Apostila- Hidráulica Geral

Prof. Ademar Cordero, Dr.

Engenheiro Civil - UCPEL Mestre em Recursos Hdricos e Saneamento UFRGS/IPH Doutor em Engenharia Hidrulica Politcnico de Milo/Itlia

CAMPUS II - FURB Blumenau, 2013.

Universidade Regional de Blumenau -FURB Centro de Cincias Tecnolgicas -CCT

Departamento de Engenharia Civil

Apostila de Hidrulica Geral - Curso de Engenharia Civil Universidade Regional de Blumenau SC

Prof. Ademar Cordero, Doutor em Engenharia Hidrulica pelo Politcnico de Milo - IT

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SUMRIO

1 PROPRIEDADES DOS FLUDOS .............................................................................................................................. 3 1.1 INTRODUO E APLICAES ...................................................................................................................................................................... 3 1.2 DEFINIO DE FLUIDO ................................................................................................................................................................................... 3 1.3 VISCOSIDADE ................................................................................................................................................................................................... 3

1.3.1 Viscosidade absoluta ou dinmica () ............................................................................................................... 4 1.3.2 Coeficiente de viscosidade cinemtica () ........................................................................................................ 6

1.4 MASSA ESPECIFICA OU DENSIDADE ABSOLUTA ()............................................................................................................................... 7 1.5 PESO ESPECIFICO () ........................................................................................................................................................................................ 7 1.6 DENSIDADE (D) ................................................................................................................................................................................................. 7 1.7 FLUIDO IDEAL E FLUIDO REAL ..................................................................................................................................................................... 7 1.8 FLUDO IMCOMPRESSIVEL E COMPRESSIBILIDADE ................................................................................................................................ 8 1.9 EQUAO DE ESTADO DOS GASES .............................................................................................................................................................. 8 1.10 SISTEMA DE UNIDADES: ANLISE DIMENSIONAL E SIMILARIDADES ............................................................................................... 9

1.10.1. Sistema MKS de unidades .............................................................................................................................. 9 1.10.2. Sistema CGS de unidades............................................................................................................................. 10 1.10.3. Sistema Internacional de Unidades (SI) ...................................................................................................... 11

2. ESTATICA DOS FLUIDOS ...................................................................................................................................... 13 2.1 CONCEITOS DE PRESSO E EMPUXO ......................................................................................................................................................... 13 2.2 LEI DE PASCAL ............................................................................................................................................................................................... 13 2.3 LEI DE STEVIN: PRESSO DEVIDA A UMA COLUNA LQUIDA .............................................................................................................. 14 2.4 INFLUNCIA DA PRESSO ATMOSFRICA ............................................................................................................................................... 14 2.5 MEDIDAS DE PRESSO ................................................................................................................................................................................. 15 2.6 FORA NUMA SUPERFCIE PLANA SUBMERSA ....................................................................................................................................... 17 2.7 FORA SOBRE SUPERFCIES CURVAS ....................................................................................................................................................... 18 2.8 EMPUXO ........................................................................................................................................................................................................... 19 2.9 FLUTUADOR - NOMENCLATURA ................................................................................................................................................................ 19 2.10 ESTABILIDADE ............................................................................................................................................................................................. 20 2.11 ESTABILIDADE VERTICAL ......................................................................................................................................................................... 20

2.11.1 Corpo totalmente submerso em equilbrio ..................................................................................................... 20 2.11.2 Corpo parcialmente submerso em equilbrio ................................................................................................. 20

2.12 ESTABILIDADE ROTAO ...................................................................................................................................................................... 20 2.12.1 Corpo totalmente submerso, em equilbrio .................................................................................................... 20 2.12.1 Corpo parcialmente submerso, em equilbrio ................................................................................................ 21

3. CINEMTICA DOS FLUIDOS ................................................................................................................................ 22 3.1 REGIMES OU MOVIMENTOS VARIADO E PERMANENTE ..................................................................................................................... 22 3.2 ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO ........................................................................................................................................... 22 3.3 TRAJETRIAS E LINHAS DE CORRENTE ................................................................................................................................................. 23 3.4 ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL OU UNIFORME NA SEO ........................................................................................................... 23 3.5 VAZO VELOCIDADE MDIA NA SEO ............................................................................................................................................. 24 3.6 EQUAO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE ........................................................................................................... 25 3.7 VELOCIDADE E ACELERAO NOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS ................................................................................................... 26

4. EQUAO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE ............................................................................. 27 4.1 INTRODUO ................................................................................................................................................................................................ 27 4.2 TIPOS DE ENERGIAS MECNICAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO ......................................................................................................... 27

4.2.1 Energia Potencial (Ep) ..................................................................................................................................... 27 4.2.2 Energia Cintica (Ec) ....................................................................................................................................... 27 4.2.3 Energia de Presso (Epr) .................................................................................................................................. 27 4.2.4 Energia mecnica total do fluido (E) ............................................................................................................... 27

4.3 EQUAO DE BERNOULLI .......................................................................................................................................................................... 28 4.4 EQUAO DA ENERGIA E PRESENA DE UMA MQUINA .................................................................................................................. 29 4.5 POTNCIA DA MQUINA E NOO DE RENDIMENTO .......................................................................................................................... 29

ANEXOS .......................................................................................................................................................................... 30 LISTA DE EXERCCIOS .............................................................................................................................................. 32



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CAPTULO 1

1 PROPRIEDADES DOS FLUDOS

1.1 INTRODUO E APLICAES

A Hidrulica Geral que iremos estudar a parte denominada Mecnica dos Fluidos.

Mecnica dos fluidos a cincia que tem por objetivo o estudo do comportamento fsico dos fluidos e das leis que regem este comportamento.

Aplicaes: Ao de fluidos sobre superfcies submersas. Ex.: Reservatrios, barragens. Ao de fluidos sobre veculos, avies (Aerodinmica). Ao do vento sobre construes civis. Clculo de instalaes hidrulicas. Ex.: instalao de recalque. Clculo de mquinas hidrulicas. Ex.: bombas e turbinas. Equilbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcaes.

1.2 DEFINIO DE FLUIDO

Fluido uma substncia que no tem forma prpria, e que, se estiver em repouso, no resiste a tenses de cisalhamento.

Lquidos possuem uma interao intermolecular forte e por isso eles tomam a forma do recipiente, porm restringindo-se a um volume finito.

Gases possuem interao molecular fraca e por isso, alm de tomarem a forma do recipiente, o preenchem completamente.

1.3 VISCOSIDADE

Quando um fludo escoa, verifica-se um movimento entre as suas partculas, resultando um atrito entre as mesmas; atrito interno ou viscosidade a propriedade dos fludos responsveis pela

Presso

AFp n=

Tenso de Cisalhamento

AFt

=



4

sua resistncia deformao. Os fluidos so substncias viscosas, e isso significa que suas molculas aderem s paredes das tubulaes, produzindo assim atrito e perda de carga.

1.3.1 Viscosidade absoluta ou dinmica ()

Princpio da aderncia: Anlise entre duas placas - tenses de cisalhamento

As partculas do fluido junto s superfcies slidas adquirem as velocidades dos pontos das superfcies com as quais esto em contato.

Junto placa superior as partculas do fluido tm velocidade diferente de zero. Junto placa inferior as partculas tm velocidade nula.

Entre as partculas e cima e as de baixo existir atrito, que por ser uma fora tangencial formar tenses de cisalhamento, com sentido contrrio ao do movimento, como a fora de atrito. As tenses de cisalhamento agiro em todas as camadas fluidas e evidentemente naquela junto placa superior dando origem a uma fora oposta ao movimento da placa superior.

Quando Ft = F, a placa superior adquirir movimento uniforme, com velocidade constante vo.

Lei de Newton:

A tenso de cisalhamento proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy. O coeficiente de proporcionalidade : viscosidade absoluta ou dinmica.

Fluidos Newtonianos: os que seguem a Lei de Newton.

AFt

=



5

dydv =

Fluidos no newtonianos so aqueles que no obedecem a lei de Newton da viscosidade

Designao de comportamento Equao Reolgica Exemplos de Fluidos e Misturas

Plstico ou de Bingham

Lamas de esgoto

Misturas concentradas de minrios em gua

P de carvo em gua

Pseudoplstico

Polpa de papel em gua

Tintas e Vernizes

P de cimento em gua

Sangue

Pseudoplstico com cedncia

Suspenso de argila em gua

Soluo de polmeros

Newtoniano gua

Ar

leos

Simplificao Prtica

Como muito pequeno, na prtica admite-se distribuio linear de velocidades, segundo a normal s placas.



6

~

Portanto:

.

0 cteV

yV

dydv

==

==

A viscosidade ( ) fica

AFt

=

0V

AFt

=

0VAFt =

2..

m

skgf=

A viscosidade depende da natureza do fludo e sua variao funo da temperatura.

Para a gua o valor de pode ser calculada pela seguinte expresso:

22.

.000221,0.0337,01000181,0

m

skgftt ++

= sendo, t a temperatura em graus centgrados.

1.3.2 Coeficiente de viscosidade cinemtica ()

a razo entre o coeficiente de viscosidade dinmica pela massa especfica do fludo

= (m2/s)



7

Onde: a viscosidade cinemtica propriedade fsica do fluido comparada com uma fora de resistncia ao escoamento, e a viscosidade absoluta. Para a gua, da ordem de 1x10-6 m2/s ou 0,000001 m2/s.

1.4 MASSA ESPECIFICA OU DENSIDADE ABSOLUTA ()

A massa especfica ou densidade absoluta ( = R) de um corpo caracterizada atravs de uma relao da sua massa com o seu volume. Ou seja, um corpo pode ter um grande volume e possuir pouca massa, como o caso dos isolantes trmicos. J h substncias que tm pequeno volume, mas possuem elevada massa. Estas substncias tm ento uma densidade elevada. Como exemplo, lembramos que a relao entre a massa e o volume de um navio inferior da gua e por isso flutuam sobre a mesma, como uma rolha de cortia capaz de faz-lo num copo dgua.

= mV H O kg m2 1000

3 = / (massa especifica da gua)

Tabela 3- Massas especficas aproximadas (temperatura ambiente) Material Massa especfica [kg/m3]

Ao 7600 leos 800

Alumnio 2700 Mercrio 13600

gua no estado lquido 1000

1.5 PESO ESPECIFICO ()

Peso especfico de um lquido o peso da unidade de volume desse liquido.

= = =PV

m gV

g.

.

g. =

Peso especfico da gua destilada a 4C= 1000 kgf/m3 Peso especfico do mercrio = 13600 kgf/m3

1.6 DENSIDADE (D)

Densidade ou peso especifico relativo de um lquido a comparao que se faz entre o peso deste liquido e o peso de igual volume de gua destilada a 4C.

Densidade do mercrio OH

HgHgd

2

= = 136001000

= 13,6 (adimensional)

Isto significa que um certo volume de mercrio 13,6 vezes mais pesado que igual volume de gua destilada a 4C.

1.7 FLUIDO IDEAL E FLUIDO REAL

Fluido Ideal aquele cuja viscosidade nula. Portanto escoa sem perdas de energia. Esta hiptese utilizada por questes didticas ou a viscosidade tem um efeito secundrio no fenmeno.



8Fluido real aquele que existe viscosidade. Portanto so os existentes, tal como, a gua, a

gasolina, o ar, etc.

1.8 FLUDO IMCOMPRESSIVEL E COMPRESSIBILIDADE

Compressibilidade a propriedade que tm os corpos de reduzir seus volumes, sob ao de presses externas. Os lquidos variam muito pouco com a presso por isto eles podem ser chamados de incompressveis, j os aeriformes (gases e vapores) variam muito com a presso e com a temperatura, portanto so denominados compressveis..

1.9 EQUAO DE ESTADO DOS GASES

Quando o fluido no puder ser considerado incompressvel e ao mesmo tempo houver efeitos trmicos, haver necessidade de determinar as variaes da massa especifica em funo da presso e da temperatura. De uma maneira geral, estas variaes obdecem, para os gases, a lei do tipo f(, p, T) = 0, denominadas equaes de estado.

Para as finalidades deste desenvolvimento, sempre que for necessrio, o gs envolvido, ser suposto como gs perfeito, obedecendo a equao de estado.

RTp

=

ou RTp

=

onde: p = presso absoluta R = Constante cujo valor depende do gs (para o ar R=287 m2/s2 K) T = temperatura absoluta em escala Kelvin (K= 0C+273)

Na mudana do estado de um gs.

2

1

2

1

2

1

TT

pp

=

O processo isotrmico quando a transformao no h variao de temperatura.

cntepp

==

2

1

2

1

O processo isobrico quando na transformao no h variao de presso.

cnteTT == 2211

O processo iscrono ou isomtrico quando na transformao no h variao de volume.

cnteTp

Tp

==

2

1

2

1

O processo adiabtico quando na transformao no h troca de calor.



9

cntepp

kk ==

22

1

1

1

k a constante adiabtica que depende do gs. Para o ar k =1,4.

1.10 SISTEMA DE UNIDADES: ANLISE DIMENSIONAL E SIMILARIDADES

A anlise dimensional permite resolver problemas cujas solues no so encontradas pelos processos usuais de clculo. Quantidades podem ser adicionadas ou subtradas somente quando possurem a mesma dimenso.

As grandezas fsicas fundamentais so aquelas a partir das quais todas as outras grandezas fsicas so definidas. As grandezas derivadas so combinaes das grandezas fundamentais. O valor de qualquer medida fsica expresso como a combinao de dois fatores: a unidade e o nmero dessa unidade. Tempo e comprimento so tidos como grandezas fundamentais. Velocidade: m/s unidade derivada da razo entre as unidades fundamentais metro e segundo.

Para o estabelecimento de um sistema de unidades necessrio uma terceira grandeza fundamental, que pode ser a massa ou fora. Aqueles sistemas que apresentam a massa como a terceira grandeza fundamental so conhecidos como sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que tm a fora como unidade fundamental so chamados sistemas de unidade tcnicos. Existem tambm sistemas unitrios usados na engenharia que consideram comprimento, tempo, massa e fora como grandezas fundamentais.

Enquanto haja tendncia de unificao internacional por meio do Sistema Internacional (SI) de Unidades, o Sistema MKS, o Sistema CGS de unidades e outros ainda so bastante usados em vrias reas e h algumas razes de ordem lgica, outras de fundo histrico, outras ainda de respaldo tradicional

Os trs sistemas de unidade: o C.G.S. (CGS), o Giorgi (MKS) e o Sistema Internacional (SI) apresentado nas tabelas 10.1 e 10.2.

Tabela 10.1 - Sistema de Unidade Absoluto (MLT) Grandeza CGS MKS SI Comprimento (L) 1 centmetro (cm) 1 metro (m) 1 metro (m) Massa (M) 1grama (g) 1 quilograma (kg) 1 quilograma (kg) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s)

Tabela 10.2 - Sistema de Unidade Absoluto (MFT) Grandeza CGS MKS (Tcnico) SI Comprimento (L) 1 centmetro (cm) 1 metro (m) 1 metro (m) Fora (F) 1grama fora (gf) 1 quilograma fora (kgf) 1 Newton (N) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s)

1.10.1. Sistema MKS de unidades

Sistema MKS de unidades um sistema de unidades de medidas fsicas, ou sistema dimensional, de tipologia LMT (comprimento, massa tempo), cujas unidades-base so o metro para o comprimento, o quilograma para a massa e o segundo para o tempo. MKS , assim, um acrnimo maisculo para metrokg (quilograma)segundo. o sistema de unidades fsicas essencial que originou o Sistema Internacional de Unidades (SI), por este sendo substitudo. O SI baseou-se, em essncia, no Sistema MKS de unidades, algumas vezes dito (embora impropriamente) "sistema mtrico de unidades".



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Tabela 10.3 - Sistema MKS de unidades Grandeza Unidade Simbolo Abreviao comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s fora quilograma fora kgf energia Joule J = 1 kg.m/s potncia Watt W = 1 kg.m/s presso Pascal Pa = 105 bar

1.10.2. Sistema CGS de unidades

CGS , assim, um acrnimo maisculo para centmetrogramasegundo. Conquanto haja tendncia de unificao internacional por meio do Sistema Internacional de Unidades, o Sistema CGS ainda bastante usado em vrias reas e h algumas razes de ordem lgica, outras de fundo histrico, outras ainda de respaldo tradicional. Eis algumas dessas razes: muitas frmulas do eletromagnetismo so mais simples em unidades CGS; em alguns contextos, elas ainda parecem ser mais convenientes; boa parte da antiga literatura de fsica ainda usa essas unidades; as unidades CGS ainda so largamente empregadas em astronomia. Assim como no Sistema internacional, algumas unidades derivadas recebem nomes especiais:

Dina (para fora); Erg (para energia, trabalho, calor, etc.); Poise (para viscosidade dinmica em fluidos); Stokes (para viscosidade cinemtica); Dina por centmetro cbico (para peso especfico).

Tabela 10.4 - Mltiplos / subdivises Quilmetros (km) Quilograma (kg) Quilolitro (kl) Hectmetro (hm) Hectograma (hg) Hectolitro (hl) Decmetro (dam) Decagrama (dag) Decalitro (dal) Metro (m) Grama (g) Litro (l) Decmetro (dm) Decigrama (dg) Decilitro (dl) Centmetro (cm) Centigrama (cg) Centilitro (cl) Milmetro (mm) Miligrama (mg) Mililitro (ml)

Tabela 10.5 - Unidades mecnicas CGS Grandeza Unidade Simbolo - Abreviao Equivale (SI) comprimento centmetro cm = 102 m massa grama g = 103 kg tempo segundo s s fora dina dyn = 1 g.cm/s = 105 N energia erg erg = 1 g.cm/s = 107 J potncia erg por segundo 1 erg/s = 1 g.cm/s = 107 W presso bar 1 bar = 105 Pa viscosidade dinmica Poise 1 P = 1 g/(cm.s) = 0,10 Pa.s



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1.10.3. Sistema Internacional de Unidades (SI)

Foi muito conveniente se unificar o uso dos sistemas de unidades quando os pases Anglo-Saxes incorporaram o sistema mtrico decimal. Com este propsito, o MKS foi adotado como o sistema internacional e denominado como SI. Embora a obrigatoriedade do sistema seja reconhecida, outros sistemas ainda so utilizados, atualmente muitos peridicos de engenharia e livros so editados somente em SI, tornando este sistema o mais recomendvel. A Tabela 6 apresenta as unidades fundamentais deste sistema com algumas unidades suplementares e derivadas.

Tabela 10.6 - Sistema Internacional de Unidades Grandeza Unidade Abreviao Dimenso analtica Dimenso

Comprimento metro m m L Massa quilograma kg kg M Tempo segundo s s T Fora newton N Kg.m/s2 MLT

2

Energia joule J kgm/s=Nm ML2T-2 Potncia watt W kgm/s=J/s ML2T-3 Presso pascal Pa (kg.m/s)/m= N/m ML-1T-2

Frequncia hertz Hz 1/s T-1

Unidades aceitas pelo SI O SI aceita vrias unidades que no pertencem ao sistema. A primeiras unidades deste tipo

so unidades muito utilizadas no cotidiano:

Tabela 10.7 - Tabela com as unidades aceitas pelo sistema SI Grandeza Unidade Smbolo Relao com o SI Tempo minuto min 1 min = 60 s Tempo hora h 1 h = 60 min = 3600 s Tempo dia d 1 d = 24 h = 86 400 s ngulo plano grau 1 = /180 rad

ngulo plano minuto ' 1' = (1/60) = /10 800 rad ngulo plano segundo " 1" = (1/60)' = /648 000 rad Volume litro l ou L 1 l = 0,001 m Massa tonelada t 1 t = 1000 kg

Tabela 10.8 - Fatores de converso teis Comprimentos Superfcie Volume e Capacidade 1 cm 0,3937 pol. 1 cm 0,155 pol 1 m 1000 litros 1 m 39,37 pol. 1 m 10000 cm 1 m 1000000 cm

1 pol. 2,54 cm 1 m 10,76 ps 1 Km 1000000000 m 1 p 30,48 cm 1 Km 1000000 m 1 barril de leo 158,98 litros 1 p 12 pol. 1 h 10.000 m

1 lgua 6600 m 1 acre 4047 m

Presso Atmosfrica ao Nvel do Mar Trabalho , potncia, calor 1 atm 10,33 10 mca 1 cv 736 W 1 atm 1,033 1,0 Kgf/cm 1 cv 0,736 kW



12

1 atm 10330,0 1x104 Kgf/m 1 CV 0,986 HP 1 atm 9,81x104 105 N/m 1 HP 1,014 CV 1 atm 100.000 ou 105 Pa 1 HP 745 W 1 atm 100 kPa 1 HP 0,745 kW 1 atm 0,1 MPa 1 cal 4,1868 J 1 atm 760 mm de Hg 1 BTU 1060,4 J

1 Kgf/m 10 Pa N/m Pascal = Pa

Tabela 10.9 - Mltiplos e submltiplos Prefixo Fator de

multiplicao Smbolo SI

tera 1012

T giga 10

9

G mega 10

6

M quilo 10

3

k hecto 10

2

h deca 10

1

da deci 10

-1

d centi 10

-2

c

mili 10-3

m

micro 10-6

nano 10-9

n



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CAPTULO 2

2. ESTATICA DOS FLUIDOS

2.1 CONCEITOS DE PRESSO E EMPUXO

A presso a relao entre a fora, de mdulo constante, e a unidade de rea sobre a qual ela atua.

Figura 2.1 (a) Considere, no interior de certa massa lquida, uma poro de volume V limitada pela

superfcie A. Se dA representar um elemento de rea e dF a fora que nela atua, a presso ser

dAdFp = (2.1)

Considerando toda a rea, o efeito da presso produzir uma fora resultante que se chama empuxo, chamada tambm de presso total. Essa fora dada por:

dApE A .= (2.2)

Se a presso for a mesma em toda a rea, o empuxo ser

ApE .= (2.3) Presso em torno de um ponto de um fluido em repouso: Em qualquer ponto no interior de um lquido em repouso, a presso a mesma em todas as direes.

Figura 2.1 (b) Presso em torno de um ponto de um fluido em repouso.

2.2 LEI DE PASCAL

A presso aplicada a um ponto de um fluido incompressvel, em repouso, transmite-se integralmente a todos os demais pontos do fluido.

Figura 2.2 Lei de Pascal



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2.3 LEI DE STEVIN: PRESSO DEVIDA A UMA COLUNA LQUIDA

Imagina, no interior de um lquido em repouso, um prisma ideal.

Figura 2.3 Lei de Stevin O somatrio de todas as foras que atuam neste prisma segundo a vertical e igual a zero, ou

0= yF (2.4) Dessa forma

021 =+ AphAAp (2.5) obtendo-se

hpp .12 = (2.6)

Lei de Stevin: A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio igual diferena de profundidade multiplicada pelo peso especfico do lquido.

2.4 INFLUNCIA DA PRESSO ATMOSFRICA

Escalas de presso a) Escala efetiva (relativa): aquela que toma como referncia (zero) a presso atmosfrica. As presses nessa escala dizem-se efetivas (relativas). b) Escala absoluta: aquela que toma como referncia (zero) o vcuo absoluto. As presses nessa escala so chamadas absolutas.



15A presso na superfcie de um lquido exercida pelos gases que se encontram acima, geralmente presso atmosfrica.

Figura 2.4

Levando-se em conta a presso atmosfrica, ou no tem-se: p1 = pa + .h (absoluta) p1 = .h (relativa) (2.7)

p2 = p1 + .h = pa + .(h + h) (absoluta) p2 = .(h + h) (relativa) (2.8)

A presso atmosfrica varia com a altitude: - 10,33 m de coluna dgua ao nvel do mar; - mercrio 13,6 menor ou 0,76 m.

Em muitos problemas referentes s presses nos lquidos, interessa conhecer somente a diferena de presses. Portanto, a presso atmosfrica considerada igual a zero.

2.5 MEDIDAS DE PRESSO

O dispositivo mais simples para medidas de presso o tubo piezomtrico ou piezmetro, que consiste em inserir um tubo transparente na canalizao ou recipiente onde se quer medir a presso. O lquido subir no tubo a uma altura h (Figura 2.5), correspondente presso interna. Outro dispositivo o tubo de U aplicado para medir presses muito pequenas ou demasiadamente grandes para os piezmetros.

Figura 2.5 (a) Figura 2.5 (b)

Presso em A = pa em B = pa + .h em C = pa + .h

em D = pa + .h - .z



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2.5.1 Manmetro diferencial: Diferena de presso entre dois pontos

! " "# $ !$

Regra: Comeando do lado esquerdo, soma-se a presso pA a presso das colunas descendentes e subtrai-se aquela das colunas ascendentes. Notar que as cotas so sempre dadas at a superfcie de separao de dois fluidos do manmetro. Tem-se, portanto:

$$ ## %% && "

Unidades utilizadas para presso A presso pode ser expressa em diferentes unidades:

- Pascal (Pa = N/m2) no sistema SI; - kgf/m2 no sistema MKS*; gf/cm2 (sistema CGS); - mmHg; - metros de coluna dgua (m.c.a.); - atmosfera ou atmosfera tcnica; - bar.

Relao entre as unidades: 760 mmHg = 10,33 m.c.a. = 1 atmosfera 1 atmosfera tcnica = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 = 9,8 x 104 Pa 1 bar = 105 Pa



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2.6 FORA NUMA SUPERFCIE PLANA SUBMERSA

O conceito de empuxo aplicado nos projetos de comportas, registros, barragens, tanques, canalizaes, etc.

Grandeza e direo do empuxo O empuxo exercido sobre uma superfcie plana imersa uma grandeza tensorial

perpendicular superfcie e igual ao produto da rea pela presso relativa ao centro de gravidade da rea. Matematicamente, tem-se:

AhF = (2.9)

onde: - peso especfico do lquido; h - profundidade do C.G. da superfcie; A - rea da superfcie plana.

A resultante das presses no est aplicada no centro de gravidade da figura, porm um pouco abaixo, num ponto que se denomina centro de presso.

Figura 2.7

2.6.1 Determinao do centro de presso

A posio do centro de presso pode ser determinada aplicando-se o teorema dos momentos. A equao resultante :

yAI

yyP

+= 0 (2.10)

onde:



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yp a distncia entre a superfcie livre do lquido e o centro de presso da rea, na direo da placa AB

Io o momento de inrcia em relao ao eixo-interseco;

y a distncia entre a superfcie livre do lquido e o CG da rea, na direo da placa AB.

Quando um dos lados da placa est na superfcie:

$ (2.11) yp F y

A fora do empuxo pode ser ainda determinada calculando-se o volume do diagrama de presses.

Figura 2.8

F = volume do diagrama das presses = Ahh

+

221

2.7 FORA SOBRE SUPERFCIES CURVAS

conveniente separar em componentes horizontal e vertical. Ex.: barragem com paramento curvo

Figura 2.9

Fora horizontal: calcula-se como se fosse superfcie plana, aplicando a frmula

AhF ..=

onde A a rea do plano que passa pelos pontos ab (normal folha).



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Fora vertical: numericamente igual ao peso do lquido no volume abc, ou W = .Vabc, determina-se a resultante r pela equao: 22 WFR +=

2.8 EMPUXO Princpio de Arquimedes: num corpo total ou parcialmente imerso num fluido, age

uma fora vertical de baixo para cima, chamada empuxo, cuja intensidade igual ao peso do volume de fluido deslocado.

' ()*+,( onde: E o empuxo;

V o volume deslocado pelo corpo; o peso especifico do corpo .

Suponha-se um corpo totalmente submerso. Ele flutuar se seu peso G for menor que o empuxo.

E G No caso da igualdade, o corpo estar em equilbrio em qualquer posio. Imaginando o

corpo totalmente submerso: -. ()*+,(

Logo: /+01(()*+,( -.-. O corpo flutuar se: /+01( -.

2.9 FLUTUADOR - NOMENCLATURA

Corpo flutuante ou flutuador qualquer corpo que permanece em equilbrio quando estiver parcial ou totalmente imerso num liquido.

Plano de flutuao o plano horizontal da superfcie livre do fluido. Linha de flutuao a interseco do plano de flutuao com a superfcie do flutuador. Seo de flutuao a seo plana cujo contorno a linha de flutuao. Volume de carena o volume de fluido deslocado pela parte imersa do flutuador. O

volume de carena igual a intensidade do empuxo. Centro de carena o ponto de aplicao de empuxo. Se o fluido for homogneo, o

centro de carena coincidir com o centro de gravidade do volume de carena.



20

2.10 ESTABILIDADE

As foras que agem num corpo total ou parcialmente submerso em repouso so o seu peso (G), cujo ponto de aplicao o centro de gravidade do corpo, e o empuxo (E), cujo ponto de aplicao o centro de carena.

Para que um flutuador esteja em equilbrio, necessrio que essas duas foras tenham a mesma intensidade, a mesma direo e sentidos opostos.

Em um corpo em equilbrio aplica-se uma pequena fora durante um intervalo de tempo muito pequeno, esta fora far com que o corpo se desloque em relao a posio inicial. Retirando essa fora:

Equilbrio estvel. O corpo retorna a posio de equilbrio inicial: diz-se que o equilbrio estvel;

Equilbrio instvel. O corpo, mesmo retirando a fora, afasta-se cada vez mais da posio inicial: diz-se que o equilbrio instvel;

Equilbrio indiferente. O corpo permanece na nova posio, sem retornar, mas sem se afastar mais da posio inicial: diz-se que o equilbrio indiferente.

2.11 ESTABILIDADE VERTICAL

2.11.1 Corpo totalmente submerso em equilbrio Se o corpo estiver totalmente submerso em equilbrio, o volume deslocado sempre o

mesmo.

2.11.2 Corpo parcialmente submerso em equilbrio Ao deslocar o corpo para baixo, o volume de carena e o empuxo aumentam E > G Retirando a fora que causou o deslocamento, o flutuador sobe at que haja uma

diminuio no volume de carena at: E = G. Se o corpo for deslocado para cima, o volume de carena diminuir: E < G; Ao retirar a fora aplicada, o corpo desce at que E = G.

2.12 ESTABILIDADE ROTAO

Um flutuador obrigado a abandonar a sua posio de equilbrio, por uma pequena fora que o faa girar de um pequeno ngulo em torno de um eixo de rotao.

2.12.1 Corpo totalmente submerso, em equilbrio

Em um corpo totalmente submerso em equilbrio, para que haja estabilidade a rotao, o centro de gravidade (CG) dever estar abaixo do centro de carena (CC).

Quando o CG est abaixo do CC e o corpo girar de um pequeno ngulo, este tender a girar no sentido contrario da rotao, para voltar a sua posio inicial, que ser, portanto de equilbrio estvel.



21

E quando o CG estiver acima do CC, aps uma pequena rotao, o corpo tender a girar ainda mais, pode-se dizer que neste caso o equilbrio instvel.

2.12.1 Corpo parcialmente submerso, em equilbrio

As vezes, quando a rotao do corpo causa uma variao no formato do volume de carena, o que cria um deslocamento no centro de carena, em relao ao corpo, tal que o equilbrio pode ser estvel mesmo que este esteja abaixo do centro de gravidade.

Estando o corpo parcialmente submerso, com a rotao em torno do eixo O, o volume de carena que era ABCD, passa a ser LICB, com consequente deslocamento do centro de carena para a esquerda em CC`.

Ento analisando a posio do ponto M que o chamado metacentro, que a interseco do eixo e simetria do flutuador com a direo do empuxo.

Se o ponto M estiver acima do CG, o conjugado ser contrario a rotao e o equilbrio, estvel.

Se o ponto M estiver abaixo do CG, o conjugado ser a favor da rotao e o equilbrio, instvel.

Se o ponto M estiver em CG, o equilbrio ser indiferente.



22

CAPTULO 3

3. CINEMTICA DOS FLUIDOS

3.1 REGIMES OU MOVIMENTOS VARIADO E PERMANENTE

Regime permanente aquele em que as propriedades do fluido so invariveis em cada ponto com o passar do tempo. Isto significa que, apesar de um certo fluido estar em movimento, a configurao de suas propriedades em qualquer instante permanece a mesma.

Regime variado aquele em que as condies do fluido em alguns pontos ou regies de pontos variam com o passar do tempo.

3.2 ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO Para definir esses dois tipos de escoamentos, recorre-se a experincia de Reynolds (1883).

No escoamento laminar as partculas viajam sem agitaes transversais mantendo-se em lminas concntricas, entre as quais no h troca macroscpica de partculas. No escoamento turbulento as partculas apresentam velocidades transversais importantes, j que o filete desaparece pela diluio de suas partculas no volume de gua.



23 Equao de Reynolds:

34 5v67 v68

Re < 2000 Escoamento laminar 2000 < Re < 4000 Escoamento de transio Re > 4000 Escoamento turbulento

3.3 TRAJETRIAS E LINHAS DE CORRENTE A trajetria o lugar geomtrico dos pontos ocupados por uma partcula em instantes sucessivos.

A linha de corrente a linha tangente aos vetores da velocidade de diferentes partculas no mesmo instante.

Tubo de corrente a superfcie de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se apiam numa linha geomtrica fechada qualquer.

Propriedades dos tubos de corrente: a) Os tubos de corrente so fixos quando o regime permanente.

b) Os tubos de corrente so impermeveis a passagem de massa, isto , no existe passagem

de partculas de fluido atravs do tubo de corrente.

3.4 ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL OU UNIFORME NA SEO O escoamento unidimensional quando a nica coordenada suficiente para descrever as propriedades o fluido.



24 Pela figura, observa-se que em cada seo a velocidade a mesma, em qualquer ponto, sendo suficiente seu valor em funo da coordenada x.

No escoamento bidimensional, a variao da velocidade em funo das duas coordenadas x e y.

E tambm o escoamento pode ser tridimensional.

3.5 VAZO VELOCIDADE MDIA NA SEO A vazo em volume Q definida como o volume de fluido que atravessa uma certa seo do escoamento por unidade de tempo.

9 :; (m/s; L/s; m/h; L/min)

O volume de fluido que atravessa a seo de rea A no intervalo de tempo t V = A.S, logo a vazo ser:

)(..)( velocidadeVmt

Smas

t

ASt

volumeVQ ===



25

logo Q a vazo em volume, m/s ou L/s Vm(velocidade) a velocidade mdia na seo, m/s A a rea, m

A vazo tambm pode ser definida em massa (99 >9 FG 9 9 FG v v

AvelocidadeVmQ ).(=



26

3.7 VELOCIDADE E ACELERAO NOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS

Sendo vHI vJKIJ vLKIL vMKIM KNFOPQK RGS TPTUKSQ OQVUKTPQRF

Se o regime for permanente, nem a velocidade nem suas componentes sero funo do ponto, sendo somente funes do ponto.

Logo: vJ vJx, y, z vL vLx, y, z vM vMx, y, z

Mas QI (vHI(;

Ento para regime permanente:

QI KIJ QJ vJ \vJ\x vL\vJ\ vM

\vJ\] QI KIL QL vJ \vL\x vL

\vL\ vM\vL\]

QI KIM QM vJ \vM\x vL\vM\ vM

\vM\] Para o regime variado, deve-se considerar a variao com o tempo:

QJ vJ \vJ\x vL\vJ\ vM

\vX\] \vJ\U

QL _vJ \vL\x vL\vL\ vM

\vL\] ` \vL\U

QM vJ \vM\x vL\vM\ vM

\vM\] \vM\U

Esta a equao da continuidade para um fluido qualquer em regime permanente.



27

CAPTULO 4

4 EQUAO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE

4.1 INTRODUO Na equao da continuidade conclui-se que, para que a hiptese de regime

permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui por uma seo de um tubo de corrente deve ser idntica aquela que o abandona por outra seo qualquer. Baseado no fato de que a energia no pode ser criada nem destruda, mas apenas transformada, possvel construir uma equao que permitir fazer o balano das energias.

4.2 TIPOS DE ENERGIAS MECNICAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO

4.2.1 Energia Potencial (Ep) o estado de energia do sistema devido a sua posio no campo da gravidade em

relao a um plano horizontal de referencia (PHR). ' Sa]

4.2.2 Energia Cintica (Ec) o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. referencia (PHR).

4.2.3 Energia de Presso (Epr) Essa energia corresponde ao trabalho potencial das foras de presso que atuam no

escoamento do fluido. 'pr d pdVv

4.2.4 Energia mecnica total do fluido (E) ' ' ' 'pr

' Sa] Sv2 A pdVv



284.3 EQUAO DE BERNOULLI

Se entre duas sees de escoamento, o fluido for incompressvel, sem atritos, e o regime permanente, se no houver mquina nem trocas de calor, ento as cargas totais se mantm constantes em qualquer seo, no havendo nem ganhos nem perdas de carga.

Deixando passar um intervalo de tempo dt, na seo(1): d' dSg] dm1v1

22 p1dV1

Na seo (2):

d' dSg] dmv2

2 pdV Sabemos que: dE1 = dE2 ou

dSg] dm1v12

2 p1dV1 dSg]dmv22 pdV

Como = ( dm1 dSg]

dmv22 i> dm

Como o fluido incompressvel, 1 = 2 e, como o regime permanente, dm1 = dm2, portanto:

g] v12

2 i> g]

v22 i>

Dividindo a equao por g e lembrando que = g, tem-se:

] v12

2g i ]

v22g i 'jGQF K KVRFGNNP

m ] v22g i FRK m Q KRKVaPQ UFUQN



29

4.4 EQUAO DA ENERGIA E PRESENA DE UMA MQUINA

Mquina ser qualquer dispositivo introduzido no escoamento, o qual fornea ou retire energia dele, na forma de trabalho.

Para facilidade de linguagem, ser denominada bomba` qualquer mquina que fornea energia ao fluido e turbina` qualquer mquina que retire energia dele.

Se a mquina for uma bomba, o fluido receber um acrscimo de energia tal que H2>H1. Para restabelecer a igualdade, dever ser somada ao primeiro membro a energia recebida pela unidade de peso do fluido na mquina. Logo:

H1 + HB = H2 HB a carga ou altura manomtrica da bomba e representa a energia fornecida a

unidade de peso do fluido que passa pela bomba. Se a mquina for uma turbina, H1>H2, pois, a turbina retira energia do fluido. Para

restabelecer a igualdade tem-se: H1 HT = H2 HT a carga ou altura monomtrica da turbina ou energia retirada da unidade de peso

do fluido pela turbina.

m m! m 'jGQF oKVQN Sendo: HM = HB se a mquina for uma bomba;

HM = -HT se a mquina for uma turbina. ou:

Plano de Referncia

Z1

Linha Energtica (L.E.)= Plano de Carga Dinmica (P.C.D.)

p2/

Z2

Linha Piezomtrica

p1/

H (1)

(2)



30

. h

b

x

y

.

D

x

y

D

.

R

x

y

] v12

2g i m! ]

v22g i

ANEXOS Centrides de rea

Tringulo

X 3hY =

2hbA =

Tringulo Issceles/Eqiltero

0=X 3hY =

2hbA =

Tringulo Retngulo

3bX =

3hY =

2hbA =

Crculo

2DX =

2DY = 2RA pi=

Semicrculo

0=X pi3

4 RY = 2

2RA pi=

. h

b/2 b/2

b

h .

y

x



31

. b x

y

a

.

R

x

y

. x

y

b

a

. h

x

y

a

. h

a

y

x

y

.

Y=kx

h

a

x

Quarto de Crculo

pi34 RX =

pi34 RY =

4

2RA pi=

Semi-elipse

0=X pi3

4 bY = 2abA = pi

Quarto de elipse

pi34 aX =

pi34 bY =

4abA = pi

Parbola

0=X 5

3hY = 3

4 ahA =

Semiparbola

83aX =

53hY =

32 ahA =

Arco de Parbola do 2 grau

43aX =

103hY =

3ahA =

Arco de Parbola do grau n

an

nX +

+=

21

hn

nY +

+=

241

1+=

n

ahA

y

.

Y=kxn

h

a

x



32 Setor Circular

3sen2rX = 0=Y 2rA =

LISTA DE EXERCCIOS

Presses

01. a)Determinar a presso relativa e absoluta no ponto 1 e 2. b) Traar o diagrama de presses nas paredes e no fundo do reservatrio.

02. Sabendo-se que 800 gramas de um lquido enchem um cubo de 0,08 m de aresta, obter a massa especfica desse fluido em g/cm. R: =1,562 g/cm

03. Dado =1030 Kg/m a massa especfica da cerveja. Achar sua densidade relativa. R: d=1,03

04. Enche-se um frasco (at o afloramento) com 3,06 g de cido sulfrico. Repete-se a experincia, substituindo o cido por 1,66 g de gua. Obter a densidade relativa do cido sulfrico. R: d=1,843

05. Um fludo pesa 25 N/m em um local onde a gravidade de 9,806 m/s. Determinar no sistema MKS: a) a massa especfica do fludo no referido local; b) o peso especfico do mesmo fludo em outro local, onde g=9,810 m/s. R: a) =2,55 Kg/m b ) =25,05 Kg*m*s.

06. Um frasco de densidade pesa 12g quando vazio e 28 quando cheio de gua. Em seguida, retira-se a gua, enche-se o frasco com um cido e obtm-se o peso total de 37,6g (Frasco e cido). Calcular a densidade relativa do cido. R: d=1,6

07. Determinar e traar o diagrama de presso nas paredes de fundo e laterais dos seguintes reservatrios:

8. No topo do reservatrio da fig. abaixo o manmetro registra a presso de 0,122 Kgf/cm. Os lquidos de densidade D1 e D2 no so miscveis com a gua . Obter: a) as cotas nas colunas piezomtricas A,B,C. b) deflexo hm do mercrio.

y

x

r



33

09. No recipiente fechado da fig., h gua, leo (o= 895 Kgf/m) e ar. Para os pontos B, C, D obter as respectivas presses (em m.c.a.).

10. Para um ponto E, indicado na figura, calcular a presso efetiva. Adotar para o mercrio o peso especfico =13600 Kgf/m. ( R: PE = 15.420kgf/m2)

11. Um leo =880 Kgf/m passa pelo conduto da fig. Um manmetro de mercrio, ligado ao conduto, apresenta a deflexo indicada. A presso efetiva em M de 2Kgf/cm. Obter hm. (R: hm = 1,62 m )

12. Um leo de peso especfico 1=980 Kgf/m transportado, verticalmente de B para C. Calcular a diferena de presso entre os pontos B e C



34

Foras em reas Planas

1. A comporta retangular da figura abaixo tem 3 m de largura. A fora P necessria para segurar a comporta na posio mostrada aproximadamente: a) 24,5 kN b) 98 kN c) 33,3 kN d) 147 kN

2. Uma comporta retangular, vertical, com 6 ft de largura e 10 ft de altura , tem seu topo 6 ft abaixo do nvel da gua. Ela est articulada na sua extremidade inferior. Que fora, agindo na borda superior, necessria para segurar a comporta fechada?

3. Determine a fora P necessria para segurar uma comporta de 4 m de largura na posio mostrada na figura.

4. Calcule a fora P necessria para segurar uma comporta de 4 m de largura na posio mostrada na figura, se: a) H = 6m b) H = 10 m c) H = 8 m

5. Use a equao 2.10 da apostila e mostre que a fora F, na figura abaixo, age um tero para cima na rea vertical retangular e tambm numa rea retangular inclinada. Assuma que a comporta inclinada faz um ngulo com a horizontal.



35

6. Encontre a fora P para segurar uma comporta retangular com 3 m de largura como mostra a figura se: a) l = 2 m b) l = 4 m c) l = 5 m

7. Um canal trapezoidal, com rea transversal mostrada na figura abaixo, tem uma comporta em uma das extremidades. Qual a fora mnima P necessria para segurar a comporta vertical fechada, se esta articulada no fundo? A comporta tem as mesmas dimenses do canal e a fora P age na superfcie da gua.

8. Uma comporta rgida, articulada em um ponto central como mostra a figura, abre-se quando H = 5m. Qual a distncia da articulao acima do fundo da gua?

9. Para a comporta mostrada na figura abaixo, calcule a altura H que resultar na abertura automtica da comporta (desprezar o peso da comporta) se: a) l = 2m b) l = 1m c) l = 6ft d) l = 3ft



36

Foras sobre Superfcies Curvas

1- Calcule a fora P necessria para segurar uma comporta de 4m de largura na posio mostrada na figura abaixo. Despreze o peso da comporta.

2- No exerccio acima assuma que a gua est acima da comporta, em vez de abaixo dela. A gua acima da comporta produzir a mesma distribuio de presso sobre a comporta e, portanto as mesmas foras (com a exceo de que tero direes opostas). Conseqentemente a fora P ser numericamente igual (agir para a esquerda). Com a gua acima da comporta, desenhe um diagrama de corpo livre e calcule P.

3- Encontre a fora P necessria para segurar o objeto cilndrico com 10m de comprimento na posio mostrada na figura.

4- Encontre a Fora P necessria apenas para abrir a comporta mostrada na figura abaixo se: (a) H = 6m, R = 2m e a comporta tem 4m de largura. (b) H = 20ft, R = 6ft e a comporta tem 12ft de largura.

5- A fora P = 300 kN necessria apenas para abrir a comporta da figura do exerccio 4, com R = 1,2m e H = 4m. Qual a largura da comporta?



37

6- Que fora P necessria para manter a comporta de 4m de largura mostrada na figura abaixo, fechada?

7- Encontre a fora P necessria para segurar a comporta na posio mostrada na figura abaixo. A comporta tem 5m de largura.



38

Vazo

1- No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades representado pela equao v = vmx.[1- (r/R)2], onde vmx a velocidade no eixo do conduto, R o raio do conduto e r o raio genrico para o qual a velocidade v genrica. Verificar que vm/vmx=0,5, onde vm = velocidade mdia na seo.

2- No escoamento turbulento de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades dado pela equao v = vmx.(1- r/R)1/7, onde todas as grandezas tem o mesmo significado do exerccio 1. Verificar que vm/vmx = 49/60.

3- Um gs ( = 5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazo de 5 kg/s pela seo A de um conduto retangular de seo constante de 0,5m por 1m. Numa seo B, o peso especfico do gs 10 N/m3.Qual ser a velocidade mdia do escoamento nas sees A e B? (g = 10m/s2). Resp: VA = 20 m/s; VB = 10 m/s

4- Uma torneira enche de gua um tanque, cuja capacidade 6000 L, em 1h40min. Determinar a vazo em volume, em massa e em peso em unidade do SI se H20=1000 kg/m3 e g = 10 m/s2. Resp: Q = 10-3 m3/s; Qm = 1 kg/s; QG = 10 N/s

5- No tubo da figura, determinar a vazo em volume, em massa, em peso e a velocidade mdia na seo(2), sabendo que o fluido gua e que A1 = 10cm2 e A2 = 5cm2. (H20=1000 kg/m3 e g = 10 m/s2).

Resp: Q = 1 L/s; Qm = 1 kg/s; QG = 10 N/s; V2 = 2 m/s

6- O ar escoa num tubo convergente. A rea da maior seo do tubo 20cm2 e a da menor 10cm2. A massa especfica do ar na seo(1) 1,2 kg/m3, enquanto na seo(2) 0,9 kg/m3. Sendo a velocidade na seo(1) 10 m/s, determinar as vazes em massa, volume, em peso e a velocidade mdia na seo(2).

Resp: V2 = 26,7 m/s; Qm = 2,4x10-2 kg/s; Q1= 0,02 m3/s; Q2=0,0261 m3/s; QG= 0,24N/s

7- Um tubo admite gua (=1000 kg/m3) num reservatrio com uma vazo de 20 L/s. No mesmo reservatrio trazido leo (=800 kg/m3) por outro tubo com uma vazo de 10 L/s. A mistura homognea formada descarregada por um tubo cuja seo tem uma rea de 30cm. Determinar a massa especfica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma.

Resp: 3 = 933 kg/m; V3 = 10 m/s



398- gua descarregada de um tanque cbico de 5m de aresta por um tubo de 5cm de dimetro. A vazo

no tubo 10 L/s. Determinar a velocidade de descida da superfcie livre da gua do tanque e, supondo desprezvel a variao da vazo, determinar quanto tempo o nvel da gua levar para descer 20cm. V=4x10-4 m/s; t = 500s

9- Os reservatrios da figura so cbicos. So preenchidos pelos tubos, respectivamente, em 100s e 500s. Determinar a velocidade da gua na seo(A). Sabendo que o dimetro do conduto nessa seo 1m.

Resp: VA = 4,13 m/s

10- A gua escoa por um conduto que possui dois ramais em derivao. O dimetro do conduto principal 15 cm e os das derivaes 2,5cm em 5 cm, respectivamente. O perfil das velocidades no conduto principal dado por:

v = vmx1.[1- (r/R1)2], e nas derivaes por: v = vmx2,3.(1- r/R2,3)1/7. Se vmx1 = 0,02 m/s e vmx2 = 0,13 m/s, determinar a velocidade mdia no tubo de 5 cm de dimetro. (Ri = raio da seo Ai). Resp: V3 = 0,064 m/s

11- O tanque maior da figura abaixo permanece em nvel constante. O escoamento na calha tem uma seo transversal quadrada e bidimensional, obedecendo a equao v = 3y. Sabendo que o tanque(B) tem 1m e totalmente preenchido em 5 segundos e que o conduto circular tem 30 cm de dimetro,determinar:

a) Qual a velocidade mdia na calha quadrada? Resp: 1m/s

b) Qual a vazo no conduto circular de 30cm de dimetro? Resp: 0,8 m/s

c) Qual a velocidade mxima na seo do conduto circular de 30cm de dimetro? Resp: 13,86 m/s



40

Equao de Bernoulli

1- Determinar a velocidade do jato do liquido no orifcio do tanque de grandes dimenses da figura. Considerar fluido ideal.

2- A presso no ponto S do sifo da figura no deve cair abaixo de 25 kPa. Desprezando as perdas, determinar:

a) Qual a velocidade do fluido? b) Qual a mxima altura do ponto S em relao ao ponto (A)?

Dados: Patm = 100 kPa; = 104 N/m3

3- Um tubo de Pitot preso num barco que se desloca com 45km/h. Qual ser a altura h alcanada pela gua no ramo vertical?

4- Quais so as vazes de leo em massa e em peso no tubo convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de leo no ponto (0): Dados: desprezar as perdas: leo = 8000 N/m; g = 10 m/s.



415- Dado o dispositivo da figura, calcular a vazo do escoamento da gua no conduto.

Dados: H2O = 104 N/m; m = 6 x 104 N/m; p2 = 20 kPa; A = 10-2 m; g = 10 m/s. Desprezar as perdas e considerar o diagrama de velocidades uniforme.

6- Na extremidade de uma tubulao de dimetro D, acha-se instalado um bocal que lana um jato de gua na atmosfera com dimetro de 2 cm. O manmetro metlico registra uma presso de 20 kPa e a gua sobe no tubo de Pitot at a altura de 2,5 m. Nessas condies, determinar: a) A vazo em peso do escoamento; b) O dimetro D do tubo admitindo escoamento permanente e sem atrito. H2O = 10 N/L.

7- No conduto da figura, o fluido considerado ideal. Dados: H1= 16 m; p1=52 kPa; = 104 N/m; D1=D3=10cm. Determinar: a) A vazo em peso; b) A altura h1 no manmetro; c) O dimetro da seo (2).

Apostila- Hidráulica Geral

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