Apostila Análise Numérica-2ºsemestre

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 1

CAPÍTULO VII – Equações Algébricas e Transcendentais

1. Equações Polinomiais de grau maior que 2 e transcendentais Equações transcendentais são aquelas que não podem ser resolvidas através de termos algébricos, suas soluções só são possíveis através de tentativa e erro. Apesar de existirem estudos sobre resoluções de equações polinomiais de 3º e 4º graus por Nicolau Cardano1 pouco divulgadas para os estudos mais gerais e básicos da Matemática, podemos resolver equações polinomiais através de tentativa e erro, mas com uma análise anterior da função, que nos otimize o processo de procura dos intervalos possíveis onde podemos encontrar uma das raízes (ou zero da função). Estes conceitos anteriores podem ser usados para qualquer tipo de equação. Porém existem equações que possuem pelo menos um método algébrico para resolvê-las, mas existem aquelas em que não existem métodos algébricos. Estas últimas são denominadas transcendentais. Entre as equações polinomiais que tem método algébrico de resolução estão: Equações do primeiro grau, Equações do segundo grau, Equações biquadradas, Equações do 3º grau com termo independente igual a zero, Equações que podemos verificar com as relações de Girard, Raízes de equações no conjunto dos Complexos, Equações redutíveis a uma das equações anteriores e Equações diferenciais. Equações transcendentais – equações que envolvem funções transcendentais, tais como ex, sen x, ln x. 2. Zeros de funções Seja f(x) uma função, denomina-se zero de f(x) um valor �, tal que f(�) = 0. No gráfico bidimensional, como f(x) = y, e nele y = 0 é sinônimo de pontos do eixo dos x, (�, 0) é o ponto onde o gráfico da função corta o eixo dos x. Se o gráfico da função é uma curva que não corta o eixo dos x, então esta função não tem zeros. Uma equação oriunda de uma função f(x), isto é: f(x) = k tem como soluções, x dos pontos onde a curva de f(x) corta o eixo y = k. Logo mesmo que a função f(x) não tenha zeros, a equação f(x) – k = 0 tem soluções em R (conjunto dos números reais). Estas soluções são os zeros da função g(x) = f(x) – k. Vejamos um exemplo de função do tipo conhecida que pode não ter zeros, a função quadrática, cujo gráfico é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y (ou perpendicular ao eixo dos x). Se f(x) = x² – 2x + 3. Se f(x) = 0, então x² – 2x + 3 = 0. Nesta equação, vamos encontrar ∆ = 4 – 12 = –8, logo não tem solução em R. Mas se queremos resolver a equação f(x) = 6, vamos encontrar a função g(x) = x² – 2x – 3 que tem como zeros os pontos (–1, 0) e (3, 0), pois nesta equação x² – 2x – 3 = 0 as raízes ou soluções são x = –1 e x = 3. Ao estudarmos os zeros de qualquer função, não temos fórmulas como as resolutivas para as equações do 2º grau. Mas sabendo que seus zeros são pontos onde o gráfico da função corta o eixo dos x, podemos tentar encontrar intervalos onde tais pontos estão localizados. Pois se para um valor x = a e para x = b, com b > a, temos f(a) . f(b) < 0 podemos concluir, para os casos de funções contínuas neste intervalo corta o eixo dos x, logo tem um zero neste intervalo.

1 Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e faleceu em Roma, em 1576, levou uma vida marcada por contrastes e extremos. Excepcional cientista, dedicou-se também à astrologia. Em um documento por ele mesmo redigido, definiu-se como desbocado, espião, melancólico, traidor, solitário, obsceno, desonesto, incomparavelmente vicioso e portador de total desprezo pela religião. Apesar desses traços pessoais nada significantes, Cardano levou à posterioridade um livro que, à época, era sem dúvida o maior compêndio algébrico existente: a Ars Magna, publicada em Nuremberg, na Alemanha, em 1545.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 2 Para podermos estudar resoluções de equações polinomiais de grau maior que dois e equações transcendentais, como professores do Ensino Fundamental II e Médio, devemos relembrar algumas das equações estudadas nas escolas neste período. Vamos relembrar, resolvendo alguns deles. (Ao utilizarmos x como incógnita, não devemos nos esquecer que geralmente escrevemos a solução da equação na forma x = valor solução. A equação, isto é a sentença matemática aberta onde a relação é de igualdade descreve um fenômeno quantitativo qualquer relacionando valores fixos (parâmetros) com a incógnita, que quando linear pode ser escrito independente do fenômeno através de x = ....., que podemos até imaginar de maneira muito forçada como um sinônimo extremamente simplificado da equação.) Exercícios 1) Em R, determine, justificando passo a passo o processo lógico utilizado, o conjunto solução (ou verdade) de cada equação. Depois, nome-as. a) 3x + 5 = 7 b) 2ax – 3c – 2bx = 3(a – b + c)

c) x 7

4 = x2 3

−

d) 2x 1 1 2 x

= + 3x + 5 2 3x + 5

− −

e) t² – 5t – 14 = 0 f) 4p² – 7p = 0 g) 9a² – 49 = 0 h) 4x³ – 24x² + 32x = 0 i) k4 – 13k² + 36 = 0 j) 2m 5 1 m+ − = k) 2m 5 = m + 1+ l) 82x + 1 = 32 m) 9x – 12.3x + 27 = 0 n) 3 x + 3 x – 1 – 3 x – 2 = 11 o) 2 2log x + log (x 2) = 3−

p) 2 4

1 1 + = 3

log x log x

q) 2 �x �2 + 3 �x �– 14 = 0 r) 3x 7 = 3−

s) 2x 6 = x 1− −

t) 1 02 1� ��

• X = 35� ��

u) x, 5 x, 3C = C

v) ( )( )x 3 !

20 = 0x 1 !

−−

−

w) 5x2 – 25ax = 0 x) (m – 1)x2 – m2x + (m + 1) = 0 (m � 1) 2) Resolver no conjunto dos números complexos C. a) x² – 2x + 2 = 0 b) x² – 7x + 6 = 0

c) x2 + 7 = 0 d) m2 + 81 = 0

e) p2 – p – 1 = 0 f) x3 + 8 = 0


3. Isolamento de raízes Para determinarmos o número e a localização aproximada de raízes de uma função, a fim de obtermos uma estimativa inicial a ser usada nos processo iterativos, podemos examinar o comportamento dessa função através de um esboço gráfico. Por exemplo, seja uma função f(x) tal que: f(x) = g(x) – h(x) As raízes de f(x), são tais que g(x) – h(x) = 0, ou ainda g(x) = h(x). Assim, os valores de x em que o gráfico g(x) intercepta o gráfico de h(x) é a raiz de f(x). Exemplo 1: Dada a função f(x) = sen(x) + cos(x), encontrar os intervalos que contenham raízes entre 0 e 2�. Resolução: Partindo de f(x) = 0, segue que sen(x) + cos(x) = 0 e que sen(x) = –cos(x). Fazendo os gráficos de sen(x) e –cos(x) temos:

fig. 7.1.

Pelo gráfico, vemos que a função g(x) irá interceptar a função h(x) entre �

2 e � e entre

3�2

e

2�. Portanto, podemos afirmar que existe uma raiz de f(x) no intervalo �

, �2� ��

e no intervalo

3�, 2�

2� ��

.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 4 Exemplo 2: Resolver graficamente a equação x3 – x2 + 1 = 0. Nem sempre o esboço gráfico é a forma mais prática de se obter um intervalo que contém2 pelo menos uma raiz da função f(x). Muitas vezes é preciso se utilizar um método algébrico. Para isso, vamos recorrer ao teorema de Bolzano3. 4. Teorema de Bolzano (ou Teorema do Anulamento) Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a, b], tal que, f(a) . f(b) < 0. Então a função f(x) possui pelo menos uma raiz no intervalo [a, b]. Podemos enunciar também: Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = 0. Podemos verificar este teorema graficamente:

fig. 7.2.

2 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, permanecem os acentos que diferenciam o singular do plural dos verbos ter e vir, assim como de seus derivados (manter, deter, reter, conter, convir, intervir, advir etc.). Exemplo: Ele tem dois carros. / Eles têm dois carros. Ele mantém a palavra. / Eles mantêm a palavra. 3 Bernhard Bolzano (1781-1848), padre tcheco cujas opiniões desagradavam a Igreja. Bolzano percebeu algumas propriedades importantes dos conjuntos infinitos – por exemplo, que há tantos números reais entre 0 e 1 quantos há entre 0 e 2, e que a infinidade dos números reais é diferente da dos números inteiros – que precisaram ser redescobertas mais tarde porque ele não foi levado a sério por seus contemporâneos.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 5 Pesquisar as raízes reais de uma equação polinomial P(x) = 0 é localizar (onde? quantos?) os pontos em que o gráfico cartesiano da função y = P(x) intercepta o eixo das abscissas (y = 0). Assim, o teorema de Bolzano comporta uma interpretação geométrica baseada, em resumo, no seguinte: a) sinal de P(a) � sinal de P(b) � número ímpar de raízes

fig. 7.3.

b) sinal de P(a) = sinal de P(b) � número par de raízes

fig. 7.4.

Exemplo 1: Seja a função f(x) = x.ln(x) – 3,2. Podemos calcular o valor de f(x) para valores arbitrários de x, como mostrado na tabela abaixo:

x 1 2 3 4 f(x) –3,20 –1,81 0,10 2,36

Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [2, 3]. Exemplo 2: Verifique que o polinômio P(x) = x4 – 3x – 1 admite uma raiz real no intervalo [1, 2].

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 6 Exercícios 3) Separe graficamente as raízes das equações abaixo: a) x3 – 5x2 + 1 = 0 b) x log x – 1 = 0 c) ln x – ex + 1 = 0 d) x3 – 5 = 0 e) x2 – x + 3 = 0 f) x2 – sen x – 1 = 0 g) x x – 4 = 0 h) x

22 log x = 0− 5. Método da Bissecção Seja [a, b] um intervalo que contenha uma raiz de f(x) = 0 e f(a) . f(b) < 0. Para encontrar a raiz pertencente ao intervalo [a, b] devemos dividir o intervalo ao meio (bissecção) e:

1) calcula-se f(x) no ponto médio de [a, b]. xm = a + b

2

2a) Se f(xm) = 0, então a raiz é: r = xm = a + b

2.

b) Se f(xm) � 0 e f(a) . f(xm) < 0 ou f(xm) . f(b) < 0, então devemos escolher aquele intervalo nos extremos do qual a função f(x) tem sinais contrários. 3) Repete-se o processo, voltando para 1 até que tenhamos chegado “suficientemente perto da raiz” exata r, com a tolerância ∈ desejada. Exemplo 1: Calcule a raiz positiva da equação x2 – sen x – 1 = 0, com ∈ � 0,01.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 7 Exemplo 2: Calcule a raiz positiva da equação x2 – 3 = 0, com ∈ � 0,01.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈

Exercícios 4) Calcule a raiz positiva das equações abaixo, com ∈ � 0,01. a) x3 – 5x2 + 1 = 0 b) x log x – 1 = 0 c) ln x – ex + 1 = 0 d) x3 – 5 = 0

e) x2 – x + 3 = 0 f) x2 + 2log x = 0 g) x2 – sen x – 1 = 0

h) 2

1x

– 0,57x + 2 = 0

5) Dada a função polinomial f (x) = x3 + 2x + 1, será possível f (x) = 0 em [–1, 4]? 6) Determine o valor de a de modo que a equação x3 + x2 + 5x + a = 0, tenha ao menos uma raiz no intervalo [–2, 0].

7) Mostre que no intervalo �

0, 2

� ��

existe, pelo menos, uma raiz da equação cos x − 5 sen x = 0.

8) A função dada por y = 1x

, em R*, possui f(–1) = –1 < 0 e f(1) = 1 > 0, mas não possui raiz entre –1 e

1. Por que “falhou” o teorema de Bolzano?


Revisando Conceitos 6. Teorema Fundamental da Álgebra Este teorema foi demonstrado por Gauss em 1799 e diz: Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n � 1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa. 7. Multiplicidade de uma raiz As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. Se um número � for uma só vez raiz de uma equação algébrica, ele será chamado raiz simples. Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais a um certo número, esse número será uma raiz de multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, o número será uma raiz de multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e assim sucessivamente. 8. Raízes Complexas O teorema que vamos apresentar nos fornece uma informação importante a respeito do número de raízes complexas não reais de uma equação polinomial com coeficientes reais. Antes de demonstrá-lo, vamos apresentar algumas propriedades importantes a respeito do conjugado de um número complexo. Sejam os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di e x ∈ R. Temos: I) 1 21 2z + z = z + z De fato: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)

z1 + z2 = (a + c) + (bi + di) = (a + c) + (b + d)i

1 2z + z = (a + c) – (b + d)i

1 2z + z = a + c – bi – di = (a – bi) + (c – di) = 1 2z + z

II) 11x . z = x . z De fato: x . z1 = x(a + bi) = xa + xbi

1x . z = xa – xbi

1x . z = x(a – bi) = x . 1z III) x = x De fato, como x ∈ R, x = x + 0i, de onde x = x – 0i, isto é, x = x.


IV) ( )nnz = z

Seja z = a + bi na forma trigonométrica, z = �(cos � + i sen �). Pela fórmula de Moivre4, temos: zn = �n[cos (n�) + i sen (n�)] Assim: nz = �n[cos (n�) – i sen (n�)] (1) Por outro lado: z = �(cos � – i sen �) z = �[cos (–�) + i sen (–�)] de onde:

( )nz = �n[cos (–n�) + i sen (–n�)]

( )nz = �n[cos (n�) – i sen (n�)] (2)

Comparando (1) e (2), segue que nz = ( )nz .

Teorema Se um número complexo z = a + bi, com b � 0, é raiz de uma equação com coeficientes reais, então seu conjugado z = a – bi também é raiz dessa equação. Demonstração: Seja a equação P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0, com an, an – 1, ... , a1, a0 coeficientes reais. Da hipótese, z é raiz da equação, isto é, P(z) = 0. anzn + an – 1zn – 1 + ... + a1z + a0 = 0

n n 1n n 1 1 0a z + a z + ... + a z + a = 0−

−

Usando a propriedade I, podemos escrever: n n 1

n n 1 1 0a z + a z + ... + a z + a = 0−−

De II e III, vem: n n 1

n n 1 1 0a z + a z + ... + a z + a = 0−−

E usando IV:

( ) ( )n n 1

n n 1 1 0a z + a z + ... + a z + a = 0−

−

isto é, P ( )z = 0, o que mostra que z é raiz de P(x) = 0.

4 Abraham de Moivre (1667-1754) tem seu nome ligado também ao desenvolvimento da teoria das probabilidades.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 10 Observações: 1ª) Se o número (a + bi) é uma raiz com multiplicidade k, o número conjugado (a – bi) é também uma raiz com a mesma multiplicidade. Exemplo: Se o complexo 2 + 3i for raiz dupla de uma determinada equação, o conjugado 2 – 3i será também raiz dupla da mesma equação. 2ª) As raízes complexas não reais ocorrem aos pares. Portanto, toda equação de grau ímpar, com coeficientes reais, admite pelo menos uma raiz real. 9. Raízes Racionais Considere a equação de coeficientes inteiros: anxn + an – 1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0 com an � 0 e a0 � 0

Se o número racional pq

(p e q primos entre si) é a raiz da equação anterior, temos:

an

npq� � � �

+ an – 1

n - 1pq� � � �

+ ... + a2

2pq� � � �

+ a1pq� � � �

+ a0 = 0

Multiplicando os dois membros da equação qn: anpn + an – 1pn – 1q1 + an – 2pn – 2q2 + ... + a2p2qn – 2 + a1pqn – 1 + a0qn = 0 (1) Preparando a equação: anpn + an – 1pn – 1q + an – 2pn – 2q2 + ... + a2p2qn – 2 + a1pqn – 1 = – a0qn p(anpn – 1 + an – 1pn – 2q + an – 2pn – 3q2 + ... + a2pqn – 2 + a1qn – 1) = – a0qn O primeiro membro da igualdade é um número inteiro, pois p, q, an, an – 1, ..., a2, a1 são números inteiros. Logo a0qn deve ser um número inteiro e também múltiplo de p, uma vez que p é fator do primeiro membro, isto é: kp = a0qn com k sendo um número inteiro.

Daí, obtemos: 0ap

= k.

Como p e q são números primos entre si, p e qn também o são. Logo, p é divisor de a0. De (1) podemos escrever ainda: q(an – 1pn – 1 + an – 2pn – 2q + … + a2p2qn – 3 + a1pqn – 2 + a0qn – 1) = – anpn De maneira análoga podemos concluir que q é divisor de an. Do exposto podemos enunciar o seguinte o teorema:

Se o número racional pq

, p e q primos entre si, for raiz da equação algébrica de coeficientes

inteiros anxn + an – 1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0 com an � 0 e a0 � 0, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 11 Esse teorema permite fazer uma previsão sobre as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros. Observações: • Este teorema não garante a existência de raízes racionais, mas, no caso de elas existirem, mostra

como obtê-las. • O teorema possibilita a formação de um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos

divisores de an e a0. Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação, esta não admitirá raízes racionais.

• Se an = ± 1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite raízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes inteiras que são divisores de a0.

• Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será raiz da equação.

Exemplo 1: Resolver a equação x5 + 2x4 – 2x3 + 2x2 – 3x = 0 Exemplo 2: Resolver a equação 2x3 – 7x2 + 8x – 3 = 0 Exemplo 3: Resolver a equação x3 + 2x2 – 1 = 0

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 12 Exercícios 9) Resolva as seguintes equações: a) x3 – 6x2 – x + 30 = 0 b) 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0 c) x4 – 3x3 + 4x2 – 2x = 0 d) 2x3 + x2 – 25x + 12 = 0 e) x3 – x2 – 14x + 24 = 0 f) x4 + x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 10) Resolva a equação x5 – 3x4 + 5x3 – 15x2 + 4x – 12 = 0, sabendo que duas de suas raízes são i e 2i. 11) Resolva a equação x5 – 3x4 + 4x3 – 4x2 + 3x – 1 = 0, sabendo que 1 é raiz tripla dessa equação. 12) Sabendo que (1 + 2i) é raiz da equação x4 – 7x3 + 19x2 – 33x + 20 = 0, encontre seu conjunto solução. 13) Sabendo que 1 e 3 são raízes da equação x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 15 = 0, determine o seu conjunto solução. 14) O polinômio P(x) = x3 – x2 + x + a é divisível por x – 1. Ache todas as raízes complexas de P(x). 15) Uma equação P(x) = 0 de grau 5 e coeficientes reais possui raízes 1, –i e 1 + i. Determine as demais raízes. 16) Determine as demais raízes da equação P(x) = 0, de grau 5 e coeficientes reais, sabendo que 2, –1 + i e 2i são raízes. 17) Resolva, em C, a equação (x4 – 1) . (–x2 – 9) . (x3 – 6x2 + 5x) = 0. 18) Seja f a função de domínio ]– 4, +�[ definida por f(x) = x + log4(x + 4). Em qual dos intervalos é possível garantir a existência de pelo menos um zero? a) [–3, –2] b) [–2, 0] c) [0, 4] d) [4, 12] 19) Separe graficamente as raízes das equações abaixo: a) x2 – x – 1 = 0 b) x . log2x – 1 = 0 20) Calcule a raiz positiva das equações abaixo, com ∈ � 0,01. a) x2 – x – 1 = 0 b) x . log2x – 1 = 0

21) Mostre que 3 7 + 5 2 + 3 7 5 2− é um número inteiro. 22) Mostre que xn + 4x + 2, n ∈ N*, não tem soluções reais. 23) Determine a multiplicidade da raiz –2 na equação 2x5 + 15x4 + 40x3 + 40x2 – 16 = 0.

24) Resolva o sistema

x + y z + t = 13x 2y + z + 2t = 105x + 3y 3z t = 92x + y + 2z 3t = 7

− − � −�� − − −�� −�

usando o processo de escalonamento.

25) (Fuvest-SP) Mostre que é inteiro o número 310

2 + 39

+ 310

2 39

− .


CAPÍTULO VIII – Equações Diferenciais

1. O que é uma equação diferencial? Em Matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. As equações diferenciais são essenciais para o campo da Física. As equações diferenciais dividem-se em dois tipos: a) Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável. b) Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais. As Equações Diferenciais têm as seguintes propriedades: I) a solução pode existir ou não; II) caso exista, a solução é única ou não. Exemplos de equações diferenciais ordinárias 1. y” + 3y´ + 6y = sin (x) 2. (y”)3 + 3y + 6y = tg (x) 3. y” + 3y y = ex 4. y´ = f(x, y) 5. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais a) Equação do calor : ut = a2uxx

b) Equação do calor : ut = a2(uxx + uyy) c) Equação da Onda : utt = a2uxx d) Equação da Onda : utt = a2(uxx + uyy) e) Equação de Laplace : uxx + uyy = 0 f) Equação de Laplace : uxx + uyy + uzz = 0 g) ux = x + y h) uxxx + 2 y uxx + x ux uy + (ux)2 = sin (xy) 2. Ordem e grau de uma equação diferencial ordinária A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo: A y(3) + B y(2) + C y(1) + D y(0) = 0 Exemplos: 1. y” + 3y´ + 6y = sin (x) e y” + 3y y´ = ex têm ordem 2 e grau 1.

2. (y”)3 + 3(y´)10 + 6y = tg (x) tem ordem 2 e grau 3.

3. y´ = f(x, y) e M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 têm ordem 1 e grau 1.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 14 3. Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias ordem n > 1 3.1. Equações Imediatas

Exemplo 1: Resolva a equação y’ = 2

x2x + 1

Exemplo 2: Resolva a equação y” = e2x Exemplo 3: Resolva a equação y’ = 3x2 – 2x + 5 3.2. Equações separáveis de primeira ordem Seja uma equação diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M = M(x) e N é uma função apenas da variável y, isto é N = N(y), então a equação dada fica na forma M(x) dx + N(y) dy = 0 e ela é chamada equação separável. Isto é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade possua uma função com apenas uma variável. Desse modo, podemos realizar a integração de cada membro por um processo “simples”.

Exemplo 1: A equação diferencial y´= xy

na sua forma normal, pode ser reescrita na sua forma

diferencial xdx − ydy = 0 ou ainda na forma x dx = y dy. Integrando cada termo independentemente, teremos: x dx = y dy� �

2x

2 + C1 =

2y2

+ C2

e reunindo as constantes em uma constante C, teremos x2 – y2 = C, e esta relação satisfaz à equação diferencial dada.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 15 Exemplo 2: Resolva a equação y´= x . y. Exemplo 3: Resolva a equação x2dx – eydy = 0 Exemplo 4: Determine a curva y = f(x) cuja tangente (tem inclinação) em cada ponto é proporcional à abscissa do ponto. Exemplo 5: Ache a equação da reta que passa por (0, –2) e cuja tangente em cada ponto é igual à ordenada do ponto. 3.3. Aplicações da função exponencial natural Modelos matemáticos envolvendo potências de e ocorrem em muitos campos, tais como Química, Física, Biologia, Psicologia, Sociologia, Administração e Economia. Os modelos que envolvem, por exemplo, as leis de crescimento e decaimento, surgem quando a taxa de variação de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à quantidade existente num dado instante. Por exemplo, é possível que a taxa de crescimento da população de uma comunidade seja proporcional à população existente num dado instante. Em Biologia, sob certas circunstâncias, a taxa de crescimento de uma cultura de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias presentes em qualquer instante

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 16 dado. Numa reação química é frequente5 o caso em que a velocidade da reação é proporcional à quantidade da substância presente; por exemplo, sabe-se experimentalmente que a taxa de decaimento do rádio é proporcional à quantidade de rádio existente num dado momento. Uma aplicação em Administração ocorre quando os juros são compostos continuamente. Em tais casos, se o tempo for representado por t unidades e se y unidades representar o total da

quantidade presente em qualquer instante, então dydx

= kt, onde k é uma constante e y > 0 para todo

t � 0. Se y cresce com o aumento de t, então k > 0 e temos a lei de crescimento natural. Se y decresce quando t aumenta então k < 0 e temos a lei do decaimento natural. Vejamos dois exemplos. Exemplo 6: A taxa de decaimento do rádio é proporcional à quantidade presente em qualquer instante. Se houver 60 mg de rádio agora e sua meiavida6 for de 1690 anos, qual a quantidade de rádio daqui a 100 anos? (Em problemas envolvendo a lei do decaimento natural, a meiavida de uma substância é o tempo para que ela seja reduzida à metade da quantidade inicial).

5 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa mais o trema. 6 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa o hífen quando o prefixo termina em vogal e o segundo elemento começa por consoante diferente de r ou s. Exemplos: anteprojeto, antipedagógico, microcomputador, semicírculo. Atenção: com o prefixo vice, usa-se sempre o hífen. Exemplos: vice-rei, vice-almirante etc.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 17 Exemplo 7: Um operário recém-contratado7 realiza uma tarefa com maior eficiência a cada dia que

passa; de tal forma que se y unidades forem produzidas por dia após t dias no trabalho, então dydx

=

k(80 – y), onde k é uma constante positiva e y < 80 para todo t � 0. O empregado produz 20 unidades no primeiro dia de trabalho e 50 unidades por dia após 10 dias de trabalho. Quantas unidades por dia ele estará produzindo após 30 dias de trabalho?

7 De acordo a nova Reforma Ortográfica 2009, com os prefixos ex, sem, além, aquém, recém, pós, pré, pró, usa-se sempre o hífen. Exemplos: além-mar, além-túmulo, aquém-mar, ex-aluno, ex-diretor, ex-hospedeiro, ex-prefeito, ex-presidente, pós-graduação, pré-história, pré-vestibular, pró-europeu, recém-casado, recém-nascido, sem-terra.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 18 Exercícios 26) Resolva as seguintes equações imediatas:

a) y’ = 2

1x

b) dx = 1

2y + 3 dy

c) y’ = 2

3

x2x + 1

d) dydx

= x . ln x

e) y’” = x

f) y” = e –2x

g) y’ = x3 . sen (5x4 – 1)

h) y’ = x3 . cos (3x4 – 12)

i) y” = sen 2x – cos 4x

j) y’ = x2 (x3 + 1)8

l) y’ = 2x

x + 1

m) y’ = 2x 9

x 3−−

27) Resolva as seguintes equações de variáveis separáveis: a) y dx – x dy = 0

b) (1 + y) dx – (1 – x) dy = 0

c) (y2 – xy2) dxdy

+ x2 + yx2 = 0

d) xy y´ = 1 – x2

e) (1 – x)y2 dx + x dy = 0

f) (x + xy2) dx + (1 + x) dy = 0

g) (3xy + 3x – y – 1) dx – xy dy = 0

h) (xy – 2x – y + 2) dx + xy dy = 0

i) 4x dy – y dx = 0

j) e2x – 3y dy = dx

l) y2cos(ln x) dx = x.e1/y dy

m) (x2 + x) dy = (x + 2) dx

n) y’ = x3 . sec2(5x4 – 1)

28) A respeito da equação x3(x + 2)4 . (x – 1)2 . (x + 6) = 0 determine: a) suas raízes; b) suas respectivas multiplicidades; c) o grau da equação. 29) Os números 7 – i e 2i são raízes de um polinômio p(x) de grau n e coeficientes inteiros. Determine o valor mínimo de n. 30) As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são, em cm, as raízes da equação x3 – 19x2 + 108x – 180 = 0. Calcule: a) o volume. b) a área total. c) a diagonal. 31) Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que admite as raízes i, 5 + i, 2 – 3i e 6 + 4i. 32) Determine o menor grau possível de uma equação algébrica que admite as raízes –3, –i, 4 + i e –3 – 2i. 33) Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que admite 2 como raiz dupla, 5 + i como raiz dupla e 3 – i como raiz tripla.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 19 34) A equação x2 – 0,4343ln x – 1,5 = 0 tem uma raiz real que pertence ao intervalo [1, 2]. Determine um valor aproximado dessa raiz, com uma precisão ∈ < 10–2.

35) Verifique se há raiz no intervalo dado da função f(x) = x log x em 1

, 22� ��

.

36) Dada a função f(x) = sen (2x) – cos (2x), determine graficamente os intervalos que contenham raízes entre 0 e �. 37) Efetue as operações indicadas: a) (345146 + 234146) – 124536 b) (345316 – 234156) x 36 c) 4135 + (3125 – 2435) x 235 d) 1101012 + 1100112 – 110112 e) 233214 x 134 – 1233214 38) Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), determine sua equação. 39) A função custo marginal8 C’ é dada por C’(x) = 4x – 8 quando C(x) é o custo total da produção de x unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for de R$ 20,00, ache a função custo total. 40) O ponto (3, 2) está numa curva e em qualquer ponto sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x – 3. Ache uma equação da curva. 41) A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) da curva é 3 x . Se o ponto (9, 4) está na curva, determine uma equação para ela.

42) Os pontos (–1, 3) e (0, 2) estão numa curva e em qualquer ponto (x, y) da curva 2

2

d ydx

= 2 – 4x.

Ache uma equação da curva. 43) O volume de água num tanque é V m3 quando a profundidade da água é h m. Se a taxa de variação V em relação a h for �(4h2 + 12h + 9), determine o volume de água no tanque quando a profundidade for de 3 m. 44) Um colecionador de artes comprou uma pintura por R$ 1 000,00 de um artista cujos trabalhos

aumentam de valor em relação ao tempo, de acordo com a fórmula 3/ 2dV = 5t + 10t + 50

dt, onde V é o

valor estimado de uma pintura t anos após sua compra. Se essa fórmula for válida pelos próximos 6 anos, qual o valor previsto para a pintura daqui a 4 anos? 45) Um ferimento está cicatrizando de tal forma que t dias a partir de segunda-feira, a área da ferida decresce a uma taxa de –3(t + 2)–2 cm2 por dia. Se na terça-feira a área do ferimento fora 2 cm2, a) qual teria sido a sua área na segunda-feira; b) qual a área prevista na sexta-feira, se o ferimento continuar a cicatrizar na mesma taxa?

8 Em economia e finanças, custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida.


CAPÍTULO IX – Integração Numérica

1. Introdução O cálculo integral dispõe de métodos algébricos que permitem o cálculo de f(x) dx� = F(X) + C,

com F’(x) = f(x), no intervalo [a, b], temos que:

b

af(x) dx� = F(b) – F(a)

tais métodos, embora variados, não se aplicam a alguns tipos de integrandos f(x), não sendo conhecidas suas primitivas F(x). 2. Integração numérica Há dois casos que se impõe o uso de uma fórmula de integração numérica: a) Quando se conhece a função através de uma tabela; b) Quando a função a ser integrada é conhecida, porém não é integrável elementarmente, como por exemplo

2-xe dx. 3. Regra Trapezoidal Se a tabela possui dois pontos apenas, isto é, um único intervalo, a figura abaixo ilustra como obter um valor numérico aproximado da integral desejada.

I = 1

0

x

xf(x) dx� =

h2

(y0 + y1)

Se a tabela for de passo constante, dividi-se o intervalo [a, b] em n intervalos de amplitude h e a cada subintervalo9 aplica-se a regra dos trapézios.

9 Com o prefixo sub, usa-se o hífen diante de palavra iniciada por r: sub-região, sub-raça etc.

x

y

f(x) P(x) Fazendo a integração normal e a numérica, esta é a diferença.

y1

y0

x0 x1


I1 = h2

(y0 + y1) I3 = h2

(y2 + y3) In = h2

(yn – 1 + yn)

I2 = h2

(y1 + y2) In – 1 = h2

(yn – 2 + yn – 1)

I = I1 + I2 + I3 + … + In

I = h2

(y0 + y1) + h2

(y1 + y2) + h2

(y2 + y3) + h2

(yn – 2 + yn – 1) + … + h2

(yn – 1 + yn)

I = h2

(y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + yn – 1 + … + yn – 1 + yn)

I = h2

(y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + … + 2yn – 1 + yn)

Exemplo 1: Calcular, pela regra trapezoidal e pelo método analítico, o valor de 3,6

3

dxx� .

Exemplo 2: Calcular, pela regra trapezoidal e pelo método analítico, o valor de 3,6

3

dxx� a partir da

tabela.

x y

yn yn - 1 y3

x

y

x0 x1 x2 x3 xn-1 xn

y2 y1 y0

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 22 Exercícios

46) Calcule a integral 4

1

x dx� pela Regra dos Trapézios usando 4 subdivisões de [a,b] e 6 casas

decimais.


0

sin(x)dx

x� através da Regra Trapezoidal subdividindo o intervalo [0,1] em um,

dois e quatro subintervalos. Utilize 5 casas decimais. 48) Faça um exemplo gráfico de cálculo integral por áreas de trapézios: a) de uma função linear. b) de uma função do 2º grau c) de uma função do 3º grau entre os pontos de máximo e mínimo ou vice versa.

49) Calcular, usando a regra do trapézio, 1,2 x

0e cos x dx� , a partir da tabela abaixo:

50) Aplicar a regra do trapézio para calcular 1,30

1,00x dx� , utilizando os dados da tabela a seguir:

x 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 x 1,0000 1,0247 1,0488 1,0723 1,0954 1,1180 1,1401


20

dx

25 x−� através da Regra Trapezoidal subdividindo o intervalo em quatro

subintervalos. Utilize 4 casas decimais.

52) Aproximar I = 1,5

30

x dx

8 x−� usando o processo dos trapézios, utilizando h = 0,3 e trabalhando

com quatro casas decimais. 53) Resolva, em C, a equação (x4 – 1) . (–x2 – 9) . (x3 – 6x2 + 5x) = 0. 54) Determine o valor de a de modo que a equação x3 + x2 + 5x + a = 0, tenha ao menos uma raiz no intervalo [–3, –1]. 55) Resolva, em C, a equação x5 – 6x4 + 13x3 – 14x2 + 12x – 8 = 0, sabendo que 2 é raiz tripla.

56) Justifique que a função f(x) = cos�(x + 1)

8 + 0,148x – 0,9062 possui uma raiz no intervalo [−1, 0]

e outra no intervalo [0, 1]. 57) Resolva 3x6 – 5x5 + 8x4 – 10x3 + 7x2 – 5x + 2 = 0, sabendo que i é raiz dupla.

58) Ache o valor da integral I = 1

0,2x 2 x dx−� aplicando o processo dos trapézios e adotando h = 0,2.

Trabalhe com três casas decimais.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 23 59) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são indicadas na figura, em metros: a) Escreva a equação que dá os valores de x quando o volume for 42 m3. Sabendo que 2 metros é uma solução desse problema, investigue se há outras soluções positivas. b) Descubra os valores de x para os quais o volume é maior que 42 m3. 60) Resolva as seguintes equações diferenciais:

a) 2x + 6y.y´ = 0 b) y” – 3x2 = 0 c) y’ = 2

x

4 x

−−

d) y(1 + x3)dy + x2 (1 + y2)dx = 0 e) cos2x dy = y dx

61) Escalone o sistema

a + b + c = 12

a b + 2c = 142a 2b + c = 3

� −�� − −�

.

62) Calcule a raiz positiva da equação ex – 3x = 0, com ∈ < 10–2. 63) Dentre as equações abaixo, quais são equações lineares. a) x – 2 y + z = 0

b) x3 + 3x2y – xy2 – y3 = 2

c) 5x1 + 0x2 – 3x3 + 4x4 + 0x5 = 12

d) 5x = 8

e) –x1 – 14

x2 + 3 x3 = 0

f) –x1 – 14

x2 + 33x x4 = 0

g) 2x2 – 14

y = 10

h) �x – ey + ln 2 z = 0

i) x + y + zw = 0

j) 28x – 12yz + 20w = 70

64) Calcule pela regra trapezoidal a integral 21 x

010 + ln(1 + x) dx� �� , subdividindo o intervalo em 5

subintervalos. Trabalhe com quatro casas decimais. 65) O custo de certa peça da maquinaria é R$ 700,00 e seu valor é depreciado com o tempo, de acordo

com a fórmula dVdt

= –500(t + 1)–2, onde V é seu valor t anos após a compra. Qual o valor da peça três

anos após sua compra?

x x + 1

3x + 1


CAPÍTULO X – Matemática Financeira

1. O que é a Matemática Financeira? A Matemática Financeira estuda os processos de empréstimos, seus elementos e as várias versões de recebimento e pagamentos. Estas variações de recebimentos e pagamentos dão origem a uma série de situações que podem ou não serem estudadas de maneira genérica. Dentre as que podem ser estudadas genericamente, está o empréstimo mais comum, que é o do recebimento de valor único e em pagamento também único após um período de tempo a taxa pré-fixada10 e em juros simples ou composto. Uma outra transação de empréstimo muito comum é o bancário, que cobra juros antecipados, isto é, o valor recebido é o valor pedido menos os juros. Os financiamentos, normalmente feitos em juros compostos, envolvem pagamentos iguais com ou sem parcelas intermediarias, pagamentos com correção monetária periódica, ou aquelas em que emprestamos para a empresa (aplicamos) e retiramos em parcelas, tipo previdência privada, ou ainda dívidas de diferenças como no caso do INSS que nos paga em parcelas de períodos iguais. Inicialmente, vamos estudar empréstimos de Valor único a taxa pré-fixada, por um determinado período e pagamento único no final do empréstimo. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante um certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou principal) e é indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do empréstimo de é chamado de juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa como porcentagem do capital. Portanto juros é o valor pago pelo uso de um valor monetário por um determinado tempo. Mas que valor é cobrado pelo uso? Os juros, que são os valores pagos pelo uso de um valor monetário, sofre variações em função da lei da oferta e da procura, quando feito comercialmente. Precisamos nos lembrar que no Brasil, em função da inflação (perda o valor aquisitivo da moeda), cobra se uma taxa de juros mais a inflação do período. E hoje, em 2009, a taxa de juros tem embutida em si, a taxa de risco de inadimplência dos devedores.

2. Taxa de Juros É o valor cobrado por unidade de moeda numa unidade de tempo e é chamada de taxa UNITÁRIA. Pode ser representada também como o valor cobrado em cada 100 unidades de moeda, a unidade de tempo e neste caso é chamada de taxa PERCENTUAL OU PORCENTUAL. Seu símbolo é i ou I. A taxa de juros unitária é a fração cujo numerador é o valor do juro por unidade de tempo e como denominador o valor inicial do empréstimo. Exemplos: 0,3 em taxa unitária significa 0,3 em cada 1 unidade e em percentual 30% significa 30 em cada 100 unidades. Isto é: são sinônimos. 0,05 em taxa unitária significa 0,05 em cada 1 unidade e em percentual 5% significa 5 em cada 100 unidades.

10 De acordo a nova Reforma Ortográfica 2009, com os prefixos ex, sem, além, aquém, recém, pós, pré, pró, usa-se sempre o hífen. Exemplos: além-mar, além-túmulo, aquém-mar, ex-aluno, ex-diretor, ex-hospedeiro, ex-prefeito, ex-presidente, pós-graduação, pré-história, pré-vestibular, pró-europeu, recém-casado, recém-nascido, sem-terra.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 25 3. Taxa Proporcional É a taxa calculada como proporção direta entre os períodos. Exemplo 1: i = 2% a.m. é proporcional a i = 4% a.bimestre ou 6% a.trimestre

2% 4% 6%

= = = ...1 mês 2 meses 3 meses

Exemplo 2: i = 18% a.a. é proporcional a i = 1,5% a.m.

18% 18% 1,5%

= = 1 ano 12 meses 1 mês

4. Fator de multiplicação No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal) Exemplo: Descontando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00 Exemplo 1: Um fogão que custava R$ 500,00 sofreu um aumento de 8%. Em razão da falta de demanda, o vendedor resolveu oferecer um desconto de 8% sobre o preço com acréscimo. Qual o preço final do fogão, após o acréscimo seguido de desconto? Exemplo 2: Um aparelho de som que custava R$ 700,00 sofreu um acréscimo de 6% sobre o preço original. a) Qual o novo preço do aparelho de som? b) Suponhamos um desconto de 3% sobre o novo preço. Qual será o preço do aparelho com esse desconto? 5. Abreviaturas empregadas na notação das taxas

Abreviatura Significado a.d. ao dia a.m. ao mês a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 26 Exercícios 66) Calcular os valores de: a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25

c) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432

67) Converta para forma percentual: a) 0,57 b) 2,08 c) 0,02 68) Converta para forma decimal: a) 163% b) 26% c) 12% 69) De uma classe com 40 alunos, 35% são homens. Quantos homens e mulheres há na classe? 70) O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar: a) um desconto de 12%? b) um acréscimo de 5%? 71) Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; qual a razão percentual entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas? 72) De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 73) Calcule: a) (10%)2 b) 16% c) 10% de 25% 74) Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 75) Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, quanto o CD passaria a custar? 76) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro? 77) Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor da venda das propriedades? 78) Meio representa quantos por cento de cinco oitavos? 79) Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto? 80) Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:

a) 25

b) 120

c) 1

34

d) 3780

e) 0,125

81) Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: a) 80%

b) 25,2%

c) 0,48% d)

23

% e) %41

2

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 27 82) Curiosidades envolvendo porcentagem. a) Um gato dorme, em média, 54% por dia. Quantas horas ele dorme, aproximadamente, por dia? b) Em cada litro de ar há 21% de oxigênio. Quantos litros de oxigênio há em 60 litros de ar? c) A água constitui cerca de 62% da nossa massa corporal. O corpo de uma pessoa de 80 quilos tem11 quanto quilos de água? d) O volume de água aumenta 85% quando congela. Que volume de gelo se obtém ao congelar 2 litros de água? 83) Em outubro de 2003, vigorava no Brasil a seguinte tabela para o cálculo do imposto de renda sobre os salários.

Base de cálculo mensal Alíquota Até R$ 1 058,00 --- Acima de R$ 1 058,00 a R$ 2 115,00 15% Acima de R$ 2 115,00 27,5%

a) Qual o imposto de renda de quem ganha um salário mensal de R$ 900,00? b) Qual o imposto de renda de quem ganha um salário mensal de R$ 1 500,00? c) Qual o imposto de renda de quem ganha um salário mensal de R$ 3 000,00? 6. Variação percentual Suponhamos que, no início de certo mês, o preço de determinado produto seja R$ 20,00 e, no final do mês, o preço tenha aumentado para R$ 21,00. O aumento de preço foi de R$ 1,00; a razão entre o aumento e o preço inicial, expressa na forma de porcentagem, é chamada de variação percentual de preço entre as datas consideradas. Assim, indicando a variação percentual por j, teremos:

j = 120

= 0,05 = 5%

De modo geral, consideremos uma grandeza que assuma um valor Vi na data 0 e o valor Vf numa data futura f. Chamamos de variação percentual dessa grandeza entre as datas 0 e f, e indicamos por j o número dado por:

j = f i

i

V VV−

Observemos que, pela propriedade distributiva, a variação percentual j também pode ser expressa por:

j = f

i

V1

V−

Quando a variação percentual é positiva, denomina-se taxa percentual de crescimento, e, quando é negativa, seu valor absoluto é denominado taxa percentual de decrescimento (desde que Vi > 0 e Vf > 0).

11 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, permanecem os acentos que diferenciam o singular do plural dos verbos ter e vir, assim como de seus derivados (manter, deter, reter, conter, convir, intervir, advir etc.). Exemplo: Ele tem dois carros. / Eles têm dois carros. Ele mantém a palavra. / Eles mantêm a palavra.


7. Variações percentuais sucessivas Consideremos os instantes de tempo 0, t1, t2, t3, ... tn – 1, tn em que 0 < t1 < t2 < t3 ... < tn, e chamemos de ji a variação percentual da grandeza entre 0 e t1. Denominamos j2 a variação percentual da grandeza entre t1 e t2 e assim sucessivamente até jn, que representa a variação percentual da grandeza entre tn – 1 e tn. Os valores j1, j2, j3 ... jn são chamados de variações percentuais sucessivas, conforme mostra a figura abaixo: 8. Variações percentuais acumuladas Se indicarmos por V0, V1, V2, ..., Vn os valores da grandezas nas datas 0, t1, t2, t3, ... tn – 1, tn, poderemos escrever:

11 1 0 1

0

Vj = 1 V = V (1 + j )

V− �

22 2 1 2 0 1 2

1

Vj = 1 V = V (1 + j ) = V (1 + j )(1 + j )

V− �

33 3 2 3 0 1 2 3

2

Vj = 1 V = V (1 + j ) = V (1 + j )(1 + j ) (1 + j )

V− �

Assim, concluímos que: Vn = V0 (1 + j1) (1 + j2) (1 + j3) ... (1 + jn) À variação percentual entre as datas 0 e tn damos o nome de variação percentual acumulada, também conhecida como jac, expressa por:

nac

0

Vj = 1

V−

Substituindo o numerador, temos:

0 1 2 3 nac

0

V (1 + j )(1 + j ) (1 + j ) ... (1 + j ) j = 1

V−

jac = (1 + j1) (1 + j2) (1 + j3) ... (1 + jn) – 1

0 t1 t2 t3 ... tn – 1 tn

j1 j2 j3 ... jn

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 29 Exemplo 1: No final de um ano o número de habitantes de uma cidade era igual a 40 000 e no final do ano seguinte esse número subiu para 41 000. Qual a variação percentual entre as datas consideradas? Exemplo 2: Em 20/5/2003 o preço de uma ação era R$ 205,00 e em 7/7/2003 o preço caiu para R$ 190,00. Qual a variação percentual? Exemplo 3: O lucro de uma empresa foi de R$ 300 000,00 em 2003. a) Qual o lucro em 2004 se nesse ano ele crescer 5%? b) Qual o lucro em 2006 se ele crescer 5% em 2004, 6% em 2005 e 7% em 2006? Exemplo 4: O preço de um automóvel 0 km era R$ 25 000,00. Um ano depois, o preço teve um decréscimo de 15% e, após mais um ano, teve outro decréscimo de 10%. a) Qual o preço do automóvel dois anos depois? b) Qual a taxa acumulada de decréscimo? Exercícios 84) O preço de um objeto era R$ 50,00 e, dois meses depois, passou a R$ 52,00. Qual a variação percentual? 85) O PIB de um país era 500 bilhões de dólares e, dois anos depois, passou a 542 bilhões de dólares. Qual a taxa de crescimento no período? 86) A população de uma cidade cresceu 4% no período de um ano, passando a ser de 64 000 habitantes. Qual o número de habitantes antes do crescimento? 87) Uma dúzia de laranja que custava R$ 5,00 passou a custar R$ 4,00 três meses depois. Qual a taxa de decréscimo?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 30 88) Em janeiro, fevereiro e março o preço de um produto subiu 2%, 3% e 5%, respectivamente. Se antes dos aumentos o preço era R$ 36,00, qual o preço após os aumentos? 89) Em outubro, novembro e dezembro o preço de uma ação teve as seguintes variações percentuais: 4%, 8% e –5%. Qual o preço, após as variações, sabendo-se que antes o preço era R$ 28,00? 90) Se em cinco meses sucessivos o preço de um produto crescer a uma taxa de 1% ao mês, qual a taxa acumulada de variação percentual? 91) O salário de uma pessoa era R$ 2 800,00 e um ano depois passou a R$ 3 400,00. Passado mais um ano, o salário passou a ser R$ 3 800,00. a) Qual a variação percentual do salário no 1º ano? b) Qual a variação percentual do salário no 2º ano? c) Qual a variação percentual acumulada nos dois anos? 92) (UF-GO) Segundo dados da Folha de S. Paulo (30/8/2001, p. B2), o total de exportações feitas pelos gaúchos, de janeiro a julho de 2001, foi de 3,75 bilhões de dólares. Esse valor é 16,42% maior do que o total exportado por eles, de janeiro a julho. Calcule o total exportado pelos gaúchos, nesse período de 2000. 93) Se o PIB de um país crescer 4% ao ano durante dez anos, qual a taxa acumulada de crescimento anual? 94) Se em quatro anos consecutivos o lucro de uma empresa decrescer a uma taxa de 3% ao ano, qual a taxa acumulada de decrescimento? 95) Uma revendedora de automóveis resolveu baixar o preço de um automóvel em 5% em virtude da falta de compradores. Na semana seguinte, resolveu baixar mais 4%. Qual a redução acumulada de preço? 9. Taxas de inflação 9.1. Inflação O fenômeno do aumento persistente e generalizado dos preços de bens e de serviços, com consequente12 perda do poder aquisitivo da moeda, denomina-se inflação. Os governos geralmente colocam como meta o combate à inflação, pois ela acarreta grandes distorções numa economia de mercado, tais como: perda do poder aquisitivo dos salários que não sofrerem reajustes no seu vencimento, perda do poder aquisitivo daqueles que recebem rendas fixas como o aluguel, desorganização do mercado de capitais e aumento da procura por ativos reais (como, por exemplo, casas e terrenos), dificuldades do financiamento do setor público (o governo encontra dificuldades para vender seus títulos), etc. 9.2. Deflação Entende-se por deflação o fenômeno da queda persistente dos preços de bens e de serviços. A deflação acarreta problemas como a queda do investimento com consequente queda da produção e aumento do desemprego; e também pode levar o país a uma depressão como a que houve nos Estados

12 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa mais o trema.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 31 Unidos no período compreendido entre 1929 e 1933. Geralmente, o combate à deflação é feito com o aumento dos gastos públicos. Nos casos de taxas mensais de inflação j1, j2, j3, ..., jn de meses sucessivos, a taxa acumulada de inflação nesses meses, de acordo com o que foi visto em variação percentual, é dada por: jac = (1 + j1) (1 + j2) (1 + j3) ... (1 + jn) – 1 Exemplo 1: Em janeiro, fevereiro e março as taxas de inflação foram 1%, 1,5% e 2%, respectivamente. Qual a taxa acumulada no trimestre? Exemplo 2: Uma taxa mensal de inflação de 1% acumula que taxa em 10 meses? Exemplo 3: Que taxa mensal constante de inflação deverá vigorar em cada um dos próximos 12 meses para acumular uma taxa de 20%? Exercícios 96) Em janeiro, a taxa de inflação foi de 2%, em fevereiro, 1,5% e em março houve uma deflação de 1%. a) Qual a taxa acumulada no trimestre? b) Qual deverá ser a taxa de abril para que a taxa acumulada no quadrimestre seja 4,5%? 97) Em 1990, no auge da inflação brasileira, o Índice Geral de Preços (IGP) acumulou uma variação de 2 740,23%. (Dados extraídos de: Revista Conjuntura Econômica, julho de 2003.) Se em cada mês de 1990 a taxa de inflação fosse constante, qual o valor dessa taxa? 98) Em julho, agosto e setembro as taxas de inflação foram, respectivamente, 1,2%, 0,8% e 1,3%. a) Qual a taxa acumulada de inflação no período? b) Qual deverá ser a taxa de inflação de outubro para que a taxa acumulada do quadrimestre seja 4%? 99) A taxa de inflação acumulada em um bimestre foi de 5%. No primeiro mês a taxa foi de 2%. Qual a taxa do segundo mês? 100) Uma taxa mensal de inflação de 1,5% acumula que taxa em 12 meses? 101) Uma taxa de inflação de 0,7% ao mês acumula que taxa em 24 meses? 102) Durante o ano de 1923, no auge da hiperinflação na Alemanha, a taxa de inflação foi de (855,44 . 108)%. Se em cada um dos 12 meses a taxa fosse constante, qual seria seu valor? (Dados extraídos de: W. A. Bomberger e outros. Hiperinflação: algumas experiências. São Paulo: Ed. Paz e Terra)

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 32 103) Suponha uma inflação mensal de 4% durante um ano. De quanto será a inflação acumulada nesse ano? 104) Uma taxa mensal de deflação de 1% acumula que taxa em 6 meses? 105) Qual taxa mensal constante de inflação acumula 8% em 5 meses? 106) Qual taxa mensal constante de inflação acumula 25% em 1 ano? 10. Juro exato e juro comercial Apesar de muitas taxas serem expressas em anual, ao calcularmos uma proporcional em dias, devemos levar em consideração se estamos usando juro exatos, que seria nos casos de contar os dias reais de um ano 365 dias ou os de uso comercial que é de 360 dias. Assim, temos os juros diários

sendo taxa365

= taxa de juro exato por dia ou taxa360

= taxa de juros comercial por dia. (onde se lê taxa,

entenda como taxa anual). O mesmo ocorre quando vamos transformar de mês para ao dia, se queremos o exato devemos verificar o número de dias do mês e no comercial, já usamos sempre 30 dias no mês. 11. Regimes de Capitalização – Juros simples Quando um capital é aplicado a uma certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (ou juros simples) e capitalização composta (ou juros compostos). Esse último item será abordado no tópico 15 deste capítulo. Na capitalização simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos e são dados pelo e são dados pelo produto do capital pela taxa. Os juros são pagos somente no final da aplicação. Exemplo 1: Um capital de R$ 5 000,00 é aplicado a juros simples durante 4 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Os juros gerados no 1º ano são 5 000 . (0,20) = 1 000. Os juros gerados no 2º ano são 5 000 . (0,20) = 1 000. Os juros gerados no 3º ano são 5 000 . (0,20) = 1 000. Os juros gerados no 4º ano são 5 000 . (0,20) = 1 000. No cálculo de juros de cada no, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Assim, o montante após 4 anos vale R$ 9 000,00. De modo geral, os juros do período são iguais ao produto do capital pela taxa, isto é, J = C.i.n. E o montante, de modo geral, é M = C + J = C + C.i.n = C(1 + i.n). Destas fórmulas, podemos criar outras como:

0 1 2 3 4 ano

1000 1000 1000 1000


Se J = C.i.n, então: C = Ji . n

ou i = JC . n

ou n = JC . i

Se M = C + J, então: C = M – J ou J = M – C

Se M = C.(1 + i.n), então: C = M1 + i . n

i =

M 1

Cn

� �− � � ou i =

M CC C

n

� �− � � ou i = −M C

C. n

n =

M1

Ci

� �− � � ou n =

M CC C

i

� �− � � ou n = −M C

C . i

Exemplo 2: Um capital de R$ 8 000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Determine os juros e o montante da aplicação. Exemplo 3: Obtenha o montante de uma aplicação de R$ 5 000,00 a juros simples e à taxa de 3% a.m., durante 2 anos. Exemplo 4: Determine o capital que aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m., durante 6 meses resulta em um montante de R$ 14 000,00. Exemplo 5: Um capital de R$ 12 000,00 a juros simples durante 72 dias. Qual o valor dos juros simples nos seguintes casos:

a) taxa de 3% a.m. b) taxa de 45% a.a.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 34 12. Taxas equivalentes São taxas para períodos diferentes que aplicadas a um mesmo capital por um mesmo período de tempo, produzindo montantes iguais. (em juros simples, as taxas proporcionais são equivalentes) O valor inicial do empréstimo é chamado de CAPITAL, no sistema europeu e de PRINCIPAL, no sistema americano. Seus símbolos são respectivamente C e P. Normalmente um empréstimo é feito por um período pré-fixado13 e representa o número de unidades de período da taxa. Seu símbolo é n. Exemplo: Se um empréstimo de R$ 1.200,00 é combinado à taxa i = 0,04 ou 4%, durante 4 meses e meio (n = 4,5), então a taxa total cobrada é de 0,04• 4,5 = 0,18. Logo o valor do juro é de 1.200,00 • 0,18 = R$ 216,00. E neste caso dizemos que no final o valor a ser pago, que é chamado de Montante é de R$ 1.200,00 + R$ 216,00 = R$ 1.416,00. Símbolo de Montante ou Somatório M, no sistema europeu e S no sistema americano. Neste exemplo, 1 200 = C ou P 0,04 = i (para cálculos, usamos sempre a taxa unitária) 4,5 = n Assim as fórmulas de JUROS e MONTANTE são: J = C.i.n ou J = P.i.n M = C + J ou M = C + C.i.n ou M = C.(1 + i.n) ou S = P.(1 + i.n) Aplicadas ao nosso exemplo, temos: J = 1 200 . 0,04 . 4,5 = 216,00 M = 1 200 . (1 + 0,04 . 4,5) = 1 416,00 13. Valor nominal e valor atual de um título Hoje, ao fazermos um empréstimo, mesmo que particular, emitimos uma nota promissória, a qual deve ser registrada em cartório, para que tenha um valor legal. (Com isso, o governo pode também controlar esse tipo de operação e cobrar impostos sobre eles). Numa nota promissória, normalmente consta a data de vencimento, ou data de final do empréstimo, o nome do devedor e o da financeira e o valor a ser pago na data de vencimento. Este último valor, que também pode ser chamado de valor do título, é o que chamamos de VALOR NOMINAL do título. Qualquer outro valor do título fora desta data é chamado de VALOR ATUAL do título. Normalmente, é o valor do título numa data posterior ao processo de empréstimo e antes da data de vencimento. Porém, existem casos em que a dívida não é paga na data de vencimento e através de acordos, é postergada esta data e neste caso trabalha-se colocando o Valor Nominal como capital ou seja como se fosse um novo empréstimo onde o valor a ser pago seria o montante desta nova aplicação até a data de pagamento. O valor NOMINAL pode ser chamado de VALOR ATUAL da data de vencimento do título. O VALOR ATUAL, também pode ser chamado de VALOR DESCONTADO, quando o pagamento é antecipado. Exercícios 107 Uma empresa tomou R$ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o montante dessa operação. 13 De acordo a nova Reforma Ortográfica 2009, com os prefixos ex, sem, além, aquém, recém, pós, pré, pró, usa-se sempre o hífen.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 35 108) Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual à R$ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação? 109) O valor de R$ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de R$ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação. 110) A quantia de R$ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de R$ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação? 111) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5.000,00 se as hipóteses de taxas de aplicação e respectivos prazos forem: a) Juros de 18% a.a, prazo de 6 meses; b) Juros de 31,8% a.a, prazo de 2 anos e 7 meses; c) Juros de 42% a.a, prazo de 4 anos e 3 meses. 112) Quais os juros produzidos de R$ 90 000,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias, a 8% ao mês? 113) Um capital colocado à taxa de 5% ao mês, duplicará de valor em quanto tempo? 114) Um capital colocado à taxa de 8% ao mês triplica o seu valor em quanto tempo? 115) (SPTRANS – 2007) Um pequeno investidor aplicou R$ 5 000,00 a uma taxa de juros simples de 2,2% ao mês. Para que ele tenha um rendimento de R$ 1 650,00, por quanto tempo esse capital deverá ficará aplicado? 116) (OFICIAL DE PROMOTORIA – 2006) Um certo capital foi aplicado a juro simples durante 8 meses, gerando um montante de R$ 9 600,00. Esse montante foi novamente aplicado por mais 4 meses, à mesma taxa de juro de aplicação anterior, e gerou R$ 960,00 de juros. Determine o valor do capital inicialmente aplicado. 117) (CEF – ESCRITUÁRIO – 1998) Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um

período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 75

de seu valor. Determine a taxa

mensal dessa aplicação. 118) Um capital de R$ 20 000,00 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à taxa de 2% a.m.. Qual o montante obtido? 119) Qual o capital que, aplicado à juros simples, à taxa de 2% a.m, durante 8 meses, resulta em um montante de R$ 6 000,00? 120) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5 % a.m., durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16 000,00. 121) Um banco concedeu a uma empresa um empréstimo a juros simples por 15 meses. Qual a taxa mensal do empréstimo sabendo-se que o montante é igual a 160% do capital emprestado? 122) Durante quanto tempo um capital de R$ 25 000,00 deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 2% a.m. para se obter um montante de R$ 30 000,00?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 36 123) Um capital aplicado a juro simples e à taxa de 8% a.m. triplica em que prazo? 124) Uma aplicação financeira de R$ 2 500,00 a juros simples gerou, 6 meses depois, um montante de R$ 2 920,00. Qual a taxa anual da aplicação? 14. Descontos 14.1. Título de Crédito 14.2. Descontos simples Quando um comprador efetua uma compra de muitas unidades de um produto, é comum que ele peça um abatimento no preço por unidade. Esse abatimento é chamado desconto. O pedido de desconto ocorre também quando o comprador, tendo um prazo para o pagamento de um produto, propõe o pagamento à vista, desde que haja abatimento no preço. O pedido do desconto também pode ocorrer quando o comprador tenta pagar menos por algum produto ou serviço. Existe ainda o conceito de desconto de títulos, muito empregado por empresas. Suponhamos que uma empresa faça uma venda de R$ 15 000,00 para outra empresa, concedendo um prazo de 2 meses para o pagamento. Nesse caso, o vendedor emite um documento chamado duplicata, que lhe dará o direito de cobrar o valor de R$ 15 000,00 do comprador dentro de 2 meses. Caso o vendedor necessite do dinheiro antes do vencimento da duplicata, ele pode ir ao banco e efetuar o desconto da duplicata. O procedimento consiste em a empresa ceder o direito do recebimento da duplicata para o banco, em troca recebendo do banco um valor menor que o valor da duplicata. Digamos, por exemplo, que a duplicata de R$ 15 000,00 seja descontada 1 mês antes do vencimento e que a empresa receba do banco R$ 14 800,00 nesta data. Assim, em troca de um adiantamento de R$ 14 800,00, o banco fica com o direito de receber a duplicata de R$ 15 000,00 um mês depois. A diferença entre R$ 15 000,00 e o valor de R$ 14 800,00 adiantado pelo banco é chamado de desconto da duplicata. De modo análogo, os bancos descontam cheques pré-datados e notas promissórias (estas são papéis que representam uma promessa de pagamento ao credor, feita pelo devedor). Chamemos de N o valor do título a ser descontado, d a taxa de desconto utilizada pelo banco e n o prazo de antecipação do vencimento. O desconto bancário (ou comercial), indicado por D, é definido por: D = N . d . n em que o prazo n deve ser expresso na mesma unidade da taxa de desconto d. A diferença N – D, que a empresa recebe antecipadamente, recebe o nome de valor descontado (ou valor líquido) do título e é indicada por Vd.

R$ _____________ Vencimento: _____/_____/_____

N valor nominal (montante)

A valor atual (capital)

d taxa de desconto

i taxa de juros

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 37 O desconto comercial é usado para um período de curto prazo.

Simples: d

D = N . d . n

V = N (1 d . m) � −�

Composto: A = N (1 – d)n Observação: Descontos simples é maior que os descontos compostos. Todo valor de título é VF. Há dois tipos de descontos, que são: 14.3. Desconto Racional (ou por dentro) Quando é descontado do valor presente (capital) 14.3. Desconto por fora – Desconto Comercial Simples, Irracional ou Bancário Quando é descontado do valor futuro Exemplo 1: Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 12 000,00, três meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3% a.m. O desconto é dado por: D = 12 000 (0,03) 3 = 1 080. Calculando o valor descontado (ou líquido) recebido pela empresa, teremos, em reais. Vd = 12 000 – 1 080 = 10 920 Para o banco, o valor de R$ 10 920,00 adiantado para a empresa é o capital, e o valor de R$ 12 000,00, a ser recebido dentro de 3 meses, é o montante. Assim, os juros recebidos pelo banco totalizam R$ 1 080,00. A taxa mensal de juros efetivamente cobrada pelo banco é: 1 080 = 10 920 i 3 3,30% a.m. Observe que a diferença entre a taxa de desconto (d) e a taxa de juros (i) decorre do fato de a primeira incidir sobre o valor final (R$ 12 000,00), enquanto a segunda incide sobre o valor inicial (R$ 10 920,00). Observação: taxa de juros > taxa de desconto Exemplo 2: Um título de R$ 4 000,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto simples de 2,3% a.m. Qual o valor líquido recebido?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 38 Exemplo 3: Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas, com prazo de antecipação de 2 meses, uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. Qual a taxa mensal de juros simples que está sendo efetivamente cobrada? Exercícios 125) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14 000,00, dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m. a) Qual o valor do desconto? b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 126) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 18 000,00, setenta e dois dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,2% a.m. Responda: a) Qual o valor do desconto? b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 127) Ao descontar uma promissória de R$ 2 800,00 a uma taxa de desconto de 2,4% a.m., o banco creditou na conta de uma certa empresa um valor líquido de R$ 2 632,00. Qual o prazo de antecipação? 128) Artur descontou uma promissória de R$ 8 000,00 em um banco a uma taxa de desconto de 2,5% a.m. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 250,00, obtenha o prazo de antecipação expresso em dias. 129) Ao descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de R$ 1 200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 4% a.m.? 130) Uma gráfica, ao descontar em um banco uma duplicata com prazo de antecipação de 65 dias um valor de R$ 15 000,00, recebeu um valor líquido de R$ 13 800,00. Qual a taxa de desconto mensal utilizada pelo banco? 131) Um título de R$ 400,00 é descontado 45 dias antes do vencimento, à taxa de 3% a.m. Qual é o valor do resgate? 132) O dono de uma pequena indústria metalúrgica leva a um banco as duplicatas A, B e C para serem descontadas.

Duplicata Valor Prazo de antecipação A R$ 4 000,00 2 meses B R$ 14 000,00 50 dias C R$ 8 000,00 75 dias

Se o banco utilizar uma taxa de desconto de 2,5% a.m., qual será o valor líquido recebido pela empresa?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 39 133) Qual é o desconto experimentado por um título de R$ 1 500,00, à taxa de desconto de 10% a.m., se o resgate é feito: a) um mês antes do vencimento. b) 60 dias antes do vencimento. 134) Sendo 48% a taxa anual de desconto utilizada por uma instituição, qual seria o valor atual de um título de R$ 20 000,00, descontado 4 meses antes do vencimento? 135) Operando com uma taxa mensal de desconto de 2,2%, um banco propôs um desconto de R$ 55,00 sobre um título de R$ 500,00. Quanto tempo antes do vencimento foi feito a proposta? 136) O desconto de R$ 80,00 foi calculado mediante a utilização da taxa de 2% a.m. sobre o valor nominal de um título a ser descontado 96 dias antes do vencimento. Qual o valor descontado? 15. Regimes de Capitalização – Juros compostos Os juros compostos se diferenciam dos juros simples no fato dela ter o processo de capitalização periódica. Capitalização é incorporar os juros ao capital para cálculo dos juros do período seguinte. (É o chamado “juros sobre juros”). Assim, nos juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o montante do final do período anterior. Se aplicarmos um capital C por n meses a juros compostos a taxa i com capitalização mensal, teremos que os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Final do 1° período: J = C • i logo M1 = C + C • i = C(1 + i) Final do 2° período: J = M1 • i = C(1 + i) • i logo M2 = M1 + J = C(1 + i) + C(1 + i) • i M2 = C(1 + i) (1 + i) = C(1 + i)2 Final do 3° período: J = M2 • i = C(1 + i)2 • i logo M3 = M2 + J = C(1 + i)2 + C(1 + i)2 • i M3 = C(1 + i)2 (1 + i) = C(1 + i)3 Olhando estes cálculos como uma única fórmula, temos: M = C(1 + i)n Como J = M – C, temos: J = C(1 + i)n – C ou J = C[(1 + i)n – 1]

De C(1 + i)n = M → (1 + i)n = MC

→ 1 + i = (1 + i)1/n → i = (1 + i)1/n

De (1 + i)n = MC

→ n =

� � � �

MlnC

ln(1 + i)

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 40 O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade. Para períodos menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples, é maior.

0 0,5 1 1,5

M

n

Juros simples

Juros compostos

�

Observação: A taxa de juros (i) e o período (n) devem estar sempre na mesma base. Porém, no regime de juros compostos a taxa de juros nunca deve ser multiplicada ou dividida. O que deve ser feito é a alteração do período para a mesma base da taxa. Exemplo 1: Uma pessoa toma R$ 3000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Exemplo 2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4058,00. Exemplo 3: Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 41 Exemplo 4: Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22 125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juros composto. No Brasil, o regime de juros compostos é o mais utilizado em operações tradicionais, embora haja também a utilização dos juros simples. Entretanto, quando a operação não tiver uma prática tradicional (ou seja, operações consagradas, tais como cheque especial, crédito direto ao consumidor, desconto de títulos, etc.), o que prevalece é o regime acordado entre o tomador e o emprestador. Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes. 16. Taxas Equivalentes (Juros Compostos) Exemplo 1: Qual é a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 5%? Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital C, à taxa ia, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia. Temos então: M12 meses = M1 ano C 12(1 + 0,05) = C 1

a(1 + i ) (1 + ia)1 = (1 + 0,05)12

121

a1 + i = (1 + 0,05)

121

ai = (1 + 0,05) 1− ia ≅ 0,7959 ia ≅ 79,59% a.a. Exemplo 2: Qual é a taxa mensal equivalente a 30% ao ano? M12 meses = M1 ano C 12

m(1 + i ) = C 1(1 + 0,30)

12 1m(1 + i ) = (1 + 0,30)

1 1

12 112 12m(1 + i ) = (1 + 0,30)� � � ��

1

12m1 + i = (1 + 0,30)

1

12mi = (1 + 0,30) 1−

im ≅ 0,0221 im ≅ 2,21% a.m.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 42 Baseados nestes dois exemplos, podemos calcular as taxas equivalentes para juros compostos através da seguinte fórmula: idesejado = (1 + iconhecido)(tempo da taxa desejada/tempo da taxa conhecida) – 1 Exemplo 3: Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? Exemplo 4: Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Exemplo 5: Qual é a taxa trimestral, anual e diária a 10% ao mês? Exercícios 137) Dada uma taxa mensal de 5% a juros compostos, determine: a) a taxa anual b) a taxa semestral c) quinzenal d) diária 138) Calcule a taxa mensal e anual de uma taxa de 8% a.t., a juros compostos. 139) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia, a juros compostos. 140) Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano, a juros compostos. 141) Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m., a juros compostos. Quanto tempo Joana deve deixar o dinheiro aplicado para receber um montante de R$ 600,00? 142) Um capital de R$ 500,00 é aplicado, a juros compostos, durante 4 meses, à taxa de 20% a.m. Qual o montante obtido? 143) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. 144) Uma aplicação de R$ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 43 145) Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual à R$ 8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% a.m., calcule o valor presente (capital). 146) Um capital inicial de R$ 430,00 rendeu R$ 80,00 de juros após permanecer aplicado por 4 meses. Qual foi a taxa composta de juros mensal da aplicação? 147) Um montante de R$ 630,00 foi obtido após a aplicação de R$ 570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 3% a.m. Qual foi a duração da operação? 148) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3 000,00 a juros compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.? 149) Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$ 80 000,00 pelo prazo de 1 ano. Calcule o montante pago sabendo que o banco cobrou juros compostos à taxa de 5% a.t. 150) (PUC-RJ, adaptado) Uma carteira de investimento rende 2% ao mês. Depois de três meses, R$ 1 500,00 aplicados cumulativamente nessa carteira valem aproximadamente x reais. Determine o valor de x. 151) Décio pode comprar um terreno por R$ 20 000,00. Ele sabe que, com certeza, o terreno valerá R$ 30 000,00 daqui a 5 anos. Se ele tiver a alternativa de aplicar dinheiro a juros compostos, à taxa de 9% ao ano, será que a aplicação do terreno valerá a pena? 152) Em 1626, Peter Minuilt comprou a ilha de Manhattan (em Nova Iorque) dos índios em troca de objetos no valor de 24 dólares. (Dados extraídos de: Zvi Bodie. Finanças. Porto Alegre: Bookman, 1999.) Se os índios tivessem recebidos em dinheiro e aplicado esse valor a juros compostos, à taxa de 8% a.a., qual teria sido seu montante em 2004, 378 anos depois? 153) Um capital de R$ 900,00 é aplicado a juros compostos e à taxa de 3% a.m. Outro capital de R$ 1 000,00 também é aplicado a juros compostos, à taxa de 2% a.m. Depois de quanto tempo aproximadamente os montantes se igualam? 154) Qual o capital que deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., durante 8 meses, para dar um montante de R$ 6 000,00? 155) Cristina tem uma dívida de R$ 10 000,00 que vence no prazo de 5 meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos e à taxa de 1,2% a.m., para poder pagar a dívida? 156) Um capital de R$ 2 000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, gerando um montante de R$ 2 400,00. Qual a taxa mensal de juros compostos? 157) A que taxa trimestral de juros compostos um capital deve ser aplicado durante 1 ano para que duplique seu valor? 158) Augusto aplicou um capital a juros compostos, durante 2 anos e meio, e recebeu de juros 40% do capital aplicado. Qual a taxa mensal de juros? 159) Durante quanto tempo um capital de R$ 5 000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,9% a.m., para se obter um montante de R$ 7 000,00?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 44 160) (UF–PI) Um capital é empregado a uma taxa anual de 5% (juros compostos), calculada anualmente. Se o valor do montante, depois de n anos, é aproximadamente 34% maior do que o capital inicial, qual o valor de n? 161) (UF-PE, adaptado) Em um país irreal, o governante costuma fazer empréstimos para viabilizar sua administração. Existem dois empréstimos possíveis: pode-se tomar emprestado de países ricos, com juros de 4,2% ao ano (aqui incluída a taxa de risco) ou toma-se emprestado dos banqueiros do país irreal, que cobram juros compostos de 3% ao mês. Pressões políticas da oposição obrigam o governante a contrair empréstimos com os banqueiros do seu país. Quantas vezes maiores que os juros anuais cobrados pelos países ricos são os juros anuais cobrados pelos banqueiros do país irreal? 162) Celina aplicou R$ 40 000,00 em um banco, a juro composto de 16% a.a., capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos? 163) César aplicou R$ 12 000,00 a juro composto de 6% ao bimestre. Que quantia terá após 12 meses de aplicação? 164) Uma pessoa aplicou x reais a uma taxa de juro composto de 2,4% a.m. Sabendo que após 5 meses recebeu um montante de R$ 40 000,00, calcule o valor de x. 165) Uma pessoa aplicou R$ 10 000,00 a juro composto de 1,8% ao mês. Após quanto tempo terá um total de R$ 11 534,00? 166) Jorge quer aplicar R$ 6 000,00 com o objetivo de, após 15 meses, obter um montante de R$ 9348,00. A que taxa mensal de juro composto deve aplicar esse capital? 167) Um investidor aplicou R$ 80 000,00 a juro composto de 2,2% ao mês. a) Daqui a quantos meses, aproximadamente, terá um montante de R$ 85 400,00? b) Após quantos anos terá um montante de R$ 134 868,80? 168) Uma pessoa aplicou R$ 18 000,00 à taxa de juro composto de 2,8% a.m. e obteve um rendimento de R$ 6 390,00. Qual o prazo dessa aplicação? 169) Qual é o tempo necessário para que um capital colocado a juro composto de 5% ao mês: a) duplique? b) triplique? 170) Qual a taxa mensal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ 24 000,00, o transforma em um montante de R$ 36 087,00 em 7 meses? 171) Justifique que a equação 4 x − ex = 0 possui uma raiz no intervalo [0, 1] e outra no intervalo [2, 3]. 172) Escalone os seguintes sistemas:

a)

x + y z = 5

x + 2y + 4z = 43x + y 2z = 3

− − �� − −�

b)

x + y 2z = 9

2x + y + z = 62x 2y + z = 1

− − − ��− −�

c)

3x y + z = 2

x 2y z = 02x + y + 2z = 21

− � − −��

d)

2x y + z = 1

5x 20y 15z = 11 3x + 3y + 4z = 3

− − �− − −��

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 45 173) Determine o capital que rende R$ 13 050,00 em 3 meses, à taxa de 0,58% ao mês, a juros simples. 174) Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19 500,00, qual deve ser o prazo dessa aplicação? 175) Quanto de juro um capital de R$ 26 000,00, empregado a juro simples à taxa de 7,5% ao mês durante 1 ano e 4 meses renderá? 17. Capitalização e amortização compostas Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-los em prestações, a serem pagas mensalmente. Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas. No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização. Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamento tratam basicamente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do capital. Os principais termos utilizados nas operações são: 17.1. Empréstimos Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa importância é emprestada por um certo prazo de tempo. Quem assume a dívida obriga-se a pagá-la da seguinte forma: o valor tomado emprestado mais os juros devidos, no prazo estipulado no acordo inicial. Os empréstimos classificam-se em: • Curto e médio prazos: caracterizam-se por serem saldados até 3 anos. • Longo prazo: sofrem um tratamento especial por existir várias modalidades de restituição do

principal e dos juros. Tais empréstimos têm suas condições previamente estipuladas por contrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor.

17.2. Amortização • Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas mediante tomada de empréstimo. • Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas. • Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações. • Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital

emprestado. Prestação = Juros + Amortização. Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro. Saldo Devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um determinado instante de tempo.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 46 18. Sistemas de Amortização São meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele. Qualquer um dos sistemas de amortização pode ter, ou não, prazo de carência. Prazo de carência: período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante esse prazo o devedor só paga os juros. Os sistemas de amortização são: • Sistema de Amortização constante (SAC) = amortizações constantes • Sistema de Amortização crescente (SACRE) = as prestações vão diminuindo • Sistema Francês (PRICE) = prestações iguais 18.1. Sistema de Amortização Constante (SAC) As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior. Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor. Exemplo: C = R$ 5 000,00 / i = 3% a.m. / Amortizações mensais: 5 O principal foi emprestado no início do 1º ano e as prestações e os juros serão pagos no fim de cada ano, ou seja, sempre sobre o saldo devedor do período anterior. A amortização é anual, a prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a amortização com os juros. 5 000

5= 1 000

Períodos Saldo Devedor Juros Amortização Prestação

0 5 000,00 - - - 1 4 000,00 150,00 1 000,00 1 150,00 2 3 000,00 120,00 1 000,00 1 120,00 3 2 000,00 90,00 1 000,00 1 090,00 4 1 000,00 60,00 1 000,00 1 060,00 5 - 30,00 1 000,00 1 030,00

Total - 450,00 5 000,00 5 450,00

Neste sistema as prestações são continuamente decrescentes.

Juro

Amortização

Períodos

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 47 18.2. Sistema Francês (Price14) O SAF, amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo-padrão de fluxos de caixa, conforme já estudamos. Os juros por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. No SAF os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. Neste sistema, as prestações devem ser iguais periódicas e sucessivas. Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação.

C = C a p i t a l

P a g a m e n t o d e p r e s t a ç õ e s p e r i ó d i c a s i g u a i s

0

No Price as prestações e outros cálculos são determinados por:

Valor da prestação Saldo Devedor em um período t Saldo Devedor para cada período

( )( )

n1 + i × iPMT = PV n1 + i 1−

( )( )

n t1 + i 1SD = PMT×t n ti 1 + i

− −−

t t 1 tSD =SD Amort− −

Amortização em um momento t

A Amortização a qualquer momento t Juros Valor dos Juros

Amort = PMT J− ( )t 1t 1Amort = Amort 1 + i −

J = PV × i t t 1J = SD × i−

Exemplo 1: Planilhar a amortização de um empréstimo de R$ 5 000,00 a uma taxa de 3% a.m., em 5 parcelas mensais e postecipadas pelo sistema Price. PMT =

Períodos Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 1 2 3 4 5

Total

14 Richard Price nasceu na Inglaterra em Tynton, Glamorgan, em fevereiro de 1723.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 48 Exemplo 2: Admita um empréstimo com as seguintes condições: Valor do empréstimo de R$ 100.000,00, prazo da operação de 10 semestres e taxa de juros de 30% a.a. (efetiva). Monte a planilha de amortização pelo Price. Solução: Transforme a taxa anual para semestral: is = (1 + 0,3)1/2 – 1 � iS = 14,0175425% O valor das prestações é determinado pela fórmula de valor da prestação:

PMT = 10

10

(1 + 0,140175425) x 0,140175425100 000

(1 + 0,140175425) 1−

PMT = 100 000 x 0,191844 = 19 184,40

A planilha de amortização ficará desta maneira:

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 100 000,00 – – – 1 94 833,10 5 166,90 14 017,50 19 184,40 2 88 941,80 5 891,20 13 293,20 19 184,40 3 82 224,80 6 717,00 12 467,40 19 184,40 4 74 566,20 7 658,60 11 525,90 19 184,40 5 65 834,10 8 732,10 10 452,30 19 184,40 6 55 877,90 9 956,20 9 228,30 19 184,40 7 44 526,20 11 351,80 7 832,70 19 184,40 8 31 583,20 12 943,00 6 241,50 19 184,40 9 16 825,90 14 757,30 4 427,20 19 184,40

10 – 16 825,90 2 358,60 19 184,40 Total – 100 000,00 91 844,00 191 844,00

18.3. Sistema de Amortização Crescente (SACRE) Nos contratos firmados segundo as normas do Sistema Financeiro de Habitação procurou-se conciliar as vantagens e desvantagens dos Sistemas Francês e de Amortização Constantes, introduzindo-se um terceiro sistema, chamado de SACRE. Esse sistema, também conhecido por SAM – Sistema de Amortização Misto, é a média aritmética dos sistemas Price e SAC. Os valores desse sistema (juros, prestação, amortização e saldo devedor) são obtidos calculando-se a média aritmética entre os valores dos outros dois, mantendo-se as mesmas condições de prazo e taxa de juros. Observe-se que no SACRE a quota de amortização é crescente, enquanto a prestação é decrescente. Exemplo: Planilhar a amortização de um empréstimo de R$ 5 000,00 a uma taxa de 3% a.m., em 5 parcelas mensais.


Períodos Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 0 - - - 5 000,00 1 1 120,89 970,89 150,00 4 029,12 2 1 105,89 985,01 120,89 3 044,11 3 1 090,89 999,56 91,33 2 044,55 4 1 075,89 1 014,55 61,34 1 030,00 5 1 060,89 1 030,00 30,90 0,00

Total –

1

4 058,23 + 4 000SD = = 4 029,12

2 1

150 + 150j = = 150

2

1

941,77 + 1 000Amort = = 970,89

2 1

1 091,77 + 1 150PMT = = 1 120,89

2

Exercícios 176) Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$ 120.000,00 que deverá ser pago em 5 parcelas mensais e iguais, à taxa de 8% a.m., pelo sistema Price. 177) Um empréstimo de R$ 9.000.000,00 deve ser saldado em 9 prestações mensais pelo sistema Price, à taxa de 5% a.m. Determine: a) o valor das prestações. b) o saldo devedor após 50 prestações. 178) Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$ 40.000,00 que deverá ser pago em 8 parcelas mensais e iguais, à taxa de 10% a.m., pelo sistema Price. 179) Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$ 45.000,00 que deverá ser pago em 5 parcelas mensais e iguais, à taxa de 8,5% a.m., pelo sistema Price. 180) Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$ 80.000,00 que deverá ser pago em 6 parcelas mensais e iguais, à taxa de 10% a.m., pelo sistema Price. 181) Complete corretamente as taxas proporcionais, em juros simples: a) 2,4% a. m. = .........% a. a. b) 21% a. a. = ...........% a.d. c) 7,8% a. t. = ............ % a. q.

d) 15% a. q. = ...........% a. t. e) 27% a. a. = …… % a. b. f) 18% a. s. = ……… % a. d.

182) Complete o exercício 181) em juros compostos, com taxas equivalentes. 183) Numa compra de R$ 2800,00 dou 15% de entrada e o restante financio em 12 prestações mensais, a taxa de 2,5% a.m.. Qual o valor de cada prestação? 184) Quanto devo aplicar mensalmente a taxa de juros compostos de 1,5% a. m., para que no final de 20 depósitos, tenha R$ 5 000,00?

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 50 185) Dada a função polinomial f(x) = x3 + 2x + 1, será possível f(x) = 0 em [–1, 4]? 186) Resolva a equação diferencial y’ = x . sec2x2.

187) Ache o valor da integral I = 1 3 2

0,2x 2 x dx−� , aplicando o processo dos trapézios e adotando

h = 0,2. Trabalhe com quatro casas decimais. 188) Para liquidar um empréstimo, uma pessoa deverá efetuar 12 pagamentos mensais iguais de R$ 199,04. Sabendo-se que a financeira cobra a taxa efetiva de juros de 8% ao mês, calcule a quantia que essa pessoa tomou emprestado. 189) O preço à vista de um televisor com tela de 20 polegadas é de R$ 700,00. Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 10 pagamentos mensais iguais de R$ 96,59. Determinar a taxa efetiva mensal de juros cobrada pela loja. 190) O sr. Manuel contratou um advogado para receber uma dívida cujo valor era de R$ 10 000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dívida. Supondo que o sr. Manuel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou? 191) Comprei um objeto dando 28% de entrada e o restante em 3 prestações de R$ 144,00. Qual o preço do objeto? 192) Percorridos 85% de um certo percurso, ficam faltando 180 km para completá-lo. Determine o percurso total. 193) Dada a taxa à juros compostos de 5% a.m., obter a taxa equivalente: a) anual b) semestral

c) quinzenal d) diária

194) Planilhar a amortização de um empréstimo de R$ 5.000,00 em 6 parcelas mensais, pelo sistema Price, considerando-se uma taxa de juros de 6,5% a.m. 195) Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$ 45.000,00 que deverá ser pago em 5 parcelas mensais e iguais, à taxa de 10% a.m., pelo sistema Price. 196) Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$ 20.000,00 que deverá ser pago em 6 parcelas mensais e iguais, à taxa de 5% a.m., pelo sistema Price. 197) Uma taxa mensal de inflação de 1% acumula que taxa em 1 ano? 198) Qual taxa mensal constante de inflação acumula 18,5% em 5 meses? 199) O jovem Israel trabalha em uma sapataria. Ele gasta do seu salário: 25% no pagamento do aluguel

da pequena casa onde mora; 2

10 na compra de vale-transporte; 15% na prestação do aparelho de TV

que adquiriu; e ainda lhe sobram R$ 240,00. Qual o salário de Israel? 200) As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são, em cm, as raízes da equação x3 – 17x2 + 82x – 120 = 0. Calcule: a) o volume. b) a área total. c) a diagonal.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 51 201) Em quanto tempo o montante produzido por um capital de R$ 1.920,00 aplicados a 25% a.a. se iguala ao montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicados a 15% a.a., ambos a juros simples. Admitir que ambos sejam investidos na mesma data. 202) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. 203) Determine a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas: a) 2,5% ao mês. b) 56% ao quadrimestre. c) 32,5% para cinco meses. 204) Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. 205) Determinar a taxa anual equivalente a taxa de 10% ao mês, no RCC. 206) Determinar a taxa mensal equivalente à taxa de 120% ao ano, no RCC. 207) Em quantos dias um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado à taxa de juros compostos de 2,3% ao mês? 208) Determine, a juros compostos, a taxa anual proporcional às seguintes taxas: a) 2,5% ao mês. b) 6% ao trimestre. c) 32,5% para cinco meses.

209) O volume de um balão cresce de acordo com a fórmula dV 2

= t + 1 + tdt 3

, onde V cm3 é o seu

volume em t s. Se V = 33 quanto t = 3, determine: a) uma fórmula para V em termos de t. b) o volume do balão em 8 s. 210) Durante os primeiros 10 dias de dezembro, a célula de uma planta cresceu de tal forma que t dias após o 1º dezembro o volume da célula estava crescendo a uma taxa de (12 – t)–2 µ m 3, qual seria o volume esperado no dia 8 de dezembro? 211) (UFPel-RS) Uma chapa circular de um metro de raio ficou exposta ao sol e, em consequência15 disso, teve uma dilatação uniforme de 1%. Analise as informações abaixo: I) O comprimento da circunferência que limita a chapa, após a dilatação, ficou aumentado em 1%. II) A área da chapa, após a dilatação, ficou aumentada em 1%. III) O comprimento da circunferência que limita a chapa, após a dilatação, ficou aumentado em 2,01%. IV) A área da chapa, após a dilatação, ficou aumentada em 2,01%. Podemos afirmar que: a) II e III são verdadeiras. b) Apenas I é verdadeira. c) Apenas II é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) I e IV são verdadeiras. 15 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa mais o trema.


CAPÍTULO XI – Conhecendo a calculadora HP 12C 1. Introdução A HP-12C é uma calculadora financeira que conta com recursos de programação prévia de uma sequência16 de teclas. A entrada de dados nessa calculadora é feita no sistema RPN – Sistema de Notação Polonesa Inversa, ou seja, primeiro são introduzidos os dados e, em seguida, solicita-se a operação. Os dados são armazenados em registradores e as operações são realizadas na ordem inversa de suas apresentações. Ao serem digitados, os dados aparecem no VISOR (que é um dos registradores) e podem ser guardados em mais três registradores através da tecla ENTER. Então, por exemplo, a sequência da operação 12 + 50 será a seguinte:

Operação (Teclas digitadas)

Visor (O que aparecerá)

12

12

ENTER 12 50 50 + 62 (resultado)

2. Teclas de função Uma mesma tecla poder servir para diversas funções. No caso da HP-12C, a função direta está escrita em branco, sobre as teclas. Existe uma função amarela, escrita acima das teclas e são acessadas através da tecla f e uma função azul, escrita abaixo das teclas, acionadas pela tecla g . 2.1. Teclas para armazenar dados

Existem 20 registradores (memórias) para o armazenamento de dados, além do visor e do ENTER . Para utilizá-las, aperta-se a tecla STO (store) seguida de um número de 0 a 9 e de . 0 a . 9 . Para a recuperação desses dados, aperta-se a tecla RCL (recall) seguida dos números de 0 a 9 ou de . 0 a . 9. Exemplo: Quero armazenar o número 236 na memória: digito 236 STO 1 Para recuperá-lo: RCL 1 2.2. Teclas para apagar dados introduzidos CLX apaga o dado do VISOR f REG (acima da tecla CLX ) – apaga todos os registradores: VISOR, ENTER , STO f FIN apaga os conteúdos das memórias financeiras (N, i, PV, PMT, FV) f PRGM apaga o programa


Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 53 2.3. Teclas de mudança de formato RND faz o arrendondamento de valores EEX introduz expoente (notação científica) FRAC assume apenas a parte fracionária de um número INTG assume apenas a parte inteira de um número F ( seguida de um número de 0 a 9) - fixa o número de casas decimais CHS muda o sinal do número 3. Cálculos Aritméticos 3.1. Simples Exemplo 1: 153 + 248 � 153 ENTER 248 + � resultado: 401 Exemplo 2: 625 : 5 � 625 ENTER 5 : � 125 3.2. Em cadeia

Exemplo 1: 3 x (15 7)6

− �� 3 ENTER 15 ENTER 7 – x 6 ÷ � 4

Exemplo 2: (22 + 5 x 8) – 13 � 22 ENTER 5 ENTER 8 x + 13 – � 49 3.3. Potenciação e Radiciação Exemplo 1: 72 + (0,4)3 � 7 ENTER 2 yx 0,4 ENTER 3 yx + � 49,064 Exemplo 2: 4 81 � 81 ENTER 2 1/x yx � 3 4. Funções de calendário

4.1. Obtenção da data Exemplo: Obter a data de 78 dias após 17.05.2000.

g D.MY 17 . 052000 ENTER 78 g DATE � 3.08.2000 4 (5a. feira)

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 54 4.2. Obter a quantidade de dias entre duas datas Exemplo: Qual o intervalo de dias entre 05.12.1999 e 21.03.2000?

g D.MY 05 . 121999 ENTER 21 . 032000 g � DYS � 107

Exercícios 205) Efetuar as seguintes expressões numéricas:

a) 15 + 21 – 32

b) 27 : 3 + 12 . 2,5

c) 81 • (3 + 23) : 18

d) 33 2 55

10 11• +

•

e) 28 : 82 • 53

f) [(1,5)6 – 1] • 100

g) 4 6,5536

h) 121

46,0167,01�

��

�

−+

206) Obter as seguintes datas:

a) 09.04.2009 + 153 dias

b) 15.10.2007 – 1752 dias

c) do vencimento de um título negociado hoje para 45 dias

d) dia da semana do seu aniversário em 2002

207) Calcular a quantidade de dias:

a) entre 14.03.2008 e 31.07.2009

b) entre hoje e o Natal de 1991

c) que você já viveu até hoje


Respostas dos exercícios Capítulo VII

1a) S = 23

��

b) S = 32

��

c) S = 2411

�−� ��

d) S = 113

��

e) S = {–2, 7}

f) S = 7

0, 4

��

g) S = 7 7

, 3 3

�−� ��

h) S = {0, 2, 4} i) S = {–3, –2, 2, 3} j) S = {–2, 2} k) S = {2}

l) S = 13 ��

m) S = {1, 2} n) S = {2} o) S = {4, –2} p) S = {2} q) S = {–2, 2}

r) S = 10 4

, 3 3

��

s) S = 7

5, 3

��

t) X = 3

1� �� −� �

u) S = {8} v) S = { } w) S = {0, 5a}

x) S = 1

m 1, m 1

�−� �−� �

2a) S = {1 – i, 1 + i} b) S = {1, 6} c) S = { }7i±

d) S = {±9i} e) S = 1 5

2

�±� ��

f) S = { }1 + i 3, 2, 1 i 3−

3a) f(x) = x3 e g(x) = 5x2 – 1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Resposta: As raízes estão entre [–1, 0] e [0, 1].


b) f(x) = log x e g(x) = 1x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Resposta: A raiz está entre [2, 3]. c) f(x) = ln x e g(x) = ex – 1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Resposta: Não há raiz real.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 57 d) f(x) = x3 e g(x) = 5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Resposta: A raiz está entre [1, 2]. e) f(x) = x2 e g(x) = x – 3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Resposta: Não há raiz real.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 58 f) f(x) = x2 – 1 e g(x) = sen x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Resposta: As raízes estão entre [–1, 0] e [1, 2].

g) f(x) = x e g(x) = 4x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Resposta: A raiz está entre [2, 3].

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 59 h) f(x) = 2x e g(x) = 2log x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Resposta: Não há raiz real. 4a) x3 – 5x2 + 1 = 0

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 0 0,5 1 1 –0,125 –3 0,5 0 0,25 0,5 1 0,703 –0,125 0,25

0,25 0,375 0,5 0,703 0,349 –0,125 0,125 0,375 0,4375 0,5 0,349 0,126 –0,125 0,0625

0,4375 0,46875 0,5 0,126 0,004 –0,125 0,03125 0,46875 0,484375 0,5 0,004 –0,059 –0,125 0,015625 0,46875 0,4765625 0,484375 – – – –

x = 0,4765625 b) x log x – 1 = 0

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 2 2,5 3 –0,397 –0,005 0,431 0,5

2,5 2,75 3 –0,005 0,208 0,431 0,25 2,5 2,625 2,75 –0,005 0,100 0,208 0,125 2,5 2,5625 2,625 –0,005 0,047 0,100 0,0625 2,5 2,53125 2,5625 –0,005 0,020 0,047 0,03125 2,5 2,515625 2,53125 –0,004 0,007 0,020 0,015625 2,5 2,5078125 2,515625 – – – –

x = 2,5078125 c) Não há raiz real

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 60 d) x3 – 5 = 0

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 1 1,5 2 –4 –1,625 3 0,5

1,5 1,75 2 –1,625 0,359 3 0,25 1,5 1,625 1,75 –1,625 –0,708 0,359 0,125

1,625 1,6875 1,75 –0,708 –0,194 0,359 0,0625 1,6875 1,714375 1,75 –0,194 0,038 0,359 0,03125 1,6875 1,700938 1,714375 –0,194 –0,078 0,038 0,015625

1,700938 1,7076565 1,714375 – – – – x = 1,7076565 e) Não há raiz real f) x2 + 2log x = 0

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 0,1 0,55 1 –3,311 –0,559 1 0,45 0,5 0,775 0,75 –0,559 0,195 1 0,225

0,55 0,6625 0,775 –0,559 –0,244 0,195 0,1125 0,6625 0,71875 0,775 –0,244 0,040 0,195 0,05625 0,6625 0,690625 0,71875 –0,244 –0,057 0,040 0,028125

0,690625 0,704687 0,71875 –0,057 –0,008 0,040 0,0140625 0,704687 0,7117185 0,71875 – – – –

x = 0,7117185 g)

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 1 1,5 2 –0,841 0,599 2,090 0,5 1 1,25 1,5 –0,841 –0,386 0,599 0,25

1,25 1,375 1,5 –0,386 –0,090 0,599 0,125 1,375 1,4375 1,5 –0,090 0,075 0,599 0,0625 1,375 1,40625 1,4375 –0,090 –0,008 0,075 0,03125

1,40625 1,421875 1,4375 –0,008 0,032 0,075 0,015625 1,40625 1,4140625 1,421875 – – – –

x = 1,4140625

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 61 h)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 3 3,5 4 0,401 0,086 –0,217 0,5

3,5 3,75 4 0,086 –0,066 –0,217 0,25 3,5 3,625 3,75 0,086 0,009 –0,066 0,125

3,625 3,6875 3,75 0,009 –0,028 –0,066 0,0625 3,625 3,65625 3,6875 0,009 –0,009 –0,028 0,03125 3,625 3,640625 3,65625 0,009 0,0002 –0,009 0,015625

3,640625 3,6484375 3,65625 – – – – x = 3,6484375 5) f(–1) = –2 e f(4) = 73. Pelo teorema de Bolzano, temos que f(–1) . f(4) < 0. Logo existe, pelo menos, uma raiz entre [–1, 4]. 6) 0 < a < 14

7) f(0) = 1 e �

f2

� � � �

= –5. Como f(0) . �

f2

� � � �

< 0, há pelo menos 1 raiz em �

0, 2

� ��

.

8) Por que a função não é contínua em [–1, 1].

9a) S = {–2, 3, 5} b) S = 1

1, , 12

�−� ��

c) S = {0, 1, 1 – i, 1 + i}

d) S = 1

4, 3, 2

�−� ��

e) S = {–4, 2, 3} f) S = {–2, 1, –2i, 2i}

10) S = {i, –i, 2i, –2i, 3}

11) S = {1, –i, i}

12) {1, 4, 1 – 2i, 1 + 2i}

13) {1, 3, 2 – i, 2 + i} 14) {1, –i, i} 15) i e 1 – i

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 62 16) –1 – i e –2i 17) {±i, ±1, ±3i, 0, 1, 5} 18) No intervalo da alternativa b 19a) x2 – x – 1 = 0 b) x . log2x – 1 = 0

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

20a) f(x) = x2 – x – 1

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 1 1,5 2 –1 –0,25 1 0,5

1,5 1,75 2 –0,25 0,312 1 0,25 1,5 1,625 1,75 –0,25 0,015 0,312 0,125 1,5 1,5625 1,625 –0,25 –0,121 0,015 0,0625

1,5625 1,59375 1,625 –0,121 –0,053 0,015 0,03125 1,59375 1,609375 1,625 –0,053 –0,019 0,015 0,015625

1,609375 1,6171875 1,625 –0,019 –0,001 0,015 0,0078125 1,6171875 1,62109375 1,625 –0,001 0,006 0,015 0,00390625 1,6171875 1,619140625 1,62109375 –0,001 0,002 0,006 0,001953125 1,6171875 1,618164063 1,619140625 – – – –

x = 1,618164063 b) f(x) = x . 2log x – 1

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 1 1,5 2 – – + 0,5

1,5 1,75 2 – + + 0,25 1,5 1,625 1,75 – + + 0,125 1,5 1,5625 1,625 – – – –

x = 1,5625 21) Demonstração

22) Demonstração

23) multiplicidade 4

24) S = {(1, 1, 5, 2)} 25) Demonstração

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


Capítulo VIII

26a) y = –1x

+ C

b) 2x = ln 2y + 3 + C ou y = 2xce 32

−

c) y = 3ln 2x + 1

6 + C

d) y = 2x ln x2

–2x

4 + C

e) y = 4x

24 + C1

2x2

+ C2x + C3

f) y = 2xe

4

−

+ C1x + C2

g) y = 4cos(5x 1)

20−− + C

h) y = 4sen(3x 12)

12−

+ C

i) y = sen 2x

4− +

cos 4x16

+ C1x + C2

j) y = 3 9(x + 1)27

+ C

l) y = 2x

2– x + ln x + 1 + C

m) y = 2x

2 + 3x + C

27a) y = Cx

b) (1 + y)(1 x)− = C ou y = C

1 x−– 1

c) 1 1

+ ln y = + ln x + Cy x

− ou x + y

xyy = Cxe

d) 2 2y = 2ln x x + C−

e) 1

y = x ln x +C

−−

f) arc tg y = –x + ln x + 1 + C

g) y – ln y + 1 = 3x – ln x + C ou 3x y + C

xy = 1

e − − ou 3x y

xy = 1

Ce − −

h) y + 2 ln y 2− = –x + ln x + C ou (y – 2)2 = cx x ye− −

i) y = c14x ou y4 = c x

j) 3y 2x3e = e + C

2− −

l) 1ye = –sen(ln x) + C

m) y = 2 ln x – ln x + 1 + C ou y = 2x

lnx + 1

+ C

n) y = 4tg(5x 1)

+ C20

−

28a) {0, –2, 1, –6} b) raiz 0 multiplicidade 3 raiz –2 multiplicidade 4

raiz 1 multiplicidade 2 raiz –6 multiplicidade 1

c) grau 10 29) n = 4

30) a) 180 cm3 b) 216 cm3 c) 12,04 cm

31) n = 8 32) n = 4 33) n = 12

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 64 34)

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 1 1,5 2 –0,5 0,573 2,198 0,5 1 1,25 1,5 –0,5 –0,034 0,543 0,25

1,25 1,375 1,5 –0,034 0,252 0,543 0,125 1,25 1,3125 1,375 –0,034 0,104 0,252 0,0625 1,25 1,28125 1,3125 –0,034 0,033 0,104 0,03125 1,25 1,265625 1,28125 –0,034 –0,0004 0,033 0,015625

1,265625 1,2734375 1,28125 – – – – x = 1,2734375

35) Sim, há pelo menos uma raiz no intervalo dado, pois 1

f f(2) < 02

� � • � �

.

36) �0,

4� ��

e � 3�

, 2 4� ��

37a) 454356 b) 333406 c) 14005 d) 10101112 e) 3131124

38) y = 2x2 – 5x + 4

39) C(x) = 2x2 – 8x + 10

40) y = x2 – 3x + 2

41) y = 2 3x – 7

42) y = 3 22 2x + x + x + 2

3 3−

43) 117� m3

44) 1 184

45a) 2,5 cm2 b) 1,5 cm2

Capítulo IX

46) 4,655093 47) Em um intervalo = 0,920736 / Em dois subintervalos = 0,939793 / Em quatro subintervalos = 0,944514 48) Resposta pessoal 49) 1,639 50) 0,3215 51) 0,6457 52) 0,1775

53) S = {± i, ± 1, ± 3i, 0, 1, 5}

54) 5 < a < 33

55) S = {2, ± i} 56) O teorema de Bolzano é satisfeito, pois f(–1) . f(0) < 0 e f(0) . f(1) < 0

57) 2S = i, i, 1,

3 �−� ��

58) 0,5448 59a) Não há outras soluções positivas b) x > 2

60a) 3y2 = –x2 + C

b) 4

1 2

xy = + C x + C

4 c) 2y = 4 x + C−

d) 2 3ln 1 + y ln 1 + x

= + C2 3

− ou (1 + y2)3 . (1 + x3)2 = C ou 23

2

3

Cy = 1

(1 + x )−

e) y = Cetg x


61) 5 25 31S = , ,

2 6 3 �� −� � � ��

62)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

a xm b f(a) f(xm) f(b) ∈ 0 0,5 1 1 –0,281 0,148 0,5

0,5 0,75 1 0,148 –0,281 –0,132 0,25 0,5 0,625 0,75 0,148 –0,132 –0,006 0,125 0,5 0,5625 0,625 0,148 –0,006 0,067 0,0625

0,5625 0,59375 0,625 0,067 –0,006 0,029 0,03125 0,59375 0,609375 0,625 0,029 –0,006 0,011 0,015625

0,609375 0,6171875 0,625 – – – – x = 0,6171875 63) a, c, d, e, h 64) 3,3242 65) R$ 325,00

Capítulo X 66a) 3,614 b) 4,248 c) 0,88605 d) 685,122 67a) 57% b) 208% c) 2% 68a) 1,63 b) 0,26 c) 0,12 69) 14 homens e 26 mulheres

70a) R$ 19,36 b) R$ 23,10

71) 26% 72) 323 candidatos foram aprovados 73a) 1% b) 40% c) 2,5% 74) R$ 6,25 75) R$ 28,75 / R$ 21,25 76) 8% 77) R$ 56 000,00 78) 80% 79) 5%

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 66 80a) 40% b) 5% c) 325% d) 46,25% e) 12,5%

81a) 45

b) 63

250 c)

3625

d) 1

150 e)

9400

82a) 12,72 h = 12 h 45 min b) 12,6 litros

c) 49,6 quilos de água d) 3,7 litros

83a) zero b) R$ 66,30 c) R$ 401,93 84) 4%

85) 8,4%

86) � 61 538

87) 20%

88) R$ 39,71

89) R$ 29,88 90) 5,10% 91a) 21,43% b) 11,76% c) 35,71% 92) 3,2211 bilhões de dólares

93) 48,02%

94) 11,47%

95) 8,8%

96a) 2,49% b) 1,96%

97) 32,16%

98a) 3,34% b) 0,64% 99) 2,94% 100) 19,56% 101) 18,22% 102) 455%

103) 60,10%

96) deflação de 5,85%

105) 1,55% 106) 1,88% 107) R$ 3 900,00 108) R$ 500,00 109) 20% a.m.

110) 48 meses 15 dias

111a) R$ 5 450,00 b) R$ 9 107,50 c) R$ 13 925,00 112) R$ 127 200,00

113) R$ 20 meses

114) 25 meses

115) 1 ano 3 meses 116) R$ 8 000,00 117) 2,5% a.m. 118) R$ 29 600,00 119) R$ 5 172,41 120) R$ 10 000,00 121) 4% a.m.

122) 10 meses

123) 25 meses

124) 33,60% a.a. 125a) R$ 980,00 b) R$ 13 020,00 c) 3,76% a.m. 126a) R$ 1 382,40 b) R$ 16 617,60 c) 3,47% a.m. 127) 2,5 meses 128) 38 dias, aproximadamente

129) R$ 20 000,00

130) 3,69% a.m.

131) R$ 382,00

132) 24 716,67

133a) R$ 1280,00 b) R$ 300,00

134) R$ 16 800,00

135) 5 meses

136) R$ 1 170,00

137a) 76,59% a.a. b) 34,01% a.s. c) 2,47% a.q. d) 0,16% a.d. 138) 2,60% a.m. e 36,05% a.a. 39) 6,18% a.m. 40) 20,42% a.s.

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 67 141) 20,48 meses ou 1 ano 8 meses 14 dias 142) R$ 1 036,80 143) R$ 500 000,00 144) 6 meses 145) R$ 7.458,96 146) 4,36% a.m. 147) 3,39 meses ou 3 meses 11 dias 148) R$ 3 447,47 149) R$ 97 240,50 150) R$ 1 591,81 151) Sim, é preferível aplicar o dinheiro a juros compostos 152) 1,0337 . 1014 dólares 153) 10,80 meses (aproximadamente 324 dias) 154) R$ 5 201,98 155) R$ 9 421,01 156) 1,81% 157) 18,92% a.t. 158) 1,13% a.m. 159) 17,88 meses (aproximadamente 536 dias) 160) n = 6 161) 10 vezes 162) R$ 13 824,00 163) R$ 17 022,23 164) R$ 35 527,13 165) 8 meses 166) 3% a.m. 167a) 3 meses b) 2 anos 168) Aproximadamente 11 meses 169a) 14 meses e 6 dias b) 22 meses e 16 dias 170) 6% a.m. 171) Pelo teorema de Bolzano, temos que f(0) . f(–1) < 0 e f(2) . f(3) < 0. 172a) S = {(–2, 3, 0)} b) S = {(2, –1, 3)} c) S = { } d) S = { } 173) R$ 750 000,00

174) 1 ano e 8 meses

175) R$ 31 200,00

176) Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 120 000,00 – – – 1 99 545,23 20 454,77 9 600,00 30 054,77 2 77 454,08 22 091,15 7 963,62 30 054,77 3 53 595,64 23 858,44 6 196,33 30 054,77 4 27 828,52 25 767,12 4 287,65 30 054,77 5 0,00 27 828,52 2 226,28 30 054,80

Total – 120 000,00 30 273,88 150 273,88 177a) R$ 455 644,02 b) R$ 7 753 712,82 178)

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 40 000,00 – – – 1 36 502,24 3 497,76 4 000,00 7 497,76 2 32 654,70 3 847,54 3 847,54 7 497,76 3 28 422,41 4 232,29 4 232,29 7 497,76 4 23 766,89 4 655,52 4 655,52 7 497,76 5 18 645,82 5 121,07 5 121,07 7 497,76 6 13 012,64 5 633,18 5 633,18 7 497,76 7 6 816,14 6 196,50 6 196,50 7 497,76 8 – 6 816,14 6 816,14 7 497,78

Total 40 000,00 40 000,00 59 982,07


Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 45 000,00 – – – 1 37 405,54 7 594,46 3 825,00 11 419,46 2 29 165,55 8 239,99 3 179,47 11 419,46 3 20 225,16 8 940,39 2 479,07 11 419,46 4 10 524,84 9 700,32 1 719,14 11 419,46 5 0,00 10 524,84 894,61 11 419,45

Total – 45 000,00 12 097,29 57 097,30 180)

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 80 000,00 – – – 1 69 631,41 10 368,59 8 000,00 18 368,59 2 58 225,96 11 405,45 6 963,14 18 368,59 3 45 679,97 12 545,99 5 822,60 18 368,59 4 31 879,38 13 800,59 4 568,00 18 368,59 5 16 698,73 15 180,65 3 187,94 18 368,59 6 – 16 698,73 1 669,87 18 368,60

Total – 80 000,00 30 211,55 110 211,55 181a) 28,8% b) 0,0583...% c) 10,4% d) 11,25% e) 4,5% f) 0,1% 182a) 32,92% b) ≅ 0,05% c) ≅ 10,53% d) ≅ 11,05% e) ≅ 4,06% f) ≅ 0,09% 183) R$ 35,00

184) R$ 3 712,35

185) Sim, pois temos f(–1) . f(4) < 0, satisfazendo o teorema do anulamento.

186) 2tg x

y = 2

187) 1,2124

188) R$ 1 500,00

189) 8% a.m.

190) R$ 7 650,00

191) R$ 600,00

192) 1 200 km

193a) 79,59% b) 34,01% c) 2,47% d) 0,16% 194)

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 5 000,00 – – – 1 4 292,16 707,84 325,00 1 032,84 2 3 538,31 753,85 278,99 1 032,84 3 2 735,46 802,85 229,99 1 032,84 4 1 880,42 855,04 177,80 1 032,84 5 969,81 910,61 122,23 1 032,84 6 – 969,81 63,04 1 032,85

Total – 5 000,00 1 197,05 6 197,05


Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 45 000,00 – – – 1 37 629,11 7 370,89 4 500,00 11 870,89 2 29 521,13 8 107,98 3 762,91 11 870,89 3 20 602,35 8 918,78 2 952,11 11 870,89 4 10 791,70 9 810,65 2 060,24 11 870,89 5 – 10 791,70 1 079,17 11 870,87

Total – 45 000,00 14 354,43 59 354,43 196)

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 20 000,00 – – – 1 17 059,65 2 940,35 1 000,00 3 940,35 2 13 972,28 3 087,37 852,98 3 940,35 3 10 730,54 3 241,74 698,61 3 940,35 4 7 326,72 3 403,82 536,53 3 940,35 5 3 752,71 3 574,01 366,34 3 940,35 6 – 3 572,74 187,64 3 940,35

Total – 20 000,00 3 642,10 23 642,10 197) ≅ 12,68%

198) ≅ 3,45%

199) R$ 600,00

200a) 120 cm3 b) 164 cm2 c) 11,18 cm 201) 4 anos 202) R$ 6.000,00 203a) 30% a.a. b) 168% a.a. c) 78% a.a. 204) MJS = MJC = R$ 72 468,06 205) 213,84% a.a. 206) 6,79% a.m. 207) 535 dias. 208a) ≅ 34,49% a.a. b) ≅ 26,25% a.a. c) ≅ 96,48% a.a.

209a) 3/22 2 77V(t) = (t + 1) + t +

3 3 3 b) 49 cm3 210) ≈ 3,1 µ m3 211) alternativa e

Capítulo XI

212a) 15 ENTER 21 + 32 – � resultado: 4

b) 27 ENTER 3 : 12 ENTER 2,5 x + � resultado: 39

c) 81 ENTER 3 ENTER 23 + x 18 : � resultado: 117

d) 33 ENTER 2 x 55 + 10 ENTER 11 x : � resultado: 1,1

e) 2 ENTER 8 yx 8 ENTER 2 yx : 5 ENTER 3 yx x � resultado: 500

f) 1,5 ENTER 6 yx 1 – 100 � resultado: 1039,0625

g) 6,5536 ENTER 4 1/x yx � resultado: 1,6

h) 1 ENTER 0,67 + 1 ENTER 0,46 – : 12 1/x yx � resultado: ≅ 1,09865219

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 70 213a) g D.MY 09 . 042009 ENTER 153 g

DATECHS � 9.09.2009 3 (4a. feira)

b) 15 . 102007 ENTER 1752 CHS g DATECHS � 28.12.2002 6 (domingo)

c) dia . mês ano ENTER 45 g DATECHS �

d) dia . mês ano ENTER 0 g DATECHS �

214a) 14 . 032008 ENTER 31 . 072009 g

DYSEEX∆

� 504 dias

b) dia . mês ano ENTER 25 . 121991 g DYS

EEX∆

�

c) dia . mês ano ENTER dia . mês ano g DYS

EEX∆

�

Bibliografia Básica BARROSO, Leônidas C; BARROSO, Magali M. de A; CAMPOS FILHO, Frederico F. Ca´lculo

numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 2007

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 1999

GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental – Uma nova abordagem (Volume único). s.e. São

Paulo: FTD, s.d. p.p. 612-613

IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 11. 1. ed. São Paulo: Atual Editora,

2004

MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. s.e. São Paulo: Atlas, 1993

ROQUE, Waldir, L. Introdução ao Cálculo Numérico. s.e. São Paulo: Atlas, 2000

RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e

computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson, 1996

SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; Silva, Luiz Henry Monken. Cálculo numérico:

características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pearson Prentice

Hall, 2003


Anexo 1 O valor de �

A primeira referência ao valor de � (pi) aparece na Bíblia, no Primeiro Livro dos Reis, 7, versículo 23: “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados, de uma borda até à outra borda, redondo ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor.” Aqui, o valor de � é 3, bastante inexacto, portanto. Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

� = circunferência

diâmetro

em que o valor de � é constante. Note-se que o nome “pi”, usando a letra grega, só foi introduzido em 1706 por William Jones (1675-1749). O valor exato de � desde cedo despertou o interesse dos matemáticos. Arquimedes de Siracusa

(287-212 a.C.) chegou ao valor de 227

ou seja 3,142857…

Só no século XVIII é que se provou que � é um número irracional, isto é que não pode ser expresso como uma fração, própria ou imprópria. Em termos práticos, isso significa que o número de casas decimais que � pode ter é infinito. No século XIX, demonstrou-se que � é um número transcendental, isto é, não pode ser expresso por uma equação algébrica com coeficientes racionais. Como corolário, deve dizer-se que é impossível fazer a “quadratura do círculo”, isto é, desenhar um quadrado com o mesmo perímetro de determinado círculo. Podem apreciar-se na tabela a seguir os progressos feitos no cálculo do valor de �. Só no século XX., nos anos 50, é que se começaram a utilizar computadores para o cálculo das casas decimais de �.

Os valores de � através dos séculos

Pessoas/Povo Ano Valor

Babilónia ~2000 B.C. 318

Egípcios ~2000 B.C. 2

169

� � � �

= 3,1605

Chineses ~1200 B.C. 3 Antigo Testamento ~550 B.C. 3

Arquimedes ~300 B.C. encontra 3

1071

< � < 317

usa 211 87567 441

= 3,14163

Ptolomeu ~200 A.D. 377120

= 3,14166...

Chung Huing ~300 A.D. 10 = 3,16...


Wang Fau 263 A.D. 15750

= 3,14

Tsu Chung-Chi ~500 A.D. 3,1415926 < � < 3,1415929 Aryabhatta ~500 3,1416

Brahmagupta ~600 10 Al-Khwarizmi 820 3,1416 Fibonacci 1220 3,141818

Ludolph van Ceulen 1596 Calcula � até 35 casas decimais

Machin 1706 100 casas decimais Lambert 1766 Prova que � é irracional Richter 1855 500 casas decimais Lindeman 1882 Prova que � é transcendental Ferguson 1947 808 casas decimais Computador Pegasus 1957 7 840 casas decimais

IBM 7090 1961 100 000 casas decimais CDC 6600 1967 500 000 casas decimais

Eis algumas das fórmulas utilizadas para calcular o valor de � em computador: François Viète (1540-1603) determinou que:

� = 2

1 1 1 1 1 1 1 1 x + x + + x ...

2 2 2 2 2 2 2 2

John Wallis (1616-1703) mostrou que:

� = 2.2.4.4.6.6...

21.3.3.5.5.7...

Euler (1707-1783) construiu esta fórmula:

2

21

1 =

6 nπ ∞

�

Observações: 1 - Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, matemático árabe nascido em Bagdad, por volta de 780, faleceu em 850. Do seu nome derivam as palavras "algarismo" em português e "guarismo" em castelhano (guardamos sempre o artigo árabe nas palavras derivadas daquela língua). Para além disso, escreveu um livro chamado "al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala" (traduzido para inglês com o título "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”. De Al jabr, vem o nome Álgebra. Mais: sabe-se que Al-Khwarizmi escreveu um livro que desapareceu, mas de que chegou até nós uma tradução latina com o título "Algoritmi de numero Indorum", ou seja, "Al-Khwarizmi sobre o modo Hindu de contar" e do nome latino que ali lhe deram derivou o termo "algoritmo".

Professores Cícero, Conrad, Jordá, Luciane e Oswaldo 73 2 – Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração (própria ou imprópria). Fração própria é a que tem o numerador inferior ao denominador. Fração imprópria é aquela em que o numerador é maior ou igual ao denominador. O numerador e o denominador são, evidentemente, inteiros. Um número primo é um número maior do que 1, que não é divisível por nenhum número inteiro positivo, que não seja 1 ou o próprio número. Um número composto é um número inteiro positivo diferente de 1 e que não é número primo. 3 – Os números transcendentais não podem ser expressos como sendo a raiz de uma qualquer equação algébrica, com coeficientes racionais. Isto significa que � não pode satisfazer com exatidão equações do tipo 10,9�4 – 240�² + 1492 = 0. Este tipo de equações envolve sempre números inteiros para o valor de �. O número � pode ser expresso através de uma fracção que não tem fim ou como o limite de uma

série infinita. A fração 355113

exprime o valor de � com exatidão até seis casas decimais.

Em 1882, o matemático alemão F. Lindemann provou que � é transcendental, acabando com 2500 anos de especulação. Com efeito, provou que � transcende o poder de a álgebra o representar na sua totalidade. Não pode ser representado através de qualquer série finita de operações aritméticas ou algébricas. Não pode ser escrito num pedaço de papel tão grande como o universo. Site consultado http://www.arlindo-correia.com/040901.html acessado em julho de 2008


Anexo 2 Quanto perco com a inflação?

Souzinha, apesar de viver em um país que há mais de quarenta anos tem inflação, ainda não

conseguiu entendê-la.

Certo dia, falou-me:

− A inflação nos anos subsequentes17 ao último aumento (melhor seria dizer reajuste) de salário

foi de 8% e 7%. Já perdi com isso 8% + 7% = 15% do meu salário.

Corrigi:

− Não é 15%, é outro valor.

Souzinha respondeu:

− Já sei, já sei.O cálculo exato é 1,08 x 1,07 = 1,1556, ou seja, 15,5%.

− Continua errado, insisti.

Souzinha bateu o pé e saiu murmurando baixinho, mas suficientemente alto para que eu pudesse

ouvir:

− O Botelho não tem jeito, está sempre arrumando coisinhas para discutir.

Afinal, quem está certo, Souzinha ou eu?

Resposta

É claro que sou eu que estou certo e Souzinha está errado. Admitamos que Souzinha ganhasse

1000 reais e usasse essa quantia para comprar unicamente produtos de valor unitário 10 reais. Logo, ele

compraria, inicialmente, um total de 100 produtos. Se a inflação foi de 8% no primeiro ano e de 7% no

ano seguinte, o produto padrão que custava 10 passará a custar 10 x 1,08 x 1,07 = 11,556.

Custando o objeto padrão 11,556 reais, e Souzinha continuando a ganhar 1000 reais, ele poderá

comprar 1100

11,556 � 86,5. Logo, a redução da capacidade de compra terá sido de

(100 86,5)100−

� 13,5%.

Certo, Souzinha?

Assim, mesmo quando a inflação acumulada for de 100%, o nosso salário não some, mas nosso

poder de compra cai 50%.

Fonte: Adaptado do artigo de Manoel Henrique Campos Botelho



Anexo 3 O número e, por quê?

A noção de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: “o logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que ax = y”. Segue-se a observação: “os números mais frequentemente18 usados como base de um sistema de logaritmos são 10, e o número e = 2,71828182...”; o que nos deixa intrigados. De saída, uma pergunta ingênua: esta regularidade na sequência19 dos algarismos decimais desse número e persiste? Não. Apenas uma coincidência no começo. Um valor mais preciso seria e = 2,718281828459... Não se trata de uma fração decimal periódica. O número e é irracional, isto é, não pode ser obtido como quociente e = p/q de dois inteiros. Mais ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que não existe um polinômio P(x) com coeficiente inteiros, que se anule para x = e, ou seja, que tenha e como raiz. Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos? O que faz esse número tão importante? Talvez a resposta mais concisa seja que o número e é importante porque é inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas. Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial e Integral), que estuda a variação das grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc. Em todos os fenômenos dessa natureza, o número e aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos um exemplo simples. Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1real a juros de 100% ao ano. No final do ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2 reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo? Não. O justo seria que eu recebesse e reais. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas transações, de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento. Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas 1 ½ reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com 1 ½ real meu e ficou com esse dinheiro mais seis meses, à taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me

21 1 1 1 1 1

1 + 1 = 1 x 1 = 1 + 2 2 2 2 2 2

� � � � � � � �

reais no fim do ano. Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim,

eu não acharia justo. Eu poderia dividir o ano num número arbitrário n, de partes iguais. Transcorrido o primeiro

período de 1 ano

n, meu capital emprestado estaria valendo

11 +

n reais. No fim do segundo período de

1 anon

, eu estaria 2

11 +

n� � � �

reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria receber n

11 +

n� � � �

reais.

Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria

receber pelo meu real emprestado seria n

1lim 1 +

nn→∞

� � � �

, que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual

ao número e. Um outro exemplo no qual o número e aparece. Fonte: Adaptado do artigo de Elon Lages Lima

18 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa mais o trema. 19 De acordo com a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa mais o trema.

Apostila Análise Numérica-2ºsemestre

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