Apostila de calculo.pdf

Universidade de Itaúna Cálculo Diferencial e Integral I

B) Grado: arco equivalente a 400

1da circunferência.

Quando queremos medir um ângulo, procedemos da forma abaixo:

fig. 1 fig. 2

Dividimos a circunferência em 360 partes ( graus ) ou 400 partes ( grados ) e a medida do ângulo é a quantidade de arcos determinada na parte interna do ângulo.

Suponhamos que na fig. 2 acima, quando dividimos a circunferência em 360 partes, encontramos 30 pequenos arcos na região interna ao ângulo. A medida do ângulo será então de 30 graus. Representamos:

( ) 030=AÔBm

Do mesmo modo, se tivéssemos dividido em 400 partes e encontrado 42 pequenos arcos na região interna ao ângulo, a medida do mesmo seria 42 grados. Representamos:

( ) graAÔBm 42=

Não utilizaremos a medida grado em nosso curso.

C) Radiano

Consideremos um arco de uma circunferência que retificado equivale ao seu raio ( ver figura ):

Admitamos que a medida do arco AB quando

retificado seja equivalente ao raio OA.

Diremos que a medida de AB é igual a 1 radiano

Representamos:

( ) radAÔBm 1=

Observações:

1-) A medida mais utilizada nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral é o radiano pois os teoremas são demonstrados utilizando esta unidade de medida.

O••A

•B

A• A

O O •

B•

•B


2-) Para medir ângulos em radianos, teremos de usar frações pois o arco que equivale a um radiano é muito grande, comparado com as outras unidades de medida. ( Um radiano

equivale aproximadamente 03,57 )

COMO TRABALHAR COM RADIANOS:

A letra π representa uma constante matemática obtida pelo resultado da divisão do

comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro. Assim, R

C

.2=π . Quando

efetuamos essa operação, em qualquer circunferência, encontramos o valor : ...1415,3=π

Daí, RC ..2 π= .

Exemplo: Qual é o comprimento da circunferência de raio 5 cm, quando retificada?

Solução: cmRC 415,3151415,32..2 =××== π .

Se queremos medir a circunferência sem retificá-la, devemos substituir o raio por uma medida equivalente, que acompanhe a circunferência. Como vimos anteriormente, essa medida é o radiano.

Assim, ..21..2 radCradC ππ =⇒=

Quando pegamos a metade de uma circunferência, podemos afirmar que sua medida será dada por:

rad

gra

π1

200

1800

Para mudarmos uma unidade de medida, utilizamos uma regra de três.

Exemplo: Determine em radianos a medida de um ângulo de 030

Teremos: radx

radxradx

rad

6180

3030

180

0

0

πππ

=⇒×=⇒→

→

Observação:

Durante o curso omitiremos escrever o símbolo rad para simplificar. Assim, quando

escrevemos que a medida de um ângulo é igual a 6

π entendemos rad

6

π


RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO

Um ângulo é chamado ângulo agudo quando sua medida está compreendida entre 0 e 90 graus, como na figura abaixo:

Consideremos então um ângulo agudo:

Tomemos vários pontos em um de seus lados e façamos suas projeções ortogonais sobre o outro lado como indicado abaixo:

Os triângulos 11BOA , 22BOA , 33BOA , 44BOA , etc, são semelhantes, pois têm dois ângulos

com a mesma medida ( um ângulo de 090 e o ângulo α ) e portanto, as medidas de seus lados são proporcionais.

Daí, podemos criar várias proporções. Veja a seguir:

14

44

3

33

2

22

1

11............ K

AO

BA

AO

BA

AO

BA

AO

BA=====

Observe que as frações acima têm o mesmo valor pois entre elas está o sinal de igualdade. O valor acima foi então chamado de seno do ângulo de medida α .

Representamos: 1Ksen =α

Outras proporções podem ser criadas. Veja:

• • ••1B 2B

3B 4BO α

1A2A 3A

4A

α


24

4

3

3

2

2

1

1............ K

AO

OB

AO

OB

AO

OB

AO

OB=====

34

44

3

33

2

22

1

11........ K

BO

BA

BO

BA

BO

BA

BO

BA=====

444

4

33

3

22

2

11

1......... K

BA

OB

BA

OB

BA

OB

BA

OB=====

54

4

3

3

2

2

1

1.............. K

BO

OA

BO

OA

BO

OA

BO

OA=====

644

4

33

3

22

2

11

1......... K

BA

OA

BA

OA

BA

OA

BA

OA=====

As constantes , , , e recebem o nome, respectivamente de:

cosseno, tangente, cotangente secante e cossecante do ângulo de medida .

Representamos:

6

5

4

3

2

seccos

sec

cot

cos

k

k

kg

ktg

k

=

=

=

=

=

αα

αα

α

Como a razão de proporcionalidade é a mesma em qualquer um dos triângulos obtidos,

podemos trabalhar apenas com um deles para facilitar o raciocínio.

Assim, = hipotenusa

= cateto oposto ao ângulo

= cateto adjacente ao ângulo

A partir das considerações acima, temos as seguintes definições, que deverão ser memorizadas.

αO1B

α

1OBα •

1OA

11BA1A

α

2K 3K6K5K4K


Veja o exemplo:

Consideremos o triângulo retângulo abaixo representado:

Observação: As relações que aparecem com mais frequência são o seno, cosseno e tangente. As outras são simplesmente inversões das primeiras.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 30 0, 45 0 E 60 0

Consideremos um triângulo retângulo e isósceles:

Os catetos têm a mesma medida ( isósceles ). Seja “a” essa medida

e “x” a medida da hipotenusa. Usando o teorema de Pitágoras:

222 222222 axaxaxaax =⇒=⇒=⇒+= a

045 a

2ax =

4

3=αtg3

5seccos =α

4α

5

4cos =α

4

5sec =α

3 3

4cot =αg5 5

3=αsen

opostocateto

hipotenusa

BA

A==

11

10seccos α

adjacentecateo

hipotenusa

B

OA==

1

1

0secα

opostocateto

adjacentecateto

BA

OBg ==

11

1cot α

1B

adjacentecateto

opostocateto

B

BAtg ==

1

11

0α

Oα

hipotenusa

adjacentecateto

A

OB==

1

1

0cosα

1A

hipotenusa

opostocateto

A

BAsen ==

1

11

0α


Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente, teremos:

2

2

2

1

2450 ===

a

asen . Portanto,

2

2450 =sen

2

2

2

1

245cos 0 ===

a

a. Portanto,

2

245cos 0 =

11

1450 ===

a

atg . Portanto, 1450 =tg

Consideremos agora um triângulo eqüilátero de lado “a”

A altura de um triângulo eqüilátero em função de seu lado é dada

fórmula: 2

3ah = ( geometria elementar )

Extraindo da figura acima apenas o triângulo que nos interessa e

aplicando as definições de seno, cosseno e tangente:

Poderemos então, montar a tabela seguinte, que deverá ser memorizada:

32

2

3

2

2

3

603

3

3

1

3

2

2

2

3230 00 =×====×==

a

a

a

a

tgea

a

a

a

tg

==×== 00 60cos2

31

2

32

3

30cos ea

a

a

a

2

11

22 =×=

a

a

a

a2

3ah = 2

31

2

32

3

602

11

2230 00 =×===×==

a

a

a

a

senea

a

a

a

sen

030

0602

aa2

a•

a

h030

060


Com o que foi visto até agora, podemos trabalhar apenas com ângulos agudos. Para ampliar o estudo é necessário um estudo de arcos e ângulos.

ARCOS E ÂNGULOS

ÂNGULO CENTRAL

Consideremos um círculo de centro “O” e raio “R”. O ângulo formado por dois raios deste círculo é chamado ângulo central e tem a mesma medida do arco determinado por eles no círculo. Veja figura:

Portanto, a partir de agora, não faremos mais distinção entre arco e ângulo pois estaremos sempre trabalhando com suas medidas.

Assim,

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Consideremos um círculo de raio unitário ( medida igual a 1 ) com centro na origem do plano cartesiano. Veja figura:

O ponto “A” é chamado origem, e quando um ponto se move sobre o círculo no sentido anti-horário, a partir de “A”, descreve um arco de medida positiva. Se o movimento for no sentido horário, sua medida será negativa.

Assim, ( ) 0>AMm e ( ) 0<ANm

Os eixos dividem o círculo em quatro regiões distintas chamadas quadrantes, assim distribuídos:

N

AO

M

x

III

IVIII

y

( ) αsenAMsen =

AR

O

R ( ) ( )αmAMm =α

M

313

3tg

2

1

2

2

2

3cos

2

3

2

22

1sen

060045030


1º quadrante: entre 00 e 90 0 ( I )

2º quadrante: entre 900 e 180 0 ( II )

3º quadrante: entre 1800 e 270 0 ( III )

4º quadrante: entre 2700 e 360 0 ( IV )

ARCOS CÔNGRUOS

Se um ponto se move no círculo e para em um ponto “M” no sentido anti-horário, a medida do arco AM é um número positivo "" α . Se outro ponto dá uma volta completa e pára no mesmo ponto “M” sua medida será a medida de AM acrescida de radπ2 .

Assim, podemos imaginar vários arcos determinados por pontos que dão voltas completas e sempre param no ponto “M” e temos então uma expressão chamada expressão geral dos arcos côngruos de AM .

Escrevemos: ZkkAM ∈×+= ,2πα ou ainda, ZkkAM ∈+= ,2 πα

O valor de α é chamado menor determinação do arco AM .

Os arcos descritos acima são chamados arcos côngruos.

Exemplo:

São arcos côngruos: 30 0, 390 0, 750 0, - 330 0, - 690 0, etc, que equivalem, em radianos, às

medidas: 6

23,

6

11,

6

25,

6

13,

6

πππππ −− , etc.

Para determinarmos a menor determinação positiva de um arco procedemos da seguinte forma:

A ) O arco está medido em graus.

Determine a menor determinação do arco de medida 1380 0

3003

36013800

00

Daí, 00 30036031380 +×= ( significa que o ponto deu três voltas

completas e parou em 300 0 na quarta volta.)

Portanto, a menor determinação do arco de 1380 0 é 300 0

B ) O arco está medido em radianos.

Exemplo 1: determine a menor determinação do arco de medida rad3

26 π


Pensamos no primeiro número abaixo de 26 que é múltiplo de 3. Este número é o 24 e a divisão de 24 por 3 é igual a 8, que é um número par.

Daí, 3

224

3

28

3

2

3

24

3

26 πππππππ+×=+=+= ( significa que o ponto deu quatro

voltas completas e parou em 3

2 π na quinta volta.)

Portanto, a menor determinação do arco de rad3

26 π é rad

3

2 π

Exemplo 2: determine a menor determinação do arco de medida rad3

34 π

Pensemos no primeiro número abaixo de 34 que é múltiplo de 3. Este número é o 33 e a divisão de 33 por 3 é igual a 11, que é um número ímpar. O primeiro abaixo de 33 que é múltiplo de 3 é o 30 e a divisão de 30 por 3 é 10 que é um número par

Daí, 3

425

3

410

3

4

3

30

3

34 πππππππ+×=+=+= ( significa que o ponto deu cinco

voltas completas e parou em 3

4 π na quinta volta.)

Portanto, a menor determinação do arco de rad3

34 π é rad

3

4 π

Exercícios ( Deverão ser resolvidos pelos alunos em casa )

01-) Num triângulo retângulo, os dois catetos medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm. Determine:

A) A medida da hipotenusa Resp: 13 cm

B) Os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo de medida α oposto ao menor cateto.

Resp:

02-) Transforme em radianos as medidas dadas em graus:

A) 0300 Resp: 3

5 π

=

=

=

12

513

12cos

13

5

α

α

α

tg

sen


B) 0240 Resp: 3

4 π

C) 0150 Resp: 6

5 π

D) 0225 Resp: 4

5 π

02-) Transforme em graus as medidas dadas em radianos:

A) 4

7 π Resp: 0315

B) 6

π Resp: 030

C) 4

3 π Resp: 0135

D) 3

2 π Resp: 0120

03-) Escreva e expressão geral dos arcos seguintes, dando a sua menor determinação:

A) 0830 Resp: ∈×+

0

00

110

;360110 Zkk

B) 04730 Resp: ∈×+

0

00

50

;36050 Zkk

C) 3

55 π Resp:

∈+

3

;23

πππ

Zkk

D) 6

89 π Resp:

∈+

6

5

;26

5

π

ππZkk

04-) Calcule o valor de cada uma das expressões seguintes:


A) 0

00

2190seccos

18452550 tgsen + Resp:

4

3

B)

3

43seccos

6

613

25cot

6

109cos

ππ

ππ

−

+

tg

g Resp:

2

5−

3.6.2 – Funções Trigonométricas

3.6.2.1 – Função Seno

Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Veja figura ). Este ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de

medida α .

Definimos função seno de como sendo a função que associa cada ao valor de y , ordenada do ponto “M”. Assim, ysen =α . Como o maior valor de y é 1 e o menor

valor – 1, 11 ≤≤− αsen

Variação de Sinais

Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das ordenadas de um ponto “M” localizado em cada um dos quadrantes:

Observe que os pontos localizados no primeiro e segundo quadrantes, têm ordenadas positivas enquanto que pontos localizados no terceiro e quarto quadrantes, têm ordenadas negativas.

•x x x x

M•M

• α ααM

M•α

y y y y

α R∈α

x

Ax

α

•y

( )yxM ,

y


Assim, os senos dos arcos localizados no primeiro ou segundo quadrantes, são positivos enquanto os senos dos arcos localizados no terceiro ou quarto quadrantes, são negativos.

Resumindo os sinais dos senos, temos:

Variação de Valores

Para estudarmos a variação de valores da função seno, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico do seno ( senoide )

02

12

3

0

12

00

π

ππ

π

αα

−

sen

3.6.2.2 – Função Cosseno

Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de

medida α .

Definimos função cosseno de como sendo a função que associa cada ao valor de x , abscissa do ponto “M”. Assim, x=αcos Como o maior valor de x é 1 e o menor

valor – 1, 1cos1 ≤≤− α


α R∈α

x

Ax

αy ( )yxM ,•

y

1−

απ2− 2

3π− π− 2

π−

1

02

ππ 2

3ππ2

αsen

−−++


Veja nos ciclos trigonométricos das figuras os sinais das abscissas de um ponto “M” localizado em cada um dos quadrantes:

Observe que os pontos localizados no primeiro e quarto quadrantes, têm abscissas positivas enquanto que pontos localizados no segundo e terceiro quadrantes, têm abscissas negativas.

Assim, os cossenos dos arcos localizados no primeiro ou quarto quadrantes, são positivos enquanto os cossenos dos arcos localizados no segundo ou terceiro quadrantes, são negativos.

Resumindo os sinais dos senos, temos:


Para estudarmos a variação de valores da função cosseno, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico do cosseno ( cossenóide )

12

02

3

1

02

10

cos

π

ππ

π

αα

−

3.6.2.3 –Função Tangente

Para o estudo da função tangente iremos acrescentar um eixo paralelo ao eixo das ordenadas, onde iremos medir os valores das tangentes de um arco. Veja a figura:

α Ax

ATtg =α

MT

y

1−

πα2

3π−π2− π− 2

π−

0

1

2

π2

3ππ2

αcos

− +− +

•x x x

M M•x

• •α α ααM M

y y y y



Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das tangentes de um arco localizado em cada um dos quadrantes:

Observe que os arcos localizados no primeiro e terceiro quadrantes, têm tangentes positivas, enquanto que arcos localizados no segundo e quarto quadrantes, têm tangentes negativas.

Resumindo os sinais das tangentes, temos:


Para estudarmos a variação de valores da função tangente, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da tangente.

022

3

02

00

π

ππ

π

αα

∞+

∞+

tg

Observe que arcos próximos de e têm tangentes muito grandes ( )∞+ ou

senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico.

3.6.2.4 – Função Cotangente

Para o estudo da função cotangente iremos acrescentar um eixo paralelo ao eixo das abscissas, onde iremos medir os valores das cotangentes de um arco. Veja a figura:

2

3π2

π

∞−

∞−

π2− 2

3π− π−

2

π−

0

2

ππ

2

3π π2

α

αtg

+ −

− +

M M•

x x x

•x

• •α αα α

MM

y y y y



Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das cotangentes de um arco localizado em cada um dos quadrante

Observe que os arcos localizados no primeiro e terceiro quadrantes, têm cotangentes positivas enquanto que arcos localizados no segundo e quarto quadrantes, têm cotangentes negativas.

Resumindo os sinais das cotangentes, temos:


Para estudarmos a variação de valores da função cotangente, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da cotangente.

∞−

∞−

∞+

π

ππ

π

αα

2

02

3

02

0

tgco

∞+

2

3π−

2

π−

0

2

π

π

2

3π

απ2− π− π2

αgcot

−+− +

M• M•

•

x

y

• α ααMMα

x

y

x

y

x

y

Ax

BTg =αcot

M

α

TB

y


Observe que arcos próximos de e têm cotangentes muito grandes ( )∞+ ou

senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. ( O eixo

das ordenadas já é uma assíntota.

3.6.2.5 – Função Secante


medida .


Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das secantes de um arco localizado em cada um dos quadrantes:

Observe que os arcos localizados no primeiro e quarto quadrantes, têm secantes positivas enquanto que arcos localizados no segundo e terceiro quadrantes, têm secantes negativas.

Resumindo os sinais das secantes, temos:


Para estudarmos a variação de valores da função secante, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da secante.

− +

− +

M

x x x

•x • M

• •α αα α

MM

y y y y

xO A

OT=αsecα T

M

y

α

π0


122

3

12

10

sec

π

ππ

π

αα

∞−

−

∞+

Observe que arcos próximos de e têm secantes muito grandes ( )∞+ ou

senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico.

3.6.2.6 – Função Cossecante


medida .


Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das cossecantes de um arco localizado em cada um dos quadrantes:

x x x

•x •

M M

• •α αα α

MM

y y y y

xO A

OT=αseccosα

MT

y

α

2

3π2

π

∞−

∞+α

αsec

π2−

1−

2

3π− π− 2

π−

0

2

ππ

2

3ππ2

1


Observe que os arcos localizados no primeiro e segundo quadrantes, têm cossecantes positivas enquanto que arcos localizados no terceiro e quarto quadrantes, têm cossecantes negativas.

Resumindo os sinais das cossecantes, temos:


Para estudarmos a variação de valores da função cossecante, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da secante.

∞−

−

∞+

∞+

π

ππ

π

αα

2

12

3

12

0

seccos

Observe que arcos próximos de e têm cossecantes muito grandes ( )∞+ ou

senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico.O eixo

das ordenadas já é uma assíntota.

Relações Trigonométricas Fundamentais

a

ca

bsen

=

=

α

α

cos

Elevando ao quadrado e somando as igualdades:

2

2222

2

22

2

22

cos

cos a

cbsen

a

ca

bsen +=+⇒

=

=αα

α

α

Pelo teorema de Pitágoras 222 cba += . Substituindo na

igualdade acima, 1coscos 222

222 =+⇒=+ αααα sen

a

asen

ab

cα

02

π

α

αseccos

∞−

1−

π2−2

3π− π− 2

π−

0

2

ππ π2

2

3π

1

− −

++


c

btg =α . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” :

a

ca

b

tg =α Como

a

ca

bsen

=

=

α

α

cosααα

cos

sentg =⇒

b

cg =αcot . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” :

Como

c

a=αsec . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” :

a

ca

a

=αsec Como α

αcos

1sec =⇒

b

a=αseccos . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” :

a

ba

a

=αseccos Como

Tomemos agora a primeira identidade demonstrada : 1cos22 =+ ααsen

Dividindo esta igualdade por α2cos , teremos: αα

ααα

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos=+sen

. Daí,

αα 22 sec1 =+tg

Dividindo a mesma igualdade por α2sen , teremos: αα

ααα

22

2

2

2 1cos

sensensen

sen =+ . Daí,

αα 22 seccos1cot =+g

αα

sen

1seccos =⇒

a

bsen =α

a

c=αcos

a

ca

bsen

=

=

α

α

cosαα

ααtgsen

g1cos

cot ==⇒

a

ba

c

g =αcot


Vamos agora montar uma tabela com as identidades fundamentais:

αα

αα

αααα

ααααα

αααα

sen

tgseng

gsen

tg

tgsen

1seccos

cos

1sec

1coscot

seccos1cotcos

sec11cos

22

2222

=

=

==

=+=

=+=+

Redução ao Primeiro Quadrante

Quando temos um arco localizado no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, é possível determinar um arco localizado no primeiro quadrante de tal forma que suas funções trigonométricas sejam iguais ( em valor absoluto ) às dos arcos localizados em outros quadrantes. Para isto, usamos as fórmulas de redução ao primeiro quadrante que passaremos a determinar

A) O arco está localizado no segundo quadrante

Observando a figura, vemos que

Daí, que é a fórmula que nos permite

determinar o arco do primeiro quadrante que é

equivalente ao do segundo

Veja o exemplo:

Calcule o valor de 0150cos

Como vemos, 0150 é um arco compreendido entre 090 e 0180 sendo portanto, um arco

do segundo quadrante.

Teremos: 0000 30150180180 =−=⇒−= αβα

O

βAα

βα −= 0180

N M

0180=+ βα


Como o cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo,

2

330cos150cos 00 −=−= . Então,

2

3150cos 0 −=

Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é

Exemplo:

Calcule 3

2πtg

3

2π é um arco cuja medida está compreendida entre

2

π e π e é portanto, um arco do

segundo quadrante.

Teremos: : 33

2 πππαβπα =−=⇒−=

Como a tangente de um arco do segundo quadrante é negativa, 333

2−=−= ππ

tgtg

. Então, 33

2−=

πtg

B) O arco está localizado no terceiro quadrante



determinar o arco do primeiro quadrante que é

equivalente ao do terceiro

Veja o exemplo:

Calcule o valor de 0225sen

Como vemos, 0225 é um arco compreendido entre 0180 e 0270 sendo portanto, um

arco do terceiro quadrante.

Teremos: 0000 45180225180 =−=⇒−= αβα

N

A

M

0180−= βαO

βα

0180=− αβ

βπα −=


Como o seno de um arco do terceiro quadrante é negativo, 2

245225 00 −=−= sensen .

Então,

Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é πβα −=

Exemplo:

Calcule 3

4cos

π

3

4π é um arco cuja medida está compreendida entre π e

2

3 π e é portanto, um arco do

terceiro quadrante.

Teremos: : 33

4 πππαπβα =−=⇒−=

Como o cosseno de um arco do terceiro quadrante é negativo, 2

1

3cos

3

4cos −=−= ππ

.

Então, 2

1

3

4cos −=

π

C) O arco está localizado no quarto quadrante



determinar o arco do primeiro quadrante que é equivalente ao do quarto.

Veja o exemplo:

Calcule o valor de 0330cos

Como vemos, 0330 é um arco compreendido entre 0270 e 0360 sendo portanto, um

arco do quarto quadrante.

Teremos: 0000 30330360360 =−=⇒−= αβα

N

α

M

βα −= 0360β

A0360=+ βα

2

20225 −=sen


Como o cosseno de um arco do quarto quadrante é positivo, 2

330cos330cos 00 == .

Então, 2

3330cos 0 =

Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é βπα −= 2

Calcule 3

5πtg

3

5π é um arco cuja medida está compreendida entre

2

3 π e π2 e é portanto, um arco

do quarto quadrante.

Teremos: : 33

522

πππαβπα =−=⇒−=

Como a tangente de um arco do quarto quadrante é negativa, 333

5−=−= ππ

tgtg .

Então, 33

5−=

πtg

Exercícios ( Deverão ser resolvidos pelos alunos em casa )

01-) Calcule os valores das expressões:

3

32:Re

3

29seccos) −spA

π

1:Re4

35cot) −spgB

π

2:Re3

41sec) spC

π

2

1:Re

6

55) −spsenD

π

02-) Sendo 3

2=xsen e x um arco do segundo quadrante, calcule xgcot

2

5:Re −sp


03-) Sendo 3=xtg e x um arco do terceiro quadrante, calcule xsen

10

103:Re −sp

04-) Determine Rm ∈ tal que 2

1−=

mxtg e 8cot =xg

4

5:Re =msp

05-) Dado 5

4cos =x e

20

π<< x , calcule o valor de

−−=

xg

xxy

cot1

seccossec.12

15:Re =ysp

06-) Sabendo que 4

5seccos =x e x um arco do primeiro quadrante, calcule o valor da

expressão xtgxsen 22 925 − 0:Resp

07-) Determine o valor da expressão xxxg

xsenx

tgx

y8secseccos.cot

22

24cos

+

−

+= para

2

π=x

3:Re =ysp

3.6.3 – Funções Trigonométricas Inversas

3.6.6.1 – Função arco seno

Consideremos a função [ ] ( ) xsenxff =−→

− 1,12

,2

:ππ

. Seu gráfico será

Veja que esta função é crescente em seu domínio e portanto, possui função inversa.

Chamamos função arco seno à função inversa da função seno, dentro das condições estabelecidas acima. Assim,

1−

2

π x

2

π−

1

y


[ ] ( ) xsenarcxff =

−→−2

,2

1,1:ππ

O gráfico da função arco seno terá um aspecto parecido com o gráfico abaixo:

3.6.6.2 – Função arco cosseno

Consideremos a função [ ] [ ] ( ) xxff cos1,1,0: =−→π . Seu gráfico será:

Veja que esta função é decrescente em seu domínio e portanto, possui função inversa.

Chamamos função arco cosseno à função inversa da função cosseno, dentro das condições estabelecidas acima. Assim,

[ ] [ ] ( ) xarcxff cos,01,1: =→− π

O gráfico da função arco cosseno terá um aspecto parecido com o gráfico abaixo:

1− x1

2

π

yπ

1−

0 xπ

1

y

2

π−

x

1−

1

2

π

y


3.6.6.3 – Função arco tangente

Consideremos a função ( ) xtgxfRf =→

−2

,2

:ππ

. Seu gráfico será:

Veja que esta função é crescente em seu domínio e portanto, possui função inversa.

Chamamos função arco tangente à função inversa da função tangente, dentro das condições estabelecidas acima. Assim,

( ) xtgarcxfRf =

−→2

,2

:ππ

O gráfico da função arco tangente terá um aspecto parecido com o gráfico seguinte:

2

π−

x

2

π

y

2

π− 2

πx

y


1 . LIMITES

1.1- NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES

Seja a função dada por ( ) 13 −= xxf . Estudemos o seu comportamento quando fazemos

a variável x se aproximar de um número real ( por exemplo, se aproximar de 2 ).

x 1,9 1,99 1,999 ............................. 2

( )xf 4,7 4,97 4,997 ............................... 5

x 2,1 2,01 2,001 ............................. 2

( )xf 5,3 5,03 5,003 ............................... 5

Note que quando a variável x se aproxima de 2, os valores da função ( )xf se aproximam

de 5

Intuitivamente, dizemos que o limite da função ( )xf quando x se aproxima de 2 é igual a

5 e representamos ( ) 513 =−xlim

Observemos que ( ) 51232 =−×=f . Porém, nem sempre isto acontece. Vejamos o

exemplo seguinte: seja a função dada por ( )3

92

−−

=x

xxf . Estudemos o seu

comportamento quando fazemos a variável x se aproximar do número real 3.

x 2,9 2,99 2,999 ............................. 3

( )xf 5,9 5,99 5,999 ............................... 6

x 3,1 3,01 3,001 ............................. 3

( )xf 6,1 6,01 6,001 ............................... 6

Observe que quando a variável x se aproxima de 3, os valores da função ( )xf se

aproximam de 6

2→x


Intuitivamente, dizemos que o limite da função ( )xf quando x se aproxima de 3 é igual a

6 e representamos 63

92

=

−−

x

xlim

Quando calculamos ( )3f , temos: ( )0

0

33

933

2

=−−

=f

1.2 – VIZINHANÇA NA RETA REAL

Chamamos vizinhança de um número real c , de raio δ , ao intervalo aberto ( ) ] [δ+δ−=δ c,ccV . Exemplo: ( ) ] [ ] [15941051055

10,;,,,,V

,=+−= .

1.3 – DEFINIÇÃO DE LIMITE

Dizemos que ( ) l=xflim se e somente se, atribuída uma vizinhança arbitrária de l

com raio β , for possível determinar uma vizinhança de c , com raio δ tal que pontos de

( )cVδ tenham suas imagens em ( )lβV , cx ≠∀ .

Formalizando:

] [ ( ) ] [( )

( )( ) β<−⇒δ<−

β<−<β−⇒δ<−<δ−β+<<β−⇒δ+<<δ−

β+β−∈⇒δ+δ−∈

l

l

ll

ll

xfcx

xfcx

xfcxc

,xfc,cx

Assim, se ( ) l=xflim , temos: ( ) β<−⇒δ<− lxfcx .

Exemplo: Mostre através da definição de limite que ( ) 513 =−xlim

Temos:

( )3

2232363

5132

β<−⇒β<−⇒β<−⇒β<−

β<−−⇒δ<−

xx.x.x

xx

Comparando

332

2

β≤δ⇒β<−

δ<−

x

x

2→x

cx →

cx →

3→x


Assim, atribuída uma vizinhança ( )lβV , basta que construamos uma vizinhança ( )cVδ tal

que 3

β≤δ e daí, afirmar que pontos de ( )cVδ terão suas imagens em ( )lβV , cx ≠∀ e daí

fica demonstrado o nosso limite. Veja no esquema seguinte:

Provar que um limite é verdadeiro através da definição é muito trabalhoso e às vezes impraticável, devido à complexidade de algumas funções. Passaremos a seguir a estudar algumas técnicas que nos permitirão calcular alguns limites.

1.4 – PROPRIEDADES DOS LIMITES

01-) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf limlimlim +=+

02-) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf limlimlim ×=×

03-) ( )( )

( )

( )

=

xg

xf

xg

xf

lim

lim

lim desde que ( ) 0≠xg

04-) ( )[ ] ( )[ ] nnxfxf limlim =

05-) ( ) ( )xfxf

aalim

lim = desde que 10 ≠<∈ aeRa

06-) ( )[ ] ( )[ ]xfxfa

limlogloglim = desde que ( ) 10;0 ≠<∈> aeRaxf

cx →cx →

cx →cx →

cx →cx →

cx →

cx →

cx →

cx → cx → cx →

cx → cx → cx →

oo

lcoo

RR


Observações:

01-) Poderíamos enumerar outras propriedades, mas deixaremos para fazê-lo, se necessário, durante o curso.

02-) Não demonstraremos as propriedades dadas.

1.5 – CÁLCULO DE ALGUNS LIMITES

01-) O limite da função constante é a própria constante.

Assim, Rkckk ∈∀= ,;lim

Exemplo: 77lim =

02-) O limite da função identidade ( )( )xxf = , é igual ao valor da tendência da variável.

Assim, Rccx ∈∀= ;lim

Exemplo: 5lim =x

03-) O limite de um polinômio quando cx → é igual ao valor numérico do polinômio quando x = c

Assim, ( ) ( ) RccPxP ∈∀= ;lim

Demonstração:

Seja ( )nn

nnnaxaxaxaxaxP +++++=

−

−−

1

2

2

1

10........... uma função polinomial de

grau “ n ”

lim

+++++

−

−−

nn

nnnaxaxaxaxa

1

2

2

1

10...........

= [ ] [ ]nn

nnnaxaxaxaxa limlim...........limlimlim

1

2

2

1

10+++

+

+

−

−−

=

[ ] [ ] [ ]nn

nnnaxaxaxaxa limlim.lim...lim.limlim.limlim.lim

1

2

2

1

10+++++

−

−−

( )cPacacacacann

nnn=+++++

−

−−

1

2

2

1

10..........

cx → cx →cx →cx →cx →cx →cx →cx →cx →

cx → cx →cx →cx →cx →

cx →

cx →

5→x

cx →

5→x

cx →


Exemplo:

( ) ( ) ( ) 7153211.51.31.21532lim2323

=+++−=+−−−+−=

+−+ xxx

Portanto, 71532lim23

=

+−+ xxx

04-) Limite de uma função racional.

( )( )

( )[ ]

( )[ ]( )( )cQ

cP

xQ

xP

xQ

xP==

lim

lim

lim

Para os cálculos destes limites, devemos considerar três casos.

4.1 - ( ) 0≠cP .

Se ( ) 0≠cP , o valor do limite será o resultado encontrado.

Exemplo: 5

23

14

3224

12

322.3

1

33lim

2

3

2

3

=+

−+=

+

−+=

+

−+

x

xx

Portanto, 5

23

1

33lim

2

3

=

+

−+

x

xx

4.2 - ( ) ( ) 0== cQcP

Se ( ) ( ) 0== cQcP , o valor do limite indicará como resultado o valor 0

0.

Porém, o valor 0

0 não tem significado real e na teoria dos limites ele é considerado um

valor indeterminado , ou simplesmente, uma indeterminação .

Para o cálculo de limites deste caso, devemos fatorar os polinômios e calcular o limite da expressão simplificada.

2→x

2→x

cx →

cx →

cx →

1−→x

1−→x


Exemplo:

0

0

33

93

3

9lim

22

=−−

=

−−

x

x ( indeterminação )

Resolvendo: ( ) ( ) ( ) 6333lim

3

33lim

3

9lim

2

=+=+=

−+−

=

−−

xx

xx

x

x

63

9lim

2

=

−−

x

x

Alguns polinômios não se enquadram nos casos de fatoração mais usuais. Quando isso acontece, podemos fazer a fatoração dos mesmos usando o dispositivo de Briot-Ruffini.

Exemplo: calcule o limite:

+

++5

3

35

2652lim

x

xx

=( ) ( )

( ) 0

0

3232

261016

232

262.52.25

3

=−

+−−=

−+

+−+−( indeterminação )

- 2 2 0 5 26 - 2 1 0 0 0 0 32

2 - 4 13 0 1 - 2 4 - 8 16 0

=( )

( ) 80

29

16842

1342lim

168422

13422lim

234

2

234

2

=

+−+−

+−=

+−+−+

+−+

xxxx

xx

xxxxx

xxx

4.3 - ( ) ( ) 00 =≠ cQecP

( )( )

( )R

cP

xQ

xP ∉=

0lim

cx→

2−→x 2−→x

2−→x

3→x

3→x 3→x 3→x


Para estudarmos esse limite, temos de estudar algumas teorias:

4.3.1 – Limites laterais

Como vimos no início do curso de limites, na noção intuitiva de limites, quando calculamos um limite, estudamos a aproximação da tendência da variável livre, com valores anteriores e posteriores a ela. Reveja o exemplo:

Seja a função dada por ( ) 13 −= xxf . Estudemos o seu comportamento quando fazemos

a variável x se aproximar de um número real ( por exemplo, aproximar de 2 ).

x 1,9 1,99 1,999 ............................. 2

( )xf 4,7 4,97 4,997 ............................... 5

x 2,1 2,01 2,001 ............................. 2

( )xf 5,3 5,03 5,003 ............................... 5

Note que quando a variável x se aproxima de 2, os valores da função ( )xf se aproximam

de 5

Quando analisamos as tabelas, podemos “separar” os limites da seguinte forma:

( ) 513lim =−x e ( ) 513lim =−x . Esses limites, quando analisados separadamente,

são chamados limites laterais.

O primeiro, chamado limite lateral à esquerda , iremos representar por ( ) 513lim =−x e

o segundo, limite lateral à direita, cuja representação será ( ) 513lim =−x .

Para calcularmos um limite lateral nos valeremos também da noção intuitiva de limites. Veja:

1,9 = 2 – 0,1

1,99 = 2 – 0,01

1,999 = 2 – 0,001

•

•

•

+→ 2x

−→ 2x

2

2

<→

x

x

2

2

<→

x

x

2

2

>→

x

x


Observe que quanto mais perto de 2 chegamos, o número considerado é da forma 2 – h, e o valor de h é sempre mais próximo de zero.

Assim, se −→ 2x , 2 = 2 – h e 0→h ; 0>h .

Portanto, ( ) 513lim =−x = ( )[ ] [ ] 535lim12.3lim =−=−− hh

Quando procedemos da mesma forma para o cálculo do limite lateral à direita, temos:

+→ 2x , 2 = 2 + h e 0→h ; 0>h .

Resumindo, ( ) ( )hcfxf −= limlim

( ) ( )hcfxf += limlim

Existe um teorema chamado teorema da unicidade dos limites, que enunciaremos e não demonstraremos.

“ Se existe ( )xflim , ele é único “ .

A conseqüência natural desse teorema é que se existe ( )xflim , seus limites laterais

são necessariamente iguais. Portanto:

Se existe ( )xflim ⇒ ( )xflim = ( )xflim .

4.3.2 – Análise do limite:

x

klim

Quando diminuímos o valor do denominador de uma fração fazendo com que ele se aproxime de zero, o valor da fração assume um valor de módulo muito grande. Veja os exemplos:

Se 5000000000000001,0

5500000001,0 ==⇒=

xx

Se 5000000000000001,0

5500000001,0 −=−=⇒−=

xx

Quando generalizamos, ∞+=

x

klim e ∞−=

x

klim .

Conseqüentemente,

∃x

klim .

0→x

+→0x −→0x

0→x

cx → +→cx−→cx

cx →

cx →

+→cx 0→h

−→cx 0→h

−→ 2x 0→h 0→h


Exercícios: deverão ser resolvidos pelo professor e m sala:

Calcule os limites seguintes:

01-) ( )752lim 3 +− xx

02-)

+−

+

15

13lim

2

2

xx

x

03-)

−

−+4

2

81

1253lim

x

xx

04-)

−+

x

x

3

52lim

05-)

+−

−+

44

2lim

2

2

xx

xx

06-)

+++

++

133

34lim

23

2

xxx

xx

Exercícios: deverão ser resolvidos pelos alunos em casa:


01-) ( )573lim 2 −+ xx Resp: - 9

02-)

−+

−+

5

42lim

2

3

xx

xx Resp:

3

22

03-)

−

+−−4

23

16

652lim

x

xxx Resp:

32

3−

04-)

++

x

x

5

25lim Resp: não existe

5−→x

2→x

2−→x

1−→x

1−→x

2→x

3→x

3−→x

1−→x

2−→x


05-)

++

−+

96

12lim

2

2

xx

xx Resp: ∞+

06-)

−+−

+−

8126

65lim

23

2

xxx

xx Resp: ∞−

07-)

+−

+

65

32lim

2xx

x Resp: não existe

05-) Limites que comparecem os termos ∞±

Para calcularmos limites que envolvem polinômios e ∞±→x , observemos:

kk =lim ; ∞±=xlim e 0lim =

x

k

As expressões ∞−∞ e ∞∞

são consideradas formas indeterminadas.

5.1 - ( )[ ]xPlim

( )[ ]xPlim =

+++++ −

−−

nn

nnnaxaxaxaxa

1

2

2

1

10.......lim

=

+++++−−

nn

n

n

nn

n

x

a

x

a

xa

a

xa

axa

1

1

221

0.......1.lim

= lim.lim0

nxa

+++++−−

nn

n

n

nn x

a

x

a

xa

a

xa

a1

1

221 .......1

= ( )00........001.lim0

+++++

nxa =

nxa

0lim .

Portanto,

∞±→x ∞±→x

∞±→x∞±→x

∞±→x ∞±→x

∞±→x

∞±→x ∞±→x

∞±→x

∞±→x∞±→x ∞±→x

2→x

2→x

3−→x

( )[ ]

=

nxaxP

0limlim


Exemplos: para serem resolvidos pelo professor em s ala:

Calcule os limites:

01-)

+−+ 7532lim25

xxx

02-)

−−+52

7532lim xxx

03-)

++

−+−

152

3723lim

3

35

xx

xxx

03-)

++

−+−

152

3723lim

23

23

xx

xxx

03-)

+++

+−

152

723lim

35

2

xxx

xx

06-) Limites que contém radicais

( ) ( )nn xfxf limlim =

Exemplo: ( ) ( ) 39451.4545lim45lim ==+=−−=−=− xx

Observação:

Quando um limite contém radicais de índice 2 ( raízes quadradas ) e é indeterminado, devemos racionalizar a parte que contém radicais para levantar a indeterminação.

Exemplos : deverão ser resolvidos pelo professor em sala:

01-)

−

−+5

32

352lim

x

x

02-)

−−++

x

xx

3165

65lim

2

3−→x

2→x

1−→x 1−→x

cx → cx →

∞+→x

∞−→x

∞−→x

∞−→x

∞+→x


03-)

+−

−+

x

x

82

4365lim

07-) Limites Fundamentais

7.1 - Sequência de Euler

É a sequência cujo termo geral é dado por

n

n na

+= 11

Se 21

111

1

1

1=⇒

+=⇒= aan

25,22

112

22

2

=⇒

+=⇒= aan

3703703703,23

113

3

3

3=⇒

+=⇒= aan

...............................

7182546461,250000

1150000

50000

50000

50000=⇒

+=⇒= aan

O que se observa é que aumentando o valor de n, o valor de n

a aumenta muito pouco e

é possível se demonstrar que aumentando infinitamente o valor de n o valor de n

a tende

a se aproximar de 2,71828182846... que é um número irracional, chamado número de Euler e é representado pela letra “ e ”.

Intuitivamente, podemos escrever: en

n

=

+ 11lim

Note que numa substituição direta, ∞

=

+ 11

1lim

n

n

O símbolo ∞

1 é também uma forma indeterminada.

Façamos agora uma modificação no limite encontrado anteriormente:

∞→n

∞→n

4−→x


0

11

→⇒∞→

=⇒=

xnx

nxn ⇒ ( ) ex

x=+

1

1lim

A partir do exposto, criaremos então dois limites fundamentais, a saber:

ex

x

=

+ 11lim e ( ) ex

x=+

1

1lim

Exemplos que deverão ser resolvidos pelo professor em sala.


01-)

x

x

3

7

51lim

+

01-)

x

x

5

3

21lim

−

01-) ( ) xx

2

3

41lim +

7.2 – Função exponencial

Consideremos o limite:

−x

ax

1lim

Observemos que na substituição direta, 0

01lim =

−x

ax

Façamos tax

=− 1 . Daí, se 00 →⇒→ tx .

Se ( )txtataa

xx+=⇒+=⇒=− 1log11

0→x

0→x

0→x

∞→x

∞→x

0→x∞→x

0→x


Voltando ao limite, ( ) ( )=

+=

+=

−

tt

t

t

x

a

aa

x

1log.1

1lim

1loglim

1lim

( ) ( )

a

aa

ee

ttat

a

t

a

ln

ln

11

ln

ln1

log

1

1limlog

1

1loglim

111

====

+

=

+

.

Concluindo,

ax

ax

ln1

lim =

−

Exemplos: Deverão ser resolvidos pelo professor em sala:


−−

x

x15

lim)01

−−

−4

813lim)02

x

x

−−

x

x

7

12lim)03

3

−

−−

532

497lim)04

x

x

−

−−

x

x

749

255lim)05

2→x

2→x

0→x

4→x

0→x

0→x

0→x 0→x

0→x 0→x 0→x


7.3 – Limites Trigonométricos

7.3.1 – Teorema do confronto

Sejam as funções definidas em um intervalo aberto “ I ” e tais

que . Seja

Se ( não demonstraremos esse teorema )

Consideremos o limite onde “ x ” é um arco medido em radianos .

Na substituição direta , ( indeterminação ).

Observe a figura:

Pela figura,

Como

( Teorema do confronto )

0→x

⇒0→x

1lim =

x

xsen

0→x

1cos

1lim

11lim

=

=

x{

xx

xsen

cos

11 ≤≤

xxsen

xcos1 ≤≤

xsen

xtg

xsen

x

xsen

xsen ≤≤xxsen

x

xtgxxsen ≤≤xtg

y

0

0

0

0lim ==

sen

x

xsen

0→x

x

xsenlim

0→x

cx→

( )

( ) lxh

lxf

=

=

lim

limcx→

cx→

( ) lxg =lim⇒

( ) ( ) ( ) Ixxhxgxf ∈∀≤≤ ,

( ) ( ) ( )xhexgxf ;

Ic ∈


Exemplos: deverão ser resolvidos pelo professor em sala:

−−

−−

−

2

cos1lim)03

cos1lim)02

lim)01

x

x

x

x

x

xtg

Exercícios ( deverão ser resolvidos pelos alunos em casa:

01-) Observe o gráfico da função ( )xfy = abaixo e determine os limites indicados:

∞−→x

∞+→x

2→x

( )

( )xfH

xfG

lim)

lim)

−→ 2x

( )xfF lim)

2 x4−

1 ( )

( )xfE

xfD

lim)

lim)+→ 2x

( )xfC lim)4−→x

+−→ 4x

( )

( )xfB

xfA

lim)

lim)y−−→ 4x

0→x

0→x

0→x


02-) Calcule os limites seguintes:

( )

( )

+−−+∃

+−−+

−−∃

−−

−

−+−−

++−

∞+−+−

+−

43

6lim:Re

43

6lim)

4

72lim:Re

4

72lim)

27

2:Re

81

33lim)

0:Re1

67lim)

:Re51lim)

13:Re1052lim)

23

2

23

2

22

4

23

4

2

32

35

xx

xxsp

xx

xxF

x

xsp

x

xE

spx

xxxD

spx

xxC

spxxxB

spxxA

5

3:Re

235

13lim)

0:Re73

152lim)

2

2

35

3

spxx

xxH

spxxx

xxG

−++−

+−++−


A) 6

1:Re

7

32lim sp

x

x

−−+

B) 14:Re15

12lim

2

−

−−−−

spx

xx

C) 3

4:Re

52

372lim sp

x

x

−−

−+

1→x

4→x

7→x

∞−→x

∞+→x

1−→x

∞−→x

1→x

3→x

2→x

2→x



( ) 7

67

3

5

62

:Re21lim)

:Re5

31lim)

espxB

espx

A

x

x

+

−−


2ln27

8:Re

27

82lim)

3ln2

5ln3:Re

31

15lim)

3ln5

1:Re

105

13lim)

3

2

3

2

−

−−

−

−−

−

−−−

spx

C

spB

spx

A

x

x

x

x


3

5:Re

3

5lim) sp

x

xsenA

0:Re5

3cos1lim) sp

xsen

xB

−

5

2:Re

5

2cos1lim)

2sp

x

xC

−

0:Re3

1seclim) sp

xsen

xD

−

2

1:Re

coslim)

3sp

x

xxsenxsenE

−

( )xsp

xsenxsenF

x

xcos:Relim)

∆−∆+

0→∆ x

0→x

0→x

0→x

0→x

0→x

0→x

2→x

3→x

∞→x

0→x


( )xsensp

xxF

x

x −

∆−∆+

:Recoscos

lim)

CONTINUIDADE

01-) Função Contínua em um Ponto

Definição: uma função ( )xfy = é contínua num ponto de abscissa “ c ”, se e somente

se, ( ) ( )cfxf =lim

Para que a definição acima seja verdadeira, podemos desmembrá-la em três partes:

A) ( ) Rcf ∈ ;

B) existe ( )xflim

C) ( ) ( )cfxf =lim

Exercícios para serem resolvidos pelo professor em sala.

01-) Verifique se são contínuas as funções dadas pelas equações seguintes, nos pontos de abscissas dadas. Nos itens “A” e “B”, represente a função graficamente e comprove o resultado encontrado.

A-) ( ) 3;3;8

3;522 =

>−

≤−= cabscissadepontono

xsex

xsexxf

B-) ( ) 3;3;1

3;522 =

>+


xsex

xsexxf

C-) ( ) 2;

2;53

2;8

933 =

=−

≠−

−= cabscissadepontono

xsex

xsex

xf

x

02-) Determine o valor de Rk ∈ de modo que a função dada por

( )

=−

≠−=

0;32

0;3cos1

52

xsek

xsex

xsenxxf seja contínua no ponto de abscissa 0=c .

cx →

cx →

cx →

0→∆ x


Exercícios para serem resolvidos pelos alunos em ca sa.

01-) Verifique se são contínuas as funções dadas pelas equações seguintes, nos pontos de abscissas dadas. Nos itens “A” “B” “D” e “E”, represente a função graficamente e comprove o resultado encontrado.

A-) ( ) 2;2;73

2;52

=

>−≤−= cabscissadepontono

xsex

xsexxf

B-) ( ) 3;3;1

3;522 =

>+


xsex

xsexxf

C-) ( ) 2;

2;10

533

2;42

1033

2

=

=−

≠−−

−+

= cabscissadepontono

xsex

xsexx

xx

xf

D-) ( ) 2;263

242=

>−≤−= cabscissadepontono

xsex

xsexxf

E-) ( )

=>+≤−

= 3;31

325cabscissadepontono

xsex

xsexxf


( )

=−

≠−=

0;23

0;2cos1

52

xsek

xsex

xtgxxf seja contínua no ponto de abscissa 0=c .


( )

=+

≠−−

+−

=2

3

12

22

652

2

xsek

xsexx

xx

xf seja contínua no ponto de abscissa 2=c .


( )

=−

≠−

=0

5

513

05

13

xsek

xsex

e

xf

x

seja contínua no ponto de abscissa 0=c .


02-) Função Contínua em um Intervalo

Definição : Dizemos que uma função ( )xfy = é contínua em um intervalo aberto

( )ba , , se ela é contínua em todos os pontos de ( )ba , .

Observação : consideraremos o intervalo aberto, pois se fosse intervalo fechado, não teríamos o limite lateral à esquerda no ponto de abscissa “ a ” e o limite lateral à direita no ponto de abscissa “ b ”, não podendo portanto, confirmar a existência dos limites nestes pontos.

Para ilustrar a definição acima, usaremos um gráfico. Observe:

Esta função é contínua por exemplo, nos intervalos ( )1;1− ; ( )2;5,0− ; ( )∞+;3 entre outros, e não é

contínua por exemplo, no intervalo ( )3;1 , pois ela

não é contínua no ponto de abscissa 2

•2 x

y o


DERIVADAS

01-) Derivada de uma função em um ponto de abscissa x o

Seja uma função ( )xfy = contínua em um intervalo aberto I , cujo gráfico é uma curva

“suave” em I , e seja Ix ∈0

.

Admitamos um acréscimo x∆ , feito na variável “ x ” . Observe o gráfico abaixo:

Definição I - Chamamos taxa média de variação da função ( )xfy = ao quociente:

( ) ( )

x

xfxxf

x

y

∆

−∆+=

∆∆ 00

Observações:

A-) O número x

y

∆∆

é também chamado de quociente de Newton.

B-) Este número mede com que “intensidade” uma função está variando em um intervalo.

C-) Se a função é crescente em um intervalo, 0>∆∆

x

y e se for decrescente, 0<

∆∆

x

y.

Exemplos: Para serem resolvidos pelo professor em s ala.

01-) Determine a taxa média de variação da função dada por ( ) 52

−= xxf quando

“ x ” varia de 1 até 3.

02-) Determine a taxa média de variação da função dada por ( ) 21 xxf −= quando

“ x ” varia de 1 até 3.

x∆

0x xx ∆+

0

x

( )0

xf

y∆

( )xxf ∆+0

y


Construa os gráficos e faça uma comparação com os resultados obtidos.

Definição 2 : Chamamos derivada da função ( )xfy = no ponto de abscissa 0

x , ao

limite da taxa média de variação da função, quando 0→∆ x .

Representamos por ( )oxf,

.

Assim, ( )oxf,

= ( ) ( )

∆

−∆+=

∆∆

x

xfxxf

x

y 00limlim

Exemplos: Para serem resolvidos pelo professor em s ala de aula.

Calcule as derivadas das funções seguintes nos pontos de abscissas dadas:

01-) ( ) 1;1530

2 −=+−= xxxxf

02-) ( ) 2;20

23==

−xxf

x

03-) ( ) 1;450

−=−= xxxf

04-) ( )6

;20

π== xxsenxf

Exercícios: Para serem resolvidos pelos alunos em c asa

Calcule as derivadas das funções seguintes nos pontos de abscissas dadas:

01-) ( ) 2;320

3 −=−= xxxf Resp: ( ) 242 =−f

02-) ( ) 2;30

12==

−xxf

x Resp: ( ) 3ln542 =f

03-) ( ) 10;520

=+= xxxf Resp: ( )5

110 =f

04-) ( )6

;2cos0

π== xxxf Resp: 36

−=

πf

05-) ( ) 1;0

3 −== − xexf x Resp: ( ) 331 ef −=−

,

,

,

,

,

0→∆ x 0→∆ x


06-) ( )4

;30

π== xxsenxf Resp: 2

23

4−=

πf

02-) Interpretação geométrica da derivada de uma fu nção num ponto de abscissa x o

Voltemos ao gráfico da unidade anterior

Observe que a declividade da reta secante “ s ” será dada por x

ytg

∆∆

=β .

Quando calculamos a derivada da função no ponto de abscissa 0

x , fazemos 0→∆ x .

Daí, surgem as seguintes implicações:

→→→→

⇒→∆

αβαβtgtg

ts

PQ

x 0

Portanto, ao calcularmos a derivada, encontraremos a tangente trigonométrica do ângulo α , que mede a declividade da reta t .

Conclusão: a derivada de uma função em um ponto de abscissa 0

x é igual à tangente

trigonométrica do ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto, faz com o eixo das abscissas, no sentido positivo.

x∆

0x xxx ∆+

0

y∆

( )xxf ∆+0

( )0

xf

t

α β

Q

P

sy

,


Daí, ( ) αtgxf =0

Poderíamos então resumir a figura destacando apenas o significado da derivada, como a seguir:

Utilizando os conceitos de geometria analítica, poderíamos escrever a equação da reta tangente à curva:

( ) ( ) ( )000

xxxfxfy −=−

A reta “ n ” que é chamada reta normal à curva, no ponto de abscissa 0

x é perpendicular à

reta “ t ” no ponto P e, de acordo com princípios de geometria analítica, também fica definida como a seguir:

( ) ( ) ( )0

00

1xx

xfxfy −−=−

Exemplo: Para ser resolvido pelo professor em sala.

Escreva as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por 13 += xy no

ponto de abscissa – 2. Faça a representação gráfica destacando a curva e as retas tangente e normal.

Exercício: Para ser resolvido pelos alunos em casa.

Escreva as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por 522 −+= xxy

no ponto de abscissa – 2. Faça a representação gráfica destacando a curva e as retas tangente e normal.

,

,

0x

αx

( )0

xf

( ) αtgxf =0

,

ty

n

,

P


03-) Interpretação cinemática da derivada de uma fu nção num ponto de abscissa t o

Consideremos uma função do espaço percorrido por um móvel em função do tempo gasto para percorrê-lo.

( ) ( )tStf =

Observe o gráfico seguinte:

De acordo com os ensinamentos da física, a velocidade média do móvel quando passa do

instante 0

t para o instante tt ∆+0

será dada por t

sV

M ∆∆

=

Vejam que é o mesmo significado de taxa média de variação estudado anteriormente.

Quando diminuímos o valor de t∆ , passamos a estudar a velocidade média em um

intervalo menor e se fazemos 0→∆ t , obtemos a velocidade do móvel no instante 0

t .

Assim,

Se procedermos da mesma forma e considerarmos a equação da velocidade de um móvel em função do tempo e calcularmos a derivada no ponto de abscissa

0t ,

encontraremos a aceleração do móvel neste instante.

Assim, ( ) ( ) ( ) ( )0

000

lim tVt

tVttVta =

∆

−∆+=

0→∆ t

,

0→∆ t

,

t∆

t0

t tt ∆+0

( )0

tS

s∆

( )ttS ∆+0

S

( ) ( ) ( ) ( )0

000

lim tSt

tSttStV =

∆

−∆+=



Considere a equação do espaço percorrido por um móvel dada por ( ) 323

+= ttS

“ S ” em metros e “ t ” em segundos.

Determine:

A-) O espaço percorrido pelo móvel em 2 s e em 5 s.

B-) A velocidade média do móvel neste intervalo de tempo.

C-) A velocidade do móvel nos instantes t = 2 s e t = 5 s.

D-) A aceleração do móvel nos instantes t = 2 s e t = 5 s.

Exemplo: Para ser resolvido pelos alunos em casa.

Considere a equação do espaço percorrido por um móvel dada por ( ) 132

+= ttS ( “ S ”

em metros e “ t ” em segundos.

Determine:

A-) O espaço percorrido pelo móvel em 1 s e em 4 s.

B-) A velocidade média do móvel neste intervalo de tempo.

C-) A velocidade do móvel nos instantes t = 1 s e t = 4 s.

D-) A aceleração do móvel nos instantes t = 1 s e t = 4 s.

Como vimos nos exemplos, o cálculo da derivada através da definição é feito através de um processo demorado e trabalhoso.

Passaremos então a estudar métodos de calcular a derivada de um modo mais objetivo.


04-) Derivada de uma função em um ponto qualquer


Determine a função derivada da função dada por ( ) 123

+= xxf

Exemplo: Para ser resolvido pelos alunos em casa.

Determine a função derivada da função dada por ( ) 2532

−+= xxxf

05-) Notação de Leibniz

Como vimos anteriormente, ( )

∆∆=

x

yxf lim . Portanto, estaremos trabalhando

sempre com valores de y∆ e x∆ muito próximos de zero.

Assim,

≅∆≅∆

0

0

x

y. Passaremos então a adotar a seguinte notação:

≅∆≅∆

0

0

x

y

=∆=∆

⇒xdx

ydy e portanto, ( )

∆∆

=x

yxf lim =

xd

yd

Concluindo, temos: ( )xd

ydxfy == que é a notação de Leibniz para derivadas

Observação : Passaremos a utilizar daqui em diante, a notação de Leibniz para representar uma derivada.

,,

0→∆ x

,

0→∆ x

,

xx xx ∆+

0→∆ x

( )xf

( ) ( ) ( )

∆−∆+=

x

xfxxfxf lim

,

( )xxf ∆+

y


06-)Derivadas das funções usuais

6.1 – Derivada da função constante

( )

( ) ( ) ( ) 000limlim

;

===⇒==

∆−

=⇒=∆+

∈==

xd

ydxfy

x

kkxfkxxf

Rkkxfy

Portanto, 0=⇒=xd

ydky

6.2 – Derivada da função identidade

( )( )

( ) ( ) 111limlimlim ===⇒==

∆∆

=

∆−∆+

=⇒

∆+=∆+==

xd

ydxfy

x

x

x

xxxxf

xxxxf

xxfy

Portanto, 1=⇒=xd

ydxy

6.3 – Derivada da função linear afim

( )( ) ( )

( )

( ) axd

ydxfy

aax

xa

x

bxabxaxaxf

bxaxabxxaxxf

boaRbabxaxfy

===⇒

==

∆∆=

∆−−+∆+=⇒

+∆+=+∆+=∆+≠≠∈+==

limlimlim

0;;,;

Portanto, axd

ydbxay =⇒+=

Exemplo: 337 −=⇒−=xd

ydxy

6.4 – Derivada da função potência

( ) 2;; ≥∈== nNnxxfyn

.

0→∆ x

,0→∆ x 0→∆ x

, ,

0→∆ x0→∆ x 0→∆ x

,,,

, , ,0→∆ x 0→∆ x


A demonstração desta derivada é um processo muito longo e trabalhoso. Vamos resolver um exercício particularizando um valor para “ n ". Por exemplo, façamos n = 3.

Assim, ( ) 3xxfy ==

( ) ( ) ( ) ( )3223333 xxxxxxxxxxf ∆+∆+∆+=∆+=∆+

( ) ( ) ( ) ( )

∆

∆+∆+∆=

∆−∆+∆+∆+

=x

xxxxx

x

xxxxxxxxf

2233223 33

lim33

lim

= ( ) 222333lim xxxxx =

∆+∆+

Portanto, 23

3xxd

ydxy =⇒=

Observação: quando demonstramos para um valor de “ n ” qualquer, chegamos à seguinte conclusão:

1−

=⇒=nn

xnxd

ydxy

Exemplo: 67

7 xxd

ydxy =⇒= .

A derivada da função potência pode ser estendida para expoentes reais. Portanto,

1−

=⇒=nn

xnxd

ydxy

1; −≠∈∀ nRn

6.5 – Derivada da função raiz

( ) ( ) 1

11.

11.

11.

111

11

11

−=====⇒=⇒= −−

−−

nnn

n

xnxn

x

nx

nx

nxd

ydxyxy

n

n

n

n

n

nn

Portanto, ( ) 1

1−

=⇒=nn

n

xnxd

ydxy

Exemplo: ( )45

5

5

1

xxd

ydxy =⇒=

,0→∆ x 0→∆ x

0→∆ x


Observação: É muito importante darmos um destaque para a raiz quadrada

( ) xxxd

ydxy

2

1

2

112

==⇒=−

Daí, xxd

ydxy

2

1=⇒=

6.6 – Derivada da função exponencial

( ) 10;; ≠<∈= aRaaxfx

( ) ( )

aax

aa

x

aa

x

aaxfaxxf

xx

x

xxxxxxx

ln.1

lim.lim

1limlim

=

∆−=

=

∆

−=

∆−=⇒=∆+

∆

∆∆+∆+

Portanto, aaxd

yday

xxln.=⇒=

Exemplo:

5ln.55xx

xd

ydy =⇒=

Observação: no caso particular onde a base é o número de Euler ( e ), temos:

eexd

ydey

xxln.=⇒= . Como 1ln =e ,⇒

xxe

xd

ydey =⇒=

Concluindo, xx

exd

ydey =⇒=

6.7 - Derivada da função seno

( ) ( ) ( )xxsenxxfxsenxf ∆+=∆+⇒=

0→∆ x 0→∆ x

0→∆ x 0→∆ x

,


( ) ( )

∆

+∆+

−∆+

=

∆−∆+

=x

xxxxxxsen

x

xsenxxsenxf

2cos

22

limlim =

= xxx

xsen

xxcos

2

1.cos.2

2lim.

2

2cos2lim ==

∆

∆

∆+

Portanto, xxd

ydxseny cos=⇒=

6.7 – Derivada da função cosseno

A demonstração da derivada da função cosseno é muito parecida com a demonstração da derivada da função seno e por isto, a omitiremos

xsenxd

ydxy −=⇒= cos

Para prosseguirmos com as demonstrações das demais funções usuais dependeremos de alguns conceitos que passaremos a estudar.

7- Regras de Derivação

7.1 – Função Soma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxvxxuxxfxvxuxf ∆++∆+=∆+⇒+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

∆−−∆++∆+=

x

xvxuxxvxxuxf lim

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxux

xvxxv

x

xuxxu

x

xvxxv

x

xuxxu

+=

∆−∆+

+

∆−∆+

=

=

∆−∆+

+∆

−∆+=

limlim

lim

Resumindo, vuyvuy +=⇒+=

Observação: essa regra se estende para a soma de várias funções.

, ,,

0→∆ x

0→∆ x 0→∆ x

, ,

0→∆ x

,

0→∆ x 0→∆ x

0→∆ x 0→∆ x

,


Exemplo: x

xexd

ydxxey

xx

2

15

45−+=⇒−+=

7.2 – Função Produto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxvxxuxxfxvxuxf ∆+∆+=∆+⇒= ..

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

∆−∆+∆+

=x

xvxuxxvxxuxf

..lim Somando e subtraindo o termo

( ) ( )xxvxu ∆+.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

∆−∆++∆+−∆++∆+=

x

xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxf

.lim

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )=

∆−∆++−∆+∆+

=x

xvxxvxuxuxxuxxvxf lim

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )=

∆−∆+

+

∆−∆+

∆+=x

xvxxvxu

x

xuxxuxxvxf lim.limlim.lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxuxvxf .. +=

Resumindo, uvvuyvuy +=⇒= .

Exemplo:

( ) ( ) xxxsenx

xxsenxsenxxd

ydxsenxy cos

2

1. +=+=⇒=

Portanto, xxxsenxxd

ydxsenxy cos

2

1. +=⇒=

Observação:

Se uma das funções for a função constante, podemos resumir a regra. Veja:

vkykvvkyRkvky =⇒+=⇒∈= ;.

Daí, vkyvky =⇒= .

Exemplo:

, ,

, , ,, ,

,,

, ,

0→∆ x 0→∆ x 0→∆ x 0→∆ x

,

, , ,

0→∆ x

,

0→∆ x

,

0→∆ x

,


xsenxd

ydxy 3cos3 −=⇒=

Aplicação: Derivada de um polinômio

( ) ( )

7106

01.72.53.2

4.7.5.24752

2

2

2323

−+=

+−+=

+−

+

=⇒+−+=

xxxd

yd

xxxd

yd

xxxxd

ydxxxy

7.3 – Função quociente

A demonstração da derivada de um quociente é muito parecida com a do produto, porém, muito mais trabalhosa e por isto, a omitiremos.

2

v

uvvuy

v

uy

−=⇒=

Observação:

Se o numerador for a função constante, podemos resumir a regra. Veja:

22v

vky

v

kvvky

v

ky −=⇒

−=⇒=

Aplicações:

01-) Demonstre a fórmula da derivada da função

( ) ( )( )

( )

xxx

xsenx

x

xsenxsenxx

x

xsenxxxsen

xd

yd

x

xsenxtgy

2

22

22

22

seccos

1

cos

cos

cos

coscos

cos

coscos

cos

==+=

−−=−=⇒==

Portanto,

xxd

ydxtgy

2sec=⇒=

tgxy =, ,

, ,, , ,

, , ,

, ,, ,



( ) ( )( )

( )

xxx

xxsen

x

xxxsenxsen

x

xxsenxsenx

xd

yd

xsen

xxgy

2

22

22

22

seccoscos

1

cos

cos

cos

coscos

cos

coscoscoscot

−=−=−−=

−−=−=⇒==

Portanto,


( )( )

xtgxx

xsen

xx

xsen

x

x

xd

yd

xxy .sec

cos.

cos

1

coscos

cos.1

cos

1sec

22===−=⇒==

Portanto,


( )( )

xgxxsen

x

xsenxsen

x

xsen

xsen

xd

yd

xsenxy cot.seccos

cos.

1cos.11seccos

22−=−=−=−=⇒==

Portanto,

08-) Derivação das Funções Compostas ( Regra da Cad eia )

Como já foi visto, quando temos uma composição de funções, podemos representar por:

( ) ( )( )xuvxhy == . ( Composição de duas funções. )

Para derivar uma função composta, formamos uma regra chamada regra da cadeia, utilizando a notação de Leibniz, como a seguir:

ud

vd

xd

ud

xd

hd

xd

yd.==

xgxxd

ydxy cot.seccosseccos −=⇒=

,xy seccos=

xtgxxd

ydxy .secsec =⇒=

xy sec=,

xxd

ydxgy

2seccoscot −=⇒=

xgy cot=, ,


Observação: a regra da cadeia se estende para uma composição de mais de duas funções.

Assim, se temos por exemplo: ( )( )( )( )td

wd

vd

td

ud

vd

xd

ud

xd

wd

xd

ydxuvtwy ...==⇒=

Exemplos: ( Para serem resolvidos pelo professor em sala )

01-) Determine a função derivada de cada uma das funções seguintes:

A-) ( )53 2 −= xseny

B-) x

eycos

=

C-) ( ) ( )2312.53 +−= xxy

D-) ( )( )5

2

52

73

x

xy

−

+=

E-) xtg

seny 5=

09-) Derivação das Funções Implícitas

Já vimos anteriormente que uma função pode aparecer escrita implicitamente e muitas vezes não pode ser explicitada.

Exemplos:

03753)12332

=−+−− yxyxyx

2-)

+

22cos yxyxsen

Para derivar uma função implícita procedemos da mesma forma estudada para funções explícitas, porém, lembrando que se ( )xfy = , devemos utilizar o conceito de derivação

de função composta.


Exemplos:

yxyx

yxyx

xd

yd

yxyxyxyxxd

yd

xd

ydyxyx

xd

ydyxyx

xxd

ydyyxx

xd

ydyyx

xyyxxyyxyxyx

322

32

223322

322223

322223

322323322332

109

615

0156109.

0.1015.96

05..2153..36

05533053)1

−

−=

=−+

−

=−−+

=−−+

=

−

−

+

⇒=−−

09-) Derivação das Funções Inversas.

Estudamos que se ( )xfy = possui uma função inversa, ela será da forma ( )ygx = .

Para encontrarmos uma função derivada através da inversa, usamos novamente a notação de Leibniz.

yd

xdxd

yd 1=

Aplicação

Demonstre a fórmula de derivação da função xya

log=

Teremos:aaxd

ydax

y

y

ln.

1=⇒= .Como xya

log= ,axxd

yd

aaxd

ydxa ln

1

ln.

1log

=⇒=⇒

Daí, xya

log=axxd

yd

ln

1=⇒

Observação: Se xy ln=xxd

yd 1=⇒

Exercícios: Para serem resolvidos pelo professor em sala.

Demonstre as fórmulas das derivadas das funções xsenarcy = e xtgarcy =

10-) Derivadas Sucessivas.

, , , ,


Se uma função possui a função derivada e esta também possui derivada, chamamos a derivada da derivada da função de derivada segunda. Se o processo se repete, temos as derivadas sucessivas.

Representamos:

( ) ( ) ( )nxd

ydy

xd

ydy

xd

ydy

xd

ydy

xd

ydyxfy

nn

=====⇒= ;.........;;;4

44

3

3

2

2

Exemplo:

Calcule as derivadas sucessivas da função x

y+

=1

1

( )( ) ( )22

1

1

1

1.1

xx

x

xd

yd

+−=

+

+−=

( )

( )

( )( ) ( )342

2

2

2

2

1

2

1

1.2

1

1.1

xx

x

x

x

xd

yd

+=

+

+=

+

+=

( )

( )

( )( ) ( )46

2

23

3

3

3

1

6

1

1.3.2

1

1.2

xx

x

x

x

xd

yd

+−=

+

+−=

+

+−=

( )

( )

( )( ) ( )58

3

24

4

4

4

1

24

1

1.4.6

1

1.6

xx

x

x

x

xd

yd

+=

+

+=

+

+=

Poderíamos neste caso, escrever: ( )

( )n

n

n

n

x

n

xd

yd

+

−==

1

1

!

,

,

,

,

, ,, ,,,


11-) Regra de L’Hôpital.

A regra de L’Hôpital é muito útil no cálculo de alguns limites, e diz o seguinte:

Se ( )( )

( )( )

( )( )

=

∞∞=

xg

xf

xg

xfou

xg

xflimlim,

0

0lim

Observação: não demonstraremos esta fórmula.

Exemplo:

Calcule o limite

−

−−

5

12

32

1255lim

x

x

utilizando a regra de L’Hôpital.

−

−−

5

12

32

1255lim

x

x

= 0

0

Teremos:

−

−−

5

12

32

1255lim

x

x

= 80

5ln250

80

5ln.125.2

5

5ln.5.2lim

4

12

−=−=

−

−

x

x

Portanto,

−

−−

5

12

32

1255lim

x

x

= 80

5ln250−

Exercícios: Para serem resolvidos pelos alunos em c asa.

01-) Considere a função dada por ( ) xexf

43 −= . Utilizando a definição de derivada,

calcule a derivada de )( xf no ponto de abscissa – 1 Resp: ( ) 7, 41 ef −=−

02-) Sendo )23( xseny −= , calcule xd

yd através da definição de derivada.

Resp: ( )xxd

yd23cos2 −−=

03)Resolva os exercícios ( 01 ) e ( 02 ) utilizando as regras de derivação.

04-) Através do uso das regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções dadas pelas equações seguintes:

2→x

2→x 2→x

2→x

2→x

cx → cx →,

cx →

,


( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

12

12sec12:Re12sec)

13cot6:Re13ln)

10ln35

52:Re35log)

1

cos:Re)

43sec6:Re43)

2:Recos)

252

3ln3.5:Re3)

3521:Re35)

22

22

2

222

2525

67

+

+++=

−−=

+−−+−=

+

−−=

−=

+=

−−−=+

+

x

xxtgspxyH

xgxspxsenyG

xx

xspxxyF

xsen

xspxsentgarcyE

xxspxtgyD

x

esenespeyC

xspyB

xspxyA

xxx

xx

05-) Através do uso das regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções dadas pelas equações seguintes:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) 2

2

5

2

4

3

232

5ln

35ln3cos3:Re

5ln

3)

5777cos5cos57cos52:Re7cos5)

23

43623:Re

23

23)

7121235:Re12.35)

2

xx

xsenxxxysp

x

xsenyD

xsenxsenxxxxseneyspxxseneyC

x

xxysp

x

xyB

xxxyspxxyA

xx

−==

−+==

−

++=

−

+=

+−+−=+−=

06-) Sendo 3752

1

12

1 234 −+−−= xxxxy , determine os valores de “x” para os quais

02

2

≤xd

yd { }52:Re ≤≤−∈ xRxsp

07-) Sendo ( )( ) 4

5

3

2

x

xy

−

+= , determine os valores de “x” para os quais 0≤

xd

yd

{ } { }2332:Re ≤<∈∪− xRxsp

08-) Sendo ( )xfy = e 1932 +=+ xyxyx , pede-se determinar o valor de xd

yd no

ponto ( )2,1 13

3:Re −sp


09-) Escreva as equações das retas tangente e normal em cada uma das curvas seguintes, nos pontos indicados:

=−−→=−+→

−==+

=−+−→=−−+→

==

=−+→=+−→

=−=

0925

0852:Re1;4)

06326

023362:Re;

3

2)

02756

0865:Re2;15)

3223

yxn

yxtspxyxyxC

yxn

yxtspx

xsenyB

yxn

yxtspxxyA

πππ

10-) Uma partícula percorre uma curva segundo a lei 32610 tts −+= . ( s em cm e t em

segundos ). Determine:

A) o instante em que a velocidade é nula; stoustsp 40:Re ==

B) a aceleração nesse instante; 22 /12/12:Re smaousmasp −==

C) o espaço percorrido até esse instante. cmssp 32:Re =∆

11-) Um ponto move-se de acordo com a equação ( ) 29 tts += ( s em metros e t em

segundos ) . Pede-se a sua velocidade e a sua aceleração no instante t = 4 s.

2/036,0

/8,0:

sma

smvespR

==

12-) Calcule o limite

−

−

−

4

12

2

lim2

2 π

π

x

xsen

através da regra de L’Hôpital

Resp: 0

2

π→x


A-) Derivadas das funções usuais B-) Regras de derivação

C- ) Regra da Cadeia

D-) Função Inversa

21

1)18

xxd

ydxtgarcy

+=⇒=−

xxd

ydxseny cos)11 =⇒=−

xsenxd

ydxy −=⇒=− cos)12

xxd

ydxtgy

2sec)13 =⇒=−

xxd

ydxgy

2seccoscot)14 −=⇒=−

xtgxxd

ydxy .secsec)15 =⇒=−

xgxxd

ydxy cot.seccosseccos)16 −=⇒=−

21

1)17

xxd

ydxsenarcy

−=⇒=−

xxd

ydxy

1ln)10 =⇒=−

axxd

ydxy

a ln

1log)09 =⇒=−

yd

xdxd

yd 1=

xxe

xd

ydey =⇒=−)08

( )( )ud

vd

xd

ud

xd

ydxuvy .=⇒=

aaxd

yday

xxln)07 =⇒=−

xxd

ydxy

2

1)06 =⇒=−

( ) 1

.

1)05 −=⇒=−

nn

n

xnxd

ydxy

1.)04

−=⇒=−

nnxn

xd

ydxy Rk

v

vky

v

ky ∈−=⇒=− ;

.)05

2

, ,2

.)04

v

uvvuy

v

uy

−=⇒=− , , ,a

xd

ydbxay =⇒+=−)03

Rkvkyvky ∈=⇒=− ;.)03, ,1)02 =⇒=−

xd

ydxy

uvvuyvuy ...)02 +=⇒=−, , ,0)01 =⇒=−

xd

ydky vuyvuy +=⇒+=− )01

,, ,


APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

01-) CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DAS FUNÇÕES

Seja ( )xfy = uma função cujo gráfico é uma curva “suave” em um intervalo aberto I

Def. 1 – Se ( )xfy = é crescente em I, ( ) Ixxf ∈∀> ,0 . Com efeito, observe o gráfico

abaixo:

Como vemos no gráfico, 2

0πα << . Como α é

um ângulo agudo, 0>αtg e se ( ) αtgxf = , a

conclusão é que ( ) Ixxf ∈∀> ,0

Def. 2 – Se ( )xfy = é decrescente em I, ( ) Ixxf ∈∀< ,0 . Com efeito, observe o gráfico

abaixo:

Como vemos no gráfico, παπ <<2

. Como α é

um ângulo obtuso, 0<αtg e se ( ) αtgxf = , a

conclusão é que ( ) Ixxf ∈∀< ,0

EXERCÍCIOS: Deverão ser resolvidos pelo professor e m sala.

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas pelas equações seguintes:

01-) ( ) 3522

++−= xxxf

02-) ( ) 742

5

3

1 23+−+−= xxxxf

03-) ( ) ( ) ( )4332.32 +−= xxxf

x

,,α

y

αx

,,

y

,


04-) ( ) ( )( )3

2

13

26

+

−=

x

xxf

05-) ( )

−−=2

45ln xxxf

06-) ( )5

2

+−

=x

xxf

EXERCÍCIOS: Deverão ser resolvidos pelos alunos em casa.

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas pelas equações seguintes:

01-) ( ) 232

++−= xxxf Resp: Crescente em

∞−6

1,

Decrescente em

∞+,6

1

02-) ( ) 162

7

3

1 23+−+−= xxxxf Resp: : Crescente em ( )6,1

Decrescente em ( ) ( )∞+∪∞− ,61,

03-) ( ) ( ) ( )3213.21 +−= xxxf Resp: : Crescente em

∞+∪

−∪

−∞− ,2

1

6

1,

3

1

3

1,

Decrescente em

2

1,

6

1

04-) ( ) ( )( )2

3

42

35

+

−=

x

xxf Resp: : Crescente em

−− 2,3

28

Decrescente em

∞+∪

−∪

−∞− ,3

5

3

5,2

3

28,

05-) ( )

+−= 34ln2

xxxf Resp: : Crescente em ( )∞+,3

Decrescente em ( )1,∞−


06-) ( )3

1

+−

=x

xxf Resp: Crescente em ( ]1,3−

07-) ( ) 472

3

3

1 23+−+−= xxxxf Resp: Decrescente em ( )∞+∞− ,

02-) MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS

Seja ( )xfy = uma função cujo gráfico é uma curva “suave” em um intervalo aberto I e Ix ∈0

.

Def. 1 – Dizemos que 0

x é a abscissa de um ponto de máximo local , se ( ) ( )xfxf ≥0

,

Ix ∈∀ . Com efeito, observe o gráfico abaixo:

Como vemos no gráfico, 0=α e portanto,

0=αtg . Se ( ) αtgxf = , a conclusão é que

( ) 00

=xf .

Def. 2 – Dizemos que 0

x é a abscissa de um ponto de mínimo local, se ( ) ( )xfxf ≤0

,

Ix ∈∀ . Com efeito, observe o gráfico abaixo:

Como vemos no gráfico, 0=α e portanto,

0=αtg . Se ( ) αtgxf = , a conclusão é que

( ) 00

=xf .

Portanto, se 0

x é abscissa de um ponto de máximo local, ou de mínimo local, ( ) 00

=xf .

Um modo de verificarmos se a abscissa encontrada é de um máximo local ou de um mínimo local, é fazermos um estudo dos sinais da derivada. Veja os gráficos abaixo:

Sinal da derivada Sinal da derivada

Observação: observe os gráficos abaixo:

x0

x0

x

αααα

0x

.0

x x( )0

xf ( )0

xf

y

.0+ − 0− +

y

,x

,,

0x

( )0

xf

y

x

,,

0x

y( )

0xf


Sinal da derivada Sinal da derivada

Veja que as derivadas se anulam porém, não mudam de sinal. Nestes casos dizemos que 0

x é a

abscissa de um ponto de inflexão.

Os pontos de máximo local, mínimo local e de inflexão são chamados pontos críticos da função.

EXERCÍCIOS: Deverão ser resolvidos pelo professor e m sala.

Determine os pontos críticos das funções dadas pelas equações seguintes, dando a classificação dos mesmos

01-) ( ) 3522

++−= xxxf

02-) ( ) 742

5

3

1 23+−+−= xxxxf

03-) ( ) ( ) ( )4332.32 +−= xxxf

04-) ( ) ( )( )3

2

13

26

+

−=

x

xxf

05-) ( )

−−=2

45ln xxxf

06-) ( )5

2

+−

=x

xxf

EXERCÍCIOS: Deverão ser resolvidos pelos alunos em casa.

Determine os pontos críticos das funções dadas pelas equações seguintes, dando a classificação dos mesmos:

01-) ( ) 232

++−= xxxf Resp:

4

25,

6

1P ponto de máximo local

α0

x x0

x xα α α

( )0

xf

.( )0

xf.

0x

0x

0 ++y y

0− −


02-) ( ) 162

7

3

1 23+−+−= xxxxf Resp:

4

25,

6

11

P ponto de mínimo local

( )29,62

P ponto de máximo local

03-) ( ) ( ) ( )3213.21 +−= xxxf Resp:

− 0,3

11

P ponto de inflexão

2

3,

6

12

P ponto de máximo local

0,

2

13


04-) ( ) ( )( )2

3

42

35

+

−=

x

xxf Resp: :

− 1,167;3

281


0,

3

51

P ponto de inflexão

05-) ( )

+−= 34ln2

xxxf Resp: : não tem

06-) ( )3

1

+−

=x

xxf Resp: não tem

07-) ( ) 472

3

3

1 23+−+−= xxxxf Resp: não tem

3-) PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

Alguns exercícios práticos podem ser resolvidos com o auxílio de derivadas.

Exercícios: para serem resolvidos pelo professor em sala.

01-) Uma pessoa dispõe de 1400 metros de arame e pretende cercar uma área em forma retangular, utilizando 4 fios deste arame na cerca. Determine as dimensões do terreno de modo que sua área seja a maior possível.

02-) Determine a altura e o raio da base de um co9ne circular reto que deverá ser inscrito em uma esfera de modo que seu volume seja máximo.

03-) Deseja-se construir uma caixa sem tampa em forma de um paralelepípedo retângulo, cortando-se quadrados de mesmo tamanho nos quatro cantos de uma chapa retangular,


de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura e dobrando o restante da chapa para se obter a caixa. Determine a medida dos lados dos quadrados a serem cortados de modo que o volume da caixa seja máximo.

Exercícios: para serem resolvidos pelos alunos em c asa.

01-) Determine dois números cuja soma seja 20 e cujo produto seja máximo. R: 10 e 10

02-) Dividir o número 120 em duas partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo. R: 80 e 40

03-) As dimensões de um retângulo são x e y . Sabendo que sua área é 9 cm 2, calcule x e y para que seu perímetro seja mínimo. R: x = y = 3

04-) Considere todos os números reais x e y tais que 43 2 =+ yx . Determine par ( )y,x

de números reais para os quais o produto y.x seja mínimo. Calcule yx + R: 2

05-) Um ponto material é lançado do solo, verticalmente para cima, e tem posições “s” no

decorrer do tempo “t” dadas pela função horária 2560 tts −= ( s em metros e t em

segundos )

( A ) Calcule o tempo gasto para atingir a altura máxima; R: 6 s

( B ) Determine a altura máxima em relação ao solo. R: 180 m

06-) Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com uma chapa metálica, com a capacidade de 6.280 m 3. Sabendo que o preço da chapa é de R$ 50,00 o metro quadrado e considerando 143,=π , determine:

( A ) suas dimensões de forma que o custo seja mínimo R: mhemr 2010 ==

( B ) o custo mínimo R: R$ 94.200,00

07-) Dado o retângulo abaixo, de perímetro 16 m, calcule a e b, para que a área do triângulo ABC seja máxima. R: a = 4 m e b = 4 m

08-) Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de l6 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que sua área seja máxima. R: 4 m e 8 m

A a C

b

B


09-) A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um semicírculo. Sabendo que o perímetro da janela é 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitem uma maior entrada de luz. Adote 143,=π R: cmycmx 100;200 ==

09-) Um fazendeiro deseja construir um depósito em forma de prisma reto de base quadrada, sem tampa e com capacidade de 64 m 3, conforme figura abaixo. Determine as dimensões a e b de modo que o material necessário para construí-lo seja mínimo.

a a

bmb

maR

3

3

28

22:

=

=

y

x


INTEGRAÇÃO

01 – Integral de Riemann

Consideremos uma função ( )xfy = cujo gráfico é uma curva “suave” em um

intervalo [ ]ba, , como a seguir:

Observe a área compreendida entre as retas ax = , bx = , a curva ( )xfy = e o eixo das

abscissas ,assinalada na figura.

O cálculo desta área não pode ser feito utilizando as fórmulas usuais estudadas no ensino fundamental e médio.

Para calcularmos esta área vamos estudar um novo método.

Considere o gráfico e o retângulo destacado nele:

Denominemos por o

x∆ a amplitude do intervalo [ ]1

, xxo

. Assim, 01

xxxo

−=∆ .Como a

área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura, a área do retângulo destacado será dada por ( )

000. xxfA ∆= .

Observe que a área do nosso retângulo é um valor aproximado da área compreendida entre a curva, as retas

0xx = ,

1xx = e o eixo das abscissas.

Essa aproximação será maior quando fazemos um retângulo com a base menor. ( Quanto menor a base, maior será a aproximação. )

x

y

a b

( )xfy =

x

y

a b

( )xfy =

0x

1x

( )0

xf

ox∆


Tomemos agora vários valores 0

x ,1

x ,2

x ,... 1−n

x e n

x compreendidos entre “ a ” e “ b”

para construirmos vários retângulos, como na figura a seguir:

A soma das áreas de todos os retângulos assim obtidos será bem próxima da área do início do problema e essa aproximação será muito maior quando colocarmos mais valores de “ x ”, fazendo as bases dos retângulos diminuírem.

Denominando 0

x∆ , 1

x∆ .2

x∆ ,........1−

∆n

x en

x∆ as bases desses retângulos e ( )0

xf ,

( )1

xf , ( )2

xf ,......., ( )1−n

xf e ( )n

xf , podemos estabelecer a seguinte relação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn

xxfxxfxxfxxfxxfA ∆+∆++∆+∆+∆≅−−

..........11221100

Ou ainda, ( )∑=

∆≅n

kkk

xxfA0

.

Quando imaginamos que o valor de “ n ” é imensamente grande os valores de x∆ são

muito pequenos e se usamos a teoria de limites, podemos escrever:

Se 0→∆⇒∞→ xn e assim, a soma das áreas dos retângulos será igual à referida área .

Portanto, ( )

∆= ∑

=

n

kkk

xxfA0

.lim

Este limite é chamado integral de Riemann.

Representamos:

x

y

a b

( )xfy =

0x

1x

2x

1−nx nx

∞→n


( ) ( )

∆== ∑∫

=

n

k

b

akk

xxfxdxfA0

.lim

O símbolo ( )∫b

axdxf é chamado integral definida de f ( x ) quando “ x ” varia de “ a”

até “ b ”.

O cálculo destes limites é muito complexo e passaremos a estudar daqui em diante, técnicas para calcular as integrais definidas.

02 – Primitiva de uma função

Consideremos uma função F, derivável em um intervalo aberto I de tal modo que ( ) ( ) IxxfxF ∈∀= , .

A função F será chamada primitiva de f, no intervalo I.

Exemplo: A função ( ) 35 4 += xxf é uma primitiva da função ( ) 735

++= xxxF , pois

( ) 35 4 += xxF .

Observe que o termo independente de x da função F ( x ), o número 7, poderia ser substituído por qualquer outro número pois a derivada de uma constante é zero.

Assim, a função ( ) CxxxF ++= 35

é a primitiva da família de funções ( ) 35 4 += xxF .

03 – Diferencial de uma função

Como vimos anteriormente, a derivada de uma função pode ser representada pela notação de Leibniz.

Assim, se ( ) ( )xfxd

ydxfy =⇒= .

Podemos então escrever ( ) xdxfyd .=

A expressão ( ) xdxfyd .= é chamada diferencial da função f ( x ).

04 – Integral indefinida de f ( x )

Consideremos uma função y = f ( x ) de modo que sua função primitiva seja dada por y = F ( x ) + C .

Chamamos integral indefinida de y = f ( x ) à família de funções da forma y = F ( x ) + C

∞→n

,

,

,

,


Representamos: ( ) ( )∫ += CxFxdxf

Veja alguns exemplos:

01-) ∫ += Cxsendxxcos pois se xdxydCxseny cos=⇒+=

02-) ∫ += Cxx

dxln pois se

x

xdxd

xydCxy ==⇒+= 1

ln

4.1 – Propriedades da integral indefinida

01-) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫ ∫+=+ xdxgxdxfxdxgxf

02-) ( ) ( )∫ ∫= xdxfxdxf .. αα

Muitas integrais podem ser obtidas diretamente de uma tabela e são chamadas integrais imediatas

Essa tabela é obtida da própria tabela de derivadas .


( )∫ += cxdx10

( ) cn

xdxx

nn +

+=∫

+

102

1

( )∫ += caln

adxa

xx03

( )∫ += cedxe xx04

( ) cxlnx

dx +=∫05

( )∫ +−= cxcosdxxsen06

( )∫ += cxsendxxcos07

( )∫ +−= cxcoslndxxtg08

( )∫ += cxsendxxg lncot09

( ) ( )∫ ++= cxtgxdxx seclnsec10

( ) ( )∫ ++= cxgxdxx cotseccoslnseccos11

( )∫ += cxtgdxx2

sec12

( )∫ +−= cxgdxx cotseccos132

( ) cxarctgdxx

dx +=+∫ 21

14

( )∫ +=−

cxarcsendxx

dx21

15

( ) cxxdxx

dx +

++=

+∫ 2

21ln

116

( ) ca

xarcsen

axa

xdxxa ++−=−∫ 22

172

2222

( ) cxaxa

xax

dxxa +

++++=+∫ 22

22222 ln

2218

( ) caxxa

axx

dxax +

−+−−=−∫ 22

22222 ln

2219

( )∫ +−= cxxxdxx lnln20

( )∫ ∫−= duvvudvu21 ( integral por partes )


Existem outras integrais que poderiam aparecer na tabela.

Como não é possível montar uma tabela que contenha todas as integrais de todas as funções, estudaremos a seguir, algumas técnicas de integração.

4.2 – Integração por substituição

Esta técnica consiste em mudarmos a variável da função de modo que sempre retornemos na tabela de integrais imediatas.

Faremos e exposição deste método através de exemplos.

Calcule ( )∫ += xdxI5

73

xdtdxt 373 =⇒+=

( ) ( )∫ ∫ ++=+=+==+= CxCtCt

tdtxdxI66

655

73.18

1.

18

1

6.

3

1.

3

13.73.

3

1

Assim, ( ) ( ) Cxxdx ++=+∫65

73.18

173

Os exemplos seguintes deverão ser resolvidos pelo professor em sala de aula.

∫− xdex7

5)01 ( )∫ −− xdxsen 437)02

( )∫ −+

+−3

12)03

2xx

xdx

( )∫ −+

+−15

156)04

2xx

xdx

( )∫ +

+−15

32)05

x

xdx ∫ +

−2

94

7)06

x

xd

( )∫ +

−−2425

13)07

x

xdx

( )∫ +−

−−25204

52)08

2xx

xdx

Exercícios ( deverão ser resolvidos pelos alunos em casa )

∫− xdexx

25

3)01 Resp: Cex

+2

5

10

3

∫ −− xdx2

495)02 Resp: Cx

senarcxx ++−

3

2

4

4549

2

5 2


( )∫ +

+−4

13)03

2x

xdx Resp: C

xarctgx ++

+

22

14ln

2

3 2

( )∫ +

+−13

52)04

x

xdx Resp: ( ) Cxx +++ 13ln

9

13

3

2

∫ +− xdx2

2592)05 Resp: Cxxxx +

++++

222595ln

5

9259

( )∫ ++

+−169

13)06

2xx

xdx Resp: ( ) Cx ++ 13ln

3

1

∫ ++−

106

5)07

2xx

xd Resp: ( ) Cxarctg ++ 35

xdx

xx

∫ +

−

−23

73)08

2

Resp: ( ) Cxxx +++− 23ln232

2

∫ −

+− xd

x

x2

1

23)09 Resp: C

xarcsen +

−4

4

xdx2

cos)10 ∫− Resp: Cxsenx ++ 24

1

2

1

4.3 – Integração por partes

Algumas integrais da forma ( ) ( )∫ xdxvxu . não podem ser integradas pelo método da

substituição.

Uma tentativa para o cálculo dessas integrais é utilizar um método chamado integração por partes. Que consiste no seguinte :

Escolhemos uma das funções , chamamos de “ u ” e calculamos “du".

Chamamos o restante de “ dv ” e calculamos “ v ”.

Aplicamos a fórmula: ∫ ∫−= udvvuvdu .

Vamos ilustrar com um exemplo:


Calcule ∫ xdxsenx.

−=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

∫ xvxdxsenvxdxsenvd

xdudxdxudxu

cos

.( )∫ ∫−−−=⇒ xdxxxxdxsenx coscos..

Cxsenxxxdxxxxdxsenx ++−=+−=⇒∫ ∫ coscos.cos.

Portanto,

Cxsenxxxdxsenx ++−=∫ cos.

É importante observar que a escolha de “ u ” e “ dv ” é preponderante no processo e depende muito de bom senso.

Vejamos a solução do exercício anterior, fazendo uma escolha diferente.

Calcule ∫ xdxsenx.

( )

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

∫ 2

cos.2

xvxdxvxdxvd

xdxudxdxsenudxsenu

∫ ∫−=⇒ xdxx

xsenx

xdxsenx cos.2

..2

.

22

Observe que a integral que temos de resolver,é muito mais complicada que a integral proposta no exercício.

Exercícios: ( deverão ser resolvidos pelo professor em sala )

01-) ∫ xdexx

02-) ∫ xdexx2

03-) ∫ xdxx2

sec 04-) ∫ xdxsenex

05-) ∫−

xdexx3

5 06-) ∫ xdxln

07-) ∫ xdxsen2

08-) ∫ xdx2

cos

Exercícios: ( deverão ser resolvidos pelos alunos em casa )

,

,


01-) ∫ xdx

senx2

Resp: Cx

senx

x ++−2

42

cos2

02-) ∫ xdxx cos2

Resp: Cxsenxxxsenx +−+ 2cos22

03-) ∫ xdxx ln Resp: Cxxx +−22

4

1ln

2

1

04-) ∫ xdexx3

Resp: Cexxxx

+

−+− .663

23

05-) ∫ xdxex

cos Resp: ( ) Cxxsenex

++ cos2

1

06-)∫ xdxsenx 22

Resp: Cxxsenxxx +++ 2cos4

12

2

12cos

2

1 2

07-) ∫ xdxsen2

Resp: Cxsenx +− 24

1

2

1

4.4 – Cálculo de algumas áreas

Usando os conceitos do item 1 e o teorema fundamental do cálculo, podemos calcular algumas áreas de figuras planas.

Ex. 1 – Calcule a área compreendida entre as retas 12 += xy , 1=x , 3=x e o eixo das

abscissas.

A área pedida será dada por ( )

+−

+=

+=+= ∫ 1133

1

3

122223

1xxxdxA

10212 =−= Portanto, ..10 auA =

x

y

1=x 3=x

12 += xy


O exemplo anterior pode ser calculado com conhecimentos básicos de geometria plana.

A área de um trapézio pode ser calculada pela fórmula:

( ) ( )

102

2.37

2

. =+=+= hbBA

Portanto, ..10 auA =

Ex 2: Calcule a área compreendida entre a curva 52

−= xy , o eixo das abscissas e as

retas 1−=x e 2=x

123

36

3

14

3

225

3

110

3

8

1

2

53

5

322

1

=

−−=

=

−−−=

+−−

−−

=−

−−=

−−= ∫− x

xxdxA

Portanto, ..12 auA =

Observação: O sinal negativo que aparece antes da integral é porque a área está abaixo do eixo das abscissas.

Ex 3: Calcule a área compreendida entre a parábola e a reta

2

7

3

24 xy −= 12 += xy

x

x

y

y

312

42

0324124

12 222

−==⇒±−=⇒

=−+

⇒−=+⇒−=

+=

xouxx

xxxxxy

xy


( )

( )3

329

3

599931

3

1

3

1

33

32124

23

22 1

3

1

3

=+=−−−

+−−=−

+−−

=

+−−=

+−

−= ∫∫ −−

xxx

xdxxxdxxA

Exercícios para serem resolvidos pelo professor em sala

Calcule as áreas compreendidas entre as curvas nos seguintes casos:

32)012

−=−=− yexxy

xyexxy =−=− 2)022

427)03 22+=−=− xyexy

33;seccos8)04

2 ππ ≤≤−==− xxyexy

Exercícios para serem resolvidos pelos alunos em casa

Calcule as áreas compreendidas entre as curvas nos seguintes casos:

3

32:Re22)01

2spyexy =−=−

5

48:Re8)02

4spxyexy ==−

3

8:Re4)03

22spxxyexy +−==−

8

243:Re16444)04

2spyxexy =−=−−

4:Re0;22)05 spxxsenyexseny π≤≤==−

..3

32;Re auAsp =

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