UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ENGENHARIA FLORESTAL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL ELEMENTOS DE RESISTNCIA DOS MATERIAIS E DE ESTTICA DAS ESTRUTURAS NORMAN BARROS LOGSDON CUIAB, MT. - 2011 ii SUMRIO CONTEDOPGINA 1. Resumo de alguns princpios da esttica1 1.1. Sistema de unidades1 1.2. Cargas e carregamentos3 1.3. Decomposio de uma fora6 1.4. Equilbrio de um corpo rgido8 1.5. Exerccios propostos15 2. Apoios16 2.1. Apoio mvel16 2.2. Apoio fixo17 2.3. Engastamento mvel18 2.4. Engastamento fixo18 2.5. Estabilidade das estruturas19 2.6. Clculo das reaes de apoio (estruturas isostticas)21 2.7. Exerccios propostos26 3. Esforos solicitantes28 3.1. Conceituao28 3.2. Barras, vigas e pilares31 3.3. Clculo de esforos solicitantes31 3.4. Diagramas de esforos solicitantes38 3.5. Princpio da superposio de efeitos44 3.6. Relaes diferenciais entre esforos solicitantes52 3.7. Teoremas auxiliares para o traadodediagramasdeesforos solicitantes 53 3.8. Exerccios propostos64 4. Estudo elementar da resistncia67 4.1. Trao e compresso (efeito da fora normal)67 4.2. Cisalhamento simples69 4.3. Flexo de barras com seo simtrica70 4.4. Deformao por flexo74 4.5. Flambagem86 4.6. Exerccios propostos89 iii CONTEDOPGINA 5. Caractersticas geomtricas de sees planas92 5.1. Generalidades92 5.2. Definies93 5.3. Tabelas de caractersticas geomtricas de sees planas94 Observaes complementares101 5.4. Exerccios propostos103 6. Teoria das trelias105 6.1. Generalidades105 6.2. Tipos de trelias106 6.3. Nomenclatura utilizada109 6.4. Clculo de esforos nas barras de trelias isostticas110 6.5. Deslocamentos em estruturas lineares130 6.6. Exerccios propostos135 Diagramas e frmulas para o clculo de vigas147 Caractersticas geomtricas de sees planas153 Roteiros157 Anexo 1 (Teoremas teis para o traado de diagramas de E. S.)165 Anexo 2 (Sobre a conveno de sinais)165 Anexo 3 (Condies de contorno)166 Anexo 4 (Teoremas da geometria e definies trigonomtricas)166 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.1. Sistema de unidades Quilograma (kg) Mltiplos e submltiplos Grama (g) 1g=10-3kgTonelada (t ou ton.) 1t=103kg=106g Metro (m) Mltiplos e submltiplos Milmetro (mm) 1mm=10-3m1mm=10-1cmQuilmetro (km) 1km=103mCentmetro (cm) 1cm=10-2ma) Unidades de comprimentob) Unidades de massa1. Resumo de alguns princpios da esttica Sistema Internacional MKS Oficial no Pas 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Demais unidades Compostas pelas unidades bsicasAlgumas vezes Rebatizadas Segundo (s) Mltiplos Hora (h) 1h=60min=3600sMinuto (min) 1min=60sc) Unidades de tempod) Outras unidadesUnidades bsicas Sigla MKS SegundoQuilogramaMetro 2301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Velocidade (V) Relao entre o espao pelo tempo gasto para percorr-lo ==dtdxV outxV [][ ][ ] =txV[] s m V = Acelerao (a) Relao entre a variao da velocidade e o tempo ==dtdVa outVa [ ][ ][ ] =tVa[ ]2s m a =[ ] =ss ma Fora (F) Causa de uma acelerao sobre uma determinada massa = a . m F[ ] [] = ] a .[ m F [ ]2s m . kg F =Newton (N) Mltiplos Quilonewton (kN) 1kN=103NMeganewton (MN) 1MN=103kN=106NUnidade batizada de Newton (N) 2s m . kg 1 N 1 = 3301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.2. Noes sobre forasTem direo vertical e sentido parabaixoUnidades N, kN, MN etc. a fora mais conhecida em estruturasa) Peso Carregamento cargas aplicadas simultaneamente sobre a estrutura 1.2. Cargas e carregamentos Carga aquilo que aplica um efeito sobre a estrutura Por exemplo uma fora aplicada estrutura uma carga;um conjunto de foras, aplicadas estrutura, um carregamento. Acausadaacelerao dagravidadesobreuma determinada massa.2s / m 81 , 9 g : onde , g . m P = =Pode ser aplicada a estrutura em qualquer direo e sentidoEstrutura 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon b) Peso prprioTermoutilizadoparareferir-seaopesodaestrutura,quealmdo carregamento aplicado, tambm deve suportar seu peso prprio.c) Peso especficoUnidades kN/m3, N/cm3, N/mm3etc. opesoporunidadede volume.V . P V P = = d) Presso e tensoUnidades Fora por unidade de rea .AFp =Presso Fora aplicadarea de contatoAF= Tenso2Reao internarea da seo transversalPascal 1Pa = 1N/m2Megapascal 1MPa = 106Pa 1MPa = 106N/m2 1MPa = 1N/mm22 e a letra grega Sigma11 e a letra grega Gama 4301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon AFp =Presso Fora aplicadarea de contatoAF= Tenso Reao internarea da seo transversal 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon e) Carga distribudaUnidades N/m , N/cm , N/mm etc. afora porunidadede comprimento.LFp =Utiliza-se quando uma das dimenses da rea de contato pequena Carga uniformemente distribuda corresponde distribuio do peso deum slido homogneo e de seo constante ao longo de seu contato L . p PLPp = = 5301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Carga linearmente distribuda corresponde distribuio do peso de umslido homogneo, cuja altura varia linearmente ao longo de seu contato Carga parabolicamente distribuda corresponde distribuio do peso deum slido homogneo , cuja altura varia parabolicamente ao longo do contato 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon f) Carga concentradaUnidades N , kN , MN etc. afora aplicadaemum ponto (centro do contato).Utiliza-se quando as duas dimenses da rea de contato so pequenas 6301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Foras em direes ortogonais trabalhos independentes1.3. Decomposio de uma fora = cos . F Fx = cos . F Fy( ) =oy90 cos . F F = sen . F Fyngulo entre a fora F ea componente procuradaOsentidodascomponentes omesmoda fora. Se F entra (sai) Fxe Fyentram (saem).F a Resultante da soma vetorial de Fxe Fy1 e a letra grega Alfa122 e a letra grega Beta 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 001 Decompor o carregamento daestruturarepresentada na figura abaixo, em duas foras, uma axial e outra normalao eixo da estrutura. EstruturaApoioNo eixoPerpendicular ao eixo 7 8301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Corpo rgido todo slido capaz de receber foras sem se deformar 1.4. Equilbrio de um corpo rgido Sem deformar ao de foras produz movimentos Espao tridimensional 6 movimentos independentesCorpo rgido tridimensional em Repouso1 - Translao no eixo x 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3 - Translao no eixo z 2 - Translao no eixo y 9301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4 - Rotao em torno de eixo paralelo ao eixo x5 - Rotao em torno de eixo paralelo ao eixo y 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 6 - Rotao em torno de eixo paralelo ao eixo zMovimento qualquer uma combinao dos 6 movimentos independentes 10301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Translaes produzidas por foras (F=m.a) Rotaes produzidas por Momentos Momento Momento uma grandeza vetorial, definida como o produto dafora(F)peladistncia(z),doeixoconsiderado(x)linha de ao desta fora M=F.zBrao de alavanca distncia (z)Unidades N.m, N.cm, N.mm etc. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Sem translaes Sem rotaes Equilbrio = 0 Fx= 0 Fy= 0 Fz= 0 Mx= 0 My= 0 MzIndica a direo do eixoIndica em torno do eixoEquilbrio de um corpo rgido tridimensionalComponente da fora na direo indicadaz . F M = 11301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Estruturas tridimensionais Estruturas planas Sistemas 6 x 6S com uso de computadoresHistoricamente decompor emestruturas planasEspao bidimensional Um planoEstrutura, cargas e deslocamentos no planoMovimentos independentes apenas trs Sistemas 3 x 3Corpo rgido bidimensional em Repouso1 - Translao horizontal 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 - Translao vertical3 - RotaoEquaes fundamentaisda esttica= 0 Fh= 0 Fv= 0 MoEquilbrio de um corpo rgido planoz . F MO = 12301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 002 Verificar o equilbrio do corpo rgido planoesquematizado na figura abaixo. 13301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 003 Obter as foras F1, F2e F3, que mantmo corpo rgido plano, esquematizado na figura abaixo, em equilbrio. 14 15301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.5. Exerccios propostos1.5.1. Quais so as unidades bsicas do sistema internacional? 1.5.2. Como obtida a unidade de fora no sistema internacional? Como denominada esta unidade? 1.5.3. O que peso?Quaissuascaractersticas?Quaisasunidadesutilizadas? 1.5.4. O que peso especifico? Quais as unidades utilizadas? 1.5.5. O que presso? Quais as unidades utilizadas?1.5.6. O que tenso? O que a diferencia de presso?1.5.7. Oque cargauniformementedistribuda? Quaisasunidadesutilizadas? 1.5.8. O que carga concentrada? Quais as unidades utilizadas? 1.5.9. O que resultante de um sistema de foras? 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.5.10. Como se obtmacomponentedeuma fora em determinada direo? 1.5.11. Decompor asforasrepresentadasna figura ao lado, nasdireesdoseixos x e y. 1.5.12. Obter um carregamento equivalente,aorepresentadona figuraabaixo, de tal forma a obter cargas axiaisenormaisaoeixodaestrutura. 16 17 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Representao esquemticaVV semelhante ao do apoio mvel, mas com furo justo na cantoneira para evitar translao horizontal.Exemplo de montagem do apoio fixoHHCantoneiras com furo justo Travesseiro de madeira(compresso normal)Oapoiopodeser simplificadoconforme aao.Porexemplo, seasaesverticais foremparabaixo (reaoparacima)e asaeshorizontais desprezveis. 18 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Bloco de concretoOrifcio prevendo instalao da estruturaEstrutura (sem aderncia ao concreto)2.4. Engastamento fixoExemplo de montagemdo engastamento mvelReaoHorizontalReaoVerticalMomento deEngastamentoImpedetranslaohorizontalImpedetranslaoverticalEngastamentofixo um sistemade apoio sem graus de liberdade, que fornece trs reaes: reao vertical; reao horizontal e momento de engastamento,que impedem todosos movimentos. Impedea rotao 19301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon RepresentaoesquemticaMMVVHHPregos para melhorar a aderncia da madeira ao concretoEstrutura de madeira chumbada no concreto (com aderncia).Bloco de concreto (ainda fresco)Exemplo de montagemdo engastamento fixo 20301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 reaesinstvel4 reaesinstvel4 reaes instvel3 reaesinstvel2 reaesinstvel 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Tipos de estruturas (quanto a estabilidade dos apoios)Estruturas hipostticas Combinao de apoios instvelRegra menos de 3 reaesNo devem ser usadas na construo civilRadical grego: menos queInstvel ocorreTranslao horizontal Instvel ocorreTranslao horizontal InstvelocorreRotao(pndulo) Estruturas isostticas Combinao de apoios estvelRegra 3 reaesRadical grego: igual aEstaticamentedeterminadasReaes obtidas com equaesfundamentais da estticaEstvelEstvel Estvel 21 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Estruturas hipostticascomo caso excepcionalCombinao de apoios instvelRegra no segue as regras das hipostticasNo devem ser usadas na construo civil4 reaesinstvel4 reaes instvel2.6. Clculo das reaes de apoio (estruturas isostticas)O clculo das reaesde apoio de uma estrutura isosttica feito com oauxilio das trs equaesfundamentais da esttica = 0 Fh= 0 Fv= 0 MOz . F MO = 22301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Substituirosapoiosporsuas reaes (sentido arbitrrio) Simplificar o carregamento (concentrar cargas distribudas e/ou decompor cargas inclinadas) Aplicarastrsequaes fundamentaisdaesttica, resolverosistemaeobter as reaesFornecer a soluo, em desenho, invertendo o sentido das reaes negativasRoteiro Clculo de reaes de apoioVMVHMVVH= 0 Fh= 0 Fv= 0 MOz . F MO =Apoio por onde passam mais reaes1234 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 004 Calcular as reaes de apoio da estruturaisosttica esquematizada na figura abaixo. 23 24301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 005 Calcular as reaes de apoio da estruturaisosttica esquematizada na figura abaixo. 25 26301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2.7. Exerccios propostos2.7.1. O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio?2.7.2. Descreva o apoio mvel. 2.7.3. Descreva o apoio fixo. 2.7.4. Descreva o engastamento mvel. 2.7.5. Descreva o engastamento fixo. 2.7.6. Represente, esquematicamente,comsuasreaesdeapoio:oapoio mvel, o apoio fixo,oengastamento mveleoengastamento fixo. 2.7.7. O que seentendeporcondiodeapoioestvel?Represente,esquematicamente,algumasestruturascomcondiodeapoio estvel. 2.7.8. O quesoestruturas(externamente)hipostticas?Represente,esquematicamente, alguns exemplos. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 2.7.10. O que so estruturas (externamente) hiperestticas? Represente,esquematicamente, alguns exemplos. 2.7.9. Oquesoestruturas(externamente)isostticas? Represente,esquematicamente, alguns exemplos. 2.7.11. Conforme a combinao deapoio,fornecerotipodasestruturas representadasnas figuras a seguir. ab 27301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas cde 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2.7.12. Calcularasreaesdeapoio,das estruturas isostticas doexerccio anterior (2.7.11). f ghi 28 29301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Conveno de sinaisA apresentao de foras (ou momentos) deve ser visual,por setratar de grandeza vetorial (tem direo sentido e magnitude).Esta prtica no conveniente para esforos solicitantes, pois eles se encontram no interior das estruturas Conveno de sinais.Fora Normal (N)Fora Normal positiva Sai da seo de corte Barra tracionada 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Fora Cortante (V)Fora Cortante positiva Provoca giro horrio nos apoios Segue a Regra Poltica esquerda desce e direita sobe Sinal convencionado No associado ao fenmeno fsico 30301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Momento Fletor (M)Momento Fletor positivo Provoca trao embaixo Fora torta que estica embaixo 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Momento Toror (T)Momento Toror positivo Segue a Regra do Saca-rolhas Se o saca-rolhas (dedodamo direita) entra na seo de corte, o momento toror positivo Sinal convencionado No associado ao fenmeno fsicoEstruturasplanas 3esforos solicitantes Fora normal (N), fora cortante (V) e momento fletor (M)Estruturas Planas (Resumo)N, V e M positivos 31301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.2. Barras, vigas e pilaresBarra Elementoestruturalnoqualasdimensesdaseoso nitidamente menores que o comprimento do eixo da pea No sentido geralBarra simples Barra Transmite s fora normal, NBarra geral Chapa Transmite fora normal, Nforca cortante, V e momento fletor, MViga Transmite N, V e M e usada na horizontalPilar Transmite N, V e M e usado verticalElemento fino e comprido3.3. Clculo de esforos solicitantesEstruturas planas 3 esforos solicitantes (N, V e M) podem ser obtidos aplicando as 3 equaes fundamentais da esttica. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Clculo das reaes de apoioAplicarastrsequaes fundamentaisdaesttica, na parte escolhida, resolver o sistema e obter os E. S.Escolher uma das partes da estrutura, para os clculos, e se necessrio, simplificar os carregamentosRoteiro Clculo de E. S. em uma seo de estrutura plana= 0 Fh= 0 Fv= 0 MOz . F MO =Ponto de corte1234Cortaraestrutura,naseoondesedesejam encontrar os esforos solicitantes, colocando-os (incgnitas) com seu sentido positivo Ver roteiro apropriado (pgina 15)Ver mais detalhes Ver Anexo 232 33 34301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 007 Calcular os esforos solicitantes na seo genrica C, do pilar representado na figura abaixo. 1) Clculo das reaes de apoio Substituir os apoiospor suas reaes 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Simplificar o carregamento Aplicar as trs equaes fundamentais daesttica, obtendo reaes( ) = =+0 . p H 0 Fhl( ) = + =0 P V 0 Fvl . p H =P V == 0 MB 2. . p Mll2. pM2l =Apoio por ondepassam mais reaes000-- 35301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Fornecer a soluo, emdesenho,invertendoosentidodas reaesnegativas 2) Cortar a estrutura, onde se desejamosE. S. (seo C),colocando-oscomseu sentido positivo OBS.: Estruturas verticaisno tm embaixo,ele precisaseradotadoVer detalhesEmbaixo (escolhido) 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3) Escolher uma das partes daestrutura, paraosclculos,e simplificar carregamentos Escolhendo-se a partesuperior Embaixo (escolhido)4) Aplicar,naparteescolhida,as trsequaes fundamentais daestticaeobter os esforos solicitantes na seo ( ) = =+0 x . p V 0 Fhx . p V =( ) = + =0 P N 0 FvP N == 0 MC = 02x. x . p M2x . pM2 =Pontode corteConvencional, semsignificado fsicoCompressoTrao em cima(lado direito)00-0- Ver Anexo 236301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 008 Calcular os esforos solicitantes na seo genrica C, da viga representada na figura abaixo. 1) Clculo das reaes de apoio Substituir apoios por reaes 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Simplificar o carregamento Aplicar as trs equaes fundamentaisda esttica, obtendo reaes( ) = =+0 H 0 FA h0 HA =( ) = + + =0 . p V V 0 FB A vll . p V VB A= +Equao A= 0 MA = 0 . V2. . pB lll2. pVBl=Apoio por ondepassam mais reaesVoltando-se na Equao A: = + = = + lll . p2. pV 0 . p V VA B A2. pVAl= Fornecer a soluo,invertendo o sentidodas reaes negativas 00+- 37301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2) Cortar a estrutura, onde se desejam os E. S. (seo C), colocando-oscomseu sentido positivo 3) Escolher uma das partes da estrutura, paraosclculos,esimplificarcarregamentos Escolhendo-se a parte esquerda:Simplificando ocarregamento00--+ 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4) Aplicar, na parte escolhida, as trs equaes fundamentais da estticaeobter os esforos solicitantes na seo ( ) 0 N 0 Fh= =+0 N =( ) 0 V x . p2. p0 Fv= + =lx . p2. pV =l= 0 MC0 x .2. p2x. x . p M = + l2x . px .2. pM2 =l 38301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 3.4. Diagramas de esforos solicitantesDiagramasdeesforossolicitantessodiagramasquerepresentama variao dos esforos solicitantes ao longo da estrutura Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Regras de construo de diagramas de esforos solicitantes1) O eixo das abscissas (no apresentado) coincide com o eixo da estrutura;2) O eixo das ordenadas (no apresentado) apresentar os valores do esforosolicitante considerado;3) Para os diagramas de fora normal (N) e fora cortante (V) obrigatrioouso de sinais;4) O diagrama de momento fletor (M) deve ser desenhado do ladotracionado(M>0 traciona embaixo desenha-se embaixo);5) Os diagramas deesforossolicitantesdevemterhachurasindicandoadireo de leitura;6) Um diagrama (ou trecho) constante pode ter sua representao simplificadacolocando-se um sinal de igual sobre ele, seguido de seu valor (com sinal);7) Os diagramas de esforos solicitantes sero apresentados associados (sobou ao lado) ao esquema esttico (estrutura ecarregamento),aproveitandoas cotas de posio. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Exemplo de aplicao 009 Traar osdiagramasdeesforossolicitantesda viga do exemplo de aplicao 008, apresentadana figura ao lado. Noexemplo deaplicao 008foramobtidosem umaseodistantexdo apoio esquerdo.0 ) x ( N =x . p2. p) x ( V =l2x . px .2. p) x ( M2 =la) Diagrama de fora normal (N)A expresso de N(x) independede xN=0 sempreb) Diagrama de fora cortante (V)AexpressodeV(x) ade uma reta so necessrios 2 pontos para defini-la.xy = V(x)2. p0l2. p ll c) Diagrama de momento fletor (M)AexpressodeM(x) ade umaparbola precisa-se de 3 pontos para defini-la.x y = M(x)0 08. p22l l0 lM>0 trao embaixo desenha-se embaixop.l2p.l2p.l28 39301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Exemplo de aplicao 010 Traar os diagramas de esforos solicitantes dopilar do exemplo de aplicao 007, apresentado na figura abaixo. Noexemplo deaplicao 007foramobtidosaxdo extremo livre.x . p ) x ( V =P ) x ( N =2x . p) x ( M2 =a) Fora normal (N)N(x) independe de x N=-P sempreb) Fora cortante (V)V(x) uma reta so necessrios2pontos para defini-la.xy = V(x)0 0l l . p c) Momento fletor (M)M(x) uma parbola soprecisos 3 pontos para traar.x y = M(x)0 08. p22l l2. p2ll M 0N e M > 0, mas V < 0Girandode 180o2 41 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon DiagramasTabelado naalnea bProcurarusartabelas automticae diretamenteConstante ConstanteReta Reta = =2PV R 220000N 10000 V R = =10000 N 10000 N10000 N10000 N( ) =4. Pcentro no Mmxl400 , 6 . 20000m . N 30000 Mmx =30000 N.m Exemplo de aplicao 013 - Traar osdiagramas de Momento Fletor (M), ForaNormal (N) eFora Cortante (V)paraaviga ao lado. 42301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon DiagramasTabelado naalnea kProcurarusartabelasautomtica e diretamente Exemplo de aplicao 014 - Traar os diagramas de Momento Fletor (M),Fora Normal (N) e Fora Cortante (V) para o pilar abaixo.ConstanteReta = = P V R N 5000 N 5000 V R = =5000 N5000 N( ) = fixo extremo no M Mmx 00 , 2 . 5000 m . N 10000 M Mmx = =10000 N.m10000 N.m 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon As tabelas tambm podem ser usadas para obter Esforos Solicitantes em posies particulares. Associar a posio abscissax da tabela obter x Aplicar a equao doEsforoSolicitante para obt-lo. Exemplo de aplicao 015 - Obter o momentofletor nocentro da viga do exemplo deaplicao 011, cujos diagramas esto ao lado.DiagramasDefine abscissa x e equaes de Mx( ) esquerdo apoio do partir a viga da centro x = = 200 , 62xlm 00 , 3 x =( ) ( ) = = > = x . R m 00 , 2 a m 00 , 3 x para M2 xl( ) = 00 , 3 00 , 6 . 67 , 666 Mxm . N 2000 Mx =3,00 m2000 N.mM>0 trao embaixo desenhar embaixo 43301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 016 - Obter a fora cortante a 1,00 m do extremo livre dopilar do exemplo de aplicao 012. Obter tambm, os momentos fletores a 0,50 mdo extremo livre e a 2,00 m do extremo fixo. Os diagramas so dados abaixo.DiagramasDefine abscissa x, embaixo, equaes de Vxe de Mx( ) livre extremo do m 00 , 1 a x = m 00 , 1 x m 00 , 1 x =x . p Vx =Invertido V troca sinal x . p Vx+ = = 00 , 1 . 1000 VxN 1000 Vx =0,501,00 m1,00 m1000 N125 N.m500 N.m2,00 m( ) livre extremo do m 50 , 0 a x m 50 , 0 x = =2x . pM2x 250 , 0 . 10002m . N 125 Mx =M0 trao embaixo desenhar embaixo 44301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 018 - Obter o momento fletor no centro do pilar doexemplo de aplicao 014. Os diagramas so dados abaixo.DiagramasDefine abscissa x, embaixo, equaes de Vxe de Mx2500 N.m1,50 m( ) livre extremo do partir a pilar do centro x =200 , 32lm 50 , 1 x =( ) = = > = a x . P ) m 00 , 1 a m 50 , 1 x para ( Mx( ) 00 , 1 50 , 1 . 5000 m . N 2500 Mx =M = x . R m 00 , 2 a m 00 , 3 x para M2 xl ( ) = 00 , 3 00 , 6 . 67 , 666 Mxm . N 2000 Mx =M>0 trao embaixo desenhar embaixoProblema 2 Voltando para obter cota de incio/fim de trecho = esquerdo apoio do m 00 , 2 a xm 00 , 2 x = = = = < =2x . P) m 00 , 3200 , 62m 00 , 2 x para ( Mxl =200 , 2 . 20000Mxm . N 20000 Mx =M>0 trao embaixo desenhar embaixo( ) ? momento o quer se onde x 48301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Rascunho (3) do Exemplo de aplicao 019 (Continuao)VoltarTrecho1Superposio de efeitos Incio/fim de cada trechoN=0+0=0NV=3333,33+10000=13333,33NM=0+0=0N.mN=0+0=0NV=-666,67+10000=9333,33NM=2666,68+20000=22666,68N.mIncio FimTrecho2N=0+0=0NV=-666,67+10000=9333,33NM=2666,68+20000=22666,68N.mN=0+0=0NV =-666,67+10000=9333,33NM=2000+30000=32000N.mIncio FimTrecho3N=0+0=0NV=-666,67-10000=-10666,67NM=2000+30000=32000N.mN=0+0=0NV =-666,67-10000=-10666,67NM=0+0=0N.mIncio Fim Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Rascunho (4) do Exemplo de aplicao 019 (Continuao)Trecho1Superposio de efeitos Curvas nos trechosN Constante + Constante = ConstanteV Reta + Constante = RetaM Parbola + Reta = ParbolaSuperposio das curvasTrecho2N Constante + Constante = ConstanteV Constante + Constante = ConstanteM Reta + Reta = RetaSuperposio das curvasTrecho3NConstante + Constante = ConstanteV Constante + Constante = ConstanteM Reta + Reta = RetaSuperposio das curvasTerceiro ponto da parbolaNoproblema1j tem-seo momentoemx=1,67mpode-seaproveitarestevalor eobterMxemx=1,67mnos demais problemas.Problema 2m 67 , 1 x = = 2x . P)2x ( Mxl =267 , 1 . 20000Mxm . N 16700 Mx =M>0 trao embaixo desenhar embaixoProblema dadox=1,67mMx=2777,77+16700=19477,77N.mResq.=3333,33+10000=13333,33NRdir.=666,67+10000=10666,67NVoltar 49Rascunhos Exemplo de aplicao 020 Traaros diagramasdeforanormal(N),fora cortante (V)emomentofletor(M), do pilar ao lado.Roteiro 1Alnea iAlnea kInvertido em relao ao tabelado:Fazer inverso correspondente;Trocar sinal de VTrechos demesmo domnio(a partir do ext. livre)Trechos: .1) De 0 a 1m2) De 1 a 2m2 3Prximo exemplo 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Rascunho (1) do Exemplo de aplicao 020VoltarProblema 1 = = l . p V R 00 , 3 . 1000 N 3000 V R = = = =2. p) fixo extremo no ( M M2mxl200 , 3 . 10002m . N 4500 M Mmx = =( ) M obter deseja se onde posio x m 50 , 1 m 50 , 1 x = =2x . pM2x 250 , 1 . 10002m . N 1125 Mx =M 0 tenses positivas indicam traoN < 0 < 0 tenses negativas indicam compressoSo perpendiculares seo Segurana rupturamaterialmxmxfAN = Resistncia do material( trao ou compresso) 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Registrandosistematicamenteacargaaplicadaeadeformaolidanos extensmetros pode-se traar o grfico de tenses X deformaes abaixo:Deformao especifica(epsilon)Tenso deruptura(resistncia)Tenso no limite elsticoPara a madeira coincide com a tenso no limite de proporcionalidadeAstensessoproporcionaisas deformaes. Umcorpodeprova submetidoaumesforonormalN,cuja tenso inferior a e, quando retirado o esforo,assumeumcomportamento elstico voltando sua forma inicial.Um corpo de prova submetido aumesforonormalN,com tensoentreee fr,quando retirado o esforo, assume um comportamentoinelsticopermanecendo deformadoFora aplicada corresponde fora normal.rea da seo transversalDeformao lida (Delta)Fixao dos extensmetrosDeformaoresidualTenso (sigma)r 69301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon materialfRegio de trabalho nas estruturasA segurana ruptura exigeNasituaodetrabalho astensesso proporcionais s deformaes, portanto: = . EE= =A . ENllA . E . Nll = ouTenso Deformao especificaMdulo de elasticidade (Mdulo de Young) do material = E (Teta)E = tg(numericamente)Lei deHookeDeformao da barraComprimento da barraMdulo de elasticidade do material da barra Fora normalrea da seo transversal da barra Barras tracionadas (N>0) produzem alongamentos Barras comprimidas (Nb x . a . 2dxdy' y + = =a . 2dxy d" y22= =Sinal de aConvenode sinais utilizada22dxv dr1 = Ajustando a conveno de sinais I . EMr1k = =Curvatura da elstica (anteriormente) = I . EMdxv d22Mdxv d. I . E22 =Equao da linha elstica Segurana deformaoUsar equao da elstica para obter a flecha mxima (vmx) e verificar:Fecha limite(definida em normas)( )ite lim mx mxv x v v = 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Calcular as reaes de apoio. 1Roteiro Clculo e utilizao da linha elsticaUsar roteiro especifico Ver roteiroDefinir pontos chaves. 2 extremidades da estrutura esq. e dir. de cargas concentradas pontos de mudanas de carregamentoObteraequao deMxemcada trecho(entredois pontos chaves).3a) Cortar a estrutura, na posio x do trecho (de cabea);b) Escolher uma das partes para os clculos (de cabea);c) Na parte escolhida, colocar os E. S. (incgnitas) no sentidopositivo e se necessrio, simplificar os carregamentos;d) Aplicar a equao Mo= 0 (no ponto de corte) e obter MxObter as equaes de (funo dasconstantes), por integrao sucessiva de.4v . I . E edxdv. I . E ;dxv d. I . E22x22Mdxv d. I . E =++=+C x .1 nadx x . a1 n nLEMBRETEImpor5Condies de contorno funo do esquema estticoResolver sistema (obtido em 5) e obter as constantes de integrao.6Obter equaes substituindo (em 4) as constantes (de 6).7v . I . E edxdv. I . E ;dxv d. I . E22Aplicar os resultados (de 7) soluo do problema. 8 Funo do esquema esttico (Anexo 3)77301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 027 Obter a linha elstica, a flecha no extremo livree a flechade mximo valor absoluto no trecho 2,00 m x 6,00 m, da vigaesquematizada abaixo. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1 - Clculo das reaes de apoio1.1 Substituir apoios por reaes (em vermelho na figura abaixo)1.2 Simplificar carregamentos (em azul na figura abaixo)1.3 Aplicar equaes de equilbrio, obtendo as reaes de apoio( ) =+0 Fh0 H 800 = N 800 H =Voltar 78301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ( ) + = 0 FV0 V 8000 V 6002 1= + + 8600 V V2 1= +A( ))`= =z . F M0 M00 0 00 , 4 . V 00 , 2 . 8000 00 , 2 . 6002= + 00 , 416000 1200V2=N 3700 V2 =Apoio por onde passam mais reaes Ver figuraVoltando em A:( ) 8600 3700 V1= + N 4900 V1 =3700 8600 V1 = 1.4 Apresentar soluo, invertendo o sentido das reaes negativas Apresentado, junto com o segundo passo, na figura a seguir 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 - Definir os Pontos Chaves esquerda e direitadecargas concentradas Extremidades da estrutura Pontosde mudana decarregamentoRegrasX X123 43 - ObteraequaodeMomentoFletor(calculandoemumaseogenrica, definida pela abscissa x) decadatrecho(definidospelospontos chaves) NOTA: O corte deve ser feito em um ponto determinado pela abscissa x(incgnita), a fim de fornecer uma equao em funo de x. Roteiro para clculo da equao do Momento (em cada trecho) Corte (de cabea) a estrutura em um ponto (do trecho) definido por x; Escolha uma das partes para o clculo e simplifique o carregamento; Coloque os esforos solicitantes (incgnitas) no sentido positivo; Aplique Mo=0, no ponto de corte, e obtenha a equao de Momento. 79( ))`= =z . F M0 M00301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Ospontoschavesdefinem doistrechos,apresentados na figura ao lado. Trecho 1 Escolhendo-se a parte esquerdax0 M x . 600 = x . 600 M1 =Ponto de corte 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon x Trecho 2 Escolhendo-sea parte direita( )= = z . F M e 0 M0 0( ) ( ) 0 x 00 , 6 . 37002x 00 , 6. x . 2000 12000 M = |.|

\| +13800 x . 8300 x . 1000 M22 + =Ponto de corte0 x . 3700 22200 x . 1000 x . 6000 x . 6000 36000 M2= + + +0 13800 x . 8300 x . 1000 M2= + + 80301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4 - Determinar, em funo dos coeficientes de integrao, as equaesde ,e de, por integrao sucessiva da equao daelstica.22dxv d. I . Edxdv. I . Ev . I . E( ) x Mdxv d. I . E22 = Trecho 1 ( ) x Mdxv d. I . E22 =( ) x Mdxv d. I . E1212 =( ) x . 600 x M1 =x . 600dxv d. I . E212=Integrando em xx . 600dxv d. I . E212=121C2x . 600dxdv. I . E + =12 1C x . 300dxdv. I . E + =++=+C1 nx . adx . x . a1 nnLembrete:Integrando novamente em x12 1C x . 300dxdv. I . E + =2 131C x . C3x . 300v . I . E + + =2 131C x . C x . 100 v . I . E + + = 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Trecho 2 ( ) x Mdxv d. I . E22 =( ) x Mdxv d. I . E2222 =( ) 13800 x . 8300 x . 1000 x M22 + =13800 x . 8300 x . 1000dxv d. I . E2222+ =Integrando em x13800 x . 8300 x . 1000dxv d. I . E2222+ =32 32C x . 138002 x . 83003 x . 1000dxdv. I . E + + =32 3 2C x . 13800 x . 4150 x . 33 , 333dxdv. I . E + + =Integrando novamente em x32 3 2C x . 13800 x . 4150 x . 33 , 333dxdv. I . E + + = 4 32 3 42C x . C2x . 138003 x . 41504x . 33 , 333v . I . E + + + =4 32 3 42C x . C x . 6900 x . 33 , 1383 x . 33 , 83 v . I . E + + + = 81301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 5 - Impor as condies decontorno para o problema,conforme oesquemaesttico da estrutura.Paraoproblemaem questo tem-se: Em x = 2,00 m:Apoio para o trecho 1 Apoio para o trecho 2 Emendaentre os trechos 1 e 2 ( ) 0 00 , 2 v1= ( ) 0 00 , 2 v . I . E1=( ) 0 00 , 2 v2= ( ) 0 00 , 2 v . I . E2=( ) ( ) 00 , 2 v 00 , 2 v2 1= ( ) ( ) 00 , 2 v . I . E 00 , 2 v . I . E2 1= Redundante00 , 2200 , 21dxdvdxdv|.|

\|=|.|

\|00 , 2200 , 21dxdv. I . Edxdv. I . E|.|

\|=|.|

\| Em x = 6,00 m:Apoio para o trecho 2 ( ) 0 00 , 6 v2= ( ) 0 00 , 6 v . I . E2=1234Lembrete 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 131C x . C x . 100 v . I . E + + = Aplicando a condio 1 ( ) 0 00 , 2 v . I . E1=( )2 131C 00 , 2 . C 00 , 2 . 100 00 , 2 v . I . E + + =( ) 0 00 , 2 v . I . E1= Assim, 800 C C . 22 1 = + I4 32 3 42C x . C x . 6900 x . 33 , 1383 x . 33 , 83 v . I . E + + + = Aplicando a condio 2 ( ) 0 00 , 2 v . I . E2=( )4 32 3 42C 00 , 2 . C 00 , 2 . 6900 00 , 2 . 33 , 1383 00 , 2 . 33 , 83 00 , 2 v . I . E + + + =( ) 0 00 , 2 v . I . E2= Assim, 66 , 17866 C C . 24 3 = +II Aplicando a condio 3 00 , 2200 , 21dxdv. I . Edxdv. I . E|.|

\|=|.|

\|12 1C x . 300dxdv. I . E + =1200 , 21C 00 , 2 . 300dxdv. I . E + =|.|

\| Ver anexo 3 82301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 32 3 2C x . 13800 x . 4150 x . 33 , 333dxdv. I . E + + = 32 300 , 22C 00 , 2 . 13800 00 , 2 . 4150 00 , 2 . 33 , 333dxdv. I . E + + =|.|

\|Assim,00 , 2200 , 21dxdv. I . Edxdv. I . E|.|

\|=|.|

\|3 1C 64 , 13666 C 1200 + = + 64 , 12466 C C3 1= III Aplicando a condio 4 ( ) 0 00 , 6 v . I . E2=4 32 3 42C x . C x . 6900 x . 33 , 1383 x . 33 , 83 v . I . E + + + = ( )4 32 3 42C 00 , 6 . C 00 , 6 . 6900 00 , 6 . 33 , 1383 00 , 6 . 33 , 83 00 , 6 v . I . E + + + =Assim,( ) 0 00 , 6 v . I . E2= 40 , 57596 C C . 64 3 = +IV 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 6 - Obterasconstantesdeintegrao,pelaresoluodosistemade equaes definidos no passo 5.800 C C . 22 1 = + I66 , 17866 C C . 24 3 = +II64 , 12466 C C3 1= III40 , 57596 C C . 64 3 = +IVO sistema 4 x 4, aparentemente de difcil resoluo, em geral no o . Vale apenafazerumaanlise.Nocaso,asequaesIIeIVformamum sistema2x2,emC3eC4,defcilsoluo.ObtidoC3,aequaoIII fornece C1. Obtido C1, a equao I fornece C2.66 , 17866 C C . 24 3 = +40 , 57596 C C . 64 3 = +Aplicando o mtodo da soma, fazendo-se IV II, obtm-se:IIIV76 , 39727 C . 43 = 44 , 9932 C3 = 83301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Que aplicado na equao II, fornece:66 , 17866 C C . 24 3 = + ( ) 66 , 17866 C 44 , 9932 . 24 = + 24 , 1998 C4 =Aplicando C3na equao III, obtm-se:64 , 12466 C C3 1= ( ) 64 , 12466 44 , 9932 C1= 20 , 2534 C1 =Que aplicado na equao I, fornece:800 C C . 22 1 = + ( ) 800 C 20 , 2534 . 22 = + 40 , 5668 C2 =Em resumo:20 , 2534 C1 =40 , 5668 C2 =44 , 9932 C3 =24 , 1998 C4 =Nota: As constantes de integrao tm unidades, massem sentidoprtico (nocaso,C1eC3esto em1/N.m2,j C2eC4em1/N.m). comum consider-lascomopartedoproblema matemtico, esquecendo as unidades. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 7 - Obterasequaesde, e de, substituindo asconstantes de integrao nas expresses obtidas no passo 4.22dxv d. I . Edxdv. I . E v . I . E Trecho 1 x . 600dxv d. I . E212=20 , 2534 x . 300dxdv. I . E2 1+ =40 , 5868 x . 20 , 2534 x . 100 v . I . E31 + = Trecho 2 13800 x . 8300 x . 1000dxv d. I . E2222+ =44 , 9932 x . 13800 x . 4150 x . 33 , 333dxdv. I . E2 3 2 + =24 , 1998 x . 44 , 9932 x . 6900 x . 33 , 1383 x . 33 , 83 v . I . E2 3 42+ + = 84301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 8 - Aplicar os resultados soluo do problema.a) Linha elstica da vigaParaobteralinhaelstica,equaodev(x),bastadividirasequaes de E.I.v, obtidas no passo 7, por E.I = 600.000 N.m2, obtendo: Trecho 1 3 3 3 4110 . 781 , 9 x . 10 . 224 , 4 x . 10 . 667 , 1 ) x ( v + =m m Trecho 2 ( )3 2 3 3 4 4210 . 330 , 3 x . 0166 , 0 x . 0115 , 0 x . 10 . 306 , 2 x . 10 . 389 , 1 x v + + =m mb) Flecha no extremo livreAflechaemumaposioqualquerdaviga ovalordev(x)naquela posio.Paraoextremolivre,doproblemaemquesto,x=0,00m,e portanto:( ) ( )3 3 3 4110 . 781 , 9 00 , 0 . 10 . 224 , 4 00 , 0 . 10 . 667 , 1 00 , 0 v 00 , 0 v + = =( ) mm 78 , 9 m 10 . 781 , 9 00 , 0 v31 = =Flecha para cima 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon c) Flecha de mximo valor absoluto no trecho 2,00 m x 6,00 mNestecasodeve-seobterinicialmenteaposiodemximo(ou mnimo) da funo v(x), e portanto o valordex,queacarreta(condio de mximo, mnimo ou ponto de inflexo). Em seguida o valor de v(x) nessa posio. Ponto de mximo (xmx)0dxdv=0dxdv. I . E 0dxdv= = 0dxdv. I . E2 = , no caso:44 , 9932 x . 13800 x . 4150 x . 33 , 333dxdv. I . E2 3 2 + = 0 44 , 9932 x . 13800 x . 4150 x . 33 , 3332 3= + Asoluodestaequaoconduzaopontodemximo(xmx).Araiz destaequao obtidaportentativas,lembrandoqueovalorde y=f(x) tem sinais diferentes imediatamente antes e depois da raiz.y=f(x)xRaiz de y=f(x)+-Resoluo 85301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Aresoluoconsisteemvariarx,paraintervalode0,1m,at obter valoresseqenciaiscomsinaisdiferentesparay(araizestar entre estesvalores).Repete-seoprocessocomintervalomenorparaa variao de x (0,01 m e depois 0,001 m) at obter xmxcom a preciso desejada (mm mais que suficiente).44 , 9932 x . 13800 x . 4150 x . 33 , 333 y2 3 + = ) m ( x2,00 3734,2000 Variando x com intervalo de0,10 m4,00 200,68004,10 -140,5031 Raiz entre 4,00 e 4,10 m0,01 m4,00 200,68004,05 30,33864,06 -3,7977 Raiz entre 4,05 e 4,06 m4,05 30,33864,058 3,03104,059 -0,38330,001 mRaiz para preciso em mmxmx= 4,059 m 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Flecha mxima (vmx)( ) ( ) 059 , 4 v x v v2 max 2 x a m = o valor de v(x) na posio de mximo. ( )3 2 3 3 4 4210 . 330 , 3 x . 0166 , 0 x . 0115 , 0 x . 10 . 306 , 2 x . 10 . 389 , 1 x v + + =Portanto:3 2 3 3 4 4max10 . 330 , 3 059 , 4 . 0166 , 0 059 , 4 . 0115 , 0 059 , 4 . 10 . 306 , 2 059 , 4 . 10 . 389 , 1 v + + = mm 91 , 8 m 10 . 91 , 8 v3max= =Flecha para baixo8,91 mm9,78 mm4,059 mEm resumo 86 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon O estudo da flambagem se deve a Euler.Barra bi-articuladaPara o caso da barra bi-articulada, tem-se:Noinstantedaflambagem,surgemdeslocamentosv(x), que produzem momentos M(x). Com v(x) =v e M(x) = M:v Elstica: v . F M = = v . Fdxv d. I . E220 v .I . EFdxv d22= +( ) ( ) x . k cos . C x . k sen . C v2 1+ =( ) ( ) x . k sen . k . C x . k cos . k . Cdxdv2 1 =( ) ( ) x . k cos . k . C x . k sen . k . Cdxv d222122 =Soluo geral 1. Em x=0 (apoio) v=02. Em x=l (apoio) v=0Condies de contorno( ) ( ) ( ) + = 0 . k cos . C 0 . k sen . C 0 v2 1Aplicando 1 0 C2 =Note que: 0 v . kdxv d222= +dxdy.dydzdxdz= 87301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ( ) x . k sen . C v1=( ) x . k cos . k . Cdxdv1=( ) = x . k sen . k . Cdxv d2122A soluo reduz-se a v . kdxv d222 =Aplicado na equao da elstica, , fornece: 0 v .I . EFdxv d22= + = + 0 v .I . EFv . k2 = + 0I . EFk . v2I . EFk =v0, pois existe elstica = + 0 v .I . EFdxv d22Aplicando 2 ( ) = 0 v l ( ) == 0 .I . EFsen . C v1l l 0 .I . EFsen =lC10, pois existe elstica... , 4 , 2 , 0 = ... , 5 , 3 , = = . n .I . EFlPara n=0 F=0 M=0 No existir elstica. A 1aocorrncia ser para n=1. = . n .I . EFl = l .I . EF =2 2.I . EFl=22I . E .Fl22crI . E .Fl= 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Os casos estudados por EulerBarra bi-articulada22crI . E .Fl=Barra engastada e articulada 22crI . E . . 2Fl=Barra bi-engastada22crI . E . . 4Fl=Barra simplesmente engastada 22cr. 4I . E .Fl=fll l =fl. 2 l l =fl. 2 l l =2flll =2fl2crI . E .Fl=Comprimento deFlambagem (lfl) = comprimento que se deformaCarga Crtica de Euler 88301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Asegurana flambagem seriaFpilar Fcr. Expressodiferentedasdemais,que verificamtenses.Nasceoconceitode Tenso Crtica de Flambagem (cr).AFcrcr = A .I . E .2fl2crl= AIiAIi2= =2fl2crI . E .Fl=Depende apenas da seoDefinindo:AIi =Raiodegirao uma caracterstica geomtrica da seoA . i dA . y I2s2= = =AIi2AIi =Poranalogiaaoraiosobreo qualgira area infinitesimal no clculo do momento de inrcia.A .I . E .2fl2crl= 2fl2 2cri . E .l= Depende apenas dasdimenses da estruturaDefinindo:ifll= ndice de esbeltezUma relaoentreaaltura dabarraecaractersticas daseo,queexprimeo quo delgada a pea 2fl2 2cri . E .l= = ifll22fl 2il= 22crE .= Tenso Crtica de Euler 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Segurana flambagem22crmxmxE .AN= = Fora normal mxima na estruturaTenso crtica de EulerTenso normal mxima ndice de esbeltezMdulo deelasticidaderea da seo transversalA frmula de EULER s vlida para peas onde a flambagem ocorra em regimeelstico.Defato,poisaequaoparaclculodalinhaelstica, utilizada para sua demonstrao, se utiliza da lei de Hooke, vlida somente no regime elstico.1Dopontodevistaprtico,ocomprimentodeflambagem (lfl)deveser escolhidocompessimismo paraseficaraoladodasegurana.Motivo peloqualaNBR-7190: 1982 adotavapara comprimentodeflambagem o dobrodocomprimentodapea(lfl=2.l),quandosimplesmenteengastada, e o comprimento da pea nos demais casos (lfl=l). 2Observaes: 89301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.6. Exerccios propostos4.6.1.Qual a finalidade do estudo da resistncia? 4.6.2.O que se entende por tenso de ruptura? 4.6.3.Qual a hiptese de trabalho utilizada para o efeito da fora normalem barras de estruturas? Existe alguma restrio?Caso afirmativo, qual? 4.6.4.O que se entende por tenso admissvel? 4.6.5.Alm da resistncia, o que mais deve ser estudado emestruturas? 4.6.6.O que deformao especifica? O que representa? 4.6.7.O que se entende por tenso no limite de proporcionalidade? 4.6.8.O que se entende por regime elstico? E regime inelstico? 4.6.9. No caso da madeira, existe relao entre o limite elstico e o limitede proporcionalidade? Como? 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 4.6.10. O que se entende por mdulo de elasticidade? Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.6.11. Quais as formas mais conhecidas da lei de Hooke? 4.6.12. Qual a unidade usual da deformao especifica? E do mdulo deYoung? 4.6.13. Oqueseentendeportensode ruptura ao cisalhamento?Eportensode cisalhamento? 4.6.14. Que observaes pode-se tirar devigasfletidas,commomentofletor positivo? 4.6.15. O que se entende por linha neutra? 4.6.16. Qual a hiptese detrabalhoutilizadaparaexprimiroefeitodomomento fletor sobre vigas? 4.6.17. O queseentendepormomentodeinrcia?Qualaanalogiautilizada para sua denominao? 4.6.18, Qual a tenso () provocada por um momento fletor (M),emumpontodistante(y)dalinhaneutra,quando no existe foranormal? 90301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 4.6.19. Oqueseentendepormomentoesttico? Qual a analogia utilizada para sua denominao? Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.6.20. O que rege o teorema de Cauchy? 4.6.21. Qual o efeitoproduzidopelaforacortanteemvigasfletidas?Como ele avaliado? 4.6.22. Como se distribuem as tenses de cisalhamento, emumaseode viga fletida de seo retangular? Onde seencontraseuvalor mximo? Qual o momento esttico utilizado? 4.6.23. O que se entende por linha elstica?4.6.24. Qual a suposio, histrica, de Bernoulli-Navier? 4.6.25. Como conhecido o produto E.I, do mdulo deelasticidadepelomomento de inrcia? 4.6.26. Qual a equao diferencial utilizada no clculo da linha elstica? 4.6.27. Por que a equao, a que serefereoexerccio4.6.26,forneceum clculo aproximado? 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 4.6.28. Justifique por que o clculo aproximado de flechas normalmenteaceito. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.6.29. Obtenha a elstica, o pontode flecha mxima e a flechamxima,da estruturarepresentadanafigura aolado. 4.6.30. O que se entende por flambagem? 4.6.31. O que se entende por carga critica de flambagem? 4.6.32. possvelutilizarateoriadeprimeiraordem,noestudo daflambagem? Por que? 4.6.33. A flambagem problema de resistncia? Por que? 4.6.34. A ruptura de uma pea, esbelta, comprimida se d porcompresso? Caso negativo, como ocorre? 91301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 4.6.35. Parabarrasdecomprimentol,forneaoscomprimentosdeflambagem, para os seguintes casos:a) Barra bi-articulada;b) Barra simplesmente engastada;c) Barra engastada e articulada;d) Barra bi-engastada. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.6.36. Paraabarra,representada nafigura aolado,forneaas condiesdecontornoe, por analogia a resultados anteriores, a carga critica de flambagem,eo comprimento de flambagem. 4.6.37. Qual a forma geral da carga de Euler? 4.6.38. Como definido raio de girao? Qual aanalogiautilizadaparasua denominao? 4.6.39. Como definido o ndice de esbeltez? O que exprime? 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.6.40. O que se entende por tenso critica de flambagem? 4.6.41. QualafrmuladeEuler paraoclculodatensocriticade flambagem? 4.6.42. AfrmuladeEuler aplicvel em qualquer problema deflambagem? Justifique. 4.6.43. ComoaNBR-7190(Clculo e Execuo de Estruturas deMadeira Norma Brasileira) adotava ocomprimentodeflambagem? Qual o motivo? 92 V Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Efeito daFora Cortante (V)Nas ligaes Na flexo Tenso tangencial distribuda na rea da seo cisalhante.FSegurana rupturamaterialcmxmxfAF = Segurana deformaoUsualmente desprezadaTenso tangencial parabolicamente distribuda na rea da seo cisalhante,com mximo no centro de gravidade.Segurana rupturaSegurana deformaomaterialmx mxmxfI . bS . V = Usualmente desprezada=1yydA . y S MomentoestticoBorda da seoPosio de (corte), emy=0(CG)tem-se Smx(meia seo)301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 93301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2fl2cr mx mxI . E .F N Fl= =AIi =ifll= Segurana flambagem22crmxmxE .AN= = FlambagemEfeito da fora normal (N) Comprimento de flambagemCarga crtica de EulerTenso crtica de Eulerndice de esbeltezRaio de giraoMomento de inrciarea da seo transversalEm peas longas e delgadas=sdA Area da seotransversalEm todaa seo=1yydA . y SMomento estticoBordada seoPosio de (corte), em y=0 (CG) tem-se Smx(meia seo)Momento de inrcia=s2dA . y IEm toda a seoRaio de giraoAIi =Momentode inrciarea daSeotransversal5.2. DefiniesMdulo de elasticidade 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Exemplo de aplicao 028 Usando as definies obter as caractersticas geomtricas da seo retangular abaixo.=sdA A=1yydA . y S=s2dA . y IAIi =dy . b dA = =2 / h2 / hdy . b A = 2 / h2 / hdy . b A | | + =2 / h2 / hC y . b A((

|.|

\|+ |.|

\|+ = C2hC2h. b A h . b A = ===2 / h y0 y1dy . b . y S = 2 / h0dy . y . b S ((

+ =2 / h02C2y. b S( )(((

||.|

\|+ ||.|

\|+ = C20C22 / h. b S2 28h . bS2= =2 / h2 / h2dy . b . y I = 2 / h2 / h2dy . y . b I ((

+ =2 / h2 / h3C3y. b I( ) ( )(((

||.|

\|+||.|

\|+ = C32 / hC32 / h. b I3 312h . bI3= =h . b12h . bi3 =12hi212hi =S interessa o que produz mx corte no CG y=0 Meia seorea da seo transversalMomento estticoMomento de inrciaRaio de girao 94301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Exemplo de aplicao 029 Obter as caractersticasgeomtricas da seo retangular ao lado.Evidentementeosresultadosseroosmesmosdo exemplodeaplicao028,mastrocandob porhe vice-versa, ou seja:b . h A =rea da seotransversal8b . hS2=Momento esttico Momento de inrcia12b . hI3=Raio de girao12bi =5.3. Tabelas de caractersticas geomtricas de sees planasOsexemplosanterioresmostramaviabilidadedesetabelar ascaractersticasgeomtricasdasseesusuais.Para identificar sob que eixo foram consideradas as caractersticas (eixoz),diferenciandoosexemplos028e029,astabelas adotameixosx-xey-yaosquaissoassociadasas caractersticas geomtricas.Tabelas de caractersticas geomtricas de sees planas 95 96301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Exemplo de aplicao 033 Obter a posio do centro de gravidade da seoquarto de crculo, lembrando que apartirdacomposiodeduasdestassees se obtm a seo semi-crculo de C. G. conhecido.+ =a = ? e b = ?Uma anlise geomtrica mostra:Girando 180osobreum eixo verticalGirando 90ono planor r rProf. Dr. Norman Barros Logsdon a = b 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Dotem-se:Roteiro de seo composta1) Identificar elementos e obter: ,e.iAx xiI y yiIElemento 1A A1 =X 1I Ix x=y 1I Iy y=Elemento 2A A2 =X 2I Ix x=y 2I Iy y=x1= -ay1= ax2= ay2= a2) Adotar sistema de eixos auxiliar OXY, identificar CGs dos elementos (xie yi)e obter o CG da seo composta.=ii igAA . xx++ =A AA . a A . axg0 xg ==ii igAA . yy++=A AA . a A . ayga yg =++=2 12 2 1 1A AA . x A . x++=2 12 2 1 1A AA . y A . yCG 97 98 99 100 101 102301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Seescompostasporumamacia da qual se retirou um buraco, na qual osCGs da composta,da maciaedo buracocoincidem Estassees terodoiseixosdesimetriaeas equaes se reduzem para:4==n1 iiA A) seo meia ( A . y Sn1 ii i x x = =) seo meia ( A . x Sn1 ii i y y = = = = + =n1 ii2in1 ii x xA . y I Ix x = = + =n1 ii2in1 ii y yA . x I Iy yB MA A A =x x x xB M x xS S S =y y y yB M y yS S S =x x x xB M x xI I I =y y y yB M y yI I I =E continuamiguais:AIix xx x =AIiy yy y == y y x xmini e ientre menori 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicao 035 Obter as caractersticas geomtricasda seo composta ao lado.Nota-se que:1) A seo pode ser tratada comouma macia da qualseretirouum buraco2) Os CGs da seo composta, damacia e do buraco coincidem2 eixos de simetria CG no cruzamentoNeste caso:B MA A A =x x x xB M x xS S S =y y y yB M y yS S S =x x x xB M x xI I I =y y y yB M y yI I I = =2B2Ma a A =2 25 , 12 5 , 17 A2cm 150 A = = = 8a8aS S3B3My y x x = = 85 , 1285 , 17S S3 3y y x x3y y x xcm 426 S S = = = = 12a12aI I4B4My y x x = = 125 , 12125 , 17I I4 4y y x x4y y x xcm 5781 I I = = 103301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon E, ainda:AIix xx x =AIiy yy y =y y x x mini e i entre menor i = = = AIi ix xy y x x = = 1505781i iy y x xcm 2 , 6 i iy y x x= = cm 2 , 6 imin = 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 5.5. Exerccios propostos5.5.1. Quais so e como so definidas as caractersticas geomtricas deuma seo? a5.5.2. Obtenha as caractersticas geomtricas das sees representadasnas figuras a seguir.bcdeProf. Dr. Norman Barros Logsdon f 104 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas 5.5.4. Uma seocomumeixodesimetriapermite afirmar o que em relao a seucentro de gravidade? E com dois eixosde simetria? Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 5.5.5. Calcular as caractersticas geomtricasdaseorepresentadanafigura ao lado. 5.5.6. Calcular as caractersticas geomtricas das sees representadasnas figuras abaixo.a b c 105301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 6.1. Generalidades6. Teoria das treliasTreliassoestruturasformadaspor barrasligadaspelasextremidades, formandoumconjuntorgido,que mantmsuageometriaduranteo carregamento Ns admitidos articulaes perfeitasBarra transmite apenas NNa prtica as ligaes tm alguma rigidez Ascargas,emumatrelia,so sempreaplicadasaseusns, evitandooaparecimentode momentos fletores. z . F Mo =0 z =0 Mo =Barras de trelia S tem N. 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Vigas (efeito de M)y .IM= Apenas as bordas podem atingir fmaterialResistncia no usadaBarras (efeito de N)AN= Todos os pontos podem atingir fmaterialAstreliassoutilizadasparaosmesmospropsitosdasvigas,coma vantagem de alcanarem vos muito maiores, visto que suas barras podem utilizar toda a resistncia do material 106Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Trelias espaciais barras e carregamento em diversos planos Trelias planas barras e carregamento em um nico plano a) Quanto disposio espacial6.2. Tipos de treliasEm geral,uma trelia espacialpode ser decomposta em um conjunto de trelias planas 301.1125-0 Resistncia dos Materiais e Esttica das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon b) Quanto estabilidade geomtricaF FTrelias hipostticas geometricamente instveis(no devem ser utilizadas). Menos que3 n . 2 b