Apostila GTD II v1 - Bovolato

8/16/2019 Apostila GTD II v1 - Bovolato

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

GERAÇÃO, TRANSMISSÃO EDISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

AUTORES

Prof. LUIZ FERNANDO BOVOLATOProfa. MARIÂNGELA DE CARVALHO BOVOLATO

MARÇO / 2009



2a

PARTE



PREFÁCIO

Este material didático foi preparado pelo Professor Luiz Fernando Bovolato e pela Professora Mariângela de Carvalho Bovolato tendo como base, principalmente, o

livro de Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas,volumes 1 e 2, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenhariade Itajubá, 1977 e o livro de Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise deSistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ªEdição em língua portuguesa, com o objetivo de suprir a pequena quantidade deexemplares destes livros, existentes na biblioteca e, por estarem esgotadas todas asedições da primeira referência e a 1ª edição da segunda referência bibliográfica citadas.

Estes livros, principalmente o primeiro citado, tratam o conteúdo da disciplinaTransmissão de Energia Elétrica em sua totalidade e com a profundidade adequada. Osautores deste material didático desconhecem a existência de referência bibliográfica tãocompleta neste assunto. Com isto desejamos registrar nosso reconhecimento ehomenagem à memória do Professor Rubens Dario Fuchs.

A segunda referência bibliográfica é um clássico e também aborda comqualidade diversos tópicos necessários ao desenvolvimento da referida disciplina.

Pelos motivos expostos estes livros formam a base do curso ministrado e destematerial.

Finalizando desejamos registrar nossos sinceros agradecimentos aos alunosMatheus Bernado Menossi, Rodrigo Mazo Rocha, Rafael Borges Rodrigues e asalunas Talita Tozetto Esteves e Vanessa Rodrigues Puggina, pela colaboração nadigitação deste material. Pelo desprendimento, construção de uma vida acadêmica sériae participativa e ainda pelo trabalho em grupo, não temos dúvidas de que serão

excelentes profissionais. A todos, o nosso muito obrigado.

Os autores



9. Indutâncias e reatâncias indutivas

9.1. Introdução

A expressão linha de transmissão se aplica em todos os elementos de circuitos,que se destinam ao transporte de energia, independente da quantidade transportada.

Nosso enfoque será dado apenas às linhas clássicas, considerando apenas aquelasformadas por ligações físicas entre uma fonte geradora de energia e um elementoconsumidor dessa energia. Essa ligação física é feita através de condutores, os quais sãomantidos sob diferença de potencial e através dos quais circula corrente elétrica.

Centro de Produção

ou

Geração de Energia

Elétrica

Centro de Consumo

ou

Distribuição de

Energia ElétricaLinha de Transmissão

Fig. 9.01 – Representação clássica de uma linha de transmissão

O transporte de energia elétrica é diretamente influenciado pelos parâmetroselétricos das linhas. Assim, é necessário o desenvolvimento de equacionamento pormeio do qual seja possível a determinação dos valores destes parâmetros, para as maisdiferentes configurações das linhas. Neste desenvolvimento serão consideradas as linhasaéreas alimentadas por tensões e correntes que variam senoidalmente no tempo. O

equacionamento envolve a determinação de indutâncias, resistências, capacitâncias econdutâncias.

Este transporte pode ocorrer em diferentes níveis de tensão, em geral, influenciado pela quantidade de energia a ser transportada.

9.2. Conceitos básicos

Serão empregados alguns conceitos básicos, já abordados na disciplinaeletromagnetismo, cuja revisão torna-se necessária dada à importância quedesempenham desenvolvimento do equacionamento citado.

As soluções matemáticas de fenômenos físicos exigem, em geral, simplificações eidealizações. Assim, a obtenção de uma expressão matemática, a partir de princípiosfundamentais deve, além da fórmula, fornecer todas as informações referentes àsrestrições, aproximações e limitações que são impostas.

9.2.1. Noção de enlace de fluxo ou fluxo concatenado

Considere um condutor metálico percorrido pela corrente i[A]. Esta corrente dáorigem a um fluxo magnético φ[Wb], cujas linhas de fluxo enlaçam ou se concatenamcom o condutor ou com a corrente que lhes deu origem, conforme figura 9.02. O enlacede fluxo magnético ocorre tanto interna quanto externamente ao condutor.



Fig. 9.05. – Enlace de fluxo magnético entre dois circuitos.

Define-se indutância mútua como sendo a relação do fluxo concatenado por umcircuito pela corrente que circula no outro, ou seja, pela corrente que deu origem a estefluxo, isto é:

2

21

1

12

iiM

ϕ=

ϕ= [H] (9.02)

9.2.2.3. Reatância indutiva( X l )

Considere a indutância L, mostrada na figura 9.06, percorrida por uma corrente•I .

Fig. 9.06. – Queda de tensão entre os terminais da indutância L.

A queda de tensão•

∆V entre os terminais da indutância é dada por:

••=∆ IX jV l [V] (9.03)

Sendo Xl a reatância indutiva, calculável por:

Lf 2X l π= [Ω] (9.04)

Onde: f = freqüência [Hz]

9.2.2.4. Lei circuital de Ampère

“Estabelece que a integral de linha da intensidade de campo magnético(→H ) em

qualquer percurso fechado é igual à corrente(i) enlaçada pelo percurso”.

idlH =⋅∫→→

(9.05)

Dados os vetores→→BeA , conforme mostrado na figura 9.07, o produto escalar

entre eles é dado pela expressão (9.06).

L

(1) (2)

ϕ 21 ϕ 12

M

i 1 i 2



Fig. 9.07. – Produto escalar entre dois vetores.

Com base nos elementos da figura 9.07 o produto escalar é dado pela expressão aseguir.

ABcosBABA θ=⋅→→

(9.06)

Caso os vetores→→BeA tenham a mesma direção, isto é, sejam paralelos entre si, o

que equivale adotar θAB = 0o

, a equação 9.06 reduz-se a:

BABA =⋅→→

9.3. Indutância de um condutor

Considere um condutor cilíndrico, maciço, retilíneo, de comprimento infinito,homogêneo e perfeitamente isolado ( nenhuma influência externa altera o campomagnético estabelecido pela corrente que circula no próprio condutor ), tal que as linhasde fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas ao eixo deste

condutor.O campo magnético gerado pela corrente que circula no condutor da origem às

linhas de fluxo magnético que se concatenam tanto interna quanto externamente aomesmo. O enlace de fluxo magnético total será a soma das parcelas de fluxo queenlaçam o condutor interna ( iϕ ) e externamente ( eϕ ), isto é:

ei ϕ+ϕ=ϕ (9.07)

9.3.1. Indutância devido ao enlace de fluxo interno ao condutor

Seja r[m] o raio do condutor descrito no item anterior e i[A] a corrente que percorre o mesmo, conforme mostra a figura 9.08.

Fig. 9.08. – Secção transversal do condutor de raio r percorrido pela corrente i.

xdx

dα

r ϕ

i

θAB



Aplicado a Lei circuital de Ampère na situação representada pela figura 9.08 e

observando que a direção do vetor intensidade de campo magnético (→H ) e a direção do

deslocamento elementar (→dl ) são coincidentes, tem-se:

idlH ′∫ = (9.08)

Sendo i’ a corrente que atravessa a área limitada pela distância radial x, conformemostrado na figura 9.08.

Da figura 9.08 pode-se extrair que o deslocamento elementar dl pode ser obtido por: α= d xdl , com α variando no intervalo [0, 2π]. Levando estas considerações naexpressão 9.06, resulta:

id xH2

0

′=α∫π

Logo, devido à simetria, H é constante para todos os pontos eqüidistantes do eixodo condutor, tem-se:

i2xH ′=π (9.09)

Considerando que a corrente se distribui uniformemente pela secção transversal docondutor, isto é, a densidade de corrente é uniforme, com base na figura 9.08, pode-seescrever:

22 r i

xi

π=

π′

Logo

ir

xi

2

2

=′ (9.10)

Substituindo a expressão 9.08 na igualdade 9.07, obtém-se:

ir 2

x

H 2π= [A/m] (9.11)

Do eletromagnetismo sabe-se que a densidade de campo magnético(B) écalculável por:

HB µ= [Wb / m2

] (9.12)

Sendo μ [H/m] a permeabilidade magnética do meio, obtida por: or µµ=µ , onde

μ r é a permeabilidade relativa do meio e μ o

Substituindo a equação (9.09) na expressão (9.10), resulta;é a permeabilidade magnética do vácuo.



ir 2

xB

2π

µ= (9.13)

A energia armazenada pelo campo magnético no interior de um condutor de raio r e percorrido pela corrente i pode ser determinada pela expressão dada a seguir.

i2

1dvB

2

1E i

r

0

2 ϕ=∫µ

= [W s] (9.14)

Sendo φi

o enlace de fluxo magnético internamente ao condutor e dv o volume deum elemento tubular cilíndrico infinitesimal, de espessura dx, interno ao condutor ecujo eixo coincide com o eixo do mesmo, dado por:

dxx2dv π= (9.15)

Onde ℓ é o comprimento do condutor e x a distância da parede interna do elementotubular, na direção radial, a partir do eixo do condutor.

Substituindo–se as expressões 9.12 e 9.13 na equação 9.14, resulta:

πµ

=ϕ8

ii

(9.16)

Tomando o fluxo interno para um condutor de comprimento unitário, a expressão9.14. pode ser reescrita como segue.

πµ=ϕ8

ii (9.17)

9.3.2. Indutância devido ao enlace de fluxo externo ao condutor

Seja r[m] o raio do condutor descrito no item 9.3. Isto é, maciço, retilíneo, decomprimento infinito, homogêneo e perfeitamente isolado ( nenhuma influência externaaltera o campo magnético estabelecido pela corrente i[A] que circula no condutor), talque as linhas de fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas aoeixo deste condutor, conforme figura 9.09.

Fig. 9.09. – Secção transversal do condutor de raio r percorrido pela corrente i.

dϕe

d1

P1

P2

d d2

dS dx x

r i

P



Sejam P1 e P2 dois pontos externos ao condutor, distantes d1 e d2 respectivamente do mesmo. Considere o enlace de fluxo externo ( φe

Aplicado a Lei circuital de Ampère na situação representada pela figura 9.09 e

observando que a direção do vetor intensidade de campo magnético (

) ao condutorcompreendido pelas linhas de fluxo que passam por estes dois pontos.

→H ) e a direção do

deslocamento elementar (→dl ) são coincidentes, tem-se:

x2

iH

π= [A/m] (9.18)

Do eletromagnetismo sabe-se que a densidade de campo magnético( B ) écalculável por:

HB µ= (9.19)

Logo

x2

iB

πµ

= (9.20)

Ainda do eletromagnetismo, sabe-se que o fluxo magnético elementar através deuma superfície elementar de área dS é dado por:

dSBd =φ (9.21)

Com base na figura 9.09, pode-se escrever que a área elementar é dada por:

dxdS = (9.22)

Sendo ℓ o comprimento do condutor. Logo.

dxx2

id e

πµ

=ϕ (9.23)

O enlace externo de fluxo magnético compreendido pelas linhas que passam pelos

pontos P1 e P2 é dado por:

∫π

µ=∫ ϕ=ϕ 2d

1d

2d

1d ee

x

dx

2

id

Logo

1

2e

d

d ln

2

i

πµ

=ϕ

(9.24)

Considerando o fluxo magnético externo para um condutor de comprimentounitário, tem-se:



1

2e

d

d ln

2

i

π

µ=ϕ (9.25)

Deslocando o ponto P1 para a superfície do condutor e o ponto P2

para umadistância d, além da qual o fluxo pode ser desprezado, resulta:

r

d ln

2

ie π

µ=ϕ (9.26)

O enlace total de fluxo é obtido substituindo-se na expressão (9.07) as equações(9.17) e (9.26), resultando.

r

d ln

2

i

8

i

π

µ+

π

µ=ϕ (9.27)

Colocandoπ

µ

2

i em evidência, tem-se:

4/1

4/1

er

d ln

2

i)

r

d lneln(

2

i)

r

d ln

4

1(

2

i−π

µ=+

π

µ=+

π

µ=ϕ

Fazendo-se r 7788,0er r 4/1' == − , resulta:

'r

d ln

2

i

π

µ=ϕ (9.28)

Considerando os valores de permeabilidade magnética relativa, mostrados natabela (10.1), pode-se assumir que: μr

≈ 1,0.

Tabela 10.1 – Valores típicos de permeabilidade magnética relativa.

Material μr prata 0,9999800

cobre 0,9999910vácuo 1,0000000

ar 1,0000004alumínio 1,0000200

Sendo a permeabilidade magnética do vácuo igual a: μo = 4π10-4

[H/km], aequação (9.28.), fica reduzida a:

'

4

r

d lni10x2 −=ϕ [Wb / km] (9.29)



A grandeza r’ pode ser interpretada como sendo o raio de um condutor fictício,sem enlace de fluxo interno, e que tem a mesma indutância do condutor de raio r.

9.4. Enlace de fluxo magnético entre dois condutores sendo que o retorno de corrente ocorre por um deles

Considere dois condutores maciços, de raios ra e rb, conduzindo respectivamenteas correntes ia e ib

. Seja P um forme ponto imerso no campo magnético gerado pelascorrentes que circulam pelos condutores, conforme mostrado na figura 9.10.

Figura 9.10. – Fluxo concatenado entre dois condutores conduzindo correntes.

Assumindo que ia + ib = 0, que ra, rb <<< daP, dbP e ainda que ra, rb <<<dab

.Com base nas expressões (9.25) e (9.29), pode-se escrever que o enlace de fluxo com ocondutor a, devido a todas às correntes presentes é dado por:

bab

bP4

a'a

aP4

a i

d

d ln10x2i

r

d ln10x2 −− +=ϕ (9.30)

Desmembrando e reagrupando a expressão (9.30), tem-se:

]id

1lni

d

d lni

r

1[ln10x2

]id lnid

1lnid lni

r

1[ln10x2

b

ab

a

bP

aPa'

a

4a

a bP b

ab

aaPa'a

4a

++=ϕ

−++=ϕ

−

−

Deslocando-se o ponto P para o infinito, a relação d aP/d bP tende para a unidade eln 1 tende para zero, ou seja: P → ∞ daP /dbP

Assim, a expressão do fluxo concatenado com o condutor a toma a seguinteforma.

→ 1 ln 1 → 0

]id

1lni

r

1ln[10x2 b

ab

a'a

4a +=ϕ − (9.31)

Procedendo da mesma forma para o condutor b e adotando notação matricial,tem-se:

ra,i a rb,i b

daP dbP

P

a

dab

b



=

ϕϕ

−−

−−

b

a

' b

4

ba

4

ab

4

'a

4

b

a

i

i

r

1ln10x2

d

1ln10x2

d

1ln10x2

r

1ln10x2

(9.32)

Como a distância dab é igual à distância dba

Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos damatriz da expressão (9.32) têm dimensão de indutância, são denominados coeficientesde campo magnético e considerando dois condutores genéricos i e j podem ser escritosde forma genérica, como segue.

a matriz da expressão (9.32) ésimétrica.

1. Na diagonal principal – coeficiente de campo magnético próprio

]km/H[r

1

ln10x2 'i

4

ii

−

= (9.33)

2. Fora da diagonal principal – coeficiente de campo magnético mútuo

]km/H[d

1ln10x2

ij

4ij

−= (9.34)

9.5. Enlace de fluxo magnético entre dois condutores com retorno de corrente pelo solo

Considere dois condutores maciços, de raios ra e rb, conduzindo respectivamenteas correntes ia e ib

Seja P um ponto imerso no campo magnético gerado pelas correntes que circulam pelos condutores e condutores imagens, conforme mostrado na figura 9.11.

e suspensos acima do nível do solo, conforme mostrado na figura(9.11). Considere ainda o solo ideal ( condutor perfeito ). Como o retorno da corrente

pelo solo não é possível de ser estabelecido, admite-se que este retorno se de peloscondutores imagens, também mostrados na figura a seguir.

Figura 9.11. – Fluxo concatenado entre dois condutores com retorno pelo solo.

b

P

dbPdaP

dab

a

a’

b’

rb,ib

rb,-ib

ra,ia

ra,-ia

ha

ha

hb

hb

da’P db’P

Dab



Assumindo que, ra, rb <<< daP, dbP e ainda que ra, rb <<<dab

. Com base nasexpressões (9.25) e (9.29), pode-se escrever que o enlace de fluxo com o condutor a,devido a todas às correntes presentes é dado por:

b

ab

P' b4a

a

P'a4 b

ab

bP4a'

a

aP4a i

Dd ln10x2i

h2d ln10x2i

d d ln10x2i

r d ln10x2 −−−− −−+=ϕ

(9.35)

Desmembrando e reagrupando a expressão (9.35), tem-se:

]id

Dlni

d

d lni

r

h2[ln10x2

]id lnid

Dlnid lni

r

h2[ln10x2

b

ab

aba

bP

aPa'

a

a4a

a bP b

ab

abaaPa'

a

a4a

++=ϕ

−++=ϕ

−

−

Deslocando-se o ponto P para o infinito, a relação d aP/d bP tende para a unidade eln 1 tende para zero, ou seja: P → ∞ daP /dbP

Assim, a expressão do fluxo concatenado com o condutor a toma a seguinteforma.

→ 1 ln 1 → 0

]id

Dlni

r

h2ln[10x2 b

ab

aba'

a

a4a +=ϕ − (9.36)

Procedendo da mesma forma para o condutor b e adotando notação matricial,tem-se:

=

ϕϕ

−−

−−

b

a

' b

b4

ba

ba4

ab

ab4

'a

a4

b

a

i

i

r

h2ln10x2

d

Dln10x2

d

Dln10x2

r

h2ln10x2

(9.37)

Como são iguais as distâncias dab = dba e

Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos damatriz da expressão (9.37) têm dimensão de indutância, são denominados coeficientesde campo magnético e, considerando dois condutores genéricos i e j podem ser escritosde forma genérica, como segue.

Dab = Dba, a matriz da expressão(9.37) é simétrica.

1. Na diagonal principal – coeficiente de campo magnético próprio

]km/H[r

h2ln10x2

'i

i4ii

−= (9.38)

2. Fora da diagonal principal – coeficiente de campo magnético mútuo



]km/H[d

Dln10x2

ij

ij4ij

−= (9.39)

Demonstra-se que grandeza Dij, distância entre um condutor genérico i e a

imagem de um condutor genérico j, de uma configuração qualquer, é determinável pelaexpressão mostrada a seguir.

ji2ijij hh4d D += (9.40)

9.6. Cabos condutores em linhas de transmissão

Nos desenvolvimentos anteriores os condutores foram considerados maciços.Entretanto, os condutores das linhas de transmissão não são maciços, mas simencordoados devido a fatores mecânicos e elétricos.

Os cabos condutores podem ser formados por diversos fios ou filamentos decobre, alumínio ou ainda alumínio com alma de aço, agrupados em coroas superpostas.Assim, adaptações devem ser feitas nas expressões desenvolvidas anteriormente.

Para tanto é necessário o conceito de raio médio geométrico. Este conceito seráampliado quando for considerado o emprego de condutores múltiplos.

Quando for abordado o desenvolvimento de linhas trifásicas ficará explícita autilização de um recurso denominado transposição. Daí surge a necessidade do conceitode distância média geométrica.

Assim, estes conceitos serão apresentados considerando situações que ocorremfreqüentemente.

9.6.1. Raio médio geométrico

9.6.1. Raio médio geométrico de uma área

Considere uma área qualquer representada na figura (9.12.), segmentada em umnúmero n de áreas elementares.

Figura 9.12. – Área dividida em n áreas elementares.

Define-se raio médio geométrico desta área como sendo: “ o limite para o qualtende a média geométrica das distâncias de cada área elementar a si mesma e a todas asdemais quando o número de áreas elementares tende para o infinito. “

Usando notação matemática, tem-se:

2nnn2n1nn22221n11211n d ...d d x...xd ...d d xd ...d d limrmg ∞→= (9.41)

2

1

n

d12

dn2

d1n



No caso das áreas elementares terem seção circular de raio r, as distâncias de cadaárea elementar a ela mesma serão todas iguais a: r’ = 0,7788 r.

Considerando os condutores encordoados, formados com diferentes números defios de secção circular e sendo r o raio externo deste condutor, seus rmg podem ser

colocados em função de r, conforme mostrado na tabela 10.2.

Tabela 10.2. – Raio médio geométrico de condutores encordoados em função deseus raios externos.

Cabo de raio externo r / formação Raio médio geométricoCabo com 7 fios homogêneos rmg = 0,726 rCabo com 19 fios homogêneos rmg = 0,758 rCabo com 37 fios homogêneos rmg = 0,768 rCabo com 61 fios homogêneos rmg = 0,772 rCabo com 91 fios homogêneos rmg = 0,774 rCabo com 127 fios homogêneos rmg = 0,776 rCabo maciço rmg = 0,7788 r

O raio médio geométrico de uma coroa circular, onde ri é o raio interno e re

o raioexterno da coroa de material condutor, é calculável por:

( )( ) ( )2

i2e

2e

2i

i

e

22i

2e

4i

er r 4

r r 3

r

r ln

r r

r r lnrmgln

−

−+

−−=

9.7. Distância média geométrica 9.7.1. Distância média geométrica de um ponto a um grupo de pontos

Por definição é a média geométrica das distâncias do ponto considerado aos pontos do grupo. Considerando o grupo de pontos dispostos sobre uma circunferência,conforme a figura 9.13., a dmg do ponto P aos pontos A, B, C e D será dada pelaexpressão 9.42.

Figura 9.13. – Distâncias do ponto externo aos pontos sobre a circunferência.

4d c ba d d d d dmg = (9.42.)

A

da d b B

d O r

dc

C

D

dd

P



Aumentando-se indefinidamente o número de pontos sobre a circunferência, admg dada pela equação (9.42.) converge para a dmg do ponto externo à circunferência,cujo valor é igual à distância do ponto ao centro da circunferência, ou seja:

dmg = d

Ainda com base na definição anterior e na figura (9.13.) pode-se afirmar que admg de qualquer ponto sobre a circunferência a todos os demais, também sobre amesma, será igual ao raio, ou seja:

dmg = r

9.7.2. Distância média geométrica de um ponto a uma área

Trata-se de um conceito importante uma vez que é grandemente empregado nosequacionamentos de linhas de transmissão.

Considere uma área dividida em n áreas elementares e seja P um ponto externo a

esta área conforme a figura (9.14.).

Figura 9.14. – Distâncias do ponto externo às áreas elementares da áreaconsiderada.

Define-se dmg do ponto à área considerada ao limite para o qual tende a dmg do ponto às áreas elementares que é igual à média geométrica das distâncias do ponto àsáreas elementares, quando o número destas áreas elementares tende para infinito.

Empregando notação matemática, a definição acima pode ser colocada sob aseguinte forma.

nn21n d ...d d limdmg ∞→= (9.43.)

Sendo a área circular, a dmg dada pela equação (9.43.) será igual à distância do ponto ao centro da área, isto é:

dmg = d

9.7.3. Distância média geométrica entre duas áreas

Considere duas áreas quaisquer dividas em áreas elementares. Seja m o númerode áreas elementares de uma das áreas e n o número de áreas elementares da outra área,conforme a figura (9.15.).

1

2

n

dn

d2

d1

P



Figura 9.15. – Distâncias entre as áreas elementares de duas áreas quaisquer.

Define-se a distância média geométrica entre duas áreas como sendo: “ o limite daraiz mn-ésima, dos mn produtos das distâncias entre as m áreas elementares de uma dasáreas e as n áreas elementares da outra, quando m e n tendem para infinito.”

Em notação matemática, tem-se:

mnmn1mn221n111nem d ...d x...xd ...d xd ...d limdmg ∞→= (9.44.)

Com base na definição é possível concluir que a dmg entre duas áreas circulares éigual à distância entre os seus centros. Demonstra-se também que a dmg entre duascoroas circulares, também é igual à distância entre os seus centros.

9.8. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas

Considera-se, no desenvolvimento a seguir, que os sistemas de energia elétricasão em geral trifásicos e ainda alimentados, sob condições normais de operação, portensões simétricas. A determinação de parâmetros elétricos seqüenciais torna-se

necessária em decorrência de possível análise de situações desequilibradas.As indutâncias das fases de uma linha de transmissão trifásica, quando forem,

devido à simetria na disposição dos condutores, iguais entre si, não constituemdesequilíbrio para a mesma. Entretanto, quando não houver esta simetria as indutânciasdas fases serão diferentes entre si provocando desequilíbrio nas correntes das fases, emgeral desprezado em conseqüência das assimetrias não serem acentuadas. Quando sedeseja reduzi-lo ou mesmo eliminá-lo deve-se empregar um recurso denominadotransposição, que consiste em fazer com que cada uma das fases ocupe a posição físicadas demais por distâncias iguais ao longo do comprimento da linha. Com isto obtém-seuma simetria elétrica média entre os extremos da linha e como conseqüência oequilíbrio eletromagnético independentemente da disposição dos condutores das fases.Desta forma obtém-se a mesma indutância média por fase ao longo do comprimentototal da linha.

A não adoção da transposição provoca desequilíbrios que embora possam serconsiderados pequenos, provocam deslocamentos no ponto de neutro, que devem sermantidos em limites reduzidos para que as correntes de seqüência zero resultantes não

provoquem atuações indevidas do sistema de proteção.A figura (9.16.) ilustra um ciclo completo de transposição.

m

2

d2n

d1n

n 1

1

m

dm1

n

d11d21

dmn



Figura 9.16. – Ilustração esquemática de um ciclo completo de transposição.

A finalidade dos cabos pára-raios é proteger as linhas contra descargasatmosféricas diretamente nos condutores das fases. A presença destes cabos tem sido

desprezada no cálculo de indutâncias de seqüência positiva, não o sendo no cálculo dasindutâncias de seqüência nula.

Estes cabos podem ser isolados ou múltiaterrados. Quando isolados, empregam-seisoladores de baixa tensão disruptiva que permitem a abertura de arcos nos pontos deaterramento assim que são atingidos por descargas atmosféricas. Formados os arcosestes pára-raios passam a comportar-se como pára-raios aterrados.

9.8.1. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios

Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelascorrentes ia, ib e ic

, conforme a figura (9.17.). Considere ainda, por construção, que oscondutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médiogeométrico rmg.

Figura 9.17. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica acircuito simples e sem cabo pára-raios.

Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.17.) é possível

escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada uma das fases com ascorrentes que circulam pelas mesmas, como segue.

b

b’

Dab

c’

c

a’

a

ha

ha

dab

ℓ

ia

i

ic

ic

ib

ia ic

ib i

ℓ/3 ℓ/

ℓ/3

A

B

C



Figura 9.18. – (a) Coeficientes de campo magnético, (b) Indutâncias aparentes

“vistas” pela fonte.

Conforme citado anteriormente a matriz dos coeficientes de campo magnético daequação (9.45.) é simétrica e seus elementos próprios e mútuos podem ser calculados

por meio das equações desenvolvidas anteriormente e colocadas em função das

condições estabelecidas. 9.8.1a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha não transposta

Neste caso os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados pelas expressões (9.33.) e (9.34.), respectivamente.

Assim, os elementos da matriz da equação (9.45.) podem ser escritos para asituação da figura (9.17.), conforme segue:

1. Coeficiente de campo magnético próprio

Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados eainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico rmg,resulta:

rmg

1ln10x2 4

cc bbaa−=== (9.51.)

2. Coeficiente de campo magnético mútuo

Considerando as distâncias entre as fases, mostradas na figura (9.17.), diferentesentre si, os coeficientes também serão diferentes entre si.

ca bcab ≠≠

ca

4ca

bc

4 bc

ab

4ab

d

1ln10x2;

d

1ln10x2;

d

1ln10x2 −−− === (9.52.)

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.48.), (9.49.) e(9.50.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ Lc

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a médiaaritmética das indutâncias aparentes e, calculável pela equação (9.53.).

L1 = Ls = (La + L b + Lc

) / 3 (9.53.)

(a)

i a

i b

i c

ℓaa

ℓbb

ℓcc

ℓab

ℓbc

ℓca i a

i c

i b

La

Lb

Lc

(b)



Caso os condutores das fases ocupem os vértices de um triângulo eqüilátero, asdistâncias ( dab = dbc = dca ), entre as fases, serão iguais entre si e igualmente oscoeficientes de campo magnéticos mútuos, isto é:ℓ ab = ℓbc = ℓca

. Nestas condições asindutâncias aparentes serão iguais entre si e iguais à indutância de seqüência positiva ouserviço, ou seja:

La = L b = Lc = L1 = Ls = ℓaa - ℓab

(9.54.)

9.8.1b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha não transposta

Neste caso os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados pelas expressões (9.38.) e (9.39.), respectivamente.

Assim, os elementos da matriz da equação (9.45.) podem ser escritos para asituação da figura (9.17.);


Considerando que, por construção, os condutores das fases sejam encordoados,que os mesmos sejam idênticos, isto é, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg eainda que estes condutores encontrem-se suspensos em alturas diferentes (ha ≠ hb ≠ hc

)acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis pela equação (9.38.). Logo.

cc bbaa ≠≠

Sendo:

rmg

h2ln10x2;

rmg

h2ln10x2;

rmg

h2ln10x2 c4

cc b4

bba4

aa−−− === (9.55.)


Considerando que:1. as três distâncias entre as fases não são iguais;2. as três alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si.Com base nas considerações, ocorrerá que as distâncias entre os condutores das

fases e as imagens dos condutores adjacentes, também serão diferentes entre si,conforme mostra a figura (9.19.). Com isto os coeficientes mútuos também não terãovalores iguais, podendo ser calculados pela expressão (9.39.), isto é:

ca bcab ≠≠

Sendo:

ca

ca4ca

bc

bc4 bc

ab

ab4ab

d

Dln10x2;

d

Dln10x2;

d

Dln10x2 −−− === (9.56.)

Com as distâncias Dab, D bc e Dca calculáveis por:



ac2cacac b

2 bc bc ba

2abab hh4d D;hh4d D;hh4d D +=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.48.), (9.49.) e(9.50.), apresentarão valores diferentes, isto é: L

a ≠ L

b ≠ L

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a médiaaritmética das indutâncias aparentes, calculável pela equação (9.51.), conforme segue.

c

L1 = Ls = (La + L b + Lc

) / 3

Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição doscondutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes

próprios e mútuos. A disposição horizontal dos condutores satisfaz a condição deigualdade entre os coeficientes próprios, porém o mesmo não ocorre entre oscoeficientes mútuos.

9.8.2. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem cabos pára-raios - linhas transpostas

Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelascorrentes ia, ib e ic

Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos deigual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão (9.45.) podeser desmembrada, conforme segue.

Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejamidênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg.

Logo.

1o )iii(31

cac babaaaT1

a ++=ϕTrecho: (9.57.)

2o)iii(

3

1c ba b bca bb

T2a ++=ϕTrecho: (9.58.)

3o)iii(

3

1ccb bcaacc

T3a ++=ϕTrecho: (9.59.)

Somando membro a membro as equações (9.57.), (9.58.) e (9.59.), resulta:

i][i][i][3

1

ccb baac bca bcabacc bbaaa

++++++++=ϕ

Fazendo-se:

][3

1cc bbaaaa ++=

− (9.60.)

e

][3

1][

3

1cb baacca bcabab ++=++=

− (9.61.)

Resulta:



i][i][i][3

1cab babaaaa

−−−++=ϕ

Sendo que aa

− representa o coeficiente médio próprio e ab

− o coeficiente médio

mútuo considerando o ciclo completo de transposição. É importante observar que nocaso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente dadisposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não dosolo, são todos iguais aos respectivos valores médios.

Considerando o sistema equilibrado tem-se:

ia + i b + ic

= 0

Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo.Considerando a fase a, tem-se:

ia = imáx ⇒ i b = ic = - (1/2) i

máx

Logo, tem-se:

máxababaamáxa i])(

2

1[

−−−+−=ϕ

Fazendo-se:máx

máxa

ai

L ϕ= , resulta:

abaaaL−−

−= (9.62.)

Adotando-se procedimento idêntico para as fases b e c encontra-se o mesmo valor para as indutâncias aparentes destas fases, isto é:

abaac ba LLL−−

−=== (9.63.)

Assim, verifica-se que no caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesmaindutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de seqüência

positiva poderá ser qualquer uma delas, ou seja:

c ba1s LLLLL ==== (9.64.)

9.8.2a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem cabos pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha transposta

Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelasexpressões (9.60.) e (9.61.), nas quais são substituídos os valores de ℓ aa , ℓ bb , ℓcc e ℓab ,ℓ bc , ℓca

, respectivamente, sendo estes últimos definidos pelas expressões (9.51.) e

(9.52.), respectivamente.




Considerando que as alturas das fases e que as distâncias elas são diferentes entresi, ocorre em conseqüência, que as distâncias entre os condutores das fases e as imagens

dos condutores adjacentes, também serão diferentes entre si, conforme pode serobservado por meio da figura (9.17.). Entretanto, com o emprego da transposição estescoeficientes serão iguais entre si e calculáveis por:

dmg

DMGln10x2 4

ca bcab−===

Sendo: 3ca bcab DDDDMG = e 3

ca bcab ddddmg =

Com as distâncias Dab, D bc e Dca

calculáveis por:

ac2cacac b

2 bc bc ba

2abab hh4d D;hh4d D;hh4d D +=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.63.), terão omesmo valor, isto é: c ba LLL == .

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual aqualquer das indutâncias aparentes, ou seja: .LLL a1s ==

9.8.3. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e comum cabo pára-raios - linhas não transpostas

Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelascorrentes ia, ib e ic, conforme a figura (9.19.). Considere ainda, por construção, que oscondutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médiogeométrico rmg. O cabo pára-raios é representado por r e seu raio médio geométrico érmgr

.

Figura 9.19. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a

circuito simples e com um cabo pára-raios.

ha

r

Dab

b

b’

c’

c

a’

ha

dab

r’

dar

Dar



Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.19.) é possívelescrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada um dos cabos com ascorrentes que circulam pelos mesmos, como segue.

=

ϕ

ϕϕ

ϕ

r

c

b

a

rr rcrbra

cr cccbca

br bc bb ba

ar acabaa

r

c

b

a

i

i

i

i

(9.66.)

A matriz dos coeficientes de campo magnético da equação (9.66.) é simétrica eseus elementos próprios e mútuos também podem ser calculados por meio de equaçõesdesenvolvidas anteriormente, dependendo das condições estabelecidas.

A queda de tensão em um trecho desta linha pode ser calculada pela expressão(9.67.) escrita a seguir.

=

∆

∆

∆

∆

r

c

b

a

rr rcrbra

cr cccbca

br bc bb ba

ar acabaa

r

c

b

a

i

i

i

i

jw

V

V

V

V

(9.67.)

Representando a equação (9.67.) na forma compacta, tem-se:

[ ] [ ] [ ]

=

∆

∆

pi

f i

pp pf

fpff

jw pV

f V

(9.68.)

Desmembrando a expressão (9.68.), resulta:

[ ] [ ] [ ] pfpf ff f ii jwV +=∆ (9.69.)

[ ] p ppf pf p ii jwV +=∆ (9.70.)

No caso de uma linha sem pára-raios a equação (9.69.) fica reduzida à equação(9.71.) e a equação (9.70.) deixa de existir.

[ ] [ ] [ ] f ff f i jwV =∆ (9.71.)

Conforme já citado anteriormente o cabo pára-raios pode ser isolado ou aterrado.Caso seja isolado não haverá corrente induzida circulando pelo pára-raios, ou seja,[ i p ] = [ 0 ]. Levando essa condição na expressão (9.69.) verifica-se que o cabo pára-raios não provoca nenhum efeito sobre os condutores das fases, isto é, os valores dasindutâncias não são alterados pela presença dos mesmos. Entretanto as correntes nasfases induzem uma diferença de potencial no cabo pára-raios, conforme pode ser

verificado por meio da equação (9.70.). Caso o pára-raios seja aterrado ocorrerácirculação de correntes pelo mesmo e solo. Essa corrente exerce influência nos



condutores das fases conforme pode ser comprovado pela equação (9.69.). Nesse caso adiferença de potencial sobre o cabo pára-raios será nula, isto é, [ ∆V p

] = [ 0 ]. Levandoessa condição na expressão (9.70.), pode-se determinar a corrente no pára-raiosconforme equação (9.72.).

[ ] [ ] [ ] [ ] f pp pf p ii 1−−= (9.72.)

Substituindo-se a equação (9.72.) na equação (9.69.), obtém-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]f pf 1

ppfpff f i jwV −−=∆ (9.73.)

Expandindo a expressão (9.73.), resulta:

−−−

−−−

−−−

=

∆

∆∆

c

b

a

rr

2cr

cc

rr

cr bacb

rr

cr raca

rr

br rc bc

rr

2 br

bb

rr

br ra ba

rr

ar rcac

rr

ar rbab

rr

2ar

aa

c

b

a

i

i

i

jw

V

V

V

(9.74.)

Sendo: ℓar = ℓra, ℓ br = ℓrb e ℓcr = ℓrc

Considerando o sistema equilibrado tem-se:.

ia + i b + ic

= 0

Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo.Considerando a fase a, tem-se:

ia = imáx ⇒ i b = ic = - (1/2) i

máx

Levando a condição estabelecida na igualdade anterior na expressão (9.74.) eisolando-se a fase a, resulta:

máx

rr

ar rcac

rr

ar rbab

rr

2

ar aamáxa i])(21[

−+

−−

−=ϕ

Fazendo-se:máx

máxa

ai

L ϕ= , resulta:

)(2

1L

rr

cr ar ac

rr

br ar ab

rr

2ar

aaa

−+

−−

−=

(9.75.)

Com procedimento idêntico para as fases b e c, tem-se:



)(2

1L

rr

cr br bc

rr

ar br ba

rr

2 br

bb b

−+

−−

−=

(9.76.)

)(2

1L

rr

br cr cb

rr

ar cr ca

rr

2cr

ccc

−+

−−

−=

(9.77.)

Assim, pelas expressões (9.75.), (9.76.) e (9.77.), pode-se afirmar que o cabo pára-raios exerce influência sobre as indutâncias aparentes de uma linha, embora estacontribuição seja pequena porque a assimetria entre as fases e o pára-raios nãorepresenta grandes diferenças entre os coeficientes de campo magnético próprio emútuo envolvendo estes cabos.

A equação (9.74.) representa a queda de tensão nas fases de uma linha trifásicasem pára-raios equivalente a uma linha trifásica com um cabo pára-raios.

9.8.3a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios e desprezando-se o solo - linhas não transpostas

Assim, os elementos da matriz da equação (9.66.) podem ser escritos para asituação da figura (9.19.), conforme segue:


Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados eainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico rmg,e ainda que o cabo pára-raios, também encordoado, tenha raio médio geométrico rmgr

r

4ar

4cc bbaa

rmg

1ln10x2

rmg1ln10x2

−

−

=

===

,resulta:

(9.78.)


Considerando todas as distâncias, mostradas na figura (9.19.), diferentes entre si,os coeficientes também serão diferentes entre si.

ca bcab ≠≠

ca

4ca

bc

4 bc

ab

4ab

d

1ln10x2;

d

1ln10x2;

d

1ln10x2 −−− === (9.79.)

cr br ar ≠≠

cr

4cr

br

4 br

ar

4ar

d

1ln10x2;

d

1ln10x2;

d

1ln10x2 −−− === (9.80.)

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.75.), (9.76.) e(9.77.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ L

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a médiaaritmética das indutâncias aparentes.

c



9.8.3b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios, considerando-se o solo ideal - linha não transposta

Assim, os elementos da matriz da equação (9.66.) podem ser escritos para a

situação da figura (9.19.).


Considerando que, por construção, os condutores das fases e o pára-raios sejamencordoados e que tenham, respectivamente, os seguintes raios médios geométricosrmg e rmgr, e ainda que estes cabos encontrem-se suspensos em alturasdiferentes( ha ≠ hb ≠ hc ) e hr

, acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis por:

cc bbaa ≠≠

r

r 4rr

c4cc

b4 bb

a4aa

rmg

h2ln10x2

rmg

h2ln10x2;

rmg

h2ln10x2;

rmg

h2ln10x2

−

−−−

=

===

(9.81)


Considerando que:1. As distâncias entre as fases, assim como as distâncias entre as fases e o pára-

raios, não são iguais entre si;2. Todas as alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si.Com base nas considerações 1 e 2 acima, ocorrerá que as distâncias entre os

condutores das fases e as imagens dos condutores adjacentes, assim como as distânciasentre os condutores das fases e a imagem do pára-raios, também serão diferentes entresi. Com isto os coeficientes mútuos também não terão valores iguais, podendo sercalculados pelas expressões mostradas a seguir.

cr

cr 4cr

br

br 4 br

ar

ar 4ar

cr br ar

ca

ca4ca

bc

bc4 bc

ab

ab4ab

ca bcab

d

Dln10x2;

d

Dln10x2;

d

Dln10x2

d

Dln10x2;

d

Dln10x2;

d

Dln10x2

−−−

−−−

===

≠≠

===

≠≠

(9.82.)

Com as distâncias Dab , D bc , Dca , Dar , D br e Dcr

calculáveis por:

r c2cr cr r b

2 br br r a

2ar ar

ac2cacac b

2 bc bc ba

2abab

hh4d D;hh4d D;hh4d D

hh4d D;hh4d D;hh4d D

+=+=+=

+=+=+=



Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.75.), (9.76.) e(9.77.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ L

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a médiaaritmética das indutâncias aparentes, calculável pela equação abaixo, conforme segue.

c

L1 = Ls = (La + L b + Lc ) / 3

Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição doscondutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes

próprios e mútuos. A disposição horizontal dos condutores satisfaz a condição deigualdade entre os coeficientes próprios, porém o mesmo não ocorre entre oscoeficientes mútuos.

9.8.4. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios - linhas transpostas

Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos deigual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão (9.66.) podeser desmembrada, conforme segue.

Logo.

1o)iiii(

3

1r ar cac babaaa

T1a +++=ϕTrecho: (9.83.)

2o)iiii(

3

1r br c ba b bca bb

T2a +++=ϕTrecho: (9.84.)

3o )iiii(31

r cr ccb bcaaccT3

a +++=ϕTrecho: (9.85.)

Somando membro a membro as equações (9.83.), (9.84.) e (9.85.), resulta:

i][

i][i][i][3

1

r cr br ar

ccb baac bca bcabacc bbaaa

+++

+++++++++=ϕ

Fazendo-se:

][3

1

][3

1][

3

1

][3

1

cr br ar ar

cb baacca bcabab

cc bbaaaa

++=

++=++=

++=

−

−

−

(9.86.)

Resulta:

i][i][i][i][3

1r ar cab babaaaa

−−−−+++=ϕ

Sendo que aa

− representa o coeficiente médio próprio, ab

− o coeficiente médio

mútuo envolvendo as fases e ar

− o coeficiente médio mútuo envolvendo as fases e o



pára-raios, considerando o ciclo completo de transposição. É importante observar queno caso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente dadisposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não dosolo, são todos iguais aos respectivos valores médios. Nesta condição a equação (9.74.)

pode ser reescrita como segue.

−−−

−−−

−−−

=

∆

∆

∆

c

b

a

rr

2ar

aa

rr

2ar

ab

rr

2ar

ab

rr

2ar

ab

rr

2ar

aa

rr

2ar

ab

rr

2ar

ab

rr

2ar

ab

rr

2ar

aa

c

b

a

i

i

i

jw

V

V

V

(9.87.)

Considerando o sistema equilibrado, isto é: ia + i b + ic

abaac bas1 LLLLL−−

−=====

= 0. Logo, tem-se:

(9.88.)

Assim, verifica-se que no caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesmaindutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de seqüência

positiva poderá ser qualquer uma delas. A equação (9.88.) mostra também que o cabo pára-raios não exerce influência sobre as indutâncias ali definidas.

9.8.4a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha transposta

Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelasexpressões definidas a seguir.

1. Coeficiente de campo magnético próprio médio

Considerando que, por construção, os condutores das fases e o pára-raios sejamencordoados, resulta:

r

4rr

4cc bbaa

rmg

1ln10x2

rmg

1ln10x2

−

−−−−

=

===

2. Coeficiente de campo magnético mútuo médio

Independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases e das fases e pára-raios, mostradas na figura (9.19.), estes coeficientes serão iguais entre si com seusvalores dado pelas seguintes equações.

3cr br ar

4

cr br ar

3ca bcab

4ca bcab

d d d

1

ln10x2

d d d

1ln10x2

−−−−

−−−−

===

===



Fazendo-se: 3cr br ar r

3ca bcab d d d dmged d d dmg == , resulta.

r

4cr br ar

4ca bcab

dmg

1ln10x2

dmg

1ln10x2

−−−−

−−−−

===

===

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.88.) apresentarãoos mesmos valores, isto é: c ba LLL == .

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual aqualquer das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == .

9.8.4b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha transposta

Assim, para a situação da figura (9.19.), os coeficientes podem ser calculadosconforme segue.


r

r 4rr

4cc bbaa

rmgh2ln10x2

rmg

hmg2ln10x2

−

−

=

===

Sendo 3c ba hhhhmg = , hr a altura e rmgr

o raio médio geométrico do cabo

pára-raios.


Considerando as condições estabelecidas na figura (9.19.) e com o emprego datransposição estes coeficientes serão iguais entre si e calculáveis por:

r

r 4cr br ar

4ca bcab

dmg

DMGln10x2

dmg

DMGln10x2

−

−

===

===

Sendo as distâncias médias geométricas dadas pelas expressões apresentadas aseguir.



3 cr br ar r

3cr br ar r

3ca bcab

3ca bcab

d d d dmg

DDDDMG

d d d dmg

DDDDMG

=

=

=

=

Com as distâncias Dab, D bc, Dca, Dar , D br e Dcr

calculáveis por:

r c2cr cr r b

2 br br r a

2ar ar

ac2cacac b

2 bc bc ba

2abab

hh4dD;hh4dD;hh4dD

hh4dD;hh4dD;hh4dD

+=+=+=

+=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, terão o mesmo valor e serão calculáveis por:

abaac ba LLL −=== . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência

positiva será igual a qualquer uma das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == .Para uma linha trifásica a circuito simples com um cabo pára-raios, mostrada na

figura (9.19.), os vetores e as matrizes representadas na equação (9.68.), são da seguinteordem:

[ ] [ ] [ ]

=

∆

∆

1x1

1x3

1x13x1

1x33x3

1x1

1x3

pi

f i

pp pf

fpff jw

pV

f V

Assim, neste caso, é possível desenvolver literalmente a expressão (9.68.). O

produto matricial, mostrado na expressão (9.89.), decorrente do desenvolvimento daexpressão acima, resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos podem servisualizados nas expressões (9.74.) ou (9.87.), onde se encontram sendo subtraídos doselementos da matriz

3x3ff .

[ ] [ ] [ ]3x33x1 pf

1

1x1 pp1x3fp −− (9.89.)

Com isto é possível obter equações para o cálculo das indutâncias aparentesconsiderando o cabo pára-raios aterrado, conforme mostrado pelas expressões (9.75.),

(9.76.) e (9.77).Quando a linha é de circuito simples com dois cabos pára-raios o equacionamentoe desenvolvimento da situação anterior continua válido, embora a ordem dos vetores edas matrizes na expressão (9.68.), mostradas a seguir, impossibilite que odesenvolvimento possa ser feito literalmente, devido ao tamanho das expressões daídecorrentes.

[ ] [ ] [ ]

=

∆

∆

1x2

1x3

2x23x2

2x33x3

1x2

1x3

pi

f i

pp pf

fpff jw

pV

f V



9.8.5. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito duplo e com dois cabos pára-raios - linhas não transpostas

Considere os condutores a, b e c, do circuito I, percorridos respectivamente pelascorrentes ia, ib e ic . Os condutores d, e, e f, do circuito II, percorridos respectivamente

pelas correntes id, ie e if , conforme a figura (9.20.). Considere ainda, por construção,que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médiogeométrico rmg. Os cabos pára-raios são representados por r e s e têm o mesmo raiomédio geométrico, isto é, rmgr

.

Figura 9.20. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica acircuito duplo e com dois cabos pára-raios – algumas distâncias.

Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.20.) é possívelescrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada um dos cabos

presentes na configuração com as correntes que circulam pelos mesmos ou ainda asquedas de tensão nos cabos com as correntes nos mesmos. Neste caso utilizar a quedade tensão é mais conveniente.

=

∆

∆

∆

∆

∆∆

∆

∆

f

e

d

s

r

c

b

a

ff fefd fsfr fcfbfa

ef eeed eser ecebea

df dedd dsdr dcdbda

sf sesd sssr scsbsa

rf rerd rsrr rcrbra

cf cecd cscr cccaca

bf be bd bs br bc bb ba

af aead asar acabaa

f

e

d

s

r

c

b

a

i

i

i

i

i

i

i

i

jw

V

V

V

V

V

V

V

V

(9.90.)

Adotando notação compacta a equação (9.90.) pode ser reescrita conforme segue.

III

a

sr

r’ s’

b c e f

d

f’

d’

e’c’ b’

a’

das

dad

daf dae

dab dac

Dab

Dar

Dae

dar

hr

hr

ha

ha



[ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

=

∆

∆

∆

1x3II

1x2 p

1x3I

3x3II,II2x3 p,II3x3I,II

3x2II, p2x2 p, p3x2I, p

3x3II,I2x3 p,I3x3I,I

1x3II

1x2 p

1x3I

i

i

i

jw

V

V

V

(9.91.)

Os dois circuitos podem ser idênticos ou ter características diferentes e ainda,estar suspensos por uma mesma estrutura ou por estruturas distintas em uma mesmafaixa de servidão e operando em paralelismo físico e/ou elétrico.

Considerando os dois circuitos idênticos, a igualdade [ ] [ ]III ii = é verdadeira.Levando esta condição na equação (9.91.) e desmembrando a mesma, resulta:

[ ] [ ] ii jwV p p,IIII,II,II ++=∆ (9.92.)

[ ] ii jwV p p, pIII, pI, p p ++=∆ (9.93.)

Considerando apenas o circuito I e voltando a expandir as expressões (9.92.) e(9.93.), tem-se:

+++

+++

+++

+++

+++

=

∆

∆

∆

∆

∆

s

r

c

b

a

sssr sf scsesbsd sa

rsrr rf rcrerbrd ra

cscr cf cccecbcd ca

bs br bf bc be bb bd ba

asar af acaeabad aa

s

r

c

b

a

i

i

i

i

i

jw

V

V

V

V

V

(9.94)

Como já visto o cabo pára-raios pode ser isolado ou aterrado. No caso do pára-raios ser isolado não há correntes induzidas nos mesmos, isto é, o vetor corrente nos

pára-raios tem todos seus elementos nulos ( [ ip ] = [ 0 ] ). Esta condição, levada naexpressão (9.94.), mostra mais uma vez que este tipo de pára-raios não exerce influênciana queda de tensão nos cabos presentes na configuração. Estando os pára-raios aterradoshaverá circulação de corrente nos mesmos e esta condição levada na equação (9.94.)revela sua influência na queda de tensão nos cabos. Considerando que nesta condição ovetor da queda de tensão nos pára-raios tem todos os elementos nulos( [∆Vp] = [ 0 ] ),

pode-se reduzir a ordem da matriz da equação (9.94.), incorporando a influência dos

pára-raios nos elementos das fases, conforme mostrado na expressão (9.95.), decorrentedas expressões (9.92.) e (9.93.). Com isto obtém-se a equação de uma linha trifásica acircuito simples e sem pára-raios equivalente a uma linha trifásica a circuito duplo comdois pára-raios. Com [∆Vp

] = [ 0 ] na expressão (9.93.) obtém-se [ ip ] que substituídona equação (9.92.), resulta:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]III, pI, p1

p, p p,III,II,II i jwV +−+=∆ − (9.95)

O resultado do produto matricial ( [ ] [ ] [ ] [ ][ ]II, pI, p1

p, p p,I +− − ) é uma matriz

de ordem 3x3, assim como II,II,I + também é uma matriz de ordem 3x3.



Conforme observado em resultados anteriores, o efeito do solo ideal e do pára-raios pode ser desprezado no cálculo das indutâncias de seqüência positiva. Levandoesta consideração na expressão (9.94.), a mesma pode ser reduzida para:

++++++

+++

=

∆∆

∆

c

b

a

cf cccecbcd ca

bf bc be bb bd ba

af acaeabad aa

c

b

a

i

i

i

jw

V

V

V

(9.96.)

Considerando o sistema equilibrado as indutâncias aparentes serão calculáveis pelas expressões definidas a seguir.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )][2

1L

][

2

1L

][2

1L

cecbcd cacf ccc

bf bc bd ba be bb b

af acaeabad aaa

+++−+=

+++−+=

+++−+=

(9.97.)

Com procedimento análogo pode-se obter os valores de Ld, Le e Lf . Caso oscircuitos sejam idênticos verifica-se que: La = Ld , Lb = Le e Lc = Lf

1. – Desprezando o efeito do solo, considerado ideal, e o efeito da presença dos pára-raios fazer com que os condutores fase ocupem os vértices de um hexágono;

. As indutânciasaparentes definidas pelas equações (9.97.) são diferentes entre si. Para que venham seriguais as condições a seguir devem ser preenchidas, isto é:

2. – Empregar transposição.

Assim, as indutâncias de serviço ou de seqüência positiva para linhas transposta, podem ser confundidas com o valor médio das indutâncias aparentes de uma linha nãotransposta, ou seja:

Ls = ( La + L b + Lc

)/3 (9.98.)

Levando as equações definidas em (9.97.) na expressão (9.98.), resulta:

Ls = 1/3 ( ℓaa + ℓ bb + ℓcc ) + (ℓad + ℓ bc + ℓcf ) – 1/2[ 2(ℓab + ℓ bc + ℓca

) +

(ℓae

+ ℓaf

+ ℓ bd

+ ℓ bf

+ ℓcd

+ ℓce

)] (9.99.)

Desconsiderando a presença do solo os coeficientes de campo magnético sãodefinidos genericamente por:ℓ ii = 2x10-4 ln ( 1/rmg ) e ℓij = 2x10 -4 ln ( 1/d ij

).Escrevendo estes coeficientes para a situação da figura (9.20.) e substituindo-os naequação (9.99.), resulta:

)

d d d d d d

1ln

d d d

1ln

d d d

1ln

rmg

1ln(10x2LL

6 cecd bf bd af ae

3ca bcab

3cf bead

41s

−

+−+== −

(9.100.)



Fazendo-se:

3ca bcab ddddmg= - distância média geométrica entre condutores do circuito I;

3

cf beadI dddD = - distância média geométrica entre os condutores dos circuitosI e II que conduzem corrente de mesma fase;

6cecd bf bd af aeII d d d d d d D = - distância média geométrica entre os condutores

dos circuitos I e II que conduzem corrente de fases distintas.

Logo a equação (9.100.) toma a seguinte forma.

)D

Dln

rmg

dmgln(10x2LL

I

II4s1 +== − (9.101.)

Esta equação difere da sua correspondente para linha de circuito simples pelosegundo termo do segundo membro, que representa a indutância mútua entre circuitos.

Em geral, no caso de linhas a circuito duplo, os dois circuitos são idênticos,entretanto, pode ocorrer que os circuitos apresentem características diferentes. Por outrolado é freqüente que linhas diferentes encontrem-se operando em paralelo e na mesmafaixa de servidão. Nas duas condições descritas as correntes nas fases poderão serdiferentes em módulo e fase.

Para linhas de uma mesma classe de tensão a defasagem entre as correntes é pequena, sendo em geral desprezada.

Quando duas ou mais linhas ocupam a mesma faixa de servidão, ou uma mesmaestrutura, mesmo que alimentadas por uma mesma barra, as defasagens entre ascorrentes podem ser maiores. Nestas condições o valor da indutância mútua é, em geral,muito menor, podendo ser desconsiderada.

Assim, o cálculo das indutâncias para cada um dos circuitos é feito considerandoapenas as diferenças físicas.

Logo.

)D

Dln

rmg

dmgln(10x2LL

I

II

I

I4I,sI,1 +== −

)D

Dln

rmg

dmgln(10x2LL

I

II

II

II4II,sII,1 +== −

Nos cálculos de desempenho é de praxe substituir-se uma linha por seu circuitoelétrico equivalente, isto é:

II,1I,1

II,1I,1

eq ,1LL

LLL

+=

Quando houver várias linhas em paralelo o procedimento a ser adotado é omesmo, isto é, consideram-se todas as indutâncias mútuas entre o circuito sob análise e



9.8.7. Correção da altura dos condutores

As linhas de transmissão aéreas têm seus condutores suspensos a alturas finitasacima da superfície do solo.

Em condições normais de operação, nas quais as correntes nas linhas podem ser

consideradas equilibradas, o retorno de corrente pelo solo pode ser consideradoinsignificante e seu efeito sobre os valores das indutâncias pode ser desprezado. Quandoocorrerem faltas assimétricas em sistemas aterrados o retorno da corrente pelo soloinfluencia no valor das indutâncias. Sendo o solo um condutor não ideal, possuiresistência e ainda deve-se atribuir-lhe indutância, seu efeito deve ser considerado noscálculos, conforme será desenvolvido mais à frente.

Ao serem suspensos os condutores tomam a forma aproximada de catenárias e suaaltura com relação à superfície do solo será variável. Nas expressões desenvolvidasemprega-se a altura média dos condutores, calculável pela equação definida a seguir.

h = H – 0,7 f (9.103.)

Onde:h = altura média corrigida, a ser empregada nas expressões desenvolvidas;H = altura de fixação dos condutores na cadeia de isoladores;f = flecha.

Esta equação é empregada com a finalidade de promover a correção das alturasdos condutores com relação à superfície do solo e sua demonstração não é trivial.

9.8.8. Reatância indutiva – emprego de tabelas

Conforme já visto, a reatância indutiva é calculável pela seguinte expressão.

xL1 = 2 π f L1,I

Onde:[ Ω / km ] (9.104.)

f = freqüência, [ Hz ];L1,I

– indutância, [ H / km ].

Assim, levando a expressão mais geral para cálculo da indutância, dada pelaequação (9.101.), na expressão (9.104.), tem-se:

)

D

Dln

rmg

dmgln(10xf 4x

I

II4L I,1

+π= −

A expressão anterior pode ser decomposta em três parcelas conforme segue.

]km[)

D

D(ln10xf 4)dmg(ln10xf 4)

rmg

1(ln10xf 4x

I

II444L I,1

Ωπ+π+π= −−−

A primeira parcela é denotada por:

)rmg

1(ln10xf 4x 4'

L

−π=



Denomina-se reatância indutiva para espaçamento unitário e seus valoresencontram-se tabelados para condutores singelos e múltiplos em função dascaracterísticas destes condutores e para as freqüências de 50 e 60 Hz. No caso doscondutores singelos as características necessárias são: a bitola e/ou o código e afreqüência. Para os condutores múltiplos necessita-se do código e/ou bitola e ainda do

número de subcondutores e espaçamento entre eles. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e do raio médio geométrico do condutor.A segunda parcela é denotada por:

)dmg(ln10xf 4x 4''L

−π=

Esta parcela é denominada fator de espaçamento indutivo e seus valoresencontram-se tabelados em função da freqüência e da distância média geométrica – dmgcalculada para a linha ou circuito em estudo. Considere que o valor calculado da dmgfoi de XY, ZW. Com a parte inteira ( XY, 00 ) do valor da dmg entra-se na escalavertical da tabela calibrada para o intervalo [ 0,00, 20,00 ] e com a parte fracionária( 0, ZW ) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [ 0,00, 0,90 ]. No cruzamentodos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor do fator deespaçamento indutivo. A expressão acima mostra que esta parcela depende dafreqüência e da distância média geométrica entre os condutores do circuito.

A terceira parcela é denotada por:

)D

D(ln10xf 4x

I

II4'''L

−π=

A parcela acima é denominada reatância indutiva mútua entre circuitos e seus

valores encontram-se tabelados em função da freqüência e da relação ( D II/DI) entre asdistâncias médias geométricas D II e DI

Caso exista mais do que dois circuitos em paralelo, basta acrescentar as parcelasmútuas entre circuitos correspondentes, conforme expressão a seguir.

calculadas para as distâncias envolvendo oscondutores dos dois circuitos. Considere que o valor encontrado para a relação entre asdistâncias médias geométricas seja igual a X, YZ. Com a parte até a primeira casadecimal ( X, Y ) do valor da relação entra-se na escala vertical da tabela calibrada para ointervalo [ 0,5, 1,5 ] e com o valor centesimal ( 0, 0Z ) entra-se na escala horizontal cujointervalo é [ 0,00, 0,09 ]. No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se ocorrespondente valor da reatância indutiva mútua entre circuitos. A expressão acimamostra que esta parcela depende da freqüência e relação entre as distâncias médiasgeométricas entre os condutores dos circuitos I e II. Verifica-se que esta parcela nãoexiste para linhas de circuito simples.

) ) ) ...xxxxxx3

'''L2

'''L1

'''L

''L

'LL I,1

+++++=

Onde:

( )1

'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e II;

( )2

'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e III;

( )3

'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e IV.



10. Resistências e efeito pelicular

10.1. Introdução

Constitui-se na principal causa de perda de energia na transmissão.

Sabe-se que os condutores apresentam diferentes valores de resistências à passagem de correntes com diferentes freqüências, sendo esta diferença tanto maiorquanto maior for a diferença de freqüências.

Assim, define-se resistência efetiva ou resistência à corrente alternada pela relaçãodefinida a seguir.

2ca]correntedaeficazValor [

]condutor nodisipadaPotência[r = [Ω/km]

Sendo a potência dissipada no condutor em [KW / km] e a corrente em [A]. Esta

resistência será efetivamente obtida se for medida à mesma freqüência com que as perdas foram determinadas.Por outro lado a resistência à corrente contínua é definida por meio da expressão

mostrada a seguir.

Ar cc

ρ= [Ω] (10.01.)

Onde:ρ = resistividade do material do condutor à determinada temperatura, [Ω mm2

ℓ = comprimento do condutor, [m]; /m];

A = área da seção transversal do condutor, [mm2

].

A resistividade de um condutor metálico é afetada pelos seguintes fatores:

1. – Têmpera do material: a resistividade do cobre recozido é menor do que a docobre têmpera dura;

2. – Pureza do material: em geral, as impurezas aumentam a resistividade domaterial;

3. – Temperatura: a resistividade dos condutores metálicos cresce com o aumentoda temperatura.

A tabela apresentada a seguir mostra algumas características de alguns condutoresmetálicos mais empregados à temperatura de 20º C.

Tabela 10.01. – Características de alguns condutores metálicos.

Material Condutibilidade Resistividade[Ω mm2

T /m] [oC]

Cobre recozido(*) 100% 0,017241 234,5Cobre têmpera dura 97,3% 0,017720 241,0Alumínio 61,0% 0,026260 228,0

(*) tomado como padrão



10.2. Efeito da variação da temperatura na resistência

A resistividade e em conseqüência a resistência de um condutor metálico variamcom a temperatura conforme indicado na figura a seguir.

Figura 10.01. – Variação da resistência de condutores metálicos com atemperatura.

Sabe-se que a variação é linear dentro dos limites normais de operação a que ésubmetido um condutor.

Com base na figura (10.01.) e na equação da reta é possível escrever umaexpressão para promover correções nas variações da resistência com a temperatura. Aequação da reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2

) é dada por:

y - y1 = m(x - x1

b = (x) = m x + b, sendo m = (y2 – y1) / (x2 – x1) e

2y1 – x1y2) / (x2 – x1

)

Representando a temperatura t no eixo y e a resistência r no eixo x, conforme afigura (10.01.) tem-se:

Para x1 = 0 → y1 = -T e para x2 = r 2 → y2 = tLogo, levando esta condição na equação da reta acima[ y - y

2.

1 = m(x - x1) ],resulta: t + T = [(t2 + T) / r 2

Para x] r.

1 = 0 → y1 = -T e para x2 = r 1 → y2 = tLogo, levando esta condição na equação da reta acima[ y - y

1. 1 = m(x - x1) ],

resulta: t + T = [(t1 + T) / r 1Igualando-se estas duas expressões resultantes, tem-se:

] r.

[(t2 + T) / r 2] r = [(t1 + T) / r 1

] r

Logo, resulta:

r 2 / r 1 = (t2 + T) / (t1

+ T)

Ou ainda

r 2 = r 1 [(t2 + T) / (t1 + T)] (10.02.)



Onde: r 1 = resistência na temperatura t1, r 2 = resistência na temperatura t2

T = constante característica do material condutor, conforme tabela (10.01.).e

A expressão (10.02.) pode ainda ser colocada na seguinte forma:

r 2 = r 1 [ 1 + α t1(t2 – t1 )]

Sendo αt1 = 1,0 / (t1 + T) [oC]-1

No processo de fabricação os filamentos que compõe o cabo são agrupados emforma de espiral em torno do fio central, resultando em filamentos com comprimentomaior que o do próprio cabo. Assim, grosseiramente, estima-se um aumento daresistência, devido ao encordoamento, da ordem de 1% a 2% do valor calculado paraum condutor cilíndrico de mesma seção.

o coeficiente de aumento da resistência com atemperatura.

10.3. Contribuição do efeito pelicular na resistência à corrente alternada

Em um condutor cilíndrico percorrido longitudinalmente por uma correntealternada, a densidade de corrente varia em função da distância radial com relação aoseu eixo longitudinal, sendo máxima junto à superfície. Este fenômeno é conhecidocomo efeito pelicular (skin effect). Como conseqüência, tem-se um aumento naresistência do condutor à corrente alternada e uma diminuição em sua reatância indutivainterna.

A determinação rigorosa das conseqüências do fenômeno envolveequacionamento com funções de Bessel, segundo expressão apresentada a seguir.

]))mr ( ber ())mr ( bei([)mr ( ber )mr ( bei)mr ( bei)mr ( ber

2mr

r r 2'2'

''

cc

ca

+−= (10.03.)

A dedução desta equação encontra-se desenvolvida na referência: STEVENSON,W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill doBrasil, 1974.

O argumento mr que aparece na equação (10.03.) é definido como segue:

ρµω

=m (10.04.)

Sendo:r 0 µµ=µ ;

m

H104 7

0−π=µ ;

f 2 π=ω ;

2

cccc

r r

Ar

π=ρ⇒ρ= .

Tomando ρ por unidade de comprimento, resulta: 2cc r r π=ρ . Levando todas

estas igualdades na expressão (10.04.), resulta:



mi/emr para1098,635

m/emr para1085,15k com

r

f k mr

cc4

cc4

cc

r

Ω

Ω=

µ=

−

− (10.05.)

Onde: f = freqüência e r cc

= resistência à corrente contínua na temperaturadesejada.

Com base na tabela (10.02.) a expressão (10.05.) fica reduzida à equação (10.06.),definida a seguir.

Tabela 10.02. – Valores de permeabilidade magnética relativa de alguns materiais..

Material Permeabilidade

Relativa ( μr )Prata 0, 9999800Cobre 0, 9999910Vácuo 1,0000000Ar 1,0000004Alumínio 1,0000200

ccr

f k mr = (10.06.)

As funções de Bessel podem ser obtidas por:

Bessel real: ...)!4(

)2/mr (

)!2(

)2/mr (1)mr ( ber

2

8

2

4

−+−=

Bessel imaginária: ...)!5(

)2/mr (

)!3(

)2/mr ()2/mr ()mr ( bei

2

10

2

62 −+−=

Os termos )mr ( ber ' e )mr ( bei ' são obtidos dividindo-se por m as derivadas emrelação à x de )mx( ber e )mx( bei , fazendo x = r, sendo r o raio externo do condutor.

Normalmente os valores de resistência utilizados encontram-se tabelados paratoda a gama de condutores. Entretanto é possível obter estes valores por meio de

procedimento bastante prático, como desenvolvido a seguir.Procedimento:

1. Obtém-se rcc

2. Calcula-se mr para a freqüência desejada por meio da expressão(10.06.);

do condutor maciço desejado e na temperatura desejada;

3. Com o valor de mr calculado entra-se na curva representada na figura(10.02.) obtendo-se o valor da relação rca / rcc. Conhecendo-se rcc,determina-se rca

.



Observações:1. Nos cálculos de desempenho em linhas de transmissão, a resistência dos

condutores é, em geral, considerada na temperatura de 75o

2. A curva da figura (10.02.) foi obtida por meio da equação (10.03.) paracondutores maciços, com r

C como forma decompensar o aumento da temperatura provocado pelo sol e efeito Joule dascorrentes;

cc em Ω/mi, considerando que o encordoamentotem efeito desprezível na relação rca / rcc , para freqüências até 60Hz.

Figura (10.02.) – Relação rca / r cc para um condutor cilíndrico, com rcc

em Ω/mi.Fig. 4.4, página 76, extraída da referência: STEVENSON, W. D. Elementos de análisede sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.

No caso dos cabos condutores com alma de aço a experiência demonstra que estescabos comportam-se como condutores tubulares uniformes e como no caso doscondutores homogêneos a sua resistência efetiva pode ser obtida por meio de

procedimento idêntico ao do caso anterior, empregando as curvas representadas nafigura (10.03.).

Figura (10.03.) – Relação rca / rcc para cabos CAA, com rcc em Ω/mi. Figura 9.2,

página 454, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão deenergia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.



10.4. Contribuição do efeito pelicular na indutância interna de um condutor

A indutância interna de um condutor também é alterada em conseqüência destefenômeno, e como no caso da resistência pode ser determinada por meio da expressão

definida a seguir.

]))mr ( ber ())mr ( bei([

)mr ( ber )mr ( ber )mr ( bei)mr ( bei

mr

4

L

L2'2'

''

i

i

+

+= (10.07.)

Sendo ]m/H[8

Li πµ

= a indutância interna de um condutor admitindo

distribuição uniforme de corrente.A relação definida pela expressão (10.07.) aumenta à medida que a freqüência

diminui, tornando-se unitária quando a freqüência cai para zero. À medida que afreqüência aumenta a relação diminui em conseqüência do efeito pelicular que provocamaior concentração de corrente junto à superfície do condutor, provocando a redução doenlace de fluxo magnético interno.

Figura (10.04.) – Relação

i

i

L

L para um condutor cilíndrico, com iL calculada pela

expressão acima. Fig. 4.5, página 78, extraída da referência: STEVENSON, W. D.Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil,1974.

A figura (10.04.) representa os valores extraídos da equação (10.07.) e permiteobter, com procedimento similar ao empregado para as resistências, Li

iLtendo-se os

valores de mr e . Nas tabelas o valor da reatância indutiva para espaçamento unitário encontra-se

ajustado para a freqüência especificada. Nas expressões definidas para o cálculo doscoeficientes de campo magnético próprio ou da reatância indutiva para espaçamentounitário a correção é feita por meio do valor do raio médio geométrico que é ajustado

para a freqüência que o acompanha. Desta forma o efeito pelicular fica incorporado noscálculos das indutâncias e/ou reatâncias indutivas.



11. Impedâncias das linhas de transmissão

São constituídas por uma componente real ( resistência à corrente alternada ) euma componente imaginária ( reatância indutiva na freqüência do sistema ). Érepresentada por:

Lcaca x jr Lf 2 jr z +=π+=•

Caso a linha seja formada por condutores múltiplos e sendo n o número desubcondutores por condutor múltiplo, a resistência a ser empregada na expressão daimpedância será 1/n do valor da resistência de um subcondutor.

Da mesma forma que para as indutâncias, pode-se definir uma matriz deimpedâncias, cuja ordem depende do número de circuitos e pára - raios.

11.1. Componentes real e imaginária da impedância de circuitos com retorno

pelo solo

As expressões desenvolvidas anteriormente, para o cálculo das reatânciasindutivas, consideram o sistema equilibrado. Estas reatâncias nos sistemasdesequilibrados são as de seqüência positiva e negativa. Para que os sistemasdesequilibrados possam ser analisados é necessário obter-se também as reatâncias deseqüência nula ou zero.

As componentes de seqüência nula das correntes, em sistemas trifásicos, sãoiguais em módulo e fase, fluindo pelos condutores das fases e retornando pelo solo,condutor neutro, pára – raios ou uma combinação destes percursos. Como, em geral, osolo é envolvido, sua resistividade deve ser considerada, bem como a distribuição dascorrentes no mesmo. Com este objetivo foram desenvolvidos os métodos desenvolvidosa seguir.

11.1.1. Método de Carson – “exato”

No desenvolvimento do método os condutores foram considerados paralelos aosolo e este com resistividade uniforme em todas as direções e tendo extensão infinita.

Mostrou que as impedâncias próprias e mútuas de circuitos com retorno pelo solo,considerado real, são iguais às impedâncias para um circuito envolvendo solo idealcorrigida por um fator definido por: ∆R + j ∆XL

Considere a figura (11.01.) onde estão representados dois condutores suspensos

acima do solo e seus retornosatravés dos respectivoscondutores imagens.

.

Figura 11.01. – Condutores com retornos individuais pelo solo.



Com base nos elementos da figura (10.01.), Carson definiu as impedâncias

próprias e mútuas para circuitos com retorno pelo solo.

1.1.a. – Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo:

)X jR (f 108rmg

h2lnf 104 jr z L

4

i

i4iiii ∆+∆π+π+= −−

• [ Ω / km] (11.01.)

1.1.b. – Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo:

)X jR (f 108d

Dlnf 104 jz L

4

ik

ik 4ik ∆+∆π+π= −−

• [ Ω / km] (11.02.)

O fator de correção (∆R + j∆ XL ) é função de duas variáveis, definidas por

Carson como segue.

a.1. - Para as impedâncias próprias:

0ii =θ

ρ= − f

h10620,5 p i3

ii , com ρ em [Ω / m3

]

b.1. - Para as impedâncias mútuas:

]hh

x[tgarc

k i

ik ik +

−=θ

ρ= − f

D101004,28 p ik 4

ik , com ρ em [Ω / m3

]

Sendo as componentes ∆R e ∆XL

definidas por.

]km/[]1536

4cos p

245

3cos p

2sen16

p)

p

2ln6728,0(2cos

16

pcos

23

p

8 [R

33

22

Ωθπ

−θ

+

+θθ++θ+θ−π

=∆

(11.03.)

]km/[])0895,1 p

2ln(

384

cos p

384

4sen p

245

3cos p

64

2cos pcos p

23

1

p

2ln

2

10386,0[X

44

32

L

Ω+θ

−θθ

−

+θ

+θπ

−θ++−=∆

(11.04.)

Assim, a matriz de impedâncias corrigidas por meio da metodologia de Carson,considerando o solo um condutor real, será dada por:



[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

f 108sendo

XX jR r Z

4

LLc, b,a

corr

−π=ξ

∆ξ++∆ξ+= (11.05.)

A matriz [ r ] é diagonal e as demais são cheias. A ordem da matriz[ ] c, b,a

corr Z depende do número de circuitos e do número de pára-raios. Caso este seja

aterrado esta matriz pode ser reduzida à ordem 3x3, representativa de uma linha trifásicaequivalente a circuito simples e sem pára - raios.

11.1.2. Método aproximado

Trata-se de uma simplificação do método de Carson, denominado exato.Resultados analisados mostram que as simplificações introduzem erros aceitáveis. Asimplificação consiste em desprezar os termos das equações de ∆R e ∆XL

8 R

π=∆

quecontenham θ. Nestas condições resulta:

p

2ln

2

10386,0XL +−=∆

Ou seja, o termo ξ [∆R] torna-se constante e proporcional à freqüência da redeenquanto que o termo ξ [∆XL

Com isto as impedâncias próprias e mútuas passam a ser calculadas por:

] é proporcional à resistividade do solo e inversamente proporcional à freqüência.

1.2.a. – Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo:

i

442iiii

rmg

f 37,658

lnf 104 j)f 10r (z

ρ

π+π+= −−•

[ Ω / km ] (11.06.)

1.2.b. – Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo:

ik

442ik

d

f 37,658

lnf 104 jf 10z

ρ

π+π= −−•

[ Ω / km ] (11.07.)

Sendof

37,658De

ρ= em metros.

Os termos imaginários das expressões (11.06.) e (11.07.) são os coeficientes decampo magnético próprios e mútuos, multiplicados por 2πf , corrigidos pela substituiçãode 2hi por De , na expressão dos coeficientes próprios e Dik por De , na expressão doscoeficientes mútuos. A distância De

pode ser interpretada como sendo aquela entre oscondutores e um único condutor de retorno de corrente e de diâmetro unitário, conforme

mostrado na figura (11.02.).



Figura 11.02. – Retorno de corrente por meio de um condutor de retorno único.

A tabela mostrada a seguir traz alguns valores típicos de resistividade e valores dadistância equivalente De para a freqüência de 60 Hz, e mostra que os valores destadistância são muito grandes quando comparados com as distâncias horizontais xik

entre

os condutores i e k.

Tabela 11.01. – Valores típicos de resistividade e distâncias equivalentes – tabela7.1., página 332, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão deenergia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.

Elemento Resistividade[ Ω /m3

D ] [ m ]

e

Água do mar 0,01 a 1,0 8,5 a 85,0Solo pantanoso 10,0 a 100,0 268,8 a 850,0Terra seca 1.000 2.688,0

Pedregulho 1,0 x 10 268.800,07 Arenito 1,0 x 10 2.688.000,09 Valor médio de um grandenúmero de medições 100,0 850,0

Embora a simplificação do método de Carson possa parecer drástica, o métodovem sendo empregado pela sua simplicidade mesmo diante de diferenças da ordem de10% em cálculos comparativos, pois nem mesmo este grau de certeza pode-se ter comrelação aos valores de resistividade do solo. A resistividade de um mesmo tipo de solovaria muito em função da umidade do mesmo. Medições realizadas obtiveram valoresde resistividade da ordem de 10.000 [ohm/m3] em época de seca e 1.000 [ohm/m3

] em período de chuva, para o solo de arenito.

11.2. Impedâncias seqüenciais das linhas de transmissão

A forma mais rápida e direta de obter as impedâncias seqüenciais de linhas detransmissão é por meio de transformação matricial. Este procedimento fornece asimpedâncias de seqüência positiva, negativa e nula. Além destas fornece ainda possíveisimpedâncias interseqüenciais.

Considere o trecho de linha mostrado na figura a seguir.



Figura 11.03. – Segmento de uma linha trifásica.

A queda de tensão entre os extremos R e S, em componentes de fase, da linha édada por:

[ ] [ ] [ ] c, b,ac, b,a3x3

c, b,aRS IZV =∆ (11.08.)

A queda de tensão e a corrente colocadas em termos de componentes simétricas

podem ser escritas conforme segue.

[ ] [ ] [ ] 2,1,0RS

c, b,aRS VAV ∆=∆ (11.09.)

[ ] [ ] [ ] 2,1,0c, b,aIAI = (11.10.)

Substituindo-se as expressões (11.09.) e (11.10.) em (11.08.), resulta:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] 2,1,0c, b,a3x3

12,1,0RS IAZAV −=∆ (11.11.)

Sendo as matrizes [ A ] e [ A ]-1

definidas por:

[ ] [ ]

=

= −

aa1

aa1

111

3

1Ae

aa1

aa1

111

A2

21

2

2

O produto matricial na equação (11.11.) é a matriz de impedâncias seqüenciais,sendo designada por:

[ ] [ ] [ ] [ ]AZAZ

c, b,a

3x3

12,1,0

3x3

−

= (11.12.)

A matriz de impedâncias em componentes de fase [ ] c, b,a3x3Z pode representar a

matriz de qualquer linha trifásica, seja ela sem, com um ou dois pára-raios e ainda comum ou mais circuitos, reduzida à ordem 3x3, cujos elementos podem agregar os efeitosdos outros circuitos e ainda o efeito de pára-raios aterrados.

Considerando a matriz resultante do processo de redução [ ] c, b,a

3x3Z dada a seguir, o

desenvolvimento do produto matricial, mostrado na expressão (11.12.), fornece a matriz

de impedâncias seqüenciais [ ] 2,1,03x3Z , também definida a seguir.



[ ]

=

cccbca

bc bb ba

acabaac, b,a

3x3

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z

(11.13.)

[ ]

=

222120

121110

0201002,1,0

3x3

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z

(11.14.)

Expandindo, os elementos da matriz definida na expressão (11.14.), sãocalculáveis por.

)ZZZ(3

2)ZZZ(

3

1Z ca bcabcc bbaa00

+++++= (11.15.)

)ZZZ(31)ZZZ(

31ZZ ca bcabcc bbaa2211 ++−++== (11.16.)

As impedâncias 00Z , 11Z e 22Z são respectivamente as impedâncias de seqüência

nula, positiva e negativa da linha.As impedâncias interseqüenciais 01Z , 02Z , 10Z , 12Z , 20Z e 21Z se forem

diferentes de zero anulam a simplificação introduzida pela ferramenta componentesimétrica. Estas impedâncias são calculáveis por:

)ZaZZa(3

2

)ZaZaZ(3

1

Z ca

2

bcabcc bb

2

aa12

+++++=

)ZaZZa(3

2)ZaZaZ(

3

1Z ca bcab

2cc

2 bbaa21

+++++=

)ZaZZa(3

1)ZaZaZ(

3

1ZZ ca bcab

2cc

2 bbaa0210

++−++==

)ZaZZa(3

1)ZaZaZ(

3

1ZZ ca

2 bcabcc bb

2aa2001

++−++==

A simplificação ocorre quando estas últimas são iguais a zero. Para que asimpedâncias interseqüenciais sejam nulas é necessário que haja transposição, fazendo

com que as impedâncias próprias sejam iguais entre si e as mútuas também sejam iguaisentre si, ou seja:

ca bcab

cc bbaa

ZZZ

ZZZ

==

==(11.17.)

Considerando-se as igualdades definidas a seguir, as impedâncias seqüenciaismostradas nas equações (11.15.) e (11.16.) ficam reduzidas às equações (11.18.) e(11.19.).



Os condutores de uma linha de transmissão, quando energizados, ficam sujeitos auma diferença de potencial entre si e com relação ao solo. No processo de energização,a linha absorve cargas da fonte da mesma forma que um capacitor. Quando submetida auma tensão alternada, em um ponto qualquer dos condutores, a carga elétrica variasegundo a variação do valor instantâneo da tensão. Esta movimentação de cargas

constitui-se em uma corrente, denominada de corrente de carregamento(carga oucapacitiva). Para linhas aéreas curtas seu efeito é geralmente desprezado, não podendoser desconsiderado no caso de linhas longas de tensões elevadas onde seu efeito podeafetar o comportamento da linha.

12.2. Conceitos básicos

12.2.1. Lei de Gauss

“ O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é numericamente igual àcarga envolvida por esta superfície “

Figura 12.01. – Fluxo elétrico através de uma superfície fechada.

Onde:Q = carga envolvida pela superfície – [ Coulombs – C ];S = área da superfície fechada – [ metro2 – m2

Φ = fluxo elétrico que atravessa a superfície.];

Com base na definição pode-se escrever:

Q N

=ϕ (12.01.)

Define-se densidade de fluxo elétrico por:

S

Q

SD =

ϕ= [ C/m2

] (12.02.)

Do eletromagnetismo sabe-se que a intensidade de campo elétrico, no espaçolivre, pode ser obtida por:

ε=

DE [ V/m] (12.03.)

Onde ε é a permissividade elétrica do meio – [ F/m ], sendo dada por:r 0

εε=ε



Como a permissividade relativa do meio( ε r ), para o espaço livre(ar) vale 1(um), aexpressão (12.03.) reduz-se a:

0

DE

ε= [ V/m] (12.04.)

12.2.2. Campo elétrico devido a um condutor longo e retilíneo carregado

Considere o condutor maciço, longo e retilíneo mostrado na figura (12.02.).Considere ainda que este condutor esteja carregado com uma densidade linear de cargase afastado da influência de cargas externas. Nestas condições o fluxo elétrico será radiale todos os pontos eqüidistantes do condutor estarão sobre uma superfície equipotenciale terão a mesma densidade de fluxo elétrico.

Figura 12.02. – Condutor retilíneo carregado.

Sendo l o comprimento do condutor, a área da superfície equipotencial será:

S = 2 π x l

Considerando a área por unidade do condutor tem-se: S = 2 π x. Assim, a

densidade de fluxo elétrico através da superfície será:

x2

QD

π= [ C/m2 ]

Onde Q é o valor instantâneo da carga por unidade de comprimento do condutorconsiderada uniformemente distribuída em sua superfície e x é à distância do centro docondutor à superfície equipotencial. Assim, para estas condições a intensidade de campoelétrico será dada por:

x2

QE

0επ= [V/m] (12.05.)

12.2.3. Diferença de potencial entre dois pontos situados no campo de uma

carga Q

Considere um condutor longo e retilíneo mostrado na figura (12.03.) carregadocom carga Q[C/m].



Figura 12.03. – Pontos situados no campo de uma carga Q distribuída na

superfície de um condutor.

O ponto P1 por estar mais próximo da carga encontra-se a um potencial mais

elevado que o ponto P2. Portanto para deslocar uma carga q, também positiva, do pontoP2 ao ponto P1 realiza-se trabalho contra as forças do campo. Para que a carga q vá deP1 para P2

Do eletromagnetismo sabe-se que a diferença de potencial entre dois pontos,situados no campo elétrico de uma carga Q, é numericamente igual aotrabalho(Joules/Coulomb) necessário para levar uma carga de prova q(q=1C) de umdestes pontos ao outro, independentemente do percurso realizado. Assumindo o

percurso P

o campo realiza trabalho.

1P’2P2

tem-se:

+

= 2'2

'21

12 P paraPde

q var le paraTrabalho

P paraPde

q var le paraTrabalho

v (12.06.)

A segunda parcela da expressão (12.06.) é nula considerando que os pontos P’2 eP2

Define-se trabalho como sendo o produto da força pelo deslocamento.estão ao mesmo potencial, isto é, sobre a mesma superfície equipotencial.

Ainda do eletromagnetismo sabe-se que sobre uma carga q colocada em umcampo elétrico aparece uma força dada por:

Eq F

= [N]

Assim, a integral de linha entre dois pontos, da força que age sobre a carga de prova é o trabalho realizado para movimentar esta carga entre os pontos considerados.

Logo, como q = 1C resulta:

∫ ∫== 2

1

'2

1

P

P

P

P12 xd .Eld .Ev

Como xd e E

tem a mesma direção tem-se:

dx

x2

Qdx.Ev 2

1

2

1

d

d

d

d

0

12 ∫ ∫

επ

==



Assim o valor instantâneo da diferença de potencial entre os pontos P1 e P2

será:

1

2

0

12d

d ln

2

Qv

επ= [V] (12.07.)

O valor de v12 pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de Q ou aindado valor de d2 ser maior ou menor do que o valor de d1

.

12.2.4. Diferença de potencial entre dois condutores carregados

Considere os dois condutores cilíndricos, paralelos entre si, cujos raios valem r1 er2, conforme mostrado na figura (12.04.)

Figura 12.04 – Dois condutores cilíndricos, maciços e carregados.

Considere inicialmente que apenas o condutor 1 encontra-se carregado com umacarga Q1 enquanto que o condutor 2 encontra-se descarregado. Verifica-se que o campocriado pela carga Q1

Assim, assumindo o ponto P

deforma-se nas proximidades do condutor 2, isto porque este

último é uma superfície equipotencial e encontra-se ao potencial da superfície que ocorta. Isto, entretanto, não altera a d.d.p. entre os condutores, uma vez que esta d.d.p. pode ser determinada passando por percursos que não atravessam a região distorcida. Ésabido que qualquer caminho adotado leva ao mesmo resultado.

1 sobre o condutor 1 e o ponto P2 sobre o condutor 2,resulta d1 = r1 e d2 = d12

Logo a d.d.p. devido apenas à carga Q.

1 é dada por:

1

12

0

1Q12

r

d ln

2

Qv 1

επ=

Supondo agora que apenas o condutor 2 encontra-se carregado com carga Q2,resulta d1 = d12 e d2 = r

Logo a d.d.p. devido apenas à carga Q2

2

será dada por:

12

2

0

2Q12

d

r ln

2

Qv 2

επ= (12.08.)

Considerando a superposição de efeitos tem-se:

12

2

0

2

1

12

0

1

12 d

r ln

2

Q

r

d ln

2

Qv

επ+

επ= (12.09.)



Fazendo-se Q1 = Q e Q2

= -Q a expressão (12.09.), reduz-se a:

]d

r ln

r

dln[

2

Qv

12

2

1

12

012 −

επ= (12.10.)

Considerando que r1 = r2 = r, a expressão (12.10.) transforma-se em:

r

d ln

Qv 12

0

12 επ= (12.11.)

Para a condição em que Q1 = + Q, Q2 = -Q e r1 = r2 = r e estando os condutores paralelos entre si, existirá entre os mesmos à distância d12

/2 um plano sobre os qualtodos os pontos estão ao potencial zero. Assim, este plano pode ser confundido com umcondutor neutro.

12.2.5. Diferença de potencial entre condutor carregado e o solo.

Considere um condutor de raio r e carregado com uma carga Q suspenso acimado solo conforme mostrado na figura (12.05.).

Figura 12.05 – Condutor carregado com carga Q e suspenso acima do solo.

Conforme visto anteriormente o solo pode ser representado por um condutorfictício, denominado condutor imagem, carregado com uma carga –Q e a uma

profundidade h com relação à superfície do solo.Com base na equação (12.11.) e com as condições estabelecidas na figura

(12.05.), tem-se:

r h2lnQv

011 επ

=′ (12.11.)

Desta forma tomando-se o potencial do condutor com relação a um condutorneutro de potencial nulo, resulta:

r

h2ln

2

Qv

2

1v

011n1 επ

== ′ (12.12.)



12.2.6. Diferença de potencial entre condutores carregados e o solo.

Considere a situação da figura (12.06.) onde dois condutores de raios r1 e r2,carregados com cargas Q1 e Q2 respectivamente, instantâneas e uniformementedistribuídas ao longo de seus comprimentos, encontram-se suspensos acima do solo.

Figura 12.06 – Condutores carregados e suspensos acima do solo.

A d.d.p. instantânea do condutor 1 com relação ao solo devido a todas as cargas presentes pode ser escrita com base em resultados anteriores. Assim, considerando ocondutor 1 e, empregando as expressões (12.08.) e (12.12.), resulta:

12

2

0

2

12

2

0

2

10

1n1

D

r ln

2

Q

d

r ln

2

Q

r

h2ln

2

Qv

επ−

επ+

επ= (12.13.)

Manipulando a expressão (12.13.), obtêm-se:

12

12

0

2

1

1

0

1n1

d

Dln

2

Q

r

h2ln

2

Qv

επ+

επ= (12.14.)

Considerando o condutor 2 e precedendo de forma análoga, resulta:

2

2

0

2

21

21

0

1n2

r

h2ln

2

Q

d

Dln

2

Qv

επ+

επ=

Adotando notação matricial, tem-se:

επ=

2

1

2

2

21

21

12

12

1

1

0n2

n1

Q

Q

r

h2ln

d

Dln

d

Dln

r

h2ln

2

1

v

v (12.15.)

Considerando notação compacta a equação (12.15.) transforma-se em:

[ ] [ ] [ ]QEv = (12.16.)



A matriz [ E ] denomina-se matriz dos coeficientes de potencial elétrico ou aindamatriz dos coeficientes de campo elétrico. Paraε 0

dado em [F/km], a unidade doselementos da matriz será [km/F]. Estes elementos podem ser escritos na forma genérica

para diversos condutores i e j que estejam presentes na configuração, conforme segue:

a. Coeficientes de campo elétrico próprios:i

i

0

iir h2ln

21eεπ

= [km/F]

b. Coeficientes de campo elétrico mútuos: ji

ji

0

jid

Dln

2

1e

επ= [km/F]

Onde:hi

r = altura média do i-ésimo condutor;

i

D = raio do i-ésimo condutor;i j

d = distância do i-ésimo condutor à imagem do j-ésimo condutor;

i j

= distância do i-ésimo ao j-ésimo condutor.

12.2.7. Definição de capacitância.

Define-se capacitância entre dois condutores como sendo a carga nos condutores pela diferença de potencial entre eles, isto é:

v

QC = [ F/km ] (12.17.)

Onde:

Q = carga nos condutores – [ C/km];v = diferença de potencial entre os condutores – [ V ].

Exemplo: aplicação dos conceitos no cálculo da capacitância entre dois condutores.

Considere a figura mostrada a seguir, onde dois condutores de raios r1 e r2 encontram-se carregados respectivamente com as cargas +Q e –Q.

Com base em definições e resultados anteriores é possível escrever:

]d

r ln

r

d ln[

2

]d

r ln

r

d ln[

2

Q

Q

v

QC

12

2

1

12

0

12

2

1

12

0

12

12

−

επ=

−επ

==

Considerando r1 = r2 = r a equação anterior fica reduzida a:



A figura (12.07.) mostra dois condutores carregados e suspensos acima do solo eas capacitâncias envolvendo os condutores( C12 ) e ainda as capacitâncias envolvendoos condutores e o solo( C1n e C2n ).

Figura 12.07 – Capacitâncias entre condutores e condutores e solo.

Para o arranjo representado na figura (12.07.), pode-se escrever:

=

2

1

2221

1211

n2

n1

QQ

eeee

vv (12.22.)

Onde:vi n

e = ddp entre o i-ésimo condutor e o solo;

i i e ei j

Q são os coeficientes de potencial elétrico próprios e mútuos para o arranjo;

i

= carga do i-ésimo condutor.

Da equação (12.22.) obtêm-se:

∆∆

∆∆=

n2

n1

2221

1211

2

1

v

vf f

f f

Q

Q (12.23.)

Onde:∆ = determinante da matriz [ E ]; f ii e f ij

são os menores co-fatores da matriz adjunta da matriz [ E ] transposta.

A partir da definição de capacitância e considerando o arranjo da figura (12.07.) pode-se escrever:

Q1 = C1n v1n + C12 v12 = C1n v1n + C12 (v1n – v2n) = ( C1n + C12 ) v1n – C12 v

2n

Q2 = C21 v21 + C2n v2n = C21 (v2n – v1n) + C2n v2n = – C21 v1n + ( C2n + C21 ) v

2n

Adotando notação matricial, resulta:

+−

−+=

n2

n1

21n221

1212n1

2

1

v

v

CCC

CCC

Q

Q (12.24.)

Comparando as matrizes das expressões (12.23.) e (12.24.), tem-se:



∆+

=⇒

∆−=⇒−=

∆

+=∆ 1211

n112

121212

12n111

f f C

f CC

f

CCf

∆+

=⇒

+=∆

∆−=⇒−=

∆ 2221n2

21n222

212121

21

f f C

CCf

f CC

f

O determinante da matriz [ E ] vale: Δ = e11 e22 – e12 e21. Considerando o métodoclássico de inversão de matrizes, os menores co-fatores valem: f 11 = e22, f 12 = -e12, f 21 =-e21 e f 22 = e11

Logo as capacitâncias definidas pelas expressões acima podem ser colocadas emfunção dos coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, conforme segue.

.

∆−

= 1222n1

eeC

∆= 12

12

eC

∆−

= 2111n2

eeC

∆= 21

21

eC

Como a matriz dos coeficientes de campo elétrico é simétrica, os coeficientesmútuos são iguais entre si, isto é, e12 = e21, portanto as capacitâncias C12 e C21

]d

Dln

d

Dln

r

h2ln

r

h2ln[

2

1

d

Dln

r

h2ln

C

21

21

12

12

2

2

1

1

0

12

12

2

2

n1

−επ

−=

tambémserão iguais entre si. Considerando que os coeficientes são determináveis pelasexpressões desenvolvidas anteriormente, as capacitâncias ficam perfeitamente definidas,

ou seja:

]

d

Dln

d

Dln

r

h2ln

r

h2ln[

2

1d

Dln

r

h2ln

C

21

21

12

12

2

2

1

1

0

21

21

1

1

n2

−

επ

−=

]d

Dln

d

Dln

r

h2ln

r

h2ln[

2

1

d

Dln

CC

21

21

12

12

2

2

1

1

0

12

12

2112

−επ

==

As capacitâncias C1n e C2n são as parciais entre os condutores 1, 2 e solo. Acapacitância C12 é a parcial entre os condutores 1 e 2. A figura (12.07.) mostra que ascapacitâncias parciais C1n e C2n estão em série e a resultante desta associação, em

paralelo com a capacitância parcial C12 .



n2n1

n2n1

n2n1

nCC

CC

C

1

C

1

1C

+=

+=

A fonte de alimentação enxerga a resultante final desta associação, ou seja:

n2n1

n2n112n12

CC

CCCCCC

++=+=

A capacitância definida pela expressão anterior denomina-se aparente.

NOTA: Inversão clássica de matrizes

Considere a matriz [ E ] a ser invertida, dada por:

[ ]

=

333231

232221

131211

eee

eee

eee

E

O determinante desta matriz, ∆, é obtido por meio da regra de Kramer.

∆ = e11 e22 e33 + e12 e23 e31 + e13 e21 e32 – ( e13 e22 e31 + e11 e23 e32 + e33 e12 e21 )

Ou ainda

3231

2221

13

)31(

3331

2321

12

)21(

3332

2322

11

)11( )1()1()1(ee

eee

ee

eee

ee

eee +++ −+−+−=∆

A matriz transposta da matriz [ E ] é dada por:

[ ]

=

332313

322212

312111T

eee

eee

eee

E

A matriz adjunta é obtida a partir da matriz [ E ]T

conforme segue.

−−−

−−−

−−−

=

+++

+++

+++

2212

2111)33(

3212

3111)23(

3222

3121)13(

3332

2322)32(

3313

3111)22(

3323

3121)12(

2313

2212)31(

3313

3212)21(

3323

3222)11(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

ee

ee)1(

]E[adj

Ou seja:



=

333231

232221

131211

f f f

f f f

f f f

]E[adj

Sendo:

f 11 = e22 e33 – e23 e

32 f 12 = - e12 e33 + e13 e f 32 13 = e12 e23 – e13 e

f

22

21 = - e21 e33 + e23 e

31 f 22 = e11 e33 – e13 e f 31 23 = - e11 e23 + e13 e

f

21

31 = e21 e32 – e22 e

31 f 32 = - e11 e32 + e12 e F31 33 = e11 e22 – e12 e

21

A matriz inversa da matriz [ E ] será:

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

=∆

=−

333231

232221

131211

1

f f f

f f f

f f f

]E[adj]E[

12.3. Capacitâncias de linhas trifásicas.

12.3.1. Introdução

Cada condutor está acoplado capacitivamente aos demais condutores, pára-raios esolo. Estas capacitâncias são aquelas denominadas parciais. A representação de umacoplamento equivalente pode ser complexa, dependendo do numero de condutores e

pára-raios presentes na configuração da cabeça de torre da linha.As denominadas capacitâncias aparentes são grandezas fictícias entre os

condutores e um elemento de potencial nulo(solo), que produzem sobre a fonte dealimentação da linha o mesmo efeito que as capacitâncias associadas. É por meio destascapacitâncias que se pode evidenciar possíveis desequilíbrios eletrostáticos existentesnas linhas, anulado pelo emprego da transposição.

Nos circuitos e modelos das linhas, são empregadas as capacitâncias de serviço ou

de seqüência positiva, obtidas a partir das aparentes ou por meio de transformaçãodireta.

As capacitâncias de seqüência nula, usadas em cálculos de curtos-circuitosassimétricos, também podem ser obtidas a partir das capacitâncias aparentes ou ainda

por transformação direta.

12.3.2. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples sem pára-raios.

Considere a figura (12.08.) representativa destas linhas, onde estão mostradastodas as capacitâncias parciais presentes.



Figura 12.08. – Linha trifásica a circuito simples e sem pára-raios.

Para a linha da figura (12.08.) a matriz dos coeficientes de potencial elétrico serásimétrica e dada por:

[ ]

=cccbca

bc bb ba

acabaa

eee

eee

eee

E

Sendo sua inversa a matriz fornecida a seguir.

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

=−

cccbca

bc bb ba

acabaa

1

f f f

f f f

f f f

]E[ (12.25.)

Ainda com base em desenvolvimentos anteriores a matriz de capacitâncias escrita para a mesma configuração - figura (12.08.) é fornecida pela expressão (12.26.), isto é:

++−−

−++−

−−++

=

cn

bn

an

cbcacncbca

bc bc ba bn ba

acabacaban

c

b

a

v

v

v

CCCCC

CCCCC

CCCCC

Q

Q

Q

(12.26.)

Comparando a matriz da expressão (12.25.), com a matriz da expressão (12.26.),elemento por elemento, encontram-se os valores da todas as capacitâncias parciais presentes, definidas por:

∆−= ab

ab

f C

∆++

= acabaaan

f f f C

∆−= bc

bc

f C

∆++

= bc bb ba bn

f f f C

∆−= ca

ca

f C

∆++

= cccbcacn

f f f C



Como os menores co-fatores e o determinante da matriz [E] são definidos emfunção dos coeficientes de campo elétrico, todas as capacitâncias parciais ficam

perfeitamente determinadas, uma vez que a matriz de capacitâncias é simétrica.Em um sistema equilibrado quando a tensão em uma das fases passa pelo seu

valor máximo positivo, nas demais passa por metade do valor máximo com o sinal

trocado. Assim, considerando a expressão (12.26.) e isoladamente a fase a, quando atensão passa pelo valor máximo( Vmáx. ), a carga nesta fase também assume o valormáximo( Qmáx.

), permitindo escrever:

.máxacabacabana

.máx V])CC(2

1)CCC([Q ++++= (12.27.)

Fazendo.máx

a.máx

aV

QC = na equação (12.27.), resulta:

)CC(23CC acabana ++= [F/km] (12.28.)

Com procedimento análogo para as demais fases, tem-se:

)CC(2

3CC bc ba bn b ++= [F/km] (12.29.)

)CC(2

3CC cbcacnc ++= [F/km] (12.30.)

Desta forma, o arranjo de capacitâncias parciais pode ser substituído por outrocom três capacitâncias equivalentes, ligadas conforme mostrado na figura (12.09.).

Figura 12.09. – Ligação das capacitâncias equivalentes.

É por meio destas capacitâncias que se podem evidenciar possíveis desequilíbrioseletrostáticos. O equilíbrio é verificado para o caso em que as capacitânciasequivalentes são iguais entre si( Ca = C b = Cc ). Para que a igualdade entre os valoresseja verificada é necessário que os coeficientes de campo elétrico próprios sejam iguaisentre si( eaa = e bb = ecc ) e ainda que os mútuos também sejam iguais entre si( e ab = e bc = e ca

a. coeficientes médios próprios de campo elétrico.

). Estas igualdades ocorrem somente, independentemente do arranjo da cabeça detorre, para o caso destas linhas serem transpostas. Neste caso os coeficientes de campoelétrico, próprios e mútuos, assumirão valores médios definidos pelas expressões

genéricas apresentadas a seguir.



]F

km[

r

hmg2ln

2

1e

i0

ii επ= (12.31.)

b. coeficientes médios mútuos de campo elétrico.

]F

km[

dmg

DMGln

2

1e

0

ji επ= (12.32.)

Onde:hmg – altura média geométrica das alturas dos condutores;r iDMG – distância média geométrica das distâncias entre os condutores e a imagem

dos condutores adjacentes;

– raio externo do i – ésimo condutor;

dmg – distância média geométrica das distâncias entre os condutores.

Para a silhueta da linha representada na figura (12.08.) e considerando ainda que alinha é transposta, pode-se escrever:

r

hhh2ln

2

1)eee(

3

1eee

3c ba

0

cc bbaacc bbaa επ=++=== (12.33.)

3ca bcab

3ca bcab

0

ca bcabca bcabd d d

DDDln

2

1)eee(

3

1eee

επ=++=== (12.34.)

Sendo a linha transposta a matriz dos coeficientes de campo elétrico será:

[ ]

=

aaabab

abaaab

ababaa

eee

eee

eee

E (12.35.)

Logo, a sua inversa será:

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

=−

aaabab

abaaab

ababaa

1

f f f

f f f

f f f

]E[ (12.36.)

Onde:2ab

2aacc bbaa eef f f −=== (12.37.)

aaab2abca bcab eeef f f −=== (12.38.)

)e2e()ee( abaa2

abaa +−=∆ (12.39.)



12.3.3.a. Pára-raios isolados.

Na figura (12.11.) estão representadas todas as capacitâncias parciais presentes para esta situação.

Figura 12.11. – Linha com pára-raios isolado.

O cabo pára-raios não tem cargas próprias, isto é: Qr

Levando a condição Q = 0

r

= 0 na equação (12.47.) verifica-se que os potenciais doscondutores das fases com relação ao solo não são afetados. Entretanto, as cargas noscondutores das fases induzirão eletrostaticamente uma d.d.p. entre o solo e o pára-raios.Substituindo-se esta condição na última equação do sistema, representado em (12.48.), é

possível obter a igualdade mostrada na equação (12.49.) que permite a determinação dovalor desta d.d.p. induzida, empregada para efeito de dimensionamento da isolação docabo pára-raios.

rcrbrarn

cnrc bnrbanrarn

CCCCvCvCvCv

+++++= (12.49.)

A d.d.p. definida na expressão (12.49.) exerce influência sobre as cargas doscondutores das fases, como pode ser comprovado na equação (12.48.)

Para a determinação das capacitâncias parciais é necessária a inversão da matrizdos coeficientes de potencial elétrico definida na expressão (12.47.) e a posteriorcomparação com a matriz das capacitâncias parciais mostrada na expressão (12.48.),resultando em:

∆−= abab

f C ∆

+++= ar acabaaan

f f f f C

∆−= bc

bc

f C

∆+++

= br bc bb ba bn

f f f f C

∆−= ca

ca

f C

∆+++

= cr cccbcacn

f f f f C

∆−= ar

ar

f C

∆+++

= rr rcrbrarn

f f f f C

∆−= br

br

f C

∆−= cr

cr f C



Verifica-se que todas as capacitâncias parciais definidas pelas expressões

imediatamente anteriores encontram-se representadas na figura (12.11.).

12.3.3.b. Pára-raios aterrados.

Na figura (12.12.) estão representadas todas as capacitâncias parciais presentes para esta situação.

Figura 12.12. – Linha com pára-raios aterrado.

Pelo fato do pára-raios estar aterrado a d.d.p. entre o mesmo e o solo será nula(vrn = 0). Como conseqüência capacitância parcial entre o pára-raios e o solo ( Crn ) não

pode ser definida e não é representada na figura (12.12.). É importante observar que ascapacitâncias parciais entre os condutores das fases e o solo estão em paralelo com ascapacitâncias parciais entre as fases e o cabo pára-raios. Assim, em termos práticos estaassociação paralela pode ser substituída pelo valor resultante. Com isto valoresindividuais são perdidos sem comprometer os resultados. Estando o pára-raios aterrado,

por condução desde o solo, este absorve cargas fazendo com que: QrSeu valor irá influenciar no valor das capacitâncias parciais, aparentes e de

seqüência nula, não afetando as capacitâncias de seqüência positiva.

≠ 0

Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico, definida em (12.47.),deve ser reduzida a uma matriz equivalente de ordem 3x3 representativa de uma linhatrifásica a circuito simples sem pára-raios. Este processo de redução conhecido comométodo de Kron, agrega aos coeficientes de potencial elétrico, próprios e mútuos dasfases, a contribuição da presença do cabo pára-raios, conforme expressão (12.50.)mostrada a seguir.

−−−

−−−

−−−

=

c

b

a

rr

2cr

cc

rr

br cr cb

rr

ar cr ca

rr

cr br bc

rr

2 br

bb

rr

ar br ba

rr

cr ar ac

rr

br ar ab

rr

2

ar aa

cn

bn

an

Q

Q

Q

e

ee

e

eee

e

eee

e

eee

e

ee

e

eee

eeee

eeee

eee

v

v

v

(12.50.)

Adotando notação simplificada a expressão representada em (12.50.) pode serescrita na seguinte forma.



=

c

b

a

ccc

ccb

cca

c bc

c bb

c ba

cac

cab

caa

cn

bn

an

Q

Q

Q

eee

eee

eee

v

v

v

(12.51.)

Qualquer das matrizes mostradas nas expressões (12.50.) ou (12.51.),denominadas por [Ec

], uma vez invertida fornecerá os elementos para a determinaçãodas capacitâncias parciais, lembrando que deverá ser escrita uma matriz decapacitâncias compatível para a situação de uma linha trifásica equivalente sem pára-raios. Assim procedendo pode-se escrever:

∆−=

cab

abf

C ∆

++=

cac

cab

caa

an

f f f C

∆−=

c bc

bcf

C ∆

++=

c bc

c bb

c ba

bn

f f f C

∆−=

cca

caf

C ∆

++=ccc

ccb

cca

cn

f f f C

Onde as grandezas c ji

cii f ef são os menores co-fatores da adjunta da matriz [Ec] e

Δ é o determinante da mesma matriz [Ec]. Os valores das capacitâncias parciais Car , C br e Ccr foram perdidos individualmente embora estejam incorporados aos valores dascapacitâncias parciais Can , C bn e Ccn

As capacitâncias equivalentes podem ser obtidas empregando-se as mesmasequações definidas para linhas trifásicas a circuito simples sem pára-raios, isto é:

, respectivamente.

)CC(2

3CC acabana ++= )CC(

2

3CC bc ba bn b ++= )CC(

2

3CC cbcacnc ++=

Considerando a linha transposta os coeficientes de campo elétrico, próprios emútuos, assumirão valores médios definidos pelas equações (12.33.), (12.34.) e pelaequação (12.52.) definida a seguir.

3cr br ar

3cr br ar

0

cr br ar cr br ar d d d

DDDln

2

1)eee(

3

1eee

επ=++=== (12.52.)

O coeficiente próprio do cabo pára-raios, por ser único, continua sendo definido pela expressão, já mostrada anteriormente e fornecida novamente a seguir.

r

r

0

rr r

h2ln

2

1e

επ=

Assim, os elementos próprios e mútuos da matriz definida na expressão (12.51.) passarão a ser calculados pelas seguintes expressões:

rr

2

ar aacccc bbcaa eeeeee −=== (12.53.)



rr

2ar

abcca

c bc

cab e

eeeee −=== (12.54.)

Logo as capacitâncias de seqüência positiva e zero passam a ser definidas pelasseguintes expressões:

abaacab

caa

1ee

1

ee

1C

−=

−= (12.55.)

rr

2ar

abaa

cab

caa

0

e

e3e2e

1

e2e

1C

−+

=+

= (12.56.)

A equação (12.55.) demonstra a afirmação feita anteriormente de que a presença

do cabo pára-raios não afeta a capacitância de seqüência positiva.

12.3.4. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples com dois pára-raios.

Considere a figura (12.13.) representativa destas linhas. Onde a, b e c são oscondutores das fases e r e s os cabos pára-raios.

Figura 12.13. – Linha a circuito simples com dois pára-raios.

Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico será de ordem 5x5conforme representação definida a seguir.

[ ]

=

sssr scsbsa

rsrr rcrbra

cscr cccbca

bs br bc bb ba

asar acabaa

eeeee

eeeee

eeeee

eeeeeeeeee

E (12.57.)

A matriz mostrada em (12.57.) pode ser subdividida conforme segue:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

2x2 pp3x2 pf

2x3fp3x3ff

EE

EEE (12.58.)



Considerando os pára-raios aterrados, a matriz representada em (12.58.) pode serreduzida à ordem 3x3 representativa de uma linha trifásica a circuito simples sem pára-raios equivalente à linha trifásica a circuito simples com dois pára-raios, conforme

procedimento empregado quando do desenvolvimento de indutâncias, isto é:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3x33x2 pf 12x2 pp2x3fp3x3ff 3x3c EEEEE −−= (12.59.)

Com isto o efeito da presença dos pára-raios é incorporado aos coeficientes decampo elétrico, próprios e mútuos, das fases, presentes na matriz [Eff ]3x3

Admitindo a transposição, é possível demonstrar que o produto matricialmostrado na expressão (12.59.) resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementossão para efeitos práticos aproximadamente iguais a:

.

rsrr

2ar

ee

e2e

+≅∆ (12.60.)

Neste caso o coeficiente médio, devido à existência de dois pára-raios, queaparece na expressão (12.60.) é calculável por:

6cs bsascr br ar

6cs bsascr br ar

0

ar d d d d d d

DDDDDDln

2

1e

επ= (12.61.)

Os demais coeficientes presentes na expressão (12.60.) são determinados porexpressões desenvolvidas em tópicos anteriores e reapresentadas a seguir.

r

r

0

rr r

h2ln

2

1e

επ=

rs

rs

0

rsd

Dln

2

1e

επ=

Sendo Drs a distância do cabo r à imagem do cabo s e drs

Assim, as capacitâncias seqüenciais são calculáveis por equações já definidas em

(12.55.) e (12.56.) empregando os coeficientes médios corrigidos, definidos comosegue:

é a distância do cabo r ao cabo s.

rsrr

2ar

aacaa

ee

e2ee

+−= (12.62.)

rsrr

2ar

abcab

ee

e2ee

+−= (12.63.)

Logo, tem-se:



abaacab

caa

1ee

1

ee

1C

−=

−=

rsrr

2

ar abaa

c

ab

c

aa

0

eee6e2e

1

e2e

1C

+−+

=

+

=

As capacitâncias parciais e equivalentes têm seus valores afetados pela presençados pára-raios aterrados e a determinação delas segue procedimento idêntico ao de umalinha a circuito simples com um pára-raios, lembrando que neste caso os fatores decorreção serão obtidos por meio de um produto matricial, definido na expressão(12.59.).

12.3.5. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito duplo com dois pára-raios.

Considere a figura (12.14.) mostrada a seguir representativa destas linhas e naqual será baseado o desenvolvimento do equacionamento. Para efeito deequacionamento a silhueta mostrada na figura (12.14.) pode ser representativa de umalinha a circuito duplo com dois pára-raios, assim como, duas linhas idênticas a circuitosimples com um pára-raios e em paralelo. O equacionamento é aplicável em ambos oscasos.

Figura 12.14. – Linha a circuito duplo com dois pára-raios.

Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico [E] será de ordem 8x8,conforme representado na expressão (12.64.).

=

f

e

d

s

r

c

b

a

ff fefd fsfr fcfbfa

ef eeed eser ecebea

df dedd dsdr dcdbda

sf sesd sssr scsbsa

rf rerd rsrr rcrbra

cf cecd cscr cccaca

bf be bd bs br bc bb ba

af aead asar acabaa

fn

en

dn

sn

rn

cn

bn

an

QQ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

eeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

vv

v

v

v

v

v

v

(12.64.)



Adotando notação compacta a equação (12.64.) pode ser reescrita conforme

segue.

[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ][ ]

=

1x3II

1x2 p

1x3I

3x3II,II2x3 p,II3x3I,II

3x2II, p2x2 p, p3x2I, p

3x3II,I2x3 p,I3x3I,I

1x3 N,II

1x2 N, p

1x3 N,I

Q

Q

Q

EEE

EEE

EEE

v

v

v

(12.65.)

Considerando a sobreposição de efeitos é possível realizar o desenvolvimento para cada um dos circuitos isoladamente.

Assim, admitindo que os circuitos são idênticos, é possível estabelecer asseguintes igualdades:

N,II N,I vv = (12.66.)

[ ] [ ]III QQ = (12.67.)

Desmembrando a equação (12.65.), levando em conta apenas o circuito I econsiderando ainda as igualdades representadas nas equações (12.66.) e (12.67.),resulta:

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

+

+=

1x2 p

1x3I

2x2 p, p3x2II, p3x2I, p

2x3 p,I3x3II,I3x3I,I

1x2 N, p

1x3 N,I

Q

Q

EEE

EEE

v

v (12.68.)

Expandindo o conjunto (12.68.), tem-se:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++

+++

+++

+++

+++

=

s

r

c

b

a

sssr sf scsesbsd sa

rsrr rf rcrerbrd ra

cscr cf cccecbcd ca

bs br bf bc be bb bd ba

asar af acaeabad aa

sn

rn

cn

bn

an

Q

Q

Q

Q

Q

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

v

v

v

v

v

(12.68.a.)

Desmembrando o conjunto (12.68.), tem-se:

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]1x2 p2x2 p, p1x3I3x2II, p3x2I, p1x2 N, p

1x2 p2x3 p,I1x3I3x3II,I3x3I,I1x3 N,I

QEQEEv

QEQEEv

++=

++=

(12.68.b.)

Admitindo que os pára-raios sejam aterrados, o conjunto (12.68.) de ordem 5x5 pode ser reduzido à ordem 3x3 representativo de uma linha de circuito simples sem pára-raios equivalente à linha trifásica de circuito simples e dois pára-raios.

Para a condição de pára-raios aterrado, tem-se: [ ]0v1x2 N, p = . Logo isolando

1x2 pQ na segunda expressão do conjunto (12.68.b.) e substituindo este resultado na

primeira expressão do mesmo conjunto, resulta:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]1x3I3x2II, p3x2I, p

1

2x2 p, p2x3 p,I3x3II,I3x3I,I1x3 N,I QEEEEEEv +−+= −



Assim, obtém-se a matriz dos coeficientes de potencial elétrico da linha

equivalente, cujos elementos incorporam a contribuição do circuito II e dos pára-raios,isto é:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] 3x33x2II, p3x2I, p12x2 p, p2x3 p,I3x33x3II,I3x3I,I3x3

c EEEEEEE +−+= − (12.69.)

Os elementos próprios e mútuos da matriz [Ec

] podem ser representadosgenericamente pelas expressões escritas a seguir.

ii'iiiicii e)ee(e ∆−+= (12.70.)

ji' ji jic ji e)ee(e ∆−+= (12.71.)

Considerando i e j condutores genéricos do circuito I, i’ e j’ condutores genéricos

do circuito II, os coeficientes presentes em (12.70.) (12.71.) serão obtidos por;

ji

ji

0

ji

i

i

0

iid

Dln

2

1ee

r

h2ln

2

1e

επ=

επ=

' ji

' ji

0

' ji

'ii

'ii

0

'iid

Dln

2

1ee

d

Dln

2

1e

επ=

επ=

Onde:hi

r

= altura do i-ésimo condutor do circuito I;

id = raio externo do i-ésimo condutor do circuito I;i j

D = distância do i-ésimo condutor ao j-ésimo condutor,ambos do circuito I;

i j

d

= distância do i-ésimo condutor à imagem do j-ésimo condutor, ambos docircuito I;

i i’

D

= distância do i-ésimo condutor do circuito I ao i’-ésimo condutor do circuitoII;

i i’

d

= distância do i-ésimo condutor do circuito I à imagem do i’-ésimo condutordo circuito II;

i j’

D

= distância do i-ésimo condutor do circuito I ao j’-ésimo condutor do circuitoII;

i j’

= distância do i-ésimo condutor do circuito I à imagem do j’-ésimo condutor

do circuito II.

É pertinente observar que a sistemática de indexação impõe que os condutores i ei’ sejam condutores dos circuitos I e II, respectivamente e que estão ao mesmo

potencial.O produto matricial mostrado na expressão (12.69.) e reescrito abaixo, representa

a matriz que define os fatores de correção, próprios(Δeii) e mútuos(Δeij

), queincorporam o efeito da presença dos pára-raios aos elementos representativos fases docircuito I.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3x2

II, p3x2

I, p1

2x2 p, p

2x3 p,I

3x3

c EEEEE +=∆ − (12.72.)



As capacitâncias parciais e equivalentes são obtidas com procedimento idênticoao empregado na determinação destas grandezas, para o caso de linha a circuito simplescom um pára-raios, observando que neste caso existem três capacitâncias parciaisconectadas entre cada condutor fase e o solo. Os termos de correção que representam oefeito da presença dos pára-raios são decorrentes de um produto matricial(eq. 12.72.).

A determinação das capacitâncias seqüenciais segue procedimento análogo ao doitem anterior, porém com os coeficientes de potencial elétrico médios, próprios emútuos, corrigidos, definidos por:

e)ee(e ad aacaa ∆−+= (12.73.)

e)ee(e aeabcab ∆−+= (12.74.)

Sendo:

r

hmg2ln

2

1eee

0

cc bbaa επ=== ;

dmg

DMGln

2

1eee

0

ca bcab επ=== ;

I

3cf bead

0

cf bead D

DDDln

2

1eee

επ=== ;

II

6cecd bf bd af ae

0

cecd bf bd af aeD

DDDDDDln

2

1eeeeee

επ====== ;

6cs bsascr br ar

6cs bsascr br ar

0

cs bsascr br ar d d d d d d

DDDDDDln

2

1eeeeee

επ====== .

Onde: 3c ba hhhhmg = = altura média geométrica dos condutores do circuito I;

3ca bcab DDDDMG = = distância média geométrica entre os condutores e as

respectivas imagens de condutores adjacentes, todos docircuito I;

3ca bcab d d d dmg = = distância média geométrica entre os condutores do circuito

I;3

cf beadI dddD = = distância média geométrica entre os condutores dos circuitos

I e II que estão ao mesmo potencial;

6 cecd bf bd af aeII d d d d d d D = = distância média geométrica entre os condutoresdos circuitos I e II que estão em diferentes

potenciais;

rsrr

2ar

ee

e2e

+≅∆ - como definido na expressão (12.60).

Substituindo-se os coeficientes definidos nas equações (12.73.) e (12.74.) naequação da capacitância de seqüência positiva, definida em (12.65.), resulta:

)ee()ee(

1

ee

1

Caeabad aa

cab

caa

1 +−+=−=



Levando os coeficientes correspondentes na expressão anterior obtém-se:

)D

DDDDDD

lndmg

DMG

lnD

DDD

lnr

hmg2

ln(2

1

1C

II

6cecd bf bd af ae

I

3cf bead

0

1

−−+επ

=

Como visto anteriormente 2hmg ≈ DMG. Levando esta consideração na expressão

de C1

acima e reagrupando convenientemente a expressão, tem-se:

)DDDDDD

DDDln

D

Dln

r

dmgln(

2C

6cecd bf bd af ae

3cf bead

I

II

01

++

επ= (12.75.)

Devido à proximidade entre os valores dos dois radicais mostrados na expressãoanterior, o terceiro termo do denominador desta mesma expressão pode ser desprezado.Assim, a expressão para cálculo da capacitância de seqüência positiva assume aseguinte forma:

)D

Dln

r

dmgln(

2C

I

II

01

+

επ= (12.76.)

A capacitância de seqüência nula definida em (12.66.), assume a seguinte forma:

e3)ee(2)ee(

1

]e)ee[(2e)ee(

1

e2e

1C

aeabad aa

aeabad aacab

caa

0

∆−+++=

=∆−++∆−+

=+

=

Logo.

rsrr

2ar

aeabadaa

0

ee

e6)ee(2)ee(

1C

+−+++

= (12.77.)

12.3.6. Condutores múltiplos.

Considere um condutor múltiplo representado na figura (12.15.). Este condutor éformado por n subcondutores iguais e de raio r, uniformemente distribuídos sobre umcírculo de raio R, cujo centro encontra-se a uma altura h acima da superfície do solo, talque h >> R. Suponha que o condutor múltiplo encontra-se carregado com uma carga Q,uniformemente distribuída e que cada subcondutor fique carregado com uma carga Q/n.



Figura 12.15. – Condutor múltiplo. Netas condições é possível demonstrar que este condutor múltiplo pode ser

substituído por um condutor fictício único e cilíndrico cujo raio externo Rc

é dado por:

n

n1k 112c s...s...sr R = (12.78.)

A grandeza Rc

Nas linhas reais isto não ocorre. As cargas elétricas presentes nas demais fases irá provocar deformidade na distribuição do campo elétrico em torno dos condutoresmúltiplos, fazendo com que os subcondutores externos fiquem mais expostos a estadeformação e consequentemente apresentarão gradiente de potencial mais elevado.

pode ser interpretada como o raio de um condutor cilíndricofictício que possuindo a mesma carga Q, gera o mesmo campo elétrico que o condutormúltiplo. A condição h >> R garante que o condutor fictício tem o mesmo gradiente de

potencial que cada um dos subcondutores, em conseqüência do campo elétrico nãosofrer deformações devido à presença das cargas do solo.

Assim, nas linhas com condutores múltiplos, nas expressões dos coeficientes decampo elétrico próprios, o raio do condutor singelo deverá ser substituído pelo raioequivalente do condutor múltiplo ( Rc

), isto é:

c

i

0

ii

R

h2ln

2

1e

επ

= (12.79.)

A aplicabilidade das equações desenvolvidas verifica-se nas seguintes situações:a. para linhas ou circuitos idênticos, em paralelo e simétricos com relação a um

eixo de simetria;b. para linhas ou circuitos diferentes, operando em paralelismo elétrico( mesma

tensão ) e físico;c. linhas em simples paralelismo físico – em geral é desprezada a iteração entre

circuitos. Havendo necessidade de incluir a iteração, é preciso conhecer as defasagensdas fases de um circuito com relação ao outro.

Nas análises e estudos de desempenho, as linhas paralelas ou de circuito duplo

podem ser substituídas por linhas de circuito simples equivalente. Para tanto é preciso



determinar a capacitância se serviço ou de seqüência positiva da linha equivalente,associando em paralelo às capacitâncias de serviço das linhas ou circuitos.

12.3.7. Definição de reatâncias capacitivas e emprego de tabelas.

A reatância capacitiva é definida pela expressão (12.80.), dada a seguir.

Cf 2

1xc π

= [ Ω km] (12.80.)

Para uma linha de comprimento ℓ[km], a capacitância total será ( Cℓ ) , isto é, ℓ capacitâncias por unidade de comprimento associadas em paralelo. Para esta condição areatância capacitiva total será dada por:

Cf 2

1Xc

π

= [ Ω ]

Sendo C[ F/km ] qualquer das capacitâncias definidas por condutor da linha.A unidade Farad[ F ] pode ser colocada em termos de unidades básicas, isto é,

[ F ] = [ A s / V]. Logo a unidade de capacitância pode ser escrita como: [ A s / V km].A unidade de freqüência é [ 1 / s]. Levando estas grandezas na expressão (12.80.),obtém-se para xc

A reatância de serviço ou de seqüência positiva pode ser determinada por meio detabelas pré-definidas. Assim substituindo-se C

a unidade [ V km / A ], ou seja: [ Ω km ]. Com isto demonstrou-seque a unidade de reatância capacitiva é [ Ω km ] e não [ Ω / km ], como encontrado, asvezes, em textos sobre o assunto.

1, calculada pela expressão (12.76.), com

ε0 = (1/36 π) 10-6

+

π×

=+

I

II

cm

6

1D

Dln

r our

dmgln

f

109x

F/km, na equação (12.80.) e agrupando os termos convenientemente,resulta:

[ Ω km ] (12.81.)

Desmembrando a expressão (12.81.) de forma conveniente, resulta:

I

II66

c

6

1D

Dln

f

109dmgln

f

109

R our

1ln

f

109x

π×

+π×

+π×

=+++

(12.82.)

Fazendo-se:

c

6

cR our

1ln

f

109x

π×

=′+

;

dmglnf

109x

6

c π×

=′′+

;

I

II6

cD

Dlnf

109x π

×=′′′

+

.



A equação (12.82.) pode ser escrita como segue.

ccc1 xxxx ′′′+′′+′= (12.83.)

A parcela cx′ , denominada como reatância capacitiva para espaçamento unitário,

pode ser encontrada, em função do raio dos condutores - r, nas tabelas III.1(condutoressingelos de cobre, para 50 e 60 Hz), III.2(condutores singelos de alumínio – CA, para50 e 60 Hz), III.3(condutores singelos de alumínio com alma de aço – CAA, para 50 e60 Hz) e, em função do raio equivalente do condutor múltiplo - Rc

A parcela

, na tabelaIII.3b(condutores múltiplos, para 60 Hz).

cx ′′ , denominada fator de espaçamento capacitivo, pode ser

determinada em função dos valores da dmg entre os condutores, nas tabelas III. 8. eIII.9., respectivamente para as freqüências de 50 e 60 Hz.

A parcela cx ′′′ , denominada reatância capacitiva unitária entre circuitos, pode ser

encontrada, em função dos valores da relação DII / DI

, nas tabelas III.10. e III.11.,respectivamente para as freqüências de 50 e 60 Hz.

12.3.8. Definição de susceptâncias capacitivas.

Nos estudos de desempenho dos sistemas elétricos de potência, nos quais as linhassão representadas por seus circuitos unipolares, as capacitâncias de serviço ou deseqüência positiva são introduzidas como admitâncias, ou seja, na forma desusceptâncias.

É definida como sendo o inverso da reatância capacitiva, sendo representada por:

Cf 2x1 b

c

c π== [ Siemens / km] (12.84.)

Para uma linha de comprimento ℓ[km], resulta;

Cf 2x

1B

c

c π== [ Siemens ] (12.85.)

12.3.9. Reatâncias e susceptâncias capacitivas seqüenciais obtidas por meio de

tranformação direta.

A partir da matriz dos coeficientes médios e corrigidos de potencial elétrico, deuma linha equivalente a uma linha real com qualquer configuração, é possíveldeterminar por transformação linear as grandezas seqüenciais por meio da equação(12.86.) definida a seguir.

[ ] [ ] [ ] [ ]TETf 2

1X 33

c1cseq ×

−

π= (12.86.)

Sendo

[ ]

=−

aa1aa1

111

3

1

T2

21

; [ ]

= 2

2

aa1aa1

111

T ;120 j

ea = e120 j2

ea −

=



Sendo a matriz dos coeficientes médios e corrigidos dada por:

[ ]

=caa

cab

cab

c

ab

c

aa

c

ab

cab

cab

caa

c

eee

eee

eee

E

O produto matricial representado na expressão (12.86.) gera uma matriz, tambémde ordem 3x3, com elementos diferentes de zero somente na diagonal principal,calculáveis pelas seguintes equações:

Na posição (1,1): )e2e(f 2

1x c

abcaac00

+π

=

Na posição (2,2): )ee(f 2

1x cab

caac11

−π

=

Na posição (3,3):1122 cc xx =

Caso a linha não seja transposta os elementos da matriz cE não serão valoresmédios e o produto matricial mostrado na equação (12.86.) gera elementos diferentes dezero fora da diagonal principal, que serão os acoplamentos capacitivos mútuos entre oscircuitos seqüenciais.

Lembrando da definição de susceptância capacitiva pode-se escrever para oarranjo de uma linha qualquer a seguinte equação:

[ B ] = 2 π f [ C ] [ Siemens/km ] (12.87.)

Onde:[ B ] – matriz de susceptâncias capacitivas da linha considerada;[ C ] – matriz de capacitâncias escrita para o arranjo da linha considerada.

Como [ C ] = [ E ]-1

a expressão (12.87.) pode ser escrita como segue.

[ B ] = 2 π f [ E ]

-1

[ Siemens/km ] (12.88.)Lembrando que a matriz [ E ]-1

Fundamentado na teoria de componentes simétricas, resulta:

é a inversa da matriz dos coeficientes de potencialelétrico da linha trifásica a circuito simples sem cabos pára-raios, equivalente á linhareal considerada.

[ ] [ ] [ ] [ ]TBTB 331

seq ×−= (12.89.)

Da diagonal principal da matriz [ Bseq ] são extraídos os elementos b00, b11 e b22

Substituindo a equação (12.88.) na expressão (12.89.), obtém-se:

,nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) respectivamente.



[ ] [ ] [ ] [ ]TETf 2B 1

331

seq −×

−π= [ Siemens/km ] (12.90.)

O resultado obtido com a equação (12.90.) exige a inversão da matriz [ E ], sendomais demorado que o cálculo empregando as reatâncias capacitivas seqüenciais.

As susceptâncias capacitivas seqüenciais são determináveis por meio do inversodas respectivas reatâncias capacitivas seqüenciais, ou seja:

00c00 x

1 b =

11c11 x

1 b =

22c22 x

1 b =

13. Condutância de dispersão e efeito corona.

13.1. Introdução.

A condutância de dispersão é um parâmetro com característica de admitância eque aparece nos modelos das linhas como elemento em derivação entre a fase e oneutro, representando as perdas que são proporcionais à tensão da linha.

É definida por:

3

210

V

Pg −∆

= [ S/km] (13.01.)

Onde:∆P – soma das perdas de energia, por dispersão, em uma fase da linha em

[kW/km];

V – tensão de operação entre fase e neutro em [kV].

As perdas por dispersão incluem as perdas devido ao efeito corona e as perdas nosisoladores.

13.2. Perdas nos isoladores.

Concentram-se nos isoladores, entretanto, para efeito prático, são consideradasuniformemente distribuídas ao longo do comprimento da linha.

São caracterizadas pela fuga de corrente em freqüência normal, através domaterial que compõe os isoladores( porcelana ou vidro ).

A determinação destas perdas de energia, provocada por estas correntes é bastantecomplexa, sendo seu valor dependente de um grande número e fatores, cabendodestacar:

1. Qualidade do material do isolador;2. Condições superficiais do isolador;3. Geometria do isolador;4. Freqüência da tensão aplicada;5. Potencial a que são submetidos;6. Condições meteorológicas.



disruptivo é atingido a uma distância do condutor, denominada distância de energia,

calculável por 0,301 / r [cm] em atmosfera padrão, sendo r o raio do condutorDe acordo com este pesquisador o valor eficaz do gradiente crítico visual é obtido

por meio da seguinte expressão:

Ecrv r = 21,6 [ 1 + ( 0,301 / )] [kV/cm] (13.02.)

Outro pesquisador, Miller, verificou que o gradiente crítico visual depende muitomais das dimensões dos condutores e propôs a expressão mostrada a seguir.

]r

54187,01[m1,18E

eq

crvδ

+δ= [ kV / cm ] (13.03.)

Sendo δ é a pressão atmosférica relativa e calculável pela expressão que segue.

t0,273

)h086,00,760(386,0

+−=δ (13.04.)

Onde:t – valor da temperatura média anual em graus Celsius;h – altitude média local em metros.

A grandeza m, denominada fator de superfície, encontra-se definido paradiferentes condições superficiais dos condutores na tabela (13.01.).

Tabela 13.01. – Fatores de superfície.

Condições superficiais dos condutores mCondutores cilíndricos polidos e secos 1,00Cabos novos, secos, limpos e sem abrasão 0,92Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera limpa 0,82Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera agressiva 0,72Cabos de alumínio novos, limpos e secos com condições superficiaisdecorrentes do grau de cuidado com que foram estendidos

0,53 a 0,73

Cabos molhados, novos ou usados 0,16 a 0,25

A grandeza req

É calculável pela seguinte expressão.

, denominada raio equivalente de um condutor múltiplo pode serdefinida como o raio de um condutor cilíndrico fictício que se colocado no lugar docondutor múltiplo, apresentará o mesmo valor do gradiente médio existente nasuperfície dos subcondutores.

eq r

r n

ceq R

dmg

r

dmg

= (13.05.)

Sendo:

dmg – distância média geométrica entre fases;



R c

r – raio do subcondutor;

– raio capacitivo equivalente do condutor múltipo, definido na equação(12.78.);

n – número de subcondutores que formam o condutor múltiplo.

A equação (13.05.) é transcedental, ou seja, deve ser resolvida por tentativas.Para que a linha apresente desempenho adequado é necessário que o gradiente de potencial na superfície dos condutores ou subcondutores seja menor do que o gradientecrítico visual desta linha, isto é:

E < E

crv

Pesquisas recentes mostram que se pode esperar desempenho satisfatório para Ecrv

da ordem de 17,0 kV/cm.

13.5. Gradientes de potencial nos condutores das linhas de transmissão.

Existem diversos métodos para o cálculo deste parâmetro. Todos eles partem deconsiderações teóricas mais ou menos exatas e empregam dados básicos nuncaconhecidos exatamente. Assim, métodos envolvendo elaborações complicadas edemoradas podem não acrescentar nada, em termos de precisão, caso a exatidão doselementos de projeto possam comprometer a sofisticação das elaborações.

No caso de linhas de transmissão e, em particular, no cálculo de gradientes de potencial estas incertezas são bastante evidentes, cabendo destacar:

• Incerteza da altura média geométrica dos condutores sobre o solo – o solonão é plano sob as linhas;

• Incerteza quanto à profundidade do lençol freático. Em muitas situações édesconhecida e seguramente varia ao longo da linha e deveria ser usadacomo superfície equipotencial, de potencial elétrico nulo. Entretanto, é asuperfície do solo que assume esta função nos cálculos;

• O efeito do encordoamento – afeta o valor dos gradientes de potencial.Entretanto os condutores são considerados cilíndricos e suas superfícieslisas.

13.5.1. Gradientes de potencial médios em linhas com condutores simples.

Considere uma linha trifásica de circuito simples com condutores de raio r e dois

pára-raios de raio rpPara esta situação pode-se escrever:.

[ ] [ ] [ ]i1

i

i VEr

1

2

1E −

επ= (13.06.)

Onde:[ ]iE – vetor dos gradientes de potencial na superfície dos cabos da configuração;[ 1/r i[ E ]

] – matriz com os inversos dos raios dos cabos presentes na configuração;-1

[ ]iV

– matriz inversa dos coeficientes de potencial, definida no cálculo de

capacitâncias; – vetor das diferenças de potencial entre os cabos da configuração e o solo.



A expressão (13.06.) desmembrada é colocada na seguinte forma:

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

επ=

p

f

pp

p

pf

p

fpff

p

f

V

V

Er 1E

r 1

Er

1E

r

1

2

1

E

E

[kV/cm] (13.07.)

Conforme visto em ocasiões anteriores os cabos pára-raios podem ser isolados ouaterrados.

13.5.1.a. Pára-raios aterrados.

Neste caso [ ] pV = [ 0 ], pois os pára-raios estão ao mesmo potencial do solo.

Entretanto, possuem cargas p

Q ≠ [ 0 ], que aí chegam por condução desde o solo.

Assim, observam-se gradientes de potencial em suas superfícies. Logo, a partir daequação (13.07.) e da condição [ ] pV

= [ 0 ], determinam-se os gradientes de potencial

na superfície de todos os cabos.

[ ] [ ] [ ]f ff f VEr 2

1E

επ= (13.08.)

13.5.1.b. Pára-raios isolados.

Neste caso pE = [ 0 ], uma vez que não possuem cargas. Entretanto, estão

submetidos a uma diferença de potencial não nula, isto é, [ ] pV ≠ [ 0 ]. Com a condição

pE = [ 0 ] levada na expressão (13.07.) obtém-se a partir do segundo subconjunto de

equações o vetor pV que substituído no primeiro subconjunto fornece:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]f pf 1

ppfpff f VEEEEr 2

1E −−

επ= (13.09.)

Lembrando que quando a d.d.p. em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas demais fases estarão passando pela metade de seu valor máximo negativo,determinam-se os gradientes de potencial na superfície dos condutores das fases.

13.5.2. Gradientes de potencial médios em linhas com condutores múltiplos.

A partir das equações desenvolvidas no caso anterior é possível construir a matriz[ E ] para o cálculo das cargas médias em cada subcondutor de uma linha trifásica. Se oscondutores de uma linha trifásica forem constituídos por n subcondutores e p pára-raios,a matriz [ E ] será de ordem (3n + p). Resultados satisfatórios podem ser obtidos demaneira bem mais simples assumindo o condutor múltiplo substituído por umequivalente sob o ponto de vista eletrostático, como feito no caso do cálculo das

capacitâncias. Assim, os gradientes médios nos subcondutores poderão ser calculados pelas equações determinadas para a situação anterior substituindo-se r por nr(n-número



de subcondutores) e os elementos próprios da matriz [ Eff ] calculados empregando oraio capacitivo( ou eletrostático ), também identificado como sendo o raio equivalentedo condutor múltiplo(Rc

Devido à proximidade das cargas em um mesmo condutor múltiplo, a divergênciado campo em suas proximidades é grande. Para corrigir esta distorção determina-se o

coeficiente de irregularidade dado por:

).

R 2

)1n(d −=∆ (13.10.)

Onde:R – raio do círculo sobre o qual estão os subcondutores;n – número de subcondutores;d – diâmetro dos subcondutores.

Assim, têm-se as equações finais para o cálculo dos gradientes máximos dadas por:

)1(EE medmáx ∆+= (13.11.)

Considerando separadamente os pára-raios aterrados e isolados a expressão(13.11.) pode ser individualizada para cada uma das situações conforme segue.

13.5.2. a. Pára-raios aterrados.

[ ] ( )[ ][ ]f ff máxf VE

r n2

1E

επ∆+

= [kV/cm] (13.12.)

13.5.2. b. Pára-raios isolados.

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]f pf 1

ppfpff máxf VEEEEr n2

1E

−−επ

= [kV/cm] (13.13.)

13.6. Perda de energia por efeito corona.

A determinação analítica destas perdas é feita por meio de expressões em suagrande maioria obtidas experimentalmente.

13.6.1.Perda de potência com tempo bom.

Podem ser determinadas pela expressão definida a seguir.

2

26

tb

r

dmgln

Vf 10022,111P

φ×=

−

[kW/km/condutor ou subcondutor] (13.14.)

Onde: f – freqüência, [ Hz ]; V – valor eficaz da tensão entre fase e neutro, [ kV];r – raio do condutor ou subcondutor, [ cm ]; dmg – distância média geométrica

entre condutores, [ cm ]; Φ – fator experimental, função da relação

E / Ecrv , sendo



A grandeza Cs é a capacitância de serviço ou de seqüência positiva da linha e Pn representa as perdas reduzidas, obtidas na figura (13.03) em função de um coeficientede estado da superfície m do condutor e da relação E / Ecrv. A relação E / Ecrv , tambémdenominada gradiente de potencial relativo é determinada empregando o gradiente de

potencial médio dos condutores (E[kV/cm]) e o gradiente crítico visual (Ecrv

[kV/cm])

obtido pela expressão (13.02.), corrigida apenas para levar em conta o efeito da variaçãoda densidade relativa do ar, como na expressão (13.16.), e considerando somente o raiodos subcondutores, como definida a seguir.

]r

54187,01[1,18E

eq

crv δ+δ= (13.16.)

O coeficiente de estado de superfície m é obtido na figura (13.02.) em função doíndice de precipitação em [mm/h].

Figura 13.02. – Coeficiente de estado de superfície (Figura 10.10b, página 505,extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica:linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).

Assim, de posse do coeficiente superficial m e do gradiente de potencial relativoE / Ecrv, obtém-se Pn na figura (13.03.).



Figura 13.03. – Perda reduzida (Figura 10.10a, página 504, extraída do volume 2da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio deJaneiro: LTC, 1977. 2v.).

13.6.3.Perdas mínimas, médias e máximas.

Conforme visto as condições meteorológicas exercem significativa influência nadeterminação das perdas por efeito corona e , em geral, variam ao longo docomprimento da linha caso esta seja suficientemente longa para atravessar regiõesclimatológicas diferentes. Assim, qualquer estudo sério, somente poderá fornecerresultados confiáveis se alicerçados em dados meteorológicos também merecedores deconfiança. Desta forma, é necessário dispor de índices pluviométricos registrados hora ahora durante longos períodos, envolvendo vários ciclos de cada região climáticaatravessada pela linha. A ordenação destes dados permite a obtenção da curva deduração dos índices de precipitação em mm/h por ano. Com base nestes dados, édeterminada pelo exposto a curva de duração de perdas anuais de potência decorrentes

do efeito corona, em kW, que integrada permite determinar o valor das perdas médiasanuais, conforme ilustrado na figura (13.04.).

Figura 13.04. – Curva de duração de perdas por efeito corona (Figura 10.11, página 507, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão deenergia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).

P e r d a s d e P o t ê n c i a

k W

Perdas Médias Anuais

Perdas c/ Bom Tempo

Perdas Máximas

Duração das Perdas Horas/Ano

Apostila GTD II v1 - Bovolato

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