Apostila de Física Geral e Experimental II

Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2011

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APOSTILA DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II

FACULDADES DE ENGENHARIA

CIVIL, MECÂNICA, PETRÓLEO, PRODUÇÃO

E QUÍMICA

Este material foi desenvolvido pela equipe de professores de Física Geral e Experimental da Universidade Santa Cecília.

Coordenador: Prof. MSc. Luis Fernando Ferrara Professores: Prof. Dr. Djalmir Correa Mendes Profª Maria Valéria Barbosa Prof Vanildo José Assis D’Antonio Profª MSc. Walkiria Reche da Silva Prof. MSc. Rafael Urbaneja Sanchez Prof. Luis Fernando Nogueira

2º SEMESTRE DE 2011


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1ª PARTE

EXERCÍCIOS DE TEORIA

DE

FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II


3 CINEMÁTICA VETORIAL

1) O vetor posição de uma partícula obedece a equação kttjtitr

223 2 (S.I.). Determinar:

a) As coordenadas da partícula no instante t = 2 s;

b) O deslocamento e a velocidade média no intervalo 1 < t < 3s;

c) A função horária da velocidade;

d) A função horária da aceleração média no intervalo 1 < t < 3s;

e) A função horária da aceleração;

f) A velocidade da partícula no instante em que ela toca o plano xOz;

g) O instante em que a velocidade da partícula é paralela ao eixo Oz e as coordenadas da partícula nesse instante.

Resp.: a) P2 (8; 2; 2) m; b) )(6826 mkjir

e )/(3413 smkjivm

;

c) )/()12(23 2 smktjtitv

; d) )/(2212 smkjiam

; e) )/(226 2smkjita

; f)

)/(82,182,26 smkjiv

; g) t = 0 ; P0 (0; -2; 0).


4

2) O vetor posição de uma partícula varia com o tempo segundo a lei jtitr 232 (S.I.). Determinar:

a) As funções cartesianas da trajetória;

b) As funções horárias da velocidade e da aceleração;

c) A velocidade vetorial média e a aceleração vetorial média entre os instantes t = 0 e t = 2 s.

Resp.: a) y = 0,75x2 e z=0 (m); b) )/(62 smjtiv

e )/(6 2smjat

; c) )/(62 smjivm

e )/(6 2smjam

.


5 3) O vetor posição de um ponto varia segundo a lei, jtitr

2421 (S.I.). Determinar:

a) A função cartesiana da trajetória;

b) A velocidade no instante t = 0;

c) As componentes normal e tangencial da aceleração para t = 0.

Resp.: a) y = (x-1)2 e z = 0 (m); b) )/(20 smiv

; c) 0ta

e )/(8 2smjan

.


6 4) Um ponto material move-se obedecendo as seguintes equações:

4223

1;2 32 tzetytx (S.I.).

Determinar:

a) O vetor posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 1 s;

b) As componentes normal e tangencial da aceleração nos instantes t = 1s e t = 2s.

Resp.: a) )(23

52 mkjir

, )/(24 smkjiv

e )/(24 2smjia

;

b) p/ t = 1s : )/(72,186,043,3 2smkjiat

e )/(72,114,157,0 2smkjian

p/ t = 2s : )/(14,129,257,4 2smkjiat

e )/(14,171,157,0 2smkjian


7

5) O vetor posição de um móvel é jttittr 22 3624 (m). Determinar:

a) A função cartesiana da trajetória,

b) O vetor velocidade;

c) As componentes normal e tangencial da aceleração para t = 0.

Resp.:a) y = 1,5x e z = 0 (m); b) )/()66()44( smjtitv

; c) )/(64 2smjiat

e 0na

.


8

6) A velocidade de um móvel obedece a equação ktjtitv 32 82413 (S.I.). Sabe-se que para t = 0 o

móvel ocupa a posição P0 (2; -1; -3) (m). Determinar:

a) O instante em que a velocidade do móvel é paralela ao plano xOz;

b) O vetor posição em função do tempo;

c) A aceleração do móvel em função do tempo.

Resp.: a) t = 0,5 (s); b) )()32()122()2( 423 mktjttittr

; c) )/(2446 22 smktjita

.


9

7) A velocidade de um móvel obedece a equação jitv

222 (S.I.). Sabe-se que para t = 0 o vetor posição é

kr

100 (m). Pede-se:

a) O vetor posição e a aceleração;

b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 2 s;

c) A função cartesiana da trajetória;

d) As componentes tangencial e normal da aceleração e o raio da curvatura para t = 1 s.

Resp.: a) )(102)2( 2 mkjtittr

e )/(2 2smia

; b) )/(25 smjivm

e )/(2 2smiam

;

c) x = 0,25 y2 - y e z = – 10 (m); d) )/(8,06,1 2smjiat

e )/(8,04,0 2smjian

e R = 22,36 (m).


10 8) A aceleração de um móvel obedece a equação jtia

124 (S.I.). Sabe-se que para t = 0 a velocidade do móvel é

kv

100 (m/s) e para t = 1 o móvel está na posição P1 (10; -.2; 0) (m). Determinar:

a) A função horária da velocidade;

b) O vetor posição,

c) As componentes da aceleração para t = 1 s.

Resp.: a) )/(1064 2 smkjtitv

; b) )()1010()42()82( 32 mktjtitr

; c) )/(79,547,332,2 2smkjiat

e

)/(79,553,868,1 2smkjian

.


11

9) A aceleração de um móvel é ja

10 (m/s2). Para t =0 tem-se iv

100 (m/s) e jr

50 (m). Determinar.

a) A função cartesiana da trajetória;

b) A velocidade quando o móvel passar pelo eixo Ox,

c) As componentes da aceleração para o instante do item anterior;

Resp.: a) y = 5 – 0,05 x2 (m); b) )/(1010 smjiv

; c) )/(55 2smjiat

e )/(55 2smjian

.


12

10) Um avião voa horizontalmente com velocidade constante de 200m/s a

uma altura de 2500 m. Do solo, um canhão dispara uma granada com

velocidade inicial de 600 m/s formando com a horizontal um ângulo de

30°. Calcular:

a) O instante em que a granada atinge o alvo;

b) Qual a distância na horizontal em que o avião é atingido (ver figura);

c) A velocidade e a aceleração da granada em colação ao avião.

Adotar g = 10 m/s2

Resp.: a) t=10s; b) d = 5196 m; c) smjtiv ag /)10300(720/

e

2

/ /10 smja ag


13 PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

1) Os corpos mostrados na ilustração possuem massas iguais e encontram-se

inicialmente em repouso. As polias e os fios são ideais e g = 10m/s2.

Abandonando-se o sistema, determinar:

a) as acelerações de cada corpo.

b) a força que o fio exerce no corpo A.

Resp.: a) aA= 4m/s2 ( ) ; aB =2 m/s

2 ( ) ; b) T = 4m (N).


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2) No sistema indicado, os fios e polias são ideais e o sistema é

abandonado do repouso. Sabe-se que g = 10m/s2, mc = 10kg e o

coeficiente de atrito entre o corpo C e a pista horizontal é =0,3.

Determinar as massas de A e de B para que as acelerações de ambos

seja igual a 2 m/s2 para baixo. Qual a aceleração do corpo C?

Resp.: mA =11,25 kg e mB =22,50 kg ; ac = 6m/s2 ( ).


15

3) No sistema indicado na ilustração ao lado, os fios e polias são ideais e o

sistema é abandonado do repouso. Se mA = 10kg, mB = 15kg, g = 10m/s2 e

o coeficiente de atrito entre B e o plano inclinado é = 0,2, determinar:

a) a aceleração de cada corpo

b) a tração no fio ligado ao corpo A

Dados: cos = 0,8; sen = 0,6.

Resp.: a) aA= 3,12 m/s2 ( ) ; aB = 1,56 m/s

2 ( ); b) T = 68,8 N.


16 4) O sistema representado na figura encontra-se inicialmente em repouso e os fios e

polias são ideais. Sabe-se que: mA = 50 kg, mB = 20kg, mC =10kg, g = 10

m/s2, cos = 0,8 e sen =0,6. Considerando desprezíveis os atritos, determinar:

a) a aceleração de cada corpo

b) a tensão em cada fio

c) o mínimo coeficiente de atrito entre o corpo A e o plano inclinado para que este

permaneça em repouso.

Resp.: a) aA= 0,44 m/s2 ( ) ; aB = 3,04 m/s

2 ( ); aC = 3,91 m/s

2 ( );

b) T = 139 (N); c) µMIN = 0,05.


17 5) Na ilustração ao lado, sabe-se que os fios e polias são ideais e que o sistema é

abandonado do repouso. Se a aceleração da gravidade no local é 10m/s2, mA =

20kg mB = 30kg e mC = 15kg, determinar:

a) a aceleração de cada corpo.

b) a tração em cada cabo.

Resp.: a) aA= 2,5 m/s2 ( ) , aB = 1,67 m/s

2 ( ) e aC = 1,67 m/s

2 ( );

b) TA = 250 N , TB = 250 N e TC = 125 N.


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6) Na ilustração ao lado, os blocos deslizam sobre o plano inclinado que

forma ângulo de 30° com a horizontal, sob a ação da gravidade. Se B =

0,3; A = 0,15; mA = mB = 5 kg e g = 10m/s2, determinar:

a) a aceleração dos blocos;

b) a força de contato entre eles.

Resp.: a) 3,05 m/s2; b) 3,2 N.


19 7) Na figura temos: mA = 5kg; mB = 20kg e g = 10m/s

2. A mola de massa

desprezível tem constante k = 500N/m e o fio e a polia são ideais.

Desprezando os atritos, qual é a deformação da mola quando o sistema é

abandonado?

Resp.: x = 0,15 m


20

8) Determine as forças tensoras do sistema ao lado e as acelerações do corpo A e

do corpo B. Sabe-se que o coeficiente de atrito entre o bloco A e o plano é 0,

2, que a aceleração da gravidade é 10 m/s2 e que o sistema é abandonado do

repouso.

Dados: PA = 100 N e PB = 300 N.


21 9) Determine as forças tensoras do sistema ao lado e as acelerações do corpo

A e do corpo B quando o sistema é abandonado do repouso. Sabe-se que

o coeficiente de atrito entre o bloco A e o plano inclinado é 0,2 e a

aceleração da gravidade 10 m/s2 .

Dado: PA = 200 N e PB = 50 N.

Resp.: TA=27,38N e TA=54,76N


22 10) Dois blocos são conectados por uma corda que passa sobre a

polia fixa sem atrito e repousam sobre planos inclinados,

como mostra a figura abaixo .

a) Como os blocos devem se mover quando eles forem

libertados a partir do repouso?

b) Qual é a aceleração de cada bloco?

c) Qual é a tensão na corda?

Dados : A massa de A é100 kg e a massa de B é 50 kg .


23 TRABALHO E POTÊNCIA DE FORÇA

1) Um homem empurra para baixo um bloco apoiado no chão de massa 50kg aplicando-lhe uma força constante que

forma ângulo de 30° em relação à horizontal. A trajetória do bloco é uma reta e o coeficiente de atrito entre a pista

horizontal e o bloco é 0,20. Se num deslocamento de 5 m o trabalho realizado pela força aplicada pelo homem é 800J,

calcule:

a) o valor da força aplicada.

b) o trabalho do atrito neste deslocamento.

Resp.: a) F = 185 N; b) fat

= - 592,5 J.

2) Uma partícula de massa m = 2kg tem movimento descrito pela seguinte equação horária:

ktjtitr

52 23 (SI).

Determinar:

a) a força resultante que atua na partícula;

b) a potência da resultante;

c) o trabalho resultante entre os instantes 0 e 2s.

Resp.: a) jitF

812 (S.I.); b) P = 36 t3 + 32 t (S.I.).


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3) Um corpo de massa m =.4kg move-se num plano

horizontal sem atrito, sob ação de uma força F paralela a

este plano cuja intensidade varia com a posição do corpo

segundo mostra o gráfico ao lado. Na origem dos eixos, o

corpo tem velocidade nula. Determinar:

a) o trabalho da força entre O e 8m;

b) a posição em que a velocidade do corpo é máxima;

c) a potência da força na posição x = 2m.

Resp.: a) = 70 J; b) x = 6m; c) P = 20.20 (W).


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4) Uma partícula de massa m = 10kg encontra-se em repouso sobre plano

horizontal na posição x = O. Entre o corpo e o plano existe atrito de coe-

ficiente = 0,2. Sobre o corpo atua uma força paralela a Ox cuja

intensidade varia com a posição do corpo conforme mostra o gráfico.

Sendo g = 10m/s2 , determinar:

a) o trabalho de F entre O e 5m

b) o trabalho do atrito no mesmo deslocamento do item anterior

c) a potência de F e a potência resultante em x = 3m

d) o trabalho resultante entre O e 5m

Resp.: a) F = 320 J; b) fat = - 100 J; c) PF 480 W e PR = 360 W.


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5) A potência da resultante numa partícula de massa m = 2kg varia com o tempo segundo a lei:

P(t) = 6.t2 - 4t + 2 (SI)

Se a velocidade da partícula em t = 0 é 2m/s paralela à força, deteminar:

a) qual a velocidade da partícula em t = 2s;

b) qual é a potência média entre 0 e 2s;

c) qual é a intensidade da força que atua na partícula em t = 2s.

Resp.: a) v = 4 m/s; b) PM = 6 W; c) F = 4,5 N.

6) Uma partícula é empurrada sobre uma superfície horizontal por uma força F que atua paralelamente à superfície, e sua

intensidade aumenta conforme a relação F = 6.x (SI) . Que trabalho terá realizado essa força, quando o corpo tiver se

deslocado da posição de 10 metros até a posição de 20 metros?

Resp.: = 900 J


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7) Uma partícula de massa 2 Kg encontra-se em

repouso sobre um plano horizontal perfeitamente

liso, na posição x = O . Atuando sobre a partícula

existe uma força paralela ao eixo OX que varia com

a posição da partícula conforme mostra o gráfico ao

lado. Sendo g = 10 m/s2.

Pede-se:

a) O trabalho da força F entre 0 e 6 m.

b) A velocidade máxima atingida pela partícula.

c) A Potência da força quando x = 3 m.

d) A posição em que ela pára novamente.


28 8) Um corpo de massa 4 kg recebe a potência dada pelo gráfico

abaixo. O corpo parte da origem com velocidade nula e

move-se segundo o eixo horizontal OX, sob a ação de uma

força paralela a esse eixo. Determinar:

a) O trabalho recebido pelo corpo entre os instantes 0 e 15

segundos.

b) Que potência constante forneceria o mesmo trabalho.

c) O instante em que a velocidade do corpo é de 10 m/s.

d) A intensidade da força no instante t = 2 segundos.

Resp.: a) = 480 J; b) P = 32 W; c) t = 6 s; d) F = 54 N.


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9) Um corpo de massa m = 4 kg, move-se num plano horizontal, sem atrito, sob a ação de uma força F, paralela a este

plano, que varia com a abscissa x de acordo com o gráfico abaixo. O corpo parte da origem com velocidade nula.

Pede-se:

a) O trabalho da força F entre as posições x = O e x = 8 m.

b) A posição x' em que o móvel tem velocidade nula.

c) A posição em que a velocidade é máxima e o valor dessa velocidade.

d) A potência da força F na posição x = 6 m.

Resp.: a) F = 20 J; b) x’ = 10 m; c) x = 4m e v = 5,24 m/s; d) P = = 2010 W.


30 10) Uma força F, horizontal, atua sobre um corpo de massa m = 5 kg que se desloca sobre um plano também horizontal e

varia em fufnção deste deslocamento de acordo com o gráfico anexo. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o

plano é e a aceleração a gravidade é g = 10 m/s2.

Determinar:

a) O trabalho da força F no deslocamento de O a 10 (m),

b) A posição do móvel quando o trabalho realizado pela força F é nulo.

c) O coeficiente de atrito sabendo que o trabalho da resultante das forças exercidas sobre o corpo é nulo no

deslocamento de O a 4 (m).

d) O trabalho resultante no deslocamento de O a 10 (m).

e) Qual a mínima velocidade que a partícula deve ter em x.= O para parar em x = 10 m?

Resp.: a) F = - 7,5 J; b) x = 8,5 m; c) µ = 0,1; d) R = - 57,5 J; e) vMIN = 3 m/s.


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ENERGIA MECÂNICA

1) A partícula da figura de massa 2 kg é abandonada de repouso do ponto A sendo desviado por uma canaleta B para o

plano horizontal de modo a provocar a compressão da mola de constante elástica 18.103 N/m, inicialmente sem

deformação. Sabendo-se que g = 10 m/s2 , que o coeficiente de atrito dinâmico entre a partícula e a superfície do plano

horizontal é 0,5, que ÃB = 10 cm e BC = 10 cm, determinar a máxima compressão processada na mola.

Resp.: x= 1,05 cm.


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2) A mola horizontal da figura está comprimida de 50 cm e sua constante elástica é 4.000 N/m. A partícula que a

comprime tem massa de 10 kg e está apenas encostada nela, sendo mantida nessa posição, em repouso, por meio de

um "sarrafo". Num dado instante o "sarrafo" é retirado e a partícula, recebendo impulso da mola, passa a se

movimentar ao longo da superfície horizontal de apoio, passando a seguir para a inclinada de um ângulo com a

horizontal, podendo atingir a outra superfície horizontal que se encontra 3,2 m acima da primeira. Adotar g = 10 m/s2

e desprezar o atrito entre a partícula e as superfícies. Determinar o módulo da velocidade com que a partícula atinge a

superfície horizontal mais elevada, ou o módulo da velocidade e a altura máxima atingida no caso de a partícula não

alcançar a superfície mais elevada.

Resp.: v = 6 m/s.


33 3) O corpo de massa m = 2 kg é abandonado no ponto A de um plano inclinado perfeitamene liso e pára ao atingir o

ponto B, após comprimir a mola de 4 m. A constante elástica da mola é k = 10 N/m e a aceleração da gravidade é g =

10 m/s2 Determinar:

a) A altura h.

b) O trabalho do peso do corpo de A até B.

c) O trabalho da força exercida pela mola sobre o corpo de A até B.

d) O trabalho resultante de todas as forças atuantes no corpo durante o mesmo percurso.

Resp.: a) h = 4m; b) F = 80 J; c) = - 80 J; d) R = 0.


34

4) Uma esfera de massa m = 2 kg é abandonada, sem

velocidade inicial, no ponto A, descreve a

trajetória indicada e pára no ponto C após

comprimir a mola em 0,5 m. Sendo a constante

elástica da mola k = 200 N/m e a aceleração da

gravidade g = 10 m/s2, determinar:

a) A altura do ponto A em relação ao ponto B.

b) A reação exercida sobre a esfera no ponto B sabendo

que o raio de curvatura desse ponto é 20 m.

Resp.: a) hA = 2,25 m; b) NB = 24,5 N.


35

5) Na fig. encontra-se representada uma pista com um trilho sobre o qual pode deslizar, sem atrito, um pequeno

carrinho. Calcular qual deve ser a mínima diferença de cota dos pontos A e B para que o carrinho, abandonado do

repouso no ponto A, descreva a circunferência de centro O e raio 20 cm.

Resp.: h = 0,5 m.


36

6) Uma partícula é posta a deslizar sobre uma superfície polida de maneira ,a descrever a curva ABCD num plano

vertical. O trecho BCD é um arco de circunferência de centro O e de raio 20 em. Admitindo que o móvel seja

abandonado no ponto A do repouso, calcular a intensidade da força de reação da superfície quando a partícula passar

pelo ponto B situado a 80 cm abaixo de A, sendo 60° o ângulo formado pelos segmentos OB e OC. Admitir que a

massa da partícula seja 5 g e g = 10 m/s2.

Resp.: N=0,425N


37

7) Uma pequena esfera de massa 20g está sobre uma mola comprimida 4 cm. Solta-se a rnola e deseja-se que a esfera

descreva a trajetória ABCD. Considere g = 10 m/s2 e calcule a constante elástica mínima da mola, tal que a partícula

consiga descrever a referida trajetória.

Resp.: k = 112,5 N/m


38

8) Um corpo de massa m = 1 kg está com a velocidade de 2 m/s na posição A da figura. Ao atingir a mola de constante

elástica 4.103 N/m provoca a deformação máxima de 5.10

-2 m. Calcular:

a) O trabalho de atrito mola atingir a sua máxima deformação.

b) A altura atingida ao voltar; sabendo-se que o trabalho de atrito do ponto de retorno até a altura h é –1J.

Adotar g = 10 m/s2.

Resp.: a) fat = - 2 J; b) h = 0,4 m.


39 9) Um corpo de massa 1 kg possui velocidade inicial em A de 5 m/s e percorre a trajetória ABCD, como mostra a

figura. Os trechos AB e CD são perfeitamente lisos, e no trecho BC, existe atrito de coeficiente igual a 0,25.

Determine a altura do ponto D, sabendo que esta é a altura máxima atingida pelo móvel na rampa CD.

Resp.: H = 2m


40

10) Um corpo de massa 1 kg possui velocidade inicial em A de 2 m/s e percorre a trajetória ABC, como mostra a figura.

O trecho em rampa é perfeitamente liso, e a partir do ponto B, existe atrito de coeficiente igual a 0,2. Determine:

a) a velocidade no ponto B;

b) a distância horizontal d que o corpo percorre até parar;

c) a aceleração no trecho BC.

Resp.: VB = 12 m/s ; d = 36m


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2ª PARTE

LABORATÓRIO

DE

FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II

2º SEMESTRE DE 2011


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EXPERIÊNCIA 01

ANÁLISE DIMENSIONAL OBJETIVO

Determinar, no sistema MLT, as equações dimensionais de grandezas físicas e verificar a homogeneidade de equações. PROCEDIMENTO

Utilizando os conceitos do sistema MLT, resolver os exercícios propostos.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Grandezas e sistemas unitários

Podemos conceituar “grandeza física” como um elemento que, por convenção, tem por objetivo facilitar o estudo, a análise e a descrição de um fenômeno ou um grupo de fenômenos, sendo este suscetível de definição ou definições quantitativas.

Esta definição permite de imediato se pensar em conceituar-se “medição de uma grandeza”. Isto é, medir-se uma grandeza é em síntese, compará-la com outra de mesma espécie que deverá ser tomada por “unidade”. Assim sendo, com esta comparação, podem-se verificar quantas vezes a unidade estará contida na grandeza que se quer medir.

O valor de qualquer grandeza física é expressa como a combinação de dois fatores: a quantidade de unidades e o nome da unidade. Ou seja, podemos conceituar que uma grandeza física qualquer (G) é a combinação entre a medida de “G” e a “unidade de G”.

Algumas grandezas podem ser consideradas fundamentais e outras derivadas. As grandezas fundamentais têm como exemplo a massa, o comprimento, o tempo. Por outro lado, as grandezas derivadas podem ser exemplificadas pela pressão, velocidade, aceleração, quantidade de movimento, trabalho, etc.

A medição das grandezas fundamentais é dita como direta, quando as medidas são obtidas diretamente em termos das unidades de mesma espécie. Assim sendo, por estes critérios podem-se enquadrar as grandezas fundamentais como “diretas” ou ainda dizer quando duas grandezas de mesma espécie são iguais e quando uma é algumas vezes maior ou menor do que a outra. Enquanto que as medidas das grandezas derivadas são sempre realizadas pelo método das medidas “indiretas”

Grandezas fundamentais variam de um sistema para outro. Geralmente, tempo e comprimento são tidos como fundamentais. O sistema de unidades necessita uma terceira grandeza fundamental, que pode ser massa ou força. Aqueles sistemas que apresentam a massa como a terceira grandeza fundamental são conhecidos como sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que têm a força como unidade fundamental são chamados sistemas de unidade técnicos. Existem também sistemas unitários usados na engenharia que consideram comprimento, tempo, massa e força como grandezas fundamentais. Sistemas de Unidades Absolutos

Consideraremos aqui três sistemas de unidades absolutas: o C.G.S. (CGS), o Sistema Internacional (MKS), e o inglês (FPS). De todos estes, as grandezas fundamentais são comprimento, massa, e tempo. As diferentes unidades destes três sistemas são apresentadas na Tabela 1.

Sistema de Unidade Absoluto

Sistema CGS SI Inglês

Grandeza CGS MKS FPS

Comprimento (L) 1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 pé (ft)

Massa (M) 1grama (g) 1 quilograma (kg) 1 libra (lb)

Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s)

Tabela 1


43 Algumas vezes a grandeza de uma determinada unidade é muito grande ou muito pequena para se

indicar uma medida e assim o mais apropriado é utilizar os múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais. É aconselhável usar estes múltiplos e submúltiplos na potência de 10

3. A seguir (Tabela 2) está

a lista dos múltiplos e submúltiplos mais freqüentemente utilizados, assim como seu respectivo nome e símbolo.

Prefixo Fator de multiplicação Símbolo SI

Hexa 1018

H

Peta 1015

P

Terá 1012

T

Giga 109 G

Mega 106 M

Quilo 103 k

Hecto 102 h

Deca 101 da

Deci 10-1

d

Centi 10-2

c

Mili 10-3

m

Micro 10-6

Nano 10-9

Pico 10-12

p

Femto 10-15

f

Atto 10-18

a

Tabela 2 Quando as grandezas de calor são usadas, é conveniente definir a unidade de temperatura. Para os

sistemas CGS e MKS, a unidade de temperatura é definida em graus centígrados (oC), enquanto que para o

sistema Inglês é definido em graus Fahrenheit (oF). Unidades de calor são definidas independentemente do

sistema de unidades.

Equação dimensional

Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de M, L e T, obtendo-se, assim, a equação dimensional da grandeza G.

Desse modo, a equação dimensional de G, que é indicada pela notação [G], será dada por

TLMG ..

Os expoentes , e são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação às grandezas fundamentais M, L e T. Sendo assim, podemos escrever todas as grandezas da mecânica em função de L, M e

T variando os valores de , e . Vejamos alguns exemplos:

1. Velocidade:

2. Aceleração:

[v] =

[a] =


44 3. Força:

4. Trabalho de uma Força:

5. Energia:

6. Potência:

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

A força de atração gravitacional é dada por Determine a dimensão da constante G. Resolução

21

2

2

21

.

...

mm

dFG

d

mmGF

MM

LTLMG

.

... 2211

Resposta:

Homogeneidade Dimensional

Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea.

Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais às dimensões do outro membro. Portanto a expressão:

80 quilogramas = 30 metros + x metros

seria completamente errada. Exercício resolvido

Uma força que age numa partícula é dada em função do tempo de acordo com a expressão:

[F] =

= [ح]

[G]=M-1

.L3.T

-2

F = A + B.t

[E] =

[P] =


45

Quais as dimensões de A e B para que a relação seja dimensionalmente homogênea?

Resolução

[B.t] = [F] [B] · [t] = [F] [B] [t] = MLT

–2

Sabemos que toda equação física deve ser dimensionalmente homogênea para ser verdadeira quando relacionam igualdades entre grandezas de mesma espécie. Este aspecto é conhecido como homogeneidade de equações. Isto é, se ambos os membros de uma equação física tiverem as mesmas dimensões em relação às mesmas grandezas, esta equação física é “dimensionalmente homogênea”. Como conseqüência, pode-se enunciar que toda equação física verdadeira deverá ser também dimensionalmente homogênea.

Notamos ainda que a homogeneidade dimensional em uma equação é uma condição necessária, mas não suficiente para a legitimidade física. Uma equação física pode ser dimensionalmente homogênea, mas não ser verdadeira sob outros aspectos. Vejamos um exemplo Vamos verificar se a equação que define a força centrípeta de um móvel em trajetória circular é homogênea:

2.

1

:,.

21221

22

2

2

TLMLTLMRt

sm

R

vm

TLMamF

éistoR

vmF

CP

CP

Comparando (1) e (2), verificamos que as duas equações dimensionais são iguais, portanto a equação considerada é homogênea.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

[A]=[F]=M1.L

1.T

-2

[B]=M1.L

1.T

-3


46


47

COMPLEMENTO 1. Sistema Internacional ( S.I.) Na 11ª Conferência Geral de Pesos e medidas, em 1960, o Brasil ratificou como legal o “S.I.” . Para o quadro apresentado abaixo, ainda que de forma simplificada, algumas constantes devem ser conhecidas: ―c‖ ( velocidade da luz no vácuo ) = 3.10

8 m/s

―0‖ ( constante de permissividade no vácuo ) = 8,85. 10-12

F/m

―0‖ ( constante de permeabilidade no vácuo ) = 4. .10-7

H/m Algumas das grandezas do S.I. e suas respectivas unidades são representadas abaixo:

Comprimento metro (m). Obs: Å = Ângstron = 10-10

m

Ângulo plano radiano (rad)

Área metro quadrado (m2)

Volume metro cúbico (m3)

Número de ondas um por metro (m-1

)

Massa quilograma (kg)

Massa específica quilograma por metro cúbico (Kg/m3)

Densidade linear de massa quilograma por metro (kg/m)

Densidade superficial de massa quilograma por metro quadrado (kg/m2)

Tempo segundo (s)

Freqüência Hertz (Hz)

Velocidade metro por segundo (m/s)

Velocidade ou freqüência angular radiano por segundo (rad/s)

Aceleração metro por segundo ao quadrado ( m/s2)

Aceleração angular radiano por segundo ao quadrado (rad/s2)

Vazão metro cúbico por segundo (m3/s )

Momento de inércia quilograma vezes metro quadrado (kg . m2 )

Força newton (N)

Momento de força metro vezes newton (m . N)

Impulso newton vezes segundo (N . s)

Pressão newton por metro quadrado (N/m2)

Energia joule (J)

Potência watt (W)

Densidade de fluxo de energia watt por metro quadrado (W/m2)


48 Nível de potência bel (B)

Intensidade de corrente ampère (A)

Quantidade de carga elétrica coulomb (C)

Tensão elétrica volt (V)

Intensidade de campo elétrico volt por metro (V/m)

Capacitância farad (F)

Indutância henry (H)

Resistência elétrica ohm ()

Resistividade elétrica ohm vezes metro ( . m)

Condutância elétrica siemens (S)

Condutividade elétrica siemens por metro ( S/m)

Indução magnética tesla (T)

Fluxo magnético weber (Wb)

Intensidade de campo magnético ampère por metro (A/m)

Relutância ampère por weber (A/ Wb)

Temperatura dinâmica Kelvin (K)

Entropia joule por Kelvin (J/K)

Condutividade térmica watt por metro vezes Kelvin ( W/m.K)

Intensidade luminosa candela (cd)

Fluxo luminoso lúmem (lm)

Iluminamento lux (lx)

Luminância candela por metro quadrado (cd/m2)

Quantidade de luz lúmem vezes segundo (lm.s)

Emitância luminosa lúmen por metro quadrado (lm/m2)

Convergência dioptria (di)

Intensidade energética watt por esferorradiano (w/sr)

Atividade um por segundo (s-1

)

Exposição coulomb por quilograma (C/kg)

Dose absorvida joule por quilograma (J/kg)

Ângulo plano grau, minuto, segundo ( º , ’ ,‖ )

Freqüência angular rotação por minuto (r.p.m.)

Energia em eletron-volt eletron-volt (ev = 1,6.10-19

J)

Potência em cavalo-vapor cavalo-vapor (cv)

Nível de audibilidade fon (fon = freq de 1 kHz de 1 dB)

Audibilidade sone (sone = som de 40 fons)

Atividade radioativa curie (Ci)

Exposição à radiação eletromagnética roengten (R)

Para o estudo da eletricidade adota-se como grandezas fundamentais, além de LMT, a corrente elétrica I com fundamental. Assim, podemos dar alguns exemplos de grandezas da termologia e da eletricidade:

temperatura – [t] = M0L

0T

0 1

coeficiente de dilatação – [ ] =M0L

0T

0 –1

quantidade de calor – [Q] = M1L

2T

–2 = [ ]

calor específico – [c] = M0L

2T

–2 –1

capacidade térmica – [C] = M1L

2T

–2 –1

calor latente – [L] = M0L

2T

–2 0

carga elétrica – [q] = M0L

0T

1I

1

ddp – [U] = M1L

2T

–3I

–1

campo elétrico – [E] = M1L

1T

–3I

–1

resistência elétrica – [R] = M1L

2T

–3I

–2

capacidade eletrostática – [C] = M–1

L–2

T4I

2

fluxo magnético – [ ] = ML2T

–2I

–1


49 Conversão de unidades:

A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as quantidades são expressas como uma função das unidades fundamentais de massa, comprimento, tempo e temperatura. A conversão de fatores é usada para converter diferentes unidades. O fator de conversão é o número de unidades de um certo sistema contido em uma unidade de grandeza correspondente em outro sistema.

Para melhor compreender-se o que significa símbolo dimensional, deve-se primeiro rever os conceitos entre as relações de grandezas medidas e unidades. Consideremos uma grandeza G medida por duas unidades distintas U1 (G) e U2 (G) , sendo obtidos os valores m1 (G) e m2 (G) respectivamente, têm-se: G = m1 (G) . U1 (G) G = m2 (G) . U2 (G) Isto é: m1 (G) .U1 (G) = m2 (G) . U2 (G) então:

GU

GU

Gm

Gm

1

2

2

1

Podemos concluir que a razão entre duas medidas de mesma grandeza, com unidades diferentes, é igual ao inverso da razão entre essas unidades. Desta maneira, esta relação soluciona um dos problemas da Física, como “mudança de unidades”. Continuando, teremos:

10.12

112

GU

GUGmGm , sendo:

m2 (G): nova medida m1 (G): medida antiga e

U G

U G

unidade nova

unidade antigaG

1

2

que é o símbolo dimensional da grandeza G.

Assim: GU

GUG

2

1

Partindo da definição de [ G ] - símbolo dimensional, pode-se escrever: m2 (G)= m1 (G) . [ G ] que é definida como a “expressão fundamental na resolução dos problemas de unidades”.


50

RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II

ATIVIDADE 01

EXPERIMENTO 01

ANÁLISE DIMENSIONAL

DATA DE EXECUÇÃO :

____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:_______________________________________________ Nº

Dia da semana da Turma:_________________


51

ATIVIDADE 01 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EXPERIMENTO 01: ANÁLISE DIMENSIONAL

1) Determinar, no sistema LMT, as equações dimensionais das seguintes grandezas:

a) quantidade de movimento

b) impulso

c) massa específica linear

d) massa específica superficial,

e) massa específica volumétrica

f) trabalho de uma força

g) energia

h) potência

i) momento de uma força

j) constante de gravitação universal

2) Verificar a homogeneidade das seguintes equações:

a) 2

2

1tgy

b) 2

2

1vmEC

c) g

ht

2

d) R

vmFC

2


52


ATIVIDADE 02

EXPERIMENTO 01

ANÁLISE DIMENSIONAL


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:______________________________________________ Nº



53

A = comprimento B = momento de uma força C = pressão

A = comprimento B = trabalho de uma força C = força D = volume

ATIVIDADE 02 - RELATÓRIO

EXPERIMENTO 01: ANÁLISE DIMENSIONAL

OBJETIVO: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

QUESTÕES: 1) Verificar a homogeneidade das seguintes equações:

a) hgp

b) t

sv

c) 2

2

1tav

d) 3

3

1

C

BA , onde

e) B

DCA

3

1 , onde

RESP.:

RESP.:

RESP.:

RESP.:

RESP.:


54 2) Determinar os expoentes x e y , sabendo que o espaço percorrido por um móvel em movimento variável é

função do tempo e da aceleração da gravidade ( S = k g x t

y ).

3) A velocidade (v) de propagação de ondas transversais numa corda elástica é função da força tensora (F)

aplicada à corda e de sua massa específica ( ), isto é, v = k F x

y , onde k é uma constante

adimensional. Determinar os expoentes x e y. 4) Encontra-se, experimentalmente, que a freqüência fundamental ( f ) na qual um fio de massa específica

linear ( ) e comprimento ( ) , submentido a uma força tensora ( F ) , pode vibrar, depende apenas de ,

e F (zyx Fkf ..... ). Sabe-se, ainda, que o fator adimensional (k) que figura na relação de

dependência entre de f , , e F vale ½. Determinar: a) os expoentes x, y e z; b) a freqüência fundamental de um fio de 0,50m de comprimento de 10 g de massa, submetido a uma força

tensora uniforme de 288N. RESPONDER: 1) O que é equação dimensional de uma grandeza G?

______________________________________________________________________________________

2) O que é homogeneidade de equações?

_____________________________________________________________________________________

3) Qual o procedimento para previsão da fórmula que define uma grandeza?

______________________________________________________________________________________

RESP.:

RESP.:

RESP.:


55

EXPERIÊNCIA 02

ATRITO EM PLANO INCLINADO

OBJETIVO

Determinar experimentalmente o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies diferentes.

PROCEDIMENTO Utilizando um plano inclinado e fazendo deslizar alguns corpos de materiais diferentes sobre o referido plano, determinar o coeficiente de atrito estático para as duas superfícies utilizadas. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A força de atrito é uma força que se manifesta entre duas superfícies em contato quando há tendência de movimento relativo entre elas.

Para tentarmos entender o mecanismo de ação das forças de atrito, vamos considerar duas superfícies.Mesmo que numa primeira observação nos pareçam perfeitamente lisas, quando observadas com maior detalhamento perceberemos que há imperfeições nessas superfícies. Estas imperfeições são chamadas de rugosidades superficiais que têm origem no tratamento dado à superfície dos corpos e inclui, também, elementos de contaminação da superfície como grãos de poeira, gorduras, etc.

Vamos admitir que essas duas superfícies examinadas sejam uma mesa e um bloco em repouso apoiado sobre essa mesa. Observe a figura abaixo. No detalhe estão ilustradas as imperfeições superficiais dos dois corpos que se ―encaixam‖ e oferecem uma resistência ao início do movimento do bloco.

Figura 1

Neste momento inicial as únicas forças atuando no bloco são o seu próprio Peso ( P ) e a reação Normal de apoio ( N ) que a mesa aplica sobre o bloco. A força normal é uma força perpendicular à superfície de apoio de um corpo e é a reação desse apoio. No nosso caso, a ação está aplicada na mesa e a reação no bloco (observe a figura 1). Nestas condições a resultante das forças que atuam sobre o bloco na direção vertical é nula. A partrir de agora, para simplificar os esquemas, iremos apenas representarr as forças na direção horizontal, ou seja, na direção do plano da superfície da mesa.

Aplicaremos ao bloco em repouso uma força motriz horizontal,de intensidade tal que o bloco

permaneça em repouso. Esquematicamente, teremos a seguinte situação. Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, se o bloco

permanece em repouso a resultante das forças sobre o corpo na direção horizontal é nula ( 0R

). No entanto, a situação

representada na figura 2 contrariaria esse princípio, pois a única

força atuando sobre o bloco é a força F

e, assim, a resultante na

direção horizontal seria a própria força F

.

Então, somos levados a concluir que a força

F

não é a única força atuando no bloco, pois se a resultante é nula há que existir uma força de mesma

oposto ao de F

intensidade, mesma direção e sentido

( – F

) atuando no bloco ( figura 3 ) e é esta força que impede o bloco de entrar em movimento. Esta força é exercida no bloco pelas rugosidades superficiais da mesa devido aos ―encaixes‖ das rugosidades

Figura 2

Figura 3


56 superficiais da mesa e do bloco.

Esta força de resistência ao movimento do bloco é o

que chamamos de força de atrito ( atf

) que nesta condição é

denominada força de atrito estático (estatf

) pois ocorre enquanto

o corpo está em equilíbrio estático (repouso). Observe a figura 4

Se aumentamos a intensidade da força F

e ainda assim o bloco permanece em repouso, é porque a força de atrito, assim como a força motriz, também aumentou sua intensidade, pois a resultante ainda é nula. Experimentalmente

sabemos que este processo de amento da intensidade de F

e de

atf

com o corpo tem um limite.

Quando o bloco sai do repouso ( 0R

) a intensidade da

força motriz for maior que a intensidade da força de atrito, devido a esta última ter atingido seu valor máximo que é igual à intensidade da força motriz de tirar o corpo do repouso, também chamado de força de destaque (figura 5). Isto indica que a intensidade da força de atrito pode aumentar qundo solicitada até uma intensidade máxima.

Assim:

destaquemáxat Ff

No momento em que o bloco entra em movimento passa a agir sobre ele um outro tipo de força de

atrito denominada força de atrito dinâmico ou cinético (datf

d ou catf

). Essa força de atrito também se opõe

ao movimento do bloco, mas como o bloco já está em movimento agora a tendêndia é no sentido de diminuir a velocidade do bloco até que ele retorne ao repouso. Empiricamente observa-se que a intensidade da força de atrito dinâmico é menor que a intensidade da força de atrito estático.

Devemos ainda observar que as forças de atrito não dependem da área de contato entre as duas superfícies.

Graficamente a representação da intensidade da força de atrito em função da força motriz, que é uma força externa, pode ser observada na figura 6.

Vamos agora retomar o esquema de forças completo (figura 7).

Figura 6

Figura 4

Figura 7

Figura 5


57 A teoria do atrito vista na Dinâmica nos mostra que o módulo da força de atrito que ocorre entre duas

superfícies sob compressão N (força de reação Normal), na iminência de escorregamento de uma sobre a outra, é dada por: Fat = μ .N

onde μ , é uma constante de proporcionalidade adimensional, denominada coeficiente de atrito, que caracteriza as superfícies em contato.

O valor máximo da intensidade da força de atrito estático (quando o escorregamento é iminente), é expresso por:

Fat e = e . N

onde e é o coeficiente de atrito estático. A força de atrito dinâmica, que se manifesta depois que as superfícies já deslizam relativamente, é expressa por:

Fat d = d . N

onde d é o coeficiente de atrito dinâmico. O coeficiente de atrito dinãmico é menor que o coeficiente de atrito estático.

O coeficiente de atrito (estático ou dinâmico) depende da natureza das superfícies, isto é, do tipo de material que as superfícies são constituídas e do estado de polimento dessas superfícies. É importante observar que os valores do coeficiente de atrito, em geral. são menores que 1.

Os dados referentes às forças de atrito estático e cinético são muito aproximados e dependem dos diferentes graus de polimento das superfícies e dos diferentes graus de contaminação com substâncias estranhas. Esses fatores são os que realmente determinam os coeficientes de atrito e a dependência da força de atrito cinético com a velocidade relativa das superfícies em questão, sendo assim, não faz sentido tabelar coeficientes de atrito entre superfícies diversas, a menos que elas sejam padronizadas. O atrito nunca é entre uma superfície de cobre e uma de alumínio, por exemplo, mas entre uma superfície de cobre com certo polimento e com algumas impurezas e uma superfície de alumínio com outro polimento e com outras impurezas.

Para entender a origem das forças de atrito deve-se considerar que, ao nível atômico, nas pequenas irregularidades das superfícies, onde o contato ocorre num número relativamente pequeno de pontos, as irregularidades se interpenetram e se deformam, exercendo forças mútuas cujas intensidades dependem da intensidade da força que empurra as superfícies uma contra a outra. Nos pontos de contato existem ligações dos átomos de uma superfície com os átomos da outra, que atuam como se fossem soldas microscópicas.

Atrito em plano inclinado Quando o corpo estiver apoiado em um plano inclinado, a distribuição de forças será diferente, pois a

reação normal de apoio ( N ) será igual à parcela do Peso na direção perpendicular ao plano inclinado (figura 8).

Lembrar que:

Pt = P.sen

Pn = P.cos

O ângulo de atrito estático mede a inclinação de um plano no qual o móvel, abandonado do repouso, se apresenta na iminência de deslizar (mas permanece em repouso). Na iminência de deslizamento:

Figura 8


58 Análise quantitativa (cálculos)

Em um plano inclinado temos a seguinte distribuição de forças, vista anteriormente.

Consideraremos como eixo

horizontal a direção do plano inclinado e e como eixo vertical a direção perpendicular à direção do plano inclinado. Assim, teremos, em módulo:

No eixo vertical:

a = 0 FR = 0 então teremos N = Pn mas

Pn = P.cos então

N = P.cos ( 1 ) No eixo horizontal:

Fr = m . a

e FR = Pt – Fat , então

Pt – Fat = m . a

mas, na iminência de movimento a = 0,

então

Pt – Fat = 0

Pt = Fat ( 2 )

Sabendo que Fat = μ .N

e Pt = P.sen ( 3 )

substituindo ( 1 ) e ( 3 ) em ( 2 ), teremos:

. P.cos = P.sen

Assim

Vejamos um exemplo: 1) Um bloco de massa 1 kg está sobre um plano inclinado e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e

o plano é 0,5. Calcule a inclinação necessária para que o bloco deslize plano abaixo. Adote g = 10 m/s

2.

Se m = 1 kg, então P= 10 N Calculando as componentes do Peso, teremos:

Pn = P.cos = 10 . cos e

Pt = P.sen = 10.sen Na iminência de movimento a = 0 e Pt = Fat e Fat = μ .N

então

. P.cos = P.sen

cos.

.

P

senP e = tg

Sendo μ = 0,3 , então 0,3 = tg = arct 0,3

Figura 9

e = tg

cos.

.

P

senP

= 16,7 °


59 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Explique o que é atrito.

2) Cite os principais fatores que influem no atrito.

3) Como o atrito pode ser reduzido?

4) O atrito é necessário para caminharmos? Por quê?

5) Em um laboratório de física, alguns alunos fizeram um estudo sobre coeficiente de atrito. O experimento constava de

uma rampa de alumínio articulada em seu vértice que permitia que sua inclinação sofresse variações, um

paralelepípedo de madeira de 20 cm de altura, que possibilitava o apoio da rampa nas variações de sua inclinação , alguns discos de metal e alguns corpos de massas e materiais diferentes listados abaixo:

Material madeira PVC (plástico) alumínio

Massa 50 g 30 g 40 g

Os corpos eram apoiados sobre a rampa e sua inclinação era aumentada até que o corpo começasse a deslizar com MRU (sem aceleração). No momento do destaque do corpo, a rampa era apoiada no toco de madeira fixando sua inclinação, formando um triângulo de base b e altura h.

Os discos de metal de massa igual a 50 g cada um eram adicionados ao corpo em cada deslizamento e alguns dados obtidos estão reproduzidas nas tabelas abaixo. Com base nas informações fornecidas, complete os dados das tabelas. MADEIRA

Massa do corpo

(g)

Massa adicionad

a (g)

Massa total (g)

Base (cm)

Altura (cm)

50

100 0,40

150

PVC

Massa do corpo (g)

Massa adicionad

a (g)

Massa total (g)

Base (cm)

Altura (cm)

50 0,50

100

150


60 PARTE PRÁTICA

1) Montar o plano inclinado articulado.

2) Medir a altura do toco de madeira que irá apoiar o plano inclinado. Esta será a altlura do triângulo formado pelo plano inclinado e sua base. Anotar na tabela na coluna altura.

3) Apoiar o bloco de madeira com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Neste momento a resultante na direção do plano inclinado é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até o toco. Esta será a base do triângulo formado pelo plano inclinado e o toco de madeira. Anotar o valor na TABELA 1 na coluna base.

4) Aumentar massa do bloco de madeira para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas (base). A altura do triângulo será a altura do toco de madeira em todas as medidas. Completar a tabela.

5) Do fundamento teórico temos que

μe = tg

então, com os dados da tabela (base e altura do triângulo retângulo formado entre o plano articulado e sua base) calcular a tangente desse ângulo e obter o coeficiente de atrito entre as superfícies analisadas.

6) Calcular o valor mais provável do coeficiente de atrito através da média aritmética dos valores encontrados.

7) Repetir o procedimento para o bloco de alumínio.


61


ATIVIDADE 03

EXPERIMENTO 02

ATRITO EM PLANO INCLINADO


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:______________________________________________ Nº



62

ATIVIDADE 03 - RELATÓRIO

EXPERIMENTO 02 – ATRITO EM PLANO INCLINADO

OBJETIVO: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ______________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

EXECUÇÃO:

1) Montar o plano inclinado articulado.

2) Medir a altura do toco de madeira que irá apoiar o plano inclinado. Esta será a altlura do triângulo formado pelo plano inclinado e sua base. Anotar na tabela na coluna Altura.

3) Apoiar o bloco de madeira com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Neste momento a resultante na direção do plano inclinado é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até o toco. Esta será a base do triângulo formado pelo plano inclinado e o toco de madeira. Anotar o valor na TABELA 1 na coluna base.

4) Aumentar massa do bloco de madeira para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas (base). A altura do triângulo será a altura do toco de madeira em todas as medidas. Completar a tabela 1.

TABELA 1 : Bloco de madeira

Massa (g) Altura (cm) Base(cm) μe

50

100

150

200

250

Valor mais provável de μe madeira

5) Cálculo dos valores do coeficiente de atrito estático entre o plano inclinado e o bloco de madeira a partir da

TABELA 1. Sabendo que para um plano inclinado

b

h

adjcat

opcattge

..

..

calcular os valores do coeficiente de atrito estático entre o alumínio da rampa e o bloco de madeira para cada um dos valores de massa utilizados no experimento. Anotar os valores na TABELA 1.

6) Apoiar o bloco de alumínio com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Como visto anteriormente, neste momento a resultante na direção do plano é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até o toco na tabela (base). Anotar na TABELA 2.

7) Aumentar a massa do bloco de alumínio para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas na coluna base. Completar a tabela 2.


63 TABELA 2 : Bloco de alumínio

Massa (g) Altura (cm) Base (cm) μe

50

100

150

200

250

Valor mais provável de μe alumínio

8) Cálculo dos valores do coeficiente de atrito estático entre o plano inclinado e o bloco de alumínio com os

valores constantes da TABELA 2. Sabendo que para um plano inclinado

b

h

adjcat

opcattge

..

..

calcular os valores do coeficiente de atrito estático entre o alumínio da rampa e o bloco de alumínio para cada um dos valores de massa utilizados no experimento. Anotar os valores na TABELA 2.

RESPONDER: 1) Aumentando a massa do corpo o que ocorre com o módulo da força de atrito nesse corpo?

_____________________________________________________________________________________

2) Aumentando a massa do corpo o que ocorre com os valores de coeficiente de atrito entre as sufperfícies

analisadas?

__________________________________________________________________________________


64

EXPERIÊNCIA 03

ESTUDO DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE

OBJETIVO: Determinar através do estudo do movimento de um corpo em queda livre, a aceleração da gravidade no local

do experimento.

PROCEDIMENTO: Utilizando um centelhador, abandonar um corpo em queda livre ligado a uma fita de referência que será marcada a intervalos de tempos iguais durante a queda. Através dos dados obtidos na fita, construir o diagrama das posições ocupadas pelo corpo, o diagrama da velocidade do corpo e, finalmente, o diagrama da aceleração do corpo em função do tempo decorrido durante a queda.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem explicou na forma aceita atualmente, como ocorre a queda livre dos

corpos, quando soltos próximos à superfície da Terra. Desprezando a ação do ar, ele enunciou: “Todos os corpos num mesmo local, livres da resistência do ar, caem com uma mesma aceleração, quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é denominada aceleração da gravidade (g).”

O movimento de queda livre é, na verdade, um caso particular do movimento uniformemente variado, portanto todos os conceitos envolvidos no estudo do MUV podem ser usados no estudo de queda livre.

Todos os corpos se abandonados próximos à superfície da Terra caem devido à força de atração aplicada sobre eles pelo campo gravitacional da Terra, ou seja, a força Peso. Essa queda dos corpos ocorre sempre com a mesma aceleração, independente de sua massa ou formato, desde que a resistência do ar (atrito) não seja considerada durante a queda.

Na prática, no entanto, os corpos em queda sofrem a influência da força de atrito entre o ar e a superfície dos mesmos. Então, sempre que um corpo estiver caindo, pelo menos duas forças estarão agindo sobre ele, a força peso (apontando para o centro da Terra) e a força de atrito com o ar (apontando para o sentido contrário ao da queda).

O valor da aceleração da gravidade varia com a altura do corpo, mas esta variação é muito pequena. O valor de g em um local situado ao nível do mar e à latitude de 45º chama-se aceleração normal da gravidade.

g normal = 9,80665 m/s² A título de curiosidade são apresentados abaixo alguns valores da variação da aceleração da gravidade

em função da altura em relação à superfície da Terra.

LOCALIZAÇÃO g (aproximado) m/s

2

Equador 9,78

Pólos 9,83

10 km altitude 9,78 Altura de vôo de aviões

100 km de altitude 9,57

300 km de altitude 8,80 Órbita de ônibus espaciais




"Queda livre é o nome que se dá ao movimento de queda dos corpos quando a resistência do ar não é considerada. Se a resistência do ar não for desprezada, o movimento não será de queda livre" Análise quantitativa (cálculos) Considere um objeto em queda vertical, a partir do repouso, num local em que o efeito do ar pode ser

desprezado e a aceleração da gravidade seja constante e igual a g. Orientando-se a trajetória para baixo, o objeto realizará um movimento uniformemente variado (M.U.V.) com aceleração escalar igual a g.


65

Admitindo, portanto, que ―queda livre‖ é o movimento vertical em que a força resultante

é o Peso, então se aplicarmos o Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton), teremos:

gmdt

sdm ..

2

2

ou simplesmente

gdt

sd

2

2

ga

A solução desta equação diferencial de 2ª ordem, que será estudada oportunamente no curso de cálculo diferencial e integral, é a equação horária do deslocamento de M.U.V., onde podemos relacionar a altura descida ( h ) com seu respectivo tempo de queda ( t ) da seguinte forma:

2

00 .2

. ta

tvss , onde

s = deslocamento escalar do corpo s0 = posição inicial do corpo v0 = velocidade inicial do corpo a = aceleração do corpo t = instante de tempo

Para o movimento de queda livre, portanto na vertical, a equação fica: , onde y = altura do corpo

y0 = altura inicial do corpo v0 = velocidade inicial do corpo g = aceleração da gravidade no local do experimento t = instante de tempo

No nosso estudo, adotaremos a altura inicial nula ( y0 = 0 ) e, como o movimento é de queda livre, sua

velocidade inicial será também nula ( v0 = 0 ) e, portanto, a equação do movimento será: e

A velocidade escalar ( v ) adquirida após certo tempo ( t ) do MUV é dada por:

tavv .0

e para o movimento de queda livre teremos:

Também podemos expressar a velocidade atingida (v) em função da altura descida (y ). Usando a

equação de Torricelli, temos:

savv ..22

0

2

e para o movimento de queda livre teremos: , como v0 = 0 e

2

00 .2

. tg

tvyy

2.2

tg

y g

yt

.2

tgv .

ygvv ..22

0

2 ygv ..22 ygv ..2


66

Gráficos do movimento de queda livre Altura do corpo em função do tempo ( y x t )

A equação da altura do corpo em função do tempo de queda é uma função do segundo grau e, portanto, seu gráfico será uma parábola. Como o movimento é apenas da queda do corpo, teremos apenas um arco de parábola (observe o gráfico ao lado). No nosso estudo orientaremos o eixo das posições ocupadas pelo corpo para baixo. Nestas condições e para a tabela dada, o referido gráfico será como no exemplo ao lado.

y ( m ) t (s)

0 0

0,003 0,02

0,009 0,04

0,018 0,06

0,032 0,08

0,050 0,10

0,072 0,12

Velocidade do corpo em função do tempo ( v x t )

A equação da velocidade em função do tempo de queda do corpo é uma função do primeiro grau e, portanto, seu gráfico será uma reta (observe o gráfico ao lado). No nosso estudo, como já foi dito anteriormente, a orientação do eixo das posições será para baixo e, assim, os valores de velocidade serão positivos e o gráfico será uma reta crescente como no exemplo ao lado.

v ( m/s ) t (s)

0 0

3,75 0,04

5,65 0,06

O MRUV possui uma propriedade particular devida ao seu comportamento gráfico e suas relações matemáticas.

Já vimos que o gráfico da velocidade em função do tempo do MRUV é uma reta. Genericamente teremos um gráfico do tipo:

Nesse gráfico, o deslocamento do corpo pode ser calculado pela área do figura formada entre a reta do gráfico e o eixo horizontal (integral gráfica) que, nesse caso, é um trapézio. Como a área do trapézio é:

2

).( hbBAtrapézio

, para o nosso caso

teremos:

2

).(

2

)().( 000 tvvttvvy

e

2

)( 0vv

t

y


67

Como a velocidade média de um corpo é calculada pela expressão:

t

yvM

,

então teremos que, para o MRUV

2

)( 0vvvM

.

Devemos salientar que essa expressão para o cálculo da velocidade média aplica-se unicamente ao MRUV. Aceleração do corpo em função do tempo ( g x t )

A aceleração de um corpo em queda livre é constante e igual à aceleração da gravidade, portanto, seu gráfico será uma reta constante.

Lembrando que g = 9,8 m/s2 , o gráfico será como no

exemplo ao lado.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) Um corpo é abandonado, a partir do repouso, de uma altura de 45 m acima do solo terrestre. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s

2.

Determine: a) o tempo de queda do corpo até o solo; b) o módulo da velocidade do corpo no instante em ele atinge o solo. Resolução

a)

b) v = g · t = 10 ·3,0 ou

2) Uma pedra é abandonada de uma altura de 3,2 m acima do solo lunar e gasta 2,0 s para atingir o solo. Pede-se: a) o valor da aceleração da gravidade na Lua; b) a altura descida pela pedra em seu último segundo de queda; c) o gráfico velocidade x tempo de queda.


68

Resolução a) Na Lua não há atmosfera, logo a pedra realiza uma queda livre até atingir o solo lunar. Assim:

b) No primeiro segundo de queda a pedra desceu:

Logo, durante seu segundo e último segundo de queda ela percorreu:

h2 = h – h1 = 3,2 – 0,8 c) A pedra tem velocidade inicial nula (v0 = 0) e ,após 2,0 s, atinge uma velocidade final de queda de:

v = g · t = 1,6 · 2,0 Através desses valores, temos o gráfico ao lado:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 m de altura. Desprezando a rsistência do ar e

adotanto-se a aceleração da gravidade 10 m/s2, determine:

a) o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo b) a velocdiade do corpo ao atingir o solo.


69

2) Em um estudo do movimento de um corpo em queda livre foi utilizado um corpo cuja massa era de 550g. Um

grupo de alunos obteve os seguintes dados, reproduzidos na tabela abaixo. Baseado nessas informações determine:

t ( 10-2

s) 3 6 9 12 15

y (10-3

m) 4,5 18,0 40,5 72,0 112,5

a) o diagrama y = f (t);

Diagrama y x t

b) o diagrama v = f (t);

Diagrama y x t


70

c) a aceleração da gravidade no local do experimento, graficamente

3) Uma pedra cai em um poço e o observador ouve o som da pedra o fundo após 9 s. Acmitindo uma aceleração

de gravidade igual a 10 m/s2 e a velocidade do som no ar de 320 m/s, determine a profundidade do poço.

4) Em um estudo do movimento de um corpo em queda livre foi utilizado um corpo cuja massa era de 550g e um

centelhador que foi ajustado para um valor de freqüência igual a 50 Hz (lembrar que 1 Hz = 1 ciclo por segundo). Este ajuste serviu para determinar os intervalos de tempo entre cada marca feita na fita passada pelo centelhador. A imagem da referida fita está reproduzida abaixo juntamente com uma régua graduada em mm. Nestas condições pede-se:


71

a) o diagrama das posições do corpo em função do tempo [ y = f ( t )];

Diagrama y x t

b) a partir do diagrama do item anterior, construir o diagrama v = f(t);

Diagrama y x t

c) a partir do diagrama v = f(t), calcular graficamente a aceleração da gravidade no local do experimento.


72

)(020,045

1sTT

PARTE PRÁTICA 1) Utilizando um centelhador, ajustado para uma freqüência ( f ) de 45 Hz, obtém-se uma fita com o registro

das posições ocupadas pelo corpo em cada instante de tempo determinado pelo centelhador. Abaixo está reproduzido um exemplo da fita já marcada pelo centelhador.

2) A partir da fita, os valores de y, isto é, das posições ocupadas pelo corpo durante a queda, serão obtidos

medindo-se com uma régua a distância de cada marca na fita em relação à marca inicial. Observe a figura acima.

3) O intervalo de tempo entre duas marcas será calculado através do ajuste de frequencia do centelhador. Sabendo que 1Hz = 1 ciclo por segundo, o intervalo de tempo entre duas marcas na fita é igual ao período ( T ) do movimento e

T

f1

, então f

T1

. Assim,

Portanto, o intervalo de tempo entre duas marcas será de 0,020s ou 20ms.

3) A partir das medidas feitas na fita fornecida pelo centelhador e do cálculo do período do movimento, completar a tabela das posições ocupadas pelo corpo em relação ao tempo.

4) Baseado nessa tabela construir o diagrama milimetrado y = f ( t ). Observe o

diagrama do exemplo ao lado. 5) Calcular os valores da velocidade do móvel que completam a tabela abaixo,

utilizando a propriedade da velocidade média do MRUV. Sabendo que entre dois instantes de tempo t e t0 ,

t

yvvvM

2

)( 0

para calcular a velocidade v no instante de tempo t, teremos:

t

yvv

t

yvv .2)(

2

)(0

0

6) Anotar os valores obtidos em uma tabela que relaciona a velocidade do

corpo com um determinado instante de tempo. 7) Baseado nos valores obtidos na tabela das velocidades, construir em

papel milimetrado o diagrama v = f ( t ). Observe o exemplo ao lado. 8) A partir do gráfico da velocidade calcular graficamente o valor da

aceleração do movimento. No diagrama v = f ( t ), acima, a aceleração é calculada pela tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal. Assim:

t

v

adjcat

opcattga

N

..

.. a (m/s

2)

Obs: Como o corpo está em queda livre, a aceleração a que o mesmo está submetido é a aceleração da gravidade que, ao nível do mar, é igual a 9,8 m/s

2.

9) Construir em papel milimetrado o diagrama a = f ( t ). Observe o

exemplo ao lado.

0

.2v

t

yv


73


ATIVIDADE 04

EXPERIMENTO 03

QUEDA LIVRE


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:_____________________________________________ Nº



74

)(020,045

1sTT

ATIVIDADE 04 – RELATÓRIO (PARTE 1)

EXPERIMENTO 03 – QUEDA LIVRE

OBJETIVO:____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ______________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

EXECUÇÃO:

1) Utilizando um centelhador, ajustado para uma freqüência ( f ) de 45 Hz, obtém-se uma fita com o registro das posições ocupadas pelo corpo em cada instante de tempo determinado pelo centelhador. Abaixo está reproduzido um exemplo da fita já marcada pelo centelhador.

2) A partir da fita, os valores de y, isto é, das posições ocupadas pelo corpo durante a queda, serão obtidos medindo-se com uma régua a distância de cada marca na fita em relação à marca inicial. Observe a figura acima.

3) O intervalo de tempo entre duas marcas será calculado através do ajuste de freqüência do centelhador. Sabendo que 1Hz = 1 ciclo por segundo, o intervalo de tempo entre duas marcas na fita é igual ao período ( T ) do movimento e

T

f1

, então f

T1

. Assim,

Portanto, o intervalo de tempo entre duas marcas será de 0,020s ou 20ms.

4) A partir das medidas feitas na fita fornecida pelo centelhador e do cálculo do período do movimento, completar a tabela abaixo. Sendo assim, teremos:

TABELA 1

t ( s ) 0 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220,

0,240 0,260

y ( m )

5) Baseado na tabela acima, construir o diagrama milimetrado y = f ( t ). Observe o diagrama do exemplo.


75

DIAGRAMA y x t

Diagrama y x t


76

ATIVIDADE 04 – RELATÓRIO (PARTE 2)

EXPERIMENTO 03 – QUEDA LIVRE

6) A partir do diagrama y = f (t), calcular os valores da velocidade do móvel que completam a tabela abaixo, utilizando a propriedade da velocidade média do MRUV. Sabendo que entre dois instantes de tempo t e t0 ,

t

yvvvM

2

)( 0

para calcular a velocidade v no instante de tempo t, teremos:

t

yvv

t

yvv .2)(

2

)(0

0

Observar o diagrama y = f(t), ao lado.

Cálculo dos valores de velocidade (a partir do diagrama y x t) para os instantes de tempo constantes da TABELA 2.

para t = 0,030s v1 =

para t = 0,050s v2 =

para t = 0,070s v3 =

para t = 0,090s v4 =

para t = 0,110s v5 =

para t = 0,130s v6 =

para t = 0,150s v7 =

para t = 0,170s v8 =

para t = 0,190s v9 =

para t = 0,210s v11 =

7) Anotar os valores obtidos na tabela da variação da velocidade do corpo em função do tempo, para construção

do diagrama v x t .

0

.2v

t

yv


77

TABELA 2

DIAGRAMA v x t

Diagrama y x t

8) A partir do gráfico da velocidade calcular graficamente o valor da aceleração do movimento. No diagrama v = f (t), acima, a aceleração é calculada pela tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal. Assim:

t

v

adjcat

opcattga

N

..

.. a

Obs: Como o corpo está em queda livre, a aceleração a que o mesmo está submetido é a aceleração da gravidade que, ao nível do mar, é igual a 9,8 m/s

2.

9) Construir em papel milimetrado o diagrama a = f ( t ). Observe o exemplo ao lado.

t ( s ) 0 0,030 0,050 0,070 0,090 0,110 0,130 0,150 0,170 0,190 0,210

v ( m/s )

2/__________ smga


78

DIAGRMA a x t

Diagrama y x t

RESPONDER: 1) Qual o módulo da aceleração do corpo obtido no experimento?

_____________________________________________________________________________________

2) Qual o valor esperado para essa aceleração?

______________________________________________________________________________________

3) Se o valor esperado é diferente do valor obtido, compare esses valores e avalie por que ocorreu essa

diferença?

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


79

EXPERIÊNCIA 04

FORÇA ELÁSTICA – LEI DE HOOKE

OBJETIVO

Determinar experimentalmente a constante elástica de uma mola pelo processo estático.

PROCEDIMENTO Utilizando um sistema massa-mola, obter as deformações produzidas na mola por corpos de massas conhecidas e relacionar essas deformações e as forças que as produziram. Através dessa relação entre força e deformação, determinar a constante elástica da mola utilizada no experimento bem como o trabalho da força elástica. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A lei de Hooke

Podemos dizer que não conhecemos corpos perfeitamente rígidos, uma vez que todos os experimentados até hoje sofrem deformações mais ou menos apreciáveis quando submetidos à ação de forças.

Entendemos por deformação de um corpo uma alteração na forma, ou nas dimensões, ou na forma e dimensões do corpo considerado. Essas deformações, que podem ser de vários tipos - compressões, distensões, flexões, torções, etc - podem ser elásticas ou plásticas.

Dizemos que uma deformação é elástica quando desaparece com a retirada das forças que a originaram, enquanto que uma deformação plástica persiste mesmo após a retirada das forças que a originaram. Desta forma um sistema é considerado elástico quando as deformações que ele pode experimentar são elásticas e é considerado plástico um sistema capaz de sofrer deformações plásticas.

Rigorosamente falando, não conhecemos sistemas nem perfeitamente elásticos, nem perfeitamente plásticos. No entanto, muitos corpos conhecidos se comportam, com uma boa aproximação, como se fossem perfeitamente plásticos, enquanto que outros se comportam como perfeitamente elásticos, com aproximação razoável. O estudo de deformações, que oferece um grande interesse técnico, é altamente complexo, estando fora dos limites de possibilidades do nosso curso. A teoria da plasticidade encontra-se ainda em fase primária, apesar do enorme estímulo concedido ao seu estudo pelas grandes potências industriais do momento. A teoria da elasticidade está altamente desenvolvida, mas nos é totalmente inacessível, neste curso, devido ao enorme cabedal matemático exigido. Vamos aqui nos limitar a uma simples informação sobre as deformações elásticas.

Em 1660 o físico inglês Robert Hooke (1635-1703), observando o comportamento mecânico de uma mola, descobriu que as deformações elásticas obedecem a uma lei muito simples. Hooke determinou que quanto maior o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um suporte fixo) maior a deformação (no caso: aumento de comprimento) sofrida pela mola.

Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou que existia sempre proporcionalidade entre força

deformante e deformação elástica produzida. Pôde então enunciar o resultado das suas observações sob forma de uma lei geral. Tal lei, que é conhecida atualmente como lei de Hooke, e que foi publicada por Hooke em 1676, é a seguinte:

As forças deformantes são proporcionais às deformações elásticas produzidas. Por exemplo: no caso inicialmente considerado por Hooke – deformação elástica sofrida por uma

mola – a deformação era caracterizada pela variação L comprimento da mola, sob a ação de uma força F

e Hooke observou que era

Esta relação de proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade se introduzirmos um fator de proporcionalidade conveniente. Representando-se tal fator pela letra k, a lei de Hooke nos permite escrever que

O fator k - que é característico da mola considerada - é denominado constante elástica da mola. Sua unidade no SI é newton por metro (N/m).


80

Assim, pela lei de Hooke, o módulo de cada esforço F realizado numa mola helicoidal cilíndrica fixa por uma das extremidades corresponde proporcionalmente ao módulo de uma deformação x. Desta forma podemos escrever a lei de Hooke da seguinte forma:

A constante elástica depende do material de que a mola é feita e das suas características geométricas. Pode-se demonstrar que a dependência entre a constante elástica (k) e o

módulo de rigidez do material () pode ser expressa por:

onde n = o número de espiras da mola, d = o diâmetro do fio de que é feita a mola e D = diâmetro interno médio da mola.

No caso da deformação elástica considerada ser o alongamento, ou o encurtamento, de uma barra de seção reta uniforme, de comprimento igual a L e área de seção reta igual a A, a lei de Hooke ainda pode ser escrita sob a forma

onde com L estamos representando a variação de comprimento da barra devida à ação da força F

(supondo-se que a força F

esteja agindo segundo o eixo da barra). Da mesma forma que no caso da mola, a relação de proporcionalidade

pode ser transformada numa igualdade, bastando, para tanto, se introduzir um fator de proporcionalidade conveniente. Representando-se tal fator de proporcionalidade pela letra k, a lei de Hooke permite escrever que

e a experiência diz que tal fator k é diretamente proporcional à área da seção reta, A, da barra, e inversamente proporcional ao seu comprimento inicial L, isto é, a experiência nos diz que

Portanto o fator de proporcionalidade capaz de transformar em Igualdade a relação de proprocionalidade

depende apenas do material da barra. Tal fator é representado geralmente pela letra Y e é chamado módulo de Young do material considerado. Então, para o caso da deformação de uma barra de seção reta uniforme A e comprimento L, construída com um material cujo módulo de Young seja Y, a lei de Hooke permite escrever que

Os valores dos módulos de Young correspondentes aos diversos materiais são calculados

experimentalmente. Consultando uma tabela de características mecânicas de materiais, encontramos, por exemplo, que o módulo de Young do aço vale2,2 x 10 N/m , o do chumbo vale 0,15x 10 N/m, o do tungstênio vale 3,5 x 10 N/m , etc.

F = k . x


81

Análise quantitativa (cálculos) Robert Hooke verificou experimentalmente que, em regime de deformações elásticas, a intensidade da

força aplicada à mola é diretamente proporcional à deformação produzida, isto é, se duplicarmos a intensidade da força aplicada à mola, sua deformação também será duplicada, e assim por diante enquanto a deformação for elástica. Podemos sintetizar a lei de Hooke pela seguinte expressão:

Graficamente podemos obter a constante elástica (k) de uma mola elástica através da declividade da reta

de seu diagrama força x deformação, como indicado abaixo.

tgkN

e x

F

adjcat

opcattg

..

.

Convém lembrar que, no processo de deformação, a mola sempre estará sujeita a ação de duas forças (uma em cada extremidade), sendo de mesma intensidade (k·x) quando sua massa for desprezível (mola ideal). O trabalho da força elástica

Embora não se tenha uma definição de energia, podemos dizer que a presença de energia implica a possibilidade de produzir movimento. A energia que uma pessoa armazena ao alimentar-se, por exemplo, possibilita o funcionamento de seus órgãos, permite que ela se movimente e mova outros corpos. A energia dos combustíveis usados nos automóveis também possibilita seus movimentos. Da mesma forma, a energia elétrica produzida por uma bateria possibilita o movimentos de elétrons em fios condutores. O Princípio da Conservação da Energia é de fundamental importância: não se cria nem se destrói energia; o que ocorre freqüentemente é a conversão de uma modalidade de energia em outra.

Para exemplificar conversões de energia, consideremos uma mola elástica relaxada, ou seja, não

deformada.

Uma pessoa gasta uma parcela de sua energia para comprimir essa mola. Para isso, exerce na mola uma

força e provoca um deslocamento de sua extremidade: dizemos que essa força realiza um trabalho . Esse trabalho corresponde à energia transferida da pessoa para a mola. A figura abaixo representa um carrinho C , colocado junto à mola comprimida. Ele só não se move porque a trava T não permite.

A mola comprimida armazena energia, já que é capaz de produzir movimento. Essa energia, porém, não se manifesta, a menos que se retire a trava T . Por isso, a energia armazenada na mola é denominada energia potencial , isto é, que pode manifestar-se. O nome completo dessa energia é energia potencial elástica ( Ep el ), porque está armazenada num corpo elástico deformado. Retirando a trava, a energia potencial da mola se manifesta: a mola se distende, exercendo uma força no carrinho e produzindo um deslocamento . Novamente temos uma força realizando trabalho , e esse trabalho

xkF

.


82

corresponde à energia transferida da mola para o carrinho.

A energia que o carrinho adquiriu é denominada energia cinética (E c ) que é a energia que um corpo possui por estar em movimento, isto é, por adquirir velocidade. Em um ponto qualquer entre a mínima deformação da mola e a máxima deformação da mola, teremos no processo as duas energia juntas, a cinética referente ao movimento do carrinho e a potencial referente à compressão da mola. A soma destas duas energias chamamos de energia mecânica.

É importante salientar que tanto o trabalho como as diversas formas de energia são grandezas escalares.

Consideremos uma força constante F

atuando numa partícula enquanto ela sofre um deslocamento d, do

ponto A ao ponto B . O trabalho realizado por essa força nesse deslocamento, sendo o ângulo entre F e d , é a

grandeza escalar F , definida por:

Sua unidade no SI é joule = J (1J = 1N . 1m)

Suponha que uma força constante esteja atuando em um corpo, paralelamente à direção do deslocamento e no mesmo sentido desse deslocamento. Se construirmos um diagrama F x d , teremos:

Se calcularmos a área compreendida entre o eixo d e o eixo da força F (que é constante) no deslocamento

entre 0 e d , teremos:

A = b . h A = d . F Se desejarmos calcular o trabalho diretamente utilizando a equação do trabalho teríamos:

= F . d . cos

mas como a força é paralela ao deslocamento teremos = 0º e cos 0º = 1 então

Assim podemos dizer que o trabalho da força F é numericamente igual a área hachurada do gráfico. Esta conclusão é válida também para quando a força não for constante. Para se determinar o trabalho de

uma força F

, basta calcular a área da figura que será formada no gráfico no intervalo do deslocamento em que se queira calcular. As forças conservativas, quando realizam trabalho, não alteram a quantidade de energia mecânica, porque apenas convertem energia potencial em energia cinética ou cinética em potencial. Assim , a soma dessas energias não se modifica.

Quando aplicamos a uma mola uma força F

, provocando na mesma uma determinada deformação x , verificamos que a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação provocada, como já vimos e pela Lei de Hooke, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação da mola. Graficamente o gráfico da força pela deformação será uma reta crescente, pois a equação que a define é do primeiro grau, assim:

= F . d


83

Como a área é numericamente igual ao trabalho teremos:

2

hbBAeA

N , mas

11 .xkFB ,

22 .xkFb e

12 xxxh .

Assim:

2

)).((

2

)).(..( 12121221 xxxxkxxxkxk

Vejamos alguns exemplos:

1) A mola ideal da figura varia seu comprimento de 12 cm para 17 cm quando penduramos em sua

extremidade um corpo A (em repouso) de peso 10 N. a) Qual a constante elástica da mola, em N/m ?

b) Qual o comprimento dessa mola, quando ela sustentar em equilíbrio um corpo B de peso 20 N ? Resolução

a) A deformação ocorrida na mola vale:

x = l - l0 = 17 - 12 = 5 cm = 0,05 m Pelo fato do bloco A estar em equilíbrio, vem:

b) Como o peso do corpo B é o dobro do peso de A, a mola terá sua deformação duplicada (de 5 cm para 10 cm). Logo, o comprimento da mola, quando esta sustenta o corpo B, será:

cmx 2210120

)(2

2

1

2

2 xxk


84

2) O sistema montado na figura apresenta-se em equilíbrio. As molas verticais são leves (pesos desprezíveis) e cada uma possui constante elástica k = 50 N/m e comprimento natural (não deformada) de 20 cm. Cada bloco tem peso de 5,0 N. Quais os comprimentos a e b das molas?

Resolução a) Analisando o equilíbrio do bloco inferior, temos:

logo

b) Observando as forças em equilíbrio no bloco superior e lembrando que a mola inferior traciona ambos os blocos com a mesma intensidade (F1), tem-se:

logo:

Observação: Pode-se obter também a deformação da mola superior considerando que o conjunto de blocos (peso total 10 N) produza sua deformação. Como as molas são idênticas, a mola superior sofrerá o dobro da deformação experimentada pela inferior, isto é: 20 cm.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Um grupo de alunos, em um laboratório de física, realizou um experimento para estudar a energia de deformação armazenada em um corpo elástico. Para tal estudo foi utilizada uma tira de borracha que teve uma de suas extremidades presa a uma haste e em sua outra extremidade foram pendurados alguns discos com massas conhecidas. O peso desses discos provocava deformações na tira de borracha que foram medidas. As medidas obtidas estão reproduzidas na tabela abaixo:

m ( g ) 110 200 270 320 340 370 390 410 420 430

P ( N )

x ( m ) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Adotando a aceleração da gravidade no local do experimento como 10 m/s2, pede-se:

a) construir o diagrama cartesiano que relaciona a força aplicada e a deformação provocada na tira de borracha.


85

Diagrama y x t

b) observando o gráfico do item anterior, a que conclusão podemos chegar a respeito da elasticidade do corpo analisado (tira)?

c) a partir do gráfico obtido no item a, calcular a energia de deformação armazenada no corpo durante o

experimento.

2) O gráfico ao lado mostra a compreesão de uma mola desde x0 = 0 ( onde a mola não está comprimida) até um ponto A onde xA = 0,40 m. O gráfico mostra como varia a

força F

exercida pela mola sobre o bloco. a) calcule a inclinação deste gráfico. b) Qual a constante elástica da mola?

c) Podemos usar a expressão = F . d .cos para calcular o

trabalho realizado pela força elástica enquanto a mola empurra o bloco? Por quê?

d) Calcule o trabalho da força elástica entre 0,10m e 0,30m graficamente. e) Calcule o trabalho da força elástica entre os mesmos pontos do ítem anterior, usando a equação deduzida

no fundamento teórico.


86

PARTE PRÁTICA

1) Montar o sistema massa-mola indicado.

2) Calcular os valores de Peso referentes às massas dos discos que serão utilizados no experimento. Completar a linha referente aos valores de Peso na TABELA.

3) Ajustar a régua de maneira a estabelecer uma referência para a deformação nula (x0 = 0). Observe a figura 1.

4) Pendurar o disco de 50 g na mola e medir a deformação provocada a partir de x0. Anotar na tabela nos valores de x (deformação total). Observe a figura 2.

5) Aumentar o valor das massas penduradas na mola (conseqüentemente aumenta-se o Peso) e medir as deformações provocadas na mola e anotar na tabela. Observar que o valor da deformação é o valor total da medida, sempre a partir de x0. Observe a figura 3.

6) A partir dos dados da Tabela e a partir da lei de Hooke, calcular o valor da constante de elasticidade da mola utilizada para os diferentes valores de massa.

Para cada valor de massa fazer o cálculo: x

Fk

7) Determinar o valor mais provável da constante elástica da mola utilizada no experimento ataravés da média aritmética entre os valores encontrados o item anterior.

8) Baseado nos valores da tabela, construir em papel milimetrado, o diagrama da Força elástica aplicada na mola pela deformação sofrida pela mola (FEl = f ( x) ).

9) A partir do diagrama F x x, calcular a constante elástica da mola graficamente. Graficamente a constante elástica da mola é numericamente igual á declividade da reta do gráfico, assim poderá ser calculada através da tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal:

tgkN

graf

10) Calcular o erro percentual entre o valor teórico e o valor gráfico da constante elástica da mola.

100.%

TEO

GRAFTEO

k

kk

Fig.2

Fig.1

Fig.3


87


ATIVIDADE 05

EXPERIMENTO 04

FORÇA ELÁSTICA


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:_____________________________________________ Nº



88

ATIVIDADE 05- RELATÓRIO

EXPERIMENTO 04 – FORÇA ELÁSTICA

OBJETIVO: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ______________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

EXECUÇÃO:

1) Montar o sistema massa-mola indicado.

2) Calcular os valores de Peso referentes às massas dos discos que serão utilizados no experimento. Completar a linha referente aos valores de Peso na TABELA.

3) Ajustar a régua de maneira a estabelecer uma referência para a deformação nula (x0 = 0). Observe a figura 1.

4) Pendurar o disco de 50 g na mola e medir a deformação provocada a partir de x0. Anotar na tabela nos valores de x (deformação total). Observe a figura 2.

5) Aumentar o valor das massas penduradas na mola (conseqüentemente aumenta-se o Peso) e medir as deformações provocadas na mola e anotar na tabela. Observar que o valor da deformação é o valor total da medida, sempre a partir de x0. Observe a figura 3.

6) A partir dos dados da TABELA, determinar o valor mais provável da constante elástica da mola utilizada no experimento.

TABELA

m (g) m (kg) F = P (N) x (m) k (N/m)

0

50

100

150

200

250

Valor mais provável de k

7) Baseado nos valores da tabela, construir em papel milimetrado, o diagrama da Força elástica aplicada na mola pela deformação sofrida pela mola (FEl = f ( x) ).


89

8) A partir do diagrama F x x, calcular a constante elástica da mola (graficamente).

9) Calcular o erro percentual entre o valor teórico e o valor gráfico da constante elástica da mola.

RESPONDER:

1) Qual o valor da constante elástica da mola obtido no experimento através dos dados da tabela?

_____________________________________________________________________________________

2) Qual o valor da constante elástica da mola obtido no experimento através do gráfico?

______________________________________________________________________________________

3) Compare os valores obtidos e responda se eles foram os valores esperados para esse experimento.

______________________________________________________________________________________

4) Justifique a semelhança ou a diferença entre os resultados obtidos.

______________________________________________________________________________________

Kgraf = ____________ (N/m)

% = ____________%

Diagrama y x t


90

EXPERIMENTO 05

OSCILAÇÕES MECÂNICAS OBJETIVO

Determinar experimentalmente a constante de elasticidade de uma mola aplicando os conceitos de oscilações, em particular o conceito de período do movimento oscilatório. PROCEDIMENTO Utilizando um pêndulo elástico, medir o período de oscilação desse pêndulo para diferentes massas pendulares e através dos conceitos de oscilações e grafiicamente determinar a constante de elasticidade da mola usando dois métodos diferentes. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Pode-se afirmar que tudo ao nosso redor, desde grandes estruturas (grandes edificações) até estruturas microscópicas (moléculas), estão em vibração constante. Portanto compreender o processo vibratório é fundamental para entender a natureza e aplicar esse conhecimento na solução de nossos problemas em tecnologia ou ciência. Apenas para facilitar a compreensão desse movimento vibratório, por questões didáticas, vamos analisar o seguinte movimento: Imagine uma mola ideal, sobre um plano horizontal livre de atrito, com uma extremidade fixa, e um corpo preso à outra extremidade dessa mola. O conjunto é abandonado sem deformação da mola, conforme figura 1.

Nesta condição as forças que atuam sobre o corpo são exclusivamente: força Peso ( P

) e a e força de

reação Normal ( N

) aplicada pelo plano horizontal.

Como o corpo permanece em estado de repouso prolongado, concluímos que a resultante das forças sobre o corpo é nula, ou seja, o corpo se encontra em equilíbrio (estático). Para melhor analisar o movimento, vamos estabelecer um eixo horizontal (eixo x), orientado para a direita, com origem (x = 0) na posição de equilíbrio do corpo.

A partir destas condições vamos esticar (deformar) a mola, até levar o corpo para uma posição qualquer, em que a posição será dada por x = A. Para provocar o deslocamento do corpo para essa posição (x = A), teremos que aplicar uma força sobre o

corpo, no sentido de seu deslocamento, que chamaremos força aplicada pelo operador ( operadorF

), isso implica

em que estaremos realizando um Trabalho Mecânico sobre o corpo, que é armazenado pelo sistema massa mola na forma de Energia Mecânica (Energia Potencial Elástica). Por outro lado, à medida que é deformada, a mola exercerá sobre o corpo uma força de natureza elástica

( elásticaF

), dada pela Lei de Hooke

xkFelástica

. (Lei de Hooke)

onde k é a constante elástica da mola (determina a dificuldade em deformar a mola) e x

determina a posição do

corpo (a deformação da mola). Essa força é dita força de restituição porque tende sempre a levar o corpo para a posição de equilíbrio (x = 0).


91

Vamos admitir a condição em que a força aplicada pelo operador ( operadorF

) tenha a mesma

intensidade do que a força elástica ( elásticaF

), e que o corpo esteja em repouso. Nessa condição o corpo se

encontra em equilíbrio, embora o sistema possua Energia Potencial Elástica armazenada devido ao Trabalho Mecânico realizado pelo operador sobre o sistema massa mola.

Mas, logo que abandonarmos o corpo (logo que o operador deixar de aplicar força, 0

operadorF ), tendo

em vista que na direção vertical somente temos força Peso ( P

) e a e força de reação Normal ( N

) aplicada pelo

plano horizontal que, como já vimos, se equilibram, fazendo com que a força resultante na direção vertical seja

nula (motivo pelo qual muito embora continuem agindo Peso ( P

) e força de reação Normal ( N

), de agora em

diante, nesta descrição, deixarão de ser representadas) a força resultante sobre o corpo será exclusivamente a

força elástica ( elásticaF

), aplicada pela mola.

Sob ação dessa resultante, a força elástica ( elásticaF

), o corpo descreverá o seguinte movimento:

a partir do repouso, o corpo tenderá a voltar para a posição de equilíbrio com o aumento do módulo de sua velocidade já que a força resultante, e portanto a aceleração, está no mesmo sentido de sua velocidade.

Quando passa pela posição de equilíbrio, força resultante e aceleração, ambas, são nulas, mas como o corpo adquiriu velocidade (o sistema converteu Energia Potencial Elástica em Energia Cinética) ele passa pela posição de equilíbrio (agora equilíbrio dinâmico)

e começa a comprimir a mola numa fase de diminuição do módulo de sua velocidade, já que nesta condição, a

força resultante ( elásticaF

), de restituição, e portanto a aceleração, têm sentido oposto ao sentido da velocidade.


92

Na ausência de atrito, conforme a hipótese inicial, o corpo atingirá o repouso instantâneo quando ocupar a posição x = - A, isto é, quando a mola estiver comprimida de A, condição simétrica ao início do movimento. Nessa

posição, a força resultante sobre o corpo ( elásticaF

) terá alcançado sua intensidade máxima ( F elástica

máxima)

e conseqüentemente o modulo de sua aceleração também será máximo,

e apontará para o ponto de equilíbrio (x = 0).

Nessas condições o corpo será acelerado de volta para a posição de equilíbrio. Novamente o corpo passa pela posição de equilíbrio, onde alcançará sua velocidade máxima, agora no sentido positivo do eixo x (alongamento da mola), No ponto de equilíbrio (x = 0), novamente força resultante e aceleração, ambas, são nulas. A partir dessa posição, com o alongamento da mola, a força elástica (de restituição) se opõe ao sentido do movimento, diminuindo o módulo da velocidade até que o móvel atinge novamente o repouso instantâneo quando x = A, retornando à condição inicial do movimento. A partir daí todo o movimento se repete indefinidamente (na ausência de forças dissipativas). Nessas condições dizemos que o corpo realiza um movimento harmônico simples (MHS). A cinemátioca do Movimento Harmônico Simples (MHS)

A descrição acima é meramente qualitativa e tem o objetivo de nos introduzir ao movimento. Agora temos condições de efetuar uma análise mais detalhada.

Vamos voltar à condição apresentada na Figura 6 (para t = 0, x = A, v = 0) e vamos aplicar a 2ª lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) ao problema:

elásticaFtetanresulFdt

xdm

2

2

Mas, como nosso problema é unidimensional (o movimento se realiza somente na direção x) é mais

simples escrever

x.kelásticaFtetanresulFdt

xdm

2

2 ou ainda

x.kdt

xdm

2

2 ou ainda

x.m

k

dt

xd

2

2

E a solução geral para essa equação diferencial de 2ª ordem é: x(t) = a cos [(k/m)

1/2t] + b sen [(k/m)

1/2t]

Lembre que as constantes a e b são determinadas a partir das condições iniciais do problema. Em nosso problema, no instante inicial t0 = 0, x(t =0) = A e v(t = 0) = 0. A primeira condição implica em que

Asenbatx mkmk )]0.([.)]0.(cos[.)0( )/( 2/1)/( 2/1

mas como 1)]0.(cos[. )/( 2/1 mka


93

e 0)]0.([. )/( 2/1 mksenb

então a = A A segunda condição implica em que se

x(t) = a cos [(k/m)1/2

t] + b sen [(k/m)1/2

t], então v(t) = dx(t)/dt = A (- sen [(k/m)

1/2t]) (k/m)

1/2 + b (cos [(k/m)

1/2t]) (k/m)

1/2 ou

v(t) = (k/m)1/2

( - A sen [(k/m)1/2

t] + b cos [(k/m)1/2

t]) e para t0 = 0

0)])0.(cos[.)]0.([..()/()0( )/( 2/1)/( 2/12/1 mkmk bsenAmktv

mas como 0)]0.([. )/( 2/1 mksenA

e 1)]0.(cos[ )/( 2/1 mk

então 0.)/()0( 2/1 bmktv

ou seja b = 0 de modo que a solução particular da equação diferencial para nosso problema é x(t) = A cos [(k/m)

1/2t]

Um detalhe importante é que, como sabemos, a função cosseno é periódica, de periodicidade 2π, logo o período do movimento é dado por:

m

kT

2

ou k

m.T 2

assim podemos escrever que

)t.T

cos(.A)t(x2

ou seja, a função horária do espaço, que descreve o movimento como uma função do tempo, mostra que as condições do evento vão se repetir nos instantes t = 1T, 2T, 3T ...indefinidamente, claro na ausência de forças dissipativas.

Por outro lado como o módulo do valor máximo do cosseno é 1, o módulo do deslocamento máximo do corpo, medido a partir da posição de equilíbrio, é A, que é a deformação da mola no instante t0 = 0, e que chamamos de amplitude do movimento. É importante perceber pelo equacionamento desenvolvido que o período

(k

m.T 2 ) só depende do corpo (m) e da mola (k), e não depende da amplitude do movimento, ou seja,

qualquer que seja a deformação inicial da mola, o período do movimento será o mesmo. A freqüência do movimento, definida por

f = 1/T e indica o número completo de oscilações por unidade de tempo. Ela é medida em Hertz, (1Hz = 1/s).

Para nosso oscilador, a freqüência

k

mTf

2

11

ou

m

k.f

2

1

que é chamada de freqüência própria ou natural do sistema. Podemos, também, definir a freqüência angular, ou pulsação, do sistema (ω), como:

m

k..f.

2

122

ou m

k


94

medida em radianos por segundo (rad/s). Então podemos escrever que:

)t.cos(.A)t(x

Naturalmente, a partir da função horária do espaço, podemos escrever a função horária da velocidade do corpo: dx(t) / dt = v(t) = - A (k/m)

1/2 sen [(k/m)

1/2t]

ou v(t) = - A ω sen [ω t] Como o módulo do valor máximo da função seno é 1, o módulo da velocidade máxima do corpo será

│vmax│= A. ω e, claro, a partir da função horária da velocidade do corpo podemos escrever a função horária da aceleração do corpo:

dv(t) / dt = (t) - A. ω2. cos [ω t],

ou t - A. ω2. cos [ω t]

e, novamente, como módulo do valor máximo do cosseno é 1, o módulo da aceleração máxima do corpo será

│ max │ = A. ω2

A Figura 11 apresenta os diagramas horários do espaço, da velocidade e da aceleração para um corpo em

MHS com as seguintes características: A = 0,50 m; m = 5 Kg e k = 20 N/m. Conseqüentemente teremos: T = 3,14 s ; f =0,32 Hz e ω =2,00 rad/s.

Figura 11 - Diagramas horários do espaço, da velocidade e da aceleração para um corpo em MHS

É fácil perceber que o espaço e a velocidade estão defasados de π/2 radianos ─ a explicação matemática

é simples: inicialmente temos que: x(t) = A. cos(ω t) e temos, também, que: v = vmax. sen(ω t) mas, com o auxílio da trigonometria: sen(x+ π/2) = cos(x) ou então: sen(x) = cos(x - π/2) então podemos escrever que: v = vmax cos(ω t - π/2) isso implica em que a velocidade está ‖adiantada‖ em relação ao espaço de π/2 radianos, ou seja, a velocidade é máxima quando o espaço é zero, e o espaço é máximo quando a velocidade é zero.

Raciocínio semelhante podemos fazer entre espaço e aceleração. Vejamos: temos que: x(t) = A. cos(ω t)

e também que:(t) - A. ω2. cos [ω t]

logo: (t) - ω2. x(t)

o que significa que espaço e aceleração estão em oposição de fase (diferença de fase de π radianos), ou seja quando o espaço é máximo positivo a aceleração é máxima negativa e vice versa. A dinâmica do Movimento Harmônico Simples (MHS)

O ―Princípio da conservação da Energia‖ nos garante que a soma de todas as energias de um sistema fechado permanece constante no tempo.

Em nosso sistema massa-mola, livre da ação de forças dissipativas, a única modalidade de energia envolvida é a Energia Mecânica, e a Energia Mecânica de um sistema é soma da Energia Cinética e Energia Potencial do sistema.


95

A Energia Cinética é definida como:

Ec = mv2/2

Uma vez que a coordenada de alturas do corpo permanece constante a Energia Potencial Gravitacional permanecerá constante, de modo que só interessará considerar a Energia Potencial Elástica,

então podemos escrever que: dx

dUF elástica

e como x.kelásticaF

então dx

dUx.k então dx.x.kdU e portanto

xdx.x.k

xdx.x.kU

00

logo: 2

2x.kU

Como dissemos antes, a ausência de forças dissipativas garante que a Energia Mecânica do sistema permanece constante no tempo. Portanto: Et = Ec + U = (m/2) d

2x/dt

2 + kx

2/2 = constante

a equação acima evidencia a conversão contínua entre energia cinética e potencial. Como a energia total é constante, podemos determiná-la na condição de maior conveniência. A condição

mais interessante corresponde ao momento em que o corpo é abandonado (v = 0) no ponto de abscissa A (Figura 6).

nessa condição como a velocidade é nula... v = 0 → Ec = m.v

2/2 = m.0

2/2 = 0;

e como x = A... x = A → U = k.x2/2 = k.A

2/2,

e portanto Et = Ec + U = kA2/2 = constante

A Figura a seguir apresenta a conservação da Energia Mecânica do sistema e a conversão contínua entre Energia Cinética e Potencial, para um oscilador harmônico simples com as seguintes características: A = 0,50 m; m = 5 Kg e k = 20 N/m.

Balanço de Energias no MHS

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0,00 0,16 0,31 0,47 0,63 0,79 0,94 1,10 1,26 1,41 1,57 1,73 1,88 2,04 2,20 2,36 2,51 2,67 2,83 2,98 3,14

tempo (s)

E (

J)

Ec(t)

U(t)

E(t)

O estudo do MHS é fundamental para a compreensão dos fenômenos oscilatórios porque para a maioria

dos sistemas oscilatórios que apresentam posição de equilíbrio com deslocamentos pequenos em torno dessa posição de equilíbrio e na ausência de forças dissipativas (ou quando podem ser negligenciadas), a força resultante obedece à Lei Hooke.


96

PARTE PRÁTICA EXECUÇÃO 1) Montar e arranjo experimental conforme a Figura 2) Anote massa do conjunto massa/suporte;

g21mm ortesupmola

3) Coloque no suporte um massor (uma corpo de massa padrão) de massa 50 g, e faça com que o conjunto entre em oscilação.

Importante: para tentar reduzir o erro experimental, as oscilações devem ocorrer exclusivamente na direção vertical e com pequena amplitude! 4) Meça o tempo (t) de 10 oscilações consecutivas e divida esse valor por 10

para calcular o Período de oscilação para cada massa utilizada. Anote esses valores na Tabela. 5) Repita os itens 2; 3; e 4 para difernetes valores de massas. 6) Para cada valor de massa (m) de massor determinar a massa pendular(M), isto é a massa efetiva que oscilou,

ou seja, a massa (m) do massor somada à massa da mola (mmola), somada à massa do suporte (msuporte). Ou seja

ortesupmola mmmM

mas g21mm ortesupmola

portanto g21mM

a partir desses dados determinar a constante elástica da mola (k) 7) No fundamento teórico mostramos que

k

m..2T , Importante! m é a massa pendular que em nosso caso é M, dado por

ortesupmola mmmM

portanto k

M..2T

22 )k

M..2()T( ou seja

k

M..4T 22 ,

então 2

2

T

M..4k

A partir desse resultado vamos determinar a constante elástica da mola (k), utilizando dois métodos diferentes, e comparar os resultados obtidos: Método 1 – Para cada massa pendular (M), aplicar que:

2

2

T

M..4k (Importante! Não esqueça de transformar a massa pendular para Kilograma)

e determinar um valor de constante elástica da mola (k) para cada valor de massa pendular. O valor experimental obtido para a constante elástica da mola será a média aritmética dos valores calculados.

4

k3kkkk 421

Método 2 – A partir da equação

2

2

T

M..4k

podemos escrever 2

2T.

.4

kM

Figura – Esquema do arranjo

experimental.


97

se imaginarmos que T2 é uma variável independente x, e M é uma variável dependente y então

x..4

ky

2 ,

que é uma função de 1º grau e cujo diagrama é uma reta crescente passando pela origem, onde o coeficiente angular da reta é

2.4

ktg

ou seja tgk ..4 2

Em outras palavras, se construirmos o diagrama cartesiano, de modo que no eixo vertical (eixo y) lançarmos a massa pendular (M) (Importante! Não esqueça de transformar a massa pendular para Kilograma), e no eixo horizontal (eixo x) o quadrado do período (T

2), obteremos um diagrama conforme a figura ao lado, onde

tgk ..4 2

Então, vamos construir em papel milimetrado um diagrama cartesiano, de modo que no eixo vertical (eixo y) lançarmos a massa pendular (M) (Importante! Não esqueça de transformar a massa pendular para Kilograma), e no eixo horizontal (eixo x) o quadrado do período (T

2).

A partir dos valores do quadrado do período (T2) e da massa pendular (M) lançados na Tabela 1, lançamos os pontos no diagrama;

Traçar a reta média; Escolher um ponto na reta média; Para esse ponto escolhido calculamos a declividade da reta (tang α), usando por exemplo que

adjacentecat

opostocattg

.

. ;

Para determinar k, fazer tgk ..4 2 .

Comparar e discutir os valores encontrados para a constante elástica pelo Método 1 e pelo Método 2.


98


ATIVIDADE 06

EXPERIMENTO 05

OSCILAÇÕES MECÂNICAS


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:______________________________________________ Nº



99

ATIVIDADE 06- EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EXPERIMENTO 05 – OSCILAÇÕES MECÂNICAS

1) Um corpo de massa 2 kg está preso na extremidade livre de uma mola

helicoidal, segundo uma direção horizontal. Para uma elongação de 10 cm é necessária uma força de intensidade 5 N. Calcule o período de oscilação e a pulsação desse movimento.

2) Uma mola horizontal sofre um alongamento de 8 cm a partir de seu estado de equilíbrio quando se aplica

uma força de 2 N. Nesta condição, liga-se à extremidade livre da mola um corpo de massa 2 kg. Abandonando-se o conjunto, o corpo começa a oscilar, efetuando um MHS. Desprezando as forças dissipativas, determine: a) A constante elástica da mola; b) O período do movimento; c) A amplitude do movimento.

3) Um corpo de massa 0,1 kg oscila em torno da posição de equilíbrio O, animado de movimento harmônico

simples, na ausência de forças dissipativas. A mola tem constante elástica 40 N/m e a energia mecânica total do sistema é 0,2 J. a) Qual a amplitude de oscilação do movimento? b) Qual o período do movimento?


100


ATIVIDADE 07

EXPERIMENTO 05

OSCILAÇÕES MECÂNICAS


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:______________________________________________ Nº



101


EXPERIMENTO 05 – OSCILAÇÕES MECÂNICAS

OBJETIVO: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ______________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

EXECUÇÃO:

1) Monte e arranjo experimental conforme a Figura ao lado.

2) Anote massa do conjunto massa/suporte:

3) Agora, para cada massa (m) de massor vamos determinar a massa pendular(M), isto é a massa efetiva que oscilou, ou seja, a massa (m) do massor somada à massa da mola (mmola), somada à massa do suporte (msuporte). Ou seja:

M = m + m mola + m suporte (observe o item anterior)

Preencha a coluna M da TABELA em g e em kg.

4) Coloque no suporte um massor (uma corpo de massa padrão) de massa 50 g, e faça com que o conjunto entre em oscilação.

IMPORTANTE: Para tentar reduzir o erro experimental, as oscilações devem ocorrer exclusivamente na direção vertical e com pequena amplitude!

5) Meça o tempo (t) de 10 oscilações consecutivas. Anote esses valores na TABELA.

6) Para cada valor de massa oscilante (M), determinar o valor do período de oscilação (T) da seguinte maneira:

10

10 oscilaçõesparatT . Preencha a coluna T da TABELA.

7) Para cada valor de período de oscilção (T) obtido no item anterior determinar o quadrado desse período de oscilação. Preencha a coluna T

2 da TABELA.

TABELA

8) Complete a TABELA, calculando o valor da constante de elasticidade da mola utilizada no experimento para cada valor de massa oscilante aplicando a seguinte equação:

2

2

T

M..4k

m (g) M (g) M (Kg) tempo ( t )

para 10 osc.(s)

T (s) T2 (s

2) k (N/m)

100

200

300

400

m mola + m suporte = ___________ g

Figura – Esquema do

arranjo experimental.


102

9) Determinar a constante elástica da mola pelo MÉTODO 1, ou seja, o valor experimental obtido para a constante elástica da mola por esse método será a média aritmética dos valores calculados.

4

k3kkkk 421 Assim:

10) Determinar a constante elástica da mola pelo METÓDO 2, ou seja, graficamente. Para tanto será necessário construir em papel milimetrado um diagrama cartesiano, de modo que no eixo vertical será lançada a massa pendular (M) e no eixo horizontal o quadrado do período (T

2). O valor experimental obtido para a constante

elástica da mola por esse método será dado pela seguinte expressão:

tgk ..4 2

onde tg é a declividade da reta obtida no diagrama.

DIAGRAMA M x T2

Diagrama y x t

Do gráfico tem-se que _______..

.. tg

adjcat

opcattg , então

___________________..4..4 22 ktgk Assim:

RESPONDER:

1) Qual o valor da constante elástica da mola obtido no experimento através dos dados da tabela?

_____________________________________________________________________________________

2) Qual o da constante elástica da mola obtido no experimento através do gráfico?

______________________________________________________________________________________

3) Compare os valores obtidos e responda se eles foram os valores esperados para esse experimento.

______________________________________________________________________________________

4) Justifique a semelhança ou a diferença entre os resultados obtidos.

______________________________________________________________________________________

kM1 = _____________ (N/m)

kM2 = _____________ (N/m)


103

EXPERIÊNCIA 06

ONDAS MECÂNIAS PROGRESSIVAS

OBJETIVO

Compreender os conceitos, reconhecer , caracterizar e operar os elementos de uma onde mecânica progressiva.

PROCEDIMENTO Através de fimdamentação teórica e exemplos práticos resolver os exercícios propostos. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Introdução

Como foi visto nos experimentos anteriores, pode-se afirmar que tudo ao nosso redor, desde grandes estruturas (grandes edificações) até estruturas microscópicas (moléculas), estão em vibração constante. Para entender esses processos vibratórios utilizamos um oscilador harmônico composto de um corpo preso a uma mola, denominado oscilados massa-mola e analisamos seu movimento oscilatório e a distribuição da energia armazenada no corpo durante o processo. Uma onda mecânica é uma oscilação em um meio elástico. Podemos citar como exemplos ondas na superfície da água, ondas sonoras, em uma corda, etc. Essas ondas são chamadas mecânicas porque se originam no deslocamento de uma parte de um meio elástico em relação à sua posição original, ocasionando a oscilação dela em torno de uma posição de equilíbrio. Devido às propriedades elásticas do meio, o distúrbio é transmitido de uma camada à seguinte e esse distúrbio, ou onda, progride através do meio. É importante notar que o próprio meio não se move como um todo juntamente com o movimento ondulatório, mas a energia das partículas pode ser transmitidas a distâncias consideráveis. Para ilustrar esse fenômeno podemos tomar como exemplo um pequeno objeto flutuante em ondas da superfície da água onde observamos que o movimento real da água é ligeiramente para cima e para baixo e para frente e para trás. Contudo, as ondas de água propagam-se continuamente ao longo da água. Quando essas ondas atingem o objeto flutuante estes são postos em movimento, adquirindo energia transmitida pelas ondas. A energia das ondas é a energia cinética e potencial da matéria, mas a transmissão da energia ocorre pela sua passagem de uma parte do meio à seguinte e não por um movimento de longo alcance da própria matéria. Ondas são caracterizadas pelo transporte de energia sem o transporte de matéria. Para a transmissão das ondas mecânicas é necessário haver um meio material. As propriedades desse meio determinarão a velocidade de uma onda nesse meio elástico. Tipos de ondas As ondas de uma maneira geral podem ser classificadas de acordo com alguns parâmetros.

Quanto à direção de vibração das partículas Quando o movimento das partículas materiais que transmitem a onda está relacionada com a direção de propagação da própria onda, as ondas podem ser consideradas transversais ou longitudinais.

Ondas transversais Uma onda é dita transversal quando o movimento das partículas materiais que transmitem a onda for perpendicular á direção de propagação da própria onda. Se um pedaço de corda se movimenta por causa de um puxão de um agente externo que cria um pulso em um pedaço de sua extremidade, e ao se movimentar esse pedaço de corda puxa o pedaço vizinho. A perturbação inicial coloca paulatinamente toda a corda em movimento, na medida que o pulso se propaga. Quando uma onda se propaga em uma corda, os pedaços se movimentam oscilando na direção vertical enquanto que a onda se propaga na direção horizontal. Em outras palavras, a matéria oscila em uma direção enquanto a onda se propaga na direção perpendicular, e uma onda desse tipo é dita transversal.

Fig. 1 – Esquema de uma onda transversal se propagando em uma corda.


104

Ondas longitudinais Uma onda é dita longitudinal se o movimento das partículas que transmitem a onda tiver a mesma direção de propagação da onda.

Consideremos um tubo cheio de ar, com um êmbolo numa das extremidades. Ao ser pressionado o

êmbolo cria uma pequena perturbação no ar de sua vizinhança e essa perturbação se propaga até a outra extremidade do tubo. Enquanto está sendo pressionado o êmbolo cria próximo à sua superfície uma região volumétrica onda a pressão do ar é maior que a sua pressão de equilíbrio. Essa região de pressão modificada (aumentada) perturba a região vizinha, enquanto ela própria tende a voltar ao valor de pressão inicial.

Fig. 2 – Esquema de uma onda longitudinal que se propagando em um tubo.

Vamos considerar o ar do tubo dividido em pequenos volumes, de largura muito pequena mas com uma área igual a área transversal do tubo. Uma região de pressão modificada (aumentada) acontece quando pequenos volumes se adensam, diminuindo ainda mais a sua pequena largura original. Quando o êmbolo pressiona o ar no tubo ele adensa os pequenos volumes. Esse adensamento vai se deslocando, de modo que uma região perturba a região vizinha e depois disso retorna a situação original.

Se o tubo estiver na posição horizontal, os pequenos volumes serão perturbados e oscilarão na direção horizontal, em torno de sua posição de equilíbrio. A perturbação (pulso) também se propaga na mesma direção horizontal. . Em outras palavras, a matéria oscila numa direção e a onda se propaga na mesma direção, e uma onda desse tipo é dita longitudinal.

Devemos notar que há ondas que não são exclusivamente transversais ou longitudinais. É o caso das ondas que se propagam na superfície da água, cujas partículas descrevem trajetórias elípticas enquanto a onda se propaga.

Quanto ao número de dimensões em que propagam energia Nesse caso as ondas podem ser unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. Como exemplo de ondas unidimensionais temos ondas em cordas; as bidimensionais podem ser

exemplificadas por ondas numa superfície da água e as tridimensionais podem ser representadas pelas ondas sonoras no ar.

Fig. 3 – Onda unidimensional, onda bidimensional e onda tridimensional.

Quanto ao comportamento das paratículas durante o tempo de propagação

Podemos produzir em uma corda um único pulso ou um trem de ondas. No caso de um pulso em uma corda, por exemplo, cada partícula permanece em repouso até ser

alcançada pela onda e, assim, se move por um curto período de tempo. Se continuamos a mover a extremidade da corda a partícula será continuamente excitada pela onda. Se o

movimento da extremidade da corda for periódico, produz-se nessa corda um trem de ondas periódico. Temos como caso especial mais simples de onda periódica a onda harmônica simples, que produz em

cada partícula um MHS.


105

Fig. 4 – Pulso em uma corda e trem de ondas em uma corda.

Quanto à forma da frente de onda

Considerando um pulso tridimensional, pode-se desenhar uma superfície que passe por todos os pontos que em um dado instante sofreram o mesmo distúrbio. Com o decorrer do tempo, essa superfície se move, revelando como se propaga o pulso. Podemos generalizar essa idéia e no caso de uma onda periódica desenhando-se superfícies cujos pontos estejam todos na mesma fase de movimento.

A estas superfícies chamamos frentes de onda. Se o meio for homogêneo e isotrópico, a direção de propagação será sempre perpendicular à frente de onda. As frentes de onda podem ter formas variadas. Estudaremos aqui as frentes de onda planas e esféricas.

Ondas progressivas Vamos considerar uma longa corda esticada. Se uma onda transmite sua energia de um ponto até o outro da corda dizemos que essa onda é uma onda progressiva. Considerando esta corda esticada, sua direção de propagação será considerada como eixo Ox.

Suponhamos, também, que nessa corda se propague uma onda transversal. Em um dado instante, vamos supor t = 0 e a forna da corda pode ser representada pela função y = f (t)

Equação da onda unidimensional Para escrever a equação da onda vamos imaginar uma onda transversal senoidal que se propaga na

direção, e sentido positivo, do eixo X (como na corda considerada), com velocidade de módulo v. A deformação do meio material produzida pela onda se desloca no espaço com o passar do tempo.

A figura representa a onda no instante de tempo (t = 0), considerado como instante inicial, e num instante (t) posterior qualquer. Como admitimos ondas senoidais (harmônicas), em qualquer instante de tempo, o padrão espacial da onda é dado por uma função harmônica (seno ou cosseno). Assim, para t = 0, podemos escrever

y(x, 0) = A sen k.x onde:


106

A = amplitude da onda; e

K = número de onda = (2.π/λ). Pela própria característica periódica de uma onda e da função trigonométrica seno podemos escrever que:

y (x + λ, 0) = y (x, 0) e portanto

A.sen k.(x + λ) = A. sen kx, ou ainda,

sen (k.x + k.λ) = sen kx, que é uma identidade trigonométrica porque como

K = número de onda = (2.π/λ), então

k.λ = 2.π. Ora se admitirmos os pontos x' e x, de modo que x - x' = vt, ou seja, tal que x - x' representa a distância

percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t, temos: y(x,t) = y(x',0)

ou: y(x,t) = y(x - vt,0)

A partir da equação fundamental da onda temos que:

k.2

.k

1.)

.2.(f.v

e usando a expressão acima para y(x,0)

y(x,t) = A.sen (x – v.t) = A.sen (k.x – w.t), ou seja y(x,t) = A.sen (k.x – w.t),

Claro que para chegar a essa equação admitimos que y(0,0) = 0, o que não é verdade em um caso

qualquer. É necessário admitir uma fase inicial. Para considerar uma situação qualquer é necessário introduzir uma fase inicial φ0. de modo que a

equação geral da onda que se propaga na direção, e sentido positivo do eixo X, com velocidade de módulo v é: y(x,t) = A sen (kx - wt + φ0)

Naturalmente que quisermos descrever uma onda que se propaga na direção X, mas em sentido contrário

(sentido negativo do eixo X) fazemos v´= – v e então teremos: y(x,t) = A sen (kx + wt + φ0)

Apesar desta apresentação ter sido fundamentada na descrição de ondas transversais os resultados são os mesmos para ondas longitudinais,

Princípio da Superposição Para muitos tipos de ondas, a experiência nos mostra que duas ou mais ondas podem cruzar-se na mesma

região do espaço independentemente uma da outra. O fato das ondas serem independentes uma da outra significa que o deslocamento de qualquer partícula, em um dado instante, é simplesmente a soma dos deslocamentos que seriam produzidos se as ondas agissem isoladamente. Este processo de adição vetorial de deslocamentos de uma partícula denomina-se superposição. Podemos exemplificar o fenômeno através de ondas de rádio que possuem numerosas freqüências e passam por uma determinada antena de rádio. As ondas formadas pela superposição de todas essas ondas são muito complexas. É possível, no entanto, sintonizar uma emissora particular. Fisicamente o princípio da superposição é importante porque, quando válido, torna possível analisar um movimento ondulatório complicado como sendo a combinação de ondas simples.

Interferência de ondas A interferência refere-se aos efeitos físicos da superposição de duas ou mais ondas. Para compreender a interferência entre ondas mecânicas vamos observar as ondas que se propagam na

superfície da água. Vamos imaginar um operador com um bastão que toca uma única vez, a superfície plana de águas

paradas de um lago. O ponto em que o bastão atinge a superfície do lago passa a operar como a fonte de uma perturbação ou pulso que se propagam em todas as direções na superfície da água.

Agora vamos imaginar a mesma situação, porém o bastão passa a tocar a água sucessivas vezes e de forma periódica, por exemplo, uma vez a cada segundo, ou 2 vezes a cada segundo (freqüências f1 = 1 Hz e f2 = 2 Hz, respectivamente) agora você terá ondas que se propagam em todas as direções na superfície da água (Figura 5).


107

Figura 5 – Ondas circulares na superfície plana de um líquido.

Agora, vamos imaginar que o operador toque a superfície da água não apenas com um bastão, mas com dois bastões e em pontos diferentes. Agora temos duas fontes de onda F1 e F2, de características semelhantes à situação descrita anteriormente. Essas fontes vão gerar ondas que em alguma região da superfície da água, vão sofrer sobreposição dando origem a um fenômeno que chamamos de Interferência e apresenta um padrão visual semelhante ao apresentado na Figura 6.

Figura 6 – Padrão de superposição de ondas circulares na superfície plana de um líquido.

Para entender fisicamente esse fenômeno, de muitas aplicações em tecnologia, vamos admitir que F1 produza ondas de comprimento de onda λ1 e que F2 produza ondas de comprimento de onda λ2 e vamos analisar um corte transversal esquemático da superfície da água (Figura 6).

Figura 7 – Corte transversal esquemático da superfície da água, mostrando a amplitude e o comprimento de onda

das ondas produzidas por F1 e F2.


108

Agora vamos sobrepor essas imagens (Figura 8):

Figura 8 – Corte transversal esquemático da superfície da água, mostrando a sobreposição das ondas produzidas

por F1 e F2.

Analisando a Figura 7 podemos observar que há pontos, como P, por exemplo, em que se a superfície da

água fosse deformada apenas pelas ondas produzidas por F1, a deformação seria d acima da superfície horizontal da água e se a deformação fosse apenas a produzida pela fonte F2, seria d, abaixo da superfície horizontal da água.

Mas como os efeitos são simultâneos (e nesse caso, simétricos em relação à superfície horizontal da água) a resultante dos efeitos é tal que a deformação na superfície da água em P é nula (soma dos efeitos d+( -d) = 0), ou seja, o ponto P permanece sobre a superfície horizontal da água.

Também há pontos, como por exemplo, M, em que se a superfície da água fosse deformada apenas pelas ondas produzidas por F1, a deformação seria a acima da superfície horizontal da água e se a deformação fosse apenas aquela produzida pela fonte F2, seria b, também acima da superfície horizontal da água. E novamente, como os efeitos são simultâneos (a acima da superfície da água e b, também acima da superfície horizontal da água) a resultante dos efeitos é tal que a deformação na superfície da água em M é a soma das deformações (a+b), nesse caso acima da superfície horizontal da água.

É importante perceber que a descrição acima é verdadeira apenas para o instante t (instante mostrado na Figura 7). Não podemos esquecer que consideramos ondas com amplitudes, comprimentos de onda e velocidades de propagação diferentes e que, portanto, a deformação da superfície da água irá variar a cada instante. Dessa forma, a deformação da superfície da água no ponto P (que no instante t considerado é nula) deixará de ser nula no instante seguinte. De forma análoga, a deformação da superfície da água no ponto M (que no instante t considerado é máxima acima da superfície da água) diminuirá no instante seguinte, e com o passar do tempo será nula, depois a superfície da água, em M, se deformará para baixo da superfície horizontal, em seguida atingirá o máximo de deformação nesse sentido, novamente será nula e processo de repetirá periodicamente.

O fenômeno descrito acima é chamado INTERFERÊNCIA DE ONDAS. Vamos considerar duas ondas de mesma freqüência e mesma amplitude que se propagam com a mesma

velocidade, no mesmo sentido (Ox positivo), havendo entre elas uma diferença de fase.

)(1 tkxsenyy M

e )(2 tkxsenyy M

A onda de interferência pode ser definida como 21 yyy

tkxsentkxsenyy M ()(

2cos).(.2 tkxsenyy M

)2

(.2

cos..2

tkxsenyy M que é a equação que define a onda de interferência.

Note que a parte do colchete se refere a amplitude da onda e portanto quando tender a zero, a

amplitude da onda será o dobro da amplitude das ondas componentes, mas se tender a ou180° a amplitude da onda se anulará.


109


ATIVIDADE 08

EXPERIMENTO 06 ONDAS MECÂNICAS PROGRESSIVAS


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:______________________________________________ Nº



110

ATIVIDADE 08- EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EXPERIMENTO 06 – ONDAS MECÂNICAS PROGRESSIVAS

4) A equação de uma onda transversal progressiva onde x e y são expressos em metro, o tempo em segundo e ângulos em radianos é dada por:

)t..2x..5,2(sen0,2y

Determinar:

a) A amplitude da onda.

b) A freqüência.

c) O comprimento de onda.

d) O módulo da velocidade de propagação da onda.

e) O sentido de propagação.

f) O módulo da velocidade transversal máxima de uma partícula do meio de propagação.

5) Quando uma corda de violão é colocada em vibração, gera no ar em sua volta uma onda sonora que se propaga com velocidade média de 340m/s. Se essaa corda vibrar com freqüência de 440 Hz, qual será o comprimento da onda sonora que se propagará no ar?


111

6) Escrever a equação de uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo x, sabendo as seguintes características: amplitude 20 cm; período = 0,5 s; velocidade de propagação = 50 m/s e que para x = 0 e t = 0 tem-se que y = 10 cm.

4) A figura ao lado representa uma onda periódica propagando-se na água (a onda está representada de perfil). A velocidade de propagação desta onda é de 40 m/s, e cada quadradinho possui 10 cm de lado.

Determinar:

a) O comprimento de onda () desta onda.

b) A amplitude (A) desta onda.

c) A freqüência (f) da onda.

d) O período (T) de oscilação do barquinho sobre a onda.

e) A equação geral dessa onda.

5) Uma das extremidades de uma corda de 6 m de comprimento oscila para cima e para baixo com um movimento harmônico simples, com a freqüência de 60 Hz. As ondas atingem a outra extremidade da corda 0,5 s depois de partirem. Achar o comprimento de onda das ondas na corda.


112

EXPERIÊNCIA 07

ONDAS MECÂNIAS ESTACIONÁRIAS – CORDAS VIBRANTES

OBJETIVO

Estudar ondas estacionárias confinadas entre extremidades fixas, pela análise dessas ondas estacionária em cordas com extremidades fixas e determinar graficamente os expoentes das grandezas envolvidas na equação de Mersenne para verificação e teste dessa equação.

PROCEDIMENTO Utilizando um gerador de frquências verificar a variação da frequência de ressonância em uma corda com suas extremidades fixas em realação à variação do comprimento, da força tensora aplicada e da densidade linear de massa da referida corda. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Princípio da Superposição

Como vimos no item ―FUNDAMENTO TEÓRICO‖ do experimento ―ONDAS (MECÂNICAS) PROGRESSIVAS‖ quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio, ocorre o que chamamos de superposição de ondas.

Para relembrar esse conceito vamos imaginar a situação apresentada na Figura 1: duas ondas propagando-se numa corda (a onda 1, de amplitude a1, se propaga da esquerda para a direita, e a onda 2, de amplitude a2, que se propaga da direita para a esquerda).

Vamos admitir que essas ondas atinjam o ponto P no mesmo instante, elas vão causar nesse ponto uma perturbação que é igual à soma das perturbações que cada onda causaria se o tivesse atingido individualmente, ou seja, a onda resultante é igual à soma algébrica das ondas que cada uma produziria individualmente no ponto P, no instante considerado.

E, após a superposição, as ondas vão continuar se propagando com os mesmos parâmetros que antes da superposição, como se nada houvesse acontecido.

Quando as ondas que se superpõe se apresentam como na Figura 2, as perturbações individuais são subtraídas ( trata-se de uma soma algébrica). Naturalmente se as amplitudes forem iguais a deformação resultante apresentará amplitude nula.

Observe o modelo de explicação do fenômeno de superposição de ondas, em detalhe, na Figura 3. No caso da Figura 3 (a), temos o que chamamos de interferência construtiva — o módulo da amplitude da onda resultante é dado pela soma dos módulos das amplitudes das ondas componentes. Já no caso da Figura 3 (b), temos o que chamamos de interferência destrutiva — o módulo da amplitude da onda resultante é dado pela diferença dos módulos das amplitudes das ondas componentes.


113

Fig. 3 – Interferência de ondas

Ondas estacionárias

Ondas estacionárias são ondas resultantes da superposição de duas ondas que se propagam no mesmo meio, de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção de propagação e sentidos opostos.

Vamos imaginar a seguinte situação (Figura 4): uma corda com uma extremidade livre e a outra extremidade fixa (por exemplo, a uma parede rígida). Vamos fazer com que a extremidade livre dessa corda vibre em movimentos verticais periódicos. Dessa forma produzimos perturbações regulares que se propagam pela corda, caracterizando uma onda progressiva que se propaga inicialmente da esquerda para a direita da figura.

Fig. 4 – Onda estacionária

Em determinado instante essas ondas começam a atingir a extremidade fixa e se refletem, retornando a propagar-se pelo meio (corda) porém com sentido de propagação contrário ao inicial.

Dessa forma temos ondas que se superpõe umas às outras (incidentes e refletidas, de mesmos parâmetros, apenas de sentido de propagação contrário) dando origem à formação de ondas estacionárias.

Como pode ser visto na Figura 5, ondas estacionárias se caracterizam por apresentar pontos que oscilam, caracteristicamente, com amplitudes diferentes. Em outras palavras, existirão pontos, do meio de propagação, que permanecerão em repouso prolongado, ou seja apresentarão constantemente amplitude de oscilação nula — chamados nós (ou nodos, N) — enquanto outros pontos (A1), apresentarão constantemente amplitude de variação a1, outros pontos (A)2, apresentarão constantemente amplitude de variação a2, e assim sucessivamente até que determinados pontos (V) — chamados ventres — vibrarão constantemente com amplitude de oscilação máxima.


114

Fig. 5 – Elementos da onda estacionária

É importante observar que:

Todos os pontos do meio de propagação vibram com a mesma freqüência, mas com amplitudes diferentes (exceto os nós que permanecem em repouso prolongado);

A distância entre ventre é nó consecutivo é λ/4;

A distância entre ventre é ventre consecutivo é λ/2;

A distância entre nó é nó consecutivo é λ/2;

Como os nós permanecem em repouso prolongado ondas estacionárias não transportam energia.

Ondas estacionárias em uma corda Ondas confinadas entre duas paredes, como numa corda posta a vibrar, presa pelas duas extremidades e

posta a vibrar (ou as microondas na câmara de cozimento, daí o nosso interesse tecnico), sofrem múltiplas reflexões, dando origem a ondas que se propagam em sentidos opostos.

Essas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesma velocidade, mesma direção e sentidos opostos, sofrem superposição. E a essa superposição forma ondas estacionárias, cujos parâmetros dependem da relação entre o comprimento de onda da onda e da distância entre as extremidades.

Na Figura 6 vemos formas de ondas estacionárias formadas por uma corda fixa pelas duas extremidades.

Figura 6 - Ondas estacionárias numa corda com as duas extremidades fixas. Vemos quatro modos de vibração

(ou quatro harmônicos) de uma mesma corda. As regiões que apresentam amplitude de vibração máxima (V) são os ventres, e as regiões sem vibração (N) são os nodos.


115

Se transferirmos a uma das extremidades da corda um movimento harmônico simples, de pequena amplitude, de forma que possamos variar a freqüência de oscilação, vamos verificar que, para determinadas freqüências de oscilação, vão se formar diferentes formas de ondas estacionárias na corda.

Análise matemática do problema Vamos admitir uma corda de comprimento L, densidade linear μ, tracionada por uma força, ou tensão F. Definida a força que tensiona a corda e a densidade linear da corda, podemos calcular a velocidade de

propagação da onda na corda como

Fv (Equação de Taylor)

Como vimos na Figura 6, dado o comprimento da corda L, em função da freqüência que faz com a corda entre em vibração temos: no caso da Figura 6 (a) (primeiro modo de vibração)

n= 1 ventre 2

.1L 1 (distância entre dois nós sucessivos) 1L.2

1

no caso da Figura 6 (b) (segundo modo de vibração)

n= 2 ventres 2

.2L 2 (distância entre três nós sucessivos) 2L.2

2

no caso da Figura 6 (c) (terceiro modo de vibração)

n= 3 ventres 2

.3L 3 (distância entre quatro nós sucessivos) 3L.2

3

no caso da Figura 6 (d) (quarto modo de vibração)

n= 4 ventres 2

.4L 4 (distância entre cinco nós sucessivos) 4L.2

4

se aplicarmos essa idéia sucessivamente vamos perceber que para o n-ésimo modo de vibração

nL.2

n

Observação: o primeiro modo de vibração também é chamado de fundamental ou 1º harmônico. Os demais modos de vibração também podem ser chamados de harmônicos.

Como, de acordo com a equação fundamental da onda f.v e portanto

vf então,

L.2

v.n

)n

L.2(

vvf

nn

e substituindo a equação de Taylor na expressão acima

F.

L.2

nfn (Equação de Mersenne)

Sugestão: Analise as cordas de um violão para identificar do que depende o som emitido quando vibram. Nele existem 6 cordas de espessuras e materiais diferentes, identificadas por mi, lá, ré, sol, si e mi (de cima para baixo, em ordem decrescente de espessura). Elas são afinadas usando a cravelha, impondo-se a tensão correta. Numa certa corda, já devidamente tensionada, sons diferentes são obtidos pela variação do seu comprimento em vibração, pressionando-a contra os trastes do braço do violão. Assim, identificamos três parâmetros envolvidos na afinação (ou na obtenção de uma determinada tonalidade de som): a espessura e o material da corda, que podem ser representados pela densidade, a tensão aplicada e o comprimento. Exemplos:

1. Uma onda estacionária de freqüência 8 Hz se estabelece numa linha fixada entre dois pontos distantes 60 cm. Incluindo os extremos, contam-se 7 nodos. Calcule a velocidade da onda progressiva que deu origem à onda estacionária.


116

Solução:

Da figura cm20cm602

.6AB2

.6

Logo, como s/cm1608.20vf.v ou s/m6,1v

2. Quais são as três freqüências mais baixas das ondas estacionárias em um arame com 9,88 m de comprimento e massa 0,107 kg, que está sob uma tração de 236 N?

Solução:

Dado que m/Kg10.08,1m88,9

Kg107,0

L

m 2

E que

F.

L.2

nfn , então 47,7.n

10.08,1

236.

)88,9.(2

nf

2n

Então para n= 1 Hz47,747,7.1f1

e para n= 2 Hz94,1447,7.2f2

e para n= 3 Hz41,2247,7.3f3

3. Uma corda de 50 cm de comprimento e densidade linear 1,0.10–5

kg/m tem suas extremidades fixas. Determinar a freqüência do primeiro harmônico emitido pela corda quando submetida a uma força de tração de intensidade 6,4 N. Solução:

Sabemos que para o primeiro harmônico

m0,1)5,0.(2L.22

L

A velocidade de propagação é dada pela equação de Taylor

sm

5800

)10,1(

4,6v

Fv

e a partir da equação fundamental da onda


117

Hz8001

800vff.v

4. Uma corda de massa m = 240 g e de comprimento d = 1,2 m vibra com freqüência de 150 Hz, no estado estacionário esquematizado. Determine a velocidade de propagação da onda na corda.

Solução:

Como a distância entre dois nós consecutivos2

, temos:

m8,0m2,12

.3

e a partir da equação fundamental da onda

sm210.2,1)150).(8,0(f.v

Exercícios propostos: 1) Quais são as freqüências dos primeiros três harmônicos da corda mais longa de um piano? O comprimento da

corda é 1,98 m e a velocidade da onda na corda é 130 m/s. 2) A velocidade da onda na corda de freqüência mais elevada do violino é 435 m/s e o seu comprimento de L =

0, 33m. Se um violinista tocar ligeiramente na corda num ponto a uma distância de L/3 da extremidade produz-se aí um nodo. Qual é a freqüência mais baixa que pode agora ser produzida por esta corda?

3) Um guitarrista vai afinar a corda em lá da sua guitarra. O comprimento da corda é 70 cm, a sua densidade é

10-2

kg/m e o som produzido, quando está afinada, tem uma freqüência de 110 Hz. a) Calcule o comprimento de onda da onda que se propaga na corda quando esta está afinada; b) E se a corda estiver desafinada (vibrando por exemplo a uma freqüência de 100 Hz), o comprimento de onda é o mesmo? O que é que varia quando se estica a corda? c) Calcule a velocidade de propagação da onda na corda e a tensão a que esta fica sujeita quando está afinada. d) Qual a freqüência do 4º harmônico da corda afinada? 4. Duas cordas com o mesmo raio e de materiais diferentes foram ligadas como indica a figura abaixo e tracionadas por uma tensão de 1N.


118

Uma onda com uma velocidade de 10 m/s e comprimento de onda de 1 m propaga-se inicialmente na corda 1. a) Qual a freqüência e o comprimento de onda da onda que se transmite para o segmento de corda 2, sabendo que aí a velocidade de propagação é 5 m/s?

b) Qual a razão entre a densidade linear (kg/m) do material da corda 1 e a da corda 2?

c) Se a corda 1 tiver 1 m, que comprimento mínimo deverá ter a corda 2 para manter uma onda estacionária?

PARTE PRÁTICA

EXECUÇÃO

1. Monte o esquema conforme figura.

2. Varie lentamente a freqüência do oscilador de forma a observar a formação de ondas estacionárias;

3. Observe a dependência entre freqüência e comprimento de onda da onda estacionária gerada;

4. Ajuste a freqüência do oscilador de modo a que você possa observar especificamente o 2º modo de vibração ou segundo harmônico (n= 2). A situação que você vai observar será parecida com a apresentada ao lado.

Nessa condição, o 2º modo de vibração, ou segundo harmônico, em que n= 2, a equação de Mersenne

F.

L.2

nfn

ficaria

F.

L

1F.

L.2

2f2 , que se reescrita na forma de exponencial

21

21

12 .F.f

de agora em diante faremos f = f2 (sem esquecer que de agora em diante a freqüência f corresponde especificamente à freqüência do 2º modo de vibração), e também

2

1

2

1

1

portanto nossa expressão de freqüência é

.F.Lf


119

5. Determine . Para isso mantenha constante ―F‖ (o peso do massor) e ―‖ (o diâmetro da corda), varie ―L‖ (o comprimento da corda) e ajuste ―f‖ de modo a obter sempre o 2º modo de vibração. Dessa forma será obtida uma tabela da variação da frequência em relação ao comprimento da corda.

6. Com os dados da tabela construa o gráfico f X L em papel log – log (Di-log), semelhante à Figura abaixo

A inclinação da curva (reta), isto é, o coeficiente angular da reta é o expoente procurado ;

7. Determine . Para isso mantenha constante ―L‖ (o comprimento da corda) e ―‖ (o diâmetro da corda), varie ―F‖ (o peso do massor) e ajuste ―f‖ de modo a obter sempre o 2º modo de vibração. Dessa forma será obtida uma tabela da variação da frequência em relação à força tensora aplicada à corda.

8. Com os dados da tabela construa o gráfico f X F em papel log – log (Di-log), semelhante à Figura abaixo

A inclinação da curva (reta), isto é, o coeficiente angular da reta é o expoente procurado ;

9. Determine . Para isso mantenha constante ―L‖ (o comprimento da corda) e ―F‖ (o peso do massor) varie ―‖ (o diâmetro da corda), e ajuste ―f‖ de modo a obter sempre o 2º modo de vibração. Dessa forma será obtida uma tabela da variação da frequência em relação à densidade linear de massa da corda.

10. Com os dados da tabela construa o gráfico f X em papel log – log (Di-log), semelhante à Figura abaixo

A inclinação da curva (reta), isto é, o coeficiente angular da reta é o expoente procurado .

DADOS (para as possíveis cordas utilizadas nesse experimento):

0,3 = 6,58.10-5

kg/m

0,4 = 1,32.10-4

kg/m

0,5 = 2,31.10-4

kg/m

0,6 = 2,84.10-4

kg/m

0,7 = 3,86.10-4

kg/m

0,8 = 4,38.10-4

kg/m


120


ATIVIDADE 10

EXPERIMENTO 07

ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:_______________________________________________ Nº



121

Figura – Esquema do arranjo experimental


EXPERIMENTO 07 – ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS

OBJETIVO: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ______________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

EXECUÇÃO: 1) Montar o esquema conforme figura ao lado. 2) Variar lentamente a freqüência do oscilador de forma a

observar a formação de ondas estacionárias.

3) Observar a dependência entre freqüência e comprimento de onda da onda estacionária gerada.

4) Ajustar a freqüência do oscilador de modo a que você possa observar especificamente o 2º modo de vibração ou segundo harmônico (n= 2). Observe a figura ao lado. Nessas condições nossa expressão de freqüência é

..Ff

5) Manter constante “F” (o peso do massor) e “” (o diâmetro da corda). Variar ―‖ (o comprimento da corda) e ajustar “f ” de modo a obter sempre o 2º modo de vibração (n=2).

6) Completar a TABELA 1.

7) Com os dados da TABELA 1 construa, em papel Di-log, o gráfico f X . que deve ser semelhante à Figura abaixo

TABELA 1: f x

f (Hz)

(m) 1,5 1,3 1,1 0,9

O coeficiente angular da reta é o expoente procurado ().

adjacentecatetodommemgráficonoocompriment

opostocatetodommemgráficonoocompriment

""

""


122

Cálculo de :

8) Com os dados da TABELA 2 construa, em papel Di-log, o gráfico f X F. que deve ser semelhante à Figura abaixo


TABELA 2: f x F

f (Hz)

F (N)

m (kg) 0,100 0,150 0,200 0,250



""

""

)(

)(

mm

mm

= _________


123

Cálculo de β:

9) Com os dados da TABELA 3 construa, em papel Di-log, o gráfico f X μ. que deve ser semelhante à Figura

abaixo

TABELA 3: f x

f (Hz)

(kg/m)

da corda (mm)




""

""

DADOS:

0,3 = 6,58.10-5

kg/m

0,4 = 1,32.10-4

kg/m

0,5 = 2,31.10-4

kg/m

0,6 = 2,84.10-4

kg/m

0,7 = 3,86.10-4

kg/m

0,8 = 4,38.10-4

kg/m

)(

)(

mm

mm

= _________


124

Cálculo de :

10) Com os expoentes calculados, a equação da freqüência fica:

e a equação deduzida por Mersenne (para n=2) é 2

12

1

..1

2

Ff

RESPONDER:

1) Quais os valores encontrados para os coeficientes , e nesse experimento?

__________________________________________________________________________

2) Quais os valores esperados para os coeficientes , e nesse experimento?

__________________________________________________________________________

3) Compare os valores esperados para o experimento e os efetivamente calculados. O que se pode concluir?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

4) Foi possível fazer a verificação e o teste da equação de Mersenne?

__________________________________________________________________________

..Ff

)(

)(

mm

mm

= _________


125

EXPERIÊNCIA 08

ONDAS MECÂNIAS ESTACIONÁRIAS – TUBOS SONOROS

OBJETIVO

Determinar a velocidade do som no ar.

PROCEDIMENTO Utilizando um gerador de frquências verificar a formação de configurações estacionárias de uma onda sonora no interior de um tubo preenchido com ar.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Introdução Vamos admitir que som é resultado do movimento vibratório das partículas que constituem um meio

material, e que conseqüentemente somente se propaga através de meios materiais e elásticos. Trata-se, portanto, de energia que se propaga através de ondas mecânicas, porque precisam de um meio material para se propagar. Estes meios de propagação podem ser sólidos, como barras metálicas (a própria Terra, constitui meio de propagação de ondas sonoras); líquidos, como a água; ou gases, como o ar. Ondas sonoras são ondas de pressão, e se propagam através de sucessivas compressões e rarefações das partículas do meio Figura 1.

Figura 1 - A figura ilustra a propagação do som. Cada partícula de determinado meio material (ar, água,alumínio, rochas...) recebe energia da fonte sonora e empurra a partícula vizinha. No vácuo, como não há partículas

suficientes, não há como o som se propagar.

Na maioria das vezes, ouvimos sons sendo transmitidos através do ar (nesse caso constituem ondas mecânicas, longitudinais e tridimensionais): as ondas sonoras se propagam através do meio elástico (ar) e chegam até o ouvido causando a sensação sonora. O aparelho auditivo humano é sensível a sons cujas freqüências estão compreendidas na região de 20 Hz à 20 kHz, conhecida como espectro de audiofreqüências. As Compvibrações sonoras podem ser classificadas em:

Vibrações sônicas com freqüências entre 20 Hz e 20.000 Hz. Elas podem ser percebidas pelo ouvido humano;

Vibrações infra-sônicas de freqüências abaixo de 20 Hz. Elas não podem ser percebidas pelo ouvido humano. Vibrações infra-sônicas também são chamadas de vibrações subsônicas.

Vibrações ultra-sônicas de freqüências acima 20.000 Hz. Elas não podem ser percebidas pelo ouvido humano. Vibrações ultra-sônicas também são chamadas de vibrações supersônicas. Vibrações ultra-sônicas têm diversas aplicações tecnológicas: são empregadas em processos de homogeneização de leite, higienização de pratos, e mapeamento de órgãos internos do corpo humano. Estas vibrações podem ser percebidas por alguns animais, como morcegos e golfinhos, que se utilizam desse processo como mecanismo de comunicação e localização.

A velocidade de propagação das ondas sonoras Como foi explicado no item anterior, a propagação de ondas sonoras ocorre pela transmissão da energia

da fonte sonora de partícula para partícula do meio material. Naturalmente que a eficiência dessa transmissão está ligada à estrutura do meio de propagação, bem como às condições físicas às quais esse meio está submetido. Desse modo espera-se que em cada meio de propagação, e para cada conjunto de condições externas, as ondas sonoras apresentem velocidade de propagação diferente. A tabela abaixo evidencia esse fato experimental.


126

Meio de propagação Velocidade

(m.s-1

)

Dióxido de carbono (0 ºC) 258

Oxigénio 317

Ar (0 ºC) 331,5

Ar (10 ºC) 337,5

Ar (20 ºC) 343,4

Ar (30 ºC) 349,2

Hélio (20 ºC) 927

Álcool etílico 1180

Chumbo 1200

Hidrogénio (0 ºC) 1270

Mercúrio 1450

Água (20 ºC) 1480

Borracha 1500

Água do mar 1522

Latão 3500

Cobre 3900

Alumínio 4420

Concreto 5000

Aço 6000

Tabela 1 – Alguns valores de velocidade de propagação de ondas sonoras, em diferentes materiais.Fonte: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107

A velocidade de propagação das ondas sonoras nos gases

Especialmente nos gases as ondas sonoras apresentam velocidade de propagação variável, de modo que:

p.v

onde:

)tetanconsvolumeaespecíficocalorde.coef(c

)tetanconspressaõaespecíficocalorde.coef(c

v

p é o coeficiente adiabático do gás,

é a densidade volumétrica do gás,

e p a pressão,

a velocidade de propagação as ondas sonoras nos gases, portanto, é função do gás, da densidade e da pressão.


127

Veja Tabela 2 a seguir:

Gás

Velocidade de propagação do

som (m/s) a pressão de 1 atm

Ar (0º C) 331

Álcool etílico (97º C) 269

Amoníaco (0º C) 415

Gás carbônico (0º C) 259

Hélio (0º C) 965

Hidrogênio (0º C) 1284

Neón (0º C) 435

Nitrogênio (0º C) 334

Oxigênio (0º C) 316

Vapor de água (134 ºC) 494

Tabela 2 – Alguns valores de velocidade de propagação de ondas sonoras, em diferentes gases .Fonte: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107

Como exemplo, para ao ar, temos que:

na Pa10.013,1atm1)normalpressão(p 5

4,1ar) do adiabático te(coeficien 3m

Kg293,1ar) do avolumétric densidade(

desse modo s

m5

331)293,1(

)10.013,1).(4,1(p.v

A velocidade de propagação das ondas sonoras no ar A velocidade de propagação das ondas sonoras no ar à temperatura constante

Em particular, no ar, se a temperatura permanecer constante, a velocidade do som independe da pressão, isso porque pressão e densidade variam com a mesma proporcionalidade, de forma a compensar seus efeitos. A velocidade de propagação das ondas sonoras no ar e sua dependência com a temperatura

Para o ar a relação entre a velocidade de propagação da onda sonora e a temperatura é dada pela seguinte expressão:

21

).00366,01.(331 tv ,

onde v é a velocidade da onda sonora no ar; e t a temperatura na escala Celsius Observação: em experimentos com ondas sonoras, ou na solução de exercícios, admitimos que a velocidade de propagação do som é 340 m/s, que é velocidade dessas ondas a aproximadamente 20 °C. Tubos sonoros

Tubos sonoros são colunas de gás nas quais a massa gasosa é posta em vibração.

Uma utilidade prática imediata dos tubos sonoros é a compreensão o funcionamento dos instrumentos de sopro. Observação: Apenas em caráter geral, nestes instrumentos de sopro, à região na qual o ar é soprado (região de excitação da coluna de ar) dá-se o nome de embocadura.


128

Há embocaduras constituídas apenas de calço com uma abertura lateral: são embocaduras “tipo flauta”;

e embocaduras constituídas de calço com uma palheta, sem abertura lateral: são embocaduras “tipo palheta”.

Os tubos sonoros podem ser abertos ou fechados.

Tubos sonoros abertos

Neste caso, as duas extremidades do tubo são abertas (a embocadura, onde o gás é excitado (soprado), e a outra, aberta para o meio externo). Ao excitar a coluna de gás no interior de um tubo aberto, produz-se uma onda que se propaga da embocadura para a outra extremidade. Ao atingir a segunda extremidade aberta a onda encontra um meio com propriedades físicas diferentes daquelas no interior do tubo (diferente temperatura, pressão, densidade), de forma que essa onda sofre reflexão e refração. A onda refletida se superpõe à onda incidente, e em condições específicas pode dar origem a ondas estacionárias, produzindo dessa forma sons de maior intensidade.

Como o tubo apresenta as extremidades abertas, nelas, as partículas do gás terão ampla mobilidade caracterizando regiões ventrais (ventres). Dentro desse raciocínio, o padrão de onda estacionária que se forma, de menor freqüência possível, que chamamos de som fundamental, primeiro modo de vibração ou primeiro harmônico é apresentado na figura abaixo: Primeiro Modo de Vibração ou Primeiro Harmônico (som fundamental)

Como podemos verificar, nessa condição forma-se um nó central (o comprimento do tubo corresponde à

distância entre dois ventres consecutivos (2

))

L.22

L 11

, e como

v

ff.v , então L.2

v.1

vf

11

O próximo modo de vibração constitui o Segundo Modo de Vibração ou Segundo Harmônico

e nessa condição formam-se dois nós centrais (o comprimento do tubo corresponde à distância entre três ventres

consecutivos (2

.2

)


129

2

L.2

2.2L 2

2

, e como

v

ff.v , então L.2

v.2

vf

22

O próximo modo de vibração constitui o Terceiro Modo de Vibração ou Terceiro Harmônico

Nessa condição formam-se três nós centrais (o comprimento do tubo corresponde à distância entre quatro

ventres consecutivos (2

.3

))

3

L.2

2.3L 3

2

, e como

v

ff.v , então L.2

v.3

vf

33

Conclusão: Ao observar a seqüência de formação das freqüências de vibração dessas ondas estacionárias não é difícil perceber que para o n-ésimo modo e vibração ou n-ésimo harmônico a freqüência será

L.2

v.nfn , com n inteiro e positivo (n= 1, 2....), identificando a

ordem do modo de vibração ou a ordem do harmônico e ainda o número de nós centrais.

Podemos ainda escrever que 1n f.nf , onde f1 é a freqüência Primeiro Modo de Vibração ou Primeiro

Harmônico (som fundamental). Tubos sonoros fechados

Neste caso, uma das extremidades do tubo é aberta (a embocadura, onde o gás é excitado (soprado)), e a outra, fechada.

Ao excitar a coluna de gás no interior de um tubo fechado, produz-se uma onda que se propaga da embocadura para a outra extremidade. Ao atingir a extremidade fechada a onda sofre reflexão.

A onda refletida se superpõe à onda incidente, e em condições específicas pode dar origem a ondas estacionárias, produzindo dessa forma sons de maior intensidade.

Na extremidade aberta do tubo as partículas do gás terão ampla mobilidade caracterizando uma região ventral (ventre), por outro lado na extremidade fechada do tubo as partículas do gás não terão mobilidade caracterizando uma região nodal (nó).

Portanto, dentro desse raciocínio, o padrão de onda estacionária que se forma, de menor freqüência possível, que chamamos de som fundamental, primeiro modo de vibração ou primeiro harmônico é apresentado na figura abaixo: Primeiro Modo de Vibração ou Primeiro Harmônico (som fundamental)

Como pode ser visto, temos apenas um ventre, na extremidade aberta, e um nó, na extremidade fechada (o

comprimento do tubo corresponde à distância entre um ventre e um nó consecutivo (4

))

L.44

L 11

, e como

v

ff.v , então L.4

v.1

vf

11

O próximo modo de vibração constitui o Segundo Modo de Vibração


130

e nessa condição temos a formação de dois ventres e dois nós consecutivos (o comprimento do tubo corresponde

à distância entre ventre-nó, nó-ventre, e ventre-nó (4

.3

))

3

L.4

4.3L 2

2

, e como

v

ff.v , então L.4

v.3

vf

22

Note que se compararmos à seqüência de freqüências das ondas estacionárias geradas em cordas

vibrantes(L.2

v.nfn , onde n é a ordem do modo de oscilação ou harmônico (o número de ventres)), ou dos

tubos sonoros abertos(L.2

v.nfn , onde n é a ordem do modo de oscilação ou harmônico (o número de nós))

nos tubos sonoros fechados não aparecem as freqüências de ordem par: dessa forma ao segundo modo

de vibração corresponde o Terceiro Harmônico 12 f.3f

O próximo modo de vibração constitui o Terceiro Modo de Vibração ou Quinto Harmônico

nessa condição temos a formação de três ventres e três nós consecutivos (o comprimento do tubo corresponde à

distância entre ventre-nó, nó-ventre, ventre-nó, nó-ventre, e ventre-nó (4

.5

))

5

L.4

4.5L 3

3

, e como

v

ff.v , então L.4

v.5

vf

33

Conclusão: Ao observar a seqüência de formação das freqüências de vibração dessas ondas estacionárias não é difícil perceber que para o n-ésimo modo e vibração ou n-ésimo harmônico a freqüência será

L.4

v).1n2(fn , com n inteiro e positivo (n= 1, 2....), identificando a ordem do modo de vibração ou ainda o

número de ventres ou nós.

Não devemos esquecer que nos tubos sonoros fechados não aparecem os Harmônico de ordem par (ao segundo modo de vibração corresponde o terceiro Harmônico, ao terceiro modo de vibração corresponde o quinto Harmônico e segue sucessivamente)

Podemos ainda escrever que 1n f).1n.2(f , onde f1 é a freqüência Primeiro Modo de Vibração ou

Primeiro Harmônico (som fundamental). EXEMPOS 1. Um tubo sonoro aberto, de comprimento igual a 0,75 m, está a emitindo sons de freqüência 680 Hz. Sabendo que a velocidade de propagação do som, no ar do tubo, é de 340 m/s, pede-se a ordem do harmônico correspondente. Solução:

3)340(

)680).(75,0.(2

v

f.L.2n

L.2

v.nf n

n

2. Um tubo fechado, de 0,4 m de comprimento, está emitindo sons. Considerando a velocidade do som no ar do tubo 340 m/s, pede-se a freqüência do som do: a) primeiro harmônico; b) terceiro harmônico.


131

Solução: a) Som fundamental, forma-se a onda:

Hz5,212)4,0.(4

)340().11.2(f

L.4

v).1n2(f 1n

b) Para o Terceiro Harmônico (segundo modo de vibração)

Hz5,637)4,0.(4

)340().12.2(f

L.4

v).1n2(f 2n

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Num tubo de órgão, três freqüências de ressonâncias sucessivas são 1310, 1834 e 2358 Hz. (a) O tubo está

fechado numa extremidade, ou aberto nas duas? (b) Qual a freqüência fundamental? (c) Qual o comprimento do tubo?

2) Instrumentos como os clarinetes usam colunas de ar abertas numa das extremidades. Qual é o comprimento

de um clarinete que tem freqüência fundamental de 147 Hz? 3) A freqüência fundamental do maior tubo de um órgão é 16,35 Hz. Se o tubo é aberto dos lados qual é o seu

comprimento?


132

4) Um clarinete tem uma freqüência fundamental de 147 Hz e, quando tocado, tem uma extremidade fechada. Quantos harmônicos aparecem abaixo de 1350 Hz?

5) Considere agora um tubo aberto dos dois lados e com a mesma freqüência fundamental do clarinete. Quantos

harmônicos aparecem abaixo de 1350 Hz? PARTE PRÁTICA EXECUÇÃO 1) Montar o esquema da figura ao lado; 2) A fonte de ondas é constituída pelo conjunto gerador de áudio +

amplificador + alto falante. 3) Ajuste a freqüência do gerador em f = 1000Hz (anote esse valor); 4) Lentamente, baixe o nível de água no tubo (abaixe do reservatório do

vaso comunicante) até que se perceba, através da audição, um reforço na intensidade sonora produzida no tubo — esse reforço identifica uma condição de formação de onda estacionária. Anote o comprimento da coluna de ar nessa condição.

5) Continue, sempre lentamente, baixando o nível de água no tubo até

ouvir novo reforço sonoro — esse novo reforço identifica nova condição de formação de onda estacionária. Anote o comprimento da coluna de ar nessa nova condição.

6) Continue o processo até esvaziar o tubo, sempre anotando o

comprimento da coluna de ar em cada condição de formação de onda estacionária.

7) Construa uma tabela com esses dados. 8) Dessa forma dado o modo de vibração n, e considerando que se trata de um tubo sonoro fechado temos que:

L.4

v).1n2(fn , logo

)1n2(nf.L.4

v

Naturalmente para cometer o erro experimental percentual mínimo é recomendável aplicar os dados experimentais correspondentes ao tubo mais longo, que correspondem à última medida.


133


ATIVIDADE 11

EXPERIMENTO 08

ONDAS ESTACIONÁRIAS EM TUBOS


____/____/____

DATA DE ENTREGA :

____/____/____

NOTA:

Nome:_________________________________________________ Nº



134


EXPERIMENTO 08 – ONDAS ESTACIONÁRIAS EM TUBOS

OBJETIVO: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

PROCEDIMENTO: ______________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

EXECUÇÃO:

1) Montar o esquema da figura ao lado.

2) Ajuste a freqüência do gerador em f = 1000Hz (anote esse valor).

3) Baixar, lentamente, o nível de água no tubo até que se perceba, através da audição, um reforço na intensidade sonora produzida no tubo – esse reforço identifica uma condição de formação de onda estacionária. Anote

o comprimento () da coluna de ar para essa configuração estacionária.

4) Continuar, sempre lentamente, baixando o nível de água no tubo até ouvir novo reforço sonoro (segunda configuração de onda estacionária). Anote o comprimento da coluna de ar.

5) Continuar o processo até esvaziar o tubo, sempre anotando o comprimento da coluna de ar em cada configuração de onda estacionária.

6) Completar a TABELA:

7) Determinar o valor experimental para a velocidade de propagação do som no ar.

Sendo

1.2

..4

.4).12(

n

fv

vnf n

n

RESPONDER: 1) Qual o valor calculado para a velocidade do som no ar no experimento?

____________________________________________________________________________

2) Compara esse valor com os valores adotados para a velocidade do som no ar (ver tabela na página 164). O que se pode concluir a partir dessa comparação?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Ordem do Modo de Ressonância

Ordem do Harmônico

(cm) (m)

1 1º

2 3º

3 5º

4 7º

Figura – Esquema do arranjo

experimental

f = ________________ (Hz)

v ar = __________ m/s

OBS.: Para cometer o erro experimental percentual mínimo, aplicar os dados experimentais correspondentes ao tubo mais longo, que correspondem à última medida.


135

Bibliografia:

BEER,Ferdinand Pierre; JOHNSTON,Elwood Russel – “Mecânica vetorial para engenheiros”, trad. Antonio Carlos Souza Pinto e Airton Caldas, revisão Giorgio Eugenio Oscare Giacaglia, 3ª edição, Ed. McGraw-Hill, São Paulo (1980).

HALLIDAY, David; RESNICK, David – “Física” , trad. Rogério Catarino Trajano da Costa, 2a edição ,

Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro (1978).

SEARS, Fracos Weston; ZEMANSKY, Mark W. – “Física”, trad. José Lima Accioli, 1ª edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro (1973).

TIPLER, Paul A. – “Física”, tradução Horácio Macedo, 2

a edição, vol.2 Editora Guanabara, Rio de Janeiro

(1990).

Apostila de Física Geral e Experimental II

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