1

2

APOSTILA DE EQUAES DIFERENCIAIS Prof Ana Flvia Guedes Greco

Aula 1

Introduo Equaes Diferenciais

1.1 INTRODUO A EQUAES DIFERENCIAIS Uma Equao Diferencial uma relao que envolve como incgnita uma funo e suas derivadas ou diferenciais ou equao diferencial uma equao que contm derivadas. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1.1. O movimento de um pndulo simples de massa m

e comprimento l descrito pela funo ( )t que satisfaz a

equao diferencial:

2

20

d gsen

ldt

Nesta equao a incgnita a funo ( )t . Assim a varivel

dependente e t a varivel independente.

Exemplo 1.2. Em um sistema massa-mola composto de um corpo de massa m preso a uma mola com constante elstica k, sujeita a uma fora de

resistncia rdx

F vdt

e uma fora externa

0( ) cosextF t F t o deslocamento da massa ( )x t satisfaz a equao diferencial:

2

02cos

d x dxm kx F t

dtdt

Nesta equao a incgnita a funo ( )x t . Assim x

a varivel dependente e t a varivel independente.

3

Exemplo 1.3. Um circuito RC um circuito que tem um resistor de resistncia R, um capacitor de capacitncia C e um

gerador que gera uma diferena de potencial ( )V t ligados em

srie. A carga ( )Q t no capacitor satisfaz a equao

diferencial:

1dQ

R Q V tdt C

Nesta equao a incgnita a funo ( )Q t . Assim Q a

varivel dependente e t a varivel independente.

Exemplo 1.4. Numa regio do plano em que no h cargas eltricas o potencial eltrico ( , )u x y em

cada ponto ( , )x y da regio satisfaz a equao diferencial:

2 2

2 20

d u d u

dx dy

Nesta equao a incgnita a funo ( , )u x y . Assim u a varivel dependente e x e y so as

variveis independentes.

As Equaes Diferenciais podem ser classificadas quanto ao Tipo, Ordem e Grau: (a) Quanto ao tipo uma equao diferencial pode ser ordinria ou parcial. Ela ordinria se as funes incgnitas forem funes de somente uma varivel, ou seja, contm somente uma varivel independente. Caso contrrio ela parcial. Nos exemplos 1.1, 1.2, 1.3 as Equaes Diferenciais so Ordinrias e no exemplo 1.4 a Equao Diferencial Parcial. (b) Quanto ordem da equao diferencial, ela representa a mais alta derivada da funo incgnita que ocorre na equao. As equaes dos exemplos 1.1, 1.2, 1.4 so de 2 ordem enquanto a equao do exemplo 1.3 de 1 ordem.

(c) Quanto o grau da equao diferencial, ele representa o valor do expoente para a derivada mais alta da equao, quando a equao tem a forma de um polinmio na funo incgnita e em suas derivadas, como por exemplo:

(3) (2) (1) (0) 0Ay By Cy Dy As equaes dos exemplos 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4 so todas de 1 grau.

4

Exemplo 1.5. Vamos classificar as equaes quanto ao Tipo, Ordem e Grau:

(a)

32

20

d y dy

dxdx

(b)

22

0f f

x y

(c)

2 33 2

3 20

d y d y dy

dxdx dx

1.2 SOLUO DE UMA EQUAO DIFERENCIAL A soluo uma funo que quando substituda na equao diferencial a transforma numa identidade. As solues podem ser: geral, particular, explcita ou implcita. (a) Chama-se soluo geral famlia de todas as solues que verifica a equao diferencial e

possui constantes arbitrrias. Por exemplo: y Ax Bx C 2 a soluo geral da equao diferencial

d y

dx

3

30 .

(b) Chama-se soluo particular de uma equao diferencial soluo obtida a partir da soluo

geral impondo condies iniciais ou de contorno. Por exemplo: 25 2 3y x x a soluo particular da

equao diferencial d y

dx

3

30 .

(c) Chama-se soluo explcita a soluo que pode ser expressa na forma y = f(x), isto , a varivel dependente (funo) pode ser isolada e igualada a uma expresso, a qual funo apenas da

varivel independente (no ambgua). Por exemplo: 22x

Cey

soluo explcita da equao

diferencial 01

ydx

dy

x.

(d) Chama-se soluo implcita a soluo que expressa na forma f(x, y) = 0, isto , a varivel dependente (funo) no pode ser isolada e igualada a uma expresso que dependa apenas da varivel independente, ou quando isto for possvel (ser ambgua). Por exemplo:

Cx)x(n2x)y(ny 1 soluo implcita da equao diferencial

0)1()1( 22 dx

dyyxyx .

5

Como identificar se uma soluo proposta soluo da equao diferencial? Para identificar se uma soluo proposta soluo de uma equao diferencial, basta substituir a soluo encontrada no lugar onde a varivel dependente (funo) aparece na equao, e se aps os clculos feitos, a equao se transformar em uma identidade, ento a funo encontrada soluo da equao diferencial.

Exemplo 1.6. Vamos verificar se a funo dada soluo das seguintes equaes diferenciais:

(a) xx eyeyyy 2;4'4"

(b) 2;0'2

x

eyyy

1.3 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E DE CONTORNO Uma equao diferencial satisfazendo algumas condies adicionais, relativas tudo mesma varivel independente denominado Problema de Valor Inicial, caso essas condies adicionais se referem a mais de um valor da varivel independente denominado Problema de Valor de Contorno. Geralmente as condies iniciais sero dadas para o instante inicial, j as condies de contorno aparecem quando nas equaes de ordem superior os valores da funo e de suas derivadas so dadas em pontos distintos.

Exemplo 1.7. O problema y + 2y = ex com y() = 1 e y() = 2 um problema de valor inicial, pois as duas condies adicionais so ambas dadas no ponto x = . J o problema y + 2y = ex com y(0) = 1 e y(1) = 1 um problema de valor de contorno, pois as condies adicionais so dadas em diferentes pontos x = 0 e x = 1.

Lembre-se: Se so conhecidas condies adicionais, podemos obter solues particulares para a equao diferencial e se no so conhecidas condies adicionais poderemos obter somente a soluo geral.

Exemplo 1.8. Vamos determinar a Soluo Particular para a equao 1 2 cosy C sen x C x com as seguintes condies iniciais: y(0) = 1 e y(0) = 2.

6

EXERCCIOS

1. Classifique as seguintes equaes diferenciais quanto ao Tipo, Ordem e Grau:

(a)

22

23 0

d y dyy xy

dxdx

(d) 5 3dy

xdx

(b) 3 2

4 2

3 2( ) 0

d y d y dyy x x x sen y

dxdx dx

(e)

2 2

2 24 1

z z

t x

(c) 1

22

v

z

u

z

(f)

22

22 1y

d y dye

dxdx

2. Verifique se a funo dada soluo da equao diferencial:

(a) " 4 ' 4 ;x xy y y e y e

(d) " 2 ' ; 1y y y x y

(b) 2" 5 ' 6 0; xy y y y e (e) " 2 ' 0; 2

x xy y y y e xe

(c) 3" 5 ' 6 0; xy y y y e

(f) 2' 25 ; 5 (5 )y y y tg x

3. Nos problemas (a) (d) determine C1 e C2 de modo que 1 2( ) cos( )y C sen x C x satisfaa as

condies dadas. Determine se tais condies so iniciais ou de contorno.

(a) (0) 1, '(0) 2y y

(d) (0) 1, '( ) 1y y

(b) (0) 1, 12

y y

(e) (0) 0, '(0) 0y y

GABARITO

Questo 2: (a) Sim, soluo (b) Sim, soluo (c) Sim, soluo (d) No soluo (e) Sim, soluo (f) Sim, soluo.

Questo 3: (a) C1 = 2 e C2 = 1; condies iniciais (b) C1 = 1 e C2 = 1; condies de contorno

(c) C1 = -1 e C2 = 1; condies de contorno (d) C1 = 0 e C2 = 0; condies iniciais.

7

Aula 2 Mtodo de Separao de Variveis

2.1 DEFINIO

Seja uma Equao Diferencial 0,, dyyxNdxyxM . Se M uma funo apenas da varivel x, isto M M x e N uma funo apenas da varivel y, isto N N y , ento a equao dada fica na

forma

0M x dx N y dy A expresso acima chamada de equao separvel. Isto motivado pelo fato que possvel separar as funes de modo que cada membro da igualdade possua uma funo com apenas uma varivel. Desse modo, podemos realizar a integrao de cada membro por um processo simples. 2.2 MTODO DE RESOLUO Para resolvermos tal tipo de equao diferencial, como o prprio nome j diz, deveremos separar a variveis, isto , deveremos deixar o coeficiente da diferencial dx como sendo uma funo exclusiva da varivel x e o coeficiente da diferencial dy como sendo uma funo exclusiva da varivel y, e ento integrarmos cada diferencial.

Exemplo 2.1. Vamos obter a soluo geral e particular das equaes diferenciais pelo mtodo da separao das variveis.

(a) 0 xydx

dy para 3)0( y .

(b) 0xdx

dyy para 1)0(y .

EXERCCIOS

Resolva as seguintes equaes por separao de variveis:

(a) 2 0xdx y dy (g)

2

xdy xe

dx y

(b) 2 3dy

y xdx

(h) 0; (0) 1xe dx ydy y

(c) 5dy

ydx

(i) ( ) 0; (0) 2sen x dx ydy y

(d) 35 xdx

dy (j)

2 51 1 0; (0) 0xxe dx y dy y

8

(e) 4

1

1

dy x

dx y

(k) 5cos( ) 1 6 0; ( ) 0x x dx y dy y

(f) 02

s

x

dx

ds (l) 2 11 0; ( 1) 1x dx dy y

y

GABARITO

(a)

2 3

2 3

x yC ; (b)

41

4

xC

y ; (c) ln( ) 5y x C ; (d)

253

2

xy x C

(e)

5 2

5 2

y xy x C ; (f)

22

2

sx C ; (g)

2 x xy xe e C ; (h)

2 1

2 2

x ye

(i)

2

cos( ) 12

yx ; (j)

621 1

2 6 2

x ye y ; (k) 6( ) cos( ) 1x sen x x y y

(l) 3 4

ln3 3

xx y

Anotaes:

9

Aula 3 Equaes Diferenciais de 1 Ordem Exatas

3.1 DEFINIO Uma Equao Diferencial

0,, dyyxNdxyxM (I)

dita exata se somente se, a diferencial da funo yxFF , for nula, isto ,

0

dy

y

Fdx

x

FdF

(II)

Assim (I) dita equao diferencial exata se for proveniente de uma funo do tipo CyxF , .

Exemplo 3.1. Vamos verificar se as equaes diferenciais abaixo so exatas:

(a) 0 dyyxdxyx

(b) xy

xy

dx

dy

2

9 2

Exemplo 3.2. Vamos determinar o valor de A para que a equao diferencial

043 22 dyyAxdxxyx se torne exata.

Teste: Se yxM , e yxN , so funes contnuas com derivadas parciais primeiras contnuas em um retngulo do plano xy, ento (I) exata se e somente se

x

yxN

y

yxM

,,

10

3.2 MTODO DE RESOLUO CLSSICO

Para resolver a Equao Diferencial da forma 0,, dyyxNdxyxM , devemos verificar se esta

equao exata e em caso positivo, garantir que existe uma funo yxFF , tal que

yxMy

F,

e yxN

y

F,

Na sequencia, tomamos a relao yxMFx , e integramos em relao varivel x para obter

)(,, ygdxyxMyxF

onde ygg uma funo apenas na varivel y.

Agora, derivamos parcialmente esta ltima funo yxFF , em relao varivel y:

)(', ygdxyxM

yy

F

e identificamos esta derivada com a funo yxNN , , para obter a expresso de ygg . A soluo da equao diferencial exata ser dada por:

CyxF ,

3.3 MTODO DE RESOLUO ALTERNATIVO

Como no mtodo anterior, para resolver a Equao Diferencial da forma 0,, dyyxNdxyxM , devemos verificar primeiro se esta equao exata e em caso positivo, basta integrar separadamente ,M x y dx e ,N x y dy . A soluo geral ser a soma dos resultados obtidos nas duas

integrais.

Lembre-se: Se as equaes so exatas as solues de ambas integrais so equivalentes, desta forma, se houver uma soluo igual lembre-se de somar apenas uma nica vez.

Exemplo 3.3. Vamos verificar se as equaes diferenciais abaixo so exatas e resolv-las seguindo o mtodo alternativo.

(a) 011 dyydxx

(b) 02223 2 dyyxdxyx

11

EXERCCIOS Verifique se as equaes diferenciais abaixo so exatas e resolva-as:

(a) 1 0x dx dy (f) 22 0y dx x dy (b) ( 1 ) 0dx x dy

(g) 3

5 15 5 0; 25

y dx x dy y

(c) 22 2 2 0yx y dx x x dy (h) 2 2 0; 1 2x y dx x y dy y (d) 0y x dx x dy (i) 22 3 4 0; 1 2xy dx x y dy y

(e) 29 2 0y x dx y x dy (j) 2

2 33 4 0; (0) 12

xx xy dx y dy y

GABARITO

(a)

2

2

xx y C ; (b) No exata ; (c)

2 2x y xy C ; (d)

2

2

xxy C ;

(e) 2 33y xy x C ; (f) No exata ; (g) 5 15 24yx x ; (h)

3

5

3

23

yyxx

(i) 72322 yxyx ; (j) 22

2

3

3

223

yyxx

Anotaes:

12

Aula 4 Mtodo dos Fatores Integrantes

4.1 INTRODUO 4.1.1 O QUE UM FATOR INTEGRANTE? Em geral, a equao diferencial

0,, dyyxNdxyxM (I) no exata. Por vezes, entretanto, possvel transformar (I) em uma equao exata, mediante multiplicao de um fator adequado. 4.2 DEFINIO

Uma funo yxI , um fator integrante de (I) se a equao

0,,, dyyxNdxyxMyxI (II) exata.

Exemplo 4.1. Vamos verificar se as funes dadas fator integrante de 0 dyxdxy :

(a) 2/1 x

(b) xy/1

4.3 RESOLUO COM EMPREGO DE UM FATOR INTEGRANTE

Se yxI , fator integrante de (I), ento (II) exata e pode ser resolvida seja pelo Mtodo de Equao Diferencial de 1 ordem exata seja por integrao direta, conforme visto nas Aulas 2 e 3. A soluo de (II) tambm soluo de (I).

13

4.4 DETERMINAO DE UM FATOR INTEGRANTE Do teste feito na Aula 3 para verificar se uma equao diferencial exata, decorre que um fator integrante soluo de certa equao diferencial parcial. Ora, em geral, essa equao diferencial mais difcil de resolver do que a prpria equao diferencial original. Consequentemente, os fatores integrantes se obtm, em geral, por inspeo. O xito do mtodo vai depender, ento, da habilidade do calculista, em reconhecer ou vislumbrar, que determinado grupo de termos constitui uma

diferencial exata yxdh , . Para tanto, a Tabela 1 poder constituir boa ajuda.

Tabela 1

Grupo de Termos Fator integrante yxI ,

dyxdxy 2

1

x

dyxdxy 2

1

y

dyxdxy xy

1

dyxdxy 22

1

yx

dyxdxy xy

1

dyxdxy

nxy

1

dyxdxy 22

1

yx

dyxdxy

1,

1

22

n

yxn

dybxdxay (a, b so constantes) 11 ba yx

Por vezes, um reagrupamento dos termos da equao diferencial facilita a visualizao do fator integrante (ver definies (III) - (VI))

(a) Se )(1

xgx

N

y

M

N

, funo de x somente, ento dxxgeyxI )(, (III)

(b) Se )(1

yhx

N

y

M

M

, funo de y somente, ento dyyheyxI )(, (IV)

(c) Se a equao homognea e 0 NyMx , ento MyMx

yxI

1

, (V)

(d) Se a equao 0,, dyyxNdxyxM pode ser colocada na forma dyyxgxdxyxfy ,, ,

onde yxgdxyxf ,, , ento yNxM

yxI

1

, (VI)

14

Exemplo 4.2. Vamos determinar o fator integrante I de cada equao diferencial e resolv-la, pelo Mtodo de Equao Diferencial de 1 ordem exata:

(a) 2 2 0x y x dx xy dy (b) 2 0yy e x dy y dx

EXERCCIOS

Determine o fator integrante apropriado para cada equao, e resolva-a:

(a) ( 1) 0y dx x dy (c) 2 2 0x y dx x dy (b) 0y dx x dy (d) 2 0y dx x dy

GABARITO

(a) 2

1 1( )

yI x C

x x x (c) 3 3 2

1( ) ln

yI x x x C

x x

(b) 22

1( )

yI x x C

x x

(d) 2( )I x x x y C

Anotaes:

15

Aula 5 Equaes Diferenciais de 1 ordem Lineares

5.1 DEFINIO

Toda Equao Diferencial de 1a Ordem , , 0M x y dx N x y dy dita linear se ela puder ser

transformada na forma dy

f x y r xdx

.

5.2 TIPOS DE EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES A) Equao Diferencial Linear Homognea: Uma equao diferencial linear de 1a Ordem dita

homognea se 0)( xr isto , 0dy

f x ydx

. Assim pelo mtodo da separao de variveis,

tem-se:

dy

f x ydx

dy

f x dxy

E a soluo geral da equao diferencial ser:

n y f x dx k f x dx

y Ce , isto ,

B) Equao Diferencial Linear Homognea: Uma equao diferencial linear de 1a Ordem dita

no-homognea se ( ) 0r x . Sendo assim, a soluo da equao diferencial ser:

Exemplo 5.1. Vamos determinar a soluo geral da equao diferencial: 1

0dy

ydx x

pelo Mtodo

de Mtodo de Equaes Diferenciais de 1 ordem linear homognea:

Exemplo 5.2. Vamos determinar a soluo geral pelo Mtodo de Mtodo de Equaes Diferenciais de 1 ordem linear no homognea:

(a) xey

dx

dy 33 (b) 242 xy

dx

dyx

( )( ) h xy x Ce , onde ( ) ( )h x f x dx .

( ) ( )( ) . ( )h x h xy x e e r x dx C , onde ( ) ( )h x f x dx .

16

EXERCCIOS

1. Determinar a soluo das Equaes Diferenciais Lineares Homogneas de 1 Ordem:

(a) 2 0dy

x ydx

(d) 2 0 ; (0) 2dy

y ydx

(b) 04 ydx

dy (e)

10 ; (2) 2

dyy y

dx x

(c) 02 xydx

dy (f)

10 ; (2) 4

dyy y

dx x

2. Determinar a soluo das Equaes Diferenciais Lineares no Homogneas de 1 Ordem:

(a) xxydx

dyx 3

(d) 1dy

y xdx

(b) 22

dyx y xdx

(e) 2 2 1; (1) 0dy

x xy x ydx

(c) 1

cosdy

y xdx x

GABARITO

Questo 1: (a) 2y Cx ; (b)

4xy Ce ; (c) 2xy Ce ; (d)

22 xy e ; (e) 4

yx

; (f) 2y x

Questo 2: (a)

3

4 2

x x Cy

x ; (b)

2

24

x Cy

x ; (c)

cos x Cy sen x

x x ;

(d) x

Cy x

e ; (e)

22

11

2

1

xxy

Anotaes:

17

Aula 6 Equaes Diferenciais de 2 ordem: Homognea

6.1 DEFINIO Toda Equao Diferencial de 2a Ordem dita linear se ela puder ser transformada na forma

)(2

2

xryxcdx

dyxb

dx

ydxa , onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e r = r(x) so funes conhecidas

somente da varivel independente x.

6.2 EQUAES LINEARES HOMOGNEAS DE 2 ORDEM

Para equaes lineares de 2 ordem, se 0)x(r a equao dita homognea e se 0)( xr a

equao dita no homognea. 6.3 EQUAES LINEARES HOMOGNEAS DE 2 ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES Como toda funo constante real contnua, ento, dentre as equaes diferenciais lineares, existe

um grupo de equaes muito importante que formado pelas equaes cujas funes coeficientes

de 2

2

dx

yd, dx

dy e y so constantes e neste caso, escrevemos simplesmente:

)(2

2

xrcydx

dyb

dx

ydayL

6.4 SOLUO DA EQUAO DIFERENCIAL DE 2 ORDEM HOMOGNIA A) Mtodo do Polinmio Caracterstico ou Polinmio Associado: Para resolver a equao homognea com coeficientes constantes, devemos obter a equao caracterstica associada mesma, dada por:

02 cba Como a equao caracterstica uma equao do segundo grau, ela possui exatamente duas razes no conjunto dos nmeros complexos. Detalhando um pouco mais, observamos que quando os valores de a, b e c so reais, existem trs possibilidades para a obteno das razes:

18

Caso 1 - Duas Razes Reais Distintas: Quando a Equao Caracterstica possui duas razes reais

distintas, isto , 21 , a soluo da Equao Diferencial linear de 2a Ordem e homognea, a

coeficientes constante, ser do tipo: Caso 2 - Duas Razes Reais Iguais: Quando a Equao Caracterstica possui duas razes reais

iguais, isto , 21 , a soluo da Equao Diferencial linear de 2a Ordem e homognea, a

coeficientes constante, ser do tipo: Caso 3 - Duas Razes Complexas Distintas: Quando a Equao Caracterstica possui duas razes

Complexas distintas, isto , C 21 , sendo qip1 e qip2 , a soluo da EDO Linear

de 2a Ordem e Homognea, a Coeficientes Constantes, ser do tipo:

Exemplo 6.1. Vamos determinar a soluo geral das Equaes diferenciais de 2 ordem pelo Mtodo do Polinmio Caracterstico:

(a) 2

22 10 0

d y dyy

dx dx

(b)

2

22 0

d y dyy

dx dx

(c)

2

28 16 0

d y dyy

dx dx

Exemplo 6.2. Determine a soluo particular da Equao diferencial de 2 ordem obtida no

exemplo anterior (b) dada as condies: 0 3 '(0) 0y e y

1 21 2x xy x c e c e

1 2( )xy x c c x e

1 2. cospxy x e C q x C sen q x

19

EXERCCIOS

Determinar a soluo das Equaes Diferenciais Lineares Homogneas de 2 Ordem:

(a) d y

dx

dy

dxy

2

22 0 (d)

2

22 0 ; (0) 0 '(0) 3

d y dyy y e y

dxdx

(b) 0442

2

ydx

dy

dx

yd (e)

2

26 0 ; (0) 2 '(0) 0

d y dyy y e y

dxdx

(c) 01022

2

ydx

dy

dx

yd

GABARITO

(a) y C e C ex x 1 2

2 ; (b) 1 2cos 3 3

xy e C x C sen x ; (c) xexCCy 221

(d) 3xy x e ; (e)

3 24 6

5 5

x xy e e

Anotaes:

20

Aula 7 Equaes Diferenciais de 2 ordem: no Homognea

7.1 SOLUO DA EQUAO DIFERENCIAL DE 2 ORDEM NO HOMOGNIA Para resolver equaes diferenciais no homogneas, onde 0)( xr , seguiremos os seguintes

passos:

7.2 MTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR O mtodo dos coeficientes a determinar fornece uma soluo particular para uma equao linear no

homognea. A vantagem deste mtodo que ele mais simples que o mtodo geral e a

desvantagem que ele no aplicvel para certas equaes lineares a coeficientes no constantes.

O mtodo frequentemente aplicado engenharia. O mtodo consiste em imaginar para )(xy p uma

expresso semelhante de xr , contendo coeficientes incgnitos que so determinados

substituindo )(xy p e suas derivadas na equao original e por igualdade de funes, determinam-se

os coeficientes. O problema fica mais fcil quando esta funo xr tem alguma das formas abaixo:

1. Constante: A soluo procurada dever estar na forma:

2. Polinmio de grau n na varivel independente: A soluo procurada dever estar na forma:

1) Obtenha a soluo geral )(xyh da equao linear homognea associada

utilizando o Mtodo do Polinmio Caracterstico, para isso faa 0)( xr .

2) Pelo Mtodo dos Coeficientes a Determinar, obtenha a soluo particular

)(xy p para a Equao Diferencial de 2 ordem.

3) A soluo geral )(xyy para a Equao Diferencial no Homognea de 2

ordem dada pela soma da soluo geral da equao homognea associada,

obtida em (1) com a soluo particular obtida em (2), isto : )()( xyxyy ph .

( )p oy x a

1 21 2 1( )

n np n n oy x a x a x a x a x a

21

3. Mltiplo de uma funo exponencial: A soluo procurada dever estar na forma:

4. Combinao linear das funes )cos(kx e )(kxsen : A soluo dever estar na forma:

5. Soma das formas anteriores: A soluo dever estar na forma:

onde )(11 xyy soluo obtida na primeira forma e )(22 xyy soluo obtida na segunda

forma.

6. Produto das formas anteriores: A soluo dever estar na forma:

onde )(11 xyy soluo obtida na primeira forma e )(22 xyy soluo obtida na segunda

forma.

Vejamos alguns casos:

Parte no homognea ( )R x Forma para a Soluo Procurada

( ) 5R x ( )py x a

2( ) 3R x x 2( )py x ax bx c

3( ) 7 xR x e 3( ) xpy x ae

( ) 17cos 3R x x ( ) cos 3 3py x a x bsen x

( ) 7 2R x sen x ( ) cos 2 2py x a x bsen x

( ) 7 2 8cos 2R x sen x x ( ) cos 2 2py x a x bsen x

5 2( ) 3 7 3xR x e x x 5 2( ) xpy x ae bx cx d

5 2( ) 3 7 3xR x e x x 5 2( ) xpy x ae bx cx d 5( ) 3 2xR x e sen x 5( ) cos 2 2xpy x ae a x bsen x

( ) rxpy x ae

( ) cospy x A kx Bsen kx

1 2( ) ( ) ( )py x y x y x

1 2( ) ( ) ( )py x y x y x

Observao importantssima: Se as funes sugeridas j apareceram na soluo geral da equao homognea associada, ento a sugesto para a nova funo dever ser a mesma funo sugerida, multiplicada por x. Caso a funo no sirva, multiplique por x2 e se ocorrer falha, v aumentando o expoente de x.

22

Exemplo 7.1. Determine a soluo geral da Equao diferencial de 2 ordem no homognea:

(a)

2

230 4

d y dyy

dxdx

(b)

23

22 x

d y dyy e

dxdx

EXERCCIOS

Determinar a soluo das Equaes Diferenciais Lineares no Homogneas de 2 Ordem:

(a) 252

2

xydx

yd

(c) xydx

dy

dx

yd2sen82

2

2

(b) xeydx

dy

dx

yd 22

2

56 (d)

2

24 12

d yy

dx

GABARITO

(a) 2521 xeCeCy xx ; (b)

x2x5

2

x

1 e21

1eCeCy

(c) xxeCeCy xx 2cos22sen65

1221

; (d) 1 2cos 2 sen 2 3y C x C x

Anotaes:

23

Aula 8 Aplicaes de Equaes Diferenciais

8.1 INTRODUO As Equaes Diferenciais so usadas para construir modelos matemticos de fenmenos fsicos tais como na dinmica de fluidos e em mecnica celeste, sociolgicos e at mesmo econmicos. Deste modo, o estudo de equaes diferenciais um campo extenso na matemtica pura e aplicada. Mesmo que no nos damos conta, as equaes diferenciais fazem parte do nosso dia a dia. Existem inmeras aplicaes prticas em medicina, engenharia, qumica, biologia e outras reas do conhecimento e as solues destas equaes so usadas, por exemplo, para projetar pontes, automveis e circuitos eltricos. Vejamos a seguir algumas aplicaes: 8.2 DINMICA POPULACIONAL: Crescimento e Decrescimento O modelo mais simples decrescimento populacional aquele em que se supe que a taxa de crescimento de uma populao proporcional populao presente naquele instante y(t). Podemos descrever esta aplicao como um problema de valor inicial:

00

dyky

dt

y y

A equao diferencial de primeira ordem pode ser reescrita como:

0.dy

kydt

Esta equao linear pode ser facilmente resolvida atravs do Mtodo da Equao Diferencial de 1 ordem linear (Aula 5). Aplicando o mtodo a soluo geral ser:

.kty t Ce

E substituindo a condio inicial 0t e 0 ,y y obtemos a soluo particular para este problema:

0 .kty t y e

24

8.3 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON: Aquecimento e Arrefecimento Outra aplicao das equaes diferenciais de primeira ordem so os problemas de aquecimento e arrefecimento. Entre dois corpos em contato existe transferncia de calor por conduo, do corpo mais quente para o mais frio. Se a temperatura do objeto em qualquer instante T(t) e a temperatura do meio ambiente Tm, o aumento da temperatura do objeto em qualquer instante ser diretamente proporcional diferena de temperatura com o meio ambiente. Podemos tambm descrever esta aplicao como um problema de valor inicial:

00

mdT

k T Tdt

T T

, onde k uma constante de conduo trmica.

Esta equao uma equao linear que pode ser facilmente resolvida uma vez conhecida a temperatura do meio Tm. O caso mais simples quando a temperatura do meio ambiente constante; nesse caso podemos resolv-la atravs do Mtodo de Separao de Variveis (Aula 2). Aplicando o mtodo a soluo geral ser:

( ) ktmT t M T T e

E substituindo a condio inicial 0t e 0 ,T T obtemos a soluo particular para este problema:

0( )kt

mT t M T T e

8.4 CIRCUITOS ELTRICOS: Circuito RC Outra aplicao das equaes diferenciais de primeira ordem so os problemas de circuitos eltricos. Um circuito resistor-capacitor (RC) consiste de um resistor R e de um capacitor C, podendo estar ligados tanto em srie quanto em paralelo, sendo alimentados por gerador que gera uma diferena de potencial ou uma fora eletromotriz V(t), conforme ilustra a figura a seguir:

A queda de potencial num resistor de resistncia R igual a .R I e num capacitor de capacitncia C

igual a .Q

C Pela 2 lei de Kirchhoff (lei das malhas) a soma das foras eletromotrizes (neste caso

apenas V(t)) igual a soma de potencial (neste caso .R I na resistncia e QC

no capacitor), ou seja:

. ( )Q

R I V tC

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Como ( ) ,dQ

I tdt

ento a carga Q(t) no capacitor satisfaz a Equao Diferencial Ordinria de 1

ordem:

1. . ( )dQ

R Q V tdt C

Esta equao linear pode ser facilmente resolvida atravs do Mtodo da Equao Diferencial de 1 ordem linear (Aula 5).

8.5 SISTEMAS MECNICOS: Problema Carro-Mola Vamos ver agora uma aplicao das equaes diferenciais de segunda ordem. Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Coloca-se o carro em movimento puxando-o x0 metros de sua posio de equilbrio e soltando-o. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma fora Fm sobre o carro proporcional sua distenso, com coeficiente de proporcionalidade k e tende a restaurar o carro sua posio inicial. Vamos supor que o meio viscoso oferece uma fora Fv de resistncia ao movimento proporcional sua velocidade com constante de proporcionalidade c e, portanto, tem sempre sinal oposto ao movimento. Seja x=x(t) a posio do carro em um instante t e v=v(t) sua velocidade. Uma vez iniciado o movimento, as foras atuantes no carro, Fm e Fv, tem sinais contrrios. Coloquemos um referencial conforme a figura a seguir:

Vamos supor que, por um instante, o carro est direita do ponto de equilbrio. Neste caso, a fora Fm assume o sinal negativo e a fora Fv o sinal positivo. Acontece que, como o carro est se movimentando para a esquerda, a distncia x(t) da posio de equilbrio est diminuindo, isto , x(t) est decrescendo e, portanto, sua derivada x0(t) uma funo negativa, ou seja, sua velocidade negativa. Como Fv positiva, ento Fv = cx0 (t). Logo, pela 2 lei de Newton, a soma das foras atuantes no sistema carro-mola, nos d

"( ) '( )m vF t ma F F m x t x t x ou seja, temos uma equao diferencial de segunda ordem:

"( ) '( )m x t x t x F t onde x(t) representa o deslocamento, m representa a massa, o fator de amortecimento, k a constante elstica e F(t) uma fora externa.

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Considerando o sistema como uma equao diferencial linear homognea com coeficientes constantes, vale fazer algumas consideraes importantes:

Quanto ao Movimento:

"( ) '( )m x t x t x F t

, ( ) 0 0se F t e Movimento livre amortecido

, ( ) 0 0se F t e Movimento livre sem amortecimento

, ( ) 0 0se F t e Movimento oscilatrio harmnico

Quanto o Sistema:

2"( ) '( ) ( ) 0m x t x t x F t m

2, 42

mA

, 0se Sistema Super amortecido

, 0se Sistema Sub amortecido

, 0se Sistema criticamente amortecido

Exemplo 8.1. Consideremos uma situao formada por uma populao de organismos zooplanctnicos. So colocadas em um bquer trs fmeas partenogenticas grvidas (no h necessidade de fecundao pelo macho) de um microcrustceo chamado cladcero em condies ideais de alimentao, temperatura, aerao e iluminao e ausncia de predadores. Sabendo-se que em 10 dias havia 240 indivduos vamos determinar a populao em funo do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da populao proporcional populao atual (crescimento exponencial).

Exemplo 8.2. O caf est a 90C logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85C, em uma cozinha a 25. Vamos determinar a temperatura do caf em funo do tempo e o tempo que levar para que o caf chegue a 60C.

Exemplo 8.3. Para um circuito RC onde a resistncia de 1 ohms, a capacitncia de 4-1 farads e a diferena de potencial de e-t, vamos determinar a Funo da Carga subseqente Q(t) no capacitor em qualquer instante t, se Q(0) = 1.

Exemplo 8.4. Um sistema carro-mola, com massa m = 1, constante de atrito = 5 e constante elstica da mola k = 6, posto em movimento a partir da posio de equilbrio com um deslocamento x(0) = 1 e velocidade inicial x(0) = 0 e ainda sem fora aplicada. Vamos determinar o deslocamento do carro x(t) em qualquer instante t.

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EXERCCIOS

1. Um sistema carro-mola, com massa m = 1, constante de atrito = 0 e constante elstica da mola k =16, posto em movimento a partir da posio de equilbrio com um deslocamento x(0) = 5 e velocidade inicial x(0) = 0 e ainda sem fora aplicada. Encontre a funo do deslocamento do carro x(t) em qualquer instante t. 2. Para um circuito RC onde a resistncia de 10 ohms, a capacitncia de 10-1 farads e sem diferena de potencial e fora eletromotriz, encontre a Funo da Carga subseqente carga Q(t) no capacitor em qualquer instante t, se Q(0) = 2 e tambm a Funo da Corrente subseqente I(t) no

circuito, em qualquer instante t, sabendo que ( )dQ

I tdt

.

3. Um corpo temperatura inicial de 40 F colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente de 100 F. Se aps 5 minutos a temperatura do corpo de 80 F, determine o tempo necessrio para a temperatura do corpo atingir 60 F.

GABARITO

Questo 1: ( ) 5cos 4x t t

Questo 2: ( ) 2 ( ) 2t tQ t e e I t e

Questo 3: 0,036( ) 100 60 1,84tT t e e t

Anotaes: Bibliografia Bsica: BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C. Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8 edio. So Paulo: LTC, 2006.