CONTROLE ESTATSTICO DE QUALIDADE

NOTAS DE AULA O presente texto tem a finalidade de fornecer ao leitor as informaes bsicas sobre Controle Estatstico de Qualidade. A primeira parte aborda o embasamento estatstico das tcnicas de Controle de Qualidade, ou seja, trata das Distribuies de Probabilidade e da Inferncia Estatstica. J na parte seguinte as tcnicas prprias de Controle de Qualidade so estudadas. Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada no final do texto. A rigor os livros "Out of the crisis" de W. E. Deming, Idias Bsicas do Controle Moderno de Qualidade de F.C. Bartman, "Statistical Quality Control" de D.C. Montgomery so os livros textos desse curso e sugere-se a sua aquisio. O livro do Deming existe em portugus com o ttulo de "Qualidade: A revoluo da Administrao".

Anselmo Chaves Neto

2

1. VARIVEIS, DESCRIO E DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE 1.1- TIPOS DE VARIVEIS A caracterstica populacional de interesse em geral classificada de QUALITATIVA e QUANTITATIVA, e tratada como uma varivel. Assim, a varivel que representa uma determinada caracterstica populacional chamada de VARIVEL QUALITATIVA quando resultar de uma classificao por tipos ou atributos. Exemplos: a) Populao: consumidores da cerveja A. Caracterstica de interesse: renda (baixa, mdia e alta). b) Populao: peas produzidas por uma mquina. Caracterstica de interesse: qualidade (perfeita ou defeituosa). J uma varivel que representa uma determinada caracterstica populacional denominada de VARIVEL QUANTITATIVA quando assumir resultados numricos. Exemplos: a) Populao: anis de pisto produzidos em certo processo. Caracterstica de interesse: dimetro interno (mm). b) Populao: componente eletrnico da indstria B. Caracterstica de interesse: tempo de vida (at falhar). VARIVEL, QUANTITATIVA DISCRETA E CONTNUA As variveis quantitativas podem ser classificadas em DISCRETAS ou CONTNUAS. Uma varivel quantitativa discreta aquela cujo domnio um conjunto FINITO ou INFINITO enumervel. E, uma varivel quantitativa contnua aquela cujo domnio um conjunto infinito. Exemplos: a) varivel quantitativa discreta: nmero de semicondutores defeituosos identificados em uma amostra de tamanho n. Domnio: 0,1,2,....,n. OBS. Como o domnio um conjunto finito a varivel discreta (ela tambm seria discreta com um conjunto infinito enumervel como domnio). b) varivel quantitativa contnua: dimetro interno do anel do pisto. Domnio: 73,965 ; ... ; 73,970 ; ... ; 73,9701 ; ... OBS. Como o domnio um conjunto infinito a varivel contnua. c) varivel quantitativa discreta: nmero de carros que passam em certa esquina durante determinado instante. Domnio: 0, 1, 2, 3, ..... OBS. Como o domnio um conjunto infinito, mas enumervel, a varivel discreta. 1.2- DESCRIO DAS VARIVEIS

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As variveis qualitativas so descritas, em geral, por meio de grficos dos tipos: - Diagrama em barras - Diagrama em setores circulares - Diagrama de linha - etc. J as variveis quantitativas podem ser descritas graficamente (histograma, diagrama de disperso, etc.) ou numericamente (mdia, mediana, mnimo, mximo, desvio-padro, etc.). 1.3- VARIVEL ALEATRIA DEF.:- Uma v.a. X em um espao de probabilidade (W, s-A, P) , onde W o espao amostral de um experimento, s-A a sigma-lgebra de W e P a medida de probabilidade, uma funo real definida em W, tal que o evento [X x] um evento aleatrio "x , isto a funo X : W v.a. se o evento [X x] s-A, "x s-A. Exemplo: Seja uma amostra aleatria com tamanho n = 2 de determinado produto. Sabe-se que o item produzido pode ser perfeito (P) ou defeituoso (D). a) As situaes possveis de ocorrer so as seguintes: W = {(P1,P2), (P1,D2), (D1,P2), (D1,D2)} espao amostral do experimento. b) Uma associao entre cada situao (evento aleatrio) e um nmero real pode ser feita por meio de uma funo. Denotando-se a funo por X e cada evento por w, e ainda se o interesse est no nmero de itens defeituosos presente na amostra tem-se: w1 = (P1,P2) 0 defeituoso w2 = (P1,D2) 1 defeituoso w3 = (D1,P2) 1 defeituoso w4 = (D1,D2) 2 defeituosos c) A funo X() uma varivel aleatria, pois associa a cada evento contido no espao amostral um numero real. d) O domnio da v.a. X o conjunto {0, 1, 2}, que finito, logo X uma v.a. discreta. VARIVEL ALEATRIA DISCRETA Uma v.a. chamada de discreta quando o seu domnio um conjunto finito ou infinito enumervel. Exemplo: Seja X a v.a. que associa 1 ou 0 a condio de um artigo ser perfeito ou defeituoso respectivamente. Sabe-se que a proporo de artigos bons produzidos por determinada maquina q consequentemente a proporo de artigos defeituosos (1- q).

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condio do artigo P(X = x) perfeito x = 1 P(X = 1) = q defeituoso x = 0 P(X = 0) = (1 - q)

Uma v.a. desse tipo chamada de Bernoulli e representada pela notao, X ~ b(1,q), X tem distribuio Bernoulli 1, q. O conjunto de valores P(X = x) chamado de distribuio de probabilidade da v.a. X e no caso da v.a. ser discreta a funo associada a estes valores chama-se funo de probabilidade (f.p.). A funo de probabilidade de uma v.a. Bernoulli, b(1,q), dada por:

P X x xx x( ) ( ) , , ;( )= = - = <

5

6 0,2001 7 0,2668 8 0,2335 9 0,1211

10 0,0282 Soma 1,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

0.1

0.2

0.3

Funo de ProbabilidadeDistribuio Binomial n=10 qq=0,7

Exemplo Seja a situao do exemplo 2 com a probabilidade do artigo ser perfeito q = 0,8 e o tamanho da amostra n = 2. Seja a v.a. Y que conta o numero de itens perfeitos na amostra. evento w Y(w) = y P(Y =y) (dist. prob. de y) (D1,D2) 0 0,04 (D1,P2) ou (P1,D2) 1 0,32 (P1,P2) 2 0,64

VARIVEL ALEATRIA CONTNUA Uma v.a. chamada de contnua quando o seu domnio um conjunto infinito. Exemplo: O exemplo clssico de v.a. contnua a v.a. Normal (Gaussiana), este modelo de probabilidade muito usado em vrias aplicaes estatsticas. Se X uma v.a. N(m; s2) ou seja uma v.a. gaussiana com parmetros m e s2, o domnio de X o conjunto dos reais R, ou seja varia de - a + e os seus parmetros tem espao paramtrico respectivamente de R (reais) para m e R+ (reais positivos) para s2.

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Funo Densidade de ProbabilidadeDistribuio Normal mm=0 e ss2 =1

Uma v.a. contnua no tem uma f.p. que associe diretamente probabilidades a valores do seu domnio. As probabilidades so calculadas para intervalos de valores do domnio. A funo densidade de probabilidade (f.d.p) associa aos valores de X uma certa ordenada de modo que a rea sob a curva 1. A probabilidade de ocorrncia de um valor entre x-e e x+e pode ser obtida usando-se a f.d.p. (com e to pequeno, quanto se queira). No caso da v.a. X ~ N((m; s2) a f.d.p tem expresso:

f x x x e

P a X b f x dx

e f x dx

a

b

( ) exp{ ( ) }, ,

( ) ( )

( )

= - - >

< < =

=

-

+

1

2

12

0

1

22

s p sm m s

FUNO DISTRIBUIO Funo distribuio ou funo distribuio acumulada (f.d.) de uma v.a. X definida como:

F(x) = P(X x) ESPERANA E VARINCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS A esperana matemtica (mdia) de uma v.a. aleatria definida como segue nos casos discreto e contnuo:

E X x P x x caso v a discreta

E X x f x dx caso v a continua

x

( ) ( ), . . ;

( ) ( ) , . . .

= = =

= =

-+

m

m

(a esperana um parmetro de centralidade, caracteriza o centro da distribuio da v.a.), j a varincia de uma v.a. X definida a seguir e este parmetro populacional indica o grau de disperso dos valores da v.a. Uma grande varincia para uma estatstica (v.a.) indica um grande desvio-padro

7

( s = var iancia ) e, consequentemente intervalos de confiana de maior amplitude para os parmetros.

V X E X x P X x caso v a discreta

V X E X x f x dx caso v a continua

x

( ) ( ) ( ) ( ), . . ;

( ) ( ) ( ) ( ) , . . .

= = - = - =

= = - = -

-+

s m m

s m m

2 2 2

2 2 2

PROPRIEDADES DA ESPERANA E DA VARINCIA A esperana matemtica (uma mdia) tem as seguintes propriedades: 1 ) Se X = k, isto X(w) = k " w W, ento E(X) = k onde k no v.a. 2 ) Linearidade E(aX + b) = a.E(X) + b " a,b R, onde a e b no so v.a's A linearidade pode ser estendida a situaes mais gerais, 3 ) a) Sejam X e Y v.a's no espao (W, s-A, P), ento: E(aX + bY) = a.E(X) + b.E(Y) a, b R b) Sejam X1, X2, ... ,Xn v.a's no espao (W, s-A, P), ento:

E a X a E X ai i i i ii

n

i

n

( . ) ( ),= ==

11

4 ) Se as v.a's X1, X2, ... , Xn so independentes e integrveis ento o produto X1. X2. ... Xn integrvel e tem-se: E(X1.X2. ... .Xn) = E(X1).E(X2). ... .E(Xn) Antes de se abordar as propriedades da varincia importante Introduzir o conceito de covarincia e de correlao. Covarincia e Correlao Se as v.a's X e Y no so independentes ou seja a ocorrncia de certos valores para uma altera a probabilidade da ocorrncia de determinados valores para a outra, tem-se que existe uma diferena entre E(X.Y) e E(X).E(Y). Esta diferena chamada de covarincia e definida por:

s xy = cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y)

8

Se cov(X,Y) = 0 tem-se que as v.a's X e Y no so correlacionadas. A correlao a covarincia para as variveis aleatrias X e Y padronizadas ou seja com mdia 0 e varincia 1,

rm

s

m

sxyx

x

y

y

corr X Yx y

= =- -

( , ) cov( , )

onde s x o desvio-padro da v.a. X, s y o desvio-padro da v.a Y, m x a mdia da v.a. X e m y a mdia da v.a. Y. O chamado coeficiente de correlao rxy pode ser expresso em uma forma mais simples:

rs

s sxyxy

x y

=

A variao de rxy - 1 1rxy e quando rxy = 1 o relacionamento entre X e Y perfeito com uma variao direta, se rxy = -1 o relacionamento tambm perfeito mas inverso e quando rxy = 0 a correlao entre as v.a's no existe. A varincia tem as seguintes propriedades: 1 ) Se X = k, isto X(w) = k , " w W, ento V(X) = E(X - m)2 = E(k - k)2 = 0 2 ) Se X e Y so v.a's do espao de probabilidade (W, s-A, P), ento

V(aX + b) = a2V(X), " a,b R 3 ) Se X1, X2, ... ,Xn so v.a's no-correlacionadas e integrveis do espao de probabilidade (W, s-A, P), ento:

V(x1+x2+ ... +xn) = V( x ii

n

=

1

) = V x ii

n

( )=

1

4 ) Se X e Y so v.a's do espao de probabilidade (W, s-A, P), ento V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y) 1.4- POPULAO, AMOSTRA E DESCRIO NUMRICA DE VARIVEIS POPULAO Denomina-se de populao alvo a totalidade de elementos que esto sob discusso e dos quais se deseja informao. AMOSTRA ALEATRIA Sejam as v.a's [x1, x2, ... , xn] que tem a funo densidade conjunta f(x1, x2, ... , xn) que fatora no produto das densidades marginais f(x1, x2, ... , xn) = f(x1).f(x2). ... .f(xn) com f(.) sendo a densidade

9

comum a todas as variveis xi, ento [x1, x2, ... , xn] definida como amostra aleatria de tamanho n da populao que tem densidade (distribuio) f(.). POPULAO AMOSTRADA Seja [x1, x2, ... , xn] uma amostra aleatria (a.a.) da populao com distribuio f(x), ento esta populao chamada populao amostrada. Quando se deseja informaes sobre os parmetros de uma populao (em estatstica quando se fala em populao associa-se imediatamente uma f.p. ou f.d.p. caracterstica populacional de interesse) toma-se uma a.a. da populao. A amostra, sendo representativa da populao, carrega informaes sobre os parmetros. Os resultados numricos oriundos da a.a. so chamados de estatsticas e so variveis aleatrias, pois conforme a amostra que se tome eles assumem valores distintos, embora prximos. ESTATSTICA Estatstica uma funo das variveis observveis e por si prpria uma v.a. observvel que no contm qualquer parmetro desconhecido. Exemplo Seja a a.a. [x1, x2, ... , xn] de uma caracterstica populacional com f.d.p. N(m, s2). A mdia amostral x e a varincia amostral s2 so estatsticas. So funes de variveis aleatrias observveis e no dependem de qualquer parmetro desconhecido. A descrio numrica de dados (em geral amostras) [x1, x2, ... , xn] feita usando-se as estatsticas seguintes (principais): Medidas de Centralidade (tendncia central)

. mdia amostral xn

x ii

n

==1

1

(a mdia amostral x estima a verdadeira mdia populacional m). . mdiana m xe n= +

1

2

(separa os dados ordenados em duas partes com igual nmero de termos)

P X m P X me e( ) ( ) ,< = > = 0 50 . moda mo o valor que possui mais alta freqncia. (a moda pode no ser nica) Medidas de Disperso(variabilidade dos dados)

. varincia amostral ( )sn

x xii

n2 2

1

11

=-

-=

10

(a varincia amostral s2 estima a verdadeira varincia populacional s2 e mede quanto os dados esto dispersos em torno da mdia, assim ela uma estimativa da medida de variabilidade dos dados).

. desvio-padro s s= 2 (o desvio-padro s estima o verdadeiro desvio-padro populacional s, e tem a vantagem de estar na mesma unidade de medida dos dados, e no elevado ao quadrado como o caso da varincia, mede a disperso dos dados em torno de um valor mdio). . amplitude [ ] [ ]R x xn= - 1

(a amplitude uma medida de disperso, corresponde a diferena entre o maior valor observado x[n] e o menor valor observado x[1]).

. coeficiente de variao Cv =sm

(o coeficiente de variao uma medida relativa de disperso e mede a variabilidade dos dados em termos de unidades da mdia). Exemplo Os dados abaixo correspondem a uma amostra aleatria dos dimetro dos furos (em mm) para fixao de certo equipamento aeronutico. Descreva os dados numericamente e graficamente.

120.5 120.9 120.3 121.3 120.4 120.2 120.1 120.5 120.7 121.1 120.9 120.8 120.3 120.2 120.3 120.4 120.5 120.2 120.8 120.9

Variable: diametro dos furos ---------------------------------------------------------------------- Sample size 20 Average 120.565 Median 120.5 Mode 120.3 Standard deviation 0.339155 Standard error 0.0758374 Minimum 120.1 Maximum 121.3 Range 1.2 Lower quartile 120.3 Upper quartile 120.85 ----------------------------------------------------------------------

11

120 120.2 120.4 120.6 120.8 121 121.2 121.4

diametro dos furos

0

1

2

3

4

5

freq

uen

cia

Histograma de Frequencia

12

Lista de Exerccios 1) Os dimetros de oito mancais selecionados ao acaso so os seguintes (em mm):

50,001 50,002 49,998 50,006 50,005 49,996 50,003 50,004 a) Calcule a mdia amostral. b) Calcule o desvio-padro amostral. (2-2 DCM) 2) O tempo de vida at falhar em horas de um componente eletrnico sujeito a um teste de durabilidade acelerado mostrado abaixo para uma amostra com tamanho n = 40. Para acelerar a falha no teste, as unidades experimentais so testadas sob uma temperatura elevada.

127 125 131 124 129 121 142 151 160 125 124 123 120 119 128 133 137 124 142 123 121 136 140 137 125 124 128 129 130 122 118 131 125 133 141 125 140 132 129 126

a) Calcule a media amostral e o desvio-padro. b) Construa o histograma. c) Ache a mediana e os quartis. (2-3 DCM) 3) Os dados abaixo so leituras do rendimento de um processo qumico em dias sucessivos (leia da esquerda para a direita). Faa o histograma dos dados, comente o aspecto do histograma e verifique se o histograma lembra alguma distribuio de probabilidade conhecida.

94,1 87,3 94,1 92,4 84,6 85,4 93,2 84,1 92,1 90,6 83,6 86,6 90,6 90,1 96,4 89,1 85,4 91,7 91,4 95,2 88,2 88,8 89,7 87,5 88,2 86,1 86,4 86,4 87,6 84,2 86,1 94,3 85,0 85,1 85,1 85,1 95,1 93,2 84,9 84,0 89,6 90,5 90,0 86,7 87,3 93,7 90,0 95,6 92,4 83,0 89,6 87,7 90,1 88,3 87,3 95,3 90,3 90,6 94,3 84,1 86,6 94,1 93,1 89,4 97,3 83,7 91,2 97,8 94,6 88,6 96,8 82,9 86,1 93,1 96,3 84,1 94,4 87,3 90,4 86,4 94,7 82,6 96,1 86,4 89,1 87,6 91,1 83,1 98,0 84,5

(2-4 DCM) 4) Considere o rendimento do processo qumico do exerccio anterior. Calcule a mdia amostral e o desvio-padro. (2-5 DCM) 5) Suponha que dois dados no-viciados so lanados e uma varivel aleatria observada, digamos X, que corresponde a soma das duas faces superiores. Descreva o espao amostral do experimento e determine a funo de probabilidade da v.a. X. (2-9 DCM) 6) Ache a mdia e a varincia da v.a. do exerccio anterior. (2-10 DCM)

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7) Calculadoras eletrnicas so classificadas ao final de um trabalho de inspeo. Trs tipos de no-conformidade podem ocorrer nas calculadoras: crtica, maior e menor. A experincia tem indicado que os defeitos ocorrem da maneira seguinte:

calculadoras com defeitos percentual crticos 0,5% maiores 1,0% menores 2,0%

ambos crtico e maior 1,2% ambos crtico e menor 0,8% ambos maior e menor 0,5%

os trs defeitos 0,1% a) Qual a porcentagem da produo que esto de acordo com as especificaes de projeto ? b) Calculadoras que tem defeito crtico ou defeito crtico e outro tipo de defeito devem ser jogadas fora. Qual a porcentagem da produo jogada fora ? c) Calculadoras com defeito maior ou menor ou ambos devem ser consertadas. Qual a porcentagem da produo sujeita a retrabalho ? (2-11 DCM) 8) A distribuio de probabilidade da v.a. contnua X tem a seguinte funo densidade de probabilidade f x k e xX

x( ) ,= < < - 0 . Ache a valor da constante k e tambm a mdia e a varincia de X. (2-12 DCM) 9) A v.a. X assume os valores 1, 2, ou 3 com probabilidades (1+3k)/3, (1+2k)/3 e (0,5+5k)/3, respectivamente. a) Determine o valor adequado de k. b) Determine a mdia e a varincia de X. c) Determine a funo distribuio acumulada de X. (2-13 DCM) 10) A distribuio de probabilidade de uma v.a. discreta : p x k r rX

x( ) ,= < -0 125 00 125 . a) Qual a porcentagem de calculadoras que falham no perodo da garantia ? b) O custo de fabricao da calculadora $50 e o lucro de $25. Qual o efeito da garantia de substituio sobre o lucro ? (2-15 DCM)

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1.5- DISTRIBUIES DISCRETAS DE PROBABILIDADE a) A distribuio Bernoulli

b f p P X x p x x eXx x( , ) . . ( ) ( ) ( ) , ,( )1 1 0 1 0 11q q q q = = = - = <

15

P X x

D

x

N D

n x

N

n

x min n D

D N

n N

N

( ) ,

, , , ..., ( , )

, , , ...,

, , , ...,

, , , ...

= =

--

====

0 1 2

0 1 2

1 2 3

1 2 3

E x nDN

e V x nDN

DN

N nN

( ) ( )= = = -

--

m 11

A situao do modelo hipergeomtrico aquela onde existe uma populao finita composta por N itens. Uma parte da populao formada por itens com alguma caracterstica especial ou no-conformes, D D N( ) . Uma amostra aleatria com tamanho n selecionada da populao, sem reposio, e o nmero de itens com aquela caracterstica especial observado, X. Neste caso a v.a. X tem distribuio hipergeomtrica e a sua f.p. dada pela expresso acima. Este modelo de probabilidade indicado quando se esto selecionando uma a.a. com n itens, sem reposio, de um lote com um total de N, sendo que do total D so defeituosos. Assim a v.a. X representa o nmero de itens defeituosos ou fora de especificao presentes na amostra. e) Distribuio de Pascal A distribuio de Pascal, da mesma forma que a Binomial, baseada nas chamadas "provas de Bernoulli". Seja uma sequencia de provas independentes, cada uma com a probabilidade de sucesso q e suponha que x denota a prova na qual ocorreu o r-simo sucesso. Ento X uma v.a. com Distribuio de Pascal e tem a seguinte f.p.:

bn r P X x p xx

rXr x r( , ) ( ) ( ) ( )q q q = = =

--

- -

1

11

x r r r e r eiro= + + , , , ..., (int )1 2 1

E xr

e V xr

( ) ( )( )

= = = =-

mq

sq

q2

2

1

A Distribuio de Pascal interessante em dois casos especiais: 1)- Quando r > 0 obtm-se na forma da distribuio de Pascal uma v.a. com distribuio Binomial Negativa. Na distribuio Binomial Negativa se fixa o nmero de sucessos, r, e se observa o tamanho da amostra, X, necessrio para que aquele nmero de sucessos seja obtido. 2)- Quando r = 1 tem-se uma v.a. com a chamada distribuio geomtrica que conta o numero de provas Bernoulli at que ocorra o primeiro sucesso, a f.p. adquire a forma:

P X x x( ) ( )= = - -1 1q q

pois resulta para ( )!

( )!( )!x

r x r-

- - - +1

1 1 1 com r=1 o seguinte

( )!( )!( )!

( )!( )!

xx

xx

-- -

=--

=1

1 1 111

1

1.6- DISTRIBUIES CONTNUAS DE PROBABILIDADE

16

a) Distribuio Normal Uma v.a. X tem distribuio normal ou distribuio Gaussiana quando a sua f.d.p. tem a forma:

f xx

x eX ( ) exp , ,= --

>

1

2

12

02

s pm

sm s

Na distribuio Gaussiana a probabilidade da v.a. X assumir um valor entre a e b (a < b) dado por:

P a X b f x dxXab

( ) ( )< < = A mdia e a varincia da v.a. X so dadas por:

E x e V x( ) ( )= =m s2 Na prtica mais fcil trabalhar-se com a chamada distribuio Normal padro, correspondente a v.a. Z que tem mdia 0 e varincia 1,

Zx

N=-

m

s( , )0 1

f z z zZ ( ) exp ,= -

1

2

12

2

p

E z e V z( ) ( )= = = =m s0 12

Veja que a P a x b Pa x b

P z z z( ) ( )< < =-

>- -

ba

a ba

a b

G1 0 0 0

onde G a funo matemtica gama igual a

G( )m x e dxm axn

+ = -1 0

G G( ) ( ) !m m m m+ = =1 (frmula de recorrncia)

( )G 12 = p

A mdia e a varincia da v.a. X com distribuio Gama so dadas por,

E x e V x( ) ( )= = = =m a b sa

b2

2

Algumas distribuies importantes so derivadas da Gama, ou seja so Gama com valores especficos para os parmetros, tais como: c1) Distribuio Exponencial Quando a=1 a distribuio Gama torna-se uma Exponencial com parmetro b. c2) Distribuio Qui-quadrado

Quando a n= 2 e b =1

2 a distribuio Gama torna-se uma distribuio c n2 (qui-quadrado com n

graus de liberdade) cuja f.d.p dada por:

18

f x x e x e NXx

( ) , *=

- -

12

2

0

2

21

1

2

n

n

nn

G

A esperana e a varincia da v.a. X so dadas por,

E x e V x( ) ( )= =n n2 d) distribuio Weibull Uma v.a. X tem distribuio Weibull quando a sua f.d.p. definida por:

f x x e xXx( ) , , ,= - - + + +ab a bb a

b1 Se b = 1 a distribuio Weibull torna-se uma exponencial com parmetro a. A mdia e a varincia da v.a. X com distribuio Weibull so respectivamente:

E x e Var x( ) ( )= = +

= = +

- +

- -

m ab

s ab b

b b1

2

2 2

11

12

11

G G G

A principal caracterstica da distribuio de Weibull a de que possui a taxa de falhas variando no tempo,

l ab b( ) . ,x x x= >-1 0

sendo que quando o parmetro b>1 l(x) aumenta, e a taxa de falhas l(x) diminue quando b > >-

-

1

0 0 0

O MINITAB trabalha com esta forma. e) Distribuio "t" de Student

Sejam as v.a.'s Z N e U ( , )0 1 2c n , ento a v.a. TZ

U=

n

tem distribuio t n , onde n o

nmero de graus de liberdade.

19

A estatstica ( )x

s

- m, onde x N ( , )m s2 tem distribuio t com um nmero de graus de liberdade

(G.L's) igual ao denominador de s2 (estimador de s2). A esperana e a varincia da v.a. T so dadas por:

E T) e V T)n

n( (= = =

-m 0

2

A diferena bsica entre a distribuio t de Student e a distribuio Normal padro a de que a varincia da t um pouco maior, como se pode observar na expresso da varincia de T. 1.7- O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE E APROXIMAES IMPORTANTES Como j se afirmou anteriormente a distribuio de probabilidade Gaussiana o modelo mais freqentemente adotado para uma v.a. Mas acontece algumas vezes desse modelo no se ajustar adequadamente aos dados. O Teorema Central do Limite pode ser til neste caso, pois ele garante que se, X1, X2, X3, ... , Xn so v.a.'s independentes com mdias m i e varincias s i

2 e se S = X1 + X2

+ ... + Xn , ento a distribuio da estatstica ( )S E

V

- (S)

(S)tem distribuio Normal padro quando

n ou seja:

S

Ni

i

n

ii

n n

-

=

=

m

s

1

2

1

0 1( , ) .

Aproximao da Binomial para Hipergeomtrica

Quando na distribuio Hipergeomtrica a frao de amostragem for muito baixa ou seja n N 0 1, a

distribuio Binomial com parmetros q = D N e n uma boa aproximao para esta distribuio.

Aproximao da Poisson para a Binomial A distribuio de Poisson pode ser tratada como a distribuio limite da distribuio Binomial quando se tem q prximo de zero e n tendendo para o infinito com nq l= constante. Desta forma a distribuio de Poisson com parmetro l pode ser usada para aproximar a Binomial. A aproximao boa quando n grande e q < 0,1. O Teorema Central do Limite pode ser usado para garantir a aproximao Normal para a distribuio Binomial. A v.a. Y com distribuio Binomial pode ser considerada como uma soma de v.a.'s independentes Bernoulli, cada uma com probabilidade q de sucesso. Assim, se n grande pelo Teorema Central do Limite tem-se que,

( )Y nn

Nn-

-

q

q q( )( , )

10 1

20

Esta aproximao aceitvel quando q est em torno de 0,5 e n maior que 10. LISTA DE EXERCCIOS N 2 1) A variabilidade do volume engarrafado de uma bebida est sendo analisada. Uma amostra com tamanho n = 10 foi tomada do processo. Os volumes medidos e os resultados so os seguintes, na unidade adequada:

10,05 10,03 10,02 10,04 10,05 10,01 10,02 10,02 10,03 10,01 Descreva a amostra. 2) Seja a v.a. X que representa o nmero de itens defeituosos presentes em uma amostra de tamanho n = 10, tomada de um lote que possui 100 itens, inclusive 5 defeituosos. A amostra tomada sem reposio. Calcule a probabilidade de aparecer na amostra no mximo 1 dos defeituosos. 3) Em um processo de produo de tecido aparecem determinado defeito com uma mdia de 4 defeitos por unidade de comprimento. Calcule probabilidade de em uma unidade de comprimento selecionada ao caso ocorrer no mximo 2 defeitos. 4) A resistncia a trao uma caracterstica muito importante do papel usada para fazer sacolas para carregar mantimentos. Supondo que a v.a. X represente esta fora e que ela tem uma distribuio N(40, 4) para determinado tipo de papel e que a ala dessa sacola requer que a fora de resistncia seja de pelo menos 35 unidades, calcule a probabilidade de que uma sacola produzida com este papel atinja ou exceda a especificao. 5) O dimetro do pino de metal usado em uma unidade de "disk-drive" normalmente distribuda com mdia de 0,2508 e desvio-padro de 0,0005 unidades. A especificao de projeto do pino estabeleceu que o dimetro deve ficar entre 0,2500 0,0015 unidades. Determine a frao de defeituosos produzidos de acordo com a especificao.

21

2. INFERNCIA ESTATSTICA 2.1- INTRODUO A Inferncia Estatstica a parte da Cincia Estatstica que trata do estudo dos procedimentos de estimao de parmetros e de testes de hipteses sobre os parmetros. Como se sabe, em geral os parmetros de um processo so desconhecidos. Assim, necessita-se de procedimentos para estima-los, e alm disso verificar algumas hipteses sobre os valores dos parmetros. Estas hipteses so verificadas por meio de testes estatsticos. 2.2- AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIO NORMAL Suponha que a varivel aleatria X tenha distribuio com mdia m e varincia s2 ( ( )E x e E xx x( ) = - =m m s

2 2 ) e suponha ainda que se tome uma amostra aleatria de tamanho n,

[x1,x2,x3, ... ,xn], desse processo. Ento da amostra aleatria obtemos as estatsticas principais:

mdia amostral xn

x x Ni ii

n

= =1 2

1

( ; )m s

varincia amostral sn

x xii

n2 2

1

11

=-

-= ( )

Qual a distribuio de probabilidade da estatstica x ?

x N n ( ; )ms2

Qual a funo densidade de probabilidade da distribuio varivel aleatria x ?

f x

n

x

n

x eX ( ) exp , ,= --

>1

2

12

0

2

sp

ms

m s

Existem vrias variveis aleatrias importantes oriundas de uma amostra aleatria da distribuio Normal, x N ( ; )m s 2

1 ) ( )ns

n- -12

2 12

sc

A varivel aleatria acima tem distribuio qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

2 ) Zx

N=-

m

s( , )0 1

A varivel aleatria acima tem distribuio Normal padro ou seja Gaussiana com mdia zero e varincia 1. Qual a forma da funo densidade de probabilidade da varivel aleatria Z?

22

f z z zZ ( ) exp ,= -

1

2

12

2

p

3 ) Zx

n

N=-

m

s( , )0 1

A varivel aleatria acima tem distribuio Normal padro. Qual a mdia da varivel aleatria x ? Resposta: A mdia da varivel aleatria x o parmetro m. Qual o desvio-padro da varivel aleatria x ?

Resposta: desvio-padro da varivel aleatria x sn

.

4 ) txs

n

t n=-

-m

1

A varivel aleatria acima tem distribuio "t" de Student com n - 1 graus de liberdade. Qual a expresso da distribuio de probabilidade da varivel aleatria t ? Resposta: A expresso da funo densidade de probabilidade da varivel aleatria t

f t

n

nn

tn

n tT

k

( ) , ,

( )

=

+

+

>

-+G

G

12

2

1 02

1

2

p

Qual a mdia e qual a varincia da varivel aleatria t ?

Resposta: A mdia da varivel aleatria t zero e a varincia n

n - 2 para n>2.

Qual o nmero de graus de liberdade associado a varivel aleatria t ou seja quando se diz: varivel aleatria "t" de Student com n graus de liberdade, o que significa isto ? Resposta: O nmero de graus de liberdade associado a varivel aleatria t corresponde ao

denominador do estimador da varincia que esta introduzida na expresso( )x

sn

- m. O significado de

graus liberdade corresponde ao nmero de variveis aleatrias envolvidas na expresso do estimador de s2.

23

5 ) F

s

sF m n e n nm n= = - = -

12

12

22

22

1 21 1s

s

, ,

A varivel aleatria acima tem distribuio F de Snedecor com n1-1 e n2-1 graus de liberdade. Os graus de liberdade esto associados com s1

2 e s22 . Conforme os graus de liberdade se tem

distribuies F diferentes. 2.3- AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIO DE BERNOULLI Seja a amostra aleatria de tamanho n, [x1,x2,x3, ... ,xn], tomada de um processo que segue a distribuio Bernoulli com probabilidade de sucesso q (0

24

F k P x k P y nkX ( ) ( ) ( )= =

e como se sabe que Y b n ( ; )q tem-se

F k P x k P y nkn

yX y

nky n y( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

= = =

-

=

-0

1q q , onde [nk] o menor ou igual a nk.

2.4- AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIO DE POISSON Seja a amostra aleatria de tamanho n, [x1,x2,x3, ... ,xn], tomada de uma distribuio de Poisson com parmetro q. Da amostra tem-se a estatstica

xn

xynii

n

= ==1

1

, onde y uma varivel aleatria igual a somatria do numerador.

Obs.: A varivel aleatria y x ii

n

==

1

com x Pi ( )q (distribuio de Poisson com parmetro q)

tambm tem distribuio de Poisson, mas com parmetro igual a nq. Qual o domnio da V.A. x ?

Resposta: O domnio de x o conjunto ( )0 1 2 3, , , , ...n n n . Qual a f.d. (funo distribuio acumulada) da varivel aleatria x ?

Resposta:

F k P x k P x nk P y nkX ii

n

( ) ( ) ( ) ( )= = = =

1

e da observao sabe-se y P n ( )q , portanto

F k P x k P y nkn e

yXy n

y

nk

( ) ( ) ( )( )

!

[ ]

= = =-

= q

q

0

onde [nk] o maior inteiro menor ou igual a nk. Qual a mdia e qual a varincia de x ? Resposta: A mdia de x o parmetro q.

E x( ) = =m q e a varincia V xn

( ) = =sq2 .

2.5- ESTIMAO DOS PARMETROS Para se estimar os parmetros (desconhecidos) de uma distribuio de probabilidade f(x), deve-se tomar uma amostra aleatria dessa distribuio e usar estatsticas oriundas da amostra para se construir os estimadores.

25

Suponha que se deseja estimar o verdadeiro dimetro de um mancal (parmetro m) e tambm o desvio-padro s das peas fabricadas. O procedimento estatisticamente correto tomarmos uma amostra aleatria composta por n mancais. Para se falar com nmeros, seja n = 25 mancais. claro que se mediu os dimetros dos mancais, encontrando-se [x1,x2,x3, ... ,xn]. Da amostra tem-se a mdia amostral

x x ii

= ==125 1500125

,

A mdia amostral x usada para a estimao pontual do parmetro m = E x( ) , ento uma boa avaliao pontual da mdia do processo 1,500. A amostra aleatria forneceu ainda uma varincia amostral

( )sn

x xii

n2 2

1

11

0 0016=-

- == ,

resultando um desvio-padro s = 0,04. Estas estimativas dos parmetros m e s so consideradas muito boas, pelas qualidades dos estimadores usados ( x e s). QUALIDADE DOS ESTIMADORES Uma estatstica para ser considerada um bom estimador deve possuir as seguintes propriedades: 1 ) O estimador deve ser no-viciado ou seja, se a estatstica T um estimador no-viciado do parmetro q ento a esperana matemtica (mdia) de T deve ser igual ao parmetro q.

E T)( = q

Isto significa que como T uma varivel aleatria, logo tem uma distribuio de probabilidade, a mdia da distribuio de T o prprio parmetro q a ser estimado. A distribuio de T tem centro em q.

Exemplo: A mdia amostral xn

x ii

n

==1

1

um estimador no-viciado do parmetro populacional m

da N( ; )m s2 , pois E x( ) = m . 2 ) O estimador deve ser preferencialmente de mnima-varincia ou seja, entre todos os estimadores existentes do parmetro q deve-se utilizar aquele cuja distribuio tenha a menor varincia.

Exemplo: A varincia amostral ( )sn

x xii

n2 2

1

11

=-

-= um estimador de mnima varincia para o

parmetro populacional s2 da N( ; )m s2 . 3 ) O estimador deve ser consistente ou seja, a medida que se aumenta o tamanho da amostra, n, a diferena entre o estimador e o parmetro diminue, chegando a coincidncia quando n o tamanho da populao. 4 ) O estimador deve ser suficiente ou seja, o estimador funo de uma estatstica que resume todas as informaes que a amostra aleatria tem sobre o parmetro.

26

Exemplo: A mdia aritmtica x funo de x ii

n

=

1

que a estatstica que resume todas as

informaes sobre o parmetro m que a amostra traz. OBS.:. Todos os estimadores em uso na estatstica so consistentes e suficientes. Muitos so no-viciados e de varincia mnima. Um estimador que no-viciado e de varincia mnima chamado de UMVU (uniformly minimum-variance unbiased) ou seja "no-viciado uniformemente de mnima varincia". ESTIMADORES DOS PARMETROS DAS PRINCIPAIS DISTRIBUIES distribuio parmetro estimador propriedades Bernoulli m = q x UMVU, EMV Binomial m = nq n x UMVU s2=nq(1-q) x(n-x)/(n-1) Hipergeomtrica tam. pop. N nD/x se x(N+1)/n no int. D [x(N+1)/n] int se x(N+1)/n int D x(N+1)/n EMV se x(N+1)/n int. D x(N+1)/n-1 Poisson m = q x UMVU, EMV Normal m x UMVU, EMV s2 s2 UMVU s2 $s2 EMV Exponencial m = 1/q 1/ x UMVU, EMV m = q x UMVU, EMV Gama m = a/b x UMVU m = a ( x 2/ $s2 ) Mt. Momentos m = b ( x / $s2 ) Mt. Momentos

27

3. CONTROLE ESTATSTICO DE PROCESSO 3.1- QUALIDADE, PRODUTIVIDADE E COMPETITIVIDADE. Aconselha-se a leitura dos captulos I e II do livro de referencia [03] e tambm dos captulos I e do II do livro de referencia [02] e em seguida responder as perguntas a seguir. LISTA DE EXERCCIOS Qualidade, Produtividade, Competitividade e os 14 Pontos de Deming Leia os captulos I e II do Livro do F.C. Bartman e os captulos I e II do livro do W.E. Deming e responda de maneira clara e sucinta as questes seguintes: 1) tradicional, no meio industrial, se afirmar que Qualidade e Produtividade so incompatveis. Voc concorda com isto ? 2) O que Qualidade ? 3) Quem dominou o mercado internacional de manufaturados desde o sculo passado at a crise dos anos 30 ? 4) Qual pas teve, na prtica, o monoplio dos mercados mundiais nas dcadas de 50 e 60 ? 5) A partir do final da dcada de 60 surgiu uma competio crescente entre as industrias americanas e japonesas (alm da europia e s do 3 mundo em menor escala) pelos mercados mundiais, com razovel sucesso para a indstria japonesa. A que se pode atribuir o sucesso das companhias japonesas no mercado internacional ? 6) Uma vez que no h processo de produo perfeito, como possvel o aperfeioamento do processo ? 7) Voc considera os Mtodos estatsticos instrumentos indicados para manter um certo nvel de qualidade no processo (ou para assegurar um nvel mximo de defeituosos) ? porque ? 8) Qual a finalidade fundamental do Controle de Qualidade numa empresa ? 9) Como todo processo tem variabilidade (podendo ser para mais ou para menos que um certo nvel), ento basta o operador fazer os ajustes necessrios na maquina que o problema da qualidade fica resolvido. voc concorda com isto ? O que se deve fazer para controlar um processo ? 10) Quando os mtodos estatsticos foram introduzidos no Japo ? 11) Qual o problema fundamental de uma empresa industrial para assegurar a sua posio no mercado ? 12) Qual a nica maneira de se alcanar um aumento substancial na produtividade ? 13) Voc acha que lucro a curto prazo se constitua num ndice de competncia ? 14) O primeiro principio de Deming afirma que a empresa deve "criar constncia de propsitos para a melhoria do produto e do servio". Para que se deve fazer isto ?

28

15) O segundo principio de Deming manda que se "adote a nova filosofia", o que voc entende por isto ? 16) O que voc acha da inspeo em massa ? 17) Voc acha que sempre muito bom se comprar pelo menor preo? Porque ? 18) Porque se deve procurar melhorar o sistema de produo e do servio constantemente ? 19) Uma empresa deve manter um programa de treinamento para os seus operrios? Porque ? 20) Qual o papel da Administrao, chefiar ou liderar os trabalhadores, porque ? 21) Porque o trabalhador deve fazer as suas tarefas sem medo? Voc concorda com isto? Porque ? 22) Em muitas companhias os Departamentos funcionam como entidades independentes. Isto benfico para a empresa ? Porque ? 23) O que voc acha das metas quantitativas (objetivos numricos) ? 24) Um operrio que se orgulha do seu trabalho d o melhor de si para a empresa. Voc concorda com isto ? 25) Como os processos de produo mudam rapidamente, a empresa deve se preparar constantemente para transformaes. Como isto deve ser feito ? 26) Faa um resumo do chamado ciclo de Shewhart. Exerccio - Ganho de Produtividade Obtido por Alterao do Sistema (da referncia [02] pginas de 5 a 7) O superintendente de determinada fbrica sabia que existiam problemas em determinada linha de produo. Ele achava que a mo de obra que trabalhava na tal linha cometia muitos erros, e que, se tais erros no ocorressem, no haveriam tantas falhas. De incio obteve dados de inspeo, e observou a proporo de defeituosos dia aps dia nas ultimas seis semanas (1 grfico a seguir). O grfico obtido mostrou uma variao aleatria estvel, flutuando em torno de uma mdia. O nvel de defeito e a variao diria eram ento previsveis. Consequentemente tem-se um sistema estvel de produo de itens defeituosos. Ento, o sistema deve ser aperfeioado. Uma explicao para a variabilidade a de que o pessoal da linha de produo no estaria entendendo bem que tipo de trabalho aceitvel ou no. Partindo-se dessa premissa, a administrao resolveu elaborar definies operacionais, contendo exemplos de itens bons e itens no-aceitveis. Estas definies foram afixadas de forma acessvel a todos. Novos dados de inspeo formaram o 2 grfico, a seguir. O novo grfico mostra que o nvel mdio de defeituosos caiu de 11% para 5%. Proporo diria de defeituosos antes de interveno no Sistema:

0.10 0.15 0.09 0.08 0.07 0.12 0.10 0.16 0.09 0.11 0.12 0.13 0.16 0.13 0.07 0.11 0.13 0.10 0.12 0.11 0.14 0.07 0.11 0.10 0.08 0.11

29

Descrio da amostra: Variable: acompanhamento dirio antes da interveno ---------------------------------------------------------------------- Sample size 26 Average 0.11 Median 0.11 Mode 0.11 Standard deviation 0.025923 Standard error 5.08391E-3 Minimum 0.07 Maximum 0.16 Range 0.09 ----------------------------------------------------------------------

0 5 10 15 20 25 30

acompanhamento antes da intervencao

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

0.17

pro

po

rcao

de

def

eito

s

Grafico da amostra

0.11

0.167447

0.0525532

Proporo diria de defeituosos aps interveno no Sistema:

0.05 0.05 0.07 0.04 0.03 0.06 0.05 0.06 0.04 0.05 0.06 0.05 0.04 0.03 0.07 0.04 0.05 0.04 0.05 0.08 0.05 0.04 0.05 0.04 0.05 0.06 0.05 0.05

A descrio da amostra: Variable: acompanhamento dirio depois da interveno ---------------------------------------------------------------------- Sample size 28 Average 0.05 Median 0.05 Mode 0.05 Standard deviation 0.011547 Standard error 2.18218E-3 Minimum 0.03 Maximum 0.08 Range 0.05 ----------------------------------------------------------------------

30

0 5 10 15 20 25 30

acompanhamento depois da intervencao

23

33

43

53

63

73

83p

rop

orc

ao d

e d

efei

tos

(X 1E-3)Grafico da amostra

0.05

0.0762674

0.0237326

Os ganhos com a melhoria no processo foram: .aprimoramento qualitativo .aumento de 6% na produo de itens aceitveis .aumento de 6% da capacidade produtiva .menor custo por unidade de produto aceitvel .aumento do lucro .cliente mais satisfeito .empregados mais confiantes e satisfeitos no trabalho J o custo com a melhoria foi zero, pois: .mesma fora de trabalho .mesmos nus com insumos .nenhum investimento em maquinaria novo O resultado obtido, derrubar a proporo de defeituosos de 11% para 5%, embora muito significativo, no deve de nenhuma forma satisfazer a administrao da empresa. A etapa seguinte deve ser aquela de verificar as causas dos 5% de trabalho ineficiente e tentar elimina-las. A causa desta ltima parcela de variabilidade pode estar associada com .dificuldade de se trabalhar com os materiais recebidos .algumas mquinas no esto funcionando adequadamente .pode ainda haver alguma dificuldade relativamente s definies dos critrios de aceitabilidade Os dois grficos mostrados anteriormente chamam-se grficos de tendncia. Estes grficos representam o desempenho de um processo de produo e mostram a evoluo do nvel de operao do processo e sua variao no tempo. Estes grficos foram construdos pela primeira vez por W. Shewhart nos anos 20.

31

A palavra qualidade tem sido usada desde o incio desta seo. Mas, o que se entende por QUALIDADE? A resposta no sentido tcnico a de que qualidade uma caracterstica de um processo de produo e assim deve ser medida pela proporo de bens (e servios) produzidos que atingem as propriedades especificadas pelo projeto ou alternativamente, a qualidade funo da proporo de bens (e servios) defeituosos oriundos daquele processo de produo. 3.2- VARIAO NUM PROCESSO Em geral as caractersticas de um produto manufaturado apresentam variabilidade. Isto se deve a flutuaes na qualidade dos materiais usados e de variaes nas condies de operao do processo de produo. Anteriormente foi visto uma Carta de Controle que mostrava que qualquer melhora substancial na qualidade deveria advir de uma mudana do sistema, de responsabilidade da administrao. A Carta de Controle seguinte mostra a quilometragem rodada por litro de combustvel, atingida entre um enchimento e outro do tanque de um certo veiculo. A quilometragem por litro dada abaixo para 21 intervalos sucessivos entre os enchimentos do tanque de combustvel.

25.7 26.3 24.8 22.1 22.3 28.2 25.1 24.8 26.3 24.5 24.9 22.8 23.0 24.8 23.1 24.7 24.2 23.1 25.3 24.8 26.2

Variable: intervalos de enchimentos ---------------------------------------------------------------------- Sample size 21 Average 24.619 Median 24.8 Mode 24.8 Standard deviation 1.50852 Standard error 0.329185 Minimum 22.1 Maximum 28.2 Range 6.1 ----------------------------------------------------------------------

32

0 4 8 12 16 20 24

intervalos de enchimentos

21

23

25

27

29co

nsu

mo

Grafico da amostra

24.619

27.3761

21.862

Do grfico da Carta de Controle nota-se que de incio a quilometragem por litro estava em torno de 25 km/l, sendo que ela pode variar para cima ou para baixo. Mas observa-se no grfico que a partir do 10 enchimento (a data uma referencia importante) os registros situam-se abaixo da mdia sucessivamente 9 vezes. Isto uma coisa difcil de ocorrer supondo que o processo seja estacionrio em torno da mdia. Assim, uma causa especial de variao deve ser procurada. A resposta pode ser qualquer combinao de uma lista de possibilidades, tais como: tempo frio, combustvel diferente, troca de motorista, transporte de carga mais pesada ou velas de ignio defeituosas (velhas). Examinando-se estas opes de causa, cada uma delas foi descartada, sobrando as velas de ignio como nica explicao. A troca foi feita e a Carta de Controle foi ampliada para mais 3 pontos, os trs ltimos. Nota-se claramente que a mdia voltou ao nvel histrico. Um registro histrico da quilometragem por litro de combustvel, datas de troca de peas, etc., importante para empresas que tem veiculo. O prprio motorista pode estar encarregado de fazer os registros. 3.2.1- CAUSAS DA VARIABILIDADE Diversos fatores podem contribuir para a variao no nvel de defeitos encontrados num processo. Podem ser, por exemplo, irregularidade no material utilizado na produo (no perfeitamente uniforme), temperatura, manuteno do equipamento, estado fsico dos operadores, etc.. Estes fatores, que podem ser identificados, chamam-se fatores particulares ou causas especiais de variao. Mesmo eliminando-se todos esses fatores particulares, o processo ainda ir produzir artigos defeituosos. Isto ocorre devido a existncia dos fatores inerentes ao processo, os quais no so identificveis. Quando se elimina um a um os fatores particulares de variao, o Grfico de Controle mostrar somente a variao aleatria causada pelos fatores de variao inerentes ao processo. Neste caso, o processo ser estvel, ou, de acordo com a terminologia criada por Shewhart, o processo estar sob controle. O Grfico mostrar ento um processo aleatrio estacionrio. Quando se consegue atingir a estabilidade, eliminando-se as causas especiais, pode-se construir os limites de controle, que delimitam uma regio onde com uma grande probabilidade o processo ir operar. Estes limites determinam a chamada capacidade do processo. 3.2.2- DETALHAMENTO DA BASE ESTATSTICA DOS GRFICOS DE CONTROLE

33

LIMITES DE CONTROLE Seja um processo onde determinada caracterstica do produto tem mdia fixada em m = 74 mm e desvio-padro s = 0,01 mm. A estatstica representada no grfico ser a mdia amostral x (por exemplo), ento trabalhando-se com a distribuio de probabilidade tem-se:

E x( ) = m

V xn

( ) =s 2

e

ss

xn

=

Se o processo est sob controle, variando apenas por fora dos fatores inerentes ao processo (no identificveis), espera-se que:

P LIC x LSC( ) -1 a onde a um nmero arbitrrio, mas fixo e pequeno, da ordem de 1%. Os limites LIC (limite inferior de controle ) e LSC (limite superior de controle) so chamados de limites probabilsticos e a probabilidade de uma observao da v.a. X situar-se fora desses limites muito pequena, dado o valor de a . Sendo assim quando ocorrer de uma observao situar-se fora dos limites de controle, isto ter como causa um fator particular (identificvel) de variao. claro que a observao poder ficar fora dos limites por obra do acaso, mas isto pouco provvel dado a . Uma alternativa para se construir os limites de controle defini-los em termos de mltiplos do desvio-padro da v.a . plotada no grfico (no caso est-se considerando x ),

LIC kx x= -m s

LSC kx x= +m s

onde k uma constante positiva. Um valor muito usado para k 3 e tem-se ento os limites a 3 desvios-padro. Estes limites podem ser construdos mesmo nas situaes onde a distribuio de probabilidade da v.a. X no seja conhecida. Quem garante este fato a chamada Desigualdade de Tchebychev:

P X( )- "e >m ese

2

20

Veja que se fizermos e s= k tem-se na desigualdade

P X kk

( )- m ss

s

2

2 2

P X kk

( )- m s1

2

Quando se quer limites de 3 desvios-padro tem-se:

P X( )- m s3132

P X( ) ,- m s3 0 1111

34

Considerando a situao onde m = 74,0 mm a mdia da v.a. que est associada com o dimetro do anel do pisto e s = 0,01 mm o seu desvio-padro, tem-se para a estatstica x de amostras aleatrias com tamanho n = 5 anis tomadas de hora em hora do processo, as estatsticas seguintes:

s sx n= = =0 01

50 0045, ,

LIC

LSC

= - == + =

74 0 3 0 0045 73 9865

74 0 3 0 0045 74 0135

, . , ,

, . , ,

estes so os limites de controle a 3 desvios-padro.

0 4 8 12 16

numero da amostra

7398

7399

7400

7401

7402

med

ia a

mo

stra

l

(X 0.01)Grafico da amostra

74

74.02

73.98

35

LIMITES DE CONTROLE, LIMITES DE ESPECIFICAO E LIMITES NATURAIS DE TOLERNCIA (Leia com ateno as respostas a seguir) 1) Existe algum relacionamento entre os limites de um Grfico de Controle ( x e R ), construdo para uma caracterstica de um produto, e os limites da especificao do produto ? R: No. Os limites de controle so estabelecidos com base na variabilidade do processo (medida pelo desvio-padro s) e se referem a estatstica (v.a.) plotada no Grfico. J os limites da especificao foram estabelecidos para a caracterstica do produto (v.a. X) que est sendo observada (amostrada) e foram definidos externamente. Eles so em geral fixados pela pela Administrao, pelos Engenheiros de Projeto, pelos Engenheiros de Produo e pelos "designers". Veja que algum conhecimento (pelo menos uma idia) da variabilidade do processo fundamental no estabelecimento das especificaes. Mas, no existe nenhum relacionamento estatstico ou matemtico entre os limites de controle para x e os limites de especificao do produto. 2) O que so Limites Naturais de tolerncia ? R: Os denominados Limites Naturais de tolerncia so os valores m s- 3 e m s+ 3 , onde m a mdia e s o desvio-padro da v.a. observada X. sempre desejvel que os limites naturais de tolerncia situem-se entre os limites da especificao. 3) Suponha que voc est construindo um Grfico x . faa duas figuras: uma representando os limites de Controle para x e outra representando os limites da Especificao e tambm os limites naturais de tolerncia.

OS LIMITES DE CONTROLE COMO REGIO CRTICA DE UM TESTE DE HIPTESE

Na figura anterior pode-se observar que quando se fixa os limites de controle tem-se a situao equivalente a de um teste de hiptese. A regio fora dos limites de controle corresponde a regio crtica do teste. Considerando a situao, em exemplo, cada vez que se toma uma amostra de tamanho n = 5, obtm-se da amostra x e a seguir verifica-se se esta mdia amostral faz entre os limites de controle. Isto eqivale a testar a hiptese "a amostra aleatria veio de um processo com mdia 74 " ou seja:

H x H0 0 174 0 74 0= = = = m m m, ,

O teste feito na suposio de que o desvio-padro s seja conhecido e ento a estatstica do teste :

( )z x

n

N=-

m

s0 0 1,

e comparando-a com os escores padronizados correspondentes aos limites de controle:

zLIC

n

e zLSC

ni s=

-=

-ms

ms

0 0

que so os valores crticos do teste da hiptese nula enunciada acima,

_____._____________________.______.______

36

zi z zs Se ocorre de z situar-se entre os valores zi e zs, como acima, aceita-se a hiptese H0, isto , a amostra tirada naquela hora do processo veio de uma populao com mdia m0 = 74,0. Mas, se ocorre-se da estatstica z situar-se fora do intervalo (zi , zs), como na figura abaixo,

_____.___________________________.____.______ zi zs z a deciso estatstica seria de que a amostra no veio de um processo com mdia m = 74,0. 3.2.3- PROCEDIMENTOS GRFICOS E OUTRAS TCNICAS TEIS NO ESTUDO DA VARIABILIDADE Na identificao e anlise dos problemas que podem surgir em um processo, as tcnicas so as seguintes: IDENTIFICAO DO PROBLEMA ANLISE DO PROBLEMA Fluxograma Diagrama de Pareto Histograma Folha de Verificao Diagrama de Causa Efeito Diagrama de Disperso Brainstorming Grfico de Tendncia Grafico de Controle Tcnica de Grupo Estratificao Anlise do Campo de Foras

FLUXOGRAMA O fluxograma uma representao grfica mostrando todas as fases do processo. O fluxograma do processo d uma viso geral de todos os passos do processo. Pode ser aplicado a qualquer caso: fluxo de materiais, fases da operao de vendas, fornecimento do produto, etc. Na identificao do problema no processo (IMAGINEERING) as pessoas com maior conhecimento das fases se renem para: 1) Desenhar o fluxograma atual do processo; 2) Desenhar o fluxograma das etapas que o processo deveria seguir se tudo ocorresse bem; 3) Comparar os dois grficos para verificar onde diferem entre s, pois a estar a raiz do problema.

37

EXEMPLO COTIDIANO

Ligar a TV

Aparecea Imagem?

A imagem boa?

O fio estna tomada?

Conectaro fio

Operar osajustes

Aparecea Imagem?

A imagem boa?

Chamar aAssistncia

Tcnica

Assistiro programa

No

No

No

No

No

Sim

Sim

Sim

Sim

Sim

38

EXEMPLO DA INDUSTRIA Fluxo da Placa Impressa

Recebimento

componentes e placa

aprovados?

montagemautomtica

montagem manual

soldagem e limpeza

aprovados?

aprovados?

aprovados?

montagem final

aprovados?

passou no teste final?

refazerl

refazer ou sucatear

devolver econsertar

refazer ou sucatear

expedio

39

FOLHA DE VERIFICAO A folha de verificao um procedimento usado para responder a pergunta: "com que freqncia certos eventos acontecem?". Para uso desta tcnica deve ser estabelecido claramente o seguinte: -fixar qual evento est sendo estudado -definir o perodo durante o qual os dados sero coletados -construir um formulrio claro e de fcil manuseio -coletar os dados honestamente

Ms Defeito 1 2 3 Total

dimenso I I I I I 5 acabamento I I I 3

peso I I I I I I I I I 9 Total 7 5 5 17

BRAINSTORMING So reunies com o pessoal envolvido com o problema em estudo a fim de se coletar opinies sobre causas, bem como solues possveis. Existem dois tipos de "brainstorming": 1) Estruturado Nesta forma, cada pessoa do grupo d a sua idia em cada roda da ou "passa" at que chegue a sua prxima vez. Isto obriga at os mais tmidos a participarem, contudo pode criar certa presso sobre as pessoas. 2) No-estruturado Nesta forma, os membros do grupo simplesmente do as idias conforme elas surgem em suas cabeas. Isto cria um ambiente mais relaxado, porm existe o risco da reunio ser dominada pelos mais extrovertidos. Existem algumas regras que devem ser lembradas: - Nunca criticar idias. - Escrever em um quadro-negro ou branco todas as idias. A viso global das idias servem de estmulo para novas propostas e tambm evita mal-entendidos. - Escrever as palavras do participante e no a sua interpretao. - Fazer um "brainstorming" rpido, 5 a 15 minutos so suficientes. TCNICA NOMINAL DE GRUPO Quando se aborda algum problema ou a forma de atacar o problema, geralmente ocorre que a seleo do problema foi influenciada por pessoas que falaram mais alto ou tm maior autoridade. Isto cria o sentimento no grupo de que o "seu" problema nunca ser abordado. Isto pode gerar uma falta de comprometimento com a soluo do problema escolhido e tambm a idia de que foi escolhido o problema "errado". A Tcnica Nominal de Grupo permite a todos do grupo uma igual participao na seleo de problemas. Esta tcnica consiste das seguintes etapas:

40

1 ) Cada membro do grupo deve escrever ou falar sobre o problema que julgar mais importante. Depois que todos escreverem a sua escolha de problemas recolha o papel com os problemas. 2 ) Escreva os problemas descritos onde todos possam ver. Se houver duplicidade combine-os em um so, mas de acordo com os autores. 3 ) Pea para cada membro do grupo ordenar os problemas pelo grau de importncia crescente, segundo o critrio de cada um.

Problema Classificao (Supodo existir 5 pessoas no grupo) A 3 5 2 3 3 = 16 B 1 1 1 2 1 = 06 C 2 2 3 1 2 = 10 D 5 4 4 5 4 = 22 E 4 3 5 4 5 = 21

O problema cuja soma dos pontos for a mais alta o escolhido, primeiramente. Da mesma forma, se ao invs de problemas o que se pediu foi sugestes, idias, a mais votada deve ser considerada primeiro para discusso e depois as seguintes. No exemplo acima o problema (idia) a ser discutido primeiro o D. ANALISE DO CAMPO DE FORAS Toda vez que se pretende fazer mudanas, sejam pessoais ou organizacionais, existem foras indutoras e foras restritivas agindo a favor e contra, respectivamente. um processo dinmico. Quando ocorrem mudanas porque as "foras indutoras" so superiores s "foras restritivas". Assim, pode-se listar estas possveis foras e analisa-las. Seja o exemplo do cotidiano "perder peso": FORAS INDUTORAS FORAS RESTRITIVAS ameaa sade perda de tempo obsesso em emagrecer tendncia da famlia roupas apertadas faltas de recursos para "malhar" embarao pelo peso costume de aucar nos alimentos imagem negativa anos de alimentao errada.

Como a Anlise do Campo de Foras ajuda a promover mudanas? Por que fora s pessoas a pensarem juntas sobre todos os aspectos da mudana pretendida, incentiva o pensamento criativo, encoraja as pessoas a chegar a um consenso sobre a prioridade relativa s foras de um lado e do outro do campo e finalmente um ponto de partida para a ao. HISTOGRAMA: O histograma d informaes gerais sobre a distribuio de onde vieram as observaes. A forma (o padro, o aspecto) da distribuio simtrica? assimtrica? Existe somente um pico? O histograma, tambm, d uma idia da disperso dos dados. Por natureza o histograma um grfico em colunas (barras) e pode se construdo com barras horizontais ou verticais. Exemplo 1: Sejam os dados abaixo da espessura de chapas metlicas. Tomou-se uma amostra com n = 100 chapas e mediu-se a espessura. Faa o histograma dos dados e comente os resultados.

3.56 3.46 3.48 3.50 3.42 3.43 3.52 3.49 3.44 3.50

41

3.48 3.56 3.50 3.52 3.47 3.48 3.46 3.50 3.56 3.38 3.41 3.37 3.47 3.49 3.45 3.44 3.50 3.49 3.46 3.46 3.55 3.52 3.44 3.50 3.45 3.44 3.48 3.46 3.52 3.46 3.48 3.48 3.32 3.40 3.52 3.34 3.46 3.43 3.30 3.46 3.59 3.63 3.59 3.47 3.38 3.52 3.45 3.48 3.31 3.46 3.40 3.54 3.46 3.51 3.48 3.50 3.68 3.60 3.46 3.52 3.48 3.50 3.56 3.50 3.52 3.46 3.48 3.46 3.52 3.56 3.52 3.48 3.46 3.45 3.46 3.54 3.54 3.48 3.49 3.41 3.41 3.45 3.34 3.44 3.47 3.47 3.41 3.48 3.54 3.47

Variable: espessura de chapas metlicas ---------------------------------------------------------------------- Sample size 100 Average 3.4762 Median 3.48 Mode 3.46 Standard deviation 0.0628093 Standard error 6.28093E-3 Minimum 3.3 Maximum 3.68 Range 0.38 ---------------------------------------------------------------------- Frequency Tabulation for espessura de chapas metlicas -------------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency -------------------------------------------------------------------------------- 1 3.275 3.325 3.300 3 .0300 3 .0300 2 3.325 3.375 3.350 3 .0300 6 .0600 3 3.375 3.425 3.400 9 .0900 15 .1500 4 3.425 3.475 3.450 34 .3400 49 .4900 5 3.475 3.525 3.500 36 .3600 85 .8500 6 3.525 3.575 3.550 10 .1000 95 .9500 7 3.575 3.625 3.600 3 .0300 98 .9800 8 3.625 3.675 3.650 1 .0100 99 .9900 9 3.675 3.725 3.700 1 .0100 100 1.0000 --------------------------------------------------------------------------------

3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 3.65 3.7 3.75

espessura das chapas

0

10

20

30

40

freq

uen

cia

Histograma de Frequencia

a) Qual a mais comum espessura da chapa ?

42

R: A espessura mais comum est entre 3,475 e 3,525 mm. b) A distribuio simtrica ? R: Sim, observando o histograma vemos que ela simtrica. V-se que a maior parte das espessuras situam-se no intervalo de 3,425 e 3,525 mm. Poucos valores (15) situam-se acima de 3,525 e tambm poucos valores (15) situam-se abaixo de 3,425 mm. c) Os dados esto muito dispersos ? R: A amplitude da disperso dos dados R = x[n] - x[1]) = 3,68 - 3,30 = 0,38 mm. d) Existe algum valor isolado, aparentemente anormal ? R: No, no existe nenhum valor aparentemente anormal. e) A especificao de projeto para este tipo de chapa de 3,47 0,08 mm. Qual o percentual de chapas que esto fora dos limites de especificao ? R: Esto fora dos limites da especificao, [3,39 ; 3,55], um percentual de 10% das chapas, consequentemente deve-se tentar diminuir a disperso dos dados de modo a colocar praticamente todos os valores dentro dos limites da especificao (ideal). f) O valor da mdia est exatamente no centro dos limites de especificao ? R: Sim, considerando aproximao de 2 casas decimais, o centro 3,47 mm. DIAGRAMA DE PARETO: O diagrama de Pareto um grfico para indicar qual problema, relacionado com a variabilidade dos dados, deve ser solucionado primeiro afim de se eliminar defeituosos e melhorar o processo. Existem muitos aspectos da produo que podem ser melhorados, tais como: nmero de defeituosos, tempo de execuo de tarefas, etc. Devido a quantidade de pequenos problemas difcil se saber por onde comear. O diagrama de Pareto uma ajuda neste sentido e o primeiro passo na direo do melhoramento do processo. Exemplo 2: A tabela na pgina seguinte d o nmero de defeitos que ocorrem em determinado processo. As causas dos defeitos foram identificadas e tentou-se melhorar o processo. A tabela mostra os nmeros antes do aperfeioamento e depois do aperfeioamento. Os diagramas de Pareto correspondentes esto em seguida. Antes do aperfeioamento Depois do Aperfeioamento origem do defeito nmero de

defeituosos origem do defeito nmero de

defeituosos rotao imprpria 44 rudo 12 rudo 14 rotao imprpria 8 falhas 10 presso 6 presso 8 falhas 4 sobra 5 calafetar o eixo 2 falha completa 2 falha completa 1 outras 3 outras 4

43

A B C D E G F

Antes do Aperfeicoamento

0

17.2

34.4

51.6

68.8

86sc

ore

s

Grafico de Pareto

0

20

40

60

80

100

per

cen

t o

f to

tal

51.2

67.4

79.1

88.494.2

97.7 100.0

B A D C G E F

Depois do aperfeicoamento

0

7.4

14.8

22.2

29.6

37

sco

res

Grafico de Pareto

0

20

40

60

80

100

per

cen

t o

f to

tal

32.4

54.1

70.3

81.1

91.997.3 100.0

O diagrama de Pareto revela se uma tentativa de aperfeioamento produziu resultado positivo, pois ele mede o impacto do aperfeioamento. Isto pode ser visto nos diagramas da pgina anterior. Pelo diagrama a administrao do processo inspecionou os fatores que poderiam causar uma rotao imprpria. Perguntou-se aos trabalhadores cujas tarefas estavam relacionadas com estes fatores se existia algum problema ou necessidade no seu trabalho. Os trabalhadores foram levados a se engajar na soluo do problema de muitos defeituosos devido a "rotao imprpria". sugestes surgiram e aptos a implantao das inovaes tem-se o segundo diagrama. Os outros tipos de defeitos tambm foram atacados, nas circunstancias de cada um. O segundo diagrama reflete o resultado final e pode-se observar que: i ) O nmero de defeituosos diminuiu aptos o melhoramento; ii ) Geralmente quando o melhoramento eficaz a ordem das barras no diagrama trocada. Responda detalhadamente as perguntas seguintes: 1 ) O que e para que serve o HISTOGRAMA ? 2 ) O que o diagrama de Pareto ?

44

3 ) Para que serve o diagrama de Pareto ? 4 ) Suponha que a sua empresa produz um equipamento muito especial, fabricado sob encomenda. A mdia de vendas de um cada trs meses. A sua empresa d assistncia de manuteno para os equipamentos vendidos e consequentemente fica sabendo em quais partes do equipamento vo ocorrendo os defeitos. Na tentativa de melhorar o processo de fabricao do equipamento, voc pergunta para os mecnicos da assistncia tcnica sobre as freqncias dos defeitos (onde, como, etc.). Eles respondem algumas coisas, mas como no so muitos os equipamentos vendidos, eles no tem uma idia formada sobre as partes mais problemticas. Como voc faria para melhorar o processo ? 5 ) Quando se vai tentar melhorar o processo, eliminando as causas especiais de defeitos, qual o primeiro passo que se deve dar ? 6 ) A inspeo da produo de determinado processo identificou , em uma semana um total de 40 defeitos nos produtos distribui dos por 4 tipos: DIMENSES INCORRETAS (21), PARTES DANIFICADAS (8), COLA INSUFICIENTE (6) e DEFEITO NA PINTURA (5). Construa o Diagrama de Pareto. Pareto Chart for 21 8 6 5 -------------------------------------------------------------------------------- Class Weighted Cum. Cum. Label Rank Count Weights Scores Scores Percent Percent A 1 21 1 21 21 52.50 52.50 B 2 8 1 8 29 20.00 72.50 C 3 6 1 6 35 15.00 87.50 D 4 5 1 5 40 12.50 100.00 -------------------------------------------------------------------------------- Totals: 40 40

A B C D

Categoria

0

8

16

24

32

40

sco

res

Grafico de Pareto

0

20

40

60

80

100

per

cen

t o

f to

tal

52.5

72.5

87.5

100.0

DIAGRAMA DE CAUSA E EFEITO um mtodo grfico para auxiliar a anlise de problemas que facilita a identificao das causas de variao da caracterstica de qualidade em questo. A configurao do Grfico de Causa e Efeito permite separar organizadamente as quatro principais causas de variao: mquina, mtodo de trabalho, materiais e mo-de-obra (o meio ambiente tambm pode ser causa de variabilidade) a) Materiais: matria-prima no-homognea.

45

- A matria-prima difere levemente na composio conforme seja a fonte de suprimento e diferenas no tamanho podem ocorrer dentro de limites aceitveis; b) Mquinas: desgaste, uso inadequado ou falta de ajuste em ferramentas, mquinas ou equipamentos. - o equipamento pode parecer estar funcionando uniformemente, mas suas partes podem estar de alguma forma com pequenos desajustes, gastas ou no ser apropriadas para aquele uso. c) Mtodo: falta de padronizao no mtodo de trabalho. - o mtodo de trabalho, embora programado de acordo com o processo prescrito, pode conduzir a variaes no produto; d) Mo-de-obra: os operadores podem no estar adequadamente preparados para as tarefas. O Diagrama de Causa e Efeito, mostrado abaixo, feito no incio das operaes no sentido de se aperfeioar o processo.

materiais mtodo de trabalho

mquinas mo de obra

causa

qualidade

efeito

O Diagrama de Causa e Efeito til na ordenao das causas da disperso. A construo deste diagrama pode seguir os passos seguintes: 1) Determinar a caracterstica de qualidade de interesse. trata-se da caracterstica que se deseja melhorar ou controlar. Suponha que se est interessado em "defeitos na pintura" de um bem de consumo.

defeitos na pintura

2) Relacione os principais fatores que podem causar a falha como galhos do tronco principal

46

materiais

mtodo de trabalhomquinas

mo de obra

causa

defeitos na pintura

efeito

mesa de pintura

pistolabico entupido

estado da tinta:velha

embalagempontos de ferrugem

falta de ateno

manejo inadequadono se faz limpeza na pistola

excesso de p exposto ao tempo

local imprprio

Uma vez construdo o Diagrama de Causa e Efeito deve-se analisar todas as causas, quantificar o grau de intensidade das possveis causas e partir para eliminao dessas causas.

47

DIAGRAMA DE DISPERSO O Diagrama de Disperso um grfico que exprime o relacionamento entre duas variveis. Os dados so coletados aos pares (xi, yi) com i = 1, 2, ... ,n. Estes pares de pontos (xi, yi) so grafados e o possvel relacionamento entre as variveis X e Y aparece na forma do grfico. Exemplo Seja o processo de recobrimento de uma determinada pea com metal. O recobrimento feito com o metal fundido. A varivel X a quantidade de metal fundido utilizado em peso e a varivel Y a porcentagem de recobrimento com metal obtida.

Obs.(i) Yi Xi Obs.(i) Yi Xi Obs.(i) Yi Xi 1 10 6.0 8 50 11.0 15 80 14.0 2 10 4.0 9 60 12.0 16 85 13.0 3 20 6.0 10 65 12.0 17 90 14.0 4 20 8.0 11 70 13.0 18 90 14.0 5 30 7.5 12 75 13.0 19 95 16.0 6 40 8.5 13 70 12.0 20 95 17.0 7 45 9.5 14 80 14 21 98 18.0

Variable: Perc.recobr. Quant. metal ------------------------------------------------------ Sample size 21 21 Average 60.8571 11.5952 Median 70 12 Mode 20 12 Standard deviation 29.4776 3.80335 Standard error 6.43254 0.829959 Minimum 10 4 Maximum 98 18 Range 88 14 ------------------------------------------------------ O Diagrama de Disperso dos dados o seguinte:

4 7 10 13 16 19

Quantidade de metal fundido

0

20

40

60

80

100

120

Po

rcen

tag

em d

e re

cob

rim

ento

Diagrama de dispersao FittedObserved

O grfico revela que existe uma forte associao (correlao) entre as variveis X e Y. O tipo de relao linear (uma reta).

48

possvel se determinar a equao de regresso de Y para X, ou seja, a expresso dessa relao por meio da equao da reta:

y x e ii i i= + + =b b0 1 1 2 21, , , ...,

Regression Analysis - Linear model: Y = a+bX -------------------------------------------------------------------------------- Dependent variable: Perc. de recobrimento Independent variable: quant. de metal -------------------------------------------------------------------------------- Standard T Prob. Parameter Estimate Error Value Level -------------------------------------------------------------------------------- Intercept -26.6267 4.95328 -5.37558 .00003 Slope 7.54481 0.406846 18.5446 .00000 -------------------------------------------------------------------------------- Analysis of Variance -------------------------------------------------------------------------------- Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio Prob. Level Model 16468.706 1 16468.706 343.90 .00000 Residual 909.86548 19 47.88766 -------------------------------------------------------------------------------- Total (Corr.) 17378.571 20 Correlation Coefficient = 0.97347 R-squared = 94.76 percent Stnd. Error of Est. = 6.92009

Obs. (i) Yi Observado Xio Resduos Yi Ajustado 1 10 6.0 -1.35923 18.642 2 10 4.0 1.07371 3.553 3 20 6.0 0.21357 18.642 4 20 8.0 -2.08277 33.732 5 30 7.5 0.00621 29.959 6 40 8.5 0.37617 37.504 7 45 9.5 -0.00731 45.049 8 50 11.0 -0.94328 56.366 9 60 12.0 -0.57929 63.911 10 65 12.0 0.16130 63.911 11 70 13.0 -0.21634 71.456 12 75 13.0 0.52670 71.456 13 70 12.0 0.90190 63.911 14 80 14.0 0.14956 79.001 15 80 14.0 0.14956 79.001 16 85 13.0 2.01278 71.456 17 90 14.0 1.64610 79.001 18 90 15.0 0.52265 86.545 19 95 16.0 0.13972 94.090 20 95 17.0 -1.03911 101.635 21 98 18.0 -1.79442 109.180

Se o modelo proposto para a relao bom ento os resduos, diferena entre os valores de Yi observados e os valores de Yi ajustados correspondem a um rudo branco (sequncia de erros, valores aleatrios com distribuio N(0, s2)) Apresentamos a seguir o grfico probabilstico normal, para verificar se os resduos seguem uma distribuio normal.

49

-14 -9 -4 1 6 11 16

Residuos

Grafico Probabilistico Normal

0.1

1

5

20

50

80

95

99

99.9P

erce

ntu

al A

cum

ula

do

No MINITAB ns fazemos da seguinte forma: MTB > REGR C1 1 C2 C3 C4 The regression equation is Y = - 26.6 + 7.54 X Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant -26.6270 4.953 -5.38 0.000 X 7.5448 0.4068 18.54 0.000 s = 6.920 R-sq = 94.8% R-sq(adj) = 94.5% Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 1 16469 16469 343.90 0.000 Error 19 910 48 Total 20 17379 Unusual Observations Obs. C2 C1 Fit Stdev.Fit Residual St.Resid 4 8.0 20.00 33.73 2.10 -13.73 -2.08R 16 13.0 85.00 71.46 1.61 13.54 2.01R R denotes an obs. with a large st. resid.

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MTB > PRINT C1-C4 ROW C1 C2 C3 C4 1 10 6.0 -1.35923 18.642 2 10 4.0 1.07371 3.553 3 20 6.0 0.21357 18.642 4 20 8.0 -2.08277 33.732 5 30 7.5 0.00621 29.959 6 40 8.5 0.37617 37.504 7 45 9.5 -0.00731 45.049 8 50 11.0 -0.94328 56.366 9 60 12.0 -0.57929 63.911 10 65 12.0 0.16130 63.911 11 70 13.0 -0.21634 71.456 12 75 13.0 0.52670 71.456 13 70 12.0 0.90190 63.911 14 80 14.0 0.14956 79.001 15 80 14.0 0.14956 79.001 16 85 13.0 2.01278 71.456 17 90 14.0 1.64610 79.001 18 90 15.0 0.52265 86.545 19 95 16.0 0.13972 94.090 20 95 17.0 -1.03911 101.635 21 98 18.0 -1.79442 109.180

Se o modelo proposto para a relao bom ento os resduos, diferena entre os valores de Y ajustados (C4) e os valores de Y observados (C1) correspondem a um rudo branco" (sequncia de erros, valores aleatrios com distribuio N(0, s2)) MTB > SUBT C4 C1 C5 (aqu em C5 esto os erros, resduos) MTB > NSCORES C5 C55 (verificando se so normais mesmo) MTB > PLOT C55 C5 C55 - * - - * 1.2+ * - * - 2 - * * - * 0.0+ 3 - * - * * - * * - * -1.2+ * - * - - * --------+---------+---------+---------+---------+--------C5 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 MTB > CORR C55 C5 Correlation of C55 and C5 = 0.983 O valor tabelado a 5% e com um tamanho de amostra n = 21 0.952 portanto os erros tm distribuio N(0, 6.922). Observe agora se no existisse relao nenhuma entre as variveis X e Y: MTB > RANDOM 20 C7; (gerando 20 observaes da N(102, 1) SUBC> NORMAL 102 1. MTB > RANDOM 20 C8; (gerando 20 observaes da N(5, 1) SUBC> NORMAL 5 1.

Deste modo no deve existir nenhuma relao entre as v.a's.

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MTB > NAME C7 'Y2' C8 'X2' MTB > DESC C7 C8 N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN Y2 20 101.99 101.84 101.95 0.83 0.18 X2 20 4.802 4.777 4.810 1.302 0.291 MIN MAX Q1 Q3 Y2 101.02 103.71 101.20 102.74 X2 2.255 7.218 3.842 5.794

MTB > PLOT C7 C8 104.0+ - * Y2 - - - * 103.0+ * * - * - * - - * * 102.0+ * * - * * - * - * * - * 2 101.0+ * * - +---------+---------+---------+---------+---------+------ X2 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

O grfico uma nuvem de pontos aleatrios e veja a correlao: MTB > CORR C7 C8 Correlation of C7 and C8 = -0.181

A correlao extremamente baixa. No existe correlao entre entre C7 e C8.

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3.2.4- GRFICOS DE CONTROLE E O APERFEIOAMENTO DO PROCESSO 3.2.4.1- INTRODUO Como j se disse, pode-se obter o aperfeioamento de um processo de produo de duas maneiras: 1 ) Eliminao de um fator particular (causa especial) de variao. 2 ) Alterao na estrutura do processo. Os fatores particulares de variao so detectados por pontos fora dos limites de controle ou pela presena de um comportamento sistemtico, no aleatrio, no grfico de controle. Um dos principais objetivos no Controle de Qualidade a reduo da variabilidade no produto. Os fatores particulares so o motivo principal da falta de uniformidade dos itens produzidos. No existe um modo seguro e com base cientfica de se descobrir as causas da variabilidade ou seja de identificar fatores particulares de variao, a aplicao de Tcnicas Estatsticas. importante levar em conta que alteraes no processo com o objetivo de melhorar a performance do produto so devem ser executadas quando ele se encontra sob controle. Caso contrrio, os efeitos das modificaes podero ficar camufladas pela presena de causas especiais de variao. 3.2.4.2- USOS BSICOS DOS GRFICOS DE CONTROLE As aplicaes fundamentais dos Grficos de Controle so: 1 ) Verificar se em determinado perodo um processo estava sob controle. Isto feito examinando-se o grfico correspondente ao perodo de interesse. 2 ) Orientar a Administrao na manuteno do processo sob controle. Se o processo est sob controle possvel ignorar a flutuao catica das observaes, exceto no caso de ser notado alguma observao fora dos limites de controle. claro que deve-se olhar com ateno a ocorrncia de uma tendncia (um padro) em alguma direo. Isto indicao de que alguma coisa alm do acaso est influenciando o valor das observaes. O objetivo principal dos Grficos de Controle como se viu do exposto anteriormente fornecer informaes teis no aperfeioamento do processo. Quando se atinge o controle estatstico do processo tem-se vrias vantagens, tais como: . frao de defeituosos permanece constante (na mdia) . custos e ndices de qualidade sero previsveis . produtividade ser mxima com o sistema corrente . etc. Existem vrias razes para o uso dos Grficos de Controle, tais como: 1 ) O Grfico de Controle uma tcnica para melhorar a produtividade, pois: reduz desperdcio de insumos, de re-trabalho e consequentemente aumenta a produtividade, diminui os custos e finalmente a capacidade de produo aumenta (medida em nmeros de artigos bons por hora). 2 ) O Grfico de Controle eficaz na preveno de defeituosos, pois ajuda a manter o processo sob controle e portanto coerente com a filosofia faa certo na 1 vez. Se a empresa no tem um processo eficiente, voc est pagando algum para produzir artigos inadequados.

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3 ) O Grfico de Controle impede ajustamentos desnecessrios no processo, pois distingue entre rudo aleatrio e variao anormal. Nenhum outro meio, inclusive o operador humano, eficiente nesta distino. Se o processo ajustado sem base no Grfico de Controle, freqentemente, o que ocorre um aumento da varincia do rudo aleatrio e isto pode resultar na deteriorao da performance do processo. Assim, o Grfico de Controle coerente com a filosofia "se ele no est quebrado, no o conserte". 4 ) O Grfico de Controle fornece informaes para que o operador faa um diagnostico sobre o processo, podendo conduzir a implementao de uma mudana que melhore o desempenho do processo. 5 ) O Grfico de Controle fornece informao sobre a capacidade do processo, pois traz informaes sobre o valor de importantes parmetros do processo e sua estabilidade no tempo e, assim uma estimativa da capacidade do processo pode ser feita. Esta informao muito til para quem projeta o produto e o processo. 3.2.4.3- TIPOS DE GRFICOS DE CONTROLE Um Grfico de Controle varia conforme os dados que ele contenha. Conforme a caracterstica investigada seja uma v.a. contnua ou discreta tem-se um tipo de grfico. De forma que, se os dados so contnuos ele dever ser construdo com a mdia amostral, x , e com a amplitude amostral, R. J com dados discretos deve-se trabalhar com as estatsticas amostrais nmero de defeituosos (n $q ) e com a frao de defeituosos $q . Desta forma podemos classificar os Grficos de Controle nas categorias: a) Grficos de Controle por Atributos b) Grficos de Controle por Variveis No Grfico de Controle por Atributos um produto classificado como possuindo ou no um atributo ou qualidade. Assim, o produto atende ou no a uma especificao. Os itens que no satisfazem a especificao so denominados defeituosos. Muitas vezes o interesse da Administrao est na frao de unidades defeituosas em produo. Por outro lado, freqentemente est-se interessado na evoluo de uma caracterstica quantitativa (dimetro de um pino por exemplo). Neste caso trabalha-se com o Grfico de Controle por Variveis. Na verdade existem vrios tipos de Grficos de Controle, contudo com aplicao menos freqente do que os tipos citados acima. GRFICOS DE CONTROLE POR VARIVEIS No acompanhamento de um aspecto quantitativo da qualidade, em geral, se controla tanto o valor mdio daquele como sua variabilidade, atravs de grficos separados. O controle do valor mdio do desempenho do processo feito atravs do grfico de x (Grfico x ). A variabilidade do processo co