[Apostila] Controle de Processos - UFBA

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CONTROLE DE PROCESSOS

Autor: Prof. Dr. Ricardo de Arajo Kalid [email protected] Laboratrio de Controle e Otimizao de Processos Industriais - LACOI Departamento de Engenharia Qumica - DEQ Escola Politcnica - EP Universidade Federal da Bahia UFBA Salvador, maro de 2007.

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NDICECAPTULO 1. INTRODUO 1.1. 1.2. 1-2

MOTIVAO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2 NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAO 1-7

NDICE DE TABELASTabela 1-1: Estratgias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. Tabela 1-2: Sinais padro de transmisso de informaes. 1-7 Tabela 1-3: Exemplo de identificao de instrumento. 1-9 1-5

NDICE DE FIGURASFigura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3 1-4 1-5 1-7 Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitao.

Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. Figura 1-4: Smbolos gerais para instrumento ou funo programada.

Figura 1-5: Letras de identificao de instrumento ou funo programada. 1-9

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CAPTULO 1.

INTRODUO

A finalidade do controle de processos manter as variveis de processo nas condies desejadas com um mnimo custo operacional. Variveis de processo so as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou substncia. Como exemplos de variveis de processo temos: Temperatura; Presso; Vazo; Composio; Viscosidade; Granulometria; Radioatividade; Condutividade; Dureza; Maleabilidade; Cor; Aroma; Sabor; etc.

1.1.

Motivao para implantar um sistema da controle

Mudana nas condies de alimentao do processo e no ambiente (perturbaes) esto sempre acontecendo e se nenhuma ao for tomada importantes variveis do processo no alcanaro as condies desejadas. Porm, esta ao deve ser estabelecida de modo que:

1. A segurana dos equipamentos e dos trabalhadores, 2. A qualidade do produto; e 3. A produo sejam asseguradas com um mnimo custo de investimento e/ou operacional.

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Exemplo 01

Figura 1-1: Exemplo de controle de processo.

Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensao do vapor dgua, conforme mostra a

Figura 1-2. O objetivo deste processo aquecer uma corrente de vazo w e temperatura T1 at alcanar a temperatura T2.

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T1(t), w

T2(t), wvapor condensado

Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitao.

Vamos considerar duas perguntas: Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao lquido no interior do tanque para que atinja a temperatura desejada T2? Considerando o tanque bem agitado no existem gradientes internos de temperatura e as propriedades do fluido na sada do tanque so as mesmas do interior do tanque (tanque perfeitamente agitado). O balano de energia em estado estacionrio no tanque indica qual a quantidade de calor que deve ser transferida :Equao 1-1

Qss = wss . c p . (T2, ss T1, ss )

Mas nas condies de projeto T2 a temperatura de referncia Tr ou temperatura desejada (set point), ento podemos escrever a equao de projeto para o aquecedor:Equao 1-2

Q ss = wss . c p . (TSP T1, ss )

Pergunta 2: Mas se as condies mudarem (a vazo de lquido aumentar ou diminuir, a temperatura da alimentao oscilar ou se desejarmos uma temperatura na sada maior ou menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a temperatura na sada do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ?

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Existem algumas possibilidades, uma delas medir a temperatura no interior do tanque (T), comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a vlvula de controle para que esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou no a transferncia de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratgia denomina-se controle por retroalimentao (Feedback Control).

T1(t), w1(t)

TT

T

T2(t), w2(t) TCcondensado vapor

Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback.

Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratgias de controle para este processo.Tabela 1-1: Estratgias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado.

Mtodo 01 02 03 04 05 06

Varivel Medida T T1 T T1 T1 e T T1 e T

Varivel manipulada Q Q w w Q w

Classificao Feedback Feedforward Feedback Feedforward Feedback / feedforward Feedback / feedforward

Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para diminuir ou eliminar a oscilao na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior de modo a diminuir a oscilao na temperatura de sada T.

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Uma vez estabelecida a estratgia de controle necessrio determinar qual a lei ou algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade utilizar o controlador proporcional, no qual a mudana no fluxo de calor proporcional diferena entre a temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)):Equao 1-3

Q (t ) = Q ss + K c . T SP (t ) T (t )

[

]

Onde Kc denominado ganho do controlador, este parmetro ajustvel e define a intensidade da correo a ser realizada sobre o processo. Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle necessrio: (1) Conhecer o comportamento no estado estacionrio do processo que desejamos controlar; (2) (3) Conhecer o comportamento dinmico do processo que desejamos controlar; Estabelecer quais as variveis de processo que devem ser mantidas o mais prximo possvel dos valores desejados (set point), denomina-se de variveis controladas; (4) Estabelecer quais as variveis de processo que devem ser monitoradas (variveis medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variveis controladas ou das variveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbaes). (5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que devero ser modificados (variveis manipuladas) para manterem as variveis controladas nos seus set point. (6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessrios para o funcionamento do sistema de controle: (a) Sensores das variveis de processo envolvidas ou elementos primrios de medio, (b) (c) (d) (e) Transmissores e / ou conversores de sinais, Indicadores e / ou registradores de sinais, Controladores, Elementos finais de controle (vlvulas).

Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer seu comportamento dinmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto que tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.

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1.2.

Normas Utilizadas em Instrumentao

A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e procedimentos para especificao e instalao de instrumentos para controle de processos, bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja Standards and Recommended Pratices for Instrumentation and Control editado pela ISA).

2.1.1.

Sinais de Transmisso

Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmisso de sinais em sistemas de controle:Tabela 1-2: Sinais padro de transmisso de informaes.

Tipo de sinal

Valores

Representao representado por

Sinal pneumtico

3 a 15 psig 6 a 30 psig 3 a 27 psig 4 a 20 mA 1 a 5 V 0 a 10 V

Sinal eltrico ou eletrnico

representado por

Sinal digital ou discreto ou binrio

, binrio eltrico , binrio pneumtico

As prximas pginas tm um pequeno resumo da simbologia empregada na confeco de fluxogramas para instrumentao e controle de processos.

Figura 1-4: Smbolos gerais para instrumento ou funo programada.

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Figura 1-5: Letras de identificao de instrumento ou funo programada.

Tabela 1-3: Exemplo de identificao de instrumento.

T Varivel

RC Funo

210 rea de atividades

02 N seqencial da malha

A Sufixo

Identificao funcional

Identificao da malha Identificao do instrumento

Onde: T R C 210 02 A Varivel medida ou iniciadora: temperatura; Funo passiva ou de informao: registrador; Funo ativa ou de sada: controlador; rea de atividades, onde o instrumento ou funo programada atua; Nmero seqencial da malha; Sufixo.

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NDICECAPTULO 2. FUNO DE TRANSFERNCIA 2.1. 2.2. 2.3. 2-2 2-3

PROPRIEDADES DA FUNO DE TRANSFERNCIA

NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 FUNO DE TRANSFERNCIA COM ENTRADAS E SADAS MLTIPLAS 2-7

NDICE DE TABELASTabela 2-1: Razes da Funo de Transferncia. 2-6

NDICE DE FIGURASFigura 2-1: Diagrama de blocos 01. Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-3 2-4 2-4 2-7

Figura 2-4: Localizao das razes da equao caracterstica.

Figura 2-5: Funo exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e grfico de oscilao [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante]. Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-8 2-9 2-7

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CAPTULO 2.

FUNO DE TRANSFERNCIA

... proporciona uma relao direta entre as entradas (distrbios, variveis manipuladas) e as sadas (variveis controladas) do processo. George Stephanoupolos Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variveis desvio:

Equao 2-1

Y(t) = Y(t) - Y(0) = Y(t) - Yss X(t) = X(t) - X(0) = X(t) - X ss

Generalizando, as equaes diferenciais ordinrias com coeficientes constantes so da forma:n

Equao 2-2

ai . dtii= 0

di Y

= an .

dn Y dtn dj X dt j

+ an 1 .

dn 1 Y dtn 1

m dY dj X + ... + a1 . + a0 . Y = b j . j dt dt j= 0

Equao 2-3

onde

b j.j= 0

m

= bm .

dm X dtm

+ am 1 .

dm1 X dtm1

+ ... + b1 .

dX + b0 . X dt

Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 so constantes. Em sistemas fisicamente exeqveis n m. Assumindo que inicialmente o sistema est relaxado:

Equao 2-4

dk Y dt k

t =0

=0

,

k = 0,..., n 1

e

Equao 2-5

dl X dt l

t =0

=0

,

l = 0,..., n 1

Ou seja, o termo relativo s condies iniciais I nulo: I = 0 Equao transformada:Equao 2-6

(a .s .Y .(s))= (b .s . X .(s)) (a .s ).Y (s) = (b .s ). X (s)n m n m i j i j i =0 i j =0 j i =0 i j =0 j

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Equao 2-7

G ( s) =

Y ( s) = X ( s)

b .sj =0 n j i =0 i

m

j

a .s

+ I (= 0 )i

G(s) chamada de funo de transferncia e obtida apenas se I = 0.Equao 2-8

G ( s) =

Transformada de Laplace da sada , em forma de desvio Transformada de Laplace da entrada, em forma de desvio

Em diagrama de blocos:

Figura 2-1: Diagrama de blocos 01.

Em geral a funo de transferncia pode ser representada por uma diviso entre dois polinmios em s:Equao 2-9

G(s) =

Q(s) P(s)

2.1.

Propriedades da Funo de Transferncia

P1. Descreve as caractersticas dinmicas de um sistema. Se adotarmos uma funo perturbao X(t) na entrada, cuja transformada X(s), a resposta do sistema Y(s) dada por:Equao 2-10

Y ( s ) = G ( s ). X ( s )

P2. Se o sistema sofre uma perturbao impulso unitrio (Delta de Dirac um funcional) a funo de transferncia a resposta do sistema porm deve-se notar que a Transformada de Laplace deste sinal igual a 1 (um) : X(t) = (t), ento X(s) = L{ (t)} = 1, logo:Equao 2-11

Y ( s ) = G ( s ). X ( s ) = G ( s )

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P3. A equao diferencial do sistema pode ser obtida utilizando a Transformada Inversa de Laplace, que no ser abordada neste texto, porm uma regra prtica para equaes diferenciais lineares invariantes no tempo pode ser aplicada substituindo s pelo operador diferencial D d/dt e multiplicando este resultado pela varivel de entrada em desvio no domnio do tempo e igualando a varivel de sada tambm em desvio no domnio de t.Equao 2-12

ex. : G ( s ) =

2.s + 1 2.D + 1 Y (t ) = 2 . X (t ) s + s +1 D + D + 1 2

Ou,Equao 2-13

D 2 Y + DY + Y = 2.D X + X

Equao 2-14

Y " ' ( t ) + Y " ( t ) + Y( t ) = 2.X ( t ) + X( t )

"

P4. O princpio da superposio vlido (operador linear) para:Equao 2-15 Equao 2-16

X ( s) = X 1 ( s) + X 2 ( s)Y ( s ) = G ( s ). X ( s ) = G ( s ). X 1 ( s ) + G ( s ). X 2 ( s ) = Y1 ( s ) + Y2 ( s )

Em diagrama de blocos:

X1(t) Y(t) X2(t) PROCESSO

Figura 2-2: Diagrama de blocos 02.

X1(s) G(s)

Y1(s)

+ + X2(s) G(s) Y2(s)

Y(s)

Figura 2-3: Diagrama de blocos 03.

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P5. O denominador de G(s) igualado a zero denominado de equao caracterstica equao cuja soluo uma matriz de autovalores. A estabilidade de um sistema linear invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as razes da equao caracterstica: se todas as razes tm partes reais negativas o sistema estvel, caso alguma raiz tenha parte real positiva o sistema instvel. Exemplo:Equao 2-17

G ( s) =

s +1 B C = + s 2.s + 5 s (1 + 2.j) s (1 2. j)2

Equao caracterstica:Equao 2-18

s 2 2s + 5 = 0

Razes da equao caracterstica:Equao 2-19

r1 = 1 + 2. jEquao 2-20

r2 = 1 2. jPortanto, o sistema instvel pois as razes do denominador da funo de transferncia tem parte real positiva. P6. As razes do denominador so os plos do sistema e as razes do numerador so os zeros do sistema. Quando o nmero de zeros (nz) menor que o nmero de plos (np), diz-se que existem (nz np) zeros no infinito; a recproca vlida. Para a Equao 2-17:Equao 2-19 Equao 2-20

plos : P1 = 1 + 2.j e P2 = 1 - 2.j zeros : z 1 = - 1 e zz =

P7. Em sistemas fsicos exeqveis: nz np.

2.2. Natureza Sistema

Qualitativa

das

Respostas

de

um

Freqentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema, uma forma simples e adequada para os propsitos de controle de processos encontrar as razes do denominador da funo de transferncia (plos do sistema) e verificar sua localizao no plano complexo. Seja G(s) uma funo de transferncia que pode ser escrita por uma razo de dois polinmios Q(s) e P(s):Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Equao 2-21

Y ( s ) = G ( s ). X ( s ) G ( s ) =

Q( s ) = P( s)

Q( s)i =0

n (s p )i

n

Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuies da funo transferncia para as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposio das razes da equao caracterstica no plano complexo.Tabela 2-1: Razes da Funo de Transferncia.

Razes p1 p2, p2* p3, p3* p4, p4* p5 p6

Caractersticas Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0 Real, > 0 Real, = 0

Termos em (t) para t 0 C1. e-p1.t e-a2.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)] C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)] C1 ep5.t C1

Observaes: 1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., so constantes positivas. 2. Se algumas dessas razes so repetidas o termo referente a essa raiz multiplicado por uma srie de potncias de t: K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r o nmero de repeties. 3. C1, C2, K1 ,K2, ... KR so obtidas a partir das condies iniciais. Na Figura 2-4 vemos a disposio dos plos no plano complexo. Observe que as razes reais geram resposta no oscilatria amortecida (p1), no oscilatria no amortecida (p6) e no oscilatria com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instvel; enquanto que as razes complexas originam resposta oscilatria amortecida (p2, p2*), no amortecida (p3, p3*) e com amplitude crescente (p4, p4*), isto , a sada do sistema instvel. Em outras palavras as razes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instveis.

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Eixo imaginrio p3 p2 p6 p1 p*2 p*3

p4

p5

Eixo real

p*4

Figura 2-4: Localizao das razes da equao caracterstica.

esquerda do eixo Im: direita do eixo Im: Sejam razes mltiplas:

f(t) decresce exponencialmente com t f(t) cresce exponencialmente com t

Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0.

Figura 2-5: Funo exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e grfico de oscilao [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].

2.3. Funo de Transferncia com Entradas e Sadas MltiplasConsidere a Figura 2-6:

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X1(t) X2(t) PROCESSO

Y1(t) Y2(t)

Figura 2-6: Diagrama de blocos 04.

Equao 2-22

X 1 (t ) ENTRADAS X 2 (t )

Y1 (t ) SADAS Y2 (t )

MODELO MATEMTICO (variveis desvio ou sistema relaxado):Equao 2-23

dY1 = a11.Y1 + a12 .Y2 + b11X1 + b12 .X2 dt dY2 = a 21.Y1 + a 22 .Y2 + b21X1 + b22 .X 2 dt

Equao 2-24

Condies iniciais:Equao 2-25

Y1 (0) = Y2 (0) = 0

Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):Equao 2-26

Y1 (s) = Y2 (s) =

[(s a 22 )b12 + a 12 b 22 ] [(s a 22 )b11 + a 12 b 21 ] X 2 (s) X 1 (s) + P(s) P(s) [(s a 11 )b 22 + a 21 b 22 ] [(s a 11 )b 21 + a 21 b11 ] X 2 (s) X 1 (s) + P(s) P(s)

Equao 2-27

Onde P(s) a equao caracterstica dada por:Equao 2-28

P(s) = s 2 (a11 + a 22 ).s (a12 a 21 a11 a 22 )Y1 ( s ) = G11 ( s ). X 1 ( s ) + G12 ( s ). X 2 ( s ) Y 2( s ) = G21 ( s ). X 1 ( s ) + G22 ( s ). X 2 ( s )

Equao 2-29

Ou em notao matricial:

Equao 2-30

Y1 ( s ) G11 ( s ) G12 ( s ) X 1 ( s ) Y ( s ) = G ( s ) G ( s ) . X ( s ) 22 2 2 21

O sistema de Equao 2-30 denominado Matriz das Funes de Transferncia. Em diagramas de blocos:Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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X1(s) G11(s)

+ +

Y1(s)

G21(s)

X2(s) G12(s)

G22(s)

+ +

Y2(s)

Figura 2-7: Diagrama de blocos 05.

Os sistemas podem ser: SISO Single Input Single Output SIMO Single Input Multiple Output MISO - Multiple Input Single Output MIMO - Multiple Input Multiple Output

Observao 1.: Os processos qumicos so, na sua maioria, MIMO. Observao 2.: Os processos qumicos so, na sua maioria, no lineares.

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NDICECAPTULO 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. ANLISE DA DINMICA DE PROCESSOS 3-3 3-6 3-21 3-24 3-45 3-48 3-54

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM COMPORTAMENTO DINMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANO COMPORTAMENTO DINMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO EXERCCIOS

NDICE DE TABELASTabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primrios de medio. Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcanado pelo sistema Y (t ) 3-6 3-11 3-15 3-26 3-39

( A.K P ) .

Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcanado pelo sistema Y (t ) A.K P . Tabela 3-4: Classificao dos Sistemas de 2 ordem. Tabela 3-5: Tanques em srie com e sem interao.

NDICE DE FIGURASFigura 3-1: Desenho esquemtico de um termopoo / termopar. Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. Figura 3-5: Funo degrau de amplitude A. Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao degrau. Figura 3-7: Comportamento dinmico de termopares sem (Ts) e com poo (Tc). Figura 3-8: Funo impulso de amplitude A. Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao impulso de amplitude A. Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1 ordem a perturbao impulso de amplitude A. Figura 3-11: Funo pulso de amplitude A. Figura 3-12: Resposta de sistema de 1 ordem a perturbao pulso de amplitude A. Figura 3-13: Funo seno de amplitude A, freqncia e perodo T. Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao seno de amplitude A e freqncia w.Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

3-3 3-6 3-8 3-8 3-10 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-18 3-19 3-21

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Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. Figura 3-16: Tanque com vazo de descarga constante. Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbao degrau de amplitude A. Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2 ordem. Figura 3-19: Resposta do sistema de 2 ordem superamortecido a perturbao degrau. ordem superamortecido a perturbao degrau. Figura 3-21: Influncia do fator de amortecimento na resposta do sistema de 2 ordem subamortecido, submetido a perturbao de amplitude A. Figura 3-22: Caractersticas do sistema de 2 ordem subamortecido submetido a perturbao degrau de amplitude A. Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2 ordem a perturbao impulso de amplitude A. Figura 3-24: Dois tanques no-interativos em srie. Figura 3-25: Dois tanques interativos em srie. Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbao degrau de amplitude A. Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbao na composio e temperatura da alimentao. Figura 3-28: Resposta do sistema (Equao 3-184). zero. Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulao em escoamento pisto.

3-22 3-22 3-24 3-25 3-27 3-28 3-29 3-31 3-33 3-34 3-37 3-39 3-40 3-46 3-46 3-47 3-48

Figura 3-20: Influncia do fator de amortecimento e do perodo natural de oscilao de um sistema de 2

Figura 3-29: Diagrama plo-zero para o sistema (Equao 3-184) X: localizao do plo, : localizao do

Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximaes de Pad de 1 e 2 ordem de um tempo morto puro. (b) Resposta ao degrau de um sistema de 1 ordem com tempo morto (m = 0.25P) utilizando aproximaes de Pad de 1 e 2 ordem para e m s

.

3-50 3-51 3-54 3-55 3-56 3-59 3-59 3-61 3-62 3-62 3-63 3-63

Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. Figura 3-35: Tanque para alivio de presso. Figura 3-36: Tanque no interativos em srie. Figura 3-37: Tanque de aquecimento. Figura 3-38: Grfico exerccio (7). Figura 3-39: Grfico para exerccio (9). Figura 3-40: Grfico do exerccio (10). Figura 3-41: Grfico do exerccio (11). Figura 3-42: Grfico do exerccio (12). Figura 3-43: Esquema do exerccio (13).

Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbao degrau na composio da alimentao: (a) resposta

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CAPTULO 3. ANLISE DA DINMICA DE PROCESSOSNo captulo anterior, verificamos que a modelagem matemtica de processos conduz a sistemas de equaes diferenciais. Estas equaes podem ser resolvidas pelo mtodo da Transformada de Laplace que conduz s suas respectivas funes de transferncia. Neste captulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funes de transferncia (1 ordem e 2 ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbaes (degrau, rampa, impulso, pulso, seno). Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema fsico de interesse no controle de processos qumicos. Elementos de medio, linhas de transmisso e elementos finais de controle introduzem atrasos (lag) dinmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar (thermocouple) inserido em poo de termopar (termopoo, termowell) de massa m e calor especfico C.Termopar

Fluido a temperatura T(t)

Termopoo

Figura 3-1: Desenho esquemtico de um termopoo / termopar.

O atraso dinmico introduzido pela combinao termopar/termopoo pode ser estimado se assumimos algumas hipteses simplificadoras: a. O termopar e o termopoo esto sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser

diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poo; b. c. No existe perda de calor pela extremidade do poo exposta ao meio ambiente; A resistncia transferncia de calor determinada pelo inverso do coeficiente global

de troca trmica R = 1/(UG.A); d. Toda capacidade trmica se concentra na massa de metal que compe o poo.

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Balano de Energia no Poo1Equao 3-1

{acumula} = {entra} {sai}

Equao 3-2 Equao 3-3 Equao 3-4

{acumula} = m.C . d [Tm (t )]dt

{entra} {sai}= {conveco}+ {conduo}+ {radiao}{entra} {sai} = UG . A[T (t ) Tm (t )]

Onde,Equao 3-5

1 1 = + Ri U G .A hi . Ai

Substituindo a Equao 3-2 e a Equao 3-4 na Equao 3-1, obtemos

m.C .Equao 3-6

d [Tm (t )] = UG . A[T (t ) Tm (t )] dt

ou

Equao 3-7

T

d [Tm (t )] + Tm (t ) = T (t ) dt

Onde T a constante de tempo do termopoo no estado estacionrio.

T =Equao 3-8

m .C [=] s d [Tm (0)] = 0 UG . A dt Tm,ss = Tss

Equao 3-9

Subtraindo a Equao 3-7 da Equao 3-9:

1

Devido s hipteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parmetros

Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equaes Diferenciais Parciais (SEDP).Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Equao 3-10

T .

d [Tm (t ) Tm,ss ] + Tm (t ) Tm,ss = T (t ) Tss dt

Definindo as variveis desvio:Equao 3-11

Tm (t ) = Tm (t ) Tm,ss

eEquao 3-12

T (t ) = T (t ) Tss

Ento:

Equao 3-13

T . .

d Tm (t ) + Tm (t ) = T (t ) dt

[

]

Aplicando o teorema derivao real - a Transformada de Laplace na Equao 3-13:Equao 3-14

.s.T m ( s) T m (0) + T m ( s ) = T ( s)T

Mas,Equao 3-15

Tm (0) = Tm (0) Tm,ss = Tm,ss Tm,ss = 0

Ento:

Tm (s )Equao 3-16

T (s )

=

1 T .s + 1

Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais prximo possvel da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto termopar/termopoo deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitncia trmica dos sistema (m . C ) deve ser mnima, enquanto a facilidade transferncia de calor (UG*A) deve ser mxima (resistncia mnima). A Equao 3-16 define a funo transferncia de primeira ordem de ganho unitrio e constante de tempo T, entre a entrada do sistema temperatura do fluido, perturbao T(t) e a sada do sistema temperatura medida Tm(t). Podemos representar a funo de transferncia (da Equao 3-16) atravs de um diagrama de bloco:

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T(s)

Tm(s) 1/ Ts + 1

Figura 3-2: Diagrama de blocos 01.

Na Tabela 3-1 vemos valores tpicos de constantes de tempo de alguns elementos primrios de medio.Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primrios de medio.

Tipo Termmetro de vidro Termmetro bimetlico Termmetro a expanso Termopar em bainha Termopar com poo Termmetro a resistncia Transmisso presso absoluta Transmisso presso diferencial Turbina Vortex

Ordem de m Minutos < 1 minuto Minutos Segundos Minutos Segundos a minutos 0.2 - 1.7 segundos 0.2 - 1.7 segundos 0.03 segundos 2.5 segundos

Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medio e transmisso devem ser menores que um dcimo da constante de tempo do processo.

3.1. Estudo do Comportamento Dinmico de Sistemas de Primeira OrdemGenericamente, um sistema de 1 ordem2 definido pela seguinte situao diferencial:

2

A literatura tambm denomina o sistema de 1 ordem de atraso de primeira ordem (first

order lag) ou atraso linear (linear lag).Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Equao 3-17

a1 .

d [ y(t )] + a . y(t ) = b. x (t ) dt

Se ao 0, ento podemos dividir a Equao 3-17 por ao e obtemos:Equao 3-18

P .

d [ y(t )] + y(t ) = K P .x (t ) dt

onde

P =Equao 3-19 Equao 3-20

a1 ab ao

KP =

Observe que aplicando a Equao 3-18 no estado estacionrio:Equao 3-21

Yss = K P . ss

E substituindo as variveis desvio:

Equao 3-22

Y (t ) = Y (t ) Yss X (t ) = X (t ) X ss

Obtemos:Equao 3-23

P .

d Y (t ) + Y (t ) = K P . (t ) dt

[ ]

O novo estado estacionrio alcanado aps o sistema sofrer a perturbao X(t) ser:Equao 3-24

Y = K p .

logo

p =Equao 3-25

Y

=

Y ( ) Y (0 ) Y Y ss = ( ) (0 ) - ss

ou

p =Equao 3-26

estados estacionrios sada estados estacionrios entrada

Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionrio que o sistema ir atingir aps sofrer uma perturbao.Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Aplicando a Transformada de Laplace na Equao 3-23.Equao 3-27

p . s .Y (s ) Y (s ) = p . (s )

masEquao 3-28

Y (0 ) = Y (0 ) Yss = Yss Yss = 0

Ento a funo de transferncia de um sistema de 1 ordem dada por:

G (s ) =Equao 3-29

(s )

y (s )

=

p

p .s + 1

E a resposta do sistema Y (s ) a uma perturbao X (s )

Y (s ) = G (s ). (s ) =Equao 3-30

p

p .s + 1

. (s )

Em diagramas de blocos:

X (s )G(s)

Y (s )

Figura 3-3: Diagrama de blocos 02.

ou

X (s )

p

Y (s )

p .s + 1Figura 3-4: Diagrama de blocos 03.

Resistncia e Capacitncia Os sistemas de 1 ordem so caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado

estacionrio, e pela sua constante de tempo P, que determina o seu comportamento transitrio. A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitncia C e a resistncia R do processo de 1 ordem. Por definio estas propriedades so:

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C=Equao 3-31

variao da capacidade do processo variao do fora motriz do processo variao da fora motriz do processo variao do fluxo resultante

R =Equao 3-32

Por definio, a constante de tempo de um processo de 1 ordem o produto da capacitncia do processo vezes sua resistncia:Equao 3-33

p = C . R

Nos exemplos estudados: Nvel de um tanque

dh , mas q = f (h ) h = g (q ) dq h para escoamento la min ar q = h = R. q R dh = R [=] s / m 2 dq dv d A . h C= = = A [=] m 2 dh dh p = C . R = A . R [=] s R=Tanque de aquecimento

C=

dH d = H + dT dT

J m . C p dT = m. C p = . V . C p [=] T CT

' = . q . C p .(T T ) R =

1 dT [=] C = dH ' . q . C p J .s

T = C . R =C=

.V . C p V = [=] s . q .C p q

dQ m . C . d J = = m . C [=] d C d 1 d [=] C Q ' = U G . A . d R = = dQ ' U G . A J .s m .C [=] s UG. A

= C. R =

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3.1.1. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbao DegrauA funo degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:Equao 3-34

X (t t ) = X ss + A .u (t - t )

Onde, A u(t to)Equao 3-35

Amplitude de perturbao Funo degrau unitrio

X (t ) = X ss + A .u t (t )

Onde, uto(t) u(t to)

Equao 3-36

, para t t o X ss ,o X (t ) = X ss ,o + A = X ss , , para t t o

Graficamente a funo degrau corresponde a Figura 3-5:

Figura 3-5: Funo degrau de amplitude A.

Aplicando a varivel desvio

X (t ) = X (t ) X ss na Equao 3-34 e em seguida a

transformada de Laplace, obtemos a funo perturbao no domnio de Laplace:Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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X (s ) =Equao 3-37

A ( t .s ) .e s

Substituindo a Equao 3-37 na Equao 3-30:

Y (s ) =Equao 3-38

P A . P P ( t . s ) A . . e ( t . s ) = .e s P .s + 1 1 s . s +

Expandindo em fraes parciais:

Equao 3-39

A . P P P . e ( t . s ) Y (s ) = . P s 1 s + P

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equao 3-40

t t Y (t ) = A . P 1 exp P

. u (t - t o )

Ou

Equao 3-41

Y ( t ) = Yss

t t + A. p . 1 exp .u ( t-t o ) p

Calculando a razo Y (t ) A.K P para alguns valores de P construmos a Tabela 3-2:Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcanado pelo sistema

Y (t ) ( A.K P ) .4*P

t to

0.0

P100.095

P50.181

P20.394

P

2*P

3*P

Y (t ) A . p

0.000

0.632

0.865

0.950

0.982

1.000

A partir da curva t P versus Y (t ) A.K P , conforme a Figura 3-6, conclumos que todo sistema de 1 ordem caracterizado por: (a) O sistema alcana 63.2% do valor do estado estacionrio aps decorrer o espao de tempo de uma constante de tempo P, isto :Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Y ( p )Equao 3-42

A . p

= 0.632

(b) No instante inicial a inclinao da curva unitria, isto :

Equao 3-43

d Y (t ) dt A . p

= 1.0t =0

(c) A interseo da tangente da curva no instante inicial com a assntota da funo no estado estacionrio acontece no ponto (1.0, P). (d) Para fins prticos, admite-se que o estado estacionrio foi atingido quando um espao de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo P.

Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao degrau.

Observao: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t).

Comparando a resposta de um termopar sem e com poo, verificamos que o poo introduz um atraso dinmico que, a depender do sistema em estudo, no pode ser negligenciado. Veja Figura 3-7.

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Figura 3-7: Comportamento dinmico de termopares sem (Ts) e com poo (Tc).

Observao: Curva A perturbao; Curva B termopar sem poo Tms(t); Curva C termopar com poo Tmc(t).

3.1.2. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbao ImpulsoA funo impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:Equao 3-44

X (t ) = X ss + A . to (t ) = X ss + A . (t - t )

Onde A a amplitude da perturbao e (t) denominada Funo Impulso Unitrio ou Funo Delta de Dirac.

Equao 3-45

X ss ,o , para t < t o X (t ) = X ss ,o + A = X ss , , para t t o X , para t > t o ss ,o

Graficamente a funo impulso correspondente ao Figura 3-8:

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Figura 3-8: Funo impulso de amplitude A.

Aplicando a varivel desvio

X (t ) = X (t ) X ss na Equao 3-44 e em seguida a X (s ) = A.e (to s )

Transformada de Laplace, obtemos a funo perturbao no domnio de Laplace:Equao 3-46

Substituindo a Equao 3-46 na Equao 3-30:Equao 3-47

Y (s ) = A .

A . P P ( t .s ) P . e ( t .s ) = .e P .s + 1 1 s + P

Expandindo em fraes parciais:Equao 3-48

Y (s) =

A.K P

P

Ps +

1

. e(

t .s )

P

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:Equao 3-49

A. p t t Y (t ) = . exp . u ( t - to ) p p

e

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Equao 3-50

Y ( t ) = Yss

A. p t t + . exp . u ( t - to ) p p

Calculando a razo Y (t ) A.K P para alguns valores de P, construmos a Tabela 3-3:Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcanado pelo sistema

Y (t ) A.K P4*P

.

t to

0.0

P100.905

P50.819

P20.606

P

2*P

3*P

Y (t ) A . p

0.0

0.368

0.135

0.050

0.018

0.0

A partir da curva t P versus Y (t ) A.K P , conforme a Figura 3-9, conclumos que todo sistema de 1 ordem, quando submetido a uma perturbao tipo impulso tem uma resposta inicial muito rpida, mas decorrido um espao de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua constante de tempo retorna ao estado estacionrio anterior perturbao.

Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao impulso de amplitude A.

Porm, um sistema fsico real responder a uma perturbao impulso conforme mostra a Figura 3-10, pois impossvel que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance instantaneamente o valor A.

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Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1 ordem a perturbao impulso de amplitude A.

3.1.3. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbao PulsoA funo pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equao 3-51

X ss ,o , para t < t o X (t ) = X ss ,o + A = X ss , , para t o t t 1 X , para t > t 1 ss ,o

Equao 3-52

X(t ) = Xss + A . ut o (t ) ut1 (t )X ( t ) = X ( t ) X ss = A. uto ( t ) ut1 ( t ) Equao 3-53

[

]

Graficamente a funo impulso correspondente a Figura 3-11:

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Figura 3-11: Funo pulso de amplitude A.

Aplicando a varivel desvio

X (t ) = X (t ) X ss na Equao 3-53 e em seguida aX (s ) = A . L{u (t - t ) u (t - t1 )}

Transformada de Laplace, obtemos a funo perturbao no domnio de Laplace:Equao 3-54

ouEquao 3-55

X (s ) = A . [L{u (t - t ) } {u (t - t1 )} ]

Equao 3-56

X (s ) = A . L{u (t ) }. e (t . s ) L {u (t )}. e (t . s )

[

]

Equao 3-57

e ( t . s ) e ( t1 . s ) X (s ) = A . s s

Substituindo a Equao 3-57 na Equao 3-30:Equao 3-58

e (to .s ) e (t1 .s ) Y ( s ) = A. p .s + 1 s s Kp

Expedindo em fraes parciais:

Equao 3-59

1 p ( t .s ) 1 p ( t1 .s ) .e Y ( s ) = A. p . .e s ( p .s + 1) s ( p .s + 1)

OuControle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Equao 3-60

Y (s)

1 1 = A. p . s s + 1 p

1 ( t .s ) 1 .e s 1 s+ p

( t1 . S ) .e

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

t to t t1 Y ( t ) = A. p . 1 exp .u ( t - to ) 1 exp .u ( t - t1 ) p p Equao 3-61

ou

t to Y ( t ) = Yss + A. p . 1 exp p

t t1 .u ( t - to ) 1 exp .u ( t - t1 ) p Equao 3-62

Na Figura 3-12, t P versus Y (t )

( A.K P ) , observamos o comportamento dinmico de um

sistema de 1 ordem quando submetido a uma perturbao tipo pulso de amplitude A:

Figura 3-12: Resposta de sistema de 1 ordem a perturbao pulso de amplitude A.

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3.1.4. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbao SenoidalA funo seno pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:Equao 3-63

X(t ) = Xss + A . sen (. (t - t )) . u (t - t )

Onde, = 2. Graficamente a funo seno correspondente a Figura 3-13:

Figura 3-13: Funo seno de amplitude A, freqncia e perodo T.

Aplicando a varivel desvio

X (t ) = X (t ) X ss na Equao 3-63 e em seguida aA . s + 22

Transformada de Laplace, obtemos a funo perturbao no domnio de Laplace:

X (s ) =Equao 3-64

Substituindo a Equao 3-64 na Equao 3-30, expandindo em fraes parciais e aplicando a Transformada Inversa de Laplace L-1:

Y (t ) =Equao 3-65

A.K p

.2 p

2

[ +1

p

e

( (t to ) p )

. p cos ( (t - t o ) ) + sen ( (t - t o )) u (t - t o )

]

Lembrando da seguinte identidade trigonomtrica:

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Equao 3-66

p . sen ( . t ) + q . cos ( . t ) = r . sen ( . t + )

ondeEquao 3-67

r = p 2 + q 2 e = arcig (p q ) A K p . p . e ((t to ) p ) A . p sen ( (t - t o ) + ) u (t - t o ) Y (t ) = + 2 2 2 p . 2 + 1 p . + 1 = arcig (- . t )

Equao 3-68 Equao 3-69

OuEquao 3-70

Y (t ) = Ydin (t ) + Yest (t )

Onde,

Ydin (t ) = p .Equao 3-71

A . . p . e

((t t o ) p )

2 p . 2 + 1

. u (t - t o )

E,

Yest (t ) =Equao 3-72

A. K p .2 p . 2 + 1

. sen ( . (t - t o ) + ) . u (t - t o )

Observe que a resposta perturbao seno composta de duas partes: uma diminui a medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra uma funo peridica Yest(t). Portanto, no estado estacionrio a resposta de um sistema de 1 ordem a uma perturbao seno uma funo peridica, veja Figura 3-14, dada por: Perturbao:Equao 3-73

X(t ) = Xss + A . sen ( . t ) . u (t )

Resposta ( t )

Y (t ) = Yss +Equao 3-74

A. K p .2 p . 2 + 1

. [sen ( . t + )]

Comparando Equao 3-63 com Equao 3-74, veja Figura 3-14, conclumos que: (a) A amplitude da resposta do sistema menor que a amplitude da perturbao, ou seja, o sistema amortece a entrada;Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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(b) A resposta do sistema uma onda senoidal com a mesma freqncia de entrada; (c) A resposta est defasada de um ngulo de fase em relao ao estmulo, neste caso est atrasada pois menor que zero.

Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1 ordem a perturbao seno de amplitude A e freqncia w.

3.2. Estudo do Comportamento Dinmico de Sistemas Capacitivos PurosSe a constante ao da Equao 3-17 for zero, ento:

Equao 3-75

a1 .

d dt

[Y(t )] = b .x(t )

Dividindo por a1:

Equao 3-76

d [Y(t )] = b . X(t ) = K. X(t ) a1 dt

Onde Processos definidos pela Equao 3-75 so denominados capacitivos ou integradores.Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Utilizando variveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equao 3-76:Equao 3-77

s .Y (s ) = . X (s )

Ento a funo de transferncia de um sistema capacitivo dada por:

G (s ) =Equao 3-78

Y (s ) = X (s ) s

Em diagramas de blocos:

X (s )

' s

Y (s )

Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo.

Exemplo de um processador integrador: Seja um tanque aberto no qual sua descarga dada por uma bomba dosadora que mantm

a vazo constante, conforme a Figura 3-16:

q1(t)

h(t)

q2 = cte.

Figura 3-16: Tanque com vazo de descarga constante.

Realizando o balano de massa no tanque, obtemos:

A.Equao 3-79

d [h(t )] = q1(t ) q2 dt

No estado estacionrio:Equao 3-80

q1 (0) q 2 = 0

q1, ss = q 2, ss = q 2

Utilizando as variveis desvio:

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A.Equao 3-81

d h(t ) = q1 (t ) dt

[ ]

Aplicando a Transformada de Laplace e rearranjando:

G (s ) =Equao 3-82

h (s ) 1 = = s q1 (s ) A . sCapacitivo a

3.2.1. Comportamento Perturbao DegrauFuno de Transferncia:

de

um

Sistema

G (s ) =Equao 3-83

Y (s ) = X (s ) s

Funo Perturbao:

X (s ) =Equao 3-84

A t . s .e s

Resposta:

Y (s ) =Equao 3-85 Equao 3-86

A . t . s .e s2

Y (t ) = Yss + A . . (t - t ) . u (t - t )

Analisando a Equao 3-86 observamos que o sistema tende para + se a amplitude da perturbao for positiva (A > 0), ou tende para - se a amplitude da perturbao for negativa (A < 0). Na Figura 3-17 est plotado o comportamento dinmico do processo capacitivo a perturbao degrau.

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Figura 3-17: Processo capaciti vo submetido a perturbao degrau de amplitude A.

Podemos constatar que: (a) Processos integradores so instveis e de difcil controle e so no auto-regulados (enquanto que os sistemas de 1 ordem so auto-regulados); (b) No exemplo, pequenas diferenas entre vazes da alimentao q1(t) e da descarga q2(t), levaro o tanque a transbordar ou secar.

3.3. Estudo do Comportamento Dinmico de Sistemas de Segunda OrdemGenericamente, um sistema de 2 ordem definido pela seguinte equao diferencial:

Equao 3-87

d2 d a Z . 2 [Y (t )]+ a1 . [Y (t )]+ a .Y (t ) = b . X (t ) dt dt

Se ao 0 ento podemos dividir a Equao 3-87 por ao e obtemos:

2 .Equao 3-88

d2 dt

[y(t )] + 2

2.. .

d [Y(t )] + Y(t ) = p . X(t ) dt

Onde,

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=

a2 ao

Perodo natural de oscilao Fator de amortecimento (Damping Factor)

P =

b a

Ganho do processo

2. =e

a1 a

Utilizando variveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equao 3-88, obtemos a funo de transferncia do sistema de 2 ordem:

G (s ) =Equao 3-89

P Y (s ) = 2 2 X (s ) . s + 2 . . . s + 1

Sistemas de 2 ordem podem surgir devido a: (1) Processos multiplicativos (sistemas de 1 ordem em srie), por exemplo: 2 tanques em srie; (2) Sistemas intrinsecamente de 2 ordem (raros em processos qumicos), por exemplo: vlvula de controle; (3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1 ordem com controlador P + I. A resposta do sistema Y (s ) a uma perturbao X (s ) :

Y (s ) = G (s ). X (s ) =Equao 3-90

P . X (s ) . s + 2 . . . s + 12 2

Em diagramas de blocos:

X (s )

P 2 2 s + 2. .s + 1

Y (s )

Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2 ordem.

Logo:

Y (s ) =Equao 3-91

KP 2 . X (s ) (s p1 ). (s p 2 )

Onde p1 e p2 so as razes da funo de transferncia, plos do sistema:Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Equao 3-92

2 .

p1 =

+

4 . 2

2

2

4

2

e

2 .

p2 =

4 . 2

2

2

4

2

Os parmetros KP e tem o mesmos significados dos sistemas de 1 ordem: KP o ganho do processo, enquanto que determina a velocidade da resposta dos sistema. A Tabela 3- mostra a classificao dos sistemas de 2 ordem a depender dos valores do fator de amortecimento .Tabela 3-4: Classificao dos Sistemas de 2 ordem.

Fator de amortecimento >1 =1 0 < 1

Y (t ) = A . P .Equao 3-112

1

1

2 1

.e

.t*

2 1 senh t* u t*

( )

Perturbao Impulso e Sistema Criticamente amortecido = 1:

Equao 3-113

Y (t ) = A . P .

t*

2

.e

t*

. u t*

( )

Perturbao Impulso e Sistema Subamortecido 0 < < 1:

Equao 3-114

1 1 Y (t ) = A . p . . .e 1 2

. t*

1 2 . sen . t* . u t *

()

Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2 ordem a perturbao impulso. Observe que o sistema retorna ao antigo estado estacionrio depois de decorrido algum tempo (processo auto-regulado). As caractersticas observadas para a perturbao degrau tambm so aplicveis para perturbao impulso (tp, ts, OS, DR).

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Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2 ordem a perturbao impulso de amplitude A.

3.3.3. Processos Segunda Ordem

Multicapacitivos

como

Sistemas

de

Processos de ordem superior podem ser o resultado da associao em srie de processos de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque um sistema de 1 ordem) em srie constituem um sistema de 2 ordem, que podem ser no-interativos ou interativos. Outro exemplo de sistemas multiplicativos so: Tanque de aquecimento com agitao no qual a vazo e temperatura da corrente de alimentao variam: o balano de massa constitui um sistema de 1 ordem, mas o balano de energia de 2 ordem em relao a vazo e de 1 ordem em relao a temperatura de alimentao; Torre de destilao, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo, segundo um modelo de parmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variao na composio e temperatura de alimentao: as duas equaes diferenciais (balano molar e de energia), constituem um sistema de equaes diferenciais interativas. Estudaremos neste item os tanques em srie e o reator CSTR.

Tanques no interativos em srieControle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o segundo, na sada de cada um existe uma vlvula que impe ao escoamento uma resistncia R1 e R2.q1(t)

Tanque 1

h1(t) R1

q2(t)

Tanque 2

h2(t)

q3(t) R2

Figura 3-24: Dois tanques no-interativos em srie.

Realizando o balano de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, obtemos: 1 tanque

Equao 3-115

P1 .

d [h1 (t )]+ h1 (t ) = P1 . q1 (t ) dt

2 tanque

Equao 3-116

P2 .

d [h2 (t )]+ h2 (t ) = P1 . q 2 (t ) dt

OndeEquao 3-117 Equao 3-118

P1 = A1 . R1 P 2 = A2 . R2

, ,

P1 = R1 P 2 = R2

e

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q2 (t ) =Equao 3-119

h1 (t ) R1

Substituindo a Equao 3-119 na Equao 3-116 e utilizando variveis desvio, temos:

Equao 3-120

P1 . P2 .

d h1 (t ) + h1 (t ) = P1 . q 1 (t ) dt

[ ]]

Equao 3-121

d h1 (t ) h 2 (t ) + h 2 (t ) = P1 . dt R1

[

Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funes de transferncias:

G1 (s ) =Equao 3-122

P1 h 1 (s ) = q 1 (s ) P1 . s + 1 P2 h 2 (s ) = q 2 (s ) P 2 . s + 1

G 2 (s ) =Equao 3-123

Mas,

q 2 (s ) =Equao 3-124

h 1 (s ) R1

Ento,* G 2 (s ) =

Equao 3-125

K P 2 R1 K K h 2 (s ) = = P 2 P1 h1 (s ) P 2 . s + 1 P 2 . s + 1

Podemos escrever a funo da transferncia global do sistema Gg(s), isto , com a sada do processo (h2(t)) varia com a perturbao inicial (q1(t)):* G g (s ) = G1 (s ). G2 (s ) =

Equao 3-126

h1 (s ) h 2 (s ) h 2 (s ) . = q 1 (s ) h 1 (s ) q 1 (s )

G g (s ) =Equao 3-127

P1 P 2 P1 P2 = . ( P1 . s + 1) ( P 2 . s + 1) ( P1 . s + 1) . ( P 2 . s + 1)

Ou

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G g (s ) =Equao 3-128

P h 2 (s ) = q 1 (s ) 2 . s 2 + 2 . . . s + 1

Onde,

KP = KP2 = R2

= P1 . P 2 e

=

( P1 + P 2 )2 P1 . P 2

Portanto, da Equao 3-126 conclumos que dois tanques em srie formam um sistema de 2 ordem. Algumas particularidades so pertinentes a sistemas de 1 ordem em srie no-interativa: (a) Os sistemas so sempre criticamente amortecidos = 1 (quando P1 = P2) ou superamortecidos 1 (quando P1 P2) pois:

=Equao 3-129

( P1

+ P2

2 . P1 . P 2

) 1 ( P1

+ P2

)

2 . P1 . P 2

Elevando ambos os membros da Equao 3-129 ao quadrado:Equao 3-130 Equao 3-1312 2 P1 + 2 . P1 . P 2 + P 2 4. P1 . P 2 2 2 P1 2 . P1 . P 2 + P 2 0

Equao 3-132

( P1 P 2 )2

0

Conforme queramos demonstrar: (b) As concluses do item (a) podem ser estendidas para n tanques em srie. (c) Devido ao fato do sistema ser no-interativo, podemos resolver primeiro a Equao 3-120, conhecer o comportamento do nvel do 1 tanque (h1(t)) a perturbao (q1(t)) e ento utilizar este resultado para resolver a Equao 3-121, obtendo a variao de h2(t) com h1(t),

Tanques interativos em srie Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o

segundo, na sada de cada um existe uma vlvula que impes ao escoamento uma resistncia R1 e R2, porm ao contrrio do sistema no interativo, o nvel de segundo tanque influncia no nvel do primeiro.

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q1(t)

Tanque 1

h1(t)

q2(t) R1

Tanque 2

h2(t)

q3(t) R2

Figura 3-25: Dois tanques interativos em srie.

Realizando os balanos de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, obtemos: 1 tanqueEquao 3-133

A1 .

d [h1 (t )] = q1 (t ) q 2 (t ) dt

2 tanqueEquao 3-134

A2 .

d [h2 (t )] = q 2 (t ) q3 (t ) dt

Mas,

q2 (t ) =Equao 3-135

h1 (t ) h2 (t ) R1

E,

q3 (t ) =Equao 3-136

h2 (t ) R2

Substituindo a Equao 3-135 e Equao 3-136 na Equao 3-133 e Equao 3-134 e rearranjando:

Equao 3-137

A1 . R1 .

d [h1(t )] + h1(t ) = R1 . q1 (t ) + h2 (t ) dt

A 2 . R2 .Equao 3-138

d [h2 (t )] + 1 + R2 h2 (t ) = . R2 . h1(t ) dt R1 R1

Observe que a Equao 3-137 e a Equao 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e h2(t) portanto, temos que resolv-las simultaneamente, utilizando variveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Equao 3-139

A1 . R1 . s . h1 (s ) + h1 s h 2 (s ) = R1 . q1 (t ) R R A2 . R2 . s . h 2 (s ) + 1 + 2 . h 2 (s ) = 2 . h1 (s ) R1 R1

Equao 3-140

Definindo 1 = A1R1 e 2 = A2R2 e resolvendo para h1 (s ) e h2 (s ) :

h 1 (s ) =Equao 3-141

2 . R1 . s + R1 + R2 q 1 (s ) 1 . 2 . s 2 + ( 1 + 2 + A1 . R2 ). s + 1 1 . 2 . s + ( 1 + 2 + A1 . R2 ). s + 12

h 2 (s ) =Equao 3-142

R2

q 1 (s )

Observe que 1 e 2 no so constantes de tempo, embora possuam unidade de tempo. Escrevendo as funes de transferncia:

G1 (s ) =Equao 3-143

h1 (s ) 2 . R1 . s + R1 + R2 = 2 2 q 1 (s ) . s + 2 . . . s + 1 R2 h 2 (s ) = 2 2 q 1 (s ) . s + 2 . . . s + 1

G 2 (s ) =Equao 3-144

Onde,Equao 3-145

=

1 . 2

E,

=Equao 3-146

(1 +

2 + A1 .R 2 ) 2 . 1 . 2

Portanto, da Equao 3-143 e da Equao 3-144 conclumos que dois tanques em srie formam um sistema de 2 ordem e que os denominadores das funes de transferncias so os mesmos. Algumas particularidades so pertinentes a sistemas de 1 ordem em srie interativa: (a) Os sistemas so sempre superamortecidos > 1, pois:

seEquao 3-147

+ 2 ) 1 2 . 1 . 2

(1

(1

+ 2 + A1 . R 2 ) >1 2 . 1 . 2

(b) As concluses do item (a) podem ser estendidas para n tanques em srieControle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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(c) Sistemas capacitivos interativos so sempre superamortecidos, exceto quando ocorre produo de substncias ou absoro/liberao de energia.

Da Tabela 3-4, conclumos que o amortecimento nos sistemas interativos maior do que nos no interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interao sempre maior que 1, quanto maior A1*R2 mais intensa a interao.Tabela 3-4: Tanques em srie com e sem interao.

No-interativo

Interativo

P1 . P 2

1 . 2

( P1 + P 2 )2 P1 . P 2P ( P1 . s + 1) P2 P1 . P 2 . s + ( P1 + P 2 ). s + 12

(1 +

2 + A1 R 2 ) 2 . 1 . 2

h 1 (s ) q 1 (s ) h 2 (s ) q 1 (s )

2 . R1 . s + R1 + R2 1 . 2 s 2 + ( 1 + 2 + A1 + R2 ) s + 1 R2 1 . 2 . s + ( 1 + 2 + A1 + R2 ). s + 12

Da Figura 3-26, conclumos que a associao de capacitncias torna a resposta do sistema mais lenta e que os sistemas interativos so mais amortecidos que os no interativos.

Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbao degrau de amplitude A. Observao: Curva A tanque; Curva B 2 tanques no interativos; Curva C 2 tanques interativos; Curva D 4 tanques no interativos.

Reator de Mistura Perfeita Uma configurao de reator bastante utilizada em processos qumicos o reator de mistura

perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema interessanteControle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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pois este reator submetido a uma perturbao na carga, isto , na composio e temperatura da alimentao constitui um sistema multiplicativo de 2 ordem. Seja um CSTR adiabtico, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reao de isomerizao irreversvel e exotrmica:Equao 3-148

A

B

Com equao da taxa:Equao 3-149

(t ) = (t ) . C A (t )

Onde,Equao 3-150

(t ) = . e E (Rg . T (t ))

q1 T1(t) CA1(t) q2 T2(t) CA2(t)

CA(t) T(t)

h = cte.

Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbao na composio e temperatura da alimentao.

Balano molar no reator:

V.Equao 3-151

dC A (t ) = q1 . C A1(t ) q2 . C A 2 (t ) + V . A (t ) dt

Onde,Equao 3-152

A (t ) = v A . = = (t ) . C A (t )

Balano de energia no reator:

Equao 3-153

.V . C p .

dT (t ) = . q1 . Cp1 T1 (t ) T . q 2 . Cp 2 T2 (t ) T rV .(t ) dt

(

)

(

)

Por hiptese:

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Equao 3-154

q 1 = q 2 = q = cte

EEquao 3-155

C p 1 = C p 2 = C p = cte

Substituindo a Equao 3-154 e a Equao 3-155 na Equao 3-153 e rearranjando:

Equao 3-156

.V . C p .

dT (t ) = . q . C p . (T1 (t ) T2 (t )) r .V . (t ) dt

OndeEquao 3-157

(t ) = . e E (Rg . T (t )) . C A (t )

Lembrando que o reator est perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], ento:

V.Equao 3-158

dC A (t ) = q . C A1(t ) q . C A (t ) V . . e E (Rg . T (t )) . C A (t ) dt

E

Equao 3-159

.V . C p .

dT (t ) = . q . C p .T1 (t ) . q. C p .T (t ) r .V . . e E ( Rg .T (t )) . C A (t ) dt

A Equao 3-158 e a Equao 3-159 constituem um sistema de equaes diferenciais nolineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar os termos no-lineares:Equao 3-160

e E (Rg . T (t )) . C A (t )

Expandindo a Equao 3-160 em srie de Taylor e truncando no segundo termo:

e E ( Rg .T (t )) . C A (t ) Equao 3-161

e

E ( Rg . TSS )

. C A, ss + e E ( Rg .TSS ) . (C A (t ) C A, ss ) +

E . e E ( Rg .TSS ) . C A, ss. (T (t ) Tss ) 2 Rg . Tss

Substituindo a Equao 3-161 na Equao 3-158 e na Equao 3-159 e rearranjando:

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V.

dC A (t ) = q. C A1 (t ) q. C A (t ) V . e dt V e E ( Rg . Tss )

E ( Rg . TSS )

. C A,ss +

(C (t ) C ) VA A, ss

Equao 3-162

E e E ( Rg .TSS )C A,ss (T (t ) Tss ) 2 Rg . Tss

e

.V . C p .

dT (t ) = . q . C p .T1 (t ) . q . C p .T (t ) + dt rV . e E ( Rg .TSS )C A, ss rV . e E ( Rg .TSS ) (C A (t ) C A, ss ) + V . . e E ( Rg .TSS )C A, ss (T (t ) Tss )

Equao 3-163

Utilizando as variveis desvio:

V

Equao 3-164

d C A (t ) + q + V . e E ( Rg .Tss ) C A (t ) = q. C A1 (t ) + dt E V . . e E ( Rg .Tss ) . C A, ss T (t ) 2 Rg .Tss

[

]

e

.V . C p

Equao 3-165

E e E ( Rg .Tss )C A,ss T (t ) = . q . C p + r .V . 2 Rg .Tss E . q . C p .T 1 (t ) r .V . . . e E ( Rg .Tss ) . C A (t ) 2 Rg .Tss

d T (t ) + dt

Definindo os seguintes ganhos e constantes de tempo:

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c =Equao 3-166

V q + V . . e E ( Rg . Tss ) q q + V . . e E ( Rg . Tss )

CC =Equao 3-167

Equao 3-168

KCT =

V .o .(

E 2 Rg .Tss

).eg

E Rg .Tss

.C A,ssE Rg .Tss

q + V .o .( R ET 2 ).e .ss

T =Equao 3-168

.V . C p . q . C p + r .V . .E . e E ( Rg . Tss ) . C A, ss 2 Rg .Tss

TT =Equao 3-169

.V . C p . q . C p + r .V . E e E ( Rg . TSS ) . C A,ss 2 Rg .Tssss

TC =Equao 3-170

( r ).V . . e E (Rg . T . q . C p + r .V .

)

E e E ( Rg . TSS ) . C A,ss 2 Rg .Tss

Substituindo da Equao 3-166 a Equao 3-170 na Equao 3-164 e na Equao 3-165:

Equao 3-171

c .

d C A (t ) + C A (t ) = CC . C A1 (t ) CT . T(t ) dt

Equao 3-172

T.

d T (t ) + T (t ) = K TT .T 1 (t ) + K TC .C A (t ) dt

A Equao 3-171 e a Equao 3-172 constituem um sistema de equaes diferenciais lineares simultneas (sistema de equaes interativas). Aplicando a transformada de Laplace na Equao 3-171 e na Equao 3-172 e rearranjando obtemos:

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Equao 3-173

CA(s) = (C .CC1) CA1(s) (C .CT 1) T (s) s+ s+K K

Equao 3-174

T(s) = (TK.TT+1) T1(s) + (T .TC1) CA(s) s s+K

Resolvendo o sistema da Equao 3-173 e da Equao 3-174 para CA(s) e T(s), obtemos:Equao 3-176

CC T CA(s) = (C .s+1).(T .s+1)+KCT.KTC CA1(s) (C .s+1).(TCTs+1TT KCT.KTC T (s) 1 . )+Equao 3-177

K .( .s+1)

K .K

TT T(s) = (C .s+1).(T .sC1)+KCT.KTC T1(s) + (C .s+1).(TTCs+1CC KCT.KTC CA1(s) + . )+

K .( .s+1)

K .K

A Equao 3- e a Equao 3- so de 2 ordem Definindo as funes de transferncia para as perturbaes e respostas:Equao 3-178

GCC =

CA (s) C a1 ( s ) CA ( s ) T1 (s)T (s) T1( s)

= ==

K CC .( T . s +1) ( C . s +1).( T . s +1) + K CT . K TC K CT . KTT ( C . s +1).( T . s +1) + KCT . KTCKTT .( C . s +1) ( C . s +1).( T . s +1) + K CT . KTC

Equao 3-179

GCT =GTT =

Equao 3-175

Equao 3-180-b Obtemos:Equao 3-176

K ) GTC (s) = CT (ss) (C .s+1).(KTTCs.+1CC KCT .KTC . )+ (A1

C A (s ) = GCC . C A1 (S ) GCT .T 1 (S ) T (s ) = GTT .T 1 (s ) + GTC .C A1 (s )

Equao 3-177

As funes de transferncia cujos denominadores tem zeros finitos, a Equao 3- e a Equao 3-175, originam sistemas denominados atraso-avano, que sero estudados no item 3.4.

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3.4. Comportamento Atraso-AvanoSeja o seguinte sistema:

Dinmico

de

Processos

Tipo

.Equao 3-178

dY (t ) dX(t ) + Y (t ) = K . . + X(t ) dt dt

A funo de transferncia associada a Equao 3-178 :

G (s ) = K .Equao 3-179

( . s + 1) ( . s + 1)

A resposta deste sistema perturbao degrau de amplitude A :

Y (s ) = A . K .Equao 3-180

1 ( . s + 1) = A . K. + s . ( . s + 1) s . s + 1

Equao 3-181

Y (t ) = A . K 1

t e 1

t

u (t )

A Figura 3-28 mostra a resposta deste sistema para e diferentes valores de :Equao 3-182 Equao 3-183 Equao 3-184

0 < < 0 < < < 0 <

A Figura 3-29 mostra a localizao do plo e do zero do sistema s = -1/, para cada caso. Se = , a funo de transferncia simplifica-se para K como o resultado do cancelamento do numerador e do denominador, isto , ocorre o cancelamento plo-zero.

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Figura 3-28: Resposta do sistema (Equao 3-179).

Figura 3-29: Diagrama plo-zero para o sistema (Equao 3-179) X: localizao do plo, : localizao do zero.

Seja um sistema de 2 ordem superamortecido com um zero diferente de infinito, representado pela funo de transferncia da Equao 3-185:

G (s ) = K .Equao 3-185

( 1 s + 1) ( 2 s + 1)

(

s +1 )

Este sistema sofre uma perturbao degrau de amplitude A, ento a resposta no domnio do tempo ser para 1 2:

Equao 3-186

1 t Y (t ) = A . K 1 + e 1 2

1

+

2 t e 2 1 1

Aps algumas anlises matemticas da Equao 3-186, conclumos que trs tipos de respostas podem acontecer:Equao 3-187 Equao 3-188 (b) (a)

< 1

0 < 1(c)

Equao 3-189

< 0

Na Figura 3-30 vemos a representao dessas possibilidades.Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero.

No caso (a) ocorre a sobreelevao pois o avano (lead) provoca uma rpida reao do sistema. No caso (b), o sistema reage como sendo de 2 ordem superamortecido. Porm, no caso (c) acontece uma resposta inusitada: inicialmente o sistema reage no sentido inverso ao da perturbao, aps decorrido um certo intervalo de tempo a resposta toma o sentido da fora motriz. Este tipo de resposta denomina-se resposta inversa (inverse response) e pode ser encontrado em alguns processos qumicos, como por exemplo: O nvel de uma caldeira pode diminuir quando ocorre um aumento repentino na vazo de gua, pois a maior quantidade de gua numa temperatura inferior a temperatura do vapor que est sendo formado provoca a imploso das bolhas de vapor, diminuindo o nvel aparente monitorado pelo elemento de medio, mas aps algum tempo o sistema reage no sentido de aumentar o nvel, pois a brusca perturbao inicial diminui de intensidade; Em um reator tubular, no qual acontece uma reao exotrmica, o aumento sbito da temperatura da alimentao pode provocar uma diminuio da temperatura na sada do reator, pois maiores temperaturas na entrada do reator significa maiores taxas de reao e maiores converses, conseqentemente, decremento da quantidade de reagente nas sees posteriores do reator e diminuio das taxas de reao e menor temperatura na sada do mesmo (existe resfriamento do reator), mas decorrido algum tempo o sistema responde da maneira esperada, isto , maiores temperaturas na entrada provocam maiores temperaturas na sada. Na verdade, a resposta inversa ou a sobreelevao acontecem devido a diferena da dinmica dos vrios fenmenos fsicos envolvido em um processo.

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3.5. Comportamento Tempo Morto

Dinmico

de

Processos

com

Quando material ou energia transferido em uma planta industrial existe um tempo morto associado a este movimento. Por exemplo, em uma tubulao, conforme Figura 3-31, por onde transportado um fluido em escoamento pisto (plug flow) o tempo transcorrido entre o ponto inicial (1) e o final (2) m:

m =Equao 3-190

compriment o da tubulao volume da tubulao = velocidade do fluido vazo volumtric a

V1(t) q1(t) 1 2

V2(t) q2(t)

D

LFigura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulao em escoamento pisto.

Para estabelecer o modelo matemtico deste processo temos que assumir que o fluido seja incompreensvel, garantindo que a velocidade do mesmo no varie na direo axial, o escoamento pisto. Ento:

m (t ) =Equao 3-191

. D2 . L 4 L V V = = = V1 (t ) q1 (t ) q1 (t ) q2 (t )

Portanto, se a temperatura ou composio variam no ponto (1) este sinal demorar m para ser percebido no ponto (2), ou seja:

Equao 3-192

t < m 0 Y (t ) = x(t m ) , t m

OuEquao 3-193

Y (t ) = X(t m ) . u (t m )

A sada dos sistema Y(t) o mesmo sinal de entrada X(t) defasado (atrasado) por um intervalo de tempo igual a m. A funo de transferncia deste sistema :

Controle de Processos Ricardo de Arajo Kalid [email protected]

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G (s ) =Equao 3-194

Y (s ) s =e m X (s )

Podemos combinar funes de transferncia no intuito de melhor representar a dinmica de um processo. Por exemplo, um sistema de 1 ordem mais tempo morto tem a seguinte funo de transferncia:

G (s ) =Equao 3-195

p Y (s ) . s .e m = X (s ) p . s + 1

A presena do tempo morto um elemento dinmico que dificulta o controle de processos, pois as informaes do estado do sistema ficam defasadas, provocando as reaes do estado do sistema de controle a uma situao ocorrida a m atrs. Podemos aproximar o tempo morto por uma razo de dois polinmios. Uma expanso adequada a aproximao de Pad: Aproximao de Pad de 1 ordem:

eEquao 3-196

,m s

1 1+

m m2 2

s s

Aproximao de Pad de 2 ordem:

eEquao 3-197

,m s

12 2 s2 1+ m s + m 2 12

1

m2

s+

2 ms2

Estas aproximaes so mais precisas quanto maior a diferena entre o tempo morto m e a constante de tempo do processo P, isto , m