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FENMENOS DOS TRANSPORTES

Eduardo Emery Cunha Quites

2

FENMENOS DOS TRANSPORTES O processo de transporte caracterizado pela tendncia ao equilbrio, que uma condio onde no ocorre

nenhuma variao. Os fatos comuns a todos processos de transporte so descritos na tabela 1.1:

Tabela 1.1 Fatos comuns aos processos de transporte

A Fora Motriz O movimento no sentido do equilbrio causado por uma diferena de potencial

O Meio A massa e a geometria do material onde as variaes ocorrem afetam a

velocidade e a direo do processo

O Fenmeno de Transporte Alguma quantidade fsica transferida

Alguns exemplos de processos de transporte:

Os raios solares aquecem a superfcie externa de uma parede e o processo de transferncia de calor faz com que energia seja transferida atravs da parede, tendendo a um estado de equilbrio onde a superfcie interna

ser to quente quanto externa.

Quando um fluido est entre duas placas paralelas e uma delas se movimenta, o processo de transferncia de quantidade de movimento faz com que as camadas de fluido adjacentes placa se movimentem com

velocidade prxima da placa, tendendo a um estado de equilbrio onde a velocidade do fluido varia de V na

superfcie da placa em movimente at 0 na superfcie da placa estacionria.

Uma gota de corante colocada em recipiente com gua e o processo de transferncia de massa faz com que o corante se difunda atravs da gua, atingindo um estado de equilbrio, facilmente detectado visualmente.

1. TRANSFERNCIA DE CALOR

1.1. INTRODUO

1.1.1. O QUE e COMO SE PROCESSA?

Transferncia de Calor (ou Calor) energia em trnsito devido a uma diferena de temperatura. Sempre que

existir uma diferena de temperatura em um meio ou entre meios ocorrer transferncia de calor.

Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas so colocados em contato direto, como n a figura 1.1,

ocorrera uma transferncia de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura at

que haja equivalncia de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilbrio trmico.

T1 T2 T T

Se T1 > T2 T1 > T > T2

[ figura 1.1 ]

Est implcito na definio acima que um corpo nunca contm calor, mas calor indentificado com tal quando

cruza a fronteira de um sistema. O calor ento um fenmeno transitrio, que cessa quando no existe mais uma

diferena de temperatura.

Os diferentes processos de transferncia de calor so referidos como mecanismos de transferncia de calor.

Existem trs mecanismos, que podem ser reconhecidos assim:

Quando a transferncia de energia ocorrer em um meio estacionrio, que pode ser um slido ou um fluido, em virtude de uma diferena de temperatura, usamos o termo transferncia de calor por conduo. A figura

1.2 ilustra a transferncia de calor por conduo atravs de uma parede slida submetida uma diferena de

temperatura entre suas faces.

[ figura 1.2 ]

3

Quando a transferncia de energia ocorrer entre uma superfcie e um fluido em movimento em virtude da diferena de temperatura entre eles, usamos o termo transferncia de calor por conveco. A figura 1.3

ilustra a transferncia de calor de calor por conveco quando um fluido escoa sobre uma placa aquecida.

[ figura 1.3 ]

Quando, na ausncia de um meio interveniente, existe uma troca lquida de energia (emitida na forma de ondas eletromagnticas) entre duas superfcies a diferentes temperaturas, usamos o termo radiao. A figura

1.4 ilustra a transferncia de calor por radiao entre duas superfcies a diferentes temperaturas.

[ figura 1.4 ]

A tabela 1.2 resume as principais caractersticas dos trs mecanismos descritos, em termos dos fatos comuns dos

processos de transporte, e que sero discutidos mais a fundo nos prximos captulos:

Tabela 1.2 Caractersticas dos mecanismos de transferncia de calor

Conduo Conveco Radiao

A Fora Motriz A diferena de temperatura A diferena de temperatura A diferena de temperatura

O Meio Meio estacionrio Fluido em movimento No precisa de meio

O Fenmeno Choque entre partculas Conduo + transporte de massa Ondas Eletromagnticas

2.4. MECANISMOS COMBINADOS

Na maioria das situaes prticas ocorre que dois ou mais mecanismos de transferncia de calor atuam ao

mesmo tempo. Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos domina quantitativamente, solues

aproximadas podem ser obtidas desprezando-se todos, exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve ficar

entendido que variaes nas condies do problema podem fazer com que um mecanismo desprezado se torne

importante. Portanto, o bom senso e o conhecimento fsico do sistema em estudo so fundamentais para

determinar os mecanismos dominantes.

Como exemplo de um sistema onde ocorrem, ao mesmo tempo, vrios mecanismos de transferncia de calor,

considere uma garrafa trmica. Neste caso, podemos ter a atuao conjunta dos seguintes mecanismos

esquematizados na figura 1.5.

Notemos que tanto no frasco plstico quanto na capa plstica no pode ocorrer conveco ( meio slido) e

radiao (material opaco). Portanto nestes meios somente importa a conduo.

Outras melhorias que podem ser introduzidas no exemplo com intuito de reduzir ainda mais a taxa de

transferncia de calor para o ambiente externo so: (1) uso de superfcies aluminizadas para a capa plstica de

modo a reduzir a radiao e (2) evacuao do espao com ar para reduzir a conveco natural.

4

q1 : conveco natural entre o caf e a parede do frasco

plstico q2 : conduo atravs da parede do frasco plstico

q3 : conveco natural do frasco para o ar

q4 : conveco natural do ar para a capa plstica

q5 : radiao entre as superfcies externa do frasco e

interna da capa plstica q6 : conduo atravs da capa plstica

q7 : conveco natural da capa plstica para o ar ambiente

q8 : radiao entre a superfcie externa da capa e a

vizinhana

[figura 1.5]

1.1.3. SISTEMAS DE UNIDADES

Unidades so meios de expressar numericamente as dimenses. As dimenses fundamentais (previamente

definidas) so quatro: tempo, comprimento, massa e temperatura.

As unidades so agrupadas em sistemas coerentes. Apesar de ter sido adotado internacionalmente o sistema de

unidades denominado Sistema Internacional (S.I), o Sistema Ingls e o Sistema Mtrico ainda so amplamente

utilizados em vrios paises do mundo. Na tabela 1.3 esto as unidades fundamentais para os trs sistemas citados:

Tabela 1.3 - Unidades fundamentais dos sistemas de unidades mais comuns

SISTEMA TEMPO COMPRIMENTO MASSA TEMPERATURA

S.I. segundo, s metro, m quilograma, kg Kelvin, K

INGLS segundo, s p, ft libra-massa, lbm Farenheit, F

MTRICO segundo, s metro, m quilograma, kg Celsius, C

[1 p (ft) = 12 polegadas (inch) ou 1 = 12 ] [1 ft = 0,305 m] [1 lbm = 0,45 kg] [T(K) = T(C) + 273]

As unidades derivadas mais importantes para a transferncia de calor, mostradas na tabela 1.3, so obtidas por

meio de definies relacionadas a leis ou fenmenos fsicos:

Fora: as unidades de fora so definidas a partir da Segunda Lei de Newton (F = m.a):

newton (N) a fora necessria para acelerar uma massa de 1 Kg a uma taxa de 1 m/s2.

1 N = 1 kg . 1 m/s2

kilograma-fora (kgf) a fora necessria para acelerar uma massa de 1 utm (=9,8 kg) a uma taxa de 1 m/s2.

1 kgf = 9,8 kg . 1 m/s2 ou 1 kgf = 1 utm . 1 m/s

2

libra-fora (lbf) a fora necessria para acelerar uma massa de 1 slug (=32,2 lbm) a uma taxa de 1 ft/s2.

1 lbf = 32,2 lbm . 1 ft/s2 ou 1 lbf = 1 slug . 1 m/s

2

O peso de um corpo (G) freqentemente usado incorretamente para expressar a massa (m) como nas balanas

de banheiro. Na verdade o peso (G) uma fora resultante da acelerao gravitacional (g) e sua intensidade

determinada pela segunda lei de Newton (G = m.g). Ao nvel do mar uma massa de 1 kg pesa 9,8 N:

1 kg a = 1 m/s2

F = 1 N

1 utm a = 1 m/s2

F = 1 kgf

1 slug a = 1 ft/s

2

F = 1 lbf

5

22 /.8,9/8,9.1. smkgNNsmkggmG A mesma massa de 1 kg (1 kg = 1/9,8 utm) pesar 1 kgf em unidades do sistema mtrico.

22 /.1/8,9.8,9

1. smutmkgfkgfsmutmgmG

Presso a relao entre a fora normal aplicada e a rea (P = F/A), ento:

pascal (Pa) a presso resultante quando uma fora normal de 1 N aplicada em uma rea de 1 m2.

1 Pa = 1 N / 1 m2 ( 1 kPa = 1000 Pa)

Kgf/m2 a unidade no sistema mtrico, porm Kgf/cm2 mais usado (1 Kgf/cm2 = 10000 Kgf/m2).

lbf/pol2 (psi pound per square inch) a unidade mais comum no sistema ingls.

Trabalho (uma forma de Energia) definido como produto da fora pela distncia ( = F.x), ento:

joule (J) o trabalho ou a energia despendida por uma fora de 1 N em um deslocamento de 1 m.

1 J = 1 N . 1 m

kgf.m (kgm) a unidade no sistema mtrico, kilocaloria (kcal) mais usada ( 1 kcal = 1000 calorias).

lbf.ft a unidade no sistema ingls, porm o Btu (British thermal unity) mais usado.

As unidades mais usuais de energia (Btu e Kcal) so baseadas em fenmenos trmicos, e definidas como:

Btu a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1lb de gua de 67,5 F a 68,5 F

kcal a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1 kg de gua de 14,5 C a 15,5 C

Potncia a capacidade de realizar trabalho na unidade de tempo ( = / t), ento:

watt ( W ) a potncia dissipada quando um trabalho de 1 J realizado em 1 s

1 W = 1 J / 1 s

kcal/h a unidade mais comum no sistema mtrico.

Btu/h a unidade mais comum no sistema ingls.

Tabela 1.3 - Unidades derivadas mais comuns em fenmenos dos transportes

SISTEMA FORA, F PRESSO, P ENEGIA, E POTNCIA,

S.I. newton, N Pascal, Pa Joule,J Watt,W

INGLS libra-fora, lbf lbf/pol2

lbf-ft (Btu) Btu/h

MTRICO kilograma-fora, kgf Kgf/cm2

kgm (kcal) kcal/h

A = 1 m2

FN = 1 N

P = 1 Pa

F = 1 N

F = 1 N

x = 1 m

F = 1 N

F = 1 N

x = 1 m

t = 1 s

6

No estudo da transferncia de calor veremos que o fluxo ou taxa de calor transferido ( q ) a quantidade de calor (Q) transferido na unidade de tempo (t). Neste caso, as seguintes unidades so, em geral, utilizadas:

:, ondet

Qq

(energia) Kcal Btu, J, :(energia) sferidocalor tran de quantidade Q

(potncia)Kcal/h Btu/h, W,:(potncia) sferidocalor tran de fluxo

q

Algumas relaes de converso entre os sistemas de unidades:

Fora: 1 N = 0,102 kgf = 0,225 lbf

Presso: 1 Pa = 0,102 kgf/m2 = 0,000145 lbf/pol

2

Energia: 1J = 0,000948 Btu = 0,000239 Kcal

Potencia: 1 W = 3,412 Btu/h = 0,860 Kcal/h = 0,00136 CV = 0,00134 HP

Tabela de prefixos padro do Sistema Internacional

Mltiplo 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

Prefixo tera,T giga,G mega,M kilo,k hecto,h deca,da deci,d centi,c mili,m micro, nano,n pico,

EXERCCIOS RESOLVIDOS:

Exerccio R.1.1.1. Converter para o sistema internacional (SI) a seguinte massa especifica: = 62,4 lb/ft3 , sendo dado que: 1 kg = 2,205 lb e 1 m = 3,281 ft.

3353,999

1

281,3

205,2

14,62

m

kg

m

ft

lb

kg

ft

lb

Exerccio R.1.1.2. Determinar a unidade de peso especfico () no SI a partir da formula: = . g , sendo dado que: [F] = [m] . [a] , ou seja : 1 N = 1 Kg . 1 m/s

2 e [g] = m/s

2.

32323

1.

m

N

s

mkg

ms

m

m

kgg

Exerccio R.1.1.3. Converter para o SI o seguinte coeficiente de pelcula: h = 10 Kcal/h.m2.C , sendo dado que:

1 W = 0,86 Kcal/h e 1 K = 1 C. (Nota: 1 C equivale dimensionalmente a 1 K, porm para converter uma

temperatura em Celsius para Kelvin devemos somar uma constante : T[C] = T[K] + 273 )

Km

W

K

C

hKcal

W

Cmh

Kcalh

o

o .63,11

1

1

86,0

1

..10

22

Exerccio R.1.1.4. Determinar a unidade de energia cintica (Ec) no SI a partir da formula: Ec = m.v2 , sendo

dado que: [F] = [m] . [a] , ou seja : 1 N = 1 Kg . 1 m/s2 e [v] = m/s.

JmNms

mkg

s

mkg

s

mkgvmEc

22

22

2.

Exerccio R.1.1.5. Determinar a unidade de fluxo de calor ( q ) no SI e no Sistema

Mtrico a partir da formula: q = Q/t , onde: Q = quantidade de calor ( Kcal, J ) e t =

tempo

h

Kcal

t

QqMetricoW

s

J

t

QqSI ::

Exerccio R.1.1.5. Se uma ma pesa 100 g (0,1 kg), quantas mas so

aproximadamente necessrias para que o peso total seja equivalente a 1 N, 1 lbf e 1

kgf?. Dado: g = 9,8 m/s2 (SI e mtrico) e g = 32,2 ft/s

2 (sist. Ingls) e 1 lbm = 0,45

kg.

maxsmkgNNsmkgxgmG 102,1/.1/8,9.).1,0(. 22 masxsmutmkgfkgfsmutmxgmG 10/.1/8,9.8,9).1,0(. 22 masxsftsluglbflbfsftslugxgmG 5,4/.1/2,32.2,3245,0).1,0(. 22

7

1.2. CONDUO

1.2.1. LEI DE FOURIER

A lei de Fourier foi desenvolvida a partir da observao dos fenmenos da natureza em experimentos.

Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante medido aps a variao das condies

experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferncia de calor atravs de uma barra de ferro com uma das

extremidades aquecidas e com a rea lateral isolada termicamente, como mostra a figura 1.6:

[ figura 1.6 ]

Com base em experincias, variando a rea da seo da barra, a diferena de temperatura e a distncia entre as

extremidades, chega-se a seguinte relao de proporcionalidade:

x

TAq

.

A proporcionalidade pode se convertida para igualdade atravs de um coeficiente de proporcionalidade e a Lei de

Fourier pode ser enunciada assim: A quantidade de calor transferida por conduo, na unidade de tempo, em um

material, igual ao produto das seguintes quantidades:

. .q k AdT

dx ( eq. 1.1 )

onde,

q , fluxo de calor por conduo ( Kcal/h no sistema mtrico);

k, condutividade trmica do material;

A, rea da seo atravs da qual o calor flui, medida perpendicularmente direo do fluxo ( m2);

dT dx, razo de variao da temperatura T com a distncia, na direo x do fluxo de calor ( oC/m )

A razo do sinal menos na equao de Fourier que a direo do aumento da distncia x deve ser a direo do fluxo de calor positivo. Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa

(gradiente negativo), o fluxo s ser positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1).

O fator de proporcionalidade k (condutividade trmica) que surge da equao de Fourier uma propriedade de cada material e vem exprimir maior ou menor facilidade que um material apresenta conduo de calor. Sua

unidade facilmente obtida da prpria equao de Fourier, por exemplo, no sistema prtico mtrico temos:

Cmh

Kcal

m

Cm

hKcalk

dx

dTA

qk

dx

dTAkq

oo ...

..2

m.K

W

m

K.m

W : assim fica (SI), nalinternacio sistema No

2

k

Os valores numricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituio qumica, estado fsico e

temperatura dos materiais. Quando o valor de k elevado o material considerado condutor trmico e, caso

contrrio, isolante trmico. Com relao temperatura, em alguns materiais como o alumnio e o cobre, o k

varia muito pouco com a temperatura, porm em outros, como alguns aos, o k varia significativamente com a

temperatura. Nestes casos, adota-se como soluo de engenharia um valor mdio de k em um intervalo de

temperatura..

8

1.2.2. CONDUO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA

Consideremos a transferncia de calor por conduo atravs de uma parede plana submetida a uma diferena de

temperatura. Um bom exemplo disto a transferncia de calor atravs da parede de um forno, como pode ser

visto na figura 1.7, que tem espessura L, rea transversal A e foi construdo com material de condutividade

trmica k. Do lado de dentro do forno uma fonte de calor mantm a temperatura na superfcie interna da parede

constante e igual a T1 enquanto que a temperatura da superfcie externa permanea igual a T2.

[ figura 1.7 ]

Aplicado a equao de Fourier, tem-se:

dx

dTAkq ..

Fazendo a separao de variveis, obtemos :

dTAkdxq ... ( eq. 1.2 )

Na figura 1.7 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura T1 e na face externa ( x=L ) a temperatura T2.

Para a transferncia em regime permanente o calor transferido no varia com o tempo. Para a rea transversal da

parede A e condutividade k constantes, a integrao da equao 1.2, fica assim:

L T

TdTAkdxq

0

2

1

... 12..0. TTAkLq

21... TTAkLq Considerando que ( T1 - T2 ) a diferena de temperatura entre as faces da parede (T ), o fluxo de calor a que

atravessa a parede plana por conduo :

TL

Akq .

. ( eq. 1.3 )

Para melhor entender o significado da equao 1.3 consideremos um exemplo prtico. Suponhamos que o

engenheiro responsvel pela operao de um forno necessita reduzir as perdas trmicas pela parede de um forno

por razes econmicas. Considerando a equao 1.3, o engenheiro tem as opes listadas na tabela 1.3:

Tabela 1.3- Possibilidades para reduo de fluxo de calor em uma parede plana.

OBJETIVO VARIVEL AO

Reduzir k trocar a parede por outra de menor condutividade trmica

Reduzir q Reduzir A reduzir a rea superficial do forno

Aumentar L aumentar a espessura da parede

Reduzir T reduzir a temperatura interna do forno

OBS: A colocao de isolamento trmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as aes de reduo da

condutividade trmica e aumento de espessura da parede.

Exerccio R.1.2.1. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m de

largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de espessura, so feitas de tijolos com

condutividade trmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a rea das janelas so consideradas desprezveis. A face externa das

9

paredes pode estar at a 40 oC em um dia de vero. Desprezando a troca de calor pelo piso e teto, que esto bem

isolados, pede-se o calor a ser extrado da sala pelo condicionador ( em HP ). Dado: 1HP = 641,2 Kcal/h

Desconsiderando a influncia de janelas, a rea lateral das paredes, desprezando o piso e o teto, :

21263152362 mA Utilizando a equao 1.3, temos:

hKcalCm

mCmhKcalTT

L

Akq o

o

1270224025,0

126..14,0.

.2

21

,,q Kcal

h

HP

Kcal

h

HP 12701

641 21 979

Portanto, o fluxo de calor a ser extrado da sala para mant-la refrigerada : q HP 2

Exerccio R.1.2.2. As faces internas das paredes de uma casa devem ser mantidas a 20 C, enquanto que a

temperatura mdia nas faces externas -20 oC. Para isto, um sistema de aquecimento utiliza leo combustvel.

As paredes da casa medem 25 cm de espessura, e foram construdas com tijolos de condutividade trmica de 0,75

W/m.K.

a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfcie por hora.

b) Sabendo-se que a rea total de transferncia de calor da casa 250 m2 e que o poder calorfico do leo

combustvel de 37215 kJ/litro, determinar a quantidade de leo combustvel a ser utilizada no sistema de

aquecimento durante um perodo de 24 h. Supor o rendimento do sistema de aquecimento igual a 70%.

mcmLKmWkCTCT oo 25,025 .75,0 20 20 21

a) Desprezando o efeito do canto das paredes e a condutividade trmica da argamassa entre os tijolos, aplica-se a

equao de Fourier para paredes planas

21..

TTL

Akq

Portanto, o fluxo de calor transferido por cada metro quadrado de parede :

Cm

mKmWqmA o2020

25,0

1).(73,0 : temos,1 Para

22 rea dep/ 120 2mWq

T C T C

k Kcal h m C

L cm m

m

o o

o

1 240 22

0 14

25 0 25

6 15 3

, . .

,

sala : 3m

6m

15m T1

T2

k

L

q

10

b) Esta perda de calor deve ser reposta pelo sistema de aquecimento, de modo a manter o interior a 20 oC. A

perda pela rea total do edifcio :

s

kJ

s

JWqmA t 303000030000250120 ento, 250

2

O tempo de utilizao do sistema de aquecimento 24 horas. Neste perodo a energia perdida para o exterior :

kJ2592000min

60min

602430. s

hh

s

KJtqQ

t

Qq

Com o rendimento do sistema 70% a quantidade de calor a ser fornecida pelo carvo :

kJ37028577,0

2592000

QQ f

Cada quilo de carvo pode fornecer 37215 kJ/litro, ento a quantidade de leo combustvel :

litroslitrokJ

kJQTcarvo 5,99

/35215

3702857

1.2.3. ANALOGIA ENTRE RESISTNCIA TRMICA E RESISTNCIA ELTRICA

Dois sistemas so anlogos quando eles obedecem a equaes semelhantes. Por exemplo, a equao 1.3 que

fornece o fluxo de calor atravs de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma:

Ak

L

Tq

.

( eq. 1.4 )

O denominador e o numerador da equao 1.4 podem ser entendidos assim :

( T ) , a diferena entre a temperatura o potencial que causa a transferncia de calor ( L / k.A ) equivalente a uma resistncia trmica (R) que a parede oferece transferncia de calor

Portanto, o fluxo de calor atravs da parede pode ser expresso da seguinte forma :

parede da trmicaaresistnci a

e trmicopotencial o onde,

R

TR

Tq

( eq. 1.5 )

Se substituirmos na equao 1.5 o smbolo do potencial de temperatura T pelo de potencial eltrico, isto , a

diferena de tenso U, e o smbolo da resistncia trmica R pelo da resistncia eltrica Re, obtemos a equao

1.6 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente eltrica :

eR

Ui

( eq. 1.6 )

Dada esta analogia, comum a utilizao de uma notao semelhante usada em circuitos eltricos, quando

representamos a resistncia trmica de uma parede. Assim, uma parede de resistncia R, submetida a um

potencial T e atravessada por um fluxo de calor q , pode ser representada como na figura 1.8 :

[ figura 1.8 ]

1.2.4. ASSOCIAO DE PAREDES PLANAS EM SRIE

Consideremos um sistema de paredes planas associadas em srie, submetidas a uma diferena de temperatura.

Assim, haver a transferncia de um fluxo de calor contnuo no regime permanente atravs desta parede

composta. Como exemplo, analisemos a transferncia de calor atravs da parede de um forno, que pode ser

11

composta de uma camada interna de refratrio ( condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediria de

isolante trmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de ao ( condutividade k3 e

espessura L3). A figura 1.9 ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura desta parede composta :

L L L

1

2 3

k k k

1

2 3

q.

T

TT

1

2

3

4T

[ figura 1.9 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas

individualmente:

).(.

);.(.

);.(.

43

3

3332

2

2221

1

11 TTL

AkqTT

L

AkqTT

L

Akq ( eq. 1.7 )

Colocando em evidncia as diferenas de temperatura nas equaes acima e somando, obtemos:

33

3

22

2

11

1433221

33

343

22

232

11

121

.

.

.

.

.

.

.

.)(

.

.)(

.

.)(

Ak

Lq

Ak

Lq

Ak

LqTTTTTT

Ak

LqTT

Ak

LqTT

Ak

LqTT

ou,

T Tq L

k A

q L

k A

q L

k A1 4

1

1 1

2

2 2

3

3 3

.

.

.

.

.

.

( eq. 1.8 )

Colocando em evidncia o fluxo de calor q e substituindo os valores das resistncias trmicas em cada parede na

equao 1.8, obtemos o fluxo de calor pela parede do forno :

).( 32141 RRRqTT q

T T

R R R

1 4

1 2 3 ( eq. 1.9 )

Portanto, para o caso geral em que temos uma associao de paredes n planas associadas em srie o fluxo de

calor dado por:

n

n

i

it

t

total RRRRRondeR

Tq

21

1

, ( eq. 1.10 )

Exerccio R.1.2.3. Uma parede de um forno constituda de duas camadas: 0,20 m de tijolo refratrio (k = 1,2

kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.

oC). A temperatura da superfcie interna do refratrio

1675 oC e a temperatura da superfcie externa do isolante 145

oC. Desprezando a resistncia trmica das

juntas de argamassa, calcule :

a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede;

b) a temperatura da interface refratrio/isolante.

12

a) Considerando uma rea unitria da parede ( A=A1=A2=1 m2 ), temos :

115,0

13,0

12,1

20,0

1451675

.. 2

2

1

1

3131

Ak

L

Ak

L

TT

RR

TT

R

Tq

isoreft

total 6,1480 2mphKcalq

b) O fluxo de calor tambm pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de refratrio, obtemos :

211

1

1

1

2121 ..

.

TTL

Ak

Ak

L

TT

R

TTq

ref

2167520,0

12,16,1480 T

T C

o

2 1428 2 ,

1.2.5. ASSOCIAO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO

Consideremos um sistema de paredes planas associadas em paralelo, como na figura 1.10 e submetidas a uma

diferena de temperatura constante e conhecida. Assim, haver a transferncia de um fluxo de calor contnuo no

regime permanente atravs da parede composta. Faremos as seguintes consideraes:

Todas as paredes esto sujeitas a mesma diferena de temperatura;

As paredes podem ser de materiais e/ou dimenses diferentes;

[ figura 1.10 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas

individualmente:

..( );

..( )q

k A

LT T q

k A

LT T1

1 1

1

1 2 22 2

2

1 2 ( eq. 1.11 )

O fluxo de calor total igual a soma dos fluxos da equao 1.11 :

).(..

).(.

).(.

21

2

22

1

11

21

2

22

21

1

11

21 TTL

Ak

L

AkTT

L

AkTT

L

Akqqq

( eq. 1.12 )

Como RL

k A R

k A

L

.

.1 ( eq. 1.13 )

Substituindo a equao 1.13 na equao 1.12, obtemos :

21

2121

21

111 onde,

)().(

11

RRRR

TTTT

RRq

tt

CTCT

CmhKcalkmL

CmhKcalkmL

oo

o

o

145 1675

..15,0 13,0

: isolante de parede

..2,1 20,0

: refratrio de parede

31

22

11

13

Portanto, para o caso geral em que temos uma associao de n paredes planas associadas em paralelo o fluxo de

calor dado por :

n

n

i itt

total

RRRRRonde

R

Tq

11111,

211

( eq. 1.14 )

Exerccio R.1.2.4. Uma camada de material refratrio ( k=1,5 kcal/h.m.oC ) de 50 mm de espessura est

localizada entre duas chapas de ao ( k = 45 kcal/h.moC ) de 6,3 mm de espessura. As faces da camada refratria

adjacentes s placas so rugosas de modo que apenas 30 % da rea total est em contato com o ao. Os espaos

vazios so ocupados por ar ( k=0,013 kcal/h.m.oC ) e a espessura mdia da rugosidade de 0,8 mm. Considerando

que as temperaturas das superfcies externas da placa de ao so 430 oC e 90 oC, respectivamente; calcule o

fluxo de calor que se estabelece na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar est parado (considerar apenas a

conduo)

Clculo das resistncias trmicas ( para uma rea unitria ) :

KcalCh

Ak

LR

KcalChAk

LR

o

ar

rug

o

ao

ao

.08791,017,0013,0

0008,0

.

.00014,0145

0063,0

.

2

1

KcalChAk

LR

KcalChAk

LR

o

ref

ref

o

ref

rug

.0323,015,1

0484,0

.

.0018,013,05,1

0008,0

.

1

3

A resistncia equivalente parede rugosa ( refratrio em paralelo com o ar ) :

R R RR h C Kcalo

/ /

/ /, ,

, .

A resistncia total, agora, obtida por meio de uma associao em srie:

R R R R R R h C Kcalto // // , .

Um fluxo de calor sempre o (DT)total sobre a Rt , ento :

0361,0

9043021

tt

total

R

TT

R

Tq q Kcal h 9418

Exerccio R.1.2.5. A figura abaixo mostra um corte em uma parede de 1 metro de altura, 1 metro de largura e espessura total mede 16 cm. A parede composta por vrios materiais associados e as condutividades trmicas de

cada material da parede so indicadas na tabela abaixo. Para uma temperatura da face quente de 1000 C e da

face fria de 100 C, determine o fluxo de calor transferido atravs da parede composta:

CTCT

mmmL

mmmLmmmL

mmL

CmhKcalk

CmhKcalkCmhKcalk

oo

ref

rugao

ref

oar

oref

oao

90430

0483,04,488,0250

0008,08,00063,03,6

50

..013,0

..5,1..45

21

14

Material a b c d e f g

k (W/m.K) 100 40 10 50 30 40 20

Usando a analogia eltrica, o circuito equivalente parede composta fica assim:

Para uma rea unitria de transferncia de calor ( A = 1 m2 ), as reas de cada camada so:

22

c

2

b

2

a 5,01100

50m6,01

100

60 m2,01

100

20m111 mAAAAAAA gfde

resistncias trmicas de cada parede individual so :

0025,0

2,040

02,0 0003,0

1.

100

03,0

2

WKRWK

mKm

W

mR ba

002,02,050

02,0 003333,0

6,010

02,0WKRWKR dc

004,05,040

08,0 001,0

130

03,0WKRWKR fe

008,0

5,020

08,0WKRg

Para os circuitos paralelos:

WKRRRRR

bcd

dcbbcd

000833,01200002,0

1

003333,0

1

0025,0

11111

WKRRRR

fg

gffg

002667,090008,0

1

004,0

1111

Para os circuitos em srie:

WKRRRRR fgebcdat 0048,0002667,0001,0000833,00003,0

Portanto,

WWK

K

R

Tq

t

total 1875000048,0

1001000

1.2.6. CONDUO DE CALOR ATRAVS DE CONFIGURAES CILNDRICAS

Consideremos um cilindro vazado submetido uma diferena de temperatura entre a superfcie interna e a

superfcie externa, como pode ser visto na figura 1.11.

15

[ figura 1.11 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede cilndrica poder ser obtido atravs da equao de Fourier, ou seja :

. .q k AdT

dr

dT

dr onde o gradiente de temperatura na direo radial

Para configuraes cilndricas a rea uma funo do raio :

LrA ...2

Substituindo na equao de Fourier, obtemos :

dr

dTLrkq ....2.

.

Fazendo a separao de variveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a:

2

1

2

1

....2.. T

T

r

rdTLk

r

drq

1212.

...2.lnln. TTLkrrq Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos :

211

2.

...2.ln. TTLkr

rq

O fluxo de calor atravs de uma parede cilndrica ser ento :

21

1

2

.

ln

..2.TT

r

r

Lkq

( eq. 1.15 )

O conceito de resistncia trmica tambm pode ser aplicado parede cilndrica. Devido analogia com a

eletricidade, um fluxo de calor na parede cilndrica tambm pode ser representado como :

onde, TR

Tq

o potencial trmico e R a resistncia trmica da parede cilndrica

Ento para a parede cilndrica, obtemos:

R

TT

r

r

Lkq

.

ln

..2.

1

2

Lk

rr

R..2.

ln1

2

( eq. 1.16 )

Para o caso geral em que temos uma associao de paredes n cilndricas associadas em paralelo, por analogia

com paredes planas, o fluxo de calor dado por:

n

n

i

it

t

total RRRRRR

Tq

211

onde, ( eq. 1.17 )

16

Exerccio R.1.2.6. Um duto industrial tem a configurao de paredes cilndricas conforme esquema simplificado

da figura abaixo. Sendo fornecidos os dados abaixo, calcular o fluxo de calor transferido por metro de

comprimento do tubo.

Considerando um comprimento do duto de um metro ( L = 1 m ), temos:

W

K 0,00762..222

09,0

10,0ln

..2.

1

2ln

LLAk

r

r

AR

WK

LLBk

r

r

BR 56897,0..2051,0

10,0

12,0ln

..2.

2

3ln

W

K

LCk

r

r

CR 0601,01..2212,0

12,0

13,0ln

..2.

3

4ln

W

CRBRAR

TT

tR

totalTq 79,285

0609,056897,000762,0

3021041

1.2.7. CONDUO DE CALOR ATRAVS DE UMA CONFIGURAO ESFRICA

Consideremos uma esfera oca submetida uma diferena de temperatura entre a superfcie interna e a superfcie

externa, como pode ser visto na figura 3.12.

[ figura 1.12 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede esfrica poder ser obtido atravs da equao de Fourier, ou seja :

. .q k AdT

dr

dT

dr onde o gradiente de temperatura na direo radial

Para configuraes cilndricas a rea uma funo do raio: 2..4 rA

Substituindo na equao de Fourier, obtemos:

dr

dTrkq ...4. 2

.

Fazendo a separao de variveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a :

2

1

2

1

...4..2. T

T

r

rdTkdrrq

TrT

T

r

r

kq2

1

2

1

..4..1.

1221

.

..4.11

. TTkrr

q

21

21

.

..4.11

. TTkrr

q

O fluxo de calor atravs de uma parede esfrica ser ento :

) torevestimen do externa superf. (302

) tubodo interna superf. (2101

nto)(revestime.212,0

(isolante).051,0

metlico)(tubo.0,22

13,0130412,01203

10,0100209,0901

Co

T

Co

T

KmWCk

KmWBk

KmWAk

mmmrmmmr

mmmrmmmr

17

21

21

.11

.4.TT

rr

kq

( eq. 1.18 )

O conceito de resistncia trmica tambm pode ser aplicado parede esfrica:

parede da trmicaaresistnci a e trmico;potencial o onde, RTR

Tq

Ento para a parede esfrica, obtemos :

R

TT

rr

kq

.11

..4

21

.4.

11

21

k

rrR

( eq. 1.19 )

Para o caso geral em que temos uma associao de paredes n esfricas associadas em serie, por analogia com

paredes planas, o fluxo de calor dado por :

n

n

i

it

t

total RRRRRR

Tq

211

onde, ( eq. 1.20 )

Exerccio R.1.2.7. Um tanque de ao ( k = 40 Kcal/h.m.oC ), de formato esfrico e raio interno de 0,5 m e

espessura de 5 mm, isolado com 1" de l de rocha ( k = 0,04 Kcal/h.m.oC ). A temperatura da face interna do

tanque 220 oC e a da face externa do isolante 30

oC. Aps alguns anos de utilizao, a l de rocha foi

substituda por outro isolante, tambm de 1" de espessura, tendo sido notado ento um aumento de 10% no

calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condies ). Determinar:

a) fluxo de calor pelo tanque isolado com l de rocha;

b) o coeficiente de condutividade trmica do novo isolante;

c) qual deveria ser a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era

trocado com a l de rocha.

a) KcalChk

rr

k

rrR ot .2764,0276364,0000039,0

404,0

5431,0

1

505,0

1

440

505,0

1

5,0

1

4.

11

4.

11

2

32

1

21

hKcal

R

Tq

t

total 41,6872764,0

30220

b) Levando em conta a elevao do fluxo de calor :

, , , , q q Kcal h1 1 1 1 687 41 756 15

4

5431,0

1

505,0

1

000039,0

30220

4.

11

4.

1115,756

32

1

21

31

isoisokk

rr

k

rr

TTq k Kcal h m Ciso

o 0 044, . .

c) Para manter o fluxo de calor deve ser usada uma maior espessura isolante:

r m

r m

r x m

k Kcal h m C k Kcal h m C

T C T C

o o

o o

1

2

3

1 2

1 3

0 5

0 5 0 005 0 505

0 505 1 5 0 0254 0 5431

40 0 04

220 30

= ,

= , + , = ,

= , + , , = ,

= / . . = , / . .

18

mr

r

k

rr

TTq

iso

5472,0

4044,0

1

505,0

1

30220

4.

1141,687 3

332

32

e r r m cm 3 2 0 5472 0 505 0 0422 4 22, , , , e cm 4 22 1 66, ,

Exerccio R.1.2.8. Um tubo de ao ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem dimetro externo de 3, espessura de 0,2, 150 m

de comprimento e transporta amnia a -20 oC ( conveco na pelcula interna desprezvel ). Para isolamento do

tubo existem duas opes : isolamento de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3 de espessura ou isolamento de

isopor ( k = 0,24 kcal/h.m.oC ) de 2 de espessura. Por razes de ordem tcnica o mximo fluxo de calor no pode

ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento 40 oC, pede-se :

a) As resistncias trmicas dos dois isolamentos;

b) Calcule o fluxo de calor para cada opo de isolante e diga qual isolamento deve ser usado;

c) Para o que no deve ser usado, calcule qual deveria ser a espessura mnima para atender o limite.

a) clculo das resistncias dos isolamentos:

KcalChLk

rr

R o

e

e

b .00897,0150213,0

0381,0

1143,0ln

..2.

ln

2

KcalChR oi .00375,0150224,0

0381,0

0889,0ln

b) O clculo dos fluxos de calor indica que o isolante de borracha atende a exigncia tcnica:

150235

03302,0

0381,0ln

00897,0

2040

ab

ie

bRR

TTq hKcalqb 7,6685

0000043,000375,0

2040

ai

iei

RR

TTq ,7q Kcal h

e15981

c) clculo da espessura

0000043,0150224,0

0381,0ln

2040

iai

ieexig

rRR

TTq

0381,093784,1

0381,0ln 93784,1 ii

re

r

EXERCCIOS PROPOSTOS:

Exerccio P.1.2.1. Em uma indstria farmacutica, pretende-se dimensionar uma estufa. Ela ter a forma cbica

de 1 m de lado e ser construda de ao (k = 40 kcal/h.m. oC), com 10 mm de espessura, isolada com l de vidro

(k= 0,08 kcal/h.m. oC) e revestida com plstico (k= 0,2 kcal/h.m.

oC) de 10 mm de espessura. O calor ser

inteiramente gerado por resistncias eltricas de 100 , pelas quais passar uma corrente de 10 A (P = R . i2 ).

mrr

mrr

mr

mr

mLCmhKcalk

CTCmhKcalk

CTCmhKcalk

i

e

o

i

o

i

o

b

o

e

o

a

0889,05,325,1

1143,05,435,1

03302,03,12,05,1

0381,00254,05,15,1

150..24,0

20..13,0

40..35

3

.3

1

2

0000043,019,226

0381,0ln

607000

ir

9,85,14,104,10265,0 emri

19

No pode ser permitida uma perda de calor superior a 10 % do calor gerado. Sabendo-se que as temperatura nas

faces das paredes, interna e externa, so respectivamente 300 oC e 20

oC, pede-se :

a) a resistncia trmica exigida na parede da estufa;

b) a espessura da l de vidro. DADO : 1 W = 0,86 Kcal/h

Respostas : 0,326 h.oC/Kcal ; 152,1 mm

Exerccio P.1.2.2. Um tubo de ao ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem dimetro externo de 3, espessura de 0,2, 150 m

de comprimento e transporta amnia a -20 oC ( conveco desprezvel ). Para isolamento do tubo existem duas

opes : isolamento de espuma de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3 de espessura e isolamento de isopor ( k

= 0,24 kcal/h.m.oC ) de 2 de espessura. Por razes de ordem tcnica o mximo fluxo de calor no pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento 40

oC, pede-se :

a) As resistncias trmicas dos isolantes;

b) Calcule o fluxo de calor para cada opo e diga qual isolamento deve ser usado;

c) Para o que no servir, calcule qual deveria ser a espessura mnima para atender o limite de fluxo de calor.

Respostas : 0,00897 h.oC/Kcal e 0,00375 h.oC/Kcal ; 6685,7 Kcal/h 15981,7 Kcal/h ; 8,9

Exerccio P.1.2.3. Um forno de 6 m de comprimento, 5m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituda de

3 camadas. A camada interna de 0,4 m de tijolos refratrios ( k=1,0 kcal/h.m.oC ). A camada intermediria de

0,30 m tem a metade inferior de tijolos especiais ( k=0,20 kcal/h.moC ) e a metade superior de tijolos comuns (

k=0,40 kcal/h.m.oC). A camada externa de 0,05m de ao ( k=30 kcal/hm oC). Sabendo-se que a superfcie

interna est a 1700 oC e a superfcie externa est a 60

oC . Pede-se:

a) o fluxo de calor pela parede

b) considerando que aps, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 % devido ao desgaste da camada de

refratrios. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno.

Respostas: 77222 Kcal/h ; 12,7 cm

Exerccio P.1.2.4. Um reservatrio metlico ( k = 52 W/m.K ), de formato esfrico, tem dimetro interno 1,0 m ,

espessura de 5 mm, e isolado com 20 mm de fibra de vidro ( k = 0,034 W/m.K ). A temperatura da face interna

do reservatrio 200 oC e a da face externa do isolante 30

oC. Aps alguns anos de utilizao, a fibra de vidro

foi substituda por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Aps a troca do isolamento,

notou-se uma elevao de 15% na transferncia de calor, bem como uma elevao de 2,5 oC na temperatura da

face externa do isolante. Determinar:

a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento;

b) o coeficiente de condutividade trmica do novo isolante;

c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condies de temperatura externa e fluxo

voltassem a ser as mesmas de antes.

Respostas: 964 W ; 0,0397 W/m.K ; 23,5 mm

Exerccio P.1.2.5. Uma longa camada isolante de 9 mm de espessura utilizada como isolante trmico de um

equipamento. A camada isolante composta de borracha e possui um grande nmero de vazios internos de seo

quadrada e preenchidos com ar parado, conforme mostra o esquema na figura abaixo. A condutividade trmica da

borracha 0,097 W/m.K e a condutividade trmica do ar parado 0,022 W/m.K. Considerando que a temperatura

da face quente da camada 120 C e a da face fria 45 C, determine:

a) a fluxo de calor transferido por unidade de rea da camada isolante;

b) a percentagem de variao do fluxo de calor caso a camada isolante seja substituda por outra de borracha

macia de mesma espessura.

3 mm

3 mm

3 mm

Ar parado 3 mm

Borracha 3 mm

Respostas : 667,96 W ; +21%

20

1.3. CONVECO

1.3.1. LEI BSICA

O calor transferido por conveco, na unidade de tempo, entre uma superfcie e um fluido, pode ser calculado

atravs da relao proposta por Isaac Newton :

TAhq .. onde, ( eq. 1.21 )

.

q = fluxo de calor transferido por conveco ( kcal/h);

A = rea de transferncia de calor (m2);

T = diferena de temperatura entre a superfcie (Ts) e a do fluido em um local longe da superfcie (T ) (oC);

h = coeficiente de transferncia de calor por conveco ou coeficiente de pelcula.

A figura 1.13 ilustra o perfil de temperatura para o caso de um fluido escoando sobre uma superfcie aquecida.

[ figura 1.13 ]

A simplicidade da equao de Newton ilusria, pois ela no explcita as dificuldades envolvidas no estudo da

conveco. O coeficiente de pelcula , na realidade, uma funo complexa do escoamento do fluido, das

propriedades fsicas do meio fluido e da geometria do sistema. A partir da equao 1.21, podem ser obtidas as

unidades do coeficiente de pelcula. No sistema mtrico, temos:

Cmh

Kcal

TA

qh

o2

(eq. 1.22 )

Analogamente, nos sistemas Ingls e Internacional, temos:

K.m

WonalIinternaci Sistema

2

1.3.2. CAMADA LIMITE

Quando um fluido escoa ao longo de uma superfcie, seja o escoamento em regime laminar ou turbulento, as

partculas na vizinhana da superfcie so desaceleradas em virtude das foras viscosas. A poro de fluido

contida na regio de variao substancial de velocidade, ilustrada na figura 1.14, denominada de camada

limite hidrodinmica.

[ figura 1.14 ]

Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfcie quando existe uma diferena de

temperatura entre o fluido e a superfcie. Neste caso, O fluido contido na regio de variao substancial de

temperatura chamado de camada limite trmica. Por exemplo, analisemos a transferncia de calor para o caso

de um fluido escoando sobre uma superfcie aquecida, como mostra a figura 1.15. Para que ocorra a transferncia

de calor por conveco atravs do fluido necessrio um gradiente de temperatura ( camada limite trmica ) em

uma regio de baixa velocidade ( camada limite hidrodinmica ).

21

[ figura 1.15 ]

O mecanismo da conveco pode ento ser entendido como a ao combinada de conduo de calor na regio de

baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na regio de alta velocidade.

Portanto:

Regio de baixa velocidade a conduo mais importante Regio de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio mais importante

1.3.3. DETERMINAO DO COEFICIENTE DE PELCULA (h)

Como visto anteriormente, o coeficiente h uma funo complexa de uma srie de variveis relacionadas com as

seguintes caractersticas. Logo, h uma funo do tipo:

TgVkcDfh p ,,,,,,,, onde, ( eq. 1.23 ) D: a dimenso que domina o fenmeno da conveco. Ex: dimetro de um tubo, altura de uma placa, etc

: viscosidade dinmica do fluido; : densidade do fluido; cp : calor especfico do fluido; k : condutividade trmica do fluido;

: coeficiente de expanso volumtrica V : velocidade do fluido; g : acelerao da gravidade; T : diferena de temperatura entre a superfcie e o fluido

Uma frmula que levasse em conta todos estes parmetros seria extremamente complexa. O problema , ento,

contornado dividindo-se o estudo em casos particulares. Para cada caso so obtidas equaes empricas atravs da

tcnica de anlise dimensional combinada com experincias, onde os coeficientes de pelcula so calculados a

partir de equaes empricas obtidas correlacionando-se os dados experimentais com o auxlio da anlise

dimensional. Os resultados so obtidos na forma de equaes dimensionais conforme o regime de escoamento:

Para Conveco Forada a equao do tipo:

k

pcVDnolds

k

DhNusseltNu

Nu

.PrandtPr

..ReyRe;

.,onde

PrRe,

( eq. 1.24 )

Para Conveco Natural a equao do tipo:

2

3 ...Pr,

TgDGrashofGronde, GrNu

( eq. 1.25 )

Exerccio R.1.3.1. Em uma placa plana de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura, eletricamente aquecida, a mxima temperatura permissvel no centro da placa 135 C. Para este caso especfico o nmero de

Grashof 2,2 x 107 e o nmero de Prandt 0,7. Sabendo que a equao emprica, obtida com o auxlio da anlise

dimensional, que descreve a conveco natural ( regime laminar ) em uma placa plana dada pela equao

abaixo:

placadaocomprimentLk

Lh=Nu onde,Gr0,555 =Nu 4

1

:.

Pr 41

Calcular o fluxo de calor por transferido por conveco, por ambos lados da placa, para o ar atmosfrico a 25 C (

kar = 0,026 Kcal/h.m.C ).

22

A dimenso caracterstica ( L ) comprimento da placa : L =0,15 m

O de coeficiente de pelcula do ar em volta da placa calculado a partir da equao dimensional

Nu = = 0,555 Gr1

4h L

kar

.Pr

14

CmhKcalhh o..03,67,0102,20,555= 026,0

15,0 24141

7

O fluxo de calor por conveco obtido pela equao de Newton ( equao 1.21 ) :

2513515,010,0203,6.. TAhq ,q Kcal h19 86

Exerccio R.1.3.2. Em uma instalao industrial, ar quente a 300 C flui sobre uma placa fina metlica plana, com velocidade de 36 km/h. Como a placa contm alguns sensores, a mesma deve ser mantida a uma temperatura

de 27 C. Para isto, utiliza-se um sistema de refrigerao composto por tubos sob a placa, por onde circula gua

de refrigerao. Considerando que a placa quadrada, com 1,5 m de lado, determine o fluxo de calor a ser

extrado pelo sistema de refrigerao para manter a placa na temperatura de 27 C.

Dados/Informaes Adicionais para o Exerccio:

- Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiao e da conduo.

- Para fluxo laminar ( Re < 500000 ) seguinte correlao adimensional apropriada:

31

21

Pr.Re.664,0 LNu

- Para fluxo turbulento ( Re > 500000 ) seguinte correlao adimensional apropriada:

31

54 Pr.Re.0296,0Nu , onde:

- Nmero de Nulsselt: k

L.hNuL

onde: h : coeficiente de pelcula ( W/m2.K )

L : largura da placa ( m )

k : condutividade trmica do ar ( W/m.K )

- Nmero de Reynolds:

L.vReL

onde: v : velocidade do fluxo de ar ( m/s )

: viscosidade cinemtica do ar ( m2/s ) - Nmero de Prandt: Pr ( funo da temperatura da pelcula )

- As propriedades do ar e o nmero de Prandt so tabelados em funo temperatura da pelcula. Calculando a

temperatura da pelcula ( mdia entre a superfcie o fluxo de ar ), obtemos os dados em uma tabela de

propriedades do ar :

CTT

T Sf

5.1632

30027

2 - condutividade trmica do ar: k = 0,0364 W/m.K

- viscosidade cinemtica do ar: = 3,13 x 10-5 m2/s - Nmero de Prandt: Pr = 0,687

23

v = 36 km/h = 10 m/s

L= 1,5 m

= 3,13E-05 m2/s k= 3,64E-02 W/m.K

Tar= 300 C

Tchapa= 27 C

Pr= 0,687

Clculo do nmero de Reynolds:

0047852210133

51105

,,

,L.vRe

Portanto, a equao escolhida :

31

21

Pr.Re.664,0 LNu

31

21

687,0.478522.664,0Nu

29,405Nu

Com o nmero de Nulsselt, calculamos o coeficiente de pelcula

KmWL

kNuh

k

LhNu .84,9

5,1

0364,029,405. 2

O fluxo de calor transferido por conveco para a placa obtido pela equao de Newton e tambm o fluxo de

calor que tem que ser extrado pelo sistema de refrigerao :

TT.A.hq S

KmKmWq 27327273300)5,15,1(.84,9 22 Wq 2,6041

1.3.4. RESISTNCIA TRMICA NA CONVECO

Como visto anteriormente, a expresso para o fluxo de calor transferido por conveco :

TAhq ...

ou

Ah

Tq

.1

Um fluxo de calor tambm uma relao entre um potencial trmico e uma resistncia:

R

Tq

.

Igualando as equaes obtemos a expresso para a resistncia trmica na conveco :

AhR

.

1 ( eq. 1.26 )

1.3.5. MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERNCIA DE CALOR (CONDUO-CONVECO)

Consideremos uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes temperaturas. Um bom exemplo desta

situao o fluxo de calor gerado pela combusto dentro de um forno, que atravessa a parede por conduo e se

dissipa no ar atmosfrico.

Ar Quente

1,5

m

24

[ figura 1.16 ]

Utilizando a equao de Newton ( equao 1.21 ) e a equao para o fluxo de calor em uma parede plana (

equao 1.3 ), podemos obter as seguintes equaes para o fluxo de calor transferido pelo forno :

.. 211 TTAhq .

32 TTL

Akq .. 432 TTAhq

Colocando as diferenas de temperatura em evidncia e somando membro a membro, obtemos :

AhAk

L

AhqTTTTTT

Ah

qTT

Ak

LqTT

Ah

qTT

.

1

..

1.

.)(

.

.)(

.)(

21

433221

2

43

32

1

21

Substituindo as expresses para as resistncias trmicas conveco e conduo em parede plana na equao

acima, obtemos fluxo de calor transferido pelo forno :

tRtotalTq

RRR

TT

AhAk

L

Ah

TTq

321

41

.2

1

..1

141

( eq. 1.27 )

Portanto, tambm quando ocorre a ao combinada dos mecanismos de conduo e conveco, a analogia com a

eletricidade continua vlida; sendo que a resistncia total igual soma das resistncias que esto em srie, no

importando se por conveco ou conduo.

Exerccio R.1.3.3. A parede de um edifcio tem 30,5 cm de espessura e foi construda com um material de k =

1,31 W/m.K. Em dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas : temperatura do ar interior = 21,1 oC;

temperatura do ar exterior = -9,4 oC; temperatura da face interna da parede = 13,3 oC; temperatura da face

externa da parede = -6,9 oC. Calcular os coeficientes de pelcula interno e externo parede.

25

O fluxo de calor pode ser obtido considerando a conduo atravs da parede :

131,1

305,0

9,63,13

.

32

2

.

Ak

L

TT

R

Tq , /q W p m 86 76

2

Considerando agora a conveco na pelcula externa :

qT T

R

T T

h A hi

.

.

,, ,

1 2

1

1 2

1

186 76

21 1 13 3

1

1

h W m ki 11 122, .

Agora, na pelcula externa :

1

1

4,99,676,86

eh

h W m Ke 34 722, .

Exerccio R.1.3.4. Um reator de paredes planas foi construdo em ao inox e tem formato cbico com 2 m de

lado. A temperatura no interior do reator 600 oC e o coeficiente de pelcula interno 45 kcal/h.m2.oC. Tendo

em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com l de rocha ( k= 0,05 kcal/h.m.oC) de modo a reduzir a

transferncia de calor. Considerando desprezvel a resistncia trmica da parede de ao inox e que o ar ambiente

est a 20oC com coeficiente de pelcula 5 kcal/h.m2.oC, calcular :

a) O fluxo de calor antes da aplicao da isolamento;

b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento na face externa deve ser

igual a 62 oC;

c) A reduo ( em % ) do fluxo de calor aps a aplicao do isolamento.

a) Desprezando a resistncia do inox e a variao da rea devido espessura do isolante, o fluxo antes do

isolamento dado por :

24.5

1

24.45

1

20600

.

1

.

1

AhAh

TT

Rq

ari

ari

t

total ,q Kcal h 62640 4

b) Aps o isolamento o fluxo pode ser calculado na camada limite externa :

. .

qT T

h A

Kcal hs ar

ar

A espessura do isolamento calculada levando em conta as resistncias da pelcula interna e do isolante :

. . . , .

qT T

h A

L

k A

Li s

i iso

1

5040600 62

1

45 24 0 05 24

L m cm 0 1273 12 73, ,

CTCTCT

mACmhKcalk

CmhKcalhCmhKcalh

o

s

o

ar

o

i

o

iso

o

i

o

ar

62 20 600

24226 ..05,0

..45 ..5

2

22

CT

mLCT

mACT

KmWkCT

04

03

202

01

4,9

305,09,6

13,13

.31,11,21

26

c) %,

Reduo

q q

q100

62640 4 5040

62640100 % , %Reduo 91 95

Exerccio R.1.3.5. Um tanque de formato cbico utilizado para armazenar um produto qumico a 210 oC, com

coeficiente de pelcula de 80 W/m2.K. A parede do tanque constituda de uma camada interna base de carbono

( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediria de refratrio ( k = 0,212 W/m.K ) e um

invlucro de ao ( k = 60 W/m.K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurana dos trabalhadores, a

temperatura da superfcie externa do ao no deve ser maior que 60 C. Considerando que a temperatura

ambiente 30 C, com coeficiente de pelcula externo de 20 W/m2.K, determine:

a) a espessura mnima do refratrio para atender a condio de segurana; b) a temperatura da superfcie externa do ao se a camada de refratrio for substituda por uma de isolante ( k =

0,0289 W/m.K) de mesma espessura.

a) Para uma rea unitria de parede ( A = 1 m2 ), o fluxo de calor poder ser calculado na pelcula externa :

265 600

120

1

3060

.

1mpW

Ah

TTq

De posse do fluxo, e considerando as resistncias trmicas entre 210 e 60 C, podemos fazer :

. . . .

,

,

,q

T T

h A

L

k A

L

k A

L

k A

L

i

1 5

1

1

2

2

3

3

21600

210 60

1

80 1

0 04

22 1 0 212 1

0 01

60 1

L m mm2 0 05 50 , b) O novo fluxo de calor, menor devido ao uso do isolante de baixa condutividade ( k = 0,0289 W/m.K ), obtido

considerando as duas nicas temperaturas que no variam :

. . . . .

, ,

,

,

qT T

h A

L

k A

L

k A

L

k A h Ai e

1 6

1

1

2

2

3

3

1 1

210 30

1

80 1

0 04

22 1

0 05

0 0289 1

0 01

60 1

1

20 1

,3q W p m100 2

Novamente, na pelcula externa, podemos obter a temperatura da superfcie do ao :

.

,

qT T

h A

T

e

5 6 5

1100 3

30

1

20 1

T Co5 35

Exerccio R.1.3.6. Uma corrente eltrica de 250 A flui atravs de um cabo de ao inox de 12 mm de dimetro e

com uma resistncia eltrica de 0,00095 /m ( resistncia por metro de cabo ). O cabo vai ser usado em um ambiente cuja temperatura e 25 C e o coeficiente de pelcula 45 W/m

2.K.

a) Se o cabo for utilizado sem revestimento, determine a temperatura de sua superfcie.

b) Se o cabo for revestido, conforme a figura abaixo, com uma camada de plstico de condutividade 0,070

W/m.K e espessura e igual a 2 mm, qual ser a nova temperatura da superfcie do cabo.

CTCTCT

KmWh

KmWh

KmWk

KmWkKmWk

KmWk

mmmL

mmmL

ooo

e

i

3060210

.20

.80

.60

.0289,0.212,0

.22

01,010

04,040

651

2

2

3

22

1

3

1

T1 K3 K2

L3 L2 L1

K1 T3

T2

T5 T6 T4

27

mmmerrmmemmmr 008,07262006,062

12121

KmWhKCT ooar .45298252

AiRmLp 25000095,01/

a) A potencia gerada por cada metro de cabo :

WiRP 3761,5925000095,0. 22 Como a potencia gerada no cabo dissipada na forma de calor transferido para o ambiente, no caso do cabo sem

revestimento temos apenas a resistncia da conveco.

WK

LrhAhRConv /5895,0

1006,0245

1

...2.

1

.

1

1

Como o calor dissipado conhecido, temos:

CKTT

R

TTq oCabo

Cabo

Conv

arCabo 603335895,0

2983761,59

b) Quando o cabo revestido temos a resistncia adicional da conduo no plstico. A resistncia da conveco

tambm alterada porque a rea de conveco aumenta ( raio r2 > r1 ). Devido a este aumento de rea, a

resistncia da conveco diminui um pouco, mas a resistncia adicional do plstico deve ser computada.

WK

LrhAhRConv /4421,0

1008,0245

1

...2.

1

.

1

2

WKLk

r

r

RPlast /6541,01..2.07,0

006,0

008,0ln

..2.

ln11

2

O calor dissipado o mesmo, mas como as resistncias mudaram, temos uma nova temperatura na superfcie do

cabo:

CKTT

RR

TTq oCabo

Cabo

PlastConv

arCabo 1,901,3636541,04421,0

2983761,59

Exerccio R.1.3.7. Um recipiente esfrico usado para armazenar nitrognio lquido a 77 K (ponto de ebulio).

O recipiente tem 0,5m de dimetro interno e isolado com uma camada de p de slica (k = 0,0017 W/m.K). A

isolao tem 25 mm de espessura e sua superfcie externa est exposta ao ar a 300 K. O coeficiente de pelcula

externo 20 W/m2.K. O calor latente de vaporizao e a densidade do nitrognio so 2x105 J/Kg e 804 Kg/m3,

respectivamente. Desprezando as resistncias trmicas da pelcula interna e das paredes metlicas do recipiente,

calcular :

a) Fluxo de calor transferido para o nitrognio

r1

r2

e

28

b) Taxa de evaporao do nitrognio em litros/dia (existe um respiro para a sada dos gases)

a) O fluxo de calor transferido pode ser calculado assim :

: temos,00 : oDesprezand2

2

2.

convN

condao

convN

condao

condSi

convar

Nar

t

total

ReR

RRRR

TT

R

Tq

4

11

4

1 212

2

.22

Siar

Nar

condSi

convar

Nar

k

rr

rh

TT

RR

TTq q W

.

13 06,

b) A energia recebida pelo N2 , utilizada na evaporao, o produto da massa pelo calor latente de vaporizao

vHmQ . . Conhecendo a taxa de transferncia de energia (calor), podemos obter a taxa de evaporao :

sKgKgJ

sJ

H

qmHmq

v

v

5

5

....

1053,6102

06,13.

mKg

s

s

h

h

diaKg dia

.

, , 6 53 10 3600 24 5 645

diammKg

diaKgmV 3

3

..

007,0804

64,5

V litros dia

.

/ 7

Exerccio R.1.3.8. Um chip de silcio de formato quadrado, com 2 cm de lado, esta engastado em substrato de tal

forma que a face inferior e os lados esto termicamente isolados, enquanto que a face superior esta exposta a um

fluxo de ar a 25 C, proveniente de uma ventoinha de alta velocidade, modo que o coeficiente de pelcula e 250

W/m2.K. Considerando que, nestas condies, a temperatura de trabalho do chip e 65C, calcule:

a) o fluxo de calor transferido para o ar.

b) considerando que a resistncia eltrica dos circuitos internos do chip seja de 0,85 , determine a corrente eltrica necessria no chip.

c) a temperatura do chip caso o mesmo continue dissipando a mesma potencia e a ventoinha seja substituda por

outra da baixa velocidade, de modo que o coeficiente de pelcula seja reduzido para 100 W/m2.k.

a) O fluxo de calor transferido por conveco para o pode ser obtido assim:

archipchip TTAhq As temperaturas e o coeficiente de pelcula so dados. A rea pode ser calculada:

mr

mr

mKg

KgJH

KmWk

KTKT

N

v

si

arN

275,0025,025,0

25,0

804

102

.0017,0

30077

2

1

3

5

2

2

2

Chip

L Ar

29

0004,002,002,0

.250

2982533865

2

xA

KmWh

KCTKCT

chip

oar

ochip

Portanto, o fluxo de calor pode ser calculado:

Wq 42983380004,0250 b) A corrente eltrica pode ser calculada assim:

AiiiRP 17,285,04 22

c) Aps a troca da ventoinha, como o coeficiente de pelcula diminui, o chip ter sua temperatura elevada de

modo a continuar a dissipar a mesma potencia: KmWh .100 2

0004,0100

4298

chip

archiparchipchipAh

qTTTTAhq

CKT ochip 125398

Exerccio R.1.3.9. Em uma regio fria, uma casa possui um tipo de janelas "termo-isolante". Estas janelas

medem 3 m x 2 m e consistem de duas lminas de vidro ( k = 0,9 W/m.K ), cada uma com 5 mm de espessura,

separadas por uma camada de ar parado ( k = 0,024 W/m.K), tambm de 5 mm de espessura. No interior da casa

a temperatura do ar 25 C e o coeficiente de pelcula 12 W/m2.K, enquanto que externamente a temperatura

do ar -2 C e o coeficiente de pelcula 22 W/m2.K. Determine:

a) o fluxo de calor perdido atravs de cada janela "termo-isolante";

b) o fluxo de calor perdido atravs de cada janela se as termo-isolantes forem substitudas por janelas comuns de vidro com 5 mm de espessura;

c) considerando o preo da energia eltrica a R$0,05/KWh, determine o gasto adicional para a utilizao de

janelas comuns ao invs das termo-isolantes, considerando que a casa tem 10 janelas.

2

arvid

2ext

2intextint

623 janela da rea

.024,0.9,0005,05005,05

.22.12271229825

mmmA

KmWhKmWkmmmLmmmL

KmWhKmWhKCTKCT

arvid

oo

a) No clculo das perdas pela janela, devem ser consideradas 5 resistncias. Para a camada de ar parado entre os

vidros a conveco e desprezvel, portanto consideraremos somente a conduo:

conve

condv

condar

condv

convit RRRRR

TT

R

Tq

extint

622

1

69,0

005,0

6024,0

005,0

69,0

005,0

612

1

271298

.

1

....

1

extint

extint

AhAk

L

Ak

L

Ak

L

Ah

TTq

viv

vid

ar

ar

viv

vid

Wq 2,465

vidro

pelcula de ar descendente

vidro

pelcula de ar ascendente

ar parado

Tint = 25 C Text = -2 C

Janela termo-isolante

30

b) Ao substituir a janela "termo-isolante" por uma janela comum de vidro, com 5 mm de espessura, passamos a

ter trs resistncias :

conve

condvid

convit RRR

TT

R

Tq

extint

622

1

69,0

005,0

612

1

271298

.

1

..

1

extint

extint

AhAk

L

Ah

TTq

viv

vid

Wq 9,1205

c) O aumento da perda de calor quando se usam janelas comuns:

Wq 6,740610)2,4659,1205(

Em um ms a energia total consumida em kWh

mes

Wh

mes

dia

dia

hWtQ

t

Q5,332737530246,7406

Dado o preo de R$ 0,05 para cada 1000 Wh, temos:

64,266$1000

05,0$5,3327375 RGasto

Wh

R

mes

WhGasto

Exerccio R.1.3.10. Um cabo eltrico de 10 mm de dimetro tem resistncia eltrica por unidade de comprimento

de 0,001 /m. e revestido por uma camada de material plstico de 1 mm de espessura e condutividade trmica 0,20 W/m.K. O cabo vai ser utilizado em uma ambiente cujo ar est na temperatura de 27 C, com coeficiente de

pelcula de 10 W/m2.K. Se o plstico usado suporta no mximo 177 C sem se derreter, determine a mxima

corrente eltrica que pode passar pelo cabo.

Clculo do calor transferido na temperatura mxima ( 177 C )

mW

LrhLk

rr

TT

RR

TTq ar

arp

ar 62.53

)1.006,0..2.(10

1

1..2.20,0

)005,0006.0ln(

27177

)...2.(

1

..2.

)ln(

2

12

maxmax

Determinao da corrente mxima

AiiiRP 6,231.001,062,53. 22

Exerccio R.1.3.11. Considere uma geladeira de dimenses so 1,8 m x 1,2 m x 0,8m. As paredes da geladeira

tem de 3 cm de espessura e so compostas de trs camadas em srie: 2 mm de ao (k = 40 W/m.K) do lado

externo, uma camada intermediria de 19 mm de material isolante (k = 0,075 W/m.K) e 9 mm de plstico (k =

5,03 W/m.K) do lado interno. Verificou-se que, em mdia, o motor da geladeira se mantm ligado durante 20

min. a cada hora (1/3 do tempo). Se a temperatura mdia no interior da geladeira de 5C, com coeficiente de

pelcula 11 W/m2.K e no exterior da geladeira 25C, com coeficiente de pelcula 16 W/m

2.K, determine:

a) o fluxo de calor transferido para o interior da geladeira (ou removido do interior da geladeira);

b) o custo mensal de funcionamento da geladeira para uma relao COP (fluxo de calor removido do interior da

geladeira/potncia consumida em funcionamento) de 1,5. Considere o custo unitrio da eletricidade igual a R$

0,28/kWh.

r1

r2

q . r1 = 5 mm = 0,005 m

r2 = 5 mm + 1 mm = 6 mm = 0,006 m

k = 0,20 W/m.K

h = 10 W/m2.K

L = 1m R = 0,001

31

2

plastisoao

2ext

2intextint

12,92)8,02,1(2)8,08,1(2)2,18,1( geladeira da rea

.03,5.075,0.40

009,09019,019002,02

.16.11255

mA

KmWkKmWkKmWk

mmmLmmmLmmmL

KmWhKmWhCTCT

plastisoao

oo

a) No clculo do fluxo transferido para o interior da geladeira, devem ser consideradas 5 resistncias:

conve

condplast

condiso

condao

convit RRRRR

TT

R

Tq

intext

12,916

1

12,903,5

009,0

12,9075,0

019,0

12,940

002,0

12,911

1

525

.

1

....

1

extint

intext

AhAk

L

Ak

L

Ak

L

Ah

TTq

plast

plast

iso

iso

ao

ao

Wq 445

b) O fluxo de calor a ser removido igual ao fluxo de calor transferido para o interior da geladeira e a relao

COP (coeficiente de performance) definida como a relao entre fluxo de calor removido do interior da

geladeira pela potncia consumida pelo sistema de refrigerao em funcionamento e potncia a relao entre

energia consumida e o tempo. Para COP igual 1,5, temos:

kWWq

COP 298,0298445

5,1

Para um ms de 30 dias, como a geladeira funciona 1/3 do tempo, obtemos um perodo de 10 dias:

horasdiast 24010 kWhtEt

E43,71240298,0.

Para um custo unitrio da eletricidade igual a R$ 0,28/kWh.

00,20$/28,0$43,71 RCustokWhRkWhCusto

EXERCCIOS PROPOSTOS:

Exerccio P.1.3.1. Uma parede de um forno constituda de duas camadas : 0,20 m de tijolo refratrio (k =1,2

kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura dos gases dentro do forno 1700 oC

e o coeficiente de pelcula na parede interna 58 kcal/h.m2.oC. A temperatura ambiente 27 oC e o coeficiente

de pelcula na parede externa 12,5 kcal/h m2 oC. Calcular :

a) o fluxo de calor por m2 de parede;

c) a temperatura nas superfcies interna e externa da parede. Respostas : 1480,6 Kcal/h (p/m

2 ) ; 145

oC

Exerccio P.1.3.2. Um forno retangular de uma fbrica de cermica est isolado com duas camadas, sendo a

primeira , que est em contato com a carga do forno, de refratrio especial ( k= 0,6 kcal/h.m.oC ) e a outra de um

bom isolante ( k= 0,09 kcal/h.m.oC ). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno 900 oC e que a

32

temperatura do ar ambiente 20 oC ( h = 20 kcal/hm oC). O fluxo de calor atravs da parede do forno, de 40 cm

de espessura, igual a 800 kcal/h m . Pede-se :

a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno

b) A temperatura da interface das camadas

c) Se for especificada uma temperatura mxima de 30 oC na parede externa do forno, qual a nova espessura

isolante necessria?

Respostas : 0,359 m e 0,0405 m ; 420 oC ; 0,337 m

Exerccio P.1.3.3. Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura agradvel tripulao

no inferior a 20 oC. O submarino pode ser idealizado como um cilindro de 10 m de dimetro e 70 m de

comprimento. O coeficiente de pelcula interno cerca de 12 kcal/h.m2.C, enquanto que, no exterior, estima-se

que varie entre 70 kcal/h.m2.C (submarino parado) e 600 kcal/h.m

2.C (velocidade mxima). A construo das

paredes do submarino do tipo sanduche com uma camada externa de 19 mm de ao inoxidvel ( k=14

Kcal/h.m.C ), uma camada de 25 mm de fibra de vidro ( k=0,034 Kcal/h.m.C ) e uma camada de 6 mm de

alumnio ( k=175 Kcal/h.m.C) no interior. Determine a potncia necessria ( em kW ) da unidade de

aquecimento requerida se a temperatura da gua do mar varia entre 7 C e 12 C. DADO : 1 KW = 860 Kcal/h

Resposta: 40,2 KW ; 50 mm ; 35 C

Exerccio P.1.3.4. Um reservatrio esfrico ( k = 1,65 kcal/h.m.

oC ) de dimetro externo 1,2 m e interno 1,1 m

aquecido internamente por resistncia eltrica de modo a manter a temperatura da superfcie externa a 90 oC.

Quando gua de chuva a 25 oC flui pelo lado externo do reservatrio, durante uma tempestade, a potncia

requerida na resistncia 140 KW. Quando ar atmosfrico a 25 oC flui pelo lado externo do reservatrio, durante

uma ventania, a potncia requerida 20 KW.

a) Calcular os coeficientes de pelcula para os fluxos de gua e ar.

b) Calcular a temperatura da superfcie interna do reservatrio em ambos casos.

DADO : 1 KW = 860 kcal/h

Resposta: 58,5 e 409,5 Kcal/h.m2.C ; 215,7C e 969,8 C

Exerccio P.1.3.5. Ar na presso de 6 kN/m

2 e temperatura de 300 C , flu com velocidade de 10 m/s sobre uma

placa plana de comprimento 0,5 m e 0,25 m de largura. Determine a taxa de transferncia de calor necessria

para manter a superfcie da placa na temperatura de 27 C. Dados:

- Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiao.

- Para fluxo laminar ( 5105Re ) seguinte correlao adimensional apropriada para este tipo de

escoamento:

31

21

Pr.Re.664,0 LNu , onde: placadaocomprimentLLv

ek

LhNu LL

.Re

.

- As propriedades estimadas do ar e o nmero de Prandt so:

68700364010215 24 ,PrK.m/W,ks/m,

Resposta: 142,65 W

Exerccio P.1.3.6. gua a 40 C flui sobre uma placa de alumnio de 10 mm de espessura. A placa

eletricamente aquecida do lado oposto ao da gua. A superfcie sob a gua esta a T = 59,8 C e a superfcie

oposta est a 60 C. Para as condies de regime permanente, determine o coeficiente de pelcula entre a gua e a

placa. A condutividade trmica do alumnio k = 204,1 W/m.K ( a 60 C )

Resposta: 206,1 W/m2.K

Exerccio P.1.3.7. Uma corrente eltrica de 700 A flui atravs de um cabo de ao inox de dimetro 15 mm e

resistncia eltrica de 6,01 x 10-4

por metro de comprimento do cabo. O cabo est instalado em um ambiente na temperatura de 30 C e com coeficiente de pelcula estimado para o local em 25 W/m

2.K.

a) Considerando inicialmente que o cabo de inox no revestido, determine a temperatura em sua superfcie.

b) Se uma camada de material plstico isolante de 1 mm de espessura e com condutividade trmica 0,0845

W/m.K utilizada como revestimento do cabo de inox, determine qual dever ser a temperatura na superfcie do

cabo.

Resposta: 280 C e 320 C

33

1.4. ALETAS

1.4.1. CONCEITO

Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferncia de calor consideremos um

exemplo prtico. Consideremos um sistema de aquecimento que utiliza gua quente que escoa por uma

tubulao. O fluxo de calor transferido para o ambiente pode ser obtido pela seguinte expresso:

1

.2.

ln

.

1 12321

eeii

eiei

AhLk

rr

Ah

TT

RRR

TTq

( eq. 1.28 )

Analisemos os meios de elevar a transferncia de calor atravs da reduo das resistncias trmicas

escoamento de e velocidadde aumento necessrio aumentar

dimenses de mudana necessrio aumentar

.

11

i

i

iih

A

AhR

parede da material do trocanecessrio aumentar

parede da espessura areduzir necessrio reduzir

..2.

ln

2

12

1

1

k

rr

Lk

rr

R

ALETAS DE COLOCAOou dimenses de mudana aumentar

escoamento de e velocidadde aumento necessrio aumentar

.

11

e

e

ii A

h

AhR

O aumento da superfcie externa de troca de calor pode ser feito atravs de expanses metlicas denominadas

aletas, como mostra a figura 1.16

[ figura 1.16 ]

1.4.2. EFICINCIA DE UMA ALETA

Consideremos uma superfcie base sobre a qual esto fixadas aletas de seo transversal uniforme, como mostra a

figura 1.17. As aletas tem espessura e, altura l e largura b. A superfcie base est na temperatura Ts maior que a

temperatura ambiente T

[ figura 1.17 ]

34

O fluxo de calor total transferido atravs da superfcie com as aletas igual ao fluxo transferido pela rea exposta

das aletas ( AA ) mais o fluxo transferido pela rea exposta da superfcie base ( AR ) :

TTAhq

TTAhqqqq

AA

SRR

AR

?..

.. onde ,

( eq. 1.29 )

A diferena de temperatura para a rea das aletas (T? -T) desconhecida. A temperatura Ts da base da aleta,

pois medida que a aleta perde calor, a sua temperatura diminui, ou seja, AA no trabalha com o mesmo potencial

trmico em relao ao fluido.

Por este motivo qA , calculado com o potencial (Ts- T), deve ser corrigido, multiplicando este valor pela

eficincia da aleta ( ). A eficincia da aleta pode ser definida assim :

SA TA ra temperatuna estivesse se trocadoseria quecalor

aleta pela trocadorealmentecalor

Portanto,

TTAh

q

SA

A

..

Da equao 6.18 obtemos o fluxo de calor trocado pela rea das aletas :

... TTAhq SAA ( eq. 1.30 ) Partindo de um balano de energia em uma aleta de seo uniforme, pode ser obtida uma expresso para o fluxo

de calor realmente transferido pela aleta, o que permite o clculo da eficincia conforme a expresso abaixo :

.

.

lm

lmtagh ( eq. 1.31 )

onde, ( coeficiente da aleta ) mh P

k At

.

. e

LmLm

LmLm

ee

eeLmtagh

..

..

.

A equao 1.31 indica que a eficincia da aleta uma funo do produto "m.l". Observando uma tabela de

funes hiperblicas nota-se que a medida que o produto "m.l" aumenta a eficincia da aleta diminui, pois o

numerador aumenta em menor proporo.

De volta equao 1.29, o fluxo de calor trocado em uma superfcie aletada por ser calculado assim :

q q qR A

..... TTAhTTAhq sAsR Colocando o T e o coeficiente de pelcula em evidncia, obtemos :

TTAAhq sAR ... ( eq. 1.32 )

1.4.3. TIPOS DE ALETAS

Vrios tipos de aletas esto presentes nas mais diversas aplicaes industriais. A seguir veremos alguns dos tipos

mais encontrados industrialmente e aproveitaremos tambm para calcular o coeficiente da aleta ( m ).

Aletas de Seo Retangular

[ figura 1.18 ]

35

Na figura 1.18, considerando que a aleta tem espessura b e largura e ( espessura pequena em relao largura), o

coeficiente da aleta m pode ser calculado assim :

mh P

k At

.

.

mh b

k b e

2 mh

k e

2 ( eq. 1.33 )

Aletas Curvas

[ figura 1.19 ]

mh P

k At

.

.

erk

rhm

2

4 mh

k e

2 ( eq. 1.34 )

Aletas Pino

[ figura 1.20 ]

Em certas aplicaes aletas tipo pino so necessrias para no prejudicar demasiadamente o coeficiente de

pelcula. A figura 1.20 mostra uma aleta pino de seo circular. Neste caso o clculo do coeficiente m feito

assim :

mh P

k At

.

.

2

2

rk

rhm

mh

k r

2 ( eq. 1.35 )

P b e b

A b et

2 2 2

erA

rerP

t

2

4222

2

2

rA

rP

t

36

Exerccio R.1.4.1. A dissipao de calor em um transistor de formato cilndrico pode ser melhorada inserindo um

cilindro vazado de alumnio (k = 200 W/m.K) que serve de base para 12 aletas axiais. O transistor tem raio

externo de 2 mm e altura de 6 mm, enquanto que as aletas tem altura de 10 mm e espessura de 0,7 mm. O cilindro

base, cuja espessura 1 mm, est perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistncia trmica desprezvel.

Sabendo que ar fluindo a 20 oC sobre as superfcies das aletas resulta em um coeficiente de pelcula de 25

W/m2.K, calcule o fluxo de calor dissipado quando a temperatura do transistor for 80 oC.

Clculo de AR :

241013,1006,0003,02...2 mbrA cS

A b e m

A A n A m

t

R S t

. , , ,

. , , ,

0 006 0 0007 0 42 10

1 13 10 12 0 42 10 6 26 10

5 2

4 5 5 2

Clculo de AA ( desprezando as reas laterais ) :

200144,02006,001,0122... mblnAA Clculo da eficincia da aleta :

mh

k em

2 2 25

200 0 000718 898 1

.

. ,,

18676,018898,0.18898,001,0898,18.

tghlmtgh

lm

%83,98 9883,0

18898,0

18676,0

.

.

lm

lmtgh

Clculo do fluxo de calor :

Desprezando as resistncias de contato entre o transistor e o cilindro e do prprio cilindro, a temperatura da base

das aletas pode ser considerada como 80 oC.

208000144,09883,01026,625... 5 TTAAhq SAR ,q W 2 22

Exerccio R.1.4.2. Um dissipador de calor consiste de uma placa plana de alumnio ( k = 175 Kcal/h.m.oC ) de

resistncia trmica desprezvel com aletas retangulares de 1,5 mm de espessura e 12 mm de altura, espaadas

entre si de 12 mm, ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas est em contato com ar a 40 oC e

coeficiente de pelcula 25 Kcal/h.m2.oC. O lado sem aletas est fixado sobre uma superfcie a 150 oC. Calcule

por unidade de rea da placa o fluxo de calor.

KmWh

CTCT

mmme

mmmb

mmmerr

mmme

mmmr

mmml

KmWk

ooS

ctc

c

t

Al

.25

20 80

0007,07,0

006,06

003,0312

001,01

002,02

01,010

.200

aletas 12=n

2

37

Clculo do nmero de aletas :

aletase

LnneL 74

012,00015,0

1.

Clculo da eficincia da aleta :

mh

k e

.

. .,

1656,0012,0801,13. lm

1641,01656,0.1656,01656,0

1656,01656,0

ee

eetaghlmtagh

%09,99 9909,0

1656,0

1641,0

.

.

lm

lmtagh

Clculo da rea no aletada :

2889,00015,01741... mebnAAnAA StSR Clculo da rea das aletas (desprezando as reas laterais) :

2776,174012,012...2 mnlbAA Clculo do fluxo de calor :

hKcalTTAAhq SAR 91,727940150776,199,0889,025...

Exerccio R.1.4.3. A parte aletada do motor de uma motocicleta construda de uma liga de alumnio ( k=186

W/m.K ) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de dimetro

externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaadas com espessura de 6 mm e altura de 20

mm. Sob as condies normais de operao a temperatura da superfcie externa do cilindro 500 K e est exposta

ao ambiente a 300 K, com coeficiente de pelcula de 50 W/m2.K quando a moto est em movimento. Quando a

moto est parada o coeficiente cai para 15 W/m2.K. Qual a elevao percentual da transferncia de calor

quando a moto est em movimento. ( OBS : desprezar as reas laterais)

Placa m L m e b m

e mm m

mm m

h Kcal h m C h Kcal h m C

T C T C

k Kcal h m C

oo o

oar

o

o

, ,

,

. . . .

. .

KmWhKmWh

KTKTKmWk

mmme

mmmlaletasn

mrmmmcmH

pm

Saleta

ee