Utilização das ações de Arrow e Debreu para valoração de uma oportunidade de Investimento através da teoria das Opções Reais

Autores: Tara Keshar Nanda Baidya e Luiz Eduardo T. Brandão

Resumo

A teoria das opções reais exige uma ferramenta para se calcular o valor da flexibilidade de um projeto. Dada a fácil analogia com opções financeira, os métodos preferidos tem sido aqueles já utilizados para a valoração de opções financeiras, como o do portfólio livre de risco. O trabalho pioneiro de Dixit e Pindyck (1994) não foge a esta regra e usa extensivamente este método para ilustrar o cálculo do valor da flexibilidade de um projeto hipotético. Neste trabalho, mostramos títulos de estado puros (pure state contingent securities), que são as ações de Arrow (1953) e Debreu (1959), podem ser utilizadas com vantagem para valorar opções reais. Isto é feito comparando-se lado a lado a solução proposta por Dixit e Pindyck para este problema e a solução utilizando as Ações de Arrow e Debreu. A conclusão é que as Ações de Arrow e Debreu oferecem uma método mais eficaz e simples de valorar alguns tipos de opções reais de projetos.

Introdução

A criação de valor pela empresa e a sua posição competitiva são em grande parte determinadas através da decisão de alocação de capital e da correta avaliação das alternativas disponíveis para investimento. Isso faz com que a decisão da alocação dos recursos disponíveis da empresa seja uma das principais atividades dos seus gerentes. Dado que os recursos disponíveis são sempre limitados, torna-se necessário estabelecer critérios para a alocação destes investimentos que dêem indicações a respeito dos seus custos e benefícios futuros como base para a tomada de decisão nesta área. Os métodos tradicionais de análise de projetos de investimento e de uso difundido, como o método do fluxo de caixa descontado, no entanto, freqüentemente falham porque deixam de levar em consideração parcelas significantes do valor de um projeto. Dentre estes, contam-se o valor da flexibilidade gerencial para adiar, interromper, expandir ou alterar de qualquer forma um projeto em resposta as condições de mercado observadas após o seu início. Estes métodos também ignoram eventuais sinergias que um projeto pode criar dentro da empresa ao interagir com outros projetos, como por exemplo, possibilitar a execução de um segundo projeto que seria inviável sem a existência do primeiro. Num mundo onde as mudanças ocorrem cada vez mais rapidamente, esses valores desconsiderados pelos métodos tradicionais tornam-se cada vez mais críticos e podem representar significativas vantagens competitivas. Consequentemente, e as empresas que desenvolvem a capacidade de valorar corretamente as oportunidades de investimento de que dispõe, estarão mais aptas a se beneficiar de boas decisões de investimento. A teoria financeira demonstra que este valor estratégico deriva do valor de opção que esta flexibilidade gerencial proporciona ao projeto, advindo daí a denominação de opções reais. A teoria das opções reais, portanto, visa mensurar quantitativamente o valor estratégico das opções que um projeto apresenta, e que não é captado pelos métodos tradicionais de fluxo de caixa descontado.

1

Desenvolvimentos recentes no estudo de opções reais tem fornecido as ferramentas necessárias para quantificar os benefícios da flexibilidade gerencial e das interações estratégicas, entre os quais, o trabalho pioneiro de Dixit e Pindyck (1994)1. Nos seus capítulos iniciais, Dixit e Pindyck apresentam os fundamentos da teoria das opções reais através de um exemplo simples de uma oportunidade de investimento, e demonstram como se pode calcular o valor de um projeto com opção de adiar de maneira análoga ao método utilizado para calcular o valor de uma opção financeira, o método de avaliação neutra a risco. Por outro lado, muito antes do desenvolvimento da teoria das opções reais, Arrow (1953, 1964) e Debreu (1959), mostraram que a estrutura de pagamentos de qualquer título de mercado que tenha o seu valor condicionado a uma variável de estado (state contingent security), pode ser perfeitamente replicado por um portfólio de títulos puros. Dessa forma, para evitar arbitragem, o preço de equilíbrio de um título contingente ao estado da natureza pode ser expresso como a soma ponderada dos preços destes títulos puros, que damos o nome de Ações de Arrow e Debreu. Logo após o trabalho pioneiro de Black e Scholes (1973), percebeu-se que este método de avaliação de opções podia ser utilizado também para a valoração de outros derivativos em geral. Breeden e Litzemberger (1978), Ross (1976) e Banz e Miller (1978) usaram estas duas teorias e mostraram que combinações de opções podem ser utilizados para criar títulos puros, ou ações de Arrow e Debreu, e que estas ações poderiam ser utilizadas para valorar ativos derivativos. O objetivo deste trabalho é demonstrar que o problema de valoração de uma opção real pode ser resolvido com mais facilidade utilizando as ações de Arrow e Debreu, sendo que este método é muito mais simples, intuitivo e fácil de entender do que os métodos tradicionais utilizados tanto para valoração de opções financeiras quanto opções reais. Para tanto, apresentaremos uma comparação entre os dois métodos tomando como referência o trabalho de Dixit e Pindyck e comparando-o com a alternativa que apresentamos.

O problema

Dixit e Pindyck usam um modelo simplificado para demonstrar o conceito de opções reais. O problema consiste numa firma que tem a oportunidade de investir num projeto que produzirá um produto por ano em perpetuidade e sem custos operacionais. O investimento necessário (I) é de $1600, e o preço no instante zero (P0) é $200. Este preço sofre um reajuste único no período t = 1 com probabilidades q = 0.50 de subir para $300 e de 1-q de cair para $100, após o que fixa fixo em perpetuidade. A taxa de retorno sem risco rf é 10%, e o investimento já produz resultados no instante zero. O problema pode ser representado graficamente conforme vemos a seguir:

t0 t1 t2 ……. tn P1=$300 P2=300 ……. Pn=300 q = 0.5 P0 = $200 I = -$1600 P1=$100 P2=100 ……. Pn=300

1 Dixit, Avinash; Pindyck, Robert S.; “Investment under Uncertainty”; Princeton, NJ, USA, Princeton

University Press, 1994. 2

Em condições de certeza, podemos utilizar o método do Valor Presente Líquido (VPL). Em condições de incerteza, em alguns casos podemos usar o Valor Esperado do VPL (E(VPL)). Para o nosso exemplo, se o investimento é realizado em t = 0, o Valor Esperado do VPL será:

E VPL I P E Prf

ii

= − + ++=

∞

∑01

1 1( )

( )= 600

Sem flexibilidade para adiar o investimento, o projeto vale $600. Mas se for possível adiar o projeto por mais um período, dois estados são passíveis de ocorrer. Definimos o estado (a) como aquele em que o preço sobe para P1 = $300, sendo que neste caso, o VPL do projeto será -1600 + 300 + ∑ 300 / (1,10)t = 1700. Da mesma forma, definimos o estado (b) como aquele em que o preço cai para P1 = $100 e o VPL = -1600 + 100 + ∑ 100 / (1,10)t = -500. Fica claro que no instante t = 1, a empresa investirá se ocorrer o estado (a), e não investirá no projeto se ocorrer o estado (b). Assim, visto do instante t = 0, as oportunidades de investimento de que a empresa dispõe são: t0 t1

(a) 1700 q = 0.5 (b) 0 O Valor Esperado do projeto em t = 0 é E[VPL] = (0.5 x 1700 + 0.5 x 0) / 1.1 = 727,73. Isso significa que se o investimento puder ser postergado até o tempo t = 1, E[VPL] será $772,73 porque se o preço cair para $100 no instante t = 1, o investidor não irá investir no projeto.

Solução pelo método das opções financeiras Sejam P0 e F0 respectivamente o valor do produto e do projeto em t = 0. Considerando a opção de adiar o projeto por um período, Dixit e Pindyck criam um portfólio sem risco φ, composto do projeto e n posições a descoberto do produto. Se o projeto for adiado para o instante t = 1, o seu novo valor será F1

+ ou F1-, dependendo do estado da natureza em t = 1, e

da mesma forma, o valor deste portfólio poderá ser φ1+ ou φ1

+, conforme abaixo: φ1

+ = F1+ - n P1

+ φ0 = F0 - n P0

φ1- = F1

- - n P1-

Dependendo se o preço sobe para P1

+ = 300 ou cai para P1- = 100, o valor do portfólio em

t = 1 será φ1+ = F1

+ - n P1+ = 1700 - 300 n ou φ1

- = F1- - n P1

- = - 100 n. Para que este portfólio seja sem risco, obrigamos φ1

+ = φ1- e obtemos n = 8.5. Dessa forma podemos afirmar que

φ1+ = φ1

- = -100 n = -850. Como este portfólio é sem risco, o retorno de um investidor neste portfólio deve ser Rf φ0. Por outro lado, o retorno também será o ganho de capital com o portfólio (φ1 - φ0), deduzido dos custos de se manter a posição a descoberto do portfólio, que é

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o dividendo pago (Rf n P0). Dessa forma temos Rf φ0 = (φ1 - φ0) - Rf n P0, de onde obtemos o valor do projeto no instante zero, F0 = 772.73.

Solução através das Ações de Arrow e Debreu (A-D) No caso do exemplo citado, temos dois estados possíveis, (a) e (b). Com dois investimentos independentes no mercado podemos achar o valor de um terceiro investimento. Seja um investimento sem risco de $100 que retorne ao investidor a quantia de $110 ao final de um período, e um investimento de $200 que retorne $320 se ocorrer o estado (a), ou $110, se ocorrer o estado (b), ambos ao final de um período, conforme vemos a seguir: P11(a) =320 P10 = 200 P20 = 100 P21 =110 P11(b) =120 Com estes dois investimentos independentes, podemos calcular os preços das ações de A-D. As ações de A-D são definidas como aquelas que pagam $1 num estado e $0 nos demais. Por exemplo, Va é o preço da ação de A-D que paga $1 no estado (a) e $0 no estado (b). Similarmente, Vb é o preço da ação de A-D que paga $1 no estado (b) e $0 no estado (a), conforme gráfico a seguir: 1 0 Va Vb 0 1 A partir das duas oportunidades de investimento observadas no mercado, podemos calcular os valores de Va e Vb, no caso Va = 5/11 e Vb = 5/11. Este é o valor obtido resolvendo as equações 200 = 320 Va + 120 Vb e 100 = 110 Va + 110 Vb. O valor do projeto com opção de adiamento até t = 1 pode ser representada pela seguinte árvore de decisão, onde V1(a) é o valor presente líquido instante t = 1 dos fluxos no que irão ocorrer se o estado da natureza em t = 1 for (a): V1(a) = 1700 F0 V1(b) = 0 O valor do projeto com opção de adiar é F0 = 1700 Va + 0 Vb = 1700 x 5/11 = 772,72. No caso de não existir a opção de adiar, o investimento no valor de -I + 200 será feito em t = 0, e o valor do projeto será: V1(a) = P1

+ + P1+ /0,1 = 3300

F0 V1(b) = P1

- + P1- /0,1 = 1100

F0 = - I + P0 + 3300 Va + 1100 Vb = 600

Análise de Sensibilidade do Investimento inicial I

Utilizando o mesmo modelo, Dixit e Pindyck agora relaxam a premissa de que o investimento 4

I é constante, e analisam como o valor F0 do projeto varia com o montante I do investimento. Novamente cria-se um portfólio livre de risco composto do projeto e de n posições vendidas do produto P0, com valor φ0 = F0 - n P0. Como já vimos, se o preço subir em t = 1, teremos φ1

+ = F1+ - n P1

+ = (-I + 3300) - 300 n ou φ1- = F1

- - n P1- = (-I + 1100) - 100 n, se o preço

cair. Vamos considerar por hipótese que I > 1100. Teremos F1- = (- I + 1100) ≤ 0, caso em

que não investiremos, ficando com F1- = 0, e φ1

- = - 100 n. Escolhendo n de tal forma que φ1

seja um portfólio livre de risco, o que pode ser obtido igualando-se φ1+ = φ1

-, chegamos a n = -0,005I + 16,5, e o valor de φ1

- será 0,5 I - 1650. O retorno do investimento neste portfólio deve ser igual ao ganho de capital menos o custo de manutenção da posição vendida. Como este portfólio é livre de risco, isso também deve ser igual a Rf φ0, isto é Rf . φ0 = (φ1 - φ0) - (custos de capital para manutenção da posição curta). Os valores de φ1 e φ0 são respectivamente 0,5 I - 1650 e F0 + I - 3300. O custo de manutenção da posição vendida é 200 n (10%) = - 0,1 I + 330. Assim o retorno total do investimento será a soma destas três parcelas. Podemos verificar que o retorno total será igual a - 0,4 I - F0 + 1320, e que a aplicação em Rf será 0,1 F0 + 0,1 I - 330. Igualando estas duas parcelas obtemos (0,1) F0 + 0,1 I - 330 = - 0,4 I - F0 + 1320, e a partir daí chegamos ao valor do projeto de F0 = 1500 - 0,4545 I.

Solução através das Ações de Arrow e Debreu Usaremos os mesmos ativos de mercado descritos anteriormente, onde os valores calculados para Va e Vb foram Va = 5/11 e Vb = 5/11. O valor do projeto em função de I pode ser representada pela seguinte árvore de decisão: V1(a) = - I + 300 + 300/0,10 F0 V1(b) = 0 Resolvendo para F0 achamos o mesmo valor encontrado pelo método das opções.

F0 = (-I + 3300) Va + 0 Vb = - 5 I /11 + 1500 F0 = 1500 - 0.455 I

Análise de Sensibilidade do Preço Inicial P0

Mantendo-se as demais variáveis constante, Dixit e Pindyck mostraram que o valor do projeto pode ser calculado como função do preço inicial P0 através do portfólio sem risco composto de uma opção de investimento de valor F0, e n ações de valor P0 a descoberto, onde P1

+ = 1.5 P0, P1- = 0.5 P0 e F1 = -I + P1 + P1 / 0.10. Se o preço subir no instante t = 1,

teremos F1+ = -1600 + 16,5 P0, e se preço cair teremos F1

- = -1600 + 5,5 P0. Consideraremos primeiro a hipótese de que sempre investiremos se o preço subir (P1=1.5 P0), e que nunca investiremos se o preço cair (P1=0.5 P0). Pode-se verificar facilmente que o intervalo de P0 que garante essas condições é 96,97 < P0 < 290,91. Dessa forma teremos F1

+ = -1600 + 16,5 P0 e F1- = 0 e os respectivos portfólios serão φ1

+ = F1+ - n 1.5 P0 e φ1

-

= - n 0.5 P0. Igualando o valor de φ1 em ambas situações achamos o valor de n = 16,5 - 1600/P0, e o valor de φ1 será φ1 = φ1

+ = φ1- = F1 - n 1,5 P0 = 800 - 8,25 P0. O valor da opção

de esperar e investir em t = 1 é calculado igualando-se o retorno livre de risco com o retorno 5

total do portfólio. Adotando o mesmo procedimento já demonstrado anteriormente, podemos verificar que isso nos dá um valor do projeto de F0 = 7,50 P0 - 727,27. Esse é o valor da opção de investir, considerando que só iremos investir em t1 se o preço subir para 1.5 P0.

Solução através das Ações de Arrow e Debreu Usando os mesmos ativos de mercado descritos anteriormente, o valor do projeto em função de P0 pode ser representada pela seguinte árvore de decisão: V1(a) = - 1600 + 1.5P0 + 1.5P0 /0,10 F0 V1(b) = 0 Resolvendo para F0 achamos o mesmo valor encontrado pelo método das opções. F0 = (-1600 +16.5P0) Va + 0 Vb F0 = 7.5P0 - 727,27

Análise de Sensibilidade da probabilidade q

Mantendo as demais variáveis constantes, podemos usar o mesmo método também para calcular o valor do projeto em função do preço P0 da probabilidade q. O valor do projeto em t = 1 é conhecido e igual a 16,5 P0 - I, uma vez que não existem mais incertezas a partir deste período. Montamos um portfólio sem risco φ0 composto do projeto e de n posições vendidas de P0, calculamos n de forma a eliminar o risco deste portfólio. Esse valor de n é 16,5 - 1600/P0. Por outro lado, a mudança nas probabilidades faz com que exista agora a possibilidade de se obter um ganho de capital pelo aumento de preço do kit. Anteriormente, quando q=0,5, o Valor Esperado do preço em t = 1 era igual a P0 E(P1) = P0. Nesse caso, o ganho de capital decorrente de aumento de preço era zero, uma vez que a probabilidade do preço subir ou cair eram iguais (q = 1-q = 0.5) E(P1) - P0 = 0. Agora, no entanto, isso não ocorre porque as probabilidades do preço subir ou descer não são mais simétricas, podendo haver um ganho (ou perda) de capital, dependendo do valor de q, que agora é preciso considerar, além dos demais ganhos. Verificamos facilmente que este ganho é q – 0,5. Igualando os ganhos livre de risco com o ganho total do portfólio chega-se a F0 = 15 q P0 - 1455 q.

Solução através das Ações de Arrow e Debreu Um investimento livre de risco tem que dar um retorno Rf, ou 10% no nosso caso. O investimento independente com dois estados possíveis utilizado até agora, só pode existir no mercado se as probabilidades de ocorrência de cada estado forem q = 0.50, pois este valor garante aos investidores um retorno equivalente à taxa livre de risco. Alterando-se a probabilidades q, os dividendos pagos em cada estado terão que ser alterados de forma a garantir o retorno Rf esperado deste investimento. Dessa forma temos:

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P11(a) =320 + x P10 = 200 P11(b) =120 + x

E (VP) = q (320 + x) + (1-q) (120 + x) = 200 (1 + Rf) x = 100 - 200q Os dois investimentos de mercado passam agora a ser: P11(a) =420 - 200q P10 = 200 P20 = 100 P21 =110 P11(b) = 220 - 200q

Calculando os valores de Va e Vb das novas Ações de Arrow e Debreu, temos V e qa = 11.

V qb =

−(.

111

) . O valor do projeto em função de P0 e da probabilidade q pode ser representada

pela seguinte árvore de decisão: V1(a) = - 1600 + 1.65P0 F0 V1(b) = 0 Resolvendo para F0 encontramos F0 = 15q P0 - 1.454,5q, que é o mesmo valor encontrado pelo método das opções.

Análise de Sensibilidade da volatilidade do Preço P0

Podemos também calcular o valor do projeto em função de um aumento na volatilidade do preço no tempo t = 1, mantendo-se todas as demais premissas constante. Adotamos uma volatilidade que preserve a média anterior do processo, e definimos k como o incremento do preço P0, que irá para P1

+ = k P0 ou para P1- = (2-k) P0.

Como já feito anteriormente, criamos um portfólio risk free e igualamos o seu retorno ao retorno risk free. Se preço subir, teremos F1

+ = -1600 + 11 P0, e se preço cair teremos F1- = -

1600 + 11(2-k) P0. Consideraremos que se o preço cair, não investiremos em t = 1, e F1- = 0,

o que para um aumento de volatilidade com valores de k = 1.75, será verdadeiro para todo P0 < 581,82. Achando n e igualando os retornos chegamos a F0 = 5 k P0 - 727,27.

Solução através das Ações de Arrow e Debreu Usaremos os mesmos ativos de mercado descritos anteriormente, onde os valores calculados para Va e Vb foram Va = 5/11 e Vb = 5/11. O valor do projeto em função de P0 pode ser representada pela seguinte árvore de decisão: V1(a) = -1600 + 11 k P0 F0

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V1(b) = 0 Resolvendo para F0 achamos F0 = (-1600 +11 k P0) Va + 0 Vb = -727,27 + 5 k P0. Para k = 1.75, temos F0 = -727,27 + 8.75 P0, que é o mesmo valor encontrado pelo método das opções.

Estendendo o modelo para 3 períodos

Veremos que no caso em que a incerteza dura três períodos, a opção de adiar o investimento até t = 1 ou t = 2 aumenta o valor do projeto. Da mesma forma que antes, o valor do investimento é I, a taxa Rf é 10% por período, o preço inicial é P0, a probabilidade q do preço subir entre um período e outro é q = 0,5 e o preço também se altera em saltos discretos de 50% para mais ou para menos, conforme o estado observado da natureza naquele período. No gráfico a seguir podemos observar o comportamento possível dos preços em cada período.

t = 0 t = 1 t = 2 t=n

P2++ = 2,25 P0 ........ 2,25 P0

P1

+=1,5 P0 P0 P2

+- = 0,75 P0 ......... 0,75 P0 P1

-=0,5 P0 P2

-- = 0,25 P0 ......... 0,25 P0 O Valor Esperado dos Fluxos de Caixa futuros em cada período é:

VP0 = 11P0 = 11 P0 VP2++ = 11 P2

++ = 24.75 P0 VP1

+ = 11 P1+ = 16.5 P0 VP2

+- = 11 P2+- = 8.25 P0

VP1- = 11 P1

- = 5.5 P0 VP2-+ = 11 P2

-+ = 8.25 P0 VP2

-- = 11 P2-- = 2.75 P0

Dixit e Pindyck propõe resolver o problema de achar o valor do projeto nestas condições utilizando o mesmo método adotado anteriormente, análogo ao métodos das opções financeiras, que envolve a criação de um portfólio livre de risco composto do projeto mais n posições a descoberto do produto, determinando-se o valor n que elimina o risco do portfólio. Em seguida iguala-se o retorno Rf deste portfólio ao seu retorno total, composto do ganho esperado de capital, mais os ganhos de dividendos, menos os custos incorridos na manutenção deste portfólio por um período. Com isso acha-se o valor do projeto no período inicial. A diferença neste caso, é que como temos três períodos, é preciso trabalhar de trás para frente período a período e por partes, até chegar ao instante zero que queremos valorar. Começamos com premissa inicial de que em t = 1 o preço subiu para P1

+, e P0 é tal que será vantagem investir se o preço subir em t = 2 e não investir se o preço cair:

t = 0 t = 1 t = 2

P2++ = 2,25 P0 ........

0.5 P1

+ =1,5 P0 8

0.5 0.5 P0 P2

+- = 0,75 P0 ......... Montamos um portfólio φ0 = F0 – n P0, onde o valor a determinar é o valor do projeto F1

+: φ2

++ = F2++ – n P2

++ φ1

+ = F1+ – n P1

+ 0.5 φ0 φ2

+- = F2+- – n P2

+- Analisando o que ocorre entre o período 1 e 2, achamos os valores de F2

++ = -1600 + 24,75 P0

e F2+- = 0, e seguindo o roteiro acima estabelecido, a partir daí chegamos a n

P= −165 1600

15 0

..

e

F1+ = 11.25 P0 - 727.27, que é o valor do Projeto em t = 1 com opção de esperar. Podemos

ver que o P0 que faz com que não seja interessante investir em t = 1, se o preço subir é o valor que faz com que F1

+ < 0, ou seja, P0 < 64,65. Observando que o valor do projeto em t =1, sem opção de adiar por mais um período é VPL1

+ = -1600 + 16.5 P0, podemos calcular para que valores de P0 será melhor investir imediatamente. Para isso, basta fazermos VPL1

+ > F1+,

obtendo o valor de P0 > 166.23. Portanto, concluímos que se o preço subir em t = 1, deve-se investir imediatamente se P0 > 166.23, e adiar a decisão para t = 2 se P0 < 166.23. Repetindo esta mesma análise para a outra parte da árvore, onde assumimos que o preço caiu para P1

- em t = 1, calculamos valor F1- do projeto em t = 1 com opção de esperar supondo que

P0 é tal que investiremos se o preço subir em t = 2 e não investiremos se ele cair, e o valor encontrado desta forma é F1

- = 3.75 P0 - 727.27. Neste caso, apenas não investiremos em t = 1 se F1

- < 0, o que só ocorrerá se P0 < 193,94. Na hipótese de que o preço subiu em t = 1, já calculamos o valor de F1

+. Se 64,65 < P0 ≤ 166,23, sabemos que F1- = 0.

F1

+ = 11,25 P0 - 727,27 F0 F1

- = 0 Nesse caso, já podemos calcular, utilizando o mesmo método do portfólio sem risco, o valor do projeto no instante t = 0, que será dado por F P0 0511 330 58= −, ,

F P0 07 5 727

. A outra alternativa possível é de que 166,23 < P0 ≤ 193,94, e nesse caso adiamos a decisão para t = 1 e investimos se o preço subiu. Temos F1

- = 0 e F1+ = 16,5 P0 - 1600, que é o valor do projeto

sem opção de adiar para t = 2, e encontramos o valor de 27= −, , . Se P0 > 193,94, adiamos o investimento para t = 1, e se o preço subiu, investimos logo. Se o preço caiu, adiamos a decisão por mais um período. Neste caso, F1

+ = 16,5 P0 - 1600, que é o valor do projeto sem opção de adiar para t = 2, e F1

- = 3,75 P0 - 727,27 é o valor já calculado anteriormente. Nessas condições, o valor do projeto será F P0 09 2 1057 85= −, , . Existe, no entanto, a hipótese de se investir imediatamente em t = 0, que tem um valor de 11 P0 - 1600.

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Comparando-se este valor com o valor do projeto com opção de adiar calculado acima, vemos que para P0 > 301,19, vale mais a pena investir em t = 0. Resumindo os resultados obtidos na tabela a seguir, observa-se que teremos diferentes regras para o valor do projeto, dependendo do valor inicial de P0.

P0 ≤ 64,65 F0 = 0 Não investir nunca, mesmo que preço suba em t = 1 e t =2

64,65 < P0 ≤ 166,23 F P0 0511 330 58= −, , Adia investimento para 2. Investe apenas se subiu em 1 e em 2

166,23 < P0 ≤ 193,94 F0 = 7,5 P0 - 727,27 Adia investimento para 1. Se subir em 1, investe logo. Se cair, não investe nunca.

193,94 < P0 ≤ 301,19 F P0 09 2 1057 85= −, , Adia investimento para 1. Se subir em 1, investe logo. Se cair em 1, adia.

P0 > 301,19 V P0 011 1600= − Investe em t = 0.

Solução através das Ações de Arrow e Debreu Adotaremos os mesmos ativos de mercado descritos anteriormente, onde os valores calculados foram Va = 5/11 e Vb = 5/11 em todas as nossas análises. Adotaremos Ft para designar o valor no instante t do projeto com opção de adiar, e Vt o seu valor em t quando esta opção não existe. Para uma melhor visualização do problema de dois períodos, montamos a árvore de decisão que abrange todas os possíveis estados e as decisões correspondentes:

2,25 P0

0,75 P0

(a)

(b)

Investe t =0

Adia

Não Investe

Investe t =2

Não Investe

Investe t =2

Não Investe

Investe t =2

Não Investe

Investe t =2

0,75 P0

0,25 P0

(c)

(d)

Adia

Investe t =1

1,5 P0

Adia

Investe t =1

0,5 P0

Para achar o valor do projeto no instante 0, começamos pelo último período, onde já não existe mais incerteza e o valor do projeto será simplesmente o valor presente líquido dos seus fluxos de caixa futuros, ou zero, caso este valor seja negativo. Para tanto, consideramos

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primeiro a hipótese de que o preço sobe em t = 1 e que o valor de P0 é tal que será mais interessante adiar a decisão do investimento para t =2, onde um dos dois estados, (a) ou (b) irá ocorrer. Nesse caso, ocorrendo o estado (a), o valor do projeto neste instante será V2(a) = max (24,75P0 – 1600, 0), e ocorrendo o estado (b), o valor do projeto será V2(b) = max ( 8,25 P0 – 1600, 0). Da mesma forma, se o preço cair em t = 1 e P0 for tal que seja mais interessante adiar a decisão do investimento para t = 2, o valor do projeto será V2(c) = max (8,25 P0 – 1600, 0) se ocorrer o estado (c) e V2(b) = max (2,75 P0 – 1600, 0) se ocorrer o estado (d). Assim a árvore de decisão ficará:

V2(a) = max (24,75 P0 -1600, 0)

(a)

(b)

Investe t =0

Adia(c)

(d)

Adia

Investe t =1

1,5 P0

Adia

Investe t =1

0,5 P0

V2(b) = max (8,25 P0 -1600, 0)

V2(c) = max (8,25 P0 -1600, 0)

V2(d) = max (2,75 P0 -1600, 0)

Verificamos que o valor de P0 que torna viável o investimento V2(a) é P0 > 64,65, o que significa que abaixo deste valor nunca investiremos neste projeto. Se ocorrer o estado (b), o investimento V2(b) não será realizado se P0 < 193,94. Portanto, para a faixa de 64,5 < P0 < 193,94 teremos a seguinte situação no instante 2: V2(a) = 24,75 P0 - 1600 F1

+ V2(b) = 0 Resolvendo para F1

+ obtemos F1+ = 11,25 P0 - 727,27. O valor de P0 que torna viável o

investimento V2(c) é P0 > 193,94. Se ocorrer o estado (b), o investimento V2(d) não será realizado se P0 < 581,82. Portanto, na faixa de 193,94 < P0 < 581,82 teremos a seguinte situação no instante 2: V2(c) = 8,25 P0 - 1600 F1

- V2(d) = 0 Resolvendo para F1

- obtemos F1- = 3,75 P0 - 727,27. Com isso obtivemos o valor de adiar o

projeto em t = 1, e com essas informações o problema de valoração se restringe aos tempos

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t = 0 e t = 1, conforme a seguir:

F1+ = 11,25 P0 -727,27

Investe t =0

Adia

V1+ = 16,5 P0 -1600

1,5 P0

0,5 P0

F1- = 3,75 P0 -727,27

V1- = 5,5 P0 -1600

Como vimos anteriormente, F1

+ é o valor do projeto em t = 1 se o preço subiu e se optarmos por adiar a decisão de investimento até o instante t = 2, enquanto que V1

+ é o valor de se investir imediatamente em t = 1. O valor de P0 que fará com que seja melhor adiar é a solução de F1

+ > V1+ , que nos dá P0 < 166,23.

Da mesma forma, F1

- é o valor do projeto em t = 1 se o preço caiu e se optarmos por adiar a decisão de investimento até o instante t = 2, enquanto que V1

- é o valor correspondente de se investir imediatamente em t = 1. Fazendo F1

- > V1-, vemos que será mais interessante adiar a

decisão do projeto se o preço caiu em t = 1 do que investir imediatamente sempre que P0 < 498,70. Por outro lado, observamos também que o valor de adiar se o preço caiu em t = 1, F1

-, só é positivo para valores de P0 > 193,94. Então, para valores de P0 abaixo deste limite nunca investiremos se o preço cair em t = 1. Podemos agora definir a fórmula de valoração do projeto para cada intervalo possível de P0. Vimos anteriormente que se P0 < 64,65, é melhor nunca investir, pois mesmo que o cenário mais otimista ocorra, o valor do projeto será negativo. O próximo intervalo a analisar é 64,65 < P0 < 166,23. Verificamos que neste caso, o projeto será adiado se o preço subiu em t = 1, mas não será realizado nunca se caiu, e portanto, as alternativas existentes são: V1(a) = 11,25 P0 - 727,27 F0 V1(b) = 0 de onde obtemos F0 = 5,11 P0 - 330,58. Se 166,23 < P0 < 193,94, é melhor investir imediatamente em t = 1 se o preço subiu e continua não sendo interessante investir se o preço caiu. O problema nesse caso será: V1(a) = 16,5 P0 - 1600 F0 V1(b) = 0 F0 = 7,5 P0 - 727,27 12

Se P0 > 193,94, investiremos imediatamente em t = 1 se o preço subiu e que adiaremos a decisão de investir se o preço caiu. V1(a) = 16,5 P0 - 1600 F0 V1(b) = 3,75 P0 - 727,27 Resolvendo para F0 achamos F0 = 9,2 P0 - 1057,85. Vimos que se P0 > 498,70, será melhor investir logo em t = 1 se o preço cair, o que nos daria ainda outra regra de valoração para o projeto para esta faixa de P0. No entanto, fica claro que haverá um valor mínimo para P0 acima do qual será melhor investir logo no instante inicial t = 0. Este valor pode ser calculado comparando-se o valor de se investir em t = 0 que é V0 = 11 P0 - 1600, com a fórmula da faixa mais alta de P0, que é F0 = 9,2 P0 - 1057,85. O ponto de equilíbrio que torna o investimento imediato em t = 0 mais interessante é obtido fazendo-se V0 > F0, que nos dá um valor de P0 > 301,19. Assim, a hipótese aventada anteriormente de se investir em t = 1 se o preço cair nunca irá ocorrer. Pode-se verificar também que se fizermos esta comparação com a fórmula F0 = 7,5 P0 - 727,27 para a faixa de 166,23 < P0 < 193,94, achamos um valor de equilíbrio de P0 > 249,35, o que é inconsistente com a premissa de que 166,23 < P0 < 193,94. Dessa forma, o valor do projeto será dados por V0 = 11 P0 - 1600 se P0 > 301,19. Podemos observar claramente que estes resultados são idênticos aos resultados obtidos pelo método das opções financeiras utilizado por Dixit e Pindyck.

Conclusão

A nossa conclusão é de que a solução de problemas de valoração envolvendo opções reais pode ser feita com mais facilidade e de forma mais sintética através das Ações de Arrow e Debreu do que pelos métodos tradicionais de precificação de opções, principalmente do método do portfólio livre de risco. As restrições à sua aplicabilidade são as mesmas, principalmente a exigência da existência de um mercado completo. Os resultados obtidos por A-D foram idênticos, mas de uma forma bem mais simples e direta. Uma extensão natural deste trabalho é a análise multiperiodo e também a aplicação deste método em período contínuo.

Apêndice: Ações de Arrow e Debreu

Podemos supor que em condições de incerteza, existam um número finito de estados que descrevam todos os resultados possíveis de um investimento qualquer. No instante inicial, t = 0, sabemos apenas que um destes estados irá ocorrer, embora não possamos dizer qual. Ao final do período, um e apenas um dos estados possíveis ocorreu. Definimos um título como um investimento de mercado cujos retornos estão associados aos possíveis estados da natureza. Assim, podemos definir o conjunto dos valores possíveis de um

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título d num instante futuro como d = {d1, d2, d3, ….., d S}, onde S é o estado da natureza, e onde d S, (s = 1, 2, 3 … S), é o retorno que é obtido com o título se o estado S ocorrer. Um título puro, ou uma ação de Arrow e Debreu, é um tipo particular de título de mercado cujo valor é contingente ao valor de uma variável de estado que paga ao seu detentor $1 se um determinado estado da natureza ocorrer num determinado tempo t, e zero se ocorrer qualquer outro estado da natureza. Dessa forma, uma ação de Arrow e Debreu retorna um pagamento em apenas um estado: e S = {0, 0, 0, ……. , 0, 1, 0, ….. ,0 ,0}. Quando o mercado é completo, isto é, quando o número de estados é igual ao número de títulos distintos existentes no mercado, qualquer título pode ser expresso como uma combinação linear de títulos puros. Supondo que os preços para as ações de Arrow e Debreu (A-D) para os diferentes estados seja dado por ψ S , (s = 1, 2, 3, …S ), o preço do título d então será dado por . Fica claro também, que se a ação de A-D não existir na natureza, ela pode ser criada a partir de títulos já existentes no mercado.

P d TS= ψ

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Referências Bibliográficas

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