Apostila Controle - 16 - Análise de Estabilidade
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Controle de Sistemas Mecnicos
Anlise de estabilidadeAnlise de estabilidade
Estabilidade BIBO
Estabilidade ao impulso
Estabilidade a reposta natural
Estabilidade Assinttica Grfico Lugar das Razes
Projeto utilizando LR
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Controle de Sistemas Mecnicos
Definio de estabilidade BIBODefinio de estabilidade BIBO
ttupTtyento
ttuSe
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Condio de estabilidadeCondio de estabilidade
Para um sistema causal resulta que
Considerando a excitao limitada
Portanto, para uma resposta limitada necessrio e suficienteque
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Estabilidade pela anlise da RNEstabilidade pela anlise da RN
Foi mostrado que a resposta ao impulso
depende da resposta natural Se a resposta natural de um sistema tende a
infinito, o sistema ser instvel
Portanto, claro que a estabilidade dependeda resposta natural
A estabilidade depende, portanto, dos plos
do polinmio caracterstico
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EstabilidadeEstabilidadeAssintticaAssinttica
Utiliza-se assim o conceito de estabilidade assinttica,
que depende diretamente dos plos (e no das razes)do polinmio caracterstico.
J vimos a definio de plos : So pontos singularesda FT. Para mnima realizao, so as razes do
polinmio caracterstico, ou seja do denominador dafuno de transferncia.
E a definio de zeros : as razes do numerador dafuno de transferncia. um ponto nulo da FT.
O comportamento do sistema depender, portanto, daposio dos plos e zeros no plano complexo.
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EstabilidadeEstabilidadeAssintticaAssinttica
0
0
p j1 0 0
= +
x
x
Real
Imag
0 0>
p j2 0 0
= 0 0>
Um sistema dito
assintoticamente estvel
se todos os plos da FT
respectiva encontram-seno semi-plano esquerdo
do plano complexo (SPE).
MatLab: pzmap(np,dp)
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Estabilidade MarginalEstabilidade Marginal
0
0=
p j1 0
= x
x
Real
Imag
p j2 0
=
0
0>
x
Um sistema dito
marginalmente estvel
se existe um plo
simples na origem oupares conjugados
simples no eixo
imaginrio, com asdemais no SPE.
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InstvelInstvel
1 0 0p j = +x
x
Real
Imag
0
0>
2 0 0p j =
0
0>
x
x (dupla)
Um sistema dito
instvelse pelo menos
um dos plos estiver no
semi-plano direito doplano complexo (SPD),
ou ocorrerem razes
mltiplas no eixoimaginrio.
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Exemplo: EstabilidadeExemplo: Estabilidade assintticaassinttica
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P/ o sistema
apresenta-se a resposta
natural, a resposta auma excitao
harmnica de 8 rad/s e
a resposta a umaexcitao constante
unitria.
Observa-se que todas
so estveis.
uydt
dy
=+
0 1 2 3 4 5-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Exemplo: Estabilidade marginalExemplo: Estabilidade marginal
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
P/ o sistema
apresenta-se a resposta
natural, a resposta auma excitao
harmnica de 8 rad/s e
a resposta a umaexcitao constante
unitria.
Observa-se que apenas
a ltima instvel.
udt
dy
=
0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
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Exemplo: InstabilidadeExemplo: Instabilidade
0 1 2 3 4 50
50
100
150
P/ o sistema
apresenta-se a resposta
natural, a resposta auma excitao
harmnica de 8 rad/s e
a resposta a umaexcitao constante
unitria.
Observa-se que todas
so instveis.
uydt
dy
=
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
0 1 2 3 4 50
50
100
150
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ExerccioExerccio
Para o sistema encontrar e desenhar a
resposta ao impulso usando os comandoslsim , tf e impulse. Determinar o tipo deestabilidade atravs do posicionamento dos
plos, usando pzmap. Traar o diagrama deblocos no simulink e encontrar novamente aresposta ao impulso, usando o blocoderivativo e a fonte de sinal do degrau (step).
Utilizar o comando help para aprender sobrecada um dos comandos.
uyyy =++ &&&
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SoluoSoluo::Resultado esperadoResultado esperado
0 5 10 15 20 25-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-
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Lugar das RazesLugar das Razes
Considera-se o controlador apenas um ganho
proporcional Kp
Varia-se o ganho Kp de 0ate + e calcula-se os
plos respectivos de malha fechada
Coloca-se os plos calculados no plano complexo
A curva assim traada chamada de grfico do
lugar das razes
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Recordando: Plos de malha fechadaRecordando: Plos de malha fechada
K(s) P(s)
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
abertamalha)(
)()()(
sD
sNsKsG =
)(
)()(
sD
sNsP =
fechadamalha)()()(
)()(
)(1
)(
)(
)()(
sNsKsD
sNsK
sG
sG
sR
sYsT
+=
+==
-
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Localizao dos plos MF a partir MALocalizao dos plos MF a partir MA
Os plos de malha fechada portanto exigem que
Considerando K(s) uma constante K
)(1
)(
)(
)()(
sG
sG
sR
sYsT
+==
1)(
0)(1
=
=+
sG
sG
osKP
sKP
180)](arg[
1)(
==
-
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Incio e fim do grfico Lugar das razesIncio e fim do grfico Lugar das razes
Nota-se que os plos de T(s):
paraKpequeno:
paraKgrande:
)()()(
)()(
)( sNsKsD
sNsK
sT +=
(Plos de G(s))0)( =sD
(Zeros de G(s))0)( =sNK
comea nos plos G(s)
termina nos zeros de G(s)
O Grfico do
Lugar das Razes=>
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Recordando: Plos de malha fechadaRecordando: Plos de malha fechada
com realimentao Hcom realimentao H
K(s) P(s)
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
H(s)
)(
)()(
sD
sNsP = abertamalha)()()( sPsKsG =
fechadamalha)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sYsT
+==
-
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Localizao dos plos MF a partir MALocalizao dos plos MF a partir MA
Os plos de malha fechada portanto exigem que
Portanto para obter os plos de malha fechada basta
obter o grfico do lugar das razes do ganho de
malha aberta
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sYsT
+==
1)()(
0)()(1
=
=+
sHsG
sHsG
))()(( sHsGrlocus
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Exemplo de SSOExemplo de SSO
)4)(2(1
)()()(
++==
sssUsYsP
Encontrar o lugar das razes para a planta
abaixo
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SoluoSoluo
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
ImagAxis
Encontra-se o seguinte diagrama:
p=[-4 -2];
np=1;
dp=poly(p);
rlocus(np,dp)
OBS: Para esse
caso, os plos
sempre estaro
no SPE
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Exemplo de SSOExemplo de SSO
)4)(2(1
)()()(
++==
ssssUsYsP
Repetir para a planta abaixo
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SoluoSoluo
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6
-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
ImagAxis
* K> 47.6
Encontra-se o seguinte diagrama:p=[0 -4 -2];
np=1;
dp=poly(p);
rlocus(np,dp)
Obs: Nesse caso,
para o valor
deK > 47.6,
as razes
passam para
o SPD,
levando
instabilidade.
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Exemplo de SSOExemplo de SSO
)4)(2(186
)()()(
2
++ ++== sssss
sUsYsP
Repetir para a planta abaixo
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Exemplo : Diagrama do LRExemplo : Diagrama do LR
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
ImagAxis
Encontra-se o seguinte diagrama:
p=[0 -4 -2];
np=[1 6 18];
dp=poly(p);
rlocus(np,dp)
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Projeto baseado no LRProjeto baseado no LR
Metodologia
Determina regies para os plos de malha fechada Traa o diagrama do lugar das razes
Estabelece soluo como a interseo
Compara resultados Refaz projeto se necessrio
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Exemplo: Uso do lugar das razesExemplo: Uso do lugar das razes
)4)(2(8
)()(
++=
ssssUsY
Calcular o ganho Kp para forar a localizao
dos plos do sistema de malha fechada quesatisfaam os parmetros do desempenhodesejados
PSS < 20%
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SoluoSoluo
Encontra-se o FA a partir do PSS
46,0
)100
(ln
)100ln(
22
=
+
=
PSS
PSS
p=[-4 -2 0];dp=poly(p)
np=8;
rlocus(np,dp), hold
alfa=acos(0.46);
a=tan(alfa);im=0:0.1:6;
re=-im/a;
plot(re,im)
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ContinuandoContinuando
Usando-se o cursor e o zoom, pode-se encontrar o valordo K
pque leva aos plos desejados
Kp=1,14Kp=1,14
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VerificandoVerificando
Observa-se que o PSS de 18,4 %, portanto adequado
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RefernciaReferncia
Critrio de Estabilidade de Nyquist
Ogata pg 427-443