=nr.ATX(3,3)*A(l.)*A(K)A4=f DiHTX(2,3) + l)HAlX(3,.13)*BlL)*C(K)*(UMATX(3,

• •C(L)*BfK)+(DMATX(3.4)+DHATXt4,3jJ*C(L)*C(K)A5=n^ATX(3.3)*A(l.)*C(K)+DMATXC3,3)*C(L)*A(K)

DO 140 M=1.3X = AM,Sf Rf(M)-BB(M) )IF (X.ri*:.HELTA)GO TU 1 90

• *.1/3)-»(KF(M)**3-RÜ(Ml**3)/3+CAl*ZnS(M)*A2*MüSCM)*A4*MOS(M)*ZOSf •')

/3)*(ALn<;(PFCM))-ALUG(KB(H))))

= 1.5.2is2.fr, 2

AlsrnMflTX(2.1)4DMATX(3.1})*B{L)*C((O+UMATX(4,4)*C(L)*H(K)•(DMATX

3.1)*A(ü)*CíK)+üMATX(3,4)*A(L)1»B(K)

1FO.T.E.DELTA)GO TU 200kSTTFt T.J)st&TlF(J , J) + 2*PI* ( (Al*M0.s('<i) + A3*H0S(M) »*2/2) *

• -Pbf>)**i)/3+(Al*ZOSCM)+A2*MOS(M)+a3*Mt)S(M)*ZDS(M))»CRFCM)**2* -RLM l)**2D/2+(42*ZUS(M)+A3*ZÜSlV)**2/2)*(PF(M)-RBCM)))

200 CONTINUFDO ?IO T=2.6,2DO

Al=(UHATXC1.2)+DHATX(l,3))*C(L>*B(K)+DMATX(4,4)*H(L)*CCK)+(nMATXf4.7)+DVATX(4,3))*B(L)*BCK)+l>MATX<J,4)•C(L)*CCK)A2 = PMATXU.3)*CCL)*A(K)+L)MATX(4,3)*B(L)*A(K)A3=nMftTXÍl,3)*C(L)*C(KJ+üMATX(4,3)*B(L)*C(K)00 910 M=l,3

1F(X.IE.ÜE!,TA)GO TO 210

* -RHfM)**3)/3+(Al*ZOS(M)+A2*M'JS(l»)+A3*MOS(M)*ZOS(M))*(RF(M>**2-* RB{f'J**2)/2+(A2*Z0S(M)+A3*Z05(H)**?/2)*CRF(M)-PBCM)))

210 L'ONT'IMUF1)0 72 0 1=2,6,2no ?20 J=2,6,2L5(T+1)/2K=(J+l)/2Al=nMaTX(l,l)«;(L)*C(K}+DHATX(1.4)*B(L)*C(L)+DMATX(4,l)*C(L)*B(

* K)*lv-iATX(4,4)*BtL)*B(K)no 920 M=l,3

lKX.LE.PCLTAJGO TO 720ESTTFfl.J}=ESTlF(I.J)+2*PI*(Al*M0S(M)*(HF(M)**3-WB(MJ**3)/3+

• Al*7OS(M)*(RF(M)**2-RB(M)**2}/2)220 CO^TINUPCC ***GUftRnAR A MATRIZ.[K]***C

C <KKI1'F(TW.2)

C2 FüK.^BTC MA1RIZ DE RIGFDEZ ÜÜ ELEv-STIFFPC WKTTF{TW,5)((ESTIf(I.J).l=i,NtVAB},J=1C5 FnR-»RTf6Ct;l2.5,5X) ,//)

cC M*nni 'THH A H A T R I Z VV. RltilCEZ DA 'EsTKU THRA***C

H ( ! '4 l ,< :n . ; i f c .S ) GU TO 1 0 0 0CAM | - > r l t ; K 3 ( k S T ] K . l t l , E M . L N U n S , M O T V . S S T l h , ME V AB , MK

* f.KlEM.NTfjTV)(,U T.i in

1000 C Ü Í J T I N U FCAI I PJf:K3l)(t.STlF.M3.L.NODS,MTüTV,S.sXlF,MKVAB,MELfc;M,NKrJt;M,LB

* .N.AXLn.vTOTV)70 COi.TH'UF

to

SUHHOUTTNK ISTTFFtCOnPD.EPSTN.llNCS.IjNUDS.MATNO.MEVAB.MMATS»* MPnIN.MTUTV.NELEM.NEVAB,NN0DE,N5IRE,NSTRl,* t'KUPS.ME.LEH,s™SG.SSTIF.lB,MAXtiB,NTOTV)

Ç 444************************************************************CC ***PhnGPAMAC .PBPA AVALIAR A MATRIZ ÜE PlGlDtZ DE CADA ELEMENTOCC 44*44**********************************************************

1)1 MEWS ION HMATXC6.fe).CÜ0RD(MP01N,2}.DMATX{4.4),DEVlA(4),ElC0D* (2,i).EPSTN(MEiJEN),E5TIF(6,6),LN0D5(HELEH.3),MATN0C* rKLEM).PKOPS(MMATS,6),STRESÍ4),DVECTC4).AVECT{4),A{3).* b(3J.C(3),MOS(3)tZüS(3J,pFC3),RBC3),STRSG(4,MELEM),* SSTIí'(MTUTV.l),DhRlVC2,t.] ,SHAPEf4) ,CARTD(2,6) .GPCOD* (2,6),DBMAT(4.6)#K(6,6)

w COf, PI=4.*ATAM(1.O)

Twl)P.l=2.*PlDELTAsÜ.ÜOOOül

Cc ***r.onf SOBRE CADA ELEMENTU***c

1)0 70

CC ***DKTEPMINA As COORDENADAS üOS POwTÜS NÜÜAIS VO ELEMENTU***C

DO 10 INUDFsl.HNODE

IP0S!Jsíf,'-JODE-l)*2DO 10 TDIMtsl.2

10 e t C n n n n i M E , !Honb)sC00HD(I>N0DE,IDlME)THirKsPPOPSdPkOP. 3)

cC ***7FRAR A MATPIU Dt K1GIDLZ DU tl.FMfc.NTO***c

DU 90 IFVAb = lDU 90 .JFVABst

20 ESTTf( i rVAB.JHvABl=0.0CC * * 4 7 iJTKRKACAO MUMKHITA***C

ETASV'sl . /3 .C

I C ***nKT|:v?MIUA A MATKIZ DE TENSAO-DEFORMACAO,c

>o CALL MnrPS(l)MATX,LPR0P.MMATS,PRCPS,M3)

1 C ***rAT.C"liA AS FUMCUES DE FDP^ A , VOLt)ME, t T C . * * *C

CAl.t.CAL!.[)Vpt,Wrl),1ACb*TW0PI *GPCOP ( 1 . 1 )

CC •**i>KTfRMlHA AS MATRIZES IN) E IB) X [U] *•*C

CAM. P ' U T P S ( B M A T X . E L C O Ü . H 3 , R 1 ,Zl ,R? , L7 , R3 , £3 , AREA )C

IF(TINCS.EO.IK;O TO BOC KiKTTFC J W , 2 0 0 0 ) I E L E M . E P S T N ( I E L E f )C2000 FORMBTf » IF.LEMS» . 1 3 . 5 X . «EPS! N ( I t L R M ) a ' . E J 4 . 3 )

I F ( A b S ( F F S T i U l E L K M ) ) . L E . D E L T A ) G C TO «0C W R I T F ( n . , 3 4 ó 9 }C 3469 F d P i R T r l X . » ELEMENTO PLASTIFICADHjCALCULARALTERACAO Dfc Ü 1 )

DO ou ISTRlsl.íJSTRl

90 STHFS(lSTRl)sSTRSG(ISTRl.1ELEM)CALL 1 UVARC DEVI A, STEFF.STfcKP.VARja, YIELD)CAM, YTKLDFCAVtCT.DEVlA.STEFF,VARJ2.NSTP11CAM. FLPWPl.(>\Vk;CT.ABETft,OVfcCT,FKüVS,tPRni>,NSTRifMMATS)00 ion TSTRE'sl , NSTREOü 100 ,1STRE=1 , N5THF.

100 J'.vtTXfl?iTHK.• LfVLCT(JPTHE)

80CALt,

Cc ***rAt,cinJn DAS RIGIUEZES DOc

ÜD ^0 IFVABsl.WEVABHO 30 JFVABalEVAB.NEVAB

' DÜ 3 0 ISTRF=1.MSTRE{-* 30 ESTTFfo • *nH«*AT(TSTRK.JKVAB)*l)VOIiU

C •••OKTÊPHINA A MATRIZ ÜE RIGIDEZ TPIANGULAR INFERIUR***C

DO 60 IKVA«=1.NEVAWÜU 60 JFVADslEvAB.NEVAB

60 rSTmjFVAR,lEVAB)=ESTlF(JEVAB»J*:VAH)C

iFfNTtMCL.GT.O) TMtNCALL lNCliOtR.lELEM.LNÜDS.PELEM.NNÜDE.KONT)IFfKONT.nT.O) CALL I N C L 1 ( R . E S T l f )

LND IFC * * * G U A R n A R A M A T R I Z , [ K ] * * *C

W R l T E f N T T ' I E L K M M t E S T I F d . J D . J s l . e ) , ! * ] . 6 )C WRTTF(TW,2HEl,EMC2 FOPfiftlf' MATRIZ Üb RIGJÜEZ DO F L E M - S T I F F P ' , 1 4 )C W K T T F ( r » ! . 5 H ( E S T 3 K ( I . J } f I =C5

cC ***M()MT»R A MATHI7- Dfc RIGIDEZ DA ESTRUTURA***

cIK(NALí;n.NE.5) GÜ TO 1000CRLT OHTGK3(KST1F . 1 LI.L'M , LNODS , HTOTV. SSTIF . MEVAB, MELEM ,

* NEI.KM.IJTOTV)t;() TU 70

1000 COhTlNUn:CAL!. PinK3D(ESTlF.M3.LN0DS,M10TV#SsTlF,MEVABfMElEM,NELEM,lB

* .^AXLP.'iTOTVJ70 CONTINUE

l«.PTTfc;(5.1238)1238 KORMATC * * * * * * * * S A I N D U DE I S T I F p * * * * * * * * ' )

REÍIIHHKM D

I

SUaWLlUTTUE HüDPS(DMAT>,LPHOP,MMAlS,PRüFS,IELEM)CC t*********^*****************************************************cC * * *PROGWAMAC .PUHA DtTKRMINAR A MATRIZ, tD]CC ***4************************************************************

l)MATX(4,4) ,PROPS(MMAlS.fe), IW , NTb , N16 , N'l 7

, 2)DO 10 I.SIRlsl.4UÜ 10 JSTRl=l,4

I C

M C ***»'ATRTZ ID] PARA O CASO AXI - S I M K T P 1CU***OJ Q10 CONST=VnUHG*ll.0-POlsS)/C(1.0+FClSs)*(1.0-2.0*PniSS))1

OHATX(1.1)=CDNSTDKATX(2.2)sCONST

D.VATXf4.4)=CüNST*(1.0-2.0*POIS6)/(2.0*(1.0-PniSS))DMATXCl.2)sCUNST*C0NSSDKATXd .3)sCUNST*CONSSUNATX(2.1)=CUNST*CUNSSI>* ATX ( 2 . 3 )=COf)ST*CONSS

CC *»*(;UAROAR A MATRIZ.C

WRITEfHTS'1EbEM),C(DMATX(J,J},J=1,4),1=1,4)PETUKM

SUBROUTINE BMATPSíBMATX,ELCOD,1ELEM.RI,Zl,R2,Z2,R3,Z3,AREA)C ******************************************••****•********•*•****

cC ***PHOGRAMaC .PURA DETERMINAR A MATRIZ,IB]Cc ****************************************************************

8MAIXÍ6.6). ELCODC2,3)R1=FLCOD(1.1)

1 /3=ELCnn(2.3)M Cw C ***rAI.CMLO DA ARLA DO KLEMtNTO***

KKrOIF(R1.NF.R2)6O TO 2TEHPsRlH1 = P3R3=TEMPTEMP=Z17,1 = 73

HKIGHT=SQRT(HEIGHT*HEIGHT)hASF=SORT(tRl-R2)*CRl-R2)+lZl-Z2)*(Zl-Z2))ARfc.'A=0.5*BASE*HEIGHTIF(ARFA.GT.0.0)GÜ TO 4WRlTKfJW.3O)

30 FORMATdOX.1 ElFMENTn DE APEA MJLA OU NEGATIVA PEX .TKRMINADA')STOP 13

CONTINUEIFCKK.i-ie.DGO TO 6

R1=R3W3=Tt

Zl=73

6 CO

cC ***r/UCULO DAS COORDKNADAS DO CENTROlDfc DO ELEMENTO***C

C ***MATHTZ TBJ.PARA O CENTPOI DE*.**£ C"*" 1)11 fl T = l ,4

8 BHATX(l.J)=0.0BMATXri,2)=(K3-R2)/(2.*AREA)BMATX(1.4)=(Pl-R3)/(2.*AREA)BNATX(J,b)=(R2-Rl)/(2.*AREA)BMATX{2.1)=(Z2-Z3)/(2.*AREA)(»MATX(2.3) = (i:3-Zl)/(2.*AREA)BNATX(2.5J=(2l-72)/(2.*AREA)BKATX(3.n=(((H2*Z3)-(R3*Z2))/R+Z2-Z3+(((R3-R2)*Z)/R))/(2.*AREA)

3. b) = (C(Rl*72J-(R?*Zl))/lHZl-Z2+(((R2-Rl)*Z)/R))/(?.•AREA)8MRTX(4.n=Bi«.ATX(l,2)BivATX(4.2)=B-tATX(2,l)HMATXf 4.3)=BriATX(l .45B!^ATX(4.4)rBMATX(2.3lB^ATXf4.b)=BVATX(l.61WATX(4.61=«>"

C • * * G U f t R ! ) A ftC

W H I T e ( N T f a ' l E L E M ) ( f B M A T X ( I . J ) , J s l , 6 ) . 1 = 1 . 4 )

SUüWUUTTNE irJVAP(UEVlft,STEFF,SIFMP,VARJ2,YIELD)

c •CC •••PRPGPAMAC . DF'fKRMlNflR OS INVARIANTES DE TENSÃO,J2 1 E J3»C .DFTEPMlNftR O VAL-OW ATUAL DA FUUCAO Dt LSCOAMLMTOC

Ctirni i .)N/rHlTV/NCRIT.SlNT3»THEIAOt'IiTAsO. ÜO0OO1RüüT i= l .73205080757

OtVTAf3 )=STEM^( í J -l)KVTA(4')=STEMP(4j

>D6.VI6C3)*nEVlAC3))

TO 10S l H T 3 = - 3 . 0 * H n U T 3 * V A K j 3 / f 2 .l F f S I N T 3 . G T . 1 . 0 ) 5 I N T 3 = 1 . 0GO TO 20

10 SlMT.JaO.020 Ct)ivT

IK{J5IK 'T1.«T. l .O)STfJT3=1.0THKTA=ASIN(SIN13)/3.Ot ü T O Í l , 2 ) N C K I T

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4 ^ 4 t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *A V f c C T ( 4 ) , D K V I A ( 4 ) . V E C A 1 ( 4 > . V K C A ? ( 4 ) , V K C » 3 ( 4 )

OtLTAeO.OOOOOlIF(STFFF.LE.OE[JTA)Rfc:rURN

•SlNTHsSTWÍTHfeTA)COSTHsCOS(THtTA3CÜST3=CnS(3.0*THLTA)ROOT3=1.73205080757

C ***rALCULO ÜD Vfc'TDK A l * * *C

VLCtlfJi=1.0Vfc-CAIf 41=0.0

cC ***rAí.CliLA O VKTÜR A2***C

00 10 JSTRI=1.NS1R110 VECA2ri$TRl)sOeVlA(ISTRl)/(2.0*STEFF)

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VECA3f n=DEVIA(2)*t)EVTAf 3) + VAPJ2/3.0VKCAim=DKVlA(l)*UE VIA C3J + VARJ 2/3,0

VECA3Í 3)=!)fc;VlA(l)*utVlAf2)-DEVIAC4'»*l)EVIAf4)+VAHu'2/3.0VKCft 3 f 41 =-2 . O*nFVIA ( 3 ) *nt:V IA ( 4)GO TO (1.2)NCRIT

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* VfcCAirRETUPH

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cC ***PKOGWAMAC .PRWA DfciTklHHINAR U VETOK,U = l)*AC DCC $••*•****••••****•*•**••*****•*•*••*•*•*•****•* * * * * * * * * * * * * * * * * *

ÜMKiJSIPM AVLCTC4) ,I)VECT(4) , PRüPS ( "M AT.S , b )Cn,-im;iM/pfc1f?AL/lH.IW,NT5.NT6,NT7

. 1), 2 )

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1 * C l . o - 5 . n * P U I S S ) )i- DVrfTf n = F.-iUL

DO 10 IST«1=1.USTR110

SUKRUUTTNE RI(JK3D(TSTIF.IELFTF.LN0DS»MT0TV.S5TTF,MEVAB, MELEM,• NLLIM.LB,MAXLB,NTOTV)

cC 4*ft**4t******************************************************cC • **Pi<0<1RA*AC .PflHfl ^UffTAR A MATRIZ DE RJGlnL'X DA ESTRUtüRA fEM BANDA)C

KK(6) .tSTlF(MEVAB,HEVAb) , INOUS ( MELEM , 3 J , 5STIFÍ MTUTV ,1)

CUMMOM/OKRAL/1R.1W,K K ( 1 ) s 2

KK ( 3 ) = 2 * ! i N U n s ( 1 EI.EP . ? ) - 1KK(4)= '2*LNni )S ( lKliFM ,7)

E[iEK. J )DC 4 0 0 1=1.b

DO 10 0 ,1=1,6L=KK(JJ-K+1IFCL .T .T . l ) GO TCI 300

IF(?.,».f íT.MAXLB) STOP 'LARGURA PE BAWDA SUPEPIUR A MAXLB1

S S l f F f K . L ) = S S T l F ( K , b i + K S T I F ( I # J )300 C'OtJTXMUF400 COlJTIf.'UF

1FC ni:i.,l::M.riB.Ht:LEH)(i0 TO 700C WR1TKfIW.500)LB.NTOTVCbOO FORM4T( «flATRXZ ÜE P IGIDFZ 1>A ESTRUTUKA-Hl • , • LBs > , 13 , • WTOTV= ' , I 3 )C YiHITKf I W , h O 0 ) ( ( S S T l K ( I , J J , J s l , L B ) , lC hOO F O « M A T ( « ( E 1 4 . 3 , 5 X ) . / )700

S»JtíRU'!TTS«K SKR 2 (L>fc"K I V . L T A S P , EX J S P , Nt40Dfc,SHAPfc)C ** + *t**** ***********************************************•********!CC ***PRnt;wAHA PAPAC .ürTKHMIM&K A3 FUNÇÕES DP FORMA PARA O ELEMENTO TRIANGULARC .OFTKNM1NAP AS DERIVADAS DAS pUNCÜKS DF FORMAC

cC ***FlH»CnES Dr; FORMA***C

SHAPE M l =SSHAPEf21=T

^ S H AP?-r 11 s i, ~a—Tto CI C •••PERIVADAS DAS FUNÇÕES DE FORMA***

DtRTV(1 .1) = 1.DERTVd ,2)=0.ntRIVfl ,i)s-l.U«-:R7V(2.1)=O.

UFRT\,'(2.2)=1.DERTVf2.3)=-l.RKTUrtW

SUBROUTINE JACnb2(CARTD.Dfc.RIV,DdACR,£l.CDD,GPCnD.IELEM,NNüDE,* SHAPE}

PAPAC .CALCULAR A MATKIZ JACOBIANAC .CALCULAR AS DEH1VAUA5 CAHTESlANAS DAS FUNÇÕES DE FORMACC ttOM*********************************************************

Dlri-.iSinM CAKTO(2.6),DbHIV(2,6),6LCOl>(2.3),GPCC)D(2,6),SHAPK(4)t* X.JACI(2.2).XJACM2,2)

COMMúH/CEPAL/ 1 K . IW , NT5 . HT6 , NT7CC •••TAI.CtH.A AS rnfiHUKMADAS DOS PC'NTnS (GAUvSS)C

Dd ? TDTME=1,2«PCOU(in!ME,l)=0.0DO 7

2 trocC *#*rHTA A fATRIZ JACOIUANA***

c[)O 4 1UTMK=1,2DO 4 JUTHfc:=l,2

[)O 4 IKDDEsl • MfiODKXjí\nnTnlME.JDIMí:)

* kLCrOfjnlMt,ifi((|)£-)4 C

cC ***rALCULA O DETERMINANTE E A INVERSA ÜA MATRIZ JACOBIANA***C

Ov)AriisXt7ACM(l,l)*XjACW(2,2)-XJACM(l , 2 ) *X.JACM C2 ,1 )IK(l).JAC»)6.b»8

STOP

H l . l ) s X J A C M ( 2 , 2 ) / D i ) A C ü

XJAClí1.2)3-XJACM(l,2)/DJACBÀJATU 2.1 )=-XJACM(Z. D/DJACB

CC ***rAICHLA Afí Ü^HTVADAS CARTtSIANAs*•*C

Uí) 10 I M H ' : 1 , VD l 1 1 •> l

po i o «injMKsl . 2CAKTüf i n T K K . l M ü D K ) « C A R T D d D IME, I N O n E ) * X J A C K I D I M K f J D I M E )

* •Db:RlV(»1[) IME, lNU0E)10 CÜ IT lMUrfiOO F0RM4TC//,' fcXKCUCAO DU PRüGKAfiA P A R A L I Z A D A NA SUBROUTINA JACOH

* 2'./.llX.' »KKA NEGATIVA ÜU NULA',/.10X,' NUMURO Oü ELEMENTO1,* 13)

lK DbR(BMATX.DbMAT,DMATX,MFVAB,NEVAB,NSTRE,NSTRl)

CC ***FSTA SUHHClllTirJA MULTIPLICA A MATRIZ H PELA MATRIZ DC

DI MFÍIS J ON BMATX ( b . 6 ) . PBM AT ( 4 , 6 ) , UM*1X ( 4 , 4 )UD 7 TvSTKRsl ,MSTK£UO 1 TKUA«=1 .f'FlVAKDPMATfTSTHfc;,IKVAB)=0.01)0 ? JSTKKsl , MSTRfc.

T S T « t ; . i e v A B ) = D H M A T ( I S T R E , T t V A B ) + l ) M A T X ( I S T R E , J S T R E ) *

«ETURMEND

SUBROUTINE INCLOfH.IELKM.LNCjDS.KiELEM.NNODt.KONT)DIMENSION R(6,b) ,LNÜÜS(Ht'LKN .3)Crn'HPtj/lMCL/^JNt'l., ALFA( 1 )

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100 CONTINUEIF(KONT.FÜ.O) RHTUKU

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200 R(I.,n=0.DO 300 1 = 1 ,b

100 PtI.T)=l.

00 400 INODF.= 1,M«ODELilODF=IAM£>(LNüC'S(IELEM.INUDL) )J M AHS (A1,h ft (LMOUFn.LT. DELTA) GO TO 4U0Jr/.+ T1*J-1

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-100 CüMTMJECC « ) K l T F ( 4 2 . 2 2 1 ) l E L E M . ( ( R ( I . J ) . I c l , 6 ) . J s l > b )C2?l FORMftTf1 IKbTM ='.1b.6(/,bE12 , 5) )

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DO 170 Jrl.bI.CAD(IELEM.J)

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Du i n T=1,NINCLPf AOf Í P . 1 )IhCL..AI.FA(JMCrJ)

1 K)RN.Ai ' ( lS,F10.!>)1%H1IF(TW.3)INCL.ALFA(TNCL)

3 KORMATf IX, ' fl>) = '.15.1 ALFA ='.H0.5,« GRAUS»)ALFAf INCI.)sALFA(IíiCL)*4.0*AIAU(1.0)/lH0.

10 CuNTlNUK

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Cür-.MUM/f:tRAL/lP.IW,NT5,NT6.N17CC *#*lwTRfiUUZIK U VETÜR ELOAD NO Vf.TnK OK CAHGA TOTAL (CARGA ) • • •C

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C

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DO 400 TPUFMsl.NDOFN1 = 1 + 1

400 CONTINUF410 COiiTC W R TC ?000 F0KVí.T(' VíTHR UFJ CARGAS (RES IÜUoSÍ NKSTA ITERAÇÃO • ,//)C «PITfcf lV/,->lOO)(I,CAPüfl(I).I=l,NTnTV)C2100 FPKfATÍlXfl5.5Xffcl0.3»/)

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HO 500 M=1,NVFIXlsWOFTXTN)ijHüv*B5(T-l)*fiünFr1)0 4' jn M=l,riL)O(ri|

IF(TCrtin450,450.43!0420 CAHGftf»ROWH)=0.4bO COtJTINO»"490 COUTINUFbOO cnrJTlKUr

KETMKW

SUBROUTINE HtSjDUC ASpIS.COÜRU,EFKSTt *LUAU,FACTU,1ITER»LNODS,* LPRUP,MATNO,MELFM,MMATS,MPOIN,MTOTV,NDOI-'N,

NELEM,NEVAB,NNOOE,N5TK1,PROPS#NSTRE,STRSG#

TDISP,EPSTN/fcLDfS.ELCOD.NTOTV)C

Q

CCC .RF'JUZIR AS TENSOfc'S PARA A SUpEKFIClE DE ESCOAMENTOC .CALCULAM AS FORCAS NÚDAIS fcÜUlVALENTESCC **.***.^*t*******************************************************

ÜlMFüSlOM ASDtS(MTUTV).AVKCT(4J,C0ní<D(NP0IW.2)lDEVIA(4),DVECT(* 4).EFFST(MÊLtM),ELCUUC2,NNODE),ELDISCNEVAD)>

* EL0AD(MELtM,6)»LNOnS(MELEM,3),PROPS{MMATS,6),* STRAN(4).SIRKSC4),sTKSG(4,MELEM),DfcSI«(4) ,* SlGMA(4),S(iTUTl4).DMATX(4,4),EPSTN(MELEM),TDISP* (MTC)TV),HATNOCMELEwi)»BMATXC6,6),A(3),B(3),C(3),* MOS(3).ZUS(3),PFl3).KB(3),BMVOL(6,6),R(6,6)

CU1í.'üH/GKRAL/lR.IW.NT5,NT6,NT7CCliiMuN/CKITY/MCRIT.SlNT3,THETA

R U O T 3 = 1 . 7 3 2 0 5 0 8 0 7 5 7T W O P 1 = B . * A T A N ( 1 . 0 )0Ü 1 0 lF-LrEM=l rNELKMü ü 1Ü I f . : V A r i = l , f j E V A O

1 0 h L U A U C I K I . ( £ ' , , I £ V A b ) = 0 . 0DO 2 0

C l F ( - H 4 . ( a i . 5 ) < ; 0 TÜ 1 0 0 1 1C vitfT r r ( ] •», 1 0 0 0 2 ) M 4C I O Ü O ^ í - ü R U T f 1 E L E w E N T O s i . I 5 . 5 X , «EU R E s I Ü U ' , / / / )C 1 0 Ü H C t > j J r H " u -

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DO HO i m j F ' i i s l ,1 = 1+1

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CALL

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CALL Fl,n.iPl,(AVKCT.AHfcTA.0VECT,PPCP5#LPK0P,IJSTRl,MMATS)C I F f -4.CE.5JGO TV 10019C * R m ( T * . t ' J 0 2 , m D V E C T ( I ) . I s l , N S T R l )C10022 FüR.-tATC Vr.TuR LD = I)*A (DVECT ) = ' , 4 ( E l i.. .1, 5X) , / / )C10019

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260 SifcSut ISTRl . lEbtiM) =BRlNEH-'SIT IFLKH)=HRIi1iG*YlELDGU I'O 190

60 DG itíO ISTRl=l.MSTKl

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EFFSl(lFLEr!)=YlELDCC ***CALCHLA AS FORCAS NÜDAIS EOUIVALENTKS E ASSOCIAC CUM 05 NOS 'JO ELEMENTO***C190 C0NT1MUF

CALL F^^l(lt!jt:M,Ht;L.C^,HSTRL,Nk;VAB,NN0UE,NDOFN,TWOPI,

CALL *>>X(^ .L^A lX* rjUUK" ,t4S'IHE , PI ,F2,R3.fc.LOAD)

tin"' It-''20 CD ml Iruir

r>u '10CALL I M C I J O C R , J L L t M , I I^OoS, MELEM # NN0DE, KON'J1)l F ( K O N T . G T . O ) CALL U C l , 3 U IÜA.D , KFJLhM , I&1.KM,P.)

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APLICAÇÃO DOS MÉTODOS QUASE-NEWTON NA ANÁLISE DE VASOS DE ...

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