Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 10 Apendice

8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice

1/8

Captulo 10

APNDICE

10.1 Limites

Proposio 10.1. (Unicidade do limite)Se

e

'

; (

) ' 1 3

), ento

'

. Em outras palavras se o limite existe ( um

nmero real), ele nico.

Prova: Se

, ento para todo 678 @

existe B

8@

, tal que se @C E

G I

EC B

ento

E

G

EC T

'

. Se

'

, ento para todo T'

8@ existe B

'

8@ , tal que se @ C E

G I

EC B

'

ento

E

G '

EC T

' . Seja B o menor entre B

e B'

. Em particular,

I G

B

)I b

B

c e G g I p q

r

; logo, existes

1e

tal que @ C E sG

I

EC B e E

G '

E

E

G

s

b

s

G '

E E

G

s

E

b

E

s

G '

EC

CT

'

b

T

'

6

; logo, E

G '

EC

6

, para todo6

8@

; consequentemente,

'

.

Proposio 10.2.

1. Se

8@

, ento existe B8 @

tal que

8

' , para todo

1 I G

B

)I b

B

c e G g I p

.

2. Se

C@

, ento existe B8 @

tal que, para todo

1 I G

B

)I b

B

c e G g I p

tem-se

C

7 .

Prova: 1. Seja6

7 ; ento, existe B8 @

tal que para todo

1 I G

B

)I b

B

c

e

G g I p

; logo,

E

G

EC

7 ou

7C

C

7

2. Exerccio.

Proposio 10.3. Se

e"

, existem, ento para todo )

j 1 3

:

1.

k

b j

n

b j

2.

k

n

k

n

k

n

3.

, se

q

@

4.

k

n

k

"

n

, se 1

.

373


2/8

374 CAPTULO 10. APNDICE

5.

, se

@ e qualquer natural, ou

C@

e um natural

mpar.

6.

k

n

k

n

)

se

"

8@

7. Se

e existe B 8 @ tal que

, para @ C E G

EC B , ento

.

Prova: Provaremos7

e . As demais propriedades ficam como exerccios.

2. Sejam

e

, de definio:

E

G

E

E

G

b

G

E E

EE

G

E

b

E

E E

G

E .Como

, dado6

8 @ existe B

8 @ tal que E

G

E C

6

se @ C E

G

E C B

; logo,

E

EC E

E

b

se @C E

G

EC B

. Por outro lado tambm existe B'

8@

tal que E

G

EC

C

T

'" $ & $ ( ) se @ C E

G

EC B

'

; analogamente, existe B 1 8 @ tal que E

G

EC

T

'" $

$ ( ) . Seja B um

nmero menor queB

)

B

'

eB

1

; ento:E

G

E E

E E

G

E

b

E

EE

G

E

E

E

b

6

b

E

E

6 '

C T

'

b

T

'

6

, se @C E

G

EC B

, onde6

T

'" $

$ ( )

e6 '

T

'" $ & $ ( )

.

7. Para todo6

8@ , existem B

)

B

'

8@ tal que se @ C E

G

EC B

, ento,

G

6

C

C

b

6

e se@

C E

G

EC B

'

, ento,

G

6

C

C

b

6

; considere B menor que B

e B'

; logo, se @C E

G

EC B

;ento,

G

6

C

C

b

6

.

Teorema 10.1. Seja

uma funo com domnioA

nas condies das definies. Ento

se e

somente se os limites laterais existem e

B

D

.

Prova: A condio necessria segue das definies. Reciprocamente, se os limites laterais existem e

B

D

, temos que dado6

8@ existem B

)

B

'

8 @ , tais que se

C

C

b

B

ento

E

G

EC

6

e se

G

B

'

C

C

, entoE

G

EC

6

. Note queB

eB

'

podem ser iguais ou diferentes,(arranje exemplos). Caso B

q

B

'

, considere B

mng

B

)

B

'p

; ento se E

G

EC B

temos que E

G

EC

6

.

10.2 Funes Derivveis

Teorema 10.2. Se

derivvel em

G

ento f contnua em

G

.

Prova: Como

derivvel em

G

, temos:

H G

I

G

G

G G . Devemos provar que

I

G

, o que equivalente a

I

G

G

@ .

I

G G

I

G G

G G

G G

I

G G

I

G G

G G

@P

logo,

I

G

. A recproca do teorema falsa.

Proposio 10.4. SejamQ

Q

eR

R

funes derivveis; ento:

1. Regra da soma: As funesQ S R

so derivveis e

Q S R

H

Q

H

S R

H


3/8

10.2. FUNES DERIVVEIS 375

2. Regra do produto: A funoQ R

derivvel e

Q R

H

Q

H

R

b

Q

R

H

3. Regra do quociente: A funoQ

R

derivvel, e

Q

R

H

Q

H

R

G

Q

R

H

R

' seR

q

@

Provaremos a segunda propriedade; as outras provas so anlogas.

Q R

H

G

Q R

b

G

Q R

Q R

b

G

Q R

Q

b

R

b

G

Q

R

; somando e subtraindo o termoQ

b

R

, obtemos:

Q

R

b

G

Q

R

Q

b

R

b

G

Q

b

R

b

Q

b

R

G

Q

R

; logo,

Q R

b

G

Q R

Q

b

R

b

G

R

b

R

Q

b

G

Q

Ento:

Q R

H

G

Q

b

R

b

G

R

b

R

Q

b

G

Q

; logo,

Q R

H

Q

"

G

R

b

G

R

b

R

G

Q

b

G

Q

)

pois,

G

Q

b

Q

(Q

derivvel, logo contnua). Logo

Q R

H

Q

R

H

b

R

Q

H

.

Teorema 10.3. Regra da Cadeia

Sejam

e

funes, tais que

esteja bem definida. Se

derivvel em

e

derivvel em

, ento

derivvel em

e:

H

H

H

Prova: Se

G

1

A

, provaremos que

H

G

H

G

H

G

. Consideremos a seguintefuno:

! "

G

G

G G se q

G

H

G

se G

contnua em

G

G

, de fato:

"

$

"

I

)

$

"

I

)

G

G

G G

H

G

G

tambm contnua em q

G

, pois para'

q

G

, temos:

(

'

(

'

G

G

'

G G

G

G

G G

diferencivel, logo contnua; ento,

contnua emA

, e:

"

I

G

H

G


4/8


Por outro lado, se

q

G

:

G

G

G G

G G

G G

.

No caso que

G

se

q

G

, ambos os lados da ultima igualdade so nulos.

H

G

I

G

G

G G

I

G G

G G

H

G

H

G

Proposio 10.5. Se

uma funo derivvel no intervalo

) I

e

G

1 ) I

um extremo relativo de

, ento

H

G

@ .

Prova: Suponha que

G

um ponto de mximo relativo de

; como

derivvel em

) I

, temos:

H G

I

G G

G G

Mais ainda:

H

G

I

B

G

G

G

G

I

D

G

G

G

G .

i) Se

(

G

, ento

G G

8@

e

G G

@

, logo

H

G

@

.

ii) Se

G

, ento

G G

C@ e

G G

@ , logo

H

G

@ .

De i) e ii) temos que

H

G

@ . A prova para mnimo anloga.

Teorema 10.4. (do Valor Mdio)Seja

) I G

3

contnua e derivvel em

) I

. Ento existe pelo menos um

G1

) I

tal que:

H G

I G

IG

Prova: Considere a funo

G G G

I G

IG

. contnua em ) I

, derivvel

em

) I

e

I

; H

H

G

I G

IG . Pelo Teorema de Rolle aplicado a , existe

G

1

) I

tal que

H

G

@ ; ento: H

G

I G

IG

Interpretao geomtrica da funo auxiliar

i) A equao da reta que passa pelos pontose

)

e

I ) f I

:

G I

IG

G b

ii)

G

, ou seja,

representa a diferena das ordenadas do grfico de

e da reta que passapelos pontos

e

e para os pontos de mesma abscissa. Observe que no desenho anterior,

@ , para

todo

1 ) I

, pois o grfico de

est abaixo da reta que passa pore

e

.

Teorema 10.5. (Teorema do Valor Mdio Generalizado )

Sejam

e

funes contnuas em ) I

e derivveis em

) I

. Se

H

q

@ para todo

1 ) I

, ento existe pelomenos um

G 1 ) I

tal que:

H

G

H

G

I G

I G


5/8

10.2. FUNES DERIVVEIS 377

Prova: i) Observemos, primeiramente, que a expresso do enunciado do Teorema est bem definida. Defato, se

I

, considerando

G

, obtemos

a I

@ ; como

contnua em ) I

e derivvel em

) I

, pelo Teorema de Rolle temos que existe

G 1 ) I

tal que

H

G

@ ; ento

H

G

@

, o que uma contradio com a hiptese do Teorema. Logo,

q

I

.ii) Definamos a seguinte funo:

I G

G

G

G

I G

contnua em ) I

e derivvel em

) I

,

I

e:

H

H I G G

H

I G

Pelo Teorema de Rolle, existe

G 1 ) I

tal que

H

G

@ . Usando a expresso da derivada de

obtemos o resultado.

Teorema 10.6. (LHpital)Sejam

e

funes derivveis num domnioA

que pode ser um intervalo aberto ou uma reunio de intervalosabertos, exceto possivelmente num ponto

e

q

@ , para todo

q

.

1. Se"

@ e"

H

H

, ento:

H

H

2. Se"

e

H

H

, ento:

H

H

Prova: 1. Provaremos que:

B

B

H

H

, o outro caso analogo. Consideremos as funes:

se

q

@ se

e

se

q

@ se

Sejaj

8

,

e

so derivveis em

) j

e

B

B

B

B

@

H

H

e

H

H

em

) j

. Se

1 ) j

; ento e

so contnuas em )

; logo, pelo teorema dovalor mdio generalizado, existe

G

1 )

tal que:

G

G

H

G

H

G

)

como

@ , temos

H

G

H

G se

G 1 )

. Ento:

B

B

I B

H

G

H

G

B

H

H

B

H

H

P

pois se

(

; ento

G

(

.

Fazendo

; ento

H

G

H

' e

H

G

H

' ; logo

(

G

B

"

G

B

H

H

(

H

H


6/8


10.3 Funes Integrveis

Proposio 10.6. Se

e

so funes integrveis em ) I

, ento:

1. Linearidade da Integral.

b j

funo integrvel em ) I

, para todo )

j 1 3

e:

b j

b j

2. Monotonicidade da Integral. Se

em ) I

; ento,

3. E

E integrvel e:

4. Sejam

C C

I

e

uma funo integrvel em )

e

)I

respectivamente. Ento

integrvel em ) I

e:

b

Prova: 1. Provaremos que para toda partio de ) I

e para todo 1

)

teremos que

$

$

G

b j

existe. De fato:

$

$

G

b j

$

$

G

b

j

$

$

G

bj

$

$

G

b j

)

pois

e

so integravis em ) I

; logo:

b j

b j

2. Por 1. provaremos que se

G

; ento,

@ . Para toda partio de ) I

e para todo

1

)

temos que

@ ; logo,

@ e:

$

$

G

@

4. Para toda partio de ) I

tal que

para algum $ ; ento )

subdividido em % subintervalose

)I

em G

% subintervalos; logo:


7/8

10.3. FUNES INTEGRVEIS 379

b

Ento:

$

$

G

$

$

G

b

$

$

G

; logo:

b

Teorema 10.7. Fundamental do Clculo.

Se

uma funo integrvel em

) I

e admite uma primitiva

em

) I

, ento:

I G

Prova: Suponhamos que

seja uma funo integrvel em ) I

e que existe uma primitiva

de

em ) I

. Consideremos a seguinte partio de ) I

: G

C

C

'

C

C

I

.

No difcil ver que:

I G

G

. (Por exemplo, faa

e desenvol-

va a soma). Do teorema do Valor Mdio para

em

)

, temos que para cada $ existe 1

)

tal que

G

H

G

, pois

primitiva de

. Logo:

I G

Se para cada partio do intervalo os so escolhidos como antes; ento,

$

$

G

I G

e:

I G

.

Teorema 10.8.Seja

) I G

3

uma funo contnua. A funo

derivvel e:

H )

ou)

H

Prova: Seja

13

tal que

b

1 ) I

:

b

G

(

G

(

b

(

Suponha que

8@ . Como

contnua no intervalo

) b

, pelo teorema de Weierstrass, existemQ

)

R

1

) b

tal que

Q

R

, ento

(

Q

(

(

R

P

logo,

Q

(

R

, e

Q

(

R

. Por outro lado, se

@ , ento

Q

eR

, e:

G

Q

Q

)

G

R

R

)

pois

contnua; ento:

G

b

G

, donde

H

. Analogamente se

C@

.


8/8


Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 10 Apendice

Documents

Transcript of Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 10 Apendice