Apostila Raciocinio Logico TRE

AUTORIA: Prof Edgar Abreu

Raciocnio Lgico ([email protected])

mailto:[email protected]

CONTEDOS DE RACIOCNIO LGICO EDITAL DE 2011

Problemas com sistemas de medidas: medidas de tempo; sistema decimal de medidas; sistema monetrio brasileiro. Raciocnio lgico-matemtico: estrutura lgica de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictcios; deduzir novas informaes das relaes fornecidas e avaliar as condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas relaes. Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meio de: raciocnio matemtico, raciocnio seqencial, orientao espacial e temporal, formao de conceitos, discriminao de elementos. Compreenso do processo lgico que, a partir de um conjunto de hipteses, conduz, de forma vlida, a concluses determinadas. Lgica sentencial (ou proposicional): proposies simblicas (frmulas) usando os conectivos e, ou, no, implica; traduo de proposies da linguagem natural para a forma simblica; frmulas e suas tabelas-verdade; equivalncias lgicas; Leis de De Morgan; argumentos vlidos e invlidos; contradies.

PREVISO DE QUESTES: 5 de um total de 65

Sumrio

MDULO 1 INRODUO A LGICA MATEMTICA .......................................... 04

MDULO 2 OPERAES BSICAS ..................................................................... 11

MDULO 3 ARGUMENTOS LGICOS ................................................................ 15

MDULO 4 RESOLVENDO PROBLEMAS ............................................................ 19

QUESTES DE CONCURSOS ................................................................................. 28

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RACIOCNIO LGICO

www.acasadoconcurseiro.com.br TER/SC - 2011

MODLO 1. INTRODUO A LGICA MATEMTICA

Proposio: Permite ser julgado verdadeiro ou falso. Possui um nico valor lgico Exemplos:

O concurso para o TRE-SC ser um sucesso A MS Concursos uma porcaria A abreviao de MS Muita Sacanagem. 7 5 = 10

Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico Exemplos:

Ser que agora vai? Maz Bah tch! Segue reto toda vida. X + 5 = 20

Concluso: Toda proposio uma sentena, porm nem toda sentena uma proposio

Veremos algo de suma importncia: como negar uma proposio. No caso de uma proposio simples, no poderia ser mais fcil: basta pr a palavra no antes da sentena, e j a tornamos uma negativa. Exemplos:

PROPOSIO NEGAO Ronaldo votou no Esperidio Ronaldo no votou no Esperidio A assinatura deste cheque no do Maluf A assinatura deste cheque do Maluf Agora tente negar a proposio abaixo:

Eu no vou passar no concurso do TRE Opo 1: Eu vou passar no concurso do TRE Opo 2: No verdade que eu no vou passar no concurso do TRE Isso mesmo, a negao de uma negao uma afirmao! O smbolo que representa a negao uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. Vamos simbolizar a proposio p = A mulher mais eficiente que o homem. p= A mulher no mais eficiente que o homem.

1.1 SETENA X PROPOSIO

1.2 NEGAO SIMPLES

http://www.acasadoconcurseiro.com.br/

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Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas conjunes. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^. Exemplo: Grmio fregus do So Paulo e O Internacional perde para o Mazembe. Proposio 1: Grmio fregus do So Paulo Proposio 2: O Internacional perde para o Mazembe. Conetivo: e Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de ^ Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q 1.3.1 AGORA A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses: H1:

p: Grmio no fregues do So Paulo q: O Internacional perde para o Mazembe.

H2:

p: Grmio fregues do So Paulo q: O Internacional no perde para o Mazembe.

H3:

p: Grmio no fregues do So Paulo q: O Internacional no perde para o Mazembe.

H4:

p: Grmio fregues do So Paulo q: O Internacional perde para o Mazembe.

p q Representao Valor lgico

H1

H2

H3

H4

1.3 e - CONJUNO


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Recebe o nome de disjuno toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena: Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother Proposio 1: Estudo para o concurso Proposio 2: assisto o Big Brother Conetivo: ou Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p v q 1.4.1 AGORA A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses: H1:

p: Estudo para o concurso q: assisto o Big Brother Brasil.

H2:

p: No Estudo para o concurso q: assisto o Big Brother Brasil.

H3:

p: Estudo para o concurso q: No assisto o Big Brother Brasil..

H4:

p: No Estudo para o concurso q: No assisto o Big Brother Brasil.


H1

H2

H3

H4

1.4 ou - DISJUNO


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Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... Ento.... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena: Se eu tenho o diploma de nvel mdio, ento sou mais inteligente que o Tiririca Proposio 1: eu tenho o diploma de nvel mdio Proposio 2: sou mais inteligente que o Tiririca Conetivo: se.. ento Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q 1.5.1 AGORA A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses: H1:

p: eu tenho o diploma de nvel mdio q: sou mais inteligente que o Tiririca

H2:

p: No tenho o diploma de nvel mdio q: sou mais inteligente que o Tiririca

H3:

p: No tenho o diploma de nvel mdio q: No sou mais inteligente que o Tiririca

H4:

p: eu tenho o diploma de nvel mdio q: No sou mais inteligente que o Tiririca


H1

H2

H3

H4

1.5 SE ... ENTO...: (CONDICIONAL)


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Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa Proposio 1: Maria compra o sapato Proposio 2: O sapato combina com a bolsa Conetivo: se e somente se Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q 1.5.1 AGORA A SUA VEZ: Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses: H1:

p: Maria compra o sapato q: O sapato no combina com a bolsa

H2:

p: Maria no compra o sapato q: O sapato combina com a bolsa

H3:

p: Maria compra o sapato q: O sapato combina com a bolsa

H4:

p: Maria no compra o sapato q: O sapato no combina com a bolsa


H1

H2

H3

H4

1.6 ... SE E SOMENTE SE ...: (BICONDICIONAL)


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Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem Exemplos:

Gabriela passou no concurso do INSS ou Gabriela no passou no concurso do INSS No verdade que o professor Zambeli parece com o Z gotinha ou o professor Zambeli

parece com o Z gotinha Ao invs de duas proposies, nos exemplos temos uma nica proposio, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo: Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de V Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p V ~p 1.7.1 AGORA A SUA VEZ: H1:

p: Grmio cai para segunda diviso ~p: Grmio no cai para segunda diviso

H2:

p: Grmio no vai sair campeo ~p: Grmio cai para segunda diviso

Logo temos uma TAUTOLOGIA!

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem Exemplos:

O Zorra total uma porcaria e Zorra total no uma porcaria

p ~p p v ~p

H1

H2

1.7 TAUTOLOGIA

1.8 CONTRADIO


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Suelen mora em Petrpolis e Suelen no mora em Petrpolis Ao invs de duas proposies, nos exemplos temos uma nica proposio, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^ Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p 1.7.1 AGORA A SUA VEZ: H1:

p: Lula o presidente do Brasil ~p: ______________________________

H2:

p: Lula no o presidente do Brasil ~p: _______________________________

Logo temos uma CONTRADIO!

Agora iremos criar tabelas com o resumo e principais tpicos estudados neste captulo.

SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE..

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso p q um dos dois for verdade ambos, so falsos p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F p q p e q tiverem valores lgicos iguais p e q tiverem valores lgicos

diferentes

p ~p p ^ ~p

H1

H2

SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE.. p p = V p = F

~p p = F p = V

1.9 RESUMO


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MODLO 2. OPERAES BSICAS COM CONETIVOS LGICOS

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas-verdade so idnticos A equivalncia lgica entre duas proposies, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q , ou simplesmente por p = q EQUIVALNCIAS: 1 p ^ p = p Exemplo: Professor Ed feliz e feliz = Professor Ed Feliz Construindo a tabela:

2 p ou p = p Exemplo: Joaquina foi a praia ou a praia = Joaquina foi a praia

3 p q = (p q) ^ (q p) Exemplo: Trabalho no TRE se e somente se estudar para o concurso = Se trabalho no TRE ento estudo para o concurso e se estudo para o concurso ento trabalha no TRE

P p ^ p V V

F F

p p ^ p V V

F F

2.1 EQUIVALNCIA DE CONETIVOS


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Tabela

4 p q = (~q ~p) Exemplo: Se bebo ento sou rico = Se no sou rico ento no bebo

5 p q = (~p ^ q) Exemplo: Se bebo ento sou rico = no bebo ou sou rico

p q P q q p (P q) ^ (q p) P q

V V

F F

F V

V F

p q ~q ~p (P q) (~q ~p)

V V

F F

F V

V F

p q ~p (P q) (~p v q) V V

F F

F V

V F


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6 Conetivos que so comutativos (podemos trocar a ordem que a soluo ser a mesma): V ,

^, Exemplos:

(p q) = (q p)

(p V q) = (q V p)

(p q) = (q p)

7 Conetivo que no comutativo (no podemos trocar a ordem): Exemplos:

(p q) (q p)

Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que: TABELA:

PROPOSIO OU CONETIVO

NEGAO

p ~p ~p p ^ v

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar aquela utilizada em lgebra na matemtica. Vamos negar a sentena abaixo

1. ~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q) 2. ~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q) 3. ~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q) 4. ~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)

Agora vamos aprender a negar uma sentena com um condicional. Para isso devemos trabalhar com a5 propriedade de equivalncia de conetivos demonstradas na pgina 10, onde: p q = (~p q)

2.2 NEGAES DE PROPOSIES COMPOSTAS


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Ento temos: 5. ~( p q) = ~( ~p q) = ~(~p) ~( ) ~(q) = (p ~q)

Agora a sua vez: Sabendo que um bicondicional igual a dois condicionais, propriedade 3 da pgina 9. Tente fazer a negao da sentena abaixo:

6. ~( p q)

PROPOSIO COMPOSTA NEGAO (p v q) (~p ~q) (p q) (~p v ~q) (p q) (p ~q) (p q) (p ~q) v (q ~p)

2.3 RESUMO


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MODLO 3. ARGUMENTOS COM: TODOS, ALGUM E NENHUM

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum, nenhum ou outras similares Exemplo: 1: Todas pessoas aposentadas pelo INSS possui mais de 60 anos de idade. 2: Todas as pessoas com mais de 60 anos de idade so gastam com remdio todos os meses. Assim, caso as proposies, argumentos, 1 e 2, estejam corretos, podemos concluir que: Concluso : Todos os aposentados pelo INSS gastam com remdio todos os meses. Nem todos os argumentos so vlidos. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lgicos, interessados em verificar se eles so vlidos ou invlidos! SIMNOLOGIA:

SENTENA SIMBOLOGIA PARA TODO x (elemento)

EXISTE x (elemento)

Dizemos que um argumento vlido (ou ainda legtimo ou bem construdo), quando a sua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas. Para concluiurmos se um argumento vlido ou no, devemos olhar APENAS como ele foi construdo sem nos prendermos ao texto ou conhecimentos prvios sobre o assunto. Abaixo segue um exemplo de um argumento vlido. 1: Todos os Policiais Federais so homens violentos. 2: Nenhum homem violento casado. Concluso: Portanto, nenhum Policial Federal Casado. Apesar de parecer um absurdo, o argumento acima est correto. Se considerarmos como hipteses verdadeira que os itens 1 e 2 esto corretos, a concluso consequencia das hipteses, por uma propriedade de transitiva.

3.1 ARGUMENTOS - INTRODUO

3.2 ARGUMENTOS VLIDOS


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Para concluir se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma. no exemplo acima temos que Todos os Policiais Federais so homens violentos, mas nesta proposio no deixa claro se Todos as pessoas violentas so Policiais Federais.

Por este motivo temos sempre que trabalhar com todas as hipteses, considerando tambm este caso. Vamos representar a proposio em conjunto Este conjunto mostra exatamente o que a proposio fala. TODO PF Violento, porm no podemos concluir que TODO violento PF, assim trabalhamos com a hiptese de existirem pessoas violentas que no so Policiais. 2: Nenhum homem violento casado. Com a expresso nenhum a frase acima afirma que o conjunto dos casados e dos vilentos no possuem elementos comuns. Logo devemos construir conjuntos separados.

Logo correto afirmar que, nenhum Policial Federal Casado, j que estes conjuntos no possuem elementos em comum.

Dizemos que um argumento invlido tambm denominado ilegtimo, mal construdo, falacioso ou sofisma quando a verdade das premissas no suficiente para garantir a verdade da concluso. Vamos considerar um exemplo similar ao anterio com apenas uma pequena alterao na proposio 2 e na concluso.

SOLTEIROS

3.3 ARGUMENTOS INVLIDOS


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1: Todos os Policiais Federais so homens violentos. 2: Alguns homens violentos so casados.

Concluso: Portanto, existem Policiais Federais que so Casados. A uma primeira leitura pode parecer um argumento vlido (silogismo), porm ao considerarmos todas as hipteses possveis iremos descobrir que as proposies so insuficientes para a concluso, tratando ento de uma falcia. Representao do argumento 1: Todos os Policiais Federais so homens violentos.

Lembre-se que: TODO PF Violento, porm no podemos concluir que TODO violento PF, assim trabalhamos com a hiptese de existirem pessoas violentas que no so Policiais.

Podemos representar a hiptese 2 de duas formas, uma como a banca quer que voc entenda, de maneira errada, conforme abaixo: 2: Alguns homens violentos so casados Assim existiria um conjunto X de policiais que so violentos e casados.

Portanto, poderamos concluir existem Policiais Federais que so Casados.

Mas devemos considerar todas as hipteses, imagine que os conjuntos sejam divididos da forma abaixo: Neste exemplo, todo policial federal violento, alguns violentos so casados,

ou seja, as hipteses so satisfeitas. Mas no existem policiais casados. Assim a concluso precipitada!

PF X

PF X

PF


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As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A. Como negar estas Proposies:

PROPOSIO NEGAO TODO ALGUM OU EXISTE PELO MENOS

ALGUM NENHUM Exemplos:

PROPOSIO NEGAO

Todo A B Algum A no B ou Existe pelo menos um A que no seja B

Algum A B Nenhum A B

PF

PF PF

3.4 NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM


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MODLO 4. RESOLVENDO PROBLEMAS

As questes de lgica cobradas em concursos, em geral, so textos formados por proposies e conetivos. Para resolver qualquer questo necessrio traduzir este texto para uma linguagem lgica, operar dentro desta linguagem e no final traduzir da linguagem lgica de volta para o texto, conforme modelo abaixo:

Exemplo 4.2.1: A negao da sentena: Se Teobaldo estuda ento ser aprovado no concurso Passo 1: Simbolizar as proposies acima p: Teobaldo estuda q: Teobaldo aprovado no concurso Conetivo: Se ento (condicional) Passo 2: Representar logicamente a sentena: (p q) Passo 3: Negar a sentena aplicando propriedades de lgica: ~(pq) = ~(~p q) Lembrar da propriedade de equivalncia

~(~p q) = (p ~q) Negar as proposies e o conetivo Passo 4: traduzir da lgica para o texto novamente

4.1 METODOLOGIA DE RESOLUO DE PROBLEMAS

Traduz a resposta em lgica para um texto

Aplica as propriedades de lgica que aprendemos

Traduz os testos para uma linguagem lgica matemtica

TEXTO

LGICA

OPERA

4.2 RESOLVENDO PROBLEMAS DE NEGAO


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p: Teobaldo estuda = e q = Teobaldo no aprovado no concurso. (poderia usar tambm a expresso: no

verdade que Teobaldo aprovado no concurso)

Juntando tudo temos a negao da sentena que ser:Teobaldo estuda e no aprovado no concurso

Exemplo 4.2.2: (CESPE DETRAN/ES 2010) A negao da proposio "No dirija aps ingerir bebidas alcolicas ou voc pode causar um acidente de trnsito" , do ponto de vista lgico, equivalente afirmao "Dirija aps ingerir bebidas alcolicas e voc no causar um acidente de trnsito". 1: Simbolizar as proposies acima

~p: no dirija aps ingerir bebidas alcolicas (note que a proposio p possui um no em seu texto, por isso estamos representando por ~p ao invs de usar somente p)

q: Voc pode causar um acidente de trnsito Conetivo: ou (conjuno)

2: Representar logicamente a sentena: (~p q) 3: Negar a sentena aplicando propriedades de lgica: ~(~p q) = (p ~q) Negar as proposies e o conetivo 4: traduzir da lgica para o texto novamente

p: dirija aps ingerir bebidas alcolicas = e q = voc no causar um acidente de trnsito

Juntando tudo temos a negao da sentena que ser:Dirija aps ingerir bebidas alcolicas e voc no causar um acidente de trnsito

Exemplo 4.2.3: Qual a negao da sentena: Estudo se e somente se no chover. Esta parece simples, mas trabalhosa. Temos que transformar esta bi condicional em duas condicionais e negar. 1: Simbolizar as proposies acima

p: Estudo ~q: no chover


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Conetivo: bicondicional ( )

2: Representar logicamente a sentena: (p ~q) 3: Aplicando propriedades de lgica:

RESOLUO EXPLICAO ~(p ~q) =~[ (p ~q) (~q p)] Propriedade de equivalncia do bi condicional

~(p ~q) ~( ) ~(~q p) Negar TUDO (distributividade) ~(~p ~q) ~(q p) Negamos a disjuno e usamos a propriedade de

equivalncia do condicional (p q) (~q ~p) Negamos as duas expresses 4: traduzir da lgica para o texto novamente

p: estudo ~p: no chove q: chove ~q: no chove = e = ou

Juntando tudo temos a negao da sentena que ser: estudo e chove ou no estudo e no chove

Agora iremos estudar como resolver as questes com argumentos que no utilizam as expresses: todos, nenhum ou algum. Exemplo 4.3.1

1. Se prova fcil, ento sou funcionrio do INSS. 2. No sou funcionrio do INSS.

Sabendo que as duas proposies acima so verdadeiras, podemos concluir que: A prova no fcil. Resoluo: 1: Simbolizar as proposies acima

p: A prova fcil

4.3 RESOLVENDO PROBLEMAS DE ARGUMENTOS


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q: sou funcionrio do INSS ~q= no sou funcionrio do INSS Conetivo: condicional ()

2: Representar logicamente a sentena:

1. (p q) = V 2. ~q = V

3: Aplicando propriedades de lgica: Ora, se ~q = V logo q = F. Assim temos a seguinte situao: Como sabemos o condicional ser falso se a primeira proposio for verdadeira e a segunda falsa. Como a segunda proposio FALSA e este condicional VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposio deve ser FALSA, logo, p=F 4: traduzir da lgica para o texto novamente: a prova no fcil

Exemplo 4.3.2

1. Robinho come ou dorme 2. Se Robinho come ento no joga bola 3. Robinho joga bola

Sabendo que as trs proposies acima so verdadeiras, podemos concluir que verdade que: Robinho dorme. Resoluo: 1: Simbolizar as proposies acima

p: Robinho come q: dorme ~r= no joga boa r: joga bola Conetivos: condicional () e disjuno ( )


1. (p q) = V

p q ? V F


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2. (p ~r) = V

3. r = V

3: Aplicando propriedades de lgica: Ora, se r = V logo ~r = F. Vamos fixar ~r=F e testar a proposio 2 a fim de descobrir o valor lgico de P, sabendo que o condicional deve ser verdadeiro. Como sabemos o condicional ser falso se a primeira proposio for verdadeira e a segunda falsa. Como a segunda proposio FALSA e este condicional VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposio deve ser FALSA, logo, p=F Agora vamos fixar a informao p=F e testar na sentena 1 e tentar descobrir o valor lgico de q, sabendo que a sentena como todo verdadeira Como p falso e a sentena verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro j que a disjuno para ser verdadeira pelo menos uma das proposies devem ser verdadeiras. Assim conclumos que q=V 4: traduzir da lgica para o texto novamente: Robinho dorme

Exemplo 4.3.3

1. Rejo no bruto ou habilidoso 2. Rejo no bruto se e somente se Carruira habilidoso 3. Carruira habilidoso

Sabendo que as trs proposies acima so verdadeiras, podemos concluir que verdade que: Rejo habilidoso.

hipteses p ~r h1 V F F h2 F V F

hipteses p q h1 F F F h2 F V V


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1: Simbolizar as proposies acima

~p: Rejo no bruto q: Rejo habilidoso ~p= Rejo no bruto r: Carruira habilidoso Conetivos: condicional () e disjuno ( )


1. (~p q) = V 2. (~p r) = V 3. r = V

3: Aplicando propriedades de lgica: Ora, se r = V vamos fixar r=V e testar a proposio 2 a fim de descobrir o valor lgico de ~p, sabendo que o bicondicional deve ser verdadeiro. Como sabemos o bicondicional ser falso se as duas proposies tiverem valores lgicos diferentes. Para que o bicondicional seja verdadeiro necessrio que ambas proposies tenham o mesmo valor lgico. Como a segunda proposio FALSA e este bicondicional VERDADEIRO, obrigatoriamente a primeira proposio deve ser FALSA, logo, p=F Agora vamos fixar a informao p=F e testar na sentena 1 e tentar descobrir o valor lgico de q, sabendo que a sentena como todo verdadeira Como p falso e a sentena verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro j que para que a disjuno seja verdadeira pelo menos uma das proposies devem ser verdadeiras. Assim conclumos que q=V 4: traduzir da lgica para o texto novamente: Rejo habilidoso

hipteses ~p r h1 V F F h2 F V F

hipteses p q h1 F F F h2 F V V


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Exemplo 4.4.1: Considere a seguinte proposio: "Se o Policial honesto, ento o Policial Honesto ou Mdico trabalhador. Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio caracteriza uma tautologia. p= Policial honesto q = Mdico trabalhador Resolvendo: p (p q) Sentena dada ~p ( p q) propriedade da igualdade de um condicional ( ~p p) q Associao Verdade q Tautologia (sempre ser verdadeiro) Verdade Verdadeiro sempre. Logo estamos diante de uma Tautologia.

4.4 RESOLVENDO PROBLEMAS DE FATORAO


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Questes de concurso


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1. Considere as proposies A, B e C a seguir.

A. Se Jane policial federal ou procuradora de justia, ento Jane foi aprovada em concurso pblico.

B. Jane foi aprovada em concurso pblico. C. Jane policial federal ou procuradora de justia.

Nesse caso, se A e B forem V, ento C tambm ser V.

2. As proposies Se o delegado no prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra

no ser bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra ser bem-sucedida so equivalentes

3. Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e Jos, j sabia que, na quadrilha

qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatrio, Carlos disse: Jos s fala a verdade, e Jos disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declaraes e na regra da contradio, seria correto o delegado concluir que Carlos e Jos mentiram.

4. Se A for a proposio Todos os policiais so honestos, ento a proposio A estar enunciada corretamente por Nenhum policial honesto.

5. A sequncia de proposies a seguir constitui uma deduo correta. Se Carlos no estudou, ento ele fracassou na prova de Fsica. Se Carlos jogou futebol, ento ele no estudou. Carlos no fracassou na prova de Fsica.

Carlos no jogou futebol.

6. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes: Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso. Maria alta. Portanto Jos ser aprovado no concurso.

POLCIA FEDERAL 2009 - CESPE

BANCO DO BRASIL 2007 - CESPE


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7. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes: Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Clia tem um bom currculo.

8. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso X + Y positiva.

O valor de . Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto?

9. A proposio funcional Para qualquer x, tem-se que verdadeira para todos os

valores de x que esto no conjunto .

10. A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira

para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

11. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega

a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. Se a primeira pessoa diz Nossas fichas no so da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas fichas so da mesma cor, ento, pode-se concluir que a segunda pessoa est dizendo a verdade

12. Considere as seguintes proposies:

P: Mara trabalha e Q: Mara ganha dinheiro Nessa situao, vlido o argumento em que as premissas so Mara no trabalha ou Mara ganha dinheiro e Mara no trabalha, e a concluso Mara no ganha dinheiro

13. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:


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RACIOCNIO LGICO


(I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade

14. A proposio simblica (P Q) R possui, no mximo, 4 avaliaes

15. Uma expresso da forma uma proposio que tem exatamente as mesmas

valoraes V ou F da proposio A B.

16. Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria ento ela ficou rica e Mara no acertou na loteria sejam a m b a s p r o p o s i e s v e r d a d e i r a s . S i m b o l i z a n d o adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Ela no ficou rica tambm verdadeira.

17. A proposio simbolizada por (AB)(BA) possui uma nica valorao F.

18. Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira.

Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira

19. A negao da proposio A B possui os mesmos valores lgicos que a proposio A (B).

20. Considere que A seja a proposio As palavras tm vida e B seja a proposio Vestem-se

de significados, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposio A (B) F

BANCO DO BRASIL 2008 - CESPE


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RACIOCNIO LGICO


21. A negao da proposio As palavras mascaram-se pode ser corretamente expressa pela proposio Nenhuma palavra se mascara

22. A proposio Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, ento o pas fica

protegido de ataques especulativos pode tambm ser corretamente expressa por O pas ficar protegido de ataques especulativos condio necessria para que as reservas internacionais aumentem.

23. A proposio Se o Brasil no tem reservas de 190 milhes de dlares, ento o Brasil tem

reservas menores que as da ndia tem valor lgico F.

24. Toda proposio simbolizada na forma AB tem os mesmos valores lgicos que a

proposio BA

25. A proposio Existem pases cujas reservas ultrapassam meio bilho de dlares F

quando se considera que o conjunto dos pases em questo {Brasil, ndia, Coria do Sul, Rssia}

26. Considerando como V as proposies Os pases de economias emergentes tm grandes

reservas internacionais e O Brasil tem grandes reservas internacionais, correto concluir que a proposio O Brasil um pas de economia emergente V

27. A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos ltimos 10 anos? no

pode ser considerada uma proposio


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RACIOCNIO LGICO


28. Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposies I e II abaixo. I Se uma mulher est desempregada, ento, ela infeliz. II Se uma mulher infeliz, ento, ela vive pouco. Nesse caso, se a concluso for a proposio Mulheres desempregadas vivem pouco, tem-se um argumento correto

29. Considere que A seja a proposio O nmero de mulheres no mercado de trabalho

mundial atingiu 1,2 bilho, em 2007 e B seja a proposio O percentual de mulheres que trabalhavam no campo era maior que o percentual de mulheres que trabalhavam em servios, em 2007. Atribuindo valores lgicos, V ou F, proposio A e proposio B, de acordo com o referido texto, pode-se garantir que a proposio (A) B V.

30. Atribuindo-se todos os possveis valores lgicos V ou F s proposies A e B, a proposio

ter trs valores lgicos F.

31. Considerando-se como V a proposio Sem linguagem, no h acesso realidade,

conclui-se que a proposio Se no h linguagem, ento no h acesso realidade tambm V.

32. Se o valor lgico da proposio Se as operaes de crdito no pas aumentam, ento os

bancos ganham muito dinheiro V, ento correto concluir que o valor lgico da proposio Se os bancos no ganham muito dinheiro, ento as operaes de crdito no pas no aumentam tambm V.

33. A negao da proposio Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dlares de cada

100 dlares investidos pode ser assim redigida: Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dlares de cada 100 dlares investidos.

34. Se a proposio Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA tiver valor lgico V, a

proposio Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, ento os correntistas tm melhores servios l do que aqui ser F.


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RACIOCNIO LGICO


35. Represente-se por A a proposio composta que a negao da proposio A, isto , A falso quando A verdadeiro e A verdadeiro quando A falso. Desse modo, as proposies Se A ento B e Se A ento B tm valores lgicos iguais.

36. Sabe-se que uma proposio na forma Ou A ou B tem valor lgico falso quando A e B so

ambos falsos; nos demais casos, a proposio verdadeira. Portanto, a proposio composta Ou A ou B, em que A e B so as proposies referidas acima, verdadeira.

37. A proposio composta Se A ento B necessariamente verdadeira.

38. Se U for o conjunto de todos os funcionrios pblicos e P(x) for a propriedade x

funcionrio do INSS, ento falsa a sentena x P(x).

39. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionrios do INSS, P(x) seja a propriedade x

funcionrio do INSS e Q(x) seja a propriedade x tem mais de 35 anos de idade. Desse modo, correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposio Todos os funcionrios do INSS tm mais de 35 anos de idade.

(I) x(se Q(x) ento P(x)) (II) x(P(x) ou Q(x)) (III) x(se P(x) ento Q(x)

GABARITO 1 E 2 E 3 C 4 E 5 C 6 C 7 E 8 E 9 E 10 E 11 C 12 E

13 C 14 E 15 C 16 E 17 C 18 E 19 C 20 C 21 E 22 C 23 E 24 E 25 E 26 E 27 C 28 C 29 E 30 E 31 C 32 C 33 C 34 E 35 E 36 C 37 E 38 C 39 E

GABARITO

INSS 2008 - CESPE


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RACIOCNIO LGICO


40. Admita que todo A B, algum B C, e algum C no A. Caio, Ana e Lo fizeram as seguintes afirmaes:

Caio se houver C que A, ento ele no ser B. Ana se B for A, ento no ser C. Lo pode haver A que seja B e C. Est inequivocamente correto APENAS o que afirmado por (A) Caio. (B) Ana. (C) Lo. (D) Caio e Ana. (E) Caio e Lo.

41. Considere um argumento composto pelas seguintes premissas: I. Se a inflao no controlada, ento no h projetos de desenvolvimento.

II. Se a inflao controlada, ento o povo vive melhor. III. O povo no vive melhor. Considerando que todas as trs premissas so verdadeiras, ento, uma concluso que tornaria o argumento vlido : (A) A inflao controlada. (B) No h projetos de desenvolvimento. (C) A inflao controlada ou h projetos de desenvolvimento. (D) O povo vive melhor e a inflao no controlada. (E) Se a inflao no controlada e no h projetos de desenvolvimento, ento o povo vive melhor.

42. Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, trs funcionrios do Ministrio das Relaes Exteriores prestaram os seguintes depoimentos:

o Aristeu: Se Boris faltou, ento Celimar compareceu. o Boris: Aristeu compareceu e Celimar faltou. o Celimar: Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois

faltou.

TRT/RJ 2011 - FCC

TRT/PI 2010 - FCC

MRE 2009 - FCC


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RACIOCNIO LGICO


Admitindo que os trs compareceram ao trabalho em tal dia, correto afirmar que (A) Aristeu e Boris mentiram. (B) os trs depoimentos foram verdadeiros. (C) apenas Celimar mentiu. (D) apenas Aristeu falou a verdade. (E) apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade.

43. Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionrios da prefeitura dessa cidade so

advogados. A partir dessas informaes, correto concluir que, necessariamente,

(A) existem funcionrios da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. (B) todos os funcionrios da prefeitura dessa cidade formados na universidade X so

advogados. (C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade. (D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na

universidade X. (E) existem funcionrios da prefeitura dessa cidade que no se formaram na universidade X.

44. Considere as seguintes premissas: o p: Trabalhar saudvel

o q : O cigarro mata.

A afirmao "Trabalhar no saudvel" ou "o cigarro mata" FALSA se

a) p falsa e ~q falsa. b) p falsa e q falsa. c) p e q so verdadeiras. d) p verdadeira e q falsa. e) ~p verdadeira e q falsa.

TRE/PI 2009 - FCC

TJ/SE 2009 - FCC


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RACIOCNIO LGICO


45. So dadas as afirmaes: o Toda cobra um rptil.

o Existem rpteis venenosos.

Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento, com certeza, tambm verdade que a) Se existe uma cobra venenosa, ento ela um rptil. b) toda cobra venenosa. c) algum rptil venenoso uma cobra. d) qualquer rptil uma cobra. e) Se existe um rptil venenoso, ento ele uma cobra.

46. No prximo domingo, Dona Marieta completar 100 anos de idade e sua

bisneta Julieta resolveu presente-la construindo a rvore genealgica de seus

descendentes. Para tal, Julieta usou as seguintes informaes:

I. Dona Marieta teve 10 filhos, trs dos quais no lhe deram netos e cada um dos demais

lhe deu 3 netos;

II. apenas quatro dos netos de Dona Marieta no tiveram filhos, enquanto que cada um dos

demais lhe deu 5 bisnetos;

III. dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove no tiveram filhos e cada um dos outros teve

2 filhos;

IV. os tataranetos de Dona Marieta ainda no tm filhos.

Nessas condies, correto afirmar que o total de descendentes de Dona Marieta a) 277 b) 272 c) 268 d) 264

e) 226

47. Considere a seguinte proposio: "Se uma pessoa no faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho, ento ela no melhora o seu

desempenho profissional." Uma proposio logicamente equivalente

proposio dada :

TCE/GO 2009 - FCC

DNOCS 2010 FCC (ECONOMISTA)


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RACIOCNIO LGICO


a) falso que, uma pessoa no melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho. b) No verdade que, uma pessoa no faz cursos de aperfeioamento profissional e no

melhora o seu desempenho profissional. c) Se uma pessoa no melhora seu desempenho profissional, ento ela no faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho. d) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou no faz cursos de aperfeioamento

na sua rea de trabalho. e) Uma pessoa no melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeioamento na

sua rea de trabalho.

48. Em lgica de programao, denomina-se ...... de duas proposies p e q a proposio representada por "p ou q" cujo valor lgico a falsidade (F), quando

os valores lgicos das proposies p e q so ambos falsos ou ambos verdadeiros,

e o valor lgico a verdade (V), nos demais casos.

Preenche corretamente a lacuna acima: a) disjuno inclusiva b) proposio bicondicional c) negao d) disjuno exclusiva

e) proposio bidirectional

49. Considere as trs informaes dadas a seguir, todas verdadeiras. I. Se o candidato X for eleito prefeito, ento Y ser nomeado secretrio de sade.

II. Se Y for nomeado secretrio de sade, ento Z ser promovido a diretor do hospital

central.

III. Se Z for promovido a diretor do hospital central, ento haver aumento do nmero de

leitos.

Sabendo que Z no foi promovido a diretor do hospital central, correto concluir que

a) o candidato X pode ou no ter sido eleito prefeito. b) Y pode ou no ter sido nomeado secretrio de sade.

TRT/GO 2008 FCC

TRE/PI 2009 FCC


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RACIOCNIO LGICO


c) o nmero de leitos do hospital central pode ou no ter aumentado. d) o candidato X certamente foi eleito prefeito.

e) o nmero de leitos do hospital central certamente no aumentou.

50. Sejam p e q proposies e ~p e ~q, respectivamente, suas negaes. Se p uma proposio verdadeira e q, uma proposio falsa, ento verdadeira a

proposio composta

a) p ^ q b) ~p ^ q c) ~p v q d) ~p v ~q e) ~p ~q

51. Para que valores de p, q, r, s e t, respectivamente, a

proposio verdadeira?

a) V, V, V, V, V b) V, F, V, F, F c) F, F, V, F, F d) F, V, F, V, F e) F, F, V, V, V

ENGENHEIRO MACA 2009 CESGRANRIO

PETROBRS ANALISTA 2008 CESGRANRIO


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RACIOCNIO LGICO


52. Se Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado, ento Ana no fez um pedido. Ou Ana fez um pedido ou a senha de Beatriz foi descoberta. Se Carlos conversou com Ana, ento Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado. Ora, nem a senha de Beatriz foi descoberta nem Beatriz conhece Carlos. Logo:

I - Ana fez um pedido; II - Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado; III - Carlos no conversou com Ana; IV - Beatriz conhece Carlos. So verdadeiras APENAS as concluses (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) II e IV (E) III e IV

53. possui a mesma tabela verdade que

a)

b)

c)

d)

e)

54. A negao da proposio "Alberto alto e Bruna baixa" a) Alberto baixo e Bruna alta. b) Alberto baixo e Bruna no alta. c) Alberto alto ou Bruna baixa. d) Alberto no alto e Bruna no baixa. e) Alberto no alto ou Bruna no baixa.

55. Sejam p e q proposies simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negaes. A negao da proposio composta p -> ~q

MACA (TEC CONTBIL) 2009 CESGRANRIO

CAPES (ANALISTA) 2008 CESGRANRIO


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RACIOCNIO LGICO


a) ~p -> ~q b) ~p -> q c) p -> q d) p ^ ~q e) p ^ q

56. O silogismo uma forma de raciocnio dedutivo. Na sua forma padronizada,

constitudo por trs proposies: as duas primeiras denominam-se premissas e a

terceira, concluso. As premissas so juzos que precedem a concluso. Em um

silogismo, a concluso conseqncia necessria das premissas. Assinale a

alternativa que corresponde a um silogismo. a) Premissa 1: Marcelo matemtico. Premissa 2: Alguns matemticos gostam de fsica.

Concluso: Marcelo gosta de fsica. b) Premissa 1: Marcelo matemtico. Premissa 2: Alguns matemticos gostam de fsica.

Concluso: Marcelo no gosta de fsica. c) Premissa 1: Mrio gosta de fsica. Premissa 2: Alguns matemticos gostam de fsica.

Concluso: Mrio matemtico. d) Premissa 1: Mrio gosta de fsica. Premissa 2: Todos os matemticos gostam de fsica.

Concluso: Mrio matemtico.

e) Premissa 1: Mrio gosta de fsica. Premissa 2: Nenhum matemtico gosta de fsica.

Concluso: Mrio no matemtico.

57. Chama-se tautologia proposio composta que possui valor lgico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies que a compem. Sejam p e q proposies simples e ~p e ~q as suas respectivas negaes. Em cada uma das alternativas abaixo, h uma proposio composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia?

a) p ^ q b) p ^ ~q c) (p ^ q) -> (~p ^ q) d) (p v q) -> (p ^ q) e) (p ^ q) -> (p ^ q)

58. Os amigos Andr, Carlos e Srgio contavam histrias acerca de suas incurses futebolsticas. Andr e Srgio mentiram, mas Carlos falou a verdade. Ento, dentre as opes seguintes, aquela que contm uma proposio verdadeira :

TCE/RO (ANALISTA) 2007 CESGRANRIO


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RACIOCNIO LGICO


a) Se Carlos mentiu, ento Andr falou a verdade. b) Se Srgio mentiu, ento Andr falou a verdade. c) Srgio falou a verdade e Carlos mentiu. d) Srgio mentiu e Andr falou a verdade. e) Andr falou a verdade ou Carlos mentiu.

59. Considere verdadeira a declarao: "Toda criana gosta de brincar". Com relao a essa declarao, assinale a opo que corresponde a uma argumentao correta. a) Como Marcelo no criana, no gosta de brincar. b) Como Marcelo no criana, gosta de brincar. c) Como Joo no gosta de brincar, ento no criana. d) Como Joo gosta de brincar, ento criana. e) Como Joo gosta de brincar, ento no criana.

GABARITO 40 C 41 B 42 D 43 A 44 D 45 A 46 C 47 E 48 D 49 C 50 D 51 C 52 B 53 D 54 E 55 E 56 E 57 D 58 A 59 C


Apostila Raciocinio Logico TRE

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