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Apndice IV

Notas biogrficas de cinco gigantes da matemtica que contriburam para a anlise complexa: Euler, Gauss, Cauchy, Riemann e Poincar

As introdues dos vrios captulos tm notas histricas que referem aspectos essenciais do desenvolvimento da anlise complexa de uma varivel. Foram referidas vrias vezes contribuies para o estudo das funes complexas de L. Euler (1707-1783), C. Gauss (1777-1855), A.L. Cauchy (1789-1857), B. Riemann (1826-1866) e H. Poincar (1854-1912). Trata-se de cinco das maiores figuras de toda a histria da matemtica com importantes contribuies em vrios domnios da matemtica e das suas aplicaes. A coincidncia de terem sucessivamente contribudo de forma decisiva para o estudo das funes complexas um facto de importncia assinalvel, pelo que se termina este livro com uma nota histria que resume as biografias destes cinco matemticos excepcionais. Leonhard Euler (1707-1783) foi referido no captulo 1 a propsito da definio de nmeros complexos, da adopo do smbolo e da relao entre funes trigonomtricas e a funo exponencial; no captulo 2 a propsito da frmula de De Moivreno captulo 3 a propsito da diferenciabilidade de funes complexas, das transformaes conformes e de aplicaes das funes complexas em hidrodinmica e cartografia; no captulo 4 a propsito da introduo de integrais de funes complexas; no captulo 5 a propsito do clculo de somas de sries, da obteno de sries de potncias para as funes exponencial, seno e coseno, e da fundao da teoria analtica dos nmeros; no captulo 8 a propsito da considerao de funes harmnicas, de hidrodinmica, da Funo Zeta de Riemann e de produtos infinitos de nmeros complexos.

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236 Notas biogrficas de cinco gigantes da matemtica Euler terminou a universidade em Ble em 1724. Publicou o primeiro artigo quando tinha dezoito anos, seguidamente escreveu sobre a propagao do som e, depois, candidatou-se a um prmio da Academia das Cincias de Paris para a mastreao de navios que ganhou com um trabalho em cujas concluses considerava desnecessrio verificar os resultados experimentalmente porque como eram deduzidos com base nas fundaes mais seguras da mecnica, a sua verdade ou correco no podiam ser questionadas. Esta atitude foi uma constante na sua vida, ao longo da qual considerou o poder dedutivo como tendo uma inquestionvel supremacia. Pouco depois de concluir a universidade foi para a Academia de S. Petersburgo onde ficou at 1741. De 1741 a 1766 Euler esteve na Academia de Berlim. Regressou Academia de S. Petersburgo em 1766 onde permaneceu at 1783. Ficou completamente cego em 1766, embora s visse por um olho desde 1735. As reas acima mencionadas so uma pequena parte das importantes contribuies deste matemtico que tocou profundamente em praticamente todas as reas da matemtica do seu tempo e das suas aplicaes, incluindo equaes diferenciais, clculo de variaes, geometria, teoria dos nmeros, cartografia, mecnica de slidos, mecnica de fluidos, mecnica celeste, ptica, hidrulica, construo de navios, artilharia, teoria da msica, etc. Euler teve um papel importante na adopo de notaes matemticas bsicas. Por exemplo a notao para a rea do crculo de raio 1 apareceu pela primeira vez em 1706 nos trabalhos de William Jones (1675-1749) e s comeou a generalizar-se a partir de 1790 devido grande difuso dos trabalhos de Euler que comeou a usar esta notao em 1736. A notao para a base dos logaritmos naturais apareceu pela primeira vez num manuscrito de Euler de 1727-1728, s publicado em 1862, e numa sua publicao de 1736, tendo sido amplamente adoptada a partir de 1790. de notar que o uso das notaes

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e e teve excepes importantes to recentes quanto 1871, nomeadamente em publicaes de referncia como as tabelas matemticas de J.M. Pierce. A notao para a unidade imaginria apareceu pela primeira vez numa memria apresentada por Euler em 1777 Academia de S. Petersburgo, mas s publicada em 1794, e apareceu pela segunda vez numa publicao de Euler de 1801. Nesse mesmo ano C.F. Gauss comeou a usar regularmente esta notao e a partir de 1851 foi adoptada por A.L. Cauchy. O uso da notao para a unidade imaginria s se generalizou a partir de 1890.

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O nmero das publicaes de Euler identificadas por Gustav Enestrm totalizou 886. A sua influncia na gerao seguinte de matemticos foi enorme. Pierre-Simon Laplace (1749-1827) costumava dizer a matemticos mais jovens Leiam Euler. o mestre de todos ns. e C. Gauss escreveu O estudo dos trabalhos de Euler permanecer como a melhor escola para os diferentes campos da matemtica e nada poder substitui-lo. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi referido no captulo 1 a propsito da introduo da designao nmero complexo e da concepo dos nmeros complexos como pontos de um plano; no captulo 4 a propsito da noo de integral de uma funo complexa; no captulo 5 a propsito da convergncia de sries; no captulo 6 a propsito da demonstrao do Teorema Fundamental da lgebra; no captulo 8 a propsito das funes harmnicas, da teoria do potencial, da Propriedade de Valor Mdio para funes harmnicas e da Funo Gama; no captulo 10 a propsito de funes elpticas e de geometria no-euclideana.. Gauss estudou de 1795 a 1798 na Universidade de Gttingen e doutorou-se em Helmstdt em 1799. Foi director do laboratrio astronmico e professor da universidade de Gttingen. A tese de doutoramento de Gauss, em 1799, foi um marco na histria da matemtica ao avanar decisivamente na demonstrao do Teorema Fundamental da lgebra que tinha iludido os esforos de grandes matemticos anteriores, como dAlembert, Euler, Lagrange e Laplace. Embora esta tentativa de demonstrao estivesse incompleta, Gauss foi o primeiro a provar este teorema para polinmios com coeficientes reais, em 1816, e apresentou uma outra prova em 1849, agora para polinmios com coeficientes complexos, seguindo as ideias da sua tentativa de 1799. Gauss teve importantes contribuies em teoria dos nmeros, mecnica celeste, geodesia, lgebra dos nmeros complexos, geometria, teoria do potencial, equaes diferenciais. No mbito da geometria, iniciou o tratamento de superfcies pela chamada geometria intrnseca, introduzindo a descrio mtrica local de superfcies e a ideia de curvatura, bem como a sua relao com a mtrica. O clebre Teorema Egregium de Gauss foi um contributo determinante para o desenvolvimento da noo de variedade diferencial

IV. Notas biogrficas de cinco gigantes da matemtica 237 independentemente do espao onde realizada. Com estes resultados Gauss contribuiu decisivamente para a fundao da geometria diferencial. Em 1820 Gauss detinha os principais resultados da geometria no-euclideana, designao que se deve a ele prprio, mas no revelou as suas concluses que contrariavam as filosofias dominantes sobre o espao, devidas a Kant, que consideravam a geometria euclideana a nica maneira correcta de pensar sobre o espao. Gauss no quis envolver-se em disputas sobre este assunto de forma a no perder tempo. Escreveu numa carta a Bernal: Provavelmente no vou escrever as minhas investigaes muito detalhadas sobre este assunto durante um longo perodo. Talvez durante a minha vida, porque temo a agitao que ouviramos dos Boecianos se me expressasse sobre este assunto. A partir de 1830 Gauss contribuiu significativamente para vrios ramos da fsica, nomeadamente para a teoria da tenso superficial, para a ptica onde introduziu a noo de comprimento focal de um sistema de lentes e inventou a lente grande-angular de Gauss com o objectivo de reduzir a aberrao cromtica, para o geomagnetismo de que foi um dos fundadores, para a teoria do magnetismo e para os mtodos de o observar. James Clerk Maxwell (1831-1879), no prefcio do seu fundamental Treatise on Electricity and Magnetism de 1873 refere que Gauss no s acrescentou significativamente o conhecimento da teoria da atraco magntica, como reconstruiu toda a cincia magntica no que respeita aos instrumentos usados, aos mtodos de observao e ao clculo de resultados, de tal forma que as suas memrias sobre o magnetismo terrestre podem ser tomadas como um modelo de investigao fsica por todos que estejam envolvidos na medio de quaisquer foras da natureza. Aps a morte de Gauss descobriram-se manuscritos seus que revelaram uma grande quantidade de importantes trabalhos que no tinham sido publicados. Numa carta enviada por Gauss ao seu amigo dos tempos de estudante Wolfgang Bolyai encontra-se a seguinte extraordinria passagem: No o conhecimento mas o acto de aprender, no a posse mas o acto de ali chegar, que me d o maior prazer. Quando acabo por clarificar e explorar completamente um assunto, ento afasto-me dele para entrar na escurido outra vez. A propsito de Gauss, L. Kronecker escreveu: O nome de Gauss est ligado a quase tudo o que matemticos do nosso sculo desenvolveram como ideias originais. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) foi referido no captulo 3 a propsito das noes de limite e derivada; no captulo 4 a propsito da noo de integral de funes complexas, do Teorema de Cauchy, da Frmula de Cauchy e da Propriedade de Valor Mdio para funes diferenciveis; no captulo 5 a propsito das noes convergncia de sucesses e sries e de funo, do Teorema de Liouville (funes analticas limitadas em todo o plano complexo so constantes); no captulo 6 a propsito da representao de funes diferenciveis por sries de potncias; no captulo 7 a propsito do Teorema de Cauchy em regies simplesmente conexas; no captulo 8 a propsito da noo de resduo, do Teorema dos Resduos e do primeiro critrio de convergncia para produtos infinitos. Cauchy completou a cole Polytchnique de Paris em 1807 e o Institut des Ponts et Chausses em 1810, aps o que iniciou carreira como engenheiro at 1813, primeiro na construo do canal de Ourcq e depois no dique de Cherbourg. Seguidamente leccionou na cole Polytchnique at 1830, onde iniciou o seu esforo de tornar rigorosa a anlise matemtica. De 1830 a 1833 foi professor de fsica matemtica em Turim, e entre 1833 e 1838 esteve em Praga de onde regressou a Paris. Depois de um perodo de quatro anos no Bureau des Longitudes, em que contribuiu com trabalhos significativos em astronomia matemtica, foi professor na Sorbonne a partir de 1848. As actividades de Cauchy englobaram um amplo leque de domnios, incluindo teoria da elasticidade, de que foi um dos fundadores, ptica, mecnica celeste, geometria, lgebra, teoria dos nmeros. O seu nome est definitivamente ligado refundao da anlise matemtica, numa fase em que foram tornados rigorosos os conceitos bsicos desta rea, incluindo as prprias noes de limite, derivada e integral, para as quais Cauchy contribuiu de forma decisiva. tambm a Cauchy que se deve a definio de funo dos nossos dias, como correspondncia entre elementos de dois conjuntos, ultrapassando as noes imprecisas anteriores baseadas na identificao de funes com expresses algbricas ou analticas que foram origem de vrias dificuldades. A mesma definio j tinha sido adoptada nas lies de B. Bolzano em 1817, as quais permaneceram pouco conhecidas durante mais de cem anos, pois s foram publicadas em 1930. Tambm foi Cauchy que fez a primeira prova de existncia de solues de equaes diferenciais, em 1836.

238 Notas biogrficas de cinco gigantes da matemtica A produtividade cientfica de Cauchy foi apenas ultrapassada por Euler. Era to grande que a Academia das Cincias de Paris resolveu restringir o nmero de artigos que um membro podia apresentar anualmente para publicao. Publicou quase 800 artigos e as suas obras completas preenchem 27 grandes volumes. Bernhard Riemann (1826-1866) foi referido no captulo 1 a propsito da introduo do plano complexo estendido e da Superfcie Esfrica de Riemann; no captulo 3 a propsito das condies de Cauchy-Riemann para diferenciabilidade de funes complexas; no captulo 5 a propsito da definio de funo, do Teorema de Unicidade de funes analticas (funes analticas numa regio que coincidem num conjunto com pontos limite so iguais), do Princpio do Mdulo Mximo (o mdulo de uma funo analtica no constante numa regio no pode ter mximos locais), e do correspondente resultado para mnimos (o mdulo de uma funo analtica no constante numa regio s pode ter mnimos relativos em pontos onde se anula); no captulo 6 a propsito do Teorema da Aplicao Aberta (a imagem de um conjunto aberto por uma funo holomorfa no constante um conjunto aberto) e do Princpio de Simetria ou Reflexo; no captulo 7 a propsito da noo de conectividade de uma regio ou de uma superfcie; no captulo 8 a propsito da Funo Zeta de Riemann, da distribuio dos nmeros primos e da Hiptese de Riemann (os zeros da funo zeta de Riemann na faixa crtica 0 Re 1z tm parte real .); no captulo 9 a propsito do Princpio de Dirichlet; no captulo 10 a propsito do Teorema da Transformao de Riemann que estabelece a existncia de homeomorfismos conformes que transformam qualquer regio simplesmente conexa propriamente contida no plano complexo no crculo aberto de raio 1, das funes elpticas, do prolongamento analtico, das Superfcies de Riemann e da Geometria Riemanniana. Riemann estudou nas universidades de Gttingen e Berlim. Obteve o doutoramento na Universidade de Gttingen em 1851. Em 1854 foi nomeado Privatdozent (professor sem salrio) em Gttingen e, depois de ter sido promovido a professor assistente por Dirichlet que em 1885 foi nomeado para a cadeira de Gauss quando este morreu, acabou por suceder a Dirichlet na mesma cadeira, em 1859, onde se manteve at ter morrido com apenas 39 anos. A tese de doutoramento de Riemann, apresentada em 1851 na Universidade de Gttingen com o ttulo Bases da Teoria Geral das Funes de Varivel Complexa, continha aspectos fundamentais desta rea, em particular a clarificao das agora chamadas equaes de Cauchy-Riemann na diferenciabilidade de funes complexas, o Teorema da Aplicao Aberta e o Princpio da Conservao de Domnio, o Princpio do Mdulo Mximo, o Teorema de Unicidade de funes analticas, o prolongamento analtico, as chamadas Superfcies de Riemann que vieram a ser uma das bases da noo de variedade diferencial e da geometria diferencial, o Teorema da Transformao de Riemann. Para estudar as Superfcies de Riemann introduziu um conjunto de conceitos topolgicos, entre os quais a noo de conexidade. Estas contribuies fizeram de Riemann um dos fundadores tanto da geometria diferencial como da topologia. Em 1854, como candidato a Privatdozent, publicou uma segunda tese Sobre a Representao das Funes por Sries Trigonomtricas, onde desenvolveu o conceito hoje conhecido por integral de Riemann, estabeleceu condies necessrias e suficientes para a sua existncia e lanou as bases do desenvolvimento do integral de Lebesgue. Um outro requisito que tinha de preencher para a aprovao era a apresentao de uma lio num tpico escolhido pelos professores entre trs indicados pelo candidato. Era usual seleccionar o primeiro dos tpicos indicados, mas Gauss forou a escolha do terceiro tpico indicado por Riemann, relativo aos fundamentos da geometria, pois tinha curiosidade de ver como aquele brilhante candidato lidaria com este desafio em que Gauss tinha pensado profundamente durante dcadas. Esta escolha levou Riemann a abandonar os tpicos a que se dedicava na altura, nas suas palavras as minhas investigaes nas ligaes entre electricidade, magnetismo, luz e gravitao, para preparar a lio sobre os fundamentos da geometria em dois meses de trabalho intensivo. A lio consistiu nas bases da chamada Geometria Riemanniana que teve um papel crucial no desenvolvimento da geometria diferencial e da topologia e veio a ser o quadro apropriado para a teoria geral da relatividade desenvolvida por Albert Einstein (1879-1955) 60 anos depois. Nos anos seguintes Riemann leccionou um curso Sobre as Hipteses de Base da Geometria cujo texto foi publicado postumamente em 1868 e teve um papel essencial, precisamente no desenvolvimento da geometria diferencial e da teoria da relatividade. Riemann teve tambm contribuies importantes para a teoria de equaes diferenciais e para a teoria dos nmeros. Nesta rea publicou em 1859 um artigo dedicado distribuio dos nmeros primos que, embora no ultrapassando dez pginas, veio a exercer uma profunda influncia em estudos ulteriores. Nesse artigo foi introduzida a clebre Funo Zeta de Riemann, a funo complexa definida por

IV. Notas biogrficas de cinco gigantes da matemtica 239

= /1)( sns =0n . Entre vrias questes sobre esta funo que levaram criao de importantes subreas da matemtica nos cem anos seguintes, formulou a clebre Hiptese de Riemann que permanece sem soluo at hoje: todos os zeros da funo com parte real em [ tm parte real igual a 1 . ]1,0 2/ As ideias contidas nos trabalhos de Riemann impressionam pela sua profundidade e por terem sido desenvolvidas num curto perodo de uma dcada e meia, o que no impediu que tivesse sido um dos matemticos que mais influenciou futuros desenvolvimentos da matemtica. Henri Poincar (1854-1912) foi referido no captulo 4 a propsito da noo de homotopia; no captulo 6 a propsito da noo de ordem de uma funo inteira; no captulo 7 a propsito das noes de cadeia, ciclo e homologia; no captulo 10 a propsito da unicidade de transformaes de Riemann de regies simplesmente conexas propriamente contidas no plano complexo no crculo unitrio de centro na origem (quando a imagem e a derivada num dado ponto so especificadas), de um modelo para a Geometria Hiperblica ou de Lobatchevsky no crculo unitrio do plano complexo, de funes analticas globais, do Teorema de Poincar-Volterra (o conjunto de elementos de uma funo analtica global centrados num ponto numervel) e do estudo de funes automorfas (invariantes sob um subgrupo discreto dos automorfismos de um crculo). Poincar foi aluno na cole Polytechnique entre 1873 e 1875 e depois frequentou a cole des Mines. Trabalhou como engenheiro em Vesoul. Doutorou-se na Universidade de Paris em 1879 com uma tese em equaes diferenciais e obteve uma posio na Universidade de Caen. Em 1881 foi nomeado para a Universidade de Paris e em 1886 obteve nesta universidade um lugar de professor de fsica matemtica e teoria da probabilidade. Mais tarde ocupou a ctedra de astronomia na cole Polytechnique. Poincar dominava um conjunto impressionantemente amplo de assuntos e contribuiu profundamente para muitas reas da matemtica e das suas aplicaes. Leccionava sobre uma matria diferente em cada ano, apresentando contribuies para reas muito diversas, como equaes diferenciais, teoria do potencial, topologia, lgebra, teoria dos nmeros, luz, electricidade, conduo do calor, capilaridade, electromagnetismo, relatividade, hidrodinmica, mecnica celeste, termodinmica, probabilidade. As suas contribuies para a mecnica celeste foram muito importantes e deram origem a trs volumes dos seus Mthodes Nouvelles de la Mcanique Celeste, publicados em 1892, 1893 e 1899, a que se seguiram trs volumes de natureza principalmente pedaggica das Leons de Mcanique Celeste, em 1905, 1909 e 1910. Tambm teve contribuies fundamentais para a geometria algbrica, com trabalhos publicados em 1910-11. Foi um dos fundadores da chamada teoria qualitativa ou geomtrica de equaes diferenciais que veio a dar origem teoria dos sistemas dinmicos. Foi, ainda, um dos principais fundadores da topologia algbrica, rea para que contribuiu com seis artigos, o primeiro dos quais em 1894. Poincar foi o principal fundador da anlise complexa de vrias variveis, com contribuies em 1883 para funes racionais de duas variveis, em 1895 para o estudo de sub-variedades algbricas de , em 1886-87 para a extenso do Teorema de Cauchy s funes de duas variveis complexas e para as bases da teoria multidimensional dos resduos, em 1907 para o estudo de funes biholomorfas em regies de .

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Henri Poincar tambm se dedicou divulgao da matemtica, da fsica e da filosofia das cincias para o grande pblico, tendo as suas publicaes tido um considervel impacto.

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Apndice IVNotas biogrficas de cinco gigantes da