Apostila Cálculo I
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1
FACULDADE DO CENTRO LESTE – UCL
BÁSICO DAS ENGENHARIAS
CÁLCULO I
Serra 2014
Este trabalho contém uma compilação de
textos de diversos autores, tendo sido elaborado
com o objetivo exclusivo de ser um apoio didático
para o aluno em sala de aula.
Prof. Walquiria Torezani
2
Sumário
1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES .................................................................... 3 1.1. Por que estudar as Funções .................................................................................. 3 1.2. Conceito de Função ............................................................................................... 3 1.3. Algumas Características das Funções ................................................................. 5 1.4. Funções Compostas ............................................................................................. 15 1.5. Funções Inversas ................................................................................................. 17
1.6. Algumas Funções Básicas ................................................................................... 21 1.7. Funções Definidas Por Partes e Funções Modulares ....................................... 27 1.8. Função Exponencial ............................................................................................ 36 1.9. A Função Logarítmica ........................................................................................ 38 1.10. Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas ................................ 41
1.11. Transformações das funções trigonométricas .............................................. 57
1.12. Identidades Trigonométricas ......................................................................... 61
3
1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
1.1. Por que estudar as Funções
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque
em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum
expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais e os problemas de engenharia, dentre
outros, por meio de funções.
As funções são consideradas o elemento chave para a modelagem matemática que nada
mais é do que descrever os problemas do mundo real em termos matemáticos. A noção de
função é fundamental para todo o nosso trabalho em cálculo.
Este capítulo abre caminho para o cálculo discutindo as ideias básicas relacionadas às
funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los e transformá-los.
Uma função pode ser representada por uma equação, uma tabela numérica, um gráfico ou
verbalmente. O gráfico de uma função é uma maneira particularmente útil de visualizar
suas propriedades e comportamento geral.
Vamos estudar aqui os principais tipos de funções que ocorrem no cálculo e descrever o
modo de usá-las como modelos matemáticos do nosso cotidiano. Daremos ênfase especial
para as funções exponenciais, trigonométricas e suas inversas.
1.2. Conceito de Função
As funções surgem quando relacionamos duas grandezas variáveis, isto é quando uma
grandeza depende de outra. Vejamos alguns exemplos:
A temperatura de ebulição da água depende da altitude – o ponto de ebulição
diminui quando a altitude aumenta.
Os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro
permanece investido.
A distância que um objeto percorre a uma velocidade constante, a partir de um
ponto inicial, ao longo de uma trajetória reta, depende do tempo transcorrido.
Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor
de outra, que podemos denominar de x. Uma vez que o valor de y é completamente
determinado pelo valor de x, dizemos que y é uma função de x.
Definição – Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa a cada
elemento x de A um e somente um elemento y de B.
Usamos as seguintes notações:
)(
:
xfx
BAf
ou
)(xfx
BA f
ou
yx
BAf
: tal que xfy
4
O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto A é chamado contradomínio da
função. Como a definição não obriga que todos os elementos de B sejam atingidos pela
função, o conjunto dos elementos atingidos chama-se imagem de A pela função f, ou
simplesmente imagem da função.
A variável x que representa os elementos do conjunto A é chamada de variável
independente e a variável y = f(x) que representam os elementos do conjunto B é chamada
de variável dependente, pois seus valores dependem dos valores de x.
No nosso curso A e B serão sempre conjuntos de números reais.
Representações de Funções
É possível representar uma função de quatro maneiras:
Verbalmente – descrevendo-a com palavras.
Dizemos que a área A de um círculo é função do seu raio r.
Dado um círculo de raio r sua área A é calculada multiplicando-se pelo quadrado
do seu raio 2r .
Numericamente – por meio de tabela de valores
Podemos representar a função que expressa a área A de um círculo como função do
seu raio r através da seguinte tabela:
Algebricamente – Utilizando-se uma fórmula explícita )(xfy
A mais útil dentre as representações da área A de um círculo em função de seu raio
r é provavelmente a fórmula:
2rrA Apesar de ser possível, como visto acima, elaborar uma tabela de valores, bem
como esboçar seu gráfico.
Visualmente - através de gráficos ou diagrama de Venn – Euler
Como o raio do círculo deve ser positivo, o domínio da função rA é dado por:
[,0]0/ rIRrD , assim seu gráfico é parte de uma parábola.
r 1 cm 2 cm 3 cm
...
A 2cm 24 cm 29 cm ...
5
Usando o Diagrama de Venn – Euler a tabela que montamos anteriormente podemos
representar a função rA da seguinte maneira:
A B
Cada flecha conecta um elemento de A com um único elemento de B. A flecha indica, por
exemplo, que 2 está associado a 4 . Podemos escrever ainda que 42 A .
1.3. Algumas Características das Funções
Domínio
Usualmente definimos uma função f enunciando uma fórmula para calcular o valor de
xf para cada valor de x dado. Quando o domínio de uma função não é especificado no
problema, tomamos como domínio todos os valores reais de x para os quais existe a
imagem xfy .
Se x está no domínio de f, dizemos que f é definida em x, ou que xf existe, caso
contrário dizemos que xf não existe ou que f não está definida em x.
Exemplo 1 - Dada a função 2)( xxf , determine, se possível:
a) 27f b) 2f c) 1f
Vamos calcular cada um desses valores:
a) 52522727 f
b) 00222 f
c) R1211 f
Observe que x não pode assumir certos valore, por exemplo, para x = 1 temos que 1f
não é um número real e portanto, nem todo número real pertence ao domínio dessa função.
Para determinar o domínio de uma função é preciso obedecer duas regras básicas da
matemática, que chamaremos de “Condições de Existência”. Essas regras são válidas
sempre que estivermos tratando de números reais.
Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero.
0bcom
b
a
Em uma raiz de índice par o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero.
0acoma
Exemplo 2 - Determine o domínio das funções abaixo:
6
a) 252 xxy b) 3
2
xy c) 2 xy d)
x
xy
4
5 e)
5
3
x
xy
a) Neste caso, não há qualquer restrição, portanto D = R.
b) Aqui devemos respeitar a primeira condição de existência:
303 xx
Logo: 3 RD
c) Aqui devemos respeitar a segunda condição de existência:
202 xx
Graficamente temos que:
Logo: [,2[ D
d) Este é um caso típico onde devemos satisfazer as duas condições de existência,
pois temos uma raiz quadrada no denominador de uma fração:
404 xx
Graficamente temos que:
Logo: [4,] D
e) Aqui também usaremos as duas condições de existência; a primeira para o
denominador da fração e a segunda para o numerador que é uma raiz quadrada:
3x03-x
e
505
xx
Graficamente temos que:
Logo: 5[,3[ D
Imagem
Dada uma função y = f(x) de A em B, definimos a imagem de f como o conjunto de todos
os elementos By que estão relacionados com algum x de A. Isto é,
AxxfyByf algum para /Im
7
Exemplo - Determine a imagem de cada uma das funções abaixo:
[,2[Im f IRf Im
2.0Im f 2[,0]Im f
Interceptos da Função
Dada uma função y = xf , os valores de x para os quais 0xf são chamados de raízes
da função ou interceptos - x. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos
pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.
No gráfico abaixo temos que 01 xf , 02 xf e 03 xf . Assim 321 e , xxx são as
raízes da função.
O valor de 0f é chamado de interceptos – y pois é a ordenado do ponto onde o gráfico
corta o eixo vertical.
Função Injetora e Função Sobrejetora
8
Uma função BAf : é dita injetora se para quaisquer elementos distintos do conjunto
21 xxA correspondem elementos distintos do conjunto 21 yyB .
Isto é,
2121 xfxfxx
Uma função é considerada injetora no diagrama de Venn se cada elemento de B for
atingido por, no máximo, uma flecha.
Exemplo - Observe cada uma das funções abaixo descrita através de seus diagramas de
Venn:
f(x) não é Injetora f(x) é injetora
Em relação ao seu gráfico uma função é considerada injetora se qualquer reta horizontal
intercepta o gráfico, no máximo, uma vez.
Exemplo - Observe os gráficos abaixo:
f(x) não é injetora f(x) é injetora
Uma função BAf : é dita sobrejetora se seu conjunto imagem é igual ao conjunto B.
Bf )Im( .
Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função sobrejetora é preciso que
todos os elementos B sejam atingidos por pelo menos uma flecha.
Exemplo - Observe o diagrama de Vem das funções representadas abaixo:
9
f(x) é sobrejetora f(x) não é sobrejetora
Em relação ao seu gráfico uma função somente será sobrejetora se a projeção do gráfico
sobre o eixo Oy for seu contradomínio.
Exemplo - A função IRIRf : dada por 2xxf cujo gráfico está representado
abaixo não é sobrejetora, pois sua imagem é o conjunto IR+.
Uma função BAf : é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função bijetora é preciso que
todos os elementos B sejam atingidos por uma única flecha.
f(x) é bijetora f(x) não é bijetora
É fácil ver que as funções que são crescentes ou decrescentes em todo o seu domínio são
funções bijetoras.
Exemplo - As funções esboçadas abaixo são funções bijetoras.
10
2
:
xxf
IRIRf
xxf
IRIRf
2/1
*
log
:
Dependendo do domínio A e do contradomínio B escolhido, a função f: A → B
determinada pela mesma sentença aberta poderá ser somente sobrejetora, somente injetora,
bijetora, ou nem sobrejetora, nem injetora.
Exemplo - Considere a função determinada por 2xxf .
a) Considerando A = IR+ e B = IR, f(x) é somente injetora.
b) Considerando A = IR e B = IR+, f(x) é somente sobrejetora.
c) Considerando A = IR+ e B = IR+, f(x) bijetora.
11
d) Considerando A = IR e B = IR, f(x) não é injetora nem sobrejetora.
Função Crescente e Decrescente
Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y
valores também crescentes. Isto é:
2121 xfxfxx
Exemplo 1 - Os gráficos abaixo descrevem funções crescentes. Observe que, embora as
três funções sejam crescentes, não crescem da mesma forma:
Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y
valores decrescentes. Isto é:
2121 xfxfxx
Exemplo 2 - Os gráficos abaixo descrevem funções decrescentes. Observe que, embora as
três funções sejam decrescentes, não decrescem da mesma forma:
12
Uma função y = f(x) é constante se, atribuindo a x valores crescentes, y permanece
invariável. Isto é,
21 xfxf para todo fDxx 21,
Exemplo 3 - O gráfico abaixo descreve uma função constante:
Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente
naquele intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é
chamada não crescente naquele intervalo.
Exemplo 4 - Os gráficos abaixo descrevem uma função não decrescente e uma função não
crescente:
Não decrescente Não crescente
Uma maneira simples de determinar os intervalos de crescimento ou decrescimento de
uma função é aplicar o seguinte teste:
“Da esquerda para a direita siga o traçado do gráfico da função com o dedo. Nos
intervalos em que seu dedo sobe a função é crescente e nos intervalos em que ela desce a
função é decrescente. Se seu dedo seguir na horizontal, a função é constante.”
13
Exemplo 5 - Usando o teste acima, determine os intervalos de crescimento e
decrescimento da função f(x) ilustrada abaixo:
Resolução:
Observando o gráfico vemos que:
f(x) é decrescente nos intervalos [2, 4], [7, 9] e [12, 15]
f(x) é constante no intervalo [4,7]
f(x) é crescente nos intervalos [9,12], [15,18]
Máximos e Mínimos de uma Função
Já vimos que uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio,
tendo intervalos em que cresce e intervalos em que decresce. Quando isso ocorre a função
apresenta máximos ou mínimos locais, conforme o caso.
Dizemos que 0xf é um máximo local (máximo relativo) de uma função xfy se
xfxf 0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto
[,] ba contendo 0x . Em outras palavras 0xf está “no topo de uma montanha”, pois em 0x
a função passa de crescente para decrescente.
Da mesma forma, 0xf é um mínimo local (ou mínimo relativo) de uma função xfy
se xfxf 0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto
[,] ba contendo 0x . Em outras palavras 0xf está “no fundo de um poço”, pois em 0x a
função passa de decrescente para crescente.
Se 0x é tal que 0xf é o maior valor que a função assume em todo o seu domínio, então
0x é dito ponto de máximo absoluto de f.
Analogamente, se 0xf é o menor valor que a função assume em todo o seu domínio,
então 0x é dito ponto de mínimo absoluto de f.
14
Exemplo - Determine os pontos de máximos e mínimos locais e absolutos da função cujo
gráfico está ilustrado abaixo:
Supondo que o domínio dessa função é o intervalo de zero a quinze temos:
Máximos locais: 2,47,1 f , 97 f e 5,35,12 f .
Mínimos locais: 24 f e 210 f .
Máximo absoluto: 97 f .
Mínimo absoluto: 315 f .
Funções Pares e Ímpares
Uma função f é par se xfxf para todo fDx .
Exemplo - São funções pares:
2xxf 34 xxf 2
22
2
x
xxf
Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo y.
Exemplo - Observe o gráfico de 2xy :
15
Uma função f é ímpar se xfxf para todo fDx .
Exemplo - São funções ímpares:
3xxf xxxf 35 42
3
x
xxf
Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem.
Exemplo - Observe o gráfico de 3xy :
Algumas funções não são nem pares nem ímpares.
Por exemplo, 152 xxxf não é nem par nem ímpar, pois calculando xf temos:
1515 22 xxxxxf
Logo, xfxf e xfxf .
1.4. Funções Compostas
Considere as funções BAg : e CBf : . Chama-se função composta das funções f e
g a função CAh : definida por:
xgfxgfxh
16
A imagem de um determinado elemento x de A através da função composta gf é
definida em duas partes:
A transformação do elemento x de A no elemento g(x) de B.
A transformação do elemento g(x) de B no elemento xgfxgf de C.
O contradomínio de g é idêntico ao domínio de f, porém, para existir gf é preciso que
fDg Im .
Podemos dizer então, que o domínio de gf é o conjunto de todos os gDx para os
quais IRxgf .
IRxgfDxD ggf /
Exemplo 1 - Dadas as funções 32 xxf e xxg 5 , pede-se determinar xfg e
xgf .
151032532 xxgxfgxfg
3103525 xxxfxgfxgf .
Este exemplo nos mostra que de modo geral fggf , ou seja, a operação de
"composição de funções " não é comutativa.
Exemplo 2 – Dadas as funções 162 xxf e xxg , determine:
a) xgf e o seu domínio.
b) xfg e o seu domínio.
Inicialmente note que IRD f e [,0[ Dg
a) 1616162
xxxxfxgfxgf
Se considerássemos apenas a expressão final poderíamos a ser levados a crer que o
domínio de gf fosse IR. Entretanto, por definição, o domínio de gf é o conjunto de
todos os [,0[ x tal que g(x) está em IR.
17
Assim, [,0[ gfD
b) 1616 22 xxgxfgxfg
Por definição o domínio de fg é conjunto de todos os x em IR tal que f(x) está em
[,0[ .
Logo devemos determinar os valores de x para os quais 40162 xx .
Assim, [,4[]4,] fgD
Forma Funcional Composta
Se f e g são funções tais que xguufy e
Então, substituindo o valor de u em ufy , temos xgfy .
Para certos problemas no cálculo, costumamos inverter este procedimento, ou seja, dado
xhy para alguma função h, determinamos uma forma funcional composta
xguufy e tal que xgfxh .
Exemplo - Expresse 528
xy sob a forma de uma função composta.
Fazendo uy
52xu
8
temos que 8uufy onde 52 xu
O método usado para resolver este exemplo pode ser aplicado a outras funções.
Em geral suponha xhy . Para escolher a expressão interior xgu em uma forma
funcional composta, faça a seguinte pergunta:
“Se estivesse usando uma calculadora que parte de xhy seria calculada primeiro?”
Isso conduz em geral a uma escolha adequada de xgu . Após escolher u, recorra a
xh para determinar uhy .
Exemplo - Observe a tabela abaixo que ilustra a escolha de algumas formas funcionais
compostas:
Função Escolha de xgu Escolha de ufy
15253 xxy 152 3 xxu 5uy
24 xy 24 xu uy
13
2
xy
13 xu
2
uy
1.5. Funções Inversas
Se f é uma função bijetora com domínio A e contradomínio B, então para cada By ,
existe um único número Ax tal que xfy . Podemos então pensar na existência de
18
uma função que a partir da imagem xfy determine o número x que a gerou, ou seja,
uma função g tal que xyg . Essa função g que faz o caminho de volta da função f, é
chamada de função inversa de f e recebe a notação 1f .
Propriedades das funções inversas
1. O domínio da função f é a imagem da função 1f e o domínio da função 1f é a
imagem de f.
2. Considerando que a função f leva o elemento a na imagem afb e que a função
inversa 1f traz a imagem de volta ao elemento a, abf 1 , então vale:
xxff 1 Para todo x em A e
xxff 1 Para todo x em B.
3. Podemos mostrar também que:
xfxf 11 e
111 fggf
4. Se o par ordenado ba, pertencer ao gráfico de f então o par ab, pertencerá ao
gráfico de 1f e isso representado no plano cartesiano nos proporcionará uma simetria dos
pontos de f e 1f em relação à reta xy .
Logo os gráficos de f e 1f são simétricos em relação à reta xy .
Diretrizes para determinar 1f .
1 – Verifique se f pode ser definida com domínio e contradomínio nos quais ela é bijetora.
2 – Resolva a equação xfy em relação à x em termos de y, obtendo uma equação da
forma yfx 1 .
19
3 – Troque y por x na função encontrada em (2) para obter a função xfy 1 que será a
função inversa de f.
4 – Verifique se valem as condições xxff 1 e xxff 1 para todo x nos
domínios de f e 1f .
Exemplo 1 - Seja 53 xxf . Para determinar a função inversa de f devemos seguir os
quatro passos dados pelas diretrizes acima:
1 - É fácil ver que o domínio e a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, logo
IRIRf : é uma função bijetora. (observe seu gráfico)
2 - Considere então a equação:
Isolando x nesta equação temos:
3
55353
yxyxxy
3 – Trocando x por y obtemos a função:
3
51 x
xf
4 – Verificando as condições para e existência da inversa:
xxx
xfxff
xxxx
fxff
3
3
3
55353
5553
5.3
3
5
11
1
Fazendo os gráficos de f e de 1f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que
de fato são simétricos em relação à reta xy .
53 xy
20
Exemplo 2 - Seja 32 xxf para 0x . Determine a função inversa de f.
Vamos seguir os quatro passos dados pelas diretrizes acima.
1 – Observando o gráfico de f vemos que se [,0[ fD e [,3[Im f então,
[,3[[,0[: f é bijetora.
2 - Considere então a equação:
Isolando x nesta equação temos:
333 22 yxyxxy
3 – Trocando x por y obtemos a função:
31 xxf
4 – Verificando as condições para e existência da inversa:
xxxxfxff
xxxxfxff
22211
21
333
33333
Fazendo os gráficos de f e de 1f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que
de fato são simétricos em relação à reta xy .
32 xy
21
1.6. Algumas Funções Básicas
Função Constante
Função constante é toda função do tipo: cy
Onde IRc é constante.
Características
Domínio – IR
Imagem –
Gráfico – O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal na altura de y = c
Função Linear
Função Linear é toda função do tipo:
baxxf
Sendo a e b constantes reais e 0a .
Características
Domínio – IR
Imagem – IR
Gráfico – O gráfico de uma função linear é uma reta e é obtido pelo deslocamento do
gráfico da função xy .
O gráfico de baxy intercepta o eixo x no ponto de abscissa a
bx
22
A constante b é chamada coeficiente linear e representa no gráfico o ponto onde a reta
intercepta o eixo-y.
A constante a é chamada de coeficiente angular e indica a inclinação ou direção da reta.
Quando 0a , o gráfico corresponde a uma função crescente e quando 0a o gráfico
corresponde a uma função decrescente.
0a 0a
Uma característica muito importante da função linear é que a variação do y é sempre a
mesma quando x varia de 1 unidade por isso o coeficiente angular a também é chamado
de Taxa de Variação da função em relação a x.
Função Quadrática
Função Quadrática é toda função do tipo:
cbxaxxf 2
Em que a, b e c são constantes reais e 0a .
Características
Domínio – IR
Imagem –
0 se ]4
,]
0 se [,4
[
aa
aa
Gráfico – O gráfico desse tipo de função é uma curva chamada parábola e é obtido através
das transformações da função 2xy .
23
A concavidade da parábola é voltada para cima se 0a e voltada para baixo se 0a .
0a 0a
O ponto V do gráfico acima é chamado Vértice da parábola e suas coordenadas são dadas
por:
vv yxV , Onde
vvv
v
xfya
y
a
bx
ou 4
2
Observe que se 0a , V é um ponto de mínimo da parábola e se 0a , V é um ponto de
máximo da parábola.
A reta vxx é chamada de eixo de simetria da Parábola.
Os eventuais pontos de interseção da parábola com o eixo x são obtidos fazendo 0y .
Isto é, resolvendo a equação 02 cbxax .
Segue dos nossos estudos anteriores que:
0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos
0 A parábola corta o eixo x em um único ponto (que é o vx )
0 A parábola não corta o eixo x
A interseção com o eixo y é obtida fazendo-se 0x .
Portanto
24
cycbayx 000 2
Logo a parábola corta o eixo y no ponto cy
Função Potência
Chamamos de Função Potência a toda função do tipo:
nxxf
Onde n é uma constante.
Características
Quando 0n , 1n ou 2n temos situações particulares já estudadas, que são as
funções constantes, lineares e quadráticas, respectivamente. Para outros valores de n, as
características de xf variam dependendo da natureza de n.
Vamos estudar alguns casos.
Caso 1 – Expoente (n) inteiro e positivo
Vejamos algumas dessas funções:
Exemplo 1 - Considere a função xxf
Domínio – IR
Imagem – IR
Simetria – Origem
Paridade – Função ímpar
Exemplo 2 - Considere a função 2xxf
Domínio – IR
Imagem - [;0[ Simetria – Eixo y
Paridade – Função par
25
Exemplo 3 - Considere a função 3xxf
Domínio – IR
Imagem – IR
Simetria – Origem
Paridade – Função ímpar
A forma geral do gráfico de nxxf depende de n ser par ou ímpar.
Se n for par nxxf será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola 2xy .
Se n for ímpar nxxf será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de 3xy .
Caso 2 – Expoente (n) Racional
A função nxxf onde n é um número racional é uma função raiz.
Vejamos os casos mais comuns:
Exemplo 1 - Considere a função xxxf 2
1
Domínio – ,0
Imagem - ,0
Observe que este gráfico é a parte superior da parábola 2yx .
Para outros valores pares de n, o gráfico de n xy é similar ao gráfico de xy .
26
Exemplo 2 - Considere a função 33
1
xxxf
Domínio – IR
Imagem – IR
Simetria – Origem
Paridade – Função ímpar
Para outros valores ímpares de n, o gráfico de n xy é similar ao gráfico de 3 xy .
Exemplo 3 - Considere a função 3 2xxf
Domínio – IR
Imagem - [,0[ Simetria – Eixo y
Paridade – Função par
Caso 3 – Expoente (n) Inteiro Negativo
Se n é um inteiro positivo então n
n
xxxf
1 .
Vejamos algumas dessas funções:
Exemplo 1 - Considere a função x
xxf11 Seu gráfico é chamado de Hipérbole e
tem as seguintes características:
27
Domínio – 0IR
Imagem – 0IR
Simetria – Origem
Paridade – Função ímpar
Se n ímpar o gráfico de nx
xf1
se assemelha ao gráfico de x
xf1
.
Exemplo 2 - Considere a função 2
2 1
xxxf .
Domínio – 0IR
Imagem – [,0]
Simetria – Eixo y
Paridade – Função par
Se n par o gráfico de nx
xf1
se assemelha ao gráfico de 2
1
xxf .
1.7. Funções Definidas Por Partes e Funções Modulares
Funções Definidas por partes
Funções definidas por partes são funções definidas por fórmulas diversas em diferentes
partes do seu domínio.
Exemplo 1 - Esboce o gráfico da função f definida por
1 se1
1 se 1
xx
xxxf
Como fazer o gráfico de f?
Observe que a parte do gráfico de f à esquerda da reta vertical 1x deve coincidir com a
reta xy 1 , enquanto que a parte do gráfico de f à direita da reta vertical 1x deve
coincidir com a reta 1 xy . Neste caso, precisamos de apenas dois pontos de cada lado
da reta 1x para esboçar seu gráfico.
Considere então as tabelas:
28
1x
1x
x y = 1 - x x y = x - 1
0 1 1 0
1 0 2 1
Logo:
Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função definida por
2 se3
2 se 12
x
xxxf
Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior podemos construir as seguintes tabelas:
2x
2x
x y = 2x + 1 x y = 3
-3 -5 -2 3
-2 -3 1 3
Assim:
Exemplo 3 - Esboce o gráfico da função definida por
1 se 7
11 se 6
1 se 12
xx
x
xx
xf
Neste caso precisamos construir três tabelas, pois a função tem três leis de formação.
29
1x 11 x 1x
x y = x2 + 1 x y = 6 x y = 7 - x
-2 5 -1 6 1 6
-1 2 1 6 2 5
Assim:
Funções Modulares
Dado um número real x, sempre existe x e seu valor é único. Podemos então, definir uma
função RRf : tal que xxf chamada de Função Modular.
Usando a definição de x temos que:
0 se
0se
xx
xxxf
Observe que a função modular é uma função definida por partes.
Graficamente temos:
Exemplo 1 - Esboce o gráfico da função 3 xxf :
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
30
3x 3x
x y = - x + 3 x y = x - 3
2 1 3 0
3 0 4 1
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos:
Observe que este é o gráfico de xy deslocado de 3 unidades para a direita.
Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função 1 xxf :
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
0x 0x
x y = - x + 1 x y = x + 1
0 1 1 2
-1 2 0 1
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos:
Observe que este é o gráfico de xy deslocado de 1 unidades para cima.
31
Exemplo 3 - Esboce o gráfico de xxf
Temos que
0 se
0 sex
xx
xxf
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
0x 0x
x y = x x y = - x
0 0 1 -1
-1 -1 0 0
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos:
Observe que este gráfico é a reflexão do gráfico de xy em relação ao eixo x.
Exemplo 4 - Dada a função 32 xxf . Escreva xf como uma função definida
por partes e esboce seu gráfico.
Temos que:
02 se2
02se22
xx
xxx
Isto é,
2 xse 2
2 xse 22
x
xx
Subtraindo 3 a cada uma das expressões temos:
2 se5
2se1
xx
xxxf
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
32
2x 2x
x y = - x - 5 x y = x - 1
-5 0 -2 -3
-2 -3 1 0
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos:
Observe que este é o gráfico de xy deslocado de 2 unidades para a esquerda e de 3
unidades para baixo.
Exemplo 5 - Esboce o gráfico da função xxf 3 :
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
0x 0x
x y = - 3x x y = 3x
0 0 1 3
-1 3 0 0
Marcando esses pontos no plano cartesiano podemos observar que o gráfico de xxf 3
é o gráfico de xy esticado verticalmente de 3 unidades:
33
Exemplo 6 - Esboce o gráfico da função 22 xxf .
O gráfico de xfy deve ser feito a partir do gráfico de 22 xy refletindo a parte
negativa deste último em relação ao eixo x.
Observe o gráfico de 22 xy .
Assim podemos escrever xf como uma função definida por partes:
2 se 2
2 se 2
2
2
xx
xxxf
Dessa forma seu gráfico é dado por:
Exemplo 7 - Esboce o gráfico da função x
xxf :
Temos que:
0 se
0se
xx
xxx
Dividindo por x temos que:
0 se
0 se
xx
x
xx
x
x
x
Assim,
34
0 se 1
0 se 1
x
xxf
Portanto o gráfico de f(x) é uma reta horizontal na altura do 1 se 0x e uma reta
horizontal na altura do – 1 se 0x .
Exemplo 8 - Esboce o gráfico da função 12 xxxf :
Temos que:
2 se 2
2 se 2-2
xx
xxx e
1 se 1
1 se 11
xx
xxx
Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual
escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus
domínios.
1x 21 x 2x
2x 2 x 2 x 2x
1x 1 x 1x 1x
12 xx 12 x 3 12 x
Assim,
-1 xse 12
21- se 3
2 se 1-x2
x
x
x
xf
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
1x 21 x 2x
x y = - 2x + 1 x y = 3 x y = 2x - 1
-2 5 -1 3 2 3
-1 3 2 3 3 5
35
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que:
Exemplo 9 - Esboce o gráfico da função 13 xxxf :
Temos que:
3 se 3
3 se 33
xx
xxx e
1 se 1
1 se 11
xx
xxx
Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual
escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus
domínios.
3x 13 x 1x
3x 3 x 3x 3x
1x 1 x 1 x 1x
13 xx 4 22 x 4
Assim,
-3 xse 4
13- se 2x2
1 se 4
x
x
xf
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:
3x 13 x 1x
x y = - 4 x y = 2x + 2 x y = 4
-4 - 4 -3 - 4 1 4
-3 - 4 1 4 2 4
36
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que:
1.8. Função Exponencial
A Função Exponencial de Base a
Dado um número real a tal que 1 e 0 aa denomina-se função exponencial de base a à
função *: RRf definida por:
xaxf
As restrições 1 e 0 aa dadas na definição são necessárias, pois:
Para 0a e x negativo, não existe xa ;
Para 0a e 2/1x , por exemplo, não é possível calcular xa ;
Para 1a , 1xa para qualquer que seja o valor de x;
Gráfico de xay
O padrão gráfico da função exponencial xay depende fundamentalmente da base a ser
maior ou menor do que 1.
Para 1a temos:
Para 10 a temos:
37
Características de xay
Em ambos os gráficos quando x cresce uma unidade, o valor da função é multiplicado
pela base a. Este padrão generaliza todas as funções exponenciais e acarreta na fórmula
recursiva:
xafxf 1
Domínio: RD
Imagem: ,0Im
O gráfico de xay é uma figura chamada de Curva Exponencial
O gráfico de xay corta o eixo y no ponto 1,0 .
O gráfico de xay não toca o eixo x.
Para 1a , a função é crescente e chamada de Função de Crescimento Exponencial. A
base a, neste caso, é o seu fator de crescimento.
Para 10 a , a função é decrescente e chamada de Função de Decrescimento
Exponencial. A base a, neste caso, é o seu fator de decrescimento.
O gráfico de
x
ay
1é a reflexão do gráfico de xay em relação ao eixo y.
Exemplo 1 - Os gráficos das funções xxf 2)( e xxg 3)( são:
xy 2 xy 3
38
Exemplo 2 - Os gráficos das funções
x
xf
2
1)( e
x
xg
3
1)( são:
A Função Exponencial de Base e
Uma função exponencial muito importante na Matemática é aquela cuja base é o número e,
conhecido como a Constante de Euler. Esta função é xexf .
Nós já vimos que para qualquer valor de a, xaxf passa pelo ponto (0,1), entretanto,
cada uma delas passa por esse ponto com uma inclinação diferente. A escolha da base a
influencia na forma com que o gráfico corta o eixo y.
O número e é um número irracional definido como a base da função exponencial cuja
inclinação no ponto (0.1) é 1.
Observe seu gráfico:
Podemos provar que:
....7182818284,2e
1.9. A Função Logarítmica
O Logaritmo de um número
Dados dois números positivos a e b com 1a , definimos o logaritmo de b na base a como
sendo o número c tal que bac .
Isto é:
bacb c
a log
x
y
2
1
x
y
3
1
39
Exemplo: Temos que:
1) 813 pois 481log 4
3
2) 322
1 pois 532log
5
2
1
3) 55 pois 25log2
5
4) 18 pois 01log 0
8
5) 162 pois 416log 4
2
6) 10010 pois 2100log 2
10
Observações
1) Quando a base for 10, temos os chamados logaritmos decimais e neste caso,
omitimos a base na notação de logaritmos:
xx loglog10
2) Quando a base for o número e, temos os logaritmos naturais ou Neperianos e
neste caso, escrevemos:
xxe lnlog
Propriedades dos Logaritmos
Propriedades Básicas Propriedades Operatórias
1) 01log a P1) NMNM aaa loglog.log
2) 1log aa P2) NMNM aaa loglog/log
3) ya y
a log P3) MbM a
b
a loglog
4) xaxa
log P4)
a
MM
b
b
alog
loglog
Função Logarítmica
Dado um número positivo a com 1a , a função logarítmica de base a é a função
IRIRf
*: definida por:
xxf alog
40
Gráfico de y = loga x
O padrão gráfico da função exponencial xy alog depende fundamentalmente da base
a ser maior ou menor do que 1.
Para 1a temos:
Para 10 a temos:
Características do Gráfico de y = loga x
Domínio: ,0D
Imagem: IRIm
O gráfico de xy alog corta o eixo x no ponto 0,1 .
O gráfico de xy alog não toca o eixo y.
O eixo y 0x é uma Assíntota Vertical do gráfico de xy alog .
Para 1a , a função é crescente.
Para 10 a , a função é decrescente.
O gráfico de xy alog é a reflexão do gráfico de xay em relação à reta xy .
41
Exemplo 1 - Os gráficos das funções xxf 2log)( e xxg 3log)( são:
x xf
1/2 -1
1 0
2 1
x xg
1/3 -1
1 0
3 1
Exemplo 2 - Os gráficos das funções xxf2
1log)( e xxg3
1log)( são:
x xf
1/2 1
1 0
2 -1
x xg
1/3 1
1 0
3 -1
1.10. Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas
O Ciclo Trigonométrico
Ciclo Trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica é a circunferência orientada que
possui as seguintes características:
i) Raio igual a 1;
ii) Centro na origem dos eixos coordenados x e y;
iii) O ponto 0.1A como a origem dos arcos orientados.
Os eixos coordenados dividem o círculo trigonométrico em quatro arcos congruentes,
chamados de quadrantes.
xf
xg
xf
xg
42
Observe a tabela a seguir que relaciona ângulos e quadrantes:
Variação dos
Arcos º900 º180º90 º270º180 º360º270
Quadrante
Correspondente 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
São definidas no ciclo trigonométrico seis funções circulares básicas: seno, cosseno,
tangente, cotangente, secante e cossecante.
Vamos conhecer cada uma dessas funções.
Função Seno, Função Cosseno e Suas Inversas
Considere no ciclo trigonométrico um ponto yxP , gerado pelo arco que mede rad .
Definimos:
ysen
cos
x
Podemos mostrar que:
1cossen 22
De fato, do ciclo trigonométrico extraímos o seguinte triângulo:
Aplicando Pitágoras obtemos:
1cossen 22
Exemplo 1 - Seja um ângulo do 1º quadrante cujo cosseno vale 4
3. Determine o valor de
sen .
Usando a relação acima temos que:
43
4
7
16
7
16
911
4
3sen 2
2
2
sensen
Mas sendo um ângulo do 1º quadrante, temos que sen é positivo.
Logo,
4
7sen .
Exemplo 2 – Calcule xcos , sabendo que 5cos43 xxsen e 2
0
x .
Devemos resolver o seguinte sistema de equações:
1cos
5cos43
22 xxsen
xxsen
Isolando xsen na primeira equação temos:
3
cos5 xxsen
Substituindo na segunda equação:
016cos40cos251cos
3
cos5 22
2
xxx
x
Fazendo xy cos temos a equação 0164025 2 yy
Resolvendo esta equação quadrática obtemos 5
4y .
Assim,
5
4cos x .
Veremos a seguir os valores do seno e do cosseno de alguns arcos notáveis:
44
Características da Função Seno
Segue diretamente da definição de sen que a função ttf sen tem as seguintes
características:
Domínio: IR
Imagem: 1,1
Período: tsen2tsen pois 2
ímpar função uma é seno função a tsensen t
Sinal, Crescimento e Decrescimento:
Observando os valores do seno dos arcos representados na figura acima vemos que:
ttf sen é positiva no 1º e 2º quadrantes
ttf sen é negativa no 3º e 4º quadrantes
ttf sen é crescente no 1º e 4º quadrantes
ttf sen é decrescente no 2º e 3º quadrantes
Gráfico:
x xsen
0 0
2/ 1
0
2/3 -1
2 0
Características da Função Cosseno
Segue diretamente da definição de cos que a função ttf cos tem as seguintes
características:
Domínio: IR
Imagem: 1,1
Período: tcos2tos pois 2 c
par função uma é cosseno função a tcostcos
Sinal, Crescimento e Decrescimento:
45
ttf cos é positiva no 1º e 4º
quadrantes
ttf cos é negativa no 2º e 3º
quadrantes
ttf cos é crescente no 3º e 4º
quadrantes
ttf cos é decrescente no 1º e 2º
quadrantes
Gráfico:
x xcos
0 1
2/ 0
-1
2/3 0
2 1
Função Arco Seno
Sabemos que a função seno em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função
,xseny restrita ao intervalo 22
x é bijetora e portanto é invertível neste
intervalo.
Observe seu gráfico:
Definimos a função arco seno por:
xy ysenxarcsen e 22
y .
46
Exemplo 1 – Encontre exatamente o valor de:
a) 2
3
6cos
2
1arcsencos
b) 2
1arcsen,2
senarcsen
c) 32
3arcsen,
4tan
2
3arcsen
Características da Função Arco Seno
Domínio: 1,1
Imagem:
2,
2
ímpar função uma é seno arco função a arcsenarcsen xx
A Função Arco Seno é sempre crescente
Sinal:
10 se 0arcsen
01 se 0arcsen
xx
xx
Gráfico:
Função Arco Cosseno
Sabemos que a função cosseno em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função
,xcosy restrita ao intervalo x0 é bijetora e portanto é invertível neste
intervalo.
Observe seu gráfico:
47
Definimos a função arco cosseno por:
xy ycosxcosarc e y0 .
Exemplo 1 – Encontre exatamente o valor de:
d) 2
1
3
2cos
2
1cosarccos
e) 3
2
2
1cosarc,
3
2coscosarc
f) 00tan,1cosarctan
Características da Função Arco Cosseno
Domínio: 1,1
Imagem: ,0
Se 0x então, 2
cosarcarcsen
xx
A Função Arco Cosseno é sempre decrescente e sempre positiva
Gráfico:
48
Função Tangente
Considere no ciclo trigonométrico um ponto yxP , gerado pelo arco que mede rad e a
reta vertical t que passa pelo ponto 0,1A .
Prolongando a semirreta OP encontraremos o ponto ',' yxQ intersecção de OP com a
reta t.
Definimos 'tan y
Vejamos a seguir alguns valores da tangente de alguns arcos notáveis:
Podemos mostrar que:
cos
tansen
49
De fato,
Da definição de tangente no ciclo trigonométrico extraímos os triângulos OAQ e OHP.
Usando semelhança de triângulos temos que:
costan
cos1
tan
sen
sen
OH
PH
OA
QA
Características da função Tangente
Segue diretamente da definição de tan que a função ttf tan tem as seguintes
características:
Domínio
A função tangente está definida nos pontos em que a função cosseno não se anula.
Portanto,
ZkktIRtD onde 2
/
Imagem: IR
Período: ttantan pois t
impar função uma é tangentefunção a ttanttan
Sinal, Crescimento e Decrescimento:
ttf tan é positiva no 1º e 3º
quadrantes
ttf tan é negativa no 2º e 4º
quadrantes
ttf tan é sempre crescente.
50
Gráfico:
x xtan
0 0
2/
0
2/3
2 0
Observe que as retas do tipo Zkkx com 2
são Assíntotas Verticais do gráfico de
xy tan .
Função Arco Tangente
Sabemos que a função tangente em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função
,xtany restrita ao intervalo 22
y é bijetora e portanto é invertível neste
intervalo.
Definimos a função arco tangente por:
xy ytanxtanarc e 22
y .
Características da Função Arco Tangente
Domínio: IR
Imagem:
2,
2
ímpar função uma é tangentearco função a tanarctanarc xx
A Função Arco Tangente é sempre crescente
Sinal:
0 se 0arcsen2
0 xse 02
tanarc0
xx
x
Gráfico:
51
Função Cotangente
Considere no ciclo trigonométrico um ponto yxP , gerado pelo arco que mede rad e a
reta horizontal t que passa pelo ponto 1,0B .
Prolongando a semirreta OP encontraremos o ponto ',' yxQ intersecção de OP com a
reta t.
Definimos 'cot x
Podemos mostrar que:
sen
coscot
De fato,
Da definição da função cotangente no ciclo trigonométrico extraímos os triângulos OBQ e
OHP:
Usando semelhança de triângulos temos que:
sensenPH
OH
OB
QB coscot
cos
1
cot
Podemos escrever ainda
tan
1cot
De fato,
Sabemos que
cos
tansen
.
Assim,
cot
cos
cos
1
tan
1
sensen
52
Característica da Função Cotangente
Usando a identidade
tan
1cot , podemos concluir que a função ttf cot tem as
seguintes características:
Domínio
A função cotangente está definida nos pontos em que a função seno não se anula.
Portanto,
ZkktIRtD onde /
Imagem: IR
Período: tcottot pois c
impar função uma é cotangente função a tcottcot
Sinal, Crescimento e Decrescimento:
ttf cot é positiva no 1º e 3º
quadrantes
ttf cot é negativa no 2º e 4º
quadrantes
Além disso, ttf cot é sempre
decrescente.
Gráfico:
x xcot
0
2/ 0
2/3 0
2
Observe que as retas do tipo Zkkx com são Assíntotas Verticais do gráfico de
xy cot .
Função Arco Cotangente
Sabemos que a função cotangente em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função
,xcoty restrita ao intervalo x0 é bijetora e portanto é invertível neste intervalo.
53
Definimos a função arco cotangente por:
xy ycotxcotarc e y0 .
Características da Função Arco Cotangente
Domínio: IR
Imagem: ,0
xx tanarc2
cotarc
A Função Arco Cotangente é sempre decrescente e sempre positiva
Gráfico:
Função Secante e Função Cossecante
Considere no ciclo trigonométrico um ponto yxP , gerado pelo arco que mede rad e a
reta t que é tangente ao círculo trigonométrico no ponto P.
Sejam os pontos 0,mxM e nyN ,0 intersecção da reta t com os eixos x e y
respectivamente.
Definimos:
mxsec
nycsc
Podemos mostrar que:
cos
1sec e
sen
1csc
De fato,
Da definição de secante e cossecante no circulo trigonométrico extraímos os triângulos
OPM, OPN e OHP:
54
Usando a relação de semelhança entre os triângulos OPM e OHP temos:
cos
1sec
cos
1
1
sec
OH
OP
OP
OM
Usando a relação de semelhança entre os triângulos OPN e OHP temos:
sensenPH
OP
OP
ON 1csc
1
1
csc
Características da Função Secante
Usando a identidade
cos
1sec , podemos concluir que a função ttf sec tem as
seguintes características:
Domínio
A função secante não está definida nos pontos onde o cosseno se anula. Portanto:
ZkktIRtD onde 2
/
Imagem: ,11,
Período: tsec2tec pois 2 s
par função uma é secante função a tsectsec
Sinal, Crescimento e Decrescimento:
ttf sec é positiva no 1º e 4º
quadrantes
ttf sec é negativa no 2º e 3º
quadrantes
ttf sec é crescente no 1º e 2º
quadrantes
ttf sec é decrescente no 3º e 4º
quadrantes
55
Gráfico:
x xsec
0 1
2/
-1
2/3
2 1
Observe que as retas do tipo Zkkx com 2
são Assíntotas Verticais do gráfico de
xy sec .
Características da Função Cossecante
Usando a identidade
sen
1csc , podemos concluir que a função ttf csc tem as
seguintes características:
Domínio
A função cossecante não está definida nos pontos onde o seno se anula. Portanto:
ZkktIRtD onde /
Imagem: ,11,
Período: tcsc2teccsc pois 2 s
impar função uma é cossecante função a tcsctcsc
Sinal, Crescimento e Decrescimento:
ttf csc é positiva no 1º e 2º
quadrantes
ttf csc é negativa no 3º e 4º
quadrantes
ttf csc é decrescente no 1º e 4º
quadrantes
ttf csc é crescente no 2º e 3º
quadrantes
56
Gráfico:
x xcsc
0
2/ 1
2/3 -1
2
Observe que as retas do tipo Zkkx com são Assíntotas Verticais do gráfico de
xy csc .
Função Arco Secante
Sabemos que a função secante em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função
,xsecy restrita ao intervalo x0 com 2
x é bijetora e portanto é invertível
neste intervalo.
Definimos a função arco secante por:
xy ysecxsecarc com y0 e 2
y
Características da Função Arco Secante
Domínio: ,11,
Imagem:
2
,0
xx
1cosarcsecarc
A Função Arco secante é sempre crescente e positiva em seu domínio.
Gráfico:
57
Função Arco Cossecante
Sabemos que a função cossecante em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função
,xcscy restrita ao intervalo 22
x com 0x é bijetora e portanto é invertível
neste intervalo.
Definimos a função arco cossecante por:
xy ycscxcscarc com 22
y e 0y
Características da Função Arco Cossecante
Domínio: ,11,
Imagem: 02
,2
xx
1senarccscarc
xx secarc2
arccsc
A Função Arco cossecante é sempre decrescente
Sinal:
1 se 0cscarc2
1 xse 02
cscarc0
xx
x
Gráfico:
1.11. Transformações das funções trigonométricas
As regras para deslocamento, ampliação, redução e reflexão do gráfico de uma função
também se ampliam às funções trigonométricas.
Seja f uma função trigonométrica, podemos a partir do gráfico de f construir o gráfico de:
58
dcxbafy ))((
Onde,
a Promove uma ampliação ou redução vertical e/ou uma reflexão em relação ao eixo x.
b Promove uma ampliação ou redução horizontal e/ou uma reflexão em torno do eixo y.
c Promove um deslocamento horizontal;
d Promove um deslocamento vertical.
Exemplos: Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período de:
1) xy cos1
O gráfico desta função é o gráfico xy cos deslocado uma unidade para cima.
x xcos xcos1
0 1 2
2/ 0 1
-1 0
2/3 0 1
2 1 2
Domínio: IR
Imagem: 2,0
Período: 2
2) xseny 2
O gráfico desta função é o gráfico xseny ampliado verticalmente de 2 unidades e
refletido em relação ao eixo x.
59
x xsen xsen2
0 1 2
2/ 0 1
-1 0
2/3 0 1
2 1 2
Domínio: IR
Imagem: 2,2
Período: 2
3)
2cos
xy
O gráfico desta função é o gráfico xy cos ampliado horizontalmente de 2 unidades.
x
2
x
2cos
x
0 0 1
2/ 0
2 -1
3 2/3 0
4 2 1
Domínio: IR
Imagem: 1,1
O período, neste caso, foi alterado.
Sabendo que o período do xcos é
2p , fazemos:
422
xx
Logo, o período da nova função é
4p .
60
4)
2tan
xy
O gráfico desta função é o gráfico xy tan deslocado horizontalmente de 2
x unidades
para a esquerda.
x 2
xx
2tan
x
2/ 0 0
0 2/
2/ 0
2/3
2/3 2 0
Domínio:
ZkkxIRxD onde /
Imagem: IR
Período: .
Assíntotas Verticais: Zkkx onde
61
5)
221
xseny
x
2
x
2
xsen
22
xsen
221
xsen
2/ 0 0 0 1
2/ 1 2 -1
2/3 0 0 1
2 2/3 -1 -2 3
2/5 2 0 0 1
Domínio: IR
Imagem: 3,1
Período: 2
1.12. Identidades Trigonométricas
Além das identidades trigonométricas básicas já relacionadas, também são válidas, dentre
outras, as seguintes identidades:
1) 22 sec1tan
2) 22 csc1cot
3) bababa sensencoscoscos
4) bababa sensencoscoscos
5) abbaba cossencossensen
6) abbaba cossencossensen
7) aaa cossen22sen
8) aaa 22 sencos2cos
9) aasen 2cos12
12
10) aa 2cos12
1cos2
62
Exemplo 1 – Sabendo que 12
5tan x e que x é um arco do segundo quadrante, calcule o
valor de xcos .
Vamos utilizar as relações 22 sec1tan e
cos
1sec .
Então temos que:
1
144
25
cos
1
cos
11
12
522
2
Daí,
13
12cos
144
169
cos
12
x
Como x é um arco do segundo quadrante, então 13
12cos x .
Exemplo 2 – Calcule o valor de º75sen .
Podemos escrever º45º30º75 sensen
Assim
4
62º75
2
3.
2
2
2
2.
2
1º75
º30cosº45º45cosº30º45º30º75
sen
sen
sensensensen
Exemplo 3 – Sendo a um ângulo do 1º quadrante e b do 2º quadrante, 5
4cos a e
13
5bsen , calcule ba cos .
Como a está no 1º quadrante, 5
3
25
161 asen .
Como b está no 2º quadrante, 13
12
169
251cos b .
Portanto,
65
33
13
5.
5
3
13
12.
5
4cos
ba
63
Exemplo 4 – Prove que aasen cos2
aasen
aasenasen
senaasenasen
cos2
1.cos0.2
2cos
2cos
2
Demonstração das identidades trigonométricas
1) 22 sec1tan
Sabemos que 1cos22 sen
Dividindo esta igualdade por 2cos temos:
22
22
2
2
2
sec1tancos
1
cos
cos
cos
sen
2) 22 csc1cot
Sabemos que 1cos22 sen
Dividindo por 2sen temos:
22
22
2
2
2
csc1cot1cos
sensensen
sen
3) bsenasenbaba coscoscos
Sejam a e b arcos do ciclo trigonométrico conforme figura abaixo:
Temos que:
asenaP
basenbaRA
bsenbO
,cos
,cos 0,1
,cosQ 0.0
64
Os triângulos OPQ e OAR são semelhantes, logo, RAdQPd ,. .
Mas,
22
22
01cos,
e coscos.
basenbaRAd
asenbsenabQPd
Assim,
babsenasenba
basenbaasenbsenab
basenbaasenbsenab
cos222coscos22
01coscoscos
01coscoscos
2222
2222
Portanto,
bsenasenbaba coscoscos
4) bababa sensencoscoscos
bsenasenbababa coscoscoscos
Mas, bsenbb b-sen e coscos
Logo,
bsenasenbaba coscoscos
5) abbaba cossencossensen
É fácil ver que asena
2cos
e aasen cos
2
.
Portanto,
bsenabasenba
bsenasenbaba
bababa
coscossen
2cos
2cossen
2cos
2cossen
6) abbaba cossencossensen
bsenababasenba coscossensen
Mas, bsenbb b-sen e coscos
Logo,
bsenababa coscossensen
7) aaa cossen22sen
Fazendo ba na igualdade (6) temos:
65
aasenasen
aasenaaaasena
cos22
coscossen2sen
8) aaa 22 sencos2cos
Fazendo ba na igualdade (4) temos:
asenaasen
asenasenaaaaa
22cos2
coscoscos2cos
9) aasen 2cos12
12
Fazendo asena 22 1cos na igualdade (8) temos:
aasen
aasen
asenasenasena
2cos12
1
2cos12
2112cos
2
2
222
10) aa 2cos12
1cos2
Fazendo aasen 22 cos1 na igualdade (8) temos:
aa
aa
aaaa
2cos12
1cos
2cos1cos2
1cos2cos1cos2cos
2
2
222