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Universidade Braz Cubas

rea de Cincias Exatas

Engenharia Mecnica Engenharia de Controle e Automao

Apostila de

Robtica

Prof. Valdemir Carrara

www.valcar.net www.carrara.us

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Robtica

Prof. Valdemir Carrara

ndice Cap. 1 Introduo Cap. 2 Automao da produo

2.1 - Histria da robtica 2.2 - Automao

Cap. 3 Fundamentos da Tecnologia de Robs

3.1 - Nomenclatura 3.2 Anatomia dos braos mecnicos industriais

3.2.1 Juntas 3.2.2 Graus de liberdade 3.2.3 Cadeias cinemticas

3.3 Configurao dos robs 3.3.1 - Rob cartesiano 3.3.2 - Rob cilndrico 3.3.3 - Rob esfrico ou polar 3.3.4 - Rob SCARA 3.3.5 - Rob articulado ou revoluto 3.3.6 - Rob paralelo

3.4 rgo terminal 3.5 Sensores

3.5.1 Sensor de posio 3.5.2 Sensor de toque 3.5.3 Sensor de presso

3.6 Sistemas de acionamento 3.6.1 Acionadores hidrulicos 3.6.2 - Acionadores eltricos

3.6.2.1 - Servomotores 3.6.2.2 Motor de passos

3.6.3 - Acionadores pneumticos 3.7 Mtodos de acionamento

3.8.1 - Acionamento indireto 3.8.2 - Acionamento direto

3.8 - Volume de trabalho 3.9 - Dispositivos de entrada para manipuladores 3.10 - Sistema de Controle 3.11 - Programao de robs 3.12 - Dinmica do brao robtico

3.12.1 - Preciso dos movimentos 3.13 Transmisso de potncia 3.14 - Preciso cartesiana em juntas robticas

Cap. 4 Cinemtica e dinmica de manipuladores

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4.1 Manipulador RR em movimento plano 4.2 Manipulador RRR em movimento plano 4.3 Manipulador RLR em movimento plano 4.4 Manipulador TRR em movimento no espao 4.5 Manipulador TRL:R em movimento no espao 4.6 Manipulador VVL:R em movimento no espao

Cap. 5 Notao de Denavit-Hartenberg

5.1 - Sistemas de coordenadas da base e do rgo terminal. 5.2 - Matriz de transformao entre os sistemas n1 e n. 5.3 Exemplo de aplicao num manipulador VVR:VR.

Apndice A Trigonometria

A.1 - Semelhana de tringulos A.2 - Teorema de Pitgoras A.3 - Seno, co-seno e tangente A.4 - Complementos de ngulos A.5 - Soma e diferena de ngulos A.6 - Lei dos senos A.7 - Lei dos co-senos

Apndice B Transformaes de coordenadas

B.1 Rotaes de coordenadas B.2 Rotaes ao redor dos eixos cartesianos B.3 Translaes de coordenadas B.4 Transformaes compostas B.5 Transformaes homogneas B.6 Relaes inversas B.7 Matriz homognea da transformao composta

Apndice C Alfabeto grego

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1 - Introduo

Esta apostila foi preparada para propsitos das disciplinas de Robtica e Princpios de Robtica, dos cursos de Engenharia Mecnica e Engenharia de Controle e Automao da Universidade Braz Cubas. A bibliografia utilizada baseada nos livros clssicos da rea, entre os quais citam-se:

Groover, M. P.; Weiss, M.; Nagel, R. N.; Odrey, N. G. Robtica. Tecnologia e Programao. McGraw-Hill, So Paulo, 1989. (Edio esgotada). (1)* Adade Filho, A. Fundamentos de Robtica: Cinemtica, Dinmica e Controle de Manipuladores Robticos. Apostila publicada pelo ITA-CTA. So Jos dos Campos, 1992. Groover, M. P.; Weiss, M.; Nagel, R. N.; Odrey, N. G. Industrial Robotics: Technology, Programming, and Applications. McGraw-Hill Higher Education, 1986. Craig, J. J. Introduction to Robotics: Mechanics and Control (2nd Edition). Addison-Wesley, 1989. Asada, H.; Slotine, J.-J. E. Robot Analysis and Control. John Wiley and Sons, New York, 1986. Salant, M. A. Introduo Robtica. So Paulo, SP: Makron Books, 1988. (1)* Fu, K. S. Robotics: Control, Sensing, Vision and Inteligence. McGrall-Hill, New York, 1987. (1)* Bolton, W. Engenharia de controle. So Paulo, SP: Makron Books,1995.

Igualmente importantes so as referncias encontradas em grande nmero na Internet.

De especial interesse so aquelas publicadas em portugus:

Laus, Lus Paulo - Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran - Departamento Acadmico de Mecnica - rea de Automao - http://dexter.damec.cefetpr.br/~laus/

Parte deste documento foi extrada do trabalho de graduao dos alunos merson

Teruhiko Watanabe e Flvia Moreira dos Santos:

Watanabe, E. T.; Santos, F. M. Estudo da cinemtica inversa aplicada num brao robtico. Universidade Braz Cubas, Mogi das Cruzes, 2006.

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Boa parte das informaes tcnicas a respeito de robs industrias pode hoje ser

acessada pela rede mundial de computadores. Seguem alguns endereos separados por categoria: Fabricantes

Adept Technology http://www.adept.com/ Asea Brown Boveri (ABB) - http://www.abb.com/ BMI Automation - http://www.bmiauto.com/ Denso Robotics - http://www.densorobotics.com/ Epson Robots - http://www.robots.epson.com/ Fanuc Robotics - http://www.fanucrobotics.com/ Hyundai Robotics - http://www.hyundairobotics.com/ IGM - http://www.igm.at/ Innovative Robotics - http://www.innovativerobotics.com/ Intelligent Actuator - http://www.intelligentactuator.com/ Janome Industrial Equipment - http://www.janomeie.com/ Kawasaki Robotics - http://www.kawasakirobotics.com/ Kuka Industrial Robots - http://www.kuka.com/ Nachi Robotic Systems - http://www.nachirobotics.com/ Panasonic Industrial - http://www.panasonic-industrial.com/ Reis Robotics - http://www.reisrobotics.de/ RMT Robotics - http://www.rmtrobotics.com/ Sankyo - http://www.nidec-sankyo.co.jp/ Stubli Robotics - http://www.staubli.com/ Transbotics - http://www.transbotics.com/ Yamaha - http://www.yamaha-motor.co.jp/global/industrial/robot/ Yaskawa Motoman - http://www.motoman.com/

Educacionais

Intelitek - http://www.intelitek.com/ Neuronics AG - http://www.neuronics.ch/ ST Robotics - http://strobotics.com/ Tim King Electronics - http://www.timkingelectronics.com/

Robtica

DMOZ - http://dmoz.org/Computers/Robotics/ Industrial Electricity - http://www.industrial-electricity.com/ Wikipedia - http://en.wikipedia.org/wiki/Industrial_robot

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2 Automao da produo

Este captulo visa apresentar de maneira sucinta o desenvolvimento da robtica e os conceitos envolvidos com automao de processos produtivos industriais. 2.1 - Histria da robtica

O precursor do termo rob (Groover, 1988) foi Karel Capek, novelista e escritor de uma pea teatral da Tchecoslovquia, que usou pela primeira vez, em 1920, a palavra robota (servio compulsrio, atividade forada) originando a palavra robot em ingls e traduzido para o portugus como rob. Diversos filmes de fico cientifica mostraram robs produzidos com o comportamento e a forma humana, levando muitos jovens a pesquisar e desenvolver robs para o mundo real. Com o surgimento dos computadores na metade do sculo, iniciaram-se especulaes em termos da capacidade de um rob pensar e agir como um ser humano. No entanto, os robs foram, neste perodo, criados especialmente para executarem tarefas difceis, perigosas e impossveis para um ser humano. Por outro lado, eles no eram projetados com a capacidade de criar ou executar processos que no lhes foram ensinados ou programados. Assim sendo, foram as indstrias que mais se beneficiaram com o desenvolvimento da robtica, aumentando a produo e eliminando tarefas perigosas, antes executadas por seres humanos.

Na robtica moderna, h pesquisas e desenvolvimentos de robs intitulados humanides ou antropomrficos. Estes so criados com a semelhana humana e com capacidade de interagir com o ambiente, como o Asimo construdo pela montadora japonesa Honda Motor Co. Citam-se ainda diversos brinquedos articulados com feies que lembram animais de estimao como ces, por exemplo, e que se destinam ao entretenimento. Contudo, tais robs so incapazes de realizar quaisquer tipos de tarefas, e apenas respondem a estmulos externos. Estes equipamentos no fazem parte do propsito deste documento, que visa exclusivamente estudar e compreender os robs industriais. Estes, por sua vez, caracterizam-se por serem capazes de realizar tarefas, podem ser programados, e possuem fora elevada. 2.2 - Automao

Automao uma tecnologia que faz uso de sistemas mecnicos, eltricos, eletrnicos e de computao para efetuar controle de processos produtivos. Alguns exemplos de processos de automao nas indstrias so:

linhas de montagem automotiva integrao de motores linha transfer maquinas operatrizes do tipo CNC robs

Pode-se identificar trs formas distintas de automao industrial:

automao fixa automao flexvel automao programvel

a) Automao fixa

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Na automao fixa as mquinas so especficas para o produto a ser produzido. Elas produzem grande quantidade um nico produto, ou produtos com pequenas variaes entre eles. O volume de produo elevado, e o custo da mquina elevado, pois projetada para um produto especifico. Por outro lado, como o volume de produo alto, o custo do produto em geral baixo. Tais mquinas so encontradas em linhas transfer de motores, produo de lmpadas, fabricao de papel e de garrafas. Neste tipo de automao, deve-se ter cuidado com o preo final do produto, pois, como o investimento de aquisio da mquina alto, a amortizao s acontece com vendas elevadas. Alm disso, se o produto sair do mercado por obsolescncia, perde-se o investimento. b) Automao flexvel Na automao flexvel o volume de produo mdio e geralmente a mquina pode ser programada para produzir um outro produto, ainda que semelhante. Esta automao possui caractersticas da automao fixa e da programvel. A mquina deve ser adaptvel a um nmero grande de produtos similares, e, neste sentido, ela mais flexvel que a automao fixa.

A automao flexvel empregada, por exemplo, numa linha de montagem automotiva. c) Automao programvel Na automao programvel o volume de produo baixo, mas a variedade de produtos diferentes alta. Ela adaptvel por meio de programao. Os principais exemplos de automao programvel so as mquinas CNC e os robs industriais. A Figura 2.1 ilustra a relao entre o volume de produo e a diversidade de produtos para os processos de automao descritos. De todos os processos de automao, a robtica mais se aproxima da automao programvel. Portanto, os volumes de produo de um rob industrial no so grandes, mas ele extremamente adaptvel a produtos diferentes. Embora robs industriais sejam produzidos em diversas configuraes, algumas delas se assemelham, at certo ponto, a caractersticas humanas (antropomrficas), e, portanto, so propcias para substituir operaes realizadas por humanos. Os robs so totalmente programveis, possuem braos moveis, e so empregados em vrias atividades, entre as quais destacam-se:

carregamento e descarregamento de mquinas soldagem a ponto ou outra forma pintura ou jateamento processo de conformao ou usinagem

Embora haja uma tendncia de dotar os robs industriais de mais habilidade humana,

ainda assim eles no possuem forma humana.

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Automao fixa

Automao programvel V

olum

e de produo

Automao flexvel

Diversidade de produtos Figura 2.1 Distribuio dos processos de automao quanto diversidade de produtos e

volume de produo.

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3 Fundamentos da tecnologia de robs A robtica abrange tecnologia de mecnica, eletrnica e computao. Alm disso, participam em menor grau teoria de controle, microeletrnica, inteligncia artificial, fatores humanos e teoria de produo. Neste capitulo sero analisadas as caractersticas dos robs industriais que permitem avaliar o grau de aplicao de um determinado brao a um determinado processo produtivo. Sero tambm estudados os fundamentos tericos dos elementos que definem caractersticas fsicas do brao, bem como o desempenho dinmico e o sistema de controle. 3.1 - Nomenclatura As mquinas robticas podem ser classificadas segundo critrios distintos. Por exemplo, podem ser agrupadas quanto aplicao, quanto cadeia cinemtica, quanto ao tipo de atuadores, quanto anatomia, etc. Sequer o termo rob possui um significado nico. Pode tanto representar um veculo autnomo quanto um humanide ou um simples brao com movimentos. O grau de interatividade com agentes externos permite classific-los em totalmente autnomos, programveis, seqenciais ou ainda inteligentes. De certa forma, dada a quantidade de aplicaes que surgem a cada momento, praticamente impossvel haver uma nica forma de classificao. Para concentrar esforos no nosso propsito, limitaremos a abrangncia deste manuscrito a robs industriais. Eles so, em sua grande maioria, mquinas projetadas para substituir o trabalho humano em situaes de desgaste fsico ou mental, ou ainda situaes perigosas e repetitivas no processo produtivo em indstrias. Com isso descartam-se aqueles que possuem o atrativo da forma humanide, mas que so de pouca serventia no ramo industrial. Veculos autnomos e outras formas robticas tambm ficam de fora. Na nossa terminologia, um rob ser composto de um circuito eletrnico computadorizado de controle e um mecanismo articulado denominado manipulador. Porm, usaremos sem distino os termos:

rob brao mecnico mecanismo robtico manipulador manipulador mecnico manipulador robtico

que passam a representar, portanto, o mesmo dispositivo. Para compreender melhor a tecnologia robtica, sero analisados, a seguir, alguns fatores que caracterizam os manipuladores e que so, em grande parte, responsveis por tornar uma determinada configurao de brao mais adequada a uma dada automao. Entre estas caractersticas citam-se:

Anatomia Volume de trabalho Sistemas de acionamentos Sistema de controle Desempenho e preciso rgos terminais Sensores

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Programao 3.2 Anatomia dos braos mecnicos industriais

O brao robtico (Groover, 1988) composto pelo brao e pulso. O brao consiste de elementos denominados elos unidos por juntas de movimento relativo, onde so acoplados os acionadores para realizarem estes movimentos individualmente, dotados de capacidade sensorial, e instrudos por um sistema de controle. O brao fixado base por um lado e ao punho pelo outro. O punho consiste de vrias juntas prximas entre si, que permitem a orientao do rgo terminal nas posies que correspondem tarefa a ser realizada. Na extremidade do punho existe um rgo terminal (mo ou ferramenta) destinada a realizar a tarefa exigida pela aplicao. A Figura 3.1 mostra esquematicamente uma seqncia de elos e juntas de um brao robtico. Nos braos reais, a identificao dos elos e juntas nem sempre fcil, em virtude da estrutura e de peas que cobrem as juntas para proteg-las no ambiente de trabalho.

elos

juntas

Figura 3.1 Esquema de notao de elos e juntas num brao mecnico ilustrativo. Numa junta qualquer, o elo que estiver mais prximo da base denominado elo de

entrada. O elo de sada aquele mais prximo do rgo terminal, como ilustrado na Figura 3.2.

junta considerada

elo de entrada elo de sada

Figura 3.2 Seqncia de elos numa junta de um brao robtico.

A Figura 3.3 mostra um brao robtico industrial, com todas as suas partes.

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Figura 3.3 Brao robtico

3.2.1 Juntas As juntas (Fu, 1987) podem ser rotativa, prismtica, cilndrica, esfrica, parafuso e planar. Suas funcionalidades so descritas a seguir, e na Figura 3.4 podem ser visualizadas.

A junta prismtica ou linear: Move em linha reta. So compostas de duas hastes que deslizam entre si;

A junta rotacional: Gira em torno de uma linha imaginria estacionria chamada de

eixo de rotao. Ela gira como uma cadeira giratria e abrem e fecham como uma dobradia;

A junta esfrica: Funciona com a combinao de trs juntas de rotao, realizando a

rotao em torno de trs eixos;

A junta cilndrica: composta por duas juntas, uma rotacional e uma prismtica;

A junta planar: composta por duas juntas prismticas, realiza movimentos em duas direes;

A junta parafuso: constituda de um parafuso que contm uma porca ao qual

executa um movimento semelhante ao da junta prismtica, porm, com movimento no eixo central (movimento do parafuso).

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Rotativa (1 GL) Cilndrica (2 GL) Prismtica (1 GL)

Esfrica (3 GL) Fuso (1 GL) Planar (2 GL)

Figura 3.4 Tipos de juntas empregadas em robs

Robs industriais utilizam em geral apenas juntas rotativas e prismticas. A junta planar pode ser considerada como uma juno de duas juntas prismticas, e, portanto, tambm utilizada. As juntas rotativas podem ainda ser classificadas de acordo com as direes dos elos de entrada e de sada em relao ao eixo de rotao. Tem-se assim as seguintes juntas rotativas:

Rotativa de toro ou torcional T: Os elos de entrada e de sada tm a mesma direo do eixo de rotao da junta.

Rotativa rotacional R: Os elos de entrada e de sada so perpendiculares ao eixo de rotao da junta.

Rotativa revolvente V: O elo de entrada possui a mesma direo do eixo de rotao, mas o elo de sada perpendicular a este.

A Figura 3.5 mostra uma representao esquemtica destas juntas, e tambm da junta

prismtica.

Prismtica ou linear L Torcional T Rotacional R Revolvente V Figura 3.5 Representao esquemtica de juntas

Robs industriais adotam com freqncia solues que tornam o reconhecimento das

juntas mais complexo. De fato, dependendo da forma com que os elos so construdos numa representao esquemtica, a nomenclatura do brao pode ser ambgua. A Figura 3.6 ilustra um mesmo manipulador representado de duas formas distintas. A movimentao igual em ambos os esquemas. Este brao poderia ser denominado, indistintamente, de TVR ou VRR. Para tornar a identificao nica deve-se buscar uma geometria onde os elos sejam formados por, no mximo, dois segmentos lineares. Neste caso, a configurao VRR seria a correta.

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T

R V

V

R R

Figura 3.6 Duas configuraes distintas com movimentao idntica: TVR e VRR.

3.2.2 Graus de liberdade

Os graus de liberdade (GL) determinam os movimentos do brao robtico no espao bidimensional ou tridimensional. Cada junta define um ou dois graus de liberdade, e, assim, o nmero de graus de liberdade do rob igual somatria dos graus de liberdade de suas juntas. Por exemplo, quando o movimento relativo ocorre em um nico eixo, a junta tem um grau de liberdade; caso o movimento se d em mais de um eixo, a junta tem dois graus de liberdade, confome apresentado na Figura 3.7. Observa-se que quanto maior a quantidade de graus de liberdade, mais complicadas so a cinemtica, a dinmica e o controle do manipulador. O nmero de graus de liberdade de um manipulador est associado ao nmero de variveis posicionais independentes que permitem definir a posio de todas as partes de forma unvoca.

Figura 3.7 Braos com um ( esquerda) e dois graus de liberdade ( direita)

Os movimentos robticos podem ser separados em movimentos do brao e do punho. Em geral os braos so dotados de 3 acionadores e uma configurao 3GL, numa configurao que permita que o rgo terminal alcance um ponto qualquer dentro de um espao limitado ao redor do brao. Pode-se identificar 3 movimentos independentes num brao qualquer:

Vertical transversal movimento vertical do punho para cima ou para baixo Rotacional transversal movimento do punho horizontalmente para a esquerda ou

para a direita. Radial transversal movimento de aproximao ou afastamento do punho Os punhos so compostos de 2 ou 3 graus de liberdade. As juntas dos punhos so

agrupadas num pequeno volume de forma a no movimentar o rgo terminal em demasia ao

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serem acionadas. Em particular, o movimento do punho possui nomenclaturas especficas, conforme descritas a seguir, e mostradas na Figura 3.8.

Roll ou rolamento - rotao do punho em torno do brao Pitch ou arfagem - rotao do punho para cima ou para baixo Yaw ou guinada - rotao do punho para a esquerda e para a direita.

Figura 3.8 Movimentos de um punho com 3 GL, nas direes guinada, arfagem e rolamento.

3.2.3 Cadeias cinemticas Uma das principais caractersticas de um brao industrial sua capacidade de carga, isto , qual o peso mximo que ele consegue manipular (erguer) sem que sua preciso seja afetada. Esta capacidade sempre medida na posio mais crtica, o que significa em geral uma posio de mxima extenso do brao. Vrias solues podem ser adotadas para aliviar o peso do prprio manipulador e, conseqentemente, aumentar a capacidade de carga, como, por exemplo, a adoo de acionamento indireto, que ser visto mais adiante. Uma outra forma utilizar cadeias cinemticas fechadas ou parcialmente fechadas. Um rob de cadeia cinemtica aberta aquele que, partindo da base, chega-se ao punho por meio de um nico caminho numa seqncia elo-junta-elo. Um brao articulado do tipo revoluto um exemplo tpico de cadeia aberta. J num brao de cadeia fechada, no existe um nico caminho para se chegar ao punho. Vrios elos podem estar conectados entre si, de tal forma que possvel percorrer, por exemplo, um caminho que parta da base e retorne a ela por um outro caminho aps atingir o punho. Exemplos deste tipo de manipuladores so os robs prticos (gantry), utilizados em operaes de manipulao e armazenagem de material. Existem ainda braos que apresentam parte da cadeia aberta e parte fechada, denominados de cadeia parcialmente fechada. A Figura 3.9 mostra um esquema de um brao com cadeia parcialmente fechada. Percebe-se, neste esquema, que o brao possui apenas um grau de liberdade, embora possua 4 articulaes e 3 elos. O acionamento deste brao deve ser feito com um nico motor, conectado a uma das duas articulaes da base. Tais cadeias permitem que o motor de acionamento de uma dada junta possa ser fixado mais prximo da base, o que permite reduzir a inrcia do conjunto e aumentar a velocidade e preciso do manipulador. Um brao revoluto com cadeia parcialmente fechada, fabricado pela ABB, mostrado na Figura 3.10, ao lado de um manipulador de cadeia fechada (paralelo), produzido pela Fanuc.

arfagem

guinada

rolamento

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Figura 3.9 Representao esquemtica de brao robtico com cadeia cinemtica

parcialmente fechada.

Fig. 3.10 Manipuladores de cadeia parcialmente fechada ( esquerda) e fechada ( direita)

A representao esquemtica de junes ou articulaes no motoras nos braos com cadeia fechada diferente daquela utilizada nas juntas motoras. Costuma-se utilizar a mesma representao daquela utilizada nas juntas, porm em tamanho menor. Alm disso, freqente, em tais braos, a existncia de 3 ou mais articulaes ou juntas fixadas ao mesmo elo (ver Figura 3.10). A Figura 3.11 mostra alguns exemplos de representao de articulaes no motoras em tais braos.

Prismtica Rotacionais Figura 3.11 Representao esquemtica de articulaes no motoras

3.3 Configurao dos robs

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A configurao fsica dos robs (Groover, 1988) est relacionada com os tipos de juntas que ele possui. Cada configurao pode ser representada por um esquema de notao de letras, como visto anteriormente. Considera-se primeiro os graus de liberdade mais prximos da base, ou seja, as juntas do corpo, do brao e posteriormente do punho. A notao de juntas rotativas, prismticas e de toro foram vistas na Figura 3.5.

Como visto anteriormente, um brao mecnico formado pela base, brao e punho. O

brao ligado base e esta fixada ao cho, parede ou ao teto. o brao que efetua os movimentos e posiciona o punho. O punho dotado de movimentos destinados a orientar (apontar) o rgo terminal. O rgo terminal executa a ao, mas no faz parte da anatomia do brao robtico, pois depende da aplicao a ser exercida pelo brao. A movimentao do brao e a orientao do punho so realizadas por juntas, que so articulaes providas de motores. Em resumo, a base sustenta o corpo, que movimenta o brao, que posiciona o punho, que orienta o rgo terminal, que executa a ao. Em geral utilizam-se 3 juntas para o brao e de 2 a 3 juntas para o punho. Os elos do brao so de grande tamanho, para permitir um longo alcance. Por outro lado, os elos do punho so pequenos, e, s vezes, de comprimento nulo, para que o rgo terminal desloque-se o mnimo possvel durante a orientao do punho. Adota-se uma nomenclatura para os manipuladores com base nos tipos de juntas utilizadas na cadeia de elos, que parte da base em direo ao rgo terminal. Assim um manipulador TRR teria a primeira junta (da base) torcional, e as duas seguintes seriam rotacionais. O punho segue a mesma notao, porm separa-se o corpo do punho por dois pontos :, por exemplo, TRR:RR. As configuraes tpicas para o brao e o punho de robs industriais so apresentadas nas Tabelas 3.1 e 3.2. A Figura 3.12 mostra a configurao de um punho TRT. Os braos industriais mais comuns descritos nas sees seguintes.

Tabela 3.1 Esquema de notao para designar configuraes de robs

Configurao do rob brao e corpo Smbolo Configurao cartesiana LLL Configurao cilndrica LVL Configurao articulada ou revoluta TRR Configurao esfrica TRL Configurao SCARA VRL

Tabela 3.1 Esquema de notao para designar configuraes do pulso

Configurao do rob (pulso) Smbolo Configurao Pulso de 2 eixos RT Configurao Pulso de 3 eixos TRT

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Figura 3.12 Configurao de um punho TRT na forma compacta. Embora todas as

juntas sejam revolventes, este punho tem denominao TRT. 3.3.1 - Rob cartesiano O rob de coordenadas cartesianas, ilustrado na Figura 3.13 usa trs juntas lineares. o rob de configurao mais simples, desloca as trs juntas uma em relao outra. Este rob opera dentro de um envoltrio de trabalho cbico.

Figura 3.13 Rob cartesiano (LLL)

3.3.2 - Rob cilndrico Este brao possui na base uma junta prismtica, sobre a qual apia-se uma junta rotativa (revolvente ou torcional). Uma terceira junta do tipo prismtica conectada na junta rotativa formando uma configurao LVL, como mostra a Figura 3.14. Este brao apresenta um volume de trabalho cilndrico, e pode-se apresentar tambm na configurao TLL.

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Figura 3.14 - Brao robtico cilndrico

3.3.3 - Rob esfrico ou polar Este tipo de brao robtico foi projetado para suportar grandes cargas e ter grande alcance. bastante utilizado para carga e descarga de mquinas, embora o brao revoluto seja mais comum nestas aplicaes. Ele conta com duas juntas rotativas seguida de uma junta prismtica, como observado na Figura 3.15. A primeira junta move o brao ao redor de um eixo vertical, enquanto que a segunda junta gira o conjunto ao redor de um eixo horizontal. O volume de trabalho um setor esfrico, de onde este manipulador obteve seu nome. A denominao polar deve-se s coordenadas polares de sistemas de eixos cartesianos, caracterizadas por duas coordenadas angulares (juntas rotativas) e uma coordenada radial (junta prismtica). Este tipo de brao est em desuso, sendo substitudos pelos braos revolutos.

Figura 3.15 Rob polar em configurao VVL.

3.3.4 - Rob SCARA

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Este tambm um brao bastante utilizado, pois compacto, tem grande preciso e repetibilidade, embora com um alcance limitado. Estas caractersticas o tornam prprios para trabalhos em montagem mecnica ou eletrnica que exigem alta preciso. Possui duas juntas rotativas e uma junta linear, que atua sempre na vertical, como visto na Figura 3.16. O volume de trabalho deste brao cilndrico, porm, como utiliza juntas rotativas, tambm considerado articulado. O nome um acrnimo de Selective Compliance Assembly Robot Arm, ou Brao Robtico de Montagem com Complacncia Seletiva.

Figura 3.16 Rob com articulao horizontal SCARA.

3.3.5 - Rob articulado ou revoluto Estes tipos de robs (Groover, 1988, Adade Filho, 1992), possuem 3 juntas rotativas, conforme ilustrada a Figura 3.17. Eles so os mais usados nas indstrias, por terem uma configurao semelhante ao do brao humano, (brao, antebrao e pulso). O pulso unido extremidade do antebrao, o que propicia juntas adicionais para orientao do rgo terminal. Este modelo de configurao o mais verstil dos manipuladores, pois assegura maiores movimentos dentro de um espao compacto. Os braos revolutos podem ser de dois tipos: cadeia aberta ou cadeia parcialmente fechada. Nos primeiros pode-se distinguir facilmente a seqncia natural formada por elo-junta, da base at o punho. Nos braos de cadeia parcialmente fechada o atuador da terceira junta efetua o movimento desta por meio de elos e articulaes no motorizadas adicionais.

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Figura 3.17 Rob articulado ou revoluto

3.3.6 - Rob paralelo Estes tipos de manipuladores possuem juntas que transformam movimentos de rotao em translao, ou usam diretamente juntas prismticas. Sua principal caracterstica um volume de trabalho reduzido, porm uma alta velocidade, o que o torna propcio para certas atividades de montagem.Outra caracterstica destes braos que eles no possuem cinemtica com cadeia aberta, como a maioria dos robs industriais. Os quatro ou seis atuadores destes braos unem a base diretamente ao punho. As imagens apresentadas nas Figuras 3.18 a 3.20 representam implementaes das configuraes apresentadas acima.

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Figura 3.18 Um rob do tipo prtico (gantry), esquerda, fabricado pela BMI, e um rob

cilndrico feito pela ST Robotics, direita.

Figura 3.19 Brao do tipo polar, feito pela Fanuc, esquerda e um rob SCARA, produzido

pela Stubli, direita.

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Figura 3.20 Um brao revoluto de cadeia aberta comercializado pela Panasonic ( esquerda)

e o rob paralelo Quattro produzido pela Adept ( direita). 3.4 rgo terminal Na robtica, rgo terminal (Groover, 1988) usado para descrever a mo ou ferramenta que est conectada ao pulso, como por exemplo, uma pistola de solda, garras, pulverizadores de tintas, entre outros. O rgo terminal o responsvel por realizar a manipulao de objetos em diferentes tamanhos, formas e materiais, porm esta manipulao depende da aplicao ao qual se destina.

vlido ressaltar que os rgos terminais requerem cuidados ao serem projetados, pois necessrio controlar a fora que est sendo aplicada num objeto. Para isso, alguns rgos terminais so dotados de sensores que fornecem informaes sobre os objetos.

Existe uma grande variedade de modelos de garras que podem ser utilizadas em diversas aplicaes, como por exemplos:

Garra de dois dedos; Garra para objetos cilndricos; Garra articulada.

A garra de dois dedos, como pode ser visualizada na Figura 3.21, um modelo simples e com movimentos paralelos ou rotacionais. Este modelo de garra proporciona pouca versatilidade na manipulao dos objetos, pois existe limitao na abertura dos dedos. Desta forma a dimenso dos objetos no pode exceder esta abertura.

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Figura 3.21- Modelo de garras de dois dedos

A garra de objetos cilndricos, como pode ser visualizada na Figura 3.22, tambm consiste de dois dedos com semicrculos, os quais permitem segurar objetos cilndricos de diversos dimetros diferentes.

Figura 3.22 Modelo de garra para objetos cilndricos

A garra articulada tem a forma mais similar mo humana, a qual proporciona uma versatilidade considervel para manipular objetos de formas irregulares e tamanhos diferentes. Esta caracterstica est relacionada com a quantidade de elos, como pode ser visto na Figura 3.23. Estes elos so movimentados por cabos ou msculos artificiais, entre outros.

Figura 3.23 Modelo de garra articulada

3.5 Sensores

28

Sensores so dispositivos cuja finalidade obter informaes sobre o ambiente em que se encontram, e so utilizados como componentes do sistema de controle de realimentao do rob. H diversos tipos de sensores que podem ser classificados de acordo com os princpios fsicos sobre os quais eles esto baseados. 3.5.1 Sensor de posio O sensor de posio determina as posies dos elos ou de elementos externos, informando ao sistema de controle que, ento, executa as decises apropriadas para o funcionamento. Um tipo de sensor de posio, por exemplo, o encoder que tem como propriedade informar a posio por meio de contagem de pulsos. Neste caso, tem-se uma fonte de luz, um receptor e um disco perfurado, que ir modular a recepo da luz ao girar. Este disco est preso a uma junta, de forma a criar um movimento rotacional, enquanto que a fonte de luz e o receptor esto fixos. A rotao do disco cria uma srie de pulsos pela interrupo ou no da luz recebida pelo detector. Estes pulsos de luz so transformados pelo detector em uma srie de pulsos eltricos. Os encoders podem ser classificados em absoluto e incremental. 3.5.2 Sensor de toque O sensor de toque fornece um sinal binrio de sada que indica se houve ou no contato com o objeto. Um dos modelos mais simples feito com duas chapas de metal que devem ser tocadas ao mesmo tempo pelos dedos de uma pessoa. A resistncia dos dedos suficiente para acionar um circuito sensvel. 3.5.3 Sensor de presso O sensor de presso uma estrutura mecnica planejada a deformar-se dentro de certos limites. Um modelo simples deste tipo de sensor pode ser feito com material de esponja condutora, pois ela tem uma resistividade elevada que se altera quando deformada. Outro modelo mais sofisticado e verstil o strain-gage, que , na sua forma mais completa, um resistor eltrico composto de uma finssima camada de material condutor. As tenses mecnicas so proporcionais s deformaes medidas pelo sensor. 3.6 Sistemas de acionamento Os acionadores (Groover, 1988) so dispositivos responsveis pelo movimento das articulaes e do desempenho dinmico do rob. Esses dispositivos podem ser eltricos, hidrulicos ou pneumticos, cada um com suas caractersticas. A seguir ser descrito o funcionamento desses dispositivos. 3.6.1 Acionadores hidrulicos Os principais componentes deste sistema so: motor, cilindro, bomba de leo, vlvula e tanque de leo. O motor responsvel pelo fluxo de leo no cilindro em direo ao pisto que movimenta a junta. Assim, este tipo de acionador geralmente associado a robs de maior porte, quando comparados aos acionadores pneumticos e eltricos. Entretanto a preciso em relao aos acionadores eltricos menor.

29

Existem diversos tipos diferentes de motores hidrulicos, como motor de palheta, de engrenagem, de lbulos, etc., e todos eles apresentam caractersticas de alto torque especfico, ou seja, torque elevado com massa e volume reduzidos. So, portanto, apropriados para braos que manipulam grandes cargas. Em contrapartida, a exigncia de elementos de controle e pressurizao do fluido hidrulico faz com que o custo destes sistemas seja elevado, tornando-se vantajoso apenas em braos de grande porte. Apresentam, adicionalmente, problemas de manuteno, j que podem ocorrer vazamentos do fludo e desgaste na bomba e motores. Deve ser mencionado, finalmente, que atuadores hidrulicos lineares so mais compactos e robustos do que seus equivalentes eltricos ou mesmo pneumticos, e com isso so indicados para uso em robs do tipo prtico ou esfricos, que utilizam juntas prismticas. 3.6.2 - Acionadores eltricos Geralmente robs de tamanho pequeno a mdio utilizam acionadores eltricos. Os acionadores eltricos mais comuns em uso nos robs so: motor de corrente contnua ou DC, servo-motor e motor de passo. Esses tipos de acionadores no propiciam muita velocidade ou potncia, quando comparados com acionadores hidrulicos, porm atingem maior preciso. Em geral so dotados de redutores para reduzir a velocidade e aumentar o torque. Acionamentos eltricos podem ser utilizados em juntas prismticas, com a transformao do movimento rotativo do motor em movimento linear por meio de um fuso. Motores eltricos lineares no so utilizados, pois produzem foras de pequena intensidade. O custo do acionamento eltrico cresce com o torque necessrio para acionar o brao mecnico, j o tamanho do motor praticamente proporcional ao conjugado produzido. Por outro lado, a simples reduo da velocidade, por meio de redutor, embora propicie maior preciso e maior torque, reduz significativamente a produtividade. Maior torque significa maior velocidade ou maior carga, e ambos so desejveis. O custo de acionadores hidrulicos cresce tambm com a demanda de torque, porm de forma mais lenta, j que tais motores tendem a ser mais compactos. Adicionalmente o custo dos equipamentos de condicionamento e controle do fluido hidrulico alto e pouco influenciado pela escala. Isto indica, como mostrado na Figura 3.24, que o acionamento eltrico mais vantajoso economicamente em braos de pequeno e mdio porte, ao passo que o acionamento hidrulico melhor quando se trata de gerar grandes potncias e cargas.

eltrico

hidrulico

capacidade de carga

custo

Fig. 3.24 Custo de braos robticos em funo da capacidade de carga, para acionamento

hidrulico e eltrico. 3.6.2.1 Servo-motores

30

Servo-motores so compostos por motores DC e um redutor de velocidades, junto com um sensor de posio e um sistema de controle re-alimentado. Em outras palavras, os servo-motores podem ser considerados como sendo motores comandados em posio (angular ou linear), j que, do ponto de vista de quem os utiliza, o controle interno em malha fechada irrelevante. Os servo-motores so pequenos, com ampla variao de torques. O mecanismo de posicionamento ajusta a posio angular por meio de um sinal codificado que lhe enviado. Enquanto esse cdigo estiver na entrada, o servo ir manter a sua posio angular. Em geral o sinal do tipo PWM (Pulse Width Modulation), ou seja, a posio angular ir depender da largura do pulso enviado. 3.6.2.2 Motor de passo Os motores de passo so usados em aplicaes de servio relativamente leves e algumas das suas caractersticas de desempenho so apresentadas a seguir:

Rotao em sentido horrio e anti-horrio; Variaes incrementais de preciso angular; Repetio de movimentos bastante exatos; Baixo torque; Um torque de sustentao velocidade zero; Possibilidade de controle digital.

Os motores de passo podem ser bipolares ou unipolares. Em ambos os casos as fontes utilizadas so de tenso contnua e requerem um circuito digital que produza as seqncias de sinais para que o motor funcione corretamente. A forma com que o motor ir operar depender bastante do que se deseja controlar. Existem casos em que o torque mais importante, em outras a preciso ou mesmo a velocidade so mais relevantes. Ao trabalhar com motores de passo, precisa-se de algumas caractersticas de funcionamento, como a tenso de alimentao, a mxima corrente eltrica suportada nas bobinas, o grau (preciso), o torque. Motores de passo podem ser acionados de diversas formas. As duas formas mais comuns so: passo completo e meio passo.

No modo de operao em passo completo pode-se acionar apenas uma ou duas bobinas a cada passo. No primeiro caso apenas uma bobina energizada a cada passo, o torque gerado menor, assim como o consumo. A Tabela 3.3 mostra a seqncia dos passos em sentido horrio e o acionamento das bobinas num motor acionado em passo completo com apenas uma bobina energizada.

Tabela 3.3 Passo completo com uma bobina energizada em rotao com sentido horrio.

Bobinas

N do passo B3 B2 B1 B0 Decimal

1 1 0 0 0 8 2 0 1 0 0 4 3 0 0 1 0 2 4 0 0 0 1 1

31

No caso de modo completo com duas bobinas energizadas, tem-se um maior torque, e um consumo maior do que no caso anterior. A velocidade costuma ser maior do que nas demais formas, mas a velocidade mxima de um motor de passo altamente dependente da eletrnica e da estratgia de controle. A Tabela 3.4 mostra a seqncia dos passos em sentido horrio e o acionamento das bobinas.

Tabela 3.4 Passo completo com duas bobinas em rotao no sentido horrio

Bobinas

N do passo B3 B2 B1 B0 Decimal

1 1 1 0 0 12 2 0 1 1 0 6 3 0 0 1 1 3 4 1 0 0 1 9

Por outro lado, no modo de operao em meio passo combinam-se as duas estratgias anteriores, obtendo-se com isso um efeito de meio passo a cada mudana no acionamento das bobinas. Este modo consome mais energia que os dois anteriores, mas atinge maior preciso em virtude do menor passo. O torque gerado prximo ao do acionamento completo com duas bobinas, mas a velocidade costuma ser menor.

A Tabela 3.5 mostra a seqncia dos passos em sentido horrio e o acionamento das

bobinas com seqncia de meio passo.

Tabela 3.5 Meio passo em sentido horrio

Bobinas

N do passo B3 B2 B1 B0 Decimal

1 1 0 0 0 8 2 1 1 0 0 12 3 0 1 0 0 4 4 0 1 1 0 6 5 0 0 1 0 2 6 0 0 1 1 3 7 0 0 0 1 1 8 1 0 0 1 9

Para mudar a direo de rotao do motor nos dois modos de acionamento, basta inverter a seqncia dos passos. 3.6.3 - Acionadores pneumticos Os acionadores pneumticos so semelhantes aos acionadores hidrulicos, porm a diferena a utilizao de ar ao invs de leo. Entretanto o ar altamente compressvel, o que causa uma baixa preciso e fora, mas estes acionadores possuem alta velocidade.

32

Acionadores pneumticos lineares (cilindros) requerem sistemas sofisticados e complexos para controlarem a posio em pontos ao longo do curso. Justamente por isso, so pouco utilizados em aplicaes que tenham tal necessidade. Porm, diversas tarefas de produo podem ser automatizadas com atuadores pneumticos lineares trabalhando entre os extremos de posio, ou seja, totalmente recolhido ou totalmente estendido, que apresentam boa repetibilidade. Estas tarefas em geral so simples, consistindo de movimentao de material, fixao de peas e separao de objetos, chamadas genericamente de operaes pega-e-pe. O baixo custo dos acionadores pneumticos e da gerao de ar-comprimido faz com que a automao pneumtica seja a mais adequada se o trabalho a ser realizado for simples. Pode-se utilizar o acionamento pneumtico em juntas rotativas de forma direta (acionadores rotativos) ou com redutores (motores pneumticos de lbulos ou palhetas). Tais aplicaes so, contudo, muito especficas e indicadas apenas quando houver restries quanto ao acionamento eltrico ou hidrulico. A programao de sistemas pneumticos pode ser realizada com controladores lgicos programveis (PLC), ou mesmo por chaves distribuidoras e chaves fim-de-curso. Este tipo de programao permite certa flexibilidade na seqncia de acionamentos, porm bastante limitada no que se refere a mudanas na forma e no tipo de tarefa executada. Pode-se dizer, portanto, que sistemas pneumticos esto mais prximos de uma automao fixa do que da automao programvel. 3.7 Mtodos de acionamento Os acionadores eltricos (Groover, 1988) tendem a ser maiores e mais pesados que acionadores hidrulicos e pneumticos. Por este motivo, nem sempre possvel posicionar tais atuadores prximos s respectivas juntas, em virtude de restries no espao disponvel ou de problemas com deflexes devido ao peso. Assim sendo, os acionadores podem ser acoplados de forma direta ou indireta. 3.7.1 - Acionamento indireto Uma vez que os atuadores das juntas so pesados, os fabricantes tentam introduzir alteraes no projeto que permitam reduo do peso nas juntas prximas ao pulso e transferir este peso, quando possvel, para a base. Desta forma consegue-se uma capacidade de carga maior para o brao. Este tipo de acionamento denominado indireto, j que o atuador fica afastado da junta movida por ele.

Neste tipo de acionamento, necessrio usar algum tipo de transmisso de potncia, como polias, correntes, rodas dentadas, engrenagens, parafusos e correias, ou seja, o acionador adaptado longe da junta pretendida do manipulador. Entretanto este mtodo sofre efeitos indesejados no desempenho do rob, devido folga nas engrenagens, flexo dos vnculos do manipulador, escorregamento dos sistemas de polias. 3.7.2 - Acionamento direto Neste mtodo, o acionador adaptado diretamente na junta, o que, em determinados casos, proporciona melhor preciso e rendimento de potncia em relao ao acionamento indireto. Contudo, devido ao baixo torque por unidade de peso alcanado pelos motores eltricos, costuma-se utiliz-los em conjunto com redutores de engrenagens, que aumentam o torque, porm reduzem a velocidade. Neste caso, se o acionador estiver fixado no elo motor, o acionamento considerado direto. Nas juntas rotativas com acionamento direto, o sensor de

33

posio angular (encoder) fornece o ngulo relativo entre o elo motor e o elo movido. No acionamento indireto esta leitura fornece o ngulo do elo movido em relao a um outro elo, anterior ao elo motor. 3.8 - Volume de trabalho O volume de trabalho (Groover, 1988) o termo que se refere ao espao que um determinado brao consegue posicionar seu pulso. Este volume, em geral, estabelecido conforme os limites impostos pelo projeto estrutural do brao, ou seja, a configurao fsica do brao robtico, os limites dos movimentos das juntas e o tamanho dos componentes do corpo, brao e pulso. Por exemplo, o volume de trabalho de um brao esfrico (TRL) seria, teoricamente, o volume da esfera cujo raio o comprimento do brao esticado. Braos robticos possuem volumes que dependem, claro, da geometria e dos limites impostos ao movimento por motivos estruturais ou de controle. Na maior parte deles, o volume altamente dependente de detalhes construtivos e raramente aparenta ou aproxima-se do volume terico. Por exemplo, o volume de um manipulador cilndrico deveria ser um cilindro, como mostrado na Figura 3.25, mas em geral no . Em resumo, o volume de trabalho de um manipulador depende, basicamente, da configurao do brao, dos comprimentos dos elos (brao e punho) e de limites e restries construtivas movimentao das juntas.

Fig. 3.25 Volume de trabalho terico de um rob cilndrico.

Os volumes de trabalho so medidos em unidades volumtricas, porm isto pouco ou

nada contribui na seleo de um brao para determinada aplicao. Muito mais importante do que conhecer que o volume de um brao de 1832 litros seria saber se ele consegue ou no atingir um ponto afastado de 840 mm do seu eixo vertical, por exemplo. Em virtude deste aspecto, os fabricantes de manipuladores robticos fornecem o volume de trabalho em termos do alcance do brao em um ou mais planos. A Figura 3.26 mostra a rea de trabalho de um brao SCARA em vista superior, produzido pela Stubli. O deslocamento da terceira junta de 200 mm, neste brao. Braos articulados ou revolventes apresentam em geral um volume bastante complexo, pois as juntas tm movimentos limitados. A Figura 3.27 mostra o volume do brao KR30HA produzido pela Kuka Robotics.

34

Figura 3.26 Volume (rea) til do manipulador RS40B. (Fonte: Stubli Robotics)

Figura 3.27 Volume de manipulador KR30HA produzido pela Kuka Robotics.

(Fonte: Kuka Robotics). Os volumes, alcances ou reas de trabalho devem ser expressos sem a presena do rgo terminal, j que este pode alterar significativamente tais valores, dependendo da aplicao. 3.9 - Dispositivos de entrada para manipuladores Vrios tipos de dispositivos de entrada como joystick, mouse, teclado e luvas artificiais permitem programar um rob. Esses dispositivos so meios de interao homem-

35

mquina, isto , sinais de dados que so enviados ao sistema de controle, e este os transmitem para os acionadores, os quais realizam os movimentos dos manipuladores. 3.10 - Sistema de Controle O sistema de controle de qualquer rob realizado por meio de um sistema de software e hardware. Este sistema processa os sinais de entrada e converte estes sinais em uma ao ao qual foi programado. O software pode ser desenvolvido em um computador pessoal ou num microcontrolador. Neste aspecto, deve-se levar em considerao os pontos fortes e fracos de cada possibilidade. O microcontrolador reduz o custo do projeto, rpido, dedica-se apenas ao controle do rob, porm possui limitaes em relao ao tamanho do software. J o computador pessoal possui alta taxa de processamento e maior espao para a alocao do software. Pode-se ainda aplicar uma soluo mista, em que a parte mais leve do software fica no microcontrolador e a parte de maior processamento fica no computador pessoal.

O sistema de hardware pode constituir, por exemplo, de motores de passos, cabos,

dispositivo de entrada, sensores e amplificadores de potncia. Um dos fatores mais importantes a utilizao de sensores (Bolton, 1995), pois podem ser dispositivos de um sistema de malha fechada, ou seja, consiste em verificar o estado atual do dispositivo a ser controlado e comparar essa medida com um valor pr-definido. Esta comparao resultar num erro, ao qual o sistema de controle far os ajustes necessrios para que o erro seja reduzido a zero. Um esquema simples de malha fechada apresentado em diagrama de blocos na Figura 3.28.

Referncia

+

Sensores

Manipulador robtico

Controle digital

Erro Atuao Sada

Figura 3.28 Diagrama de blocos do controle em malha fechada de um manipulador robtico. 3.11 - Programao de robs Braos mecnicos so programados de diversas formas:

Manipulador manual: todo engenho mecnico de manejo de peas ou ferramentas que requeira a interveno manual do homem para sua operao, ou seja, o homem guia manualmente a mquina servindo essa como uma multiplicadora de foras;

Rob sequncial: aquele que realiza um trajeto seqencial, podendo ser uma

seqncia fixa definida pelo fabricante e inacessvel para o usurio, ou de seqncia varivel em que alterada conforme as necessidades dos usurios;

Rob de aprendizagem: Neste tipo de rob, o trajeto ou seqncia programado

guiando-o manualmente pelo caminho que deve seguir;

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Rob "inteligente: aquele que muda as condies de trabalho mediante estmulos externos provenientes de sensores ticos, magnticos, sonoros, etc.

3.12 - Dinmica do brao robtico O desempenho dinmico do brao robtico (Groover, 1988) est associado velocidade de resposta, estabilidade e preciso. A velocidade de resposta refere-se destreza do brao robtico ao mover-se de um lugar para outro num curto perodo de tempo. Desta forma, o torque existente em cada junta do brao e a acelerao em cada elo devem ser analisadas. J a estabilidade pode ser estimada com base no tempo necessrio para amortecer as oscilaes que ocorrem durante o movimento de uma posio para a outra. Se a estabilidade for baixa pode-se aplicar elementos de amortecimento no brao, que melhoram a estabilidade, mas influem na velocidade de resposta.

A preciso est relacionada com a velocidade e estabilidade, pois uma medida de erro na posio do rgo terminal. Os conceitos relacionados com a preciso so analisados a seguir. 3.12.1 - Preciso dos movimentos A preciso de movimento est intrinsecamente correlacionada com trs caractersticas, como segue:

Resoluo espacial Preciso Repetibilidade.

A resoluo espacial depende diretamente do controle de sistema e das inexatides

mecnicas do brao robtico. O sistema de controle o responsvel por controlar todos os incrementos individuais das articulaes. J as inexatides relacionam-se com a qualidade dos componentes que formam as unies entre as articulaes, como as folgas nas engrenagens, tenses nas polias, e histereses mecnicas e magnticas, entre outros fatores. A preciso est relacionada com a capacidade de um brao posicionar o seu pulso em um ponto marcado dentro do volume de trabalho. A preciso relaciona-se com a resoluo espacial, pois a preciso depende dos incrementos que as juntas podem realizar para se movimentar e atingir um ponto determinado.

Por fim, a repetibilidade est relacionada com a capacidade do brao robtico de posicionar repetidamente seu pulso num ponto determinado. Estes movimentos podem sofrer influncias de folgas mecnicas, da flexibilidade e das limitaes do sistema de controle. 3.13 Transmisso de potncia Na maioria dos braos robticos no possvel encontrar acionadores com as propriedades exatas de velocidade-torque ou de velocidade-fora. Sendo assim, existe a necessidade de se usar algum tipo de dispositivo de transmisso de potncia. Para isso pode-se usar correias e polias, correntes e rodas dentadas, engrenagens, eixos de transmisso e parafusos.

Um exemplo de dispositivo de transmisso simples e bastante utilizado em robs a engrenagem. As engrenagens possuem movimentos rotativos e a transferncia pode ser entre

37

eixos perpendiculares ou eixos paralelos. A Figura 3.29 mostra duas engrenagens para transmisso com eixos paralelos e so conhecidas como engrenagens cilndricas. A menor conhecida como pinho, e a maior a coroa. Se o pinho tiver um quarto do tamanho da coroa, para cada revoluo feita pelo pinho coroa gira apenas um quarto de uma revoluo, reduzindo, portanto, em um quarto a velocidade angular e aumentando o torque em quatro vezes.

Figura 3.29 Engrenagens para transmisso, com eixos paralelos.

O nmero de dentes numa engrenagem proporcional a seu dimetro, ento a relao das engrenagens obtida por:

2

1

Nn

N=

onde N1 o nmero de dentes do pinho e N2 nmero de dentes da coroa. A velocidade da sada em relao entrada dada por: o inn = em que o a velocidade de sada e in a velocidade de entrada. O torque vale:

inoT

Tn

=

3.14 - Preciso cartesiana em juntas robticas

Supondo-se que sejam conhecidas as precises (ou resoluo do controle) em cada uma das juntas de um brao mecnico, deseja-se saber qual ser a preciso cartesiana, isto , qual ser a preciso do brao num determinado ponto de trabalho. evidente que a preciso cartesiana depende do ponto de operao, pois os erros de juntas rotativas so mais acentuados quando o brao estiver estendido do que quando estiver recolhido. Ser feita agora uma anlise simples para um brao de apenas uma junta rotativa, e, a seguir, um brao composto de duas juntas rotativas movendo-se num plano.

Considera-se um brao articulado movendo-se no plano xy, tal que a origem do sistema coincida com o eixo de rotao, conforme mostra a figura 3.30. Ao passar da posio

38

P para a posio P', movendo-se do incremento mnimo (resoluo da junta), as novas coordenadas cartesianas do ponto passam a ser x' e y'. Como o vetor de deslocamento v possui mdulo a , e lembrando que PP' perpendicular ao elo a em P para pequenos valores do ngulo , tem-se que:

' sen

' cos

x x x a

y y y a

= =

= = .

Nota-se que um erro de posicionamento tanto pode ser positivo quanto negativo.

Contudo, uma vez que deseja-se em geral o erro mximo que um dado brao possa apresentar, ento deve-se obter o mdulo do erro ou seja:

' sen

' cos

x x x a

y y y a

= =

= = .

x J x

y

a

y

P

P'

x'

y' v

Fig. 3.30 Deslocamento angular de um brao com 1GL.

Considera-se agora um brao com dois graus de liberdade e duas juntas rotativas

movendo-se num plano, como indica a figura 3.31. Neste brao percebe-se que as imprecises cartesianas dependem do movimento de ambas as juntas, uma vez que tanto J1 quanto J2 movimentam a extremidade do brao (garra). O erro total ser portanto composto pela soma dos erros causados por cada uma das juntas. A junta J2 provoca um erro semelhante ao causado por um brao de uma nica junta, visto anteriormente, de tal forma que

2 2 2 2

2 2 2 2

sen

cos

x a

y a

=

= .

39

a2 2

1

J2

x

y

J1

a1

y

x

1

x'

y' v

r r

Fig. 3.31 Deslocamento angular de um brao com 2GL num plano.

Se 1 for tambm pequeno, ento se pode projetar o vetor v em ambas as direes

para se obter:

1 1 1

1 1 1

sen

cos

x r

y r

=

= ,

onde r a distncia que vai do eixo de rotao da junta J1 at a extremidade do brao. Porm, percebe-se que r sen1 = y e que r cos1 = x. Alm disso, tem-se, da cinemtica direta deste brao, que x = a1 cos1 + a2 cos(1 + 2), e que y = a1 sen1 + a2 sen(1 + 2). Logo a preciso cartesiana total fica:

1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2

sen sen( ) sen

cos cos( ) cos

x x x a a a

y y y a a a

= + = + + +

= + = + + + .

Se o brao possuir uma junta prismtica, como visto abaixo, ento segue

imediatamente que a projeo do erro a nos eixos cartesianos devido ao movimento linear da junta J2 dado por

cos

sen

x a

y a

=

=

e o erro devido ao movimento rotacional da junta J1 semelhante ao descrito no primeiro exemplo acima, resultando para o erro total

cos sen

sen cos

x a a

y a a

= +

= +

40

x J1 x

y a

y

P

P'

x'

y' a

J2

Fig. 3.32 Deslocamento de um brao com 2GL e juntas RL.

Percebe-se nos exemplos mostrados que passando o incremento ao limite, tem-se que

1 1

1

1 11

xx

yy

=

=

,

onde x/1 indica a derivada parcial da coordenada cartesiana x com relao variao do ngulo 1. Esta expresso vale tambm para a segunda junta, e vale igualmente para braos que se movem no espao. Isto permite generalizar a expresso para a preciso cartesiana na forma:

1 2 31 1 2 3

n

i

i i

w w w ww

=

= = + + +

onde w um eixo cartesiano qualquer (x, y ou z), e os i (i = 1, 2, ..., n) so as variveis das n juntas deste brao. Esta mesma expresso pode ser utilizada em braos com juntas prismticas, tomando-se apenas o cuidado de lembrar que nestas juntas a varivel o comprimento do elo e no o ngulo da junta.

41

4 Cinemtica e dinmica de manipuladores A cinemtica trata do estudo dos movimentos dos robs sem considerar as causas que lhes do origem (Groover, 1988). Por sua vez, a dinmica o estudo do movimento levando-se em conta as foras e torques que os causam. Para tratar dos movimentos dos manipuladores necessrio desenvolver tcnicas para representar a posio de determinado ponto do brao no tempo. Esta representao depende da posio das juntas e dos elos, sendo que necessrio ter a base do rob como ponto de referncia. Manipuladores compostos essencialmente por juntas prismticas no apresentam grandes problemas com relao cinemtica. Contudo, braos articulados so amplamente utilizados na indstria devido sua versatilidade em substituir trabalhador humano e tambm por ser altamente compacto. Nestes manipuladores a cinemtica torna-se mais complexa. Independentemente da geometria do manipulador, a soluo da cinemtica requer conhecimento de geometria, trigonometria e clculo vetorial. No Apndice A oferecido um resumo da trigonometria necessria para resolver problemas de cinemtica. Uma vez que no h uma regra geral para equacionar a cinemtica em braos mecnicos, deve-se analisar caso a caso. Iniciaremos a anlise nos manipuladores mais simples e aumentaremos a complexidade a cada novo exemplo. A posio do rgo terminal de um manipulador depende, a cada instante, dos valores dos deslocamentos angulares das juntas rotativas e deslocamentos lineares das juntas prismticas. Em outras palavras, se for possvel conhecer a posio de cada junta, pode-se saber a posio do rgo terminal e, inversamente, caso se conhea a posio da extremidade do rob pode-se calcular qual deve ser a configurao das juntas para atingir tal posio. Para o sistema de controle dos braos mecnicos somente as posies das juntas so relevantes. Em geral estes no reconhecem comandos com posicionamento no espao. Por outro lado, freqente encontrar-se aplicaes nas quais se deseja que brao posicione o rgo terminal numa dada posio, com uma dada orientao do punho. Um caso tpico uma aplicao na qual se deseja reprogramar um brao sem parar a linha de produo. Nesta situao, uma medio cuidadosa da posio e orientao desejadas com relao a um sistema de referncias cartesiano fixado base do manipulador oferece uma alternativa programao usual por aprendizagem. Veja-se, contudo, que muitas vezes esta medio pode ser complexa em virtude da preciso exigida e requer instrumentos especiais. Constata-se, portanto, que perfeitamente possvel calcular a posio cartesiana no espao, bem como a orientao do punho, com base no conhecimento dos ngulos das juntas. Este equacionamento conhecido como cinemtica direta. O clculo das posies angulares a partir da posio no espao consiste, portanto, na cinemtica inversa. Uma vez que a determinao das posies das juntas pode tanto ser feita em ngulos, nas juntas rotativas, quanto em deslocamentos, nas juntas lineares, denomina-se genericamente a estes de variveis de junta. A posio no espao realizada num sistema de eixos retangulares e conhecida como coordenadas cartesianas. A figura 4.1 ilustra o processo de converso de coordenadas.

42

Variveis de junta (i, ai)

Variveis cartesianas (x, y, z)

Cinemtica direta

Cinemtica inversa

Figura 4.1 Transformaes entre variveis de junta e variveis cartesianas

O clculo da cinemtica, tanto direta quanto inversa, requer o conhecimento do

comprimento dos elos com preciso adequada. Fabricantes de manipuladores fornecem no apenas estes comprimentos, como tambm quaisquer deslocamentos entre juntas que possam existir no brao, de forma a se poder calcular completamente a posio cartesiana. Nos exemplos que se seguem as juntas devem ser rotuladas como Jn, com n iniciando com 1 na base do brao robtico. Os elos so rotulados por Ln, novamente sendo 1 o elo mais prximo da base. Variveis angulares so representadas genericamente por i, numeradas a partir da base, e variveis lineares so representadas por ai ou ento di. conveniente que a numerao seja seqencial com relao s juntas, sem se esquecer, contudo, que certos tipos de juntas podem ter mais de um grau de liberdade, e, portanto, mais de uma varivel. Num brao TRL, por exemplo, a notao de variveis de junta poderia ser: 1, 2, e a3. Nos exemplos a seguir, inicia-se com um brao articulado com 2 graus de liberdade, com movimento num plano. Nos demais exemplos adicionam-se gradativamente mais juntas e, posteriormente, passa-se ao movimento no espao. 4.1 Manipulador RR em movimento plano

Neste exemplo ser calculada a cinemtica direta, a cinemtica inversa e a preciso

cartesiana de um manipulador RR de elos com comprimento a1 e a2 movendo-se num plano vertical, como ilustra a figura 4.2

a2 2

1

J2

x J1

y

a1

x

y

Fig. 4.2 Manipulador RR em movimento plano vertical

As equaes da cinemtica direta so obtidas pela aplicao de trigonometria aos

tringulos formados pelas juntas e elos, como ilustrado na figura 4.3. Estas equaes resultam:

43

)sen(sen

)cos(cos

21211

21211

++=

++=

aay

aax

a2 2

1

J2

x J1

y

a1 x

y

1

a1 cos1 a2 cos(1+2)

a1 sen1

a2 sen(1+2) r

Fig. 4.3 Geometria do manipulador RR

As equaes da cinemtica inversa podem ser obtidas de:

)]sen(sen)cos([cos2 21121121

22

21

222 +++++=+= aaaayxr , ou: 221

22

21

22 cos2 ++=+ aaaayx , de onde tira-se:

2 2 2 2

1 22

1 2

cos2

x y a a

a a

+ =

2 2 2 2

1 22

1 2

arccos2

x y a a

a a

+ =

,

Pode-se igualmente obter a expresso acima pela aplicao da lei dos co-senos ao

tringulo formado pelo centro da junta 1, centro da junta 2 e ponto P na extremidade da garra. Neste caso, o ngulo conhecido o ngulo entre os elos, que igual a 180o 2. Nota-se que a inverso do co-seno fornece dois valores possveis para o ngulo 2, que correspondem a duas situaes nas quais existe uma soluo para o problema. Na primeira delas com 2 > 0, tem-se a soluo normal, com cotovelo para baixo, como mostra a figura 4.4. Na segunda soluo, igualmente vlida, a junta 2 situa-se acima tal que o ngulo 2 negativo. Nota-se tambm que o valor de 1 diferente nas duas situaes.

44

a2 2

1 x

y

a1

y

r

x O

P 2' = 2

1'

Fig. 4.4 As duas solues possveis para a cinemtica inversa do manipulador RR

O ngulo 1 ser obtido pela aplicao da tangente da diferena entre ngulos. No

tringulo OPQ, mostrado na figura 4.5 (onde O o centro da junta 1, P a extremidade do rgo terminal e PQ perpendicular reta OR, e R o centro da junta 2), tem-se que

2 2

1 1 2 2

sentan

cos

aPQ

a RQ a a

= =

+ +

a2 2

1

R

x

y

a1

y

r

x O

P

Q

Fig. 4.5 ngulos do manipulador RR para a determinao da cinemtica inversa

Da mesma figura, tem-se tambm que

tany

x = ,

e, uma vez que 1 = , tem-se ento que

2 2

1 2 21

2 2

1 2 2

sen

costan tan( )

sen1

cos

ay

x a a

ay

x a a

+ = =

+

+

.

Reduzindo-se a frao ao denominador comum, resulta

1 2 2 2 21

1 2 2 2 2

( cos ) sentan

( cos ) sen

y a a x a

x a a y a

+ =

+ +

45

Esta expresso mostra que o ngulo 1 depende de 2, que j foi determinado

previamente no clculo da cinemtica inversa. Pode-se, caso seja necessrio, substituir os valores do seno e do co-seno de 2 nesta expresso. Porm isto s aumentaria a complexidade da equao e tornaria o clculo mais trabalhoso. mais prtico deixar nesta forma, desde que todas as variveis que apaream na equao estejam previamente calculadas. A ttulo de exemplo, adotando-se a soluo positiva de 2 e substituindo o seno e o co-seno deste ngulo na expresso acima se chega, aps uma simplificao, a

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

4tan

4

y x y a a x a a x y a a

x x y a a y a a x y a a

+ + + =

+ + + +

Quando substitudos nesta expresso, os dois valores possveis para o ngulo 2 iro

resultar em dois valores distintos de 1. A escolha entre eles fica a cargo do programador do brao, que pode selecionar o cotovelo para cima ou para baixo.

As equaes da cinemtica inversa podem ser tambm obtidas por manipulao

algbrica da cinemtica direta. Partindo-se das equaes que fornecem x e y em termos das variveis de junta, ento ao aplicar-se a decomposio do seno e do co-seno da soma de ngulos chega-se a

1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 2 2 1 2

cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen

x a a a

y a a a

= +

= + +

Agrupando-se os termos em co-seno e seno do ngulo 1 tem-se que

1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 1 2 2 1

( cos ) cos sen sen

( cos ) sen sen cos

x a a a

y a a a

= +

= + + .

Tem-se agora um sistema linear composto por duas equaes e duas incgnitas que

so o seno e co-seno de 1, pois se considera que 2 seja conhecido. Este sistema pode ser resolvido facilmente por substituio ou qualquer outro mtodo, e obtm-se o resultado

1 2 2 2 21 2 2 2

1 2 2 2 2

( cos ) sencos

( cos ) sen

x a a y a

a a a

+ + =

+ + ,

e

1 2 2 2 21 2 2 2

1 2 2 2 2

( cos ) sensen

( cos ) sen

y a a x a

a a a

+ =

+ + ,

A tangente de 1 agora calculada pela relao entre o seno e o co-seno e,

obviamente, resulta na mesma expresso j relacionada acima. A preciso nos eixos cartesianos neste brao obtida da formulao geral e vale:

46

1 2

1 2

1 21 2

x xx

y yy

= +

= +

,

onde x e y so obtidos da cinemtica direta. Aps a derivao tem-se que:

1 1 1 2 1 2 2 2 1 2

1 1 1 2 1 2 2 2 1 2

sen sen( ) sen( )

cos cos( ) cos( )

x a a a

y a a a

= + + + +

= + + + +

4.2 Manipulador RRR em movimento plano

Ser apresentada agora a formulao da cinemtica direta, da cinemtica inversa e a da preciso cartesiana de um manipulador RRR de elos a1, a2 e a3 movendo-se num plano vertical, dado que a orientao do ltimo elo com relao horizontal um ngulo conhecido, ilustrado na figura 4.6.

a2

2

1 J2

x J1

y

a1

x

y

J3

3

a3

1

2

Fig. 4.6 Manipulador RRR em movimento plano vertical

As equaes da cinemtica direta so obtidas de maneira semelhante ao exemplo

anterior, ou seja, pela adio das projees das juntas nos eixos cartesianos. Com isso tem-se que

1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3

cos cos( ) cos( )

sen sen( ) sen( )

x a a a

y a a a

= + + + + +

= + + + + +

Nota-se que a cinemtica inversa no pode ser resolvida, pois h apenas duas equaes

com 3 incgnitas (os trs ngulos das juntas). De fato, pode-se mostrar facilmente (ver figura 4.7) que existem infinitas solues de ngulos que satisfazem a condio do rgo terminal atingir um dado ponto no plano. necessrio assumir uma condio a mais e esta condio j foi estabelecida no enunciado do problema ao se fixar a orientao da junta J3 com o ngulo (com relao horizontal). Isto significa que nem todas as solues satisfazem as equaes, mas somente aquela (ou aquelas) nas quais o ngulo do elo a3 com relao horizontal for igual a (fornecido). Isto indica claramente que a posio da junta J3 pode ser determinada,

47

uma vez que se conhea a posio do rgo terminal x e y e este ngulo. De fato, por geometria tira-se que a posio de J3, denotada por x3 e y3 vale (ver figura):

3 3

3 3

cos

sen

x x a

y y a

=

=

x

y

y

x O

P

x3

y3

a3

Fig. 4.7 Algumas das infinitas configuraes possveis do brao RRR na cinemtica inversa.

O problema agora reduzido a se encontrar os valores dos ngulos 1 e 2. A geometria deste brao reduzido idntica quela apresentada no exemplo anterior, composta por duas juntas RR, com a nica modificao de que os valores de x e y so substitudos por x3 e y3. A soluo , portanto, dada por:

2 2 2 2

3 3 1 22

1 2

( cos ) ( sen )arccos

2

x a y a a a

a a

+ =

,

e

3 1 2 2 3 2 21

3 1 2 2 3 2 2

( sen ) ( cos ) ( cos ) senarctan

( cos ) ( cos ) ( sen ) sen

y a a a x a a

x a a a y a a

+ = + +

,

Finalmente para o clculo do terceiro ngulo percebe-se que o ngulo igual soma

dos ngulos das juntas, ou seja, 1 + 2 + 3. Logo, como conhecido e 1 e 2 j foram determinados, ento

3 1 2 = A preciso cartesiana apresentada por este manipulador vale

1 2 3

1 2 3

1 2 31 2 2

x x xx

y y yy

= + +

= + +

Derivando as equaes da cinemtica direta e substituindo na expresso acima tem-se

48

1 1 2 1 2 3 1 2 3 1

2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3 1

2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3

sen sen( ) sen( )

sen( ) sen( ) sen( )

cos cos( ) cos( )

cos( ) cos( ) cos( )

x a a a

a a a

y a a a

a a a

= + + + + + +

+ + + + + + + +

= + + + + + +

+ + + + + + + +

4.3 Manipulador RLR em movimento plano

Este exemplo mostra o equacionamento da cinemtica direta, cinemtica inversa e da preciso cartesiana de um manipulador RLR de elos a2 e a3 movendo-se num plano vertical, dado que a orientao do ltimo elo com relao horizontal um ngulo conhecido, mostrado na figura 4.8.

a3

J2

3

1

J3

x

y

J1 x

y

a2

Fig. 4.8 Geometria do manipulador RLR em movimento plano vertical

A cinemtica direta deste brao idntica do primeiro exemplo, uma vez que ambos

possuem a mesma geometria. Assim,

2 1 3 1 2

2 1 3 1 2

cos cos( )

sen sen( )

x a a

y a a

= + +

= + +

Uma vez que este brao apresenta 3 variveis de junta (1, a2 e 3), ento se deve obter

3 equaes para a cinemtica inversa. Como a cinemtica direta fornece apenas duas equaes, ento existem infinitas solues possveis para a cinemtica inversa, como pode ser visto na figura 4.9. Destas solues, s existe uma que satisfaz a condio 1 + 3 = . Percebe-se ento que a posio x3, y3 da junta J3 fica fixada caso o ponto P = (x, y) e o ngulo sejam conhecidos. Esta posio obtida por geometria e vale

3 3

3 3

cos

sen

x x a

y y a

=

=

Isto permite escrever a cinemtica direta para a posio desta junta, ou seja:

3 2 1

3 2 1

cos

sen

x a

y a

=

= .

49

x

y

y

x O

P

x3

y3

a3

a2

Fig. 4.9 Algumas solues possveis para a cinemtica inversa

Como x3 e y3 so conhecidos, pode-se resolver este sistema para as variveis de junta

1 e a2. Dividindo-se a segunda pela primeira, tem-se:

3 313 3

sentan

cos

y x a

x y a

= =

,

e adicionando-se o quadrado de ambas resulta:

2 22 3 3( sen ) ( cos )a x a y a= + ,

e finalmente 13 = . A preciso cartesiana deste brao dada por

1 2 31 2 3

1 2 31 2 2

x x xx a

a

y y yy a

a

= + +

= + +

,

que resulta:

2 1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 3

2 1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 3

sen sen( ) cos sen( )

cos cos( ) sen cos( )

x a a a a

y a a a a

= + + + + +

= + + + + +

4.4 Manipulador TRR em movimento no espao

A partir deste exemplo, os manipuladores passam a mover-se no espao ao invs do plano. Em geral o movimento destes manipuladores pode ser decomposto num movimento plano, semelhante aos exemplos anteriores, e num movimento rotativo ao redor de um eixo contido no plano, o que faz com que este plano gire no espao. Sero obtidos neste exemplo as equaes da cinemtica direta, da cinemtica inversa e da preciso cartesiana de um manipulador revoluto com 3 graus de liberdade em configurao TRR movendo-se no espao,

50

como ilustrado na figura 4.10. A junta J1 gira sob um eixo vertical, enquanto que J2 e J3 possuem eixos horizontais.

a1

1

2

3

x

y

z

a3 a2

J1

J2 J3

Fig. 4.10 Brao revoluto TRR em movimento no espao

Para que os movimentos e os ngulos possam ser visualizados, sero construdas duas

vistas esquemticas do brao: superior e lateral mostrando, respectivamente, o movimento horizontal e os movimentos verticais (no plano). Estas vistas so mostradas esquematicamente na figura 4.11, com as principais medidas a serem obtidas por relaes geomtricas. A vista lateral mostrada numa direo perpendicular linha de interseo do plano vertical do movimento e o plano xy.

1

d

x

y P

2

a1

z

a2

d

a3 3

P

r

R Q S

Fig. 4.11 Brao revoluto TRR em movimento no espao

A projeo do ponto P no rgo terminal sobre o plano xy fornece a distncia

horizontal d, que corresponde, no exemplo anterior, ao comprimento x. Esta distncia pode ser obtida pelas projees dos elos a2 e a3 no plano, o que resulta

2 2 3 2 3cos cos( )d a a= + + Da vista superior, percebe-se que a distncia d a hipotenusa de um tringulo

retngulo, o que permite que esta distncia seja decomposta nas direes x e y. A coordenada z calculada de maneira semelhante utilizada nos exemplos anteriores, e assim a cinemtica direta fica

Vista superior

Vista lateral

51

1 2 2 3 2 3 1

1 2 2 3 2 3 1

1 2 2 3 2 3

cos [ cos cos( )] cos

sen [ cos cos( )] sen

sen sen( )

x d a a

y d a a

z a a a

= = + +

= = + +

= + + +

Nota-se que a cinemtica inversa, de maneira anloga ao primeiro exemplo, apresenta

duas solues para os ngulos 2 e 3: cotovelo para baixo e cotovelo para cima. Uma vez que d representa a horizontal da projeo de P, ento deve-se exprimir esta distncia em termos das variveis conhecidas na cinemtica inversa, que so x, y e z. Da vista superior tira-se facilmente que

2 2d x y= + . Assim, a distncia r, que vai do centro da junta J2 ao ponto P, conforme mostra a vista

lateral pode tambm ser calculada por meio da hipotenusa do tringulo retngulo PQR:

2 2 2 2 2 21 1( ) ( )r d z a x y z a= + = + +

Aplicando agora a lei dos co-senos ao tringulo PRS, onde S o centro da junta J3,

tira-se que (ver exemplo 1)

2 2 2 2 21 2 3

32 3

( )arccos

2

x y z a a a

a a

+ + =

,

Da mesma forma, o ngulo 2 obtido por meio de diferena entre os ngulos e ,

de maneira similar empregada no exemplo 1. Neste caso, por geometria tem-se que

1 12 2

tanz a z a

d x y

= =

+.

e

3 3

2 3 3

sentan

cos

a

a a

=

+

Como 2 = , tem-se para este ngulo

2 21 2 3 3 3 3

2 2 22 3 3 1 3 3

( ) ( cos ) senarctan

( cos ) ( ) sen

z a a a x y a

x y a a z a a

+ + =

+ + +

Por ltimo, o ngulo 1 ser calculado com base na vista superior, por meio do arco-

tangente:

1 arctany

x =

52

Cabe neste ponto um breve comentrio a respeito do clculo de ngulos com o arco-tangente. Computacionalmente o arco-tangente uma funo que retorna com um ngulo compreendido entre /2 e /2. Isto suficiente para finalidades matemticas ou para estudo da cinemtica de robs, mas certamente insuficiente num caso real, quando a cinemtica inversa for calculada pelo sistema de controle do brao mecnico. O motivo disto que o brao pode atingir, e em geral atinge, ngulos fora desta faixa de limitao como, por exemplo, entre 3/4 e 3/4. A funo arco-tangente fornece, no caso de um ngulo real de 3/4 o valor complementar de /4, o que certamente levaria o brao a posicionar-se num local totalmente errado. Para corrigir este problema emprega-se em tais programas uma funo denominada de atan2, que necessita de dois parmetros que so os equivalentes ao seno e ao co-seno do ngulo, e que gera um ngulo compreendido agora entre e . As calculadoras de bolso no programveis no possuem tal funo e, portanto, necessrio uma anlise posterior para que se conhea o quadrante real do ngulo. Para isso nota-se que o arco-tangente sempre calculado como o produto de uma diviso entre dois fatores, associados ao seno e ao co-seno deste ngulo, ou seja:

arctanS

C = ,

onde S no numerador e C o denominador da frao. Se o valor de C for positivo, o ngulo calculado pelo arco-tangente estar no seu valor correto, entre /2 e /2. Se o valor de C for, ao contrrio, negativo, ento deve-se acrescentar ou ao resultado, se este estiver em radianos, ou 180o ou 180o caso esteja em graus, para coloc-lo no quadrante correto.

Para o clculo da preciso cartesiana, deve-se lembrar que o brao possui 3 graus de

liberdade e move-se no espao tridimensional. Tem-se portanto 3 equaes para a preciso cartesiana e cada uma delas depende dos 3 ngulos das juntas, ou seja

1 2 31 2 3

x x xx

= + +

1 2 31 2 3

y y yy

= + +

1 2 31 2 3

z z zz

= + +

Efetuando-se as derivadas das equaes da cinemtica direta chega-se a

2 2 3 2 3 1 1

2 2 3 2 3 1 2

3 2 3 1 3

[ cos cos( )] sen

[ sen sen( )] cos

sen( ) cos

x a a

a a

a

= + + +

+ + + +

+ +

2 2 3 2 3 1 1

2 2 3 2 3 1 2

3 2 3 1 3

[ cos cos( )] cos

[ sen sen( )] sen

sen( ) sen

y a a

a a

a

= + + +

+ + + +

+ +

53

2 2 3 2 3 2

3 2 3 3

cos cos( )

cos( )

z a a

a

= + + +

+ +

4.5 Manipulador TRL:R em movimento no espao

O prximo exemplo constitui um manipulador do tipo esfrico. Ser obtido o equacionamento da cinemtica direta, da cinemtica inversa e da preciso cartesiana deste manipulador, com 4 graus de liberdade em configurao TRL:R movendo-se no espao. A junta J1 gira o conjunto sob um eixo vertical, enquanto que J2 e J4 possuem eixos horizontais. Ser considerado na cinemtica inversa que o ngulo de pitch do punho conhecido e dado por , como ilustra a figura 4.12.

a1

1

2

x

y

z

a2

a3 3

Fig. 4.12 Manipulador esfrico TRL:R

De forma semelhante ao problema anterior, deve-se inicialmente desenhar um esboo

do brao em direes perpendiculares s do movimento, ou seja, uma vista superior na qual o movimento da primeira junta observada e uma vista frontal do plano vertical, na qual as demais juntas aparecem em perfil. Os desenhos ficaro a cargo do leitor, que deve, na medida do possvel, habituar-se com a geometria da vista em perspectiva para derivar as expresses da cinemtica. De fato, o movimento vertical deste brao semelhante ao do exemplo 3, e portanto a distncia no plano xy entre a origem e a projeo do rgo terminal neste plano ser dada por:

)cos(cos 32322 ++= aad .

As equaes da cinemtica direta podem agora ser escritas, resultando:

1323221 cos)]cos(cos[cos ++== aadx

1 2 2 3 2 3 1sen [ cos cos( )] seny d a a= = + +

1 2 2 3 2 3sen sen( )z a a a= + + +

Para a cinemtica inversa observa-se que as variveis de junta so 1, 2, 3 e a2, o que indica serem necessrias quatro equaes para se ter uma soluo. Uma vez que a cinemtica direta fornece 3 equaes, ser utilizada a condio fornecida do ngulo do punho = 2 + 3.

54

Com isso pode-se determinar a distncia da projeo da junta 4 no plano xy, de forma semelhante quela realizada no exemplo 3, ou seja:

= cos34 add

Nota-se, porm, que d deve ser calculado na cinemtica inversa por meio de

22 yxd += ,

e, portanto,

+= cos322

4 ayxd

Por outro lado, a coordenada z4 da junta J4 no eixo z vale

4 3 senz z a= Comparando agora o movimento deste brao no plano vertical com o exemplo 3,

percebe-se que d4 corresponde coordenada x do exemplo 3 e que z4 a1 corresponde coordenada y. A soluo de ambos , portanto, igual, restando apenas efetuar as devidas substituies nas variveis. Com isto resulta

1 34 12 2 24 3

senarctan arctan

cos

z a az a

d x y a

= =

+ ,

e o deslocamento linear da junta J2 dado por

( )2

2 2 2 2 22 4 1 4 1 3 3( ) ( sen ) cosa z a d z a a x y a= + = + + .

O ngulo 1 facilmente obtido da vista superior e vale

x

yarctan1 = ,

e finalmente o ngulo 3 calculado com base no clculo j efetuado de 2: 23 = ,

As precises cartesianas deste brao so obtidas pelas derivadas parciais das equaes da cinemtica direta, resultando:

2 2 3 2 3 1 1

2 2 3 2 3 1 2

3 2 3 1 3

[ cos cos( )] sen

[ sen sen( )] cos

sen( ) cos

x a a

a a

a

= + + +

+ + + +

+ +

55

2 2 3 2 3 1 1

2 2 3 2 3 1 2

3 2 3 1 3

[ cos cos( )] cos

[ sen sen( )] sen

sen( ) sen

y a a

a a

a

= + + +

+ + + +

+ +

2 2 3 2 3 2 3 2 3 3cos cos( ) cos( )z a a a = + + + +

4.6 Manipulador VVL:R em movimento no espao

Este manipulador, conhecido como manipulador esfrico de Stanford, possui brao formado por juntas em configurao VVL movendo-se no espao. Neste exemplo, ser adotado um punho composto por apenas uma junta rotativa, resultando 4 graus de liberdade ao todo. A junta J1 gira num eixo vertical, enquanto que J2 e J4 possuem eixos horizontais. A junta J3 prismtica, como ilustrado na figura 4.13. Ser considerado conhecido, na cinemtica inversa, o ngulo de pitch do punho com relao horizontal.

a1

1 x

y

z

a2

2

3 a4

a3

Fig. 4.13 Manipulador de Stanford em configurao VVL:R.

Este problema bastante semelhante ao anterior, com exceo da primeira junta, que

passa a ser revoluta neste exemplo. O brao possui 4 graus de liberdade, o que significa que existem infinitas solues para a cinemtica inversa. O ngulo dado introduz a quarta condio que permite escolher uma das solues. Este brao tem tambm um elo (a2) que se desloca lateralmente com relao base, o que torna a cinemtica um pouco mais complexa. Este esquema adotado por certos fabricantes de robs que conseguem, com esta tcnica, reduzir o espao ocupado pelo brao alm de conseguir simplificar o projeto mecnico. As vistas superior e lateral so mostradas na figura 4.14. Percebe-se que o brao possui dois tipos de movimento: o primeiro um movimento em torno de um eixo vertical, realizado pela junta J1, e o segundo um movimento num plano vertical, realizado pelas demais juntas. Os ngulos associados a estes movimentos so indicados em sua verdadeira grandeza nas duas figuras. A distncia d corresponde ao comprimento da projeo dos elos a3 e a4 no plano horizontal xy. Da vista lateral tira-se facilmente que

3 2 4 2 3cos cos( )d a a= + + . Da vista superior calcula-se as coordenadas x e y, que resultam:

1 2 1 3 2 4 2 3 1 2 1cos sen [ cos cos( )]cos senx d a a a a= + = + + +

56

1 2 1 3 2 4 2 3 1 2 1sen cos [ cos cos( )]sen cosy d a a a a= = + + Finalmente, da vista lateral tem-se

1 3 2 4 2 3sen sen( )z a a a= + + +

1

d

x

y P

a2

a2

1

r

S

O

2

a1

z

a3

d

P

O

Q

J4

a4

3

d4

z4

Fig. 4.14 Vistas superior e lateral do movimento do manipulador de Stanford

Para a cinemtica inversa, dados que as coordenadas x, y, z so conhecidas, alm do

ngulo de arfagem do pulso, deve-se inicialmente calcular qual seria a expresso equivalente da projeo d em termos das variveis fornecidas. Do tringulo retngulo OSP da vista superior tem-se, j que o ngulo OSP reto:

2 2 2

2r d a= + . Da mesma forma, considerando-se agora OxP, tambm um tringulo retngulo:

2 2 2r x y= + . Da igualdade destas duas ltimas relaes tira-se que 2 2 2 22d x y a= +

O problema agora encontrar os valores dos ngulos de junta, mas percebe-se que o movimento vertical semelhante queles vistos nos Exemplos 3 e 5. Deve-se, portanto, calcular as coordenadas da projeo do ponto central da junta J4 no plano horizontal. Chamando de d4 esta distncia, tem-se, da vista lateral, que:

2 2 24 4 2 4 3 2cos cos cosd d a x y a a a= = + = .

Na direo vertical, a posio z4 desta junta vale: 4 4 1 3 2sen senz z a a a= = + .

Nota-se que tanto d4 quanto z4 podem ser calculados, uma vez que se consideram dados as coordenadas cartesianas e o ngulo . Tm-se ento duas equaes:

Vista superior Vista lateral

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2 2 23 2 2 4cos cosa x y a a = +

3 2 1 4sen sena z a a = , nas incgnitas 2 e a3, que podem ser resolvidas de forma semelhante ao indicado nos exemplos anteriores. Elevando-se ambas as expresses ao quadrado e somando-se tem-se:

( )2

2 2 2 2 2 22 4 1 4 1 4 2 4( ) ( sen ) cosa z a d z a a x y a a= + = + +

A razo entre ambas fornece o ngulo 2:

4 1 1 42 2 2 24 2 4

senarctan arctan

cos

z a z a a

d x y a a

= =

+ .

O ngulo 3 pode agora ser obtido de

3 2 = .

Resta agora obter o ngulo 1. Este pode ser obtido da vista superior utilizando a expresso da tangente da soma de ngulos. Outra forma por meio de manipulao das equaes da cinemtica direta,

1 2 1cos senx d a= +

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