Apostila de Limite

Apostila de Limite para o Curso de Administração Prof Iran Aragão 1

UNIDADE 1 - LIMITES

1.1 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Seja a função f(x) = )1x(

1xx22

definida para todo x real e x 1. Se x 1, podemos

dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendo f(x) =)1x(

)1x)(1x2(

f(x) = 2x + 1.

Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes

de 1.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:

x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

f(x) 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998

Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001

f(x) 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002

Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x)

aproxima-se de 3, isto é, quanto mais próximo de 1 estiver x, tanto mais próximo de 3 estará

f(x).

1.2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL

Uma das conseqüências das propriedades de limite é a regra de obter o limite de uma

função polinomial.

Teorema 1

O limite de uma função polinomial

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx

n =

n

0i

aixi, ai R, para x tendendo para a, é igual ao

valor numérico de f(x) para x = a.

Por uma questão de simplicidade indicaremos as propriedades de limites como sendo as

propriedades P e vamos fazer rápido sumário dessas propriedades.

PROPRIEDADES

Se ax

lim

f(x) = L, ax

lim

g(x) = M e c = constante, então:

1. ax

lim

c = c


2. ax

lim

[c. f(x)] = c. ax

lim

f(x) = c . L

3. ax

lim

[(f + g) (x)] = ax

lim

f(x) + ax

lim

g(x) = L + M

4. ax

lim

[(f - g) (x)] = ax

lim

f(x) - ax

lim

g(x) = L - M

5. ax

lim

[(f . g) (x)] = ax

lim

f(x) . ax

lim

g(x) = L . M

6. ax

lim

)x(g

)x(f =

)x(glim

)x(flim

ax

ax

= M

L (M 0)

7. ax

lim

[(f)n (x)] = [ax

lim

f(x)]n = Ln

8. ax

lim

n )x(f = n

ax

)x(flim

= n L (se n *N e L 0 ou se n é ímpar e L 0)

EXERCÍCIOS

1.1 - Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o

teorema utilizado.

a) )2x5x3(lim2

2x

b) 3x4

3x2xlim

2

1x

c)

22

1x 2x3

1xx2lim

d) 3

2

23

2x 3x4x

2x3x2xlim

Solução

a) Pelo teorema da função polinomial, vem:

)2x5x3(lim2

2x

= 3. 22 - 5. 2 + 2 = 4

b) 3x4

3x2xlim

2

1x

= )3x4(lim

)3x2x(lim

1x

2

1x

= 7

4

7

4

c)

22

1x 2x3

1xx2lim

=

22

1x 2x3

1xx2lim

=

2

1x

2

1x

)2x3(lim

)1xx2(lim

= 22 = 4

d) 3

2

23

2x 3x4x

2x3x2xlim

= 3

2

23

2x 3x4x

2x3x2xlim

= 3

2

2x

23

2x

)3x4x(lim

)2x3x2x(lim

=

283


1.2 - Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o

teorema utilizado.

a) )5x7x4(lim2

1x

b) )3x4x2x(lim23

1x

c) 5x6x

2x3lim

22x

d) 1x2

4x5x3lim

2

1x

e) x35

3x2xlim

2

3x

f)

3

2

2

2x 4x3x

5x2x3lim

g)

2

2

23

4x 2x9x2

5x2x3xlim

h) 4x5

4x3x2lim

2

1x

i) 3

23

2x 3x4

2xx5x3lim

j) x46

2x3x2lim

2

2x

1.3- Calcular x2x

4xlim

2

2

2x

Solução

Temos 0)4x(lim2

2x

e 0)x2x(lim2

2x

e nada podemos concluir ainda sobre o limite

procurado.

Os polinômios (x2 - 4) e (x2 - 2x) anulam-se para x = 2, portanto, pelo teorema de

D´Alembert, são divisíveis por x - 2, isto é:

x

2x

)2x(x

)2x)(2x(

x2x

4x

2

2

Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o

comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função

quando x = a, concluímos:

x2x

4xlim

2

2

2x

=

x

2xlim

2x

= 2


1.4- Calcular os limites:

a) 1x

1xlim

2

1x

b) x2

x4lim

2

2x

c) 2/3x

lim 3x2

9x42

d) 6xx

3x4xlim

2

2

3x

e) 2/1x

lim 2x5x2

3x5x2

2

2

f) 12x5x2

3x11x6lim

2

2

2/3x

g) 1x

1xlim

2

3

1x

h) 2

3

2x x4

x8lim

i) 3

4

2x x8

16xlim

1.5- Seja a função f definida por

f (x) =

1xse3

1xse1x

2x3x2

Calcular ).x(flim1x

Solução:

Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o

comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função

quando x = a, temos:

)x(flim1x

= 1)2x(lim)1x(

)2x)(1x(lim

1x

2x3xlim

1x1x

2

1x


1.6 - Seja a função f definida por f(x) =

2xse,3

2xse,2x

2x3x22

. Calcular )x(flim2x

1.7 - Seja a função f definida por f(x) =

3xse3

3xse3x

9x9x22

Mostre que

3)x(flim3x

1.8 Calcular 3x5x3x

1x4xx2lim

23

23

1x

.

Solução

Temos 0)1x4xx2(lim23

1x

e 0)3x5x3x(lim23

1x

.

Os polinômios (2x3 + x2 - 4x +1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3) anulam-se para x = 1, portanto,

pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x - 1), isto é, x - 1 é um fator comum em

(2x3+ x2 - 4x +1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3).

Efetuamos as divisões de (2x3 + x2 - 4x + 1) e (x3 - 3x2 + 5x - 3) por (x - 1),

obtemos:

3x2x

1x3x2

)3x2x).(1x(

)1x3x2).(1x(

3x5x3x

1x4xx2

2

2

2

2

23

23

Então

23x2x

1x3x2lim

3x5x3x

1x4xx2lim

2

2

1x23

23

1x

1.9 - Calcular os limites:

a) 2xx

3xx3xlim

23

23

1x

b) 3x8x

9x6xlim

3

3

3x

c) 5x8x4x

4x6x3xlim

23

23

1x

d) 23

4

2x x2x

4x10xlim


1.10 - Calcular 1x3x2

2xx4x3lim

23

23

1x

Solução

Temos 0)2xx4x3(lim23

1x

e 0)1x3x2(lim23

1x

Efetuando as divisões de 3x3 - 4x2 - x + 2 e 2x3 - 3x2 + 1 por x - 1, temos:

1xx2

2xx3

)1xx2)(1x(

)2xx3)(1x(

1x3x2

2xx4x3

2

2

2

2

23

23

então

1xx2

2xx3lim

1x3x2

2xx4x3lim

2

2

1x23

23

1x

mas

0)2xx3(lim2

1x

e 0)1xx2(lim2

1x

, então

3

5

1x2

2x3lim

)1x2)(1x(

)2x3)(1x(lim

1xx2

2xx3lim

1x1x2

2

1x

1.11- Calcular os limites:

a) 3x4x

2x3xlim

4

3

1x

b) 4x4x7x2

12x12xx4xlim

23

234

2x

c) 2x5x4x

4x5xxxlim

23

234

1x

d) 8x12x2x7x2

4x12x5x2xlim

234

234

2x

1.3 LIMITES LATERAIS

Lembremos que, ao considerarmos )x(flimax

, estávamos interessados no comportamento

da função nos valores próximos de a, isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo

aberto contendo a, porém diferentes de a e, portanto, nos valores desse intervalo que são

maiores ou menores que a.

Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x assume valores próximos

e menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando x assume valores

próximos e maiores que a. Quando isto acontece o limite de f(x) não existe em a.

Assim, por exemplo, na função:


f(x) =

1xse2x

1xse2

1xsex4

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 (à esquerda de 1) temos:

x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

f(x) 4 3,5 3,25 3,1 3,01 3,001

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, (à direita de 1), temos:

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001

f(x) 0 -0,5 -0,75 -0,9 -0,99 -0,999

Observamos que, se está próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função

estão próximos de 3, e se x está próximo de 1, à direita, então os valores da função estão

próximos de -1.

Em casos como este, onde supomos x assumindo valores próximos de 1, mas somente

à esquerda ou somente à direita de 1, consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela

direita de 1, que definiremos a seguir.

Definição

Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[. O limite de f(x), quando x se

aproxima de a pela direita, será L e escrevemos

L)x(flimax

Definição

Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[, cujo L)x(flimax

. O limite de

f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L ( L)x(flimax

) e o limite de f(x), quando

x se aproxima de a pela direita, também será L ( L)x(flimax

)

As propriedades de limites e o teorema do limite da função polinomial são válidos se

substituirmos "x a" por "xa+", ou por "x a – “.

Exemplos

Na função f definida por

f(x) =

1xsex3

1xse1

1xse4x2

temos:

2)x3(lim)x(flim1x1x

e 3)4x(lim)x(flim2

1x1x


Como os limites laterais são diferentes, dizemos que )x(flim1x

não existe. A justificação

da não existência de um limite devido ao fato de os limites laterais serem diferentes é dada no

teorema que segue.

Teorema

Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x I - {a}.

Temos L)x(flimax

se, e somente se, existirem )x(flimax

e )x(flimax

e forem ambos iguais a L.

EXERCÍCIOS

Nos exercícios abaixo, para cada função f calcule os limites indicados, se existirem.

1.12 - f(x) =

1xse1x4

1xse2

1xse2x3

a) )x(flim1x

b) )x(flim1x

c) )x(flim1x

1.13 - f(x) =

1xsex4

1xsex23

a) )x(flim1x

b) )x(flim1x

c) )x(flim1x

1.14 - f(x) =

3xsex54

3xse5x2

a) )x(flim3x

b) )x(flim3x

c) )x(flim3x

1.15 - f(x) =

2xse1x

2xse0

2xsex12

a) )x(flim2x

b) )x(flim2x

c) )x(flim2x

1.16 - f(x) =

3xsex28

3xse2x3x2

a) )x(flim3x

b) )x(flim3x

c) )x(flim3x

1.17 - f(x) =

2xse7x6x

2xse2

2xse1x3x2

2

2

a) )x(flim2x

b) )x(flim2x

c) )x(flim2x


1.4 LIMITE INFINITO

Seja a função f definida por f(x) = 2

)1x(

1

para todo x real e x 1. Atribuindo a x

valores próximos de 1, à esquerda de 1, temos:

x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

f(x) 1 4 16 100 10000 1000000

e atribuindo a x valores próximos de 1, à direita de 1, temos:

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001

f(x) 1 4 16 100 10000 1000000

Observamos nas duas tabelas que os valores da função são cada vez maiores, na

medida em que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos tornar f(x) tão grande

quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando valores para x

bastante próximos de 1 e escrevemos:

21x )1x(

1lim

onde o símbolo "+ " lê-se "mais infinito" ou "infinito positivo".

Tomemos agora a função g como sendo o oposto da função f, isto é, g(x) = -f(x) =

2)1x(

1

definida para todo x real e x 1.

Os valores da função g são opostos dos valores da função f. Assim para a função g,

quando x se aproxima de 1, os valores de g(x) decrescem ilimitadamente. Em outras palavras,

podemos tornar os valores de g(x) tanto menores quanto desejarmos, isto é, menores que

qualquer número negativo, tomando valores de x bastante próximos de 1 e escrevemos:

21x )1x(

1lim

onde o símbolo "- " lê-se "menos infinito" ou "infinito negativo".

Consideremos agora a função h definida por h(x) = 1x

1

para todo x real e x 1.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 temos:

x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

f(x) 1- -2 -4 -10 -100 -1000


E atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001

f(x) 1 2 4 10 100 1000

Observemos que se x assume valores próximos e à esquerda de 1, a função decresce

ilimitadamente e se x assume valores próximos e à direita de 1, então a função cresce

ilimitadamente. Estamos considerando os limites laterais que são "infinitos" e escrevemos:

1x

1lime

1x

1lim

1x1x

Para concluirmos que os valores de uma função cresciam infinitamente ou decresciam

infinitamente, quando x se aproxima de a, pela esquerda ou pela direita de a, construímos

uma tabela de valores da função quando x estava próximo de ª Vejamos como chegar à

mesma conclusão sem construirmos essa tabela.

Teorema

Sejam f e g tais que 0c)x(flimax

então:

I) 0)x(g

)x(fse

)x(g

)x(flim

ax

quando x está próximo de a;

II) 0)x(g

)x(fse

)x(g

)x(flim

ax

quando x está próximo de a.

EXERCÍCIOS

1.18) Calcule

a) 21x )1x(

2x3lim

b) 22x )2x(

x1lim

Solução

a) Com 5)2x3(lim1x

e 0)1x(lim2

2x

, estudemos o sinal de 2

)1x(

2x3

)x(g

)x(f

quando x está

próximo de 1.

1

x

0

+

+

+

+

+

+

0

0

-2/3

-

+

-

sinal de f(x) = 3x + 2

sinal de g(x) = (x - 1)2

2)1x(

2x3

)x(g

)x(f


Notemos que 0)1x(

2x3

)x(g

)x(f

2

quando x está próximo de 1, então:

21x )1x(

2x3lim

b) Com 1)x1(lim2x

e 0)2x(lim2

2x

, estudemos o sinal de 2

)2x(

x1

)x(g

)x(f

quando x está

próximo de 2.

Notemos que 2

)2x(

x1

)x(g

)x(f

< 0 quando x está próximo de 2, então:

22x )2x(

x1lim

1.19) Calcule

a) 22x )2x(

4x3lim

b) 2

1x )1x(

3x2lim

c) 21x )1x(

x31lim

d) 2

2

0x x

2x5x3lim

1.20) Calcule

a) 1x

1x2lim

1x

b) 1x

1x2lim

1x

Solução

+

- +

- +

0

1 2 x

0

+ 0

-

+

-

x1)x(fdesinal

22)(xg(x)desinal

2)2x(

x1

)x(g

)x(f

desinal


Como )1x(lim)1x2(lim1x1x

e 0)1x(lim)1x(lim1x1x

, estudemos o sinal de 1x

1x2

)x(g

)x(f

quando x está próximo de 1.

Notemos que 1x

1x2

)x(g

)x(f

< 0 quando x está próximo de 1, à esquerda, então:

1x

1x2lim

1x

e 1x

1x2

)x(g

)x(f

> 0 quando x está próximo de 1, à direita, então:

1x

1x2lim

1x

Observemos que não tem significado falarmos em 1x

1x2lim

1x

pois

1x

1x2lim

1x

e

1x

1x2lim

1x

.

1.21) Determine:

a) 2x

4xlim

2x

b) 3x

x21lim

3x

c) x25

2x3lim

2

5x

d) 3

1x )1x(

3x2lim

e) 3

2

2x )x2(

5x3x2lim

1.4.1 PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS

Veremos a seguir um resumo de dez teoremas cujos enunciados serão apresentados

com o símbolo "x a", mas que serão válidos se trocarmos esse símbolo por " x a – " ou "x

a+"

Dados Conclusão

-1/2 1 x

-

-

-

0

0

+

-

-

0

+

+

+

1x2xfdesinal 1xxgdesinal

1x

1x2

)x(g

xf

desinal


)x(flimax

)x(glimax

)x)(gf(limax

)x(flimax

)x(glimax

)x)(gf(limax

)x(flimax

0b)x(glimax

0bse

0bse)x)(g.f(lim

ax

)x(flimax

0b)x(glimax

0bse

0bse)x)(g.f(lim

ax

)x(flimax

)x(glimax

)x)(g.f(limax

)x(flimax

)x(glimax

)x)(g.f(limax

)x(flimax

)x(glimax

)x)(g.f(limax

)x(flimax

0

)x(f

1lim

ax

)x(flimax

0

)x(f

1lim

ax

0)x(flimax

)x(f

1lim

ax

Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos:

)x(flimax

)x(glimax

?)x)(gf(limax

)x(flimax

)x(glimax

?)x)(gf(limax

)x(flimax

)x(glimax

?)x)(gf(limax

)x(flimax

(ou - ) 0)x(glimax

?)x)(g.f(limax

)x(flimax

(ou - )

)x(glimax

(ou + ) ?)x(

g

flim

ax

1.5 LIMITES NO INFINITO

Seja a função f definida por f(x) = x

2x para todo x real e x 0. Atribuindo a x

valores 1, 5, 10, 100, 1000, 10000 e assim por diante, de tal forma que x cresça

ilimitadamente, temos:

x 1 5 10 100 1000 10000

f(x) 3 1,4 1,2 1,02 1,002 1,0002


Observemos que, à medida que x cresce através de valores positivos, os valores da

função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar f(x) tão próximos de 1

quanto desejar se atribuirmos para x valores cada vez maiores.

Escrevemos, então:

1x

2xlim

x

Consideremos novamente a função f(x) = x

2x . Atribuindo a x os valores -1, -5, -10, -

100, -1000, -10000 e assim por diante, de tal forma que x decresça ilimitadamente, temos:

x -1 -5 -10 -100 -1000 -10000

f(x) -1 0,6 0,8 0,98 0,998 0,9998

Observemos que, à medida que x decresce através de valores negativos, os valores da

função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar f(x) tão próximos de 1

quanto desejar se atribuirmos para x valores cada vez menores.

Escrevemos, então:

1x

2xlim

x

Seja a função f(x) = x2, definida para todo x real.

Atribuindo a x valores 1, 5, 10, 100, 1000 e assim por diante, de tal forma que x cresça

ilimitadamente, temos:

x 1 5 10 100 1000

f(x) 1 25 100 10000 1000000

Observamos que, a medida que x cresce através de valores positivos, os valores da

função também crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar

f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para

x valores suficientemente grandes e escrevemos:

)x(flimx

Se agora atribuirmos a x os valores -1, -5, -10, -100, -1000 e assim por diante, de tal

forma que x decresça ilimitadamente, temos:

x -1 -5 -10 -100 -1000

f(x) 1 25 100 10000 1000000

Observamos que, a medida que decresce através de valores negativos, os valores da

função crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar f(x) tão


grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para x

valores negativos cujos módulos sejam suficientemente grandes e escrevemos:

)x(flimx

Teorema

Se c R e n é um número inteiro e positivo então:

I) cclimclimxx

II)

n

x

xlim

III)

ímparénse

parénsexlim

n

x

IV) 0x

1lim

nx

V) 0x

1lim

nx

Teorema

Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

n, an 0, é uma função polinomial, então:

)xa(lim)x(flimn

nxx

e )xa(lim)x(flimn

nxx

Teorema

Se f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

n, an 0, e g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm,

bm0 são funções polinomiais, então:

mn

m

n

xx

xb

alim

)x(g

)x(flim e

mn

m

n

xx

xb

alim

)x(g

)x(flim

EXERCÍCIOS

1.22) Encontre:

a) )3x7x4(lim2

x

b) )3x5x2x3(lim23

x

c) )2x3x4x5(lim23

x

d) )4x5x2x7x3(lim234

x

Solução

a) )3x7x4(lim2

x

=

)x4(lim2

x

b) )3x5x2x3(lim23

x

=

)x3(lim3

x

c) )2x3x4x5(lim23

x

=

)x5(lim3

x

d) )4x5x2x7x3(lim234

x

=

)x3(lim4

x


1.23) Encontre:

a) 1x5

2x3lim

x

b) 3x2

x45lim

x

c) 2x3

3x4x5lim

2

x

d) 2x5x3

1x4lim

2x

Solução

a) 1x5

2x3lim

x

= x5

x3lim

x

= 5

3

5

3lim

x

b) 3x2

x45lim

x

= x2

x4lim

x = 2)2(lim

x

c) 2x3

3x4x5lim

2

x

= x3

x5lim

2

x

= 3

x5lim

x

d) 2x5x3

1x4lim

2x

= 2x x3

x4lim

= x3

4lim

x

= 0

1.24) Encontre:

a) 1x5

x23lim

x

b) 2x3

3x4lim

x

c) 1x

4xlim

2

x

d) 1x

1xlim

2

3

x

e) 2x6x5x3

4x3xlim

23

2

x

f) 1x8

4xlim

3

2

x

1.5.1 Resumo

Faremos um resumo dos teoremas apresentados, lembrando que as proposições

continuam verdadeiras se trocarmos "x + " por " x – "


Dados Conclusão

)x(flimx

)x(glimx

?)x)(gf(limx

)x(flimx

)x(glimx

)x)(gf(limx

)x(flimx

0b)x(glimx

0bse

0bse)x)(g.f(lim

x

)x(flimx

0b)x(glimx

0bse

0bse)x)(g.f(lim

x

)x(flimx

)x(glimx

)x)(g.f(limx

)x(flimx

)x(glimx

)x)(g.f(limx

)x(flimx

)x(glimx

)x)(g.f(limx

)x(flimx

0

)x(f

1lim

x

)x(flimx

0

)x(f

1lim

x

0)x(flimx

)x(f

1lim

x

Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos:

)x(flimx

)x(glimx

?)x)(gf(limx

)x(flimx

)x(glimx

?)x)(gf(limx

)x(flimx

)x(glimx

?)x)(gf(limx

)x(flimx

(ou - ) 0)x(glimx

?)x)(g.f(limx

)x(flimx

(ou - )

)x(glimx

(ou + ) ?)x(

g

flim

x

1.6 CONTINUIDADE

Quando definimos ax

)x(flim

analisamos o comportamento da função )( xf para

valores de x próximos de a , mas diferentes de .a Em muitos exemplos vimos que

ax

)x(flim

pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto .a Se f está definida em

a e ax

)x(flim

existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de ).(af

Quando ax

afxf

)()(lim diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é

contínua em .a


Definição. Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições

forem satisfeitas:

)(a f é definida no ponto ;a

)(b ax

xf

)(lim existe;

)(c .)()(lim

ax

afxf

EXEMPLOS

)(i Sejam 1

1)(

2

x

xxf e

1,1

1xse ,1

1

)(

2

xse

x

x

xg

As funções f e g não são contínuas em 1a . A função f não está definida em

1a . Portanto, não satisfaz a condição )(a da definição 3.16.1. Já para a função g , temos

,1)1( g mas

1

)(lim

x

xg

11

)1()1(lim

xx

xx

1

.2)1(lim

x

x

Logo, a condição )(c não se verifica no ponto 1a .

1.25) Investigue a continuidade nos pontos indicados:

2,2

42

x

x

x

(a) f(x) =

2=,3 -- x


2,4

8

2

3

x

x

x

)x(f)b( em .2x

3 , 2x

1,1

2

2

x

x

x

)x(f)c( em 1=x

1,0 x

2,2

42

x

x

x

)x(f)d( em .2x

0 , 2=x

1,1

4+32

≠-

--x

x

xx

)x(f)e( em 1=x

1=,4 x

2,2

42

x

x

x

(f) f(x) =

2=,3 -- x

1.26) Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.

3,22

xpxx 1,2 xpx

)()( xfa )() xfb

3,3 x 1,2

xp

1.27) Exercícios de revisão de Limites.


a) f(x) =

2xse7x6x

2xse2

2xse1x3x2

2

2

b)

22

6lim

2

2

3 xx

xx

x

c)

4472

12124lim

23

234

3 xxx

xxxx

x

d)

2

1532lim

3

265

x

xxx

x

e)

584

2lim

23

23

1 xxx

xx

x

f)

12

3lim

21 xx

x

x

Respostas de limites

Página 3

1.2)

a) 2

b) 4

c) - 8/3

d) - 12

e) 0

f) 1/8

g) 9/4

h) 3

5

i) 2

j) –2

Página 4

1.4)

a) 2

b) 4

c) 6

d) 2/5

e) -7/3

f) 7/11

g) 3/2

h) 3

i) – 8/3

Página 5

1.9)

a) -4/5

b) 21/19

c) 1

Página 9

1.12)

a)1 b)5 c)

1.13)

a)5 b)5 c) 5

1.14)

a)1 b)-11 c)

1.15)

a)1 b)-3 c)

1.16)

a)2 b)2 c) 2

1.17)

a)1 b)1 c) 1

Página 12

1.22)

a) +

b) +

c) -

d) +

e) -

f) -

Página 13

1.24)

a) -

b) +

Página 17

1.26)

a) +

b) +

c) +

d) –

e) –

f) +

1.27)

a) +

b) – , se não for par e

+ se for ímpar

c) + , se c > 0 e

– se c < 0

d) – , se c > 0 e

+ se c < 0

Página 18

1.30)

a) – 2/5

b) 4/3

c) +

d) –

e) 0

f)0

g)1/3

h)8

i)9/8

j)72

Página 19


d) 11/2

Página 6

1.11)

a) ½

b) -1/5

c) 8

d) 7/8

c) +

d) -

e) +

1.32)

a) 1

b) - 1

c) 2

d) 2

e) +

f) 0

g)1

h) 0

Apostila de Limite

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