Apostila de Dinâmica I - V1r5
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Escola Politcnica da Universidade de So PauloDepartamento de Engenharia Naval e Ocenica
DINMICA DE SISTEMAS IMaterial de Apoio
Prof. Dr. Andr Lus Condino Fujarra
So Paulo, 2010.
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
2 1 Verso 1 sem. sem./2010 Data Texto em elaborao Observaes
Material de Apoio: Dinmica de Sistemas I Dept./Unidade PNV/EPUSP Data Maro de 2010 Autor: Prof. Dr. Andr Lus Condino Fujarra
Disciplina oferecida pelo pro programa de graduao da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo Paulo.
0
Identificao Bibliogrfica
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
SUMRIO1. PREFCIO .................................................................................................. 1 2. INTRODUO ............................................................................................. 2 3. SUBSDIOS A RESPEITO DA DINMICA DE SISTEMAS ...................... 11 4. MODELAGEM DE SISTEMAS DINMICOS ............................................. 25 5. INTRODUO ESTABILIDADE LINEAR ............................................. 39 6. LINEARIZAO E ESTABILIDADE NO LINEAR .................................. 46 7. VIBRAES AMORTECIDAS .................................................................. 52 8. EXCITAO HARMNICA DE SISTEMAS NO AMORTECIDOS ......... 59 9. EXCITAO HARMNICA DE SISTEMAS AMORTECIDOS .................. 64 10. SISTEMAS NO AMORTECIDOS COM 2GL........................................... 79 11. VIBRAO NATURAL DE SISTEMAS COM 2GL ................................... 85 12. VIBRAO FORADA DE SISTEMAS COM 2GL .................................. 90 13. ABSORVEDORES NO AMORTECIDOS ................................................ 92 14. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... 101 15. ANEXO A MODELAGEM E SIMULAO NUMRICA ....................... 102 16. ANEXO B TPICO EM LGEBRA LINEAR ........................................ 113
0
Sumrio
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
1. PREFCIORedao ao trmino do texto.
1
Captulo: Prefcio
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
2. INTRODUO
2.1 Os sistemas navais e ocenicos tpicos
Figura 1: Principais tipos de embarcao e uma possvel classificao quanto : aos mecanismos de manuteno do equilbrio e avano.
2
Captulo: Introduo
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Figura 2: Tipos de plataformas mais comuns. Evoluo ao longo do tempo e em funo da profundidade de operao. Fonte: (Clauss, 2007).
3
Captulo: Introduo
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Dinmica de Sistemas I
2.2 Definio dos movimentos
: Tabela 1: Denominao e ndices dos 6 graus de liberdade de sistemas navais e ocenico Fonte: (Simos & Fujarra, 2009). ocenicos. Graus de Liberdade Nomenclatura Portugus Avano Deriva Afundamento Balano ou Jogo Caturro ou Arfagem Guinada
ndice 1 2 3 4 5 6
Ingls Surge Sway Heave Roll Pitch Yaw
4
Captulo: Introduo
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Dinmica de Sistemas I
SISTEMA
SES Surface Effect Ship
TLP Tension Leg PlatformPerodo Natural Fora de Restaurao
Elasticidade dos tendes
2Compressibilidade do ar
4
1
navais e ocenicos tpicos, a adaptada de (Faltinsen, 1998) 1998).
Caractersticas
Dissipao induzida por efeitos viscosos
Dissipao induzida pelo prprio controle de sustentao e propulso a ar
Fora de Dissipao Importante
Tabela 2: Comparao entre ressonncias de heave em alguns siste : sistemas
Foras no lineares de onda nas frequncias soma
Foras lineares de ondas devido s altas frequncias de encontro entre estas ondas e a embarcao
Mecanismo de Excitao no entorno da Ressonncia
5
Captulo: Introduo
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Dinmica de Sistemas I
Navios de Deslocamento
SS Semi-Submersible Platform Submersible
Hidrosttica (proporcional rea de linha dgua)
Dissipao induzida pelo controle a partir de flios
Foras lineares de ondas devido s baixas frequncias de encontro entre estas ondas e a embarcao
SWATH Small Waterplane Area Twin Hull Sh ShipHidrosttica (proporcional rea de linha dgua)
20
Hidrosttica (proporcional rea de linha dgua)
4
16
Dissipao induzida por efeitos viscosos
Dissipao induzida pela radiao de ondas
Foras lineares de onda
Foras lineares de onda
6
Captulo: Introduo
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Dinmica de Sistemas I
2.3 Problemas tpicos e envolvidos na operao de navios
Tabela 3: Problemas tpicos envolvidos na operao de navios. : Problemas Tpicos Ilustraes
Pouso de um helicptero
Movimentos e aceleraes locais
Transferncia de equipamentos entre embarcaes
Slamming gua no convs Ondas quebrando sobre o casco Sloshing Momentos e esforos cortantes induzidos pelas ondas
7
Captulo: Introduo
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Tabela 4: Limites operacionais para navios tpicos. Navios Militares 0.275g 0.2g 0.1g 4.0 deg 0.03 0.05 Pequenas Embarcae s Rpidas 0.65g 0.275g 0.1g 4.0 deg 0.03 0.05
CRITRIO Acelerao Vertical na PPAv (valor RMS) Acelerao Vertical na Ponte (valor RMS) Acelerao Lateral na Ponte (valor RMS) Movimento de Roll (valor RMS) Batida de Proa ou Slamming (probabilidade) gua no Convs (probabilidade)
Navio Mercante 0.275g(L100m) 0.05g(L330)a 0.15g 0.12g 6.0 deg 0.03(L100m) 0.01(L300m)b 0.05
Tabela 5: Criteria with regard to acceleration and roll. Root Mean Square Criterion Vertical Acceleration 0.20g 0.15g 0.10g 0.05g 0.02g Lateral Acceleration 0.10g 0.07g 0.05g 0.04g 0.03g Roll 6.0o 4.0o 3.0o 2.5o 2.0o Description Light manual work Heavy manual work Intellectual work Transit passengers Captulo: Introduo Cruise liner
8
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
2.4 Problemas tradicionais envolvidos na operao de plataformas
9
Captulo: Introduo
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Dinmica de Sistemas I
2.5 Principais efeitos dos agentes ambientais2.5.1 Classificao hidrodinmica das estruturas
H/D
H D
Limite de Linearidade das Ondas
10
Foras Viscosas
Foras Inerciais Difrao de Ondas
5 Figura 3: Importncia relativa entre foras inerciais, viscosas e de difrao de ondas em estruturas martimas. Adaptado de (Faltinsen, 1998).
/D
10
Captulo: Introduo
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Dinmica de Sistemas I
3. SUBSDIOS A RESPEITO DA DINMICA DE SISTEMAS3.1 Movimento Peridico Em fenmenos fsicos, vibraes que acontecem mais ou menos regularmente, repetindo-se com relao ao tempo, so conhecidas como peridicas e descritas como oscilaes. Exemplos: movimento pendular, trepidao de uma ponte, movimentos de um navio, variao da tenso em um gerador eltrico, entre outros. O nome vibrao geralmente tem sido usado para descrever pequenas oscilaes dos sistemas dinmicos. Por pequenas entendem-se aquelas oscilaes associadas a deslocamentos pequenos, quando comparados s dimenses do sistema em estudo. As vibraes podem ser: Indesejveis, normalmente resultado de imperfeies associadas ao projeto, produo ou operao do sistema dinmico. Por exemplo: massas desbalanceadas em sistemas alternativos ou rotativos. Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas Desejveis, por exemplo, quando auxiliam no processo mistura ou de separao de componentes, ou em instrumentos musicais e instrumentos com propsito mdico.
Newman; Karniadakis (1995): Simulaes Numricas com Re = 100; L/D = 12,6 e m* = 2
Figura 4:
11
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
H ainda vibraes que resultam de um processo de instabilidade. Neste caso, se existe um constante fluxo de energia do meio para o sistema dinmico, as vibraes so ditas auto-excitadas, geralmente indesejveis e difceis de serem controladas. Exemplo: as vibraes induzidas pela emisso de vrtices. Sob qualquer aspecto, desejvel ou indesejvel, vibraes esto associadas a flutuaes de carregamentos, portanto, a flutuaes de tenses que se refletiro em falhas por fadiga dos elementos que compem o sistema dinmico. Alm disso, as vibraes podem ter outros efeitos relacionados com o conforto, a performance e a sade das pessoas sujeitas s mesmas (pessoas mareando com os grandes movimentos de embarcaes no mar). Desta forma, imperativo que o engenheiro entenda o mecanismo de vibraes dos sistemas dinmicos com os quais trabalha. Para estudar as vibraes, o movimento de um ponto analisado segundo as mudanas de sua posio no tempo. Para tanto, so utilizadas funes ( )= ( + ), = 1, 2, 3, peridicas ( ), cujos valores se repetem em intervalos constantes :
(1) Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
A menor quantidade
com a qual se satisfaz a equao acima conhecida satisfaz a equao.
como perodo de oscilao. Refere-se menor quantidade porque, obviamente, qualquer mltiplo de
Naturalmente, desta definio decorre a freqncia de oscilao, geralmente medida em Hertz (Hz): = 1
(2)
Ainda com relao funo peridica, a meia diferena entre os valores mximos e mnimos conhecida como amplitude de oscilao. = 1 ( 2 )
(3)
12
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Como exemplo de oscilao, considere-se o mecanismo conhecido como Scotch yoke.
A
tV x
x
Figura 5: Neste mecanismo, se o papel se mover com velocidade velocidade angular do movimento rotativo, a funo ( ) = = 2 =2
=
registrada, caracterizando um movimento peridico de amplitude
=
, onde
, freqncia (4)
(
) ser
a
Este mecanismo permite visualizar a reciprocidade entre o movimento rotativo e o movimento peridico.
13
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Figura 6: A velocidade e a acelerao do movimento peridico horizontal podem ser escritas como: ( )= ( )= ( )
(5) ) Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
O movimento peridico da figura abaixo no puramente harmnico no plano passa a se considerado um movimento harmnico. Neste sistema, o movimento ser expresso pela seguinte equao:(
( , ), mas pode ser reapresentado no sistema coordenado ( , )=
( )= ( )=
(
(6) ), no qual
=
(
)
,
=
2
(7)
14
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Enquanto no sistema ( , ), o mesmo movimento expresso por: Desta forma, qualquer movimento dado por uma equao do tipo: = + + ( )= = + ( )
Figura 7:
(8) Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
(9)
pode se representado por um movimento harmnico: = ( ) = (
, onde se
> :
)+
2
(10)
=
= 1
+
(11)
15
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Percebe-se que o movimento harmnico pode ser descrito completamente por apenas duas quantidades escalares: e , sendo graficamente representado por um diagrama de amplitudes versus freqncias.
Figura 8: Neste diagrama, o movimento harmnico representado por um ponto com um infinito nmero de pontos. Definem-se, portanto, as representaes: No Domnio da Freqncia; No Domnio do Tempo. Atravs das relaes apresentadas, pode-se facilmente transformar a representao harmnica de um domnio para o outro. Naturalmente a transformao do domnio do tempo para o domnio da freqncia impe a perda de informao quanto ao instante inicial engenharia, a no ser aquelas onde as vibraes so superimpostas. Duas oscilaes harmnicas so ditas sncronas quando tm a mesma freqncia (ou velocidade angular ). Exemplo de acoplamento sncrono: . Isto geralmente tem pouca importncia para um grande nmero de aplicaes em Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas coordenadas ( , ), enquanto a mesma representao no sistema ( , ) requer
16
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Dinmica de Sistemas I 3 10 , 4 10 3 10 , 2 (10 0,5)
(12)
importante destacar que oscilaes sncronas no tm, necessariamente, valores mximos ao mesmo tempo. Para o acoplamento anterior: 3 10 3 : = 0, 2 4 , 10 10 (13)
2
(10 0,5)
2
A defasagem 0,5 tem dimenso de ngulo e conhecida como fase. evidente que este conceito s pode ser aplicado no caso de oscilaes sncronas. Portanto, o movimento harmnico um caso particular do movimento peridico, este ltimo podendo ser algo do tipo:
0,5 . 10
(14)
Figura 9: Outra medida de vibrao, comum em engenharia, o valor RMS (root mean square), definido como:
17
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I 1 =
= No caso de funes harmnicas: ( )=
( ) ( ),
.
(15)
= 2
=
2
3.2 Representao complexos
Vetorial
2 = 2 e
+ 4
2
(16)
representao
atravs
de
nmeros
Uma forma conveniente de representar as oscilaes harmnicas atravs de nmeros complexos. Considerando-se parte do mecanismo Scotch-yoke (ver Aula1), Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
especificamente o disco que roda com velocidade angular , e assumindo-se ( ), o vetor representadas por coordenadas nos eixos das abscissas ( ) e das ordenadas que parte real e imaginria de um nmero complexo sejam respectivamente que une o centro do disco ao ponto de conexo com a haste z= + . pode ser representado por:
(17)
18
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
y P z
AO
x
Figura 10: Sabe-se, no entanto, que da teoria de nmeros complexos: = = = =| ( | )+ ( ), (18) (19)
onde o ngulo
yoke so representados pela parte real do nmero complexo = ( )= ( )
: (20)
Portanto, qualquer movimento harmnico corresponde rotao de um vetor de comprimento constante ou a um nmero complexo de magnitude constante A e velocidade angular constante . traz informaes sobre a amplitude
Percebe-se que o nmero complexo
e a fase do movimento, sendo conhecido com fasor do movimento harmnico. A representao de movimentos harmnicos atravs de fasores bastante conveniente, facilitando o tratamento dos problemas por mtodos grficos e/ou computacionais. Velocidade e acelerao do movimento harmnico tambm podem ser representadas por fasores no mesmo plano . = = (21)
19
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Desta forma, os deslocamentos da oscilao harmnica no mecanismo Scotch-
=
.
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
=
=
.
(22)
y(Im) -i z z =t = x(Re) - 2 z
.
Se dois movimentos harmnicos, com amplitudes iguais resultante ser dada por:
, tm freqncias
, portanto movimentos sncronos, ento a amplitude de oscilao = +
(23)
20
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Note que as defasagens 2 da velocidade ( ) e
Figura 11:
relao ao deslocamento ( ) advm da derivao do fasor
da acelerao ( ), com .
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
y(Im) x1(t) + x2(t)
x1(t) x2(t) x(Re)
Movimentos do tipo componente posio =
de um vetor de rotao com comprimento , como mostrado na figura abaixo.y(Im) z =t = xo x(Re)
=
+
(
Figura 12:
) tambm podem ser representados pela e velocidade
angular . Logicamente, este vetor dever ter seu ponto de aplicao na
x = xo + Acos(t)
Figura 13: A adio de vetores tambm aplicvel quando estes representam movimentos harmnicos assncronos. No entanto, a magnitude do vetor resultante ter diferentes valores com o passar do tempo, fruto da diferena entre as velocidades angulares de cada movimento harmnico. Um fenmeno que ilustra bastante bem este comportamento diz respeito a ocorrncia simultnea de dois movimentos harmnicos de mesma amplitude e
21
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I =2
freqncias (ou velocidades angulares, lembrando que diferentes. = ( )
) ligeiramente
Desta forma, sejam considerados os movimentos assncronos: = e ( + ) . ( + ) .
(24)
A sobreposio desses movimentos leva a: = + = ( )+
(25)
Da trigonometria, sabe-se que: + =2 (
Ento:
( + )2 2) ( +
( )2 . 2) .
(26)
=2
(27)
22
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
A amplitude de
uma velocidade angular de ( + =
Concomitantemente, o movimento geral tambm ser harmnico, porm com
acordo com o termo 2 cos (
varia com o tempo, assumindo valores entre 2 2) . 2).
Figura 14:
2
de
Este fenmeno conhecido como batimento, com freqncia da por: 2 2 = 4 . (28)
O movimento de deriva lenta, causado pelo fenmeno de batimento, ocorre em sistemas ocenicos sujeitos ao de ondas com freqncias muito prximas excitao de elementos estruturais como tendes, amarras e risers, cujos perodos naturais so bastante baixos. Por outro lado, a freqncia diferena . Neste caso, a freqncia soma alta e, portanto, importante na
23
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
baixa, portanto de perodo alto, capaz de excitar a unidade flutuante em seu perodo natural de oscilao no plano horizontal, dando origem ao movimento de deriva lenta.
24
Captulo: Subsdios a Respeito da Dinmica de Sistemas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
4. MODELAGEM DE SISTEMAS DINMICOSA modelagem completa de um sistema dinmico pode ser uma tarefa bastante complexa, se no forem priorizadas as caractersticas de maior interesse para o estudo dos aspectos indesejveis de sua resposta. Por exemplo: a eliminao das principais componentes de vibrao, em geral, suficiente para a maioria das aplicaes em engenharia. O estudo da dinmica de sistemas , assim, um processo sistmico desenvolvido segundo quatro etapas principais: 1. Abstrao fsica: consiste em selecionar, dentre as inmeras
caractersticas do sistema dinmico, aquelas que tm fundamental relevncia para o estudo em questo. evidente que havendo exigncia de uma maior preciso quanto a modelagem do sistema dinmico, mais caractersticas podem ser incorporadas ao modelo originalmente proposto. Exemplo:
Fase inicial do projeto
plataforma ancorada
Fase subseqente do projeto plataforma ancorada + linhas de produo
pertinentes. A abstrao fsica uma tarefa baseada na experincia do engenheiro. 2. Formulao matemtica: trata-se da aplicao das leis da fsica, buscando a obteno de uma ou mais equaes que descrevam o comportamento do sistema. 3. Soluo das equaes: consiste na soluo analtica ou numrica das equaes matemticas, buscando resultados que permitam anlises e concluses acerca do comportamento do sistema dinmico. 4. Interpretao dos resultados: como o prprio nome diz, refere-se ao processo de anlise dos resultados obtidos com a soluo das
25
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
Infelizmente no existem regras para a seleo das caractersticas
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
equaes. So direcionadas para a tomada de deciso quanto ao comportamento identificado. Neste contexto, considerando se que todo sistema dotado de massa e considerando-se elasticidade capaz de oscilar livremente, os objetivos iniciais na ma maioria das anlises de comportamento dinmico de sistema so: a correta modelagem matemtica, atravs da aplicao da II Lei
de Newton. e a determinao de sua freqncia natural.
No curso de Dinmica de Sistemas I, ser dada nfase aos sistemas com apenas um grau de liberdade, ou seja, aqueles cujo movimento pode ser descrito por apenas uma coordenada simples. Exemplos: pndulo simples, pisto que se move em um cilindro, eixo de manivela (virabrequim), entre outros. No entanto, existem sistemas onde so nec necessrias coordenadas para oordenadas
especificao do movimento. Esses sistemas so, portanto, caracterizados por n graus de liberdade. Exemplo: um navio que se move livremente na superfcie . do mar tem seis graus de liberdade: trs de translao e trs de rotao.
Figura 15: Para um sistema com vrios graus de liberdade, a boa escolha do sistema coordenado pode representar uma simplificao considervel da modelagem.
26
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Em contrapartida, at mesmo o sistema com apenas um grau de liberdade e uma coordenada mal escolhida pode se tornar bastante complicado. Cumpre destacar, ainda, que os sistemas dinmicos podem estar sujeitos a esforos de dissipao ou amortecimento. Para um grupo de problemas, so esforos moderados e, desta forma, desprezados no clculo da freqncia natural, j que tm pouca influncia sobre a mesma. Sistemas desta natureza so ditos conservativos e permitem a aplicao do Princpio da Conservao de Energia, que uma forma alternativa modelagem via II Lei de Newton (assunto da prxima aula).
Considere-se um sistema massa-mola ( , ) no amortecido cujo movimento4.1 Modelagem pela II Lei de Newton
se restringe apenas direo vertical. Portanto, um sistema com apenas um grau de liberdade.
g
k k k(+ +x) + m m x m v mgFigura 16:posio de equilbrio esttico
mg
a
Quando colocado em movimento, esse sistema o far segundo sua freqncia natural Newton. Desta forma, para o movimento com apenas a translao vertical, sabe-se que: = ( ) (29) , a qual pode ser obtida e analisada mediante a aplicao da II Lei de
27
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
e se para esse sistema a massa invariante no tempo: = = . (30)
esttico , e a respectiva fora na mola igual fora peso agindo na massa De acordo com a figura, como a deformao da mola na posio de equilbrio , ento: onde = a acelerao da gravidade. (31)
Assumindo-se a coordenada
positiva no sentido descendente, medida a partir
da posio de equilbrio esttico, todas as quantidades (foras, velocidades e aceleraes) so positivas neste mesmo sentido. Desta forma: = = ( + ) = .
(32)
A partir de uma associao com o movimento de rotao, definindo-se a freqncia circular como sendo: = + = 0,
e ento:
(34)
que a equao diferencial de segunda ordem caracterstica de um movimento harmnico com soluo do tipo: = ( )+ ( ),
(35)
28
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
(33)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
onde as amplitudes do problema
(0), (0) , ou seja: e = (0) (
so constantes dependentes das condies iniciais
Neste caso, a quantidade
dinmico em estudo, medida em Hertz.
=
=
) + (0)
(
).
(36)
a freqncia natural do sistema
Exerccio (resolvido):
Considere um cilindro slido, de raio
gua e com seu eixo axial perpendicular superfcie livre. Determine a freqncia natural de oscilao na direo vertical, assumindo que o cilindro mantm a direo de seu eixo axial. As densidades do cilindro e da gua so, respectivamente, Soluo: Assumindo que seja o deslocamento vertical a partir da posio de equilbrio , o que equivalente fora de Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos , ento de acordo com a II Lei de Newton: + = 0. =0 e .
e altura , parcialmente submerso em
esttico, o peso de gua deslocada
restaurao hidrosttica (princpio de Archimedes). Como a massa do cilindro
(37)
, ou seja:
+
(38)
sistema massa-mola ( , ), possvel deduzir que: = = 1 2 .
Portanto, da analogia direta desta equao com aquela deduzida para o
(39)
29
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Observao: Na prtica, sabe-se que parte do fluido prxima ao cilindro se acelera a partir da oscilao do mesmo, fazendo com que a freqncia natural seja menor que a calculada. Esta parcela fluida conhecida como massa adicional e depende da geometria e do prprio movimento (direo, amplitude e freqncia). Tambm pode se apresentada na forma de um adimensional conhecido como coeficiente de massa adicional ( ou ( ). + ) + = 0.
Considerando-se este aspecto:
(40)
A ttulo de exemplo, a figura mostrada a seguir traz o valor da massa adicional de movimento: duas translaes ( Assim, a massa adicional acelerao na direo advindo de uma rotao e para algumas geometrias de corpos bidimensionais em trs situaes usuais ) e uma rotao ( ). e
corresponde acelerao na direo .
;
representa o momento de inrcia adicional
contida no plano formado por
Figura 17:
30
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Exerccio (resolvido):
Movimento de rotaoaCG
b O
P1 k
P2 k c
Figura 18 A figura mostra uma barra uniforme de massa molas de compresso de rigidez , que gira em torno de , com 2. 1 e
presas em cada uma de suas extremidades.
A barra mantida na posio horizontal graas s pr-tenses
Determine a equao do movimento e a freqncia natural de oscilao. Soluo:
De acordo com a II Lei de Newton, o equacionamento para o movimento rotacional dado por: =
(41)
Sob rotao resultando em:
, a pr-tenso esquerda diminuda e a direita aumentada, + + . Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos =( ) + ( ) =
(42)
No entanto, do equilbrio esttico sabe-se que:
Desta forma:
= 0. + ( + ) = 0.
(43)
= (
) =
(44)
E, portanto:
31
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
= Observao: O momento de inrcia
(
+
)
=
1 2
(
+
)
.
(45)
igual ao momento de inrcia da barra em relao ao
seu centro de gravidade, mais a parcela de transferncia at o ponto .
4.2 Modelagem pelo Princpio dos Trabalhos Virtuais ou Princpio de DAlembert
Outro mtodo escalar utilizado para a modelagem de sistemas dinmicos baseado no princpio do trabalho virtual, inicialmente formulado por Johann J. Bernoulli, em 1792. Trata-se de um mtodo muito indicado para a modelagem de sistemas de corpos interconectados, o que ser discutido com maior profundidade em ocasio oportuna. Por hora esta aula se preocupar em introduzir seus conceitos bsicos, permitindo que o aluno se familiarize com sua aplicao. O princpio do trabalho virtual est associado ao equilbrio do(s) corpo(s), sujeito a ao de um conjunto de foras dado um deslocamento virtual, a soma dos trabalhos virtuais realizados pelas mesmas ser nulo. Neste enunciado os termos destacados so definidos da seguinte forma: Deslocamento virtual
uma variao imaginria e infinitesimal da
coordenada, aplicada de maneira instantnea. importante que esse deslocamento seja compatvel com as restries aos graus de liberdade do sistema. Trabalhos Virtuais
so aqueles realizados pelas foras ativas
mediante a aplicao do deslocamento virtual imposto. J que o deslocamento virtual no implica em mudana significativa na geometria
32
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
podendo ser enunciado da seguinte forma: Se a um sistema em equilbrio
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
do problema, as foras agindo sobre o sistema tambm so consideradas inalteradas para o clculo dos trabalhos. Tal como proposto por Bernoulli, o princpio do trabalho virtual um mtodo baseado na esttica do problema. Sua extenso para a condio dinmica foi viabilizada por DAlembert, em 1743, com a incluso do conceito de fora de inrcia. Desta forma, as foras de inrcia so consideradas como foras ativas em problemas dinmicos.
Exerccio (resolvido):
Aplicando o princpio dos trabalhos virtuais, determinar a equao que rege o movimento da barra rgida, de massa mostrado na figura abaixo.p0 f(t)
e comprimento
, carregada como
O k L/2 L/2
Figura 19: Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos Soluo: A barra rgida desenhada na posio deslocada de um ngulo indicadas as foras ativas, incluindo a de inrcia.2 .. (ML /3)
e sobre ela
p0 f(t)dx
kL/2 xFigura 20:
33
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
aplicado um ngulo virtual virtuais abaixo: Fora de inrcia:,
, a partir do qual so calculados os trabalhos
= = ( )
Fora de restaurao:
3 2 ) 2
, , ( ) 2 .
(46)
(47)
Carregamento distribudo:.
=
(
=
(48)
nulo,
Fazendo o somatrio desses trabalhos virtuais, e sabendo que ele deve ser 3 + 4 = 2 ( ).
= 0, ento:
(49)
Considere a dinmica de um sistema massa-mola, regida pela seguinte equao diferencial: + + =0
(50) ,
Efetuando uma multiplicao de todas as componentes pela velocidade necessariamente no nula, a seguinte igualdade mantida: =0 (51)
Esta equao pode ser reescrita na forma de derivadas:
34
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
4.3 Modelagem pela Conservao de Energia
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Integrando esta equao entre dois instantes conhecidos, 2
2
+
2
=0 e
(52)
tem-se que:
+
=0
Portanto, em sistemas deste tipo, ditos conservativos, onde se percebe a ausncia de componentes de dissipao, a energia total conservada permitindo que a equao do movimento seja obtida pela direta aplicao do princpio da conservao de energia. ( + )=0
cintica ( ) e uma parcela de energia potencial ( ). onde a energia total
( )+ ( )= ( )+ ( )=
2
=
( ) 2
( ) + 2
,
( ) 2
( ) 2
(53)
pode ser dividida em uma parcela de energia
(54) Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
Exerccio (resolvido):
Determine a freqncia natural do sistema mostrado na figura abaixo:k
r1 J
r2
m
Figura 21:
35
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Soluo: Assumindo que o sistema vibra harmonicamente segundo o ngulo = 1 2 + 1 2 . no
entorno de sua posio de equilbrio esttico, a energia cintica mxima ser: (55)
Por outro lado, a energia potencial mxima ser: = 1 ( 2 ) . (56)
Sabendo que:
( + )=0
1 ( + 2
)
+
1 2
=0
(57)
Ento : = + ,
(58) Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
Exerccio (resolvido):
Um cilindro circular de massa
e raio
ligado a uma mola de rigidez
,
como mostra a figura. Determinar a freqncia natural do sistema, quando o cilindro rola livremente sobre a superfcie horizontal, sem escorregar.
36
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
x
k m Jo
r
Figura 22: Soluo pela Conservao de Energia: A energia total do sistema consiste em energia cintica (de rotao e de translao) e em energia potencial, devendo se conservar com o passar do tempo. Desta forma:
onde =
Ento, para qualquer instante de tempo: 1 2 + 1 1 2 2 + 3 2 1 2 =0 = 0,
Como
no sempre nula, ento:
3 2
=
=0
(61)
+
(62)
portanto:
37
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
.
=
=
=
o momento de inrcia do cilindro e
1 2
1 2
,
,
(59)
(60) = = ,
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
= Soluo pela II Lei de Newton:
2 3
.
(63)
Para a translao na direo horizontal:x
kx
Fat
() Onde (i) a fora de atrito. ( ) = Em termos de rotao:
=
Figura 23: =
+
,
(64)
Substituindo (ii) em (i):
=
E, portanto:
1 2 =
2 . 3
3 2
=
= 0.
(66)
(67)
38
Captulo: Modelagem de Sistemas Dinmicos
=
1 2
=
1 2
.
(65)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
5. INTRODUO ESTABIL ESTABILIDADE LINEAR5.1 Classificao dos pontos de equilbrio
Um oscilador harmnico sub amortecido exibe o seguinte diagrama (espao) m sub-amortecido de fases.
Figura 24: Segundo esse diagrama, partindo se de diferentes condies iniciais partindo-se possvel, no caso a origem ( = 0, , o sistema conduzido para um nico ponto de equilbrio = = 0) , ,
Desta forma, o oscilador harmnico sub sub-amortecido um sistema dissipativo e Captulo: Introduo estabilidade linear o ponto de convergncia no diagrama de fases dito um atrator. Atratores s so possveis em sistemas dissipativos. Uma das formas de se referenciar a estabilidade de um sistema dinmi diz dinmico respeito determinao de possveis solues estacionrias ou pontos fixos fixos. Portanto, o ponto P* estacionrio ou fixo se:
Diz-se que P* : ,
=
,
=
= 0,0 0,0
(68)
Assintoticamente estvel se para:
( ), ( ) = ( )
(69)
39
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Estvel (estabilidade neutra) se a resposta do sistema a uma pequena
perturbao permanece pequena quando Instvel se para
Por exemplo, o sistema dinmico definido por: ( )= = . =
, a soluo cresce, se afastando de , = = 0,0
.
.
(70) um ponto de > 0.
tem soluo equilbrio.
e o ponto
ser assintoticamente estvel se, estvel se
= 0 e instvel se
5.1.1 Sistema geral com um grau de liberdade
Agora, seja dado um sistema dinmico, linear, definido pelas seguintes equaes de primeira ordem: = = + + = ( , ), = ( , ).
(71)
Este sistema ter ponto de equilbrio Assumindo a soluo geral do tipo: = +
,
(72)
O sistema inicial de equaes fica sendo dado por: ( ) + = 0, + ( ) = 0. (73) , 0,0 , o determinante
Para que este sistema tenha soluo no trivial, da matriz dos coeficientes dever ser nulo, ou seja:
40
Captulo: Introduo estabilidade linear
, .
em 0,0 .
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I ( ) ( )=
Para facilidade de notao, definem-se: ( )( )
( ) =
= 0.
(74)
( )= e a matriz Jacobiana: = Ento:
( ) = ( ) =
( ) ( )
(75)
( ) ( )
(76)
(77)
Novamente, admitindo-se ( ) = (
( )=
( ). , onde
(78) = = , chega-se a:
Onde
a matriz identidade, sendo
e autovetores da matriz Jacobiana. (
Desta forma, para se encontrar os autovalores deve-se garantir que: )=0 (80) =0
Voltando aos coeficientes do sistema original, tem-se: ( )( ) (81)
41
Captulo: Introduo estabilidade linear
) ( )=0
e ( ), respectivamente, os autovalores
(79)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Portanto, esta a equao caracterstica do sistema dinmico em estudo, que apresenta duas razes ponto de equilbrio Supondo: = ( )+( )
( ), ento a soluo geral do sistema ser do tipo: ( )=( ) ( )
=
e
,
=
, cujos valores determinaro a estabilidade do
= 0,0 .
(82)
essencialmente por Re(). Como Desta forma: Se
uma funo limitada, a estabilidade de
( ) ser ditada
o passar do tempo, caracterizando Por outro lado, se
( ) > 0, ( )
, quando
um ponto de equilbrio assintoticamente estvel. Ainda, se
de
quando
( ) = 0, as solues no se afastam, nem se aproximam, , permanecendo na sua vizinhana. Neste caso,
( ) < 0, ( )
, ou seja, a soluo cresce como como instvel.
quando
, o que configura
estvel (mas no assintoticamente estvel) e chamado de centro.
Classificao dos pontos de equilbrio de um sistema com dois autovalores De uma maneira mais geral, para um sistema com dois autovalores, classificao dos pontos de equilbrio a seguinte: >0
e
,a
(1)
e
so reais, distintos, e
e
Neste caso,ponto nodal.
tm mesmo sinal e o ponto > 0,
denominado um n ou
Se > 0 e Se
(2)
so reais,
1 tambm implica em rotas diretas para a origem, caractersticas de
58
Captulo: Vibraes amortecidas
ponto de equilbrio 0,0 um foco assintoticamente estvel);
< 1 implica em uma rota espiralada se aproximando da origem (o
= 1 implica em rotas diretas para a origem, caractersticas de
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
8. EXCITAO AMORTECIDOS
HARMNICA
DE
SISTEMAS
NO
Considere-se o sistema no amortecido mostrado abaixo, submetido ao de uma excitao harmnica do tipo: ( )= ( )
(131)
k
m
x F(t)
Figura 33: Captulo: excitao harmnica de Sistemas no amortecidos Desta forma, aplicando-se a II Lei de Newton, a dinmica deste sistema descrita pela seguinte equao: + = = ( ).
(132) e,
Esta equao pode ser reescrita dividindo-se todos os termos pela massa ento: + ( ),
(133) = .
Onde:
Sabe-se que esta equao diferencial linear no homognea tem soluo geral do tipo: ( )= ( )+ ( ),
=
a freqncia natural no amortecido e
(134)
Onde:
59
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I X (t) = X sin( t) + X cos( t) ( )=
a soluo da equao
homognea, ou seja, a soluo de
mesma caracterstica da fora de excitao ( ), quando
cos(t) uma soluo particular, que assume o . ( ) na equao diferencial linear no ( )= ( ) (135)
+
= 0;
Substituindo a soluo particular homognea, tem-se: ( )+ =
De acordo com esta equao:
E, desta forma:
( )+ ) ( ).
(136)
Portanto, a soluo geral do problema fica sendo dada por: ( )= ( )+ (
(138) ,
Se o sistema apresentar condies iniciais amplitudes ( )= ( )+ (
podem ser determinadas, resultando em: )+
(0), (0) =
, ento as ).
(
(139)
Neste ponto, dois casos particulares merecem uma anlise mais profunda.
60
Captulo: excitao harmnica de Sistemas no amortecidos
( )=
(137)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
8.1 O Batimento
Se as condies iniciais do problema so nulas geral se torna bastante simples: ( )= ( 2 ) (
(0), (0) = 0,0 , a soluo ) (140)
Ou seja:
( )=
Desta forma, quando
2
se aproxima do valor de .
+ 2
(141)
, verifica-se o fenmeno de e uma
batimento. Percebe um movimento ditado pela alta freqncia modulao da amplitude, dada pelo termo Exemplo: Para = 1,5 =2 e = 1,9
,
resposta do sistema dinmico.
Figura 34:
61
Captulo: excitao harmnica de Sistemas no amortecidos
, a figura abaixo mostra a
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
8.2 A Ressonncia
Suponha, agora, que a freqncia da excitao harmnica seja exatamente igual frequncia natural do sistema, ou seja, Neste caso, a soluo particular particular do tipo: ( )= ( cos( ) no representa mais a .
=
dinmica do sistema, necessitando-se a proposio de uma nova soluo ( )= )
(142) (0), (0) = ( ) ,
A qual, segundo aplicao de um procedimento anlogo ao anteriormente apresentado, e sob as mesmas condies iniciais ( )= ( )+ ( )+ = : 2 =2 seguinte soluo ( ) para o caso de = , leva
(143)
Exemplo: (0), (0) = 0,0 , com = 1,5
e
Figura 35:
62
Captulo: excitao harmnica de Sistemas no amortecidos
A figura abaixo mostra o comportamento dinmico do sistema, partindo de
.
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Note o carter ilimitado da resposta na condio de ressonncia, situao profundamente indesejvel na maioria dos sistemas dinmicos. Graficamente pode-se apresentar a amplificao das oscilaes funo da relao entre as freqncias . como
Figura 36: De acordo com a figura percebe-se que na situao em que =.
excitante esttica e a resposta do sistema o deslocamento esttico dado por Ento, para muito menor que a restaurao do sistema o fator dominante e o comportamento praticamente esttico. Para , a resposta aproxima-se de zero. Ento, para altas muito maior que , a inrcia o fator dominante,
= 0 a fora
freqncias de excitao,
e o sistema passa a no perceber as oscilaes foradas.
63
Captulo: excitao harmnica de Sistemas no amortecidos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
9. EXCITAO HARMNICA DE SISTEMAS AMORTECIDOSExcitaes harmnicas so frequentemente encontradas em sistemas mecnicos. Embora sua ocorrncia seja menos comum que as no peridicas ou aproximadamente peridicas, o entendimento do comportamento de sistemas excitados harmonicamente de importncia vital para a compreenso de sistemas excitados de maneira mais complexa. Neste contexto, considere-se inicialmente o sistema massa-mola-amortecedor, excitado harmonicamente e com apenas um grau de liberdade, conforme ilustrado na figura abaixo:
k
c
m F(t)Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Figura 37: Para esse sistema, a equao diferencial que rege a dinmica dada por: + + = ( )= ( ) (144)
Sabe-se que a soluo geral desta equao dada pela composio de sua soluo homognea (responsvel pela resposta transiente) com uma soluo particular (responsvel pela resposta permanente) semelhante excitao harmnica para todas as situaes de ( )= ( ) , ou seja: (145)
Onde:
a amplitude da oscilao e
a fase do deslocamento com relao
fora de excitao. Quanto esta soluo as seguintes observaes se fazem necessrias:
64
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Aps algum tempo, praticamente s a resposta permanente se mantm; O efeito das condies iniciais (grande parte garantido pela soluo
homognea) vai diminuindo com o passar do tempo; Quando
(homognea e particular) coexistem todo o tempo.
= 0, portanto um sistema no amortecido, ambas as solues ( ) na equao diferencial que rege a dinmica do
Voltando ao sistema proposto, amplitude e fase so encontradas substituindo a soluo particular movimento.
importante destacar de aulas passadas que, em movimentos harmnicos, as fases da velocidade e acelerao encontram-se adiantas com relao ao deslocamento, respectivamente de 90o e 180o. Em termos vetoriais possvel apresentar a equao diferencial do movimento da seguinte forma:2 mX
F0 X kX
c X
Figura 38: E, portanto, chegar-se s seguintes relaes para = ( ) +( ) e : (146)
=
(147)
Que podem ser reescritas utilizando as seguintes informaes j conhecidas:
65
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I =
De tal forma que:
=
=2
a freqncia natural do sistema no amortecido; o amortecimento crtico; o coeficiente de amortecimento. = =2 e as equaes da amplitude e fase 1
podem ser colocadas nas formas adimensionais que se seguem: = 1 + 2
(148)
Onde
conhecido como fator de amplificao ou fator de magnificao.5 4.5 4 3.5 3 Xk / F0 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 /n 2 2.5 3
= = = = = = = = = = = =
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00
Figura 39: E a fase entre a fora de excitao e o deslocamento, dada por: = 1 2 ,
(149)
66
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Estas equaes indicam que a amplitude e a fase so funes somente da relao entre frequncias e do coeficiente de amortecimento . As curvas
mostram que o coeficiente de amortecimento tem grande influncia sobre a amplitude e a fase do movimento prximo ressonncia. De acordo com a relao entre freqncias podem ser identificadas trs condies principais:
Quando,
pequenas, o que resulta em um ngulo de fase pequeno. A magnitude da fora excitante praticamente igual fora de restaurao e, portanto, o deslocamento tende ao deslocamento quase-esttico;
1 as foras de inrcia e de amortecimento so
Quando,
agora grande, balanceada pela fora de restaurao, considerando-se que a fora excitante supere a fora de amortecimento. Em particular, a amplitude na ressonncia ser dada por:
= 1, o ngulo de fase ser igual a 90o. A fora de inrcia, = ;
Quando
de inrcia.180 160 140 120 100 = = = = = = = = = = = = 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00
80 60 40 20 0 0 0.5 1 1.5 /n 2 2.5 3
Figura 40:
67
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
excitao quase totalmente despendida na superao da grande fora
1, o ngulo de fase se aproxima de 180o e a fora de
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Finalizando, a resposta dinmica geral do sistema massa-mola-amortecedor pode ser expressa da seguinte forma: ( )=( )
+
1 2
+
,
(150)
Onde:
so determinados pelas condies iniciais do problema e = 1 .
(151)
9.1 Resposta no Domnio dos Nmeros Complexos
da dinmica do sistema referem-se parte imaginria dessas foras. Por outro lado, se com a parte real.
se ( ) =
Considerando-se a representao vetorial no domnio dos nmeros complexos, ( )= (
(
), a magnitude das foras que compe a equao diferencial ), ento a magnitude as foras estariam relacionadas
harmnica de uma forma mais geral, qual seja: ( )= ( )+(
Desta forma, a soluo particular pode ser escrita como: ( )=)
(
) =
(152)
Onde:
Substituindo esta soluo na equao diferencial do movimento: ( + + ) = (154)
=
.
=
(153)
Ou seja:
68
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Levando-se isso em considerao, pode-se representar a fora de excitao
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
=
(
)+ (
)
=
1 1
+
2
(155)
Introduzindo-se, ento, a definio de resposta no domnio dos nmeros complexos: ( )= percebe-se = uma
1
+ 2 apenas da relao
(156)
Novamente, freqncias
Parte real e parte imaginria de 1
e do coeficiente de amortecimento . dependncia 2
entre
e dividindo-se sua equao pelo complexo conjugado, o que resulta: ( )= 1 + 2 1 1 2 + 2
( ) podem ser identificadas multiplicando-se
(157) Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Esta equao mostra que na ressonncia a parte real se anula e a resposta do sistema dada pela sua parte imaginria. Desta forma:
=
(
= 2
)
=
(158)
Alm disso, facilmente identificada a fase do movimento: ( )= 1
(159)
69
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I ( )
9.2 Relao entre
e a largura de banda da funo de transferncia,
Hmax( ) (0,5) Hmax( )
( 1 / n )
( 2 / n )Figura 41:
( /n ) /
entre as duas relaes de freqncias, do fator de amplificao mximo,
Define-se como largura de banda de um espectro de resposta a diferena = Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos =1 2 . definidas 0,707
Assumindo-se que o termo de dissipao seja linear, de transferncia do sistema dinmico , amortecimento . De fato, substituindo amplificao: ( )=
uma relao direta entre a largura de banda ( )= = 1 2
( ), seja de banda estreita, existe
, e que a funo
0,707 1 2 na equao do fator de 1 + 2
e o coeficiente de
1
(160)
E elevando ao quadrado cada um dos seus termos, chega-se a:
70
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I 1 1 2 2 1
=
1
+ 2
(161) , esta equao (162)
Trabalhando-se algebricamente em funo da relao pode ser posta na forma: 2(1 2 ) : = (1 2 ) 2 1 + (1 8 ) = 0
Cuja soluo para
(163)
Assumindo-se que, em geral, o coeficiente de amortecimento chega-se ao seguinte resultado:
muito menor
que o valor unitrio e, alm disso, desprezando-se termos de segunda ordem, = 12 .
Considerando-se, ainda, que razes dessa equao: 4 = = ( + )(
E, portanto:
=2
=
=12 e =2 ) 2
(
)
= 1 + 2 sejam as =
(165)
2
(166)
Este um mtodo de determinao do coeficiente de amortecimento viscoso a partir da amplificao mxima de um sistema dinmico com espectro de resposta de banda estreita.
71
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
(164)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Outro mtodo consiste no seguinte. Sabe-se que a soluo geral do sistema sub-amortecido do tipo: Esta resposta ser mxima sempre que o termo sin( ( ) = ( ) = 2 ( ) = ( ) = 2 2 1 ( )= ( + ) + ) = 1. Desta forma,)
(167)
supondo duas amplitudes mximas sucessivas, possvel estabelecer a seguinte relao:( ) (
=
(168)
Onde:
(169)
E, finalmente, j que
muito menor que o valor unitrio: ( ) = ( ) 1 2 (170) Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
De uma maneira geral, no caso de mais ciclos a serem considerados: ( ) 2 = ( ) 1 2 . (171)
72
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Para o sistema massa-mola-amortecedor, ilustrado na figura abaixo (Exerccio resolvido:
= 68 e = 4), pede-se determinar a soluo geral ( ), sabendo-se que: A fora de excitao tem a forma =0e ( = 1) = 5 e ( = 2) = 16. = ( )= = 1. + + , com:
( = 0) = 0;
= 1,
As condies iniciais so
k
c
m F(t) x(t)
Figura 42: Soluo: Determinando os parmetros da fora de excitao parablica: (0) = 0 + 0 + = 0 = 0 (1) = + = 5 2 = 4 = 2 (2) = 4 + 2 = 16 ( )=3 +2 . =3 Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
(172)
Portanto:
(173)
Tem-se portanto a seguinte equao diferencial para a dinmica do sistema proposto: + 4 + 68 = 3 +2
(174)
Determinando a sua soluo homognea:
73
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I + 4 + 68 = 0 + 4 + 68 = 0,
com
equao
caracterstica
cujos
autovalores so:
=
E, portanto:
Determinando sua soluo particular, considerando-se que tenha a forma: ( )= + + (177)
( )=
4 16 272 = 2 8 2 (8 ) +
(175)
(8 )
(176)
Nesta forma:
( )=2
Substituindo na equao dinmica do sistema: 2 +8 + 4 + 68 + 68
Esta equao deve satisfazer as seguintes equaes:
= 2 290 + 140 + 68 = 16. Resolvendo o sistema de trs equaes a trs incgnitas, chega-se aos valores geral para x( ): ( )= das constantes , , e , sendo possvel a construo da seguinte equao ( )= (8 ) + (8 ) + + (181)
= 1 78 + 72 + 68 = 5;
=0
+ 2 + 34 = 0;
+ 68 = 3
+2
(180)
( )+
74
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
( )=2
+
(178)
(179)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Para a determinao das constantes incgnitas.
e
deve-se substituir os valores das
condies iniciais e resolver o novo sistema de duas equaes a duas
9.3 Movimento da Base
Ao contrrio da excitao devido a uma fora harmnica, existem situaes onde o sistema dinmico excitado pela movimentao do plano de sustentao, ou sua base.
k/2
c
k/2
y(t)
m x(t)
de sustentao do sistema, e de ( ) = da massa sua dinmica ser dada por:
o deslocamento harmnico da base( )
a partir de sua posio de equilbrio, ento a equao que rege = ( ) (( ) + + = +
=
o deslocamento
(182)
O que implica em:
Substituindo as solues ( ) e x(t) nessa equao diferencial, tem-se: ( + + ) =( + )
(183)
(184)
75
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Neste caso, chamando-se de ( ) =
Figura 43:
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Ou seja: = (
+
Desta forma, o fator de amplificao de base ou fator de magnificao de base do sistema ser obtido calculando-se o mdulo dessa ltima relao: =| ( )| = ( +( ) ) +( ) = 1+ 2
)+
(185)
1
+ 2
(186)
De maneira anloga quela adotada em aulas passadas, pode-se, ainda, obter o ngulo de fase relativa entre os movimentos: ( )= 1 2 + 2 = = = = = = = = = = = = 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00
(187)
5 4.5 4 3.5 3 |Hbase| 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 /n 2 2.5
3
Figura 44:
76
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Construindo-se o grfico do fator de amplificao de base como funo da relao entre as freqncias do sistema, percebe-se o aparecimento de um novo ponto relevante no espectro de resposta. Segundo o grfico, independente do coeficiente de amortecimento do sistema, todas as curvas de resposta apresentam o mesmo valor = 2. = 1,0 para a relao:
(188)
Em termos de fase relativa entre os movimentos, o grfico como funo da relao entre as freqncias mostra que depende do coeficiente de amortecimento .180 160 140 120 100
(
=
) no nico neste ponto e= = = = = = = = = = = = 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00
80 60 40 20 0 0 0.5 1 1.5 /n 2 2.5 3
Figura 45:
77
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Exerccio sugerido:
Para o movimento de base ilustrado na figura abaixo,determine a equao geral do movimento da massa = 0,1 e = 10. . Para tanto, considere: =0e = = 0.
= 1;
= 20;
= 2;
Como condies iniciais, admita:
k/2
c
k/2
y(t) = Y sen(t)
m x(t)Figura 46:
78
Captulo: excitao harmnica de Sistemas amortecidos
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
10.SISTEMAS NO AMORTECIDOS COM 2GLPara o equacionamento da dinmica de sistemas com dois graus de liberdade, 2GL, o procedimento adotado similar quele aplicado para sistemas com apenas um grau de liberdade. Com base nas Leis de Newton, pode-se apresent-lo resumidamente da seguinte forma: 1. Primeiramente, o sistema modelado considerando-se o agrupamento de corpos rgidos conectados por elementos elsticos de massa desprezvel; 2. O equilbrio esttico do sistema , ento, determinado; 3. Definem-se as coordenadas necessrias para descrever a
geometria/dinmica do problema. Em gera, conveniente selecionar as coordenadas de translao do centro de massa e as rotaes a partir desse ponto. As direes positivas devem ser definidas; 4. O sistema deve ser tirado de sua condio de equilbrio, impondo-se deslocamentos finitos, sem que se viole as restries impostas pelos vnculos; 5. Nessa condio, um diagrama de corpo livre deve ser construdo de momentos agindo sobre as massas devido aos elementos elsticos, assim como as demais foras e momentos do sistema; 6. Em seguida, as aceleraes de translao e angulares do centro de massa dos corpos rgidos do sistema devem ser expressas como funo do sistema de coordenadas adotado; 7. Ento, a II Lei de Newton pode ser aplicada, tantas vezes quantos forem os movimentos de translao do centro de massa e de rotao ao redor do mesmo. A ttulo de exemplo, considere-se o sistema ilustrado na figura abaixo, representando de forma simplificada a suspenso de um automvel Captulo: Sistemas No Amortecidos com 2GL acordo com as coordenadas selecionadas, computando-se foras e
79
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
(desconsiderados os elementos de amortecimento), para o qual aplica-se o procedimento descrito.L L
CG
k1
k2
Figura 47: Desta forma: 1o. Passo: assume-se que a barra representado o automvel rgida e tem peso e inrcia . Concomitantemente, as molas e tm massa desprezvel e comportamento linear quanto restaurao. 2o. Passo: assume-se que a barra ilustrada na figura acima j esteja na condio de equilbrio (posio horizontal), portanto, que as molas j estejam parcialmente comprimidas pelo peso prprio da barra. 3o. Passo:, os deslocamentos verticais de cada extremidade da barra so selecionados como coordenadas, considerando-se desprezveis quaisquer movimentos na direo horizontal. Captulo: Sistemas No Amortecidos com 2GL extremidades da barra sejam deslocadas de xW
4o. Passo: a partir da condio de equilbrio, assume-se, agora, que as
x .
x1 k1 x1CG
x
k2 x2
x2
W 2
W 2
Figura 48
80
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
5o. Passo: conforme ilustrado na figura anterior, desenha-se o diagrama de corpo livre, considerando-se as foras e reaes nos vnculos, devidas ao carregamento esttico imposto pela mesma.
x , a fora peso W e as
6o. Passo: o deslocamento vertical do centro de massa CG e a rotao so, ento, escritos como: = + 2
(189)
=
Neste caso, a relao apresentada para a rotao considera pequenos deslocamentos. Diferenciando duas vezes com relao ao tempo, chega-se s seguintes aceleraes consideradas: de translao = e de = rotao, + 2 funo das coordenadas
2
(190)
(191)
7o. Passo: aplica-se a lei de Newton, obtendo-se: = ( + 2 ) =
=
Obviamente, as foras e os momentos provenientes do equilbrio esttico so eliminados naturalmente, resultando o seguinte sistema de equaes:
2
=
+
2
+
2
+
2
(193) 2
(194)
81
Captulo: Sistemas No Amortecidos com 2GL
==
x x 2L
(192)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I + +2 +2 +2 =0
O leitor pode verificar que uma formulao diferente decorre da seleo de
2
=0
(195)
e
como coordenadas. Neste caso, o sistema equivalente de equaes que rege a dinmica do sistema no amortecido com dois graus de liberdade fica sendo dado por: +( + ) +( ) =0 +( ) +( + ) =0
(196)
10.1 Forma Matricial
A forma matricial de apresentao das equaes que regem a dinmica de sistemas com mais graus de liberdade, alm de facilitar o tratamento matemtico, permite analogia direta com as discusses at aqui conduzidas para um grau de liberdade. Assim, tomando-se como exemplo o sistema de equaes (2), a apresentao na forma matricial ficaria sendo dada por: + = 0 = ) ) ( ( + ) )
(197)
= E a matriz de restaurao dada por: = = ( + (
(198)
a matriz de rigidez
(199)
Por sua vez, os vetores generalizados de acelerao e deslocamento dados por: = =
(200)
82
Captulo: Sistemas No Amortecidos com 2GL
Onde a matriz de inrcia dada por
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
= A respeito da matriz de inrcia argumentos
=
(201)
, h que se comentar a generalidade dos .
, atentando para a considerao de inrcia quando se tratarem
de movimentos de rotao, neste caso particular
No que se refere soluo do sistema, esta tambm poderia ser apresentada na forma matricial, permitindo analogia direta com os procedimentos adotados para o caso de um nico grau de liberdade: = = (202)
10.2 Classificao segundo o acoplamento
Com base na caracterstica das matrizes de inrcia e rigidez, o acoplamento das coordenadas que regem a dinmica de um sistema com 2GL pode ser classificado da seguinte forma:
Acoplamento esttico: Existe quando a matriz de inrcia diagonal e a matriz de rigidez no diagonal. Acoplamento dinmico: Ao contrrio do acoplamento esttico, existe quando a matriz de inrcia no diagonal e a matriz de rigidez diagonal. Acoplamento esttico e dinmico: Existem, ainda, os casos em que ambas as matrizes, de inrcia e de rigidez, so no diagonais. Captulo: Sistemas No Amortecidos com 2GL
importante destacar que o tipo de acoplamento pode ser alterado, dependendo do sistema de coordenadas adotado. Desta forma, um sistema acoplado estaticamente pode passar a ser equacionado segundo um acoplamento dinmico pela simples adoo de um novo sistema de coordenadas.
83
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Obviamente, o equacionamento dinmico segundo um ou outro tipo de acoplamento vai implicar na melhor forma de anlise e soluo do problema. Como ltimo comentrio vale lembrar que a representao na forma matricial e a classificao do acoplamento podem ser aplicadas para sistemas com mais de dois graus de liberdade.
Exerccio (proposto):
Mostre que o sistema ilustrado abaixo, onde o centro de massa no coincide com seu centro geomtrico, apresenta um sistema de equaes com acoplamento dinmico se as coordenada adotadas forem Neste caso, isto = o deslocamento vertical de um ponto .L1 L2
e . ao longo da barra no
qual a aplicao de uma fora tambm vertical produz uma translao simples,
D
CG
k1 e
k2
Figura 49:
Resposta:
+
(
+ 0
)
(
0 +
)
=
0 0
(203)
84
Captulo: Sistemas No Amortecidos com 2GL
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
11.VIBRAO NATURAL DE SISTEMAS COM 2GLRetomando-se o sistema dinmico da aula passada, na ausncia de amortecimento e de fora externa de excitao, de maneira geral o sistema de equaes diferenciais que rege seus movimentos dado por: + + + + + + =0 =0 (204)
L
L
CG
k
k
Figura 50:
Como foi visto, dependendo dos termos:
,
,
e
, pode-se ter um
acoplamento do tipo dinmico, esttico ou ambos simultaneamente. Obviamente, os termos de acoplamento dependero do sistema de Captulo: Vibrao Natural de Sistemas com 2GL coordenadas adotado. Anlogo ao procedimento adotado para um oscilador harmnico com um grau de liberdade, pode-se avaliar a vibrao natural do sistema com dois graus de liberdade em uma freqncia (ainda desconhecida). = =
Para tanto, assumem-se movimentos harmnicos do tipo: (205)
Onde as amplitudes de movimento indeterminadas.
e
, por enquanto, ainda so
Substituindo-se estes movimentos no sistema de equaes diferenciais, obtido o seguinte sistema de equaes algbricas lineares:
85
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I ( ( + + ) ) + ( + ( + + ) ) =0 =0
(206)
Caso este sistema tenha soluo, ento os movimentos harmnicos assumidos sero soluo para a dinmica do sistema com dois graus de liberdade. Sabendo que o sistema de equaes algbricas lineares homogneo, s haver soluo se: ( ( + + ) ( ) ( + + ) =0 )
(207)
Este determinante conhecido como determinante de freqncias e a equao que dele advm conhecida como equao de freqncias. J que, em geral, a equao de freqncias fornece duas razes distintas, pode-se concluir que o sistema poder vibrar harmonicamente em duas freqncias e , ditadas exclusivamente pelos parmetros de massa e rigidez do sistema. As amplitudes de movimento, valor de e , no so arbitrrias j que, para cada( )
, haver apenas uma equao relacionando essas amplitudes. =1 e( )
respectivamente:( ) ( )
= =
Onde os ndices sobrescritos referem-se s frequncias naturais
+ +
(208)
e
.
Conclui-se, desta forma, que um sistema com 2GL pode apresentar vibraes naturais em duas freqncias distintas,( ) ( ) ( ) ( )
e
, e a cada uma dessas
frequncias corresponder uma nica razo entre as amplitudes: (209)
86
Captulo: Vibrao Natural de Sistemas com 2GL
Desta forma, assumindo-se, por exemplo:
= 1, tem-se
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
As freqncias( ) ( )
Os modos naturais significam que o sistema tem uma vibrao natural na freqncia , se em um instante , ao deslocamento coordenado( )
,
e
( )
,
e
( )
so conhecidas como freqncias naturais e os pares descrevem os modos naturais de vibrao do sistema. =1
corresponder um deslocamento coordenado
=
.
Exerccio resolvido:
Considere-se o sistema no amortecido da figura abaixo.
x1 k m k 2m
x2 k
kx1 m
k(x1-x2) 2mFigura 51:
kx2
suas equaes diferenciais so dadas por: 2 + ( )+ ( ) = =
Assumindo-se soluo harmnica do tipo:
=0 =0
(210)
(211)
Sua substituio no sistema de equaes diferenciais resulta em: (2 ) + (2 2 =0 ) =0 (212)
87
Captulo: Vibrao Natural de Sistemas com 2GL
Utilizando-se as coordenadas
e
a partir da posio de equilbrio esttico,
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Este sistema ter soluo para quaisquer (2 )
Assumindo-se
3 3 = 2 2 3 3 2+ 2
=
(2 2 +
e )
2,366
0,634
= 0, cujas razes sero: 2,366 0,634 (214)
=0
se: (213)
Substituindo estas freqncias naturais no sistema de equaes algbricas lineares, so obtidas as respectivas relaes entre amplitudes de movimento:( ) ( )
( )
( )
=
=
2
2
= =
1 2,730 2 2,366
1 0,731 2 0,634
(215)
usual a representao grfica dos modos naturais na seguinte forma:1,0 2,7300,731 1,0
Primeiro modo natural
Segundo modo natural
Figura 52:
Segundo essa representao possvel concluir que no primeiro modo natural as duas massas se movem em fase e no segundo modo natural elas se movem em oposio de fase.
88
Captulo: Vibrao Natural de Sistemas com 2GL
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Exerccio sugerido:
Um automvel de
que faz a conexo entre os dois possuir constante de restaurao os modos naturais de vibrar.
20000 , quais sero as freqncias naturais do sistema. Descreva tambmk m M
= 1000 g reboca um trailer de
= 200 g. Se a estrutura =
Figura 53: = 0 e 5,48rad/s Respostas:( ) ( )
=
=1
( )
=1
( )
= 2.
Exerccio sugerido:
Um perfil asa que ser testado em tnel aerodinmico suportado por uma gravidade do perfil se encontra frente do ponto de fixao, determinar as Captulo: Vibrao Natural de Sistemas com 2GL mola linear de constante e uma mola torcional de constante . Se o centro de
equaes diferenciais que regem a dinmica do sistema.
K
k G
eFigura 54:
89
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
12.VIBRAO FORADA DE SISTEMAS COM 2GLSe foras externas agem sobre um sistema com dois graus de liberdade e acoplamento esttico, suas equaes dinmicas so dadas por: + + + + = = ( ) ( ) (216) ( ) forem harmnicas:
Ao mesmo tempo, se as foras de excitao ( )= ( )=
( )e
(217)
Assumindo-se solues harmnicas para o movimento permanente: ( )= ( )= (218)
obtido o seguinte sistema de equaes algbricas lineares: ( + + ( ) ) + + ) = =
Este sistema linear e no homogneo, podendo ser resolvido atravs da aplicao direta da Regra de Cramer, Anexo B: = = ( ( ( ) + + ) + ) )
(
+
(
+ +
) )
(220)
(
(221)
90
Captulo: Vibrao Forada de Sistemas com 2GL
(
+
(
+
)
=
(219)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Exerccio (proposto):
A suspenso de um automvel, desconsiderando-se os elementos de amortecimento pode ser modelada como na figura abaixo. A massa do automvel 5270 / rodas = 227 , a massa dos eixos mais a massa das = 17700 / . Se o cpm = ciclos por , = = 1909
, a constante de restaurao da suspenso
carro submetido a um teste tpico de vibrao 300 e a constante de restaurao dos pneus minuto) com amplitude de 25 movimento na direo horizontal.
, determinar o movimento vertical do carro,
assumindo que todas as rodas tm movimento sncrono e que no haja
x2 m2 m2 k2 k2/2 m1/2 k1/2 k2/2 m1/2 k1/2 m1 k1 yCaptulo: Vibrao Forada de Sistemas com 2GL
x1
Figura 55: Resposta: = 0,006 (31,4 ) 31,4
91
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
13.ABSORVEDORES NO AMORTECIDOSA resposta dinmica do sistema com dois graus de liberdade ilustrado abaixo, no amortecido e harmonicamente forado por seguinte sistema de equaes diferenciais: + + + + = ( ) =0x2 m2 k2 x1 m1 k1
=
cos
, dada pelo
(222)
f1(t)
Figura 56: Ou seja: = = ( ) ( ( ) + = 0 )
(223)
(224)
Onde:
=
(
=
+
0
)
0
(225)
(226)
92
Captulo: Absorvedores No Amortecidos
Na forma matricial, equivalente :
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
x2 m2
k1(x1- x2) f1(t) m1 x1
k1x1Figura 57:
Assumindo-se solues harmnicas para os movimentos das massas: ( )= ( )= (227)
obtido o seguinte sistema de equaes algbricas lineares: +( + + ( + ) + = ) =0 +
Para resolver este sistema, pode-se aplicar a regra de Cramer. Desta forma: = Onde: 0 ( 0 ( +( + + ) ) + )
(
+
)
(229)
=
(230)
93
Captulo: Absorvedores No Amortecidos
+(
)
(
)
=
0
(228)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
= Portanto:
+
+(
+
)
(
+
)
=
(231)
= E, analogamente: =
+
(232)
+
(233) = 0 quando:
Segundo a equao obtida para
observao sugere o desenvolvimento de dispositivos baseados nesse princpio, chamados de absorvedores dinmicos de vibrao. Captulo: Absorvedores No Amortecidos Desta forma, se um sistema tem uma massa possvel projetar uma massa conectada por mola de rigidez desta. A equao para a seleo de exige que a freqncia natural da , denominada componente
= 0 e nessas circunstncias, a massa
, percebe-se que
no estar vibrando. Esta ltima
primria, forada harmonicamente ou submetida a um movimento de base, , denominada componente secundria, que massa minimize ou elimine o movimento
componente secundria coincida com a freqncia da excitao. Naturalmente, o projeto da componente secundria exige tambm que a amplitude do sistema. do seu movimento no exceda limites que garantam a integridade
94
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Exerccio resolvido:
Determine a vibrao vertical permanente do sistema com dois graus de liberdade ilustrado abaixo, forado harmonicamente por amortecido por elementos de dissipao com constantes Soluo:x2 m2m2 c2 m1 c1 k1 k2
e
( )= .
sin
e
f1(t)
c2(dx1/dt - dx2/dt) f1(t)
k2(x1- x2) x1
m1
c1 dx1/dt
k1x1
assumindo: Figura 58: Equaes dos movimentos: = = ( ) ( ( )+ ( ) +( + + + ) ) ( = ) , ( )
>
(234) Captulo: Absorvedores No Amortecidos
Ou ainda:
Assumindo solues permanentes do tipo: ( )= ( )=
+(
+ )
=0
(235)
(236)
Assim como
( )=
e
:
95
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I ( + ) + ( + )
Aplicando a Regra de Cramer:= 0 )
+
=
0
(237)
(
+
)
+ (
onde: = ( + ) = ( + )( +
=
+
Analogamente:= ( +
= ; B = c ; ( + ) ( + + ) 0
( +
)( +
+
)
+
(
+
)
=
(238)
+ +
+ ) 2
.
;
(239)
)
) + ( + + ( + )
= =( + =( +
( )= )=
+
Da teoria dos nmeros complexos sabe-se ainda que: = = ( ( + +
) + ( +
+
)
. ) )
(241)
(242)
Onde:
96
Captulo: Absorvedores No Amortecidos
=
( +
)( +
)
+
(
+
)
=
(240)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I ( = ( ) + ( + )
=
+
=
=
+
) +( +
+ +
+
(243)
(244) + )
(245)
No entanto, a fora de excitao : no regime permanente: ( )= ( )= (
( )= = =
+ +
(246) sin ( = e
. Desta forma,
+ ) ( + )
(247)
Exerccio resolvido:
Determine as freqncias naturais do pendulo duplo ilustrado abaixo. Considere: a) fios inextensveis de comprimento l e massa desprezvel; b) somente pequenas oscilaes; c) movimentos contidos no plano. Captulo: Absorvedores No Amortecidos
97
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
T1
1m
1
T2
m
m
x1 2
m x2
mg
2T2
2mg
Figura 59: Soluo: Para a massa superior: = = = = + ( + = = = = .,
(248)
ento:
ento:
+
, .
(250)
(251)
Do equilbrio de foras na direo normal trajetria da massa inferior: (252)
98
Captulo: Absorvedores No Amortecidos
Para a massa inferior:
=
)
.
(249)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Considerando-se pequenas oscilaes: ;
Desta forma:
1 +
. =0 =0 :
(253)
+2 + ( )= ( )=
(254)
Assumindo movimentos harmnicos de freqncia
(255)
Ento:
2
cuja equao de freqncias , portanto: 4 +2
= = 0.
0 . 0
(256)
(257)
(258)
= = 2
=
2 2 2.
(259)
Determinando os modos naturais:( ) ( )
(260)
99
Captulo: Absorvedores No Amortecidos
Assumindo
=
:
=
=
2 2
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Analogamente para o segundo modo:( ) ( )
=
2
2.
(261)
Exerccio sugerido:
Determine a equao de freqncias do sistema ilustrado na figura abaixo. Assuma e
=
=
=
,
=
=
;
=
=
=
= =
.
k1 r1 J1 k2 r2 J2
k3
Figura 60: 8 + 6 = 0. Captulo: Absorvedores No Amortecidos Resposta:
(262)
100
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
14.BIBLIOGRAFIABendat, J. S. (2000). Random Data: Analysis & Measurement Procedures Series in Probability and Statistics, 3rd edition. Wiley. Bowers, E. (1975). Long Period Oscillations of Moored Ships Subject to Short Wave Seas. Transaction of Royal Institution of Naval Architects . Chakrabarti, S. K. (2001). Hydrodynamics of Offshore Structures. Southampton: WIT Press. Chakrabarti, S. K. (1994). Offshore Structure Modeling - Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 9. World Scientific. Chakrabarti, S. K. (2002). The Theory and Practice of Hydrodynamics and Vibration - Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 20. World Scientific. Clauss, G. F. (2007). The Conquest of the Inner Space Challenges and Innovations in Offshore Technology. Marine Systems & Ocean Technology . Faltinsen, O. (1998). Sea Loads on Ships and Offshore Structures. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Journe, J. M. (January de 2001). Offshore Hydrodynamics. Delft University of Technology . Delft, Holand. Simos, A., & Fujarra, A. (Outubro de 2009). Mdulo 3: Hidrodinmica. Gesto e Tecnologia em Construo Naval - Marinha do Brasil . Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
101
Captulo: >cd c:\caminho para a nova pasta A instruo >>pwd ecoa o diretrio corrente na rea de trabalho do Matlab. Feito isto, para iniciar o Simulink digite e execute na rea de trabalho do Matlab a seguinte instruo: >>simulink Uma janela se abrir com a biblioteca de blocos do Simulink, como mostrado na figura abaixo. Esta janela permanecer aberta durante toda a sesso de trabalho.
102
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Para iniciar um novo modelo, clique sobre o cone Create a new model, no canto superior esquerdo da janela.
Uma nova janela ir aparecer na tela, onde o novo modelo ser construdo e simulado. A prxima figura ilustra esta nova janela Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
Figura 61:
103
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Figura 62: nesta nova janela que se construir o exemplo discutido mais adiante. Antes disso, importante saber que a biblioteca do Simulink provida de uma srie de blocos, subdivididos em grupos, que podem ser acessados atravs de um simples clique sobre o nome de cada um desses grupos. Os principais blocos utilizados em PNV-2323 podem ser encontrados nos grupos: Continuous, Discontinuities, Discrete, Look-Up Tables, Math Operations, Model Verification, Model-Wide Utilities, Ports & Subsystems, Signal Attributes, Signal Routing, Sinks, Sources e User-Defined Functions. Para uma familiarizao com o processo de construo, sugere-se explorar o contedo da biblioteca de blocos. Para fixar a construo de modelos e a manipulao dos blocos, um modelo simples aqui utilizado, sugerindo-se o acompanhamento dos passos descritos a seguir. Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
104
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Exemplo: Considere-se o sistema da figura a seguir, composto por uma massa uma mola de constante elstica amortecimento , sujeita a uma fora de excitao ( ). presa a
e um amortecedor de coeficiente de
Neste sistema, a fora de restaurao da mola vale x e a fora de amortecimento vale x, sendo ( ) o deslocamento da massa com relao posio de equilbrio e ( ) sua respectiva velocidade. + + = ( ). Desta forma, a equao que rege a dinmica do sistema pode ser escrita como:
Figura 63:
Para se construir o modelo de simulao da equao acima, de uma maneira direta e fcil, basta isolar a segunda derivada (acelerao) obtendo-se: = 1 ( + ( )), (264)
Obviamente, integrando-se a acelerao ( ) obtm-se a velocidade ( ), que Uma representao grfica destas relaes apresentada a seguir, lembrando-se que o operador Laplace:( )
integrada leva a posio ( ).
representa a integrao segundo a teoria de 1( )
1
( )
(265)
105
Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
(263)
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
com excitao ( ), a representao grfica completa fica sendo dada por:
Em termos da equao dinmica que rege o sistema massa-mola-amortecedor
&&(t ) x
1 s
& x(t )
1 s
x(t)
1 & ( cx kx + F (t )) mF(t)Figura 64: equacionamento obtido a partir do isolamento da acelerao ( ) na equao Observe que o bloco maior deste modelo refere-se, justamente, ao dinmica do sistema. Pode-se, agora, transformar o diagrama simplificado da figura acima em um modelo de simulao em ambiente Simulink.
15.3 Manipulando blocos e linhas de conexo15.3.1 Selecionando e arrastando blocos para a janela de construo
Na biblioteca de blocos, clique sobre o grupo denominado Sources. Em seguida, clique e arraste o bloco Sine Wave para a janela de construo do modelo. O resultado dever ser o mostrado na figura a seguir. importante destacar que voc pode mover cada um dos blocos, de acordo com a disposio desejada, alm de apagar qualquer um deles, bastando selecion-lo(s) e apertar a tecla Del.
106
Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Figura 65: Continue a construir o modelo, adicionando outros blocos a sua janela de construo do modelo. Adicione: dois blocos Integrator do grupo Continuous;
um bloco Fcn do grupo User-Defined Function e um bloco Scope do grupo Sinks.
O resultado dever ser o seguinte:
107
Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
um bloco Mux do grupo Signal Routing;
Material de Apoio
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Figura 66:15.3.2 Definindo os parmetros dos blocos
O sistema dinmico em anlise possui os seguintes parmetros de entrada:
massa ;
;
rigidez
condies iniciais do sistema (a velocidade inicial amplitude da fora de excitao harmnica 0.
0e
e a posio inicial
Estes parmetros devem ser declarados na rea de trabalho do Matlab, ou declarados atravs de uma m-file que dever ser executada antes das simulaes. Desta forma, crie uma m-file contendo as seguintes instrues: m = 3 k = 1 c = 0.5 x0 = 10 v0 = 0
108
Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
amortecimento
;
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Dinmica de Sistemas I
F0 = 0 Salve-a com o nome: parametros.m. Em seguida, execute-a no Matlab.
Passe agora para a definio dos parmetros dos blocos do modelo. Os blocos integradores,
, possuem um nico parmetro a ser
configurado. Trata-se da condio inicial de integrao, que no caso do posio inicial do sistema ( 0). Para inserir estas condies iniciais d um duplo clique em cada um dos blocos e carregue os respectivos parmetros definidos acima. Tambm o bloco multiplexador Mux conta com um parmetro nico,
inicial do sistema ( 0) e no caso do bloco da direita diz respeito
bloco esquerdo do modelo da ltima figura diz respeito velocidade
que se refere ao nmero de entradas possveis. Como padro para este bloco, o Simulink assume 2 entradas. Portanto, preciso adequ-las ao sistema dinmico em estudo. D um duplo clique sobre o bloco multiplexador e altere o nmero de entradas para 3. O modelo construdo considera uma fora de excitao senoidal de
amplitude Wave.
0, que deve ser declarada como parmetro do bloco Sine
Finalmente, a funo a ser calculada precisa ser inserida no bloco Fcn.
A varivel de sada de Fcn uma f (u ) , e as variveis de entrada so denominadas u(1), u(2) e u(3), de acordo com a disposio das entradas do bloco multiplexador que a antecede. Desta forma, d um duplo clique no bloco Fcn e carregue a seguinte funo representativa do sistema: 1/m*(-c*u(2)-k*u(1)+u(3))
109
Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
15.3.3 Fazendo a conexo entre os blocos
Para fazer a conexo entre os blocos, simplesmente clique com o boto direito do mouse sobre a porta de sada de um bloco e arraste a linha que surgir at a porta de entrada do bloco desejado. Para confirmar a conexo solte o boto direito do mouse. Voc tambm pode iniciar uma conexo a partir de uma linha. Basta clicar com o boto direito do mouse sobre a linha de partida e arrastar a nova linha at a porta de entrada de um dos blocos. Com base nestas instrues, faa com que seu modelo tenha o seguinte resultado grfico:
Figura 67: Aconselha-se a gravao do modelo a cada grupo aprecivel de modificaes. Executando esta tarefa, ser criado um arquivo *.mdl, que ser
automaticamente reconhecido pelo Simulink/Matlab como um modelo de simulao numrica.
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Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
15.4 Executando a simulao
Uma vez concludas as conexes e salvo o modelo, voc pode execut-lo clicando sobre o cone , pressionando CTRL+T, ou ainda, selecionando o submenu Start, dentro do menu Simulation. Executando uma dessas instrues, assumindo-se um duplo clique sobre o bloco Scope. Pode-se aumentar o tempo de simulao alterando o parmetro Stop time do submenu Simulation Parameters, dentro do menu Simulation da barra de tarefa, na janela de construo do modelo. No caso do sistema em estudo, aumente este valor para 30 (trinta) unidades de tempo. A figura abaixo mostra a aparncia tpica da janela de apresentao do bloco Scope, considerando-se as 30 unidades de tempo de simulao. 0 = 0, um sinal tpico de
decaimento ser gerado e apresentado no bloco Scope. Para visualiz-lo, d
Figura 68: Logicamente, possvel melhorar muito o modelo criado, incorporando inclusive todas as funcionalidades de apresentao dos resultados segundo os comandos do Matlab.
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Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
Para tanto, sugere-se o uso de outros recursos do Simulink, especialmente aqueles dedicados a transferncia de resultados para a rea de trabalho do Matlab, bem como aqueles referentes gravao de arquivos com as sadas das simulaes numricas.
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Captulo: ANEXO A Modelagem e Simulao Numrica
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Dinmica de Sistemas I
16.ANEXO B TPICO EM LGEBRA LINEAR16.1 Inverso de Matrizes: Regra de Cramer
Considere-se o seguinte sistema de equaes algbricas lineares: + + + + + + = = = . (266) = , onde: = . (267)
Este sistema pode ser expresso na forma matricial = =
Pr-multiplicando a equao matricial pela matriz inversa obtida: 1 = , onde = 0 0 = = ,
, sua soluo
j que
Para tanto, basta determinar
0 0 1 0 a matriz identidade. 0 1 = que dada por: | | 1 .
(268)
(269)
Sabe-se, no entanto, que a matriz adjunta de uma matriz transposta da matriz de cofatores de , ou seja: = Por sua vez, cada cofator = igual ao menor
quadrada a
(270) , com sinal (1)
.
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Captulo: Anexo B Tpico em lgebra Linear
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Dinmica de Sistemas I
No caso da matriz forma:
= = (1)
, seu menor = .
=
e, desta
(271)
Uma forma direta de se chegar soluo do sistema de equaes algbricas lineares apresentada pela Regra de Cramer, segundo a qual: 1 = | | 1
=
Aplicando procedimento anlogo para as coordenadas seguinte resultado: = | | 1 = 1 = 1
| | 1 = | |
+
+
+
(272)
e =
, chega-se ao .
| |
| |
(273)
Exemplo:
Encontrar a matriz inversa da matriz:
1o) O determinante de
:
1 1 = 1 2 1 0
1 1 = 1 2 1 0
1 2 =3 3
1 2. 3
(274)
(275)
114
Captulo: Anexo B Tpico em lgebra Linear
Material de Apoio
Dinmica de Sistemas I
2o) Os menores de = 2 0 1 = 0 1 = 2
3o) A matriz dos cofatores de (1) = (1) (1) (1) (1) (1)
2 =6 3 1 =3 3 1 =0 2
so:
=
1 2 =1 1 3 1 1 = =2 1 3 1 1 = =1 1 2 : (1) (1) (1)
=
1 1 1 = 1 1 = 1
2 = 2 0 1 = 1 0 1 =1 2
(276)
4o) A matriz adjunta a transposta da matriz de cofatores: = 5o) E, portanto, a matriz inversa de = = | | 1 6 3 0 = 1 2 1 2 1 1
6 1 1 = 3 2 1 0 1 1
(277)
(278)
6o) Sabendo que A 1 A = I , o resultado obtido pode ser checado: 1 6 3 0 1 1 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 = 0 3 0 3 0 0 0 3 0 = 0 3 (280)
115
Captulo: Anexo B Tpico em lgebra Linear
1 6 3 0 = 1 2 1 3 2 1 1
fica sendo dada por: (279)