APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA UNIÍTALO 2011-PROFa LIANA GUIMARÃES

Centro Universitário Ítalo Brasileiro

Administração de Empresas

Ciências Contábeis

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Profa Liana Maria Ferezim Guimarães

Profa Júlia Satie Morita Nobre

2011

Matemática Financeira

Profa Liana Guimarães e Prof

a Júlia Nobre 1

Apresentação

Este caderno de estudo tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de

exemplos práticos, os conceitos da matemática financeira e suas aplicações. Utiliza, para isso,

uma metodologia objetiva e de fácil compreensão.

Algumas formas de solução para os exemplos apresentados são mostradas,

principalmente, na forma algébrica e pela calculadora HP-12C.

O nível de aprofundamento apresentado, tanto na teoria como nos exercícios, assegura a

necessária preparação do aluno para o desenvolvimento de disciplinas afins em sua formação

acadêmica e possibilita, além da familiarização do estudante com a linguagem da área financeira,

a otimização de sua capacidade de raciocínio.

Profa Liana Maria Ferezim Guimarães



a Júlia Nobre 2


O material aqui apresentado contém, resumidamente, conceitos, definições, exercícios e problemas extraídos dos textos abaixo relacionados:

a) BODIE, Z. & MERTON, R.C. Finanças, São Paulo : Bookman, 2002.

b) BRANCO, A.C.C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. 3.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

c) CASAROTTO, F.N. & KOPITTKE, B.H. Análise de Investimentos. São Paulo, Atlas, 2000.

d) CASCINO, Marcos Antonio Gagliardi. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro Universitário Ítalo Brasileiro, 2006.

e) FARIA, Jorge Luís. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro Universitário Ítalo Brasileiro, 2008.

f) FORTUNA, E. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2002.

g) GITMAN, L.J. Princípios de Administração Financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997.

h) HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. São Paulo, Atlas, 2000.

i) MATHIAS, W.F.& GOMES, J.M. Matemática Financeira. Atlas, São Paulo, 2002.

j) PUCCINI, A.L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999.

k) RAMIRO, W. Apostila de Administração Financeira e Orçamentária I e II. Universidade Ibirapuera, 1999.

l) ROSS, S. et alii. Princípios de Administração Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2000.

m) SECURATO, J.R. Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas. São Paulo, Saint Paul, 2003.

n) VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Financeira. 7.ed. São Paulo: Atlas, 2010.



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PORCENTAGEM HISTÓRICO A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (Ciento) – usada pelos mercadores italianos do século XV nas suas transações comerciais – e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide de Negotien (O Guia do Comerciante). CONCEITO

47% = 100

47 = 47 ÷ 100 = 0,47

TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA (o denominador desta fração é igual a 100) (o denominador desta fração é igual a 1) São exemplos de razões centesimais:

100

37

100

4

100

34,52

100

215

As razões centesimais podem ser representadas na forma decimal (taxa unitária) e, também, em taxas percentuais utilizando o símbolo %, como é mostrado a seguir:

%3737,0100

37 %404,0

100

4 %34,525234,0

100

34,52 %21515,2

100

215

Observa-se, portanto, que a expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa

centésimos. Assim, 20% é simplesmente uma outra maneira de expressar 20 centésimos ou 100

20

ou 0,20 ou 5

1, etc.

Exemplo 1 Calcule 27,5% de R$ 5.800,00.

Como 275,0100

5,27%5,27

Então, o cálculo a ser feito é: 595.1800.5275,0 reais.

Toda razão centesimal 100

a chama-se taxa percentual



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Exemplo 2 Calcule R$ 700,00 + 32% de R$ 700,00.

Como 32,0100

32%32

Então, o cálculo a ser feito é: 92422470070032,0700 reais.

Exemplo 3 Calcule R$ 900,00 – 5,2% de R$ 900,00.

Como 052,0100

2,5%2,5

Então, o cálculo a ser feito é: 20,85380,46900900052,0900 reais.

Exemplo 4 Em uma blitz ocorrida em uma avenida da cidade de São Paulo, dos 25 automóveis fiscalizados 4 apresentaram documentação irregular. A razão entre o número de automóveis com documentação irregular e o número total de automóveis é:

%1616,0100

16

25

4

%16100

1616,0 é a taxa percentual de automóveis com problemas na documentação.

Exemplo 5 Os 360 funcionários de uma empresa submeteram-se a exames clínicos para verificação dos níveis de colesterol no sangue. Desse total, 35% apresentaram níveis acima do limite sugerido pelo teste. Para calcular o número de funcionários com nível de colesterol superior ao recomendado, pode-se estabelecer a proporção:

%35x

%100360

________________

_____________

126x35

100

x

360 funcionários

O cálculo poderia ser feito diretamente 35% de 360 .12636035,0

Exemplo 6 Uma calça é vendida por R$ 56,00. Se seu preço for aumentado em 9%, quanto passará a custar? Têm-se: novo preço = preço antigo + aumento novo preço = 56 + 0,09 x 56 = 56 x (1 + 0,09) = 56 x 1,09 = 61,04 reais Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,09 ou (1 + 0,09). Exemplo 7 Uma agência de turismo anunciou redução de 28% no preço de seus pacotes. Se 3 dias em Buenos Aires custavam US$ 340,00, quanto passará a custar essa viagem? Têm-se: novo valor = valor antigo – desconto novo valor = 340 – 0,28 x 340 = 340 x (1 – 0,28) = 340 x 0,72 = 244,80 dólares Observe que o valor original fica multiplicado por 0,72 ou (1 – 0,28).



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DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENTUAIS: TAXA DE VARIAÇÃO

PERCENTUAL (%)

Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável com seu valor antigo, obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcentagem, ela é chamada de taxa de variação percentual. Portanto:

onde Vant = valor antigo da variável; Vnovo = valor novo da variável. Exemplo 8 O Produto Interno Bruto (PIB) de certo país variou de 10.000 a 12.100 bilhões de dólares entre os anos de 1990 e 2000. Qual foi o aumento percentual do PIB? Primeiramente, identificamos os valores novo e antigo do PIB: Vant = US$ 10.000 bilhões e Vnovo = US$ 12.100 bilhões Aplicamos, então, a fórmula:

%21100000.10

000.10100.12100

V

VV%

ant

antnov o

A variação percentual (no caso, o aumento percentual) é dado pela variação dos valores em relação ao valor mais antigo, ou seja, houve um aumento de 21% no PIB do país em uma década. Para esse caso, poderia ser feito, também:

%2121,0121,1000.10

100.12 de aumento no PIB.

Exemplo 9 Uma mercadoria que custava R$ 12,50 sofreu um aumento, passando a custar R$ 13,50. Qual a porcentagem de aumento no preço? Identificando os valores novo e antigo da mercadoria: Vant = R$ 12,50 e Vnovo = R$ 13,50 Aplicando, então, a fórmula:

%810050,12

50,1250,13100

V

VV%

ant

antnov o

A mercadoria sofreu um aumento de 8% em seu preço.

100V

VV%

ant

antnov o



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Exemplo 10 O número de sequestros relâmpagos na cidade de São Paulo, causada pelo fechamento dos caixas eletrônicos 24 horas durante a crise energética de 2001, caiu de 197 em maio para 106 em junho. Qual foi a redução percentual registrada? Vant = 197 e Vnovo = 106 Aplicando, então, a fórmula:

%19,46100197

197106100

V

VV%

ant

antnov o

A variação percentual (no caso, a redução percentual) é dada pela variação dos valores em relação ao valor mais antigo, ou seja, houve uma redução 46,19% no número de seqüestros relâmpagos.

Para esse caso, poderia ser feito, também:

%19,4615381,05381,0197

106 (46,19% de redução)

Exemplo 11 Um investimento de R$ 20.000,00 em ações propiciou um resgate líquido de R$ 14.300,00. Qual a porcentagem de desvalorização desse investimento? Vant = R$ 20.000,00 e Vnovo = R$ 14.300,00

%5,2810020000

2000014300100

V

VV%

ant

antnov o

Esse investimento sofreu uma desvalorização de 28,5%. ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

Uma propriedade importante das taxas percentuais é aquela em que se deseja calcular a porcentagem de uma porcentagem. Neste caso, as taxas percentuais não podem ser adicionadas, mas sim devem ser multiplicadas.

No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam acréscimos

sucessivos a um mesmo número:

efetuamos um primeiro acréscimo ao número;

efetuamos um segundo acréscimo ao resultado obtido e assim sucessivamente.

Em geral, se um valor V sofre n acréscimos sucessivos de taxas unitárias i1, i2,..., in, então o novo valor R é dado por:

n21 i1.....i1.i1VR



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No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam descontos sucessivos a um mesmo número:

efetuamos um primeiro desconto ao número;

efetuamos um segundo desconto ao resultado obtido e assim sucessivamente. Em geral, se um valor V sofre n descontos sucessivos de taxas unitárias i1, i2,..., in, então o novo valor R é dado por:

n21 i1.....i1.i1VR

Portanto, para encontrarmos o valor de taxas acumuladas por acréscimos ou descontos

sucessivos, calculamos:

100.1i1.....i1.i1i n21ac

onde utilizamos (+) para acréscimos e (–) para descontos.

Exemplo 12 Uma aplicação de R$ 1.200,00 rendeu por 3 meses consecutivos as taxas líquidas de 5%, 3% e 2%, qual o valor resgatado? R = V.[(1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3)] = 1200.[(1 + 0,05).(1 + 0,03).(1 + 0,02)] R = 1200 . 1,05 . 1,03 . 1,02 R = R$ 1.323,76 O valor resgatado foi de R$ 1.323,76. Exemplo 13 Sobre uma fatura de R$ 50.000,00 foram feitos dois descontos sucessivos de 7% e 4%. Qual o valor líquido dessa fatura? R = V.[(1 - i1) . (1 - i2)] = 50000.[(1 - 0,07).(1 - 0,04)] R = 50000 . 0,93 . 0,96 R = R$ 44.640,00 O valor líquido da fatura foi de R$ 44.640,00. Exemplo 14 Durante 5 meses consecutivos, a variação do valor das cotas de um fundo de ações foi de 12%, 7%, -6%, 1% e -2%. Qual foi a variação nesse período? iac = [(1 ± i1) . (1 ± i2) . … . (1 ± in) - 1] x 100 iac = [(1 + 0,12).(1 + 0,07).(1 – 0,06).(1 + 0,01).(1 – 0,02) - 1] x 100 iac = 11,5006% nos cinco meses.

Observação: Note que, nas fórmulas, as taxas são utilizadas sempre na forma unitária.



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Problemas envolvendo porcentagem

1. Transformar os números abaixo em taxa unitária:

a) 37% b) 5,3% c) %53 d) 8% e) 200% f) 0,25% g) 3%

2. Transformar os números abaixo em taxa percentual:

a) 0,45 b) 0,032 c) 12,35 d) 43 e) 0,03 f) 0,004 g) 7

3. Calcular (com duas casas decimais) os valores de:

a) 10% de 29 + 4,2% de 17 [R: 3,61]

b) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7 [R: 0,89]

c) 0,4% de 125 - 1,6% de 234,25 [R: - 3,25]

d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17,43 [R: 58,20]

e) 53 de 600 - 107 de 400 [R: 80]

4. O salário de um trabalhador em abril de 2.008 era de $ 1.265,00. Determine o novo salário, após um reajuste de 8,30% em maio. [R: $ 1.370,00] 5. O preço de um determinado produto no mês passado era de $ 126,00. Se o seu preço atual é de $ 148,50, determine a porcentagem do aumento sofrido nesse período. [R: 17,86%] 6. Um vendedor ganha 3,5% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido $ 480,00 de comissões, quanto vendeu? [R: $ 13.714,29] 7. Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de $ 800,00 e comissão de 3,5% sobre as vendas que realiza. Tendo recebido um salário de R$ 1.760,00, determine quanto vendeu no mês em questão. [R: $ 27.428,57] 8. Uma pessoa gasta seu salário da seguinte maneira: 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel, 35% para a alimentação e o restante é utilizado em atividades de lazer. Qual é o salário dessa pessoa, se são gastos $ 450,00 em lazer? [R: $ 3.000,00] 9. Um investidor aplicou $ 1.100,00 em CDB, $ 1.500,00 na caderneta de poupança e $ 1.300,00 em ações. Determine a distribuição percentual de suas aplicações.

[R:28,21% (CDB); 38,46% (poupança); 33,33% (ações)]

10. Um eletrodoméstico passou a ser vendido por $ 200,00, após um aumento de 25%. Determine o preço antes da alteração. [R: $ 160,00] 11. O preço das ações da Cia. GG caiu de $ 4,20 para $ 3,15. Qual foi a variação percentual?

[R: -25,00%]

12. Um investidor comprou uma casa por $ 50.000,00 e gastou 80% do custo em uma reforma. Mais tarde, vendeu a casa por $ 120.000,00. Qual foi seu lucro? De quanto foi seu lucro percentual? [R: $ 30.000,00; 33,33%] 13. Em 1990 as vendas de uma determinada companhia foram de $ 120.000,00. Em 1991 as vendas apresentaram um acréscimo de 35% e no ano seguinte, uma redução de 17%. Determine o valor das vendas dessa companhia em 1992. [R: $ 134.460,00]



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14. O preço de um determinado produto sofreu dois aumentos sucessivos: 10% e 20%. Qual foi a variação percentual? [R: 32,00%] 15. O preço de um determinado produto sofreu duas reduções sucessivas: 10% e 20%. Qual foi a variação percentual? [R: - 28,00%] 16. Um objeto é oferecido por $ 600,00; este preço sofre um desconto de 20% e depois de 15%. Determine o novo preço. [R: $ 408,00] 17. Promoções do tipo “leve 3 e pague 2” têm sido cada vez mais utilizadas no comércio. Calcule o desconto percentual oferecido sobre cada unidade vendida. [R: 33,33%] 18. “O salário mínimo foi criado no século XIX na Austrália e na Nova Zelândia. No Brasil o salário mínimo surgiu no século XX na década de 30, com a promulgação da Lei de nº185 em janeiro de 1936 e decreto de lei em abril de 1938. No dia 1º de Maio o então presidente Getúlio Vargas, fixou os valores do salário mínimo que começou a vigorar no mesmo ano. Nesta época existiam 14 salários mínimos diferentes, sendo que na capital do país, o Rio de Janeiro, o salário mínimo correspondia a quase três vezes o valor do salário mínino no Nordeste. A primeira tabela do salário mínimo tinha um prazo de vigência de três anos, mas em 1943 foi dado o primeiro reajuste seguido de um outro em dezembro do mesmo ano. Os aumentos eram calculados para recompor o poder de compra do salário mínimo. A unificação total do salário mínimo aconteceu em 1984.”

(Fonte: www.brasilescola.com)

Considere os valores de salário mínimo instituídos no Brasil nos últimos anos, apresentados abaixo:

Data Salário Mínimo (R$) Data Salário Mínimo (R$)

Abril/2002 200,00 Abril/2006 350,00

Abril/2003 240,00 Abril/2007 380,00

Maio/2004 260,00 Março/2008 415,00

Maio/2005 300,00 Fevereiro/2009 465,00

Com base nesses dados, pede-se determinar a variação percentual do salário mínimo de abril/2007 a março/2008.

[R: A variação percentual do salário mínimo de abril/07 a março/08 foi de 9,2105%]

19. O Imposto sobre a propriedade predial e territorial urbana (IPTU) é um imposto brasileiro instituído pela Constituição Federal cuja incidência se dá sobre a propriedade urbana. Ou seja, o IPTU tem como fato gerador a propriedade, o domínio útil ou a posse de propriedade imóvel localizada em zona urbana ou extensão urbana...Os contribuintes do imposto são as pessoas físicas ou jurídicas que mantém a posse do imóvel, por justo título. ...Atualmente ele é definido pelo artigo 156 da Constituição de 1988, que caracteriza-o como imposto municipal, ou seja, somente os municípios têm competência para aplicá-lo. A única exceção ocorre no Distrito Federal, unidade da federação que tem as mesmas atribuições dos Estados e dos municípios. ....A base de cálculo do IPTU é o valor venal do imóvel sobre o qual o imposto incide. Este valor deve ser entendido como seu valor de venda em dinheiro à vista, ou como valor de liquidação forçada.... A alíquota utilizada é estabelecida pelo legislador municipal, variando conforme o município.

(Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto_sobre_a_propriedade_predial_e_territorial_urbana)

Considere uma situação na qual um contribuinte pagou o IPTU devido com atraso, arcando com multa de 20% sobre o valor devido. Tendo efetuado um pagamento de $ 414,00 (multa inclusa), determinar o valor do imposto sem a multa.

[R: O valor do imposto sem multa é de $ 345,00]

http://www.brasilescola.com/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil

http://pt.wikipedia.org/wiki/Constitui%C3%A7%C3%A3o_do_Brasil

http://pt.wikipedia.org/wiki/Propriedade

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cidade

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Propriedade_im%C3%B3vel&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zona_urbana

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pessoas_f%C3%ADsicas

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pessoas_f%C3%ADsicas

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pessoas_jur%C3%ADdicas

http://pt.wikipedia.org/wiki/Constitui%C3%A7%C3%A3o_de_1988

http://pt.wikipedia.org/wiki/Munic%C3%ADpio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Distrito_Federal_(Brasil)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Distrito_Federal_(Brasil)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Estados_do_Brasil

http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_venal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Al%C3%ADquota

http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto_sobre_a_propriedade_predial_e_territorial_urbana



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20. “Promoção de férias de julho: desconto de 33% em todos os pacotes na América do Sul.” – este foi o anúncio publicado no jornal “Gazeta da Manhã” na última semana. Dentre as diversas ofertas apresentadas, destacamos o pacote de viagem para Buenos Aires, com passagem aérea ida e volta, traslado aeroporto-hotel-aeroporto e 3 dias de hospedagem com café da manhã. Determine o preço de tabela, se o valor pago pelo cliente por esse pacote com a promoção foi de $ 2.340,00. [R: O preço de tabela é $ 3.492,54] 21. “As montadoras instaladas no país terminaram maio de 2009 com a produção total de 270.247 veículos, uma queda de 7,7% em relação a igual mês de 2008. Os dados são da Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos Automotores (Anfavea).”

(Fonte: economia.uol.com.br/ultnot/valor, de 04/06/2009)

Com base na informação apresentada acima, determinar a produção de veículos no ano de 2008. [R: A produção de veículos em 2008 foi de 292.792 veículos]

22. “Após 8 meses, dólar fica abaixo de R$ 2,00. Capital externo, atraído por juro alto, derruba cotação para R$ 1,97; empresas reduzem dívida em R$ 33 bi. Para especialistas, um dos fatores que atraem estrangeiros é o juro básico de 10,25% ao ano, entre os maiores do mundo.... Outras razões apontadas para a valorização do real são a alta no preço das commodities agrícolas e metálicas, principais produtos de exportação do país, e o fato de a economia não ter se desacelerado tanto quanto outras atingidas pela crise.” (Fonte: Folha de São Paulo, 30/05/2009)

Na Tabela abaixo você encontra alguns valores de cotação do dólar americano no ano de 2008 e 2009. Com base nos dados apresentados, pede-se determinar a variação percentual da cotação do dólar no período de 02/01/09 a 02/02/09.

Data Cotação (R$) Data Cotação (R$)

01/09/2008 1,64 02/01/2009 2,33

01/10/2008 1,92 02/02/2009 2,35

03/11/2008 2,18 02/03/2009 2,41

02/12/2008 2,34 02/04/2009 2,23

[R: A cotação do dólar variou 0,8584% no período de 02/01/2009 a 02/02/2009] 23. Um carro foi adquirido por $ 14.600,00. Por quanto deve ser vendido, se a margem de lucro pretendida é de 5% sobre o preço de custo? [R: $ 15.330,00] 24. Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lojista quiser obter um lucro de 20% sobre o preço de custo, por quanto deve vender esta mercadoria? [R: $ 9.600,00] 25. Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lucro que o lojista quer obter representa 20% do preço de venda, por quanto deve vender esta mercadoria? [R: $ 10.000,00] 26. Certo comerciante vendeu uma determinada mercadoria com o lucro de 10% sobre a venda. Sabendo-se que o preço de custo do produto em questão foi de $ 1.800,00, determine o valor do lucro dessa operação. [R: $ 200,00]



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MATEMÁTICA FINANCEIRA Estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa de uma operação financeira ou de um investimento é uma representação esquemática das entradas e saídas de caixa que ocorrem ao longo do tempo. Na escala horizontal é indicado o período de tempo, que pode ser: dias, semanas, meses, anos,... . As setas orientadas para baixo estão associadas a saídas de caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sinal negativo. As setas orientadas para cima estão associadas a entradas de caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sinal positivo. Exemplos: 1, Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: uma empresa fez uma aplicação de $ 50.000,00 em um banco e, após dois meses, resgatou $ 52.500,00.

FLUXO DE CAIXA DA EMPRESA FLUXO DE CAIXA DO BANCO (INVESTIDOR) (TOMADOR)

(+) (+) 52.500 50.000

0 2 0 2

(-) (-) 50.000 52.500 2. Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: um indivíduo (pessoa física) tomou um empréstimo de $ 20.000,00 em um banco e pagará o mesmo em quatro prestações mensais de $ 5.500,00 cada uma, a partir do mês seguinte. FLUXO DE CAIXA DO INDIVÍDUO FLUXO DE CAIXA DO BANCO (+) 20.000 (+) 5.500 5.500 5.500 5.500

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

(-) 5.500 5.500 5.500 5.500

(-) 20.000



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Em matemática financeira, definimos Capital, como um “valor disponível para aplicação numa certa data”. Uma pessoa ou instituição que decide aplicar (ou emprestar) certo capital para outra pessoa ou instituição, por um certo período de tempo, espera ser remunerada por isso. A remuneração recebida pelo aplicador é chamada de Juro. Juro é, portanto, um valor que remunera um capital empregado por determinado tempo, de acordo com uma taxa (geralmente estipulada em percentual) previamente combinada. Assim, se um capital (PV) estiver aplicado por um tempo (n) a uma taxa de juros (i), ao resgatá-lo, após findar o prazo de aplicação, o aplicador deverá receber do tomador, além do valor aplicado, um valor a mais, calculado com base na taxa (i) combinada, que vem a ser o juro ou o rendimento sobre o capital empregado. Termos básicos Juro (J): remuneração do capital emprestado (aluguel pago pelo uso do dinheiro). Taxa de juros (i): razão entre os juros recebidos pagos (ou recebidos) e o capital inicial aplicado, ou seja:

PV

Ji

Principal ou Valor Presente (PV): capital inicial, também chamado de principal. Montante ou Valor Futuro (FV): capital inicial acrescido da remuneração obtida durante o período da aplicação, também chamado de Montante.

Montante = Capital Inicial + Juros ou JPVFV

Existem basicamente duas metodologias para o cálculo de juros: a capitalização simples e a capitalização composta. Capitalização Simples a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial.

n.i.PVJ )n.i1.(PVFV

Capitalização Composta a taxa de juros incide sobre o montante do período anterior (capital

inicial + juros acumulados até o período anterior).

]1)i1.[(PVJ n n)i1(PVFV

Observação: Taxa de juros (i) Como já foi visto, a taxa de juros pode ser apresentada em duas formas:

forma centesimal (10%, 2%)

forma unitária: (0,10; 0,02)

Nos enunciados ou nas respostas de exercícios será usada a forma centesimal (%). Nas fórmulas deve ser usada a forma unitária.

Na HP-12C, a entrada da taxa de juros deve ser feita na forma centesimal (%).



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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

No regime de juros simples, a taxa de juros cobrada na transação financeira incide sempre sobre o mesmo valor, isto é, sobre o valor inicial do capital. Isto quer dizer que os juros de um determinado período não são incorporados ao capital para efeitos de formação de uma nova base de cobrança para o período seguinte. Esse modo de aplicação é chamado de “convenção linear de cobrança de juros”. Logicamente essa taxa de juros cobrada ficará multiplicada pelo tempo de aplicação contratado. Assim temos:

Juros = Capital x Taxa de Juros x Tempo de Aplicação ou n.i.PVJ

A soma do valor dos juros (J) com o capital (PV) inicialmente aplicado é chamada de

Montante (FV), isto é:

JPVFV , ou seja, n.i.PVPVFV e, portanto, )n.i1.(PVFV

Podemos esquematizar os elementos acima em uma escala de tempo conforme o diagrama apresentado abaixo:

)n.i1(PVFV

n

)n.i1(

FVPV

Exemplos 1. Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou $ 5.000,00 por 3 meses à taxa de juros simples de 3% ao mês. Dados: Solução: PV = 5.000 Como J = PV.i.n , então, substituindo os valores dados, temos: i = 3 % a.m. n = 3 meses J = 5000 . 0,03 . 3 J = ? J = 5000 . 0,09 J = 450,00 Resposta: Os juros recebidos nessa aplicação foram iguais a $ 450,00. 2. Imagine que você toma emprestado hoje $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização simples para a taxa de 10% a.m., qual o valor dos juros (J)? Quanto deverá ser devolvido (FV)? 1o modo: Cálculo dos juros (J): J = PV.i.n J = 1000 . 0,1 . 5 J = 500,00



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Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV): FV = PV + J FV = 1000 + 500 FV = 1.500,00 2o modo: Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV): FV = PV ( 1 + i.n ) FV = 1000 ( 1 + 0,10. 5 ) FV = 1000 . (1 + 0,5) FV = 1000 . (1,5) FV = 1.500,00 Cálculo dos juros (J): J = FV – PV J = 1.500 – 1.000 J = 500,00 Resposta: Os juros pagos por este empréstimo foram iguais a $ 500,00 e, portanto, deverá ser devolvido o valor de R$ 1.500,00.

Nos exemplos acima podemos notar que os períodos de tempo (n) e taxa de juro (i) são homogêneos, ou seja, as variáveis estão na mesma unidade de tempo (nestes exemplos, a taxa e o prazo estão em meses). Contudo, há casos em que o prazo e a taxa de juros não são apresentados na mesma unidade de tempo.

REGRAS DE HOMOGENEIDADE ENTRE A TAXA DE JUROS E O TEMPO 1. Se a taxa ( i ) é mensal e o prazo ( n ) de aplicação é em dias, teremos a expressão:

n.30

i.PVJ , onde n é o número de dias.

2. Se a taxa ( i ) é anual e o prazo ( n ) de aplicação é em meses, teremos a expressão:

n.12

i.PVJ , onde n é o número de meses.

3. Se a taxa ( i ) é anual e o prazo ( n ) de aplicação é em dias, teremos a expressão:

n.360

i.PVJ , onde n é o número de dias.

Nestes casos, é necessário adequarmos o prazo e a taxa de juros para a mesma unidade de tempo.



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Exemplos Determinar o rendimento produzido por uma aplicação de $ 20.000,00 à taxa simples de 39% a.a., pelo prazo de:

a) 2 anos b) 2 anos e 5 meses c) 2 anos 5 meses e 11 dias

a) Dados: Solução: PV = 20.000 Como J = PV . i . n , substituindo os valores dados, temos: i = 39 % a.a. n = 2 anos J = 20000 . 0,39 . 2 J = 20000 . 0,78 J = 15.600,00 Resposta: O rendimento (juros) obtido é de $ 15.600,00. b) Dados: Solução: PV = 20.000 Como J = PV . i . n, então: i = 39 % a.a.

n = 2 anos e 5 meses = 29 meses 29.12

39,0.20000J

J = ? J = 20000 . 0,0325 . 29 J = 20000 . 0,9425 J = 18.850,00 Resposta: O rendimento (juros) obtido é de $ 18.850,00. c) Dados: Solução: PV = 20.000 Como J = PV . i . n, então: i = 39 % a.a.

n = 2 anos e 5 meses e 11 dias = 881 dias 881.360

39,0.20000J

J = 20000 . 0,001083 . 881 J = 20000 . 0,954417 J = 19.088,33 Resposta: O rendimento (juros) obtido é de $ 19.088,33.



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PROBLEMAS ENVOLVENDO JUROS SIMPLES 1. Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou um capital de $ 26.000,00 à taxa de juros simples de 0,8% a.m. pelo prazo de 90 dias. [R: $ 624,00] 2. Calcule a taxa total (do período) de juros recebidos do exercício anterior.

[R: 2,40% no período] 3. Uma pessoa tomou um empréstimo no valor de $ 8.400,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 2,3% a.m. Quanto pagou ao final do prazo? [R: $ 13.036,80] 4. Calcule o valor dos juros pagos e a taxa total (do período) da operação descrita no exercício anterior. [R: $ 4.636,80; 55,20% no período] 5. “O cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposição dos clientes levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade é automática até o limite estabelecido e ocorre sempre que há um débito na conta corrente superior ao saldo disponível. A utilização está sujeita ao pagamento de juros proporcionais ao valor utilizado durante o mês. Os encargos – juros e IOF – são calculados diariamente e cobrados mensalmente.” (Fonte: financenter.terra.com.br, 11/06/2009)

Considere que um determinado cliente tomou um empréstimo no valor de $ 6.200,00 e pagou, ao final de 21 dias, o valor de $ 6.780,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada pela instituição financeira? [R: A taxa mensal cobrada foi de 13,3641 % a.m.] 6. Calcular os juros pagos em um empréstimo no valor de $ 7.200,00 pelo prazo de 18 dias, se a taxa negociada foi de 8,4% a.m. (juros simples). [R: $ 362,88] 7. Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 48.000,00, ou por $ 54.000,00 para pagamento após seis meses. Qual é a taxa mensal de juros simples que está sendo cobrada?

[R: 2,0833% a.m.]

8. Uma instituição bancária anuncia: aplique hoje $ 5.000,00 e receba $ 6.000,00 daqui a 150 dias. Qual é a taxa mensal de juros que está sendo oferecida, considerando o sistema de juros simples? [R: 4% a.m.] 9. Determinar qual o valor do capital, que aplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.t. (ao trimestre), produz juros de $ 600,00 ao final de um ano. [R: $ 6.000,00] 10. Uma loja financia um televisor de $ 390,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação de $ 420,00 no final de 3 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada ao mês?

[R: 2,5641% a.m.] 11. Quanto tempo você deve deixar aplicado um capital no valor de $ 8.000,00 para obter um montante de $ 10.000,00, se a taxa de juros simples da aplicação é de 17% ao ano?

[R: 1,47 anos] 12. Um cliente de determinada loja efetuou um pagamento de uma prestação de $ 250,00 por $ 277,08. Sabendo-se que a taxa de juros simples praticada pela loja é de 5% a.m., por quantos dias esta prestação ficou em atraso? [R: 65 dias] 13. Em quanto tempo um capital aplicado dobra de valor, se a taxa de juros simples remunerada é de 2% a.m.? [R: 50 meses]



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14. Um capital de $ 57.000,00, aplicado a juros simples gerou, depois de certo prazo, o montante de $ 62.130,00. Sabendo-se que a taxa da operação é 1,5% a.m., calcule o prazo da aplicação.

[R: 6 meses] 15. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de juros simples de 7,5% ao mês? [R: $ 2.430,00] 16. Que taxa de juro anual triplica um capital, no regime de juros simples, ao final de 10 anos?

[R: 20% a.a.] 17. Uma pessoa empresta a um amigo $ 3.000,00 à taxa de juros simples de 65% ao ano, pelo prazo de 4,5 anos. Determinar o valor do resgate. [R: $ 11.775,00] 18. Determinar a taxa de juros simples (mensal e do período) correspondente à aplicação de $ 1.500,00 por 5 meses, com valor de resgate igual a $ 1.869,30.

[R: 4,92% a.m. ou 24,62% para 5 meses] 19. Qual o principal que, aplicado a juros simples durante 15 dias, à taxa de 0,12% ao dia, produz um montante de $ 14.000,00? [R: $ 13.752,46] 20. Qual o juro produzido pela aplicação de $ 10.000,00, durante 3 trimestres, à taxa de juros simples de 5,5% ao mês? [R: $ 4.950,00] 21. Qual foi o capital investido em certa operação, cujo valor resgatado é de $ 38.000,00 e foi feita pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 13% ao bimestre? [R: $ 21.348,31] 22. Aplique hoje $ 55,00 e receba após um ano $ 78,42. Qual a taxa mensal auferida nessa aplicação, considerando o regime de capitalização simples? [R: 3,55% a.m.]



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DESCONTO BANCÁRIO OU DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Desconto é o nome dado a um abatimento que se faz quanto um título é resgatado antes de seu vencimento. Trata-se de uma operação rotineira no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito (duplicatas, notas promissórias, etc.) pode levantar fundos em uma instituição financeira (em geral bancos), descontando o título num período de tempo n, antes do vencimento. Nas operações de desconto o valor do desconto é calculado, multiplicando-se o valor nominal (VN) do título a ser descontado pela taxa de desconto e pelo tempo que falta para o seu vencimento. Este tipo de desconto, no qual a taxa de desconto incide sempre sobre o valor de resgate, é denominado Desconto bancário ou Desconto comercial simples.

n.i.VND D

onde: D = valor do desconto VN = Valor Nominal: é o valor definido para um título em sua data de vencimento. iD = taxa de desconto. n = prazo de antecipação (a decorrer do início da operação de desconto até o vencimento do título), em dias corridos. Como o valor do juro é subtraído do valor nominal do título, o valor atual (VA) do título, após o desconto, passa a ser: Valor Atual = Valor Nominal - Desconto

ou DVNVA ou )n.i1(VNVA D

Na verdade podemos ver que o desconto comercial nada mais é que o juro simples cobrado antecipadamente sobre o valor nominal de um título realizado antes do prazo de vencimento. O esquema abaixo ilustra as operações de desconto comercial simples: VA 0 n VN

Observação: Nas operações de desconto simples, além do desconto propriamente dito, ocorrem duas outras despesas: IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito, correspondente a despesas administrativas da instituição financeira):

VA = VN – D – IOF – TAC



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A TAC pode ser um percentual que incide sobre o valor de face do título ou Valor Nominal (VN). Contudo, a TAC também pode ser um valor fixo. No caso de duplicatas e notas promissórias, o IOF é calculado sobre o valor descontado (VN-D), ou seja:

IOF = n.(VN – D). sendo = alíquota de IOF

Atualmente, o IOF é cobrado à alíquota de 0,0082% ao dia para operações até 364 dias e é cobrado à alíquota de 1,5% ao ano para operações com prazos iguais ou acima de 365 dias. Exemplos: 1. Um título de Valor Nominal $ 100.000,00 foi descontado 55 dias antes de seu vencimento à taxa simples de desconto de 3% a.m.. Calcular o valor do desconto e o valor recebido. 1o modo: Dados: Solução: VN= 100.000 Como: D = VN . iD . n , então: iD = 3% a.m.

n = 55 dias 55.30

03,0.100000D

D = ? VA = ? D = 100000 . 0,001 . 55 D = 5.500,00 Uma vez conhecido o valor do desconto, podemos encontrar o valor recebido, substituindo o valor do mesmo na expressão: VA = VN – D VA = 100.000 – 5.500 VA = 94.500

Resposta: O valor do desconto é $ 5.500,00 e o valor recebido ou Valor Atual (VA) é de $ 94.500,00. Poderíamos, alternativamente, utilizar a expressão VA = VN( 1 – iD . n ), daí: 2o modo:

55.

30

03,01.100000VA

VA = 100000 .(1 – 0,001 . 55) = 100000 . (1 – 0,055) = 100000 . 0,945 VA = $ 94.500,00 D = VN – VA = 100.000 – 94.500 D = $ 5.500,00



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2. Um título de Valor Nominal $ 35.000,00 foi descontado num banco 45 dias antes de seu vencimento à taxa simples de desconto de 2,8 % a.m.. O banco cobrou IOF de 1,5% a.a. e TAC de $ 80,00. Calcular o valor do desconto e o valor líquido recebido. Dados: VN= 35.000 Solução: d = 2,8 % a.m. Como D = VN . iD . n, então:

n = 45 dias 45.30

028,0.35000D

IOF = 1,5% a.a. = 0,0082% a.d. D = 35000 . 0,000933333 . 45 TAC = R$ 80,00 D = 35000 . 0,041999985 D = ? VA = ? D = 1.470,00

Podemos encontrar o valor do IOF, aplicando a alíquota de 0,0082% a.d. sobre o Valor Nominal (VN) menos o valor do Desconto (D) no prazo n. Então:

IOF = (VN – D).0,000082 . 45 IOF = (35000 – 1.470) . 0,00369 IOF = 33530 . 0,00369 IOF = 123,73 TAC = 80,00 Uma vez conhecido o valor do DESCONTO, do IOF e da TAC podemos encontrar o Valor Atual, substituindo seus valores na expressão: VA = VN – D – IOF – TAC VA = 35.000 – 1.470 – 123,73 – 80 VA = 33.326,27 Resposta: O valor líquido recebido é igual a $ 33.326,27.



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PROBLEMAS ENVOLVENDO DESCONTO BANCÁRIO 1. Um empresário deseja descontar uma nota promissória no valor de $ 80.000,00 com prazo de vencimento de 36 dias. Se a taxa de desconto bancário (desconto comercial) negociada foi de 4,5% ao mês, determinar: a) o valor do desconto; b) o valor recebido.

[R: $ 4.320,00; b) $ 75.680,00] 2. Uma empresa recebe $30.000 pelo desconto de uma duplicata com valor de resgate de $ 36.465,30 e com prazo de vencimento de 4 meses. Qual é a taxa de desconto comercial aplicada pelo banco? [R: 4,4325% a.m.] 3. Quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata no valor de $ 9.800,00, que sofreu um desconto comercial simples de $ 448,50, à taxa de 18% ao ano? [R: 92 dias] 4. O desconto comercial simples de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta de uma empresa. Calcular o valor da duplicata, sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% a.m. nessa operação. [R: $ 75.000,00] 5. Qual o valor do desconto bancário de um título de $ 2.000,00, com vencimento para 30 dias, à taxa de 5% ao mês? [R: $ 100,00] 6. Qual a taxa mensal de desconto bancário utilizada numa operação por 35 dias cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e o valor atual é de $ 850,00? [R: 12,86% a.m.] 7. Qual o valor atual de um título de $ 1.500,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de juros simples de 8% ao mês? [R: $ 1.140,00] 8. Uma duplicata no valor de $ 32.000,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 26.800,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 6,50% a.m., determinar o prazo (em dias) de vencimento da duplicata? [R: 75 dias] 9. O banco Delta S.A. oferece empréstimos pessoais cobrando 20% a.m. de taxa de desconto comercial. Se uma pessoa necessita de $ 12.000,00 agora para pagar daqui a 45 dias, qual será o valor do compromisso assumido? [R: R$ 17.142,86] 10. Sabendo que o desconto de uma duplicata no valor de $ 25.000,00, com 14 dias a vencer, gerou um crédito de $ 23.600,00 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto bancário utilizada. [R: 12% a.m.] 11. Calcular a que taxa mensal um título de R$ 80.000,00, com 25 dias a vencer, gera um desconto no valor de R$ 10.200,00? [R: 15,30% a.m.] 12. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de $ 44.000,00 e com 60 dias de prazo até o vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial de 5,3% a.m., calcular o valor creditado na conta da empresa e o valor do desconto.

[R: $ 39.336,00 ; $ 4.664,00] 13. Uma duplicata com prazo de 43 dias foi descontada à taxa de desconto bancário de 5,4% ao mês. O valor nominal da duplicata é de $ 2.000,00. Sabe-se que a alíquota de IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) é de 0,0041% a.d. e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito) é de 0,2% do valor nominal do título. Calcular:



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a) o desconto bancário (D). b) o imposto sobre operações financeiras (IOF). c) o valor da taxa de abertura de crédito (TAC). d) o valor colocado à disposição da empresa. [R: $ 154,80; $ 3,25; $ 4,00; $ 1.837,95] 14. Uma duplicata de $ 1.000,00 foi descontada num banco que cobra 0,5% de despesa administrativa. O título foi descontado 37 dias antes de seu vencimento e a taxa de desconto é de 5,1% ao mês. Considerando-se que o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) é de 0,0041% ao dia, calcule: a) O valor do desconto bancário b) O IOF c) A despesa administrativa; d) O valor colocado à disposição do cliente. [R: $ 62,90; $ 1,42; $ 5,00; $ 930,68] 15. “O Desconto de Titulos ou Duplicatas é um adiantamento de recursos, feito pelo banco, sobre os valores dos respectivos títulos (duplicatas ou notas promissórias). Neste tipo de operação o cliente recebe dinheiro antecipado de suas vendas a prazo. Ao apresentar um título para desconto, entretanto, o cliente não recebe seu valor total, pois são descontados diversos encargos sobre o seu valor nominal como por exemplo: taxa de desconto, IOF e taxa administrativa.”

(Fonte: Fortuna, Eduardo, Mercado Financeiro, Qualitymark, 16ª edição, Rio de Janeiro, 2007, obtido em http://pt.wikipedia.org)

O gerente de uma empresa de materiais de construção realizou uma operação de desconto bancário de uma duplicata no valor de $ 41.200,00, tendo sido negociada uma taxa de desconto comercial simples de 2,7% a.m. Determine o prazo de vencimento desse título, sabendo-se que o valor recebido pela empresa foi de $ 35.900,00. Desconsiderar pagamento de IOF (imposto sobre operações financeiras) e taxas administrativas.

[R: O prazo de vencimento da duplicata é de 4,7645 meses.]

http://pt.wikipedia.org/



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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Enquanto que no regime de juros simples a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, no regime de juros compostos, o rendimento gerado pelo capital é incorporado a ele e capitalizado novamente. É o que chamamos de “juros sobre juros” ou modo exponencial de cobrança de juros, já que, para a obtenção do montante (FV) de um capital aplicado nessa modalidade, a taxa de juros (i) fica multiplicada por ela mesma n vezes, sendo n o tempo de aplicação do capital inicial (PV). Dessa forma temos:

)]i1)......(i1).(i1).(i1.[(PVFV

........ n vezes ........

de modo que o montante, no regime de juros compostos, é dado por: n)i1(PVFV

Nessa fórmula o fator (1 + i)n é o “fator de valor futuro ou de capitalização”. Logo, o seu inverso (1 + i)-n , é chamado de “fator de valor presente ou de descapitalização”. O esquema abaixo ilustra as operações:

n)i1(

FVPV

descapitalizando

n

n)i1.(PVFV capitalizando

CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS Quando o prazo da operação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa considerada, são adotadas duas convenções: a exponencial e a linear.

Convenção Exponencial

Calcula-se o montante correspondente ao prazo total da operação (n) no sistema de juros

compostos: n)i1.(PVFV

Atenção: HP-12C

C no visor: convenção exponencial.

Sem a letra C no visor: convenção linear.

Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá ou desaparecerá a letra C no visor.



a Júlia Nobre 24

Convenção Linear

Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos (k) no sistema de juros compostos e

Na fração de tempo não inteiro restante, calcula-se os juros segundo o sistema de capitalização simples.

)m.i1.()i1.(PVFV k , onde k é a parte inteira de períodos e m é a parte fracionária de

períodos, ou seja, nmk .

EXEMPLOS DE USO DA HP-12C PARA CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS 1. Imagine que você toma emprestado $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização composta para taxa de 10% a.m., quanto deverá ser devolvido (FV)? FV = PV.(1 + i)n FV = 1000 . (1 + 0,10)5

Na HP-12C: FV = 1000 . (1,10)5 f clear FIN

FV = 1000 . 1,610510000 1000,00 CHS PV

10 i

5 n

FV

VISOR

Resposta: O valor a ser devolvido (FV) é igual a $ 1.610,51.

1.610,51 c

FV = 1.610,51



a Júlia Nobre 25

2. Qual será o valor de resgate (FV) de uma aplicação inicial de $ 1.800,00 (PV) no final de 12 meses à taxa composta de 1 % a.m.? FV = PV.(1 + i)n FV = 1800 . (1 + 0,01)12

Na HP-12C: FV = 1800 . (1,01)12 f clear FIN

FV = 1800 . 1,126825030 1800,00 CHS PV

1 i

12 n

FV

VISOR

Resposta: O valor resgatado (FV) é igual a $ 2.028,29.

2.028,29 c

FV = 2.028,29



a Júlia Nobre 26

3. Determinar o valor de emissão (PV) de um título que, no fim de 10 meses à taxa composta de 3% a.m., tem $ 6.719,58 de valor de resgate (FV). FV = PV.(1 + i)n 6719,58 = PV . (1 + 0,03)10 Na HP-12C: 6719,58 = PV . (1,03)10 f clear FIN

6719,58 = PV . 1,343916379 6719,58 FV

PV = 343916379,1

58,6719 3 i

10 n

PV

VISOR

Resposta: O valor de emissão (PV) para esse título foi de $ 5.000,00.

- 5.000,00 c

PV = 5.000,00



a Júlia Nobre 27

4. Uma pessoa aplicou $ 13.000,00 (PV) e deseja resgatar $ 15.000,00 (FV) ao final de 1 ano (n) para pagar uma dívida. A que taxa mensal composta deve aplicar seu capital? FV = PV.(1 + i)n 15000 = 13000 . (1 + i)12 Ou 13000 . (1 + i)12 = 15000

13000

15000)i1( 12

153846154,1)i1( 12

12 153846154,1i1

121

)153846154,1(i1

011996457,1i1

1011996457,1i

i = 011996457,0 a.m.

(x100) ou

Na HP-12C: f clear FIN [STO] [EEX] (com a letra C no visor) f 2 (duas casas) 13000,00 CHS PV 15000,00 FV 12 n

i VISOR 1,20

Na HP-12C: f 9 (nove casas) 15000 ENTER 13000 ÷ VISOR 1,153846154 12 1/x VISOR 0,083333333 yx VISOR 1,011996457 1 - (menos) 100 x (vezes) f 2 (duas casas) VISOR 1,20

i ≈ 1,20% a.m.



a Júlia Nobre 28

5. Qual será o prazo (em anos) necessário para que $ 10.000,00 (PV) aplicado à taxa composta de 12% a.a. se transforme em $ 34.785,50 (FV)? FV = PV.(1 + i)n 34785,50 = 10000 . (1 + 0,12)n Ou 10000 . (1 + 0,12)n = 34785,50

10000

34785,5012,1 n

3,4785512,1 n

3,47855ln12,1ln n

3,47855ln12,1ln.n

ln1,12

3,47855lnn

50,11332868

24661554,1n

ou

Na HP-12C: f clear FIN f 2 (duas casas) [STO] [EEX] (com a letra C no visor) 10000,00 CHS PV 34785,50 FV 12 i

n VISOR 11,00

Na HP-12C: f 9 (nove casas) 34785,50 ENTER 10000 ÷ VISOR 3,478550000

VISOR 1,246615540

1,12 VISOR 0,113328685 ÷ f 2 (duas casas) VISOR 11,00

n = 11 anos



a Júlia Nobre 29

6. Utilizando a convenção linear, calcular o montante (FV) produzido por $ 1.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizados anualmente, ao final de 2 anos e 3 meses. FV = PV.(1 + i)k.(1 + i.m) k = 2 anos

25,012

3m anos Na HP-12C:

FV = 1000.(1 + 0,40)2.(1 + 0,40.0,25) f clear FIN FV = 1000 . (1,40)2.(1 + 0,10) [STO] [EEX] (sem a letra C no visor)

FV = 1000 . 1,96 . 1,10 1000,00 CHS PV

40 i

2,25 n

FV

VISOR

Resposta: O montante produzido (FV) é igual a $ 2.156,00.

FV = 2.156,00

2.156,00



a Júlia Nobre 30

PROBLEMAS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS 1. Um capital de $ 8.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 5% a.t. Calcule o montante para os seguintes prazos de aplicação: a) 1 ano b) 6 meses c) 90 dias

[R: a) $ 9.724,05; b) $ 8.820,00; c) $ 8.400,00] 2. Considere um empréstimo no valor de $ 18.500,00 pelo prazo de 60 dias à taxa de juros de 2,5% a.m. Calcule o valor dos juros e do montante a ser pago ao final do prazo, no sistema de capitalização composta. [R: $ 936,56; $ 19.436,56] 3. Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 72.000,00. Como alternativa, o vendedor oferece a seguinte condição de pagamento: 20% de entrada e o restante após 120 dias. Qual o valor do pagamento final, se a taxa de juros compostos negociada foi de 2,8% a.m.?

[R: $ 64.327,24] 4. Uma pessoa aplicou um determinado capital pelo prazo de 84 dias à taxa de juros compostos de 1,2% a.m. e obteve um montante de $ 16.800,00. Qual foi o capital aplicado? [R: $ 16.248,15] 5. O preço de um carro é de $ 36.000,00 podendo este valor ser pago até o prazo de 3 meses. Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 10%. Qual é a taxa de juro composto cobrada nesta operação? [R: 3,5744% a.m.] 6. Um cliente tem 2 alternativas de pagamento na compra de um imóvel: $ 96.000,00 à vista ou $ 120.000,00 após 6 meses sem entrada. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada pela imobiliária. Considerando que a taxa de juros auferida pelo cliente em suas aplicações financeiras é de 4,5% a.m., qual é a melhor opção de compra: à vista ou a prazo?

[R: 3,7891 % a.m.; a melhor opção de compra é a prazo, já que as aplicações financeiras oferecem maior rentabilidade]

7. Uma aplicação de $ 21.700,00 à taxa de juros compostos de 2,4% a.m. gerou um montante de $ 27.900,00. Calcular o prazo da operação. [R:10,60 meses, ou 10 meses e 18 dias] 8. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês: a) dobra seu valor? b) triplica seu valor? c) aumenta em 20% o seu valor? [R: a) 17,67 meses; b) 28,01 meses; c) 4,65 meses] 9. Se você empresta a uma pessoa o valor de $ 6.000,00, quanto você receberia de juros, após 1 ano e meio, se a taxa de juros composta no empréstimo for de 2,75% a.m.? [R: $ 3.777,42] 10. Se você tem uma dívida junto a uma instituição financeira cujo valor hoje é de $ 28.224,08 e ela foi contraída há 4 trimestres, qual o valor originalmente devido, se a taxa composta envolvida é de 7,5% a.m.? [R: $ 11.850,00] 11. Uma pessoa deixou de pagar uma fatura de cartão de crédito no valor de $ 540,00. Sabendo que após 1 ano e meio, o valor devido era de $ 4.796,06, pergunta-se: qual a taxa mensal composta cobrada pela administradora do cartão? [R: 12,90% a.m.] 12. “A cadeia automotiva responde por 23% do PIB industrial brasileiro, segundo o ministro da Fazenda. A redução do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) dos carros novos foi uma das medidas tomadas pelo governo federal para aquecer o setor automotivo, um dos mais afetados pela crise financeira internacional.” (Fonte:economia.dgabc.com.br, de 30/03/2009, com adaptação).

http://economia.dgabc.com.br/



a Júlia Nobre 31

A redução do IPI possibilitou a redução nos preços dos carros populares, o que provocou um aumento significativo de venda no setor: no período de janeiro a março de 2009 foram vendidos mais de 600 mil carros novos, representando um crescimento de cerca de 3% em relação aos mesmos meses do ano de 2008. (Fonte: www.sitedecarro.com.br , de 28/03/2009, com adaptação) Considere que uma pessoa procurou uma concessionária de veículos para adquirir um carro popular e constatou que, além do preço promocional do veículo por conta da redução do IPI, a loja ofereceu também uma redução na taxa de juros compostos. O carro escolhido estava sendo vendido nas seguintes condições: pagamento à vista de $ 28.400,00 ou um pagamento de $ 35.100,00 após um ano. Determine a taxa mensal de juros compostos que está sendo cobrada por essa concessionária.

[R: A taxa mensal cobrada pela concessionária de veículos é de 1,7808%] 13. “Cadastro positivo pode favorecer aumento do crédito e queda de juros. A criação do cadastro positivo poderá favorecer a ampliação do crédito e a redução das taxas de juros e do spread bancário, segundo considera a Fecomercio (Federação de Comércio). Isso seria possível já que o cadastro criaria uma segurança e eficácia maior nos negócios, permitindo uma avaliação mais abrangente do histórico financeiro dos consumidores.” (Fonte: InfoMoney, de 19/05/2009) Um estudante do curso de administração, estimulado pela possibilidade de redução da taxa de juros, encontra, em uma determinada loja, o microcomputador com a configuração desejada com o valor à vista de $ 3.100,00. Para pagamento a prazo, o vendedor oferece a seguinte alternativa de pagamento: 18% de entrada e uma parcela de $ 2.700,00 após 54 dias. Qual é a taxa mensal de juros compostos que está sendo cobrada por essa loja?

[R: A taxa mensal cobrada pela loja é de 3,4068%] 14. Uma concessionária está oferecendo um automóvel ano 2005 por $ 14.500,00 à vista ou por $ 4.832,85 de entrada e mais uma parcela de $ 11.000,00 ao final de 5 meses. Sabendo-se que uma outra opção seria aplicar este capital à taxa de juros compostos de 2% a.m. no mercado financeiro, determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis, calculando a taxa mensal de juros compostos praticada pela concessionária e comparando-a com a taxa praticada pelo mercado financeiro.

[R: A taxa mensal cobrada pela concessionária é de 2,6169%; a melhor opção de compra é à vista, já que as aplicações financeiras oferecem menor rentabilidade]

15. “A redução do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) nos produtos chamados linha branca foi autorizada pelo Governo Federal em 17/04/2009. Por três meses o imposto ficará reduzido de 15% para 5% para as geladeiras; de 5% para 0% para os fogões; de 20% para 10% para máquinas de lavar e de 10% para 0% para os tanquinhos.”

(Fonte: band.com.br/primeirojornal de 20/04/2009)

Esta foi uma das medidas tomadas pelo Governo Federal para aquecer o mercado interno e fazer frente à redução do volume de vendas decorrente da crise financeira internacional iniciada em 2008. Com a expectativa do aumento de vendas, algumas redes de lojas de eletrodomésticos anunciaram promoções especiais nessa linha de produtos. É o caso de um determinado modelo de refrigerador, que pode ser adquirido por $ 3.400,00 para pagamento à vista, ou a prazo com taxa de juros de 1,5% a.m. Considere que um cliente deseja adquirir esse produto nas seguintes condições: entrada de $ 1.200,00 e pagamento do restante após 90 dias. Determine o valor desse último pagamento.

[R: O valor do último pagamento deve ser de $ 2.300,49]

http://www.sitedecarro.com.br/



a Júlia Nobre 32

TAXAS DE JUROS

Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes / Taxas Nominais / Taxas Efetivas

Taxas Proporcionais

Duas taxas se dizem proporcionais se: 2

2

1

1

n

i

n

i ,

onde n1 e n2 representam os períodos de capitalização de cada taxa e i1 e i2 representam os percentuais das taxas consideradas. Exemplo: As taxas 72% a.a., 36% a.s., 18% a.t. e 6% a.m. são proporcionais, pois tomando o período de um mês como unidade de tempo, tem-se:

%6i1

%6

3

%18

6

%36

12

%72mensal a.m.

Taxas Nominais

Taxa nominal é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

É comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.

Exemplo: Se a taxa negociada é de 18% a.a. capitalizada mensalmente, a taxa aplicada é a taxa proporcional do período da capitalização, ou seja, a taxa aplicada é a taxa mensal proporcional: imensal = 18/12 = 1,5% a.m. (taxa nominal). Taxas Efetivas

Taxa efetiva é a taxa efetivamente aplicada na operação financeira. Neste caso, a unidade de tempo referida na taxa coincide com o período de capitalização. Regra:

Para se calcular a taxa efetiva quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa: a) Calcula-se a taxa simples (proporcional) correspondente a um período de capitalização; b) Potencia-se essa taxa simples ao número de períodos de capitalização existente no intervalo de tempo a que se refere a taxa nominal.

Ou seja:

1001k

i1i

k

ef et

, onde k é o número de sub-períodos de capitalização.



a Júlia Nobre 33

Exemplos: 1. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 12% a.a. capitalizada mensalmente?

1001k

i1i

k

ef et

100112682503,1100101,1100101,01100112

12,01i 1212

12

ef et

2. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 10% a.a. capitalizada semestralmente?

1001k

i1i

k

ef et

10011025,1100105,1100105,0110012

10,01i 22

2

ef et

Taxas Equivalentes

Duas taxas se dizem equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.

Capitalização Simples: as taxas proporcionais são taxas equivalentes.

Capitalização Composta: as taxas equivalentes são calculadas pela expressão abaixo:

iq = [ ( 1 + i t ) q / t – 1 ] . 100

onde: iq = taxa para o período que eu quero; q = período da taxa que eu quero it = taxa que eu tenho; t = período da taxa que eu tenho Exemplos: 1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? iq = [ ( 1 + i t )

q / t – 1 ] . 100 i12 = [ ( 1 +0,02 ) 12 /1 – 1 ] . 100 = [ ( 1,02 ) 12 – 1 ] . 100

682503,12ief et % a.a.

25,10ief et % a.a.

i12 = 26,824180% a.a.



a Júlia Nobre 34

2. Qual a taxa mensal equivalente a 15,39% a.a.? iq = [ ( 1 + i t )

q / t – 1 ] . 100 i1 = [ ( 1 +0,1539 ) 1 /12 – 1 ] . 100 = [ ( 1,1539 ) 1/12 – 1 ] . 100

Taxa Bruta

A taxa bruta é aquela obtida sem levar em consideração o desconto dos diversos encargos envolvidos em uma operação financeira: refere-se aos juros brutos da operação. Taxa Líquida

A taxa de juros líquida é aquela obtida após o desconto dos diversos encargos envolvidos na operação, tais como o imposto de renda (IR), imposto sobre operações financeiras (IOF), etc. A taxa de juros líquida refere-se aos juros líquidos efetivamente pagos ou recebidos em uma operação financeira. Taxa Acumulada

A composição da taxa acumulada de juros com taxas variáveis pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas. Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representado por (1 + i) e de uma taxa negativa por (1 – i). Assim, têm-se a seguinte fórmula genérica:

100]1)i1(...)i1()i1()i1[(i n321ac

Exemplo: Calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada no segundo semestre de 2008, sabendo que de julho a dezembro, os valores deste índice foram, respectivamente: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% e -0,13%.

100]1)i1(...)i1()i1()i1[(i n321ac

100]1)0013,01()0038,01()0098,01()0011,01()0032,01()0176,01[(iac

100]1)9987,0()0038,1()0098,1()0011,1()9968,0()0176,1[(iac

Resposta: O IGP-M acumulado no segundo semestre de 2008 foi de 2,7969%.

i1 = 1,20% a.m.

iac = 2,7969% em seis meses



a Júlia Nobre 35

Taxa Média

A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Do ponto de vista da matemática financeira, calcula-se a taxa média de um conjunto de taxas variáveis extraindo a raiz n-ésima da taxa acumulada, onde n é o número de taxas que foram acumuladas. Ou seja:

100}1)]i1(...)i1()i1()i1{[(i n1

n321média

Exemplo: Calcular o IGP-M (FGV) médio para o segundo semestre de 2008, sabendo que de julho a dezembro, os valores deste índice foram, respectivamente: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% e -0,13%.

100}1)]i1(...)i1()i1()i1{[(i n1

n321média

100}1)]0013,01()0038,01()0098,01()0011,01()0032,01()0176,01{[(i 61

média

100}1)]9987,0()0038,1()0098,1()0011,1()9968,0()0176,1{[(i 61

média

Resposta: O IGP-M médio no segundo semestre de 2008 foi de 0,4608%.

Taxa Aparente

A taxa aparente é aquela adotada normalmente em operações correntes de mercado, incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. Em outras palavras, a taxa aparente é constituída de dois componentes: um, relacionado à inflação e outro, relacionado com os juros realmente recebidos ou pagos. Taxa Real

A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação financeira, seja de aplicação ou captação, apurado livre dos efeitos inflacionários.

É calculada a partir da expressão:

)i1).(i1()i1( reallaçãoinfaparente

e portanto: 1i1

i1i

laçãoinf

aparentereal

Quando se considera as operações financeiras em contexto inflacionário, pode ser utilizada a

expressão: nreal

nlaçãoinf )i1.()i1.(PVFV

imédia = 0,4608% ao mês



a Júlia Nobre 36

Exemplos: 1. Uma empresa fez uma aplicação por 30 dias em CDB à taxa de 1,5% a.m.. Se a inflação nesse período foi de 0,5%, qual a taxa de remuneração real dessa aplicação?

1i1

i1i

laçãoinf

aparentereal

1005,1

015,11

005,01

015,01i real

ireal = 0,009950249 (x 100)

2. Um capital foi aplicado por 12 meses à taxa de 18,2% a.a.. Se a taxa de inflação foi de 21,5% nesse período, calcule a taxa real dessa aplicação.

1i1

i1i

laçãoinf

aparentereal

1215,1

182,11

215,01

182,01i real

ireal = - 0,027160494 (x 100)

ireal = 0,9950249% a.m.

ireal = - 2,7160494% no período



a Júlia Nobre 37

EXERCÍCIOS ENVOLVENDO TAXAS DE JUROS 1. Determine as taxas mensais proporcionais a: a) 0,2% a.d. b) 15% a.a. c) 6,9% a.t.

[R: 6,00% a.m.; b) 1,25% a.m.; c) 2,30% a.m.] 2. Determine a taxa anual equivalente correspondente a: a) 2,7% a.s. b) 0,12% a.d. c) 0,9% a.m. d) 3,6% a.t.

[R: a) 5,4729 % a.a.; b) 53,9936 % a.a.;c) 11,3510% a.a.;d) 15,1964% a.a.] 3. O cheque especial de uma determinada instituição bancária cobra, atualmente, uma taxa mensal de 13% a.m. de um cliente. Qual é a taxa anual cobrada? [R: 333,45% a.a.] 4. Determine a taxa diária equivalente: a) 1,8% a.m. b) 14,00% a.a. c) 0,7% em 20 dias

[R: a) 0,0595% a.d.; b) 0,0364% a.d.; c) 0,0349% a.d.] 5. Uma aplicação de $ 8.400,00 rendeu $ 730,00 de juros, pelo prazo de 51 dias. Calcule a taxa diária e mensal dessa operação. [R: 0,1635 % a.d.; 5,0241 % a.m.] 6. Uma aplicação remunera uma taxa de 6% a.a. capitalizada mensalmente. Neste caso, a taxa anunciada, de 6% a.a. é denominada taxa nominal. Determinar a taxa mensal efetiva e a taxa anual efetiva. [R: taxa mensal efetiva = 0,5% a.m.; taxa anual efetiva = 6,1678% a.a.] 7. A taxa de juros cobrada no financiamento imobiliário de uma determinada instituição financeira é de 10,5% a.a. capitalizada mensalmente, pela Tabela Price. Determine a taxa anual efetiva cobrada. [R: 11,0203% a.a.] 8. Uma aplicação cuja taxa é igual a 26% a.a. foi realizada pelo prazo de 37 dias. Qual a taxa equivalente para o prazo da aplicação? [R: 2,4038% para 37 dias] 9. A rentabilidade de determinado fundo foi de 0,79% a.m.. Qual a taxa semestral equivalente?

[R: 4,8346% a.s.] 10. Qual é a taxa mensal equivalente para a taxa de 96% a.a.? E a taxa diária equivalente?

[R: 5,7681% a.m.; 0,1871% a.d.] 11. Aplicou-se um capital de $ 80.000,00 a uma taxa de 2,8% a.m. por 5 meses. Considerando que o imposto de renda (alíquota de 20% sobre os rendimentos brutos) será pago somente no final do prazo, determinar: a) os juros brutos ou nominais; b) o valor do imposto de renda; c) o valor líquido de resgate; d) a taxa mensal líquida.

[R: a) $11.845,01; b)$2.369,00; c) $89.476,01; d)2,2641 % a.m.]

12. Considere uma aplicação de $ 84.000,00 em um fundo de investimentos que remunera a taxa de 2,7% a.m. pelo prazo de 60 dias. Se essa operação financeira está sujeita ao pagamento de imposto de renda (alíquota de 20% sobre os rendimentos brutos), determine: o valor dos juros brutos; b) o valor do imposto de renda recolhido; c) o valor líquido recebido na operação; d) a taxa mensal líquida.

[R: a) $ 4.597,24; b) $ 919,45; c) $ 87.677,79; d) 2,1657% a.m.]



a Júlia Nobre 38

13. Uma empresa aplicou $ 150.000,00 num RDB pré-fixado de 33 dias à taxa de 45% a.a. O IR retido na fonte é de 20% sobre os juros. Calcular: a) a taxa bruta obtida nessa operação; b) o montante bruto resgatado; c) o valor dos juros brutos; d) o valor do imposto de renda recolhido; e) o valor líquido recebido na operação; f) a taxa líquida obtida nessa operação; g) a taxa mensal líquida; h) a taxa anual líquida.

[R: a) i = 3,4647% para 33 dias; b) $ 155.197,00; c) $ 5.197,00; d) $ 1.039,40; e) $ 154.157,60 f) 2,7717% para 33 dias; g) 2,5166% a.m.; h) 34,7502% a.a.]

14. Uma pessoa aplica $ 50.000,00 no mercado financeiro por 3 meses, obtendo as seguintes rentabilidades mensais (juros compostos): 6%, 17% e 4%, no primeiro, segundo e terceiro mês, respectivamente. Determinar o montante do resgate e a taxa total desse período.

[R: $ 64.490,40; 28,9808% no período] 15. Uma determinada aplicação gerou um montante de $ 18.600,00. Sabendo-se que as rentabilidades mensais (capitalização composta) auferidas foram de 2,4%, 3,1% e 1,5% no primeiro, segundo e terceiro mês, respectivamente, determine: a taxa total auferida no trimestre e o valor do capital aplicado nessa operação financeira. [R: a) 7,1580 % a.m.; bc) $ 17.357,54] 16. O preço de um carro em 4 meses consecutivos aumentou 5%, 3%, 2% e 4% respectivamente. Qual foi o aumento total acumulado nos quatro meses? Qual a média mensal de aumento?

[R: O aumento total foi de 14,7255%; a média mensal foi de 3,4940%] 17. Considere que as variações do Índice de Custo de Vida (ICV) do último trimestre foram os seguintes: 2%, 5% e 8%. Determinar a taxa de inflação acumulada no período e a taxa de inflação mensal média. [R: taxa de inflação acumulada: 15,6680%; taxa mensal média: 4,9714%] 18. “Juros do cheque especial recuam pela quinta vez e atingem 8,89% a.m. Pesquisa divulgada pela Fundação Procon de São Paulo mostrou que, em maio, na comparação com abril, os juros médios do cheque especial passaram de 9,03% ao mês para 8,89% mensais - um recuo de 0,14 ponto percentual -, marcando a quinta queda consecutiva dos juros, após sucessivas altas.”

(Fonte: http://economia.uol.com.br/ultnot/infomoney/2009/05/21)

Considerando que a taxa mensal de juros do cheque especial, como afirma o texto acima, é, em média, de 8,89% a.m., qual é a taxa anual equivalente de juros que está sendo cobrada?

[R: A taxa anual de juros que está sendo cobrada no cheque especial é de 177,8792% a.a.] 19. Um capital de $ 10.000,00 foi aplicado por 6 meses, à taxa de juros de 8% a.a., e a seguir, o montante obtido foi reaplicado por mais 6 meses a juros de 5% a.t. Qual será o montante ao final desse ano? [R: $ 11.457,52] 20. Uma aplicação em CDI em certa instituição financeira rendeu 12,27% em 2008. Se o IPCA/IBGE, que é medidor oficial da inflação no país, foi de 5,90% no mesmo período, qual foi a remuneração real de uma aplicação em CDI? [R: 6,0151%] 21. O IPTU na cidade de São Paulo teve um reajuste de 8,18% no período 2008/2009. Se o IPC/FIPE, que mede o índice de inflação na cidade de São Paulo, foi de 6,17% no mesmo período, qual foi a taxa real de aumento desse imposto? [R: 1,8932%] 22. Considerando as taxas nominais abaixo, qual é a taxa efetiva anual para cada hipótese? a) 24% a.a. Capitalização mensal [R: iefet = 26,82 % .a.a.] b) 28% a.a. Capitalização trimestral [R: iefet = 31,08 % a.a.] c) 21% a.a. Capitalização quadrimestral [R: iefet = 22,5 % a.a.] d) 40% a.a. Capitalização semestral [R: iefet = 44 % a.a.] e) 30% a.a. Capitalização anual [R: iefet = 30 % a.a.]

http://economia.uol.com.br/ultnot/infomoney/2009/05/21



a Júlia Nobre 39

Equivalência de Capitais Equivalência de capitais: constitui um conceito essencial ao cálculo financeiro, isto é, dois capitais podem ser equivalentes mesmo se colocados em épocas diferentes. Mas, os capitais só podem ser comparados em uma mesma data. O conceito de equivalência de capitais é utilizado na antecipação ou prorrogação de um ou mais títulos em operações financeiras, as quais dizem respeito, de um modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma data taxa de juros. Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando tiverem valores iguais, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros. A transferência de capitais de uma data para a outra posterior é feita pela fórmula:

n)i1.(PVFV

A transferência de capitais de uma data para a outra anterior é feita pela fórmula: É importante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos de capitais que sejam equivalentes em uma determinada data o serão em qualquer outra. Data Focal: também chamada de data de referência ou data de avaliação, é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Equação de valor: permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada a taxa de juros. Exemplos: 1. Um comerciante deve $ 6.000,00 que deverá ser pago daqui a 5 meses. Entretanto, ele deseja quitar sua dívida 2 meses antes do prazo. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 5% a.m., capitalizada mensalmente?

n)i1(

FVPV

2)05,01(

6000PV

(observe que há 2 meses entre as datas focais 3 e 5 meses)

n)i1(

FVPV

PV = $ 5.442,18



a Júlia Nobre 40

2. Uma pessoa deve $ 5.000,00 que deverá ser pago daqui a 1 mês. Entretanto, ela sabe que não poderá honrar sua dívida nesse prazo, mas somente daqui a 6 meses. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 8% a.m., capitalizada mensalmente?

n)i1.(PVFV

5)08,01.(5000FV (observe que há 5 meses entre as datas focais 1 e 6 meses)

EXERCÍCIOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 1. Uma pessoa deseja quitar uma dívida no valor de $ 21.000,00 com vencimento para um ano. Considerando que a taxa de juros negociada foi de 3,0% a.m., quanto deverá pagar nas seguintes datas: a) hoje; b) daqui a 3 meses; c) daqui a 6 meses.

[R: $ 14.728,98; b) $ 16.094,75; c) $ 17.587,17] 2. Um empresário deseja antecipar o pagamento de uma dívida no valor de $ 18.400,00, a vencer daqui a 7 meses. Admitindo que será utilizada a taxa de juros de 2,8% a.m. , qual deverá ser o valor pago? [R: O valor pago deverá ser de $ 15.165,82] 3. O gerente de uma pequena confecção de roupas infantis deseja renegociar uma dívida de $ 8.000,00 a vencer daqui a 90 dias. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., quanto deverá pagar nas seguintes datas: a) hoje; b) daqui a 30 dias; c) daqui a 10 meses.

[R: a) $ 7.428,80; b) $ 7.614,52; c) $ 9.509,49] 4. O valor à vista de um equipamento é de $ 36.000,00. O cliente deseja dar uma entrada de 20% e pagar o restante em 2 parcelas mensais (30 e 60 dias), sendo a primeira de $ 18.000,00. Calcule o valor do segundo pagamento, se a taxa de juros cobrada é de 3,6% a.m..

[R: $ 12.262,92] 5. Uma dona de casa deseja antecipar o pagamento de um carnê contendo ainda 3 prestações a pagar, com prazo de vencimento para 30, 60 e 90 dias. Se o valor das prestações é de $ 600,00 e a taxa de juros negociada é de 2,0% a.m., qual o valor do pagamento único que deverá ser feito para a quitação dessa dívida? [R: $ 1.730,33]

FV = $ 7.346,64



a Júlia Nobre 41

SÉRIES DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos previstos para ocorrer em determinado intervalo de tempo. Os fluxos de caixa podem ser classificados quanto a: a) períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), b) periodicidade (períodos iguais ou diferentes), c) de duração (temporários ou perpétuos) e d) de valores (uniformes ou variáveis). As séries estudadas com maior detalhe são as séries de pagamentos uniformes, periódicas e finitas, as quais podem ser classificadas quanto ao período de ocorrência em:

Imediatas: quando o primeiro pagamento da série ocorre no 1 período. As rendas imediatas podem ser:

Postecipadas: o primeiro pagamento da série ocorre no final do 1 período.

Antecipadas: o primeiro pagamento da série ocorre no início do 1 período.

Diferidas: Nas rendas diferidas, os pagamentos são exigíveis a partir de uma data que não

seja o 1 período (tem-se um período de carência). 1. SÉRIES OU RENDAS UNIFORMES POSTECIPADAS (MODELO BÁSICO DE ANUIDADE) Nas rendas postecipadas, os pagamentos são exigíveis no final dos períodos. Este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT”, que vem do inglês Payment.

períodos

0 PMT PMT PMT

i.)i1(

]1)i1[(.PMTPV

n

n

PV = PMT. an i onde an i = fator de valor presente

i.

]1)i1[(.PMTFV

n FV = PMT. sn i onde sn i = fator de valor futuro.

Coeficientes Financeiros = cálculo das prestações por unidade de capital.

Pode ser calculado pela expressão: Coeficiente Financeiro = nia

1=

1)i1(

i.)i1(n

n



a Júlia Nobre 42

Exemplos: 1. Calcular o valor de um financiamento a ser quitado por seis pagamentos mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo a taxa de juros negociada na operação igual a 3,5% a.m..

i.)i1(

]1)i1[(.PMTPV

n

n

035,0.)035,01(

]1)035,01[(.1500PV

6

6

035,0.035,1

]1035,1[.1500PV

6

6

035,0.035,1

]1035,1[.1500PV

6

6

035,0.229255326,1

1229255326,1.1500PV

043023936,0

229255326,0.1500PV

PV = 1500 . 5,328553013

ou

PV = $ 7.992,83

Na HP-12C: f 9 (nove casas)

1,035 ENTER

6 yx

VISOR 1,229255326

1 - (menos)

VISOR 0,229255326

1,035 ENTER

6 yx

VISOR 1,229255326

0,035 x (vezes)

VISOR 0,043023936

÷ (dividir)

VISOR 5,328553013

1500 x (vezes)

f 2 (duas casas)

VISOR 7.992,83

Na HP-12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

1500 CHS PMT

6 n

3,5 i

PV

VISOR 7.992,83



a Júlia Nobre 43

2. Dados: PV = $ 7.992,83

n = 6 meses i = 3,5% a.m.

calcular PMT = ? 3. Dados: PV = $ 7.992,83

n = 6 meses PMT = R$ 1.500,00

calcular i = ?

Na HP-12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

7992,83 CHS PV

6 n

3,5 i

PMT

VISOR 1.500,00

Na HP-12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

7992,83 CHS PV

6 n

1500 PMT

i

VISOR 3,50

Observação: O mesmo raciocínio pode ser aplicado quando são dadas três das variáveis FV, PMT, n, i e deseja-se encontrar a quarta variável.



a Júlia Nobre 44

2. Séries ou Rendas Uniformes Antecipadas Nas rendas antecipadas, os pagamentos são exigíveis no início dos períodos. Este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento com entrada.

períodos

PMT PMT PMT PMT ................... n

i.)i1(

]1)i1[().i1.(PMTPV

n

n

i

]1)i1[().i1.(PMTFV

n

]1)i1).[(i1(

i.)i1(.PVPMT

n

n

]1)i1).[(i1(

i.FVPMT

n

Observação sobre as Funções [BEG] e [END] na HP-12C Para efetuarmos os cálculos de uma série uniforme de pagamento antecipada na calculadora HP-12C, será necessário introduzir no visor da calculadora a função “BEGIN”, que é facilmente introduzida através da sequência de letras [g] [BEG], ou seja, BEGIN = pagamento no início do período. Porém, havendo a necessidade da realização de cálculos de uma série uniforme de pagamento postecipada, basta pressionar a sequência de teclas [g] [END], ou seja, END = pagamento no final do período.



a Júlia Nobre 45

Exemplo: Uma pessoa necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de $ 37.500,00 e acredita que, se na data de hoje aplicar $ 500,00 mensalmente em um fundo de renda fixa que paga a taxa de 0,8% ao mês, ele terá o valor de que precisa. Pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular esse valor? i = 5 anos = 60 meses

i

]1)i1[().i1.(PMTFV

n

008,0

]1)008,01[().008,01.(500FV

60

008,0

]1)008,1[().008,1.(500FV

60

008,0

]1612990935,1[.504FV

62386688,76504FV

ou

Resposta: O poupador não só conseguirá acumular $ 37.500,00 como ainda sobrarão $ 1.118,43.

FV = $ 38.618,43


500 ENTER

1,008 x (vezes)

VISOR 540,0000000

1,008 ENTER

60 yx

VISOR 1,612990935

1 - (menos)

VISOR 0, 612990935

0,008 ÷ (dividir)

VISOR 76,62386688

x (vezes)

f 2 (duas casas)

VISOR 38.618,43

Na HP-12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

g BEG

500 CHS PMT

60 n

0,8 i

FV

VISOR 38.618,43 BEGIN



a Júlia Nobre 46

3. Séries ou Rendas Uniformes Diferidas Nas séries uniformes de pagamentos diferidas são aquelas em que há um período de carência, ou seja, se considerarmos um período de carência qualquer como n, a primeira prestação será paga no período seguinte (n+1).

períodos

0 1 2 ... n n+1 n+2 n+3 ... n+n

PMT PMT PMT ... PMT

, onde c é o período de carência.

Exemplo: Certa loja vende determinada mercadoria à vista por $ 850,00, em 24 parcelas mensais, devendo a primeira parcela ser paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação.

])i1(1[

)i1(iPVPMT

n

1c

])04,01(1[

)04,01(04,0850PMT

24

14

])04,1(1[

)04,1(34PMT

24

3

]390121474,01[

124864,134PMT

609878526,0

124864,134PMT

844406636,134PMT

1c

n

)i1.(i

)i1(1.PMTPV

n

1c

)i1(1

)i1(iPVPMT

PMT = $ 62,71


850 ENTER

0,04 x (vezes)

VISOR 34,00000000

1,04 ENTER

3 yx

VISOR 1,124864000

x (vezes)

VISOR 38,24537600

1 ENTER

1,04 ENTER

24 CHS yx

- (menos)

VISOR 0, 609878526

÷ (dividir) f 2 (duas casas)

VISOR 62,71



a Júlia Nobre 47

4. Rendas Perpétuas Existem casos em que os pagamentos ou recebimentos são uniformes e o número de termos tende ao infinito. Estas séries encontram aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis, na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividendos, etc. No caso das séries perpétuas, determina-se unicamente o seu valor presente, dado pela expressão:

i

PMTPV

Na HP-12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

3 n

4 i

850 CHS PV

FV

VISOR 956,13

CHS PV

0 FV

24 n

PMT

VISOR 62,71

Observação: Na HP-12C considera-se, inicialmente, o período de carência e calcula-se o valor realmente devido (FV) após a carência. Esse valor torna-se, então, o novo PV que será pago em prestações no prazo contratado e que, portanto, não gerará nenhum valor devido (FV = 0).



a Júlia Nobre 48

EXERCÍCIOS ENVOLVENDO SÉRIES DE PAGAMENTOS

1. Uma determinada empresa financia eletrodomésticos em 6 prestações mensais iguais, e deseja ganhar uma taxa de 2,5%a.m.. Qual o valor dessas prestações para um financiamento de $ 3.000,00? Considere que a primeira prestação vence 30 dias após a assinatura do contrato.

[R: $ 544,65] 2. Um carro pode ser adquirido em 36 prestações mensais iguais de $ 1.720,00, vencendo a primeira 30 dias após a data da compra. Calcule o valor à vista, se a taxa de juros utilizada na operação foi de 3,44% a.m..

[R: $ 35.202,66] 3. Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de $ 100.000,00, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 7.200,00 cada uma? Considere que a primeira prestação vence 30 dias após a assinatura do contrato.

[R: 2,8844 % a.m.] 4. Calcule o valor da prestação mensal de um aparelho de som, cujo preço à vista é de $ 5.000,00, a uma taxa de juros 6% a.m. e um total de 12 prestações. Considerar que: a) a primeira parcela vence a 30 dias após a compra. [R:$ 596,39] b) a primeira parcela vence no ato da compra. [R:$ 562,63] 5. Calcule o valor de um financiamento quitado em 36 prestações mensais de $ 7.500,00, se a taxa de juros aplicada foi de 10% a.m., nas seguintes condições: se a primeira prestação vence no ato da assinatura do contrato, [R: $79.831,19] se a primeira prestação vence a 30 dias. [R: $72.573,81] 6. Um terreno pode ser financiado nas seguintes condições: entrada de $ 14.500,00 e mais 18 pagamentos mensais e iguais de $ 2.400,00. Sabendo-se que a taxa de juros acordada na operação foi de 4,0% a.m., e que a primeira prestação deverá ser paga 30 dias após a compra, pede-se: a) determinar o valor à vista do terreno; b) se o cliente desejar financiar o mesmo terreno em 50 prestações mensais iguais, sendo a primeira no ato da compra, qual será o valor da nova prestação?

[R: $ 44.882,31; $ 2.008,92] 7. A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: "Compre tudo e pague em 12 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses.” Se a taxa de financiamento é de 4,5% a.m., qual é o valor da prestação de um refrigerador cujo preço à vista é de $ 3.500,00?

[R: $ 419,15] 8. Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alternativas: a) pagamento à vista de $ 2.300,00; b) pagamento de 8 prestações mensais de $ 431,11; c) pagamento de 4 prestações mensais de $ 965,75, sendo a primeira paga daqui a 4 meses; d) um único pagamento de $ 4.930,26 daqui a 8 meses. Do ponto de vista financeiro, qual plano é o melhor, considerando que a taxa de juros praticada é de 10% a.m.?

[R: Considerando os valores presentes dos planos de financiamento, verifica-se que as quatro alternativas são equivalentes]



a Júlia Nobre 49

9. Uma pessoa efetua um depósito inicial de $ 30.000,00 numa conta remunerada, e seqüencialmente mais 14 depósitos mensais iguais de $ 2.000,00 cada. Determinar quanto essa pessoa terá acumulado na data do último depósito, admitindo-se uma taxa de juros de 2% a.m.

[R: $71.532,24] 10. Uma pessoa depositou, anualmente, $ 500,00 numa conta de poupança, em nome de seu filho, a juros de 8% a.a.. O primeiro depósito foi feito no dia em que o filho completou 1 ano, e o

último por ocasião de seu 18 aniversário. O dinheiro ficou depositado até o dia em que o filho completou 21 anos, ocasião em que o montante foi sacado. Quanto recebeu o filho?

[R:$ 23.588,26] 11.Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00 daqui a um ano para realizar uma viagem. Para tanto, ela deposita mensalmente $ 1.250,00 em uma conta que remunera os depósitos a uma taxa de juros de 4% a.m.. Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem. (Considere que o primeiro depósito foi efetuado na abertura da conta).

[R: Não, acumulou somente $ 19.533,55] 12. O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com crediário, deseja estabelecer fatores (coeficientes) que serão aplicados ao preço à vista para cálculo da prestação mensal. Considerando a taxa de juros da empresa de 6,8% a.m., calcule estes fatores por unidade de capital, nos prazos 6 meses, 12 meses e 18 meses.

[R: f = 0,2085 (6 meses); f = 0,12456 (12 meses); f = 0,09798 (18 meses)] 13. Construir a tabela financeira dos coeficientes para cálculo das prestações por unidade de capital (ou seja R$ 1,00) de uma série uniforme postecipada, para as taxas de juros mensais de 3%, 5%, 7%, 10% e 12%, para prazos de até 5 meses. [R:

Coeficiente

No de meses 3 % a.m. 5% a.m.

7% a.m. 10% a.m. 12% a.m. 1 1,03000 1,05000 1,07000 1,10000 1,12000 2 0,52261 0,53780 0,55309 0,57619 0,59170 3 0,35353 0,36721 0,38105 0,40211 0,41635 4 0,26903 0,28201 0,29523 0,31547 0,32923 5 0,21835 0,23097 0,24389 0,26380 0,27741



a Júlia Nobre 50

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Os sistemas de amortização são desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. As planilhas de amortização permitem acompanhar os valores referentes aos desembolsos efetuados, juros pagos, amortizações efetuadas e saldos devedores em cada período. De uma maneira geral, os seguintes dados são apresentados nas planilhas: a) Juros: calculados sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior. b) Amortização: pagamento do principal (capital emprestado). c) Saldo Devedor: é o valor do principal da dívida, em determinado momento. d) Prestação: é composta pela amortização mais os encargos financeiros devidos.

osargencoutrosJurosoAmortizaçãestaçãoPr

Carência: é o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. A seguir são apresentados os sistemas de amortização mais utilizados: 1) SAF – Sistema de Amortização Francês Amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, estabelece que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas.

i.)i1(

1)i1(.PMTPV

n

n

tSD

i.)i1(

1)i1(.PMT

tn

tn

Tabela Price: variante do Sistema Francês, é caracterizado pelo uso da taxa nominal (geralmente anual), sendo que as prestações são calculadas com base na taxa proporcional ao período a que se refere a prestação (geralmente mensal). 2) SAC - Sistema de Amortização Constante Característica básica: as amortizações do principal são sempre constantes, em todo o prazo da

operação. Amortização = n

PV

Os juros são decrescentes, e as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em

progressão aritmética, sendo o valor periódico da redução de n

i.PV.

3) SAM - Sistema de Amortização Misto Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) e o sistema de amortização constante (SAC).



a Júlia Nobre 51

4) SAA – Sistema de Amortização Americano Neste sistema, o principal é restituído por meio de uma parcela única ao final da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum), ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado. Fundo de Amortização (Sinking Fund): Constitui um fundo no qual são acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo, de modo que, ao final do prazo, o montante do fundo seja igual ao valor do empréstimo.

EXERCÍCIOS ENVOLVENDO SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 1. Um empréstimo de $ 200.000,00 será pago pelo Sistema Francês de Amortização (SAF) em 6 prestações mensais postecipadas, sem período de carência. Construir a planilha de amortização, considerando-se que a taxa de juros contratada é de 2,5% a.m. 2. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de $ 350.000,00, nas seguintes condições de amortização: 1°Mês: $70.000,00; 2°Mês: $50.000,00; 3°Mês: $80.000,00; 4°Mês: $60.000,00 e 5°Mês: $90.000,00 (Sistema de amortização variável). Sendo de 4% a.m. a taxa corrente de juros, determinar o valor dos desembolsos mensais (amortização e juros) que devem ser efetuados caso o negócio seja realizado nestas condições. 3. Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para ser liquidado em 4 pagamentos mensais pelo Sistema de Amortização Francês (SAF). Sendo a operação realizada com uma taxa de juros de 5% a.m., elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento nas seguintes condições: a) Sem carência. b) Carência de 3 meses, sendo somente os juros pagos nesse período. c) Carência de 3 meses, sendo os juros capitalizados no período de carência. 4. O banco Caravaggio emprestou $ 200.000,00 à taxa de 9% ao semestre pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Construir a planilha de desembolso, considerando as prestações semestrais, e o prazo total para a amortização do financiamento de 2 anos. 5. Um financiamento para capital de giro no valor de $ 15.000,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 anos, à taxa de 8% a.a. Sabendo-se que será adotado o Sistema Americano de amortização (SAA) e que o pagamento dos juros será efetuado no prazo de liquidação do financiamento, calcule os valores de desembolso anual. Determinar os depósitos anuais para constituição de um fundo de amortização ("sinking fund"), considerando uma taxa de aplicação de 6% ao ano. 6. Um financiamento de $ 160.000,00 pode ser amortizado pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), SAF (Sistema de Amortização Francês) e SAM (Sistema de Amortização Misto). Considerar um prazo de 5 meses e taxa de juros de 3% ao mês. Elaborar a planilha financeira deste financiamento. 7. Um financiamento de $10.000,00 será pago pela Tabela Price em 5 parcelas mensais à taxa

nominal de 12% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular a amortização do 4mês e o saldo devedor logo após o pagamento da 3ª prestação.



a Júlia Nobre 52

8. Um empréstimo no valor de $ 80.000,00 será liquidado pelo sistema de amortização constante (SAC) em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 4% a.m.. Determinar: o valor de cada amortização mensal;

o valor dos juros e da prestação referentes ao 22 pagamento; o valor da última prestação; o valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10ª prestação. 9. Um financiamento no valor de $ 900.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo sistema francês (SAF). Sendo a taxa de juros contratada de 2,8%a.m., determinar: o valor de cada prestação mensal;

o valor da amortização e dos juros referentes ao 19 mês. 10. Considere um financiamento no valor de $ 100.000,00 a ser pago em 5 meses, pelo Sistema de Amortização Francês (SAF), à taxa real de 6% a.m.. mais IGPM. Construir a planilha de

amortização, com e sem atualização monetária. Considere os seguintes valores de IGPM: 1 mês:

2,1%- 2 mês: 3,8% - 3 mês: 4,7% - 4 mês: 3,4% - 5 mês: 2,5%. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

1. Planilha de amortização SAF: (Taxa de juros: 2,5% a.m.)

Período (mês)

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mensal

0 200.000,00 0,00 0,00 0,00

1 168.690,01 31.309,99 5.000,00 36.309,99

2 136.597,26 32.092,74 4.217,25 36.309,99

3 103.702,20 32.895,06 3.414,93 36.309,99

4 69.984,76 33.717,44 2.592,56 36.309,99

5 35.424,39 34.560,38 1.749,62 36.309,99

6 0,00 35.424,38 885,61 36.309,99

Total 200.000,00 17.859,97 217.859,97

2. Planilha de amortização (Sistema de amortização variável): (Taxa de juros: 4% a.m.)

Período (mês)


0 350.000,00 0,00 0,00 0,00

1 280.000,00 70.000,00 14.000,00 84.000,00

2 230.000,00 50.000,00 11.200,00 61.200,00

3 150.000,00 80.000,00 9.200,00 89.200,00

4 90.000,00 60.000,00 6.000,00 66.000,00

5 0,00 90.000,00 3.600,00 93.600,00

Total 350.000,00 44.000,00 394.000,00



a Júlia Nobre 53

3. Planilha de amortização (SAF) a) Sem carência Financiamento de 660.000,00, 5% a.m., 4 prestações mensais.

Período (mês)


0 660.000,00 0,00 0,00 0,00

1 506.872,19 153.127,81 33.000,00 186.127,81

2 346.087,99 160.784,20 25.343,61 186.127,81

3 177.264,58 168.823,41 17.304,40 186.127,81

4 0,00 177.264,58 8.863,23 186.127,81

Total 660.000,00 84.511,24 744.511,24

b) Carência de 3 meses - pagamento dos juros no período de carência

Período (mês)


0 660.000,00 0,00 0,00 0,00

1 660.000,00 0,00 33.000,00 33.000,00

2 660.000,00 0,00 33.000,00 33.000,00

3 506.872,19 153.127,81 33.000,00 186.127,81

4 346.087,99 160.784,20 25.343,61 186.127,81

5 177.264,58 168.823,41 17.304,40 186.127,81

6 0,00 177.264,58 8.863,23 186.127,81

Total 660.000,00 84.511,24 744.511,24

c) Carência de 3 meses - capitalização dos juros no período de carência

Período (mês)


0 660.000,00 0,00 0,00 0,00

1 693.000,00 0,00 33.000,00 0,00

2 727.650,00 0,00 34.650,00 0,00

3 558.826,59 168.823,41 36.382,50 205.205,91

4 381.562,01 177.264,58 27.941,33 205.205,91

5 195.434,20 186.127,81 19.078,10 205.205,91

0,00 195.434,20 9.771,71 205.205,91

Total 727.650,00 93.173,64 820.823,64

4. Planilha de desembolso: SAC; 2 anos, prestações semestrais, taxa de 9% a.s.

Período (semestre)


0 200.000,00 0,00

1 150.000,00 50.000,00 18.000,00 68.000,00

2 100.000,00 50.000,00 13.500,00 63.500,00

3 50.000,00 50.000,00 9.000,00 59.000,00

4 0,00 50.000,00 4.500,00 54.500,00

Total 200.000,00 45.000,00 245.000,00



a Júlia Nobre 54

5. Planilha de amortização (Sistema de amortização americano SAA): Pagamento dos juros na data da liquidação:

Período (ano)

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação anual

0 15.000,00 0,00 0,00 0,00

1 16.200,00 1.200,00 0,00

2 17.496,00 1.296,00 0,00

3 18.895,68 1.399,68 0,00

4 0,00 18.895,68 1.511,65 20.407,33

Total 18.895,68 1.511,65 20.407,33

Exercício anterior: Fundo de amortização (para FV = 15.000,00) Valores dos depósitos do fundo de amortização: PMT = 3.428,87 (i = 6 %a.a.)

6. a) Planilha de desembolsos pelo SAC

Financiamento = 160.000,00, taxa 3% a.m., prazo de 5 meses.

Período (mês)


0 160.000,00 0,00 0,00 0,00

1 128.000,00 32.000,00 4.800,00 36.800,00

2 96.000,00 32.000,00 3.840,00 35.840,00

3 64.000,00 32.000,00 2.880,00 34.880,00

4 32.000,00 32.000,00 1.920,00 33.920,00

5 0,00 32.000,00 960,00 32.960,00

Total 160.000,00 14.400,00 174.400,00

b) Planilha de desembolsos pelo SAF

Período (mês)


0 160.000,00 0,00

1 129.863,27 30.136,73 4.800,00 34.936,73

2 98.822,44 31.040,83 3.895,90 34.936,73

3 66.850,38 31.972,06 2.964,67 34.936,73

4 33.919,16 32.931,22 2.005,51 34.936,73

5 0,00 33.919,16 1.017,57 34.936,73

Total 160.000,00 14.683,66 174.683,66



a Júlia Nobre 55

c) Planilha de desembolsos pelo SAM: 3

sacsaf

SAM

PPP

Período

(mês)

Saldo Devedor

Amortização Juros Prestação mensal

Prest- SAC

Prest SAF Prest SAM

0 160.000,00 0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

1 128.931,64 31.068,37 4.800,00 36.800,00

34.936,73 35.868,37 2 97.411,22 31.520,42 3.867,95

35.840,00 34.936,73

35.388,37

3 65.425,19 31.986,03 2.922,34 34.880,00

34.936,73 34.908,37

4 32.959,58 32.465,61 1.962,76 33.920,00

34.936,73 34.428,37

5 0,00 32.959,58 988,79 32.960,00

34.936,73 33.948,37

Total 160.000,24 14.541,84 174.541,85

7. a) $ 2.180,00 e b) $ 1.492,00 8. a) $ 2.000,00, b) $ 1.520,00 e $ 3.520,00, c) $ 2.080,00 e d) $ 60.000,00 9. a) $ 44.738,10 e b) $ 32.118,70 e $ 12.619,20 10. a) Planilha de Amortização – SAF (Taxa de juros de 6,0% a.m.)

Período

(mês)

Saldo Devedor

Amortização Juros Saldo Devedor

Atualizado

Prestação mensal

0 100.000,00 0,00 0,00 - 0,00

1 82.260,36 17.739,64 6.000,00

- 23.739,64

2 63.456,34 18.804,02 4.935,62

- 23.739,64

3 43.524,08 19.932,26 3.807,38

- 23.739,64

4 22.395,89 21.128,20 2.611,44

- 23.739,64

5 0,00 22.395,89 1.343,75

- 23.739,64

Total 100.000,00 18.824,19

- 118.698,20

b) Planilha de amortização SAF: (Taxa de juros: 6,0% a.m. + IGPM)

Período

(mês)

Saldo Devedor

Amortização Juros Saldo Devedor

Atualizado

Prestação mensal

0 100.000,00 0,00 0,00 0,00

1 84.486,36 17.613,64 6.126,00

(102.100,00)

23.739,64

2 69.219,01 18.477,83 5.261,81

(87.696,84) 23.739,64

3 53.081,00 19.391,30 4.348,34

(72.472,31) 23.739,64

4 34.439,26 20.446,49 3.293,15

(54.885,76) 23.739,64

5 13.678,62 21.621,63 2.118,01

(35.300,25) 23.739,64

Total 97.550,89 21.147,31

118.698,20



a Júlia Nobre 56

INTRODUÇÃO AO USO DA CALCULADORA HP-12C 1) O TECLADO

A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função

primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior da tecla. As funções alternativas de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em amarelo e pelos caracteres impressos em azul.

Para acionarmos tais funções, devemos previamente pressionar a tecla de

prefixo f para a função amarela ou a tecla de prefixo g para a função azul.

Se as teclas f e g forem pressionadas por engano, elas podem ser canceladas

pressionando-se f CLEAR PREFIX.

2) INTRODUÇÃO DE NÚMEROS

Para introduzirmos um número na calculadora pressione as teclas dos dígitos em seqüência, tal como se você estivesse escrevendo num papel. A tecla do ponto decimal deverá ser pressionada se o número possuir dígitos na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto decimal é desnecessário. Para introduzirmos um número negativo, digitamos o número sem o sinal e a seguir

pressionamos a tecla CHS (Change Sign). Se a tecla CHS for pressionada novamente o número

ficará positivo. 3) INTRODUÇÃO DE NÚMEROS NA “NOTAÇÃO CIENTÍFICA”

O visor da HP-12C não comporta números com mais de 10 dígitos. Números com mais de 10 dígitos deverão ser escritos na “notação científica”, produto de um número por uma potência do

número dez. Esses números serão armazenados fazendo uso da tecla EEX (ENTER

EXPONENT). EXEMPLOS: A) 1.953.000.000.000 = 1,953.1012 PRESSIONE VISOR

1.953 EEX 12 1.953 12

B) 0,0003 = 3.10-4 PRESSIONE VISOR

3 EEX 4 CHS 3. -04

Obs: É óbvio que números com menos de 10 dígitos também poderão ser introduzidos na calculadora usando a notação científica. 4) AS TECLAS “CLEAR”: Apagar um registrador ou o visor é a operação que substitui seus conteúdos originais por zero. Ao se apagar a memória de programação, substitui-se todas as instruções nela armazenadas por

g GTO 00 .



a Júlia Nobre 57

As funções para apagar são as seguintes:

TECLA

APAGA

CLx

O número que aparece no visor.

f CLEAR

Os registradores estatísticos (R1 a R6), os registradoras da pilha operacional e o visor.

f CLEAR FIN

Os registradores financeiros.

f CLEAR REG

Os registradores de armazenamento de dados, os registradores

financeiros, os registradores da pilha operacional, o último x LSTx

e o visor.

f CLEAR PRGM

A memória de programação, somente se pressionadas no modo PRGM.

5) CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES: A operação entre dois números é feita informando à calculadora quais são os dois números e então qual a operação a ser realizada. Em resumo, devemos seguir os seguintes passos:

1. Introduzimos o primeiro número.

2. Pressionamos ENTER para separar o segundo número do primeiro, ou ainda,

para encerrarmos a introdução de dígitos do primeiro número. 3. Introduzimos o segundo número.

4. Pressionamos + , - , x ou para realizarmos a operação desejada.

A tecla ENTER serve para encerrar a introdução de dígitos do primeiro número. Não há

necessidade de pressionar ENTER após o segundo número porque quando pressionamos as

teclas + , - , x , também encerramos a introdução de dígitos. Na verdade, todas as teclas

encerram a introdução de dígitos, com exceção das teclas . CHS EEX f g STO RCL e

GTO.

6) A PILHA OPERACIONAL A HP-12C dispõe de quatro registradores temporários (X, Y, Z, T) que formam a chamada pilha operacional e que pode ser representada através do seguinte diagrama:

T

Z

Y

X



a Júlia Nobre 58

É importante observar que: a) O registrador X é aquele cujo conteúdo está aparecendo no visor. b) Todas as operações aritméticas são efetuadas com os conteúdos dos registradores Y e X. c) Os conteúdos dos registradores sobem a pilha operacional toda vez que os valores são

introduzidos na calculadora através da tecla ENTER .

d) Os conteúdos dos registradores descem a pilha operacional quando são efetuadas operações

aritméticas através das teclas + , - , x , .

e) A tecla R quando acionada mostra sucessivamente o conteúdo dos registradores Y, Z , T ,

X.

f) A tecla X >< Y permuta os conteúdos dos registradores X e Y mantendo o conteúdo dos

registradores Z e T inalterados.

7) A TECLA ENTER

Quando um número é digitado ocupa, imediatamente, a memória X, que é a única memória cujo conteúdo aparece no visor.

Ao se acionar a tecla ENTER são desencadeadas as seguintes transferências de valores entre

os registradores da pilha operacional: a) O conteúdo de X (visor) é transferido para Y e mantido em X. b) O conteúdo de Y é transferido para Z. c) O conteúdo de Z é transferido para T. d) O conteúdo de T é perdido.

EXEMPLOS A) 15 – 3 – 2 + 5 = 16 SOLUÇÃO:

15 ENTER 3 - 2 - 6 +

B) ( 5 + 2 + 4 ) . 7 = 11 . 7 = 77 SOLUÇÃO:

5 ENTER 2 + 4 + 7

C) (3 x 4 ) + ( 5 x 6 ) = 12 + 30 = 42 SOLUÇÃO:

3 ENTER 4

5 ENTER 6

+



a Júlia Nobre 59

D) A HP-12 C comporta até 3 números além do armazenado no visor. ( 3 x 4 ) + ( 5 x 2 ) + (4 x 5 ) + 7 = 12 +10 + 20 + 7 = 12 + 10 + 27 = 12 + 37 = 49 SOLUÇÃO:

3 ENTER 4

5 ENTER 2

4 ENTER 5

7 + + +

E) 5 = 5 = 0,125 3 + 16 + 21 40 SOLUÇÃO:

5 ENTER

3 ENTER

16

+

21

+

8) AS TECLAS Δ% e %T A tecla Δ% serve para calcular a variação percentual entre dois valores. Para o cálculo, introduz-se, primeiramente, o valor antigo e, depois, o novo valor e pressiona-se a tecla Δ%. A tecla %T serve para calcular distribuição percentual. Para o cálculo, introduz-se, primeiramente, o valor total e depois o valor para o qual se deseja encontrar a parte percentual, pressionando, a seguir, a tecla %T. Este procedimento deve ser repetido para cada valor que se deseja encontrar a parte percentual no total. EXEMPLOS A) Calcular a variação percentual entre os preços R$ 15,00 (antigo) e R$ 18,00 (novo). SOLUÇÃO:

15 ENTER

18 Δ% Visor 20,00 Acréscimo de 20%.



a Júlia Nobre 60

B) Calcular a variação percentual entre os preços R$ 18,00 (antigo) e R$ 15,00 (novo). SOLUÇÃO:

18 ENTER

15 Δ% Visor -16,67 Decréscimo de 16,67%. C) Calcular a distribuição percentual das aplicações de um investidor sabendo que o valor investido em ações é R$ 2.000,00; em renda fixa é R$ 3.000,00 e na poupança é R$ 4.000,00. SOLUÇÃO:

9000 ENTER

2000 %T Visor 22,22

9000 ENTER

3000 %T Visor 33,33

9000 ENTER

4000 %T Visor 44,44 O investidor aplica em ações 22,22% do valor total, em renda fixa 33,33% do valor total e em poupança 44,44% do valor total. 9) O NÚMERO DE CASAS DECIMAIS:

A tecla amarela f é a que determina o número de casas decimais que aparecerá no visor.

Para isso, basta que se pressione a tecla f e a seguir o número de casas decimais desejadas (0

a 9).

A seqüência de teclas tecla f . apresentará o número na notação científica.

Independente do número de casas decimais representadas no visor, a HP-12C trabalha sempre com números de 10 dígitos. 10) REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO: Nos registradores da pilha operacional, utilizados para armazenar números durante os cálculos

e, também, num outro registrador chamado LAST X, usado para armazenar o último número

contido no visor antes de realizar uma operação, os números são armazenados automaticamente. Além destes acham-se disponíveis 25 registradores para o armazenamento manual de números. Tais registradores são designados por R0 a R9 , R.0 a R.9, n , i , PV , PMT e FV. 11) ARMAZENAMENTO E RECUPERAÇÃO DE NÚMEROS: Para armazenar um número contido no visor num registrador de armazenamento:



a Júlia Nobre 61

1. Pressione STO (store).

2. Introduza o número registrador de 0 a 9 para os registradores R0 a R9 ou .0 a .9 para os

registradores R.0 a R.9 ou pressione as teclas n i PV PMT FV para os registradores

financeiros.

De maneira semelhante, para recuperar um número de um registrador pressione RCL

(recall) e então introduza o número ou o nome do registrador. Isto fará com que o número contido no registrador especificado seja copiado no visor, entretanto, o conteúdo do registrador permanecerá inalterado. Além disso, quando esta operação é realizada, o número anteriormente contido no visor é automaticamente mantido dentro da calculadora para um cálculo posterior. Da mesma maneira que o conteúdo do visor é mantido quando é introduzido um novo número.

12) ARITMÉTICA COM OS REGISTRADORES R0 a R4

Os registradores R0 a R4 permitem realizar uma operação aritmética entre um número no visor e o número contido num desses registradores. A seqüência é:

1. Se o número não estiver no visor você deverá digitá-lo ou calculá-lo.

2. Pressione STO.

3. Pressione + , - , x , para especificar a operação desejada.

4. Introduza o número do registrador.

EXEMPLOS

A) O registrador 1 (R1) contém o número 7.

a) Queremos multiplicar seu conteúdo por 3.

SOLUÇÃO: 3 STO x 1

b) Queremos somar 5 ao seu conteúdo.

SOLUÇÃO: 5 STO + 1

c) Queremos dividir o conteúdo por 2.

SOLUÇÃO: 2 STO 1

d) Queremos subtrair 4 do conteúdo.

SOLUÇÃO: 4 STO - 1

B) ( 3 x 2 ) + ( 8 x 7 ) = 2,07 ( 2 x 15 ) SOLUÇÃO:

3 ENTER 2 x STO 0

8 ENTER 7 x STO + 0

2 ENTER 15 x STO 0

RCL 0



a Júlia Nobre 62

13) CÁLCULO DO NÚMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS EXEMPLO

Quantos dias há entre 01 de Fevereiro de 2008 e 31 de Agosto de 2008. SOLUÇÃO: 1a forma: Com a calculadora no modo M.DY (Month.DayYear ou Mês.DiaAno).

Antes de efetuar os cálculos tecle: g M. DY Agora, o visor da sua HP-12C deve mostrar somente 0,00

ponto Introduza a primeira data: 02.012008 ENTER Introduza a segunda data: 08.312008

Por último tecle: g ∆DYS Visor 212 Diferença de dias entre as datas = 212 dias. 2a forma: Com a calculadora no modo D.MY (Day.MonthYear ou Dia.MêsAno).

Antes de efetuar os cálculos tecle: g D.MY Agora, o visor da sua HP-12C deve mostrar 0,00 e abaixo o indicador de estado D.MY ponto Introduza a primeira data: 01.022008 ENTER Introduza a segunda data: 31.082008

Por último tecle: g ∆DYS Visor 212 Diferença de dias entre as datas = 212 dias.

APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA UNIÍTALO 2011-PROFa LIANA GUIMARÃES

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