Apostila Calculo Numerico-UFU

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Universidade Federal de Uberl ˆ andia Faculdade de Matem ´ atica C ´ alculo Num ´ erico Prof. Jos ´ e Eduardo Castilho Marc ¸o de 2001

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UniversidadeFederaldeUberlandiaFaculdadedeMatematicaCalculoNumericoProf. JoseEduardoCastilhoMarcode2001Conte udo1 Introducao 11.1 OMatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 CalculonaJaneladeComandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 M-arquivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 ZerosdeFunc oes 112.1 IsolamentodasRazes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Renamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 MetododaBissecc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 EstudodaConvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 EstimativadoN umerodeIterac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 MetodoIterativoLinear(M.I.L.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1 CriteriodeParada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 MetododeNewton-Raphson(M.N.R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 OrdemdeConvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 ObservacoesFinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 SistemasLineares 273.1 MetodosDiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.1 SistemaTriangularSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2 MetododeEliminacaodeGauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3 PivotamentoParcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.4 CalculodaMatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 MetodosIterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1 CriteriodeConvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 MetodoIterativodeGauss-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 CriteriodasLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.4 MetodoIterativodeGauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.5 CriteriodeSassenfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 ObservacoesFinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46iCONTEUDO ii3.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 AjustedeCurvas: MetododosMnimosQuadrados 494.1 MetododosMnimosQuadrados-CasoDiscreto. . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 MetododosMnimosQuadrados-CasoContnuo . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 AjusteNaoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 ObservacoesFinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 InterpolacaoPolinomial 605.1 FormadeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 FormadeNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.1 Construc aodoPolin omio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 EstudodoErro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 EscolhadosPontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5 Interpolac aoInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.6 ObservacoesFinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 IntegracaoNumerica-FormulasdeNewtonCotes 726.1 RegradoTrapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 CalculodoErro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 RegradoTrapezioRepetida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 RegradeSimpson1/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.5 RegradeSimpsonRepetida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6 ObservacoesFinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 Equac oesDiferenciaisOrdinarias(P.V.I.) 817.1 MetodoEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 MetodosdaSeriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.3 MetodosdeRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4 MetodosdeAdans-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4.1 MetodosExplcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4.2 MetodosImplcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.5 Equac oesdeOrdemSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Captulo1IntroducaoOCalculoNumericotemporobjetivoestudaresquemasnumericos(algoritmosnumericos)pararesolucaodeproblemasquepodemserrepresentadosporummodelomatematico. Umesquemaeecientequandoesteapresentasoluc oesdentrodeumaprecisaodesejadacomcustocomputacional (tempodeexecuc ao+memoria)baixo. Osesquemasnumericosnosfornecemaproximac oesparaoqueseriaasoluc aoexatadoproblema. Oserroscometidosnestaaproximacaosaodecorrentesdadiscretizac aodoproblema,ousejapassardomodelomatematicoparaoesquemanumerico,edaformacomoasmaquinasrepresentamosdadosnumericos.Como exemplo de discretizac ao consideremos que desejamos calcular uma aproximac aoparaaderivadadeumafunc aof(x)numponto x. Omodelomatematico edadoporf

( x) =limh0f( x + h) f( x)hUmesquemanumerico paraaproximaraderivada e dadoportomarhpequenoecalcularf

( x) f( x + h) f( x)hNestecasoquantomenorforovalordehmaisprecisoseraoresultado,masemgeral,esteesquemanaoforneceraasoluc aoexata.Arepresenta caoden umerosemmaquinasdigitais(calculadoras,computadores,etc)efeitanaformadepontoutuantecomumn umeronitodedgito. Logoosn umerosquetemrepresentac aoinnita(Ex. 1/3, ,2)saorepresentadosdeformatruncada. Comistoalgumas das propriedades da aritmetica real nao valem na aritmetica computacional. Comoexemplo,naaritmeticacomputacionaltemosnk=0akN =1Nnk=0ak,ondeestamosconsiderandoquenoprimeirosomatorioparacadakfazemosak/Nedepoissomamos e no segundo somatorio somamos todos os ake o resultado da soma dividimos por1CAPITULO1. INTRODUC AO 2N. Dopontodevistaanaltico, asduasexpressoessaoequivalentes, masasegundaformaapresentamelhorresultadodopontodevistacomputacional, poisrealizamenosoperacoese comete menos errode truncamento. Outroexemplointeressantee que emaritmeticacomputacional epossvelqueparaumdadoAexistaum = 0talqueA + = A.Analiticamenteaexpressaoacima everdadeiraseesomentese = 0.Outrofator quepodeinuenciar noresultadoeotipodemaquinaemqueestamostrabalhando. Numacalculadorasimplesquerepresenteosn umeroscom7dgitoteramos1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.9999999Enquantoquecalculadoras mais avancadas teramos comorespostaumfalso1, pois narealidade,internamenteestascalculadorastrabalhamcommaisdgitodoque eapresentadonovisoreantesdoresultadoserapresentadoeste earredondado.Osesquemasnumericossaoclassicadoscomoesquemasdiretoseesquemasiterativos.Osesquemasdiretossaoaquelesquefornecemasolucaoaposumn umeronitodepassos.Por exemplo o esquema que apresentamos para o calculo da derivada. Os esquemas iterativossaoaquelesquerepetemumn umerodepassosatequeumcriteriodeparadasejasatisfeito.Como exemplo considere o algoritmo que e usado para determinar a precisao de uma maquinadigitalAlgoritmo: EpsilondaMaquinaEp 1Enquanto(1 + Ep) > 1,faca:Ep Ep/2menquantoOutPut: 2EpOcriteriodeparadae(1 + Ep) 1ecadaexecuc aodolacoEnquanto echamadodeiteracao. Maquinasdiferentesapresentar aoresultadosdiferentes.Umoutrofator que pode inuenciar nos resultados e alinguagemde programac aousadanaimplementac aodosalgoritmos(Pascal, Fortran, C++, MatLab, etc). Diferenteslinguagenspodemapresentardiferentesresultados. Emesmoquandousamosumamesmalinguagem, mascompiladoresdiferentes(Ex. C++daBorlandeC++daMicrosoft), osresultados podem apresentar diferencas. Existem varias bibliotecas de rotinas numericas emdiversaslinguagensealgumasdisponveisnaInternet. UmexemploeaLIMPACK: umacolecaoderotinasemFortranparasolucaodesistemaslineares.Para exemplicar os esquemas numericos, que estudaremos nos proximos captulo, usa-remos oMatLabpelasuafacilidade de programacao. Todoomaterial destaapostilaebaseadonasreferencias: [?]e[?].CAPITULO1. INTRODUC AO 31.1 OMatLabOMatLabsurgiunosanos1970comoumLaboratoriodeMatrizesparaauxiliaroscursosdeTeoriaMatricial,AlgebraLinear eAnaliseNumerica. Hoje, acapacidadedoMatLabseestendemuitoalemdamanipulac aodematrizes. Eleetantoumambientequantoumalinguagemdeprogramac ao, eumdeseusaspectosmaispoderososequeosproblemaseassolucoessaoexpressosnumalinguagemmatematicabemfamiliar. Devidoasuacapacidadedefazercalculos,visualizacaogracaeprogramac ao,numambientedefaciluso,oMatLabtorna-se uma ferramenta eciente para a compreensao tanto de topicos fundamentais quantoavancados a uma gama de disciplinas. Nosso objetivo e dar uma rapida visao dos comandosefuncoes basicas doMatLabparaexemplicar os topicos docursodeCalculoNumerico.Maioresdetalhespodemserobtidosem??.Apesar das ultimas versoes do MatLab ter expandido sua capacidade, o elemento basicodosdadosaindaeumvetor,oqualnaorequerdeclaracaodedimensaooutipodevariavel.OMatLabeumsistemainterativo, ondeoscomandospodemserexecutadosnajaneladecomandos ou por programas. Estes programas sao conhecidos como m-arquivos ( ou arquivoscom extensao .m) e serao discutidos posteriormente. Em primeiro lugar vamos discutir algunscomandosbasicosqueserao utilparaamanipulacaodedadosnajaneladecomandosenosm-arquivos.1.1.1 CalculonaJaneladeComandosUmcalculosimplespodeserexecutadonajaneladecomandosdigitandoasinstruc oesnopromptcomovocefarianumacalculadora. PorexemploEDU>> 3*4 +5ans =17oresultado emostradonatelacomoans(abreviaturadeanswer). Ossmbolosdosope-radores aritmeticos sao dados na Tabela 1.1. As expressoes sao calculadas da esquerda paraadireita,comapotenciac aotendoamaiorprecedencia,seguidodamultiplicac aoedivisao(mesmaprecedencia)epelaadicaoesubtrac ao(tambemcommesmaprecedencia).AsVariaveisAformadearmazenaroresultadoparausoposterior epelousodevariaveis.EDU>> s=3+4+7+12s =26CAPITULO1. INTRODUC AO 4Tabela1.1: OperadoresAritmeticosOperac ao SmboloAdic ao a + bMultiplicacao a bSubtracao a bDivisao a/boub`aPotencia cao abOnomedavari avel podeconsistirdenomaximo31caracteres, iniciandosempreporumcaracter alfa seguido de qualquer combina cao de caracteres do tipo alfa , numerico e unders-cores. Ex. resultado_da_soma_2. Aocontr ariodeoutraslinguagens, oMatLabdiferenciaasvari aveisqueusamletrasmin usculasemai usculas. Istoeasvari aveisContas, contas,conTaseCoNtAs, saoconsideradascomoquatrovariaveisdiferentes. Todasasvariaveissao armazenadas internamente e podem ser usadas a qualquer momento. Para saber quais asvariaveisqueestaoativasutilizamosocomandowho. Paraeliminaravariavelconta,usa-mos o comandoclearconta. Asvariaveis sao tratadas como matrizes,apesar dos escalaresnaoseremapresentadosnanotacaomatricial. UmvetorlinhapodeserdenidocomoEDU>> x=[1 2 3 4]x =1 2 3 4Tambempodemossepararoselementosporvrgula. JaumvetorcolunapodeserdenidodaseguinteformaEDU>> y=[5; 6; 7; 8]y =5678Umexemplodeumamatriz3 4.EDU>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]a =1 2 3 45 6 7 89 10 11 12CAPITULO1. INTRODUC AO 5Os elementos na i-esima linha e na j-esima coluna, denotados por aijpodem ser obtidos pelocomandoa(i,j),porexemploa(2,3)=7. NotequeoselementosnoMatLabsaoindexadosiniciandoem1. Emalgumassituac oesnecessitamosdevetorescomalgumaestruturaparti-cular. Porexemplo, umvetorcujooprimeirotermovale 2eoultimovale3eostermosintermediariosvariamumpassode0.5. EstevetorpodeserdenidopelalinhadecomandoEDU>> v=-2:0.5:3v =Columns 1 through 7-2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000Columns 8 through 111.5000 2.0000 2.5000 3.0000Deumaformageral estecomandotemasintaxev=a:passo:b. Quandoopassoeigual aumpodemosescreverocomandonaformareduzidav=a:b. Algumasmatrizeselementarespodemsergeradasatravesdecomandossimples,porexemplo:Amatrizidentidade:EDU>>I=eye(3)I =1 0 00 1 00 0 1Matrizn mformadapor1s:EDU>> A=ones(2,3)A =1 1 11 1 1MatrizNuladeordemn m:EDU>> B=zeros(3,4)B =0 0 0 00 0 0 00 0 0 0CAPITULO1. INTRODUC AO 6Operac oescomMatrizeseVetoresAsoperac oesdesubtrac ao,adic aoemultiplicac aoentrematrizessaodenidascomoousual. Osmbolodadivisaorepresentaocalculodamultiplicac aopelainversadamatriz,porexemploEDU>> A=[1 2 1;3 2 4;5 3 2];EDU>> A/Aans =1 0 00 1 00 0 1Notequenesteexemploterminamos ocomandoquedeneamatrizAcomumpontoevrgula. Istofazcomqueoresultadodocomando(oudeumaexpressaoemgeral)naosejaapresentadonomonitor. Istoe util paraprogramas degrandeporte, pois esteprocessodeapresentarosresultadosnomonitorconsomemuitotempodeexecucao. Entrevetoresematrizes de mesma dimensao e possvel operar elemento com elemento. Isto e possvel atravesdeumanotacaoespecial,queconsistedeusarumpontoantesdosmbolodaoperac ao. NaTabela 1.2 damos um resumo destas operacoes aplicada a dois vetores a e b de dimensao n.Tabela1.2: OperacoesElementaresentreVetoresOperac ao Smbolo ResultadoAdicao a+b [a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, . . . , an + bn]Subtracao a-b [a1b1, a2b2, a3b3, . . . , anbn]Multiplicac ao a.*b [a1 b1, a2 b2, a3 b3, . . . , an bn]Divisao a./b [a1/b1, a2/b2, a3/b3, . . . , an/bn]Potenciac ao a.b [a1b1, a2b2, a3b3, . . . , anbn]Comonamaioriadaslinguagensdeprogramac ao, oMatLaboferecediversasfunc oeselementaresquesaoimportantesemmatematica. ATabela1.3apresentaumalistadestasfuncoesesuasintaxe.GracosParaplotarumgraconoMatLab, devemoscriardoisvetoresdemesmadimensaoxef, ondexcorrespondeaosvaloresdoeixoxef osvaloresdafuncaonestespontos. OCAPITULO1. INTRODUC AO 7Tabela1.3: Func oesElementaresFun cao SintaxeValorAbsoluto abs(x)ArcoCo-seno acos(x)ArcoSeno asin(x)Co-seno cos(x)Exponencialexexp(x)LogaritmoNatural log(x)Logaritmobase10 log10(x)Seno sin(x)RaizQuadrada sqrt(x)Tangente tan(x)graco egeradopelocomandoplot(x,f). Sedesejamosgerarogracodafunc aosen(x)nointervalo[, ]devemosprocederdaseguinteforma:EDU>> x=-pi:0.01:pi;EDU>> f=sin(x);EDU>> plot(x,f)Note, que na denic ao do vetor x, usamos o passo igual a 0.01. Isto determina a quantidadedepontosqueocomandoplotusapargerarograco. Quantomaispontosmaisperfeitoseraograco(emcontrapartidamaiorotempodeexecuc ao). setivessemosusadoopasso0.5naoteramosumgracodeboaqualidade.1.1.2 M-arquivosExistemdoistiposdeprogramasemMatLab: scriptsefuntions. Ambosdevemser sal-voscomextensao.mnodiretoriocorrente. Umadiferencabasicaentreosdoisequeosscriptstrataasvari aveis,neledenidas,comovariaveis globais,enquantoasfunctionstrataas variaveis como vari aveis locais. Desta forma a functions tem que ter um valor de retorno.ScriptsOs scripts permite que um conjunto de comandos e denicoes sejam executados atravesdeum unicocomandonajaneladecomandos. Comoexemplo, oscriptseguintecalculaaaproximacaodaderivadade sen(x)usandodiferencasnitas.% Aproximacao da derivada do seno% Usando o operardor de diferen\c{c}a finita progressiva.CAPITULO1. INTRODUC AO 8clear;h=0.0001;x=input(Entre com o valor de, x=); % Atribui Valores a xdisp(O valor da aproximacao eh...) % Mostra mensagem no monitordsen=(sin(x+h)-sin(x))/hAs primeiras duas linhasaocoment arios quedescrevemoscript. Naquintalinhatemosocomandoquepermiteatribuirvaloresaumavariavel. Enasextalinhaocomandoquepermite mostrar uma mensagem no monitor. Vamos supor que este arquivo seja salvo com onomededevira_seno.m. ParaexecutaroscriptdigitamosseunomenopromptdoMatLab.FunctionsNuma funcao em MatLab a primeira linha e da forma function y=nome(argumentos).Afunc aosetrocainformacoescomoMatLabworkspaceporintermediodavariavelyedosargumentos. Parailustrarousodefunc oesemMatLabconsidereoseguintecodigofunction dsen=deriva_seno(x,h)% Aproximacao da derivada do seno% Usando o operardor de diferen\c{c}a finita progressiva.dsen=(sin(x+h)-sin(x))/h;Apesardestearquivopodersersalvocomumnomequalquer,eusual usaromesmonomedafuncao, ouseja, deriva_seno.m. Paraexecuta-lodevemosdigitarseunomeeinformarosvaloresdosargumentos,porexemplo,EDU>>y= deriva_seno(3.14,0.001)oqueforneceriaemyumaaproximacaodaderivadadafunc aosenoem3.14Umadiferencaimportante entre esta vers ao, usando function, com a anterior e que o valor calculado podeser atribudo a uma vari avel. Alem disso, agora podemos escolher o valor de h, que na versaoanteriorestavaxoemh=0.0001. Valenotarquenoprimeirocasotodasasvari aveisdoscripsestaoativas,isto esaovariaveisglobais. Enquantoquenosegundocasoasvari aveissaolocais,isto e,avari avelhso eativanaexecucaodafuncaoControledeFluxoOcontroledeuxoeumrecursoquepermitequeresultados anteriores inuenciemoperac oesfuturas. Comoemoutraslinguagens, oMatLabpossui recursosquepermitemocontroledeuxodeexecuc aodecomandos,combaseemestruturasdetomadadedecisoes.Apresentamosasestruturadeloopsfor,loopswhileeif-else-end. Aformageraldoloopfor eCAPITULO1. INTRODUC AO 9for x = vetorcomandos...endOscomandosentreforeendsaoexecutadosumavezparacadacolunadevetor. Acadaiteracaoatribui-seaxaproximacolunadevetor. PorexemploEDU>> for n=1:5x(n) = cos(n*pi/2);endEDU>> xx =0.0000 -1.0000 -0.0000 1.0000 0.0000Traduzindo,istodizqueparaniguala1ate10calculeoscomandosateend.Ao contr ario do loop for, que executa um grupo de comandos um n umero xo de vezes,oloopwhileexecutaumgrupoumdecomandosquantasvezesforemnecessariasparaqueumacondic aosejanegada. Suaformageral ewhile expressaocomandos...endOgrupodecomandosentrewhileeendsaoexecutadosatequeaexpressaoassumaumvalorfalso. Porexemplo,EDU>> while abs(x(n)-x(n-1)) > 10^(-6)x(n) = 2*x(n-1) + 1/4;n=n+1;endNestecasoogrupodecomandossaoexecutadosatequeovalorabsolutodadiferencaentredoisvaloresconsecutivossejamenorouiguala106.Aestruturaif-else-endpermitequegrupos decomandos sejamexecutados por umtesterelacional. Aformageral edadaporif expressaocomandos 1...elsecomandos 2...endSe a expressao for verdadeira e executado o grupo de comandos 1, caso contr ario e executadoo grupode comandos2. Estaestrutura permiteo usoda formamais simplesque envolve soumcondicionalCAPITULO1. INTRODUC AO 10if expressaocomandos ...endComo exemplo considere o seguinte fragmento de codigo que calcula o valor absoluto de umn umeroif x < 0x=-x;endIsto e,sexformenorquezeroent aotrocadesinal,casocontrarionada efeito.1.2 ExercciosExerccio1.1Usandooesquemanumericoparaaaproximacaodaderivadadadoabaixoacheumaaproximacaoparaf

(),ondef(x) = sen(x)etomeh = 0.1, 0.01, 0.001, . . . 1010.Repitaoscalculosparaf

(0). Comenteosresultados.f

( x) f( x + h) f( x)hExerccio1.2FacaumprogramaquecalculeA +107k=1107comA = 10, 102, 103, . . . , 1015. Comenteosresultados.Exerccio1.3CalculeaprecisaodesuamaquinausandooalgoritmoAlgoritmo: EpsilondaMaquinaInput: A :n umeroquerepresenteagrandezaEp 1Enquanto(A + Ep) > 1,faca:Ep Ep/2menquantoOutput: Imprimir2EptomandoA = 1, 10, 100, 1000. Comenteosresultados.Captulo2ZerosdeFunc oesNestecaptuloestudaremosesquemasnumericospararesolverequac oesdaformaf(x) = 0.Namaioriadoscasosestasequac oesnaotemsoluc aoalgebricacomohaparaasequac oesde2ograu. Noentantoesquemasnumericospodemfornecerumasoluc aosatisfatoria. Oprocessoparaencontrarumasoluc aoenvolveduasfases:FaseI Isolamento das razes - Consiste em achar um intervalo fechado [a, b] que contem a raiz.FaseII Renamento - Partindo de uma aproximac ao inicial renamos a soluc ao ate que certoscriteriossejamsatisfeitos.2.1 IsolamentodasRazesUmn umeroxquesatisfazaequac aof(x) = 0echamadoderaizouzerodef. Oobjetivoeencontrarumintervalo[a, b],depequenaamplitude(b a 0 um n umero dado. A ideia e reduzir a amplitude do intervaloateatingiraprecisaorequerida: b a < ,usandodivisaosucessivasdointervalo.a0||a1x1||a2x2||a3|b0x0||||b2||b3b1Figura2.3: MetododaBisseccaoOmetodoprocededaseguinteforma: faca[a0, b0] = [a, b],x0=a0 + b02

f(a0) < 0f(b0) > 0f(x0) > 0

(a0, x0)a1= a0b1= x0CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 15x1=a1 + b12

f(a1) < 0f(b1) > 0f(x1) < 0

(x1, b1)a2= x1b2= b1x2=a2 + b22

f(a2) < 0f(b2) > 0f(x2) < 0

(x2, b2)a3= x2b3= b2Eassimvamoscalculandoaseq uenciaxkatequesejasatisfeitoocriteriodeparadabkak< .Estecriteriogarantesetomarmos x [ak, bk]teremosagarantiaqueoerro emenorque,isto e[ x [ bkak< Abaixoapresentamosalistagemdometodoimplementadocomofunc aodoMatLab.% Disciplina de C\{a}lculo Num\{e}rico - Prof. J. E. Castilho% M\{e}todo da Bisseccao% Calcula uma aproxima\c{c}\~{a}o para uma raiz de fun\c{c}\~{a}o f(x)% definida no arquivo f.m, onde esta raiz pertence ao% intervalo [ao,bo] e a predi\c{c}\~{a}o dado por Ep.function y=bissec(ao,bo,Ep)while (bo-ao) > Ep,x=(ao+bo)/2;if f(x)*f(ao) > 0,ao=x;elsebo=x;end;end;y=(ao+bo)/2;2.3.1 EstudodaConvergenciaAconvergenciaebastanteintuitiva, comopodemos ver naFigura2.3. Vamos dar umademonstracaoanalticaatravesdoseguinteteorema:Teorema2.3.1Sejafumafuncaocontnuaem[a, b],ondef(a)f(b) < 0. EntaoometododaBissec caogeraumaseq uencia xkqueconvergeparaaraizquandok .Prova:Ometodogeratresseq uencias:CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 16ak: Seq uencianaodecrescenteelimitadasuperiormenteporb0. Logoa0 a1 < b0 M IRtalque limkak= Mbk: Seq uencianaocrescenteelimitadainferiormentepora0. Logob0 b1 > a0 m IRtalque limkbk= mxk: Porconstrucaotemosquexk=ak + bk2ak< xk< bk k IN (2.1)Aamplitudedecadaintervalogeradoemetadedaamplitudedointervaloanterior, assimtemos,bkak=b0a02k.Calculandoolimitequandok temoslimk(bkak) =limkb0a02k= 0Istoseguequelimkbklimkak= 0 M m = 0 M= m.Usandoestefatoecalculandoolimiteem(2.1)temosm =limkak limkxk limkbk= m limkxk= m.Faltamostrarquemeraizdef, istoef(m)=0. Emcadaiterac aof(ak)f(bk)b0a0Comoestesvaloressaosemprepositivos,podemosaplicarafuncaologaritmo,obtendo,k >log(b0a0) log()log(2)CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 17Exemplo2.3.1No exemplo 2.1.2 isolamos uma raiz de f(x) =exx no intervalo[0.5, 0.75]. Usandoaprecisao = 108,temosk >log(0.75 0.5) log(108)log(2)= 24.575.Logoseranecessarionomnimo25iteracoesparaqueometododaBisseccaopossaatingiraprecis aodesejada.2.4 MetodoIterativoLinear(M.I.L.)Sejaf(x)contnuaem[a, b],ondeexisteumaraizdaequac aof(x) = 0. Aestrategiadestemetodo eescreverafunc aofdetalformaquef(x) = x (x). Sef(x) = 0,entaox (x) = 0 x = (x)Isto e,encontrar as razes de fe equivalente a achar os pontos xo da funcao . Atraves daequacaoacimamontamosumprocessoiterativo,onde,dadox0xn+1= (xn), n = 1, 2, . . .Afuncao echamadadefuncaodeiteracaoeestanao edeterminadadeforma unica.Ascondic oesdeconvergenciasaodadasnoteoremaabaixo.Teorema2.4.1Sejaumaraizdafuncaofisoladanointervalo[a, b]. Sejaumafuncaodeitera caodafuncaofquesatisfaz:1) e

saocontnuasem[a, b],2) [

(x)[ M< 1 x [a, b],3) x0 [a, b].Entaoaseq uencia xkgeradapeloprocessoiterativoxn+1= (xn)convergepara.Prova:Sendoumaraizent aof() = 0 = (),logoxn+1= (xn) xn+1= (xn) ().Comoecontnuaediferenciavel, peloTeoremadoValorMediotemosqueexistecnper-tencenteaointervaloentrecnetalque(xn) () =

(cn)(xn)Logo[xn+1[ = [

(cn)[ [xn[ M[xn[CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 18Aplicandoestarelacaoparan 1, n 2,, 0eusandoofatoquex0 [a, b]temos[xn+1[ Mn+1[x0[ComoM< 1,aplicandoolimiteparan segueque0 limn[xn+1[ limnMn+1[x0[ = 0Logolimnxn+1= Observamosquequantomenorfor [

(x)[maisrapidaseraaconvergencia.Exemplo2.4.1Consideremos a funcao f(x) = exx, onde existe uma raiz [0.5, 0, 75].Umaformadeescreverf(x) = x (x)econsiderar(x) = ex. Vericandoascondicoesdeconvergenciatemos:1) Asfuncoes(x) = exe

(x) = exsaocontnuasem[0.5, 0.75].2) Afunc ao

satisfazmaxx[0.5,0.75][

(x)[ = 0.6065... < 1 (Porque?VerNota1)3) Tomando x0 [0.5, 0.75] teremos garantia de convergencia, por exemplo podemos tomarx0comoopontomediodointervalox0=0.5 + 0.752= 0.625Assimtemosquex1= (x0) = (0.625) = 0.53526...x2= (x1) = (0.53526) = 0.58551...x3= (x2) = (0.58551) = 0.55681...x4= (x3) = (0.55681) = 0.57302...x5= (x4) = (0.57302) = 0.56381...x6= (x5) = (0.56381) = 0.56903............NaFigura2.4podemosverqueocomportamentodoprocessoiterativoconvergeparaaraiz.CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 190.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80.40.450.50.550.60.650.70.750.8xexx0x1x2Figura2.4: MetodoIterativoLinear2.4.1 CriteriodeParadaUma questao ainda esta em aberto. Qual o xn que fornece uma aproxima cao para a raiz, comumacertaprecisaodada. Nestecasopodemosusarcomocriteriodeparadaasseguintescondicoes[xn+1xn[ (ErroAbsoluto)[xn+1xn[[xn+1[ (ErroRelativo)e vamos tomar xn+1comoaproximac aoparaaraiz. Se noexemploanterior tivessemosescolhido = 0.006eoErroAbsolutoteramos[x1x0[ = [0.53526 0.625[ = 0.08974 > [x2x1[ = [0.58551 0.53526[ = 0.05025 > [x3x2[ = [0.55681 0.58551[ = 0.02870 > [x4x3[ = [0.57302 0.55681[ = 0.01621 > [x5x4[ = [0.56381 0.57302[ = 0.00921 > [x6x5[ = [0.56903 0.56381[ = 0.00522 < CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 20Logoaaproximac aoparaaraizseriax6= 0.56903.2.5 MetododeNewton-Raphson(M.N.R)No metodo anterior, vimos que quanto menor for [

(x)[ mais rapida sera a convergencia. Ometodo de Newton-Raphson e determinado de tal forma que teremos uma func ao de iteracaotal que

() = 0, onde e uma raiz de f. Com isto temos a garantia que existe um intervalo[ a,b] quecontemaraizeque [

(x)[ x2= x1 +ex1x1ex1+ 1= 0.56714 [x2x1[ = 0.0006 < CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 22x0=x2x1=x3NaoConvergex0ConvergeparaoutraraizFigura2.6: CasosemqueMetodoNewton-Raphson efalhoLogoaaproximac aoedadaporx2= 0.56714.Abaixosegueaimplementac aodometodocomofunc aodoMatLab:% Disciplina de C\{a}lculo Num\{e}rico - Prof. J. E. Castilho% M\{e}todo de Newton-Raphson% Calcula uma aproxima\c{c}\~{a}o para uma raiz de fun\c{c}\~{a}o f(x)% definida no arquivo f.m. A derivada da fun\c{c}\~{a}o f(x) esta% definida no arquivo df.m, tomamos xo como condi\c{c}\~{a}o inicial e% a predi\c{c}\~{a}o dada por Ep.function x1=newton(xo,Ep)x1=xo-f(xo)/df(xo)while abs(x1-xo) > Ep,xo=x1;x1=xo-f(xo)/df(xo)end;2.6 OrdemdeConvergenciaNasec aoanteriordeterminamosoMetododeNewton-RaphsonquepodeserinterpretadocomoumcasoparticulardoMetodoIterativoLinear, ondeaconvergenciaemaisrapida.Amedidaquepermitecompararaconvergenciaentreosmetodoseoquechamamosdeordemdeconvergencia,denidapor:CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 23Denicao2.6.1Seja xn uma seq uencia que converge para um n umero e seja ek= xkoerronaiteracaok. Selimk[ek+1[[ek[p= C p > 1 C> 0dizemosqueaseq uenciaconvergecomordempecomconstanteassintoticaC.Comoaseq uenciaconverge,paravaloresdeksucientementegrandetemos[ek+1[ C[ek[p, com[ek[ < 1Assimquantomaiorforovalordep,menorseraoerro [ek+1[. Quandop = 1dizemosqueometodotemconvergencialinear. Sep = 2dizemosqueaconvergencia equadratica.Primeiramente vamos determinar a ordem de convergencia do M.I.L. Sendo a seq uenciaxngeradaporxk+1= (xk), k = 0, 1, 2, . . .eque= ()temosxk+1= (xk) () =

(ck)(xk),onde a ultima igualdade e conseq uencia do Teorema do Valor Medio e cke um n umero entrexke. Logoseguexk+1xk=

(ck) ek+1ek=

(ck)Aplicandoomoduloecalculandoolimitequandoktendeaoinnitotemoslimk[ek+1[[ek[=limk[

(ck)[ = [

()[ = CPortantotemosqueoM.I.L.temordemdeconvergenciap = 1.NocasodoMetododeNewton-Raphsontemosqueaseq uencia egeradapeloprocessoiterativoxn+1= xnf(xn)f

(xn)Subtraindodecadaladotemosxn+1= xn f(xn)f

(xn) en+1= enf(xn)f

(xn)(2.2)AtravesdaformuladeTaylordafuncaofnopontoxntemosf(x) = f(xn) + f

(xn)(x xn) +f

(cn)2(x xn)2cn [x, xn]Quecalculadaemx = fornece0 = f() = f(xn) + f

(xn)( xn) +f

(cn)2( xn)2CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 24Dividindoporf

(xn)efazendoen= xnseguequef(xn)f

(xn)= enf

(cn)2f

(xn)e2nSubstituindoem(2.2)obtemosen+1e2n=f

(cn)2f

(xn)Finalmenteaplicamosomoduloecalculamosolimitequandoktendeaoinnitoobtendolimk[en+1[[en[2=limk

f

(cn)2f

(xn)

=

f

()2f

()

=12[

()[ = CPortantotemosqueoMetododeNewton-Raphsontemordemdeconvergenciap = 2.2.7 Observac oesFinaisNestecaptulovimos tres metodos diferentes pararesolver equac oes daformaf(x) =0.Faremosumbrevecoment ariodasvantagensedesvantagensdecadametodo.NoMetododabissecc aovimosqueon umerodeiterac oesdependeapenasdointervaloinicial[a0, b0]Logoestepodeseraplicadoaqualquerfuncaof(x)quesatisfazf(a)f(b) < 0.Naoimportaoquantof(x)sejacomplicada. Adesvantagemequetemumaconvergencialenta. Na pratica ele e usado para renar o intervalo que contem a raiz. Aplicamos o metodoemumn umeroxodeiterac oes.EmgeraloM.I.L. emaisrapidoqueoMetododaBissecc ao. Usamenosoperacoesporcadaiteracao. Podeencontrar razes emintervalosondef(a)f(b) >0. Adiculdadeeencontrarafunc aodeiterac aoquesejaconvergente.OMetodode Newton-Raphsontemconvergenciaquadratica. Poremeste necessitadaavaliacaodafuncaoesuaderivadaemcadapontoxn. Podeocorrer determos umaraizisoladanumintervalo[a, b]eometodoacabeconvergindoparaumaoutraraizquenaopertence a [a, b]. Isto ocorre porque temos que tomar x0 [ a,b] [a, b]. Na pratica tomamosx0comopontomediodointervalo,isto ex0=a + b2Nota1Emmuitas situacoes vamos necessitar decalcular omaximodomodulodeumafuncaorestritaaumintervalo,istoemaxx[a,b][f(x)[.Umaformapraticaparaestecalculoeseguirospassos:1: Calcula-seosvaloresdafuncaonosextremosdointervalo, [f(a)[e [f(b)[.CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 252: Verique se a funcao nao possui ponto critico no intervalo, ou seja, achamos os valoresdexktal quef

(xk) = 0exk [a, b]3: Tomamoscomoovalormaximoomax[f(a)[, [f(b)[, [f(xk)[2.8 ExercciosExerccio2.1Localize gracamente e de intervalos de amplitude 0.5 que contenha as razesdasequa coesa)ln(x) + 2x = 0 b)exsen(x) = 0 c)ln(x) 2x= 2d)2 cos(x) ex2= 0 e)3 ln(x) x22f)(5 x)ex= 1Exerccio2.2UtilizeoMetodo daBisseccao eaproxime amenorraiz emmodulo com errorelativomenorque101paraasequacoes a)eb)doexerccioanterior.Exerccio2.3UtilizeoMetodoIterativoLineareaproximeamenorraizemmodulocomerrorelativomenorque102paraasequacoesc)ed)doexerccioanterior.Exerccio2.4UtilizeoMetododeNewton-Rapshoneaproximeamenorraizemmodulocomerrorelativomenorque103paraasequacoesd)ef)doexerccioanterior.Exerccio2.5Achararaizp-esimadeumn umeropositivoaeequivalenteaachararaizpositivadaequac aopa = x.a) Encontreumintervaloquedependedovalordeaequecontenhaaraiz.b) Veriqueseafuncaodeiteracao(x)=a/xp1satisfazoscriteriosdeconvergenciadoMetodoIterativoLinear.c) VeriquequeoprocessoiterativogeradopeloM.N.R.edadoporxn+1=1p(p 1)xn +axp1n

d) ImplementeumprogramaemMatlabqueexecuteoprocessoiterativodadoemc).Exerccio2.6Dadaafuncaof(x) = ex4x2.a) Isoleasrazesdafuncaof(x).b) VeriquequeasfuncoesabaixosaofuncaodeiteracaodefeveriquesesatisfazemocriteriodeconvergenciadoM.I.L.paraaraizpositiva.1(x) =12ex/22(x) = ln(4x2)CAPITULO2. ZEROSDEFUNCOES 26c) Tomando x0= 0.6 e = 0.01, aplique o M.I.L. para encontrar uma aproximacao para araiz positiva,usando uma funcao de iteracao que satisfaca os criterios de convergenciaExerccio2.7ProveoTeorema2.5.1.Exerccio2.8Afuncaof(x)= sen(cos(3x))temumaraiznointervalo[0.7, 0.9]. En-contreumaaproximacaocom = 0.07,escolhendoentreosmetodosnumericosestudadosomaisadequado. Justiquesuaresposta.Captulo3SistemasLinearesAresoluc aodesistemaslinearessurgeemdiversasareasdoconhecimento. Ocasogeralemqueosistemalinearenvolvemequacoescomnincognitas, osistemapodeapresentaruma unica soluc ao, innitas solucoes ou nao admitir soluc ao. Este tipo de problema e tratado naAlgebra Linear usando o processo de escalonamento. Neste captulo vamos analisar esquemasnumericosparasolucoesdesistemaslinearesdenequac oescomnincognitas,isto e

a1,1x1+ a1,2x2+ a1,3x3 a1,nxn= b1a2,1x1+ a2,2x2+ a2,3x3 a2,nxn= b2a3,1x1+ a3,2x2+ a3,3x3 a3,nxn= b3...............an,1x1+ an,2x2+ an,3x3 an,nxn= bnondeaijsaoos coecientes, xjsaoasincognitaseos bjsaoasconstantes. Estesistemapode ser escrito na forma matricial Ax = b com A IRnne x, b IRn. Analisaremos duasclassesdeesquemasnumericos: MetodosDiretoseMetodosIterativos.3.1 MetodosDiretosOs Metodos Diretos sao aqueles que apos um n umero nito de operac oes fornecem a solucaoexatadosistema, amenosdoserrosdearredondamentos. EstesmetodossaobaseadosnoprocessodeescalonamentoestudadoemAlgebraLinear. Saoecientes parasistemas depequenoporte(naomaisque50equac oes)eparasistemasdebandas, comoporexemplosistemastridiagonais(verEx. 3.3). Primeiramentevamosconsiderarossistemaslinearestriangulares.27CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 283.1.1 SistemaTriangularSuperiorUm Sistema Triangular Superior e aquele em que a matriz associada ao sistema e uma matriztriangularsuperior,isto eai,j= 0parai > j.

a1,1x1+ a1,2x2+ a1,3x3 a1,nxn= b1a2,2x2+ a2,3x3 a2,nxn= b2a3,3x3 a3,nxn= b3......an,nxn= bnEstesistemaadmiteuma unicasoluc aoseaii = 0parai = 1, 2, . . . , n,sendo,xn=bnan,nxn1=1an1,n1(bn1an1,nxn)xn2=1an2,n2(bn2an2,n1xn1an2,nxn)......xk=1ak,k

bknj=k+1ak,jxj

......eassimsucessivamente. Comistoobtemos oesquemanumericoparasoluc aodesistematriangularsuperiordadopeloalgoritmoabaixoAlgoritmo: Retro-Soluc aoInput: MatriztriangularsuperiorA IRnneb IRnxn bn/an,nParak = n 1, n 2, . . . 1,faca:xk 1ak,k

bknj=k+1ak,jxj

mparaOutput: x IRn: solucaodosistemaCAPITULO3. SISTEMASLINEARES 293.1.2 MetododeEliminacaodeGaussDois sistemas lineares sao ditos ser equivalentes se estes tem a mesma soluc ao. A estrategia doMetodo de Eliminacao de Gauss e transformar um sistema linear Ax = b em um sistema tri-angular superior equivalente Sx = b, cuja a solucao e facilmente obtida pela Retro-Soluc ao.Estatransformac ao erealizadaatravesdasoperac oeselementares(I) Trocarduasequacoes.(II) Multiplicarumaequac aoporumaconstantenaonula.(III) Adicionaraumaequacaoumaoutramultiplicadaporumaconstantenaonula.Aplicandoqualquerseq uenciadessasoperacoeselementaresnumsistemaAx = bobtemosum novo sistemaAx = b de tal forma que estes serao equivalentes. Para descrever o MetododeEliminac aodeGaussvamosconsiderarosistemalinear

a1,1x1+ a1,2x2+ a1,3x3 a1,nxn= b1a2,1x1+ a2,2x2+ a2,3x3 a2,nxn= b2a3,1x1+ a3,2x2+ a3,3x3 a3,nxn= b3...............an,1x1+ an,2x2+ an,3x3 an,nxn= bn,ondedet(A) =0, istoe, osistemaadmiteuma unicasolucao. Umsistemalinearpodeserrepresentadonaformadematrizestendida(A0[b0),ouseja

a(0)1,1a(0)1,2a(0)1,3 a(0)1,nb(0)1a(0)2,1a(0)2,2a(0)2,3 a(0)2,nb(0)2a(0)3,1a(0)3,2a(0)3,3 a(0)3,nb(0)3...............a(0)n,1a(0)n,2a(0)n,3 a(0)n,nb(0)n

ondeo ndicesuperiorindicaaetapadoprocesso.Etapa1: Eliminaraincognitax1dasequacoesk= 2, 3, . . . , n. Sendoa(0)1,1 = 0,usaremosaoperacaoelementar(III)esubtramosdalinhakaprimeiralinhamultiplicadapormk,1=a(0)k,1a(0)1,1.Oselementosmk,1saochamadosdemultiplicadoreseoelementoa(0)1,1echamadodepivo da Etapa 1. Indicando a linha k da matriz entendida por L(0)kesta etapa se resumeemL(1)1= L(0)1L(1)k= L(0)kmk,1L(0)1, k = 2, 3, . . . , nCAPITULO3. SISTEMASLINEARES 30Aonaldestaetapateremosamatriz

a(1)1,1a(1)1,2a(1)1,3 a(1)1,nb(1)10 a(1)2,2a(1)2,3 a(1)2,nb(1)20 a(1)3,2a(1)3,3 a(1)3,nb(1)3...............0 a(1)n,2a(1)n,3 a(1)n,nb(1)n

querepresentaumsistemalinearequivalenteaosistemaoriginal,ondeaincognitax1foieliminadadasequacoesk = 2, 3, . . . , n.Etapa2: Eliminar aincognitax2das equac oes k =3, 4, . . . , n. Supondoquea(1)2,2 =0,vamos tomar este elemento como pivo desta etapa e desta forma os multiplicadores saodadospormk,2=a(1)k,2a(1)2,2Aeliminacaoseprocededaseguinteforma:L(2)1= L(1)1L(2)2= L(1)2L(2)k= L(1)kmk,2L(1)2, k = 3, 4, . . . , nobtendoaonaldaetapaamatriz

a(2)1,1a(2)1,2a(2)1,3 a(2)1,nb(2)10 a(2)2,2a(2)2,3 a(2)2,nb(2)20 0 a(2)3,3 a(2)3,nb(2)3...............0 0 a(2)n,3 a(2)n,nb(2)n

Com procedimentos analogos ao das etapas 1 e 2 podemos eliminar as incognitas xkdasequacoesk + 1, k + 2, . . . , neaonalden 1etapasteremosamatriz

a(n1)1,1a(n1)1,2a(n1)1,3 a(n1)1,nb(n1)10 a(n1)2,2a(n1)2,3 a(n1)2,nb(n1)20 0 a(n1)3,3 a(n1)3,nb(n1)3...............0 0 0a(n1)n,nb(n1)n

Esta matriz representa um sistema triangular superior equivalente ao sistema original. Logoasoluc aodestesistema,obtidopelaRetro-Solucao, esoluc aodosistemaoriginal.CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 31Algoritmo: MetododeEliminac aodeGaussInput: MatrizAevetorb IRnEliminacao:Parak = 1, 2, . . . , n 1,faca:Parai = k + 1, . . . , n,faca:m aijak,kParaj= k + 1, . . . , n,faca:aij aijm akjmparabi bim bkmparamparaRetro-Solucao:xn bn/an,nParak = n 1, n 2, . . . 1,faca:xk 1ak,k

bknj=k+1ak,jxj

mparaOutput: x IRn: solucaodosistemaExemplo3.1.1Vamosconsiderarosistemalinearabaixo

3x1 + 2x2x3= 17x1x2x3= 2x1 + x3= 1Escrevendonaformadematrizestendidateremos

3 2 1 17 1 1 21 0 1 1

Etapa1: Eliminarx1daslinhas2e3.L(1)1= L(0)1L(1)2= L(0)2m2,1L(0)1, onde m2,1=a(0)21a(0)1,1=73L(1)3= L(0)3m3,1L(0)1, onde m3,1=a(0)31a(0)1,1=13CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 32ecomistoobtemosamatriz

3 2 1 10 17/3 4/3 13/30 2/3 4/3 12/3

Etapa2: Eliminarx2dalinha3.L(2)1= L(1)1L(2)2= L(1)2L(2)3= L(1)3m3,2L(1)2, onde m3,2=a(01)32a(1)2,2=217obtendoassimamatriz

3 2 1 10 17/3 4/3 13/30 0 20/17 20/17

Retro-Solucao: Encontrarasolucaodosistematriangularsuperior.x3=b3a3,3= 1x2=1a2,2(b2a2,3x3) = 1x1=1a1,1(b1a1,2x2a1,3x3) = 0Logoasolucaodosistemaedadaporx = (0, 1, 1)T.Asoluc aoencontradaeasoluc aoexata, poismantivemososn umerosresultantesnaformade fracao. Porem maquinas digitais representam estes n umeros na forma de ponto utuantenita e erros de arredondamento podem ocorrer. Em sistemas lineares de grande porte esteserrosvaoseacumulandoeprejudicandoasolucaodosistema.3.1.3 PivotamentoParcialEmcadaetapakdaeliminac aotemosocalculodomultiplicadormk,j=a(k1)k,ja(k1)k,k.Seopivo [a(k1)k,k[ 0[[xk+1xk[[ ErroAbsoluto[[xk+1xk[[[[xk[[ ErroRelativo[[b Axk[[ TestedoResduoAlemdisso,asnormas [[[[1, [[[[2e [[[[satisfazemasseguintespropriedades:(M4) [[Ax[[ [[A[[ [[x[[(M5) [[AB[[ [[A[[ [[B[[CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 403.2.1 CriteriodeConvergenciaDependendodaformadamatrizCaseq uenciageradapeloprocessoiterativopodeounaoconvergirparaasolucaodosistema. Seja xasoluc aodosistemaAx = b,logo xsatisfaz x = C x +g.Comistotemosquexk+1 x = C(xk+1 x)Sendooerroemcadaiteracaodadoporek=xk xeusandoaspropriedadesdenorma(M4)e(M5)segueque[[ek[[ [[C[[ [[ek1[[ [[C[[2[[ek2[[...... [[C[[k[[e0[[Logoaseq uencia xkconvergeparaasolucaodosistema xselimk[[ek[[ =limk[[C[[k[[e0[[ = 0eistoocorreseesomenteseamatrizCsatisfazacondic ao[[C[[ < 1Note que ocriteriode convergencianaodepende dovetor inicial x0. Aescolha de x0inuencianon umerode iteracoes necessarias paraatingir aprecisaodesejada. Quantomenorfor [[x0 x[[menositeracoesseraonecessarias.3.2.2 MetodoIterativodeGauss-JacobiVamosconsiderarosistemalinearAx = bdadopor

a1,1x1+ a1,2x2+ a1,3x3 a1,nxn= b1a2,1x1+ a2,2x2+ a2,3x3 a2,nxn= b2a3,1x1+ a3,2x2+ a3,3x3 a3,nxn= b3...............an,1x1+ an,2x2+ an,3x3 an,nxn= bn,CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 41ondeos aii =0parai =1, 2, . . . , n. Emcadaequac aoi podemos isolar aincognitaxiobtendoasseguintesrelacoesx1=1a1,1(b1a1,2x2a1,3x3 a1,nxn)x2=1a2,2(b2a2,1x1a2,3x3 a2,nxn)x3=1a3,3(b3a3,1x1a3,2x2 a3,nxn).........xn=1an,n(bnan,1x1an,2x2 an,n1xn1)Naformamatricialestasequac oessaoequivalentes`a

x1x2x3.........xn

=

0 a1,2a1,1a1,3a1,1 a1,na1,1a2,1a2,20 a2,3a2,2 a2,na2,2a3,1a3,3a3,2a3,30a3,na3,3...............an,1an,nan,2an,nan,3an,n 0

x1x2x3.........xn

+

b1a1,1b2a2,2b3a3,3...bnan,n

(3.1)Destaformatemososistemalinearnaformax=Cx + geassimmontamosoprocessoiterativoconhecidocomoMetodoIterativodeGaussJacobi:Dadox0x(k+1)1=1a1,1

b1a1,2x(k)2a1,3x(k)3 a1,nx(k)n

x(k+1)2=1a2,2

b2a2,1x(k)1a2,3x(k)3 a2,nx(k)n

x(k+1)3=1a3,3

b3a3,1x(k)1a3,2x(k)2 a3,nx(k)n

.........x(k+1)n=1an,n

bnan,1x(k)1an,2x(k)2 an,n1x(k)n1

(3.2)CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 42Algoritmo: MetodoIterativodeGauss-JacobiInput: MatrizA IRnnb, x0 IRne > 0Enquanto [[xk+1xk[[ > faca:Paras = 1, 2, . . . , n,faca:x(k+1)s1as,s

bsnj=1,j=sas,jx(k)j

mparamenquantoOutput: x IRn: solucaodosistema3.2.3 CriteriodasLinhasComocriteriodeconvergencia,vimosqueamatrizdeiterac aoCdevesatisfazeracondicao[[C[[ Parak = 1temosx(2)1= 17 (2 3 1.000 2 0.666) = 0.904x(2)2=13 (3 0.642 + 0.666) = 1.008x(2)3= 13 (1 0.642 1) = 0.880(3.5)CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 44Vericandoocriteriodeparadatemosx2x1=

0.904 0.6421.008 1.0000.880 0.666

=

0.2620.0080.214

[[x2x1[[= 0.262 > Devemoscontinuarasiteracoesatequeocriteriodeparadasejasatisfeito(Exerccio).3.2.4 MetodoIterativodeGauss-SeidelAcadaiterac aoxkseaproximadasoluc aodosistema. Baseadonestaobservac aovamosmodicar oMetodode Gauss-Jacobi comoobjetivode acelerar aconvergencia. Numaiteracaok + 1,oMetododeGauss-Jacobicalculaoelementospelaequac aox(k+1)s=1as,s

bss1j=1as,jx(k)jnj=s+1as,jx(k)j

(3.6)Neste ponto os elementos xk+11, xk+12,, xk+1s1, ja foram calculados e espera-se que estes este-jammaisproximosdasolucaoqueoselementosxk1, xk2,, xks1. Assimvamossubstituiroselementos da iterac ao k, que aparecem no primeiro somatorio de (3.6), pelos correspondenteselementosdaiterac aok + 1,isto ex(k+1)s=1as,s

bss1j=1as,jx(k+1)jnj=s+1as,jx(k)j

.Como estamos usando valores mais proximos da soluc ao, o calculo de xk+1ssera mais preciso.EsteprocedimentoeconhecidocomoMetodoIterativodeGauss-Seidel, cujooalgoritmoedadoabaixo.Algoritmo: MetodoIterativodeGauss-SeidelInput: MatrizA IRnnb, x0 IRne > 0Enquanto [[xk+1xk[[ > faca:Paras = 1, 2, . . . , n,faca:x(k+1)s1as,s

bss1j=1as,jx(k+1)jnj=s+1as,jx(k)j

mparamenquantoOutput: x IRn: solucaodosistemaCAPITULO3. SISTEMASLINEARES 453.2.5 CriteriodeSassenfeldO Metodo de Gauss-Seidel tambem pode ser representado na forma matricial xk+1= Cxk+gecriteriosdeconvergenciapodemserobtidosimpondoacondicao [[C[[ Parak = 1temosx(2)1= 17 (2 3 0.929 2 0.785) = 0.908x(2)2=12 (2 0.908 + 0.785) = 0.938x(2)3= 12 (0 0.908 0.938) = 0.923(3.9)Vericandoocriteriodeparadatemosx2x1=

0.908 0.6420.938 0.9290.923 0.785

=

0.2660.0090.138

[[x2x1[[= 0.266 > Devemoscontinuarasiteracoesatequeocriteriodeparadasejasatisfeito(Exerccio).3.3 Observac oesFinaisA escolha do metodo, que deve ser aplicado a um determinado problema, deve ser orientadanascaractersticasdecadametodoqueapresentamosnestasecao.Os metodos diretos apresentam a solucao de qualquer sistema linear nao singular, poremnaotemosumcontrolesobreaprecisaodasolucao. Aplicadosemsistemasdegrandeporteematrizcheia(dimensaoacima5050epoucoselementosai,j= 0)apresentamgrandeserros de arredondamentos. Os metodos iterativos permitem um controle sobre a precisao dasolucao, poremestesnaoseaplicamaqualquersistema. Osistemadevesatisfazercertascondicoesdeconvergenciaparaquedeterminadometodosejaaplicado.CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 47OMetododeGauss-Jacobi eindicadoparaprocessamentoparaleloouvetorial,poisoselementosnopassok + 1dependemsomentedoselementosnopassok. SeTforotempoque uma maquina seq uencial toma para executar uma iterac ao. Numa maquina paralela estetempocaipara T/Np|,ondeNp eon umerodeprocessadores.O Metodo de Gauss-Seidel nao e indicado para processamento paralelo, pois o calculo dexk+1sdependedexk+11, xk+12,, xk+1s1. PoremesteconvergemaisrapidamentequeoMetododeGauss-Jacobi, quandoambossaoexecutadoemprocessamentoseq uencial. Alemdisso,todosistemaquesatisfazoCriteriodasLinhastambemsatisfazoCriteriodeSassenfeld.Ou seja, todo sistema em que podemos aplicar o Metodo de Gauss-Jacobi, automaticamentepodemosaplicaroMetododeGauss-Seidel.3.4 ExercciosExerccio3.1Resolvaosistemalinearabaixo,usandooMetododeEliminacaodeGauss.

1.7x1+ 2.3x2 0.5x3= 4.551.1x1+ 0.6x2 1.6x3= 3.402.7x1 0.8x2+ 1.5x3= 5.50Exerccio3.2Acheainversadamatrizabaixo.

1 2 22 3 22 2 1

Exerccio3.3Umsistemaeditosertridiagonalseesteeformadopeladiagonalprincipal,a primeira diagonal secundaria inferior e a primeira diagonal secundaria superior. Os outroselementossaonulos. Istoe,amatrizassociadaedaforma:

a1,1a1,20 0 00 0 0a2,1a2,2a2,30 00 0 00 a3,2a3,3a3,400 0 00 0 a4,3a4,4a4,5 0 0 0........................0 0 0 0 0an1,n2an1,n1an1,n0 0 0 0 00 an,n1an,n

FacaumamodicacaonoMetododeEliminacaodeGaussexplorandoaformadosistema.ImplementeoalgoritmoemMatLab.Exerccio3.4Considereosistemalinear

0.0002x1+ 2x2= 22x1+ 2x2= 4Calcule a solucao do sistema por Eliminacao de Gauss e Pivotamento Parcial, usando 4 casasdecimais,semarredondamento. Calculeoresduor = b A xecomenteseusresultados.CAPITULO3. SISTEMASLINEARES 48Exerccio3.5Dadoosistemalinear

0.780x + 0.563y = 0.2170.913x + 0.659y = 0.254a) Calcule a solucao do sistema por (i)-Eliminacao de Gauss e (ii)- Pivotamento Parcial,usandonomnimo7casasdecimais,semarredondamento.b) Calculeoresduor = b A xparaoscasos(i)e(ii).c) Seno tema)tivessemosusado3casasdecimais, oqueocorreriacomasolucaodosistema?Comenteseusresultados.Exerccio3.6Mostreque,seumsistemalinearsatisfazoCriteriodasLinhas,entaoestetambemsatisfazoCriteriodeSassenfeld.Exerccio3.7Sejakumn umerointeiro,positivo,considere:

kx1 + x2= 2kx1 + 2x2 +k5x3= 3kx1 + x2 + 2x3= 2a) Veriqueparaquevaloresdek, aconvergenciadoMetododeGauss-Jacobipodesergarantida.b) Veriqueparaquevaloresdek, aconvergenciadoMetododeGauss-Seidel podesergarantida.c) Utilizeummetodoiterativoadequadoparacalcular aaproximacaodasolucaodestesistemadeequacoesconsiderando:(i)x(0)= (1.0, 1.0, 1.0)T(ii)Escolhakcomoomenorinteiroquesatisfacaascondicoesdeconvergencia.(iii) Faca duas iteracoes e calcule o erro absoluto cometido, usando a norma do maximo.Exerccio3.8DadoosistemaAx = bpodemosmontarumprocessoiterativodaseguinteformaxk+1= (I +A)xkba) EnuncieumacondicaosucientedeconvergenciabaseadanaNormadoMaximodasLinhas.b) Facatresiteracoesdoprocessoacimaparaosistemalinear

1.3x1+ 0.3x2= 10.5x1 0.5x2= 0tomando x(0)=

0.80.8

Captulo4AjustedeCurvas: MetododosMnimosQuadradosEmgeral, experimentosemlaboratoriogeraumagamadedadosquedevemseranalisadospara a criacao de um modelo. Obter uma funcao matematica que represente (ou que ajuste)os dados permite fazer simulacoes do processo de forma conavel, reduzindo assim repetic oesde experimentos que podem ter um custo alto. Neste captulo vamos analisar o esquema dosMnimosQuadrados,queforneceumafunc aoquemelhorrepresenteosdados.4.1 MetododosMnimosQuadrados-CasoDiscretoDadoumconjuntodepontos(xk, f(xk)),k= 0, 1, 2, ..., m. Oproblemadeajustedecurvasconsisteemencontrarumafunc ao(x)talqueodesvioemcadapontok,denidopordk= f(xk) (xk),sejamnimo,onde(x)eumacombinacaolineardefunc oescontnuasgi(x), i = 1, 2, ..., n,escolhidasdeacordocomosdadosdoproblema. Isto e(x) = 1g1(x) + 2g2(x) + + ngn(x)Nestecasodizemosqueoajusteelinear. Aescolhadasfunc oesgidependedogracodospontos,chamadodediagramadedispersao,atravesdoqualpodemosvisualizarquetipodecurvaquemelhorseajustaaosdados.Exemplo4.1.1Vamosconsideraratabeladepontosdadaabaixo.x 0.10 0.20 0.50 0.65 0.70 0.80 0.90 1.10 1.23 1.35 1.57 1.70 1.75 1.80 1.94f(x) 0.19 0.36 0.75 0.87 0.91 0.96 0.99 0.99 0.94 0.87 0.67 0.51 0.43 0.36 0.11Aanalisedogracodedispersao(Fig. 4.1)mostraqueafuncaoqueprocuramossecomportacomoumaparabola. Logopoderamosescolherasfuncoesg1(x)=1, g2(x)=xe49CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.10.20.30.40.50.60.70.80.91Figura4.1: DiagramadeDispersaog3(x) = x2,pois(x) = 1g1(x) + 2g2(x) + 3g3(x)representatodasasparabolasecomaescolhaadequadadositeremosaquelaquemelhorseajustaaospontos.OMetododosMnimosQuadradosconsisteemdeterminarosidetal formaqueasomados quadrados dos desvios emsejamnimo, Istoe: Achar os iqueminimizamafuncaoF(1, 2, . . . , n) =mk=1[f(xk)(xk). .. .(1g1(xk) + ngn(xk))]2.AfuncaoFeumafunc aoquesatisfazF() 0 IRm. Istoe, umafunc aolimitadainferiormenteeportantoestatemumpontodemnimo. Estepontopodeserdeterminadopelotestedaprimeiraderivada,sendoFi

(1,...,n)= 0 i = 1, . . . , n.Destaformatemos2mk=1[f(xk) 1g1(xk) 2g2(xk) ngn(xk)] gj(xk) = 0 CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 51

1mk=1g1(xk)g1(xk) +2mk=1g1(xk)g2(xk) + +nmk=1g1(xk)gn(xk) =mk=1f(xk)g1(xk)1mk=1g2(xk)g1(xk) +2mk=1g2(xk)g2(xk) + +nmk=1g2(xk)gn(xk) =mk=1f(xk)g2(xk)..................1mk=1gn(xk)g1(xk) +2mk=1gn(xk)g2(xk) + +nmk=1gn(xk)gn(xk) =mk=1f(xk)gn(xk)Querepresentaumsistemalinearn ndaforma

a1,11+ a1,22+ a1,33 a1,nn= b1a2,11+ a2,22+ a2,33 a2,nn= b2a3,11+ a3,22+ a3,33 a3,nn= b3...............an,11+ an,22+ an,33 an,nn= bnondeai,j=mk=1gi(xk)gj(xk) e bi=mk=1f(xk)gi(xk)Este sistema tem uma unica solucao se os vetores formados por gk= (gk(x1),gk(xn))saolinearmenteindependentes. Istoeequivalenteaterasfuncoesgi(x)linearmenteinde-pendentes. AmatrizAassociadaaosistemaeumamatrizsimetrica, ousejaai,j=aj,i.Logo,paraumsisteman n,seranecessariocalcular(n2n)/2elementos.Exemplo4.1.2Usando a tabela do exemplo (4.1.1), vamos ajustar os dados por umaparabola. Paraistovamos tomar g1(x) =1, g2(x) =xe g3(x) =x2. Calculandocadaumadasfunc oesnospontosxktemos.x 0.10 0.20 0.50 0.65 0.70 0.80 0.90 1.10 1.23 1.35 1.57 1.70 1.75 1.80 1.94f(x) 0.19 0.36 0.75 0.87 0.91 0.96 0.99 0.99 0.94 0.87 0.67 0.51 0.43 0.36 0.11g1(x) 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0g2(x) 0.10 0.20 0.50 0.65 0.70 0.80 0.90 1.10 1.23 1.35 1.57 1.70 1.75 1.80 1.94g3(x) 0.01 0.04 0.25 0.42 0.49 0.64 0.81 1.21 1.51 1.82 2.46 2.89 3.06 3.24 3.76Calculandooselementosdamatrizeovetordostermosindependentestemosa1,1=15k=1g1(xk) g1(xk) = 15a1,2=15k=1g1(xk) g2(xk) = 16.29 = a2,1a1,3=15k=1g1(xk) g3(xk) = 22.62 = a3,1CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 52a2,2=15k=1g2(xk) g2(xk) = 22.62a2,3=15k=1g2(xk) g3(xk) = 34.92 = a3,2a3,3=15k=1g3(xk) g3(xk) = 57.09b1=15k=1f(xk) g1(xk) = 9.91b2=15k=1f(xk) g2(xk) = 10.28b3=15k=1f(xk) g3(xk) = 12.66Obtendoassimumsistemalinearquepodeserresolvidoporumesquemanumericoestudadonocaptulo3. Asolucaodosistemaedadopor1= 0.00, 2= 1.99, 3= 0.99Portantoafunc aoedadapor(x) = 1.99x 0.99x2Agura4.2comparaafuncao(x)comogracosdospontos.Atravesdafuncaopodemosaproximarvaloresdef empontosquenaopertencematabela. Porexemplo:f(0) (0) = 0f(1) (1) = 1f(2) (2) = 0.02No exemplo ajustamos os dados a uma parabola, mas outras funcoes bases poderiam serusadas. Comoexemplo,poderamospensarqueosdadosrepresentamoprimeiromeiociclodeumafunc aosenoidal. Enestecasopoderamostomarg1(x) = 1eg2(x) =sen(2x)Masanal qual seriaamelhorescolha? (Vejaexerccio4.1)Odesvioforneceumamedidaquepodeserusadacomoparametrodecomparac aoentreajustesdiferentes. Nocasodoajustepelaparabolatemosqueodesvio edadoporD =15k=1(f(xk) (xk))2= 0.0019Seoajustefeitoporumafunc aosenoidal tiverumdesviomenor, ent aoesteajusterepre-sentariamelhorosdados. Outropontoaserobservadoequeadimensaodosistemalineardepende do n umero de funcoes bases que estamos usando. No caso da parabola usamos tresfuncoes bases e temos um sistema 33. No caso de uma func ao senoidal teremos um sistema2 2.CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 530 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.10.20.30.40.50.60.70.80.91Figura4.2: DiagramadeDispersaocomogracoda(x).4.2 MetododosMnimosQuadrados-CasoContnuoNo caso contnuo temos uma funcao f(x) dada num intervalo [a, b] e nao mais uma tabela depontos. Oprocedimento eanalogoaocasodiscreto. Escolhidasasfuncoesbasesgidevemosdeterminarafunc ao(x)=1g1(x) + 2g2(x) ++ ngn(x)demodoqueodesviosejamnimo,ondeD =

ba(f(x) (x))2dxNestecasoositambemsaodeterminadospelaresoluc aodeumsistema,ondeoelementoai,je e obtido atraves do produto interno entre as func oes gi(x) e gj(x) e o elementos bipeloprodutointernoentref(x)egi(x),sendoai,j=

bagi(x)gj(x)dx e bi=

baf(x)gi(x)dxExemplo4.2.1Vamos determinar a melhor parabola que se ajuste a funcao f(x) =sen(x)nointervalo[0, 1]. Paraistodevemos tomar, comofuncoes bases, as funcoes g1(x) =1,g2(x) = xeg3(x) = x2. Calculandoostermosdosistemalineartemosa1,1=

10g1(x)g1(x)dx = 1a1,2=

10g1(x)g2(x)dx =12= a2,1CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 54a1,3=

10g1(x)g3(x)dx =13= a3,1a2,2=

10g2(x)g2(x)dx =13a2,3=

10g2(x)g3(x)dx =14= a3,2a3,3=

10g3(x)g3(x)dx =125b1=

10f(x)(x)g1(x)dx = 0.636b2=

10f(x)g2(x)dx = 0.318b3=

10f(x)g3(x)dx = 0.189cujaasolucaoedadapor 1= 0.027, 2=4.032e3= 4.050. Assimtemos que(x) = 0.027 + 4.032x 4.050x2. Agura(4.3) mostraogracocomparativoentreafuncaof(x)(linha: )eoajuste(x)(linha: ).0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.200.20.40.60.811.2Figura4.3: : f(x) =sen(x); : (x)CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 554.3 AjusteNaoLinearExistemcasos, ondeodiagramadedispersaodeumafunc aoindicaqueos dados devemserajustadoporumafuncaoquenaoelinearcomrelac aoaosi. Comoexemplo, vamosconsiderarosdadosx 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0f(x) 0.157 0.234 0.350 0.522 0.778 1.162 1.733 2.586 3.858Montandoodiagramadedispersao(Vejagura4.4)podemosconsiderarquef(x)temumcomportamentoexponencial. Istoe, f(x) (x) =1e2x. Destaforma, umprocesso1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.511.522.533.54Figura4.4: Diagramadedispersaodelinearizac aodeveserempregado, paraquesejapossvel aplicaroMetododosMnimosQuadrados. Nestecasopodemosprocederdaseguinteforma.f(x) = 1e2xz= ln(f(x)) = ln(1) + 2x.Fazendo1= ln(1)e2= 2oproblemaconsisteemajustarosdadosdezporumareta.Paraistotomamosg1(x)=1eg2(x)=x. Calculandoasfunc oesemcadaumdospontosCAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 56temosx 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0f(x) 0.157 0.234 0.350 0.522 0.778 1.162 1.733 2.586 3.858z= ln(f(x)) 1.851 1.452 1.049 0.650 0.251 0.150 0.549 0.950 1.350g1(x) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000g2(x) 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Calculandooselementosdamatrizevetordostermosindependentetemosquea1,1=9k=1g1(xk) g1(xk) = 9a1,2=9k=1g1(xk) g2(xk) = 9 = a2,1a2,2=9k=1g2(xk) g2(xk) = 24b1=15k=1z(xk) g1(xk) = 2.254b2=15k=1z(xk) g2(xk) = 9.749Cujaasolucao edadapor1= 1.050 e 2= 0.800Destaformaosvaloresdeisaodadospor:1= e1= 0.349 e 2= 2= 0.800Portantotemos(x) = 1e2= 0.349e0.800xAgura4.5mostraacomparacaodosdadoscomafuncaoobtida. Paravericarsefunc aoescolhidaparaaaproxima caofoi bemfeita, usamosotestedealinhamento. Esteconsisteemtomarmososdadoslinearizados, istoe, ospontoszdatabela, efazerodiagramadedispersao. Seospontosestiveremalinhados, entaoaescolhadafuncaofoi boa. Agura4.6mostraodiagramadedispersaodosdadosemz, obtidosnonossoexemplo. Podemosconcluirqueanossaescolhapelaexponencialfoiumaescolhaacertada.4.4 Observac oesFinaisO ajuste de curvas permite extrapolar os valores tabelados. Isto e, se os dados estao tabeladosnum intervalo [x0, xm] podemos aproximar um x [x0, xm] com uma certa seguranca. ComoCAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 571 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.511.522.533.54Figura4.5: DiagramadeDispersaoeoGracoda(x)osdadosprovemdeexperimentosqueestaosujeitosaerrosdemedic oes,podemostermaisdeumvalorparaumdeterminadoponto. (Vejaexerccio4.4)Afunc aoobtidaconsideraosdoisvaloresfazumamediaentreestesvalores.Os elementos ai,jsao obtidos pelo produto interno entre as func oes gie gjdenidos porCasoDiscreto: 'gi, gj` =mk=1gi(xk)gj(xk)CasoContnuo: 'gi, gj` =

bagi(x)gj(x)dxSeasfuncoesgiforemortogonais,isto e'gi, gj` =

0, parai = jki, parai = jamatrizobtidaseradiagonal econseq uentementeasolucaodosistemaeimediata. Comoexemplo,vejaexerccio4.5.CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 581 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 321.510.500.511.5Figura4.6: Diagramadosdadoslinearizados4.5 ExercciosExerccio4.1Usandoosdadosabaixo, facaumajustedecurvacomg1(x)=1eg2(x)=sen(2x). CalculeodesvioecomparecomosresultadosobtidosnoExemplo(4.1.1).x 0.10 0.20 0.50 0.65 0.70 0.80 0.90 1.10 1.23 1.35 1.57 1.70 1.75 1.80 1.94f(x) 0.19 0.36 0.75 0.87 0.91 0.96 0.99 0.99 0.94 0.87 0.67 0.51 0.43 0.36 0.11Exerccio4.2Dadaatabelaabaixox 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00f(x) 0.479 0.681 0.841 0.997 0.909 0.598 0.141Entreos grupos defuncoes bases abaixo, escolhaaquelequerepresentaramelhor re-sultadonumajustede curvas. Justique suaescolha. Facaumajusteconsiderandosuaescolha.GrupoI: g1(x) = 1eg2(x) = x.GrupoII: g1(x) = 1eg2(x) = ex.GrupoIII: g1(x) = 1eg2(x) = x2.CAPITULO4. AJUSTEDECURVAS:METODODOSMINIMOSQUADRADOS 59Exerccio4.3Atabelaabaixorepresentaocalorespeccodaaguaemfuncaodatempera-tura.t(oC) 0 5 10 25 30 35C(t) 1.00762 1.00392 1.00153 0.99852 0.99826 0.99818Faccaumajustelinear, umquadraticoeumc ubico. Facaumajustenaolineardaforma(x) =1e2, com1, 2>0. Calculeodesvioeache umaaproximacaoparat=15emcadaumdoscasos. SabendoqueovalorexatodafuncaoC(15)=1.00000, qualdoscasosacimaapresentoumelhoraproximacao?Exerccio4.4Ajustarosdadosabaixo`afuncaoz=11 + e(1x+2)x 0.1 0.3 0.5 0.5 0.7 0.8 0.8 1.10 1.30 1.80f(x) 0.833 0.625 0.500 0.510 0.416 0.384 0.395 0.312 0.277 0.217Verique, pelo teste do alinhamento, qual e a melhor escolha para ajustar os dados entreas funcoes z= 12xe z= 1x2. (Obs: Note que neste caso a tabela apresenta dois valoresdiferentesparaospontosx = 0.5ex = 0.8. Istopodeocorrerseestamosconsiderandoqueosdadosprovemdeexperimentosquesaorealizadosmaisdeumavez. )Exerccio4.5Usando os polinomios de Legendre g1(x) = 1, g2(x) = x e g2(x) =12(3x21),quesaoortogonaisem[1, 1],acheamelhorparabolaqueaproximaafuncaof(x) = cos(x)nointervalo[3, 3]. (Obs: Aortogonalidadedos polinomios nos forneceriaumamatrizdiagonal, seoajustefossefeitonointervalo[1, 1]. Logodevemosfazerumamudancadevariavel detal formaqueobteremosnovasgiqueseraoortogonaisem[3, 3])Captulo5InterpolacaoPolinomialA interpolac ao e outra forma de encontrar uma func ao que represente um conjunto de dadostabelados. Interpolarumconjuntodedados(xk, fk),k=0, 1,, n,consisteemencontrarumafunc aopn(x), escolhidanumaclassedefuncoes, tal queestasatisfacacertaspropri-edades. Nestecaptulovamosconsiderarocasoondepn(x)eumpolinomiodetal formaquefk= p(xk), k= 0, 1, 2,, n.Esta condicao e chamada de condicao de interpolac ao e o polinomio que satisfaz esta condic aoechamadodepolinomiointerpolador.Teorema5.0.1(ExistenciaeUnicidade) Dado o conjunto de n+1 pontos distintos(xk, fk), k=0, 1,n, Istoe, xk =xjparak =j. Existeum unicopolinomiop(x) degraumenorouigual an,tal quep(xk) = fkparak = 0, 1, 2,, n.Prova: Sejap(x)=a0 + a1x + a2x2++ anxn. Paraobterosaiusamosacondicaodeinterpolacaofk= p(xk)parak = 0, 1, 2,, n. Logo,segueque:f0= p(x0) = a0 + a1x0 + a2x02+ + anx0nf1= p(x1) = a0 + a1x1 + a2x12+ + anx1n... =.........fn= p(xn) = a0 + a1xn + a2xn2+ + anxnnQuecorrespondeaosistemalineardaforma

1 x0x02 x0n1 x1x12 x1n1 x2x22 x2n............1 xnxn2 xnn

a0a1a2...an

=

f0f1f2...fn

60CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 61AmatrizA, associadaaosistema, eumamatrizdeVandermonde, cujoodeterminanteedadoporDet(A) =nl=1l1j=0(xlxj)Comoxl =xjparal =j, seguequeodeterminantedamatrizAediferentedezeroeportantoosistemaadmiteuma unicasoluc aoExemplo5.0.1Vamosacharumaaproximacaoparaf(0.3)usandoopolinomiointerpola-dordosdadosabaixo.xk0.0 0.2 0.4fk4.00 3.84 3.76Comotemos,trespontos(n+1 = 3),ograudopolinomioseramenorouigualadois. Logop(x) = a0 + a1x + a2x2Impondoacondic aofk= p(xk)obtemos:f0= 4.00 = p(0) = a0 + a10 + a202f1= 3.84 = p(0.2) = a0 + a10.2 + a20.22f2= 3.76 = p(0.4) = a0 + a10.4 + a20.42Queequivaleaosistemalinearnaformamatricial

1 0 0 4.001 0.2 0.04 3.841 0.4 0.16 3.76

Asolucaodestesistemaea0= 4,a1= 1ea2= 1,obtendoassimp(x) = x2x + 4Destaformaf(0.3) p(0.3) = 3.79Existemoutrasformasdeencontraropolinomiointerpoladorquearesolucaodesistemas.Teoricamenteestesprocedimentosresultamnomesmopolinomiopn(x). Aescolhadeumaououtraformadependedosdadosquedevemosinterpolar.CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 625.1 FormadeLagrangeVamosconsideraroconjuntoden+1pontos(xk, fk),k= 0, 1, . . . ndistintosevamosconsi-deraropolinomiorepresentadoporpn(x) = f0L0(x) + f1L1(x) + + fnLn(x) =nk=0fkLk(x)ondeLk(x) eumpolinomiodegrau nquesatisfazarelacaoLk(xj) =

0 sek = j1 sek = jComistotemosquepn(xj) = f0L0(xj) 0+ f1L1(xj) 0+ + fjLj(xj) 1+ + fnLn(xj) 0= fjLogopn(x)eopolinomiointerpolador def(x) nos pontos x0, x1, . . . , xn. Os polinomiosLk(x)saochamadosdepolinomiosdeLagrangeeestessaoobtidosdaforma:Lk(x) =(x x0)(x x1)(x xk1)(x xk+1)(x xn)(xkx0)(xkx1)(xkxk1)(xkxk+1)(xkxn)Exemplo5.1.1Vamosconsideraratabeladepontosdoexemploanteriorx 0.0 0.2 0.4f(x) 4.00 3.84 3.76CalculandoosLk(x)temosL0(x) =(x x1)(x x2)(x0x1)(x0x2)=(x 0.2)(x 0.4)(0 0.2)(0 0.4)=10.08(x20.6x + 0.08)L1(x) =(x x0)(x x2)(x1x0)(x1x2)=(x 0)(x 0.4)(0.2 0)(0.2 0.4)=10.04(x20.4x)L2(x) =(x x0)(x x1)(x2x0)(x2x1)=(x 0)(x 0.2)(0.4 0)(0.4 0.2)=10.08(x22.6x)Assimtemosquep(x) = x2x + 4Observequeopolinomio eomesmoobtidopelaresoluc aodesistema. Istojaeraesperado,poisopolinomiointerpolador e unico.CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 635.2 FormadeNewtonAformadeNewtondopolinomiointerpolador ebaseadanosoperadoresdediferencasdivi-didas. Sejaf(x)umafuncaotabeladaemn + 1pontosdistintosx0, x1, . . . , xn. Denimosooperadordediferencadivididadeordemzeroemxkpor:f[xk] = f(xk).Ooperadordediferencadivididadeordemum,nospontosxk, xk+1,edenidodaseguinteforma:f[xk, xk+1] =f[xk] f[xk+1]xkxk+1Estevalorpodeserinterpretadocomoumaaproximac aoparaaprimeiraderivadadef(x),em xk. O operador de diferenca dividida de ordem dois, nos pontos xk, xk+1, xk+2, e denidodaseguinteforma:f[xk, xk+1, xk+2] =f[xk, xk+1] f[xk+1, xk+2]xkxk+2.De forma analoga, denimos o operador diferenca dividida de ordem n, nos pontos xk, xk+1, . . . , xk+n,daseguinteforma:f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =f[xk, xk+n1] f[xk+1, xk+n]xkxk+n.Notequeaformadecalculodessesoperadoreseconstrutiva, nosentidodequeparaobteradiferencadivididadeordemnnecessitamosdasdiferencasdivididasdeordemn 1, n 2, . . . , 1, 0. Umesquemapraticoparaocalculodessesoperadores edadopelatabelaabaixox f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2]f[xk, xk+1, . . . , xk+n]x0f0>f0f1x0x1x1f1>f[x0,x1]f[x1,x2]x0x2>f1f2x1x2x2f2>f[x1,x2]f[x2,x3]x1x3>f2f3x2x3>f[x0,...,xn1]f[x1,...,xn]x0xnx3f3.........xn1fn1>fn1fnxn1xnxnfnCAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 645.2.1 ConstrucaodoPolin omioVamos considerar o conjunto de pontos x0, x1, . . . , xn, onde conhecemos os valores da func aof(x), dados por f0, f1, . . . , fn. Calculando a diferenca dividida de ordem dois entre os pontosx, x0, x1temosf[x, x0, x1] =f[x, x0] f[x0x1]x x1Isolandoadiferencadeordemumquedependedexseguequef[x, x0] = f[x0, x1] + (x x1)f[x, x0, x1]Aplicamosadenicaodediferencadeordemumnoprimeirotermo,assimseguequef(x) f(x0)x x0= f[x0, x1] + (x x1)f[x, x0, x1],eistoimplicaquef(x) = f(x0) + x x0f[x0, x1] + (x x0)(x x1)f[x, x0, x1] = p1(x) + E1(x).Ou seja a func ao f(x) e igual a um polinomio de grau um ,p1(x), mais uma func ao E1(x) quedepende da diferenca dividida de ordem dois. Desta forma podemos dizer que a funcao f(x)eaproximadaporp1(x)comerrodeE1(x). Opolinomiop1(x)eopolinomiointerpoladordef(x),nospontosx0, x1,pois,p1(x0) = f(x0) + (x0x0) 0f[x0, x1] + (x0x0) 0(x x1)f[x, x0, x1]= f(x0)p1(x1) = f(x0) + (x1x0)f[x0, x1] + (x1x0)(x x1) 0f[x, x0, x1]= f(x0) + (x1x0)f(x0) f(x1)x0x1= f(x1)De forma analoga, podemos calcular a diferenca dividida de ordemn, sobre os pontosx, x0, x1, . . . , xn,obtendof(x) = pn(x) + En(x),ondepn(x) = f(x0) + (x x0)f[x0, x1] + (x x0)(x x1)f[x0, x1, x2] + +(x x0)(x x1)(x xn1)f[x0, x1. . . , xn] (5.1)En(x) = (x x0)(x x1)(x xn)f[x, x0, x1, . . . , xn] (5.2)CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 65Assim podemos aproximar f(x) por pn(x),sendo que o erro e dado por En(x). O polinomiopn(x)eopolinomiointerpoladordef(x)sobreospontosx0, x1, . . . xn, poisp(xj)=f(xj),paraj= 0, 1, . . . , n.Exemplo5.2.1Vamosconsiderarafuncaof(x)tabeladaabaixo.x 0 0.5 1 1.5f(x) 0.0000 1.1487 2.7183 4.9811Montandoatabeladasdiferencasdivididastemosxkf[xk] f[xk, xk+1] f[xk, .., xk+2] f[xk, .., xk+3]0.0 0.00002.29740.5 1.1487 0.84183.1392 0.363061.0 2.7183 1.38644.52561.5 4.9811Atravesdaequacao(5.1)podemosnotarqueasdiferencasdivididasquenecessitamossaoasprimeirasdecadacoluna. Logopolinomiointerpoladoredadoporp(x) = f(x0) +x x0f[x0, x1] + (x x0)(x x1)f[x0, x1, x2] + (x x0)(x x1)(x x2)f[x0, x1, x2, x3]= 0.00 + (x 0.0)2.2974 + (x 0.0)(x 0.5)0.8418 + (x 0.0)(x 0.5)(x 1.0)0.36306= 2.05803x + 0.29721x2+ 0.36306x35.3 EstudodoErroAequac ao(5.2)representaoerrocometidonainterpolacaosobreospontosx0, . . . , xn. Seaproximamosf( x) pn( x)oerroseradadoporEn( x). Poremestedependedadiferencadividida f[ x, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende do valor de f( x). Como a func ao f(x)etabelada,naotemoscomocalcularestevalor. Estimativasparaoerropodemserobtidasseconhecemosalgumaspropriedadesdafuncao.Teorema5.3.1Sejamx0, x1, . . . , xn, n + 1pontos distintos. Sejapn(x) opolinomioin-terpoladorsobrex0, x1, . . . , xn. Sef(x)en + 1vezesdiferenciavel em[x0, xn] entaopara x [x0, xn]oerroedadopor:En( x) = f( x) pn( x) = ( x x0)( x x1)( x xn)f(n+1)()(n + 1)!com [x0, xn]CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 66Prova:SejaG(x) = (x x0)(x x1)(x xn),logoG(xi) = 0parai = 0, 1, . . . n.SejaH(t) = En(x)G(t) En(t)G(x),logoHsatisfaz1: H(t)possuiderivadasateordemn + 1,poisGeEnpossuemderivadasateestaordem.2: H(t)possuipelomenos(n + 2)zerosem[x0, xn],poisparat = xitemosH(xi) = En(x)G(xi) 0En(xi) 0G(x) = 0eparat = xtemosH(x) = En(x)G(x) En(x)G(x) = 0.3: AplicandooTeoremadeRolleaH(t)esuasderivadasateordemn + 1,temosH(t) temn + 2zerosem[x0, xn]H

(t) temn + 1zerosem[x0, xn]H

(t) temnzerosem[x0, xn]......H(n+1)tem1zerosem[x0, xn]PorouroladotemosqueH(n+1)(t) = En(x)G(n+1)(t) En(n+1)(t)G(x)onde,En(n+1)(t) = f(n+1)(t) pn(n+1)(t)G(n+1)(t) = (n + 1)!Comoopolinomiopnedegrauntemosquepn(n+1)(t) = 0eseguequeH(n+1)(t) = En(x)(n + 1)! f(n+1)(t)G(x)AfuncaoH(n+1)(t) possui umzeroem[x0, xn] quevamoschamar de. SubstituindonaequacaoacimatemosqueEn(x) = (x x0)(x x1)(x xn)f(n+1)()(n + 1)!Napraticausamosumlimitanteparaoerro,sendo[En(x)[ [(x x0)(x x1)(x xn)[ maxx[x0,xn][f(n+1)(x)[(n + 1)!,ondetemosqueteralgumainformac aosobreafuncaoquepermitalimitarsuaderivadadeordemn + 1.CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 675.4 EscolhadosPontosUmadascaractersticasdainterpolac aoequeestapodefornecerumaaproximac aolocal,semanecessidadedeusartodososdadosdisponveis. Comoexemplo, vamosconsideraratabelaabaixox 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37.Vamosacharumaaproximac aoparaf(0.44), usandoumpolinomiodegrau2. Nestecaso,necessitamosde3pontoseoideal eescolheraquelesqueestaomaisproximosdovalorquedesejamosaproximar. Logoamelhorescolhaserax0=0.34, x1=0.4ex2=0.52. Istosejusticapelaformuladoerro,pois[En(0.44)[ [(0.440.34)(0.440.4)(0.440.52)[ maxx[x0,x2][f(n+1)(x)[(n + 1)!= 0.00032 maxx[x0,x2][f(n+1)(x)[(n + 1)!Setivessemosescolhidox0= 0.2ex2= 0.72,oerroestarialimitadopor[En(0.44)[ 0.00268 maxx[x0,x2][f(n+1)(x)[(n + 1)!.5.5 InterpolacaoInversaConsidereoseguinteproblema:Dadaumatabeladepontos(xk, fk)eumn umeroy [f0, fn]. Desejamosacharovalordexdetal formaquef(x) = y.Temosduasformasderesolveroproblema: Obteropolinomiointerpoladordef(x)eresolveraequac aopn(x) = y. Emgeralaequacaopn(x) = ytemmaisdeumasoluc aoeseograudopolinomioformaiorque2, naotemosumprocedimentoanalticoquedetermineas solucoes. Aoutraformade se achar xe fazer umainterpolacaoinversa. Se f(x) einversvel num intervalo contendo y, ent ao interpolamos a func ao inversa, isto e consideramosoconjuntodedadosx = f1(y)eachamosopolinomiointerpoladordef1(y).Acondicaoparaqueafunc aosejainversvel equeestasejamonotonacrescenteoudecrescente. Emtermosdospontostabeladosistosignicaqueospontosdevemsatisfazerf0< f1 f1>> fnExemplo5.5.1Dadaatabeladepontosx 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8f(x) 0.587 0.809 0.951 1.000 0.951 0.809 0.587CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 68Vamos procurar uma aproximacao de x de tal forma que f(x) = 0.9, usando uma interpolacaoquadraticanaformadeNewton.Em primeiro lugar devemos determinar em que intervalo pode ocorrer f(x) = 0.9. Nesteexemplotemosduaspossibilidades, parax [0.3, 0.4] oux [0.6, 0.7]. Emsegundolugardevemos vericar se a funcao f(x) admite inversa. Para o primeiro caso temos que a funcaof(x) e crescente no intervalo [0.2, 0.5]. Logo esta admite inversa neste intervalo. No segundocasoafuncaoadmiteinversanointervalo[0.5, 0.8],poisestaedecrescentenesteintervalo.Comodesejamosumainterpolacaoquadraticatemosqueternomnimotrespontosenosdois casos temos quatro pontos. Portanto e possvel achar as duas aproximacoes. Vamos nosconcentrarnoprimeirocaso. Montandoatabeladafuncaoinversatemosy 0.587 0.809 0.951 1.000f1(y) 0.2 0.3 0.4 0.5Como desejamos um polinomio de grau 2, devemos escolher tres pontos e a melhor escolha saoos pontos que estao mais proximos do valor a ser aproximado, y= 0.9 (x0= 0.809, x1= 0.951ex2= 1.000). Calculandoasdiferencasdivididastemosy f1ordem1 ordem20.809 0.30.7040.951 0.4 6.9992.0401.000 0.5econseq uentementeopolinomioedadoporp(y) = 0.3 + (y 0.809)0.704 + (y 0.951)(y 0.809)6.999= 5.115 11.605y + 6.994y2Portantoovalordextal quef(x) = 0.9eaproximadoporx = f1(0.9) p(0.9) = 0.3315.5.6 Observac oesFinaisComo no caso do ajuste de curvas,a interpolacao aproxima uma funcao, sobre um conjuntodedados. Poremainterpolacaoexigequeospontossejamdistintos. Fatoquenaoprecisaocorrer comoajuste de curvas. Alemdisso, ograudopolinomiointerpolador dependedaquantidadedepontos. Logoparaumconjuntode100pontos teremos umpolinomiode grau 99, oque naoe muitopraticose desejamos montar ummodelomatematico.Ainterpolacaoemaisindicadaparaaproximacoesquantitativas, enquantoqueoajustedecurvas e indicado para uma aproximac oes qualitativas. Se desejamos saber a taxa de variac aodeumadeterminadafuncao(ousejaaderivada),omaisindicado eoajustedecurvas,poisnainterpolac aonaotemosgarantiadequef

(x) p

n(x)(Vejagura5.1).CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 69Se a funcao que estamos interpolando, sobre n +1 pontos e um polinomio de grau n,entaoopolinomiointerpoladoreapropriaf(x). Istopodeservericadopelaformuladoerro,ondeotermof(n+1)() = 0 [x0, xn].A interpolacao e mais indicada para aproximacoes quantitativas, enquanto que o ajustedecurvas eindicadoparaumaaproxima caoqualitativa.A medida que aumentamos a quantidade de pontos num intervalo [a, b], ocorre o fenomenodeRunge,queecaracterizadoemaumentaroerronospontosextremosdointervaloeme-lhoraraaproximacao nospontos centrais. Isto e justicadopelaformuladoerro,emqueospontosextremosdointervalofazcomqueofator(x x0)(x xn)sejagrande. Destaforma, opolinomiointerpoladornaoeindicadoparaextrapolarvalores, istoeaproximarvaloresquenaopertencemaointervalo[x0, xn]. Abaixoapresentamosumexemploimple-mentadonoMatLab,ondeagura5.1mostraofenomenodeRunge.1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.500.511.52Figura5.1: FenomenodeRunge. ---pn(x),f(x)% Diciplina de Calculo Numerico - Prof. J. E. Castilho% Forma de Lagrange do Pol. Interpolador% Interpola a funcao f(x)=1/(1+25x^2) nos pontos% x=[-1.0,-0.8,-0.6,...,0.6,0.8,1.0]% Calcula o polinomio e a funcao nos pontosCAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 70% xf=[-1.0,-0.98,-0.96,...,0.96,0.98,1.0]% Compara os graficos e mostra o fenomeno de Runge%clear;xf=-1:0.02:1;f=1./(1+25 *xf.^2);x=-1:0.2:1;fk=1./(1+25 *x.^2);% Forma de Lagrangen=size(xf); % pontos onde vamos calcular o polinomiom=size(x); % pontos de interpolacaofor s=1:n(2)p(s)=0;for l=1:m(2)L=1;for k=1:l-1L=L*(xf(s) -x(k))/(x(l)-x(k));end;for k=l+1:m(2)L=L*(xf(s) -x(k))/(x(l)-x(k));end;p(s)=p(s)+fk(l)*L;end;end;plot(xf,f,xf,p,:);print -depsc fig51.eps5.7 ExercciosExerccio5.1Atabelaabaixoforneceon umerodehabitantesdoBrasil (emmilhoes)de1900a1970.ano 1900 1920 1940 1950 1960 1970Hab. 17.4 30.6 41.2 51.9 70.2 93.1a) Usandoopolinomiointerpoladordegrau2, naformadeLagrange, acheumaapro-ximacaoparaapopulacaonoanode1959.b) Usando interpolacao quadratica na forma de Newton, estime, com o menor erro possvel,emqueanoapopulacaoultrapassouos50milhoes.CAPITULO5. INTERPOLAC AOPOLINOMIAL 71c) Comosresultadosobtidosno tema)podemosestimarataxadecrescimentodapo-pulacaonesteperodo?Justiquesuaresposta.Exerccio5.2Considereafuncaof(x)= xeospontosx0=16, x1=25ex2=36.Comqueprecisaopodemoscalcular20,usandointerpolacaosobreestespontos?Exerccio5.3Considere o problema de interpolacao linear para f(x) =sen(x)+x, usandoospontosx0ex1= x0 + h. Mostreque [E1(x)[ h2/8.Exerccio5.4Dadaatabelaabaixo.x -0.2 -0.1 0.1 0.15 0.35f(x) 0.980 0.995 0.996 0.988 0.955a) Quandopossvel, acheumaaproximacaoparaf(0.25)ef(0), usandoopolinomiointerpoladornaformadeNewton,comomenorerropossvel.b) SetivessemosusadoopolinomiointerpoladornaformadeLagrangesobreosmesmospontosobteramosmelhorresultado?Justique.Exerccio5.5Num experimento de laboratorio, uma reacao qumica liberou calor de acordocomasmedic oesmostradasnatabelaabaixohora 8:00hr 9:00hr 9:30hr 10:00hrCo0 130 210 360a) Determineumafuncaoquedeatemperaturaemfuncaodotempo, demodoqueospontostabeladossejamrepresentadossemerro.b) Calculeaprovavel temperaturaocorrida`as9:45hr.Captulo6IntegracaoNumerica-FormulasdeNewtonCotesO objetivo deste captulo e estudar esquemas numericos que aproxime a integral denida deumafuncaof(x)numintervalo[a, b]. Aintegrac aonumerica eaplicadaquandoaprimitivadafunc aonaoeconhecidaouquandosoconhecemosafunc aof(x)numconjuntodiscretodepontos.AsformulasdeNewton-Cotessaobaseadasnaestrategiadeaproximarafuncaof(x)por umpolinomiointerpolador eaproximamosaintegral pelaintegral dopolinomio. Asaproximacoessaodotipo

baf(x)dx A0f(x0) + A1f(x1) + Anf(xn) =ni=0Aif(xi)ondeospontossaoigualmenteespacados, istoexk=x0+ kh, comh=(b a)/n, eoscoecientesAisaodeterminadopelopolinomioescolhidoparaaproximarafunc aof(x).6.1 RegradoTrapezioA Regra do Trapezio e a formula de Newton-Cotes que aproxima a func ao f(x) pelo polinomiointerpoladordegrau1sobreospontosx0=aex1=b. Opolinomiointerpoladordegrauum,naformadeNewton edadoporp1(x) = f(x0) + f[x0, x1](x x0).Desta forma vamos aproximar a integral da func ao f(x) pela integral do polinomio, obtendo

baf(x)dx

x1x0p1(x)dx=

x1x0f(x0) + f[x0, x1](x x0)dx72CAPITULO6. INTEGRAC AONUMERICA-FORMULASDENEWTONCOTES 73= f(x0)(x1x0) + f[x0, x1]

x122x022x0(x1x0)

= f(x0)(x1x0) +f(x1) f(x0)x1x0(x1x0)22=(x1x0)2(f(x0) + f(x1))=h2(f(x0) + f(x1)),ondeh=x1 x0. Aformulaacimarepresentaaareadotrapezioquetemf(x1)ef(x0)como os valores das bases e h como o valor da altura. Na gura 6.1 temos uma representa caodestaaproximac ao.a||x0b||x1f(x)p(x)f(x0)f(x1)6.2 CalculodoErroNocaptulodeinterpolac aovimosqueumafunc aof(x)podeserrepresentadaporf(x) = pn(x) + En(x),CAPITULO6. INTEGRAC AONUMERICA-FORMULASDENEWTONCOTES 74ondepn(x)eopolinomiointerpoladoreEn(x)oerronainterpolac aodenidonoTeorema5.3.1. Calculandoaintegraldafunc aof(x)nointervalo[a, b],segueque

baf(x)dx =

bapn(x)dx +

baEn(x)dx,ousejaoerronaintegrac aoedadopelaintegrac aodoerrocometidonainterpolac ao. NocasodaRegradoTrapezioseguequeoerro edadoporET=

baE1(x)dx =

ba(x x0)(x x1)f

()2dx = h312f

(), [a, b]Comooerrodependedoponto,que edesconhecido,napraticausamosaestimativa[ET[ h312max[a,b][f

()[Exemplo6.2.1Comoexemplo, vamosconsiderarafuncaof(x)=ex2, cujaaprimitivanaotemumaformaanalticaconhecida. Vamos aproximar aintegral nointervalo[0, 1]usandoaRegradoTrapezio. Destaformatemosqueh = 1 0 = 1esegueque

10ex2dx 12(e02+ e12) = 0.6839397Paracalcularoerrocometidotemosquelimitarasegundaderivadadafuncaonointervalo[0, 1]. Sendof

(x) = (4x22)ex2temosquenosextremosdointervalovale[f

(0)[ = 2 e [f

(1)[ = 0.735759.Paracalcularospontoscrticosdaf

(x),devemosderivarf

(x)eigualarazero,obtendo,f

(x) = (12x 8x3)ex2= 0 x = 0oux =

32Comoo unicopontocrticopertencenteaointervaloex = 0seguequemax[a,b][f

()[ = 2ComistotemosqueET h312max[a,b][f

()[ =16= 0.166667Notequeestaestimativadoerroinformaqueaaproximac aoobtidanaotemgarantidanemda primeira casa decimal como exata. Logo a soluc ao exata da integral esta entre os valores0.6839397 0.166667.CAPITULO6. INTEGRAC AONUMERICA-FORMULASDENEWTONCOTES 756.3 RegradoTrapezioRepetidaARegradoTrapezioaproximabemfunc oessuaves( [f

(x)[ 0, x [a, b],entaoaaproxima caoobtidapelaRegradoTrapezioemaiorqueovalorexatodaintegral.Exerccio6.4Dadaatabelaabaixo, calculeaintegral

0.150.30f(x)dxcomomenorerropossvel.x 0.15 0.22 0.26 0.30f(x) 1.897 1.514 1.347 1.204Exerccio6.5BaseadonaRegradeSimpson, determineumaregradeintegracaoparaaintegral dupla

ba

dcf(x, y)dxdyApliquearegraparacalcularumaaproximacaopara

10

10x2+ y2dxdyCaptulo7EquacoesDiferenciaisOrdinarias(P.V.I.)Muitos dos modelos matematicos nas areas de mecanica dos uidos, uxo de calor, vibrac oes,reacoes qumicas saorepresentados por equac oes diferenciais. Emmuitos casos, ateoriagaranteaexistenciaeunicidadedasolucao, poremnemsemprepodemos obter aformaanalticadestasoluc ao.Nestecaptulovamosnosconcentraremanalisaresquemasnumericosparasoluc aodeProblemasdeValorInicial (P.V.I.), paraequac oesdiferenciaisdeprimeiraordem. Istoe,acharafunc aoy(x)talque

y

= f(x, y)y(x0) = y0Aaproximacaodey(x)ecalculadanospontosx1, x2, x3, . . ., ondexk=x0 + kh. Ovalordafunc aonopontoxkeaproximadoporyk,queeobtidoemfunc aodosvaloresanterioresyk1, yk2, . . . , y0. Comistopodemosclassicarosmetodosemduasclasses:MetodosdePassoSimples: Sao aqueles em que o calculo de ykdepende apenas de yk1.MetodosdePassoM ultiplo: Saoaquelesemqueocalculodeykdependem-valoresan-teriores,yk1, yk2, . . . , ykm. Nestecasodizemosqueometodo edem-passos.7.1 MetodoEulerDadooproblemadevalorinicial

y

= f(x, y)y(x0) = y0Umaformadeaproximaraderivadadeumafunc aonopontox1edadopory

(x0) =limh0y(x0 + h) y(x0)hy(x0 + h) y(x0)h(7.1)81CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 82x0x1x2x3x4x5| | | | | |y0y1y2y3y4y5Comox1= x0 + hepeloP.V.I.seguequey1y0h= f(x0, y0) y1= y0 + hf(x0, y0)Comistorelacionamosopontoy1comy0, umvalordadonoP.V.I. Assimobtemosumaaproximacaoy(x1) y1. Deformaanalogapodemosobtery2emfunc aodey1, sendoquedeumaformageralteremosyk+1= yk + hf(xk, yk)Estemetodo econhecidocomoMetododeEuler.Exemplo7.1.1Consideremososeguinteproblemadevalorinicial

y

= x 2yy(0) = 1Nestecasotemos quex0=0ey0=1. Vamos usaroMetododeEulerparaobterumaaproximacaoparay(0.5),usandoh = 0.1. Destaformatemosy1= y0 + h(x02y0) = 1 + 0.1(0 2 1) = 0.8 y(x1) = y(0.1)y2= y1 + h(x12y1) = 0.8 + 0.1(0.1 2 0.8) = 0.65 y(x2) = y(0.2)y3= y2 + h(x22y2) = 0.65 + 0.1(0.2 2 0.65) = 0.54 y(x3) = y(0.3)y4= y3 + h(x32y3) = 0.54 + 0.1(0.3 2 0.54) = 0.462 y(x4) = y(0.4)y5= y4 + h(x42y4) = 0.462 + 0.1(0.4 2 0.462) = 0.4096 y(x5) = y(0.5)CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 83AsolucaoanalticadoP.V.I. edadapor y(x) =(5e2x+ 2x 1)/4. NogracoabaixocomparamosasolucaoexatacomosvalorescalculadospeloMetododeEuler. Notequeemcadavalorcalculadooerroaumenta. Istosedeveporquecometemos umerrolocalnaaproximacao da derivada por (7.1) e este erro vai se acumulando a cada valor calculado. Naproximasecaodaremosumaformageral doerrolocal.0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20.200.20.40.60.811.27.2 MetodosdaSeriedeTaylorVamosconsideraroproblemadevalorinicial

y

= f(x, y)y(x0) = y0AplicandoaseriedeTaylorparay(x)nopontoxk,temosy(x) = y(xk)+y

(xk)1!(xxk)+y

(xk)2!(xxk)2++y(n)(xk)n!(xxk)n+y(n+1)()(n + 1)! (xxk)n+1Calculandonopontoxk+1econsiderandoquexk+1xk= htemosquey(xk+1) = y(xk) +y

(xk)1!h +y

(xk)2!h2+ +y(n)(xk)n!hn+y(n+1)()(n + 1)! hn+1(7.2)Como y

(xk) = f(xk, yk) podemos relacionar as derivadas de ordem superior com as derivadasdafunc aof(x, y). Comoexemploconsideremosy

(xk) =ddxf(xk, yk)CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 84= fx + fyy

= fx + fyfy

(xk) = fy(fx + fyf) + f2fyy + 2ffxy + fxxDestaformapodemos obter umaaproximac aoparaocalculodoP.V.I., substituindoasrelacoesdotipoacimanaseriedeTaylor. OsmetodospodemserclassicadosdeacordocomotermodemaiorordemqueusamosnaseriedeTaylor,sendoDenicao7.2.1DizemosqueummetodoparaasolucaodeP.V.I. edeordemnseestecoincidecomaseriedeTaylorateon-esimotermo. Oerrolocal cometidoporestaapro-ximacaoseradaformaEloc(xk+1) =y(n+1)()(n + 1)! hn+1 [xk, xk+1]Comoexemplotemos queoMetododeEuler eummetodode1oordem, pois estecoincidecomaseriedeTaylorateoprimeirotermo,logooerrolocal edadoporEloc(xk+1) =y

()2!h2 [xk, xk+1]Emgeral, podemos determinar aordemdeummetodopelaformuladoerro. Seoerrodependedan-esimaderivadadizemosqueometodo edeordemn 1.Exemplo7.2.1Vamosutilizarometodode2oordemparaaproximary(0.5), usandoh=0.1,paraoP.V.I.

y

= x 2yy(0) = 1Nestecasotemosquef(x, y) = x 2y,logoseguequey

= fx + fyf= 1 2(x 2y)Substituindoem(7.2)temosquey(xk+1) = y(xk) +y

(xk)1!h +y

(xk)2!h2= y(xk) + h(xk2y(xk)) +h22(1 2xk + 4y(xk))Portantoometodoedadoporyk+1= yk + h(xk2yk) +h22(1 2xk + 4yk)CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 85Sendox0= 0ey0= 1obtemosquey1= y0 +h(x02y0) +h22 (1 2x0 + 4y0)= 1 + 0.1(0 2 1) + 0.122(1 2 0 + 4 1) = 0.825y2= y1 +h(x12y1) +h22 (1 2x1 + 4y1)= 0.825 + 0.1(0.1 2 0.825) + 0.122(1 2 0.1 + 4 0.825) = 0.6905y3= y2 +h(x22y2) +h22 (1 2x2 + 4y2)= 0.6905 + 0.1(0.2 2 0.6905) + 0.122(1 2 0.2 + 4 0.6905) = 0.58921y4= y3 +h(x32y3) +h22 (1 2x3 + 4y3)= 0.58921 + 0.1(0.3 2 0.58921) + 0.122(1 2 0.3 + 4 0.58921) = 0.515152y5= y4 +h(x42y4) +h22 (1 2x4 + 4y4)= 0.515152 + 0.1(0.4 2 0.515152) + 0.122(1 2 0.4 + 4 0.515152) = 0.463425Ograconagura7.1comparaosresultadosobtidosporestemetodo, comosresultadosobtidospelometododeEuler.Os resultados obtidos pelometodode2oordemsaomais precisos. Quantomaior aordemdometodomelhorseraaaproximac ao. Adiculdadeemsetomarmetodosdealtaordem eocalculodarelacaodey(n+1)(x) = [f(x, y)](n).7.3 MetodosdeRunge-KuttaAestrategiadosmetodosdeRunge-KuttaeaproveitarasqualidadesdosmetodosdaSeriedeTaylor(escolheraprecisao)semterquecalcularasderivadastotaisdef(x, y).O metodo de Runge-Kutta de 1o ordem e o Metodo de Euler, que coincide com o metododaSeriedeTaylorde1oordem. Vamosdeterminarummetodode2oordem, conhecidocomometododeEulerMelhoradooumetododeHeun. Comooproprionomediz,aideia emodicar o metodo de Euler de tal forma que podemos melhorar a precisao. Na gura 7.2-atemosaaproxima caoyen+1= yn + hf(xn, yn)que eobtidapelaaproxima caodometododeEuler.MontamosaretaL1quetemcoecienteangulardadopory

(xn) = f(xn, yn).L1(x) = yn + (x xn)y

n= yn + (x xn)f(xn, yn)L1(xn+1) = yn + (xn+1xn)y

n= yn + hf(xn, yn) = yen+1CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 860.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20.200.20.40.60.811.2Figura7.1: MetododeEulero-Metodode2oordem*MontamosaretaL2comcoecienteangulardadoporf(xn+1, yen+1)=f(xn, yn+ hy

)epassapelopontoP(Vergura7.2-b).L2(x) = yen+1 + (x xn+1)f(xn+1, yen+1)Montamos a reta L0 que passa por Pe tem como coeciente angular a media dos coecientesangulardeL1eL2(Vergura7.2-c). Finalmentearetaquepassapeloponto(xn, yn)eeparalelaaretaL0temaformaL(x) = yn + (x xn)12(f(xn, yn) + f(xn+1, yn + hy

n))Calculandonopontoxn+1temosyn+1= yn + h12(f(xn, yn) + f(xn+1, yn + hy

n))Podemosobservarqueovalordeyn+1(Vergura7.2-d)estamaisproximodovalorexatoqueovalordeyen+1. EsteesquemanumericoechamadodemetododeEulerMelhorado,ondeumaestimativadoerrolocal edadopor[Eloc(xn)[ h36max[xn,xn+1][y

()[CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 87(a)xnxn+1ynyen+1(b)xnxn+1ynL2L1Pyen+1(c)xnxn+1ynL2L1L0Pyen+1(d)xnxn+1ynL2L1L0Pyen+1yn+1Figura7.2: MetododeEulerMelhoradoDeterminamos o metodo de Euler Melhorado por uma construcao geometrica. Tambempodemos obter umademonstracaoanaltica. Desenvolvemos aseriedeTaylor dafunc aof(x, y) e calculando no ponto (xn+1, yn +hy

n). A expressao encontrada deve concordar comaSeriedeTaylorateasegundaordem. Emgeral ummetododeRunge-Kuttadesegundaordem edadoporyn+1= yn + a1hf(xn, yn) + a2hf(xn + b1h, yn + b2hy

n),CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 88onde

a1 + a2= 1a2b1= 1/2a2b2= 1/2(7.3)OmetododeEulerMelhorado eobtidocoma1= a2= 1/2eb1= b2= 1.Metodos de ordem superior sao obtidos seguindo o mesmo procedimento. Abaixo apre-sentamosummetodode3oe4oR-K3oordem:yn+1= yn +29K1 +13K2 +49K3K1= hf(xn, yn)K2= hf(xn + h/2, yn + K1/2)K3= hf(xn + 3h/4, yn + 3K2/4)R-K4oordem:yn+1= yn +16(K1 + 2K2 + 2K3 + K4)K1= hf(xn, yn)K2= hf(xn + h/2, yn + K1/2)K3= hf(xn + h/2, yn + K2/2)K4= hf(xn + h, yn + K3)7.4 MetodosdeAdans-BashforthSaometodosdepassom ultiplosbaseadosnaintegrac aonumerica. Aestrategia eintegraraequacaodiferencialnointervalo[xn, xn+1],isto e

xn+1xny

(x)dx =

xn+1xnf(x, y(x))dx (7.4)y(xn+1) = y(xn) +

xn+1xnf(x, y(x))dx. .. .IntegracaoNumerica(7.5)A integral sobre a func ao f(x, y) e aproximada pela integral de um polinomio interpolador quepodeutilizarpontosquenaopertencemaointervalodeintegrac ao. Dependendodaescolhados pontos onde vamos aproximar a func ao f(x, y) os esquemas podem ser classicados como:Explcito: Saoobtidosquandoutilizamosospontosxn, xn1, . . . , xnmparainterpolarafunc aof(x, y).Implcito: Saoobtidos quandonoconjuntode pontos, sobres os quais interpolamos afunc aof(x, y),temosopontoxn+1.CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 897.4.1 MetodosExplcitosVamos considerar ocasoemqueafuncaof(x, y) einterpoladasobreos pontos (xn, fn)e(xn1, fn1), ondefn=f(xn, yn). ConsiderandoopolinomiointerpoladornaformadeNewtontemosf(x, y) p(x) = fn1 + f[xn1, xn](x xn1)Integrandosobreointervalo[xn, xn+1]temos

xn+1xnp(x)dx =

xn+1xnfn1 + f[xn1, xn](x xn1)dx= fn1(xn+1xn) + f[xn1, xn]

xn+122xn1xn+1xn22+ xn1xn

= hfn1 +fnfn1h12

xn+122(xnh)xn+1xn2+ 2(xnh)xn

= hfn1 +fnfn1h12

xn+122xnxn+1 + xn2+ 2h(xn+1xn)

= hfn1 +fnfn1h12

(xn+1xn)2+ 2h2

=h2 (2fn1 + 3fn)Substituindoaaproximac aodaintegralem(7.5)obtemososeguintemetodoyn+1= yn +h2 (2fn1 + 3fn)Estemetodoeummetodoexplcito,depassodois. Istosignicaqueyn+1dependedeyneyn1. Logonecessitamosdedoisvaloresparainiciarometodo: y0queedadonoP.V.I.; y1quedeveserobtidoporummetododepassosimples. Deumaformageral, osmetodosdek-passosnecessitamdek-valoresiniciaisquesaoobtidospormetodosdepassosimples, deordemigualousuperioraordemdometodoutilizado.Obtemos ometodo, aproximandoafunc aopelopolinomiointerpolador degrauum.Assimoerrolocal,cometidoporestaaproximacaosera

xn+1xnE1(x)dx =

xn+1xn(x xn1)(x xn)f

(, y())2!dx= h3512y

() [xn, xn+1]Comistotemosaseguinteestimativaparaoerrolocal[Eloc(xn+1)[ h3512max[xn,xn+1][y

()[CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 90Exemplo7.4.1ConsidereoseguinteP.V.I.

y

= 2xyy(0.5) = 1Vamosacharumaaproximacaoparay(1.1)peloMetododeAdams-Bashforthexplcito, depassodois,usandoh = 0.2.DoP.V.Iseguequey0=1ex0=0.5. Esteeummetododepassodoisevamosterquecalculary1porummetododepassosimplesquetenhaordemigual ousuperioraodoMetododeAdams-Bashforth. Comooerrolocal dependeda3oderivadadey(x)temosqueestemetodoede2oordem. AssimvamosutilizarometododeEulerMelhorado, queeummetodode2oordem.y1= y0 + h12(f(x0, y0) + f(x0, y0 + hy

0))= 1 +0.22(2 0.5 1 + (2) 0.5 (1 + 0.2 (2 0.5 1))) = 0.82 y(0.7)Tendoovalordey0ey1podemosiniciaroMetododeAdams-Bashforth,sendoy2= y1 +h2 (2f0 + 3f1)= 0.82 +0.22(2 (2) 0.5 1 + 3 (2) (0.7) 0.82) = 0.2756 y(0.9)y3= y2 +h2 (2f1 + 3f2)= 0.2756 +0.22(2 (2) 0.7 0.82 + 3 (2) (0.9) 0.2756) = 0.102824 y(1.1)Se tivessemos aproximado a funcao f(x, y) por um polinomio de grau 3, sobre os pontos(xn, fn), (xn1, fn1), (xn2, fn2), (xn3, fn3) obteramos ometododepasso4eordem4dadoporyn+1= yn+ h24 [55fn59fn1 + 37fn29fn3] Eloc(xn+1) = h5251720y(v)() com [xn, xn+1]Neste caso necessitamos de quatro valores iniciais, y0, y1, y2e y3, que deve ser calculados porummetododepassosimplesdeordemmaiorouigual aquatro(Ex. Runge-Kuttade4oordem).7.4.2 MetodosImplcitosNestecasooponto(xn+1, fn+1)eumdosponto, ondeafuncaof(x, y)serainterpolada.Vamosconsiderarocasoemqueafuncaof(x, y)einterpoladasobreospontos(xn, fn)e(xn+1, fn+1). ConsiderandoopolinomiointerpoladornaformadeNewtontemosf(x, y) p(x)fn + f[xn, xn+1](x xn)CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 91Integrandosobreointervalo[xn, xn+1]temos

xn+1xnp(x)dx =

xn+1xnfn + f[xn, xn+1](x xn)dx= fn(xn+1xn) + f[xn, xn+1]

xn+122xnxn+1xn22+ xnxn

= hfn +fn+1fnh12

xn+122xnxn+1 + xn2

= hfn +fn+1fnh12 (xn+1xn)2=h2 (fn + fn+1)Substituindoaaproximac aodaintegralem(7.5)obtemososeguintemetodoyn+1= yn +h2 (fn + fn+1)Oerrolocal,cometidoporestaaproximac aosera

xn+1xnE1(x)dx =

xn+1xn(x xn+1)(x xn)f

(, y())2!dx= h3112y

() [xn, xn+1]Notequeocalculodeyn+1dependedefn+1=f(xn, yn+1). Emgeral af(x, y) naopermite que isolemos yn+1. Desta forma temos que usar um esquema Preditor-Corretor. Porummetodoexplcitoencontramosumaprimeiraaproximac aoparayn+1(Preditor) eestevalorseracorrigidoatravesdometodoimplcito(Corretor).Exemplo7.4.2Vamosconsideraroseguinteproblema:

y

= 2xy y2y(0) = 1Usandoh = 0.1vamosacharumaaproximacaoparay(0.2),usandooesquemaP : yn+1= yn + hf(xn, yn)C : yn+1= yn +h2 (2fn + fn+1)Sendox0= 0ey0= 1temosP : y1 = y0 +hf(x0, y0) = 1 + 0.1(2 0 1 12) = 0.9C : y1 = y0 +h2 (2f0 +f1) = 1 + 0.12

2 0 1 122 0.1 0.9 0.92

= 0.9005 y(0.1)P : y2 = y1 +hf(x1, y1) = 0.9005 + 0.1(2 0.1 0.9005 (0.9005)2) = 0.8013C : y2 = y1 +h2 (f1 +f2) = 0.9005 + 0.12

2 0.1 0.9005 (0.9005)22 0.2 0.8013 0.80132

= 0.8018 y(0.2)CAPITULO7. EQUACOESDIFERENCIAISORDINARIAS(P.V.I.) 927.5 EquacoesdeOrdemSuperiorUma equac ao de ordem m pode ser facilmente transformadas em um sistema de m equacoesdeprimeiraordem. Estesistemapodeser vistocomoumaequacaovetorial deprimeiraordem e assim poderemos aplicar qualquer um dos metodos analisados nas secoes anteriores.Comoexemplovamosconsideraroproblemadeterceiraordemdadopor

y

= x2+ y2y

2y

xy(0) = 1y

(0) = 2y

(0) = 3Para transformar num sistema de primeira ordem devemos usar variaveis auxiliares. Fazemosy

= w y

= w

efazemosy

= w

= z y

= w

= z

. Comistoaequac aoacimapodeserrepresentadapor:

y

= ww

= zz

= x2+ y2w 2zxy(0) = 1w(0) = 2z(0) = 3Osistemaacimapodeserescritonaformamatricial,onde

y

w

z

....Y =

0 1 00 0 1y 1 2x

. .. .A

ywz

. .. .Y+

00x2

....XDestaformatemosaequac aovetorial

Y

= AY+ XY (0) = Y0ondeY0= (1, 2, 3)T. VamosaplicarometododeEulernaequac aoacimaobtendoYn+1= Yn + h(AnYn + Xn)ouseja

yn+1wn+1zn+1

=

ynwnzn

+ h

0 1 00 0 1yn1 2xn

ynwnzn

+

00xn2

Tomandoh=0.1, vamoscalcularumaaproximac aoparay(0.2). CalculandoY1 Y (0.1)temosque

y