APOSTILA DE MATEMÁTICA - IMPACTO

5/14/2018 APOSTILA DE MATEMÁTICA - IMPACTO - slidepdf.com

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Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4

4 16 26 34

18 28 366

10 20 28 38

12 22 30 40

14 24 32 40

Toria dosConjuntos

Rlaçõs Métricas noTriângulo Rtângulo

PontoRta Plano

Matriz: concito,igualdad opraçõs

RlaçõsTrigonométricas noTriângulo Rtângulo

Prímtro ra dguras planas

Matriz: opraçõs aplicaçõs

Opraçõscom Conjuntos

ConjuntosNuméricos

Arcos - Ângulos comprimnto d arcos

Prímtro ra dguras planas

Dtrminants:concito rsolução

NúmrosComplxos

Rlaçõs trigométricasfundamntais naCircunfrência

Polígonos rgularsno cotidiano

Sistmas Linars(conceito e classicação)

Opraçõs ntrNúmros Complxos

Rlaçõs trigométricas- IdntidadsTrigonométricas

Congruências smlhanças dguras planas

Sistmas Linars(conceito e classicação)

F i c h a 1

F i c h a 2

F i c h a 3

F i c h a 4

F i c h a 5


http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-matematica-impacto 2/404 www.portalimpacto.com.br n MATeMáTICA

I ntuitivamnt, associamos à idéia d conjunto as d grupo, colção ou clas-s , à idéia d lmnto, os objtos ou “coisas” qu constitum o conjunto.Vamos aqui comçar a visualizar sss lmntos qu constitum conjuntos,

obsrvando situaçõs qu stão prsnts m nosso dia-a-dia.

Toria dos

CONJUNTOS 2. Nomeando

1. Diagrama

O qUe é Um CONJUNTO?

n Rprsntamos um conjunto poruma ltra maiúscula noaos sus lmntos ntr chavs.

Exemplo:

V= {a, e, i, o, u}

n Não existe uma denição de conjunto,

mas xist uma idéia d qu st associadaà colção d objtos, runião ou grupo dpssoas,tc.

Coo u s rprsnta u conjunto?Um conjunto pod sr rprsntado d vriasmaniras, ntr as quais três são mais usuais:

Rprsntamos um conjunto por diagramas (cur-vas fechadas) e no seu interior colocamos seus ele-mntos.

3. Propriedade característica

n Representamos um conjunto por meio de uma propriedade caracte-rística de seus elementos, sem no-meá-los

Exemplo:

V= {voais do alfabeto}

ou

V= {x/x é voal}

n A maneira de representar umconjunto não é importante. O queimporta é que que evidente o conjunto e os elementos que queremosrepresentar.

n A propósito, entre um elemeto x qualquer e um couto A qualquer existem duas e somente duas possi-bilidades de relacioná-los.

1ª PossibilidadeO elemeto x é um dos elementosque constitui o couto A. Usandosímbolos:

X ∈ A → X pertence a A

2ª PossibilidadeO elemeto x não é um dos elemen-tos que constitui o couto A. Usan-do símbolos:

X ∉ A → X não pertence a A

Sendo o conjunto M:

podemos dizer que :

4 ∈ M

5 ∉ M

dóD

V

fásol

lá

ré

misí

Con junto de carros

Con junto de casas

Con junto de árv ores

Con junto de pessoas

a

ue o

i

n Um conjunto qualqur é forma-do por lmntos. Da msma for-ma qu conjuntos, lmntos sãonts matmticos primitivos, por-tanto sem denição.

4, 7, 9,11, 13

M

F r e n t e F i c h a

0 1

0 1


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4. Conjunto vazio

5. Subconjunto

1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analo-gamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los:2. Consideremos o couto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos for-mar o couto H, de todos oadores da Seleção, e o couto M, de toda a comissão técica.3. Dizemos que os coutos H e M são Subconjuntos de B.4. Se um subcouto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira,dizemos que T ão é subcouto de B.

n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que nãopossui elementos?

∅ ou { }

Cuidado: {∅} ≠ ∅

n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezesnão possui elementos.

n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina...

A B

U

6. Conjunto Universo

n O conjunto Universo de um estudo éaquele ao qual pertencem todos os elemen-tos desse estudo. Gracamente, o Universoserá representado por um retângulo envol-vendo os outros conjuntos.

Idicamos esses fatos por:

H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”)M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”)

T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”)

Propriedades importates:P1. O conjunto vazio é subconjunto de qual-quer conjunto.P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

A ⊂ B e B ⊂ A etão A = B

+



2. A = {a, b, c, d}B = {c, d, e, f}

Resp. A - B = {a, b}

3. A = {2, 4, 6, 8, 10}B = {2, 4, 6}

Resp. A - B = {8, 10}

D ados os conjuntos A e B, quais-

quer, chama-se uião ou reu-

ião de A com B, ao conjunto

formado pelos elementos que perten-

cem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B”

Opraçs co

C O N J U N T O S

Portanto:

Exemplos:

A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}

Utilizando diagramas temos:

Observe nos diagramas a seguir que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A

Note nos diagramas como cará aunião de dois conjuntos disjuntos:

a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8},então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8}

b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, en-tão: A ∪ B = {0, 2, 6, 8}

c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, en-tão: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Intersecção entre conjuntos

Diferença entre conjuntos

União entre conjutos

n Dados dois conjuntos A e B, chama-mos Diferença A – B ao conjunto forma-do pelos elementos de que pertencema A e não pertencem a B.

A - B = { x / x ∈ A e x ∉B}

Os conjuntos A e B, vamos efetuar a di-ferença A - B. A região assinalada nosdiagramas representa a diferença.

1. A = {1, 2, 3, 4}B = {7, 8, 9}

Resp. A - B = A

A B

A

B

A

8 9

7

1 3

2

4

B

A

a e

b f

B

c

d

A

8

64

2

10B

Itersecçãon Dados dois conjuntos A e B chama-se Intersecção entre A e B ao conjuntoformado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que per-tencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}

n Diagramas de Venn representativosda intersecção entre A e B:

A B

A B

A B

B A

Observação: Dois conjuntos sãodisjuntos quando não possuem ele-mentos comuns, isto é, A ∩ B = ∅.


0 1

0 2



4. A = {8, -8, 6, -6}B = Ø

Resp. A - B = A

Complementar

Quando dois conjuntos A e B são taisque A ⊂ B, dá-se o nome de comple-mentar de A em B à diferença B – A.Observe o diagrama. A região assinala-da representa o complementar de A emB, que indicamos por

A ⊂ B ⇒ = B - A

Operações com intervalos

Considere os conjuntos A e B e analise cada uma

das operações:

1. Uião ou reuião:

2. Iterseção:

3. Difereça:

a

a

c

b

d

d

A B

a

c

c

b

d

b

a

a

c

b

d

c

A- B

+B A

A

- 8

- 8

6

6

Obsração:

quando nos rfrios ao coplntard u conjunto A rlação aoUnirso U, utiliaos siplsnt o

síbolo A’ ou A.

Intervalos

Podemos representar o conjunto dos números reais as-sociando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. Assim, se convencionarmos uma origem O, associandoa ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para estareta, teremos aquela que denominamos por Reta Real.

2

3-2 -1 20 1 2

p q p q

Intervalo fechado à direita

Números reais maiores que p e me-nores ou iguais a q.

Intervalo:] p, q]Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q}

Intervalo fechado à esquerda

Números reais maiores ou iguais p emenores que q.

Intervalo: [p, q[Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q}

p q p q

Exemplos:

1. A = {23, 24}B = {21, 22, 23, 24, 25}

2. A = {x / x é par positivo}

B = {x / x é inteiro positivo}

= {1, 3, 5, 7, 9,...}

Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contí-nuo de IR . Dados p e q reais (p < q), podemos denir os intervalos:

Intervalo fechado

Números reais maiores ou iguais ap ou menores ou iguais a q.

Intervalo: [p, q]Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q}

Intervalo aberto

Números reais maiores que p e me-nores que q.

Intervalo: ]p, q[Conjunto: {x ∈ IR p < x < q}

A∩B



É toda relação estabelecida entreconjuntos. Para isso utilizaremosos símbolos de iclusão.

⊂ Está Contido⊄ Não Está Contido⊃ Contém⊃ Não Contém

Rlação d

INCLUSÃO

Obsração:

é iportant não sucr ua Rlação d Inclusão s sráutiliada para rlacionar Conjuntoco Conjunto.

Exemplo:

No exemplo dado temos:

Exemplo:

Contextualizando com a Geografa

Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4,5}, temos:

Então, observe que nesse caso,todos os elementos do conjunto Atambém pertencem ao conjunto B.Logo, dizemos que A está contido emB, ou A é subconjunto de B, ou A éparte de B.

Indicamos que A está contido emB da seguinte maneira: A ⊂ B.

Se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A e indicar: B ⊃ A.

Considerando os conjuntos A= {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, obser-vamos que nem todos os elemen-tos de A pertencem a B.

Aania LgalAaonas, Acr, Rondnia, Roraia,

Aapá, Pará, Tocantins, maranhão

mato Grosso

Rgião NortAaonas, Acr, Rondnia, Roraia,

Aapá, Pará, Tocantins

Nesse caso, dizemos que A

não está contido em B e indica-mos: A ⊄ B.

Também podemos dizer que Bnão contém A e indicar: B ⊃ A

Todo conjunto é subconjunto de simesmo, isto é: A ⊂ A. E o ConjuntoVazio é subconjunto de qualquer conjunto, isto é, Ø ⊂ A, qualquer queseja o conjunto A.

Conjuntos Iguais

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é igual a B,se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ouseja, quando possuem os mesmoselementos, independentemente damaneira que apareçam escritos noconjunto.

Notação:

A = B

Lê-se: o couto A é iual aoCouto B.

Conjuntos das partes de um

conjunto

Consideremos o conjunto A = {3,5, 7}, vamos formar todos os seuspossíveis subconjuntos:

Sem elementosØ

conjunto vazio

Com um

elemento

{3}, {5}, {7}

Com doiselementos

{3, 5}, {3, 7},{5,7}

Com trêselementos

{3, 5, 7}

Denominamos conjunto das par-tes de um conjunto A, não-vazio, aoconjunto P(A) formado por todos ossubconjuntos do conjunto A.

P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7},{5, 7}, {3, 5, 7}}

B A.1 .2 .4

.5.3


0 1

2 . 1



+

Exemplos:

Operações com conjuntos

É importante observar queesses subconjuntos do conjun-to A são elementos do conjun-

to P(A). Então é correto armar que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A).

Obsração:

O nro d lntos doconjunto das parts d uconjunto d n lntos dadopor 2n. então:

n[P(A)] = 2n

1. Determine quantos elementostem o conjunto das partes de A,sabendo que A tem 4 elementos.

Resolução:

n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24

portanto n[P(A)] = 16 elementos

2. Determine o conjunto das par-tes do conjunto B = {1 , 3}.

Resolução: Não possua elementos ∅

Possua um elemento {1}, {3}Possua dois elementos {1, 3}

P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}}

3. Determine quantos elementostem o conjunto das partes de B,sabendo que B tem 2 elementos.

Resolução:n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22

portanto n[P(B)] = 4 elementos

Cometários:

Aplicações no dia-a-dia

n Vjamos ntão, como sria para s obtr o númro d lmntos da união d dois conjuntos.

n Vamos imaginar ntão dois grupos d xcutivos d uma mprsa, qu chamarmos d “A” “B”. Uma part dsss xcu-tivos stão dfndndo a proposta A, outra part a proposta B um númro dls qu acham qu ambas as propostas sãoboas. O diagrama a sguir rprsnta sta situação, na forma d dois conjuntos A B, a união A ∪ B pod sr rprsntadapela gura toda.

Sérgio José Rita Ruy João Beto



N úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nossodia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão pre-sentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo.

Neste Capítulo estudaremos a classicação dos números bem como os intervalos reais.

Conjuntos

NUméRICOSCOnjUnTO DOS núMEROS nATURAIS

COnjUnTO DOS núMEROS InTEIROS

COnjUnTO DOS núMEROS RACIOnAIS (Q)

É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos.

n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos.

É uma expansão do conjunto dos números naturais. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

N

Para excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamoso + (mais). Deste modo:Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos.Z

+= {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.

Z-= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.

Z*+

= {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos.Z*

-= {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos.

É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador não-nulo).

De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q

-, Q*

+e Q*

-

Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são:

A) nmeros iteirosTodo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos:

a)5 10 15

5

1 2 3

, portanto -5 ∈Q.

b)

0 0 0

0 1 2 3

, portanto 0 ∈Q.

c)7 14 21

7

1 2 3

, portanto 7 ∈ Q.

z z


0 1

0 3



B) Frações próprias, impróprias e meros mistosObserve os exemplos:

3 4 1a)

5 2 3, , 3 Q

C) nmeros decimais exatosNúmero decimal exato é aquele que apresenta um númeronito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos:

D) Dízimas periódicas simples e compostasDízimas são números decimais que apresentam innitascasas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quan-do, após a vírgula, apresentam repetição de um númeroinnitas vezes. Este número é chamado período. Observe

alguns exemplos:

, portanto. Esta dízima é chamada periódi-

ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos

a presença do período 2.

, portanto. Esta dízima é chamada periódica

composta, pois após a vírgula percebemos a presença donúmero 3 (pré-período) antes do período 2.

COnjUnTO DOS núMEROS IRRACIOnAIS (R - Q) OU I.

COnjUnTO DOS núMEROS REAIS (R)

núMEROS COMPLEXOS (C)

a) 0,20 =

b) 1,35 =

, portanto 0,2 ∈ Q

, portanto 1,35 ∈ Q

=

=

2

10

135

100

1

5

27

20

a) 0,222... =2

9

b) 0,322... =29

20

Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é,são números decimais que apresentam innitas casas deci-mais, porém não possuem período. São números que nãoresultam da divisão entre dois números inteiros.

Os números irracionais mais famosos são:

a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795...

b) O número de Euler.e = 2,78281828459045235360287471352

Podemos obter números irracionais extraindo raízes não-exatas como segue:

c)

d)

Chama-se número real a qualquer número racional ouirracional. Deste modo podemos dizer que o conjuntodos números reais é a união entre o conjunto dos nú-meros racionais e o conjunto dos números irracionais.R = Q ∪ IDe modo análogo ao proposto para os conjuntos dosnúmeros racionais, temos R*, R

+

, R-

, R*

+

e R*

-

.

O couto dos meros comple-xos é uma expansão do conjuntodos números reais e foi criado como surgimento da unidade imaginá-

ria i cujo valor é -1. Esta unidade

imaginária solucionou problemascomo o cálculo de raízes quadra-das de números negativos, veja:

-9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i

2 = 1,4142135623730950488016887242097...

2 = 1,7099759466766969893531088725439...3

Q

R Zn

R - Q

ORIgEM DOS núMEROS COMPLEXOS

Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimen-tos gerais para resolução de equações algébri-cas de terceiro e quarto grau.

+



Nros

COmPLeXOSN

enhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assi, a rai uadrada d u n-ro ngatio ua opração ipossíl. Coo lidar co sss nros, já u não xist? Cardano 1539dparou-s co ls ao tntar rsolr uaçs algbricas. Aparcra coo raís d uaçs por isso forachaados d nros. Cardano rsolu o ipass lidando co ls coo s foss nros rais. mas u

dsndou o istrio foi Gauss, criando ua unidad iaginária i cujo uadrado sria -1 dando aos nros uastrutura algbrica. Coo rsultado dssa dscobrta fundantal os nros coplxos prnchra todos os aios.Tornara-s os nros por xclncia, contndo si todos os dais. os nros “scond” as suas idntidads,somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato signifcado de um número depende do

contxto u stá insrido.

1. INTRODUÇÃO

Rsolva, m C, a quação do 2ºgrau.

UNIDADe ImAGINÁRIA (i)

2

22

a 1

x 4x 5 0 b 4

c 5

b 4.a.c

4.1.5( 4)

16 20

4

=

− + = = −=

∆ = −−

∆ = −

bx

2a( 4) 4

x2.1

4 4x

2

=

=

± −=

− − ± −

O conjunto dos númros complxos é formado por todos os númros da forma = a + b . i, vja:

C = { | = a + bi}, com a, b ∈ R

Ond:a é a part ral d

→ a = Re(z)

b é a part imaginria d

→ b = Im(z)

explo:

1. Identique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir:

a) 1 = -3 + 2i é chamado imaginrio

Solução:

a) = Re(z1) = -3b) = Im (z1) = 2

b) 3 = 7i é chamado imaginrio puro

Solução:a) = Re(z3) = 0b) = Im (z3) = 7

c) 4 = 5 é chamado ral

Solução:a) = Re(z4) = 5b) = Im (z4) = 0

O númro i é chamado unidadimaginria :

2i =

Cálculo de

-1 ou i = -1

-4

-4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i

4 2i

x 22.(2 i)

x2

x 2 i V {2 i, 2 i}

±

=±

=

= ± ⇒ = + −

i 1= −

2. CONJUNTO DOS COmPLeXOS

Obsraçs:

a) se b = 0, então z é realb) se b ≠ 0 , ntão z é imaginrioc) se a = 0 e b ≠ 0, ntão z é imaginrio

purod) todo número real é um complexo em

qu b = 0, portanto R ⊂ C .e) dizemos que a + bi é a forma algébri-

ca do númro complxo zf) podemos representar um número

complexo z = a + bi, pelo par ordena-do z = (a, b) , veja:

1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2)

2 = 5i → z2 = (0, 5) 3 = 4 → z3 = (4, 0)

+


0 1

0 4



Dois númros complxos 1 = a + bi 2 = c + di, sãoiguais s, somnt s, suas parts rais imaginrias sãoiguais rspctivamnt.

explo:Dtrmin os valors d x y m cada caso, d modo qu osnúmros complxos = 3x +yi w = 9 - 4i sjam iguais.

Solução:

Portanto para qu s tnha a igualdad proposta dvmostr x = 3 .

1 2z za c e b d

a bi c di=

= =+ = +

3x 9 e y 4

9x3

x 3

=

=

= = −

Dado um númro complxo = a + bi, chama-s conjugadod z, ao complxo

explo:Dtrmin o conjugado d cada númro complxo a sguir:

a) 1 - 5 + 2i b)

Solução: Solução:

Obsração: um complexo e seu conjugado possuem partesimaginárias simétricas

z a b i= −

3

4z i

3=

1z 5 2i 3

4

z i3

5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo5.2 Adição entre Complexos

5.3 Subtração entre Complexos5.4 Multiplicação entre Complexos

explo:Dados os complxos 1 = 1 - 2i 2 = -4 + i, dtrmin:

a) 3 . 1 b) - 2 . z2

Solução: Solução:3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i

Obsraçs:

a) Dado um número complexo z = a + bi , chama-se OPOSTO de z ao complexo-z = -a - bi.

explo:a) 1 + 2

Dados os complxos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine:

Solução:z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i b) 1 - 2

Solução:z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i

c) 1 . 2

Solução:z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i2 = 8 + 18z1 . z2 = 26

A trigotria osnros coplxos

É mais fácil trabalhar com uma funçãoexponencial do que com um cosseno.Então o truque todo é representar nos-sas funções oscilatórias como a parte

real de certas funções complexas. Ago-ra uma força assim, F = F 0 - cosωt, podeser escrita como a parte real de um nú-mero complexo F = F 0eiωt, poiseiωt = cosωt + isenωt

3. IGUALDADe eNTRe COmPLeXOS

4. CONJUGADO De Um COmPLeXO

5. OPeRAÇõeS eNTRe COmPLeXOS +



Opraçs ntr nros

COmPLeXOSDIvISÃO eNTRe COmPLeXOS

n Para ftuar a divisão por um númro complxomultiplicamos o numerador (dividendo) e o denomi-nador (divisor) pelo conjugado do denominador.

Obsração:a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju-

gado é igual ao ral a2 + b2.

Se z = 2 + 3i, então

explo:n Dados os complxos:z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine:

a)

Solução:

b)

Solução:

POTêNCIAS De in Vja algumas potências d i:

n

Por isto podemos armar que para n ≥ 4 tm-sin = ir, ond r é o rsto da divisão d n por 4.

exmplo:n Calcul as sguints potências d i:

a) i91

Solução:i91 = i3 = -i

z a bi= -

1

2

z

z

2z

3z

91 4-3- 22

O primiro a constatar anaturza stranha dsssnúmros foi Girolao Car-dano, (1501-1576), Cardanopublicou um tratado d l-gbra intitulado Ars Magna,ond aprsntou xmplosd númros complxos quchamou de “cticios”.

A rprsntação gométri-ca dos númros complxosfoi proposta por vrios au-tors, sndo o mais cita-do Jan Robrt Argand,guarda-livros suíço, qu a

descreveu em 1806

Um pouco de História+


0 1

0 5



RePReSeNTAÇÃO GRÁFICA De COmPLeXOS

n Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma de

par ordenado z = (a, b). Podemos representar z gracamenteno chamado PLANO De ARGAND-GAUSS, como sgu:

Ond:

XOY é o Plano d Argand-Gauss

OX é o eixo Ral

OY é o eixo Iaginário

O ponto P é dnominado Afxo ou Iag

GeOméTRICA De z

n A distância d O até P é chamado Módulo d zindicado por |z|

n O ângulo θ é chamado Argumnto ou Dirção d zindicado por arg(z) móDULO De Um COmPLeXO

n O módulo d um númro complxo = a + bi, é

dado por .

exmplo:

n Calcul o módulo d cada complxo a sguir:

a) Z1 = 4 + 3i Solução:

b) Z3 = -4 - i

Solução:

Obsraçs:

a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da“seta” que o representa gracamente.

b) O módulo de um número complexo é sempre umnúmro ral positivo.

2 24 3 16 9 25 5

Mas foi somente em 1831qu o grand matmti-co almão Carl FridrichGauss, (1777-1855), expôsa toria complta rlativa asss númros. Por isso, oplano complxo é muitasvzs chamado d planoArgand-Gauss.

2 24 3



Rlaçs tricas no triângulo

ReTÂNGULO1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO

2. ReLAÇõeS méTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO

eXemPLO (1)

n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:

BC

c

A

b

m n

a

h

Ond:

a é a hipotenusa (maior lado);

b c são os catetos (formam o ângulo reto);h é a altura relativa à hipotenusa; é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa;n é a projção ortogonal do catto c sobr a hipotnusa.

n No triângulo rtângulo ABC são vlidas as sguintsrlaçs tricas (entre as medidas mencionadas acima):

ReLAÇÃO 01 - Tora d Pitágoras: O quadrado da hipo-tnusa é igual à soma dos quadrados dos cattos.

a2 = b2 + c2

ReLAÇÃO 02 - O produto ntr a hipotnusa a altura rla-tia à hipotnusa é igual ao produto ntr os cattos.

a . h = b . c

ReLAÇÃO 03 - O uadrado d u catto é igual aoproduto ntr a hipotnusa a projção ortogonal do

catto sobr a hipotnusa.

b2 = a . c2 = a . n

ReLAÇÃO 04 - O uadrado da altura rlatia à hipotnu-sa é igual ao produto ntr as projçs ortogonais doscattos.

h2 = . n ReLAÇÃO 05 - A hipotnusa é igual à soa das projçsortogonais dos cattos.

a = + n

1. Dtrmin as mdidas a, h, n no triângulo rtân-gulo ABC a sguir:

ReSOLUÇÃO:

BC

4

A

3

a

h

n No triângulo rtângulo ABC a sguir, calcul a m-diada da projção ortogonal do catto AC sobr a hipo-tnusa.

eXemPLO (2)

CB

A

3

H5

12


0 2

0 1



Ond:

a é a hipotenusa (maior lado);b c são os catetos (formam o ângulo reto);B C são ângulos agudos complmntars, isto é, B + C = 90º;

3. PROPRIeDADeS

1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO

2. RAzõeS TRIGONOméTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO

n É aqul qupossui um ângulo

reto (90º). Dizemosqu o triângulo asguir é rtângulom A, vja:

n No triângulo rtângulo ABC são vlidas as sguintsrlaçs trigonotricas (ntr os lmntos mnciona-

das acima):RAzÃO 01 - Sno do ângulo B: é a razão ntr o cattooposto ao ângulo B a hipotnusa.

RAzÃO 02 - Cossno do ângulo B: é a razão ntr o cattoadjacnt ao ângulo B a hipotnusa.

RAzÃO 03 - Tangnt do ângulo B: é a razão ntr o cat-to oposto o catto adjacnt ao ângulo B.

De modo análogo podemos denir as razões seno, cosseno tangnt do ângulo agudo C.

CA

B

a

b

c

n Obsrv os valors d sno, cossno tangnt dos ângulosagudos B:

Para dois ângulos complmntars B C são vlidas as sguints pro-pridads:

Propridad 01: O sno d um ângulo é igual ao cossno d su com-plmntar.

snB = cos C ou sn C = cos B

Propridad 02: A tangnt d um ângulo é igual ao invrso da tan-gnt d su complmntar.

n Os valors d sno, cossno tangntdos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados natabla a sguir:

4. TABeLA

5. eXemPLO (3)

(UEPA) O mastro CD d um navio é prsoverticalmente por cabos de aço xo na proa(A) e na popa (B), conforme mostra a gura

a sguir. S o cabo BC mede 10 3 m então,

a altura do mastro é:

AB

C

30º

D



Rsolução do xplo 01.D acordo com a li dos snos,

Dssa forma:

Rlaçs trigonotricas no triângulo

ReTÂNGULOA LeI DOS SeNOS e DOS COSSeNOS

n As lis (Li dos snos Li dos cossnos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de me-didas d lados ângulos d triângulos quaisqur, isto é, d triângulos d “forma” arbitrria.

Li dos snos

n Para utilizarmos a li dos snos no clculo da mdida d um ou dois lados d um triangulo, prcisamos conhcr plo m-nos um dos lados o valor dos snos dos ângulos opostos aos lados dsconhcidos.

Vjamos:Dado o triangulo qualqur ABC abaixo,

A

c

a

b

A

C

B

B

C

30º

45º

6

a

Pla li dos snos, tmos:

a

sen A

b

sen B

c

sen C= =

A igualdad das razõs ntr cada um dos lados d um triângulo o sno do rspctivo ângulo oposto é chamada d li dos snos.

explo 1No triangulo abaixo dtrminar a mdida do lado a do triangulo abaixo.


0 2

0 2



LeI DOS COSSeNOS

A

C

B

b

c

a

A

C

B

n Para utilizarmos a li dos cossnos no clculo da mdida d um lado d um triangulo, prcisamos conhcr plo mnos ocossno d um dos ângulos o valor d dois dos lados do triangulo.

Vjamos:n Dado o triangulo qualqur ABC abaixo,

n Pla li dos cossnos, tmos:

ACos.c.b.2cba222 −+=

Ou ainda:

Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar.

A Li dos cossnos as diçs

“Um dtrminado ngnhiro prcisa fazr a mdi-çõs d um trrno ou d ruas na forma triangular.Um dos lados md 40 mtros, outro md 50 m-tros o ângulo formado por st dois lados é d 60°.Para ncontrar o valor do trciro lado é ncssriofazr uma nova mdição ou podmos simplsmntusar a li dos cossnos.

ACos.c.b.2cba222 −+=

CCos.b.a.2bac222 −+=

+

50

40

60º

B A

C

x



ARCOSÂngulos coprinto d arcos

1. ARCOS e ÂNGULOS

2. UNIDADeS De meDIDA De ARCOS (e ÂNGULOS)

3. ÂNGULOS NOTÁveIS

n Obsrv a circunfrência λ dcntro O raio R a sguir:

B

A

R

O

R

sentido padrão

n As smi-rtas OA OB dtrminam o ângulo cntral α o arco AB .n O ângulo cntral α é formado plas smi-rtas OA OB possui vértic nocntro O da circunfrência λ.n O arco AB é a part da circunfrência λ limitada plos pontos A B inclusiv.n O ângulo cntral α o arco AB possum a msma mdida, isto é, md α = AB.Not qu os arcos AB BA são difrnts.

n Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as guras a seguir, temos:

A E

B

C

D

AB = 90º

B

C

D

A E

AC = 180º

A E

B

C

D

AD = 270º

A E

B

C

D

AE = 360º

n Outra unidad d mdida d ar-cos ângulos é o radiano cujo com-primnto é igual ao d um raio dacircunfrência.

n Portanto, s o raio da circunfrência md 5 cm ntão o comprimnto d um arcod 1 radiano é igual a 5 cm.n Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quan-tidad d raios qu podmos colocar na msma, vja:

B

A

R

OR

1 radiano = 1 raio

R

R

R

R

R

R

0,28.R

1. circunferência = 6,28 rad1. circunferência = 2.3,14 rad1 circunfrência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º,ou , ou ainda, dividindo ambos os mmbros por 2,obtmos a rlação d transforação d graus pararadianos vic-vrsa:

180 - π rad

Graus 0º 30º 45º 60º 90º

Radianos 0 rad

n Os ângulos a sguir são muito utilizados m trigonomtria, por isto é muito útil conhcr suas rspctivas mdidas mradianos.


0 2

0 3



4. COmPRImeNTO De ARCO 5. COmPRImeNTO DA CIRCUNFeRêNCIA 6. ARCOS CôNGRUOS

7. CICLO TRIGONOméTRICO

n Sja uma circunfrência λ d raioR o arco AB dtrminado plo ân-gulo cntral α. O comprimnto l do

arco AB pod sr calculado por:

n O comprimnto C d uma circun-frência λ d raio R quival ao com-primnto do arco AB dtrminado plo

ângulo cntral α = 360º = 2π rad

n Dois arcos α β são côngru-os quando possum as msmasxtrmidads no ciclo trigono-

métrico difrnciando-s apnaspor um númro k d voltas k ∈ N, isto é:

β = α + 360º . k

β = α + 2 . k . π

Esta é a expressão geral dos arcoscôngruos.

n O ciclo trigonométrico é formado por uma circunfrência d raio unitrio R = 1 um sistma d ixos ortogonais utili-zado para rprsntar arcos AB

B

A

R

O

R

C

A B

O

R

l = α . Rx

Substituindo l = C α = 2π rad ml = α . R, obtmos: C = 2.π . R

Ond:n l é o comprimnto do arco dtr-minado por ;n R é o raio da circunferência;n α é o ângulo cntral qu dtr-mina o arco;n O comprimnto l o raio R d-vm tr a msma unidad.

Ond:n C é o comprimento da circunferência;n R é o raio da circunferência;n π ≅ 3,14,n O comprimnto C o raio R dvm tra msma unidad.

Ond:n O ponto A é a origem de marcação dos arcos;n O sntido horrio indica qu o arco é ngativo, assim como o anti-horrio indicaarcos positivos;n Os arcos podem apresentar mais de uma volta;n O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante;

30

45

60

150

135

120

300º240

315º225

330210

0º

360

180

90

270

0 A

Dado um arco β qualqur, cha-ma-s priira dtrinaçãopositia d β ao arco α côngruod β que é maior que 0º (0 rad)e menor que 360º (2π rad).

U pouco da histria da Trigonotria.

O signicado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentreos principais prcursors da Trigonomtria na antiguidad dstacam-s:Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado opai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc.II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais inuente,signicativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obracomposta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde cou conhe-cida ntr os rabs como o Almajsto

+



n Para dtrminarmos o sno, cossno tangnt d um arco x no ciclotrigonométrico é ncssrio conhcr os sguints ixos:n O ixo dos snos é o ixo vrtical qu passa plo cntro O da circunfrênciatrigonométrica o ixo dos cossnos é o ixo horizontal qu passa plo msmoponto.n O ixo das tangnts também é vrtical, porém passa plo ponto A da circun-frência, isto é, o ixo é tangnt à circunfrência no ponto A.

Ond:n x é um arco cuja origm é o ponto A a xtrmidad é o ponto P;n A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x;n A ordnada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x;n Prolongando-s o sgmnto OP obtém-s a tangnt d x, indicada por tgx.

Rlaçs trigotricas fundantais na

CIRCUNFeRêNCIA1. SeNO, COSSeNO e TANGeNTe De Um ARCO NO CICLO TRIGONOméTRICO

2. CRITéRIOS De POSITIvIDADe

x

A

1

1

P

– 1

– 1

tg

sen

coscos x

sen x

tg x

x

O

n Analisarmos os sinais do sno, cossno tangnt d arcos nos quatro quadrants do ciclo trigonométrico m busca dcritérios d positividad.

x

A

x

x

A

P

cos( –)

x

O

sen(+)

tg( –)

x

A

P

cos( –)x

O

sen( –)

tg(+)

x

A

P

cos(+)x

O

sen( –)

tg( –)

1º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x > 0 (positivo)tg x > 0 (positiva)

3º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x < 0 (negativo)tg x > 0 (positiva)

4º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x > 0 (positivo)tg x < 0 (negativa)

2º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x < 0 (negativo)tg x < 0 (negativa)


0 2

0 4



n essa anális pod sr rsuida nosguint sua:

S

T

U

C

U: todos são positios;S: o sno positio;T: a tangnt positia;C: o cossno positio.

grav a fras:USA SemPRe A TUA CABeÇA

x

A

1

1

P

– 1

– 1

tgsen

cos

cos 45º

sen 45º

tg 45º

x

O

0, 7

2

0,7

2

1

20,7

2

20,7

2

explo:

Lbr-s u:

3. vALOReS mÁXImOS e mÍNImOS

n Sja x um arco qualqur.Os valors d sno cossno d x são no mínimo -1 no mximo 1.

n A tangnt d x pod assumir qualqur valorreal, porém não existem as tangentes de 90º, 270ºe seus côngruos.

tg x ∈ R

90º

A

P

90º

O

tg

270º

A

P

270ºO

tg

A tangnt d um arco x xist para todo x difrntde 90º, de 270º e de seus côngruos.em símbolos:

0º 90º 180º 270º 360º

sn 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0não

xist0

nãoxist

0

Obsrv a tabla d valors a sguir:

Trigonotria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais grgos: tri (três), gonos (ân-gulos) e tron (medir). Daí vem seu signicado mais amplo: mdida dos Tri-ângulos, assim através do studo da Trigonomtria podmos calcular as mdidasdos elementos do triângulo (lados e ângulos).Com o uso d triângulos smlhants podos calcular distâncias inacssívis,como a altura d uma torr, a altura d ua pirâid, distância ntr duasilhas, o raio da trra, largura d u rio, ntr outras.

+

euador

N

S

P2

P1

∆λ

φ1

φ2




0 2

0 5

Rlaçs trigotricas - Idntidads

TRIGONOméTRICAS1. ReLAÇõeS TRIGONOméTRICAS.

2. ReLAÇÃO FUNDAmeNTAL DA TRIGONOmeTRIA

3. ReLAÇÃO AUXILIAR (1) 4. ReLAÇÃO AUXILIAR (2)

n A scant d u arco x (sec x) é oinvrso do cossno dst msmo arco vic-vrsa.

, com cos x ≠ 0

, com sc x ≠ 0

n A soma dos quadrados do sno cossno d um arcoqualquer é igual a 1 (um).

sn2x + cos2 x = 1

n A soma ntr o quadrado da cotangnt d um arco x aunidad é igual ao quadrado da cosscant do msmo arco.

cotg2x + 1 = cossc2 x

n A soma ntr o quadrado da tangnt d um arco x aunidad é igual ao quadrado da scant do msmo arco.

tg2x + 1 = sc2x

n Dividindo Ambos os mmbros da rlação fundantalda trigonotria sn2x + cos2x = 1 por cos2x, tmos:

n Dividindo Ambos os mmbros da rlação fundantalda trigonotria sn2x + cos2x = 1 por sn2x, tmos:

n A cosscant d u arco x (cossec x)é o invrso do sno dst msmo arco vic-vrsa.

, com sn x ≠ 0

, com sc x ≠ 0

n A cotangnt d u arco x (cotgx) é o inverso da tangente deste mesmoarco vic-vrsa..

, com tg x ≠ 0

, com cot x ≠ 0

Obsraçs:

a) A scant possui o so sinal do cossno;b) A cosscant possui o so sinal do sno;c) A cotangnt possui o so sinal da tangnt.

S

T

U

C

U: todos são positios;S: o sno positio;

T: a tangnt positia;C: o cossno positio.

grav a fras:USA SemPRe A TUA CABeÇA

x

– 1

cosx

senx 1



Obsração: 5. IDeNTIDADeS TRIGONOméTRICAS

n A tangnt d u arco x é iguala quocint ntr o sno o cossnodst msmo arco.

, co cosx ≠ 0

n A cotangnt d u arco x é igualao quocint ntr o cossno o snodst msmo arco.

, co snx ≠ 0

explo:

(UNEB) Se x pertence ao intervalo

tgx = 2 , ntão cosx val:

a) d)

b) e)

c)

ReSOLUÇÃO:n Como x é um arco do primiro qua-drant todas as razõs trigonométri-cas são positivas.

n Calculamos o cossno d x plarlação:

ALTeRNATIvA (D)

n Calculamos a scant d x pla R-lação Auxiliar 1:

n Idntidads Trigonométricas são igualdads nvolvndo as razõs trigonométri-cas, que são vericadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões:

explo:(UCDB) Para todo x ∈ R tal qu , k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 éigual a:

a) d) 2 senx

b) 1 + cosx e) senx + cosx

c) 1

ReSOLUÇÃO:

Como tg2x + 1 = sec2x, tmos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sc2x = cos2x .

ALTeRNATIvA (C)

engnharia

Trigonomtria é um instrumnto potnt dclculo, qu além d su uso na Matmtica,também é usado no estudo de fenômenos fí-sicos, eltricidad, Mcânica, Música, Topo-graa, Engenharia entre outro.

+



PONTORta Plano

1. NOÇõeS PRImITIvAS

2. POSIÇõeS ReLATIvAS eNTRe

3. ÂNGULOS eNTRe

n As noçõs primitivas m gomtria são o ponto, a rta o plano conhcidasintuitivamnt.

n Duas rtas

DUAS ReTAS

n Ângulo AOB cuja mdida é α;n

O ponto O é o rtic;n As smi-rtas OA OB são os lados;

ReTA e PLANO

DOIS PLANOS

n Ângulo Didro ou Didro é o ân-

gulo formado ntr dois planos comomostra a figura.

TeODOLITO

O teodolito é um instrumentoóptico de medida utilizado natopografia e na agrimensura pararealizar medidas de ângulos ver-ticais e horizontais

n Rta plano

n Dois planos

plano

αA

ponto

r

rta

r s r ≡s r s

A

Reta Contida

no Plano

Reta Secante

ao Pl ano

Reta Paralela

ao Plano

A

A

r r

B

Secantes ou

Concorrente

Paralelos Coincidentes

r

r

s O

A

B

A

r

+

Diedro

ângulo de elevação

posição do sol

Horizonte = 0º

Norte = 0º

ângulo horizontal


0 3

0 1



4. eSTUDO DOS ÂNGULOS

4.1. UNIDADe De meDIDA

n O grau é d uma circunfrência.

Obsraçs:a) Uma circunferência possui 360º;b) Um grau possui 60 minutos (60’);c) Um minuto possui 60 segundos (60’’).

4.2. TIPOS De ÂNGULOS.

4.3. BISSeTRIz De Um ÂNGULO

n É a smi-rta qu divid o ângulo ao mio.

4.6. ÂNGULOS FORmADOS POR DUAS PARALeLAS COR-TADAS POR UmA TRANSveRSAL.

4.4. ÂNGULO OPOSTO PeLO véRTICe

n Dois ângulos são opostos plo vértic (OPv) quando seuslados são smi-rtas opostas.

4.5. CLASSIFICAÇÃO

n Ângulos coplntars: dois ângulos α e β são comple-mntars s a soma ntr ls é igual a 90º.

α + β = 90º

n Ângulos suplntars: dois ângulos α e β são sumple-mentares se a soma entre eles é igual a 180º.

α + β = 180º

Obs: Ângulos OPV possum a msma mdida.

α = β

O transfridor é utiliza-

do para mdir ângulos.

1º = 60’1’ = 60’’1º = 3600’’

A smi-rta OM

é a bisstriz doângulo α

α β são ân-gulos opostosplo vértic.

Reto

90º =

Agudo

0º 90º< <

Obtuso

90º 180º< <

Raso ou de Meia Volta

180º =

Cheio ou de Uma Volta

360º=

2

20

M

0

g

cd

ba

s

r

t

h

ef

r / /sn É a smi-rta qudivid o ângulo aomio.

n Ângulos corrspon-dnts são aquls quocupam a msma po-sição um m cada umadas parallas.

n Ângulos cola-trais são aqulsqu s localizamdo msmo ladoda transvrsal.

n Ângulos altr-nos são aqulsqu s localizamm lados difrn-ts da transvrsal.

Possum a msmamdida.

Ângulos Correspondentes(possuem a mesma medida)

a ee

b e f

c eg

d eh

Ângulos Colaterais(são suplementares)

Internos

Externos

c e f

d ee

a eh

b eg

Ângulos Alternos(possuem a mesmamedida)

Internos

Externos

e ec

d e f

a eg

b e

h



PeRÍmeTROe área de fguras planas

1. PeRÍmeTRO

2. ÁReA De Um POLÍGONO

3. ReTÂNGULO

4. qUADRADO

6. TRIÂNGULOS CASOS eSPeCIAIS

5. TRIÂNGULO

7. TRIÂNGULO eqUILÁTeRO

n Prítro d um polígono éa soma d sus lados.

n Ára é o númro ral positivo qu rprsnta a suprfíci ocupada plopolígono.

n Parallograo

n O prímtro do contorno in-trno dsta TV m qu m sualargura temos 80 cm e em sua al-

tura temos 60 cm é de 280 cm. 80c

60c

b

h A = b . h

b

h

A = b . h

P = 2 . (b + h)

A = l2

P = 4 . l

l

l

ll

b

h

l

l

l

A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c)

a

c

b

A =b . h

2

Ond p =a + b + c

2

A =b . c . snα

2

c

α

b

OndA =

l2 . 3

4

P = 3 . l


0 3

0 2 - 0 3



Aplicações noCaderno de Exercícios

A = π . (R 2 - r2)

8. LOSANGO 9. TRAPézIO

10. CÍRCULO

D

d

OR

A = π . R 2

ond π = 3,14

C = 2. π . R ond π = 3,14

A =(B + b) . h

2

b

B

hA = D . d2

11. SeTOR CIRCULAR

SeTOR CIRCULAR

αR l

A =α . π . R 2

360ºα graus

ond l ocoprinto

do arco

A = l . R 2

Or

R

Prítro do pscoço aisprciso u ImC para dtctar

obsidad, di psuisa.

A mdida do prímtro do pscoço st ajudando médicos aprvr risco d obsidad, apnia do sono hiprtnsão tantom adultos quanto m crianças. Um trabalho publicado na r-vista “Pdiatrics” comprovou a ligação ntr um pscoço maislargo ocorrência d complicaçõs por xcsso d pso.Os médicos argumntam qu a mdida do pscoço é maisprecisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usa-do para classificar pso normal, sobrpso obsidad

+



POLÍGONOSrgulars no cotidiano

1. POLÍGONOS

2. POLÍGONOS ReGULAReS e NOmeNCLATURA

5. POLÍGONO ReGULAR INSCRITO

3. SOMA DOS ângULOS InTERnOS

4. ângULO InTERnO

n É mais comum do que se imagi-na encontramos polígonos regula-res no cotidiano, por exemplo:

n É todo polígono que possui lados e ulos coruetesetre si. O ome de um políoo reular será dado de acor-do com seu mero de lados.

n Todo polígono regular é inscritível, istoé, pode ser inscrito em uma circunferência.Na gura a seguir temos um triangulo, umquadrado e um hexágono regular de lado

l inscrito em uma circunferência de raio R.Observe que a circunferência passa por to-dos os vértices do polígono.

n A soma dos ângulos internos de um po-lígono regular de n lados é dada por:

Si = (n − 2).180º

n A medida de um ângulo interno de umpolígono regular de lados é dada por:

As abelhas utilizam-se do he-

xágono regular nas colméias.

Alguns modelos debolas de futeboltambém apresen-tam guras base-adas em polígo-nos regulares.

Triulo equilátero = 3

Quadrado = 4

Petáoo Reular = 5

Exáoo Reular = 6

Heptáoo Reular = 7

Octóoo Reular = 8

Eeáoo Reular = 9

Decáoo Reular = 10

Udecáoo Reular = 11

Dodecáoo Reular = 12

Petadecáoo Reular = 15

Icosáoo Reular = 20

Ai = =Si

n(n - 2) . 180º

n


0 3

0 4



4. POLÍGONO ReGULAR CIRCUNSCRITO

n Políoo circuscrito a uma circuferêcia é o que possui seus lados taetes à circuferêcia. Ao mesmotempo, dizemos que esta circunferência está iscrita o políoo.

+ Polígonos na ida cotidiana

Andando plas ruas d qualqur cidad do mundo podmos vr uma grandquantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito,um smforo ou uma faixa d pdstrs. Também m casa vmos numrosasformas poligonais nos objtos qu nos crcam: nos móvis, nos utnsílios dcozinha, nos pisos, nos formatos dos azuljos.



CONGRUêNCIASe semelhanças de fguras planas

1. SemeLHANÇAS

2. PROPRIeDADeS 3. CONGRUêNCIA

n Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os ladoscorrespondentes proporcionais.

n A razão entre os perímetrosde dois polígonos semelhantes éigual à constante de proporciona-lidade k.

n Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constantede proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados corres-pondentes são congruentes.

n Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos:

ABCD ≡ A’B’D’C’.

n Os ângulos correspondentes são congruentes:

A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’

n Os lados correspondentes são congruentes:

AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘

n A razão entre as áreas de doispolígonos semelhantes é igual aoquadrado da constante de propor-cionalidade k.

ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhanteao polígono A’B’D’C’ “)

n Os ângulos correspondentes são congruentes:

A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’

n Os lados correspondentes são proporcionais:

Onde k é uma constante de proporcionalidade chamadade razão de semelhança.

A

B

CD

A

B

CD

A’

B’

C’D’

A’

B’

C’D’

k = == =ABA’B’

BCB’C’

CDC’D’

DAD’A’

k ==AB + BC + CD + DA

A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’PP’

k 2=ÁReAÁReA’


0 3

0 5



+

Iual ao oriial

Na produção de um lme, na gravação de uma novela ou atémesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem seme-lhante à do ambiente natura.



mATRIzConcito, igualdad opraçs

eSTUDO De mATRIzeS


0 4

0 1



OPeRAÇõeS COm mATRIzeS+

n ADIÇÃO



mATRIzOpraçs aplicaçs

PROPRIeDADeS DA ADIÇÃO DA mATRIz

SUBTRAÇÃO

mULTIPLICAÇÃO De Um NúmeRO POR UmA mATRIz

n Podemos observar que a marca 1 o melhor desem-penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenhofoi da Amazônia Celular.

■ Defnição: A diferença entre duas matrizes de mes-ma ordem é dada pela soma da primeira com a opostada segunda, ou seja, A - B = A + (-B).


0 4

0 2



mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS

PROPRIeDADeS DA mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS

mATRIz INveRSA

+

n Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é cha-mada matriz singular.

Cotribuições das matrizes para a educação

n Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz res-peito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros compara-tivos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinadosobjetivos pedagógicos.nAs matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de me-dição de desempenho da instituição escolar.n No contato cotidiano com a informática, o aluno tambémse confrontará com as matrizes, e daí a importância deincentivar o contato e o entendimento desta matéria,pois a informática faz parte da realidade do aluno naatualidade.



DeTeRmINANTeSConcito Rsolução

DeTeRmINANTeS


0 4

0 3



PROPRIeDADeS DeTeRmINANTeS

+



SISTemASLineares (conceito e classifcação)

SISTemAS LINeAReS


0 4

0 4 - 0 5



SISTemAS HOmOGêNeOS

ReGRA De CRAmeR

Dado um sistma:

1º Calcula-s o dtA2º Calcula-s o dtrminant das varivis, substituindo-se os seus coecientes pelos termos independentes.3º Cada varivl é a razão ntr su dtrminant odeterminante dos coecientes.

SISTemAS LINeAReS NÃO qUADRADOS

+

nnnn33n22n11n

2nn2323222121

1nn1313212111

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

Adet

xdetx;

Adet

xdetx;

Adet

xdetx 3

3

2

2

1

1


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APOSTILA DE MATEMÁTICA - IMPACTO

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