FACULDADE MAURICIO DE NASSAUCURSO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

MATEMÁTICA APLICADA

Teoria dos Conjuntos e Números Reais

Prof. Msc. Andréa Gonçalves

Belém - PA2014

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1 TEORIA DOS CONJUNTOS E NÚMEROS REAIS

1.1 Sobre a Teoria dos Conjuntos

A história da Teoria dos Conjuntos difere um pouco da maioria das outras áreas da Matemática, para as quais um longo processo de evolução de idéias, geralmente envolvendo várias pessoas trabalhando em paralelo, pode ser traçado. No caso da Teoria dos Conjuntos, pode-se dizer que ela é criação de um matemático em especial o alemão Georg Cantor. Seu doutorado sobre teoria dos números, permitiu um tratamento matemático mais adequado aos estudos sobre infinitos numéricos.

Estes artigos, no entanto, não davam nenhuma indicação de que Cantor iria alterar todo o curso da moderna matemática. Porém, em 1872, em uma viagem à Suíça, Cantor conheceu Richard Dedekind. Por seu profundo pensamento abstrato e lógico, Dedekind teve grande influência nas idéias desenvolvidas por Cantor. Em 1874 Cantor publicou um artigo no Crelle's Journal que representou a consolidação da Teoria dos Conjuntos. Ele demonstrou que: o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros positivos, pois, podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a potência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Cantor construiu a chamada Aritmética Transfinita, e por seu merecimento foi reconhecido por eminentes matemáticos como Kronecker e Hilbert.

Esta breve resumo, não dá conta é certo, a teoria dos conjuntos, mas, pretende ressaltar a importância das descobertas de Cantor e seus desdobramentos em relação à matemática como ciência, bem como, certas aplicabilidades que dela se fizeram usos. Assim, os conceitos e definições aqui estudados, serão extensivos ao estudo de funções, e suas analogias com o cálculos proposicional da lógica matemática importantes ao conhecimento desenvolvidos na área de tecnologias informáticas e sistemas computacionais, que deram origem à Lógica Paraconsistente ou lógica de Fuzzy e às teorias do Caos, Fractais e Catástrofes.

1.2 Conceitos Primeiros

Enquanto na Geometria Euclidiana costuma-se adotar, sem definição, as noções de ponto, reta e plano na teoria dos conjuntos as noções consideradas primitivas são as seguintes:

a) Conjuntob) Elementoc) Relação de Pertinência

Tais conceitos, foram definidos a partir de uma metalinguagem, assim estas ideias primitivas “conceitos primeiros", são consideradas explicáveis, mas não definidas por meio de operações ou teoremas da matemática. São vistas como postulados ou axiomas (verdades matemáticas, aceitas sem demonstração). Nesse sentido, certas afirmações como “o todo é maior que as partes” e que a reta é constituída de infinitos pontos, não precisam ser demonstrados, para serem aceitos.

1.3. Noção de Conjunto

A noção de conjunto, intuitivamente, pode ser designada como toda coleção bem definida de objetos, não importa de que natureza, considerados globalmente. A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum, onde, normalmente, associamos à idéia de conjunto a uma coleção de objetos de qualquer natureza, portanto, pode-se exemplificar outros conjuntos:

1. Conjunto de livros em uma biblioteca2. Conjunto de letras da palavra “Matemática"

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3. Conjunto de automóveis em fábrica 4. Conjunto de pessoas5. Conjunto de números naturais,6. Conjunto de números reais tal que x2 – 4 = 0

De modo geral, pensamos em conjuntos como uma coleção de objetos que compartilham de alguma propriedade em comum, por exemplo, em matemática é bastante comum considerarmos um conjunto de retas, um conjunto de triângulos, etc. No entanto, é importante ressaltar que esta característica comum entre os elementos não é necessária, e um conjunto que consista de objetos como: um carro, o número 3, uma porta e um aluno também é um exemplo aceitável de conjunto.

A notação de conjuntos geralmente utiliza letras maiúsculas: A, B, C, … X, Y, Z

1.4. Elementos

Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto. Por exemplo:

Ana é um elemento do conjunto de catarinenses, 1 é elemento do conjunto de números naturais, - 2 é elemento (solução, raiz) que satisfaz a equação x2 – 4 = 0, no conjuntos dos números reais.

Os elementos dos conjuntos são geralmente denotados por letras minúsculas: a, b, c, ... x, y, z

Assim o conjunto A cujos elementos são a; b; c é denotado por: A = {a, b, c}

1.5 Cardinalidade de um conjunto

Chama-se cardinalidade de um conjunto ao seu número de elementos. Assim o conjunto A={vogais de nosso alfabeto} possui cardinalidade 5, ou seja, A={a, e, i, o, u}. Representamos também as cardinalidade ou número de elementos de uma conjunto por n (A), logo n (A) = 5

2 Relações de Pertinência e Inclusão

2.1 Relação de Pertinência

Um conceito fundamental da Teoria dos Conjuntos é o de “ser membro" ou “pertencer" a um conjunto. Qualquer objeto que faça parte de um conjunto é chamado um “membro" ou um “elemento" daquele conjunto. Um conjunto é dito “bem-definido" ser for possível determinar, através de certas regras, se um dado objeto é membro de um conjunto.

Para denotar que o elemento x pertence ao conjunto X utiliza-se: x X; que é lido como “x é um elemento de X", ou “x pertence a X", ou ainda “x está em X".

Se o elemento “x” não pertence ao conjunto X denota-se: x X ; que é equivalente à negação da proposição “x está em X", ou seja, ~ (x X) ≡ x X.

A relação de pertinência é uma relação entre elemento e conjunto.É importante ressaltar, que nenhuma restrição foi colocada sobre que objetos podem ser membros de um

conjunto. Não é raro termos conjuntos cujos membros são também conjuntos, tais como:

S = {a, {1, 2}, p, {q}}

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É importante, ressaltar que o conjunto {q} que é um elemento de S. Assim, {q} pertence a S, mas, q, não é elemento de S. Veremos mais adiante, as partes de 'um conjunto.

2.2. Relação de Inclusão

A relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. A simbologia usada na inclusão é dada pelos símbolos: e suas negações. Diz-se que um conjunto X está contido num conjunto Y se e somente se todo elemento do

conjunto X é também elemento de Y. Simbolicamente tem-se:

X Y x (x X x Y)

Exemplo: Seja o conjunto X= {a, e, i, o, u} e Y= {a, e}. Neste caso, observa-se que Y esta contido em X ou ainda, ( X contém Y ) .

2.3. Conjunto UniversoAssim, por definição chama-se conjunto universo ou simplesmente universo de uma teoria, o conjunto de todos

os entes que são sempre considerados como elementos nesta teoria. Assim, por exemplo, na Aritmética, o conjunto de todos os números inteiros não negativos Z+= {0, 1, 2, 3, ...} é o universo. Em Geometria plana, o conjunto constituído de todos os pontos e de todas as retas, é o espaço, ou seja, R² (universo).

Exemplo: A declaração type em PASCAL especifica que o conjunto universo Alfabeto é o conjunto de todos caracteres no teclado, tais como A, 7, e %.

2.4 Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Estes conjuntos são obtidos a partir de conceitos ou definições. Assim, temos:

a) Conjunto Unitário: aquele que possui um único elemento. Ex: O conjunto solução da equação 3x+1=10, é o número 3.

b) Conjunto Vazio: não possui nenhum elemento. Pode ser obtido através de uma propriedade logicamente falsa. Ex. {x / x é ímpar e múltiplo de 2} = ØEx. {x / x z é uma vogal do alfabeto} = Ø

Nota: Como o número de elemento do vazio é 0, denota-se por n( )= 0. Tem-se que: P( )= { } partes do vazio que chamamos de conjunto unitário.

2.5 Conjuntos iguais

Diz-se que dois conjuntos são iguais se possuem os mesmo elementos. De outro modo, dados dois conjuntos A e B, dizemos que A=B, se e somente se, todo elemento de A mora em B e vice versa. Isto pode ser expresso em matemática por:

2.6 Subconjuntos e Conjunto das partes

Diz-se que A é subconjunto de B, se todos os elementos B estão contidos em A. Este conjunto é também conhecido como conjunto das partes. Usamos a notação simbólica de inclusão para descrever subconjuntos.

Assim, dizemos que:

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Exemplos:{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6}{a, b} {a, b}{x / x é par} {x / x é número natural}

Seja o conjunto A, dizemos que o conjuntos das partes de A, denotado por P(A) é formado por todas combinações possíveis entre os elementos de A, ou seja, combinação 1 a 1, 2 a 2, ... Assim, se A é formado por {1,2,3}, temos:

P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, Ø}. Logo, é possível deduzir que o conjunto A possui 8 subconjuntos. Note que o conjunto vazio e também o conjunto A, são partes dele mesmo. Daí decorrem as duas definições:

a) O vazio é subconjunto de qualquer conjunto.b) Todo conjunto é subconjunto dele próprio.

Podemos determinar o número de subconjuntos de qualquer conjunto, através da fórmula: 2n onde n, é o número de elementos do conjunto. Assim, se um conjunto tem 3 elementos, ele possui 8 subconjuntos, como mostra o exemplo acima. 3.0. Representação de Conjuntos

A fim de facilitar o entendimento de certas definições e demonstrações da Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por plano, delimitado por uma linha fechada qualquer, não entrelaçada. Esta representação recebe o nome de diagrama de Venn. Neste diagrama, os elementos do conjunto indicam-se por pontos internos ao recinto, e elementos que não pertencem ao conjunto são representados por pontos externos ao mesmo recinto.

Existem várias maneiras de representar um conjunto:

Diagrama de Venn

Geralmente, o conjunto universo é denotado pela letra U, num diagrama de Venn como o da figura acima.

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Exemplo: Um conjunto particular S pode ser descrito por uma propriedade característica.

S = {x | x par inteiro positivo}. Isto é lido como “o conjunto de todo x tal que x é par inteiro positivo".

D= { x ∊ N | 3 ≤ x ≤ 12} = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

F= { x ∊ Z | - 3 ≤ x < 2} = { - 3, -2, -1, 0, 1}

4.0. Conjuntos Numéricos

É conveniente padronizar certos conjuntos de números usuais na teoria dos conjuntos. São particularmente importantes os seguintes conjuntos numéricos:

a) Conjunto dos números naturais: N = { 0,1, 2, 3, 4, ...}

b) Conjunto dos números inteiros: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} ou Z= {0, 1, 2, 3, ...}

c) Conjunto dos números racionais. Seus elementos são todos os números que podem ser colocados na forma p/q, em que p Z e q 0 e q Z. Representa-se por Q.

Q=

d) Conjunto dos números reais R, é considerado a união dos conjuntos N, Z e Q. Geralmente, listar todos os seus elementos é impossível. Usa-se então, uma representação geométrica para ilustrá-lo, chamada reta real, como nos desenhos a seguir. R

e) Conjunto dos números complexos: C tem seus elementos números da forma a + bi, com a R, b R e . Este conjunto será citado aqui para efeito de conhecimento, mas, não será nosso objeto de estudo.

EXERCÍCIOS

1) Escreva os seguintes conjuntos:

a) {x Z| - 21 < x ≤ - 18} c) {x A | (x + 1) A}

b) {x Z* | - 4 ≤ x ≤ 4 } d) {x A | x é primo}

e) {x A | 3 < x <11} f){x A | x é par ≤10}

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5.0. ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

Quando se faz operações entre conjuntos tem-se um novo conjunto. Se uma operação sobre os elementos de um conjunto produzir resultados (imagem) que também são elementos do mesmo conjunto, então o conjunto é chamado de “fechado" para aquela operação e esta propriedade é chamada de propriedade de “fechamento". A definição de operações binárias e unárias implica que os conjuntos nos quais as operações são realizadas sejam fechadas para estas operações. A união e a interseção são operações binárias, associativas. Já o complemento é uma operação unária.

5.1 - Operações Unárias e Binárias

Operação Unária

Definição: Para se ter uma operação unária em um conjunto S, deve ser verdade que para qualquer x S, existe a operação de inverso x* que é única e pertencente a S.

Exemplos de operações unárias: Tomar o simétrico ou oposto de um número no conjunto Z. O conectivo de negação é uma operação unária de conjuntos proposicionais. S e P é proposicional, então, ~P é sua negativa. S e P: Ontem choveu. ~P: Ontem não choveu.

Operação Binária

Definição: Uma operação é binária em um conjunto S se para cada par ordenado (x ; y) de elementos de S, a operação x + y sempre existe e pertence ao conjunto S.

Exemplos de operações binárias: Operações binárias no conjunto Z: adição, subtração, e multiplicação. Quando se desenvolve a adição de um par ordenado de inteiros (x, y), a operação x + y existe e resulta unicamente em um número inteiro. Nota: A divisão não é uma operação binária em Z porque não existe x 0.

5.2. Operações entre Conjuntos

i) União ou Reunião

O conceito de união pode ser entendido como todos os elementos que são dos conjuntos X e Y “conjuntamente”. Ou seja, os elementos pertencem tanto ao conjunto X como ao conjunto Y . Representa-se a união (conforme 3.3) como:

X Y, ou seja: X Y = x (x X x Y )

Exêmplos:

A= { a, b, c, d} e B= { b, j, m, d} = { a, b, c, d, j, m}

A={ 2, 3} e B={ 1, 3, 3, 4, 5}= {1, 2, 3, 4, 5}

A= { 0, 1, 3, 5, 9} e B= { 2, 4, 10}= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10}

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União de Conjuntos

ii) Número de elementos da Reunião de Conjuntos

O número de elementos de um conjunto é representado simbolicamente por n(A), n(B) portanto, se um conjunto possui 5 elementos dizemos que n(A) = 5, e assim por diante.

Dados dois conjuntos, podemos determinar através de uma fórmula o número de elementos da união.

Considere os conjuntos: A={1, 3, 5, 7, 9} e B={2, 3, 5, 7}.Vamos aplicar a fórmula:

n(A)=5 ; n(B)= 4; ; . Assim, sendo temos:

= 5+ 4 – 3 = 6.

iii) InterseçãoA interseção dos conjuntos X e Y é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto X e ao

conjunto Y . Representa-se a interseção como:X Y ou seja: X Y = x (x X x Y )

Quando a interseção X Y de dois conjuntos X e Y é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são “disjuntos”. A figura 3.4 mostra a interseção entre dois conjuntos.

Exêmplos:

A= { a, b, c, d} e B= { b, j, m, d} = {b, d}

A={ 2, 3} e B={ 1, 3, 4, 5}= {1, 3, 4, 5}

A= { 0, 1, 3, 5, 9} e B= { 2, 4, 10}=

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Interseção entre Conjuntos

iii) Diferença

A diferença entre conjuntos X e Y é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto X e não pertencem ao conjunto Y, simbolicamente tem-se:

X – Y = {x | x X e x Y} = x (x X x Y)

Exêmplos:

A= { 2, 4, 9, 10} e B= { 2, 9, 11, 15}= A - B = { 4, 10}

A= { 2, 4, 6, 8, 10} e B= { 4, 6, 10} =A - B= { 2, 8}

A = { 2, 3, 6, 8} e B= { 4, 5, 7} = A - B= {2, 3, 6, 8}

A= {3, 5, 7} e B= { 1, 3, 5, 7, 9} = B - A = { 1, 9}

Exemplo: As figuras abaixo, ilustra através dos diagramas a diferença entre dois conjuntos X e Y.

Diferença entre conjuntosExemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 3, 4, 5, 7} , B = {1, 3, 4, 5} e C = {3, 5, 8, 9}. Tem-se:A – B = {7} , B – A = B – C = {1, 4} , C – B = {8, 9}

No exemplo, observa-se que A – B é diferente de B – A e B – C é diferente de C – B, isto é, a diferença de conjuntos não é comutativa.

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iv) Complementar

Seja U o conjunto Universo. Para qualquer conjunto X, o complemento de X, simbolicamente representado como X ou ainda , é composto por todo elemento x que pertencendo ao conjunto Universo, não pertença ao conjunto X, ou seja: X = U – X. Veja outra forma de representação:

Exemplo: Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, ..., 9} e B={1, 3, 5, 7} diz-se que o complementar de A em relação a B é CA

B = A – B ou ainda, {x / x A x B}. Logo, CAB = {0, 2, 4, 6, 8, 9}.

EXERCÍCIOS

1. Dados os conjuntos A={0, 1, 3, 4} ; B={2, 3, 4, 5, 7} ; C={4, 5} e D={5, 6, 7}, determinar as operações:a) b) c) d)

6.0. Produto Cartesiano

Intuitivamente, o produto cartesiano de dois conjuntos é o conjunto de todos os pares ordenados dos elementos do primeiro conjunto que pode-se formar com os elementos do segundo conjunto.

Definição: Supondo-se A e B serem conjuntos de um universo U. O produtocartesiano de A e B é denotado por A x B e é definido por:

A x B = {(x; y)| x A y B}

Exemplo: Dados os conjuntos A = {a, b} e B = {1, 2}, o produto cartesiano A x B é:

A x B = {(a, 1)(a, 2)(b, 1)(b, 2)}

Definição: Chama-se produto cartesiano ou apenas produto dos n conjuntos X1,X2, ...Xn, pela ordem em que estão escritos, ao conjunto de todas as n – uplas (x1, x2, ...xn) tais que x1 X1, x2 X2, ... xn Xn. Este conjunto produto

representa-se por uma das notações: X1 X2 ...x Xn ou

Os conjuntos X1, X2,...Xn dizem-se os fatores do produto cartesiano X1,X2 ...Xn, sendo X1 o primeiro fator até Xn

o n-ésimo fator.

Exercício: Dados os conjuntos: A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}. Obter: A x B; B x A; AxA e BxB.

6.1. Propriedades das Operações

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a) Propriedade AssociativaQuaisquer que sejam os conjuntos X, Y e Z, tem-se que:X (Y Z) = (X Y) ZX (Y Z) = (X Y) Z

b) Propriedade ComutativaQuaisquer que sejam os conjuntos X e Y , tem-se que:X Y = Y XX Y = Y X

c) Propriedade DistributivaQuaisquer que sejam os conjuntos X, Y e Z, têm-se que:

X (Y Z) = (X Y) (X Z)X (Y Z) = (X Y) (X Z)

d) Propriedade ReflexivaQualquer que seja o conjunto X, tem-se que:X X = XX X = X

e) Propriedade do FechamentoQuaisquer que sejam os conjuntos X e Y , então a união de X e Y , denotada por X Y e a interseção de X e Y

denotada por X Y , ainda são conjuntos no universo.f) Elemento neutro para a união

O conjunto vazio () é o elemento neutro para a união de conjuntos é tal que para todo conjunto X, se tem:X = Xg) Elemento neutro para a interseção

O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto X, tem-se: X U = X

h) Elemento nulo para a interseção

Se tomarmos a interseção do conjunto vazio, com qualquer outro conjunto X, teremos o próprio conjunto vazio. X =

7.0 Intervalos Numéricos

Intervalos, são representações geométricas de números reais sobre a reta. Estes intervalos, representam um conjunto de números, entre dois números reais como extremos. Assim, indicamos um intervalo por [a, b], cujas notações podem ser definidas por:

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Estes intervalos também podem ser representados na reta real por:

BIBLIOGRAFIA

DOMINGUES, Hygino & IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. Campus: Rio de janeiro, 2002.

FILHO, Edgar de Alencar. Teoria Elementar dos Conjuntos. Nobel: Rio de Janeiro, 1990.

IEZZI, Gelson. & MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. vol.1. Atual: São Paulo, 1993.

SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática para os Cursos de: Economia, Administração e Ciências contábeis. vol. 1. Atlas: São Paulo, 1999.

TIZZIOTTI, José Guilherme. Matemática 2º grau vestibular. Ática: São Paulo, 1982.

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