Apostila de Raciocinio Logico Oficial Rpofessores

TURMA DISCIPLINA

PROFESSOR(A)RACIOCÍNIO LÓGICO ALEX MAGNO

CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000E-mail: "[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br

LÓGICA MATEMÁTICA

Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da matemática.

Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.

Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina associada à matemática.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos não vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

1

NESTA AULA ESTUDAREMOS

LÓGICA MATEMÁTICAARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOSLÓGICA DEDUTIVA E INDUTIVAPRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEMPERMUTAÇÃO | ARRANJOS E COMBINAÇÕESEXERCÍCIOS COMENTADOS | QUESTÕES DE CONCURSOS


LÓGICA MATEMÁTICAARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOSLÓGICA DEDUTIVA E INDUTIVAPRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEMPERMUTAÇÃO | ARRANJOS E COMBINAÇÕESEXERCÍCIOS COMENTADOS | QUESTÕES DE CONCURSOS

COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ


PROFESSOR ALEX MAGNO

Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das partes. A trama das relações entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas partes.

As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambigüidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema.

Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa.

Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.

Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência.

As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.

A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da informática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivos definidas previamente.

DEFINIÇÕES:

Neste roteiro, o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS.

Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira.

Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal."

ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.

Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." 2




Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro.

UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA

LÓGICA INDUTIVA : útil no estudo da teoria da probabilidade, não será abordada neste roteiro. LÓGICA DEDUTIVA : que pode ser dividida em :

LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas.

Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante.

LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal , deôntica, epistêmica , etc.

FATORIAL

INTRODUÇÃO

O produto fatorial vai nos auxiliar na solução de problemas de uma forma abreviada, será muito importante para compreensão de outros conteúdos também.

DEFINIÇÃO

Seja n um número natural, com n2, indicamos por n! como o produto de n pelos números naturais positivos menores que n, isto é:

Ex.:2! = 2.1 = 23! = 3.2.1 = 64! = 4.3.2.1 = 245! = 5.4.3.2.1 = 120

Também pode ser feito o seguinte desenvolvimento:10! = 10.9!15! = 15.14.13!20! = 20.19.18.17!

OBS.:

Ex.:3

n! = n.(n1).(n2)...1

Por convenção 1! = 1 e 0! = 1. Por convenção 1! = 1 e 0! =

1.




Simplifique os fatoriais:

a) 909.10

!8

!8.9.10

!8

!10

b) 3789.6.7

!5!.8

!8.9!.5.6.7

!5!.8

!9!.7

c) nn)1n.(n

)!2n(

)!2n).(1n.(n

)!2n(

!n 2

d) nn

1

n).1n(

1

)!1n.(n).1n(

)!1n(

)!1n(

)!1n(2

ANÁLISE COMBINATÓRIA

O PRINCÍPIO ADITIVO

Enunciamos abaixo o que chamamos de princípio aditivo:Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com m e n elementos, respectivamente, então AUB possui m+n elementos.

Ex: Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um picolé ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer?

Sol.: 5+3 = 8 possibilidades

O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

Se uma decisão d1 pode ser tomada de m maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de n maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 sucessivamente é m.n.

Ex: Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a:

a) 35 b) 300 c) 595 d) 1190 e) 1200

Sol.: 20x15 = 300 possibilidades

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

Então: é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.

Você deve multiplicar o número de possibilidades de cada evento obtendo o número de resultados distintos do experimento composto.

Ex.: Uma montadora de automóveis apresenta um carro em três modelos diferentes e em cinco cores diferentes. Um consumidor terá quantas opções para escolher?

4

• p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa• p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa • pK é o número de possibilidades da k-ésima etapa.




Resp. O número de opções é o produto das possibilidades de cada evento, ou seja, MODELO x COR.

= 15 opções.

Ex.: Quantas placas de carro no Brasil podem começar com H e terminar com um número ímpar?

Resp. Temos 7 posições a serem ocupadas, a primeira só uma possibilidade (H) e a ultima tem 5 possibilidade (1,3,5,7,9), a segunda e terceira posição terá 26 possibilidade cada e as demais 10 possibilidades.

= 3380000

Portanto, mais de 3 milhões de veículos.Ex.:Existem quantos anagramas da palavra LUA?Resp. Nesse caso as 3 letras vão ser embaralhadas. Observase que existem 3 possibilidades (L, U e A) para a primeira posição, 2 possibilidades para a segunda posição pois uma das letras já está na primeira posição e uma para a última, logo

= 6 anagramas

Nesse caso, como são poucos resultados também poderíamos até escrever cada um dos anagramas e contá–los.

LUA ALU ULALAU AUL UAL

1. ARRANJOS SIMPLES

Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).

Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer agrupamento de p elementos, distintos, escolhidos entre os elementos de B (p N e p n).

Indica-se:

► Observação: ARRANJO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

Fórmula do número de arranjos

ou

2. COMBINAÇÕES SIMPLES

Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).

5

3 5

10 10 101 26 26 5

3 2 1

FORTALEZA – CE

HAB – 5227

ou




Denomina-se combinação simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do conjunto B.

Indica-se: ou

► Observação: COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.Fórmula das combinações simples

3. PERMUTAÇÕES SIMPLES

Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).Denomina-se permutação simples dos n elementos de B todo arranjo dos n elementos de B, tomados n a n.

Indica-se: ► Observação: Permutação é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos.

Fórmula das permutações simples

4. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

O número de permutações possíveis com n elementos, dentre os quais um certo elemento se repete a vezes, é igual ao

fatorial de n dividido pelo fatorial de .

Se tivermos n elementos, dos quais:

são iguais a A

são iguais a B

são iguais a C

O número de permutações distintas dos n elementos será:

5. PERMUTAÇÕES CIRCULAR

6

!1)2()1( nnnnPn

!nPn

)!1( nP cn




6. COMBINAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

7. ARRANJO COM ELEMENTOS REPETIDOS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01.(FGV-SP) Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentar todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a:

a) 35 b) 300 c) 595 d) 1190 e) 1200

SOLUÇÃO

02.Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3?

a) 1512 b) 3! 504 c) 504 d) 3024 e) 4! 504

SOLUÇÃO

03.O número de telefone de uma cidade é constituído de 6 dígitos. Sabendo-se que o 1º dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser de 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de telefones será:

a) 81 . 103 b) 90 . 103 c) 81 . 104 d) 81 . 105 e) 90 . 105

SOLUÇÃO

04.(UFC) A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:

a) 48 b) 66 c) 96 d) 120 e) 98

SOLUÇÃO

7

)!1(!

)!1(,1

np

pnCR ppn

ppn nAR ,




05.(FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismos num mesmo número, podemos formar com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8:

a) 210 b) 7! c) 200 d) 840 e) 1.680

SOLUÇÃO

06.Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:

a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720

SOLUÇÃO

07.(PUC-SP) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:

a) 6 posições diferentes b) 30 posições diferentes c) 90 posições diferentesd) 180 posições diferentes e) 720 posições diferentes

SOLUÇÃO

08.Numa estante existem 3 livros de história, 3 de Matemática e 1 de Geografia. Se deseja sempre um livro de História em cada extremidade, então o número de maneiras de se arrumar esses 7 livros é:

a) 720 b) 36 c) 81 d) 126 e) n.d.a.

SOLUÇÃO

09.Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

a) 1.680 b) 8! c) 8 . 4! d) e) 32SOLUÇÃO

10.(Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são:

a) 5.040 b) 40 c) 2 d) 210 e) n.r.a.

SOLUÇÃO

8




11.(FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

a) 500 b) 720 c) 4.500 d) 25 e) 55SOLUÇÃO

12.Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Logo, o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir era:

a) 17 b) 19 c) 21 d) 22 e) 25SOLUÇÃO

13.(F.C.C) Uma sala tem 6 lâmpadas, com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?

a) 6 b) 32 c) 63 d) 120 e) 720SOLUÇÃO

14.(FGV-SP) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718.844?

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180SOLUÇÃO

15.Num determinado setor de um hospital, trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?

a) 210 b) 1.050 c) 5.040 d) 10.080 e) 25.200

SOLUÇÃO

16.Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o esquema seguinte:1) Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo as equipes jogam todas entre si. Obtém-se assim um campeão em cada grupo.2) Os 4 campeões de grupo jogam todos entre si, surgindo daí o campeão.O número total de jogos disputados é:

a) 20 b) 24 c) 40 d) 46 e) 190SOLUÇÃO

17.Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática, 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos?

a) 103.680 b) 17.280 c) 150 d) 12 e) 6SOLUÇÃO

9




18.(F.C.C) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais juntas?

a) 36 b) 72 c) 120 d) 144 e) 180SOLUÇÃO

GABARITO01 02 03 04 05 06 07 08 09 10B C D B D D B A A D11 12 13 14 15 16 17 18E C C E B D A D

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

01. Quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9?

a) 343 b) 210 c) 133 d) 90SOLUÇÃO

02. Determine quantos números de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9.

a) 343 b) 210 c) 133 d) 90SOLUÇÃO

03. Determine quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, de forma que figurem pelo menos dois algarismos iguais.

a) 343 b) 210 c) 133 d) 90SOLUÇÃO

04. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9?

a) 343 b) 210 c) 133 d) 90SOLUÇÃO

05. Quantos números de 3 algarismos distintos são maiores que 500, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9?a) 240 b) 210 c) 120 d) 90SOLUÇÃO

10




06. Determine quantos números pares de três algarismos distintos são maiores que 500, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9.

a) 65 b) 55 c) 45 d) 35SOLUÇÃO

07. Utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podemos formar quantos números ímpares de quatro algarismos distintos que sejam menores que 4000?

a) 90 b) 120 c) 140 d) 210SOLUÇÃO

08. Quantos são os anagramas da palavra CHUVA?

a) 120 b) 100 c) 80 d) 60SOLUÇÃO

09. Determine a quantidade de anagramas da palavra CHUVA que começam e terminam por vogal.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16SOLUÇÃO

10. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as vogais juntas?a) 96 b) 64 c) 48 d) 24SOLUÇÃO

11. Determine quantos anagramas da palavra CHUVA não possuem as vogais juntas?

a) 120 b) 72 c) 48 d) 24SOLUÇÃO

12. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética?

a) 12 b) 10 c) 8 d) 6SOLUÇÃO

13. Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (no de paletós mais no de calças) de que precisa é:

a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8

11




b) SOLUÇÃO

c)

14. Em uma festa existem 12 homens e 20 mulheres, será escolhido o casal mais simpático da festa (não necessariamente namorados). De quantas maneiras diferentes poderá ser escolhido esse casal?

a) 12 b) 20 c) 32 d) 120 e) 240SOLUÇÃO

15. Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado a seguir, colocando-se um "x" em uma só resposta para cada questão. De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário?

a) 3 125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10

16. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar?

a) 27b) 54c) 108d) 216

17. Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento, 2 escadas rolantes ligando o primeiro ao segundo e 3 elevadores que conduzem do térreo ao primeiro e deste para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do "Shopping Center" pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados?

a) 60b) 80c) 100d) 120e) 160

18. Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até o shopping Aldeota (esquina 2), ele percorre exatos 9 quarteirões. Na figura ao lado, está representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine quantos caminhos diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até a academia.DICA: Observe que ele anda 5 vezes para oeste (O) e 4 vezes para o sul (S), veja que o número de caminhos possíveis, é igual ao número de anagramas da seqüência vista na figura (SOOSOOSSO).

a) 20 b) 81 c) 63 d) 256 e) 126

19. Uma placa de automóvel é formada por três letras e quatro números. Quantas placas podem ser formadas apenas com vogais, por exemplo EAA, e apenas com algarismos ímpares?

a) 35 b) 25 c) 55 d) 57 e) 75

20. Existem quantos anagramas da palavra EXERCICIO, que começam com X e terminam com R?

12

1

2




a) 315 b) 630 c) 720 d) 22680 e) 51840

21. De quantas maneiras Amanda, Bruno, Caio, Débora, Érica e Felipe, podem se organizar lado a lado para tirar uma foto, sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos?

a) 120 b) 240 c) 360 d) 720

22. A bandeira a seguir, está dividida em 6 faixas que serão pintadas de azul, vermelho e branco. Determine quantas bandeiras distintas poderão ser criadas, sabendo que exatamente três faixas devem ser azuis, duas vermelhas e uma branca.a) 60b) 90c) 120d) 150

23. Na figura a seguir temos um esboço de parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. As setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos. De quantas maneiras, utilizando apenas o esboço, poderá uma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida passando exatamente por três pontes distintas?a) 8b) 13c) 17d) 18e) 20

24. Quantas placas de carro, com três letras e quatro números, podem existir, de forma que só as letras sejam apenas vogais e os números sejam distintos?

a) 1.250.000 b) 630.000 c) 320.000 d) 84.000

25. Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e 7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos? DICA: Descubra o total e desconte a quantidade de vezes que o números pares ficam juntos.

a) 720 b) 480 c) 240 c) 120

26. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a?

a) 2 b) 4 c) 24 d) 48

27.Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é:

a) 5 b) 69 c) 29 d) 49

28.(ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420 b) 480 c) 360 d) 240

13




29.De quantas maneiras distintas 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras?

a) 60 b) 40 c) 20 d) 15

30.Um grupo de 10 empresários cumprimenta-se com apertos de mãos no inicio de uma reunião. Sabendo que cada um deles cumprimentou a todos, determine o número de apertos de mão.

a) 90 b) 70 c) 50 d) 45

31.Abaixo temos um grupo de dez pessoas. Determine de quantas maneiras distintas posso escolher 4 delas para ganhar uma passagem de ida e volta, Fortaleza–Pacatuba, para visitar o Parque das Andréas, sabendo que a mãe que carrega o bebê só viaja com ele (admita que o bebê conta como passageiro).a) 210b) 105c) 98d) 49

32.Um pai deseja sortear 3 chocolates diferentes, um pequeno, um médio e um grande, entre seus 5 filhos. De quantas maneiras distintas ele pode fazer essa distribuição para três dos cinco filhos?

a) 10 b) 20 c) 15 d) 60 33.Considere 7 pontos distintos em uma circunferência. Quantos triângulos podemos desenhar com os vértices nesses pontos?

a) 35b) 25c) 56d) 10e) 210

34.Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 pessoas e o outro com 15, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, qual o número total de cumprimentos?

a) 100b) b) 200c) c) 300d) d) 400e) e) 500

35.Um casal recebe 20 convidados em sua casa para um reunião informal. Sabendo que todos os presentes na festa se cumprimentaram com um aperto de mãos, exceto o casal de anfitriões, determine o número mínimo de apertos de mãos durante a festa.

a) 230b) b) 120c) c) 100d) d) 40e) e) 20

36.(ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a

a) 20b) 30c) 24

14




d) 120e) 360

37.Quantos números ímpares de cinco algarismos, menores que 66.380, podem ser formados a partir dos dígitos 2, 3, 6, 7 e 9?

a) 927b) 915c) 943d) 975

38.Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a?

a) 2b) 4c) 24d) 48

39.Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é:

a) 5b) 69c) 29d) 49

40.Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a:

a) 120b) 1220c) 870d) 1120

GABARITO01. A 02. B 03. C 04. D 05. C 06. B 07. C 08. A 09. B 10. C11. B 12. D 13. D 14. E 15. C 16. C 17. E 18. E 19. D 20. B21. B 22. A 23. C 24. B 25. B 26. D 27. A 28. A 29. A 30. D31. C 32. D 33. A 34. C 35. A 36. D 37. A 38. D 39. A 40. D

15


ESTRUTURA LÓGICA - INVESTIGAÇÃOHIPÓTESESIDENTIFICAÇÃO DE CASOS – ORDENAÇÃO | ASSOCIAÇÃO ( VERDADES X MENTIRAS)EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS – QUESTÕES DE CONCURSOSEXERCÍCIOS COMENTADOS | QUESTÕES DE CONCURSOS


ESTRUTURA LÓGICA - INVESTIGAÇÃOHIPÓTESESIDENTIFICAÇÃO DE CASOS – ORDENAÇÃO | ASSOCIAÇÃO ( VERDADES X MENTIRAS)EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS – QUESTÕES DE CONCURSOSEXERCÍCIOS COMENTADOS | QUESTÕES DE CONCURSOS




ESTRUTURA LÓGICA: INVESTIGAÇÃO

INVESTIGANDO

As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.

Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento.

As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões.

HIPÓTESE

Uma hipótese é uma teoria provável, mas não demonstrada, uma suposição admissível. Na matemática, é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Surge no pensamento científico após a coleta de dados observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados.

É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação (rejeição) da hipótese. Assim que comprovada, a hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.

Podemos então dizer que é uma afirmação sujeita a comprovação.

IDENTIFICANDO CADA CASO

Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas informações, com base nas informações fornecidas no enunciado.

Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.

1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO. Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado.

EXEMPLO:Aline é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas. Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.

CONCLUSÕES:Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, então

A > B (Aline é mais velha que Bruna) e C > B (Bruna é mais nova que Carol)Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:

A > C > B

2º CASO - Somente Verdades: ASSOCIAÇÃO.Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras.EXEMPLO:

16

http://pt.wikipedia.org/wiki/Postulado

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria




Aline, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.

CONCLUSÕES:Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.

A B C

Profissão

Idade

Como “Bruna é a mais nova e têm 25 anos”, e que “a mais nova é Terapeuta”, deduzimos que Bruna é Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela.

A B C

Profissão T

Idade 25

Como “Carol é a mais velha e não é Psicóloga”, deduzimos que Carol é Fonoaudióloga e têm 27 anos, já que “as três nasceram em anos consecutivos” e “a mais nova tem 25 anos”. Logo podemos acrescentar as seguintes informações na tabela.

A B C

Profissão T F

Idade 25 27

Por exclusão, deduz-se que Aline tem 26 anos e é Psicóloga. Assim, temos a tabela totalmente preenchida.A B C

Profissão P T F

Idade 26 25 27

3º CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIÇÃO.

Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese.EXEMPLO:

Aline, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: – ALINE: “Foi a Bruna que comeu” – BRUNA: “Aline está mentindo” – CAROL: “Não fui eu”Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.

CONCLUSÕES:

1º PASSO: (identificar que existem verdades e mentiras)

No enunciado, foi dito que “apenas uma delas está dizendo a verdade”, portanto duas delas mentem e outra fala a verdade, tratando-se de uma questão do 3º caso, ou seja, teremos que fazer suposições.2º PASSO: (construir a tabela e lançar as hipóteses)

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.

ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES HIPÓTESES A B C

Se A foi quem comeu

Se B foi quem comeu

Se C foi quem comeu

17




3º PASSO: (julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma das hipóteses)

Como Aline disse que “Foi a Bruna que comeu”, ela só estará mentindo caso (na hipótese de) Bruna não tenha comido, caso contrário estará falando a verdade, logo temos:

A B C

A comeu F

B comeu V

C comeu F

Como Bruna disse que “Aline está mentindo”, temos que Bruna só mente no caso (na hipótese de) de Aline falar a verdade, caso Aline realmente esteja mentindo então Bruna estará falando a verdade, ou seja, as colunas 2 e 3 terão valores lógicos contrários, logo temos:

A B C

A comeu F V

B comeu V F

C comeu F V

Finalmente, como Carol disse “não fui eu”, ela só estará mentindo caso (na hipótese de) ela tenha comido, caso contrário estará falando a verdade, logo analisando essa afirmação, temos:

A B C

A comeu F V V

B comeu V F V

C comeu F V F

4º PASSO: (aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no enunciado)

Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, então com base nisso devemos identificar a única linha que tem apenas uma afirmação verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas.Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo.

EXEMPLO DO 1º CASO - VERDADES: ORDENAÇÕES

01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar.a) Heitora) Erickd) Frede) Giles

SOLUÇÃO:

Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores.Inicialmente como “Erick mora acima de todos”, então ele mora no 4º andar.Como “Fred mora acima de Heitor” e “Heitor não mora no 1º andar”, então Heitor tem que morar no 2º andar e Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. Por exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de “morar abaixo de Fred”.

OBS.:É importante diferenciar “em cima”, “acima”, “em baixo” e “abaixo”. Por exemplo, se Geovanne mora no 10º andar de um prédio, outro morador que more: EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11º andar. ACIMA, mora em um andar superior, não necessariamente em cima. EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9º andar. ABAIXO, mora em um andar inferior, não necessariamente em baixo.

18




EXEMPLOS DO 2º CASO - VERDADES: DEDUÇÕES

02. (IPAD) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. Luciano, Cláudio e Fernanda estudam respectivamente:a) Kant, Wittgenstein e Frege.b) Kant, Frege e Wittgenstein.c) Wittgenstein, Kant e Frege.d) Frege, Kant e Wittgenstein.e) Frege, Wittgenstein e Kant.

SOLUÇÃO:

Do enunciado, podemos organizar as informações na tabela a seguir:

Luciano Cláudio FernandaFregeKant

Wittgenstein

De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos:

1) Se “Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos”, então “Luciano não estuda Frege”

Luciano Cláudio FernandaFrege FKant

Wittgenstein

2) Se “Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos”, então “Cláudio não estuda Kant”

Luciano Cláudio FernandaFrege FKant F

Wittgenstein

3) Se “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos”, então “Cláudio estuda Wittgenstein” pois já tínhamos concluído que “Luciano não estuda Frege”

Luciano Cláudio FernandaFrege FKant F

Wittgenstein F VERDADE F

Como “Luciano não estuda nem Frege, nem Wittgenstein” então por exclusão “ele estuda Kant”. Nesse caso resta apenas que “Fernanda estuda Frege”

Luciano Cláudio FernandaFrege F VERDADEKant VERDADE F

Wittgenstein F VERDADE F

03. Três crianças – Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo – brincavam, cada qual, com um único tipo de brinquedo. Considere as seguintes informações:

Os brinquedos são: Falcon, Playmobil e Atari; As idades dos três são: 11, 8 e 6; Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari; A criança que tem 11 anos, brincava de Atari; Cleosvaldo tem menos de 8 anos.

Com base na informações dadas, é correto afirmar que19




a) Belarmino tem 11 anos.b) Astolfo tem 11 anos.c) Belarmino brincava com um Falcon.d) Cleosvaldo brincava com um Atari.e) Astolfo não tem 8 anos.

SOLUÇÃO:

Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE

BRINQUEDO

Sabendo que “Astolfo brincava com um Playmobil” e que “Cleosvaldo tem 6 anos”, temos:

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE 6

BRINQUEDO Play

Como “A criança que tem 11 anos, brincava de Atari”, apenas Belarmino se encaixa, logo

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE 11 6

BRINQUEDO Play Atari

Por exclusão, temos

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDOIDADE 8 11 6

BRINQUEDO Play Atari Falcon

04. Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com sapatos azuis. Desse modo,a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto.b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos.c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos.d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco.e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis.

SOLUÇÃO:

Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDOSAPATOS

Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”, temos:

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDOSAPATOS Az

Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”, então Anna tem que ter sapatos brancos

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDOSAPATOS Br Az

Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDO BrSAPATOS Br Az

20




Por exclusão, deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que “somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos

ANNA BRUNA CAMILAVESTIDO Br Az PrSAPATOS Br Pr Az

EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: HIOPÓTESES

05. Quando a mãe de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as seguintes declarações:

"Mãe, o Bosco foi quem quebrou" – disse Alysson "Como sempre, o Daniel foi culpado" – disse Bosco "Mãe, sou inocente" – disse Cleber “Claro que o Bosco está mentindo" – disse Daniel

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso.a) Alyssonb) Boscoc) Cleberd) Daniel

SOLUÇÃO:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde serão analisadas as declarações mediante as hipóteses:

ANÁLISE DAS DECLARAÇÕESHIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON

BOSCOCLEBERDANIEL

Analisaremos as declarações de cada criança, de acordo com as hipóteses dos culpados. Por exemplo, Alysson declara que “Bosco foi quem quebrou”, então ele estará falando a verdade somente no caso de Bosco realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hipótese de outra pessoa ser o culpado, logo:

ANÁLISE DAS DECLARAÇÕESHIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F

BOSCO VCLEBER FDANIEL F

Como Bosco disse que “Daniel foi o culpado”, nota-se que apenas no caso de Daniel ser o culpado ele estará dizendo a verdade, então para qualquer outra hipótese de culpado ele mente (F), logo temos:

ANÁLISE DAS DECLARAÇÕESHIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F F

BOSCO V FCLEBER F FDANIEL F V

Como Cleber se declara inocente, apenas na hipótese dele ser o culpado, sua declaração é dita como falsa (F), em todas as demais hipóteses ele realmente será considerado inocente, logo:

ANÁLISE DAS DECLARAÇÕESHIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F F V

BOSCO V F VCLEBER F F FDANIEL F V V

Como Daniel disse que “Bosco está mentindo", então nesse caso, sempre a declaração de Daniel terá valor lógico contrário ao de Bel, pois eles se contradizem, então Daniel só irá mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:

21




ANÁLISE DAS DECLARAÇÕESHIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIELALYSSON F F V V

BOSCO V F V VCLEBER F F F VDANIEL F V V F

Análise das hipóteses: 1ª Hipótese: Alysson culpado (REJEITADA) Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V) 2ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA) Somente um mentiu (F) 3ª Hipótese: Cleber culpado (ACEITA) Somente um falou a verdade (V) 4ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA) Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)

Observe que somente na hipótese de Cleber ser o culpado é que apenas uma das declarações se torna verdadeira (V), sendo então três falsas (F). Como somente Daniel diz a verdade, a terceira hipótese é a única aceita, logo Cleber é declarado culpado.

06. Cinco jovens encontram-se diante de três portas na “Caverna do Dragão”, buscando um caminho para voltar para casa. Diante das portas estão três guardiões. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um labirinto e finalmente uma passagem para seu mundo, mas não nessa ordem. Cada um dos guardiões declara:

1º Guardião: “O castelo do seu inimigo não está na porta da direita” 2º Guardião: “A porta do meio é a passagem para seu mundo” 3º Guardião: “A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo do Vingador”

Quando o “Mestre dos Magos” aparece, avisa aos garotos de que apenas dois dos guardiões estava falando a verdade. Logo, eles concluíram que:a) o labirinto está na porta da esquerdab) a passagem está na porta da esquerda c) a passagem está na porta do centrod) o castelo do Vingador está na porta do centroe) o castelo do Vingador está na porta da direitaSOLUÇÃO:

Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades para cada porta:

ANÁLISE DAS DECLARAÇÕESHIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO

C L PC P LP C LP L CL P CL C P

O 1º guardião declarou que “O castelo não está na porta da direita”, então ele só estará mentindo (F) no caso do castelo está na porta da direita, ou seja, o que ocorre na 4ª e na 5ª hipótese, logo temos:


C L P VC P L VP C L VP L C FL P C FL C P V

Já o 2º guardião declarou que “A porta do meio é a passagem para seu mundo”, então na 2ª e na 5ª hipótese ele só estará mentindo (F), pois nestas hipóteses supõe-se que a passagem (P) está no meio, logo:


C L P V FC P L V VP C L V FP L C F FL P C F V

22




L C P V F

O 3º guardião fez duas declarações, que “a porta do centro leva a um labirinto” e que “a porta da direita leva ao Castelo do Vingador”, então ele só estará falando a verdade (V) no caso das duas afirmações ocorrerem, ou seja, apenas na 4ª hipótese, logo temos:


C L P V F FC P L V V FP C L V F FP L C F F VL P C F V FL C P V F F

Observe que apenas na 2ª hipótese, dois dos guardiões falam a verdade e um mente, o que satisfaz a condição imposta no enunciado da questão, então a ordem será:

Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L)Portanto, a passagem está na porta do centro.

“A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homempara a descoberta da verdade”

EXERCÍCIOS01. João é mais velho do que Pedro, que é mais novo do que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é:

a) Joãob) Antônioc) Pedrod) Carlos

02. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

03. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A branca está abaixo da laranja e acima da azul. A vermelha está acima da verde e esta fica abaixo da branca. A laranja e a branca se encostam, assim como esta e a verde. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha?

a) Azulb) Laranjac) Brancad) Vermelhae) Verde

04. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem, ocupam as quatro primeiras posições no “grid” de largada de uma corrida. O carro que está imediatamente atrás do carro azul, foi menos veloz nos treinos do que o que está mediatamente a frente do carro azul. O carro verde larga atrás do carro azul. O carro amarelo larga atrás do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro do “grid”, são, respectivamente,

a) amarelo e verde.b) preto e azul.c) azul e verde.d) verde e preto.e) preto e amarelo.

23




05. Em uma loja de telefonia celular, trabalham quatro funcionários Pedro, Carlos, Tiago e Valmir subalternos a um gerente. O gerente sabe que exatamente um deles ligou um aparelho em uma tomada de voltagem errada, danificando o mesmo. Colocados frente a frente em uma sala, o gerente perguntou a todos quem tinha feito a ligação. Pedro respondeu que havia sido Carlos ou Valmir. Carlos declarou que tinha sido Tiago. Tiago disse que ele não fez a ligação. Valmir declarou que Tiago mentiu. Sabendo que apenas um dos quatro funcionários falou a verdade, podemos concluir que quem falou a verdade e quem fez a ligação em voltagem errada foram, respectivamente: (A) Tiago e Carlos;(B) Tiago e Pedro;(C) Tiago e Valmir;(D) Carlos eTiago;(E) Pedro e Carlos.

06. Perguntou-se a três pessoas qual delas se chamava Antônio. A primeira pessoa respondeu: “Eu sou Antônio”. A seguir, a segunda pessoa respondeu: “Eu não sou Antônio”. Finalmente, a terceira respondeu: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antônio e que duas delas mentiram, é correto concluir que Antônio:a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade.b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a única a dizer a verdade.c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade.d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade.e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade.

07. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loira, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Anna, outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra à França e a outra irá à Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loira: ”Não vou à França nem à Inglaterra“ A morena: “Eu e Bruna, visitaremos Carine em outra viagem” A ruiva: “Nem eu nem Bruna vamos à França”

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loira é Carine e vai à Alemanha.b) A ruiva é Carine e vai à França.c) A ruiva é Anna e vai à Inglaterra.d) A morena é Anna e vai à Inglaterra.e) A loira é Bruna e vai à Alemanha.

08. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:

Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. O modelo Hércules seria entregue em 10 dias. Macval não apresentou o modelo Netuno.

Nessas condições, o modelo apresentado pela empresaa) Macval foi o Hécules.b) Mactex foi o Thor.c) Macmais foi o Thor.d) Mactex foi o Netunoe) Macval foi o Netuno

09. (FCC) Certo dia, três técnicos judiciários – Altamiro, Benevides e Corifeu – receberam, cada um, um lote de processos para arquivar e um lote de correspondências a serem expedidas. Considere que: tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedição devem executadas no mesmo dia e nos seguintes horários:

das 10 às 12 horas, das 14 às 16 horas e das 16 às 18 horas; dois funcionários não podem ficar responsáveis pela mesma tarefa no mesmo horário; apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondências que recebeu em um mesmo horário; nem as correspondências expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 às 12h; Corifeu expediu toda a correspondência de seu respectivo lote das 16 às 18 horas.Nessas condições, é verdade quea) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 às 18 horas.b) as correspondências dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 às 16 horas.c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 às 12 horas.

24




d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 às 12 horas.e) Altamiro expediu as correspondências de seu lote das 10 às 12 horas.

10. (CESPE) Três amigos – Ari, Beto e Carlos – se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um Chevett, outro tem um Landau e o terceiro, um Fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que: Ari não tem um Chevett e mora em Buritis; Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do Fusca; O dono do Chevett não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo.A partir das informações acima, é correto afirmar quea) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do Landau.b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do Chevett.c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do Chevett.d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do Fusca.

11. (CESPE) Três contadores — A, B e C — estão sendo avaliados para o preenchimento de uma posição em uma empresa. Esses contadores estudaram em diferentes universidades (USP, UnB e FGV), possuem diferentes tempos de experiência na profissão (3, 5 e 8 anos) e foram classificados em três opções: 1.ª, 2.ª e 3.ª. Considere também que o contador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de experiência. o contador C ficou na 3.ª opção, não estudou na UnB e tem 2 anos de experiência a menos que o contador que foi

classificado na 2.ª opção.Com base nas informações acima, conclui-se que a) o contador B estudou na UnB, tem 8 anos de experiência e ficou em primeira opção.b) o contador B estudou na UnB, tem 5 anos de experiência e ficou em primeira opção.c) o contador C estudou na FGV e tem 5 anos de experiência.d) o contador A tem 3 anos de experiência.

12. Sabe-se que um crime é cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declarações: Auri: "Cleo é o culpado" Bel: "Acreditem, sou inocente" Cleo: "Denys realmente é o culpado" Denys: "Cleo está mentindo"Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem é o verdadeiro culpado.a) Aurisvandersonb) Belarminoc) Cleosvaldod) Denysgleison

13. (CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando Marcos carrega a ficha branca, ele fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado, quando Newton carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Cada um deles deu a seguinte declaração:

MARCOS: "Nossas fichas são iguais" NEWTON: “Nossas fichas são diferentes"

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.a) Marcos e Newton carregam fichas brancas.b) Marcos e Newton carregam fichas pretas.c) Marcos carrega ficha preta e Newton carrega ficha branca.d) Marcos carrega ficha branca e Newton carrega ficha preta.

14. (ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Caixa 3: “O livro está aqui.”

25




Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,a) a caneta, o diamante, o livro.b) o livro, o diamante, a caneta.c) o diamante, a caneta, o livro.d) o diamante, o livro, a caneta.e) o livro, a caneta, o diamante.

15. (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente:a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

16. (ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides fabricados por essa empresa – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon – para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”.Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o andróide que certamente é do tipo V é o andróide:a) Alfab) Betac) Deltad) Gamae) Épsilon

GABARITO01. C 02. A 03. D 04. E 05. B06. E 07. E 08. D 09. D 10. E11. A 12. C 13. A 14. C 15. E16. D

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

26




e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

02. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loira, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Milena, outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra à França e a outra irá à Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loira: ”Não vou à França nem à Inglaterra“ A morena: “Meu nome não é Monyke nem Carine” A ruiva: “Nem eu nem Monyke vamos à França”O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loira é Carine e vai à Inglaterra.b) A ruiva é Carine e vai à França.c) A ruiva é Milena e vai à Inglaterra.d) A morena é Milena e vai à Inglaterra.e) A loira é Monyke e vai à Alemanha. 03. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A verde está abaixo da amarela e acima da azul. A rosa está acima da marrom e esta fica abaixo da verde. A amarela e a verde se encostam, assim como esta e a marrom. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha?a) Azulb) Amarelac) Verded) rosae) Marrom

04. (FCC) Pesquisados sobre o hábito de tomar café no horário do almoço, no período de segunda a sexta-feira, três colegas afirmaram:

EUCLIDES: “Não tomo café às terças, nem às sextas-feiras”.LUÍS: “Tomo café todas as terças, quintas e sextas-feiras e não tomo nos demais dias”.FRANCISCO: “Tomo café todas as segundas e quartas-feiras e não tomo nos demais dias”.

Sabe-se que todos os dias pelo menos um deles toma café no almoço e há um dia em que os três tomam café juntos. Se apenas Francisco não falou a verdade, então os três tomam café juntos naa) sexta-feirab) quinta-feirac) quarta-feirad) terça-feirae) segunda-feira

05. João é mais velho do que Pedro, que é mais novo do que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é:a) Joãob) Antônioc) Pedrod) Carlos 06. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que: Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. O modelo Hércules seria entregue em 10 dias. Macval não apresentou o modelo Netuno.Nessas condições, o modelo apresentado pela empresaa) Macval foi o Hécules.b) Mactex foi o Thor.c) Macmais foi o Thor.d) Mactex foi o Netunoe) Macval foi o Netuno

07. (FCC) Cinco times: Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite, disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que: Antares está em um primeiro lugar e Bilbao está em quinto; Cascais está exatamente na posição intermediária entre Antares e Bilbao;

27




Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais.Nessas condições, é correto afirmar que:a) Cascais está em segundo lugar.b) Deli está em quarto lugar.c) Deli está em segundo lugar.d) Elite está em segundo lugar.e) Elite está em terceiro lugar.

08. Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. Marcos mente sempre na terça, quarta e quinta, dizendo a verdade nos outros dias da semana. Paulo mente sempre na sexta, sábado e domingo, fazendo questão de dizer a verdade nos outros dias. Certo dia, dialogando entre eles, afirmaram: Marcos: “Eu mentirei amanhã, assim como ontem” Paulo: “Hoje é terça-feira”Em que dia da semana ocorreu esse diálogo?a) segundab) terçac) quartad) quintae) sexta

09. Sabe-se que um crime é cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declarações: Auri: "Bel é o culpado" Bel: "Denys realmente é o culpado" Cleo: "Acreditem, eu não sou culpado" Denys: "Bel está mentindo"Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem é o verdadeiro culpado.a) Aurisvandersonb) Belarminoc) Cleosvaldod) Denysgleison

10. Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de preto e uma de azul, não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações abaixo: A é azul B não é azul C não é pretaSabendose que apenas uma das declarações acima é verdadeira, podemos afirmar corretamente que:

a) A bola A é vermelha, a bola B é preta e a bola C é azulb) A bola A é vermelha, a bola B é azul e a bola C é pretac) A bola A é preta, a bola B é azul e a bola C é vermelhad) A bola A é preta, a bola B é vermelha e a bola C é azule) A bola A é azul, a bola B é vermelha e a bola C é preta

11. Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.” Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se respectivamente:

a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesab) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragãoc) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragãod) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouroe) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro

12. (ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,

28




a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

13. (ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”.Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual aa) 1b) 2c) 3d) 4

14. Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta divisão foi feita de modo que: cada grupo possui no máximo 3 pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos não podem ficar no mesmo grupo que Geraldo; Beatriz e Flávio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem Edna nem Flávio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estarão necessariamente no mesmo grupo:

a) Arnaldo e Carlos;b) Arnaldo e Douglas;c) Carlos e Flávio; d) Douglas e Geraldo;

15. (CESPE) Três amigos – Ari, Beto e Carlos – se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um Gordini, outro tem um Sinca e o terceiro, um Fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que: Ari não tem um Gordini e mora em Buritis; Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do Fusca; O dono do Gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo.A partir das informações acima, é correto afirmar quea) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do Sinca.b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do Gordini.c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do Gordini.d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do Fusca.

GABARITO01. A 02. E 03. D 04. B 05. C06. D 07. C 08. B 09. B 10. C11. E 12. C 13. B 14. D 15. D

29




SILOGISMO

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não como ambas.

As quatro proposições categóricas de Aristóteles (384 a 322 a.C.), componentes fundamentais de seus silogismos, podem ser simbolizadas pelas fórmulas da linguagem da lógica de 1.ª ordem, mostradas na tabela abaixo.

Denotando por AB qualquer uma das quatro proposições categóricas, e denominando A e B os termos de AB, então um silogismo consiste (sintaticamente) de uma seqüência de três proposições categóricas construídas com três termos, de modo que cada duas delas tenham exatamente um termo comum.Para os termos A, B e C, a tabela abaixo apresenta os quatro possíveis modelos de silogismos.

CB (PREMISSA MAIOR) Todo homem é mortal.AC (PREMISSA MENOR) Sócrates é homem . AB (CONCLUSÃO) Logo, Sócrates é mortal.

O termo semelhante nas premissas desaparece, restando na conclusão os termos restantes das premissas.

QUANTIFICADORESSão elementos que transformam as sentenças abertas em proposições.Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição.

TIPOS DE QUANTIFICADORES

a) Quantificador existencial:É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.É indicado pelo símbolo “”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”.

EXEMPLO: (p) xR / x 3(q) Existe dia em que não chove.

b) Quantificador universal:É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.É indicado pelo símbolo “”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”.

30




EXEMPLO: (m) xR x 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”)(n) Qualquer que seja o dia, não choverá.

TEORIA DOS CONJUNTOS

NOMENCLATURA UTILIZADA -conjunto dos números reais* - conjunto dos números reais não nulos+ - conjunto dos números reais não negativos*

+ - conjunto dos números reais positivosQ - conjunto dos números racionaisQ* - conjunto dos números racionais não nulosZ - conjunto dos números inteirosZ+ - conjunto dos números inteiros não negativosZ* - conjunto dos números inteiros não nulosN - conjunto dos números naturaisN* - conjunto dos números naturais não nulos - conjunto vazio - símbolo de união entre dois conjuntos - símbolo de intersecção entre dois conjuntos - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto - símbolo de inclusão entre dois conjuntos - qualquer que seja

UNIÃO ( )

União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos.

INTERSEÇÃO ( )

Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.

DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR

Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B completar o conjunto A.

31

CONCLUSÕES:

1o. A B = B A

2o A = A

3o A A = A

4o (A B) C = A (B C)

5o n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

EX.: “Pessoas que são atletas (A), mas não são

baianos (B)”

EX.: “Pessoas que são atletas (A) ou baianos (B)”

(o “ou” não é excludente, portanto isso significa que o conjunto união abrange os

elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos)

CONCLUSÕES:

1o A B = B A

2o A = 3o A A = A

4o (A B) C = A (B C)

EX.: “Pessoas que são atletas (A) e são

baianos (B)”

B

A

A B A B

A B A B

B

A

A – B A – B

B

A




CONJUNTOS LÓGICOS

NENHUM

Não existe interseção entre os conjuntos.

EX.:A: “Nenhum soldado é covarde”

ALGUNS

Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas nem todos.

EX.:B: “Alguns soldados são covardes”

TODOS

Um dos conjuntos é subconjunto do outro.

EX.:C: “Todos os soldados são covardes”

TIPOS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTASUma proposição é chamada de composta quando é formada a partir de outras proposições mais simples (p, q,

r, ...) mediante o uso de: modificadores (~) conectivos ( e ) condicionais ( e ).

TAUTOLOGIA

Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: pq: “No concurso João foi aprovado ou reprovado”

CONTRADIÇÃO

Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: pq: “Sophia nasceu em Fortaleza e em São Paulo”

CONTINGÊNCIA

32

COVARDES SOLDADOS

COVARDES SOLDADOS

COVARDES SOLDADOS

OBS.: A negação da premissa A será: ~A: “Não é verdade que nenhum soldado é covarde”ou então ~A: “Existe pelo menos um soldado covarde”

OBS.: A negação da premissa B será: ~B: “Não é verdade que alguns soldados são covardes”ou então ~B: “Nenhum soldado é covarde”

OBS.: A negação da premissa C será: ~C: “Não é verdade que todos os soldado são covardes”ou então




Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso.

EXEMPLOS 01. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos logicamente concluir que:a) não pode haver cientista filósofo.b) algum filósofo é cientista.c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo.d) alguns cientistas não são filósofos.e) nenhum filósofo é objetivo.

SOLUÇÃO:

Dadas as premissas:A: “todos os cientistas são objetivos”B: “alguns filósofos são objetivos”

SejamO – ObjetivosC – CientistasF – Filósofos

Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis:

Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica necessariamente que “esse filósofo será objetivo”, pois “todo cientista é objetivo”.Resposta: C

02. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir logicamente que: a) nenhum cronópio é fama.b) não existe cronópio que seja fama.c) todos os cronópios são famas.d) nenhum fama é cronópio.e) algum cronópio não é fama.

SOLUÇÃO:

Dada a premissa:A: “Nem todos os cronópios são famas”

SejamC – CronópiosF – Famas

Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis:

Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que não é fama”.Resposta: E

33

O

CF

O

CF1o 2o 3o

O

F C

CF1o 2o CF




03. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. Podemos afirmar que:a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis.b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis.c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis, mas não originais.d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis.e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis.

SOLUÇÃO:

SejamA – grupo dos que têm uma idéia original ;B – grupo dos que têm uma idéia comercializável;

Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos:

Sabendo quen(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)100% = 60% + 50% – xx = 10%

portanto10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis

Resposta: B

04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que:a) Alguns A não é G.b) Algum A é G.c) Nenhum A é G.d) Algum G é A.e) Nenhum G é A.

SOLUÇÃO:

Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que nunca serão G.Resposta: A

OBS.:Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar.

05. Supondo que “Nenhum advogado foi reprovado” e que “Alguns bancários foram reprovados”, podemos logicamente concluir que:a) não pode haver advogado bancário.b) algum advogado é bancário.c) nenhum advogado é bancário. d) todos os advogados são bancários. e) alguns bancários não são advogados.

SOLUÇÃO:

Do enunciado temos os possíveis diagramas:

Dessa forma, percebemos que nas duas possibilidades “alguns bancários não são advogados”, pois aqueles bancários que foram reprovados, jamais poderão ser advogados, pois nenhum destes foi reprovado.Resposta: E

34

A B

x 50% – x60% – x

A

B

R1o 2o A

B

R




O PRINCÍPIO DO POMBAL OU PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS

É a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Matematicamente falando, isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.É também conhecido como TEOREMA DE DIRICHLET OU PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET, pois supõe-se que o primeiro relato deste principio foi feito por Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip ("princípio das gavetas").O princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais, incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito.Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, o princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas.

Exemplo

Todos os pontos de um plano são pintados de amarelo ou verde. prove que podemos encontrar dois pontos de mesma cor que distam exatamente um metro:

Solução: Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a um metro. Como são duas cores (casas) e três pontos (pombos),pelo PCP (princípio da casa dos pombos) teremos dois de mesma cor.Embora este princípio seja uma observação trivial, pode ser usado para demonstrar resultados possivelmente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milhão de habitantes) existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo. Demonstração: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo. É razoável supor que ninguém tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabeça. Se há mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, necessariamente pelo menos duas pessoas terão precisamente o mesmo número de fios de cabelo.

Generalizações do princípio

Uma versão generalizada declara que, se "n" objetos distintos para ser alocados à "m" recipientes, então pelo menos um

recipiente deve conter não menos que objetos, onde denota o menor inteiro igual ou superior a x (a função tecto).Uma generalização probabilística do princípio da casa dos pombos define que se "n" pombos são colocados aleatoriamente em "m" casas com uma probabilidade uniforme 1/m, então pelo menos uma casa de pombos terá mais de um pombo com probabilidade:

onde é um fatorial decrescente. Para n = 0 e para n = 1 (e m > 0), que provavelmente é zero; em outras palavras, se tem apenas um pombo, então não deve haver conflitos. Para n > m (mais pombos do que casa de pombos) é um, neste caso coincide com o princípio de casa dos pombos normal. Mas mesmo que o número de pombos não exceda o número de casa de pombos (n ≤ m), devido a natureza da atribuição aleatória das casas aos pombos existe uma chance substancial que um confronto ocorra muitas vezes. Por exemplo, se 2 pombos são colocados na 4ª casa de pombos, há uma chance de 25% que pelo menos uma casa de pombo ter mais do que um pombo, para 5 pombos e 10 casas, a probabilidade é de 69,76%; e para 10 pombos em 20 casas a probabilidade é de 93,45%.

EXERCÍCIOS

01. Qual a negação de “Todo artista é elegante”.a) Nenhum artista é eleganteb) Todas as pessoas são elegantesc) Ninguém é eleganted) Todo artista não é elegantee) Pelo menos um artista não é elegante

02. Dizer que “Alguns alunos vão passar” implica que:a) Não há aluno que vá passarb) Todas as pessoas vão passarc) Pelo menos um aluno vai passar

35

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade

http://pt.wikipedia.org/wiki/Parte_inteira

http://pt.wikipedia.org/wiki/Parte_inteira

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinito

http://pt.wikipedia.org/wiki/1834

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_injectiva

http://pt.wikipedia.org/wiki/Finito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento




d) Todos os alunos vão passare) Todos os alunos não vão passar

03. A equivalência de “Nenhum político é honesto” é:a) Todas as pessoas são honestasb) Todos os políticos são desonestosc) Ninguém é honestod) Todo político é honestoe) Pelo menos um político é honesto

04. Dadas as proposições:I – Toda mulher é boa motorista.II – Nenhum homem é bom motorista.III – Todos os homens são maus motoristas.IV – Pelo menos um homem é mau motorista.V – Todos os homens são bons motoristas.

A negação da proposição (V) é:a) I b) II c) III d) IV e) V

05. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição.a) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião.b) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.c) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião.d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.

06. Das premissas:A: “Nenhum herói é covarde”B: “Alguns soldados são covardes”Podese corretamente concluir que:a) Alguns heróis são soldadosb) Alguns soldados são heróisc) Nenhum herói é soldadod) Alguns soldados não são heróise) Nenhum soldado é herói

07. "Se alguns Smaugs são Trois e alguns Trois são Ludgans, então alguns Smaugs são definitivamente Ludgans". Esta sentença é: a) VERDADEIRAb) FALSAc) Nem Falso nem verdadeirod) impossível de dizer

08. É bem conhecido que os marcianos tem, ao menos, uma cabeça. Um cientista assegura: "Todo marciano tem exatamente duas cabeças". Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das seguintes afirmações é necessariamente correta?a) Não há marciano com duas cabeças.b) Todo marciano, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças.c) Há um marciano que tem uma cabeça.d) Há um marciano que tem mais de duas cabeças.e) Há um marciano que, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças.

09. Se não é verdade que “Alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, então é verdade que:a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantesb) Nenhuma professora universitária dá aulas interessantesc) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitáriad) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.e) Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.

10. Sabe-se que de um grupo 25 atletas, alguns são baianos e dos 30 baianos, alguns são comerciantes, mas nenhum dos 40 comerciantes é atleta. Sabe-se ainda que o número de atletas baianos é o mesmo que dos comerciantes baianos, que também é igual ao número de baianos que não são nem atletas nem comerciantes. Dessa forma, determine o número de comerciantes que não são baianos.a) 35 b) 30 c) 25 d) 20

36




11. A sentença “ x Rx = a + b” é a negação de:a) “ x Rx a + b” b) “ x Rx > a + b” c) “ x Rx < a + b”d) “ x Rx = a + b” e) “ x Rx a + b”

12. Em determinada universidade, foi realizado um estudo para avaliar o grau de satisfação de seus professores e alunos. O estudo mostrou que, naquela universidade, nenhum aluno é completamente feliz e alguns professores são completamente felizes. Uma conclusão logicamente necessária destas informações é que, naquela universidade, objeto da pesquisa,a) nenhum aluno é professor. b) alguns professores não são alunos.c) alguns alunos são professores. d) nenhum professor é aluno.e) todos os alunos são professores.

13. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum cientista é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar que:a) Alguns cientistas são professores b) Alguns professores são cientistasc) Alguns professores não são cientistas d) Nenhum cientista é professore) Nenhum professor é cientista

14. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de Português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de Português é aluno de História, então:a) Pelo menos um aluno de português é aluno de inglêsb) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de históriac) Nenhum aluno de Português é aluno de matemáticad) Todos os alunos de informática são alunos de matemática. e) Todos os alunos de informática são alunos de português

15. Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra e como, neste grupo de amigas, não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:a) Pelo menos uma menina alegre tem olhos azuisb) Pelo menos uma menina loira tem olhos azuisc) Todas as meninas que possuem cabelos crespos são loirasd) Todas as meninas que possuem cabelos crespos são alegrese) Nenhuma menina alegre é loira

16. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Disto resulta que:a) Todo C é B. b) Todo C é A c) Algum A é Cd) Nada que não seja C é A e) Algum A não é C

17. Supondo que “todos os alunos são inteligentes” e que “Nem todos os filósofos também são inteligentes”, podemos logicamente concluir que:a) não pode haver aluno filósofo. b) algum filósofo é aluno.c) alguns aluno não são filósofos. d) se algum filósofo é aluno, então ele é inteligente.e) nenhum filósofo é inteligente.

18. Em uma festa com 500 pessoas, podemos afirmar com certeza que entre os presentes:a) Existe pelo menos um que aniversaria em maio.b) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia.c) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia.d) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia.e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro

19. Considere que os argumentos são verdadeiros: Todo comilão é gordinho; Todo guloso é comilão;Com base nesses argumentos, é correto afirmar que:a) Todo gordinho é guloso. b) Todo comilão não é guloso.c) Pode existir gordinho que não é guloso. d) Existem gulosos que não são comilões.e) Pode existir guloso que não é gordinho.

37




20. (FCC) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:“Alguma mulher é vaidosa.”“Toda mulher é inteligente.”

Assim sendo, qual das afirmações seguintes é certamente verdadeira?a) Alguma mulher inteligente é vaidosa. b) Alguma mulher vaidosa não é inteligente.c) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente. d) Toda mulher inteligente é vaidosa.e) Toda mulher vaidosa não é inteligente.

GABARITO01. E 02. C 03. B 04. D 05. C 06. D 07. B 08. E 09. A 10. B 11. E 12. B 13. C 14. C 15. E 16. C 17. D 18. B 19. C 20. A

ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

INTRODUÇÃO

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.

LÓGICA MATEMÁTICA

A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:

PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo alternativa. PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. p: "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) q: "3 + 5 = 2" ( F ) r: "7 + 5 = 12" ( V) s: "a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n – 2).180º ( V ) t: "O Sol é um planeta" ( F ) w: "Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )

SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógicoEX.:“Alguém está nascendo nesse exato momento” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar.

SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F.EX.:“O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V)“A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F)

38




SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)

não e Ou se ... então se e somente se tal que Implica Equivalente Existe

existe um e somente um qualquer que seja

O MODIFICADOR NEGAÇÃODada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou p. (Lê-se "não p" ).EXEMPLOS: p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V)~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F)

q: “João é magro”~q: “João não é magro”~q: “Não é verdade que João é magro”

s: “Fernando é honesto”s: “Fernando não é honesto”s: “Não é verdade que Fernando é honesto”s: “Fernando é desonesto”OBS.: Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.

p: “Diego dirige bem”~p: “Diego não dirige bem”~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem”

ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: pq, pq, pq, pq.Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir:

CONJUNÇÃO: p q (lê-se "p e q" ) DISJUNÇÃO: p q (lê-se "p ou q") CONDICIONAL: p q (lê-se "se p então q") BI-CONDICIONAL: p q (lê-se "p se e somente se q")

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

CONJUNÇÃO (E)

39

IMPORTANTE:Afirmação e negação

sempre possuem valores lógicos contrários!

Se A é V, então ~A é F

Se A é F, então ~A é V

A ~A

V F




A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa.EXEMPLO:Analise a afirmação: “Nesse final de semana estudarei raciocínio lógico e informática”. A:”Estudar raciocínio lógico” B:”Estudar informática”

TABELA VERDADEA B A BV V VF V FF F FV F F

CONCLUSÕES: Só existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmação seja verdadeira, deverei estudar raciocínio lógico e informática.

Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.

A B“Premissa A e premissa B”

DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU)

PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o “ou” significa que pelo menos uma das premissas é verdadeira.

EXEMPLO:Analise a afirmação: “Este final de semana irei à praia ou ao cinema”.A:”Irei à praia”B:”Irei ao cinema”

TABELA VERDADEA B A BV V VV F VF V VF F F

CONCLUSÕES: Sabendo que ele foi à praia, conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema. Sabendo que ele não foi à praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia. Sabendo que ele não foi ao cinema, conclui-se que certamente foi à praia.

Observe que, nesse caso, o “ou” significa que eu irei a “pelo menos” um desses lugares no fim de semana (o fim de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares).

A v B“Premissa A ou premissa B”

40

A B (lê-se “Premissa A e premissa B”)

A B (lê-se “Premissa A ou premissa B”)




DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU)

Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes.

PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, devemos entender que se trata de disjunção excludente.

EXEMPLO:Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em São Paulo”. A:”Felipe nasceu em Fortaleza”B:”Felipe nasceu em São Paulo”

TABELA VERDADEA B A BV V FV F VF V VF F F

CONCLUSÕES: Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo. Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo. Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza. Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza.

Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira.

A v B“Ou premissa A, ou premissa B”

(Premissas excludentes)

CONDICIONAL (SE ... ENTÃO)

Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira.

EXEMPLO:Analise a afirmação: “Se eu receber dinheiro na sexta-feira então irei a praia no fim de semana”. A:”Receber dinheiro na sexta-feira” B:”Ir a praia no fim de semana”

TABELA VERDADEA B A B

41

A B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”)

A B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”)




V V VF V VF F VV F F

CONCLUSÕES: Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que necessariamente fui à praia. Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu posso ter ido ou não à praia. Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que eu posso ter recebido ou não o dinheiro. Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que necessariamente eu não recebi o dinheiro.

Observe que a afirmação só será falsa, se eu receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia.

A B“Se premissa A, então premissa B”

Com base na tabela podemos concluir que A B é equivalente a ~B ~A“Se não for verdadeira a premissa B, então não será verdadeira a premissa A”

OBS.: A é condição suficiente para que B ocorra B é condição necessária para que A ocorra ~B é condição suficiente para que ~A ocorra ~A é condição necessária para que ~B ocorra

CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)

CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre)

RESUMINDO:Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.

Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo.

ATENÇÃO!

Algumas maneiras diferentes de escrever a proposição “Se A então B”:

A B ~B ~Ap: “Se chover então irei ao shopping”p: “Se chover, irei ao shopping”p: “Chovendo, irei ao shopping”p: “Quando chove, vou ao shopping”p: “Sempre que chove, vou ao shopping”p: “Toda vez que chove, vou ao shopping”p: “Caso chova, irei ao shopping”p: “Chover implica em ir ao shopping”p: “Chover é condição suficiente para ir ao shopping”p: “Ir ao shopping é condição necessária para chover”

42

A B ~B ~A

A é SUFIENTE para B ~B é SUFIENTE para ~A

A B ~B ~A

B é NECESSÁRIO para A ~A é NECESSÁRIO para ~B




p: “Se não for ao shopping então não choveu”p: “Não chover é condição necessária para não ir ao shopping”p: “Não ir ao shopping é condição suficiente para não chover”

BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)

Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser.

EXEMPLO:Analise a afirmação: “Irei a praia no fim de semana, se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira”. A:”Ir a praia no fim de semana”B:”Receber dinheiro na sexta-feira”

TABELA VERDADEA B A BV V VF V FF F VV F F

CONCLUSÕES: Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que certamente fui à praia. Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu não fui à praia. Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que é porque eu recebi o dinheiro. Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que certamente eu não recebi o dinheiro.

Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico.

A B“Premissa A, se e somente se Premissa B”

Da análise da tabela podemos concluir que A B é equivalente a ~A ~B“Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B”

OBS.: A é condição necessária e suficiente para que B ocorra B é condição necessária e suficiente para que A ocorra

TABELA VERDADE

Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1) ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

TABELA VERDADE

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.

43

p q p q p q p q p qV V V V V VV F F V F FF V F V V FF F F F V V

A B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”)




a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.

EQUIVALÊNCIAS

Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por exemplo, dizer que A:“João é rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”, no entanto, dizer B:“João não é pobre” não implica em dizer que A:“João é rico”, portanto A e B não são equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A B). Por outro lado, se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é desonesto” e de forma recíproca se Q:”João não é desonesto” então implica que P:”João é honesto”, portanto nesse caso P e Q são equivalentes pois uma proposição implica na outra (P Q).

A B = ~B ~AEx.:

“Se chover então irei ao shopping” “Se não for ao shopping então não choveu”“Se eu receber dinheiro, viajarei” “Se eu não viajar então não recebi dinheiro”“Caso não faça sol, irei entrarei na internet” “Se eu não entrei na internet então fez sol”

A B = B A = (A B) (B A)Ex.:

“Se e somente se fizer sol então irei à praia” “Se e somente se for à praia então fez sol”“Se e somente se receber dinheiro, viajarei” “Se receber dinheiro, viajo e se viajar então eu recebi”“Se e somente se passar, festejarei” “Se passar então festejo e se festejar é por que passei”

A B = (A B) (~A ~B)Ex.:

“Se e somente se passar, festejarei” “Ou passo e festejo, ou não passo e não festejo” “Se e somente se sentir fome então comerei” “Ou senti fome e comi, ou não senti fome e não comi”

NEGAÇÕES (~) ou ()

A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro.É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por exemplo, “rico” e “pobre” são antônimos, mas “João é pobre” não é a negação de “João é rico”, afinal se João não for rico não quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que “João não rico”. Mas existe caso em que o antônimo é a negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros.

TABELA VERDADEA ~AV FF V

Ex.:A: “Aline é bonita” ~A: ”Aline não é bonita” (não significa que ela é feia)B: “Kleyton é alto” ~B: ”Kleyton não é alto” (não significa que ele é baixo)C: “Daniel é magro” ~C: “Daniel não é magro” (não significa que ele é gordo)E: “Karol foi aprovada” ~D: “Karol foi reprovada” (nesse caso, reprovado significa não aprovado)F: “Lia é culpada” ~F: “Lia é inocente” (nesse caso, inocente significa não culpado)

ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

Sejam p, q e r três proposições simples e quaisquer, onde V é uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades:

LEIS IDEMPOTENTES p p = p

Ex.:“Eu não minto e só falo a verdade” “Eu falo a verdade”

p p = pEx.:

44




“Ou choverá ou cairá água do céu” “Choverá”

LEIS COMUTATIVAS p q = q p

Ex.:“Estudarei lógica e informática” “Estudarei informática e lógica”

p q = q pEx.:“Estudarei lógica ou informática” “Estudarei informática ou lógica”

LEIS DE IDENTIDADE p V = p (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico dependerá da premissa p)

Ex.:“Amanhã vai chover e o Sol é amarelo” (Pode ser V ou F, depende se choverá ou não)

p F = F (Se uma das premissas for necessariamente F, então o valor lógico será sempre F)Ex.:“Amanhã vai chover e a lua é quadrada” (Será F, independe de chover ou não)

p V = V (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico será sempre V)Ex.:“Amanhã choverá ou o Sol é amarelo” (Será V, independe de chover ou não)

p F = pEx.:“Amanhã vai chover ou a lua é quadrada” (Pode ser V ou F, depende se choverá ou não)

LEIS COMPLEMENTARES ~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação)

Ex.:“Não é verdade que Monyke não é bonita” “Monyke é bonita”

p ~p = FEx.:“Irei ao cinema e não irei ao cinema” (F)

p ~p = VEx.:“Ou irei ao cinema ou não irei ao cinema” (V)

~V = F (a negação de uma verdade é sempre falsa)Ex.:“Não é verdade que o Sol é amarelo” (F)

~F = V (a negação de uma mentira é sempre verdade)Ex.:“Não é verdade que a Lua é quadrada” (V)

LEIS ASSOCIATIVAS (p q) r = p (q r)

Ex.:“Sophia é linda e inteligente, além de ser muito legal” “Sophia é linda, além de inteligente e muito legal”

(p q) r = p (q r)Ex.:“Irei a praia ou ao cinema, ou irei jogar” “Ou Irei a praia, ou irei ao cinema ou jogar”

LEIS DISTRIBUTIVAS p (q r) = (p q) (p r)

Ex.:“Estudarei hoje e no fim de semana, ou irei ao cinema ou irei a praia” “Ou estudarei hoje e no fim de semana

irei ao cinema, ou estudarei hoje e no fim de semana irei à praia”45




p (q r) = (p q) (p r)Ex.:“Ou viajarei hoje ou no fim de semana irei ao cinema e à praia” “Viajarei hoje ou irei ao cinema no fim de

semana, e viajarei hoje ou no fim de semana irei à praia”

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGANTodas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. ~(p q) = ~p ~qA conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se não é verdade (p q) é por que pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas).

Ex:Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?A negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".

Ex.:“Não é verdade que Ribamar é carioca e alto” “Ribamar não é carioca ou Ribamar não é alto”

TABELA VERDADEP q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

~(p q) = ~p ~qA disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira, portanto se não é verdade (p q) é por que as proposições têm que ser falsas.

Ex:Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? A negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".Ex.:“Não é verdade que Rosélia foi à praia ou ao cinema” “Rosélia não foi à praia e não foi ao cinema”

TABELA VERDADEP q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~qV V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

~(p q) = p ~q O condicional (p q) só é falso se p for verdade e que q for falso, portanto se não é verdade (p q) é por que as proposições p e ~q têm que ser verdadeiras.Ex.:

Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então aprendo"? A negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo"

Ex.:“Não é verdade que se Milena receber dinheiro então viajará” “Milena recebe dinheiro e não viaja”

TABELA VERDADE (1)p q p q ~(p q)V V V FV F F VF V V FF F V F

TABELA VERDADE (2)

46




p q ~q p ~qV V F FV F V VF V F FF F V F

Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q .

TAUTOLOGIAS

Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: pq: “No concurso João foi aprovado ou reprovado”

CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA:s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer.Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:

p q p q p q (p q) (p q)V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.

Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico F) q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), Podemos concluir que a proposição compostas: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira.

NOTAS: a tautologia acima é também conhecida como regra de inferência. como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.

CONTRADIÇÃO

Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: pq: “Sophia nasceu em Fortaleza e em São Paulo”p~p:”Amanhã choverá e amanhã não choverá”Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.

EXEMPLO: A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos:

p ~p p ~pV F FF V F

Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira.

47




PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA

Nesse caso, as proposições compostas que não são nem “Tautologia” nem “Contradição” são chamadas de “Contingência”, ou seja, podem assumir valor lógico (V) ou (F), dependendo das demais proposições simples.

EXEMPLO: Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r, teremos:

NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas.

EXEMPLO

01. Todos acreditam que: “Cão que late, não morde”. Considerando verdadeira essa afirmação, então pode-se concluir que:a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder.b) Se um cão não latir irá morder.c) Se um cão não morder é por que ele latiu.d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão.e) Todos os animais que não mordem são cães.

SOLUÇÃO:

Se todo cão que late, não morde, então se um animal latir ele pode ser um cão, pois caso contrário ele não teria mordido. Se um cão latir e morder, fará com que a afirmação fique falsa.

02. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”.a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casab) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casac) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casad) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casae) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa

SOLUÇÃO:

Sabemos que a negação de A B é~(A B) = ~A ~B

Portanto, as possíveis negações para “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”, são~(A B): “Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”

Ou então~A ~B: “Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa”

03. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”, podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é:a) Se chover em Guaramiranga então fará frio.b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu.c) choveu em Guaramiranga e não fez frio.d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio.e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover.

48

p q r (p q) (p q) rV V V V VV V F V VV F V F VV F F F FF V V F VF V F F FF F V F VF F F F F




SOLUÇÃO:

A proposição composta dada, é equivalente aA B : “Se chover em Guaramiranga então faz frio”

Portanto, sua negação será~(A B) = A ~B

Ou ainda~(A B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio”

Que por sua vez equivale aA ~B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio”

04. Sabendo que “Sempre que um parlamentar é bom um bom político, ele é honesto” e “Se um parlamentar é honesto, ele é um bom político”. Então, de acordo com essas afirmações, podemos dizer que:a) Os políticos são sempre honestosb) Toda pessoa honesta é políticoc) Se e somente se um parlamentar for honesto, será um bom político.d) Todo parlamentar é bom político e honesto e) Se e somente se uma pessoa for honesta, será um parlamentar.

SOLUÇÃO:

Observe a equivalência a seguir(A B) (B A) = A B

A situação dada é bi-condicional, logo“Se somente se um parlamentar for honesto, será um bom político”

05. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que:a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

SOLUÇÃO:

Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A B é~(A B) = A ~B

Logo~(~(A B)) = ~(A ~B)

Ou ainda,A B = ~A v B

Nesse caso, as proposições abaixo são equivalentes~BB v AA = BB AA

VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADEDado

AA v ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro"

TABELA VERDADEAA ~BB AA v ~BBV V VV F VF V VF F F

Observe, que apenas a premissa composta BB AA: "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista"

tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Onde ~BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos contrários.

TABELA VERDADEAA BB BB AAV F VV V V

49




F F VF V F

RESUMÃO

EXERCÍCIOS

01. Sabendo que é verdade que “Sophia é rica”, podemos afirmar também que:a) “Sophia é pobre” b) “É verdade que Sophia é pobre”c) “É verdade que Sophia não é rica” d) “É verdade que Sophia não é pobre”e) “Não é verdade que Sophia é rica”

02. Aponte a afirmação equivalente à “Não é verdade que Beatriz não é bonita”.a) “Beatriz é feia” b) “Beatriz é bonita”c) “Beatriz não é feia” d) “É verdade que Beatriz não é bonita”e) “É verdade que Beatriz não é feia”

03. Sejam as proposições:(p): Amaury é gordo.(q): Amaury é estudioso.Para representarmos em símbolos a expressão “Amaury não é gordo e é estudioso” devemos escrever:a) ~p b) ~pq c) ~p~q d) ~pq e) ~p~q

04. Observe as proposições:(A): Maurício estuda informática(B): Maurício estuda lógica.(C): Maurício irá passar no concurso.Aponte o item que representa simbolicamente a expressão: ”Se e somente se Maurício estudar lógica e informática irá passar no concurso”.a) A (B C) b) (A B) C c) (A B) C d) (A B) C e) A (B C)

05. Sejam as proposições:(p): Guilherme é magro.(q): Guilherme é inteligente.Para representarmos em símbolos a expressão “Se Guilherme não é magro então Guilherme é inteligente” devemos escrever:

50

p q p q p q p q p q p v qV V V V V V FV F F V F F VF V F V V F VF F F F V V F

NEGAÇÕES

~(A B) = ~A v ~B

~(A v B) = ~A ~B

~(A v B) = (A B) v (~A ~B)

~(A v B) = A B

~(A B) = A v B

~(A B) = A ~B

EQUIVALÊNCIAS

A B = (A B) v (~A ~B)

A B = (A B) (B A)

A B = B A

A B = ~B ~A

A B = ~(A ~B) = ~A v B

A = ~(~A)




a) ~p q b) ~(p q) c) p ~q d) p ~q e) ~p ~q

06. Sejam as proposições:(p): Renato é alto(q): Renato é eleganteA proposição (r): “Não é verdade que Renato é alto ou elegante”, em linguagem simbólica, fica:a) ~pq b) ~(pq) c) ~(pq) d) ~p~p e) pq

07. Sendo A e B proposições simples, são dadas as seguintes proposições compostas:I. A BII. ~(A B)III. ~A ~BIV. ~(A B)Podemos afirmar que as proposições equivalentes a negação de (A B), são:a) somente I e II b) somente II e III c) somente III e IV d) somente I e IV

08. A negação da afirmação “Monyke é cerimonialista e organiza eventos” é equivalente a:a) “Monyke é cerimonialista ou organiza eventos”b) “Monyke não é cerimonialista e não organiza eventos”c) “É verdade que Monyke é cerimonialista e organiza eventos”d) “Não é verdade que Monyke é cerimonialista e organiza eventos”e) “Não é verdade que Monyke não é cerimonialista e não organiza eventos”09. Qual a negação da afirmação “Pedro gosta de lógica e informática”?a) “Pedro não gosta de lógica e informática”b) “Pedro odeia lógica e informática”c) “Pedro não gosta de lógica ou não gosta de informática”d) “É verdade que Pedro não gosta de lógica e informática”e) “Ou Pedro gosta de lógica ou de informática”

10. Dadas A e B proposições simples, observe as seguintes proposições compostas:I. A BII. ~(A B)III. ~A ~BIV. ~A ~BDentre elas, aponte aquelas que equivalem a negação de (A B).a) somente I e II b) somente II e III c) somente II e IV d) somente I e IV

11. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”.a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casab) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casac) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casad) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa

12. Uma sentença logicamente equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é solteira” é:a) Pedro é economista ou Luísa é solteirab) Pedro é economista ou Luísa não é solteirac) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

13. Dada a premissa “Não é verdade que Rodolfo não é legal”, então necessariamente não é verdade que:a) “Rodolfo é legal” b) “Rodolfo é magro”c) “Rodolfo não é magro” d) “Rodolfo não é legal”

14. Qual a negação de “Se chove em Guaramiranga então faz frio”?a) Chove em Guaramiranga e não faz frio. b) Não chove em Guaramiranga e não faz frio.c) Chove em Guaramiranga ou não faz frio. d) Se não chover em Guaramiranga, não faz frio.

15. Sabendo que “Se Milena receber R$500 então viajará no feriado”. Aponte o item falso.a) Receber R$500 é condição suficiente para Milena viajar no feriado.b) Viajar no feriado é condição necessária para Milena ter recebido R$500.c) Receber R$500 é condição necessária para Milena viajar no feriado.d) Não receber R$500 é condição necessária para Milena não viajar no feriado.

51




e) Não viajar no feriado é condição suficiente para Milena não ter recebido R$500.

16. Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3, então y=7”. A partir disto pode-se concluir que:a) Se x3, então y7. b) Se y=7, então x=3.c) Se y7, então x3. d) Se x=5, então y=5.

17. A negação de “Hoje é segundafeira e amanhã não choverá” é:a) “Hoje não é segundafeira e amanhã choverá”b) “Hoje não é segundafeira ou amanhã choverá”c) “Hoje não é segundafeira, então amanhã choverá”d) “Hoje não é segundafeira nem amanhã choverá”e) “Hoje é segundafeira ou amanhã não choverá”

18. Dizer que “não é verdade que Paulo é pobre e Alberto é alto”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:a) Paulo não é pobre ou Alberto não é alto.b) Paulo não é pobre e Alberto não é alto.c) Paulo é pobre ou Alberto não é alto.d) se Paulo não é pobre, então Alberto é alto.e) se Paulo não é pobre, então Alberto não é alto.

19. Sabendo que “Se Sophia estuda, consequentemente Monyke fica feliz”, podemos afirmar que o único item errado é:a) Sophia estudar é condição suficiente para Monyke ficar feliz.b) Monyke ficar feliz é condição necessária para Sophia estudar.c) Sophia não estudar é condição necessária para Monyke não ficar feliz. d) Sophia estudar é condição necessária e suficiente para Monyke ficar feliz.e) Monyke não ficar feliz é condição suficiente para Sophia não estudar.

20. Caso não chova, irei à praia. Logo,a) Ir a praia é condição suficiente para não chover. b) Ir a praia é condição suficiente para chover.c) Chover é condição suficiente para eu não ir a praia. d) Chover é condição necessária para eu ir à praia. e) Chover é condição necessária para eu não ir à praia.

21. Sabendo que “Tirar férias e receber dinheiro é condição suficiente para que eu esteja feliz ou viaje”, aponte a única condição para que essa afirmação seja falsa.a) Caso eu tire férias, receba dinheiro, esteja feliz e viaje.b) Caso eu não tire férias, não receba dinheiro, não esteja feliz e não viaje.c) Caso eu tire férias, receba dinheiro, não esteja feliz e não viaje.d) Caso eu não tire férias, não receba dinheiro, esteja feliz e viaje.e) Caso eu não tire férias, receba dinheiro, não esteja feliz e viaje.

22. Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (pr)(qs) será:a) verdadeira, somente se p for verdadeirab) verdadeira, somente se q for verdadeirac) verdadeira, para qualquer valores lógicos de p e qd) falsa, se p for verdadeira e q falsae) falsa, se p e q forem ambas falsas

23. (CESPE) Considerando que P e Q sejam proposições e que , , e sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conectivo condicional”, assinale a opção que não apresenta uma tautologia.a) P (P Q) b) (P Q) (P Q)c) (P Q) P d) (P Q) Q

24. (CESPE) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que , , e sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conectivo condicional”. Considere também a proposição a seguir.

“Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado”

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que

52




P = “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”Q = “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”R = “ele sempre leva um guarda-chuva”S = “ele sempre leva dinheiro trocado”

Entãoa) P (Q R) b) (P Q) R c) (P Q) (R S) d) P (Q (Q S))

GABARITO01. D 02. B 03. B 04. D 05. A 06. B 07. C 08. D 09. C 10. C11. C 12. E 13. D 14. A 15. C 16. C 17. B 18. A 19. D 20. E21. C 22. D 23. B 24, C

ANÁLISE DE PROPOSIÇÕES

INTRODUÇÃO

A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas anteriores, sobretudo os “links” apresentados para cada conectivo estudado: “ou” , “ou...ou” , “e” , “se...então” e “se e somente se” .

Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica), localizar um ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um “efeito dominó”, deduzir todos os valores lógicos (V ou F) das outras proposições simples, admitindo que todas as proposições compostas são verdadeiras.

INFERÊNCIA

Inferência, do latim inferre, é o mesmo que dedução. Em lógica, inferência é a passagem, através de regras válidas, do antecedente ao conseqüente de um argumento.A inferência é, portanto, um processo pelo qual se chega a uma proposição, afirmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. Então, inferir significa deduzir.

PREMISSA

Num silogismo (raciocínio ou conexão de idéias), as premissas são os dois juízos que precedem a conclusão e dos quais ela decorre como conseqüente necessário - antecedentes - de que se infere a conseqüência. Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são comparados com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus termos.

O silogismo é estruturado do seguinte modo: Todo homem é mortal (premissa maior) – homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula;

– é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado; – mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula. Sócrates é homem (premissa menor) Sócrates é mortal (conclusão)Há palavras que ajudam a identificar as premissas (indicadores das premissas), como: se, caso, quando, porque, desde que, pois que, como, dado que, tanto mais que, pela razão de que.Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma argumentação, precedem a conclusão.

CONCLUSÃOA conclusão de um argumento é aquela que se afirma com base nas outras proposições desse mesmo argumento, e, por sua vez, essas outras proposições que são enunciadas como prova ou razões para aceitar a conclusão são as premissas desse argumento.Proposição é normalmente usado para expressar o significado de uma sentença ou oração declarativa. Note que "proposição" e "enunciado" não são sinônimos, mas no contexto lógico são usados em sentido quase idênticoOportuno esclarecer que "premissa" e "conclusão" são termos relativos, uma só proposição pode ser premissa num argumento e conclusão noutro. Isoladamente, nenhuma proposição é uma premissa ou uma conclusão. "Só é premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. Só é conclusão quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse argumento". Deste modo premissa e conclusão são termos relativos, como empregador e empregado, dependem do contexto: empregador para a sua doméstica, empregado para a empresa que trabalha.

53

http://pt.wikipedia.org/wiki/Silogismo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Argumento

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Conseq%C3%BCente&action=edit

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Antecedente&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica




Frequentemente, a conclusão é apresentada (enunciada) primeiro, seguindo-se-lhe as premissas propostas em seu apoio. Mas pode corretamente estar no final do argumento ou intercalada entre as premissas. Palavras como: portanto, daí, logo, assim, consequentemente, segue-se que, podemos inferir, podemos concluir, são indicadores da conclusão.

ARGUMENTO

Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria. O argumento exprime com freqüência o conceito geral de prova. Chama-se argumento porque estimula a mente e a ilumina para intuir a verdade e dar-lhe a sua adesão.No mínimo, um argumento envolve duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão. Para se distinguir um argumento correto de um incorreto é preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões.

EXEMPLO:“Todo homem é mortal”“Eu sou um homem”“Eu sou mortal”

EXEMPLO:“Se eu receber dinheiro, viajo”“Se eu viajar, fico feliz”“Recebi dinheiro”

“Estou feliz”

EXEMPLO:“Caso não chova, irei a praia”“Caso vá à praia, bronzeio”

“Se não chover, bronzeio”

PROVA

A palavra prova no processo, bem como em outros ramos das ciências, pode assumir diferentes conotações. Tanto o é que possui vários sentidos tanto na linguagem popular quanto no uso técnico, e dentre eles, o dos juristas. Em direito, prova é qualquer evidência factual que ajude a estabelecer a verdade de algo.Prova é todo meio destinado a convencer o juiz, seu destinatário, a respeito da verdade de um fato levado a juízo.O vocábulo prova serve também para nomear os elementos fornecidos ao juiz, pela atividade probatória, para que este, com eles, reconstrua mentalmente aqueles fatos relevantes.

ANALOGIAUma analogia é uma relação de equivalência entre duas outras relações. As analogias têm uma forma de expressão própria que segue o modelo: A está para B, assim como C está para D. Por exemplo, diz-se que: "Os patins estão para o patinador, assim como os esquis estão para o esquiador". Ou seja, a relação que os patins estabelecem com o patinador é idêntica à relação que os esquis estabelecem com o esquiador.A maior parte das pessoas achará a analogia dos esquis/patins verdadeira. No entanto, é extremamente difícil estabelecer de forma rigorosa porque é que é verdadeira. Normalmente, as analogias são fluidas e uma análise mais detalhada poderá revelar algumas imperfeições na comparação. Afinal, esquiar e patinar são atividades parecidas, mas não são exatamente iguais.Em matemática foi desenvolvida uma versão mais formal de analogia, o isomorfismo.

DEDUÇÃO

Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular.

Exemplo:

54

PREMISSAS

CONCLUSÃO

ARGUMENTAÇÃO

PREMISSAS

CONCLUSÃO

ARGUMENTAÇÃO

PREMISSAS

CONCLUSÃO

ARGUMENTAÇÃO




O Ser humano é imperfeito; Eu sou um ser humano; Logo, eu sou imperfeito;

Exemplo: Todo mamífero tem um coração; Todos os cavalos são mamíferos; Logo, todos os cavalos têm coração;

INDUÇÃOOs “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação dos

fatos. Então, raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal.

EXEMPLO:Sabe-se que: O ferro conduz eletricidade O ferro é metal O ouro conduz eletricidade O ouro é metal O cobre conduz eletricidade O cobre é metalLogo os metais conduzem eletricidade.

EXEMPLO: Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração; Logo, todos os cavalos tem um coração;

O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado analítico, pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de indução, uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva.

EXEMPLOS

01. Dadas as seguintes premissas Caso não chova no fim de semana, irei a praia Quando vou à praia, como caranguejo Sempre que como caranguejo, bebo refrigerante Esse fim de semana não choveuEntão a conclusão será que nesse fim de semanaa) Comi caranguejo e bebi refrigeranteb) Não comi caranguejo e bebi refrigerantec) Comi caranguejo e não bebi refrigeranted) Não comi caranguejo e não bebi refrigeranteSOLUÇÃO:

Representando por siglas as proposições, torna-se mais fácil a representação simbólica. CH: "Chover no fim de semana"P: "Irei a praia"CC: "Comer caranguejo"R: "Tomar refrigerante"

Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma:~CH P

P CCCC R~CH

Partindo da proposição simples "Não choveu no fim de semana" (~CH), segue por “efeito dominó” a seqüência conclusiva representada pelas setas.

~CH P V V

55

2

EFEITO DOMINÓ:

1. Transferindo a informação inicial;

2. Como não choveu, eu tenho que ir à praia;

3. Transferindo essa informação;

4. Como eu fui à praia, tive que comer caranguejo;


6. Já que eu comi caranguejo, então também tomei refrigerante;




P CCV V

CC RV V

~CH V

Portanto, João Comi caranguejo e bebi refrigerante.

RESPOSTA: Item A

02. Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de seu cliente. Se João não estava na cidade então ele é inocente Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feiraTomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que:a) João é inocente e não visitou Anab) João é inocente e visitou Anac) João é culpado e não visitou Anad) João é culpado e visitou Anae) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão

SOLUÇÃO:

SejamJC: "João estava na cidade "I: "Inocente"AM: "almoçou com a mãe"VA: " visitou Ana"RD: "Recebeu dinheiro"

Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma:

~JC IJC AMAM VARD VARD

Partindo da proposição simples "João recebeu dinheiro" (RD), segue por “efeito dominó” a seqüência conclusiva representada pelas setas.

~JC I V V

JC AM F F

AM VA F V

RD VA V V

561

2

3

4

5

6

7

8

EFEITO DOMINÓ:

1. Transferindo a informação inicial;

2. Como ele recebeu dinheiro, tem que ter ido visitar Ana;


4. No “ou...ou”, somente uma das afirmações é verdadeira, logo AM é F;


6. Se “JC” fosse V, então “AM” tinha que ser V, logo “JC” é F;

7. A negação sempre tem valor lógico contrário;

1

3

4

6

5




RD V

Portanto, João é inocente, não almoça com a mãe e visita Ana na cidade vizinha.

RESPOSTA: Item B

03. (IPAD) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado. Mas George não é culpado. Logo: a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica.b) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala.c) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica.d) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende.e) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica.

SOLUÇÃO:

Sejam ~BL GC : “Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado”RS ~BL : “Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica”LL RS : “Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala”

Sabendo que “George não é culpado” é V, então GC é F, segue então

~BL GC F F

RS ~BL F F

LL RS F F

Portanto, “Bertrand entende de lógica” e “Não há um rinoceronte na sala”

RESPOSTA: Item B

EXERCÍCIOS

01. Sabe-se que ou João é rico, ou Maria não é bonita. Sabe-se ainda que ou Maria é bonita ou José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo:a) Maria não é bonita b) João não é ricoc) José é rico d) José não é rico e) Maria é bonita

02. Se João é rico, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo:a) Maria é bonita b) João é ricoc) José é rico d) João não é rico e) Maria é rica

03. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora, portanto:a) Ana é advogada b) Sandra é secretáriac) Ana é advogada ou Paula não é professora d) Ana é advogada e Paula é professorae) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.

04. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então:a) Estou feliz e fiz uma boa ação. b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação.c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação.

05. (ESAF) Ou A=D, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=B. Ora, B=D. Logo:a) B C b) B A c) C = A d) C = D e) D A

57

5

4

3

2

1

EFEITO DOMINÓ:

1. Se “~BL” fosse V, então “GC” tinha que ser V, logo “~BL” é F;

2. Transferindo a informação;

3. Se “RS” fosse V, então “~BL” tinha que ser V, logo “RS” é F;


5. Se “LL” fosse V, então “RS” tinha que ser V, logo “LL” é F;




06. (ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M + H = 1. Ora, M + H 1. Logo:a) 2w – 3r = 0 b) 4p + 3r 2w – 3r c) M 2x + 3yd) 2x + 3y 2w – 3r e) M = 2w – 3r

07. Ou lógica é fácil, ou Aurisvanderson não gosta de lógica. Por outro lado, se geografia não é difícil, então lógica é difícil. Daí segue–se que, Aurisvanderson gosta de lógica, entãoa) se geografia é difícil, então lógica é difícil.b) Lógica é fácil e geografia é difícil.c) Lógica é fácil e geografia é fácil.d) Lógica é difícil e geografia é difícil.e) Lógica é difícil e geografia é difícil.

08. Se Aline é atleta, Bárbara é bailarina. Se Bárbara é bailarina, Carine é carioca. Por outro lado, Aline é atleta, ou Débora é dentista. Se Débora é dentista, então x = 5. Ora, x 5. Logo:a) Aline não é atleta e Carine não é carioca b) Débora é dentista ou x = 5c) Aline é atleta e Débora é dentista d) Carine é carioca e x = 5e) Carine é carioca ou x = 5

09. Se Paulo vai a Paris, então Rui vai a Roma ou Sandra vai a Salvador. Se Rui vai a Roma, então Beto vai a Berlim. Se Beto vai a Berlim, então Sandra vai a Salvador. Ora, Sandra não vai a Salvador, então:a) Beto não vai a Berlim e Rui vai a Roma.b) Paulo vai a Paris e Rui vai a Roma.c) Paulo vai a Paris e Rui não vai a Roma.d) Paulo não vai a Paris e Beto vai a Berlime) Paulo não vai a Paris e Beto não vai a Berlim

10. Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de seu cliente. Se João não estava na cidade então ele é inocente Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feiraTomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que:a) João é inocente e não visitou Ana b) João é inocente e visitou Anac) João é culpado e não visitou Ana d) João é culpado e visitou Anae) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão

11. (FCC) As sentenças abaixo são verdadeiras. Se vou à Brasília de avião, o vôo atrasa. Se o vôo para Brasília atrasa, fico mal-humorado.Então, também é verdade quea) se o vôo para Brasília não atrasa, não estou indo à Brasília de aviãob) se não vou à Brasília de avião, fico mal-humoradoc) se o vôo para Brasília não atrsa, não fico mal-humorado.d) o vôo para Brasília não atrasa e não fico mal-humorado.e) vou à Brasília de avião e não fico mal-humorado.

12. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição:a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa.b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria.c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria;d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria.e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa.

13. Nas férias de julho, se for à Argentina, irei à Bariloche. Sempre que vou à Bariloche, sinto muito frio. Nas férias, ou sinto muito calor, ou sinto muito frio. Se e somente se for a Salvador, sentirei muito calor. Na volta, passarei em Salvador ou Recife. Sabendo que fui à Argentina, então na volta:a) passei em Salvador e Recife. b) passei somente em Recife.c) passei somente em Salvador. d) não passei nem em Salvador, nem em Recife.

14. (ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:

58




a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemãoc) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francêse) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

15. (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:a) Nestor e Júlia disseram a verdade b) Nestor e Lauro mentiramc) Raul e Lauro mentiram d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdadee) Raul e Júlia mentiram

16. (ESAF) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P"Premissa 2: "X não está contido em P"Pode-se, então, concluir que, necessariamentea) Y está contido em Z b) X está contido em Zc) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Ye) X não está contido nem em Y e nem em Z

17. (ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caiod) Adriano e José e) José e Adriano

18. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo.b) Bernardo é barrigudo ou César é careca.c) César é careca e Maria e magra.d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo.e) Lúcia é linda e César é careca.

19. (ESAF) Caio quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo ainda está na cidade. Suas amigas, Cecília, Cibele e Cleusa, têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleusa está enganada. Se Cleusa estiver enganada, então Cibele está enganada. Se Cibele estiver enganada, então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade, ou Caio não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo:a) o circo está na cidade. b) Cibele e Cleusa não estão enganadas.c) Cleusa está enganada, mas não Cibele. d) Cibele está enganada, mas não Cleusa.e) Caio não irá ao circo.

20. Se Lara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Lara fala italiano, então ou Débora fala dinamarquês ou Ching fala chinês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês, então:a) Lara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Lara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

21. (ESAF) No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Denise dança, o grupo de Denise é aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Paula vai ao parque ou vai pescar na praia. Sempre que Paula vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e sempre que Paula vai ao parque, Denise dança. Então, no último domingo, a) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise foi aplaudido de pé.b) o grupo de Denise não foi aplaudido de pé e Paula não foi pescar na praia.c) Denise não dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé.d) Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé.e) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise não foi aplaudido de pé.

22. (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;

59




o mordomo não é inocente. Logo pode–se afirmar que:a) a governanta e o mordomo são os culpadosb) o cozinheiro e o mordomo são os culpadosc) somente a governanta é culpadad) somente o cozinheiro é inocentee) somente o mordomo é culpado

23. (ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentesc) André e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpadose) André e Dênis são culpados

24. (ESAF) Se a = b+p, então a = z+r. Se a = z+r, então a = w – r. Por outro lado, a = b+p, ou a = 0. Se a = 0, então a+u = 5. Ora, a+u 5. Logo, a) w – r = 0 b) a b+p c) a = w – r d) z+r w – r e) b+p w – r

25. (FJPF) Há um dito popular que afirma: “De noite todos os gatos são pardos”. Considerando-se somente esta afirmação, pode-se concluir que:a) corujas não são gatos porque são aves e gatos são mamíferos;b) se um animal ficar pardo à noite, então ele é gato;c) se todos os gatos estiverem pardos, então é noite;d) se um animal não ficar pardo à noite, então ele é não gato;e) se um gato não estiver pardo, então é de manhã.

26. (FJPF) Em uma certa cidade, quando o céu fica coberto de pequenas nuvens - céu pedrento - há um dito popular que ensina: “Quando o céu está pedrento então chove ou venta”. A partir daí, pode-se afirmar que o ditado:a) acerta quando chove e venta;b) erra quando não venta;c) só acerta quando venta e chove ao mesmo tempo;d) erra quando chove;e) acerta sempre.

27. Todos acreditam que: “Cão que late, não morde”. Considerando verdadeira essa afirmação, então pode-se concluir que:a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder.b) Se um cão não latir irá morder.c) Se um cão não morder é por que ele latiu.d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão.e) Todos os animais que não mordem são cães.

28. Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando Chove, não passeio ou fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio e não estou deprimida. Portanto, hojea) Se estou deprimida, não vejo Carlos, não chove e não faz calor b) Se estou deprimida, não vejo Carlos, chove e faz calorc) Se não estou deprimida, vejo Carlos, não chove e faz calord) Se não estou deprimida, vejo Carlos, chove e faz calore) Se não estou deprimida, não vejo Carlos, chove e não faz calor

29. Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.

30. Se navegar é preciso, então viver não é preciso; se navegar não é preciso, então criar não é preciso. Mas Fernando Pessoa disse que criar é preciso, logo:a) viver é preciso e criar é preciso.b) navegar é preciso e viver não é preciso.c)criar é preciso e navegar não é preciso.d)navegar é preciso e viver é preciso.

60




GARARITO 01. E 02. D 03. B 04. A 05. A 06. E 07. B 08. E 09. E 10. B 11. A 12. B 13. B 14. B 15. B 16. B 17. B 18. A 19. E 20. A21. D 22. B 23. B 24. C 25. D 26. A 27. D 28. C 29. A 30. B

EXERCÍCIOS COMENTADOS – RACIOCÍNIO LÓGICO

1) Diga qual é a negação de cada proposição abaixo .

a) mdc (2,3) = 1 ou mmc (2,3) 6 i) Todo número inteiro é primo é impar.b) 3/5 = 6/10 ou 3 x 10 6 x 5 j) Todo triângulo isósceles é eqüiláteroc) 3/7 1 e – 3 – 7 k) Existe um losango que não é quadradod) 22 = 4 = 2 l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero

e) (– 3 )2 = 9 – 3 m) Todo triângulo que tem três ângulos f) 2 5 32 52 congruentes tem três lados congruentes.g) (x ) ( x 2 3x 32 )h) ( x ) ( 0 )

2) Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior.

3) Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo.a) da conjunção c) da conjunção relativamente à disjunção p q q p p ( q r ) ( p q) (p r ) ( p q ) r p ( q r) p ( q r ) (p q) (p r ) p p p p ( p q ) p p v p p ( p q ) p p f fb) da disjunção d) da negação p q q p ( p ) p (p q ) r p (q r) ( p q) p q p p p ( p q) p q p v v p f pEm que p, q, r são proposições quaisquer, é uma tautologia e uma proposição logicamente falsa.

4) A negação da frase “Todas as mulheres são honestas” é.a) nenhuma mulher é desonesta d) Nenhuma mulher é honestab) Todas as mulheres são honestas e) Algumas mulheres são desonestas.c) Algumas mulheres são honestas

5) Numa gaveta há 20 meias pretas e 20 marrons, qual o número mínimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter a certeza de formar um par da mesma cor? a) 2 b) 20 c) 3 d) 4 e) 40

6) Timóteo tem na sua cômoda, 18 meias azuis, 12 amarelas, 8 cor de laranja,30 verdes e 2 roxas.As meias estão todas misturadas Timóteo, pega em algumas, às escuras, se lhes ver a cor. Em quantas meias deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos, um par da mesma cor? a) 6 b) 5 c) 4 d)3 e)2

7) Trens, malas, maior. Estas palavras seguem uma Regra Lógica. Das palavras seguintes, qual poderá continuar a série? a) Parti c) calma e) menor b) aulas d) boião

61




8) Esta série de palavras segue uma Regra Lógica: Água, açor, corpo, pranto, cristal, fantástico. Das palavras abaixo, qual poderá continuar a série: a) Honrado c) Constituinte e) Profícuo b) Abstêmio d) Equivalente

9) Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite, ao dormir, desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do 1º dia, quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? a) 9 dias e meio c) 10 dias e meio e)12 dias b) 10 dias d) 11 dias

10) Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas, de acordo com as afirmativas abaixo. I – A bola amarela está depois da branca II – A bola azul está antes da verde III - A bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes desta. IV - A bola verde é a menor de todas.

a)branca,amarela, verde e azul d)azul,branca,amarela e verdeb)branca,azul,amarela e verde e)azul,branca,verde e amarela.c) branca, azul, verde e amarela.

* Nos exercícios 11 a 13, assinale a opção que contém o numeral correto, sabendo que as seqüências seguem uma ordem lógica.

11) 4, 11, 17, 22, 26, 29, 31, _____ a) 31 b) 30 c) 32 d) 29 e) 33

12) 67, 64, 59, 52, 43, 32, 19,_____ a) 18 b) 8 c) 17 d) 7 e) 4

13) 2, 5, 10, 14, 28, 33, 66, _______ a) 71 b) 132 c) 72 d) 144 e) 73

14) Anteontem Maria tinha 17 anos. No ano que vem, ela vai fazer 20 anos. Que dia é hoje?a)1º de Abril b) 31 de dezembro c) 1º de Janeirod) dia do seu aniversário e) um dia antes do seu aniversário

15) Se a praia não está movimentada, então os pássaros voam. Se a praia está movimentada, então o pássaro não canta. Ora, o pássaro canta, logo:a) A praia está movimentada e o pássaro voa.b) A praia está movimentada e o pássaro não voa.c) A praia não está movimentada e o pássaro voa.d) A praia não está movimentada e o pássaro não voae) Se o pássaro canta, então eles não voam.

16) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: Ari, Belo, Caio e Denis. Interrogados, fazem as seguintes declarações:Ari: “Belo é o culpado”.Belo: “Denis é o culpado”.Caio: “Eu não sou culpado”.Denis: Belo mente quando diz que sou culpado”.Sabendo-se que apenas um dos quatro não falou a verdade, quem é o culpado do crime cometido? a) Ari b) Belo c) Caio d) Denis

62




17) Três meninos, cujos nomes são André, Beto e Carlos, tem as seguintes características: um dos três é louro, outro é moreno e o outro ruivo. André mente sempre que Beto diz a verdade. Carlos mente quando Beto mente. Cada um dos meninos faz uma afirmação: André afirma: Eu sou brasileiro ou não sou brasileiro. Carlos afirma: Beto é ruivo. Beto afirma: Eu sou loiro ou Carlos é ruivo.Considerando as características e as afirmações citadas, é correto concluir que André, Beto e Carlos são, respectivamente caracterizada como:

a) Louro, ruivo, moreno d) Ruivo, moreno, lourob) Ruivo, louro, moreno e) Moreno, louro, ruivo.c) Louro, moreno, ruivo.

18) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas – G – envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se no conjunto G, o individuo P afirmar que o individuo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e eles são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que:

a) apenas P fala a verdade.b) apenas Q fala a verdade.c) P e Q falam verdaded) P e Q mentem.e) As afirmações são inconsistentes.

19) Há três suspeitos de um crime: A governanta o cozinheiro e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se ainda que: Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; O mordomo não é inocente Logo:a) A governanta e o cozinheiro são culpadosb) Somente o cozinheiro é inocentec) Somente a governanta é culpadad) O cozinheiro e o mordomo são os culpadose) Somente o mordomo é culpado.

20) Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. Marcos mente sempre na terça, quarta e quinta, dizendo a verdade nos outros dias da semana. Paulo mente sempre na sexta, sábado e domingo, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia, dialogando entre eles, afirmam. Marcos: “Eu mentirei amanhã assim como ontem”. Paulo: “Hoje é terça-feira” Em que dia da semana ocorreu esse diálogo?a) segunda-feira c) quarta-feira e) domingob) terça-feira d) sábado

21) Se Fred fala francês, então Albert não é alemão. Ou Albert é a alemão, ou Éden é espanhol. Se Pedro não é português, então Fred é francês. Ora, nem Éden é espanhol nem Isa é Italiana. Assim:

a) Pedro é português e Fred é francês.b) Pedro é português e Albert é Alemãoc) Pedro não é português e Albert é alemãod) Eden é espanhol ou Fred é francês.e) Éden é espanhol ou Albert não é alemão. 22) Se W = 2a + 3b, então W = 4p + 3r . Se W = 4p + 3r, então W = 2s – 3r. Por outro lado, W = 2a + 3b, ou W = 0. Se W = 0, então W + S = 5. Ora, W + S 5. Então a) 2s – 3r = 0 d) 2a + 3b 2s – 3rb) 4p + 3r 2s – 3r e) W = 2s – 3r c) W 2a + 3b

23) Paulo guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontra-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Paulo abre a gaveta e pega algumas gravatas.

63




O número mínimo de gravatas que Paulo deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:

a) 6 b) 8 c) 18 d) 23 e)22

QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES

1) (PUC-SP) A negação da proposição x ( A B) é:a) x ( A B )b) x A ou x Bc) x A e x Bd) x A ou x B e) x A e x B

2) (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é:

a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choveráb) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverác) Hoje não é segunda-feira, então amanhã choverád) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choveráe) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá

3) (FEI-SP) Dadas as proposições:(1) Toda mulher é boa motorista.(2) Nenhum homem é bom motorista.(3) Todos os homens são maus motoristas.(4) Pelo menos um homem é mau motorista.(5) Todos os homens são bons motoristas.a negação de (5) é:

a) (1) b) (2) c) (3) d) (4) e) n.d.a

4) (PUC-RS) A sentença (x x – a = b) é a negação de:a) x x – a b

64

Respostas1) a) mdc(2,3) 1e mmc(2,3) = 6 j) Existe um triangulo isósceles e não eqüilátero. b) 3/5 6/10 ou 3 x 10 = 6 x 5 k) Todo losango é quadrado.

c) 3/7 1 ou – 3 – 7 l)Todo número tem raiz quadrada diferente de zero. d) 22 = 4 e 4 2 m)Existe um triângulo eqüiângulo e não eqüilátero e) ( – 3 )2 = 9 e 9 = 3 2)a)F b)F c)V d)F e)F f)F g)F f) 2 5 e 32 52h)V i)V j)V k)F L)F m)F 4)E 5) C 6) A 7) D 8) C g) ( x ) ( x 2 e 3x 32 9)A 10)B 11)C 12)E 13) C h) ( x ) ( x 0 ) 14)C 15)C 16)B 17)D 18)D i) Existe um número inteiro primo e par 19)D 20)B 21)B 22)E 23) A




b) x x – a b c) x x – a bd) x, x – a = be) x, x – a b

5) (UNESP) Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam de si mesmas:a) gosta de si mesma.b) não gosta de si mesma.c) não existe.d) gosta de alguém.e) não gosta de ninguém.

6) (FATEC-SP) Considere verdadeiras as três seguintes afirmações: I - Todos os amigos de João são amigos de Mário II- Mário não é amigo de qualquer amigo de PauloIII - Antonio só é amigo de todos os amigos de Roberto.Se Roberto é amigo de Paulo, entãoa) Antonio é amigo de Máriob) João é amigo de Robertoc) Mário é amigo de Robertod) Antonio não é amigo de João.e) n.d.a

7) (FEI-SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são fanáticos” – “Existem fanáticos inteligentes”, pode-se tirar a conclusão seguinte:a) “Existem corintianos inteligentes”.b) “Todo corintiano é inteligente.”c) “Nenhum corintiano é inteligente”.d) “Todo inteligente é corintiano”.e) Não se pode tirar conclusão.

8) (MACK-SP) Duas grandezas x e y são tais que: “se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que:a) se x 3, então y 7.b) se y = 7, então x = 3.c) se y 7, então x 3.d) se x = 5, então y = 5.e) nenhuma das conclusões anteriores é valida

9) (U.F.-GO) A negação de x 2 é: a) x 2 b) x 2 c) x 2 d) x 2 e) x 2

10) (FUVEST) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro lado uma letra.

Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:a) é necessário virar todos os cartõesb) é suficiente virar os dois primeiros cartõesc) é suficiente virar os dois últimos cartões.d) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) é suficiente virar o primeiro e o ultimo cartão.

11) (PUC-RS) Sejam p e q duas proposições. A negação de p q equivale a:

a) p q b) p q c) p q d) p q e) p q

12)(VUNESP)A negação de “para todo real x existe um real y tal que y x”é equivalente a: a) existe um real x tal que x y para todo real y.

65

A B C 2 3




b) não existe um real x tal que x y para todo real y. c) existe um real x tal que y x para todo real y. d) não existe um real x tal que y x para todo real y e) para todos reais x, y, com x y, existe um real z com x z y. 13) (U.F.BA) A proposição p q q r é verdadeira, se:

a) p e q são verdadeiras e r, falsa. d) p, q e r são verdadeiras.b) p e q são falsas e r, verdadeira. e) p, q e r são falsas.c) p e r são falsas e q, verdadeira.

14) (U.F.RS) A negação da proposição “para todo y, existe um x tal que y = sen(x)” é:

a) Para todo y, existe um x tal que y = sen(x).b) Para todo y e para todo x, y = sen(x).c) Existe um y e existe um x tal que y = sen(x).d) Existe um y tal que, para todo x, y = sen(x).e) Existe um y tal que, para todo x, y sen(x).

15)(U.F.RS)A negação da proposição( x R) ( y R) [xy = 1] é:

a) ( x R ) ( y R ) [xy = 1] d) ( x R) ( y R) [xy 1]b) ( x R) ( y R ) [ xy 1] e) ( x R ) ( y R ) [xy 1]c) ( x R ) ( y R) [ xy 1]

16)(UFC) Três bolas A, B, C, foram pintadas: uma verde, uma de amarelo e uma de azul, não necessariamente nesta ordem. Leia atentamente as declarações abaixo:

I) B não é azulII) C não é amarela III) A é azulSabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, podemos afirmar corretamente que:

a) A bola A é verde, a bola B é amarela e a bola C é azul.b) A bola A é verde, a bola B é azul e a bola C amarela.c) A bola A é amarela, a bola B é azul e a bola C verded) A bola A é amarela, a bola B é verde e a bola C azule) A bola A é azul, a bola B é verde e a bola C amarela.

17) (UECE) Em cada círculo, os números estão colocados de acordo com um raciocínio lógico matemático:

Complete o último círculo e encontre a soma dos seus números.a) 250 b) 255 c) 260 d) 265

18) (UECE) Os números colocados nos quadros seguem uma organização lógica. Observando os números, atentamente, determine N.a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

19)(MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é:a) 6 b)4 c) 2 d) 8 e)10

66

5

67

10

1214

20

2326

40

4448

38

20 18

N

xx 4

13




20) (MPU) Sabe-se que João estar feliz é a condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio.

a)João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.b)João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.c)João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.d)João não está feliz,e Maria não sorri,e Daniela não abraça Paulo.e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

21) (MPU) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o inicio, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”.Camila: “ Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra.Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante”“Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente que:

a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.b) o escore está 13 a 12 e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitant.d) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.e) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set.

22) (MPU) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e Nabungo” são palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango – reponde o jovem.

E a tua aldeia é maior do que a desse homem? – voltou Sócrates a perguntar. Milango – tornou o jovem a responder E, diz-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates Nabungo – disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, conclui corretamente que:a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.b) O Jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.c) O jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequenad) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.e) O jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena

23)(MPU) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luis é paulista, como o agrônomo e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que o Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luis são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez é mais moço do que o arquiteto.Logo.

a) Luis é arquiteto e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo e Pedro é mais velho do que o matemático.b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luis é mais velho do que o matemático.c) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luis.d) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo.e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista.

24) (MPU) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas tem nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu

67




barco ( isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Èder, Felipe e Gil são, respectivamente.

a)Mara,Nair,Paula, Olga, Lais.b)Lais,Mara,Paula, Olga, Nair.c)Lais,Mara,Olga, Nair, Paula.d) Paula, Olga, Laís, Nair, Marae) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.

25) (MPU) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fôra eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada um havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda e Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para:

a) Emma, Ana, Bia, Clô, Déa. d) Déa, Ema, Ana, Bia, Clôb) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia. e) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.

26) (MPU) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalista. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista. Um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton; à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

27) (MPU) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto hoje.

a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.d) não vejo Carlos, e estou deprimida,e não chove,e não faz calor.e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

28) (MPU) Se fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado então Fulano é culpado. Logo,

a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente.c) Fulano é culpado e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.

29) (MPU) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1.Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é.

a) 87 b) 95 c)92 d)85 e)96

30)(MPU) A operação x é definida como o triplo do cubo de x, e a operação x é definida como o inverso de x. Assim,

o valor da operação é igual a:

a) 15 b) 20 c) 25 d) 45 e) 30

31) (MPU) Um colégio oferece a seus alunos a pratica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,

68




20 alunos praticam vôlei e basquete 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôleiO número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

a) 99 b)93 c)103 d)110 e)114

32) (MPU) Você está á frente de duas portas. Uma das conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem sempre dizer a verdade ou um sempre dizer a verdade e outro sempre mentir. Você não sabe se ambos são mentirosos, se ambos são verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qual das portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relação:P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e se você é veraz também o é)?P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro?P3: O outro guarda é mentiroso?P4: você é veraz?Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é.

a) P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damiãob) P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosmec) P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosmed) P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosmee) P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião

33) (AFTN) Três amigas, Tânia, Janete, e Angélica, estão sentada lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz. “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são respectivamente:a) Janete, Tânia e Angélica. b) Janete, Angélica e Tânia.c) Angélica, Janete e Tânia. d) Angélica, Tânia e Janete.e) Tânia, Angélica e Janete.

34) (AFTN)José quer ir ao cinema e assistir ao filme “Fogo contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio, têm opiniões discordantes sobre o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis está enganado, então o filme não está sendo exibido; Ora, ou o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo

a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido; b) Luis e Júlio não estão enganados;c) Júlio está enganado, mas não Luis; d) Luis está enganado, mas não Júlio;e) José não irá ao cinema;

35) (MPU) O mini Sudoku é um divertido passatempo de raciocínio lógico. Ele consiste de 36 quadrinhos em uma grade 6x6, subdividida em seis grades menores de 2x3, o objetivo do jogo é preencher os espaços em branco com os números de 1 a 6, de modo que os números colocados não se repitam nas linhas, nem nas colunas, nem nas grades 2x3, conforme é mostrado no exemplo que segue.

1 5 2 4 3 64 3 6 2 1 5

5 6 3 1 4 22 1 4 6 5 3

69




3 2 1 5 6 46 4 5 3 2 1

Observe que, no esquema de jogo abaixo, três das casas em branco aparecem sombreadas. Você deve completar o esquema de acordo com as regras do jogo, para descobrir quais números deverão ser colocados nessas casas.

3 2 54

6 23 4

33 1 5

A soma dos números que corretamente deverão preencher as casas sombreadas é:a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

Respostas:01) E 10)E 19) A 28) E02) B 11)A 20) D 29) B03) D 12)A 21) D 30) C04) E 13)D 22) B 31) A05) C 14)E 23) C 32) D06) D 15)C 24) B 33) B07) E 16)C 25) D 34) E08) C 17)B 26) A 35) E09) C 18)B 27) C

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01.(Fiscal Recife/2003) Pedro, após visita uma aldeia distante, afirmou: "Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta". A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

02.(CVM/2000) Dizer que a afirmação "todos os economistas são médicos" é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médicoc) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economistae) todos os não médicos são não economistas

03.(BACEN/94) Se considerarmos que cada valor expresso nos círculos representa a soma dos números que estão nos dois vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo, a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a:

a) 21b) 25;c) 30;d) 35;e) 40.

70




04. Considere os números escritos nos pequenos triângulos das pontas da figura abaixo e determine o valor de x.

a) 29.b) 30.c) 31.d) 32.e) 33.

05.Observe a seqüência a seguir e descubra o próximo termo: 0, 1, 8, 27, 64, .....

a) 88. b)125. c)100. d)96. e)216.

06.(BACEN/94) Considere as seguintes equivalências:a) 160;b) 135;c) 120;d) 108;e) 100.

08.(BACEN/94)

a) 19Tb) 20Uc) 21Vd) 22Xe) 232

09.(FT-98) De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:a) Caio e José b)Caio e Adriano c)Adriano e Caiod) Adriano e José e)José e Adriano

10.(ICMS-SP_02) Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar.

a) Algum diplomata não é gordo b)Algum diplomata sabe nadarc) Nenhum diplomata sabe nadar d)Nenhum diplomata é gordoe) Algum gordo sabe nadar

11.Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:A loura: "Não vou à França nem à Espanha".A morena: "Meu nome não é Elza nem Sara".A ruiva: "Nem eu nem Elza vamos à França".O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

a) A loura é Sara e vai à Espanha. b)A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d)A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

71




12.Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de verde, uma de amarelo e uma de azul, não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações abaixo:• A é azul• C não é amarela• B não é azul

Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, podemos afirmar corretamente que:a) A bola A é verde, a bola B é amarela e a bola C é azulb) A bola A é verde, a bola B é azul e a bola C é amarela c) A bola A é amarela, a bola B é azul e a bola C é verded) A bola A é amarela, a bola B é verde e a bola C é azule) A bola A é azul, a bola B é verde e a bola C é amarela13.Qual a negação de "Todo artista é elegante".a) Nenhum artista é elegante b)Todas as pessoas são elegantesc) Ninguém é elegante d)Todo artista não é elegantee) Pelo menos um artista não é elegante

14.Dadas as proposições:I. Toda mulher é boa motorista.II. Nenhum homem é bom motorista.Ill. Todos os homens são maus motoristas.IV. Pelo menos um homem é mau motorista.V. Todos os homens são bons motoristas.A negação da proposição (V) é:a) l b)II c)III d)IV e)V

15.Considere os seguintes pares de números: (3,10) (1,8) (5,12) (2,9) (4,10)Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é:a) (3,10) b)(1,8) c)(5,12) d)(2,9) e)(4,10)

16.Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos os nefelibatas são melancólicos", então, necessariamente:a) Todo melancólico é nefelibata. b) Todo nefelibata é poeta.c) Algum poeta é melancólico. d) Nenhum melancólico é poeta.e) Nenhum poeta não é melancólico.

17.Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir quea) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira.b) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa.c) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa.d) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira.e) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira.

18.Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo,a) todos os momorrengos são torminodoros. b)alguns torminodoros são momorrengos.c) todos os torminodoros são macerontes. d)alguns momorrengos são pássaros.e) todos os momorrengos são macerontes.

19.Partindo das premissas:(1) Todo advogado é sagaz.(2) Todo advogado é formado em Direito.(3) Roberval é sagaz.(4) Sulamita é juíza.Pode-se concluir quea) há pessoas formadas em Direito que são sagazes. b)Roberval é advogado.c) Sulamita é sagaz. d)Roberval é promotor.e) Sulamita e Roberval são casados.

20.Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios então pode-se concluir que:a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo.b) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte.c) Todos os momorrengos são jaguadartes.d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio.

72




e) Todos os cronópios são jaguadartes.

21.Considere a seqüência de figuras abaixo.

A figura que substitui corretamente a interrogação é:

a) b) c) d) e)

22.Considere a seqüência das figuras abaixo.

A figura que substitui corretamente as interrogações é:

a) b) c) d) e)

23.Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada?

está para assim como está para...

a) b) c) d) e)

GABARITO01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15C A A D B A B A B C E C E D E16 17 18 19 20 21 22 23C D B A B A C E

PROVA PM-CE 2008

Texto para os itens de 111 a 116Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, aqui sempre na forma afirmativa. Toda proposição pode ser julgada como falsa (F), ou verdadeira (V), excluindo-se qualquer outra forma. Novas proposições são formadas a partir de proposições simples, utilizando-se conectivos. Considere a seguinte correspondência.

73




Usa-se também o modificador não, simbolizado por ¬. As proposições são representadas por letras do alfabeto: A, B, C etc. A seguir, são apresentadas as valorações para algumas proposições compostas. Os espaços não-preenchidos podem servir de rascunho para auxiliar os raciocínios lógicos necessários ao julgamento dos itens.

Há expressões que não podem ser julgadas como V nem como F, por exemplo: x + 3 = 7. Nesse caso, a expressão constitui uma sentença aberta e x é a variável. Uma forma de passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. São dois os quantificadores: “qualquer que seja” ou “para todo”, indicado por , e “existe”, indicado por . Por exemplo, a proposição é

valorada como F, enquanto a proposição é valorada como V.

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, a respeito de lógica sentencial e de primeira ordem.

111) Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”, então a proposição ¬A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”.

112) Na tabela incluída no texto acima, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B, a coluna ¬(AvB) estará corretamente preenchida da seguinte forma.

Ainda com base no texto informativo a respeito de lógica, da página anterior, julgue os itens seguintes.113) Na tabela incluída no referido texto, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B, a coluna ¬Av¬B estará corretamente preenchida da seguinte forma.

114) Na tabela incluída no texto, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B, a coluna A B estará corretamente preenchida da seguinte forma.

74




115) Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição é julgada como V.

116) Se é o conjunto dos números inteiros, então a proposição é julgada como V.

GABARITO111- E 112- C 113- E 114- C 115- E 116- C

QUESTÕES CESPE

(CESPE) Em um estado, 720 escolas assinam os jornais A ou B e 268 dessas escolas assinam apenas o jornal B. Com relação a essa situação, julgue os itens subseqüentes.

01. Se 284 escolas assinam apenas o jornal A, então mais de 160 escolas assinam esses dois jornais.

02. Menos de 450 escolas assinam o jornal A.

(CESPE) O item abaixo apresenta dados hipotéticos a respeito de uma pesquisa, também hipotética, seguidos de uma assertiva a ser julgada. 3. Uma pesquisa foi feita entre estudantes para identificar quem fala inglês ou espanhol. Entre os pesquisados, 100 alunos responderam que falam inglês; 70 responderam que falam espanhol; 30 responderam que falam inglês e espanhol e 45 responderam que não falam nenhuma dessas duas línguas.

03. Nessa situação, é correto afirmar que o número total de estudantes pesquisados foi de 185.

(CESPE) No item subsequentes é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada.

04. Uma empresa possui 13 postos de trabalho para técnicos em contabilidade, 10 para técnicos em sistemas operacionais e 12 para técnicos em eletrônica. Alguns técnicos ocupam mais de um posto de trabalho, isto é, 4 são técnicos em contabilidade e em sistemas operacionais, 5 são técnicos em sistemas operacionais e em eletrônica e 3 possuem todas as três especialidades. Nessas condições, se há 22 técnicos nessa empresa, então 7 deles são técnicos em contabilidade e em eletrônica.

(CESPE) Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais CT, FT e JT, da seguinte forma:

cada um dos empregados assinou pelo menos um dos jornais; 2 empregados assinaram os 3 jornais; 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e JT; 8 empregados assinaram apenas o jornal JT; 4 empregados assinaram os jornais CT e FT; 13 empregados assinaram o jornal JT; 16 empregados assinaram o jornal CT.

Com base nessas informações, é correto afirmar que:

05. nenhum empregado assinou apenas os jornais FT e JT.

06. 6 empregados assinaram os jornais CT e JT.

07. 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e FT.

75




08. 7 empregados assinaram apenas o jornal FT.

09. 10 empregados assinaram apenas o jornal CT.

(CESPE) Na tabela a seguir, estão relacionados quatro nomes de cidadãos e as cidades onde nasceram. Considere que dois quaisquer desses cidadãos sejam naturais de cidades diferentes. Se uma célula está marcada com a letra V (verdadeiro), significa que as informações da linha e da coluna daquela célula acontecem. As células marcadas com a letra F (falso) significam que o relacionamento entre as informações da linha e da coluna não acontecem.

Xap

uri

Bra

silé

ia

Fei

jó

Rio

Bra

nco

Dora F F F

Joaquim F F

Sônia F F V F

Joana F F

A partir das explicações acima e considerando as células já marcadas, complete logicamente as demais células e julgue os itens subsequentes.

10. Joaquim nasceu em Xapuri.

11. Joana não nasceu em Rio Branco.

12. Dora não nasceu em Brasiléia.

(CESPE) Três candidatos - Paulo, Sérgio e Renato - se conheceram em Vitória durante o período que antecede a aplicação das provas de certo concurso. Cada um deles é de uma cidade diferente - Recife, Cuiabá e Salvador -, e utilizou um meio de transporte diferente para chegar até Vitória - avião, carro e ônibus. Além disso, sabe-se que Paulo viajou de carro, Sérgio mora em Recife e o candidato que mora em Salvador viajou de ônibus. Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

13. Renato mora em Salvador.

14. O candidato que mora em Cuiabá viajou de avião.

15. Renato não viajou de avião para Vitória.

16. Paulo não mora em Cuiabá.

(CESPE) Quatro amigos de infância André, Bruno, Carlos e Davi resolveram reunir-se novamente depois de muitos anos de separação. Todos têm profissões diferentes advogado, arquiteto, engenheiro e médico , moram em cidades diferentes Brasília, Campinas, Goiânia e Vitória e possuem diferentes passatempos violão, xadrez, pintura e artesanato. Além disso, sabe-se que André mora em Goiânia, não é arquiteto e não joga xadrez como passatempo. Bruno tem por passatempo o violão, não mora em Brasília e é médico. Carlos não tem o artesanato como passatempo, é engenheiro e não mora em Campinas. Sabe-se que o passatempo do arquiteto é a pintura e que ele mora em Brasília. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

17. André é advogado.

18. Bruno mora em Vitória.

19. Carlos tem o xadrez por passatempo.

20.Davi é arquiteto

76




21.O advogado mora em Goiânia.

(CESPE) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, julgue os itens a seguir.

22. Nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

23. P e Q são indivíduos do mesmo tipo.

(CESPE) Duas pessoas carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.Se a primeira pessoa diz “nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “nossas fichas são da mesma cor”, então com base no texto, julgue os itens a seguir.

24. As duas pessoas carregam fichas pretas.

25. Pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.

(CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol.

26. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol.

27. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês.

28. (PF) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas – G – envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

(CESPE) Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas constituídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída.

Esses valores lógicos são representados por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo.

Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o valor de S é 0 quando A e B são ambos 0; caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é o 0 quando A for 1, e é 1 quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico.

Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado anteriormente, julgue os itens subseqüentes.

29. Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será 0.

30. A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico 1.

77




(CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.

A afirmou que C matou o líder. B afirmou que D não matou o líder. C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação

no crime. D disse que C não matou o líder.

Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.

31. A declaração de C não pode ser verdadeira.

32. D matou o líder.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C E C C C E E C E C E E C E C E C E C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

C C C C C C C C E C C C

QUESTÕES DE CONCURSOS

01.(ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e) nenhuma menina alegre é loira.

02.(ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:a) nenhum professor de violão é professor de cantob) pelo menos um professor de violão é professor de teatro c) pelo menos um professor de canto é professor de teatrod) todos os professores de piano são professores de cantoe) todos os professores de piano são professores de violão

03.(ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade quea) nenhum músico é escritor b) algum escritor é músicoc) algum músico é escritord) algum escritor não é músico e) nenhum escritor é músico

04.A equivalência de “Nenhum político é honesto” é:a) Todas as pessoas são honestasb) Todos os políticos são desonestosc) Ninguém é honestod) Todo político é honestoe) Pelo menos um político é honesto

78




05.É bem conhecido que os marcianos tem pelo menos uma cabeça. Um cientista assegura: "Todo marciano tem exatamente duas cabeças". Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das seguintes afirmações é necessariamente correta?f) Não há marciano com duas cabeças.g) Todo marciano, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças.h) Há um marciano que tem somente uma cabeça.i) Há um marciano que tem mais de duas cabeças.j) Há um marciano que, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças.

06.(ESAF) Todo amigo de Luiza é filho de Marcos. Todo primo de Carlos, se não for irmão de Ernesto, ou é amigo de Luiza ou é neto de Tânia. Ora, não há irmão de Ernesto ou neto de Tânia que não seja filho de Marcos. Portanto, tem-se, necessariamente, que:a) todo filho de Marcos é irmão de Ernesto ou neto de Tânia.b) todo filho de Marcos é primo de Carlos.c) todo primo de Carlos é filho de Marcos.d) algum irmão de Ernesto é neto de Tânia.e) algum amigo de Luiza é irmão de Ernesto.

07.(ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

08.(ESAF) Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B, segue, necessariamente, que:a) nenhum A é C.b) alguns A são C.c) alguns C são A.d) alguns C não são A.e) nenhum C é A.

09.(ESAF) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem: a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulob) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Pauloc) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulod) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolise) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis

10.(ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que:a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si.

Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:a) Celina e Albertob) Ana e Carlosc) Júlia e Gustavo

79




d) Ana e Albertoe) Celina e Gustavo

11.(ESAF) Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um Estado diferente do Brasil. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, psicólogas. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula. Logo:a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça do que a paulista.b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do que Maria.c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça do que a cearense.d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha do que a mineira.e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça do que a gaúcha.

12.(ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.– “Foi a Mara”, disse Manuel.– “O Mário está mentindo”, disse Mara.– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:

a) Máriob) Marcosc) Marad) Manuele) Maria

13.(ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”Caixa 3: “O livro está aqui.”

Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,a) a caneta, o diamante, o livro.b) o livro, o diamante, a caneta.c) o diamante, a caneta, o livro.d) o diamante, o livro, a caneta.e) o livro, a caneta, o diamante.

14.(ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.Gama: “Beta está mentindo”.Delta: “Gama está mentindo”.Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

80




Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual aa) 1. b) 2c) 3. d) 4e) 5.

15. (ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.”Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente:a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragãoc) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragãod) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouroe) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro

16.(ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélicab) Janete, Angélica e Tâniac) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janetee) Tânia, Angélica e Janete

17.(ESAF) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

18.(ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:

O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.” O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.” O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que:

a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

81




19. (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente:a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

20.Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distintas de ilhéus: os zel(s) só mentem, os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternamente falam verdades e mentiras ou seja, uma verdade, uma mentira, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra.Nos encontramos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada umas das raças.Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C:Nós: - Sr. C, o senhor é da raça zel, del ou mel?Sr. C: - Eu sou mel. (1ª resposta).Nós: - Sr. C, e o senhor A, de que raça é?Sr. C: - Ele é zel. (2ª resposta).Nós: - mas então o Sr. B é del, não é isso, Sr. C?Sr. C: - claro, senhor! (3ª resposta).Nessas condições é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente, a) del, zel, mel.b) del, mel, zel.c) mel, del, zeld) zel, del, mel.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E A D B E C C D C A E C C B E B D B E B

82

Apostila de Raciocinio Logico Oficial Rpofessores

Documents

Transcript of Apostila de Raciocinio Logico Oficial Rpofessores