1 - OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS*

A geometria é, frequentemente, ensinada no quadro negro ou através de livros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificuldade para o aprendizado da criança. Mas o mesmo não se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas

geométricas, como a mostrada na figura ao lado.

Pode-se ensinar geometria espacial por intermédio da montagem de sólidos, em que a criança recorta um desenho numa folha de cartolina e, através de dobraduras e colagem, monta um sólido geométrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, além de possibilitar que a criança construa estruturas e "brinque" com a geometria espacial, torna possível a visualização de alguns elementos que na atividade com cartolina são menos notados. Estes elementos são as arestas e os vértices dos sólidos.

A estrutura mais simples para se montar é a do tetraedro (poliedro de quatro faces) que possui 6 arestas e 4 vértices. Na figura ao lado nota-se que cada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. Portanto, para montá-lo será necessário dispor de 6 canudos de refrigerante.

Ligar um canudo ao outro pode parecer algo complicado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algumas tentativas.

Para começar a construção da estrutura deve-se iniciar pela base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é regular então o triângulo deverá ser equilátero. A construção da base começa passando-se o barbante por três canudos.

Depois de passar o barbante pelos canudos passa-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse jeito não será preciso dar um nó, ainda.

Concluída esta etapa temos a estrutura como mostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantar o tetraedro, que também é uma pirâmide de base triangular. Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois outros canudos.

1

Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na outra extremidade e poderemos passá-la pelo último canudo.

Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o tetraedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado na figura. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas vezes pelo mesmo canudo.

Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas. Em vez de usar barbante para unir os canudos pode-se usar bolinhas de isopor ou massa de modelar.

Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou seja, ela não fica de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices opostos.Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformar-se. Para construí-la serão necessários 8 canudos.

Construindo um Dodecaedro com CanudosUm dodecaedro é um poliedro regular de 12 faces, e cada face é um pentágono de lado l. Como cada pentágono possui 5 vértices, teríamos 5·12 = 60 vértices. Mas podemos perceber que três pentágonos compartilham o mesmo vértice, resultando em 60/3 = 20 vértices ao todo. O mesmo procedimento é utilizado para as arestas: temos 5 arestas em cada pentágono, o que resultaria em 5·12 = 60 arestas no dodecaedro. Contudo, notamos que dois pentágonos são ligados pela mesma aresta. Assim teremos 60/2 = 30 arestas neste sólido.

Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro. Porém um jeito que achei mais interessante é através da estrutura montada com canudos de refrigerante. De início se

2

nota que cada aresta corresponderá a um canudo, ou seja, 30 canudos. Todavia, dependendo do método que se usa para unir estes canudos, a estrutura não ficará estável e o seu dodecaedro poderá virar um "tortaedro".

Eu usei barbante passando pelos canudos para construir a estrutura. Mas, para a estrutura ficar firme, precisei ligar todos os vértices ao centro do dodecaedro, como mostrado na figura.

Para essa brincadeira precisei de mais 20 canudos! Um para cada vértice. Ao todo será necessário usar 50 canudos e muito barbante. Contudo, os canudos têm comprimentos diferentes. Veja a figura:

A construção começa pela base, que é um pentágono, e depois levantamos a pirâmide. Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do processo 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma altura específica.Através das características do pentágono podemos encontrar a apótema a e a distância b do centro ao vértice do pentágono.

a= l2.tg 36 °

b= l2. sen36 °

Depois de alguma álgebra é possível concluir que a altura h da pirâmide vale:

h=2a+b2

Lembre-se que l é o lado do pentágono, e também o comprimento dos canudos que formam as arestas. Por fim, utilizando Pitágoras, encontramos o comprimento dos canudos que ligarão os vértices como sendo de 1,4·l, ou seja, se você for construir um dodecaedro de arestas medindo 20 cm, então os canudos internos deverão medir 1,4·20 = 28 cm.

Lista de materiais

30 canudos de comprimento l para as arestas; 20 canudos de comprimento 1,4·l, para a estrutura interna; no mínimo um barbante de comprimento 116·l, que corresponde a duas passadas em cada canudo; e muita paciência.

3

Em seguida são apresentados alguns poliedros que podem ser construídos com canudos:

Para finalizar, a título de curiosidade, o teorema de Euler sobre poliedros pode ser uma brincadeira interessante.Segundo este teorema, se pegarmos um poliedro de F faces, V vértices e A arestas, teremos a seguinte relação: F + V – A = 2.Mas, será que funciona mesmo? Vamos ver:Tetraedro: F = 4, V = 4, A = 6: F+V-A = 4+4-6 = 2;Pirâmide de base quadrada: F = 5, V = 5, A = 8: F+V-A = 5+5-8 = 2;Cubo: F = 6, V = 8, A = 12: F+V-A = 6+8-12 = 2;Octaedro: F = 8, V = 6, A = 12: F+V-A = 8+6-12 = 2;Decaedro: F = 10, V = 7, A = 15: F+V-A = 10+7-15 = 2;Dodecaedro: F = 12, V = 20, A = 30: F+V-A = 12+20-30 = 2;Icosaedro: F = 20, V = 12, A = 30: F+V-A = 20+12-30 = 2.

4

Atividade 1: Construção de um tetraedro regular

Material a ser utilizado:Ø Um metro de linha nº 10;Ø Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro 8 centímetros).

Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um triângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias de sua construção estão representadas abaixo:

Nas construções das estruturas é importante observar que, para se dar firmeza aos vértices de uma estrutura, é necessário reforçá-los passando o fio de linha mais de uma vez por cada pedaço de canudo, ligando-o aos outros dois. Observe a figura abaixo:

5

Atividade 2: Construção de um octaedro regular

Material a ser utilizado:Ø Dois metros de linha nº 10;Ø Doze pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (novamente sugiro a medida de 8 centímetros).

Com pedaços de canudos e o fio de linha, construa quatro triângulos e os uma, dois a dois, conforme o esquema apresentado abaixo:

Atividade 3: Construção de um icosaedro regular

Material a ser utilizado:Ø Três metros de linha nº 10;Ø Trinta pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro a medida de 7 centímetros).

Construa quatro triângulos seguindo o esquema abaixo e os una obtendo uma pirâmide regular de base pentagonal, como a desenhada na figura b (abaixo). Repita essa construção, obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma das pirâmides através dos vértices das bases, por meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.

6

Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais

Material a ser utilizado:Ø Dois metros de linha nº 10;Ø Doze pedaços de canudo de mesma cor medindo 8 centímetros cada;Ø Seis pedaços de canudo de mesma cor (cor diferente dos canudos mencionados acima) medindo 11,3 centímetros.

Com os doze pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais três canudos, construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam dois canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo. Se você não conseguir realizar essa tarefa, observe o esquema abaixo:

Se você observou que a estrutura construída não tem rigidez própria, pois os seus lados não ficam por si só perpendiculares à superfície da mesa, então é necessário tornar essa estrutura rígida. Nesse processo, notamos que se construirmos triângulos nas faces dessa estrutura ou no seu interior, ela se enrijecerá.Dando continuidade a esse raciocínio, sugiro a seguinte tarefa: com os seis pedaços de canudo de cor diferente (11,3 centímetros), construa uma diagonal em cada face, de moda que em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais. Que estrutura você construiu? Observe a figura abaixo:

*Baseado no material: Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos – Prof. Helder Filho.

7

2 - OFICINA DE GEOMETRIA COM DOBRADURAS

1º Passo – A partir de um retângulo, obter o maior quadrado possível. Com uma folha A4(a) faça a seguinte dobra(b):

a) b)

Vire a folha de costas e dobre a parte excedente para cima(c). Depois abra a folha e corte na linha pontilhada(d), obtendo assim um quadrado perfeito(e):

c) d) e)

2º Passo – A partir do quadrado, traçar uma mediana(a) e dobrar as laterais do quadrado até a mediana(b), formando assim um novo retângulo(c).

a) b) c)

8

3º Passo – Dobrar duas pontas(a) de forma a criar um paralelogramo(b).

a) b)

4º Passo – Abrir as pontas que foram dobradas anteriormente(a). As abas que estiverem de pé deverão ser dobradas para trás(b), de forma que fiquem escondidas. Logo em seguida as partes inferiores as abas escondidas deverão ser encaixadas na parte interior dos retângulos(c), formando outro paralelogramo(d).

a) b) c) d)

5º Passo – Dobrar as pontas que formam os triângulos retângulos para trás, formando assim uma das faces do cubo.

9

6º Passo – Fazer mais 5 peças idênticas e montá-las de forma que os triângulos dobrados para trás sirvam de encaixe no quadrado da outra peça(a e b). Fazer isso com todas as 6 peças de modo a formar um sólido hexaedro regular, ou seja, um cubo(c).

a) b)

c)

Sugestão: Ao realizar esta atividade em sala de aula, destacar para os alunos os elementos básicos, como ângulos, tipos de reta, polígonos em geral e outras coisas que forem relevantes para a aprendizagem do aluno.

10