Apostila 3 bim 7 ano escola nova

MATEMTICA 3 BIMESTRE/2015 7ANO

Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes

3 BIMESTRE ESCOLA NOVA CRIANA E CIA

2015

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Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes

Mestre em Educao Matemtica UNESP (Rio Claro) Capes 6 Licenciado em Cincias / Matemtica Guaxup

Licenciado em Pedagogia (Administrao e Superviso Escolar) Jaboticabal Especialista em Matemtica UFSJ

Especialista em Matemtica - Guaxup Especialista em Metodologia do Ensino da Matemtica Jaboticabal

Aprovado em 1 lugar em 2003 em concurso com 250.000 concorrentes

Ex-elaborador de questes para o ENEM/ENCCEJA - INEP

Teleconferencista e Produtor de Material Didtico pelo IESDE Brasil Ex-formador de Professores de Matemtica na Rede Federal

Professor desde 1994

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INTRODUO

Esse material foi elaborado durante 20 anos de trabalho docente, e, muitas vezes so inspirados em outros livros e textos coletados na Internet. Foi organizado para ser utilizado na Escola Nova em Monte Santo de Minas nos meses de agosto, setembro e primeira semana de outubro, para as disciplinas de Matemtica e Geometria do 7 ano, pelo Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes, no ano de 2015. Os gabaritos e roteiros de estudos sero entregues separadamente. Todos os vistos sero feitos nesse material, onde h razovel espao para resoluo. Os contedos trabalhos so os contedos tradicionais do 7 ano / 6 srie, abordados no mesmo nvel de profundidade que a maior parte dos livros didticos. Matemtica exige dedicao e um certo esforo. Percebemos que no Brasil e no Mundo os estudantes demonstram muita dificuldade na disciplina, e, se esta for estudada com mais dedicao pode fazer uma diferena muito grande em vestibulares, concursos e processos seletivos no futuro. O contedo de Matemtica precisa ser aprendido cedo, na hora certa, e exige dedicao do aluno e apoio da famlia para que o estudante tenha tempo e local para estudar. Recomendamos tambm acesso Internet para assistir vdeos sobre os assuntos e estudar. A autonomia muito importante para aprender Matemtica. Alm de ficar atento todas as aulas, os estudantes devem em casa e sozinhos treinar uma grande quantidade de exerccios. No produtivo o professor corrigir todos os exerccios em sala de aula, pois a quantidade de exerccios necessrias para um bom aprendizado demanda tempo superior ao possvel. O aluno tem que aprender a estudar sozinho e utilizar os momentos de aula para tirar dvidas, socializar idias, aprimorar o conhecimento e aprender com o professor os caminhos para o aprendizado. O fracasso do ensino da Matemtica no Brasil e no Mundo est na insistncia das frmulas prontas e repetitivas. A Matemtica exige alm do treino tambm raciocnio autnomo, anlise dos problemas, interpretao, etc. um questionamento comum o aluno dizer que tem outras matrias e no somente a Matemtica. Sobre isso, temos algumas argumentaes em favor da grande quantidade de exerccios:

A Matemtica demonstra ser a disciplina onde os estudantes no Brasil demonstram maior dificuldade, talvez pela sua profundidade e nvel de abstrao.

A carga horria de Matemtica (includa a Geometria) corresponde a cerca de do currculo da turma.

A Matemtica exige no apenas o estudo, mas acostumar-se com as tcnicas e regras, o que exige treino, domnio e disciplina.

Notamos que os alunos com melhor desempenho nas provas no so os estudantes com

mais facilidade, talento ou aptido, mas aqueles que tem disciplina de estudo, dedicao e perseverana.

Ento vamos aproveitar as oportunidades!

Muzambinho/Monte Santo de Minas, 31 de julho de 2015

Prof. Otvio Sales

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UM NOVO ENSINO DE MATEMTICA

Texto de Lus Mrcio Imenes e Marcelo Lllis, Retirado do Manual do Professor do livro de Matemtica dos dois (1997)

POR QUE MUDAR? Todos conhecem o velho medo da Matemtica. Ele pode at ter diminudo, pois, com o mundo em mudana, o ensino naturalmente progride. Mas, mesmo hoje, a Matemtica ensinada da maneira tradicional a disciplina que apresenta o mais baixo desempenho dos alunos e , ainda, a que mais reprova. Isso acontece no Brasil e no mundo inteiro! Tanta dificuldade exigia um remdio. H tempos, psiclogos, pedagogos, professores e matemticos de vrias nacionalidade vm estudando as causas do fracasso do ensino da Matemtica e as maneiras de evit-lo. Formou-se um movimento internacional dedicado educao matemtica, com propostas de mudanas bem-sucedidas nos contedos e nos mtodos de ensino. ONDE FALHA O ENSINO TRADICONAL? importante conhecer as principais causas do fracasso do ensino tradicional, para no repetir os mesmos erros: 1. A programao mal distribuda. 2. Desconsidera o desenvolvimento cognitivo do aluno. 3. H contedos que nem desenvolvem o raciocnio e nem tm aplicaes prticas. 4. O enfoque do ensino tradicional incorreto. Gasta-se mais tempo treinando clculos mecnicos do que trabalhando com idias. um duplo erro: na poca das calculadoras e dos computadores, o treino de clculo perde importncia; gastando tempo demais com mecanismos, os alunos no aprendem a pensar. O objetivo de todos ns, professores de Matemtica, desenvolver o raciocnio lgico do aluno. S que, no ensino tradicional, isso no se d plenamente! E COMO CONSERTAR? O movimento de educao matemtica, alm de detectar os problemas, tambm busca solues. Ele vem mudando currculos e formas de ensinar nos Estados Unidos, Frana, Espanha e tambm no Brasil. Atualmente, consenso entre os educadores matemticos que, no ensino bem-sucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa compreenso garantida quando eles participam da construo das idias matemticas. uma mudana significativa! No passado, professor bom era o que explicava tudo muito bem. Com as novas idias, professor bom aquele que prefere ajudar o aluno a descobrir, construir, pensar, em vez de dar tudo pronto. Sempre se falou que a Matemtica deveria desenvolver o raciocnio, mas isso nunca ocorria para a maioria dos alunos. Agora, finalmente, estamos chegando l. Muitas inovaes j atingiram as salas de aula, graas aos esforos de dedicados pesquisadores na rea de educao matemtica.

TEXTOS QUE ABORDAM A BAIXA QUALIDADE DO ENSINO DA MATEMTICA EVIDNCIAS PARA UMA MUDANA Educadores, pais, cientistas, polticos. Muitos colaboram, involuntariamente para o fracasso do Ensino da Matemtica, resistindo em mudar. Temos que mudar, a prova cabal da necessidade de mudana a situao que se encontra o ensino internacional. Na avaliao PISA, com vrios pases, o Brasil ficou no vergonhoso ltimo lugar em conhecimento matemtico. Muitas pesquisas apontam deficincias da aprendizagem e analfabetismo funcional, alm de m formao de professores e da pssima qualidade de livros didticos. A mudana desta situao, que afeta toda a sociedade, comea com a mudana do ensino da Matemtica.

O livro Exame de Textos: Anlise de livros de Matemtica para o Ensino Mdio, lanado pela Sociedade Brasileira de Matemtica, pelo Instituto de Matemtica Pura e Aplicada do CNPq e pela Fundao Vitae, em 2001 fazem crticas ao modo de ensinar no Ensino Mdio. No s na parte escrita, mas refletindo-se na forma de se ensinar. O livro foi organizado por Elon Lages Lima, mais renomado professor de Matemtica do Brasil. Sobre o programa da maior parte dos livros do Brasil, ele fala algumas citaes duras Apresentao obscura, Mistifica e deseduca, Um acmulo de impropriedades, definida incorretamente, anacrnica, o livro em questo no contribui positivamente para o aprendizagem da Matemtica, erros conceituais, definies e notaes inconvenientes, impreciso, obscuridade, confuso de conceitos e at mesmo contradies, desconexo entre conceitos apresentados em uma seo e suas aplicaes, no estimula o raciocnio dedutivo e indutivo, etc... Na pgina 180, ao analisar o livro Giovanni e Bonjorno volume 1, faz a importante citao:Uma pergunta que fica se algum aluno poder gostar de Matemtica, tendo estudado por um livro que lhes sonega as aplicaes interessantes e a estrutura lgico-dedutivo da Matemtica, dando a impresso que a Matemtica reduz-se aplicaes de frmulas misteriosas, obtidas a partir da observao de uns poucos exemplos. Alm disto, o presente livro pode estimular em alguns professores de Ensino Mdio o mau hbito de refugiar-se atrs de um algebrismo mecnico e estril, ao invs de enfrentar, junto com seus alunos, as questes desafiadoras que constituem a beleza e a utilidade da Matemtica. fundamental revermos urgentemente nossos livros e materiais didticos, pois, em sua maioria so materiais que

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sonegam aplicaes interessantes e a estrutura lgico-dedutiva da Matemtica, e tem poder destruidor. Tal material negativo em 100% dos casos. Se ensinar o que improvvel, pois n mximo pode levar decoreba ensina fazendo a pessoa odiar Matemtica e com razo.

TEXTO I

O caderno SINAPSE do jornal A Folha de So Paulo, publicou em 25/02/2003, uma grande matria, com chamada de capa, com o nome A Matemtica que conta brasileiro no bom de clculo, mostra pesquisa; pedagogia velha a nova vil da histria. Com 7 pginas sobre o alto grau de analfabetismo matemtico do brasileiro. A pesquisa aponta que 79% dos brasileiros so analfabetos em Matemtica. 32% apenas conseguiram realizar apenas tarefas como: anotar um nmero de telefone ditado, ver horas no relgio e verificar datas num calendrio. S 44% foram capazes de realizar operaes elementares de subtrao e adio com dinheiro. 3% foram considerados analfabetos totais, no conseguindo sequer anotar um telefone. A reportagem entrevista Ubiratan DAmbrsio, Clia Carolino Pires, Maria Ignez Diniz, Antnio Jos Lopes Bigode e Lus Mrcio Imenes, entre outros e considera a pedagogia tradicional como grande vil. Veja alguns trechos, que seguem das constatao das assustadoras estatsticas de analfabetismo funcional (s uma parte do texto):

Essa comparao permitiu que, no meio acadmico, os resultados da pesquisa sobre conhecimento matemtico no fossem considerados to ruins. Para alguns educadores, porm, essa percepo complacente em nada contribui para tornar realidade a ambio do desenvolvimento cientfico-tecnolgico do pas. o caso do professor Antnio Jos Lopes, ou Bigode, como chamado.

Autor de livros didticos para o ensino fundamental, Bigode procura desenvolver uma conceituao mais exigente para o analfabetismo funcional em matemtica. Nossa situao um caos estrutural, afirma Bigode.

O problema no est restrito ao Brasil, mas aqui a situao particularmente grave. Em comparaes internacionais, como a realizada pelo Educacional Testing Service, dos Estados Unidos, o Brasil sempre desponta entre as ltimas posies. Para Bigode, h consenso sobre a causa do problema: a falha na educao. A matemtica da escola no diz nada para o aluno sobre o mundo que o cerca.

A crtica vem dos tempos da matemtica moderna, que, concebida nos EUA, marcou profundamente o sistema educacional brasileiro at a dcada de 80. A herana da matemtica moderna foi um ensino centrado no clculo mecnico, carente de significado e construdo em degraus estanques, avalia o professor Luis Imenez.

A crtica ao movimento [da Matemtica Moderna] quase uma unanimidade no meio acadmico, mas h quem faa ressalvas. No era um movimento intrinsecamente errado, mas foi abortado ainda no seu incio, pois ningum se preocupou em preparar os professores e a sociedade, diz o pesquisador Ubiratan DAmbrsio. Esse um problema comum em todas as reformas: s depois pensam na formao do professor.

Na tradio brasileira, a formao do professor depende sobretudo do livro didtico. Esse material de apoio tem sido renovado. Nos ltimos cinco anos, surgiram diversos livros produzidos a partir de concepes mais modernas. Muitos so recomendados pelo Ministrio da Educao. Mas h resistncia de pais como de professores educados moda antiga.

Alguns no se conformam, por exemplo, com a pouca importncia que hoje se d s fraes [nota do autor: isto no um fato verdadeiro]. Muito implicam com a liberao do uso da calculadora em sala de aula, algo que Bigode no abre mo. O aluno precisa aprender a us-la com inteligncia, diz. Qual o sentido de ensinar, hoje, como calcular mo a raiz quadrada de 2?, pergunta. Autores contemporneos tentam a concordar com ele. Acham que o aluno deve perder menos tempo com contas e investir mais na resoluo criativa de problemas, usando o raciocnio e aprendendo a fazer relaes contextualizadas. A partir dos avanos da pedagogia, os matemticos tm usado diferentes recursos, como jogos, histrias, informtica, relaes culturais, ligaes com o cotidiano e modelos matemticos associados a situaes reais.

A forma tradicional de ensinar matemtica deixou muitas vtimas pelo caminho. Poucas conseguiram reagir, como o artista plstico Antonio Peticov, que repetiu cinco vezes a 2 srie do ensino fundamental por no saber matemtica. Tive um professor que disse, no primeiro dia de aula, que toda a classe seria reprovada, lembra. A matemtica tem de ser ensinada docemente, seno trava qualquer pessoa.

A ironia que Peticov, ao contrrio do que seu registro escolar sugere, tem especial talento para nmeros: tornou-se famoso internacionalmente por desenvolver uma arte baseada em diversos conceitos matemticos, como a regra de ouro um parmetro de proporcionalidade que foi um paraidgma esttico da arte clssica. Seu interesse levou-o a ser convidado a integrar o seleto grupo da Lewis Carroll Society, que rene especialistas em matemtica recreativa.

Autor de Alice do Pas das Maravilhas, Carroll no dispensava lies de matemtica e lgica em seu texto. Em certos momentos, Alice est perdida e pergunta aonde deve ir. A resposta que obtm tambm uma pergunta: Para onde voc quer ir?. Ela diz: Para qualquer lugar. Ora, ento tome qualquer caminho a soluo que recebe para o seu problema. Essa uma linda lio de lgica matemtica, diz Peticov.

Da mesma opinio compartilha o cineasta e arquiteto Jos Roberto Neffa Sadek, hoje superintendente do Ita Cultural. Depois de sofrer na mo de professores, Sadek persistiu em sua paixo e se tornou diretor de um dos projetos mais premiados do vdeo educativo brasileiro, a srie Arte & Matemtica (2001).

Para atender a aluno como esses, pesquisadores vm se empenhando nos ltimos 20 anos em abrir novas portas para o aprendizado, como a etnomatemtica, que se baseia no respeito s razes culturais do aluno, e outras ramificaes da cincia matemtica. O grande desafio fazer essa pesquisa chegar sala de aula, diz a matemtica Clia Maria Carolino Pires, da SBEM.

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Veja o grfico publicado:

RESOLUO DE PROBLEMAS

Um dos grandes paradigmas do ensino da Matemtica no Brasil o da Resoluo de Problemas. Este paradigma ficou claro com a obra do matemtico George Plya, A Arte de Resolver Problemas (How to solve it, no original), traduzido para o Portugus pela Editora Intercincia. Este livro, feito por um matemtico profissional valoriza o mtodo heurstico e valoriza o aprendizado das resoluo de problemas como elemento mais importante da Educao Matemtica. Paulo Freire, em toda sua carreira, centraliza o problema do ensino de sua pedagogia, na problematizao. Nos anos 80, um dos livros do ano do NCTM National Council of Teachers of Mathematics, Conselho de Professores de Matemtica dos Estados Unidos, tem o ttulo Problem solving in school mathematics (Resoluo de Problemas na Matemtica Escolar), traduzido para o portugus pelo prof. Hygino H. Domingues, pela Atual Editora. Este livro trata de 22 artigos sobre o paradigma da Resoluo dos Problemas. Na apresentao do livro, o prof. Hygino faz o comentrio: Nas ltimas dcadas, a preocupao com o ensino da matemtica traduziu-se em alguns movimentos bem definidos. Nos anos 60, foi a matemtica moderna, que buscou

solues no formalismo e nas estruturas. Nos anos 70, o retorno ao bsico, de certa forma uma reao diante do malogro da matemtica moderna. Para os anos 80, muitos educadores matemticos eminentes chegaram a eleger a resoluo de problemas como a grande prioridade do ensino da matemtica. O prof. Hygino fala da matemtica

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moderna nos anos 60, mas esta vigorou no Brasil at os anos 80 em alguns livros didticos. Fala no retorno ao bsico (back to basics), mas o Brasil, devido a pedagogia tecnicista da Ditadura Militar, no conheceu este movimento. E fala, sobre a resoluo de problemas, que para muitos educadores, a grande prioridade, mas, devemos ressaltar que este no o nico paradigma. Muitos professores acreditam que o ensino da Matemtica se deve fazer exclusivamente atravs da resoluo depor problemas. um engano. Este apenas um dos vrios paradigmas existentes. No nos aprofundaremos no tema. Procure vrios livros, principalmente os acima citados, para conhecer mais sobre o assunto. Na RPM 7, est publicado em lngua portuguesa o artigo O ensino por meio de problemas, de George Plya. importante ressaltar neste paradigma, que um conceito bastante defendido e utilizado por Plya e seus seguidos: o conceito de Heurstica. Heurstica o estudo dos caminhos e meios da descoberta e inveno; estuda, especialmente na resoluo de problemas essas etapas que se apresentam naturalmente, com freqncia e que tm alguma probabilidade de nos conduzir soluo. Plya faz inmeras citaes importantes sobre a resoluo de problemas, que devemos considerar: A Matemtica no um esporte para espectadores... A resoluo de problemas tem sido a espinha dorsal do ensino da Matemtica desde a poca do papiro de Rhind. A obra de Euclides pode ser considerada como uma grande proeza pedaggica: dissecar o grande tema da Geometria em problemas manejveis. Sobre Plya, Elon Lages Lima diz: O trabalho de Plya sobre o ensino da Matemtica maravilhoso simplesmente porque no prope truques, frmulas miraculosas, ou muito menos pomposas teorias pseudo-psicolgicas.

TEXTO

A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS Como resolver um problema? PRIMEIRO Voc tem de entender o problema. ENTENDENDO UM PROBLEMA Qual a incgnita? Quais so os dados? Quais so as condicionantes? possvel satisfazer as condicionantes? Estas so suficientes para determinar a incgnita? Ou insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditrias? Esboce uma figura. Introduza uma notao conveniente. SEGUNDO Ache a ligao entre os dados e a incgnita. Voc poder ser obrigado a considerar problemas auxiliares, no caso de no encontrar uma ligao imediata. Finalmente, voc dever traar um plano de resoluo. ARQUITETANDO UM PLANO Voc j viu antes? Ou o viu numa forma ligeiramente diferente? Voc conhece um problema correlato? Voc conhece um teorema que possa ser til? Observe a incgnita! E tente se lembrar de um problema que tenha a mesma incgnita ou uma semelhante. Eis um problema correto com o seu j resolvido antes. Voc seria capaz de us-lo? Seria capaz de usar o resultado desse problema? E seu mtodo? Seria preciso introduzir algum elemento auxiliar a fim de tornar possvel seu uso? Voc seria capaz de reformular o problema? Seria capaz de reformul-lo uma vez mais, de maneira diferente? Retorne s definies. Se voc no capaz de resolver o problema proposto, tente resolver um correlato a ele. Voc seria capaz de imaginar um problema correlato mais simples? E um problema mais geral? E um caso particular dele? E um problema anlogo? Voc seria capaz de resolver parte do problema? Mantenha apenas algumas das condicionantes, desprezando as outras; ento, at que ponto a incgnita fica determinada e qual seu novo campo de variao? Voc seria capaz de deduzir algo de til dos dados? Seria capaz de imaginar outros dados, convenientes para a determinao da incgnita? Voc seria capaz de mudar a incgnita ou os dados, ou ambas as coisas, de maneira a aproxim-los entre si? Voc usou todos os dados? Usou todas as condicionantes? Levou em conta todas as noes essenciais que o problema encerra? TERCEIRO Execute seu plano. EXECUTANTO O PLANO Ao executar seu plano de resoluo, verifique cada passo. Voc capaz de ver claramente que um determinado passo correto? capaz de provar que ele correto? QUARTO Examine a soluo obtida. FAZENDO UM RETROSPECTO Voc capaZ de verificar o resultado? E o argumento? Voc capaz de obter o resultado de outra maneira? Pode perceber isso num relance? Voc capaz de usar o resultado, ou o mtodo, noutro problema?

George Plya

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Aulas 1 e 2 Resoluo de Problemas com Equaes do 1 Grau Exemplo 1: O triplo de um nmero somado com 8 resulta 32. Que nmero este.

x - um nmero 3x - o triplo de um nmero Sentena: 3x+8=32

Resoluo 3x+8=323x=32-

83x=24x=24/3x=8 Concluso: como x=8, o nmero 8. Resposta: o nmero procurado 8.

Exemplo 2: A soma do dobro de um nmero com 17 igual a 45. Calcular esse nmero.

Nmero procurado: x Equao: 2x+17=45

Resoluo: 2x+17=452x=45-

172x=28x=28/2x=14 Concluso: o nmero procurado 14 Resposta: O nmero procurado 14.

Exemplo 3: A metade de um nmero aumentada de 15 igual ao dobro do mesmo nmero menos 45. Determinar esse nmero.

Nmero procurado: x

Equao: x

215 2x 45

Soluo da Equao: x=40 Concluso: o nmero procurado 40 Resposta: o nmero procurado 40.

Exemplo 4:

A soma de dois nmeros 420. O maior deles igual ao menor mais 60. Determinar os dois nmeros?

Nmero menor: x Nmero maior: x+60 Equao: x+x+60=420 Soluo da Equao: x=180 Concluso: o nmero menor 180, ento o nmero maior x+60=180+60=240. Resposta: Os nmeros so 180 e 240

Exemplo 5: Natlia e Giovana so amigas. A soma de suas idades 35. Descubra quantos anos tem cada uma, sabendo que Natlia tem trs anos menos que Giovana.

Idade de Natlia: x Idade de Giovana: x+3 Equao: x+x+3=35 Soluo da Equao: x=16. Concluso: Natlia tem 16 anos, e Giovana, x+3=16+3=19 anos. Resposta: Natlia tem 16 anos e Giovana, 19.

Exemplo 6:

A Soma de dois nmeros 56. O maior deles igual ao triplo do menor. Determinar os dois nmeros.

Nmero maior: x Nmero menor: 3x

Equao: x+3x=56 Resultado da Equao: x=14 Concluso: o nmero menor 14, enquanto o

maior 3x=3.14=42 Resposta: Os nmeros so 14 e 42

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Exemplo 7 A soma de dois nmeros 97, e a diferena entre eles 31. Quais os dois nmeros? (Um segundo modo de resolver.)

Nmero maior: x Nmero menor: x-31 Equao: x+x-31=97 Soluo da equao: x=64 Concluso: o nmero maior 64, e o menor x-31=64-31=33 Resposta: Os nmeros procurados so 64 e 33.

Exemplo 8 A soma de trs nmeros 47. Sabe-se que o segundo supera o primeiro em 7 unidades, e o terceiro supera o segundo em 3 unidades. Determinar os trs nmeros.

1 Nmero: x 2 Nmero: x+7 3 Nmero: x+7+3=x+10 Equao: x+x+7+x+10=47 Soluo da Equao: x=10 Concluso: o 1 nmero 10, o 2 nmero 10+7=17 e o 3 nmero 17+3=20. Resposta: Os nmeros so 10, 17 e 20

EXERCCIOS OBRIGATRIOS PARA CASA 1. O triplo de um nmero somado a 4 igual a 25.

Calcule esse nmero. Incgnitas: _________________________________ Equao Correspondente: Resoluo: Resposta:_____________________________________ 2. A diferena entre o triplo de um nmero e 90 igual

a este nmero somado com 48. Qual o nmero?

Incgnitas: _________________________________ Equao Correspondente: Resoluo: Resposta:_____________________________________

3. Comprei uma geladeira por R$ 60,00. Dei R$ 180,00

de entrada e o resto ser pago em 3 prestaes mensais iguais. Qual o valor de cada prestao?

4. Uma tbua de comprimento 100 cm deve ser

repartida em duas partes. O comprimento da parte maior igual ao triplo do comprimento da menor. Determinar o comprimento de cada uma das partes.

5. A metade de um nmero mais a sua tera parte e

mais 10 igual ao prprio nmero. Que nmero esse?

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6. O triplo de um nmero igual tera parte do mesmo

nmero aumentada de 80. Qual este nmero? 7. Alexandre adquiriu um terreno para a construo de

uma casa que ocupar 2/5 do terreno. Os 300 m2 restantes sero destinados a rea livre. Qual a rea do terreno? Qual a rea da casa?

8. A soma de dois nmeros 45. O maior deles supera

o menor em 7 unidades. Quais so os dois nmeros? 9. Num terreno de 800 m2, a rea construda tem 180

m2 a mais que a rea livre. Determine a rea construda e a rea livre.

10. A soma de dois nmeros 56 e sua diferena 14. Quais so esses nmeros?

11. Reparta 281 em duas parcelas de forma que a

diferena entre elas seja 31. 12. Anglica comprou um vestido e uma bolsa, pagando

pelos dois R$ 52,00. O preo do vestido igual ao dobro do preo da bolsa mais R$ 10,00. Quanto Anglica pagou pelo vestido?

13. Uma indstria, em expanso, produziu, em fevereiro

e maro, 500 unidades de um certo produto. Em maro, o nmero de unidades produzidas foi o triplo do nmero de unidades produzidas em fevereiro. Qual foi a produo da fbrica em cada um desses meses?

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14. No primeiro bimestre deste anos, Susana ficou com nota 6,0. Essa nota a mdia aritmtica das trs provas realizadas. Na segunda prova, ela obteve 2 pontos mais que a primeira e, na terceira, sua nota foi o dobro da primeira. Quais as notas obtidas por ela?

EXERCCIOS OPCIONAIS (Caderno)

1) A diferena entre o triplo de um nmero e 20 igual a 34. Calcule o nmero.

2) A soma da metade de um nmero com 20 igual a 50. Qual esse nmero?

3) Um terreno de 900 m2 de rea foi reservado para a construo de uma escola. Essa escola dever ter 8 salas de aula do mesmo tamanho e um ptio de 260 m2 de rea. Qual dever ser a rea de cada sala de aula?

4) Somando 8 anos ao dobro da idade de Simone, obtemos 20 anos. Qual a idade de Simone?

5) O qudruplo do nmero de meninos da 6D menos 6 igual a 26. Quantos so os meninos da 6 D?

6) Num estacionamento encontram-se 15 carros e x motos, perfazendo um total de 100 rodas. Quantas motos esto estacionadas? Qual o total de veculos?

7) Jnior e Lus jogaram na mesma equipe de basquete. No ltimo jogo dessa equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Jnior marcou 10 pontos a mais que Lus. Quantos pontos Jnior marcou nessa partida?

8) Em uma prova do campeonato mundial de Frmula-1, Nelson Piquet desiste ao completar os 2/5 do percurso total da prova. Se tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade do percurso total. De quantos km o percurso total da prova?

9) 2/3 da idade de Strauss, mais 24 anos, igual ao dobro da sua idade. Determine a idade de Strauss.

10) 2/5 da quantia que recebo como mesada so depositados em caderneta de poupana. Ainda me restam R$ 600,00. Qual a quantia que recebo como mesada?

11) A tera parte da mediada da base de um retngulo menos 5 m igual a 10 m. Qual a medida da base desse retngulo?

12) Um nmero menos 12 igual a do mesmo nmero. Qual esse nmero?

13) O triplo de um nmero menos 40 igual sua metade mais 20. Qual esse nmero?

14) Sabe-se que 3/5 da idade de Vnia menos 15 igual a 9. Qual a idade de Vnia?

15) Thalita comprou 5/8 de um terreno; um ms depois comprou mais 240 m2 e assim ficou com o terreno todo. Qual a rea desse terreno?

16) Hoje, numa classe, o nmero de meninos presentes igual ao nmero de meninas. Isso aconteceu porque faltaram 5 meninas e 1 menino. Quantos alunos tem essa classe se o nmero de meninas 5/9 do nmero de alunos?

17) Gisele comprou dois livros, um de matemtica e outro de histria, pagando ao todo R$ 45,00. O livro de matemtica custou R$ 5,00 a mais que o livro de histria. Qual o preo do livro de matemtica.

18) A soma de dois nmeros 77. O maior supera o menor em 7 unidades. Quais so esses nmeros?

19) Um nmero o triplo de outro. Somando os dois, temos 84. Quais so esses nmeros?

20) Um terreno de 720 m2 ser dividido em 2 lotes, sendo que a rea de um o dobro da rea do outro. Qual a rea do terreno maior?

21) Daniela tem 3 anos mais que Fernanda. A soma de suas idades 33. Qual a idade de Daniela?

22) Somando dois nmeros consecutivos, obtemos 195. Quais so esses nmeros?

23) A soma da idade de um pai e de um filho 51 anos e a diferena entre as suas idades 21 anos. Qual a idade de cada um?

24) Num jogo de basquete uma equipe ganhou da outra por uma diferena de 7 pontos. As duas somaram 189 pontos. Quantos pontos fez a equipe vencedora

25) A soma das idades de Luana e Otvio igual a 30. Sabendo que existe uma diferena de idades de 6 anos mais para Otvio, determine a idade de Luana.

26) A soma de dois nmeros 81. O maior deles igual ao dobro do menor. Quais so esses nmeros?

27) Um terreno de 500 m2 foi repartido em duas partes. A rea da parte menor igual quarta parte da rea da parte maior. Determine a rea de cada uma das partes.

28) Repartir 196 em 3 parcelas, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira seja o dobro da segunda.

29) Num concurso de msica popular foram distribudos R$ 450,00 em prmios. O segundo colocado recebeu o dobro do terceiro e o primeiro, o triplo do segundo. Qual foi o prmio do primeiro colocado?

30) Comprei 2 calas e 3 camisas por R$ 130,00. As camisas tm o mesmo preo. Uma das calas custou tanto quanto 2 camisas e a outra cala custou a metade do preo das 3 camisas. Qual foi o preo de cada camisa e de cada cala? Calcule dois nmeros sabendo que a soma deles 108, e a diferena entre eles 32.

31) A quantia de R$ 60,00 foi repartida entre Luana e Anglica. Sabe-se que a diferena entre as quantias recebidas por Luana e Anglica foi de R$ 12,00, nessa ordem. Qual a quantia que Anglica recebeu?

32) So distribudos 29 livros como prmio de uma gincana realizada por trs equipes. As equipes P e R receberam a mesma quantidades de livros, enquanto a equipe L recebeu dois livros a mais que a equipe P. Quantos livros recebeu cada equipe?

33) Thalita tinha 2 anos quando Strauss nasceu, e Strauss tinha 7 anos quando Alexandre nasceu. A soma das idades atuais dos trs 46 anos. Qual a idade atual de cada um?

34) A soma de trs nmeros 150. O segundo o triplo do primeiro e o terceiro tem 10 unidades a mais do que o segundo. Quais so esses nmeros?

35) A coleo de medalhas que as irms Daniela, Fernanda e Luana conquistaram no atletismo soma 142 medalhas. Fernanda tem o qudruplo de medalhas de Daniela e Luana tem o triplo das de Fernanda, mais 6 medalhas. Quantas medalhas conquistou cada uma?

36) Um livro de matemtica tem 260 pginas. A parte de lgebra o triplo da de geometria, e a parte de aritmtica tem 20 pginas menos que a de lgebra. Quantas pginas tem a parte dedicada geometria?

37) A soma de trs nmeros inteiros consecutivos 228. Calcule esses nmeros.

Espao para Visto

Data:____/____

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Aula 3 Resoluo de Problemas com Equaes do 1 Grau Resoluo de Problemas com Equaes do 1 Grau Exemplo 9: Pensei em um nmero, dobrei, somei 10, multipliquei por 4, tirei 40, dividi por 2, deu 20. Em que nmero pensei?

Observe a montagem da Equao: Pensou no nmero x Dobrou: 2x Somou 10: 2x+10

Multiplicou por 4: 4(2x+10)=8x+40 Tirando 40: 8x+40-40=8x Dividindo por 2: 8x/2=4x Como o nmero resultante foi 20: 4x=20 Soluo da equao: x=5 Resposta: Pensei no nmero 5

EXERCCIOS OBRIGATRIOS

1. Pensei em um nmero. Multipliquei por 3 e somei 4. Deu 40. Em que nmero pensei?

2. Pensei em um nmero. Somei 10. Multipliquei o resultado por 3 e subtra 20. Deu 70. Em que nmero pensei?

3. (FUVEST-80) A soma de um nmero com sua quinta parte igual a 2. Qual o nmero?

4. Comprei uma bicicleta, a prazo, por R$ 108,00. Dei R$ 24,00 de entrada e vou pagar p restante em trs prestaes mensais, iguais. Qual o valor de cada prestao?

5. (FAAP-SP-80) Um comerciante, no final do anos, distribuiu uma parte do seu lucro entre seus trs empregados. O primeiro recebeu 2/5 da parte do lucro mais R$ 50,00; o segundo recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$ 70,00; o terceiro recebeu R$ 90,00. Qual foi a parte do lucro distribuda?

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6. Uma indstria em expanso admitiu 500 empregados durante os trs primeiros meses do anos. Em janeiro admitiu 80 empregados, e em maro admitiu o triplo de empregados admitidos em fevereiro. Quantos empregados foram admitidos em cada um desses dois meses?

7. Numa prova de matemtica, um aluno acertou 5/8 das questes, e errou 6 questes. Quantas questes tinha a prova?

EXERCCIOS OPCIONAIS

1) Pensei em um nmero. Multipliquei por 4. Subtra 10. Dividi por 10. Deu 5. Em que nmero pensei?

2) Pensei em um nmero. Multipliquei por 5. Dividi por 2 e tirei o nmero em que tinha pensado. Deu 6. Em que nmero pensei?

3) A soma do qudruplo do nmero com 17 igual a 65. Calcule esse nmero.

4) Ao triplo de um nmero adicionamos 12, e o resultado igual ao quntuplo do mesmo nmero. Qual esse nmero?

5) A soma da metade de um nmero com 21 igual ao dobro do mesmo nmero menos 9. Determine esse nmero.

6) Uma casa com 130 m2 de rea construda tem trs dormitrios do mesmo tamanho. Qual a rea de cada dormitrio se as outras dependncias da casa ocupam uma rea de 70 m2?

7) Calcule o nmero tal que a soma da metade com a quinta parte do nmero seja igual ao prprio nmero diminudo de 12.

8) Um aluno acertou 7/10 do nmero de questes de uma prova de Matemtica. Sabendo-se que errou 15 questes, qual o nmero de questes da prova?

9) Uma pesquisa foi feita sobre a preferncia na leitura de trs jornais. Verificou-se que a metade dos entrevistados lia o jornal A, a tera parte lia o jornal B, e 400 outras pessoas liam o jornal C. Quantas pessoas foram entrevistadas?

10) A soma de dois nmeros 140. O maior deles supera o menor em 18 unidades. Calcule esses nmeros.

11) Daniela tinha 5 anos, quando Luana nasceu. Atualmente, a soma das suas idades 45 anos. Calcule a idade de cada uma.

12) Zico e Tita foram os principais goleadores do Flamengo no ltimo campeonato, e marcaram juntos 26 gols. Zico fez 4 gols a mais que Tita. Quantos gols fez cada um?

13) Num terreno de 1200 m2 , a rea construda deve ter 300 m2 a mais que a rea destinada a jardins. Qual ser a rea construda?

14) Uma escola ocupa um terreno de 6000 m2 de rea. Sabe-se que a rea construda o qudruplo da rea livre existente. Calcule a rea construda e a rea livre da escola.

15) Calcule dois nmeros inteiros e consecutivos cuja soma 95. 16) A soma de dois nmeros 117 e a diferena entre eles 47.

Calcule os dois nmeros. 17) Num jogo de basquete, os quadros A e B marcaram juntos 154

pontos. O quadro A foi o vencedor por diferena de 12 pontos. Qual foi a contagem final deste jogo?

18) Numa eleio para o Cento Cvico de uma escola concorrem duas chapas, A e B. Votaram 960 alunos, e a diferena entre o nmero de votos da chapa A e da chapa B foi de 80 votos. Quantos votos obteve a chapa A

19) Numa indstria, o nmero de mulheres igual a 3/5 do nmero de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o nmero destas ficaria igual ao nmero de homens. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na fbrica

20) Luana comprou uma cala e uma camisa, pagando, ao todo R$ 47,00. O preo da cala foi o dobro do preo da camisa, mais R$ 8,00. Quanto Luana pagou pela cala?

21) A soma de trs nmeros 46. O segundo tem 4 unidades a mais que o primeiro, e o terceiro tem 5 unidades a mais que o segundo. Calcule esses trs nmeros

22) Devo repartir R$ 30,00 entre trs pessoas, A, B e C. Sabe-se que A e B devem receber quantias iguais, e C deve receber R$ 6,00 a mais que a. Qual a quantia que devo dar a cada pessoa?

23) Um terreno de 2100 m2 de rea deve ser repartido em trs lotes, de tal forma que o segundo lote tenha o dobro da rea do primeiro, e o terceiro tenha 100 m2 a mais que o segundo. Qual dever ser a rea de cada lote?

24) Trs alunos disputam o cargo de representante da 6 Srie D que tem 43 alunos. Sabendo-se que o vencedor obteve 6 votos a mais que o segundo colocado, e que este obteve 5 votos a mais que o terceiro colocado, pergunta-se quantos votos obteve o vencedor.

25) Distriburam-se 360 bolinhas em trs urnas. Sabendo-se que a segunda tem o dobro de bolinhas da primeira, e a terceira tem o triplo de bolinhas da segunda. Quantas bolinha foram colocada em cada urna?

26) O triplo de um nmero somado a 9 igual a 30. Qual esse nmero?

27) O triplo de um nmero somado ao prprio nmero igual a 68. Qual esse nmero?

28) A soma de um nmero com a sua tera parte igual a 24. Qual esse nmero?

29) A soma de um nmero com 2/5 dele igual a 49. Qual esse nmero?

30) Na 6 D, o nmero de meninos igual a 2/5 do total de alunos da classe. Se forem matriculados mais 6 meninos, o nmero de meninos ficar igual ao nmero de meninas. Quantos alunos tem a classe?

31) A diferena entre o dobro de um nmero e a sua tera parte igual a 80. Qual esse nmero?

32) Um terreno de 600 m2 foi dividido em dois lotes. Um lote tem 100 m2 mais que o outro. Qual a mediada de cada lote?

33) A soma de dois nmeros inteiros e consecutivos 61. Quais so esses nmeros?

Espao para Visto

Data:____/____

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REPOSITRIO PARA TREINO 317) A soma de dois nmeros pares consecutivos 126. Quais so

esses nmeros?

318) Determine dois nmeros mpares consecutivos cuja soma seja 60. 319) Determine trs nmeros inteiros consecutivos cuja soma seja 24. 320) A soma de dois nmeros 85. O menor 2/3 do maior, menos 5.

Calcule os dois nmeros.

321) Comprei livros de Orgenes Lessa e Vincius de Moraes, num total de 22 livros. O nmero de livros de Orgenes igual ao triplo dos de Vincius, menos 10. Quantos livros de Orgenes foram comprados? E de Vincius?

322) Edson, comprou, para a Unidade Municipal de Esportes, bolas de vlei e de basquete, num total de 59 bolas. O nmero de bolas de vlei compradas igual ao triplo de bolas de basquete, menos 5. Quantas bolas de basquete foram compradas? E de vlei?

332) No revezamento 4x100 m, as atletas Luana, Anglica, Thalita e Vnia obtiveram a marca de 56 segundos. Os tempos das trs primeiras foram expressos por nmeros inteiros e consecutivos e o tempo da quarta foi de 14 segundos. Qual o tempo de cada uma?

333) Um terreno de 670 m2 foi repartido em dois lotes, sendo que cada um deles tem 30 m2 a mais que o outro. Qual a rea de cada lote?

334) Na eleio para o Centro Cvico, votaram 943 alunos. A chapa B teve 7 votos a mais que a chapa C, a vencedora, teve 5 votos a mais que a chapa B. Quantos votos teve a chapa vencedora?

335) Reparta R$ 260,00 entre trs pessoas, de modo que a primeira receba o dobro da segunda e a terceira R$ 20,00 mais que a segunda.

336) Devo pagar R$ 540,00 em duas prestaes, sendo que a segunda prestao a metade da primeira. Qual o valor de cada prestao?

337) A soma da idade de trs irmos 28 anos. Quando o segundo nasceu, o primeiro tinha 3 anos e quando o terceiro nasceu, o segundo tinha dois anos. Qual a idade atual de cada um?

338) Num concurso, um prmio de R$ 600,00 foi distribudo entre trs pessoas, da seguinte maneira: o segundo colocado recebeu o dobro do terceiro, e o primeiro, o triplo do terceiro. Quanto recebeu o primeiro colocado?

TESTES DE VESTIBULAR 339) Daniela tem 18 anos e Fernanda 15 anos. H quanto tempo a

idade de Daniela era o dobro da idade de Fernanda?

a) 3 anos b) 6 anos c) 9 anos d) 12 anos

340) Luana e Rafaela compraram um violo por R$ 84,00. Rafaela entrou com do valor dado por Luana. O valor dado por Luana foi:

a) R$ 36,00 b) R$ 42,00 c) R$ 48,00 d) R$ 72,00

341) Numa propaganda de cala jeans, cada manequim recebeu R$ 25,00 mais que cada figurante. Participaram da propaganda 2 manequins e 9 figurantes, que receberam um total de R$ 270,00. Cada figurante recebeu:

a) R$ 750,00 b) R$ 450,00 c) R$ 300,00 d) R$ 200,00

342) Uma unidade de esportes recebeu bolas de vlei e de basquete, num total de 80 bolas. O nmero de bolas de vlei triplo do nmero de bolas de basquete diminudo de 4. O nmero de bolas de vlei e de bolas de basquete , respectivamente:

a) 61 e 19 b) 59 e 21 c) 63 e 21 d) 57 e 23

343) Num campeonato de futebol de salo, as trs primeiras equipes classificadas, A, B, C, marcaram 115 gols. A equipe A marcou 12 gols mais que a equipe C e 8 gols mais que a equipe B. A equipe B marcou:

a) 45 b) 37 c) 33 d) 29

344) O coral de uma escola tem 122 vozes. Os nmeros de vozes tenor e baixo so, nessa ordem, nmeros pares consecutivos. A soma dos nmeros de vozes soprano e contralto o triplo do nmero de vozes tenor. Ento o nmero de vozes tenor :

a) 18 b) 24 c) 26 d) 72

345) Luana j conquistou 71 medalhas em atletismo. O nmero de medalhas de prata o dobro do nmero de medalhas de bronze e 11 menos que as medalhas de ouro. O nmero de medalhas de outro j conquistadas por Luana :

a) 12 b) 24 c) 35 d) 60 346)O triplo de um nmero menos a sua metade igual a 25. O nmero : a) 10 b) 12 c) 20 d) 30

347) A soma de um nmero com 3, e o quociente deste mesmo nmero por 3 so iguais. Logo, este nmero :

a) 9/2 b) -9/2 c) 9/4 d) -9/4

348) Luana tem hoje 36 anos, e seu filho, 6 anos. Dentro de quantos anos, a idade de Luana ser igual ao qudruplo da idade de seu filho?


349) Um terreno de 480 m2 foi comprado para construir um pavilho. Este pavilho dever ter 5 salas do mesmo tamanho e um ptio cuja rea deve ser igual ao triplo da rea de cada sala. Logo, cada sala ter uma rea de:

a) 60 m2 b) 80 m2 c) 70 m2 d) 50 m2

350) Um reservatrio est cheio de gua at 4/7 de sua capacidade total. Como faltam ainda 12000 l para ench-lo, podemos afirmar que a capacidade total do reservatrio de:

a) 84 000 l b) 56 000 l c) 28 000 l d) 42 000 l

351) Luana quer repartir uma certa quantidade de balas entre as crianas de uma creche. Se der 15 balas a cada criana, sobram 10 balas e se der 16 balas a cada criana, ficam faltando 10 balas. Luana tem para repartir:

a) 300 balas b) 290 balas c) 320 balas d) 310 balas

352) A diferena entre um nmero e 2 igual ao quociente do mesmo nmero por 2. Esse nmero :

a) 4/3 b) -4/3 c) d) -

353) A diferena entre o triplo de um nmero e a sua metade igual a 25; esse nmero :

a) 50 b) 25 c) 20 d) 10

354) Numa partida de basquete, o quadro A marcou 6 pontos a mais que o quadro B. Os dois quadros fizeram juntos 170 pontos. Ento, a contagem do jogo foi favorvel ao quadro A por:

a) 86 a 80 b) 88 a 82 c) 90 a 80 d) 87 a 83

355) Num terreno, a rea construda corresponde aos 3/5 da rea do terreno e a rea livre de 320 m2. Ento, a rea do terreno de:

a) 480 m2 b) 600 m2 c) 800 m2 d) 900 m2

356) Uma pessoa quer distribuir R$ 50,00 entre seus folhos. O mais novo deve receber a metade do que recebe o mais velho, mais R$ 5,00. Ento, o filho mais novo deve receber:

a) R$ 30,00 b) R$ 20,00 c) R$ 15,00 d) R$ 25,00

357) Numa cidade, existem dois jornais, A e B. Numa pesquisa de opinio, verificou-se que 2/5 dos entrevistados preferiam o jornal A e 300 pessoas preferiam o jornal B. Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 400 pessoas b) 500 pessoas c) 520 pessoas d) 600 pessoas

358) Saullo, Andr e Silas tm juntas, 63 anos. Saullo e Andr tm a mesma idade, enquanto Silas 3 anos mais velho que os dois. Logo Silas tem:


359) Uma escola tem 200 alunos. O dobro do nmero de meninos igual ao triplo do nmero de meninas. Ento, na escola h:

a) 120 meninos b) 80 meninos c) 150 meninos d) 50 meninos

360) A soma da metade de um nmero com 7 e a diferena entre o mesmo nmero e 3 so iguais. Qual esse nmero?

a) 50 b) 40 c) 32 d) 30

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Aula 4 Resoluo de Problemas com Equaes do 1 Grau Resoluo de Problemas com Equaes do 1 Grau e a Geometria O permetro de um retngulo 30 cm. A medida da base supera a medida da altura em 3 cm. Determinar as dimenses desse retngulo:

x+3 x x x+3 Medida da altura: x Medida da base: x+3 Equao: x+(x+3)+x+(x+3)=30 Resposta da equao: x=6 Concluso: a altura mede 6 cm, a base mede x+3=6+3=9cm.

Resposta: As dimenses do retngulo so 6cm e 9cm.

A rea de um trapzio mede 50 m2. A medida da base menor 8m, e a medida da altura 5m. Calcular a medida da base maior.

Medida da base maior: x

Frmula: AB b h

( ).

2

Equao: (x

8).5

250

Resposta da equao: x=12 Concluso: B=12 Resposta: A base maior mede 12 m.


1. O permetro de um retngulo 60 cm. A medida da base igual ao dobro da medida da altura. Calcule as dimenses do retngulo.

2. O permetro de um tringulo 27 cm. As medidas dos lados so expressas por trs nmeros inteiros e consecutivos. Quais as mediadas dos lados do tringulo?

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3. Num terreno retangular, a lateral mede 12 m a mais que a frente. Se o permetro do terreno 76 m, calcule as suas dimenses.

4. Um terreno tem a forma de um trapzio com uma rea de 270 m2. A base maior mede 20 m, e a altura mede 15 m. Quanto mede a base menor?

5. A rea de um tringulo 27 m2. Se a medida da altura 6m, determine a medida da base.

6. A rea de um terreno retangular 360 m2. Sabendo que o terreno tem 12 m de frente, calcule a medida de sua lateral.

7. A frmula F9

5c 32 , pode ser usada para

converter a temperatura lida em um termmetro que mede em graus centgrados para a temperatura lida em termmetro que mede em graus Fahrenheit (este, usado nos Estados Unidos). Encontre a temperatura em graus centgrados, sabendo que, num determinado dia, os termmetros registravam 104 graus Fahrenheit.

EXERCCIOS OPCIONAIS

1) Um terreno retangular tem 108 m de permetro. O comprimento o dobro da largura. Calcular a rea desse terreno.

2) As medidas dos lados de um tringulo so nmeros inteiros e consecutivos. Determine a medida de cada lado, sabendo que seu permetro 36 cm.

3) O permetro de um retngulo 176 m. Calcule as medidas dos lados, sabendo que o comprimento o triplo da largura.

4) A base de um retngulo tem 8 cm mais que a largura. Seu permetro igual ao permetro de um quadrado com 19 cm de lado. Quanto mede a base desse retngulo?

5) A base de um tringulo mede 18 cm. Os outros dois lados so nmeros mpares consecutivos. Calcule o menor desses lados, sabendo que seu permetro 54 cm.

6) Um tringulo tem 126 cm2 de rea. Sua altura mede 9 cm. Calcule a mediada da base.

7) Num trapzio, a base menor e os lados oblquos tem a mesma medida. A base maior mede o dobro da base menor. Calcule a mediada dos lados oblquos, sabendo que o permetro mede 60 cm.

8) Um terreno retangular com x+10 metros de comprimento e x metros de largura foi dividido em lotes; um quadrado, de lado x e outro retangular, com 240 m2 de rea. Qual o valor de x?

9) Um terreno retangular com x+10 metros de comprimento e x metros de largura foi dividido em dois lotes: um quadrado, de lado x e outro retangular, com 240 m2 de rea. Qual o valor de x?

10) Um retngulo tem 36 m de permetro. O comprimento tem 2m mais que a largura. Quais so as medidas desse retngulo.

11) Um tringulo tem 72 cm de permetro. As medidas de seus lados so expressas por trs nmeros inteiros e consecutivos. Calcule essas medidas.

12) A altura de um tringulo mede 12 cm. Calcule as mediada da base, sendo que sua rea de 90 cm2.

13) Para calcular o permetro de um retngulo, usamos a frmula p=2c+2l, onde p indica o permetro, c indica o comprimento e l indica a largura. Se o permetro de um retngulo mede 60 cm e o comprimento igual ao dobro da largura, determine o comprimento e a largura desse retngulo.

14) O volume de um tanque cilndrico, pode ser calculado

usando-se a frmula V=.r2.h, onde V indica o volume, r indica a medida do raio da base e h indica a altura do cilindro. Calcule a altura desse tanque cilndrico que tem um

volume de 1884 m3 e um raio de base 10m. Use =3,14. 15) Para calcular o volume de um paraleleppedo retngulo,

pode usar a frmula V=abc, onde V indica o volume, a indica o comprimento, b indica a largura e c indica a altura. Se o volume de um paraleleppedo 4800 cm3, calcule o comprimento se o peraleleppedo tem 8 cm de largura e 20 cm de altura

16) Quanto mede a base menor de um trapzio onde a base maior mede 20 m, a altura mede 15 m e a rea 270 m2?

Espao para Visto

Data:____/____

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O EPITFIO DE DIOFANTO

Aula 5 Equaes Impossveis e Identidades

Equaes impossveis e identidades

At agora foi possvel determinar a raiz da equao dada. Existem, porm, equaes que no tm nenhuma raiz e outras que tm infinitas razes. Observe os seguintes exemplos.

a) Equao 3x-9=3x

3 9 3

3 3 9

0 9

x x

x x

x

No existe nenhum nmero que multiplicado por 0 resulte 9.

Essa equao no tem soluo. Dizemos, ento, que uma equao impossvel.

Logo: S=. b) Equao 3x+5=3x+5

3x 5 3x 5

3x 3x 5 5

0x 0

Qualquer nmero racional multiplicado por zero igual a zero.

A equao tem infinita solues.

Equaes que se reduzem forma 0x=0 so chamadas identidades.

Logo: S=IR.

Espao para Visto

Data:____/____

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Resolva as equaes (e escreva se so identidades ou

equaes impossveis se for o caso):

1) 3x =9-3x

2) 8+x=4)-2(x-3x

3) x)-2(1=2)+4(x-5)+2(x

4) 2

1

2

1

2

x

x

5) 6

1+5x=

2

1-x+

3

2+x

6) 8+3x=5x

EXERCCIOS OPCIONAIS

Resolva as equaes (e escreva se so identidades ou equaes

impossveis se for o caso):

1) 7-2x=7-2x

2) 15-4x=3)+4(x

3) 15+5x=3)+5(x

4) 5)+2(x=4x-1)+3(2x

5) 6)-3(y=1)+2(y-2)-5(y

6) 12

x)-5(1=

3

1+2x-

4

1+x

7) 5x +4=3+7x

8) 3x+10+4x=6+7x

9) 3)+(2x-10=3)-2(x-1)+5(x

10) x10

1+2=x

5

1-

4

3+x

2

1

11) 10+4x=x+1)+3(x

12) 4

x-1+

2

1=

10

4-x-

5

x

13) 11-6x=1)-4(x-3)-5(2x

14) 3)+4(y=2)-2(y-1)-3(2y

15) 18

2

3

4-x

x

Espao para Visto

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Auto Estudo 1 Verificando se um valor resultado da equao

Razes de uma equao

Resolver uma equao determinar o seu conjunto verdade. O conjunto verdade de uma equao depende de seu conjunto universo, que um conjunto numrico. Vamos esclarecer isso. Considere a equao x2=25.

Se o conjunto universo for U=IN, ento V={5}

Se o conjunto universo for U=Z, ento V={-5, 5}

Se o conjunto universo for U={..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}, ento V=, pois no existe nmero pertencente ao conjunto universo cujo quadrado d 25. Os elementos do conjunto verdade de uma equao so chamados razes da equao.

Exemplos:

a) O conjunto verdade da equao x+3=5, com U=IN, V={2}

Ento 2 a raiz dessa equao.

b) O conjunto verdade da equao 2x+1=-9, com U=Z, V={-5}

Ento -5 a raiz dessa equao

c) O conjunto verdade da equaa x2=9, com U=IR, V={-3, 3}.

Ento -3 e 3 so razes dessa equao.

Para verificar se um nmero raiz de uma equao, substitumos a varivel pelo nmero dado. Se a sentena obtida for verdadeira, o nmero ser raiz da equao; caso contrrio, no.

Exemplos:

a) Para verificar se o nmero 5 raiz da equao x+2=7, sendo U=IR, substitumos x por 5.

Assim, temos: 5+2=7 7=7 (V)

Logo: 5 raiz da equao x+2=7 b) Para verificar se o nmero -3 raiz da equao 2x+15=9 (como no foi dado o conjunto universo, supomos U=IR), substitumos x por -3. Assim, temos:

2(-3)+15=9

-6+15=9 9=9 (V)

Logo -3 raiz da equao 2x+15=9

c) Para verificar se o nmero 4 raiz da equao 3x+2=5, substitumos x por 4.

Assim, temos: 3.(4)+2=5 12+2=5 14=5 (F)

Logo: 4 no raiz da equao 3x+2=5

d) Verificar quais nmeros do conjunto {-2, 3/2,2} so razes da equao 2x2-7x+6=0.

Verificando para x=-2

2x2-7x+6=0 2.(-2)2-7.(-2)+6=0

2.4+14+6=0 8+14+6=0 28=0 (F)

O nmero -2 no raiz.

Verificando para x=2 2x2-7x+6=0

2.( 2)2-7.(2)+6=0 2.4-14+6=0 8-14+6=0

0=0 (v) O nmero 2 raiz.

Verificando para x=3/2

2x2

7x 6 0

2.3

2

2

7.3

26 0

2.9

4

21

26 0

9 21 12

20

0

20

0 0 (V)

O nmero 3/2 raiz.

20


Verifique:

a) Se o nmero 6 raiz da equao 2x+3=15

b) Se o nmero -5 raiz da equao 4y+8=y+17

c) Se o nmero raiz da equao 3x+=2

d) Se o nmero 2 raiz da equao 3x2-5x-2=0

EXERCCIOS OPCIONAIS

1)Verifique se

a) Se o nmero 2 raiz da equao 4a-5=1

b) Se o nmero 4 raiz da equao 2(x+1)-4=5

c) Se o nmero 3/2 raiz da equao 2x-1=2

d) Se o nmero -5/3 raiz da equao 6x+2=3x-3

2) (XXV Olimpada Brasileira de Matemtica Nvel 2 1a fase 2003) Na figura, o nmero 8 foi obtido somando-se os dois nmeros diretamente abaixo de sua casinha. Os outros nmeros nas trs linhas superiores so obtidos da mesma forma. Qual o valor de x?

42

8

3 5 x 6

A) 7 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6 3) (ENCCEJA Ensino Fundamental 2002) Em virtude de um vazamento no banheiro de sua casa, uma pessoa ter que fazer uma reforma nas instalaes hidrulicas. Consultou uma firma especializada e obteve duas propostas: Proposta I: R$ 4.000,00 independente do tempo gasto na obra. Proposta II: R$ 2.000,00 de sinal e mais R$ 100,00 por dia gasto na obra. Para que essa pessoa gaste menos ela deve escolher a proposta (A) I, se a obra durar 18 dias. (B) I, se a obra durar 22 dias. (C) II, se a obra durar 18 dias. (D) II, se a obra durar 22 dias. 4) (ENCCEJA Ensino Fundamental 2002) Considere a balana em equilbrio representada na figura. O nmero representado pela letra x (A) 7. (B) 6. (C) 5. (D) 4.

Espao para Visto

Data:____/____

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5) (ENCCEJA Ensino Fundamental 2002) Os nmeros indicados na figura obedecem a uma determinada lei. Descobrindo essa lei possvel argumentar que os valores X, Y e Z so: (A) X = 61; Y = 1 e Z = 3. (B) X = 61; Y = 10 e Z = 14. (C) X = 9; Y = 1 e Z = 3. (D) X = 9; Y = 10 e Z = 14.

O PROBLEMA DAS ABELHAS

A obra de Bhskara tornou-se clebre, e o nome de Lilavti, a noiva malograda, surge imortal na histria da matemtica.

Pelo que se refere matemtica, Lilavti faz exposio metdica da numerao decimal e das operaes aritmticas sobre

nmeros inteiros; estuda minuciosamente as quatro operaes, o problema da elevao ao quadrado e ao cubo, ensina a extrao da

raiz quadrada, e chega at mesmo ao estudo da raiz cbica de um nmero qualquer. Aborda depois as operaes sobre nmeros

fracionrios, com a conhecida regra da reduo das fraes ao mesmo denominador.

Para os problemas, adotava Bhskara enunciados graciosos e at romnticos.

Eis um dos problemas do livro de Bhskara:

Amvel e querida Lilavti, de olhos doces como os da tenra e delicada gazela, dize-me qual o nmero que resulta da multiplicao

de 135 por 12.

Outro problema, igualmente interessante, que figura no livro de Bhskara refere-se ao clculo de um enxame de abelhas:

!A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de Kadamba, a tera parte numa flor de Silinda, o triplo da

diferena entre estes dois nmeros voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar, atrada pelo perfume

de um jasmim e de um pandnus. Dize-me, bela menina, qual o nmero de abelhas.

Bhskara mostrou em seu livro que os problemas mais complicados podem ser apresentados de uma forma viva e at

graciosa.

Fonte: O Homem Que Calculava, Malba Tahan.

Resolva o Problema das Abelhas

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Aulas 6 e 7 - Inequaes Resoluo prtica de inequaes do 1 grau com

uma varivel A resoluo de inequaes do 1 grau com uma varivel feita procedendo de maneira semelhante resoluo de equaes, ou seja, transformando cada inequao em outra inequao equivalente mais simples, at se obter o conjunto verdade. Exemplo 1 Resolver a inequao 5x+3>2x+15, sendo U=IR.

Passamos 2x para o primeiro membro e +3 para o segundo membro: 5x-2x>15-3

Reduzimos os termos semelhantes: 3x>12 Passamos 3 dividindo e temos: x>4

Logo: S={xIR | x>4}.

Exemplo 2

Resolver a inequao: 4(x-2)-15/2

Logo : S={xIR | x>-15/2}.

Exemplo 3

Resolver a inequao x 3

3

2x 1

212

, sendo

U=IN.

Resolvendo a inequao encontramos x0 (sentena verdadeira) O nmero -2 soluo. Verificando para x=2 Temos -4>0 (sentena falsa) O nmero 2 no soluo.

EXERCCIOS OBRIGATORIOS

Resolva as inequaes

1) x+2>5

2) -2x+119

23


6) 5(x-2)19 2) 5(x-2)4(2x-1)-3x 4) 7x-3(x-2)-2>0

5) 2(x-4)+8

24

3) D a soma dos elementos do conjunto verdade da inequao

x 1

12

5 x

18

x 3

9

7

36

, sendo U=Z-*.

4) Resolva a inequao 3x-2(6-2x)

25


3) O volume do bloco retangular 28 m3. Seu comprimento 4 m, e sua largura, 2 m. Qual a sua

altura?

Resposta: 3,5 metros

4) Dei a Mrio a mesma quantidade de figurinhas que ele tinha. Cada um de ns ficou com 150. Quantas

ele tinha antes? E eu?

Resposta: ele tinha 75 e eu 225.

5) Distribua a herana de 342 moedas de ouro entre Harum, Mustaf e Ibn-Saud, trs herdeiros rabes,

de modo que Harum receba x, Mustaf o dobro de

Harum e Ibn-Saud o triplo de Mustaf. (Cuidado:

esse triplo no 3x!)

Resposta: Harum 38, Mustaf 76 e Ibn-Saud 228

6) O programa A arca da felicidade, do famoso animador Juju Literato, um prmio de R$ 270,00 foi

distribudo deste modo: a menor parte para o terceiro

colocado, R$ 50,00 a mais para o segundo colocado

e o dobro dessa ltima quantia para o campeo.

Quanto receber cada premiado?

Resposta: 160, 80 e 30

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7) Utilizando-se de equaes, preencha as pirmides mgicas:

8) Descubra trs nmeros consecutivos que somados resultem em 131.

9) Preencha o quadrado mgico, sabendo que a soma 69:

10) Somando a tera parte da idade de Jack com 28 o resultado ser a sua idade. Qual a idade dele?

Resposta: 42 anos.

11) No conjunto IN, o conjunto soluo da inequao 4x-1

27


14) Resolva as equaes e inequaes:

a) 4x-3=4x+6

b) 6(x-2)-4=6x-16

c) +2

3+

1

4=

2

d) 5( 3) 6 < 4 + 6

e) 5

3(

4

3) +

3

2 6

4

Aula 11 Prova RESERVADO PARA IMPRESSOES SOBRE A PROVA

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A HISTRIA DA MATEMTICA

REGISTRADA EM UM MONUMENTO

Prof. Augusto Cesar Aguiar Pimentel ( PIMENTA )

Departamento de Educao

Matemtica Universidade Federal Fluminense

- Interiorizao Santo Antnio de Pdua - RJ

A geometria se faz presente no Norte/Noroeste Fluminense, na cidade de Itaocara desde sua formao primria, pois a nica geometricamente traada

nesta regio. Isto se explica pelos elevados conhecimentos de arquitetura dos capuchinhos, seus idealizadores, dentre eles, Frei Toms. S mesmo nesta cidade se ajustaria com perfeio o primeiro Monumento Matemtica.

O mundo experimentava momentos de preocupao com a II Guerra Mundial e o Brasil vivia em pleno Estado Novo. O Estado do Rio de Janeiro era governado pelo interventor Comandante Ernani do Amaral Peixoto. nesse momento histrico conturbado que o Prefeito Dr. Carlos Moacyr de Faria Souto, com apenas 19 anos, presta uma homenagem "Rainha das Cincias", mandando construir uma Praa com um Monumento , "Sui Generis, Matemtica. Mais propriamente no dia 1 de julho de 1943, na confluncia das avenidas Presidente Sodr e Frei Toms, com frente voltada para a praa Rui Barbosa, oficializa-se singular iniciativa.

No local onde o monumento foi erguido, havia uma casa que foi desapropriada e avaliada em doze contos de ris, sendo proprietrio o Sr. Carlos Dias, na poca Carcereiro da Prefeitura, que concordou com a desapropriao. O Prefeito, ao conceber a idia desse Monumento , procurou o maior expoente em Matemtica daquela poca: o Professor Jlio Csar de Mello e Souza (Malba Tahan), que ocupava a ctedra de Matemtica da Escola Nacional de Belas Artes da Universidade do Brasil, hoje Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Malba Tahan promoveu, entre seus alunos, um concurso para a escolha do melhor projeto, confirmando-se como o precursor de uma nova tendncia que se afirma com vigor e tem adeptos em todo o mundo: a Educao Matemtica. Pioneiramente, trabalhou com a Histria da Matemtica, defendeu com veemncia a resoluo de exerccios sem o uso mecnico de frmulas, valorizando o raciocnio, e utilizou atividades ldicas para o Ensino de Matemtica.

O concurso foi realizado entre os acadmicos de arquitetura e o prmio oferecido pela Prefeitura de Itaocara foi a quantia de quinhentos mil ris. O vencedor foi Godofredo Formenti e seu construtor, o Sr. Italarico Alves, residente em Itaocara.

Esse monumento, considerado o primeiro no mundo, em suas linhas gerais, constitudo por duas pirmides hexagonais entrelaadas. Este entrelaamento est simbolizando a mtua subordinao entre as civilizaes orientais que floresceram no Vale do Rio Nilo - fencios, caldeus, persas, hebreus, rabes, chineses - e povos modernos. Nas faces superiores, esto gravados os principais smbolos e sinais matemticos, desde o diminuto PONTO at a letra hebraica ALEF, que representa o nmero cantoriano transfinito.

As pirmides, sobre trs discos circulares sobrepostas, esto cercadas simbolicamente, por trs figuras geomtricas: uma esfera, um cone e um cilindro.

Foram gravadas vrias figuras geomtricas, que lembram captulos importantes, conceitos ou teorias famosas: o postulado de Euclides, o teorema de Pitgoras, a diviso urea, o nmero PI, a anlise combinatria, os quadrados mgicos, o binmio de Newton, os logaritmos, a Trigonometria, a raiz quadrada, as sries infinitas, os limites, as derivadas, as formas ilusrias, os nmeros transcendentes, os imaginrios, a base neperiana, o calculo infinitesimal, a geometria analtica.

Encontram-se, tambm, entre as figuras, formas que lembram as teorias mais modernas da Topologia, da lgebra Moderna, da Teoria dos Conjuntos etc.

Nas outras faces, gravadas em bronze, podemos admirar pensamentos que exaltam a Matemtica:

De Leibnitz - A Matemtica a honra do esprito humano.

De Kepler - Medir saber.

A afirmao platnica - Deus o grande gemetra. Deus geometriza sem cessar.

O aforismo de Pitgoras - O nmero domina o Universo. De Plato - Por toda parte existe a geometria.

De Malba Tahan - A Matemtica a grande poesia da forma. Destacam-se, em ordem cronolgica, nomes de celebridades, em cinco faces: Na primeira face, matemticos gregos: Tales de Mileto,

Pitgoras, Plato, Aristteles, Euclides, Arquimedes, Apolnio e Ptolomeu; na segunda face,os matemticos famosos da chamada alvorada da Matemtica Moderna: Neper, Fermat, Descartes, Pascal, Newton, Leibnitz, Euler, Lagrange e Comte; na terceira face, sete matemticos modernos: Hamilton, Galois, Hermite, Riemann, Dedekind, Cantor e Poincar; na quarta face, uma homenagem aos matemticos brasileiros: Souzinha (Joaquim Gomes de Souza), Trompowsky, Oto de Alencar, Gabaglia, Amoroso Costa e Teodoro Ramos. Na quinta face, as mulheres que cultivaram a Matemtica no ficaram esquecidas. Foram homenageadas: Hipasia, Maria Agnesi, Sofia Germain e Sofia Kovalevski; e na sexta face, encontram-se smbolos e frmulas matemticas, tais como: , log, quadrado mgico, (x + a)m, sen2x + cos2x = 1, f(x), x, , lim, , , , , e = 2,718281, dx, , , , , etc.

Foram omitidos, possivelmente por descuido do gravador, alguns nomes de matemticos rabes, persas e hindus. Assim, no aparecem nomes como os de Al-Kharesmi e Omar Khayyam; no registro Ptrio, certamente por modstia, omitiu-se o nome do prprio professor Mello e Souza.

Em 1961, por iniciativa do ento Prefeito Johenir Henriques Vigas, apoiado pela Cmara Municipal, o Monumento passou por uma reforma completa, mantida, porm, sua forma estrutural e conservada, em letras prateadas, suas legendas originariamente em bronze.

O jardim que rodeia o Monumento, por determinao do Prefeito e com a colaborao do Monsenhor Saraiva, recebeu um novo traado, dentro do esprito rigorosamente matemtico. Os canteiros passaram a ter diversas formas geomtricas euclidianas bem definidas: crculos, quadrilteros, hexgonos etc. Um dos canteiros tem a forma de um sinal de integrao e outro, junto base, com a forma da letra grega .

J em 1993, o prefeito Jos Romar Lessa modernizou a Praa. Fez novos canteiros, iluminao e uma proteo que a circunda, dando-lhe melhor aparncia e segurana. No dia 1 de julho deste mesmo ano, realizou-se uma cerimnia comemorativa do Jubileu de Ouro, tendo como ponto central o discurso do Dr. Carlos Moacyr de Faria Souto, que h cinqenta anos, no mesmo local, na poca como Prefeito de Itaocara, inaugurava o primeiro e nico Monumento no mundo, dedicado Matemtica. Dr. Carlos Moacyr de Faria Souto, no incio do seu discurso, afirma que No h soluo de direito sem recurso Matemtica e termina, dizendo: No mundo, apenas h uma coisa que a Matemtica jamais ser capaz de medir e de qualificar: a dor da saudade... Assim, despedindo-me dos que aqui esto peo, aos jovens de hoje para que no ano de 2043, quando comemorarem o Centenrio deste Monumento, levarem ao ar, j que esta solenidade est sendo gravada, estas pobres palavras de um ex-professor que acredita ser a Matemtica a base de todas as cincias do Universo...

O Monumento Matemtica passou por mais uma reforma no corrente ano (2002); desta vez, por iniciativa do atual Prefeito Manoel Queiroz Faria, que reconheceu a necessidade de conservar a grandiosa obra, porm garantindo a preservao de sua estrutura original, o que representa a garantia de perpetuao histrica de uma homenagem mpar Matemtica. Prof. Malba Tahan discursando na Praa da Matemtica, em 30/04/1961 Este artigo foi desenvolvido a partir das atividades realizadas nas aulas de Histria da Matemtica na UFF - Pdua, pelas alunas Denise Mulin, Diva Lessa, Kellen Martins, Ldia Freitas, Ftima Rangel, Valria Figueiredo e Zudileidy Sias.

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Aula 12 Revisando as Transformaes de Unidade

EXERCCIOS OBRIGATRIOS:

UNIDADES DE COMPRIMENTO

1) Transforme em metros:

a) 5 km = _________m b) 23 km = _________m c) 6,2 km = _________m d) 1,2 km = _________m e) 4,23 km = _________m f) 0,2 km = _________m

g) 0,003 km= _________m h) 6,1245 km = _________m i) 12,33333 km = _________m

2) Transforme em quilmetros:

a) 5.000 m = _______ km b) 6.200 m = _______ km c) 12.640 m = _______ km d) 1.215 m = _______ km e) 600 m = _______ km f) 52 m = ______ km

3) Transforme em centmetros:

a) 6 m = _____ cm b) 12 m = _____ cm c) 12,5 m= _____ cm

d) 4,52 m = _____ cm e) 0,5 m = _____ cm f) 0,01 m = _____ cm

4) Transforme em metros:

a) 200 cm = _____ m b) 4.322 cm = _____ m c) 50 cm = ______m

5) Transforme 1 km = _________ m = _______ cm. Quantos centmetros tem 2,5 km?

UNIDADES DE MASSA

6) Transforme em quilogramas:

a) 5.200 g = 5,2 kg b) 4.000 g = ______ c) 12.500 g = ______

d) 13.144 g = ______ e) 520 g = ______ f) 600 g = ______

7) Transforme em gramas:

a) 4 kg = 4.000 g b) 6 kg=_________ c) 7,2 kg=_________

d) 1,44 kg=_________ e) 0,46 kg=_________ f) 0,002 kg=_________

8) Transforme em miligramas:

a) 6 g = 6.000 mg b) 4 g = ________ c) 5,2 g = ________

d) 4,41 g = ________ e) 6,02 g = ________ f) 0,3 g = ________

9) Transforme em gramas:

a) 6.000 mg = 6 g b) 12.100 mg=_____ c) 1.500 mg =______

UNIDADES DE VOLUME

10) Transforme em litros:

a) 25 m3=25.000 L b) 42,3 m3=42.300 L c) 0,6 m3=600 L

d) 42 m3=________ e) 4 m3=________ f) 10 m3=________

g) 15 m3=________ h) 1 m3=________ i) 3,2 m3=________

j) 4,1 m3=________ k) 12,2 m3=________ l) 61,4 m3=________

m) 21,4 m3=________ n) 0,4 m3=________ o) 0,5 m3=________

p) 2,13 m3=________ q) 1,06 m3=________ r) 10,22 m3=________

s) 0,24 m3=________ t) 0,144 m3=________ u) 102,144 m3=________

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11) Transforme em mililitros:

a) 42 L = 42.000 mL b) 52,3 L=_________ c) 22,15 L=_________

d) 0,42 L=_________ e) 0,144 L=_________ f) 42,162 L=_________

12) Transforme em litros:

a) 22.000 mL= 22 L b) 52.144 mL = 52,144 L c) 42.120 mL=42,12 L

d) 1.200 mL = 1,2 L e) 420.000 mL = 420 L f) 252.000 mL=_________

g) 14.255 mL=_________ h) 1.320 mL=_________ i) 5.462 mL=_________

j) 6.200 mL=_________ k) 1.200 mL=_________ l) 262 mL=_________

m) 144 mL=_________ n) 120 mL=_________ o) 500 mL=_________

13) Transforme em litros

a) 22.000 cm3= 22 L b) 52.144 cm3 = 52,144 L c) 42.120 cm3=42,12 L

d) 1.200 cm3=______ e) 420.000 cm3=______ f) 52.144 cm3=______

g) 2.000 cm3=______ h) 1.000 cm3=______ i) 1.300 cm3=______

14) Saiba que 1 cm3=1mL, logo

a) 6 mL = 6 cm3 b) 5,2 mL = ____ cm3 c) 1200 cm3=_____ mL

15) Transforme:

a) 2 m3=________ L b) 5.400 L=________m3 c) 1.200 mL= _____L

d) 6 L = _____ mL e) 5.200 cm3=_____ L f) 200 cm3= _____ mL

16) a) Uma lata de refrigerante tem 350 mL. Qual o volume dela em litros?

b) Uma modelo anunciou que colocou 0,6 L de silicone nos peitos. Qual o volume de silicone que ela colocou em mililitros?

c) Quantos metros cbicos tem uma caixa dgua de 5.000 L?

d) Quantos litros cabem numa caixa dgua de 5 m3?

17) Qual o volume em metros cbicos e litros de uma caixa retangular de dimenses:

a) altura 5 m, comprimento 4 m e largura 3 m (caixa dgua)

b) comprimento 6 m, largura 5 m e profundidade 4 m (piscina)

d) comprimento 4 m, altura 6 m e espessura 20 cm = 0,2 m (porta)

Espao para Visto

Data:____/____

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Aula 13 Razo - Conceito

O tema Razo e Proporo da forma como abordado atualmente muito criticado por Pedagogos e Educadores da rea de Matemtica. Preferem utilizar o termo Proporcionalidade e trabalhar o conceito associado com o de funo linear. Do ponto de vista terico, procedem as crticas, e, essas mudanas precisam e podem acontecer, especialmente no Ensino Fundamental. Porm, os professores no esto acostumados e, ainda continua-se ensinando e aprendendo Razes e Propores da forma tradicional. A tradio consolidou uma forma de entender os conceitos que diferente dos meios matemticos e da forma que outros pases abordam o assunto. Nos concursos ainda continua-se falando em Razo e Proporo da forma que sempre foi ensinado, e como o primeiro tpico a ser ensinado nos cursos de Matemtica Comercial ou Financeira, inclusive em cursos preparatrios para concursos. Seria interessante uma abordagem do conceito de proporo dentro da idia de funo afim, porm, nesse curso, vamos optar pela forma mais comum nos livros, ainda que concordemos com as crticas. RAZO Razo uma relao entre dois nmeros ou grandezas, uma forma de compar-las. A razo entre os nmeros (ou grandezas) a e b

o nmero

, lembrando que essa razo apenas

existir se b no for zero. Exemplos:

a) A razo entre 3 e 5 o nmero racional 3

5.

b) A razo entre as variveis x e y

.

c) A razo entre 18 e 24 18

24=

3

4.

d) A razo entre 0,3 e 0,15 0,3

0,15=

2

1.

e) A razo entre 2

3 e

1

4

2

31

4

=8

3.

f) A razo entre 5 m e 10 m 5

10=

1

2.

g) A razo entre 1 km e 20 cm 1

20 =

100.000.000

20=

5.000.0000

1.

h) A razo entre 100 km e 2h 100

2= 100/.

i) A razo entre distncia e tempo velocidade.

j) A razo entre volume escorrido e tempo

vazo.

evidente que, se uma razo representada como frao, como nos exemplos a at g, ela segue todas as regras e propriedades da frao.

que, de fato, ela uma frao! Uma razo uma frao, uma representao de uma frao. Inclusive nos exemplos h, i e j! Podemos, portanto:

somar, subtrair, multiplicar, dividir, calcular

potncias e razes das razes como fazemos

com fraes;

simplificar razes como fazemos com fraes;

reduzir razes a um denominador comum;

no possvel ter razes cujo denominador

zero.

E tudo mais que puder ser feito! Alguns livros didticos insistem que a razo

entre dois nmeros a e b o nmero racional

, o que

incorreto, pois, d para se falar em razes que geram nmeros irracionais, e dois exemplos clssicos:

a) A razo entre a medida da circunferncia e o

dimetro o nmero (pi).

b) A razo entre a diagonal e o lado de um

quadrado igual a 2.

Alm disso, um dos nmeros irracionais mais famosos, o nmero de ouro, tambm chamado de razo urea, do qual no iremos discutir aqui.

Ainda assim, comum ver nos livros didticos associar razo com nmero racional, e, na mesma coleo ou mesmo livro dizer que o pi uma razo ...

Utilizamos razo na prtica em diversas

ocasies. Vejamos os exemplos: a) De cada cinco reais em vendas, um ser

destinado para campanha de caridade. Razo 1

5.

b) Pague 2 leve 3. Razo 2

3.

c) De cada 100 pessoas dessa cidade, 12 votaro

no candidato X. Razo 12

100= 12%.

Em fsica, as frmulas em geral so razes entre grandezas. Exemplos:

a) Potncia, medida em watts (W) a razo entre

Trabalho, medido em joules (J) e tempo,

medido em segundos (s). Podemos dizer que

W=J/s.

b) Intensidade da Corrente Eltrica, medida em

ampre (A) a razo entre Quantidade de

Carga Eltrica, medida em coulomb (C) e

tempo, medido em segundos (s). Podemos

dizer que A=C/s.

c) Presso, medida em pascal (Pa) a razo

entre Fora, medida em newtons (N) e

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superfcie, medida em metros quadrados (m2).

Podemos dizer que Pa=N/m2.

Existem razes especiais, que veremos, muito

trabalhadas em livros didticos, em especial Escalas, Velocidade Mdia, Densidade Demogrfica, Densidade, e, em especial, Porcentagem, que merecer um captulo completo. Para entender melhor qual o sentido em falar em razo, veja o exemplo:

Se numa classe h 25 alunos, sendo 15 meninos e 10 meninas, a razo entre meninos e

meninas 15

10=

3

2, e isso significa que, para cada 3

meninos da sala, existem 2 meninas. Ou, fazendo a razo entre 15 meninos e 25

alunos 15

25=

3

5, conclumos que h 3 meninos para cada

5 alunos; ou fazendo a razo entre 10 meninas e 25

alunos 10

25=

2

5, conclumos que h 2 meninos para cada

5 alunos. Se para cada 3 meninos da sala existem 2

meninas, bvio que para cada 2 meninas existem 3

meninos, porm, a representao distinta. Num caso,

a razo 3

2 e no outro caso

2

3. Nesse caso chamamos

de razes inversas.

Podemos dizer que a razo inversa de

(admita que a e b no so iguais zero).

Claro que

= 1.

No haveria problemas de numa razo

chamarmos a de numerador e b de denominador. Alis, seria at mais natural, e isso feito na maioria dos pases e tambm em nveis mais avanados de estudo, afinal, razo no deixa de ser uma frao!

Porm, tradicionalmente numa razo

chamamos a de antecedente e b de conseqente. (E no deixam de ser numerador e denominador.)

Tambm, h uma forma de ler

, como a para

b ou a est para b. O que no impede de ler 3

5 como

trs quintos ao invs de trs para cinco.


1) Estabelea uma razo associada com as frases, conforme o exemplo. De cada 10 brasileiros, 6 gostam de futebol.

: 3

5 dos brasileiros gostam de futebol.

a) De cada 60 pessoas entrevistadas, 20 disseram que gostam do prefeito. b) Testamos 400 peas, 186 apresentaram problemas de fabricao. c) De cada 6 horas trabalhadas necessrio 15 minutos de descanso. d) Meu carro gasta 40 litros de gasolina para percorrer 280 quilmetros. 2) Seja a tabela seguinte o perfil dos alunos de uma classe:

Idade Sexo

Entre 17 e 20 anos

De 21 at 25 anos

De 26 at 30 anos

Mais de 30 anos

Masculino 6 7 3 1

Feminino 2 11 2 0

Qual a razo entre: a) Homens com menos de 21 anos e homens com mais de 30 anos. b) Mulheres entre 21 e 25 anos e homens entre 26 e 30 anos.

c) Homens e mulheres, ambos na faixa de idade de 21 a 25 anos. d) Homens com mais de 20 anos e mulheres entre 17 e 25 anos. e) Mulheres com menos de 25 anos e homens com mais de 30 anos. f) Alunos entre 17 e 20 anos e homens entre 17 e 20 anos. g) Alunos entre 21 e 30 anos e alunos com menos de 21 anos. h) Alunos e homens com menos de 31 anos. i) Mulheres e alunos. j) Alunos homens ou com menos de 26 anos e mulheres com menos de 21 anos ou homens com mais de 30 anos.

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3) Ache a razo irredutvel entre: a) 4 e 26 b) 144 e 192 c) 91 e 104 d) 0,5 e 0,25 f) 0,42 e -1,252 g) -2 e 0,25 h) 1 e 0,0001

i) 2

3 e

3

4

j) 5

4 e -2

k) 21

3 e 1

2

5

9) Encontre a razo entre: a) 100.000 e 100 b) 100 e 100.000 c) 3.000.000 e 30.000 d) 40.000.000 e 400.000.000 e) 424.000 e 4,24 f) 5,232.000 e 0,000.005.32 g) 0,000.003 e 0,003 h) 1.252.343 e 0,012.523.43 i) 5.000.000 e 43.000 j) 12.000 e 800 k) 600 e 9.000 l) 0,000.3 e 15.000

EXERCCIOS OPCIONAIS

1) Calcule a razo entre:

a)3 e 4 b) 9 e 2 c) -5 e 4 d) 6 e -3 e)- 9 e -6 f) 6 e 4 g) 0,2 e 2,6

h)0,5 e 6 h)1,4 e -5,11 i) e -1/3 j)8/6 e 1/3 l) 2 e m) e 3 n) 4 e -0,7

2) Numa sala estudam 20 meninos e 25 meninas, d a razo

entre:

a) o nmero de meninos e o nmero de meninas;

b) o nmero de meninas e o nmero de meninos;

c) o nmero de alunos e o nmero de meninas; d) o nmero de alunos e o nmero de meninos;

Espao para Visto

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3) D a forma simplificada da razo a/b se a=20 e b=100.

4) Em 1997, Nelson Piquet foi campeo de Frmula 1

conquistando 76 pontos em 15 provas. Qual a razo entre o

nmero de pontos conquistados e o nmero de provas?

Aula 14 Razes

EXERCCIOS OBRIGATRIOS 1) Ache a razo entre: a) 5 m e 4 m b) 2,6 m e 20 cm c) 1,42 m e 50 cm d) 2.000 cm e 3 m e) 1 km e 1 cm f) 1 cm e 1 km g) 12.000 cm e 2 mm h) 0,000.02 km e 1 m i) 2 L e 200 mL j) 50 mL e 1 L k) 2 g e 200 kg l) 50 g e 0,03 kg m) 2.000 s e 3 min

n) 2 min e 1h o) 3h e 2 dias p) 3h5min e 1h40min q) 2,5h e 30 min

r) 21

3 h e 20 min

s) 21

5 h e 3.600 s

t) 6min2s e 8min40s 5) Qual a razo inversa de:

a) 5

4 d) -5 e) 0,25

f) 0,2 h) 32

3

6)Determinar o valor de x de modo que as razes 5

6

e2

101

3

sejam inversas uma da outra.

7) Determinar o valor de x de modo que as razes 1

3 e

2

+1 sejam inversas uma da outra.

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EXERCCIOS OPCIONAIS

1) Qual a razo entre:

a) 10 m e 15 m b) 21 m3 e 18 m3

c) 20 cm e 3 m g) 20 m2 e 2 dam2

h) 18 m2 e 36 m2 i) 5 kg e 2 000 g

j) 2,40 m3 e 3 200 dm3 l) 5 00 cm e 10 m

2) Dado um retngulo de dimenses 4m e 6m, determine:

a) a razo entre a base e a altura do retngulo; b) a razo entre a altura e o permetro;

3) Dado um quadrado A de lado 6 m e um quadrado B de

lado 8 m, calcule:

a) a razo entre os permetros dos quadrados A e B; b) a razo entre as reas dos quadrados A e B;

3) Calcule a razo inversa:

a) 4/6 b) c) 7/6

d) 11/9 e) 5

4) Que nmero se obtm como produto de duas razes

inversas?

5) Se 3/8 . a=1, quanto vale a?

6) Se a . b=1, e a=6/5, qual o valor de b?

7) Se a razo de x para y 10, qual a razo de y para x?

Responda ao Calvin o que uma ona (em Matemtica, claro!)

Aula 15 Razes Especiais

1) DENSIDADE DEMOGRFICA a razo entre POPULAO E REA. Exemplo: Monte Santo de Minas. Populao: 20.133 (IBGE 2007) e rea 592,5 km2.

Densidade Demogrfica =

=

20133

592,5= 35,8

Ateno! Para o clculo da densidade usamos ARREDONDAMENTO (veja no final desse material)

2) VELOCIDADE MDIA a razo entre DISTNCIA PERCORRIDA (espao) e TEMPO GASTO. Exemplo: Um carro percorre 200 km em 4 horas Velocidade Mdia = 200 km / 4 h = 50 km/h (nunca esquea de colocar a unidade km/h)

3) ESCALA

Espao para Visto

Data:____/____

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Escala a razo entre a distncia de um mapa, carta cartogrfica, planta ou desenho de representao e a distncia real, medidos na mesma unidade de comprimento.

Geralmente so representadas da forma 1:100.000.000 por exemplo, que significa que 1 cm no mapa equivalem a 100.000.000 cm = 1.000 km na realidade.

Em geral, aceito utilizar pelos meios acadmicos a notao 1 cm = 1 km para representar que 1 cm no mapa significa 1 km na realidade. No recomendamos utilizar essa notao, pois o smbolo de = no significa equivalncia ou comparao! (Seria correto, e melhor, falar 1 cm : 1 km).

Existem escalas reduzidas, onde a representao menor que a real, como mapas e plantas, 1:2, 1:10, 1:100, 1:5.000, 1:1.000.000, 1:12.000.000.000.

Existe a escala natural, onde o desenho feito em seu tamanho real, 1.1.

E a chamada escala ampliada, para desenhos de microbiologia, cristalografia, parasitologia, bioqumica, etc, 100:1, 2.000:1, 3.000.000:1.

muito complicado reproduzir mapas com Escalas na Era da Internet, onde se pode ampliar ou reduzir mapas com um clique. Menos ainda na tela de um computador, onde podemos dar zoom, por exemplo.

Um mesmo mapa lido um smartphone e numa projeo em data-show, apresentar a mesma escala, porm, sero vistos em tamanhos diferentes.

Apenas para ilustrar, copiamos um mapa do site http://www.coladaweb.com/geografia/escalas-cartograficas

A escala 1:36.600.000 significa que no mapa original, cada 1 cm equivale a 36.600.000 cm, ou seja, cada centmetro no mapa vale na realidade 366 km.

Para mapas virtuais a escala feita com o desenho abaixo mais apropriada:

http://www.coladaweb.com/geografia/escalas-cartograficas

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Vejamos tambm Escala Ampliada, valendo as mesmas observaes j feitas:

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm106/expdesenho1.html

Podemos resumir o conceito de escala:

Escala = Tamanho do Mapa

Tamanho Real

Evidente que no serve apenas para mapas.

Escala a razo entre TAMANHO DO MAPA e TAMANHO REAL. Escala 1:150 significa que cada 1 cm no mapa equivale a 150 cm na realidade (1,50 m) Qual a rea da sala e da cozinha? Desenho do site:

http://profbarbara.webnode.pt/exercicios%20resolvidos%20-%206%C2%B0%20ano/escala%20-%20uma%20raz%C3%A3o%20especial/

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm106/expdesenho1.htmlhttp://profbarbara.webnode.pt/exercicios%20resolvidos%20-%206%C2%B0%20ano/escala%20-%20uma%20raz%C3%A3o%20especial/http://profbarbara.webnode.pt/exercicios%20resolvidos%20-%206%C2%B0%20ano/escala%20-%20uma%20raz%C3%A3o%20especial/

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EXERCCIOS OBRIGATRIOS (Excepcionalmente voc poder usar calculadora! Na prova no ser permitido mas no teremos clculos complexos. Use com moderao apenas para os clculos mais difceis) 1) Um comprimento real de 12 m foi representado num desenho de 6 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada? 2) A distncia entre duas cidades, em linha reta, 240 km e foi representada num mapa por um segmento de 12 cm. Qual foi a escala usada neste mapa? 3) Um carro percorre 320 km em 4 h. Determine a sua velocidade mdia. 4) Calcule a velocidade mdia de uma moto que faz o percurso de 125 km em 2 h. 5) Um fundista percorreu a prova dos 10 000 m em 32 min. Qual foi a sua velocidade mdia por minuto? 6) O estado do Cear tem uma rea de 148 016 km2 e uma populao de 6 471 800 habitantes (1991). D a densidade demogrfica do Cear.

7) Calcule a densidade demogrfica de uma cidade que tem 435200 habitantes em 170 km2. 8) Calcule a velocidade mdia, em km/h de um ciclista que percorre 45 600 metros em 72 minutos. 9) Minas Gerais tinha 17.835.488 habitantes e 587.172 km2. Qual era a densidade demogrfica do estado de Minas Gerais? 10) Um carro percorre um trecho de 40 km em 2h. Qual sua velocidade mdia? 9. A altura de Talytta de 1,50 m e de Michelli de 1,20 m. Qual a razo entre as alturas de Talytta e Michelli?

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10) A planta da casa representada abaixo est na escala 1:100, isto , cada centmetro da planta corresponde, na realidade, a 100

Apostila 3 bim 7 ano escola nova

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