APOSTILA COMPLETA DE LÓGICA - 204 páginas

NOTAS DE AULAS DE LGICA Professor Joselias [email protected]

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Lgica

Existem muitas definies para a palavra lgica, porm no caso do nosso estudo no relevante um aprofundamento nesse ponto, suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lgica como sendo a Cincia das leis do pensamento, e neste caso existem divergncias com essa definio, pois o pensamento matria estudada na Psicologia, que uma cincia distinta da lgica (cincia). Segundo Irving Copi, uma definio mais adequada : A lgica uma cincia do raciocnio, pois a sua idia est ligada ao processo de raciocnio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim conclumos que a lgica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto , seu propsito estudar e estabelecer propriedades das relaes formais entre as proposies. Veremos nas prximas linhas a definio do que venha a ser uma proposio, bem como o seu clculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que estudar as estruturas dos argumentos, que sero conjuntos de proposies denominadas premissas ou concluses.

1 - DEFINIO: 1.1 - Proposio: Chamaremos de proposio ou sentena, a todo conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 1) Exemplo: a) O Professor Joselias bonito. b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul. c) A Receita Federal pertence ao Poder Judicirio. Evidente que voc j percebeu que as proposies devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrio de uma realidade, e tambm observamos que uma proposio representa uma informao enunciada por uma orao, portanto pode ser expressa por distintas oraes, tais como: Pedro maior que Carlos, ou podemos expressar tambm por Carlos menor que Pedro. Observe ainda que as proposies recebero os valores lgicos como sendo verdadeiro(V) ou falso(F). 2) Exemplo: Se a proposio p = O Brasil um Pas da Amrica do Sul verdadeira ento representaremos o valor lgico da proposio p por VAL(p) = V. Se a proposio p = O Brasil um Pas da Amrica do Sul falsa ento representaremos o valor lgico da proposio p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase Bom dia! no uma proposio, pois no admite o atributo verdadeiro ou falso.





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Portanto no sero proposies as seguintes expresses: Exclamaes: Que belo dia!, Boa sorte!. Interrogaes: Joselias um bom professor?, Que horas so?, O jogo terminou empatado?. Imperativos: Faa seu trabalho corretamente., Estude e limpe o quarto.. Paradoxos: Esta proposio falsa. Em resumo, teremos dois princpios no caso das proposies: 1 Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 2 Princpio do Terceiro Excludo: Uma proposio s pode ter dois valores verdades, isto , verdadeiro (V) ou falso (F), no podendo ter outro valor. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) O Professor Joselias bonito uma proposio verdadeira. b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul uma proposio verdadeira. c) A Receita Federal pertence ao poder judicirio, uma proposio falsa. As proposies sero representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . . As proposies simples (tomos) combinam-se com outras, ou so modificadas, atravs de operadores (conectivos), gerando novas sentenas chamadas de molculas(ou compostas). Os conectivos sero representados da seguinte forma: corresponde a no corresponde a e (conjuno) corresponde a ou (disjuno) corresponde a ento (condicional) corresponde a se e somente se (bi-condicional) Sendo assim, a partir de uma proposio podemos construir uma outra correspondente com a sua negao; e com duas ou mais, podemos formar: Conjunes: a b (l-se: a e b) Exemplo: 3) Sejam a e b proposies tal que: a = Chove b = Faz frio, ento temos que: a b = Chove e faz frio Disjunes: a b (l-se: a ou b, ou tambm ou a ou b) Exemplo: 4) Sejam a e b proposies tal que: a = Chove b = Faz frio, ento temos que: a b = Chove ou faz frio Condicionais: a b (l-se: Se a ento b)





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Exemplo: 5) Sejam a e b proposies tal que: a = Chove b = Faz frio, ento temos que: a b = Se chove ento faz frio Bi-condicionais: a b (l-se: a se e somente se b) Exemplo: 6) Sejam a e b proposies tal que: a = Chove b = Faz frio, ento temos que: a b = Chove se e somente se faz frio Exemplo: 7) Seja a sentena: Se Cacilda estudiosa ento ela passar no concurso Sejam as proposies: p = Cacilda estudiosa q = Ela passar no concurso Ento poderemos representar a sentena da seguinte forma: Se p ento q ( ou p q ).

1.2 - TABELA VERDADE Representaremos ento o valor lgico de cada molcula com seu respectivo conectivo atravs da tabela verdade. a. Valor verdade de P

P P V F F V

A negao da proposio P a proposio P, de maneira que se P verdade ento P falso, e vice-versa. b. Valor verdade de PQ

P Q PQV V V V F F F V F F F F

O valor verdade da molcula PQ tal que VAL (PQ) verdade se e somente se VAL (P) e VAL (Q) so verdades. c. Valor verdade de PQ

P Q PQ





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V V V V F V F V V F F F

O valor verdade da molcula PQ tal que VAL(PQ) falso se e somente se VAL(P) e VAL (Q) so falsos. d. Valor verdade de P Q

P Q P Q V V V V F F F V V F F V

O valor verdade da molcula P Q tal que VAL(P Q) = F se e somente se VAL(P) = V e VAL (Q) = F e. Valor verdade de P Q O valor verdade da molcula P Q tal que VAL( PQ ) = V se e somente se VAL (P) e VAL (Q) tem os mesmos valores verdade. Ento, para e sendo molculas, teremos a tabela verdade completa da seguinte forma: Exemplo: 8) Sejam as proposies p e q, tal que: p = Est calor q = Est chovendo

P Q P QV V V V F F F V F F F V

V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V





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Descrever as seguintes proposies abaixo: a) p b) p q c) p q d) p q e) p q

Soluo: a) p = No est calor b) p q = Est calor ou est chovendo c) p q = Est calor e est chovendo d) p q = Se est calor, ento est chovendo e) p q = Est calor se e somente se est chovendo 9) Seja p = Joselias magro e q = Joselias bonito. Represente cada uma das seguintes afirmaes em funo de p e q: a) Joselias magro ou bonito b) Joselias magro e bonito c) Se Joselias magro, ento bonito d) Joselias no magro, nem bonito

Soluo: a) Joselias magro ou bonito = p q b) Joselias magro e bonito = p q c) Se Joselias magro, ento bonito = p q d) Joselias no magro, nem bonito = p q 10) Se p uma proposio verdadeira, ento: a) (p q) uma proposio verdadeira, para qualquer que seja a proposio q. b) (p q) uma proposio verdadeira, para qualquer que seja a proposio q. c) (p q) uma proposio verdadeira, para qualquer que seja a proposio q. d) (p q) uma proposio verdadeira, para qualquer que seja a proposio q. e) (p) uma proposio verdadeira, para qualquer que seja a proposio q.

Soluo a) A opo incorreta, pois se q uma proposio falsa e p verdadeira teremos a proposio (p q) falsa. b) A opo incorreta, pois se q uma proposio falsa teremos a proposio (p q) falsa. c) A opo incorreta, pois se q uma proposio falsa e p verdadeira teremos a proposio (p q) falsa. d) A opo correta, pois se p uma proposio verdadeira teremos a proposio (pq) sempre verdadeira. e) A Opo incorreta, pois se p uma proposio verdadeira teremos a proposio (p) sempre falsa. Opo correta: D.





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11) Se (p q) uma proposio verdadeira ento podemos afirmar que: a) p uma proposio verdadeira. b) q uma proposio verdadeira. c) Se p uma proposio falsa, ento q uma proposio verdadeira. d) se q uma proposio verdadeira ento p uma proposio verdadeira. e) se q uma proposio falsa ento p uma proposio falsa.

Soluo a) A opo incorreta, pois se p e q so proposies falsas teremos a proposio (p q) verdadeira. b) A opo incorreta, pois se p e q so proposies falsas teremos a proposio (p q) verdadeira. c) A opo incorreta, pois se p e q so proposies falsas teremos a proposio (p q) verdadeira. d) A opo incorreta, pois podemos ter a proposio q verdadeira e a proposio p falsa. e) A opo correta, pois se q uma proposio falsa teremos a proposio p necessariamente falsa. Opo correta: E.

12) Sejam p e q proposies. Complete a tabela verdade abaixo

Soluo Desenvolvendo a tabela verdade teremos:

p q p q p q p qV V F F V V V F F V V F F V V F V F F F V V F F


p q p q p q q p p q V V V V F F F F V F F F V

p q p q p q p qV V F V F V F V V F F F V





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p q p q p q q p p q V V F F V V V V F F V F V F F V V F V F F F F V V V V V


p q p q p q p q p q p q V V F V V F V F F F V V V F F F V V V


p q p q p q p q p q p q V V F F V V F F V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F F V V

15) Determinar o valor verdade da proposio (P Q) R, sabendo-se que VAL (P) = V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F.

Soluo P Q R p q (P Q) R V V V V V V V F V F V F V F V F V V F V V F F F V F V F F V F F V F V F F F F V

Logo o VAL(P Q) R) = F





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1.3 - Exerccios Propostos Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE) Considere as sentenas abaixo. I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade. III Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido. IV Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos europeus fumam, ento fumar deve ser proibido. V Tanto falso que fumar no faz bem sade como falso que fumar deve ser proibido; conseqentemente, muitos europeus fumam.

Com base nas informaes acima e considerando a notao introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 1) A sentena I pode ser corretamente representada por P ( T). 2) A sentena II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). 3) A sentena III pode ser corretamente representada por R P. 4) A sentena IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 5) A sentena V pode ser corretamente representada por T(( R) ( P)). Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , , e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, ou e ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 6) Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) ( Q) tambm verdadeira.





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7) H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 8) Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa. 9) A proposio simblica ( )P Q R possui, no mximo, 4 avaliaes V. 10) Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P R) ( Q) verdadeira. 11) Determine o valor verdade da sentena [A (B C)] [ A (B C)]. Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V Resposta: {[ A (B C)] [ A (B C)]} = F Obs.:Doravante nos exerccios usaremos a notao VAL(X) para representar o valor verdade de X. 12) Determinar o valor da sentena A [( B C) (C D)], sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V Resposta: VAL {A [( B C) (C D)]} = F

TAUTOLOGIA So molculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies (tomos) que as compem. Para verificar se uma proposio uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposio. Se todos os valores da proposio forem verdadeiros teremos uma tautologia. Exemplo: 16) Assinale quais das proposies abaixo so tautologias. a) (p p) b) (p p) c) (p) p

Soluo a) (p p) uma tautologia, pois sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:

p p p pV F V F V V





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b) (p p) uma tautologia, pois sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:

p p p V V F V

c) (p) p uma tautologia, pois sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:

p (p) (p) (p) p V F V V F V F V

CONTRADIES

So molculas que so sempre falsas, independentemente do valor lgico das proposies (tomos) as compem. Para verificar se uma proposio uma contradio basta fazer a tabela verdade da proposio. Se todos os valores da proposio forem falsos teremos uma contradio. Exemplo: 17) Assinale quais das proposies abaixo so contradies. a) (p p) b) (p p)

Soluo a) (p p) uma contradio, pois sempre falsa. Veja a tabela verdade:

p p p pV F F F V F

b) (p p) uma contradio, pois sempre falsa. Veja a tabela verdade:

p p p p V F F F V F

CONTINGNCIA So molculas em que os valores lgicos dependem dos valores das proposies (tomos). Para verificar se uma proposio uma contingncia basta fazer a tabela verdade da proposio. Se os valores da proposio forem alguns verdadeiros e outros falsos teremos uma contingncia.





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Exemplo: 18) Assinale quais das proposies abaixo so contingncias. a) p q b) p q

Soluo a) p q uma contingncia, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:

b) pq uma contingncia, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:

EQUIVALNCIA LGICA Duas molculas so equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificar se duas proposies so equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se as tabelas forem iguais elas so equivalentes. Exemplo: 19) Assinale se as proposies abaixo so equivalentes. a) (pq) equivalente a (p q) b) (pq) equivalente a (p q) c) (pq) equivalente a (pq) d) (pq) equivalente a (q p)

Soluo a) (pq) equivalente a (p q). Veja que as tabelas-verdade so iguais.

p q p q p qV V F F F V F F V V F V V F V F F V V V

p q p p qV V F V V F F F F V V V F F V V

p q (pq) (pq) p q (p q) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V





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b) (pq) equivalente a (p q). Veja que as tabelas-verdade so iguais. c) (pq) equivalente a (pq). Veja que as tabelas-verdade so iguais. d) (pq) equivalente a (q p). Veja que as tabelas-verdade so iguais.

p q (pq) q p (q p) V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Observaes: Sobre o emprego dos parnteses importante convencionar que o afeta a proposio mais prxima sua direita. Deste modo a proposio (p q) uma disjuno, pois o no() s afeta a proposio p. Por outro lado (p q) uma negao pois o no() s afeta a proposio (p q). Vale a pena ressaltar que os conectivos , e o tm prioridade sobre o e o . conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalncias importantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalncias: EQUIVALNCIAS IMPORTANTES: a) (pq) equivalente a (qp) b) (pq) equivalente a (qp) c) (p q) equivalente a (q p) d) (pq) equivalente a (pq) e) (pq) equivalente a (q p)

p q (pq) (pq) p q (p q) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V

p q (pq) p (pq)V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V





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f) (pq) equivalente a (p q) g) (pq) equivalente a (p q) h) (p) equivalente a p i) ((p)) equivalente a (p) j) (pq) equivalente a (p q) l) (p q) equivalente a (p q) Sabemos que duas proposies so equivalentes se e somente se elas possuem a mesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposies equivalentes atravs do conectivo (bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos uma tabela das principais tautologias para os concursos pblicos: TAUTOLOGIAS IMPORTANTES: a) (p p) b) (p p) c) (p p) c) (p) p d) (pq) (pq) e) (pq) (q p) (Contra-positiva) f) (pq) (p q) (Morgan) g) (pq) (p q) (Morgan) h) (p) p i) (pq) (p q) j) (p q) (p q) Exerccios Propostos 13) Assinale quais das sentenas abaixo so proposies: a) O Professor Joselias bonito. b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul. c) A Receita Federal pertence ao Poder Judicirio. d) Que belo dia! e) Boa sorte! f) Joselias um bom professor? g) Que horas so? h) O jogo terminou empatado? i) Faa seu trabalho corretamente. j) Estude e limpe o quarto. l) Esta frase falsa





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m) 2 + 3 > 5 n) x + y > 5 o) A terra um planeta. p) x um planeta. 14) (FGV) A proposio (p q) (p q) representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 15) (FGV) A proposio (p q) (p q) representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 16) A proposio (p q) (p q) representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 17) A proposio (p q) (q p) representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 18) A proposio (p p) representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 19) A proposio (p p) representa um: a. Contradio





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b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 20) A proposio (p) p representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 21) A proposio ( (p)) p representa um: a. Contradio b. Contingncia c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 22) (FGV) Quando se afirma que P Q (P implica Q) ento: a. Q condio suficiente para P. b. P condio necessria para Q. c. Q no condio necessria para P d. P condio suficiente para Q. e. P no condio suficiente nem necessria para Q. 23) Uma sentena lgica equivalente a Se Pedro economista, ento Luisa solteira. : a) Pedro economista ou Luisa solteira. b) Pedro economista ou Luisa no solteira. c) Se Luisa solteira, Pedro economista. d) Se Pedro no economista, ento Luisa no solteira. e) Se Luisa no solteira, ento Pedro no economista. 24) Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro. b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro. c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. e) Andr no artista e Bernardo engenheiro





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25) Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista 26) A negao da afirmao condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva : a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva 27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q so proposies, ento a proposio equivalente a

28) (FCC-ICMS-SP)Das proposies abaixo, a nica que logicamente equivalente a

29) Das proposies abaixo, a nica que logicamente equivalente a (~p~q) a) ~(p q) b) (~p q) c) (p q) d) (p ~q) e) (~p q)

IMPLICAES





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(p q) Condies necessrias e suficientes: Na proposio condicional (p q) denotamos a proposio p como antecedente e a proposio q como conseqente . A proposio antecedente p chamada de condio suficiente para a proposio conseqente q, e a proposio conseqente q chamada de condio necessria para p. Exemplo: 19) Sejam as proposies: p = Joselias carioca. q = Joselias brasileiro. Temos que a proposio p q representa a seguinte sentena: Se Joselias carioca ento Joselias brasileiro. Podemos dizer que a sentena Joselias carioca condio suficiente para a sentena Joselias brasileiro. Por outro lado a sentena Joselias brasileiro condio necessria para a sentena Joselias carioca. A proposio (p q) lida de vrias maneira distintas, como segue: a) Se p, ento q. b) Se p, q. c) q, se p d) p implica q. e) p acarreta q. f) p suficiente para q. g) q necessrio para p. h) p somente se q. i) p apenas se q. Exemplo: 20) A proposio Se ele me ama, ento casa comigo pode ser enunciada tambm das seguintes maneiras: a) Se ele me ama, ento casa comigo. b) Se ele me ama, casa comigo. c) Ele casa comigo, se ele me ama. d) Ele me ama implica em casa comigo. e) Ele me ama carreta casa comigo. f) Ele me amar suficiente para casar comigo. g) Casar comigo necessrio para me amar. h) Ele me ama somente se casa comigo. i) Ele me ama apenas se casa comigo.

Recproca contrria e contra-positiva: Se p e q so proposies ento:





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a) Chamamos de recproca de (p q) a proposio (q p). b) Chamamos de contrria de (p q) a proposio (p q). c) Chamamos de contra-positiva de (p q) a proposio (q p). Exemplo: 21) Considere a sentena condicional Se Joselias carioca ento Joselias brasileiro. Temos ento: a) A recproca Se Joselias brasileiro ento Joselias carioca. b) A contrria Se Joselias no carioca ento Joselias no brasileiro. c) A contra-positiva Se Joselias no brasileiro ento Joselias no carioca. Equivalncia de (p q): Entre as equivalncias da proposio (p q) destacamos algumas das mais freqentes: a) (p q) equivalente a (p q). Isto quer dizer que (Se p ento q) equivalente a (no p ou q). Podemos ento afirmar que a sentena Se ele me ama, ento casa comigo equivalente a Ele no me ama ou casa comigo. b) (p q) equivalente a (q p) (contra-positiva) Isto quer dizer que (Se p, ento q) equivalente a (Se no q, ento no p). Podemos ento afirmar que a sentena Se ele me ama, ento casa comigo equivalente a Se ele no casa comigo, ento ele no me ama. c) (p q) equivalente a (p q) Isto quer dizer que a negao de (Se p, ento q) equivalente a (p e no q). Podemos ento afirmar que a negao da sentena Se ele me ama, ento casa comigo equivalente a Ele me ama e no casa comigo

BI-CONDICIONAL(IMPLICAO DUPLA)

(p q) Na proposio bicondicional (p q) denotamos a proposio p como antecedente e a proposio q como conseqente . A proposio antecedente p chamada de condio necessria e suficiente para a proposio conseqente q, e a proposio conseqente q chamada de condio necessria e suficiente para p. Exemplo: 22) Sejam as proposies: p = Joselias carioca. q = Joselias brasileiro.





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Temos que a proposio (p q) representa a seguinte sentena: Joselias carioca se e somente se Joselias brasileiro. Podemos dizer que a sentena Joselias carioca condio necessria e suficiente para a sentena Joselias brasileiro. Por outro lado a sentena Joselias brasileiro condio necessria e suficiente para a sentena Joselias carioca. A proposio (p q) lida de vrias maneira distintas, como segue: a) p se e somente se q. b) p se e s se q. c) p condio necessria e suficiente para q e p equivalente a q Exemplo: 23) A proposio Se ele me ama se e somente se casa comigo pode ser enunciada tambm das seguintes maneiras: a) Se ele me ama se e somente se casa comigo. b) Se ele me ama se e s se casa comigo. c) Ele me ama condio necessria e suficiente para ele casa comigo. d) Ele me ama equivalente a ele casa comigo.

Equivalncia de (p q): Entre as equivalncias da proposio (p q) destacamos algumas das mais freqentes: a) (p q) equivalente a (p q) (q p). Isto quer dizer que (p se e somente se q ) equivalente a (Se p ento q) e (Se q ento p). Podemos ento afirmar que a sentena Ele me ama se e somente se casa comigo equivalente a Se ele me ama ento casa comigo, e se ele casa comigo ento ele me ama. b) (p q) equivalente a (q p) (contra-positiva) Isto quer dizer que (p se somente se q) equivalente a (no q se e somente se no p). Podemos ento afirmar que a sentena Ele me ama se e somente se casa comigo equivalente a Ele no casa comigo se e somente se ele no me ama. c) (p q) equivalente a (q p) (recproca) Isto quer dizer que (p se somente se q) equivalente a (q se somente se p). Podemos ento afirmar que a sentena Ele me ama se e somente se casa comigo equivalente a Ele casa comigo se e somente se ele me ama. d) (p q) equivalente a (p q) (contrria) Isto quer dizer que (p se somente se q) equivalente a (no p se e somente se no q). Podemos ento afirmar que a sentena Ele me ama se e somente se casa comigo equivalente a Ele no me ama se e somente se ele no casa comigo





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d) (p q) equivalente a (p q) Isto quer dizer que a negao de (p se e somente se q) equivalente a (p se somente se no q) Podemos ento afirmar que a negao da sentena Se ele me ama se e somente se casa comigo equivalente a Ele me ama se somente se no casa comigo.

OU EXCLUSIVO

p q (ou p ou q mas no ambos)

A proposio p q representar a disjuno exclusiva(ou exclusivo), e significa ou p ou q mas no ambos. A tabela verdade desta proposio composta ser F quando ambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrrio ser verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela verdade:

p q p q V V F V F V F V V F F F

Exemplo: 24) Sejam as proposies: p = Eu trabalho q = Eu estudo A proposio p q significa Ou eu trabalho ou estudo, mas no ambos. Equivalncia de p q: Entre as equivalncias da proposio p q destacamos algumas das mais freqentes: a) p q equivalente a (p q) (p q). Isto quer dizer que (p ou q, mas no ambos) equivalente a (p e no q) ou (no p e q). Podemos ento afirmar que a sentena Ele me ama ou casa comigo, mas no ambos equivalente a Ele me ama e no casa comigo, ou ele no me ama e casa comigo. b) (p q) equivalente a p q. Isto quer dizer que a negao de (p se e somente se q) equivalente a (p ou q, mas no ambos). Podemos ento afirmar que a negao da sentena Ele me ama se e





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somente se casa comigo equivalente a Ele me ama ou casa comigo, mas no ambos.

NEGAO (, ~)

A proposio p representa a negao da proposio p. Se a proposio p verdadeira ento a proposio p falsa. Se a proposio p falsa ento a proposio p verdadeira. Sendo assim a negao da sentena p= Eu estudo p = Eu no estudo. Conforme as equivalncias podemos negar as proposies compostas conforme o quadro abaixo:

PROPOSIO NEGAO p p

(p) p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) ( p q ) (p q) (p q) (p q) p q.

Exemplos: 25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenas da seguinte forma: a) A negao da sentena Eu trabalho Eu no trabalho b) A negao da sentena Eu trabalho ou estudo Eu no trabalho e no estudo c) A negao da sentena Eu trabalho e estudo Eu no trabalho ou no estudo. d) A negao da sentena Se eu trabalho ento estudo Eu trabalho e no estudo. e) A negao da sentena Eu trabalho se e somente se estudo Eu trabalho se somente se no estudo. f) A negao da sentena Eu trabalho se e somente se estudo Ou trabalho ou estudo, mas no ambos. 26) (CESGRANRIO)Uma proposio logicamente equivalente a Se eu me chamo Andr, ento eu passo no vestibular. : (A) Se eu no me chamo Andr, ento eu no passo no vestibular. (B) Se eu passo no vestibular, ento me chamo Andr. (C) Se eu no passo no vestibular, ento me chamo Andr. .(D) Se eu no passo no vestibular, ento no me chamo Andr. (E) Eu passo no vestibular e no me chamo Andr.





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Soluo Sejam as proposies: p = Eu me chamo Andr. q = Eu passo no vestibular. Sendo assim a sentena: Se eu me chamo Andr, ento eu passo no vestibular. ( p q) equivalente a (q p) (Se eu no passo no vestibular, ento no me chamo Andr). Resposta: D 27) (CESGRANRIO) A negao de se hoje chove ento fico em casa : (A) hoje no chove e fico em casa. .(B) hoje chove e no fico em casa. (C) hoje chove ou no fico em casa. (D) hoje no chove ou fico em casa. (E) se hoje chove ento no fico em casa.

Soluo Sejam as proposies: p = Hoje chove. q = Fico em casa. Sendo assim a negao da sentena sentena: (Se hoje chove ento fico em casa) ( p q) equivalente a ( p q ) (Hoje chove e no fico em casa) Resposta: B 28) (CESGRANRIO) Considere as frmulas: I - (p q) p II - (p q) p III - (p q) (p q) (So) tautologia(s) a(s) frmula(s): (A) I, somente. (B) II, somente. (C) III, somente. (D) I e III, somente.





23

(E) I, II e III. Soluo

Considere a tabela verdade abaixo: p q (p q) (p q) (p q) p (p q) p (p q) (p q) V V V V V V V V F F V V V V F V F V V F V F F F F V V V Observe que somente I e III so tautologias. Resposta: D Exerccios Propostos 30) Das proposies abaixo, a nica que logicamente equivalente a (~p ~q) a) ~(p q) b) ~ (p q) c) (p q) d) (p ~q) e) (~p q)

31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradio. a) (p q) (p q) b) (p q) q c) (~p p) (~p p) d) p (p q) e) p (p q) 32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia. a) (~p p) q b) (p q) (p q) c) (p q) q d) p (p q) e) p (p q)

33) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies. p q ? V V F V F F F V V F F F





24

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) (p q) b) (~p ~q) c) (p ~q) d) (~p q) e) (p q)

34) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies. p q ? V V F V F F F V F F F V

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) (p q) b) (~p ~q) c) (p ~q) d) (~p q) e) (p q)

35) Numa proposio composta s, aparecem as proposies simples p, q e r. Sua tabela-verdade

p q r s V V V F V V F V V F V V F V V F V F F F F V F F F F V F F F F F

Usando a conjuno (), a disjuno() e a negao(~), pode-se construir sentenas equivalentes a s. Uma dessas sentenas a. [(~p) q (~r)] [p (~q) ( ~r)] b. [(~p) q (~r)] [p (~q) ( ~r)] c. [p q (~r)] [p (~q) r] d. [p q r] [p q r] e. ~ [p q r]

36) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.





25

p q ? V V V V F V F V V F F F

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) (p q) b) (~p ~q) c) (p ~q) d) (~p q) e) (p q) 37) Numa proposio composta s, aparecem as proposies simples p, q e r. Sua tabela-verdade

p q r s V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F V F F V V F F F V

Usando a conjuno (), a disjuno() e a negao(~), pode-se construir sentenas equivalentes a s. Uma dessas sentenas a. [(~p) q (~r)] [p (~q) ( ~r)] b. [(~p) q (~r)] [p (~q) ( ~r)] c. [p q r] [p q r] d. [p q r] e. ~ [p q r]

38) Considere as afirmaes abaixo. I Se p e q so proposies ento ( ) ( )p q p q uma tautologia. II - Se p e q so proposies ento ( ) )p q q uma tautologia. III Se p e q so proposies ento a recproca de ( )p q ( )q p . verdade o que se afirma APENAS em a. I. b. II e III c. I e III. d. I e II.





26

e. I, II e III. 39) Considere as afirmaes abaixo. I Se p e q so proposies ento a recproca de ( )p q ( )q p . II - Se p e q so proposies ento a contrria de ( )p q ( )p q . III Se p e q so proposies ento a contra-positiva de ( )p q ( )q p . verdade o que se afirma APENAS em a. I. b. II e III c. I e III. d. I e II. e. I, II e III.

40) A proposio ( ) [( ) ( )]p q p q p q representa um: (A) Contradio (B) Contingncia (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistncia

41) A proposio ( ) ( )p q p q representa um: (A) Contradio (B) Contingncia (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistncia

42) Considere a seguinte declarao: Ou o presidente no sabia, ou houve desacato a autoridade, mas no ambos. Assinale a alternativa que apresenta a negao formal desta declarao. a. Para que tenha havido desacato a autoridade necessrio e suficiente que o presidente sabia. b. Ou o presidente sabia, ou no houve desacato a autoridade, mas no ambos. c. Para que no tenha havido desacato a autoridade necessrio e suficiente que o presidente sabia. d. Se no houve desacato a autoridade ento o presidente sabia. e. Se o presidente sabia ento houve desacato a autoridade. 43) A proposio ( ) [( ) ]p q p r q representa um: (A) Contradio





27

(B) Contingncia (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistncia

44) Pedro, aps visitar uma aldeia distante, afirmou: No verdade que todos os aldees daquela aldeia no dormem a sesta. A condio necessria e suficiente para que a afirmao de Pedro seja verdadeira que seja verdadeira a seguinte proposio: (A) No mximo um aldeo daquela aldeia no dorme a sesta. (B) Todos os aldees daquela aldeia dormem a sesta. (C) Pelo menos um aldeo daquela aldeia dorme a sesta. (D) Nenhum aldeo daquela aldeia no dorme a sesta. (E) Nenhum aldeo daquela aldeia dorme a sesta.

45) A proposio ( )p p p representa um: (A) Contradio (B) Contingncia (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistncia

46) A afirmao No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris logicamente equivalente afirmao: (A) verdade que Pedro est em Roma e Paulo est em Paris. (B) No verdade que Pedro est em Roma ou Paulo no est em Paris. (C) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo no est em Paris. (D) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris. (E) verdade que Pedro est em Roma ou Paulo est em Paris.

Sentenas Abertas e Sentenas Gerais Conforme vimos nas pginas anteriores, as proposies so declaraes que podem receber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenas abaixo so proposies: a) Joselias um professor. b) 2 um nmero natural. c) 4 + 6 > 10 Podemos pensar nas seguintes sentenas abertas, que no podem receber o atributo verdadeiro ou falso: 1) X um professor. 2) n um nmero natural. 3) x + y >10





28

Conclumos que se atribuirmos um valor para as variveis X, n, x e y, nas sentenas abertas acima, poderamos ter, por exemplo, as proposies dos casos anteriores a, b e c respectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenas abertas em proposies, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial. Quantificador universal: - Significa Para todo ..., Qualquer que seja .... Quantificador Existencial: - Significa Existe ..., H um .... Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenas abertas em proposies falsas ou verdadeira, por exemplo: a) A sentena n \ , n um nmero natural uma proposio verdadeira. b) A sentena ( )( )( )10x y x y + >\ \ uma proposio falsa. As proposies que iniciam com os quantificadores so chamadas de sentenas gerais. As negaes das sentenas gerais podem ser feitas da seguinte maneira: Sejam Px, Qx, Rx,... sentenas abertas de varivel x. Ento temos:

( )( )x Px equivalente a ( )( )x Px ( ) ( )x Px equivalente a ( )( )x Px ( )( )x Px Qx equivalente a ( )( )x Px Qx ( )( )x Px Qx equivalente a ( )( )x Px Qx ( )( )x Px Qx equivalente a ( )( )x Px Qx

Nmero de linha da tabela verdade

comum questes de concursos perguntarem sobre o nmero de linhas da tabela verdade. No momento vamos apenas deixar algumas frmulas, que sero demonstradas no captulo de anlise combinatria: O nmero de linhas da tabela verdade de uma proposio composta de n

proposies simples 2n . Aproveitamos tambm para esclarecer que o nmero de proposies no

equivalentes a uma proposio composta de n proposies simples 22

n

. Exemplos: 29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.





29

II.5

x y+ um nmero inteiro. III. Joo da Silva foi o Secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000. verdade que APENAS (A)) I e II so sentenas abertas. (B) I e III so sentenas abertas. (C) II e III so sentenas abertas. (D) I uma sentena aberta. (E) II uma sentena aberta.

Soluo I uma sentena aberta definida no conjunto de jogadores do mundo. II uma sentena aberta, pois pode apresentar vrias solues inteiras ou no. Logo apenas I e II so sentenas abertas e III uma proposio. Opo correta A

30) Escreva as sentenas a seguir na linguagem usual: a) ( )( )( )2x y x y +





30

existe xA tal que, para todo y B, x y Opo correta: D

Exerccios Propostos 47) Sendo " "x \ a proposio x um nmero real e " "x ` a proposio x um nmero natural, podemos afirmar que a negao da sentena todos os nmeros reais so naturais e: a) ( )( )x x x \ ` b) ( )( )x x x \ ` c) ( )( )x x x \ ` d) ( )( )x x x \ ` e) ( )( )x x x \ `

48)Podemos afirmar que o nmero de linhas da tabela-verdade para proposies compostas de trs tomos : a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

49) Podemos afirmar que o nmero de linhas da tabela-verdade para proposies compostas de n tomos : a) 2 b) 2n c) 2n d) 3n e) 3n

50) A negao da proposio ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y + < < : a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y + < b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y + < < c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y + < < d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y + e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y + <

51) Assinale a opo correta: a) Uma condio necessria para que um nmero seja maior do que 2 que ele seja positivo. b) Uma condio suficiente para que um nmero seja maior do que 2 que ele seja positivo.





31

c) Uma condio necessria e suficiente para que um nmero seja maior do que 2 que ele seja positivo. d) Toda condio suficiente para que um nmero seja positivo tambm suficiente para que seja maior que 2. e) Nenhuma das opes anteriores.

52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o nmero de proposies no equivalentes de um tomo : a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

53) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o nmero de proposies no equivalentes de dois tomos : a) 4 b)8 c) 9 d) 16 e) 20

54) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o nmero de proposies no equivalentes de trs tomos : a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

55) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o nmero de proposies no equivalentes de n tomos : a) n b) 2n c) 2n d) 22

n

e) 22 n

56) Sabe-se que se 4>x ento 2=y . Podemos da concluir que: a) Se 4x .





32

d) Se 2y ento 4x . e) Se 2y ento 4 c) " 3 2"x y= d) " 2 3"x y < e) " 3 2"x y <

59) Duas grandezas x e y so tais que se x = 3 ento y = 7. Pode-se concluir que: a) se 3x ento 7y b) se 7y = ento 3x = c) se 7y ento 3x d) se 7y > ento 3x = e) 3x ou 7y

60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposio: Marcela joga vlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposio passe a ser falsa: (A) suficiente que Marcela deixe de jogar vlei. (B) suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) necessrio que Marcela passe a jogar basquete.





33

(D) necessrio, mas no suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) necessrio que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vlei. 61) (CESGRANRIO) A negao de Joo sempre vai de carro para o trabalho : (A) Joo sempre vai a p para o trabalho. (B) Joo nunca vai de carro para o trabalho. (C) Joo, s vezes, no vai de carro para o trabalho. (D) Joo, s vezes, vai a p para o trabalho. (E) Joo nunca vai a p para o trabalho. 62) (CESGRANRIO) A negao de no sabe matemtica ou sabe portugus : (A) no sabe matemtica e sabe portugus. (B) no sabe matemtica e no sabe portugus. (C) sabe matemtica ou sabe portugus. (D) sabe matemtica e no sabe portugus. (E) sabe matemtica ou no sabe portugus.

A expresso ( ) ( )( )( , )x y P x y uma frmula sintaticamente correta da lgica de predicados clssica. Diz-se que uma tal frmula semanticamente vlida quando as suas variveis x e y e o predicado P tm alguma interpretao que os verifique. Quanto a esse assunto, julgue o item subseqente. 63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos nmeros inteiros e o predicado P(x, y) interpretado como x < y, ento a frmula semanticamente vlida.

ARGUMENTOS Argumento um conjunto de proposies com uma estrutura lgica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como conseqncia outra proposio. Isto , o conjunto de proposies p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqncia outra proposio q. Chamaremos as proposies p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposio q de concluso do argumento. Podemos representar por:

p1 p2 p3 . . .

pn q Exemplos: 32) Se eu passar no concurso, ento irei trabalhar. Passei no concurso





34

Irei Trabalhar 33) Se ele me ama ento casa comigo. Ele me ama Ele casa comigo 34) Todos os brasileiros so humanos. Todos os paulistas so brasileiros. Todos os paulistas so humanos 35) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores recebero o bicho. Se o Palmeiras no ganhar o jogo, todos os jogadores recebero o bicho . Todos os jogadores recebero o bicho NOTAO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da concluso com trs pontos antes. Veja exemplo extrado do Irving M. Copi. Premissa: Todos os sais de sdio so substncias solveis em gua. Todos os sabes so sais de sdio Concluso: Todos os sabes so substncias solveis em gua.

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Conforme citamos anteriormente uma proposio verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele vlido ou no vlido. A validade uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lgica das suas proposies (premissas e concluses) e no do contedo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinaes para os argumentos vlidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e concluso verdadeira. Exemplo: 36) Todos os apartamentos so pequenos. ( V ) Todos os apartamentos so residncias. ( V ) Algumas residncias so pequenas. ( V ) b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso verdadeira. Exemplo: 37)





35

Todos os peixes tm asas. ( F ) Todos os pssaros so peixes. ( F ) Todos os pssaros tm asas. ( V ) c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso falsa. Exemplo: 38) Todos os peixes tm asas. ( F ) Todos os ces so peixes. ( F ) Todos os ces tm asas. ( F ) Todos os argumentos acima so vlidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras ento as concluses tambm as seriam. Podemos dizer que um argumento vlido se quando todas as suas premissas so verdadeiras acarreta que sua concluso tambm verdadeira. Portanto um argumento ser no vlido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua concluso falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo: 39) Todas as mulheres so bonitas. Todas as princesas so mulheres. Todas as princesas so bonitas. Observe que no precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima vlido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos os A so B. Todos os C so A. Todos os C so B. Logo o que importante a forma do argumento e no o conhecimento de A, B e C, isto , este argumento vlido para quaisquer A, B e C e portanto a validade conseqncia da forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS Os argumentos so divididos em dois grupos: dedutivos indutivos O argumento ser dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da concluso, isto , o argumento dedutivo quando a concluso completamente derivada das premissas.





36

Exemplo: 40) Todo ser humano tm me. Todos os homens so humanos. Todos os homens tm me. O argumento ser indutivo quando suas premissas no fornecerem o apoio completo para ratificar as concluses. Exemplo: 41) O Flamengo um bom time de futebol. O Palmeiras um bom time de futebol. O Vasco um bom time de futebol. O Cruzeiro um bom time de futebol. Todos os times brasileiros de futebol so bons. Portanto nos argumentos indutivos a concluso possui informaes que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, no se aplica, ento, a definio de argumentos vlidos ou no vlidos para argumentos indutivos.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS VLIDOS Vimos ento que a noo de argumentos vlidos ou no vlidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e tambm que a validade depende apenas da forma do argumento e no dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos tambm que no podemos ter um argumento vlido com premissas verdadeiras e concluso falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos vlidos importantes. AFIRMAO DO ANTECEDENTE O primeiro argumento dedutivo vlido que discutiremos chama-se afirmao do antecedente , (tambm conhecido como modus ponens). Ento vejamos: Exemplo: 42) Se Jos for reprovado no concurso, ento ser demitido do servio. Jos foi reprovado no concurso. Jos ser demitido do servio. Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p, ento q.





37

p. q.

ou

p q

p q

NEGAO DO CONSEQUENTE Outro argumento dedutivo vlido a negao do conseqente (tambm conhecido como modus tollens). Obs.: Vimos nas pginas anteriores que ( )p q equivalente a ( )q p . Esta equivalncia chamada de contra-positiva. Exemplo: 43) Se ele me ama, ento casa comigo equivalente a Se ele no casa comigo, ento ele no me ama. Ento vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo: 44) Se aumentamos os meios de pagamentos, ento haver inflao. No h inflao No aumentamos os meios de pagamentos. Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p, ento q. No q.

No p.

ou

p q q

p





38

Existe tambm um tipo de argumento vlido conhecido pelo nome de dilema. Geralmente este argumento ocorre quando algum forado a escolher entre duas alternativas indesejveis. Exemplo: 45) Joo se inscreveu no concurso de MS, porm no gostaria de sair de So Paulo, e seus colegas de trabalho esto torcendo por ele. Eis o dilema de Joo: Ou Joo passa ou no passa no concurso. Se Joo passar no concurso vai ter que ir embora de So Paulo. Se Joo no passar no concurso ficar com vergonha diante dos colegas de trabalho. Ou joo vai embora de So Paulo ou Joo ficar com vergonha dos Colegas de trabalho. Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

p ou q. Se p ento r. Se q ento s.

r ou s

ou

p q p r q s

r s

ARGUMENTOS DEDUTIVOS NO VLIDOS Os argumentos dedutivos no vlidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da concluso. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos no-vlidos com premissas e concluses verdadeiras, porm as premissas no sustentam a concluso. Exemplo: 46) Todos os mamferos so mortais. ( V ) Todos os gatos so mortais. ( V ) Todos os gatos so mamferos. ( V ) Este argumento tem a forma: Todos os A so B





39

Todos os C so B Todos os C so A Podemos facilmente mostrar que este argumento no-vlido, pois as premissas no sustentam a concluso, e veremos ento que podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamfero, B por mortais e C por cobra. Todos os mamferos so mortais. ( V ) Todos os as cobras so mortais. ( V ) Todas as cobras so mamiferas. ( F ) FALCIA DA AFIRMAO DO CONSEQUENTE Com as premissas verdadeiras e a concluso falsa nunca teremos um argumento vlido, ento este argumento no-vlido, chamaremos os argumentos no-vlidos de falcias. A seguir examinaremos algumas falcias conhecidas que ocorrem com muita freqncia. O primeiro caso de argumento dedutivo no-vlido que veremos o que chamamos de falcia da afirmao do conseqente. Exemplo: 47) Se ele me ama ento ele casa comigo. Ele casa comigo. Ele me ama. Podemos escrever este argumento como:

Se p, ento q. q.

p.

ou

p q q

p Este argumento uma falcia, podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa. FALCIA DA NEGAO DO ANTECEDENTE Outra falcia que ocorre com freqncia a conhecida por falcia da negao do antecedente.





40

Exemplo: 48) Se Joo parar de fumar ele engordar. Joo no parou de fumar. Joo no engordar. Observe que temos a forma:

Se p, ento q. No p.

No q.

ou

p q p

q Este argumento uma falcia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa.

PROPOSIES UNIVERSAIS E PARTICULARES As proposies sero classificadas em: universais particulares As proposies universais so aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do conjunto. Exemplo: 49) Todos os homens so mentirosos universal e simbolizamos por todo S P. Nesta definio inclumos o caso em que o sujeito unitrio. Exemplo: 50)O co mamfero. As proposies particulares so aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: 51) Alguns homens so mentirosos particular e simbolizamos por algum S P. PROPOSIES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS As proposies tambm se classificam em: afirmativas





41

negativas No caso de negativa podemos ter: 1. Nenhum homem mentiroso universal negativa e simbolizamos por nenhum S P. 2. Alguns homens no so mentirosos particular negativa e simbolizamos por algum S no P. No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos ento de proposio categrica na forma tpica as proposies dos tipos: Todo S P, algum S P, algum S no P e nenhum S P. Ento teremos a tabela:

SILOGISMO CATEGRICO DE FORMA TPICA Chamaremos de silogismo categrico de forma tpica (ou silogismo) ao argumento formado por duas premissas e uma concluso, de modo que todas as premissas envolvidas so categricas de forma tpica ( A, E, I, O ). Teremos tambm trs termos: Termo menor sujeito da concluso. Termo maior predicado da concluso. Termo mdio o termo que aparece uma vez em cada premissa e no aparece na concluso. Chamaremos de premissa maior a que contm o termo maior, e premissa menor a que contm o termo menor. Exemplo: 52) Todas as mulheres so bonitas. Todas as princesas so mulheres. Todas as princesas so bonitas. Termo menor: as princesas Termo maior: bonitas Termo mdio: mulheres Premissa menor: todas as princesas so mulheres. Premissa maior: todas as mulheres so bonitas.





42

ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO: 1. Todo silogismo deve conter somente trs termos; 2. O termo mdio deve ser universal pelo menos uma vez; 3. O termo mdio no pode constar na concluso; 4. Nenhum silogismo categrico de forma tpica que tenha duas premissas negativas vlido. 5. De duas premissas particulares no poder haver concluso; 6. Se h uma premissa particular, a concluso ser particular; 7. Se h uma premissa particular negativa a concluso ser particular negativa. DIAGRAMA DE EULER Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.





43

Exemplo: 53) Diga se o argumento abaixo vlido ou no vlido: Todos os A so B Todos os C so A Todos os C so B

Soluo Se as duas premissas so verdadeiras teremos:

Vemos que se as premissas forem verdadeira a concluso ser necessariamente verdadeira. Portanto o argumento vlido. Exemplo: 54) Diga se o argumento abaixo vlido ou no vlido: Todo A B Todo C B Todo C A

Soluo

Observe que podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa. Logo o argumento no vlido. Exemplo: 55) Diga se o argumento abaixo vlido ou no vlido: Algum A B Todo B C Algum A C

Soluo





44

Vemos que se as premissas forem verdadeira a concluso ser necessariamente verdadeira. Portanto o argumento vlido. Exemplo: 55) (FGV) Considere as seguintes proposies: I. O ministro est numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come. II. Ser ou no ser, eis a questo. III. O Tejo mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo no mais belo que o rio que corre pela minha aldeia. correto ento afirmar-se que: a)Em I est presente uma tautologia. b)Em II est presente uma contradio. c)Em III est presente um dilema. d) I e II so contradies. e) Nenhuma da opes anteriores

Soluo Observe que: I - O ministro est numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come um dilema. II - Ser ou no ser, eis a questo uma tautologia. III - O Tejo mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo no mais belo que o rio que corre pela minha aldeia uma contradio. Resposta: E Exemplo: 56) Sejam as declaraes: Se o governo bom ento no h desemprego. Se no h desemprego ento no h inflao. Ora, se h inflao podemos concluir que: a. A inflao no afeta o desemprego. b. Pode haver inflao independente do governo. c. O governo bom e h desemprego. d. O governo bom e no h desemprego. e. O governo no bom e h desemprego.

Soluo Suponhamos que todas as premissas so verdadeiras. Ento temos:





45

O governo bom no h desemprego (V)No h desemprego no h inflao (V)H inflao (V)

Como a terceira premissa verdadeira temos:

F

V

O governo bom no h desemprego (V)No h desemprego no h inflao (V)

H inflao (V)

Temos que a segunda premissa verdadeira e o seu conseqente(no h inflao) falso, sendo assim temos que o antecedente(No h desemprego) tem que ser falso. Logo temos:

FF

V

O governo bom no h desemprego (V)No h desemprego no h inflao (V)

H inflao (V)

Conseqentemente obtemos:

F

FF

V

O governo bom no h desemprego (V)

No h desemprego no h inflao (V)

H inflao (V)

Temos que a primeira premissa verdadeira e o seu conseqente(no h desemprego) falso, sendo assim temos que o antecedente(O governo bom) tem que ser falso. Logo temos:

F F

FF

V

O governo bom no h desemprego (V)

No h desemprego no h inflao (V)

H inflao (V)

Como o argumento vlido, as concluses so as proposies verdadeiras: H inflao.(V) H desemprego.(V) O governo no bom.(V) Resposta: E





46

Exemplo: 57) Sejam as declaraes: Se ele me ama ento ele casa comigo. Se ele casa comigo ento no vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele pobre mas me ama. b. Ele rico mas po duro. c. Ele no me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele no casa comigo e no vou trabalhar. e. Ele no me ama e no casa comigo.

Soluo Suponhamos que todas as premissas so verdadeiras. Ento temos:

Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo no vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)

Como a terceira premissa verdadeira temos:

F

V

Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

Temos que a segunda premissa verdadeira e o seu conseqente(no vou trabalhar) falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:

FF

V

Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

Conseqentemente obtemos:

F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)

Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

Temos que a primeira premissa verdadeira e o seu conseqente(Ele casa comigo) falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:





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F F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)

Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

Podemos ento encontrar as proposies verdadeiras do argumento vlido, que sero as concluses: Vou trabalhar.(V) Ele no casa comigo.(V) Ele no me ama.(V) Resposta: E Exemplo: 58) (ESAF) Das premissas: A: Nenhum heri covarde. B: Alguns soldados so covardes. Pode-se corretamente concluir que: a)Alguns heris so soldados b)Alguns soldados no so heris c)Nenhum heri soldado d)Alguns soldados so heris e)Nenhum soldado heri

Soluo Vamos representar o conjunto de heris, covardes e soldados pelas letras H, C e S respectivamente. Temos ento o seguinte diagrama:

Observamos ento que sempre teremos alguns soldados que no sero heris. Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposio particular a concluso ser particular. Resposta: B Exemplo: 59) (FGV) Analise o seguinte argumento: Todas as protenas so compostos orgnicos; em conseqncia, todas as enzimas so protenas, uma vez que todas as enzimas so compostos orgnicos. a) O argumento vlido, uma vez que suas premissas so verdadeiras, bem como sua concluso.





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b) argumento vlido apesar de conter uma premissa falsa. c) Mesmo sem saber se as premissas so verdadeiras ou falsas, podemos garantir que o argumento no vlido. d) NDA.

Soluo Temos o seguinte argumento:

Todas as protenas so compostos orgnicosTodas as enzimas so compostos orgnicos

Todas as enzimas so protenas

Representado protenas, compostos orgnicos e enzimas por A, B e C respectivamente temos:

A B

C B

C A

Todas as protenas so compostos orgnicos

Todas as enzimas so compostos orgnicos

Todas as enzimas so as protenas

O nosso argumento tem a seguinte estrutura no vlida.: Todo A B Todo C B

Todo C A Resposta: C Exemplo: 60) (ESAF) Se no durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, no estou furioso. Se no estou furioso, no bebo. Logo, a) no durmo, estou furioso e no bebo b) durmo, estou furioso e no bebo c) no durmo, estou furioso e bebo d) durmo, no estou furioso e no bebo e) no durmo, no estou furioso e bebo

Soluo Temos o seguinte argumento:





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Se no durmo, beboSe estou furioso, durmoSe durmo, no estou furiosoSe no estou furioso, no bebo.

Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira:

No durmo beboEstou furioso durmoDurmo no estou furiosoNo estou furioso no bebo.

Vamos supor que todas as premissas so verdadeiras:

No durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo no estou furioso (V)No estou furioso no bebo (V)

Observamos que todas as premissas so proposies compostas condicionais e nesse caso no temos inicialmente informaes sobre as proposies simples. Quando ocorrer essa situao devemos supor (chutar) um valor verdade para uma das proposies simples contida nas premissas. Se o nosso chute estiver correto encontraremos a resposta, mas se o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e encontramos a resposta correta. Vamos supor ento que a proposio No durmo verdadeira(chute). Teremos ento a seguinte situao nas premissas:

V

F

F

No durmo bebo (V)

Estou furioso durmo (V)

Durmo no estou furioso (V)

No estou furioso no bebo (V)

Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos:

NVV

F F

F

No durmo bebo (V)








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Na quarta premissa temos que a proposio No bebo falsa.

NVV

F F

F

F

No durmo bebo (V)




Assim na quarta premissa a proposio No estou furioso tem que ser falsa. N

VV

F F

F

F F

No durmo bebo (V)




Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois no podemos ter simultaneamente as proposies Estou furioso falsa e a proposio No estou furioso falsa. Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora que a proposio No durmo falsa.

F

V

V

No durmo bebo (V)




Como todas as premissas so verdadeiras, pela tabela verdade, temos:

F

V

V V

V

No durmo bebo (V)




Pela quarta premissa temos que a proposio no bebo tem que ser verdadeira, logo:





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NFF

F V

V V

V V

No durmo bebo (V)




Podemos deduzir as concluses atravs das proposies verdadeiras: Durmo. No bebo. No estou furioso. Resposta: D Exerccios Propostos Texto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE): Considere que as letras P, Q, R e S representam proposies e que os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e e ou respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S so proposies verdadeiras, julgue os itens seguintes.

64) P Q verdadeira. 65) [( P Q) ( R S)] verdadeira. 66) [P (Q S) ] ( [(R Q) (P S)] ) verdadeira. 67) (P ( S)) (Q ( R)) verdadeira.

ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSO I p q , p q II p q , q p III p q , p q IV p q , r s , p r q s 68) Considerando os argumento acima podemos dizer que

(A) Todos so no vlidos. (B) Apenas um vlido. (C) Apenas dois so vlidos. (D) Apenas trs so vlidos. (E) Todos so vlidos.





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69) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase Todos os corruptos so desonestos, correto concluir que (A) quem no corrupto honesto. (B) existem corruptos honestos. (C) alguns honestos podem ser corruptos. (D) existem mais corruptos do que desonestos. (E)) existem desonestos que so corruptos. 70) Todo matemtico estudioso. Existem msicos que so estudiosos. Pedro matemtico e Ivo estudioso. Pode-se concluir que (A) Pedro estudioso e Ivo matemtico. (B) Pedro estudioso e Ivo msico. (C) Pedro tambm msico e Ivo matemtico. (D) Pedro estudioso e Ivo pode no ser matemtico nem msico. (E) Pedro tambm msico e Ivo pode no ser matemtico nem msico. 71) Em uma cidade, verdade que "algum fsico esportista" e que "nenhum aposentado esportista". Portanto, nessa cidade, (A) nenhum aposentado fsico. (B) nenhum fsico aposentado. (C) algum aposentado no fsico. (D) algum fsico aposentado. (E) algum fsico no aposentado. 72) Todas as irms de Anglica so loiras. Sendo assim, pode-se concluir que (A) Anglica loira. (B) Anglica no loira. (C) Se Ana loira, ento ela irm de Anglica. (D) Se Beatriz no irm de Anglica, ento Beatriz no loira. (E) Se Cida no loira, ento ela no irm de Anglica. (CESPE) As afirmaes que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas no ambas, so chamadas proposies. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas: A, B, C etc. A expresso A B, lida, entre outras formas, como se A ento B, uma proposio que tem valorao F quando A V e B F, e tem valorao V nos demais casos. Uma expresso da forma A, lida como no A, uma proposio que tem valorao V quando A F, e tem valorao F quando A V. A expresso da forma A B, lida como A e B, uma proposio que tem valorao V apenas quando A e B so V, nos demais casos tem valorao F. Uma expresso da forma A B, lida como A ou B, uma proposio que tem





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valorao F apenas quando A e B so F; nos demais casos, V. Com base nessas definies, julgue os itens que se seguem. 73) Uma expresso da forma (A B) uma proposio que tem exatamente as mesmas valoraes V ou F da proposio A B. 74) Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria ento ela ficou rica e Mara no acertou na loteria sejam ambas proposies verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Ela no ficou rica tambm verdadeira. 75) A proposio simbolizada por (A B) (B A) possui uma nica valorao F. 76) Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira. Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira. (CESPE) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexo de duas proposies feita pela preposio e, simbolizada usualmente por , ento obtm-se a forma P Q , lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se a conexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , ento obtm-se a forma P Q , lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento uma seqncia de proposies P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposio Q, chamada concluso. Um argumento vlido, se Q V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrrio, no argumento vlido. A partir desses conceitos, julgue o prximo item. 77) Considere as seguintes proposies: P: Mara trabalha e Q: Mara ganha dinheiro Nessa situao, vlido o argumento em que as premissas so Mara no trabalha ou Mara ganha dinheiro e Mara no trabalha, e a concluso Mara no ganha dinheiro. 78) Todos os macerontes so torminodoros. Alguns macerontes so momorrengos. Logo





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(A) todos os momorrengos so torminodoros. (B) alguns torminodoros so momorrengos. (C) todos os torminodoros so macerontes. (D) alguns momorrengos so pssaros. (E) todos os momorrengos so macerontes.

79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lgicas para quatro tipos diferentes de dedues e uma tabela verdade. As letras P e Q representam sentenas. Os smbolos , e so conectivos lgicos usuais de negao, implicao e disjuno, respectivamente.

Considerando as informaes acima e o clculo proposicional, assinale a alternativa correta. a) Se um delegado um profissional do direito, ento ele no desconhece leis. Delegados desconhecem leis. Portanto, delegados no so profissionais do direito. Esta uma deduo do tipo III. b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusao. Esta pessoa culpada. Portanto, ela no inocente. Essa uma deduo do tipo I. c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relao a um determinado acontecimento. Se ele no fala a verdade ento ele mente. Est uma deduo do tipo IV. d) As tabelas verdade das proposies PQ e PQ so iguais. *e) Da forma de deduo do tipo II, tem-se que a concluso ser verdadeira se ambas as premissas forem verdadeiras.

80) (FCC) Um argumento composto pelas seguintes premissas: _ Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada. _ Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos. _ Os supervits sero fantasiosos. Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser: (A) A crise econmica no demorar a ser superada. (B) As metas de inflao so irreais ou os supervits so fantasiosos. (C) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos. (D) Os supervits econmicos sero fantasiosos. (E) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser superada.

81) (ESAF) Homero no honesto, ou Jlio justo. Homero honesto, ou Jlio justo, ou Beto bondoso. Beto bondoso, ou Jlio no justo. Beto no bondoso, ou Homero honesto. Logo,





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a) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio no justo. b) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio no justo. c) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio justo. d) Beto no bondoso, Homero no honesto, Jlio no justo. e) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio justo. 82) (ESAF) Investigando uma fraude bancria, um famoso detetive colheu evidncias que o convenceram da verdade das seguintes afirmaes: 1) Se Homero culpado, ento Joo culpado. 2) Se Homero inocente, ento Joo ou Adolfo so culpados. 3) Se Adolfo inocente, ento Joo inocente. 4) Se Adolfo culpado, ento Homero culpado. As evidncias colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, Joo e Adolfo so inocentes. b) Homero, Joo e Adolfo so culpados. c) Homero culpado, mas Joo e Adolfo so inocentes. d) Homero e Joo so inocentes, mas Adolfo culpado. e) Homero e Adolfo so culpados, mas Joo inocente. 83) Se Alguns professores so matemticos e Todos os Matemticos so pessoas alegres, ento necessariamente, a) Toda pessoa alegre matemtico. b) Todo matemtico professor. c) Algum professor uma pessoa alegre. d) Nenhuma pessoa alegre professor. e) Nenhum professor no alegre.

84) Para que a proposio todos os homens so bons cozinheiros seja falsa, necessrio que: a) todas as mulheres sejam cozinheiras. b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras. c) Nenhum homem seja bom cozinheiro. d) Todos os homens sejam maus cozinheiros. e) Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.

85) Para que a afirmativa Todo matemtico louco seja falsa, basta que: a) todo matemtico seja louco. b) todo louco seja matemtico. c) Algum louco no seja matemtico. d) Algum matemtico seja louco. e) Algum matemtico no seja louco.





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86) Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm, que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C B b) todo C A c) algum A C d) nada que no seja C A e) algum A no C

Anlise Combinatria

PROBLEMA DA CONTAGEM Exemplos Os candidatos a um concurso podem inscrever-se em 4 reas (Auditoria, Julgamento, Aduana e Administrao) e em 8 regies para cada rea. Quantas opes so oferecidas para os candidatos? As chapas dos automveis so constitudas por trs letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados? Os exemplos acima mostram que para se obter o nmero de possibilidades poderamos comear descrevendo todos e contando, porm, este processo seria trabalhoso. Da surge a anlise combinatria, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando assim a contagem.

PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Este princpio conhecido como princpio da multiplicao e tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e, para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n maneiras distintas, ento o nmero de possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrncia de B m x n. Exemplos: 1. O candidato a um concurso tem 8 regies possveis e 4 reas possveis par concorrer. De quantos modos ele pode fazer a inscrio?

Soluo Temos neste caso dois acontecimentos A - Escolher a regio (8 possibilidades) B - Escolher a rea (4 possibilidades) Logo pelo princpio da multiplicao existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrio





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2. Uma moa possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode se vestir?

Soluo Evidentemente que o princpio da multiplicao no est limitado apenas a 2 acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos. Acontecimentos: A - Escolher a blusa (10 possibilidades) B - Escolher a saia (8 possibilidades) C - Escolher o sapato (4 possibilidades) Pelo princpio da multiplicao temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir. 3. Quantos nmeros de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal?

Soluo Observe que temos trs posies para preencher

Posio A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Posio B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Posio C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Pelo princpio da multiplicao temos: 9 x 10 x 10 = 900 nmeros. 4. Quantos nmeros pares de trs algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9 ?

Soluo Seja o esquema:

Observamos que os nmeros tm que ser pares, isto dificulta a contagem, da precisamos primeiramente satisfazer a restrio de os nmeros serem pares. Regra: Se existe uma restrio causando dificuldade ento devemos satisfaz-la em primeiro lugar Sendo assim, temos: Posio C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8) Posio A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9) Posio B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9) Pelo princpio da multiplicao temos 2 x 6 x 6 = 72 nmeros. 5. Quantos nmeros de trs algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.

Soluo Seja o esquema:





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Na posio A: 6 possibilidades Na posio B, aps ter preenchido a posio A: 5 possibilidades Na posio C, aps ter preenchido as posies A e B: 4 possibilidades Logo, pelo princpio da multiplicao temos: 6 x 5 x 4 = 120 nmeros. 6. Quantos nmeros pares de trs algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9

Soluo Primeiramente vamos satisfazer a condio do nmero ser par

Logo, na posio C, temos 2 possibilidades. Agora, vamos para a posio A, aps ter preenchido a posio C.

Agora, vamos para a posio B, aps ter preenchido as posies C e A

Logo pelo princpio da multiplicao temos 5 x 4 x 2 = 40 nmeros 7. Existem 3 linhas de nibus ligando a cidade A cidade B e 4 outras linhas ligando a cidade B cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de nibus diferentes poder utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?

Soluo Ida de A para B - 3 possibilidades Ida de B para C - 4 possibilidades Volta de C para B - 3 possibilidades (porque?) Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?) Pelo princpio da multiplicao temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de nibus





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8. Se um quarto tem 5 portas, o nmero de maneiras de se entrar nele e sair por uma porta diferente : a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 30

Soluo Nmero de maneiras de entrar - 5 Nmero de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4 Pelo princpio da multiplicao temos 5 x 4 = 20 nmeros Resposta D 9. Um bit um dos algarismos 0 ou 1. O nmero de seqncias de 10 bits : a. inferior a 100 b. 100 c. um nmero entre 100 e 500 d. um nmero entre 500 e 1000 e. um nmero superior a 1000

Soluo Considere o esquema:

Resposta E 10. Quantos divisores tem o nmero 72?

Soluo Decompondo o nmero 72 obtemos 72 = 23 . 32, observe que os divisores de 72 so da forma 2x . 3y onde x {0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2}. Portanto para achar o nmero de divisores de 72 basta calcular o nmero possvel de formar os pares (x, y) tal que x{0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2}, sendo assim temos: Nmero de maneiras de escolher o x: 4 possibilidades Nmero de maneiras de escolher o y: 3 possibilidades pelo princpio da multiplicao temos 4 x 3 = 12 divisores.





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11. 5 rapazes e 5 moas devem posar para fotografia, ocupando os 5 degraus de uma escada, de modo que em cada degrau fique um casal. De quantas maneiras diferentes podemos dispor esse grupo? a. 70.400 b. 128.000 c. 460.800 d. 332.000 e. 625

Soluo Vamos preencher os degraus consecutivamente

Logo, pelo princpio da multiplicao temos: (5x5x2) x (4x4x2) x (3x3x2) x (2x2x2) x (1x1x2) = 460.800 maneiras.

OUTRA SOLUO Outra resoluo poderia ser feita supondo que (M1, M2, M3, M4, M5, R1, R2, R3, R4, R5) so as moas e os rapazes. Vamos escolher os lugares para colocar essas 10 pessoas. Como somos cavalheiros vamos colocar primeiro as moas.





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Pelo princpio da multiplicao temos: 10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460.800 maneiras Resposta C 12. Seja um barco com 8 lugares, numerados conforme o diagrama abaixo. H 8 remadores possveis para guarnec-lo, com as seguintes restries: os remadores A e B s podem ocupar as posies mpares e o remador C posio par. Os remadores D, E, F, G e H podem ocupar quaisquer posies. Quantas configuraes podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?

Soluo

Vamos satisfazer s restries conforme a ordem

Resposta: 5760 configuraes. 13. Qua

APOSTILA COMPLETA DE LÓGICA - 204 páginas

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