Utilizao: Professor Aguinaldo Borba PereiraProduo: Professor Jlio Csar Tomio Material Bsico de Estudo Vetores e lgebra Vetorial

Paisagem fractal com Mandelbrot Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condies nas quais eles possam aprender. (Albert Einstein) Acadmico(a): _________________________________________________ Turma: _____________________________ Vetores e lgebra Vetorial 2 MENSAGEM PARA O(A) ACADMICO(A) Comsatisfao,apresentoestematerialquetemcomofinalidadedarsuporteaocursodeGeometriaAnalticaquese estende durante a primeira fase de seu curso superior, e, conseqentemente, auxiliar em futuras aplicaes nas disciplinas subseqentesquenecessitarodosconhecimentoseconceitosaquitrabalhadosedesenvolvidos.Aconcepodeste, baseadanaexperinciadealgunsanosdedocncia,tambmobjetivaotimizaroprocessodeestudo,principalmenteno ambiente de sala de aula. Esta obraalmeja mediar com excelncia o processo de ensino-aprendizagemde Vetorese de lgebra Vetorial. Para tanto, contribuies em forma de crtica, sugestes ou correes sero calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido caso voc queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material. A realizao de um curso superior um fato muito importante em sua vida pessoal e profissional. Dedique-se! Faa tudo da melhormaneiraquepuder,poisdestaformavocestarjustificandoumdosmaiores(etambmumdosmelhores) investimentos que voc j fez em voc mesmo. Desejoqueasuavivncianoambienteacadmicosejaamelhorpossvel,equeapassagemporestanovaetapadesua vidacontribuaparaoseuengrandecimentoprofissionalepessoal(etambmespiritual),possibilitandoumamelhora significativa na sua qualidade de vida e tambm na daqueles que convivem prximos de voc. Muita garra, e sucesso! Professor Jlio Csar Tomio. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS (Comentadas) Este material foi produzido com base na bibliografia abaixo e tambm com contribuies minhas e de colegas professores. Normalmente,asRefernciasBibliogrficasaparecemnasltimaspginasdeumlivro.Apresentoestasrefernciasaqui, objetivando sempre lembr-lo que a busca por outras fontes de informao um fator de grande importncia em qualquer estudo que se queira realizar. - WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analtica. So Paulo: Makron Books, 2000. Nestelivrovocencontraragrandemaioriadoscontedosdesenvolvidosnadisciplinacomuma linguagem bastante objetiva e acessvel e tambm uma grande quantidade de exerccios (esse o nosso livro texto). - VENTURI, Jacir J. lgebra Vetorial e Geometria Analtica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d. Neste livro voc encontrar a grande maioria dos contedos desenvolvidos na disciplina, porm com uma linguagemdiferenciadadoanterior.Estelivropodeserbaixadonainternetnantegra.Oendereo: www.geometriaanalitica.com.br. Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, so timas fontes de consulta e tambm se encontram em nossa biblioteca. - ANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra Linear com aplicaes. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. - STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analtica. 2. ed. So Paulo: Makron Books, 1987. - ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemtica Avanada para Engenharia 2: lgebra linear e clculo vetorial. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. No tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. (Provrbio chins) Vetores e lgebra Vetorial 3 NDICE - GEOMETRIA ANALTICA Sistemas de Coordenadas ....................................................................................................................................04 Sistemas de Coordenadas Retangulares (ou Cartesianas) ................................................................................04 Sistemas de Coordenadas Unidimensional (1 ou E1) ........................................................................................05 Eixo Real (ou eixo das abscissas) ..............................................................................................................................06 Estudo do Ponto no 1 Distncia entre dois Pontos .................................................................................................06 Sistemas de Coordenadas Bidimensional ...........................................................................................................07 Sistema Cartesiano Ortogonal O Plano 2 ou E2 ......................................................................................................07 Tpico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do 2 .........................................................................................................08 Sistemas de Coordenadas Tridimensional ..........................................................................................................09 Sistema Cartesiano Ortogonal O Espao 3 ou E3 ....................................................................................................09 - VETORES E LGEBRA VETORIAL Vetores .................................................................................................................................................................14 Introduo ..............................................................................................................................................................14 Noes Bsicas ........................................................................................................................................................15 Particularidade dos Vetores ......................................................................................................................................17 Operaes com Vetores na Forma Geomtrica ...........................................................................................................18 Vetores no 2 ..........................................................................................................................................................22 Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 2 .....................................................................................25 Vetores no 3 ..........................................................................................................................................................29 Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 3 .....................................................................................30 Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores .................................................................................................................33 Clculo do Mdulo de um Vetor ................................................................................................................................35 Vetor Unitrio ..........................................................................................................................................................37 Tpico Especial: Desigualdade Triangular ..................................................................................................................38 Versor de um Vetor ..................................................................................................................................................40 Produto Escalar ....................................................................................................................................................41 Definio Algbrica do Produto Escalar ......................................................................................................................41 Definio Geomtrica do Produto Escalar ...................................................................................................................42 ngulo entre dois vetores .........................................................................................................................................43 ngulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor ..................................................................................................48 Tpico Especial: Projeo de um Vetor sobre Outro ....................................................................................................50 Produto Vetorial ...................................................................................................................................................52 Definio .................................................................................................................................................................52 Outras Aplicaes do Produto Vetorial .......................................................................................................................54 Produto Misto .......................................................................................................................................................58 Definio .................................................................................................................................................................58 Interpretao Geomtrica do Produto Misto ...............................................................................................................58 Uma Aplicao do Produto Misto (na Mecnica Geral) .................................................................................................59 Estudo da Reta no Espao 3 ..............................................................................................................................63 Apndice ...............................................................................................................................................................66 Vetores e lgebra Vetorial 4 Referencial (origem) x A Geometria faz com que possamos adquirir o hbito de raciocinar, e esse hbito pode ser empregado, ento, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida! (Jacques Bernoulli) SISTEMAS DE COORDENADAS Um sistema de coordenadaspode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e localizar com relativa preciso,pontos,objetos,partculas,pessoas,equipamentos,comoumavionumaviagemintercontinental,porexemplo, entre outros. UmsimplesmapacartogrficoouumsofisticadoGPS(SistemadePosicionamentoGlobal)soexemplos,entreoutros,de aplicaes de sistemas de coordenadas. Nosso estudo estar concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e trs dimenses, por ser o sistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilizao de outros modelos de sistema. Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em: Unidimensional:1R Real Reta ou Eixo - Bidimensional:- -PolarR Cartesiano ou Retangular2 Tridimensional: -- -EsfricoCilndricoR Cartesiano ou Retangular3 Matematicamente possvel se trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimenses, como por exemplo, o R4, ondepoderamosconsiderara4coordenadacomosendootempo,entretantosuarepresentaogrficaficariarestritaa somente3dimenses.Destaforma,poderemoscriarumespaoRn,ondeasvriascoordenadaspodemassumiroutros valores de interesse. SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS) Comonossoestudoestarbaseadoprincipalmentenosistemadecoordenadasretangulares,vamosconsideraralgumas situaesparamelhorexemplificarautilizaodossistemasdecoordenadas,quantosdimensesnecessriasparacada caso. Vejamos a seguir: 1) Posio de um pisto no cilindro de um motor Odesenhoabaixorepresentadeformabastantesimplificada,umpistonumcilindrodeummotordecombustointerna. Considere que seja de interesse a posio deste cilindro durante o funcionamento do motor. Observe que o sistema trabalha com uma dimenso, ouseja,paradeterminarmosaposioexatado pisto,necessitamosdeapenasumacoordenada, considerando um referencial dado. Matematicamente, podemos escrever a posio P do pisto com a medida x P (x). A medida x dita coordenada do ponto P, ou ainda, abscissa do ponto P. Sistema de Coordenadas Unidimensional Vetores e lgebra Vetorial 5 2) Posio de uma bola de sinuca numa mesa O desenho abaixo apresenta uma viso superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posio da bola branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfcie de jogo da mesa). Observe que o sistema trabalha com duas dimenses, ou seja, para determinarmos a posio exata da bola, necessitamos de duas coordenadas, considerando um referencial dado. Matematicamente podemos escrever a posio P da bola com as coordenadas x e y P (x , y). As medidas x e y so ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, x a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P. 3) Posio de uma bola de basquete numa quadra (em jogo) Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse a posio da bola em qualquer momento do jogo. Observe que o sistema trabalha com trs dimenses, ou seja, para determinarmos a posio exata da bola, necessitamos de trs coordenadas, considerando um referencial dado. Matematicamente podemos escrever a posio P da bola com as coordenadas x, y e z P (x , y , z). Asmedidasx,yezsoditascoordenadasdopontoP,ouainda,xaabscissadopontoP,yaordenadado ponto P e z a cota do ponto P. SISTEMAS DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL (1 ou E1) Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dar origem aos outros que veremos em seguida (2 e 3, sendo este ltimo o nosso campo de maior interesse). Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de marcos quilomtricos. Elas determinam a suaposionarodoviaapartirdeumreferencial(origem),oquilmetrozero,quenumarodoviafederal,localiza-sena divisadeumestadocomooutro.Apesardarodovianoserumalinhareta,podemosdizerqueosmarcosquilomtricos correspondemaumsistemadecoordenadasunidimensional,poiscomumanicainformaoquilomtricapoderemos determinar a posio de um veculo com problemas mecnicos, por exemplo. Matematicamente, teremos: Referencial (origem) y x z Referencial (origem) y x - Sistema de Coordenadas Bidimensional Sistema de Coordenadas Tridimensional Vetores e lgebra Vetorial 6 dAB = | xB xA | Eixo Real (ou eixo das abscissas) origem ABCD E F G 432 10 12 34 5 6 7 x 2 1 uc Obs.:uc unidade de comprimento Temos que a abscissa (ou coordenada) do ponto A 4. Podemos escrever ento:A( ) 4 . Da, temos que:B|.|

\|517, C( ) 2 , D|.|

\|38, E ( ) 4 , F ( ) 5 eG( ) 7 . - Estudo do Ponto no 1

Distncia entre dois Pontos: No caso do1, torna-se simples determinarmos a distncia entre dois pontos. Veremos intuitivamente atravsde algumas perguntas... a) Qual a distncia entre os pontos F e E?Resposta: 1 uc b) Qual a distncia entre E e G?Resposta: 3 uc c) Qual a distncia entre A e F?Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc d) Qual a distncia entre B e D? Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalizao matemtica. Veja: Logo: Distncia entre dois pontos na reta 1,ou comprimento do segmento de reta AB. Obs.:Note quedAB = dBA. Veja: dPQ = | xP xQ |oudQP = | xQ xP | dPQ = | 6 7 |dQP = | 7 ( 6) | = | 7 + 6 | dPQ = | 13|dQP = |13| dPQ =13ucdQP =13uc Observe que a distncia entre dois pontos quaisquer sempre um valor absoluto, ou seja, positivo. Agora, podemos retornar a pergunta d, que ficou em aberto, e respond-la: d) Qual a distncia entre B e D? -- x xAxB AB dAB -- x 6 PQ 07 - ------------ + - 51721-- 38 14159265 , 3 ~ t- Vetores e lgebra Vetorial 7 Ento temos: B D BDx x d =1591 =BDd38517 =BDd1591=BDd1540 51 =BDd uc dBD07 , 6 ~ Observaes:Segmento de reta AB: AB Semi-reta (partindo de A) rReta r (elemento infinito) Reta que passa por M e N: MN Pararefletir: Verdadeiramente, o que mais prazer me proporciona, no o saber mas o estudar; no a posse mas a conquista; no o estar aqui mas o chegar alm. (Carl Friedrich Gauss) SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL Sistema Cartesiano Ortogonal O Plano 2 ou E2 O Sistema Cartesiano Ortogonal, tambm conhecido como Plano Cartesiano formado por dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regies denominadas quadrantes. O eixo x tambm dito eixo das abscissas e o eixo y tambm dito eixo das ordenadas. A interseco dos eixos coordenados determina um ponto nico, denominado origem (0 , 0). Cada ponto neste plano determinado por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que x e y formam as coordenadas de um ponto. Faamos ento a marcao dos pontos: A(7, 5) B(7, 5) C(3, 5) D(6, 2) E(8, 0) F(5, 0) G(0, 8) H(0, 3) O(0, 0) origem do sistema Observaes: Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas ter ordenada nula, ou seja, ser da forma: (x , 0). Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas ter abscissa nula, ou seja, ser da forma: (0 , y). AB A y x 1 Q.2 Q. 3 Q.4 Q. origem123456789 MN Vetores e lgebra Vetorial 8 Tpico Extra:Bissetrizes dos Quadrantes do 2 Veja os casos: A(4, 4)C(3, 3) B(3, 3)D(4, 4) Genericamente Genericamente (p , p) (p , p) ou (p , p) -Ospontos(x,y)doplano,ondex=y,ouseja,decoordenadasiguais,definemumaretadenominadabissetrizdos quadrantes mpares (1 e 3 quadrantes b1,3), cuja equao evidentemente y = x.

- J os pontos (x, y) do plano, onde x = y (ou y = x), ou seja, de coordenadas opostas, definem uma reta denominada bissetriz dos quadrantes pares (2 e 4 quadrantes b2,4), cuja equao evidentemente y = x. EXERCCIOS Sistema Cartesiano Ortogonal 1) Observando a pea plana ao lado, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D,..., M e N,considerando: a) a origem no ponto A; b) a origem no centro dapea (). 2) Calcule o valor de m de modo que o ponto Q(m2 + 5 , 6m) pertena bissetriz do 2 e 4 quadrante. RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1) Veja tabela abaixo: 2) m = 1 ou m = 5 ABCDEFGHIJLMN a(0,0)(0,20)(20,40)(20,55)(40,80)(80,80)(80,60)(120,60)(120,20)(100,0)(60,0)(60,10)(25,0) b(-60,-40)(-60,-20)(-40,0)(-40,15)(-20,40)(20,40)(20,20)(60,20)(60,-20)(40,-40)(0,-40)(0,-30)(-35,-40) 202040 253540 120 20 20 25 15 20 20 40 10 A B C D EF GH I J L M N - y x b1,3 4 334 45 A B - y x b2,4 135 33- 4 4 C D Vetores e lgebra Vetorial 9 O x y z x y z 1 24 3 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL Sistema Cartesiano Ortogonal O Espao 3 ou E3 Consideramos como sendo o espao cartesiano 3 (ou E3), o conjunto dado por trs eixos reais perpendiculares dois a dois, denotados por x , y e z, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientao conforme abaixo: z (eixo da cotas) O y (eixo das ordenadas) x (eixo das abscissas)5 Os trs planos do 3: yOz, xOy e xOz, geram oitos regies (sub-espaos) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem ser observados na figura acima e a direita (os nmeros identificam cada octante). Os valores reais contidos nos trs eixos esto ordenados de forma crescente conforme indicao das setas dos respectivos eixos. No espao tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de nmeros reais (x, y, z), associamos um nico ponto; assim: zP P (xP , yP , zP) yP

xP Observao: Origem O (0 , 0 , 0) Mquinasoperatrizes,sistemasautomatizadose sistemasderobticautilizam,nasuagrande maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como no exemplo da fresadora ao lado: Porquestestcnicas,asposiesdoseixos coordenadospodemdiferirdasusadasnoestudo cientfico (na geometria analtica e outras reas de aplicabilidade da matemtica). A figura apresenta os eixos de deslocamento de uma fresadora. Para refletir: A receita para a ignorncia perptua permanecer satisfeito com suas opinies e contente com seus conhecimentos. (Elbert Hubbard) .. . Vetores e lgebra Vetorial 10 Para melhor exemplificao, tomemos o paraleleppedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3). Combasenafiguraaolado,elevandoemconsideraoqueum ponto qualquer (x , y , z) est no: eixo x quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0); eixo y quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0); eixo z quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3); plano xy quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0); plano xz quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3); plano yz quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3). Assim, a figura direita destaca os 3 planos do sistema 3. Aolado(esquerdo)podemosobservarumarepresentaousualde dois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de uma mquinaoperatrizcomCNC(comandonumricocomputadorizado). Valeobservarque,nestecaso,temososeixosx,yezemposies diferentesdaquelasquefaropartedenossoestudo.Estefatono interfere no entendimento da posio dos pontos, pois mesmo assim, amarcaoeidentificaodospontossoprocessosanlogosaos que estudamos aqui. Para marcar um ponto no espao, como por exemplo, oponto A(3 , 2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento: 1) marca-se o ponto A(3 , 2 , 0) no plano xy; 2) desloca-se A paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obter ento o ponto A desejado. A figura ao lado ilustra este procedimento. EXEMPLOS: 1) Considerando os pontos P(0, 3, 2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema de coordenadas cartesianas 3 e faa a representao do segmentoPQ. Assim sendo, temos a representao ao lado: (desenho fora da escala) ED P F AB CO 42 3 y z x x y z P Q 4 3 7 32 Vetores e lgebra Vetorial 11 2) Construa dois sistemas de coordenadas 3 e localize os pontos A(2, 4, 3) e B(3, 5, 4) separadamente, determinando em qual octante se encontra cada ponto. EXERCCIOS 1) Observando a figura ao lado, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P. A( , , ) B( , , ) E( , , ) C( , , ) F( , , ) D( , , )P( , , ) 2) Represente cada um dos pontos dados a seguir em seu respectivo sistema 3 e compare suas representaes com as dos seus colegas de classe, discutindo cada caso, se necessrio. a) A(1, 5, 4)b) B(1, 5, 4)c) C(2, 0, 5)d) D(2, 4, 1)e) E(2, 3, 1)f) F(1, 4, 3) 3)No referencial da figura ao lado est representada uma pirmide de base quadrangular regular em que B(6, 0, 0) e V(3, 0, 8). Determine: a)as coordenadas do ponto A e do ponto C.b)a altura da pirmide. Observao: Medidas em metros. 4) Seja a pirmide de base OABC e P o seu vrtice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9), faa a representao geomtrica da pirmide e especifique o formato da base da pirmide e tambm sua altura. Para refletir: uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes s consiga rastejar. (Mr. Pi) CD P B AF EO 73 5 y z x Vetores e lgebra Vetorial 12 x y z A B C D E F G H I J 5)Nafiguraaseguir,doisvrticesdeumparaleleppedoretangularcomasfacesparalelasaoplanoscoordenadosesto indicados. Determine as coordenadas dos seis vrtices restantes. 6) Observando a pea a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 7) Observando a pea abaixo, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. x y z A B C E F G H I D Vetores e lgebra Vetorial 13 A C GF D B H x z y E 1 2 3 1 2 3 8)Observandoapeaaolado,determineas coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 9) A figura abaixo apresenta um paraleleppedo retngulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Escrevas as coordenadas dos vrtices deste slido, sabendo que) 2 , 1 , 2 ( A . Note que o pontoA est no 4 octante. 10) A figura abaixo apresenta um paraleleppedo retngulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 1, 2 e 3. Escrevas as coordenadas dos vrtices deste slido, sabendo que2) 1, 3, A( . Observe atentamente que o ponto A se encontra no 6 octante. x y z A C G F E D B H I x Vetores e lgebra Vetorial 14 11) Representando os pontos A(10, 2, 2), B(2, 0, 4) e C(4, 2, 4) num 3 e ligando-os, temos o tringulo ABC. Faa a representao grfica e diga se possvel determinar o tipo de tringulo em questo, quanto aos seus lados e quanto aos seus ngulos? RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 2) Veja com seus colegas de classe! 3a) A(3,3, 0)eC(3, 3, 0)3b) 8 m 4) A base da pirmide quadrada tendo lado com 2 uc e altura igual a 9 uc.

5) Vrtices Superiores: (3, 3, 7), (3, 6, 7) e (1, 3, 7) Vrtices Inferiores: (3, 6, 4), (1, 6, 4) e (1, 3, 4) 6) A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) e J(40, 25, 10) 7) A(0, 0, 30),B(20, 0, 15),C(50, 0, 10),D(50, 0, 0),E(50, 20, 0),F(50, 20, 20),G(50, 20, 30),H(20, 20, 30)eI(0, 20, 30) 8) A(0, 30, 0),B(0, 30, 10),C(5, 30, 10),D(25, 30, 0),E(30, 30, 10),F(30, 10, 10),G(0, 10, 10),H(15, 10, 25)eI(15, 0, 40) 9) B(2, 3, 2),C(3, 3, 2),D(3, 1, 2),E(3, 1, 5),F(2, 1, 5),G(2, 3, 5)eH(3, 3, 5) 10) B(3, 2, 2),C(5, 2, 2),D(5, 1, 2),E(5, 1, 5),F(3, 1, 5),G(3, 2, 5)eH(5, 2, 5) 11)Nestecaso,graficamentenopossvel(outorna-semuitodifcil)determinarcomseguranaotipode tringulo (em relao aos lados e aos ngulos), pois a perspectiva aqui utilizada no permite tal verificao e mesmo utilizandoumaescalaconveniente,algumasmedidasnoaparecemnasuaverdadeiragrandeza.Entretanto, algebricamente(ouanaliticamente)possveldeterminarmoscomprecisoabsolutaotipodetringulo.Asmedidasdos ladosdotringulopodemsercalculadasatravsdafrmuladadistnciaentredoispontosAeB noespaodada por: 2 2 2) ( ) ( ) (A B A B A B ABz z y y x x d + + =e atravs destas medidas conhecidas, utilizando-se do Teorema dePitgoras,podemosclassificarotringuloquantoaosseusngulos.Assimsendo,veremosqueotringuloABC EQILTERO, poisuc CA BC AB 2 6 72 = = = =e desta forma tambm ACUTNGULO, pois tem os seus ngulos internosiguaisa 60 .Embreve,poderemoscalcularcomprecisocadaumdos3ngulosinternosdeumtringulo qualquer atravs da aplicao do conceito de produto escalar. VETORES Introduo Antesdetratarmospropriamentedevetores,precisamosidentificaraquiloquechamamosdegrandezasfsicas.Na matemticaeemoutrascinciasditasexatas,spodemosequacionarequantificarsituaesqueenvolvemgrandezas fsicas, ou seja, aquelas que, no mnimo, podem ser associadas a uma escala de medida conhecida, como a distncia entre a sua casa e a padaria mais prxima, por exemplo. Essa distncia pode ser dada em metros, quilmetros, ou ainda, em uma outra escala que possa ser conveniente. As grandezas fsicas podem ser divididas em escalares ou vetoriais. Veja o esquema abaixo: +-+ -Sentido -Direo -unidade) (nmero Mdulo -Vetoriaisunidade) (nmero Mdulo EscalaresFsicas Grandezas - Exemplos de grandezas fsicas escalares: Distncia, tempo, massa, temperatura. - Exemplos de grandezas fsicas vetoriais: Velocidade, acelerao, fora, torque (momento), campo magntico. Com o crescimento da tecnologia e da rea industrial, tornou-se crescente tambm a necessidade de equacionar situaes queenvolvessemgrandezasvetoriais.Nessemomento,asistematizaodateoriavetorialganhaimpulso,possibilitando estudar mais profundamente fenmenos ligados a tais situaes. Vetores e lgebra Vetorial 15 VETORES Noes Bsicas Conceito: O vetor pode ser definido de vrias maneiras: um ente matemtico utilizado para representar grandezas fsicas vetoriais. uma tripla constituda de uma direo, um sentido e um nmero no negativo (mdulo). o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direo, de mesmo sentido e de mesmo comprimento. Etimologia da Palavra Vetor: Otermovetorpodeseroriundodoverbolatinovehere[transportar,levar].Assim,vetorseriaoparticpiopassadode vehere, significando transportado, levado. Os romanos chamavam de vector aquele que carregava alguma coisa. Implicava o portadordeumamensagem,porexemplo.Pois:veho[levar]+or[aquelequefaz].Datambmapalavravehiculum (veculo). No caso especfico de Matemtica, podemos dizer que um vector um transportador de trs informaes de uma grandeza vetorial: direo, sentido e magnitude, ou ainda, que um ponto A transportado (pelo vetor) at um ponto B. Apesar de esses significados aparentarem um pouco abstratos para o momento, veremos a seguir que, na verdade, fazem bastante sentido. Representaes e Notaes: Algumas convenes so importantes para que possamos desfrutar ao mximo da utilizao da linguagem vetorial. Vejamos algumas notaes e representaes usuais. Umvetornormalmenterepresentado porumaletraminsculajuntamentecom umaflechinhasobreela,mastambm podemosrepresentarumvetorpelosdois pontos que o definem. Ento, no caso ao lado: AB v = Podemos considerar ainda que: B v A = + A B v = Resumindo, temos: A B AB v = =

Esquentando o Processador! 1) Tente ligar os nove pontos (quadradinhos) da figura ao lado com apenas quatro segmentosderetaunidos(consecutivos),passandoemcadapontoexatamente uma vez, de modo que nenhum segmento de reta seja traado duas vezes! 2) Qual o valor do nmero x na seqncia: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 , x } ? Para refletir:A vida um eco. Se voc no est gostando do que est recebendo, observe o que est emitindo. (Lair Ribeiro) A B y x extremidade do vetor origem do vetor v | | v mdulo do vetor (depende de escala) 0 Vetores e lgebra Vetorial 16 Detalhando, temos: Mdulo (intensidade, norma ou comprimento): Determinaamagnitudedagrandezaqueestasendorepresentadapelovetor,ouseja,umnmerorealnonegativo acompanhadodesuaunidade.Geometricamente,omduloocomprimentodovetor(segundoumaescalaadequadade desenho). Mdulo do vetorv:| A B | | AB | | v | = = Direo: aretasuportedeatuaodovetor.Adireopodeservertical,horizontalouoblqua.Quandoadireooblqua, normalmente est associada a um ngulo de referncia. Sentido: Para cada direo sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direo for vertical, o sentido poder ser para cima ou para baixo. Exemplos: =cima para : sentidov ertical : direoN 150 | f | : mdulo: f =baixo para : sentidohorizontal a com 160 : direos / cm 26 | v | : mdulo: v Vetor Livre: Considere que os vetoresv,v',v ' 'ev ' ' ' apresentados abaixo, tenham mesmo mdulo, mesma direo e sentido. Assim sendo, devemos considerar quev=v'=v ' '=v ' ' '. Isso faz com que um vetor seja qualificado como livre, pois pode ser transladado de uma posio para outra mantendo suas caractersticas de mdulo, direo e sentido. -v o vetor posio. Os vetoresv',v ' 'ev ' ' ' so denominados imagens geomtricas deve esse vetorv dito, representante natural dev',v ' 'ev ' ' '. O vetor que for representado com sua origem coincidente com a origem de um sistema de coordenadas chamado vetor posio, no caso acima, o vetorv.A B v | | v mdulo do vetor (depende de escala) f v 160 y x 0 v v ' ' ' v ' ' v' Vetores e lgebra Vetorial 17 Particularidades dos Vetores: - Vetores Iguais: Doisvetoresuewsoiguais,eindica-seporw u = ,setiveremiguaistodasassuastrscaractersticas:mdulo, direoesentido.Casocontrrio,escrevemos:w u = .Umailustraosobreaigualdadedevetoresjfoiapresentada anteriormente. - Vetores Paralelos: Dois vetoresu ew so paralelos, e indica-se porw u // , se os seus representantes tiverem a mesma direo. Na figura abaixo temosv w u // // . Observe queu ew tm mesmo sentido e queu ew tm sentido contrrio ao dev.u w v A direo dos vetores dados ao lado vertical. - Vetores Ortogonais: Dois vetoresu ew so ortogonais, e indica-se porw u , se algum representante deu formar ngulo reto (90) com algum representante dew, como na figura [a] abaixo. u Na figura [b] ao lado, temos dois representantes dos vetoresu ew, com origem (em comum)no ponto O, onde se forma o ngulo reto.w w Podemos utilizar, em alguns casos especficos, Ou perpendicular como sinnimo de ortogonal. [a] [b] - Vetor Nulo (ou Zero): Qualquer ponto do espao pode ser um representante do vetor NULO ou vetor ZERO, e indica-se por0 ou tambm porAA (a origem do vetor coincide com a extremidade, ambas, neste caso, no ponto A). Desta forma temos: =definido no : sentidodefinida no : direo0 | 0 | : mdulo: 0 Pelofatodovetornulonopossuirdireoesentidodefinidos;emalgumassituaestorna-seconvenienteconsideraro vetor nulo paralelo (ou perpendicular) a qualquer vetor. - Vetor Oposto: A cada vetor0= vcorresponde um vetor opostov , de mesmo mdulo e direo, porm, de sentido contrrio. B vv A Se o vetor oposto dev o vetorv , ento o vetor oposto deAB o vetorAB , que pode ser escritoBA.Algebricamente temos:AB AB A B B A BA = = = = ) ( ) ( importante observar que:| | | | v v = , pormv v = . Destacamos ainda que:0 ) ( = + v v . Para refletir:Existem vitrias da alma e do esprito. s vezes, mesmo quando voc perde, voc ganha. (Elie Wisel) Vetores e lgebra Vetorial 18 EXERCCIOS Vetores Noes Bsicas 1) Considerando o losango EFGH inscrito no retngulo ABCD, e sendo O ponto de interseo das diagonais deste losango, decida se verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo: D HC EG A F B 2) A figura abaixo representa um paraleleppedo retngulo. Decida se cada uma das afirmaes verdadeira ou falsa. a)BF DH = f)| | | | HF AC = b)GE AC = g)| | | | DF AG = c)CG AB h)GH AB // d)BC AF i)DF DG = e)ED BG // j)) ( ) ( H D D B RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1a) V1b) F1c) V1d) V1e) F1f) F1g) V1h) V1i) V1j) F1k) V1l) V 1m) V1n) F 1o) V 2a) V2b) V2c) V2d) V2e) F2f) V2g) V2h) V2i) F2j) V OPERAES COM VETORES NA FORMA GEOMTRICA - Multiplicao de um Vetor por um Escalar Dado um vetor0= ve um nmero real (escalar)0 = n , chama-se produto do nmero realnpelo vetorv, o novo vetor v n . , tal que: < >==v de contrrio sentido tem v n 0 n sev de sentido mesmo o tem v n 0 n se: sentidov de mesma a : direo| v | . | n | | v n | : mdulov n Abaixo, segue um vetorv com alguns de seus mltiplos escalares: v v1 v2 v2 v5 v3 v21 Nota:Observequequalquerumdosmltiplosescalaresdevpossuiamesmadireodev.Logo,todososvetoresdo exemplo acima so paralelos. Assim, podemos escrever que, se dois vetores (no nulos)u ev so paralelos, ento existe um nmero real0 = n , tal quev n u = . a)OG EO= f)C O E H = k)OC // AO b)CH AF= g)| BD | | AC | =l)OH ABc)HG DO= h)| DB |21| OA | =m)CB EOd)| B O | | O C | = i)CD // AF n)HF AO e)| D H | | O H | = j)HG // GFo)FE OB =O - G F AB CD E H Vetores e lgebra Vetorial 19 - Adio (e Subtrao) de Vetores CASO 1: Vetores com mesma direo (paralelos ou colineares): O processo de adio de dois ou mais vetores paralelos bastante intuitivo. Veja os exemplos a seguir. 0 f f R2 1 = + =N 0 | R | = N 100 | f |1=e N 100 | f |2= NOTA:Quandoadicionamosdoisoumaisvetores,temoscomoresultadoumnovovetordenominadovetorsomaou vetor resultante; sendo este ltimo termo o mais comum. 1f 2f 1f 2 1f f R + =N 220 | R | = 2 1f f + = R N 120 | f |1=e N 100 | f |2=

2f 1f

2f 2 1f f R + =N 70 | R | = 1f N 50 | f |1=e N 120 | f |2=

2 1f f + = R

CASO 2: Vetores com direes diferentes (no paralelos): Abordaremos de forma sucinta dois mtodos para adio de vetores no paralelos (no colineares). Veja a seguir: Mtodo do Paralelogramo Paraadicionarmosdoisvetorespelomtododoparalelogramo,inicialmenteessesvetoresdevemterumaorigemcomum [situaoI].Traam-selinhasauxiliaresparalelasaessesvetoresemcadaumadassuasextremidades[situaoII], formandoumparalelogramo.Ovetorresultante(vetorsoma)tersuaorigemcomumaosvetoressomadosesua extremidadeseraintersecodaslinhasauxiliares[situaoIII].Notequeovetorresultanteestsobreadiagonaldo paralelogramo. I II III

1f

1f

1f R 2f 2f

2f Podemos dizer, de maneira informal, que o vetor resultante faz o mesmo papel, ou que tem a mesma funo, ou ainda que executa o mesmo trabalho dos vetores que o resultaram.

1f

2 1f f + = R

2f 2f 1f 2f Vetores e lgebra Vetorial 20 Observao: o clculo do mdulo do vetor resultante para o mtodo do paralelogramo pode ser feito atravs da frmula: u cos . | f | . | f | 2. | f | f | | R |2 12221 + + = | (sendouo ngulo entre os vetores 1f e 2f) A relao acima muito comum no estudo da Fsica. Trata-se de uma adaptao da lei dos cossenos (aplicada em tringulos quaisquer).Entretantoessafrmulaapresentagrandelimitaoemsituaestridimensionais,queofocodenossos estudos futuros. Veremos mtodos analticos mais eficazespara o clculo do mdulo de um vetor resultante e tambm da sua direo, em estudos posteriores. Mtodo do Polgono (Linha Poligonal) Paraadicionarmosdois vetores pelo mtodo do polgono [situao I], translada-se um dos vetores (mantendo obviamente suascaractersticasdemdulo,direoesentido),colocandosuaorigemnaextremidadedooutrovetor[situaoII], formandoumcaminho.Ovetorresultante(vetorsoma)tersuaorigemcomumaoprimeirovetoresuaextremidade comumextremidadedoltimovetor[situaoIII].Notequeovetorresultantefechaumpolgonocomosvetores somados. I II III 2f 2f

1f 1f 1f 2 1f f + = R

2f Para somarmos mais que dois vetores (trs, no caso a seguir), o processo anlogo ao descrito acima. IIIIII 1f 1f

1f 2f

3f 3f 3f 3 2 1f f f + + = R Qualquer seqncia escolhida para a soma dos vetores resultar no mesmo vetor resultante. Veja: IIIIII 1f 2f 2f 2f R 3f

3f 1f 3f

1f Nocasoabaixo,ovetorresultanteNULO.Observequeorganizandoosvetoresnasequenciaextremidade-origem,a linha poligonal se fecha no deixando espao para o vetor resultante.

1f 2f 2f 3f

3f

4f 0 f f f f4 3 2 1 = + + + = R 4f 1f Comentrio:Omtododoparalelogramoadicionaapenasdoisvetoresemcadaoperao,entretantoomtododopolgono pode adicionar uma quantidade finita qualquer de vetores numa nica operao, tornando-se assim um processo mais verstil.2f 2f Vetores e lgebra Vetorial 21 A Subtrao de Vetores: Um Caso Particular da Adio A expresso 2 1f f = Rpode ser escrita como) f f2 1 + = ( R . Portanto, para subtrair 2f de 1f devemos ADICIONAR 1f com 2f , sendo este ltimo, o vetor oposto de 2f. Veja o exemplo abaixo: III III R 1f

1f 1f com2 1f f = R 2f 2f2f 2 1f f 2 1f f + Agora, veja no esquema ao lado, o vetor resultante da soma e da subtrao dos mesmos dois vetores.1f 2f NOTA: Quando subtramos dois vetores, temos como resultado um novo vetor denominadovetor diferena ou mesmo vetor resultante; sendo este ltimo termo o mais comum. EXERCCIOS Operaes com Vetores na Forma Geomtrica 1)Com base na figura ao lado, determine os vetores resultantesDHC para cada caso, expressando-os com origem no ponto A. O E G

a)CH OC + d)EF EH +AF B b)FG EH + e)BG EO+ g)EH BC + 21i)HO OG c)AF AE . 2 . 2 + f)OC OE . 2 . 2 + h)FG FE +j)AO FO AF + + 2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados: a)b) 3) No hexgono regular ao lado, obter o vetor resultante de: a) (B A) + (E F) + (F A)expressando-o com origem no ponto A b) (D A) (E A) + (E B)expressando-o com origem no ponto B c) (C D) + (F B) (A B)expressando-o com origem no ponto F d) (C A) (C E) + (B C)expressando-o com origem no ponto C A F BC E D - A B C D E F H G A B C D E F H G Vetores e lgebra Vetorial 22 C AB MN 4) Decida se verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo. a) Os vetoresv3ev4 so paralelos e de mesmo sentido. b) Sev u // , ento| | | | v u = . c) Sev u // ,2 | | = u e6 | | = v, entou v 3 =ouu v 3 = . d) Se| | | | v u =entov u = . 5) Dois vetores tm mdulo 10 e 14. Qual o mdulo mximo possvel do vetor soma desses vetores? E o mnimo possvel? 6) Demonstre algebricamente que o segmento cujos extremos so os pontos mdios de dois lados de um tringulo qualquer paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade. Sugesto: - Devemos demonstrar que:AB MN21= RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1a)AE 1b)AC 1c)AC 1d)AB 1e)AO1f)AD1g)AH 1h)AD1i)AO1j)AC 2a)AG 2b)AE 3a)AD 3b)BD3c)FF 3d)CD4a) F 4b) F 4c) V 4d) F 5) Mdulo Mximo: 24 [Vetores com mesma direo e sentido] Mdulo Mnimo: 4 [Vetores com mesma direo e sentidos contrrios] VETORES NO 2 ConsidereospontosO(0,0),P(4,3),A(5,5),B(9,8),C(4,6)eD(0,3)noSistemaCartesianoOrtogonal.Desta forma, podemos considerar tambm os vetores:OP v =,AB w= eCD u =. Representando-os no plano, temos: Lembre-sequeumvetorteminfinitosrepresentantes,sendoestesdemesmomdulo,direoesentido.Entopodemos afirmar queu w v = =ou queCD AB OP = = . Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os o vetorOP v =. O vetorv tambm chamado de vetor posio ou representante natural dos vetoresABouCD, pois aquele que tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal. C x y 4 3 6 4 5 9 3 O 8 P A B D 5 v w u Vetores e lgebra Vetorial 23 Tomando um vetor qualquer definido por dois pontosA eB , podemos escrever: ) , ( ) , (A A B By x y x A B AB = = .Da tem-se que: ) , (A B A By y x x AB = . Ento, considerando os vetores mencionados anteriormente, podemos fazer: OP v =AB w=CD u = O P v =A B w =C D u = ) 0 , 0 ( ) 3 , 4 ( = v) 5 , 5 ( ) 8 , 9 ( = w) 6 , 4 ( ) 3 , 0 ( = u ) 0 3 , 0 4 ( = v) 5 8 , 5 9 ( = w) 6 3 , 4 0 ( + + = u ) 3 , 4 ( = v) 3 , 4 ( = w) 3 , 4 ( = u Pode-seobservarqueasigualdadesu w v = = eCD AB OP = = vistasanteriormente,confirmam-sealgebricamente. Formalizando,podemosdizerquedadosdoisvetores) y , x ( m1 1=e) y , x ( n2 2=,elesseroiguais[ n m = ]se,e somente se, 2 1x x = e2 1y y =(Igualdade de vetores). Isto dar garantia de que estes vetores tero mesmo mdulo, direo e sentido. A forma) y , x ( v = dita expresso analtica do vetorv e determina que o vetor no plano um par ordenado de nmerosreaiscomsuaextremidadenoponto) y , x ( esuaorigemcoincidindocomaorigem) 0 , 0 ( doSistema Cartesiano Ortogonal . Tambm se utiliza em alguns casos, a seguinte notao para um vetor:y , x v =. Versores de um Sistema de Coordenadas: Ainda se tratando do Sistema Cartesiano Ortogonal, convencionou-se que iej,nestaordem,soosversoresdoseixoscartesianosxey, tendo estes versores, origem no ponto) 0 , 0 ( O . Desta forma temos: ) 0 , 1 ( i = e) 1 , 0 ( j =sendo que 1 | j | | i | = = . Estes vetores i ejformamo que chamamos de base do plano, esta em especial dita Base Cannica. Isto quer dizer que podemos escrever qualquer vetor no plano, de forma nica, atravs da combinao linear dos versores i ej. Observao: Qualquer conjunto ordenado de dois vetores no paralelos constitui uma base no plano. Na prtica, as bases mais utilizadas so as ortonormais (que so bases formadas por vetores unitrios perpendiculares entre si). Escrevendo um vetor utilizando uma combinao linear: Multiplicandoi por 4ej por 3, teremos os vetoresi 4ej 3, que esto representados no plano ao lado. Observeque,seadicionarmos(mtododoparalelogramo)os vetoresi 4ej 3, teremos como resultante o vetorv, e por isso, podemosescreverovetorvcomocombinaolineardos vetoresiej.Entoescrevemos:j 3 i 4 v + = ,ouainda,) 3 , 4 ( v = como vimos anteriormente. Generalizando, teremos:j y. i x. y) , (x v + = = Acima temos:j 3 i 4 ) 3 , 4 ( v + = = Esquentando o Processador! Uma lesma comea a subir num poste de 10m de altura. De dia ela sobe 2m e noite desce 1m.Em quantos dias a lesma atingir o topo do poste? y x i j Ov Py xi 4 j 3 OVetores e lgebra Vetorial 24 Exemplificando e localizando os vetores posio no 2, temos: ) 3 , 2 ( j 3 i 2 a = = ) 5 , 6 ( j 5 i 6 b = + =

||.|

\|= =27, 0 j27c 0) , (4 i 4 e = =

EXEMPLO: 1)Dados os pontos A(1, 4), B(1, 7) e C(5, 2),represente no Sistema Cartesiano Ortogonal abaixo: a)o vetor BA;b)o vetoru, que o vetor posio deBA; c)o vetoru com origem no ponto C. EXERCCIOS Vetores no 2 1) Representar graficamente o vetorAB e o correspondente vetor posiov para cada um dos casos abaixo: a) A(1 , 3) e B(3 , 5)b) A(1 , 4) e B(4 , 1)c) A(4 , 0) e B(0 , 2)d) A(3 , 1) e B(3 , 4) 2) Qual o ponto inicial A do segmento orientado (vetor) representado pelo vetor posio) 3 , 1 ( v =, sabendo que sua extremidade est no ponto B(3, 1). Represente graficamente vetorv e o segmento orientado em questo. RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1a)v= (4, 2) 1b)v= (5, 3)1c)v= ( 4, 2) 1d)v= (0, 3)2) A(4, 2) x y ) 2 , 4 ( i 4 j 2 d = = y x 4 2 3 657/2 42a

b

c

d

e

Vetores e lgebra Vetorial 25 OPERAES COM VETORES NA FORMA ALGBRICA (ANALTICA) NO 2

Osvetorespodemseroperadosemsuasformasgeomtricas(atravsdesuasrepresentaesemdesenho,comovimos anteriormente). Porm, se estas operaes forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos preciso absoluta dos resultados e maior quantidade de informaes (mdulo, direo e sentido), principalmente quando os vetores se encontram num espao tridimensional. Inicialmente trataremos do espao bidimensional. Vejamos: - Multiplicao de um Escalar (nmero real) por um Vetor: Dado um vetor) , (1 1y x v = no 2 e um nmeroe n , define-se que: ) (1 1n.y , n.x v n.=. Vamos exemplificar essa operao algebricamente e tambm graficamente. EXEMPLO: 1) Considere o vetorw= (2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal. a) Determine o vetorv de modo quew 3 v = . c) Determine o vetoru de modo quew21u = . b) Determine o vetort de modo quew 2 t = .d) Represente os vetoresw,v,t euno 2. Resoluo: a)w 3 v = b)w 2 t = 1) 2, 3.( v =1) 2, 2.( t = 3) 6, ( v =2) (4, t = c)w21u = 1) 2, (21u =

|.|

\| =21, 1 u Observao: -Note que no exemplo acima todos os vetores tm mesma direo (so colineares ou paralelos). - Quandoumvetorqualquer0 v= multiplicadoporumescalarn(ne),tem-seumnovovetorv nquepodeser denominado mltiplo escalar dev. Atravs do exemplo anterior podemos RELEMBRAR o conceito de multiplicao de um escalar por um vetor. Ento: - Quando multiplicamos um nmero real n por um vetor0 v= , temos um novo vetor v n, sendo que: < >==v de contrrio sentido tem v n 0 n sev de sentido mesmo o tem v n 0 n se: sentidov de mesma a : direo| v | . | n | | v n | : mdulov n - Adio (e Subtrao) de Vetores: Dados os vetores ) , (1 1y x v =e ) , (2 2y x w= no 2, define-se: +) , (2 1 2 1y y x x w v + + = + +) , ( ) (2 1 2 1y y x x w v w v = + = Vamos exemplificar essa(s) operao(es) algebricamente e tambm graficamente.Vetores e lgebra Vetorial 26 EXEMPLOS: 1) Considere uma bia B flutuando num lago de guas calmas (naorigem)equeosvetoresi 40 t = e30) (0, v = representam duas foras (em N) aplicadas simultaneamente na bia em questo. Determine o vetorR que representa a fora resultanteaplicadaerepresenteesquematicamenteasituao no 2 ao lado. Note que, para este caso: 30N | v | =, 40N | t | =e 50N | R | =. 2)Dadososvetoresv=(4,1),j 5 i w + = e1) 1, ( t =,determineovetorRsabendoquet w v R + + = ,efaaa representao desses no 2 ao lado. y x Observe que: w , v teremosv w w v + = +(propriedade comutativa da adio de vetores). 3) Considerando os vetoresj i 3 u =e2) 1, ( v =, determine o vetort de modo que: t u 2 t31) v u ( 4 = + . x y B w projv u w v B B Vetores e lgebra Vetorial 27 Particularidades dos Vetores no 2: - Vetor Oposto: Relembramos que, a cada vetor0 v=corresponde um vetor opostov , de mesmo mdulo e direo, porm, de sentido contrrio. Analiticamente, podemos concluir que o vetor2) , (3 t = o vetor oposto de2) 3, ( w = e vice-versa. Veja a representao grfica abaixo: Ento, verdade que: +w t = out w =N

+ON OP = ou OP ON = Observe que: +| w | | t |= ,porm w t= +0 w t= + Atravs do exposto, podemos generalizar que a SOMA de qualquer VETOR com o seu OPOSTO, resulta no vetor NULO. Para o caso acima, algebricamente, temos: 0 0) (0, 2) 2 3, (3 2) 3, ( 2) (3, w t= = + = + = + - Relembrando o Vetor Posio: Observando o 2 abaixo, podemos escrever: OB AB OA = + . Ento: OA OB AB = B ) ( ) ( O A O B AB = O A O B AB + = vA B AB =A A B v = v +v o vetor posio deAB. O EXERCCIOS Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 2 1) Dados os vetores) 1 , 3 ( u = e) 2 , 1 ( v =, determine o vetort de modo que: ) u 3 t 4 ( 2 ) u v 2 ( t 3 = . 2) Dados os pontos A(1, 3), B(2, 5), C(3, 1) e O(0, 0) determine os vetores resultantes de: a)AB OA b)BC OC c)CB 4 BA 3 3) Dados os pontos A(3, 4) e B(1, 1) e o vetor) 3 , 2 ( v =, calcule os vetores determinados por: a)v 2 ) A B (+ b)v ) B A ( c)) A B ( 2 B + d)) B A ( 2 v 3 4) Dados os pontos A(1, 2) e B(3, 1) e C(2, 4), determine o ponto D de modo queAB21CD = . 5) Dados os vetoresj i u = 2ei w3 = , determinet de modo que: |.|

\| + = w u t w u t 43215 ) 2 4 ( 3y x 3 2 0t P3 2 w x y Vetores e lgebra Vetorial 28 6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: a) b) 7)Considereosvetores |.|

\|= 0 ,21v, |.|

\| =51,43w,j 3 i t + = e |.|

\| =101, 2 s.Determineovetorudemodoqueo vetor resultante na expressos 5 t34w 2 v u R + + =seja o vetor nulo. 8) Dados os pontos2) (1, A =e5) 3, ( B = , determine: D(14, 16) a) o ponto M que divide o segmento AB em duas partes iguais. [neste caso, o ponto M chamado ponto mdio do segmento AB]P b) os pontos P e Q que dividem o segmento AB em trs partes iguais. 9) O segmento de retaC D (figura ao lado) foi dividido em partes iguais.Assim, determine as coordenadas do ponto P.C(6, 1) Vetores e lgebra Vetorial 29 z y x i j k RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1)|.|

\|511,5232a) ( 4, 1)2b) (2, 5)2c) (5, 30)3a) (8, 11)3b) (6, 8)3c) (9, 11) 3d) (14, 19) 4) |.|

\|=25, 0 D5) |.|

\| =1613,32121t 6a)2) (1, R =6b)1) (5, R = 7) |.|

\| =1039,331u8a)|.|

\| =231, M8b)|.|

\| 31,31e |.|

\| 38,359) |.|

\|=563, 10 P Opontomdio) y , x (M MM deumsegmentoAB,tambmpodesercalculadodiretamentepelasexpresses 2x xB A +=Mx e2y yB A +=My , normalmente estudadas na Geometria Analtica do Ensino Mdio. VETORES NO 3 As definies e concluses relativas ao 3, dar-se-o de forma anloga ao que vimos at ento para o 2. Sendo assim: - Vetor definido por dois pontos: Um vetor definido por dois pontosAeBser:) z , y , x ( ) z , y , x ( A B ABA A A B B B = = .Da tem-se que: ) z z , y y , x x ( ABA B A B A B = - Igualdade de vetores: Dados dois vetores) z , y , x ( v1 1 1= e) z , y , x ( w2 2 2=,2 1 2 1 2 1z z e y y e x x w v = = = = . Isto garante que os vetores em questo tero mesmo mdulo, direo e sentido. - Versores da Base Cannica: Os versores que formaro a base cannica do 3 so:i,j ek. Sendo que: 1 | k | | j | | i | = = = onde: ) 0 , 0 , 1 ( i =, ) 0 , 1 , 0 ( j =e ) 1 , 0 , 0 ( k = Da tem-se que: k z j y i x ) z , y , x ( v + + = = - Vetores nos Eixos e Planos Coordenados: Se um vetor posiov est sobre o: + eixo x, ento esse vetor do tipo:) 0 , 0 , (x v = ou i x v= . + eixo y, ento esse vetor do tipo:) 0 , , 0 ( y v = ou j y v= . + eixo z, ento esse vetor do tipo:) , 0 , 0 ( z v = ou k z v= . Se um vetor posiov est sobre o: + plano xy, ento esse vetor do tipo:) 0 , , ( y x v = ou j y i x v + = . + plano yz, ento esse vetor do tipo:) , , 0 ( z y v = ou k z j y v + = . + plano xz, ento esse vetor do tipo:) , 0 , ( z x v = ou k z i x v + = . - Vetor Nulo (ou Zero): No 3, o vetor nulo definido pela terna (0, 0, 0) que tambm define a origem do sistema de coordenadas em questo. Vetores e lgebra Vetorial 30 |.|

\| = =23, 5 , 0235 k j c - Representao Geomtrica: Exemplificando e localizando os vetores posio no 3, temos: ) 3 , 3 , 2 ( 3 3 2 = + = k j i a ) 5 , 0 , 4 ( 5 4 = + = k i b ) 0 , 2 , 1 ( 2 = = j i d

) 4 , 0 , 0 ( 4 = = k e ) 2 , 1 , 5 ( 5 2 = + + = i k j f Finalizando: - Umvetorposiowqualquer,temalgumasmaneirasdeserrepresentadoalgebricamente.Aexpressoanalticausual ) z y, x, ( w = apresentada a seguir com as suas notaes equivalentes:z y, , x k z. j y. i x. z) , y , (x w = + + = = . Acrescentaremos ainda, um exemplo para finalizar esse tema. Veja: Jsabemosqueovetork j 3 i 4 w + = podeserescritonaformaanaltica1) 3, (4, w =.Podemosverificarfacilmente esta correlao, substituindo os correspondentes versores:0) 0, (1, i =,0) 1, (0, j = e1) 0, (0, k =. Assim: k j 3 i 4 w + =1) 0, (0, 0) 1, 3(0, 0) 0, 4(1, w + = 1) 0, (0, 0) 3, (0, 0) 0, (4, w + = 1) 3, (4, w = - Uma outra notao para vetores, que importante e conveniente em algumas situaes, a MATRICIAL . Assim, um vetor qualquer) z y, x, ( w = pode ser escrito como matriz-coluna: (((

=zyxw, ou ainda, como matriz-linha:| | z y x w =. OPERAES COM VETORES NA FORMA ALGBRICA (ANALTICA) NO 3 Asoperaescomvetoresnaformaalgbricatornam-seespecialmenteimportantesnoespaotridimensional,devido dificuldadedeumarepresentaogeomtricainteligvelparamuitoscasos;semmencionaraprecisoabsolutados resultadosanalticos.Novamente,todososprocessosdescritosaseguirsoanlogosaosestudadosnosistema bidimensional. A diferena nos processos algbricos reside apenas no acrscimo de uma coordenada, a cota (z). Vejamos as operaes: Dados os vetores ) z , y , x ( v1 1 1=e ) z , y , x ( w2 2 2= no 3 e um nmeroe n , define-se: - Multiplicao de um Escalar (nmero real) por um Vetor: +) n.z , n.y , (n.x v n.1 1 1= z y x Vetores e lgebra Vetorial 31 - Adio (e Subtrao) de Vetores: +) z z , y y , x x ( w v2 1 2 1 2 1+ + + = + +) z z , y y , x x ( ) w ( v w v2 1 2 1 2 1 = + = EXEMPLOS COMPLEMENTARES: 1) Considere o vetorPQ w = sendo que P = (2, 3, 4) e Q = (2, 3, 5). Determine o vetort, tal que:w 4 t = . Resoluo I: Inicialmente, vamos calcular o vetorw. Assim: PQ w = 4) 3, (2, 5) 3, 2, ( P Q w = = 1) 0, 4, ( w = Agora podemos calcular o vetor pedido. Ento: w 4 t = 1) 0, 4, 4.( t = 4) 0, (16, t = Resoluo II: Sabemos quew 4 t =e quePQ w =, ento, substituindo o vetorw, temos: PQ 4. t = P) 4.(Q t = 4P 4Q t + = 4) 3, 4.(2, 5) 3, 2, 4.( t + = 16) 12, (8, 20) 12, (8, t + = Assim, o vetor solicitado :4) 0, (16, t = 2) Dados os pontos A(2, 2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor) 4 , 0 , 1 ( w =, determine o vetor: AB ) B A ( 3 w 2 Resoluo: - Inicialmente chamaremos deRo vetor solicitado. Ento: = R AB B A w ) ( 3 2 - Organizando...= R ) ( 3 3 2 A B B A w + = R A B B A w + + 3 3 2 = R A B w 2 2 2 + - Substituindo o vetorwe os pontosA eB ...= R ) 1 , 2 , 2 ( 2 ) 5 , 3 , 1 ( 2 ) 4 , 0 , 1 ( 2 + - Multiplicando os valores...= R ) 2 , 4 , 4 ( ) 10 , 6 , 2 ( ) 8 , 0 , 2 ( + = R ) 2 , 4 , 4 ( ) 2 , 6 , 4 ( - Enfim, temos o vetor solicitado:= R ) 0 , 10 , 0 ( 3) Encontrar o vrtice oposto B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(3, 1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0). Vetores e lgebra Vetorial 32 4) Determine o vetor resultante det w u + , sendo que:0) 2, (3, u =,4) 2, (0, w = e0) 3, (0, t =. Resoluo: Inicialmente chamaremos deR o vetor resultante solicitado. Ento: t w u R + =0) 3, (0, 4) 2, (0, 0) 2, (3, R + = Logo: 4) 7, (3, R = Ao lado, temos o problema representado graficamente. EXERCCIOS Vetores no 3 + Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 3 1) Determinar o vetorv, sabendo que:(3, 7, 1) + 2 v =(6, 10, 4) v. 2) Dados os pontos A(2, 2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor) 4 , 3 , 1 ( v =, calcular: a) A +v 3 b) (A B) v c) B + 2(B A) d) v 2 3(B A) 3) Dados os pontos A(3, 4, 2) e B(2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal queAB52AN= . 4)Considerandoosvetores) 1 , 0 , 3 ( = ue) 2 , 3 , 1 ( = veospontos) 1 , 4 , 0 ( A e) 7 , 6 , 2 ( B ,determineo vetorw tal que:w BA u w v u + = + 231) ( 4 . 5)DadosospontosA(1,2,3),B(2,1,4)eC(1,3,1),determinaropontoDtalque0 CD AB= + .Emseguida representar os vetores posio deAB eC D no 3. 6) Sabendo quew 2 v 4 u 3 = , determinar a, b e c, sendou= (2, 1 , c),v= (a , b 2 , 3) ew= (4 , 1 , 0). 7) Dados os vetores) 1 , 3 , 2 ( u =,) 1 , 1 , 1 ( v = e) 0 , 4 , 3 ( w =;a) determinar o vetorx de modo que w 2 x 4 x v u 3 + = + ; b) encontrar os nmeros 1a , 2ae 3atais que ) 5 , 13 , 2 ( w a v a u a3 2 1 = + + . 8) Encontrar o vrtice oposto a B no paralelogramo ABCD e representar este paralelogramo no 3. Considere 2 casos: a) A(1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3, 2, 5) b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5) 9) Sendo A(2, 5, 3) e B(7, 3, 1) vrtices consecutivos de um paralelogramo ABCD, e M(4, 3, 3) o ponto de interseco das diagonais, determinar os vrtices C e D. RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1)v= (1, 1, 1) 2a) (5, 7, 9)2b) (0, 6, 2)2c) (1, 7, 9)2d) (5, 3, 14) 3) N = |.|

\| 56, 2 , 1 4) |.|

\| = 12 ,221, 6 w 5) D = (2, 6, 8) 6)21a = , 47b = ,4 c =7a)|.|

\| =34,32,311x 7b)1 a , 3 a , 2 a3 2 1= = = 8a) D = (1, 3, 6)8b) D = (2, 1, 3)9) C = (6, 1, 3)eD = (1, 9, 7) Vetores e lgebra Vetorial 33 Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores Dois ou mais vetores so paralelos (ou colineares) entre si, quando seus representantes possurem a mesma direo.

w // v equiv ersossentido mesmodireo mesma)` w // v os contrav erscontrrios sentidosdireo mesma)` Analiticamente: Considere os vetores) z , y , x ( v1 1 1= e) z , y , x ( w2 2 2=.Simbolicamente temos: Sew // v n - e /w n. v = Da expresso w n. v = escrevemos: ) z , y , x (1 1 1) z , y , n.(x2 2 2= ) z , y , x (1 1 1) n.z , n.y , (n.x2 2 2= Comparando as coordenadas na igualdade acima, segue que: 2 1n.x x = e2 1n.y y = e2 1n.z z = nxx21 = nyy21 =nzz21 = Ento, de uma outra forma, temos:(n)zzyyxx212121= = = Sendo esta ltima, uma relao prtica para determinao de paralelismo (ou colinearidade) de vetores. Assim, vamos exemplificar: a) Os vetores6) 1, 4, w1 = ( e18) 3, (12, w2 = so paralelos, pois18631124== com31n = . b) Os vetores0) 6, 10, v1 = ( e0) 3, 5, ( v2 = so paralelos, pois36510=com 2 n = . c) Os vetores1) 6, 10, u1 = ( e2) 3, 5, ( u2 = NO so paralelos, pois 2136510== ] n [ R e -/ . d) Os vetores6) 1, 4, t1 = ( e18) 3, (12, t2 = NO so paralelos, pois18631124==] n [ R e -/ . Observaes: - Quandoumvetortiverumadascoordenadasnula,umoutrovetorparaleloaeste,tambmteracoordenada correspondente nula. Observe o exemplo (b) acima e veja o exemplo 2 a seguir. - Alguns autores consideram o vetor nulo0 colinear a qualquer vetor, ou seja:u // 0 . Para refletir: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atia o fogo da floresta. (Benjamim Franklin) || x y v w oo x y w v Vetores e lgebra Vetorial 34 EXEMPLOS: 1) Verifique se os vetoresu = (2, 4, 3)ek 6 j 8 i 4 w + =so paralelos, representando-os no 3. Nota: Observe que n pode assumir dois valores. Quando n = 2, temos neste caso que um vetor o dobro do outro, e, quando n = 1/2, temos que um vetor metade do outro. Os dois valores, obviamente, identificam a mesma situao. O valor encontrado depender da seqncia de escolha dos vetores em questo. 2) Dados os vetores) 0 , 4 , 3 a ( v = e) 2 b , 6 , 8 ( w + =, determine-os, sabendo quew // v . EXERCCIOS Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores 1) Quais dos vetores:2) , 6 , (4 u =,3) , 9 , 6 ( v =,9) , 21 , (14 w = e5) , 15 , (10 t = so paralelos? 2) Dado o vetorw= (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetoresu= (3, 2, 1)e v= (a, 6, b)+2 w sejam paralelos. 3) A reta que passa pelos pontosA(2, 5, 1)eB(1, 3, 0) paralela reta determinada porC(6, 1, 1)eD(0, m, n). Determine o ponto D. 4) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence reta que passa pelos pontos A(1 , 2 , 3) e B(2 , 1 , 5), calcule m e n. 5) Utilizando mtodos vetoriais, verifique se os pontos A(1, 5, 0), B(2, 1, 3) e C(2, 7, 1)so colineares. 6) Os vetores |.|

\|= 0 , 0 ,7vt e ||.|

\|= 0 , 0 ,35w so paralelos? Justifique sua resposta. Vetores e lgebra Vetorial 35 RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS

1) So paralelos:u,v et 2) a = 9,b = 15 3) D(0, 3, 1) 4) m = 5,n = 13 5) A, B e C so colineares6) Sim, so paralelos, pois ambos esto sobre o eixo das abscissas (eixo x). Clculo do Mdulo de um Vetor J vimos e sabemos que, geometricamente, o mdulo (ou norma) de um vetor definido pelo seu comprimento. Agora, definiremos como calcular o mdulo de um vetor posio no 2 ou 3, a partir de suas coordenadas. Veja: Considerando um vetor posio) y , x ( v = no 2 abaixo: Note que:OP | v | = Por Pitgoras, temos: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2 2 2 2y x | v | + = 2 2y x | v | + = Conseqentemente, para um vetor posio) z , y , x ( w = no 3 teremos:2 2 2z y x | w | + + = Observao: - Algumas literaturas utilizam uma outra notao para o mdulo de um vetoru que : || u || - Perceba que os vetores descritos a seguir so DIFERENTES, mas tm todos o mesmo mdulo, que neste caso 5. Veja: 4) , (3 v1 =4) , 3 ( v2 =4) , (3 v3 =4) , 3 ( v4 = 3) , (4 w1 =3) , 4 ( w2 =3) , (4 w3 =3) , 4 ( w4 = EXEMPLOS: 1) Determine o mdulo do vetorPQ w =, representando o vetor posiow no 3. Dados:) 10 5, (6, P =e) 10 2 0, (7, Q = y y x P x0 Vetores e lgebra Vetorial 36 2) Determine o valor m de modo que o vetork 3 j 4 i m v + =tenha mdulo igual a 7. 3) Considere os vetores |.|

\| =21,21,21u e0) 4, (3, w =. Determine| w 3 u 2 | . 4) Calcule a distncia entre os pontos A(1, 3) e B(4, 2) e represente graficamente a situao. y x Vetores e lgebra Vetorial 37 OBSERVAO: Paracalcularomdulodeumvetordefinidopordoispontos) , , (A A Az y x A e) , , (B B Bz y x B noespao(ou simplesmente calcular a distncia entre dois pontosA eBquaisquer) podemos utilizar a frmula da distncia entre dois pontos: 2 2 2) ( ) ( ) (A B A B A B ABz z y y x x d + + = que para o caso da sua utilizao no clculo do mdulo de um vetorAB , ficaria: 2 2 2) ( ) ( ) ( | |A B A B A Bz z y y x x AB + + = Vetor Unitrio Um vetor dito unitrio quando seu mdulo for igual a 1. Em diversas situaes faremos uso desse conceito. Formalizando, temos: Se) z , y , x ( w = UNITRIO, ento podemos escrever1 | w | =. Pela frmula do mdulo de um vetor, temos:2 2 2z y x | w | + + =

Se unitrio, ento: 2 2 2z y x 1 + + = Simplificando, encontraremos:1 z y x2 2 2= + + Observaes: - As coordenadas de qualquer vetor unitrio) z , y , x ( w = fazem parte do intervalo1 z , y , x 1 < < . - No caso de um vetor unitrio, ter uma das coordenadas igual a 1 ou 1, as demais obrigatoriamente devero ser nulas.No 3, isso se resumo a somente 6 casos. Quais so esses vetores? EXEMPLOS: 1) Considere os vetores |.|

\| =21,21,21u e0) 4, (3, w =. Verifique seu e/ouw so unitrios. Para refletir:Bem melhor arriscar coisas grandiosas mesmo expondo-se derrota, do que formar fila com os pobres de esprito, os quais vivem nessa penumbra cinzenta, e no conhecem nem vitria, nem derrota. (Theodore Roosevelt) Vetores e lgebra Vetorial 38 2) Determine o valor de p de modo que o vetor k21j31i p u + = seja unitrio. Resoluo: Para que o vetoru seja unitrio, necessrio que: 1 z y x2 2 2= + + Substituindo as coordenadas do vetoru, temos: 12131p) (2 22= + + |.|

\||.|

\| Note que: 2 2p p) ( = Assim, buscando isolar o p na equao: 14191p2= + + 41911 p2 = 369 4 36p2 = 3623p2= 3623p = 623p = Tpico Especial: DESIGUALDADE TRIANGULAR A expresso| | | | | | v u v u + s + conhecida como desigualdade triangular e afirma que: o mdulo da soma de dois vetores sempre menor ou igual soma dos mdulos desses mesmos vetores. Pense a respeito! Em que situao ocorre que:| | | | | | v u v u + = + ?E quando ocorre que:| | | | | | v u v u + < + ? EXERCCIOS Clculo do Mdulo de um Vetor + Vetor Unitrio 1) Dados os vetores) 0 , 1 ( = u,) 4 , 3 ( = v e) 6 , 8 ( = w, calcular: a) | | u b) | | v c) | | w d) | | | | v u +e) | | v u +f) | 2 | w u g) | 3 | u w Observao: compare as respostas das sentenas (d) e (e) e tire suas concluses! 2) Calcular os valores de a para que o vetoru= (a, 2)tenha mdulo 4. 3) Verificar se so unitrios os seguintes vetores:) 1 , 1 , 1 ( = ue|.|

\| =61,62,61v 4) Determinar o valor de n para que o vetor |.|

\|=54,52, n v seja unitrio. 5) Seja o vetor k 5 j ) 2 m ( i ) 7 m ( v + + + + = . Calcular m para que| v| = 38 . 6) Calcule a distncia do ponto T(12, 9) origem. 7) Determine o valor deypara que o vetor |.|

\| =34, ,21y w seja unitrio. 8) Calcular o permetro do tringulo de vrtices A(0, 1, 2), B(1, 0, 1) e C(2, 1, 0) e classific-lo quanto aos seus lados. 9) Dados os pontosA(3, m 1, 4)eB(8, 2m 1, m), determinar m de modo que35 | AB | = . 10) Encontrar um ponto do eixo x de modo que a sua distncia ao ponto A(2, 3) seja igual a 5 uc. 11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distncia ao ponto T(1, 2, 2) seja igual a 3 uc.12) Dados A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine o valor de m para que| | v= 7,sendo queBC AC m v + = .. 13) Obter um ponto P, do eixo das abscissas, eqidistante dos pontos A(2, 3, 1) e B(2, 1, 1). Vetores e lgebra Vetorial 39 x y z A B C D E F M N L I G H J K P O 14) Determine o mdulo do vetorj ) (cos i ) (sen v + = . 15) Considerando a pea plana apresentadaao lado, determine a distncia entre os furos: a) A e Bb) B e C Observao: medidas em mm 16) Determine as distncias do ponto P(1, 4, 2) aos eixos coordenados x, y e z, representando P no 3. 17) Na pea apresentada abaixo, determine a distncia entre os pontos: a)A e D b)G e I c)L e E Observao: medidas em mm 18) Prove que os pontos A(2 , 1), B(2 , 2), C(1 , 6) e D(5 , 3), nesta ordem, so vrtices de um quadrado. 19) Utilizando a frmula distncia: 2 2 2) ( ) ( ) (A B A B A B ABz z y y x x d + + = , demonstre que os pontos ) 0 , 2 , 1 ( = P ,) 3 , 2 , 2 ( = Qe) 6 , 10 , 7 ( = Rso colineares. RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1a) 1 1b) 5 1c) 10 1d) 6 1e) 5 21f) 2 61g) 61 2) 3 2 3) apenasv unitrio 4)55 5) {5, 4}6) 15 uc 7) 1 | | / = e -/ w R y 8) 3 2 11 2 + uc / Tringulo Issceles, poisCA BC AB = = 9) {3, 1}10) (6, 0) ou (2, 0)11) P(0, 0, 0) ou P(0, 0, 4)12) 3 ou 13/513) Faa:| | | | PB PA=eP(1, 0, 0) 14) 1 15a) 32,70 mm15b) 25 mm16)5 2 ,5e17 uc17a)114 5 mm17b)70 5 mm 17c)25mm19) Demonstre que:QR PR PQd d d = + Esquentando o Processador! 1) Se a metade de XII no seis, ento quanto ? 2) O pai do padre filho de meu pai. O que sou do padre? Para refletir:Todos ganham presentes, mas nem todos abrem o pacote. (Nei Ferrarini) C A B Vetores e lgebra Vetorial 40 Versor de um Vetor Oversordeumvetor0 w= ovetorUNITRIOquetemamesmadireoesentidodewerepresentamospor w vers . y =w de mesmo : sentidow de mesma : direo1 | w v ers | : mdulo: w v ers 0x Paraencontrarmosascoordenadasdoversordeumvetorw,bastadividircadaumadascoordenadasdewpeloseu mdulo. Assim, para determinarmos o versorw, usaremos: | w |ww v ers = convenientelembrarque,porexemplo,seumvetorvdemdulo10,formultiplicadopeloescalar1/10,issoresultar num vetor de mdulo 1, pois 1/10 de 10 equivale a 1. Agora, vale a pena destacarmos os versores da base cannica do 3. ) 0 , 0 , 1 ( i =, ) 0 , 1 , 0 ( j =e ) 1 , 0 , 0 ( k = Observe que: . 1 | k | | j | | i | = = =

Ao lado temos um 3 mostrando os versores da base cannica. Observaes: - Um vetor unitrio coincide com o seu prprio versor. - Encontramos em algumas literaturas: wu como sendo a notao para o versor do vetorw (vetor unitrio dew). EXEMPLO: 1) Dado o vetor) 5 , 4 , (2 u =, determine o seu versor. Em seguida, represente estes vetores no 3. 1 1 1 z y x i j k w w vers Vetores e lgebra Vetorial 41 Observao:Represente no 2 o vetorv

e os vetores encontrados nas questes 4a, 4b e 4c. EXERCCIOS Versor de um Vetor 1) Dados os vetores1) , (1 u =,4) , 3 ( v = e6) , (8 w =, calcular: a) v versb) w vers c) u versd) | u vers |

2) Determinar o valor de a para queu= (a, 2a, 2a)seja um versor. 3) Dados os pontos A(1, 2, 3),B(6, 2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetorw, tal queBC 2 BA 3 w =. 4) Dado o vetor) 3 , 1 ( = v, determinar o vetor paralelo av que tenha: a) sentido contrrio ao dev e duas vezes o mdulo dev; b) o mesmo sentido dev e mdulo 2; c) sentido contrrio ao dev e mdulo 4. 5) Determinar o vetor de mdulo 5, paralelo ao vetorv= (1, 1, 2). 6) Dado o vetor) 3 , 1 , 2 ( = v, determinar o vetor paralelo av que tenha: a) sentido contrrio ao dev e trs vezes o mdulo dev; b) o mesmo sentido dev e mdulo 4; c) sentido contrrio ao dev e mdulo 5. RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1a)||.|

\|54,531b) ||.|

\|53,541c) ||.|

\|21,211d) 1 2) 313) vers w=|.|

\|94,94,97 4a) (2, 6) 4b) |.|

\|106,102 4c) |.|

\|1012,104 5) Os 2 possveis so: |.|

\| 610,65,65 6a) (6, 3, 9)6b) |.|

\| 1412,144,1486c) |.|

\|1415,145,1410 Esquentando o Processador! Um grande industrial, na necessidade de ir a So Paulo, chegou a seu guarda-noturno e ordenou: - Amanh, acorde-me s 6 horas, por favor. Tenho que pegar o avio para So Paulo. - Pois no, chefe! Pontualmente s 6 horas o guarda apertou a campainha da residncia do industrial e tentou demov-lo da idia de viajar: - Patro disse o guarda estou com mau pressgio: sonhei esta noite que o Sr. teria um acidente com o avio e me permita sugerir que no viaje.O industrial titubeou, mas viajou mesmo assim. Sem incidentes, chegou a So Paulo e por telefone mandou despedir o guarda. Por qu? PRODUTO ESCALAR Definio Algbrica do Produto Escalar: Considerando o espao 3 e os vetores) , , (1 1 1z y x u = e) , , (2 2 2z y x w=, chamamos de Produto Escalar deu ew, o nmero real dado por: 2 1 2 1 2 1. . . z z y y x x w u + + =

Observaes: -Oprodutoescalartambmconhecidocomoprodutointerno(ouaindamultiplicaointerna)epodeserindicadopor w u ,w uouw u , (l-se:uescalarw).Anotaow u paraoprodutoescalarjestemdesuso,ea utilizaremos mais adiante para representar o produto vetorial. - Observe que: u w w u = (propriedade comutativa). - Para o caso de se trabalhar somente no plano, ou seja, no 2, apenas suprime-se a coordenada z. Vetores e lgebra Vetorial 42 Definio Geomtrica do Produto Escalar: Considerando os vetores) , , (1 1 1z y x u = e) , , (2 2 2z y x w= no nulos e u o ngulo entre eles, o Produto Escalar de u ew pode ser escrito por: cos . . w u w u = u (com 0s us 180) Prova das definies: Considerando dois vetoresu ew quaisquer e o ngulo u entre eles, podemos representar geometricamente (abaixo): Aplicando a Lei dos Cossenos para o ngulo u, temos: A cos 2.b.c. c b a2 2 2 + = |. w |.| u .| | w | | u | | w u | cos 22 2 2 + = |. w |.| u .| | w | | u | | w | w u | u | cos 2 ) ( 22 2 2 2 + = + |. w |.| u .| | w | | u | | w | w u | u | cos 2 ) ( 22 2 2 2 + = + |. w |.| u .| w u cos 2 ) ( 2 = ] 2 [ |. w |.| u | w u cos = Como queramos demonstrar! Agora, provaremos a definio algbrica. Inicialmente, vamos considerar que:) , , (1 1 1z y x u = e) , , (2 2 2z y x w= e conseqentemente:) , , (2 1 2 1 2 1z z y y x x v u = . Aplicando a Lei dos Cossenos para o ngulo u (veja figura acima), temos: A cos 2.b.c. c b a2 2 2 + = |. w |.| u .| | w | | u | | w u | cos 22 2 2 + = 2 2 2cos 2 | w u | | w | | u | |. w |.| u .| + = | | | | | |222 122 122 122222222212121) ( ) ( ) ( cos 2 z z y y x x z y x z y x |. w |.| u .| + + + + + + + = ] ) ( ) ( ) (22 122 122 1222222212121[ cos 2 z z y y x x z y x z y x |. w |.| u .| + + + + + + + = ] . 2 . 2 . 222 2 12122 2 12122 2 121222222212121[ cos 2 z z z z y y y y x x x x z y x z y x |. w |.| u .| + + + + + + + + + + = ] . 2 . 2 . 22 1 2 1 2 1[ cos 2 z z y y x x |. w |.| u .| = 2 1 2 1 2 12 2 2 cos 2 z z y y x x |. w |.| u .| + + = ] 2 [ 2 1 2 1 2 1. . . cos z z y y x x |. w |.| u | + + = Como j vimos que: |. w |.| u | w u cos = 2 1 2 1 2 1. . . z z y y x x w u + + = Como queramos demonstrar! Para refletir:Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemtica; os pases socialmente atrasados so aqueles em que a atividade matemtica nula ou quase nula. (Jacques Chapellon) A B C u w u AB C u w u w u Vetores e lgebra Vetorial 43 ngulo entre dois vetores: O ngulo entre dois vetores definido como sendo o menor ngulo que um vetor deve girar ao encontro do outro vetor para que se tornem colineares. Desta forma, utilizaremos o ngulo u com a seguinte variao:0s us 180. Da igualdade |. w |.| u | w u cos = , vista anteriormente, temos:

| | . | |cosw uw u = u como sendo a frmula a partir da qual se calcula o ngulo u entre dois vetores no nulos. A mesma relao pode ser escrita na forma: |.|

\| =| | . | |arccosw uw u uou no padro americano: |.|

\| =| | . | |cos1w uw u u Se u for o ngulo entre os vetoresuew, ento podemos utilizar a notao: ) , ( w u = u Paradeterminarongulouentredoisvetores,atravsdarelaodescritaacima,sernecessrioconsultarumatabela trigonomtrica ou fazer uso de uma calculadora cientfica. Normalmente, encontraremos os ngulos em duas unidades: o grau () e o radiano (rad). A converso entre as unidades pode ser feita atravs de uma regra de trs simples e direta:180trad Lembretes:- Uma volta completa possui 360 ou 2t rad. - As calculadoras cientficas trabalham com os ngulos em trs unidades: DEG (grau), RAD (radiano) e GRAD (grados). - A seguir, tm-se as possveis situaes no estudo do ngulo u e do produto escalar de dois vetores no nulos: u = 0 u ew so paralelos (equiversos)cos 0 = 1 w u > 0 u// w u = 180 u ew so paralelos (contraversos) cos 180 = 1 w u < 0 u// w u = 90 (ngulo reto) u ew so perpendiculares ( w u )

cos 90 = 0 w u = 0 0 < u < 90 (ngulo agudo) cos u > 0 w u > 0 90 < u < 180 (ngulo obtuso) cos u < 0 w u < 0 ^ uw uw u u w u u w u u w - Vetores e lgebra Vetorial 44 Observaes: - Nulidade do produto escalar: 0 = w u , se: i) Um dos vetores for nulo; ii) Os dois vetores forem ortogonais (perpendiculares) entre si, ou seja, u = 90 [Lembre-se que: cos 90 = 0]. A partir disso podemos escrever:0 0 = u e 0 0 = u; e particularmente: 0 = = = k i k j j i . Vale lembrar os versores (base cannica) dos eixos cartesianos: i= (1 , 0 , 0), j= (0 , 1 , 0)e k= (0 , 0 , 1). - Em particular, o vetor nulo0 perpendicular a qualquer outro vetor e escrevemos:u 0 . Enfatizando: Para os vetores0= u e0= wtemos que w u w u = 0 (o produto escalar zero para vetores ortogonais). Aplicaes do Produto Escalar: NamolculademetanoCH4(figuraaolado),ostomosdehidrognioesto posicionadosnosquatrosvrticesdotetraedroregular.Adistnciaentreocentrodo tomo de hidrognio e o centro do tomo de carbono 1,10 angstroms [1 = 1010 m] eongulodaligaoHCHu=109,5.Vriasoutrasmolculastmestruturas geomtricasespaciaisquepodemserestudadas[clculodemedidasengulos,por exemplo] atravs da aplicao dos conceitos de produto escalar. Nassituaesemquefornecessriooclculoouestudodemedidasengulosem situaesespaciais(com3dimenses)podemosmuitobemaplicarosconceitosdo produtoescalar.Algumasaplicaesdeengenharia(namecnicageral)sero abordadas nos exerccios que veremos a seguir. EXEMPLOS: 1) Dados os vetoresk i u 8 3 + =e) 5 , 2 , 4 ( = w determine o valor deu w . 2) Mostre que, para qualquer que seja o vetoru, teremos: 2| | u u u = . Resoluo: Seja o vetor) , , ( z y x u =. Ento, aplicando a definio algbrica do produto escalar, temos:

z z y y x x u u . . . + + =

2 2 2z y x u u + + = (I) Mas aplicando a frmula do mdulo, temos:2 2 2| | z y x u + + =

2 2 2 2| | z y x u + + = (II) Agora, substituindo a equao (II) em (I), temos: 2| | u u u = , como queramos mostrar. Vetores e lgebra Vetorial 45 3) Sendo| | u= 2 ,| | w= 3e 120 o ngulo entre os vetoresu ew, calculew u . Resoluo: Considerando os dados do problema, aplicaremos a definio geomtrica do produto escalar. Ento: cos . . w u w u = u 120 cos . 3 . 2 = w u |.|

\| = 216 w u 3 = w u Note que o produto escalar negativo, pois o ngulo entre os vetores obtuso (120). 4) Calcule o ngulo entre os vetoresv= (2, 1, 1) eAB , sabendo que A(3, 1, 2) e B(4, 0, 4). 5) Prove que o tringulo de vrtices A(2, 3, 1), B(2, 1, 1) e C(2, 2, 2) retngulo em B. Vetores e lgebra Vetorial 46 6) Determine um vetor ortogonal aos vetores 1v= (1, 1, 0)e 2v= (1, 0, 1). Tpico Especial: Consideraes Importantes Notao: Alguns autores representam um vetorv apenaspor v (sema flechinha e em negrito) ev (sem negrito) para o mdulo desse vetorv. A frmula (definio geomtrica) do produto escalar com essa notao ficaria assim: u.v = u.v.cos uou ainda, como podemos observar em alguns livros:A.B = A.B.cos u.Fique atento! Observe e reflita: Se um vetor posiov ortogonal ao: - eixo x, escrevemosOx v . Ento esse vetor do tipo:) , , 0 ( z y v =. - eixo y, escrevemosOy v . Ento esse vetor do tipo:) , 0 , ( z x v =. - eixo z, escrevemosOz v . Ento esse vetor do tipo:) 0 , , ( y x v =. Vale relembrar que, se um vetor posiov est sobre o: - eixo x, escrevemosOx v //. Ento esse vetor do tipo:) 0 , 0 , (x v =. - eixo y, escrevemosOy v //. Ento esse vetor do tipo:) 0 , , 0 ( y v =. - eixo z, escrevemosOz v //. Ento esse vetor do tipo:) , 0 , 0 ( z v =. Esquentando o Processador! Voc tem um fsforo e entra num quarto frio e escuro, que tem um aquecedor a leo, uma lmpada a querosene e uma vela. Qual voc acende primeiro? Abaixo, um texto interessante para voc ler e refletir profundamente... As Trs Peneiras Um rapaz procurou Scrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre algum. Scrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e perguntou: - O que voc vai me contar j passou pelas trs peneiras? - Trs peneiras?- indagou o rapaz. - Sim! A primeira peneira a VERDADE. O que voc quer me contar dos outros um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa devemorreraquimesmo.Suponhamosentoquesejaverdade,deveentopassarpelasegundapeneira:aBONDADE.O quevocvaicontarumacoisaboa?Ajudaaconstruiroudestruirocaminho,afamadoprximo?Seoquevocquer contar verdade e coisa boa, dever passar ainda pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convm contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta? Arremata Scrates: - Se passou pelas trs peneiras, conte!! Tanto eu, como voc e seu irmo, iremos nos beneficiar. Caso contrrio, esquea e enterre tudo. Ser uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discrdia entre irmos. Devemos sempre ser a estao terminal de qualquer comentrio infeliz. Vetores e lgebra Vetorial 47 EXERCCIOS Produto Escalar 1) Mostrar que os pares de vetores dados so ortogonais: a)v= (1, 2, 3) ew= (4, 5, 2) b)i ej 2) Dados os vetores) 0 , 1 , 1 ( = u e) 0 , 1 , 0 ( = w, calcule o valor de w u pelas definies algbrica e geomtrica. Sugesto: Para auxiliar no clculo dew u atravs da definio geomtrica, faa uma representao no 3 dos vetoresu ew, e assim perceba o valor do ngulo u entre eles. 3) Seja o tringulo de vrtices A(1, 2, 4), B( 4, 2, 0) e C(3, 2, 1). Determinar o ngulo interno aos vrtices B e A. 4) Os pontos A, B, C so vrtices de um tringulo eqiltero com lado de 10cm. Calcule o produto escalar entreA B eA C. 5) Verificar se existe ngulo reto no tringulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1). 6) Calcular n para que seja de 30 o ngulo entre os vetoresu= (1, n, 2) ej. 7) Dados os vetoresa= (2, 1, m),b= (m+2, 5, 2) ec= (2m, 8, m), determinar o valor de m para que o vetorb a+seja ortogonal ao vetora c . 8) Determinar os ngulos internos do tringulo de vrtices A(2, 1, 3), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 1). 9) Sabendo que o ngulo entre dois vetores) 1 , 1 , 2 ( = u e) 2 , 1 , 1 ( + = m v 3 / t , determinar m. 10) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(3, 2, 1) so vrtices de um tringulo retngulo. 11) Qual o valor de m para que os vetoresk 4 j 5 i m a + =ek 4 j 2 i 1) (m b + + + =sejam ortogonais? 12) Determine o vetorw, paralelo ao vetor) 3 , 1 , 2 ( = u, de modo que42 = u w . 13) Determinar um vetor unitrio ortogonal ao vetor) 1 , 1 , 2 ( = v. 14) Os lados de um tringulo retngulo ABC (reto em ) medem 5, 12 e 13. CalcularCB CA BC BA AC AB + + . 15) Determinar o vetorv, sabendo que5 | | = v,v ortogonal ao eixoOz ,6 = w v eque k j w 3 2 + = . 16)Determinarovetorv,ortogonalaoeixoOz ,quesatisfazas condies101 = v v e52 = v v ,sendo) 1 , 3 , 2 (1 = ve ) 2 , 1 , 1 (2 = v. 17) Na torre da figura ao lado, determine o ngulo formado entre os cabos AB e AC, e o ngulo agudo que o cabo AD forma com a linha vertical. 18) Determine o menor ngulo formado entre duas diagonais de um mesmo cubo. Sugesto: desenhe um cubo no 3. Teste sua ateno e organizao com o exerccio 19! 19) Dados os vetores) 1 2 , , 1 ( = a a u,) 1 , 1 , ( = a a v e) 1 , 1 , ( = a w, determine o valor de a de maneira quew v u v u + = ) ( . 20) Calcule o mdulo dos vetores v u + e v u , sabendo que4 | | = u,3 | | = v e que o ngulo entreu ev de 60 . Esquentando o processador! Movimente apenas um palito (no esquema ao lado) para ficar correto! Para refletir:Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. (Provrbio chins)

Vetores e lgebra Vetorial 48 RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1) Utilize a def. algbrica do produto escalar!2)w u = 1 3)B= 45 eA= 904) 50 5) 6) 15 7) { 6, 3} 8) ~ A arc cos(0,630) ~ 51, ~ B arc cos(0,544) ~ 57e ~ C arc cos(0,309) ~ 72 9) m = 4 10)0 BC BA = 90 B = 11) {3, 2} 12) (6, 3, 9) 13) - s vetores. Um deles : |.|

\|21,21, 0 ; para x = 0

14) 16915) (4, 3, 0)16) (1, 4, 0)17) 41,69 e 37,5118) Aprox. 7019) a = 220)37e13 NGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Considere o vetor) , , ( z y x v = no-nulo, conforme a figura abaixo. Ento: ngulos diretores dev so os nguloso ,|eque v forma com os versoresi,j ek, respectivamente. Cossenos diretores dev so os cosenos de seus ngulos diretores, isto ,o cos ,| cose cos . Nota:Observequeosngulosdiretoresdeumvetor,soosngulosqueovetorformacomossemi-eixoscoordenados positivos. Vale detalhar ento que: 180 , , 0 s s | o . Para determinarmos os ngulos diretoreso ,| ,e seus cossenos, utilizaremos a frmula que calcula o ngulo entre dois vetores no-nulos: w uw u .cos= u , vista anteriormente quando estudamos o produto escalar de dois vetores. Assim teremos: | | ) 1 .( | |) 0 , 0 , 1 ( ) , , (| | . | |cosvxvz y xi vi v === o| |cosvx= o | | ) 1 .( | |) 0 , 1 , 0 ( ) , , (| | . | |cosvyvz y xj vj v === || |cosvy= | | | ) 1 .( | |) 1 , 0 , 0 ( ) , , (| | . | |cosvzvz y xk vk v === | |cosvz= Observao: Note que os cossenos diretores dev so exatamente as componentes do versor dev: ) cos , cos , (cos| |,| |,| | | |) , , (| | | o =||.|

\|= = =vzvyvxvz y xvvv vers Como o versor sempre um vetor UNITRIO, decorre imediatamente que: 1 cos cos cos2 2 2= + + | o . Nota: os ngulos e cossenos diretores tambm podem ser chamados de ngulos e cossenos DIRECIONAIS. Vetores e lgebra Vetorial 49 EXEMPLOS: 1) Calcule os ngulos diretores do vetor) 0 , 1 , 1 ( = v. 2) Os ngulos diretores de um vetor soo , 45e 60 . Determine o nguloo . EXERCCIOS ngulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor 1) Calcule os ngulos diretores do vetor) 3 , 2 , 6 ( = v 2) Um avio est a 4km de altura, 5km ao sul e 7km leste de um aeroporto, conforme figura ao lado. Sabendo que o avio partiu em linha reta at o ponto em questo, determine os ngulos direcionais do avio. 3) Os ngulos diretores de um vetorw so 45 , 60e 120e2 | | = w. Determine o vetorw. 4) Os ngulos diretores de um vetor podem ser 45 , 60e 90 ? Justifique sua reposta. Para refletir:O conhecimento amplia a vida. Conhecer viver uma realidade que a ignorncia impede desfrutar. (Pensamento Logosfico) Vetores e lgebra Vetorial 50 5)Determine,emgraus,osngulosqueabarraOAformacom os eixos cartesianos (veja figura ao lado). 6) Os ngulos diretores de um vetor so 120 ,|e 60 .Encontre| . 7) Num vetorv so conhecidos3 / 2 cos = oe3 / 2 cos = | . Determine: a) cos[ agudo]b)v vers 8) Determine um vetor unitrio ortogonal ao eixoOze que forme 60com o eixoOx . 9) Determinar o vetort de mdulo5 , sabendo que ortogonal aoeixoOy eaovetork i v 2 = ,equeformanguloobtuso com o vetori. RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1) 62 , 64 ) 7 / 3 arccos( ; 60 , 106 ) 7 / 2 arccos( ; 00 , 31 ) 7 / 6 arccos( ~ = ~ = ~ = | o 2) 06 , 65 , 45 , 42 , 19 , 58 ~ ~ ~ | o 3)1) 1, , 2 ( w =4) No, pois:1 90 cos 60 cos 45 cos2 2 2= + +5) 62 , 22 , 34 , 103 , 08 , 72 ~ ~ ~ | o 6) Existem duas possibilidades:S = {45, 135} 7a)3 / 1 cos = 7b)) 3 / 1 , 3 / 2 , 3 / 2 ( = v vers

8) Os dois vetores possveis so:) 0 , 2 / 3 , 2 / 1 ( ) 0 , 2 / 3 , 2 / 1 ( ou 9) O vetor procurado :) 5 , 0 , 5 2 ( = t Para refletir:O amor no garante uma boa convivncia. (De uma psicoterapeuta, na Rdio CBN) Tpico Especial: PROJEO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Sejam os vetoresw ev no nulos euo ngulo entre eles, conforme a representao a seguir. Osegmentoorientado' AB chamadodevetorprojeodewemv(ouprojeoortogonaldewemv)e indicaremos por: w proj ABv= ' O vetor projeo dew emv poder ser encontrado atravs da relao: vv vv ww projv =|.|

\|ou vvv ww projv =|.|

\|2| | A deduo da relao acima fica a cargo do leitor. Nota: Existemsituaes especficasna engenharia, que a utilizao darelao acima (projeo de um vetor sobre outro), facilita muito a resoluo de diversos problemas que envolvem a geometria analtica. Vetores e lgebra Vetorial 51 Observaes: - Seu agudo, o vetorw projv tem mesmo sentido dev. - Seu obtuso, o vetorw projv tem sentido contrrio dev. - O vetorw projv pode ser maior quev. - Em geral: v proj w projw v = - Obviamente (pela definio) o vetorw projv sempre tem a mesma direo dev. - A NICA simplificao que podemos fazer na expressovv vv ww projv =|.|

\| vvv ww projv =|.|

\|2| |. CASO PARTICULAR:Quandov UNITRIO. Sev unitrio, ento1 | | = v. Substituindo em: vvv ww projv =|.|

\|2| |, temos: vv ww projv =|.|

\|2) 1 ( v v w w projv = ) ( | ) ( | | | v v w w projv = Aplicamos mdulo nos dois membros da expresso. | | | ) ( | | | v v w w projv = Aplicamos uma propriedade de mdulo e como1 | | = v, temos: 1 | ) ( | | | = v w w projv | ) ( | | | v w w projv = Note que| ) ( | ' v w AB = Assim, pela ltima expresso, podemos enunciar: O comprimento do vetor projeo dew emv, sendov unitrio, igual ao mdulo do produto escalar dew ev. A B w projv u w v B B B v w u w projv A B B v w u w projv A B B v w u w proj ABv= '

A B B v w u w projv Vetores e lgebra Vetorial 52 Notas: - A expresso destacada anteriormente definida com a interpretao geomtrica do mdulo do produto escalar. - Caso o vetorv no seja unitrio, podemos utilizar o seu versor, ou seja, o vetorv vers , que unitrio e tem a mesma direo e sentido dev. EXEMPLO: 1) Determine o vetor projeo de) 4 , 3 , 2 ( = v sobre) 0 , 1 , 1 ( = u. Resoluo: Para determinar a projeo dev sobreu utilizaremos:uu uu vv proju =|.|

\| Ento, inicialmente calcularemos: 1 0 3 2 ) 0 ).( 4 ( ) 1 ).( 3 ( ) 1 ).( 2 ( = + = + + = u v e 2 0 1 1 ) 0 ).( 0 ( ) 1 ).( 1 ( ) 1 ).( 1 ( = + + = + + = u u Ento: ) 0 , 1 , 1 (21 = =|.|

\||.|

\|uu uu vv proju O vetor pedido : |.|

\| = 0 ,21,21v proju Observao: Existem outras utilidades para a aplicao da projeo de um vetor sobre outro. Pesquise! Para refletir:Sobre todas as coisas h trs pontos de vista: o teu, o meu e o correto. (Provrbio chins) PRODUTO VETORIAL Anteriormente vimos que, a cada par de vetores, podemos associar um nmero real, chamado de produto escalar entreestesdoisvetores.Atravsdesseprodutoescalar,conseguimosobtervriasinformaessobrevetores,comopor exemplo,ngulosentredoisvetoresengulosentreumvetoreoseixoscoordenados.Chegamosataresolveralguns exerccios de geometria euclidiana fazendo uso do mesmo! Poisbem,vamosfalarumpoucodeumnovoprodutoentredoisvetores:oprodutovetorial.Diferentementedo produto escalar, o produtovetorial entre dois vetoresu ew um vetor! Veja se voc entendeu: enquanto o produto escalar um nmero, o produto vetorial um vetor; e este vetor tem vrias caractersticas importantes e peculiares. Vamos ento definio de produto vetorial. Definio: Considerando o espao 3 e os vetores ) , , (1 1 1z y x u = e ) , , (2 2 2z y x w =, chamamos de Produto Vetorial deu ew, o vetorw u definido por: ) ; ; (2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1x y y x z x x z y z z y w u = k x y y x j z x x z i y z z y w u + + = ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 As componentes do vetor acima tambm podem ser escritas com determinantes de ordem 2, conforme abaixo: ky xy xjz xz xiz yz yw u + = 2 21 12 21 12 21 1 E que, para simplificar, escreveremos o vetorw u com um nico determinante [simblico] de ordem 3: 2 2 21 1 1z y xz y xk j iw u = Vetores e lgebra Vetorial 53 Consideraes Importantes: - O produto vetorial tambm conhecido como produto externo (ou ainda produto cruzado) e pode ser indicado porw u ou w u .(l-se:u vetorialw). - Observe que: ) ( u w w u = (propriedade anti-comutativa). - Direo dew u : perpendicular (ortogonal) aos vetoresu ew simultaneamente. - Sentido dew u : u,w ew u Nesta ordem, formam um triedro positivo(segue a regra da mo direita). - Mdulo dew u : u sen w u w u . | | . | | | | = (com 0s us 180).Note que:| | | | u w w u = . - Nulidade do produto vetorial:0 = w u , se: i) Um dos vetores for nulo; ii) Os dois vetores forem paralelos entre si, ou seja, u = 0 ou u = 180. A partir disso, podemos escrever: 0 = u u ,0 0 = u e 0 0= u ; e particularmente: 0 = = = k k j j i i . - Em particular, os versoresi,j ek, nesta ordem, formam um triedro positivo. Deumaformaprtica,utiliza-seoesquemaaoladoparadeterminaroprodutovetorialdedois desses versores, cujo resultado o versor faltante, de sinal positivo se o sentido for anti-horrio e negativo se no sentido horrio. Veja alguns exemplos: k j i = j i k = i j k = k i j = j k i = Enfatizando: Para os vetores0= u e0= wtemos: w u w u = 0(o produto escalar zero para vetores ortogonais) w u w u // 0 = (o pro