Apostila Questões de Micro I - FGV

Lista 1 de Microeconomia I

Professor: Carlos E.L. da CostaMonitor: Vitor Farinha

Algumas Preliminares Matemáticas

Nas próximas páginas apresentam-se alguns conceitos matemáticos e teoremas que serão úteis ao curso deMicro I. Como o objetivo aqui é apresentar rapidamente alguns instrumentos que serão estudados maisprofundamente nos cursos de Análise, omitem-se as principais provas. Algumas boas referências sobre osassuntos aqui abordados são:

1. MWG, Apêndice Matemático.

2. Lima, Elon. Análise Real, vols. 1 e 2.

3. Simon e Blume. Matemática para economistas.

4. http://mathworld.wolfram.com/

5. Sundaram, Rangarajan. A First Course in Optimization Theory.

6. Cysne e Moreira. Matemática para economistas.

Norma Euclidiana

Tipicamente estaremos trabalhando no espaço euclidiano Rn, munido da norma euclidiana usual

De�nição 1 Seja x = (x1; :::; xn) � Rn, a norma euclidiana é a função k:k : Rn ! R dada por

kxk =

nXi=1

x2i

!1=2Que de�ne também a noção de distância (métrica) usual desse espaço, sendo a distância entre os pontos

x e y dada por d(x; y) = kx� yk. Que atende a conhecida "desigualdade triangular" (essa desigualdade é,na verdade, parte da própria de�nição de norma),

kx� yk+ ky � zk � kx� zk :

Bolas Abertas, Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados

De�nição 2 Uma bola aberta com centro no ponto x e raio r é dada por

B(x; r) = fy 2 Rnjd(x; y) < rg:

Ou seja, B(x,r) é o conjunto de todos os pontos do Rn que distam de x em estritamente menos que r. Sesubstituímos a desiguldade estrita(<) pela desigualdade fraca(�);então temos a bola fechada �B(x,r)

De�nição 3 O conjunto S no Rn é dito aberto se, para todo ponto x 2 S; existe r tal que B(x; r)� S:Intuitivamente, todo o ponto de um conjunto aberto está em seu interior, sendo possível deslocar-sepequenas distâncias em qualquer direção sem que deixemos o conjunto S.

De�nição 4 O conjunto S no Rn é dito fechado se seu complementar é aberto. O teorema abaixo tornapossível uma de�nição alternativa, possivelmente mais clara, usando a noção de seqüências convergentes.

Teorema 1 Um conjunto S � Rn é fechado se, e somente se, para toda seqüência {xkg tal que xk 2 S paratodo k e xk ! x, tem se que x 2 S:

Ou seja, o limite de qualquer seqüência convergente formada por pontos em S também é um ponto de S.

1

Conjuntos limitados e conjuntos compactos

De�nição 5 Um conjunto S � Rn é dito limitado se existe r>0 tal que S � B(0; r):

De�nição 6 Um conjunto S � Rn é dito compacto se é limitado e fechado.

Combinações Convexas e Conjuntos Convexos

Dada qualquer coleção �nita de pontos x1; x2; :::; xm 2 Rn; um ponto z 2 Rn é dito uma combinação convexados pontos (x1; :::; xm) se existe � 2 Rm satisfazendo (i) �i � 0; i = 1; 2; :::;m e (ii)

Pmi=1 �i = 1; tal que

z=Pm

i=1 �ixi:

De�nição 7 Um conjunto S � Rn é dito convexo se qualquer combinação convexa de quaisquer dois pontosde S também está em S. Ou seja, se qualquer linha reta que liga dois pontos de S estiver completamentecontida nele.

Continuidade

De�nição 8 Tome f : S ! T; em que S � Rn e T � Rl:Então, f é dita contínua em x2 Rn se paratodo " > 0; existe � > 0 tal que ao tomar-se y 2 S com d(x; y) < �, valerá d(f(x); f(y)) < ": Em termosde seqüências, f : S ! T é contínua em x se para todas as seqüências fxkg com xk 2 S para todo k elimk!1xk = x tem-se limk!1f(xk) = f(x):

Intuitivamente, f é contínua em x se, ao nos aproximarmos deste ponto, obtivermos aproximações suces-sivamente melhores para o valor de f(x).Uma função é dita contínua se é contínua em todos os pontos de seu domínio.

Teorema 2 (Weierstrass) Tome D � Rn compacto e f : D ! R uma função contínua em D. Então f atingeum máximo e um mínimo em D, i.e., exitem pontos z1; z2 2 D; tais que

f(z1) � f(x) � f(z2) 8x 2 D

Convexidade e Quase-Convexidade

De�nição 9 Seja X � Rn um conjunto convexo. Uma função f : X ! R é convexa se para todo � 2 [0; 1]e x,y 2 X tivermos

f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y):

Analogamente, é dita estritemente convexa se o sinal da desigualdade for estrito (< ao invés de �).

De�nição 10 Seja X � Rn um conjunto convexo. Uma função f:X! R é côncava se -f é convexa. Ouseja,f : X ! Ré côncava se para todo � 2 [0; 1] e x,y 2 X tivermos f(�x + (1 � �)y) � �f(x) + (1 ��)f(y):Analogamente, é dita estritemente côncava se o sinal da desigualdade for estrito.

De�nição 11 Sejam D � Rn um conjunto convexo e f : D ! R:O conjunto de contorno superior de fem a, denotado por C+a ou Uf (a); é de�nido como

Uf (a) = fx 2 Djf(x) � ag:

O conjunto de contorno inferior de f em a, por sua vez, denotado por C�a ou Lf (a);é de�nido como

Lf (a) = fx 2 Djf(x) � ag:

A função f é dita quase-côncava se Uf (a) é convexo para todo a. Analogamente, é dita quase-convexa seLf (a) é convexo para todo a.

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Figure 1: Curvas de nível e conjuntos de contorno de uma função quase-côncava, porém não côncava.

Figure 2: Uma função côncava, uma apenas quase-côncava e uma que não apresenta globalmente nenhumdos comportamentos citados.

Teorema 3 A função f:D! R é quase-côncava em D se, e somente se, para todo x,y2 D e para todo� 2 (0; 1); vale

f [�x+ (1� �)y] � minff(x); f(y)g:

A função f é quase-convexa em D se, e somente se, para todo x,y 2 D e para todo � 2 (0; 1); vale

f [�x+ (1� �)y] � maxff(x); f(y)g:

Os grá�cos a seguir, retirados de http://are.berkeley.edu/courses/ARE211/currentYear/lecture_notes/mathGraphical3-05.pdf, ajudam a melhor compreender os conceitos de concavidade e quase-concavidade.

Homogeneidade e Homoteticidade

De�nição 12 Uma função é dita homogênea de grau k se: f(tx) = tkf(x) para todo t>0.

Teorema 4 Seja f:D! R uma função C1de�nida em um cone aberto do Rn: Se f é homogênea de grau k,suas derivadas parciais são homogêneas de grau k-1.

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Proof. Por hipótese temos:f(tx) = tkf(x):

Diferenciando em relação a x obtemos:

rf(tx)t = tkrf(x)) rf(tx) = tk�1rf(x)� Homogeneidade de grau 1

Teorema 5 (Fórmula de Euler) Suponha f(x) homogênea de grau k e diferenciável. Então, para qualquer x,temos X

n

@f(x)

@xn:xn = kf(x)

ou, em notação matricial,rf(x):x = k:f(x)

Proof. De maneira semelhante à prova anterior, agora diferenciamos a de�nição, f(tx) = tkf(x) em relaçãoa t, obtendo

rf(tx) � x = ktk�1f(x)

Avaliando em t=1, tem-se:rf(x) � x = kf(x)

Se uma função f(:) homogênea é transformada por uma função crescente de uma única variável L(:), aresultante L(f(x)) é dita homotética. Note que a família das curvas de nível de L(f(:)) é a mesma que afamília das curvas de nível de f(:).

Matrizes Semi-De�nidas e De�nidas

De�nição 13 A matriz MnXn é dita negativa semi-de�nida se z0Mz � 0; para todo z 2 Rn:Se a de-sigualdade é estrita para todo z 6= 0, então M é negativa de�nida(inverterndo as desigualdades, obtemos osconceitos de matriz positiva semi-de�nida e de�nida).

Teorema 6 A função f : D ! R de classe C2 é côncava se e somente se a hessiana de f(.) (matriz desegundas derivadas) é negativa semi-de�nida para todo x 2 D. Se a hessiana é negativa de�nida para todox 2 D; então a função é estritamente côncava (observe que a volta não vale).

Otimização com restrições de igualdade

Considere o seguinte problema:

maxx2Rn

f(x)

sa gk(x; �) = bk k=1,...,K

No estudo de problemas como este, são relevantes dois objetos:

1. O conjunto soluçãox�(�) = arg max

sa restriçõesf(x; �)

que dá a(s) solução(ões) para cada parâmetro � 2 � (se o problema tem múltiplas soluções, então x�(�)é um conjunto com diversos elementos).

2. A função valorV (�) = max

sa restriçõesf(x; �)

que dá o valor da função para cada parâmetro � 2 � (V (�) = f(y; �) para todo y2 x�(�)):

4

Teorema 7 (Teorema de Lagrange) Sejam f : Rn ! R e gk : Rn ! R funções de classe C1; k =1; :::;K:Suponha que x� seja um máximo ou mínimo local de f no conjunto

D = U \ fxjgk(x) = bk; k = 1; :::;Kg

em que U � Rn é aberto. Suponha também que �(Dg(x�)) = K: Então, existe um vetor �� = (��1; :::; ��K) 2

RK tal que

Df(x�) +KXk=1

��kDgk(x�) = 0:

Teorema 8 (Teorema do Envelope) Considere o problema de maximização proposto no início desta seção esuponha que (i) f(),g1(); :::; gK() são continuamente diferenciáveis em (x,�) e (ii)x� é diferenciável em umavizinhança A de �:Então,

1. V(.) é diferenciável em A.

2. Para i=1,...,s @V (�)@�i

= �f(x�(�);�)��i

�PK

k=1 ��k�g(x�(�);�)

��i; em que �� é o multiplicador de Lagrange asso-

ciado a x�(�):

Simpli�cando, este teorema nos diz que não é necessário observar os efeitos indiretos da variação dosparâmetros sobre a variação da função valor, podendo-se derivá-la diretamente no ótimo.

Exercícios da Lista 1

Exercício 1 Responda verdadeiro ou falso, justi�cando:

a) Toda função côncava é quase-côncava.b) Toda função quase-côncava é côncava.c) A soma de duas funções côncavas é côncava.d) A união de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.e) A interseção de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.f) Seja f : R! R diferenciável e estritamente crescente; então f 0(x) > 0 para todo x 2 R:g) A união de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto.h)A interseção de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto.i) O conjunto A� f(x; y) : x2 + y2 = 1gé um conjunto convexo.j)O conjunto A� f(x; y) : x2 + y2 � 1gé um conjunto convexo.

Exercício 2 Mostre a equivalência das duas de�nições de quase-concavidade.

Exercício 3 Mostre que a função f(x,y)=min{ax,by} é quase-côncava se a,b>0

Exercício 4 Seja f : Rn+ ! R uma função côncava. Seja g : R ! R estritamente crescente. Mostre queh(x) = g(f(x)) é uma função quase-côncava.

Exercício 5 Mostre que a inclinação das curvas de nível de uma função homotética não muda ao longo deum raio que parte da origem.

5

Exercício 6 Considere um problema de�nido por:

V (p; y) = maxU(x)

sa y = p � x

Mostre que @V=@y = �; em que � é o multiplicador de Lagrange associado ao problema de maximização.

Exercício 7 Considere as relações de preferências racional � sobre X. Mostre que as relações binárias ~e � são transitivas, mas não são necessariamente completas.

Exercício 8 Mostre que se uma relação de preferências satisfaz a propriedade de monotonicidade, entãotambém satisfaz a propriedade de não-saciedade local. Pode-se a�rmar que não saciedade local implicamonotonicidade estrita? Justi�que.

Exercício 9 A ordenação lexicográ�ca para X = R2+ é de�nida por: x; y 2 R2+; x � y se x1 > y1 ou sex1 = y1 e x2 � y2:

a) Mostre que a relação binária acima é uma relação de preferências racional.b)Mostre que as preferências lexicográ�cas são monótonas estritas.c) Mostre que as preferências lexicográ�cas não são contínuas.d) Por que esta relação de preferências não é muito interessante do ponto de vista econômico?

Exercício 10 Seja a relação � de�nida a partir de % por ~ (x � y) , y % x. Então prove que � é as-simétrica se, e somente se, % é completa.

Obs.: � é assimétrica se 8x; y 2 X temos que ~ (x � y) ou ~ (y � x) :

Exercício 11 Prove que, se % é racional e estritamente convexa, para qualquer cojunto C � X convexo, oconjunto C 0 = fx 2 Cjx % y; 8y 2 Cg é vazio ou unitário.

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Gabarito da Lista 1 de Microeconomia I


Exercício 1 Responda verdadeiro ou falso, justi�cando:

a) Toda função côncava é quase-côncava.

Solução 1 Verdadeiro. Com efeito, seja a 2 <: Sejam x,y tais que f(x)� a e f(y)� a: Seja t2 [0; 1] : Daconcavidade de f temos f(tx+(1-t)y)� tf(x)+(1-t)f(y)� ta + (1-t)a = a: Portanto o conjunto C+a é convexo.

b) Toda função quase-côncava é côncava.

Solução 2 Falso. Contra-exemplo: f(x)= x3:

c) A soma de duas funções côncavas é côncava.

Solução 3 Verdadeiro. Seja h(x)=f(x)+g(x). Seja t2 [0; 1] : Da concavidade de f temos:f(tx+(1-t)y)�tf(x)+(1-t)f(y). Da concavidade de g temos: g(tx+(1-t)y)� tg(x)+(1-t)g(y). Somando-se as duas desigual-dades temos h(tx+(1-t)y)� th(x)+(1-t)h(y).

d) A união de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.

Solução 4 Falso. Tome A = [0; 1] e B = [4; 5], ambos convexos, porém 0; 5:0 + 0; 5:5 = 2; 5 =2 A [B:

e) A interseção de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.

Solução 5 Verdadeiro. Sejam A e B dois conjuntos convexos. Sejam x,y 2 A\B. Seja t2 [0; 1] :Daí, x,y2A) tx +(1-t)y2A. Do mesmo modo, x,y 2B) tx +(1-t)y2B. Portanto, tx +(1-t)y2A\B.

f) Seja f : R! R diferenciável e estritamente crescente; então f 0(x) > 0 para todo x 2 R:

Solução 6 Falso.Contra-exemplo é a função f(x)=x3: f�(0)=0.

g) A união de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Solução 7 Verdadeiro. Sejam A e B 2 conjuntos abertos em <: Seja x 2 A[B. Sem perda de generalidade,suponha que x2A. Como A é aberto, existe uma vizinhança (x-", x+") � A. Daí,(x-", x+") � A[B. Portanto,A[B é aberto.

h)A interseção de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Solução 8 Verdadeiro. Sejam A e B 2 conjuntos abertos. Seja C�A\B. Seja x 2 C. Daí x 2 A) 9" > 0 :(x-", x+") � A. Do mesmo modo, x 2 B) 9 � > 0 :(x-�, x+�) � B. Seja � = min f"; �g. Temos(x-�, x+�) � A\B. Portanto, A\B é um conjunto aberto.

i) O conjunto A� f(x; y) : x2 + y2 = 1gé um conjunto convexo.

Solução 9 Falso. Tome z=(0,0)= 12 (�1; 0) +

12 (1; 0): Apesar de tanto (-1,0) quanto (1,0) pertencerem ao

conjunto, z, uma combinação linear convexa com � = 12 ; não pertence.

1

j)O conjunto A� f(x; y) : x2 + y2 � 1gé um conjunto convexo.

Solução 10 Verdadeiro. Sejam a1=(x1; y1), a2 =(x2; y2) 2 A:Tome a=�a1 + (1 � �)a2 = (�x1 + (1 ��)x2; �y1+(1��)y2) = (x; y); � 2 (0; 1):Daí, x2+y2 = �2(x21+y21)+(1��)2(x21+y21)+2�(1��)(x1x2+y1y2) �1:

Exercício 2 Mostre a equivalência das duas de�nições de quase-concavidade.

Solução 11 )Suponha que f é quase-côncava, i.e, que Uf (a) é convexo para todo a2 R:Tome x; y 2 Uf (a)de maneira que o menor deles, s.p.g. y, seja tal que f(y)=a. Logo pela convexidade de Uf (a); �x+(1��)y 2Uf (a); o que signi�ca que f[�x+ (1� �)y] � a = min[f(x); f(y)]:(Agora, suponha que tenhamos f[�x+(1��)y] � minff(x); f(y)g para todo x,y 2 D e todo � 2 (0; 1):Tomea 2 R:Se Uf (a) é vazio ou contém apenas um ponto é trivialmente convexo. Caso contrário, tomo x,y2 Uf (a):Vale, então, f(x)� a e f(y)� a:Portanto, min[f(x),f(y)]� a:Temos, por hipótese, que f[�x + (1 � �)y] �minff(x); f(y)g e conseqüentemente que �x + (1 � �)y 2 Uf (a):Como a era arbitrário, temos a provacompleta da equivalência.

Exercício 3 Mostre que a função f(x,y)=min{ax,by} é quase-côncava se a,b>0

Solução 12 Tome n2 R e k1 =(x1; y1) e k2 =(x2; y2) tais que min{axi+byig � n; i = 1; 2:Seja k = (x; y) =�k1 + (1 � �)k2: Logo, f(k)=min{a(�x1 + (1 � �)x2); b(�y1 + (1 � �)y2)): Note que a(�x1 + (1 � �)x2) �minfax1; ax2g e, analogamente, b(�y1+(1��)y2) � minfby1; by2g:Logo; f(k) � minfax1; ax2; by1; by2g � n;provando a quase-concavidade de f(x,y).

Exercício 4 Seja f : Rn+ ! R uma função côncava. Seja g : R ! R estritamente crescente. Mostre queh(x) = g(f(x)) é uma função quase-côncava.

Solução 13 Sejam x; y 2 R2 e a 2 R tais que h(x) � a e h(y) � a. Então h(�x + (1 � �)y) = g[f(�x +(1��)y)] � g(�f(x)+ (1��)f(y)). Sem perda de generalidade, suponha f(x) � f(y), então g(�f(x)+ (1��)f(y)) = g(f(x) + (1� �)(f(y)� f(x))) � g(f(x)) � a (g(:) crescente).

Exercício 5 Mostre que a inclinação das curvas de nível de uma função homotética não muda ao longo deum raio que parte da origem.

Solução 14 Seja g:Rn+ ! R uma função homotética, com g(x)=L(f(x)) em que f(x) é homogênea de grau k e

L:R! R crescente. A inclinação de uma curva de nível de nível de g(x) é dada por dx1dx2= -

L0(�) @f@x2

L0(�) @f@x1

= �@f@x2@f@x1

:

Pela homogeneidade de grau k-1 das derivadas parciais, pode-se perceber que dx1dx2(tx) = �@f(tx)=@x2

@f(tx)=@x1=

� tk�1:@f(x)=@x2tk�1:@f(x)=@x1

= dx1dx2(x):

Exercício 6 Considere um problema de�nido por:

V (p; y) = maxU(x)

sa y = p � x

Mostre que @V=@y = �; em que � é o multiplicador de Lagrange associado ao problema de maximização.

Solução 15 Monta-se o Lagrangeano, L = U(x) + �[y � p � x]: Pode-se aplicar diretamente o Teorema doEnvelope, com @L

@y = ��:Assim, podemos perceber que o multiplicador de Lagrange associado ao problema de

maximização pode ser interpretado como o ganho em termos de utilidade indireta que o agente terá quandorelaxarmos marginalmente sua restrição orçamentária.

Exercício 7 Considere as relações de preferências � : Mostre que as relações binárias ~ e � são transitivas,mas não são necessariamente completas.

2

Solução 16 ~ é transitiva. Sejam x; y; z 2 X tais que x � y e y � z. Então, por de�nição, x � y ey � x ; y � z e z � y. Logo, pela transitividade de �, segue que x � y � z implica em x � z. Analogamente,z � y � x implica em z � x.Logo, temos que x � z e z � x. Portanto, x � z.� é transitiva. Sejam x; y; z 2 X tais que x � y e y � z. Então, x � y mas não y � x ; y � z mas nãoz � y. Logo, pela transitividade de �, x � z mas não z � x. Segue que x � z.~ e � não são completas necessariamente. Tome X = fA;Bg e % é de�nida por: A % A, B % B,B % A. Então ~ não é completa pois ~(A~B) e ~(B~A) (desculpem o abuso de notação) e � não é completapois ~(A~A). (Note que ~ pode ser completa, mas � nunca o é).

Exercício 8 Mostre que se uma relação de preferências satisfaz a propriedade de monotonicidade, entãotambém satisfaz a propriedade de não-saciedade local. Pode-se a�rmar que não saciedade local implicamonotonicidade estrita? Justi�que.

Solução 17 Seja X = Rn e tome x 2 X qualquer e " > 0. Então de�na x0 = x + "2pne (onde e =

(1; 1; :::; 1)), então como " > 0, x0 � x e logo (monotonicidade) x0 � x, mas kx0 � xk = "2pne =

"2pnkek = "

2pn

p12 + :::+ 12 = "

2pn

pn = "

2 < " e assim x0 2 B(x; e).

Exercício 9 A ordenação lexicográ�ca para X = R2+ é de�nida por: x; y 2 R2+; x � y se x1 > y1 ou sex1 = y1 e x2 � y2:

a) Mostre que a relação binária acima é uma relação de preferências racional.b)Mostre que as preferências lexicográ�cas são monótonas estritas.c) Mostre que as preferências lexicográ�cas não são contínuas.d) Por que esta relação de preferências não é muito interessante do ponto de vista econômico?

Solução 18 a) Para mostrar que a relação é completa, suponha que x; y 2 <2+ e que x � y. Segue que\x1 � y1" e \x1 6= y1 ou y2 > x2". Então, temos que \x1 < y1" ou \x1 � y1 e y2 > x2". Logo, y � x.Portanto, x � y =) y � x:Para mostrar que a relação é transitiva, tome x; y; z 2 <2+ tais que x � y e y � z. Então, aplicandodiretamente a de�nição, obtemos x � z.b) Sejam x; y 2 <2+ tais que x � y; x 6= y. Então \x1 > y1 e x2 � y2" ou \x1 = y1 e x2 > y2". Em ambosos casos, x � y.c) Tome xn = (1; 1) e yn = (1 + 1

n ; 0), então yn % xn 8n, mas lim yn = (1; 0) � limxn = (1; 1):d) Esta relação de preferências exclui a possibilidade de troca entre x1 e x2 (não há quantidade �nita de x2que seja preferível a uma quantidade arbitrariamente pequena de x1).

Exercício 10 Seja a relação � de�nida a partir de % por ~ (x � y) , y % x. Então prove que � é as-simétrica se, e somente se, % é completa.

Obs.: � é assimétrica se 8x; y 2 X temos que ~ (x � y) ou ~ (y � x) :

Solução 19 ()) � é assimétrica, então tome x; y 2 X quaisquer. Temos que ~ (x � y) ou ~ (y � x), logotemos que, pela de�nição de �, y % x ou x % y, então % é completa.(() Tome x; y 2 X quaisquer. Pela completeza de %, temos que y % x ou x % y, logo vale imediatamente~ (x � y) ou ~ (y � x) :

Exercício 11 Prove que, se % é racional e estritamente convexa, para qualquer cojunto C � X convexo, oconjunto C 0 = fx 2 Cjx % y; 8y 2 Cg é vazio ou unitário.

Solução 20 Suponha que 9x; y 2 C 0 com x 6= y (ou seja, conjunto não vazio e não unitário): Então tome12x +

12y = z 2 C (convexidade de C). Temos que x % x e y % x (pela de�nição de C 0), logo z � x

(convexidade estrita de %). Uma contrdição pois temos x % z, já que z 2 C:

3

1. Uma relacao binaria R e reflexiva se (x, x) ∈ R para toda alternativa x ∈ X.Demonstre que toda relacao de preferencias e reflexiva.

2. Demonstre que � e transitiva e e irreflexiva ((x, x) /∈� para todo x). Edemonstre que ∼ e transitiva.

3. Defina a ordem lexicografica no Rn e verifique que ela e transitiva completae determine as curvas de indiferenca. A ordem lexicografica no Rn temrepresentacao de utilidade?

4. Falso ou verdadeiro? Seja u : Rn → R contınuamente diferenciavel e tal que(∂u∂x1

(x) , ∂u∂x2

(x) , . . . , ∂u∂xn

(x)) 0. Entao �ue monotona.

5. Seja ≥la ordem lexicografica no Rn. Mostre que ≥l e fracamente convexa.

6. Seja � contınua no Rl+. Demonstre que se as sequencias (xn)n e (yn)n sao

tais que xn → x, yn → y e xn � yn podemos concluir que x � y.

7. Seja u : X → R uma representacao de �. Entao se g : R → R e estrita-mente crescente, g ◦ u tambem representa �. Em particular mostre que se urepresenta � podemos supor que u (X) ⊂ (0, 1).

8. Demosntre que K = {(x, y) ∈ R2; y ≥ f (x)} e convexo se e somente se f (·)for convexa.

9. Suponha que o conjunto de alternativas, X, seja enumeravel. E que � sejauma relacao de preferencias em X. Entao � posssui uma representacao deutilidade. Sug.: Seja {xn; n ≥ 1} uma enumeracao de X. Defina

u (x) =∑

m:x�xm

1

2m

e demonstre que u representa �.

Professor: Paulo Klinger Monteiro Microeconomia I - 2010Monitor: Mateus Nunes Rabello EPGE

Gabarito - Lista 1

Exercıcio 1. Toda relacao de preferencia racional � e reflexiva. De fato, por � sercompleta, ∀x, y ∈ X temos que x � y ou y � x (ou ambos). Fazendo x = y temos quex � x.

Exercıcio 2. Queremos mostrar que � e transitiva e irreflexivel.

• (Transitividade): Seja a relacao � em X e x, y, z ∈ X tal que x � y e y � z. Peladefinicao de �, x � y mas y � x e y � z mas z � y. Pela transitividade de � temosque x � z. Suponha por contraposicao que z � x. Como y � z, por transitividadeteriamos que y � x, o que contrapoem a hipotese de que y � x. Logo z � x eportanto x � y, provando a transitividade de � .

• (Irreflexividade): Suponha que x � x. Temos a contradicao trivial em que x � xmas x � x. Logo � e irreflexiva.

Exercıcio 3. Definimos a ordem lexicografica em Rn ( �l) da seguinte forma:�l= {(x, y) ∈ Rn × Rn : x1 > y1 ou x1 = y1 e xi∗ > yi∗ onde i∗ = max

{i∈{1,...,n}{i ;

xj = yj∀j < i} ou x = y}.

• (Completeza): Sejam x, y ∈ Rn. Trivialmente, se x = y =⇒ x �l y. Atendo-se ao caso em que x 6= y, temos que x1 R y1.Se x1 > y1 =⇒ x �l y. Se

x1 < y1 =⇒ y �l x. Finalmente se x1 = y1 =⇒ ∃i∗ = max{i ∈ {1, ..., n} t.q.xj = yj∀j < i}. Se xi∗ > yi∗ =⇒ x �l y, se xi∗ < yi∗ =⇒ x �l y.Desta formacobrimos todas as possibilidades de ordem lexicografica entre x e y.

• (Transitividade): Sejam x, y, z ∈ Rn t.q. (x, y) ∈ �le (y, z) ∈ �l .Queremos provarque (x, z) ∈ �l .Suponha ainda que x 6= y e y 6= z (Caso em que x = y ou y = z etrivial) =⇒ x1 ≥ y1 e y1 ≥ z1 =⇒ x1 ≥ z1. Teremos dois casos:

(i) x1 > z1 : Neste caso (x, z) ∈ �l .

(ii) x1 = z1 : Neste caso x1 = y1. Seja i∗ = max{i ∈ {1, ..., n} t.q. xj = yj∀j <i} =⇒ xi∗ > yi∗ . Ainda, y1 = z1. Seja i∗∗ = max{i ∈ {1, ..., n} t.q. yj =zj∀j < i} =⇒ yi∗∗ > zi∗∗ . Defina i∗∗∗ = min{i∗, i∗∗} =⇒ i∗∗∗ = max{i ∈{1, ..., n} t.q. xj = zj∀j < i}. Se i∗∗∗ = i∗∗ =⇒ xi∗∗ ≥ yi∗∗ > zi∗∗ =⇒(x, z) ∈ �l .Se i∗∗∗ = i∗ =⇒ xi∗∗∗ > yi∗∗∗ ≥ zi∗∗∗ =⇒ (x, z) ∈ �l.

• Afirmo que que o conjunto de indiferenca da ordem lexicografica em Rn e da seguinteforma1: ∼l= {(x, y) ∈ Rn×Rn : x = y}. De fato, suponha que (x, y) ∈ �le x 6= y. Sex1 > y1, pela definicao de �l, (y, x) /∈ �l . Se x1 = y1 =⇒ ∃i∗ = max{i ∈ {1, ..., n}t.q. xj = yj∀j < i} =⇒ xi∗ > yi∗ =⇒ (y, x) /∈ �l . Assim a unica forma do par(x, y) e do par (y, x) pertencerem a �l e se x = y.

1Por definicao, as curvas de indiferencao sao conjuntos do tipo: {(x, y) ∈ Rn × Rn : (x, y) ∈ �l ⇐⇒(y, x) ∈ �l}

1

• Por fim, para mostrar que �l nao tem representacao de utilidade, a prova e similarao caso em R2.

Exercıcio 4. Seja x � y. Neste caso xi − yi > 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}. Seja j ∈ {1, . . . , n}t.q. ∂u

∂xj(x) > 0. Defina f : [0, 1]→ R por f(t) = u((1− t)y+ tx). Como u e diferenciavel

e o argumento de u e linear em t temos que f e diferenciavel em (0, 1). Pela regra dacadeia:

f ′(t) =n∑

i=1

∂u

∂xi((1− t)y + tx) · (xi − yi) ≥

∂u

∂xj((1− t)y + tx) · (xj − yj) > 0 ,∀t ∈ (0, 1)

Assim, pelo Teorema do Valor Medio, ∃ξ ∈ (0, 1) tal que

u(x)− u(y) = f(1)− f(0) = f ′(ξ) > 0

Entao u(x) > u(y), portanto �u e, de fato, monotona.

Obs.: Note que �u nao e, necessariamente, fortemente monotona. O caso do bemneutro e um exemplo.

Exercıcio 5. Sejam x, y, z ∈ Rn t.q. (x, z) ∈ �le (y, z) ∈ �l . Defina w ≡ λx+ (1− λ)y,λ ∈ [0, 1]. Queremos provar que (w, z) ∈ �l . Sabe-se que x1 ≥ z1 e y1 ≥ z1 =⇒ w1 ≡λx1 + (1 − λ)y1 ≥ z1. O caso em que w = z e trivial e portanto vamos nos ater ao casoem que w 6= z (x 6= z ou y 6= z). Temos dois casos:

(i) Se w1 > z1 =⇒ (w, z) ∈ �l.

(ii) Se w1 = z1 =⇒ x1 = z1 = y1 = w1. Seja i∗ = max{i ∈ {1, ..., n} t.q. xj =zj∀j < i} =⇒ xi∗ > zi∗ e seja i∗∗ = max{i ∈ {1, ..., n} t.q. yj = zj∀j <i} =⇒ yi∗∗ > zi∗∗ . Defina i∗∗∗ = min{i∗, i∗∗} =⇒ i∗∗∗ = max{i ∈ {1, ..., n} t.qxj = yj∀j < i} =⇒ xi = yi = zi = wi ∀i < i∗∗∗. Se i∗∗∗ = i∗∗ =⇒ yi∗∗∗ > zi∗∗∗ exi∗∗∗ ≥ zi∗∗∗ =⇒ wi∗∗∗ > zi∗∗∗ =⇒ (w, z) ∈ �l. Se i∗∗∗ = i∗ =⇒ xi∗∗∗ > zi∗∗∗ eyi∗∗∗ ≥ zi∗∗∗ =⇒ wi∗∗∗ > zi∗∗∗ =⇒ (w, z) ∈ �l. Logo, �l e fracamente convexo.

Obs.: No segundo caso acima, a demonstracao e feita para x 6= z e y 6= z. Se x = z(ou y = z) teremos o mesmo resultado de forma mais simples.

Exercıcio 6. Suponha por contradicao que y � x. Note que a continuidade de � implicaque � (z) e fechado2, ∀z ∈ X. Entao � (z) =� (z)c e aberto3 (analogamente ≺ (z) eaberto), ∀z ∈ X.Assim, existem n0,m0 ∈ N tais que se n ≥ n0 e m ≥ m0 entao xn ∈≺ (y) e ym ∈� (x),isto e, y � xn ∀ n ≥ n0 e ym � x ∀ m ≥ m0. Existem dois possiveis casos:

2Lembrando que � (z) = {x ∈ X : x � z}. Um conjunto e fechado se, e somente se, todas assequencias convergentes nele contidas convergirem para um ponto neste conjunto.

3Um conjunto A e aberto se para qualquer sequencia (zn)n∈N tal que zn → z ∈ A, existe no ∈ N talque se n ≥ n0 entao zn ∈ A.

2

(i) Existe subsequencia (yϕ(t))t∈N de (ym)m∈N tal que yϕ(t) � y, ∀t ∈ N.Defina t0 = min{t ∈ N;ϕ(t) ≥ n0}. Entao para t ≥ t0 temos yϕ(t) � xϕ(t),contradicao.

(ii) Existe subsequencia (yϕ(t))t∈N de (ym)m∈N tal que y � yϕ(t), ∀t ∈ N.Defina t1 = min{t ∈ N;ϕ(t) ≥ m0}. Entao para t ≥ t1 temos y � yϕ(t) � x.Temos que y ∈� (yϕ(t1)) e x ∈≺ (yϕ(t1)). Como estes dois conjuntos sao abertos edisjuntos temos que existem t2, t3 ∈ N tais que se t ≥ t2 temos yϕ(t) ∈� (yϕ(t1));e se t ≥ t3 temos xϕ(t) ∈≺ (yϕ(t1)). Portanto para t ≥ max{t2, t3} temos queyϕ(t) � yϕ(t1) � xϕ(t) ⇒ yϕ(t) � xϕ(t) por transitividade, contradicao.

Como os dois casos possiveis levam a uma contradicao, isso completa a prova.

Exercıcio 7. De fato, se u representa � temos que x � y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y) ⇐⇒(g ◦ u)(x) ≥ (g ◦ u)(y) quando g e estritamente crescente. Logo (g ◦ u) representa �.

Defina g : R −→ R como sendo a funcao logıstica, ou seja, g(y) = (1+e−y)−1 ∀y ∈ R .Em primeiro lugar, temos que limy→−∞ g(y) = 0, limy→∞ g(y) = 1 e 0 < g(y) < 1 ∀y ∈ R,ou seja, g(R) ∈ (0, 1). Depois, temos que g′(y) = g(y)(1− g(y)) > 0 ∀y ∈ R o que mostraque g e estritamente crescente. Usando a propriedade acima, (g ◦ u) representa �. Comabuso de notacao, redefinimos u ≡ (g◦u) e desta forma podemos supor que u(X) ∈ (0, 1).

Exercıcio 8. Queremos mostrar que K e convexo ⇐⇒ f e convexa:( =⇒ ) Note que (a, f (a)) ∈ K e (b, f (b)) ∈ K. Se K e convexo, λ(a, f(a)) + (1 −

λ) (b, f (b)) ∈ K para λ ∈ [0, 1] =⇒ (λa + (1 − λ)b, λf(a) + (1 − λ)f(b)) ∈ K =⇒f(λa+ (1− λ)b) ≤ λf(a) + (1− λ)f(b) =⇒ f e convexa.

(⇐= ) Suponha que f e convexa e sejam (a, b), (c, d) ∈ K. Entao temos que b ≥ f(a)e d ≥ f(c) ⇐⇒ λb ≥ λf(a) e (1 − λ)d ≥ (1 − λ)f(c) com λ ∈ [0, 1]. Somando asdesigualdades temos λb + (1 − λ)d ≥ λf(a) + (1 − λ)f(c). Da convexidade de f temosλf(a) + (1− λ)f(c) ≥ f(λa+ (1− λ)c) obtendo λb+ (1− λ)d ≥ f(λa+ (1− λ)c) =⇒(λa+ (1−λ)c, λb+ (1−λ)d) ∈ K ⇐⇒ λ(a, b) + (1−λ)(c, d) ∈ K =⇒ K e convexo.

Exercıcio 9. Seja {xn;n ≥ 1} uma enumeracao de X. Queremos mostrar que u(x)conforme definido na sugestao representa �, isto e, x � y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y):

(=⇒) Suponha que x � y. Primeiro mostraremos que {m : y � xm} ⊆ {m : x � xm}para algum xm.

Pegue m◦ ∈ {m : y � xm} =⇒ y � xm◦ . Como x � y, por transitividade x � xm◦ .Entao m◦ ∈ {m : x � xm}, mostrando que {m : y � xm} ⊆ {m : x � xm}. Logo:

u(x) =∑

{m:x�xm}

2−m ≥∑

{m:y�xm}

2−m = u(y)

(⇐= ) Suponha que u(x) ≥ u(y). Suponha por contraposicao que x � y =⇒ y � x(por completeza). Por argumento semelhante ao usado acima, e possivel mostrar que{m : x � xm} ⊂ {m : y � xm}. No entanto, ∃m∗ ∈ N t.q. xm∗ = x =⇒ m∗ ∈ {m :y � xm} mas m∗ /∈ {m : x � xm}. Portanto o que vale e {m : x � xm} {m : y � xm}o que implica que u(y) > u(x), uma contradicao. Logo x � y.

3

Lista 1

1. Demonstre que x ≻ y � z implica x ≻ z.

2. Determine todas as possıveis relacoes binarias em X = {a, b}.

3. Determine todas as possıveis relacoes binarias completas e transitivas emX = {a, b, c}.

4. Seja u : X → R uma funcao utilidade. Verifique que

≻u={

(x, y) ∈ X2; u (x) > u (y)}

e

∼u={

(x, y) ∈ X2; u (x) = u (y)}

.

5. Seja u : Rn+ → R diferenciavel e tal que grad (x) 0 para todo x ≥ 0.

Demonstre que u e monotona. Faca um exemplo mostrando que u pode naoser fortemente monotona.

6. Seja X um conjunto de alternativas. Mostre que se uma relacao binaria R

pode ser representada por uma funcao u : X → R, isto e,

R ={

(x, y) ∈ X2; u (x) ≥ u (y)}

:=�u,

entao R e completa e transitiva.

7. Fazer exercıcios do MWG1: 1.B.1 a 1.B.4.

8. Seja X um conjunto finito e � uma relacao de preferencias (racional) emX. O objetivo deste exercıcio e mostrar que existe uma funcao utilidadeu : X → R que representa �(MWG 1.B.5 com alteracoes).

(a) Seja x ∈ X, defina os conjuntos � (x) = {y ∈ X| (y, x) ∈�} e � (x) ={y ∈ X| (x, y) ∈�}. Mostre que � (x) e � (x) sao nao vazios e finitos.

(b) Mostre que se y � x entao � (x) ⊂� (y).

(c) Defina u : X → R e mostre que �u=� (i.e., mostre que �u⊂� e�⊂�u).

9. MWG 1.C.2

10. MWG 1.D.2

1Mas-Colell, Whinston e Green (1995)

1

11. Seja u : Rn+ → R quase-concava. Entao para todo x1, x2, . . . , xL ∈ Rn

+ e para

todo λ ∈ RL+,∑L

l=1λl = 1 e verdade que

u

(

L∑

l=1

λlxl

)

≥ min{

u(

x1)

, . . . , u(

xL)}

.

Demonstre que se u for concava entao u(

∑L

l=1λlx

l)

≥∑L

l=1λlu(

xl)

.

12. Seja Y = {(x1, x2) ≥ 0; x2 ≥ φ (x1)} . Entao Y e convexo se e somente seφ : R+→ R e convexa.

13. Determine quais das funcoes a seguir sao convexas:

(a) φ (x) = x2;

(b) φ (x) =√

x;

(c) φ (x) = λe−x sendo λ ∈ (−1, 1).

14. Seja f : (−∞,∞) → (−∞,∞). Entao f e quase-concava se:

(a) for crescente.2

(b) for decrescente.

(c) existir x∗ tal que f e crescente em (−∞, x∗] e decrescente em [x∗,∞).

15. Suponha que f : (−∞,∞) → (−∞,∞) seja contınua e quase-concava. Entaouma das condicoes do exercıcio anterior e verdadeira.

16. Seja u : Rn+ → R contınua. Entao �ue contınua.

17. Uma matriz simetrica n×n, M , e negativa definida se para todo z ∈ Rn, z 6= 0for verdade que z′Mz < 0. Seja u : Rn

+ → R duas vezes diferenciavel e tal

que para todo x ∈ Rn+ a matriz

(

∂2u∂xi∂xj

(x))

i≤nj≤n

e negativa definida. Entao u

e concava.

18. Seja X = {a1, a2, . . . , an} um conjunto de n alternativas. Determine todasas relacoes de preferencias racionais, �, tais que

∼= {(a1, a1) , (a2, a2) , . . . , (an, an)} .

2Uma funcao e crescente se aumentando o argumento a funcao nao diminui.

2

19. Seja B ={

Bp; p ∈ R2+ \ {0}

}

onde Bp ={

x ∈ R2+; p1x1 + p2x2 ≤ 1

}

. Mostreque Bp e sempre infinito.

20. Seja � uma relacao de preferencias contınuas. Demonstre que se xn convergepara x e yn converge para y e para todo n tivermos xn � yn entao x � y.

3

Professor: Paulo Klinger Monteiro Microeconomia I - 2009Monitor: Pedro Miguel Olea de Souza e Silva EPGE

Gabarito - Aula 13/011

Exercıcio 1. De x � y, temos x � y. Como y � z, por transitividade temos x � z.Falta mostrar que (z, x) /∈�. Suponha por contradicao que z � x. Como y � z, portransitividade temos y � x, contradicao com x � y. Logo x � z.

Exercıcio 2. As relacoes binarias possıveis sao todos os subconjuntos de {(a, a); (b, b);(a, b); (b, a)}, inclusive o conjunto vazio (note que nao ha hipotese sobre completeza).Sao 16 relacoes binarias possıveis. Note que com apenas dois elementos qualquer relacaobinaria e transitiva (nao ha um terceiro elemento para contradizer a transitividade).

Exercıcio 3. Queremos encontrar o conjunto de todas as relacoes binarias racionaisem X. S.p.g. sejam x, y, z ∈ X com x 6= y, x 6= z e y 6= z; e, seja � uma relacaobinaria racional com x � y � z. Temos quatro possibilidades: x � y � z, x ∼ y � z,x � y ∼ z e x ∼ y ∼ z. Temos as respectivas relacoes binarias:{(x, y); (y, z); (x, z)},{(x, y); (y, z); (x, z); (y, x)}, {(x, y); (y, z); (x, z); (z, y)} e {(x, y); (y, z); (x, z); (y, x); (z, y);(z, x)}. Como podemos tomar x, y e z de 6 (=3!) formas diferentes , entao temos aotodo 24 listas de tres elementos. Mas note que quando ha indiferenca nao importa aordem. Desta forma estamos contando seis vezes ( 5 alem do necessario) a relacao detotal indiferenca, e 3 vezes alem do necessario cada uma das outras relacoes de indiferencaque aparece. Portanto temos 13 relacoes de preferencia racionais diferentes.

Exercıcio 4. Temos x �u y⇔ x �u y e (y, x) /∈�u⇔ u(x) ≥ u(y) e nao vale u(y) ≥ u(x)⇔ u(x) > u(y). Logo �u= {(x, y) ∈ X2;u(x) > u(y)}. Ainda x ∼u y ⇔ x �u y e y �u x⇔ u(x) ≥ u(y) e u(y) ≥ u(x) ⇔ u(x) = u(y). Assim ∼u= {(x, y) ∈ X2;u(x) = u(y)}.

Exercıcio 5. Seja x y ≥ 0. Tome j ∈ {1, . . . , n} tal que xj ≥ yj. Defina f : [0, 1]→ Rpor f(t) = u((1 − t)y + tx). Como u e diferenciavel e o argumento de u e linear em ttemos que f e diferenciavel em (0, 1). Pela regra da cadeia:

f ′(t) =n∑i=1

∂u

∂xi((1− t)y + tx) · (xi − yi) ≥

∂u

∂xj((1− t)y + tx) · (xj − yj) ≥ 0 ,∀t ∈ (0, 1)

Assim, pelo Teorema do Valor Medio, ∃ξ ∈ (0, 1) tal que

u(x)− u(y) = f(1)− f(0) = f ′(ξ) ≥ 0

Entao u(x) ≥ u(y), portanto u e monotona.

1Versao 3: Foi corrigido um erro no final da questao 3; uma inequacao que estava com a desigualdadetrocada no final da questao 8; e, um typo na questao 20.

1

Exemplo. Seja u : R2 → R dada por u(x1, x2) = (1 + x1) · x2. Temos

∂u

∂x(x) = (x2, 1 + x1) 0, ∀x ∈ R2

+

Mas u (1, 0) = u (2, 0) = 0, assim u nao e fortemente monotona.

Exercıcio 6. (Completeza) Sejam a, b ∈ X. Como R e um corpo ordenado entaopara u(a), u(b) ∈ R ao menos umas das seguintes desigualdades e valida: u(a) ≥ u(b),u(b) ≥ u(a). Portanto, temos {(a, b), (b, a)}∩ �u 6= ∅. Como a, b ∈ X sao tomadosarbitrariamente, �u e completa.(Transitividade) Sejam (a, b), (b, c) ∈�u. Entao u(a) ≥ u(b) e u(b) ≥ u(c). Como R eum corpo ordenado temos u(a) ≥ u(c), assim (a, c) ∈�u. Como (a, b), (b, c) ∈�u saoarbitrarios, �u e transitiva.

Exercıcio 8. Uma resposta alternativa a encontrada abaixo esta no solutions do MWG.

a. Como � e racional temos que x ∈� (x) e x � (x), ∀x ∈ X 6= ∅. Logo os doisconjuntos sao nao vazios. Como X e finito, � (x) ∈ X e � (x) ⊂ X, ∀x ∈ X, entao� (x) e � (x) sao finitos ∀x ∈ X.

b. Sejam x, y ∈ X tais que y � x. Seja z ∈� (x), entao x � z. Assim por transitivi-dade y � z. Portanto z ∈� (y). Logo, como z ∈� (x) e arbitrario, � (x) ⊂� (y).

c. Para cada x ∈ X faca2 u(x) = # � (x). Como � (x) e nao vazio e finito, u : X → Re uma funcao bem definida. Queremos mostrar agora que �u=�.Seja (a, b) ∈�, do item anteior � (b) ⊂� (a). Entao u(a) ≥ u(b), assim (a, b) ∈�u.Portanto �⊂�u.Agora seja (a, b) ∈�u, i.e., u(a) ≥ u(b). Suponha por contradicao que (a, b) /∈�.Por completude b � a, entao do item anterior � (a) ⊂� (b). Mas b ∈� (b) e pelahipotese de contradicao b /∈� (a). Assim # � (a) < # � (b), entao u(a) < u(b),contradicao. Portanto �u⊂�. Logo �u=�.

Note que para uma funcao u : X → R representar � (racional) e necessario (e suficiente)que � (x) = {y ∈ X;u(x) ≥ u(y)}, ∀x ∈ X ou, equivalentemente, � (x) = {y ∈X;u(y) ≥ u(x)}, ∀x ∈ X. Assim a funcao de utilidade deve preservar as secoes superiores(� (x)) ou inferiores (� (x)) das preferencias.

Exercıcio 11. Provaremos por inducao a afirmativa para a funcao quase-concava, o casoda funcao concava e analogo.Para L = 2 a afirmativa e valida pela definicao de quase-concavidade. Suponha que aafirmativa e valida para L = T ∈ N\{1}. Sejam x1, x2, . . . xT+1 ∈ Rn+ e λ ∈ Rn+ tal que∑T+1

l=1 λl = 1. Se λT+1 = 1, a afirmativa vale trivialmente. Se λT+1 6= 1 entao:

u

(T+1∑l=1

λlxl

)= u

((1− λT+1)

∑Tl=1 λlx

l

1− λT+1

+ λT+1xT+1

)≥ min{u(y), u(xT+1)}

2Dado um conjunto finito A, #A e definido como o numero de elementos de A

2

pela quase-concavidade de u, onde y =∑T

l=1 λlxl

1−λT+1. Mas entao pela hipotese de inducao:

u

(T+1∑l=1

λlxl

)≥ min{min{u(x1), . . . , u(xT )}, xT+1} ≥ min{u(x1), u(x2), . . . , u(xT+1)}

Logo a propriedade vale para L ∈ N\{1}.

Exercıcio 12. (⇒) Se Y e convexo, sejam x0, y0 ∈ R+ e r ∈ (0, 1) .Entao

(x0, φ (x0)) ∈ Y e (y0, φ (y0)) ∈ Y.

Portanto

(rx0 + (1− r) y0, rφ (x0) + (1− r)φ (y0)) = r (x0, φ (x0)) + (1− r) (y0, φ (y0)) ∈ Y

pela convexidade de Y . Logo

rφ (x0) + (1− r)φ (y0) ≥ φ (rx0 + (1− r) y0) .

(⇐) Se φ e convexa, sejam (x0, x1), (y0, y1) ∈ Y e r ∈ (0, 1). Temos φ (rx0 + (1− r)y0) ≤rφ(x0) + (1− r)φ(y0) ≤ rx1 + (1− r)y1. Logo r(x0, x1) + (1− r)(y0, y1) ∈ Y .

Exercıcio 15. A demonstracao sera dividida em dois casos.

(1) Se argmaxx∈Ru(x) 6= ∅. Tome x? ∈ argmaxx∈Ru(x). Se x? ≥ x > y, entaopela quase-concavidade u(x) ≥ min{u(x?), u(y)} = u(y). Logo u e crescente em(−∞, x?]. Analogamente se x > y ≥ x? entao u(x) ≤ u(y). Portanto u e decrescenteem [x?,∞). Assim vale (c).

(2) Se argmaxx∈Ru(x) = ∅. Queremos demonstrar que neste caso u e monotona (i.e.valem (a) e/ou (b)). Suponha por contradicao que u nao e monotona. Ha duaspossibilidades:

(2.1) Existem a > b > c tais que u(a) > u(b) e u(b) < u(c). Mas isso nao podeocorrer pois a quase-concavidade de u implica u(b) ≥ min{u(a), u(c)}.

(2.2) Existem a > b > c tais que u(a) < u(b) e u(b) > u(c). O intervalo [a, c] ecompacto3, como u e continua em [a, c] temos pelo teorema de Weierstrass4

que existe x ∈ [a, c] tal que u(x) = maxx∈[a,c]u(x) (note que u(x) > u(a) eu(x) > u(c)). Como argmaxx∈Ru(x) = ∅ entao ∃z ∈ R\[a, c] tal que u(z) >u(x). Se z > c temos c ∈ (b, z) logo u(c) ≥ min{u(z), u(b)}, contradicao poisu(z) > u(b) > u(c). Simetricamente nao podemos ter z < a.

Logo u e monotona (i.e., vale (a) e/ou (b)).

Portanto, vale (a) e/ou (b) e/ou (c).

3Em Rn um conjunto e dito compacto se e fechado e limitado.4Teorema (Weierstrass): Seja A um conjunto compacto e u : A→ R uma funcao contınua. Entao

u atinge seu maximo e seu mınimo em A. Isto e, existem a0, b0 ∈ A tais que u(a0) = maxx∈Au(x) eu(b0) = minx∈Au(x)

3

Exercıcio 17. Sejam x, y ∈ Rn. Defina a funcao φ : [0, 1]→ R por

φ(t) = u((1− t)x+ ty)− (1− t)u(x)− tu(y)

Note que se φ(t) ≥ 0,∀t ∈ [0, 1], como x, y ∈ Rn e arbitrario, u e concava. Provemos queeste e o caso. Como [0,1] e compacto e φ e contınua temos que φ atinge seu mınimo em[0, 1]. Por outro lado u e duas vezes diferenciavel , assim φ e duas vezes diferenciavel em(0, 1). Temos:

φ′(t) = Dxu((1− t)x+ ty) · (y − x) + u(x)− u(y)

φ′′(t) = (y − x)′ ·D2xxu((1− t)x+ ty) · (y − x) < 0

Onde Dxu(y) e D2xxu(y) representam, respectivamente, o vetor gradiente e a matriz hes-

siana de u no ponto y ∈ Rn+. Como φ′′(t) < 0,∀t ∈ (0, 1) temos que φ nao tem pontode mınimo em (0, 1)5. Entao argmint∈[0,1]φ(t) ⊂ {0, 1}. Mas φ(0) = φ(1) = 0. Logo u econcava.

Exercıcio 20. (Por contradicao) Suponha que y � x. Note que a continuidade de �implica que6 � (z) e fechado7, ∀z ∈ X. Entao � (z) =� (z)C e aberto8 (analogamente≺ (z) e aberto), ∀z ∈ X.Assim, existem n0,m0 ∈ N tais que se n ≥ n0 e m ≥ m0 entao xn ∈≺ (y) e ym ∈� (x).Temos dois casos:

(1) Existe subsequencia (yϕ(t))t∈N de (ym)m∈N tal que yϕ(t) � y, ∀t ∈ N.Defina t0 = min{t ∈ N;ϕ(t) ≥ n0}. Entao para t ≥ t0 temos yϕ(t) � xϕ(t),contradicao.

(2) Existe subsequencia (yϕ(t))t∈N de (ym)m∈N tal que y � yϕ(t), ∀t ∈ N.Defina t1 = min{t ∈ N;ϕ(t) ≥ m0}. Entao para t ≥ t0 temos y � yϕ(t) � x.Entao para t ≥ max{t0, t1} temos y � xϕ(t) � yϕ(t) � y. Temos que y ∈� (yϕ(t1))e x ∈≺ (yϕ(t1)). Como estes dois conjuntos sao abertos e disjuntos temos queexistem t2, t3 ∈ N tais que se t ≥ t2 temos yϕ(t) ∈� (yϕ(t1)); e se t ≥ t3 temosxϕ(t) ∈≺ (yϕ(t1)). Portanto para t ≥ max{t2, t3} temos que yϕ(t) � yϕ(t1) � xϕ(t) ⇒yϕ(t) � xϕ(t) por transitividade, contradicao.

5Uma condicao necessaria para t? ∈ (0, 1) ser ponto de mınimo e φ′′(t?) ≥ 0.6Notacao do Exercıcio 8.7Um conjunto A e fechado se, e somente se, todas as sequencias convergentes nele contidas conver-

girem para um ponto em A.8Um conjunto A e aberto se para qualquer sequencia (zn)n∈N tal que zn → z ∈ A, existe no ∈ N tal

que se n ≥ n0 entao zn ∈ A.

4

Lista 2

1. Demonstre que x � y � z implica x � z.

2. Determine todas as possíveis relações binárias em X = fa; bg.

3. Determine todas as possíveis relações binárias completas e transitivas emX = fa; b; cg.

4. Seja u : X ! R uma função utilidade. Veri�que que

�u=�(x; y) 2 X2;u (x) > u (y)

e

�u=�(x; y) 2 X2;u (x) = u (y)

.

5. Seja X um conjunto de alternativas. Mostre que se uma relação binária Rpode ser representada por uma função u : X ! R, isto é,

R =�(x; y) 2 X2;u (x) � u (y)

:=�u;

então R é completa e transitiva.

6. MWG 1.C.2

7. MWG 1.D.2

8. Seja u : Rn+ ! R quase-côncava. Então para todo x1; x2; : : : ; xL 2 Rn+ e paratodo � 2 RL+;

PLl=1 �l = 1 é verdade que

u

LXl=1

�lxl

!� min

�u�x1�; : : : ; u

�xL�:

Demonstre que se u for côncava então u�PL

l=1 �lxl��PL

l=1 �lu�xl�.

9. Determine quais das funções a seguir são convexas:

(a) � (x) = x2;

(b) � (x) =px;

(c) � (x) = �e�x sendo � 2 (�1; 1).

10. Seja f : (�1;1)! (�1;1). Então f é quase-côncava se:

(a) for crescente.1

1Uma função é crescente se aumentando o argumento a função não diminui.

1

(b) for decrescente.

(c) existir x� tal que f é crescente em (�1; x�] e decrescente em [x�;1).

11. Suponha que f : (�1;1)! (�1;1) seja contínua e quase-côncava. Entãouma das condições do exercício anterior é verdadeira.

12. Seja u : Rn+ ! R contínua. Então �ué contínua.

13. Uma matrix simétrica n�n,M , é negativa semide�nida se para todo z 2 Rnfor verdade que z0Mz � 0. Seja u : Rn+ ! R duas vezes diferenciável e tal quepara todo x 2 Rn+ a matriz

�@2u

@xi@xj(x)�i�nj�n

é negativa semide�nida. Então u

é côncava.

14. Seja X = fa1; a2; : : : ; ang um conjunto de n alternativas. Determine todasas relações de preferências racionais, �, tais que

�= f(a1; a1) ; (a2; a2) ; : : : ; (an; an)g :

15. Seja B =�Bp; p 2 R2+ n f0g

onde Bp =

�x 2 R2+; p1x1 + p2x2 � 1

. Mostre

que Bp é sempre in�nito.

16. Mostre que se u : Rn+ ! R duas vezes diferenciável for côncava então�@2u

@xi@xj(x)�i�nj�n

é negativa semide�nida para todo x 2 Rn++. Mostre tambem

que uma matriz simétrica

A =

�a bb d

�é negativa semide�nida se e somente se:

(a) a � 0; d � 0;(b) ad� b2 � 0:

17. Aplique o critério do exercício anterior para v (x1; x2) = x1x2 e v1 (x1; x2) =p(x1 + 1) (x2 + 1).

18. Considere a função utilidade

u (x; y) = x� 1 +q(1� x)2 + 4x+ 4y; (x; y) 2 R2+:

Veri�que se a relação de preferências representada por u:

(a) é monótona;

2

(b) é monótona forte;

(c) é convexa (sug.: determine as curvas de indiferença de u).

19. Veri�que que a utilidade de�nida no exercício anterior não é côncava.

20. Calcule a demanda para as seguintes utilidades:

(a) u (x1; : : : ; xn) = x�11 x

�22 � � �x�nn ; x � 0 sendo �i > 0; 1 � i � n;

(b) u (x; y) = min fx; yg;(c) u (x; y) = min fx+ 1; 2x+ 2yg;(d) u (x; y) =

px+

py:

21. Sejam u; v : RL+ ! R utilidades contínuas. Consider a função

w (x) = min fu (x) ; v (x)g :

Suponha que u e v satisfaçam a propriedade

P 2 fmon., mon. forte, quase-concavidade,concavidadeg :

Determine se w (�) tambem satisfaz P .

22. Determine a utilidade indireta para as funções do exercício 20 (a,b,d).

3


Gabarito - Lista 2

Exercıcio 1. De x � y, temos x � y mas y � x. Como y � z, por transitividade temosx � z. Queremos mostrar que z � x. Suponha por contradicao que z � x. Como y � z,por transitividade temos y � x, contradicao com y � x. Logo x � z.

Exercıcio 2. As relacoes binarias possıveis sao todos os subconjuntos de {(a, a); (b, b);(a, b); (b, a)}, inclusive o conjunto vazio (note que nao ha hipotese sobre completeza). Onumero de relacoes binarias em um conjunto X e dado por 2n

2, onde n e o numero de

elementos de X. Neste caso, como n = 2, temos 16 relacoes binarias possıveis.

Exercıcio 3. Queremos encontrar o conjunto de todas as relacoes binarias racionais emX. S.p.g. sejam a, b, c ∈ X com a 6= b, a 6= c e b 6= c; e, seja � uma relacao binariaracional com a � b � c. Temos quatro possibilidades: a � b � c, a ∼ b � c, a � b ∼ c ea ∼ b ∼ c. Temos as respectivas relacoes binarias: {(a, b); (b, c); (a, c); (a, a); (b, b); (c, c)},{(a, b); (b, a)(b, c); (a, c); (a, a); (b, b); (c, c)}, {(a, b); (b, c); (c, b); (a, c); (a, a); (b, b); (c, c)} e{(a, b); (b, a); (b, c); (c, b); (a, c); (c, a); (a, a); (b, b); (c, c)}. Como podemos tomar a, b e cde 6 (=3!) formas diferentes , entao temos ao todo 24 listas de tres elementos. Mas noteque quando ha indiferenca nao importa a ordem. Desta forma estamos contando seisvezes ( 5 alem do necessario) a relacao de total indiferenca, e 3 vezes alem do necessariocada uma das outras relacoes de indiferenca que aparece. Portanto temos 13 relacoes depreferencia racionais diferentes.

Exercıcio 4. Temos x �u y ⇐⇒ x �u y e y �u x ⇐⇒ u(x) ≥ u(y) e nao valeu(y) ≥ u(x) ⇐⇒ u(x) > u(y). Logo �u= {(x, y) ∈ X2;u(x) > u(y)}. Ainda x ∼u y⇐⇒ x �u y e y �u x ⇐⇒ u(x) ≥ u(y) e u(y) ≥ u(x) ⇐⇒ u(x) = u(y). Assim∼u= {(x, y) ∈ X2;u(x) = u(y)}.

Exercıcio 5. Ver MWG, Proposicao 1.B.2, pag. 9.

Exercıcio 6. Este exercıcio e quase tautologico. Vamos provar os dois sentidos:

( =⇒ ) Suponha que vale o Axioma Fraco (Def. 1.C.1). Assuma que B,B′ ∈ B,que x, y ∈ Be x, y ∈ B′. Assuma ainda que x ∈ C(B) e y ∈ C(B′). Aplicando o AFrPR temosque x ∈ C(B′) e y ∈ C(B). Logo [x, y] ⊂ C(B) e [x, y] ⊂ C(B′).

(⇐= ) Suponha que a propriedade do exercıcio vale. Assuma que B,B′ ∈ B,que x, y ∈ Be x, y ∈ B′. Assuma ainda que x ∈ C(B) e y ∈ C(B′). Pela propriedade temos que[x, y] ⊂ C(B′) que quer dizer que x ∈ C(B′). Logo vale o AfrPR.

Exercıcio 8. Provaremos por inducao a afirmativa para a funcao quase-concava, o casoda funcao concava e analogo.Para L = 2 a afirmativa e valida pela definicao de quase-concavidade. Suponha que a

1

afirmativa e valida para L = T ∈ N\{1}. Sejam x1, x2, . . . xT+1 ∈ Rn+ e λ ∈ RT+1+ tal que∑T+1

l=1 λl = 1. Se λT+1 = 1, a afirmativa vale trivialmente. Se λT+1 6= 1 entao:

u

(T+1∑l=1

λlxl

)= u

((1− λT+1)

∑Tl=1 λlx

l

1− λT+1

+ λT+1xT+1

)≥ min{u(y), u(xT+1)}

pela quase-concavidade de u, onde y =∑T

l=1 λlxl

1−λT+1=∑T

l=1 πlxl e πl = λl

1−λT+1(Note que∑T

l=1 πl = 1) . Mas entao pela hipotese de inducao, u(y) ≥ min{u(x1), . . . , u(xn)} eportanto temos:

u

(n+1∑l=1

λlxl

)≥ min{min{u(x1), . . . , u(xT )}, u(xT+1)} = min{u(x1), u(x2), . . . , u(xT+1)}

Logo a propriedade vale para L = T + 1. Portanto, por inducao, a propriedade vale paratodo L ∈ N\{1}.

Exercıcio 9. Note que em a) φ′′(x) = 2 > 0 =⇒ φ e convexa. Em b) φ′′(x) =

−14(x)−

32 ≤ 0 =⇒ φ e concava. Por fim, em c) φ′′(x) = λe−x. Como λ ∈ (−1, 1), φ sera

convexa se λ ≥ 0.

Exercıcio 10. Sejam x, y ∈ (−∞,∞), λ ∈ [0, 1] e suponha que x ≥ y , que implica emx ≥ λx+ (1− λ)y ≥ y :

(a) Se f e crescente =⇒ f(x) ≥ f(λx+ (1− λ)y) ≥ f(y) = min{f(x), f(y)} =⇒ f equase-concava.

(b) Se f e decrescente =⇒ f(y) ≥ f(λx+ (1− λ)y) ≥ f(x) = min{f(x), f(y)} =⇒ fe quase-concava.

(c) Se x, y ∈ (−∞, x∗] =⇒ f e crescente =⇒ f(λx+ (1− λ)y) ≥ min{f(x), f(y)}(ıtem a). Se x, y ∈ [x∗,∞) =⇒ f e decrescente f(λx+ (1− λ)y) ≥ min{f(x), f(y)}(ıtem b). Por fim, sejam y ∈ (−∞, x∗] e x ∈ [x∗,∞). Temos 3 casos:

(i) λx+ (1− λ)y ∈ (−∞, x∗) =⇒ f(λx+ (1− λ)y) ≥ f(y). Se f(x) ≥ f(y)temos o resultado. Se f(x) < f(y) entao f(λx+ (1− λ)y) >f(x) =⇒ f(λx+ (1− λ)y) ≥min{f(x), f(y)}.

(ii) λx+ (1− λ)y ∈ (x∗,∞) =⇒ f(λx+ (1− λ)y) ≥ f(x). Se f(y) ≥ f(x) temoso resultado. Se f(y) < f(x) entao f(λx+ (1− λ)y) >f(y) =⇒ f(λx+ (1− λ)y) ≥min{f(x), f(y)}.

(iii) λx+ (1− λ)y = x∗ =⇒ f(λx+ (1− λ)y) ≥ f(z) ∀z ∈ (−∞,∞). Em par-ticular f(λx+ (1− λ)y) ≥ min{f(x), f(y)}. Logo, os 3 casos implicam em fquase-concava.

Exercıcio 11. A demonstracao sera dividida em dois casos.

(1) Se argmaxx∈Rf(x) 6= ∅. Tome x? ∈ argmaxx∈Rf(x). Se x? ≥ x > y, entaopela quase-concavidade f(x) ≥ min{f(x?), f(y)} = f(y). Logo f e crescente em

2

(−∞, x?]. Analogamente se x > y ≥ x? entao f(x) ≤ f(y). Portanto f e decres-cente em [x?,∞). Assim vale (c).

(2) Se argmaxx∈Rf(x) = ∅. Queremos demonstrar que neste caso f e monotona (i.e.valem (a) e/ou (b)). Suponha por contradicao que f nao e monotona. Ha duaspossibilidades:

(2.1) Existem a > b > c tais que f(a) > f(b) e f(b) < f(c). Mas isso nao podeocorrer pois a quase-concavidade de f implica f(b) ≥ min{f(a), f(c)}.

(2.2) Existem a > b > c tais que f(a) < f(b) e f(b) > f(c). O intervalo [c, a] ecompacto1, como f e continua em [c, a] temos pelo teorema de Weierstrass2 queexiste x ∈ [c, a] tal que f(x) = maxx∈[a,c]f(x) (note que f(x) ≥ f(b) e f(x) ≥f(c)). Como argmaxx∈Rf(x) = ∅ entao ∃z ∈ R\[a, c] tal que f(z) > f(x). Sez > a temos a ∈ (b, z) logo f(a) ≥ min{f(z), f(b)} = f(b), contradicao poisf(z) > f(b) > f(a). Simetricamente nao podemos ter z < c.

Logo f e monotona (i.e., vale (a) e/ou (b)).

Portanto, vale (a) e/ou (b) e/ou (c).

Exercıcio 12. Suponha que temos xn → x e xn �u y ∀n ∈ N ⇐⇒ u(xn) ≥ u(y).Passando o limite e considerando u contınua, temos u(x) ≥ u(y) ⇐⇒ x �u y. Agorasuponha que yn → y e yn �u z ∀n ∈ N ⇐⇒ u(yn) ≤ u(z). Passando o limite econsiderando u contınua, temos u(y) ≤ u(z) ⇐⇒ y �u z. Logo �ue contınua.

Exercıcio 13. Sejam x, y ∈ Rn+. Defina φ : [0, 1]→ R por:

φ(t) = u(λx+ (1− λ)y)− λu(x)− (1− λ)u(y)

para λ ∈ [0, 1]. Como u e duas vezes diferenciavel, temos que φ e duas vezes diferenciavel.Temos que u e concava se e somente se para todo x, y, φ (λ) ≥ 0 para todo λ ∈ (0, 1).Pelo teorema do valor medio existe ξ ∈ (0, 1) tal que

0 = φ (1)− φ (0) = φ′ (ξ) .

A segunda derivada de φ,

φ′′ (λ) = (x− y)′D2u (λx+ (1− λ)y) (x− y) ≤ 0,∀λ ∈ (0, 1) .

Portanto para λ ≥ ξ, φ′ (λ) ≤ 0. E para λ ≤ ξ, φ′ (λ) ≥ 0. Assim no intervalo [0, ξ] afuncao φ e crescente e no intervalo [ξ, 1] a funcao φ e decrescente. Logo para 0 ≤ λ ≤ξ, φ (λ) ≥ φ (0) = 0. E para λ ∈ [ξ, 1] , φ (λ) ≥ φ (1) = 0. Logo, φ (λ) ≥ 0 para todoλ ∈ (0, 1) , mostrando que u e concava.

Exercıcio 14. Seguindo a linha do exercıcio 3, vamos supor que ai 6= aj ∀i 6= j. Seja �uma relacao binaria racional com a1 � a2 � . . . � an. Como queremos que ai ∼ aj ⇐⇒i = j, a unica possibilidade possivel e a1 � a2 � . . . � an com a seguinte relacao binaria

1Em Rn um conjunto e dito compacto se e fechado e limitado.2Teorema (Weierstrass): Seja A um conjunto compacto e f : A→ R uma funcao contınua. Entao

f atinge seu maximo e seu mınimo em A. Isto e, existem a0, b0 ∈ A tais que f(a0) = maxx∈Af(x) ef(b0) = minx∈Af(x)

3

racional: {(a1, a1); . . . ; (a1, an); (a2, a2); . . . ; (a2, an); . . . ; (an−1, an−1), (an−1, an); (an, an)} .Como podemos tomar os ai elementos de n! formas, temos entao n! relacoes de preferenciasracionais tal que ai ∼ aj ⇐⇒ i = j.

Exercıcio 15. S.p.c que Bp seja finito. Entao ∃ n ∈ N tal que Bp ={{xi}ni=1 : xi ∈ R2

+

}.

Como [0, 1]n e infinito, ∃ λ ∈ [0, 1]n tal que y =∑n

i=1 λixi 6= xi ∀i. Como Bp e convexo=⇒ y ∈ Bp, o que contradiz a hipotese de que Bp e finito.

Exercıcio 16. Vejamos um resultado intermediario:

Lema 1. Seja g : R −→ R concava e duas vezes diferenciavel. Entao g′′(x) ≤ 0.

Proof. Como g e concava, para x, h ∈ R temos

g(x) = 12g(x+ h) + 1

2g(x− h)⇐⇒ g(x+ h)− 2g(x) + g(x− h)

Portanto:

limh→0

g(x+ h)− 2g(x) + g(x− h)

h2≤ 0 ⇐⇒ lim

h→0

g′(x+ h)− g′(x− h)

2h≤ 0 ⇐⇒

⇐⇒ limh→0

g′(x+ h)− g′(x− h)

2h≤ 0 ⇐⇒ lim

h→0

g′(x+ h)− g′(x) + g′(x)− g′(x− h)

2h≤ 0 ⇐⇒

⇐⇒ limh→0

1

2

(g′(x+ h)− g′(x)

h+g′(x)− g′(x− h)

h

)≤ 0 ⇐⇒ 1

22g”(x) = g”(x) ≤ 0

(i) Primeira parte do exercıcio. Se u for concava, entao

g (t) = u (y + tz)

e concava para t ≥ 0. Verifiquemos isto: Sejam s, t ≥ 0 e θ ∈ (0, 1) ,

g (θt+ (1− θ) s) = u (y + (θt+ (1− θ) s) z) =

u (θ (y + tz) + (1− θ) (y + sz)) ≥θu (y + tz) + (1− θ)u (y + sz) =

θg (t) + (1− θ) g (s) .

Portanto g′′ (t) ≤ 0 e em particular g′′ (0) = u′′(y) = z′D2u (y) z ≤ 0.

(ii) Segunda parte do exercıcio: Temos A n.s.d. ⇔ ∀(x, y) ∈ R2 temos:

[x y

]A

[xy

]≤ 0⇔ ax2 + 2bxy + dy2 ≤ 0, ∀(x, y) ∈ R2

Temos 2 casos:

1. Se a = 0, temos A n.s.d. ⇔ 2bxy + dy2 ≤ 0, ∀(x, y) ∈ R2 ⇔ b = d = 0. LogoValem (a) e (b).

4

2. Se a 6= 0, temos A n.s.d. se, e so se,

ax2 + 2bxy + dy2 = a

(x2 +

2b

axy +

b2

a2y2 − b2

a2y2)

+ dy2

= a

(x2 +

2b

axy +

b2

a2y2)− b2

ay2 + dy2

= a

(x+

b

ay

)2

+ y2(d− b2

a

)≤ 0, ∀(x, y) ∈ R2

Mas esta ultima inequacao e valida se, e so se, a ≤ 0 e d − b2

a≤ 0 ⇔ a ≤ 0,

d ≤ 0 e ad− b2 ≥ 0.

Exercıcio 17.

(i) v(x1, x2) = x1x2 =⇒ ∂v(x1,x2)∂x2∂x1

= 1 e ∂2v(x1,x2)

∂x2i= 0, i = 1, 2. Vemos que,

det

[(∂2v(x1,x2)∂xi∂xj

)i×j

]= −1 ≤ 0 e ∂2v(x1,x2)

∂x2i= 0 ≤ 0. Logo

(∂2v(x1,x2)∂xi∂xj

)i×j

nao e

negativa semidefinida ∀(x1, x2) ∈ R2 e portanto nao e concava.

(ii) v(x1, x2) =√

(x1 + 1)(x2 + 1) =⇒

∂2v(x1, x2)

∂x21=

− (x2 + 1)2

4 [(x1 + 1) (x2 + 1)]32

∂2v(x1, x2)

∂x22=

− (x1 + 1)2

4 [(x1 + 1) (x2 + 1)]32

∂v(x1, x2)

∂x1∂x2=

∂v(x1, x2)

∂x2∂x1=

1

4√

(x1 + 1) (x2 + 1)

Vemos (com muita conta tediosa) que det

[(∂2v(x1,x2)∂xi∂xj

)i×j

]= 0 ≥ 0.Ainda ∂2v(x1,x2)

∂x2i<

0, i = 1, 2. Logo(∂2v(x1,x2)∂xi∂xj

)i×j

e negativa semidefinida ∀(x1, x2) ∈ R2+.

Exercıcio 18. Usaremos os teoremas envolvendo gradiente (∂u(x, y)):

(a),(b) Note que ∂u(x, y) =

(12

2x+2√4x+4y+(x−1)2

+ 1, 2√4x+4y+(x−1)2

)>> 0 ∀(x, y) ∈ R2

+. Logo

a relacao de preferencias e monotona e fortemente monotona.

(c) Usando a sugestao, vamos construir a curva de indiferenca para o nıvel de utilidade

5

u :

u = x− 1 +

√(1− x)2 + 4x+ 4y

⇐⇒ u+ 1− x = x− 1 +

√(1− x)2 + 4x+ 4y ⇐⇒

⇐⇒ (u+ 1− x)2 = (1− x)2 + 4x+ 4y

⇐⇒ u2 + 2u (1− x) + (1− x)2 = (1− x)2 + 4x+ 4y ⇐⇒⇐⇒ u2 + 2u− 2ux = +4x+ 4y ⇐⇒ y = 1

4u2 + 1

2u− 1

2ux− x

Desta forma definimos as curvas de indiferenca implicitamente como

y = f(x) = −(12u+ 1

)x+ 1

4u2 + 1

2u

Note que as curvas sao lineares, o que garante que a relacao de preferencias econvexa.

Exercıcio 19. Um resultado mostrado nesta lista (exercicios 13 e 16) e que u e concavaSSE sua hessiana e negativa semidefinida. A hessiana de u e: 4y

(x2+2x+4y+1)32

− 2x+2

(4x+4y+(x−1)2)32

− 2x+2

(4x+4y+(x−1)2)32− 4

(4x+4y+(x−1)2)32

Para y > 0, na entrada 1 × 1, obtemos um valor positivo. Como foi mostrado no

exercıcio 16, a hessiana nao e negativa semidefinida e portanto u nao e concava.

Exercıcio 20. Suponha w > 0 e p ∈ RL++.

(a) Seja L = {1, . . . , n}.

Lema 2. Se x ∈ X(p, w), entao x� 0.

Proof. Suponha por absurdo que x ∈ X(p, w) e existe j ∈ L tal que xj = 0.Entao u(x) = 0. Mas como w > 0, existe y ∈ RL++ tal que py < w. Aindau(y) > 0 ⇒ u(y) > u(x), contradicao.

Defina v : RL++ → R por

v(x) = ln (u(x)) =∑i∈L

αi ln(xi)

Temos que v e uma transformacao estritamente crescente de u em RL++, logo doLema 2 temos que v representa u na regiao relevante para a escolha. Como a funcaoln e concava, e a soma de funcoes concavas e concava3, temos que v e concava.

3Seja X convexo. Se f, g : X → R sao concavas, entao f + g e concava. Ainda se f : X → R econcava, entao para qualquer a > 0, af e concava.

6

Como v e concava, diferenciavel e monotona em RL++, temos pelo teorema de aulaque uma condicao necessaria e suficiente para x ∈ X(p, w) e que exista λ ≥ 0 talque αi

1xi

= λpi, ∀i ∈ L (ja usando que xi > 0, ∀i ∈ L) o que implica em λ > 0.Tome i, k ∈ L, temos

αixkαkxi

=pipk

(1)

Lembrando que λ > 0 implica que a R.O. vale com igualdade . Substituido (1) naR.O. encontramos

xk = xk(p, w) =αkn∑j=1

αj

w

pk

para qualquer k ∈ L. Logo X(p, w) = {x(p, w)}.

(b) Como u e contınua no conjunto compacto Bpw, entao existe (x∗, y∗) ∈ X(p;w).Queremos provar que x∗ = y∗.

S.p.c. que x∗ 6= y∗ e s.p.g. assuma que x∗ > y∗. Defina λ = x∗−y∗2

e defina yo ≡ y∗+λpxpy

e xo ≡ x∗− λ. Note que:

xo ≡ x∗ − λ =x∗ + y∗

2> y∗

Logou (x∗, y∗) = min{x∗, y∗} = y∗ < min{xo, yo} = u (xo, yo)

Ainda, como x∗px + y∗py ≤ w

xopx + yopy = (x∗px − λpx) + (y∗py + λpx) ≤ w

Com isso u (xo, yo) > u (x∗, y∗) e (xo, yo) ∈ Bpw, uma contradicao com (x∗, y∗) ∈X(p;w). Logo x∗ = y∗.

Por fim, como u e monotona, vale a Lei de Walras. Com isso temos:

x∗px + y∗py = x∗px + x∗py = w ⇐⇒

x∗ = y∗ =w

px + py

Logo X(p;w) ={(

wpx+py

, wpx+py

)}(c) Como u e contınua no conjunto compacto Bpw, entao existe (x?, y?) ∈ X(p;w).

Como u e monotona, vale a Lei de Walras. Analisemos os varios casos:

(1) w ≥ px =⇒ (x?, y?) = ( wpx, 0).

De fato, suponha por contradicao que y? > 0 =⇒ x? < wpx

. Portanto, comowpx≥ 1, temos que w

px+ 1 ≤ 2 w

pxe portanto u ( w

px, 0) = w

px+ 1. Ainda, por

definicao u(x?, y?) ≤ x? + 1 < wpx

+ 1 = u ( wpx, 0), contradicao, pois ( w

px, 0) e

factıvel.

(2) Se w < px. Temos 3 sub casos:

7

(i) Se px < py =⇒ (x?, y?) = ( wpx, 0)

Suponha por contradicao que y? > 0. Defina x ≡ x? + pypxy?. Note que x >

x? =⇒ x+1 > x?+1 ≥ u(x?, y?). Logo, se u(x, 0) = x+1 =⇒ u(x, 0) >u(x?, y?). Ainda, x > x? + y? pois py

px> 1. Logo 2x > 2 (x? + y?) ≥

u(x?, y?). Se u(x, 0) = 2x =⇒ u(x, 0) > u(x?, y?). Portanto, em todos oscasos temos u(x, 0) > u(x?, y?) com (x, 0) ∈ Bpw, uma contradicao.

(ii) Se px > py =⇒ x? + 1 = 2x? + 2y?.Suponha por contradicao que x? + 1 > 2x? + 2y?. Como px > py, temosque existe r ∈ (0, x?), (x, y) = (x?−r, y?+r px

py) tal que u(x, y) > u(x?, y?),

contradicao. Agora se x? + 1 < 2(x? + y?), entao como x? < 1, temosy? > 0. Assim existe r ∈ (0, y?) tal que se (x, y) = (x?+ py

pxr, y?− r), entao

u(x, y) > u(x?, y?), contradicao. Logo, por esta igualdade e usando a Lei

de Walras, temos (x?, y?) =(

2w−py2px−py ,

px−w2px−py

).

(iii) Se px = py = p, entao (x?, y?) ∈ A, onde

A =

{(x, y) ∈ R2

+; (x, y) = r

(2w − pp

,p− wp

)+ (1− r)(w

p, 0), r ∈ [0, 1]

}Mas A se encontra sobre a fronteira da restricao orcamentaria e o agente eindiferente entre qualquer cesta pertencente a A. De fato 2w−p

pp+ p−w

pp =

w e wpp = w o que implica que se (x, y) ∈ A, entao px+py = w. Por outro

lado se (x, y) ∈ A entao existe t ∈ [0, 1] tal que

(x, y) = t

(2w − pp

,p− wp

)+ (1− t)(w

p, 0) =

=

[t

(w

p− 1

)+w

p, t

(1− w

p

)]Entao

u(x, y) = min{t(w

p− 1

)+w

p+ 1, 2t

(w

p− 1

)+ 2

w

p+ 2t

(1− w

p

)}

= min{t(w

p− 1

)+w

p+ 1, 2

w

p} = 2

w

p

pois wp< 1. Quero mostrar que X(p, w) = A. Como u e monotona, basta

verificar que para (z1, z2) ∈ R2+ tais que pz1 + pz2 = w e z1 <

2w−pp

, entao

u(z1, z2) < 2wp. Mas, se z1 <

2w−pp

, entao z1 + 1 < 2w−pp

+ 1 = 2wp

. Logo

u(z1, z2) <2wp

. Portanto

X(p, w) =

{(x, y) ∈ R2

+; (x, y) = r

(2w − pp

,p− wp

)+ (1− r)(w

p, 0), r ∈ [0, 1]

}(d) Note que as condicoes de primeira ordem (K-T) so sao validas para (x, y) >> 0.

Primeiro vamos supor que este seja o caso. Como a funcao e concava, basta analisaras CPO’s:

12√x?

= λpx e 12√y?

= λpy ⇐⇒(pypx

)2= x?

y?. Usando a Lei de Walras (u e monotona)

8

temosy? =

pxw

py(py + px), x? =

pyw

px(py + px)

Para confirmar que este e ponto de maximo, basta comparar a funcao valor nesteponto e no ponto de fronteira. Vamos supor que py > px. Em que caso u(x?, y?) >u( w

px, 0)?√w

px<

√pxw

py(py + px)+

√pyw

px(py + px)⇐⇒

⇐⇒ w

px<

pxw

py(py + px)+ 2

w

(py + px)+

pyw

px(py + px)⇐⇒

⇐⇒ w

px<

pxw

py(py + px)+ 2

w

(py + px)+

pyw

px(py + px)

=w

px<

w

(py + px)

(pxpy

+ 2 +pypx

)=

w

(py + px)

(py + px)2

pxpy⇐⇒

⇐⇒ w

px< w

(py + px)

pxpy⇐⇒ 1 <

(py + px)

py

Como (py, px) >> 0, temos que u(x?, y?) > u( wpx, 0) vale sempre (mesmo que py ≤

px). Logo, podemos concluir que X(p, w) ={(

pyw

px(py+px), pxwpy(py+px)

)}.

Exercıcio 21. Monotonicidade e monotonicidade forte e trivial.

(i) (Quase-concavidade): Sejam x, y ∈ RL+ e λ ∈ (0, 1). Entao

w(λx+ (1− λ)y) = min{u(λx+ (1− λ)y), v(λx+ (1− λ)y)} ≥≥ min{min{u(x), u(y)},min{v(x), v(y)}} =

= min{min{u(x), v(x)},min{u(y), v(y)}} =

= min{w(x), w(y)}

Assim w e quase-concava.

(ii) (Concavidade): Sejam x, y ∈ RL+ e λ ∈ (0, 1). Entao

w(λx+ (1− λ)y) = min{u(λx+ (1− λ)y), v(λx+ (1− λ)y)} ≥≥ min{λu(x) + (1− λ)u(y), λv(x) + (1− λ)v(y)} ≥≥ λmin{u(x), v(x)}+ (1− λ) min{u(y), v(y)}

Logo w e concava.

9



Exercício 1 Seja f : R! R uma função estritamente crescente. Mostre que se u : R! R representa umarelação de preferências então f � u representa a mesma relação de preferências.

Exercício 2 Mostre que se existe uma função utilidade representando � então � é uma relação de prefer-ências racional.

Exercício 3 (Convexidade e unicidade) Mostre que:

1. (a) Se as preferências são convexas (logo, u (x) é quase-côncava), então os conjuntos das soluções dosproblemas de maximização de utilidade e minimização de gastos são convexos.

(b) Se as preferências são estritamente convexas (logo, u (x) é estritamente quase-côncava), então assoluções dos problemas de maximização de utilidade e minimização de gastos serão únicas (i.e.,as demandas marshalliana e hicksiana são funções e não correspondências).

Obs.: Considere preferências racionais e contínuas, e (p;w)� 0 .

Exercício 4 De�na x�(p; y) � fx 2 Rl+j p(x)x � w e u(x) � u(y) para todo y tal que p(y)y � wg:Suponha que para algum dos bens exista desconto por quantidade. Suponha, ainda, que as preferências sejamestritamente convexas. Você pode mostrar que x�(p; y) é um conjunto unitário?Obs.: Nesse caso os preços não são dados. p(:) é a "função preço", ou seja, o valor pago por unidade dependedo total que o consumidor compra.

Exercício 5 (Demanda Cobb-Douglas) Considere a seguinte função utilidade: u (x1; x2) = x�1x�2 , �; � > 0:

1. (a) Calcule as funções de demanda marshallianas para os bens 1 e 2

(b) Homoteticidade é a propriedade das preferências nas quais a taxa marginal de substituição éconstante para todas as cestas ao longo de uma mesma reta partindo da origem. Mostre que afunção de utilidade Cobb-Douglas é homotética.

(c) Calcule a função utilidade indireta e veri�que as propriedades demonstradas no Teorema 1.6 (pág.28 - JR)

Exercício 6 Suponha que um indivíduo vive dois períodos, possui uma dotação unitária em cada período epode poupar no primeiro instante, sendo remunerado à taxa r > 0. Suponha que as preferências pelo �uxode consumo no tempo são dadas por: U(C1;C2) = lnC1 + �lnC2, em que � é o fator de desconto e está nointervalo (0,1). Assuma que o preço do bem de consumo é 1 nos dois períodos. Admita que o agente nãopode deixar dívida no segundo período:

1. (a) Monte o problema do consumidor e encontre a poupança e o consumo ótimo em cada período.a) Qual o impacto de um aumento na taxa de juros sobre a poupança no primeiro período?Interprete.

b) Agora, assuma que o agente possui dotação apenas no primeiro período. Qual o impacto de umavariação na taxa de juros sobre a poupança? Qual fato econômico explica este comportamento? (dica: penseem termos de efeitos provocados por variações de preços).

Exercício 7 (Utilidade CES) Considere a função utilidade u(x) = (�1x�1 + �2x

�2)1=� ; �1; �2 � 0 ; x 2 R2++:

1. (a) Mostre que a elasticidade de substituição da função CES é constante. - A elasticidade de substi-tuição entre os bens x1 e x2 é de�nida por: �12(p; w) = �

@x1(p;w)=@x2(p;w)@(p1=p2)

p1=p2x1(p;w)=x2(p;w)

(b) Mostre que quando � = 1, as curvas de indiferença são lineares.

1

(c) Mostre qua quando �! 0, a função CES representa as mesmas preferências que a função utilidadeCobb-Douglas - u(x) = x�11 x

�22 (Coloquei esta questão não para avaliar a matemática, mas sim

para que vcs vejam a generalidade da função CES).

Exercício 8 Suponha que existam dois bens, x1 e x2, os quais são substitutos. Suponha que há dois vetoresde preços, p e q, tal que p1 > q1 e p2 < q2:Seja V(.,.) a função utilidade indireta e x(.,.) a escolha ótima doconsumidor. Encontre o sinal da seguinte expressão: px(q; y)� e(p; v(q; y)) em que y é a renda e e denota afunção despesa. Explique sua resposta.

2



Exercício 1 Seja f : R! R uma função estritamente crescente. Mostre que se u : R! R representa umarelação de preferências então f � u representa a mesma relação de preferências.

R: Temos x % y se e só se u(x) � u(y), como f é estritamente crescente, isto ocorre se e só se f(u(x)) �f(u(y)):

Exercício 2 Mostre que se existe uma função utilidade representando � então � é uma relação de prefer-ências racional.

R: Seja u : X ! < uma função utilidade representando �. Como u (X) � <, então, para todo x; y 2 X;temos que u (x) � u (y) ou u (x) � u (y). Logo, x � y ou y � x.Tome x; y; z 2 X tal que x � y e y � z. Então, como u representa �, segue que u (x) � u (y) e

u (y) � u (z). Logo, u (X) � < implica em u (x) � u (z). Portanto, x � z.

Exercício 3 (Convexidade e unicidade) Mostre que:

1. (a) Se as preferências são convexas (logo, u (x) é quase-côncava), então os conjuntos das soluções dosproblemas de maximização de utilidade e minimização de gastos são convexos.

(b) Se as preferências são estritamente convexas (logo, u (x) é estritamente quase-côncava), então assoluções dos problemas de maximização de utilidade e minimização de gastos serão únicas (i.e.,as demandas marshalliana e hicksiana são funções e não correspondências).

Obs.: Considere preferências racionais e contínuas, e (p;w)� 0 .R:Sendo % racional e contínua e o conjunto orçamentário compacto e não-vazio, sabemos que há solução

para o problema de maximização de utilidade do consumidor.a) Suponha que x e x0 solucionem o problema de maximização de utilidade. Como o conjunto orçamentáriocompetitivo é convexo, segue que �x+ (1� �)x�2 B: Então, como u é quase-côncava, u(�x+ (1� �)x0) �minfu(x); u(x0)g. Mas como u(x) = u(x0) maximizam a utilidade, segue que u(�x+(1��)x0) = u(x): Logo,�x+ (1� �)x�também soluciona o problema de maximização de utilidade para todo � 2 [0; 1]:

Analogamente, se x e x0 solucionam o problema de minimização de custos, então �x+(1��)x�custao mesmo e u(�x+ (1� �)x0) � minfu(x); u(x0)g. Logo, �x+ (1� �)x�também minimiza custos.b) Por argumento análogo ao do ítem (a), se x 6= x� então u(�x + (1 � �)x0) > minfu(x); u(x0)g;

� 2 (0; 1). Mas isto contradiz a otimalidade de x e x�. Logo, x = x�.Da mesma forma, se x; x0 solucionam o problema de minimização de custos e x 6= x0 (logo px = px0), temosque, para � 2 (0; 1), p(�x+(1��)x0) = �px+(1��)px0 = px = px0 e u(�x+(1��)x0) > minfu(x); u(x0)g:Mas então (como � (x) é aberto, 8x 2 X) 9x00 � �x + (1 � �)x0 com u(x00) > minfu(x); u(x0)g e px00 <px = px0.

Exercício 4 De�na x�(p; y) � fx 2 Rl+; p(x)x � w : u(x) � u(y)para todo y tal que p(y)y � wg:Suponha que para algum dos bens exista desconto por quantidade. Suponha, ainda, que as preferências sejamestritamente convexas. Você pode mostrar que x�(p; y) é um conjunto unitário?

R: Não. Observe que não podemos garantir a convexidade do conjunto orçamentário. Assim, se duascestas quaisquer pertencerem ao conjunto orçamentário, não necessariamente sua combinação convexa ofará. Logo, a prova convencional da unicidade da escolha sob preferências estritamente convexas não podeser aplicada.

Exercício 5 (Demanda Cobb-Douglas) Considere a seguinte função utilidade: u (x1; x2) = x�1x�2 , �; � > 0:

1. (a) Calcule as funções de demanda marshallianas para os bens 1 e 2

1

(b) Homoteticidade é a propriedade das preferências nas quais a taxa marginal de substituição éconstante para todas as cestas ao longo de uma mesma reta partindo da origem. Mostre que afunção de utilidade Cobb-Douglas é homotética.

(c) Calcule a função utilidade indireta e veri�que as propriedades demonstradas no Teorema 1.6 (pág.28 - JR)

R: a) x (p; w) =�

�wp1(�+�)

; �wp2(�+�)

�. (Dica: aplique a transformação monotônica crescente f (x) =

ln (x).)b) TMS = �x1

�x2. Tome uma reta arbitrária partindo da origem x1 = �x2. Então, para todos

os pontos sobre esta reta, a taxa marginal de substituição é �(�x2)�x2

= �� . Alternativamente

u(ax1; ax2) = (ax1)�(ax2)

�= (a)

�+�x�1x

�2 = (a)

�+�u(x1; x2) então a função Cobb-douglas é

homogênea de grau �+� e logo é homotética (pela de�nição alternativa de uma função homotéticacomo uma transformação crescente de uma função homogênea).

c)v(p; w) =h

�wp1(�+�)

i� h�w

p2(�+�)

i�i) Continuidade em <n++ �<+: Trivial.

ii) Homogeneidade de grau 0 em (p; w): v(tp; tw) =h

�:t:wt:p1(�+�)

i� h�:t:w

t:p2(�+�)

i�=h

�wp1(�+�)

i� h�w

p2(�+�)

i�= v(p; w)

iii) Estritamente crescente em y: @v@w (p; w) = (�+ �)w

�+��1h

�p1(�+�)

i� h�

p2(�+�)

i�> 0

iv) Decrescente em p: @v@pi(p; w) � 0; i = 1; 2:

v) Quaseconvexo em (p,w):Usar demonstração Mas-Colell. (Nesse caso a prova especí�ca �ca muito complicada. No entanto, em

questões de prova, caso a função especí�ca seja estabelecida, o objetivo é o cálculo explícito.)

vi) Identidade de Roy: @v@p1(p; w) = � �

p1

h�w

p1(�+�)

i� h�w

p2(�+�)

i�, @v@y (p; w) =

(�+�)w

h�w

p1(�+�)

i� h�w

p2(�+�)

i�,.

Logo, x1(p; w) = �wp1(�+�)

= �@v(p;y)=@p1@v(p;y)=@w .(análogo para x2)

Exercício 6 Suponha que um indivíduo vive dois períodos, possui uma dotação unitária em cada período epode poupar no primeiro instante, sendo remunerado à taxa r > 0. Suponha que as preferências pelo �uxode consumo no tempo são dadas por: U(C1;C2) = lnC1 + �lnC2, em que � é o fator de desconto e está nointervalo (0,1). Assuma que o preço do bem de consumo é 1nos dois períodos. Admita que o agente nãopode deixar dívida no segundo período:

a)Monte o problema do consumidor e encontre a poupança e o consumo ótimo em cada período.b) Qual o impacto de um aumento na taxa de juros sobre a poupança no primeiro período? Interprete.c) Agora, assuma que o agente possui dotação unitária somente no primeiro período. Qual o impacto de

uma variação na taxa de juros sobre a poupança? Qual fato econômico explica este comportamento? (dica:pense em termos de efeitos provocados por variações de preços).

R: 1. a) Monte o Lagrangeano de um problema de otimização convencional; note que há duas restriçõesorçamentárias, uma para cada período: C1 + S = 1 e C2 = 1 + S(1 + r). A forma mais simplesde resolver é substituindo as restrições na função objetivo e derivando com relação a S. Assumasolução interior, ou seja, suponha �(1+ r) > 1: Como resultado da C.P.O., temos que a expressãopara a poupança ótima é dada por: S = [�(1 + r) � 1]=[(1 + �)(1 + r)]:É trivial encontrar oconsumo ótimo em cada período.

b) Basta tomar a derivada parcial: @S=@r = (1 + �)=[(1 + �)(1 + r)]2 > 0c) Resolva o mesmo problema, apenas alterando a restrição do segundo período. Neste contexto,

sempre haverá poupança positiva, pois a utilidade marginal do consumo no segundo período é in�nita quandoo consumo é zero. A expressão para a poupança ótima é dada por: S = �=(1 + �). Tomando a derivadaparcial, vemos que uma variação da taxa de juros não afeta a poupança ótima. À primeira vista, isto parece

2

um paradoxo: dado um aumento na taxa de juros, temos um encarecimento do consumo presente em relaçãoao consumo futuro e, pelo efeito substituição, deveríamos observar um aumento da poupança. Contudo, aelevação dos juros faz com que um mesmo nível de poupança hoje propicie um maior consumo futuro, ou seja,há um efeito renda também. Como as preferências entre consumo intertemporal são convexas, o indivíduodeseja uma suavização do consumo no tempo; parte desse efeito renda positivo será consumido no presente.Logo, embora o efeito substituição faça com que o consumo corrente caia, o efeito renda faz com que eleaumente. No caso particular da função utilidade separável no tempo e na forma logarítimica, os dois efeitosse anulam completamente e, pois, não vemos variação na poupança nem no consumo corrente. Como o nívelde poupança se mantém inalterado e a taxa de juros é maior, o consumo no segundo período aumenta.O caso em que a taxa de juros cai possui resultados análogos.

Exercício 7 (Utilidade CES) Considere a função utilidade u(x) = (�1x�1 + �2x

�2)1=� ; �1; �2 � 0 ; x 2 R2++:

1. (a) Mostre que a elasticidade de substituição da função CES é constante. - A elasticidade de substi-tuição entre os bens x1 e x2 é de�nida por: �12(p; w) = �

@x1(p;w)=@x2(p;w)@(p1=p2)


(note quea de�nição do MWG é diferente da do Varian. Entretanto, ambas são equivalentes).

(b) Mostre que quando � = 1, as curvas de indiferença são lineares.

(c) Mostre qua quando �! 0, a função CES representa as mesmas preferências que a função utilidadeCobb-Douglas - u(x) = x�11 x

�22 (Coloquei esta questão não para avaliar a matemática, mas sim

para que vcs vejam a generalidade da função CES).

R: a) Para a CES, temos que x1(p;w)x2(p;w)

=�p1p2

� 1��1 ) x1(p;w)=x2(p;w)

p1=p2=�p1p2

� 1��1�1 ) @[x1(p;w)=x2(p;w)]

@(p1=p2)=

1��1

�p1p2

� 1��1�1

. Substituindo na de�nição, obtemos:

�@[x1(p;w)=x2(p;w)]@(p1=p2)


= � 1��1

�p1p2

� 1��1�1 �p1

p2

�� 1��1+1 ) �12(p; w) = 1

1��

b) � = 1 =) u(x) = �1x1+�2x2: Logo, as curvas de indiferença são funções a�ns na forma: x1 = A��2�1x2:

c) A representação de preferências é inalterada pela transformação monotônica u0(x) = u(x)(�1+�2)�� =h��1

�1+�2

�x�1 +

��2

�1+�2

�x�2

i1=�, então consideremos a partir de agora, sem perda de generalidade, �1+�2 =

1. Entãolim�!0 [�1x

�1 + �2x

�2]1=�

= lim�!0 exp1� ln (�1x

�1 + �2x

�2) = exp

hlim�!0

1� ln (�1x

�1 + �2x

�2)i(continuidade

da exponencial).Pelo teorema de L�Hopital lim�!0

1� ln (�1x

�1 + �2x

�2) = lim�!0

1

(�1x�1+�2x�2)(x�1�1 ln(x1) + x

�2�2 ln(x2)) =

�1 ln(x1) + �2 ln(x2) = lnx�11 x

�22 e logo lim�!0 [�1x

�1 + �2x

�2]1=�

= x�11 x�22 .

Exercício 8 Suponha que existam dois bens, x1 e x2, os quais são substitutos. Suponha que há dois vetoresde preços, p e q, tal que p1 > q1 e p2 < q2:Seja V(.,.) a função utilidade indireta e x(.,.) a escolha ótima doconsumidor. Encontre o sinal da seguinte expressão: px(q; y)� e(p; v(q; y)) em que y é a renda e e denota afunção despesa. Explique sua resposta.

A expressão é sempre não-negativa. Toda a informação a respeito da substitutibilidade dos bens e darelação entre os vetores de preços é completamente inócua para a resposta. A expressão por si só já contémtodos os elementos necessários para a solução do problema. Por de�nição, a cesta x(q; y) gera o nívelde utilidade v(q; y). Além disso, recorrendo aos conceitos de dualidade, sabemos que, aos preços q, a cestax(q; y) gera utilidade v(q; y) ao menor custo possível. Entretanto, aos preços p, embora x(q; y) ainda produzautilidade igual a v(q; y), não necessariamente o faz ao menor custo possível. Portanto, px(q; y) � e(p; v(q; y)):

3

Lista 2

1. Uma matrix3 simetrica n×n, M , e negativa semidefinida se para todo z ∈ Rn

for verdade que z′Mz ≤ 0. Seja u : Rn+ → R duas vezes diferenciavel e tal que

para todo x ∈ Rn+ a matriz

(

∂2u∂xi∂xj

(x))

i≤nj≤n

e negativa semidefinida. Entao u

e concava.

2. Mostre que se u : Rn+ → R duas vezes diferenciavel for concava entao

(

∂2u∂xi∂xj

(x))

i≤nj≤n

e negativa semidefinida para todo x ∈ Rn++. Mostre tambem

que uma matriz simetrica

A =

(

a b

b d

)

e negativa semidefinida se e somente se:

(a) a ≤ 0, d ≤ 0;

(b) ad − b2 ≥ 0.

3. Aplique o criterio do exercıcio anterior para v (x1, x2) = x1x2 e v1 (x1, x2) =√

(x1 + 1) (x2 + 1).

4. Considere a funcao utilidade

u (x, y) = x − 1 +

√

(1 − x)2 + 4x + 4y, (x, y) ∈ R2

+.

Verifique se a relacao de preferencias representada por u:

(a) e monotona;

(b) e monotona forte;

(c) e convexa (sug.: determine as curvas de indiferenca de u).

5. Verifique que a utilidade definida no exercıcio anterior nao e concava.

6. Seja f : R2 → R duas vezes diferenciavel e tal que grad f (x, y) >> 0 paratodo (x, y). Demonstre que se f e quase-concava entao para todo (x, y),

(

∂f

∂x

)2∂2f

∂y2− 2

∂f

∂x

∂f

∂y

∂2f

∂x∂y+

(

∂f

∂y

)2∂2f

∂x2≤ 0. (*)

3Este exercıcio melhora o resultado do exercıcio (17) acima.

4

(Sug. Para (x0, y0) use o teorema da funcao implıcita para obter g (x) talque u (x, g (x)) = u (x0, y0) para x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) para algum δ > 0 sufi-cientemente pequeno. A quasi-concavidade de f implica que g (·) e convexa.)Recıprocamente se (*) vale sempre entao f e quase-concava.

5



1 Alguns resultados sobre funcoes concavas

Lema 1. Seja A ⊂ R e f : A → R duas vezes diferenciavel em A. Entao, ∀x ∈ A

f ′′(x) = limh→0

f(x + h)− 2f(x) + f(x− h)

h2(1)

Demonstracao. Seja x ∈ A. Por L’Hospital, temos

limh→0

f(x + h)− 2f(x) + f(x− h)

h2= lim

h→0

f ′(x + h)− f ′(x− h)

2h

= limh→0

f ′(x + h)− f ′(x) + f ′(x)− f ′(x− h))

2h

= limh→0

1

2

(f ′(x + h)− f ′(x)

h+

f ′(x)− f ′(x− h)

h

)

=1

22f ′′(x) = f ′′(x)

Lema 2. Seja g : R→ R concava e duas vezes diferenciavel. Entao g′′(x) ≤ 0.

Demonstracao. Como g e concava, para quaisquer x, h ∈ R temos g(x) ≥ 12g(x + h) +

12g(x− h) ⇒ g(x + h)− 2g(x) + g(x− h) ≤ 0. Portanto, pelo Lema 1

f ′′(x) = limh→0

f(x + h)− 2f(x) + f(x− h)

h2≤ 0

Lema 3. Seja C convexo e u : C → R diferenciavel e concava em C. Entao, ∀x, y ∈ Ctemos Dxu(x)(y − x) ≥ u(y)− u(x).

Demonstracao. Para x = y a afirmativa vale trivialmente. Se x 6= y, para t ∈ (0, 1)temos:

u(x + t(y − x)) ≥ (1− t)u(x) + tu(y) ⇒u(x + t(y − x))− u(x)

‖t(y − x)‖ ≥ tu(y)− tu(x)

‖t(y − x)‖ =u(y)− u(x)

‖(y − x)‖Como u e diferenciavel, tomando t → 0, temos:

Dxu(x) · (y − x)

‖y − x‖ ≥u(y)− u(x)

‖(y − x)‖Logo,

Dxu(x) · (y − x) ≥ u(y)− u(x)

1

10 ξ

φ(t)

Figura 1: Exemplo de φ(t)

2 Gabarito dos exercıcios

Exercıcio 1.Sejam x, y ∈ Rn+. Defina φ : [0, 1] → R por:

φ(t) = u(tx + (1− t)y)− tu(x)− (1− t)u(y)

para t ∈ [0, 1]. Como u e duas vezes diferenciavel, temos que φ e duas vezes diferenciavel.Temos que u e concava se e somente se para todo x, y, φ (t) ≥ 0 para todo t ∈ (0, 1). Peloteorema do valor medio existe ξ ∈ (0, 1) tal que

0 = φ (1)− φ (0) = φ′ (ξ) .

A segunda derivada de φ,

φ′′ (t) = (x− y)′ D2u (tx + (1− t)y) (x− y) ≤ 0,∀t ∈ (0, 1) .

Portanto para t ≥ ξ, φ′ (t) ≤ 0. E para t ≤ ξ, φ′ (t) ≥ 0 (veja a Figura 1). Assim nointervalo [0, ξ] a funcao φ e crescente e no intervalo [ξ, 1] a funcao φ e decrescente. Logopara 0 ≤ t ≤ ξ, φ (t) ≥ φ (0) = 0. E para t ∈ [ξ, 1] , φ (t) ≥ φ (1) = 0. Terminando ademonstracao.

Exercıcio 2. A concavidade de u implica que

g (t) = u (y + tz)

e concava para t ≥ 0. Verifiquemos isto: Sejam s, t ≥ 0 e θ ∈ (0, 1) ,

g (θt + (1− θ) s) = u (y + (θt + (1− θ) s) z) =

u (θ (y + tz) + (1− θ) (y + sz)) ≥θu (y + tz) + (1− θ) u (y + sz) =

θg (t) + (1− θ) g (s) .

2

Portanto, pelo Lema 2, g′′ (t) ≤ 0 e em particular g′′ (0) = z′D2u (y) z ≤ 0.

Temos A n.s.d. ⇔ ∀(x1, x2) ∈ R2 temos:

[x1 x2

]A

[x1

x2

]≤ 0 ⇔ ax2

1 + 2bx1x2 + dx22 ≤ 0, ∀(x1, x2) ∈ R2

Temos 2 casos:

1. Se a = 0, temos A n.s.d. ⇔ 2bx1x2 +dx22 ≤ 0, ∀(x1, x2) ∈ R2 ⇔ b = 0. Logo Valem

(a) e (b).

2. Se a 6= 0, temos A n.s.d. se, e so se,

ax21 + 2bx1x2 + dx2

2 = a

(x2

1 +2b

ax1x2 +

(b

ax2

2

)2)

+ dx22 −

b2

ax2

2

= a

(x1 +

b

ax2

)2

+ x22

(d− b2

a

)≤ 0, ∀(x1, x2) ∈ R2

Mas esta ultima inequacao e valida se, e so se, a ≤ 0 e d− b2

a≤ 0 ⇔ a ≤ 0, d ≤ 0

e ad− b2 ≥ 0.

Exercıcio 6. Provemos um resultado intermediario que sera utilizado na demonstracao.

Lema 4. Seja f : R2 → R quase-concava e estritamente crescente no segundo argumento.Seja (x0, y0) ∈ R2, se existir δ > 0 e g : (x0 − δ, x0 + δ) → R tal que f(x, g(x)) =f(x0, y0), ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), entao g e convexa.

Demonstracao. Sejam x1, x2 ∈ (x0 − δ, x0 + δ) e r ∈ (0, 1). Temos rx1 + (1 − r)x2 ∈(x0 − δ, x0 + δ) e da definicao de g

f(rx1 + (1− r)x2, g(rx1 + (1− r)x2)) = f(x0, y0)

Mas temos f(x1, g(x1)) = f(x2, g(x2)) = f(x0, y0). Assim pela quase-concavidade de ftemos

f(rx1 + (1− r)x2, rg(x1) + (1− r)g(x2)) ≥ f(x0, y0)

Como f e estritamente crescente no segundo argumento, temos

g(rx1 + (1− r)x2) ≤ rg(x1) + (1− r)g(x2)

Logo g e convexa.

Sejam x0, y0 ∈ R2. Como f e continuamente diferenciavel e por hipotese grad f(x, y) À0, pelo Teorema da Funcao Implıcita existe uma funcao continuamente diferenciavelg : (x0 − δ, x0 + δ) → R tal que f(x, g(x)) = f(x0, y0), ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Derivandotemos

fx (x, g (x)) + fy (x, g (x)) g′ (x) = 0 e entao

g′ (x) = −fx (x, g (x))

fy (x, g (x)).

3

Portanto existe g′′ (x) pois f e duas vezes diferenciavel e g e diferenciavel.

∂f

∂x(x, g(x)) +

∂f

∂y(x, g(x))

∂g

∂x(x) = 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) (2)

Entao, derivando a identidade (e omitindo os argumentos)

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y∂x

∂g

∂x+

[∂2f

∂x∂y+

∂2f

∂y2

∂g

∂x

]∂g

∂x+

∂f

∂y

∂2g

∂x2= 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) (3)

(⇒) Dos Lemas 4 e 2 e como g′′ existe, temos que g′′(x) ≥ 0. Entao grad f(x, y) À 0e (3) implicam:

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y∂x

∂g

∂x+

[∂2f

∂x∂y+

∂2f

∂y2

∂g

∂x

]∂g

∂x+ ≤ 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) (4)

entao de (2) e (4) temos ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)

(∂f

∂x

)2∂2f

∂y2− 2

∂f

∂x

∂f

∂y

∂2f

∂x∂y+

(∂f

∂y

)2∂2f

∂x2≤ 0 (*)

Como (x0, y0) ∈ R2 e arbitrario, temos o resultado desejado.

(⇐)Antes de provar a volta vejamos um resultado intermediario.

Lema 5. Seja f : R2 → R diferenciavel com ∇f(x) À 0, ∀x ∈ R2. Sejam (x0, y0), (x1, y1) ∈R2 (x1 ≥ x0) tais que f(x0, y0) = f(x1, y1) = c. Entao existe uma unica funcaog : [x0, x1] → R tal que f(x, g(x)) = c, ∀x ∈ [x0, x1].

Demonstracao. Defina g(x0) = y0 e g(x1) = y1. Para z ∈ (x0, x1), como ∇f(x) À 0,temos que f(z, y1) < c < f(z, y0). Como f e contınua, pelo teorema do valor inter-mediario, existe um unico1 g(z) ∈ (f(z, y1), f(z, y0)) tal que f(z, g(z)) = c. Assimdefinimos g : [x0, x1] → R de forma unıvoca.

Seja (x0, y0) ∈ R2, basta mostrar que Y(x0,y0) = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) ≥ f(x0, y0)}e convexo. Considere o conjunto ∂Y(x0,y0) = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = f(x0, y0)}. Definaa = inf{x; (x, y) ∈ ∂Y(x0,y0)} e b = sup{x; (x, y) ∈ ∂Y(x0,y0)}2. Mas entao pelo Lema 5pode-se definir3 g : [a, b] → R tal que Y(x0,y0) = {(x, y) ∈ R2; y ≥ g(x)}4. Portanto bastamostrar que g e convexa5. Mas (*), ∇f(x) À 0 e (3 ) implicam que g′′(x) ≥ 0. Assim ge convexa, Y(x0,y0) e convexo e, portanto, f e quase-concava.

1f estritamente crescente implica a unicidade.2Pode ser o caso que a ou b e ∞ ou −∞.3Caso necessario defina g em um intervalo aberto em a e/ou em b.4Note que f(x, y) ≥ c ⇔ y ≥ g(x), pois f e estritamente crescente.5Exercıcio 12, aula de 13/01.

4

1. No exercício 20 da segunda lista qual relação de preferências tem bemde Gi¤en?

2. 2.E.1(página 23), 3.C.6, 3.D.5, 3.D.6 (a,b), 3.E.5, 3.G.4 (c,d), 3.G.15,3.G.16 (a,b)

3. Seja U : RL+ ! R homogênea de grau um. Então a utilidade indireta ea demanda são homogêneas de grau um na renda/riqueza.

4. Obtenha a demanda para a função utilidade u (x; y) =x+p�2+4y2

edetermine se tem bem inferior ou de Gi¤en.

1


Gabarito - Lista 3

Exercıcio 1. Na letra (c) do exercıcio 20, no caso em que px > w e px > py, a demandapelo bem y e:

y(w, px, py) =px − w

2px − pyNote que

∂y(w, px, py)

∂py=

px − w(2px − py)2 > 0

Logo y e um bem de Giffen. No caso em que px = py, ∃t ∈ [0, 1] t.q.

y(w, p) = t

(1− w

p

)=⇒ ∂y(w, p)

∂p=tw

p2

Se t > 0 temos que y tambem sera um bem de Giffen.

Exercıcio 3. Suponha que p� 0. Considere w > 0 e λ ∈ R++. Sejam v(p, w) e X(p, w)a funcao de utilidade indireta e a correspondencia de demanda, respectivamente. Bastaprovar que se x ∈ X(p, w) entao λx ∈ X(p, λw), pois neste caso u(x) = v(p, w) =⇒u(λx) = v(p, λw) ⇐⇒ λu(x) = v(p, λw) ⇐⇒ λv(p, w) = v(p, λw). Seja x? ∈ X(p, w),entao u(x?) ≥ u(y), ∀y ∈ Bp,w. Suponha por contradicao que λx? /∈ X(p, λw). Entaoexiste y ∈ Bp,λw tal que u(y) > u(λx?) = λu(x?) pela homogeneidade de grau 1 de u.Logo, temos que 1

λu(y) > u(x?) ⇐⇒ u( 1

λy) > u(x?). Como y ∈ Bp,λw, temos que

py ≤ λw e portanto p(

1λy)≤ w, implicando que 1

λy ∈ Bp,w, uma contradicao. Logo

X(p, w) e v(p, w) sao homogeneas de grau 1 na renda.

Exercıcio 4. Assuma w > 0 e p >> 0. Pelo Teorema dado em sala (K-T), se (x∗, y∗) ∈X(p, w) entao ∃ λ ≥ 0 tal que:

1

2+

x∗

2√

(x∗)2 + 4y∗≤ λpx

e1√

(x∗)2 + 4y∗≤ λpy

com igualdade caso x∗ > 0 e y∗ > 0, respectivamente. Analisemos por casos:

(i) Suponha que 12

+ x∗

2√

(x∗)2+4y∗< λpx =⇒ x∗ = 0 e y∗ = w

py(Lei de Walras). Ainda

1√4y∗

= λpy ⇐⇒ λ =1

2√pyw

=⇒ 1

2+

x∗

2√

(x∗)2 + 4y∗<

px2√pyw

⇐⇒

⇐⇒ 1

2<

px2√pyw

⇐⇒ pyw < p2x

1

Logo, se pyw < p2x =⇒ (x∗, y∗) = (0, w

py) e v(p, w) =

√wpy.

(ii) Suponha que 1√(x∗)2+4y∗

< λpy =⇒ y∗ = 0 e x∗ = wpx

(Lei de Walras). Ainda

1

2+

x∗

2√

(x∗)2 + 4y∗= λpx ⇐⇒

1

2+

1

2= λpx ⇐⇒ λ =

1

px

=⇒((x∗)2 + 4y∗

)−1/2<pypx⇐⇒ 1

x∗<pypx

⇐⇒ pxw<pypx⇐⇒ pyw > p2

x

Logo, se pyw > p2x =⇒ (x∗, y∗) = ( w

px, 0) e v(p, w) = w

px

(iii) Por fim, se as duas CPO’s valem com igualdade. Entao temos da CPO de y

1√(x∗)2 + 4y∗

= λpy ⇐⇒ λ =1

py

√(x∗)2 + 4y∗

Substituindo na CPO de x temos

1

2+

x∗

2√

(x∗)2 + 4y∗=

px

py

√(x∗)2 + 4y∗

⇐⇒

⇐⇒ 1

2=

1√(x∗)2 + 4y∗

[pxpy− x∗

2

]⇐⇒

⇐⇒ 1

4=

1

(x∗)2 + 4y∗

[(2px − pyx∗)2

4p2y

]⇐⇒

⇐⇒ p2y

[(x∗)2 + 4y∗

]= 4p2

x − 4pxpyx∗ + p2

y (x∗)2 ⇐⇒4y∗p2

y = 4p2x − 4pxpyx

∗ ⇐⇒ y∗p2y = p2

x − pxpyx∗

Isolando y∗ e usando a Lei de Walras, obtemos pyw = p2x. Note que se pyw = p2

x entao

y∗p2y = p2

x−pxpyx∗ ⇐⇒ y∗ =wpy − pxpyx∗

p2y

=w − pxx∗

py⇐⇒ y∗ =

w

py−pxpyx∗, que

e justamente a restricao orcamentaria. Logo, se pyw = p2x qualquer par na restricao

(reta) respeita as CPO’s. Ainda, qualquer par na restricao tem v(p, w) = wpx.

Portanto, temos: Se pyw < p2x =⇒ (x∗, y∗) = (0, w

py). Se pyw > p2

x =⇒ (x∗, y∗) =

( wpx, 0). Se pyw = p2

x =⇒ (x∗, y∗) ∈ FrBpw.

O conceito de normalidade/inferioridade dos bens e local. Portanto, a unica possibil-idade de haver um bem inferior aqui e no caso de pyw = p2

x e a demanda dos dois bensser positiva. Neste caso, se a renda aumenta na margem (no limite) teremos pyw > p2

x

e portanto a quantidade demandada do bem y cai (pra zero). Caso a renda diminua,ficaremos com pyw > p2

x e portanto a quantidade de y aumenta. Portanto, neste caso yse comporta como um bem inferior. Nao ha bens de Giffen.

2



Exercício 1 Um indivíduo escolhe lazer e consumo, e sua função utilidade é dada por u(c; l) = c�l1��. Elepossuiu ma dotação de 24 horas que podem ser alocadas entre trabalho e lazer (atenção: a utilidade estáde�nida para LAZER e consumo). O trabalho é remunerado em w unidades de consumo por hora trabalhada(antes de impostos). O salário é tributado com uma tarifa ad-valorem t, incidente somente sobre as horasde trabalho excedendo L 2 (0; 24).a) Escreva a restrição orçamentária do agente.b) Qual o nível ótimo de lazer e consumo.

Exercício 2 Suponha que as preferências determinada pessoa por viagens e aulas de piano possam serrepresentadas pela função utilidade abaixo:

1. u(v; p) = 100v + p3

(a) Por que o método do Lagrangeano não pode ser utilizado para resolver o problema deste consum-idor?

(b) Argumente que apenas um dos bens será consumido na solução do problema do consumidor (dica:observe o formato da função utilidade).

(c) De�na um bem inferior.

(d) Suponha que cada viagem custe R$200 enquanto cada aula de piano custe R$50. A estes preços,existe alguma renda para a qual um destes bens é inferior?

Exercício 3 Função Demanda Excedente

1. (a) a) Mostre que a demanda excedente é homogênea de grau zero.b) Mostre que a utilidade indireta gerada é quase-convexa

Exercício 4 Suponha que um trabalhador possui função de utilidade fracamente separável no consumo debens e no lazer, ou seja, U(v(l); h(x)); em que l 2 (0; 24) e x 2 <2+:O bem x1 é um bem normal enquanto obem x2 é um bem inferior. Suponha que, inicialmente, a legislação trabalhista determina que, se um agentedeseja trabalhar, tem de trabalhar por doze horas diárias, sendo remunerado em 10 reais por hora. (Admitaque o trabalhador escolhe trabalhar). Suponha agora que o governo reduz a jornada de trabalho e reduz opreço dos bens de consumo igualmente de tal sorte que mantém o poder de compra do trabalhador. O queocorre com o consumo relativo dos bens 1 e 2? Explique.

Exercício 5 (MWG 3.I.3) Considere uma mudança de um vetor de preços inicial p0 para um vetorde preços �nal p1 � p0 feita de tal maneira que apenas o preço do bem l é modi�cado. Mostre queCV(p0; p1; w) >EV(p0; p1; w) se o bem l é inferior.

Exercício 6 (MWG 3.I.5) Mostre que se u(x) é quase-linear em relação ao bem 1, então CV(p0; p1; w) =EV(p0; p1; w):[quase-linearidade em relação ao bem 1: U(x1; x2; :::; xn) = x1 + f(x2; :::; xn)]

Exercício 7 (Prova 2004) Responda Verdadeiro ou Falso justi�cando sua resposta.a) Uma pessoa está indiferente entre morar em duas cidades A e B. Se o preço do bem i é maior na

cidade A e todos os demais preços são iguais, então a pessoa necessariamente consumirá menos desse bemse estiver vivendo em A.b) Ainda considerando a pessoa da pergunta anterior. Supondo que em ambas as cidades ela só possa

trabalhar turnos �xos (ou seja, oferta de trabalho é �xa) então, a diferença percentual do consumo do bem ide uma cidade para outra será menor do que seria se pudesse ajustar as horas de trabalho se e somente selazer e o bem i são complementares.c) Se um bem é bem de Gi¤en, sua elasticidade Frish da demanda (com relação ao próprio preço) épositiva.

1

d) Você possui uma casa onde mora. Se o preço da casa aumenta você está melhor de vida (sua utilidadeaumenta).e) Você possui uma casa onde mora. Se o preço da casa diminui você está pior de vida (sua utilidade

diminui).

Exercício 8 (Prova 2005) Considere um agente cuja função de utilidade indireta é

v(p; y) = �+ (�+ �) log y � � log p1 � � log p2

onde � é uma constante.a) Ache as demandas marshallianas dos bens 1 e 2.b)Ache a função despesa e as demandas hicksianas dos bens.c) Como a utilidade marginal da renda varia como função de mudanças nos preços? Ache a demanda

Frisch.

2


Professor: Carlos E.L. da CostaMonitor: Vitor Farinha Luz

Exercício 1 Um indivíduo escolhe lazer e consumo, e sua função utilidade é dada por u(c; l) = c�l1��. Elepossuiu ma dotação de 24 horas que podem ser alocadas entre trabalho e lazer (atenção: a utilidade estáde�nida para LAZER e consumo). O trabalho é remunerado em w unidades de consumo por hora trabalhada(antes de impostos). O salário é tributado com uma tarifa ad-valorem t, incidente somente sobre as horasde trabalho excedendo L 2 (0; 24).a) Escreva a restrição orçamentária do agente.b) Qual o nível ótimo de lazer e consumo.

R: a)A restrição orçamentária do agente é:8<: c = w(24� l) , se 24� l 6 Lc = wL+ (1� t)w(24� l � L) , se 24� l > Lc > 0, l 2 (0; 24)

,

equivalente a:8<: c+ wl = 24w , se l > 24� Lc+ (1� t)wl = wL+ (1� t)w(24� L) , se l < 24� Lc > 0, l 2 (0; 24)

:

Restrição orçamentária.

b)A escolha de lazer ótimo ocorerá no interior de uma região de alíquota ((0; 24� L) ou (24� L; 24),regiões A ou B no grá�co) se, e somente se, essa fosse a escolha ótima se a restrição orçamentária

1

fosse a extrapolação linear da restrição orçamentária no ponto (os trechos tracejados), devido à quase-concavidade da utilidade.Então

l� 2 (0; 24�L) é ótimo para o problema em questão() l� é ótimo em�c+ (1� t)wl = wL+ (1� t)w(24� L)c > 0, l 2 (0; 24) (1),

e

l� 2 (24� L; 24) é ótimo para o problema em questão () l� é ótimo em�c+ wl = 24wc > 0, l 2 (0; 24) (2):

Vamos chamar de l1(w; t) e l2(w; t) as demandas das situações hipotéticas (1) e (2). Então

l1(w; t) =(1� �)(wL+ (1� t)(24� L))

(1� t)w , e

l1(w; t) =(1� �)24w

w= 24(1� �):

E a demanda por lazer é:

l(w; t) =

8<:l1(w; t) ,se l1(w; t) 2 (0; 24� L)l2(w; t) ,se l2(w; t) 2 (24� L; 24)24� L , caso contrário.

:

E o consumo �ca de�nido:

c(w; t) =

8<:wL+ (1� t)w(24� l1(w; t)� L) ,se l1(w; t) 2 (0; 24� L)w(24� l2(w; t)) ,se l2(w; t) 2 (24� L; 24)w(24� L) , caso contrário.

IMPORTANTE: As rendas virtuais para as situações A e B nesse caso seriam:

IA � twL;

IB � 0;

e o problema do consumidor poderia ser escrito como:

maxw;l

U(c; l) s.a.�c = (1� t)w(24� l) + IA ,se l 2 (0; 24� L)c = w(24� l) + IB ,se l 2 (24� L; 24):

(Como se a taxação fosselinear com a alíquota relevante)

(Note que a renda virtual é o quanto deve ser dado ao indivíduo, caso a tarifa fosse linear, para que eleescolhesse o mesmo nível de trabalho - e logo, lazer.) O que acontece com variações do nível de tarifa(dentro das regiões A, B e na quebra)?

Exercício 2 Suponha que as preferências determinada pessoa por viagens e aulas de piano possam serrepresentadas pela função utilidade abaixo:

1. u(v; p) = 100v + p3

(a) Por que o método do Lagrangeano não pode ser utilizado para resolver o problema deste consum-idor?

(b) Argumente que apenas um dos bens será consumido na solução do problema do consumidor (dica:observe o formato da função utilidade).

(c) De�na um bem inferior.

(d) Suponha que cada viagem custe R$200 enquanto cada aula de piano custe R$50. A estes preços,existe alguma renda para a qual um destes bens é inferior?

R: a) Note que u(.,.) é convexa. Assim, a solução encontrada via C.P.O. do Lagrangeano é um ponto demínimo e não um ponto de máximo.

b) Como u é convexa, temos que cestas extremas serão preferidas a cestas intermediárias.

c) Um bem é dito inferior se seu consumo se reduz a medida que a renda aumenta mantendo-se ospreços constantes (ver JR - pág. 54).

2

d) Se o consumidor gasta toda a sua renda em viagens, então v = w200 . Se ele gasta toda a renda em

aulas de piano, então v = w50 . Então, ele gastará toda sua renda em viagens se u

�w200 ; 0

�> u

�0; w50

�() w

2 >�w50

�3 () w < 250:

Analogamente, o consumidor gastará toda sua renda em aulas de piano se w > 250. Logo, paraw = 250, o consumo de viagens se reduz com um aumento na renda. Portanto, viagens é um beminferior para w = 250. (viagens é um bem inferior pois há uma variação de renda em que há reduçãoda demanda - na verdade, na renda 250 há indiferença - desse bem. No entanto para a de�nição comderivadas - @x(p;y)@y > 0 - não há o que falar, já que a função demanda é não derivável.)

Exercício 3 Função Demanda Excedente

a) Mostre que a demanda excedente é homogênea de grau zero.b) Mostre que a utilidade indireta gerada é quase-convexa

R: O problema da função demanda excedente é:

a

z(p) = argmaxu(x)

s:a:p:(x� �x) � 0

Note que multiplicando os preços por � > 0 a restrição não será alterada, portanto a solução doproblema também não será.

b Observe que basta mostrar que, sendo p1; p2 2 Rn; � 2 (0; 1) quaisquer e pt = �p1 + (1 � �)p2,V (pt; �x) � maxf V (p1; �x); V (p2; �x)g.Suponha que não, então a escolha aos preços pt (de�nida por xt) não é factível em nenhum dos preçosiniciais. Devemos ter, portanto:

p1:(xt � �x) > 0

p2:(xt � �x) > 0

De onde temos : pt:(xt � �x) > 0 uma contradição.

Exercício 4 Suponha que um trabalhador possui função de utilidade fracamente separável no consumo debens e no lazer, ou seja, U(v(l); h(x)); em que l 2 (0; 24) e x 2 <2+:O bem x1 é um bem normal enquanto obem x2 é um bem inferior. Suponha que, inicialmente, a legislação trabalhista determina que, se um agentedeseja trabalhar, tem de trabalhar por doze horas diárias, sendo remunerado em 10 reais por hora. (Admitaque o trabalhador escolhe trabalhar em ambas as situações). Suponha agora que o governo reduz a jornadade trabalho e reduz o preço dos bens de consumo igualmente de tal sorte que mantém o poder de compra dotrabalhador. O que ocorre com o consumo relativo dos bens 1 e 2? Explique.

R: Note a natureza do problema. O fato de um bem ser normal e o outro ser inferior é irrelevante para aresposta (queria ver se vcs dominaram o conceito de separabilidade fraca). Tome dois bens quaisquer

xi e xj . A taxa marginal de substituição entre estes bens é dada por@h(x)=@xi@h(x)=@xj

. O resultado prático

disto é que, dado um montante de renda a ser gasto nos bens de consumo, a escolha sobre quantoconsumir de cada bem depende apenas dos preços relativos dos bens dentro deste grupo (grupo dosbens de consumo). Como, por hipótese, não houve alteração nos preços relativos entre os bens (emboraa relação entre preço do lazer e preço dos bens de consumo tenha aumentado) e como a renda a ser gastacom os bens não variou, não ocorre nenhuma alteração nem no consumo relativo, nem no consumoabsoluto dos bens. O consumo de lazer, por sua vez, aumenta compulsoriamente.

Exercício 5 (MWG 3.I.3) Considere uma mudança de um vetor de preços inicial p0 para um vetorde preços �nal p1 � p0 feita de tal maneira que apenas o preço do bem l é modi�cado. Mostre queCV(p0; p1; w) >EV(p0; p1; w) se o bem l é inferior.

3

R: xl é inferior: @xl@y < 0

pl1 < pl0 ) u1 > u0

1. EV =p0lRp1l

hl(pl; p�l; u1)dp

l

CV =p0lRp1l

hl(pl; p�l; u0)dp

l

Pela dualidade (também usando que @xl@y < 0 e

@e(p;u)@u > 0)

hl(p; u0) = xl(p; e(p; u0)) > xl(p; e(p; u1)) = hl(p; u1)

Logo, CV>EV

Nota: As de�nições utilizadas foram as de MWG, o resultado é revertido para a de�nição utilizada nas notasde aula.

Exercício 6 (MWG 3.I.5) Mostre que se u(x) é quase-linear em relação ao bem 1, então CV(p0; p1; w) =EV(p0; p1; w):[quase-linearidade em relação ao bem 1: U(x1; x2; :::; xn) = x1 + f(x2; :::; xn)]

R: Tome o problema de minimização de gasto:

min x1 + p�1 � x�1sa u = x1 + f(x�1)

Derivando as CPOs (ignorando quaisquer restrições de não-negatividade):

�� = 1

pi = ��fi(x�); i 6= 1

Da primeira, usando a interpretação para �� dada pelo Teorema do Envelope, podemos perceber que�� = @e(p;u)

@u = 1: Logo, e(p,u) é linear em u e pode ser decomposta como:

e(p; u) = �(p) + u

Usando esta decomposição:

CV= e(p1; u1)� e(p1; u0) = �(p1) + u1 � �(p1)� u0 = u1 � u0

EV= e(p0; u1)� e(p0; u0) = �(p0) + u1 � �(p0)� u0 = u1 � u0

Logo, sob quase-linearidade, CV=EV.

Nota: Pela de�nição das notas de aula os sinais de CV e EV são trocados.

Exercício 7 (Prova 2004) Responda Verdadeiro ou Falso justi�cando sua resposta.

a) Uma pessoa está indiferente entre morar em duas cidades A e B. Se o preço do bem i é maior nacidade A e todos os demais preços são iguais, então a pessoa necessariamente consumirá menos desse bemse estiver vivendo em A.

R: Verdadeiro. A indiferença é o elemento chave do enunciado. Ela indica que estamos analisando ademanda ao manter-se a utilidade constante. Trata-se, portanto, da demanda hicksiana. Como ademanda hicksiana é sempre negativamente inclinada, sabe-se que o consumo do bem i será menor emA.

4

b) Ainda considerando a pessoa da pergunta anterior. Supondo que em ambas as cidades ela só possatrabalhar turnos �xos (ou seja, oferta de trabalho é �xa) então, a diferença percentual do consumo do bemi de uma cidade para outra será menor do que seria se pudesse ajustar as horas de trabalho se e somente selazer e o bem i são complementares.

R: Falso. De�na:

xc(p; w; l) = argmaxxU(x; l)

s:a: p � x � w(24� l)

(x(p; w); l(p; w)) = argmaxx;l

U(x; l)

s:a: p � x � w(24� l)

Então temos xi(p; w) = xci (p; w; l(p; w)) para todo bem i. Temos

@xi(p; w)

@pi=@xci (p; w; l(p; w))

@pi+@xci (p; w; l(p; w))

@l

@l(p; w)

@pi

Então

@xci (p; w; l(p; w))

@pi

pixci (p; w; l(p; w))| {z }

elasticidade condicional

� @xi(p; w)@pi

pixi(p; w)| {z }

elasticidade "normal"

= � @xci (p; w; l(p; w))

@l| {z }�SINAL INDEFINIDO (depende se o bem i é normal ou inferior)

� @l(p; w)@pi| {z }

<0 (complementares)

pixi(p; w)| {z }

>0

:

c) Se um bem é bem de Gi¤en, sua elasticidade Frish da demanda (com relação ao próprio preço) épositiva.

R: Falso. Sob a hipótese usual de que @2v(p; y)=@y2 < 0;temos que @xfi

@pi< @�i

@pi< 0:Mesmo que optássemos

por violá-la, teríamos que impor que @2v(p; y)=@y2 fosse su�cientemente maior que zero para garantir ainclinação positiva da demanda Frisch. De modo geral, esta condição não estaria satisfeita e a a�rmaçãoseria, portanto, falsa.

d) Você possui uma casa onde mora. Se o preço da casa aumenta você está melhor de vida (sua utilidadeaumenta).

R: Como o seu consumo anterior continua factível, devido à propriedade da casa, então a utilidade nãodecresce.

e) Você possui uma casa onde mora. Se o preço da casa diminui você está pior de vida (sua utilidadediminui).

R: Falso. Analogamente, a utilidade não decresce.

Exercício 8 (Prova 2005) Considere um agente cuja função de utilidade indireta é


onde � é uma constante.a) Ache as demandas marshallianas dos bens 1 e 2.

5

R: -@v=@p1@v=@y = x1 ) �y=p1(�+ �) = x1

-@v=@p2@v=@y = x2 ) �y=p2(�+ �) = x2

b)Ache a função despesa e as demandas hicksianas dos bens.

R: Pela dualidade, v(p,e(p,u¯))=u

¯. Logo,


é equivalente au¯= �+ (�+ �) log e(p; u

¯)� � log p1 � � log p2:

Isolando e(p,u¯), chega-se a:

e(p; u¯) = e

u¯-�

(�+�) :p�=(�+�)1 p

�=(�+�)2

c) Como a utilidade marginal da renda varia como função de mudanças nos preços? Ache a demandaFrisch.A utilidade marginal da renda é dada por @v(p;y)@y = (�+�)=y: Note que ela independe de preços, variando

apenas com a renda. Mantê-la constante, como faz-se para obter a demanda Frisch, é equivalente, portantoa manter a renda constante, como faz-se para obter a demanda marshalliana. Logo,

xfi (p; �) = x(p; y(�)) =�y

pi(�+ �)=

�

pi�

6

Lista 3

1. Calcule a demanda para as seguintes utilidades:

(a) u (x1, . . . , xn) = xα1

1 xα2

2 · · ·xαnn , x ≥ 0 sendo αi > 0, 1 ≤ i ≤ n;

(b) u (x, y) = min {x, y};(c) u (x, y) = min {x + 1, 2x + 2y};(d) u (x, y) =

√x +

√y.

2. Sejam u, v : RL+ → R utilidades contınuas. Consider a funcao

w (x) = min {u (x) , v (x)} .

Suponha que u e v satisfacam a propriedade

P ∈ {mon., mon. forte, quase-concavidade,concavidade} .

Determine se w (·) tambem satisfaz P .

3. Determine a utilidade indireta para as funcoes do exercıcio 1 (a,b,d).

4. No exercıcio 1 qual relacao de preferencia tem bem de Giffen?

5. 2.E.1, 3.C.6, 3.D.5, 3.D.6 (a,b), 3.E.5, 3.G.4 (c,d), 3.G.15, 3.G.16 (a,b)

6. Seja U : RL+ → R homogenea de grau um. Entao a utilidade indireta e a

demanda sao homogeneas de grau um na renda/riqueza.

7. Se a utilidade indireta tiver a forma v (p, w) = a (p)+ b (p) w quais restricoesdevemos impor nas funcoes a (·) e b (·)?

8. Obtenha a demanda Marshalliana para U (x, y) = x + 2√

y.

9. Verifique que u (x1, x2, . . . , xn) = k1 log (x1)+. . .+kn log (xn) e (estritamente)concava para x ∈ Rn

++ se k = (k1, . . . , kn) >> 0.

5



Exercıcio 1. Suponha w > 0 e p ∈ RL++.

a. Seja L = {1, . . . , n}.

Lema 1. Se x ∈ X(p, w), entao x� 0.

Demonstracao. Suponha por absurdo que x ∈ X(p, w) e existe j ∈ L tal que xj = 0.Entao u(x) = 0. Mas como w > 0, existe y ∈ RL

++ tal que py < w. Ainda u(y) > 0⇒ u(y) > u(x), contradicao.

Defina v : RL++ → R por

v(x) = ln (u(x)) =∑i∈L

αi ln(xi)

Temos que v e uma transformacao estritamente crescente de u em RL++, logo do

Lema 1 temos que v representa u na regiao relevante para a escolha. Como afuncao ln e concava1, e a soma de funcoes concavas e concava2, temos que v econcava.

Como v e concava, diferenciavel e monotona em RL++, temos pelo Teorema 5 que

uma condicao necessaria e suficiente para x ∈ X(p, w) e que exista λ ≥ 0 tal que3

(i) αi1xi≤ λpi, ∀i ∈ L

(ii) αi1xi≤ λpi, ∀i ∈ L, sempre que xi > 0.

Mas, pelo Lema 1 temos que xi > 0, ∀i ∈ L. Portanto de (ii), temos λ > 0.Tome i, k ∈ L, como valem as igualdades em (ii) e λ > 0, dividindo as respectivasequacoes temos

αixk

αkxi

=pi

pk

(1)

Temos tambem, como v e monotona em RL++, que vale a restricao orcamentaria

(R.O.) com igualdade4 (∑i∈L

pixi = w). Substituido (1) na R.O. encontramos

xk = xk(p, w) =αk

n∑j=1

αj

w

pk

para qualquer k ∈ L. Logo X(p, w) = {x(p, w)}.1Basta derivar.2Seja X convexo. Se f, g : X → R sao concavas, entao f + g e concava. Ainda se f : X → R e

concava, entao para qualquer a > 0, af e concava.3Note que nao pode ser o caso x ∈ RL

+\RL++, pelo fato argumentado no caso (1).

4Lei de Walras

1

b. Como u e contınua no conjunto compacto Bpw, entao existe (x?, y?) ∈ X(p, w). Temosx? = y?. Suponha por absurdo que nao, i.e., (s.p.g.) x? < y?. Tome r = (y?−x?)1

2.

Temos u(x? + r py

px, y? − r) > u(x?, y?) e

px

(x? + r

py

px

)+ py(y? − r) = pxx

? + pyy? ≤ w

pois X(p, w) ⊂ Bpw. Assim(x? + r py

px, y? − r

)∈ Bpw, contradicao pois (x?, y?) ∈

X(p, w). Logo x? = y?.Por outro lado, como u e monotona, temos que no otimo a R.O. vale com igualdade,entao

pxx? + pyy

? = w ⇒ x? = y? =w

px + py

Logo X(p, w) ={(

wpx+py

, wpx+py

))}

.

c. Como Bpw e compacto entao existe (x?, y?) ∈ X(p, w). Alem disso como u e monotona,vale a Lei de Walras. Facamos a analise em alguns casos5:

(1) w ≥ px ⇒ (x?, y?) = ( wpx, 0).

De fato, suponha por contradicao que y? > 0 ⇔ x? < wpx

. Portanto, comowpx≥ 1, temos que 2 w

px≥ w

px+ 1 > x? + 1 ≥ u(x?, y?), contradicao, pois ( w

px, 0)

e factıvel.

(2) Se w < px. Temos 3 sub casos:

(i) px < py ⇒ (x?, y?) = ( wpx, 0)

De fato, suponha por absurdo que y? > 0. Tome x = x? + py

pxy?. Temos

x > x? e x > x? + y? pois py

px> 1. Logo u(x, 0) > u(x?, y?), contradicao.

(ii) Se px > py, temos x? + 1 = 2x? + 2y?. Suponha por contradicao quex? + 1 > 2(x? + y?). Como px > py, temos que existe r ∈ (0, x?), (x, y) =(x?−r, y?+r px

py) tal que u(x, y) > u(x?, y?), contradicao. Agora se x?+1 <

2(x? + y?), entao como x? < 1, temos y? > 0. Assim existe r ∈ (0, y?) talque se (x, y) = (x? + py

pxr, y? − r), entao u(x, y) > u(x?, y?), contradicao.

Logo, por esta igualdade e usando a Lei de Walras, temos (x?, y?) =(2w−py

2px−py, px−w

2px−py

).

(iii) Se px = py = p, entao (x?, y?) ∈ A, onde

A =

{(x, y) ∈ R2

+; (x, y) = r

(2w − pp

,p− wp

)+ (1− r)(w

p, 0), r ∈ [0, 1]

}Mas A se encontra sobre a fronteira da restricao orcamentaria e o agente eindiferente entre qualquer cesta pertencente a A. De fato 2w−p

pp+ p−w

pp =

w e wpp = w o que implica que se (x, y) ∈ A, entao px+py = w. Por outro

5Faca o grafico das curvas de indiferenca.

2

lado se (x, y) ∈ A entao existe t ∈ [0, 1] tal que

(x, y) = t

(2w − pp

,p− wp

)+ (1− t)(w

p, 0) =

=

[t

(w

p− 1

)+w

p, t

(1− w

p

)]Entao

u(x, y) = min{t(w

p− 1

)+w

p+ 1, 2t

(w

p− 1

)+ 2

w

p+ 2t

(1− w

p

)}

= min{t(w

p− 1

)+w

p+ 1, 2

w

p} = 2

w

p

pois wp< 1. Quero mostrar que X(p, w) = A. Como u e monotona, basta

verificar que para (z1, z2) ∈ R2+ tais que pz1 + pz2 = w e z1 <

2w−pp

, entao

u(z1, z2) < 2wp. Mas, se z1 <

2w−pp

, entao z1 + 1 < 2w−pp

+ 1 = 2wp

. Logo

u(z1, z2) <2wp

. Portanto

X(p, w) =

{(x, y) ∈ R2

+; (x, y) = r

(2w − pp

,p− wp

)+ (1− r)(w

p, 0), r ∈ [0, 1]

}

Exercıcio 2. Vale para monotonicidade e monotonicidade forte6

Quase-concavidade: Sejam x, y ∈ RL+ e r ∈ (0, 1). Entao

w(rx+ (1− r)y) = min{u(rx+ (1− r)y), v(rx+ (1− r)y)} ≥≥ min{min{u(x), u(y)},min{v(x), v(y)}} =

= min{min{u(x), v(x)},min{u(y), v(y)}} =

= min{w(x), w(y)}

Assim w e quase-concava.

Concavidade: Sejam x, y ∈ RL+ e r ∈ (0, 1). Entao

w(rx+ (1− r)y) = min{u(rx+ (1− r)y), v(rx+ (1− r)y)} ≥≥ min{ru(x) + (1− r)u(y), rv(x) + (1− r)v(y)} ≥≥ rmin{u(x), v(x)}+ (1− r) min{u(y), v(y)}

Logo w e concava.

Exercıcio 4. O bem y no item (c) para w < px e px > py.

Exercıcio 6. Suponha que p� 0. Considere w > 0 e r ∈ R++. Sejam v(p, w) e X(p, w)a funcao de utilidade indireta e a correspondencia de demanda, respectivamente. Basta

6Pq esse resultado nao vale para as funcoes dos itens 1.b e 1.c (monotonicidade forte) ? Elas nao saocombinacoes de funcoes fortemente monotonas.

3

provar que se x ∈ X(p, w) entao rx ∈ X(p, rw), pois neste caso v(p, rw) = u(rx) =ru(x) = rv(p, w). Seja x? ∈ X(p, w), entao u(x?) ≥ u(y), ∀y ∈ Bp,w. Suponha porabsurdo que rx? /∈ X(p, rw). Entao existe z ∈ Bp,rw tal que u(z) > u(rx?). Como u ehomogenea de grau 1, temos que u

(1rz)> u(x). Mas p1

rz ≤ 1

r(rw), assim 1

rz ∈ Bp,w,

contradicao. Logo a correspondencia de demanda e a funcao de utilidade indireta saohomogeneas de grau 1.

4

Microeconomia I - 2010

Lista de Exercícios 4

1. 5.B.2, 5.B.3, 5.B.5, 5.B.6(b,c,d), 5.C.2, 5.C.6, 5.C.8, 5.C.9, 5.C.10,5.D.4, 5.AA.4

2. A soma de dois conjuntos fechados pode não ser fechada. Veri�queque X = X1 + X2 não é fechado se X1 = {(x, 0) : x ≤ 0} e X2 ={(x, y) : xy ≥ 1}.

1


Gabarito - Lista 4

Exercıcio 2. Primeiro provarei que X1 e X2 sao fechados. Seja (xn, 0) ∈ X1 para todon ∈ N t.q. (xn, 0) → (x, 0). Logo xn ≤ 0 e passando o limite temos que x ≤ 0. Logo,(x, 0) ∈ X1. Da mesma forma, seja (xn, yn) ∈ X2 t.q. (xn, yn) → (x, y). Como temosxnyn ≥ 1, tomando o limite temos xy ≥ 1 e portanto (x, y) ∈ X2.

Sejam as sequencias (−n, 0) ∈ X1 e (n, 1n) ∈ X2. Temos entao que (−n, 0) + (n, 1

n) =

(0, 1n) ∈ X e, evidentemente (0, 1

n) → (0, 0). Suponha por contradicao que (0, 0) ∈ X.

Logo ∃(x, 0) ∈ X1 e (z, y) ∈ X2 t.q. (x, 0) + (z, y) = (0, 0) implicando que y = 0 eportanto zy = 0 < 1, uma contradicao com o fato de (z, y) ∈ X2. Portanto X = X1 +X2

nao e fechado.

1


Professor: Carlos E.E.L. da CostaMonitor: Vitor Farinha Luz

Exercício 1 Antes de casar, a esposa possuia preferências que poderiam ser representadas por v1(x1) e oesposo por v2(y2): Suponha que as preferências do casal possam ser representadas pela seguinte função deutilidade:

v1(x1) + �v2(y2);

em que x1 = (x11; :::; x1n) e y2 é um escalar. Isto é, o esposo consome 1 bem só, enquanto que a esposaconsome n. Suponha que v1() e v2() sejam estritamente crescentes. O casal está sujeito a seguinte restriçãoorçamentária: p1x1 + qy2 � m: Mostre que um bem consumido pela esposa será substituto ao ( único) bemconsumido pelo esposo se e só se fosse um bem superior anteriormente ao casamento.

Exercício 2 (Prova 2005) Um indivíduo tem preferências sobre duas "commodities" (a,b) representadas por

� log za + (1� �) log zb

onde zi; i = a; b; denota a quantidade consumida da "commodity" i.Infelizmente, as "commodities" não são diretamente comercializáveis, mas podem ser adquiridas por meio

da compra de bens. Cada unidade do bem 1 contém �a1 unidades da commodity a e �b2 unidades da commodity

b. Já para o bem 2, as quantidades de commodities são �a2 e �b2:

a) Sendo p1 e p2 os preços dos bens 1 e 2, respectivamente, monte o problema de maximizaçãoi doindivíduo supondo que sua renda é y.b) Ache a função demanda dos bens 1 e 2. Qual o preço relativo das duas commodities? Qual a demanda

das commodities em função dos preços dos bens 1 e 2?c) Suponha que um terceiro bem, que contenha as quantidades �a3 e �

b3 das das commodities a e b,

respectivamente, esteja disponível. Qual preço deste bem (como função de p1 e p2) garante que todos os trêsbens possam ser demandados em quantidades positivas pelo agente?

Exercício 3 (Prova 2005) Dizemos que as escolhas dos agentes satisfazem ao axioma fraco das preferênciasreveladas sempre que para todo par distinto de cestas x0(escolhida aos preços p0) e x1(escolhida aos preçosp1) tivermos

p0x1 � p0x0 ) p1x0 > p1x1

Traduzindo: se x0 foi escolhida quando x1 era viável, então se x1 for escolhida é porque x0 não é viável.Mostre que se as escolhas satisfazem ao axioma fraco das preferências reveladas, então a demanda com-

pensada é negativamente inclinida.(Dica: Basta mostrar que (p1 � p0)(x1(p1; p1x0)� x0) � 0 usando o fato de que vale o Axioma Fraco).

Exercício 4 (MWG 4.B.1) Prove que se as preferências admitem funções de utilidade indireta com a formapolar de Gorman com o mesmo b(p) para todos agentes, ou seja,

vi(p; w) = ai(p) + b(p)wi;

então o conjunto de consumidores exibe caminhos de expansão da renda retos e paralelos. Mostre tambémque estas preferências admitem funções despesa da forma ei(p; ui) = c(p)ui + di(p):

Exercício 5 Resolva MWG 4.D.1

Exercício 6 (Prova 2004) Uma pessoa tem utilidade de�nida sobre um vetor x de bens e lazer l, represen-táveis por u (x,l) . Seja p o vetor de preços dos bens, w o salário e l a dotação total de horas do agente.Suponha que o governo resolva tributar a renda do agente a uma alíquota �xa � , de tal maneira que o saláriolíquido do agente seja w(1 - � ) .a) Escreva a restrição orçamentária do agente.b) Mostre que existe um sistema de tributação equivalente (no sentido de gerar as mesmas escolhas e

o mesmo bem-estar) onde a renda do trabalho não é tributada mas somente os bens são. Relacione esseresultado com a homogeneidade das funções utilidade indireta e demanda.

1

c) A imposição do tributo � aumenta ou diminui a oferta de trabalho supondo que o lazer é normal [dica:use a equação de Slutsky]?d) Suponha que o governo trans�ra de volta para as pessoas todo o recurso arrecadado como um pagamento

�xo B (não dependente da renda do trabalho individual). A oferta de trabalho é igual ao caso em que não háintervenção do governo (B = 0, � = 0)? [Não precisa formalizar, argumentação verbal é su�ciente.]

2

Gabarito Lista 4(questões de agregação)Prof.: Carlos Eugênio

Monitor: Vitor Farinha Luz

Exercício 1 (MWG 4.B.1) Prove que se as preferências admitem funções deutilidade indireta com a forma polar de Gorman com o mesmo b(p) para todosagentes, ou seja,

vi(p; w) = ai(p) + b(p)wi;

então o conjunto de consumidores exibe caminhos de expansão da renda retose paralelos. Mostre também que estas preferências admitem funções despesa daforma ei(p; ui) = c(p)ui + di(p):

Solução 1 Usando a identidade de Roy:

xi(p; wi) = �@v=@pi@v=@wi

= �@ai(p)=@pi + @b(p)=@piwib(p)i

= �@ai(p)=@pib(p)

� 1

b(p)

@b(p)

@pwi

(o caminho de expansão da renda será, portando, uma reta. Apenas o interceptomudará entre indivíduos diferentes.)Para a segunda parte da questão devemos usar dualidade, temos vi(p; ei(p; u)) =u: Substituindo na equação da utilidade indireta,

ui = ai(p) + b(p)ei(p; ui):

Rearrumando:

ei(p; ui) = �ai(p)

b(p)+

1

b(p)ui:

Agora basta renomear as expressões, de�nindo c(p) = 1b(p) e di(p) = �

ai(p)b(p) para

chegarmos à forma desejada.

Exercício 2 Resolva MWG 4.D.1

Solução 2 Tome os dois problemas, com suas respectivas funções-valor:

v(p; w) = max(w1;:::;wI)W (v1(p; w1); :::; vI(p; wI)) (P1)

sa w �Xi

wi

v(p; w) = max(x1;:::;xI)

W (u1(x1); :::; uI(xI)) (P2)

sa w � pXi

xi

1

Tome (w1; :::; wI) 2 argmax (P1) : Seja x�i 2 argmaxxi

�ui(xi)s.a. p � xi � wi

.

Então,

px�i � wi ) pX

x�i �X

wifwigIi=1 factível em (P1)

� w:

Logo, (x�1; :::; x�I) é factível em (P2) ) v(p; w) � W (u1(x

�1); :::; uI(x

�I)) =

W (v1(p; w1); :::; vI(p; wI)) = v(p; w): Ou seja, v(p; w) � v(p; w):Por outro lado, tome (x1; :::; xI) 2 argmax(P2): Seja wi = p � xi, para i =

1; :::; I. Da de�nição de v(p; wi); v(p; wi) � u(x1) 8i eIPi=1

wi =IPi=1

p � xi =

p �IPi=1

xi � w: Logo, segue que

v(p; w) �W (v(p; w1); :::; vI(p; wI)) �W (u(x1); :::; u(xI)) = v(p; w):

Conclui-se, então, que v(p; w) = v(p; w). Como (x�1(p; w1); :::; x�I(p; wI)) é a

distribuição que, de maneira implícita nas decisões individuais, resolve (P1)atingindo v(p; w) = v(p; w), ela também resolverá (P2). Ou seja, um planejadorcentral pode, tanto resolver o problema completo de distribuição de bens quantodistribuir apenas renda e deixar a alocação para os indivíduos.

2

Lista 41

1. (Separabilidade Fraca) Seja u : RL+ → R funcao de utilidade. Suponha

que existem v : R2 → R, φ1 : RL1+ → R e φ2 : RL2

+ → R diferenciaveis2

e tais que L1 ∪ L2 = L, L1 ∩ L2 = ∅ e3

u(x, y) = v(φ1(x), φ2(y))

para todo (x, y) ∈ RL1 × RL2 .

(a) Suponha p ∈ RL++ e uma solucao interior para o problema do

consumidor4.

i. Sejam k1, k2 ∈ L1. Calcule a taxa marginal de substituicaoentre os bens k1 e k2.

ii. Sejam k ∈ L1 e l ∈ L2. Qual a taxa marginal de substituicaoentre os bens k e l ? Interprete a diferenca do resultado obtidoaqui e o do item anterior.

(b) Considere agora o seguinte problema de minimizacao de despesa:

minxRLi

+

pi · x

s.a. φi(x) ≥ ai

onde a ∈ φi(RLi+ ) e pi ∈ RLi

++, para i ∈ {1, 2}. Seja µi(pi, ai) omultiplicador de Lagrange associado ao problema.Supondo solucao interior, qual a interpretacao economica do mul-tiplicador de Lagrange em um problema de minimizacao de des-pesa ? Entao como podemos interpretar µi(pi, ai) ?

(c) Sejam ei(pi, ai) e hi(pi, ai) as funcoes despesa e demanda hicksi-ana5 associadas ao problema do item (b). Considere o seguinteproblema:

max(a1,a2)∈φ1(RL1

+ )×φ2(RL2+ )

v(φ1(h1(p1, a1))), φ2(h2(p2, a2))

)s.a. e1(p1, a1) + e2(p2, a2) ≤ w

1Enunciado do Exercıcio 1, item (d) subitens (v)e (vi) foram alterados.2∇v � 0, ∇φ1 � 0 e ∇φ1 � 0.3Nenhum dos resultados abaixo depende da hipotese de termos apenas 2 grupos, veri-

fique se achar necessario.4Considere a renda w como dada.5Assuma que e uma funcao.

1

i. Mostre que este problema e equivalente ao problema usual doconsumidor6.

ii. Qual a principal diferenca (na apresentacao) entre este pro-blema e o problema de um consumidor escolhendo entre 2bens ? Esta diferenca guarda qual relacao com µi(pi, ai) ?

iii. Mostre que se φi, i ∈ {1, 2}, for homotetica, entao temos oproblema de um consumidor escolhendo entre dois bens. Dea intuicao para que esse resultado ocorra.

iv. De o exemplo de uma situacao na qual pode ser interessantereduzir a dimensionalidade do espaco de bens.

(d) Considere agora o seguinte problema de escolha:

maxxRLi

+

φi(x)

s.a. pi · xi ≤ yi

onde yi > 0. Sejam vi(pi, yi) e xi(pi, yi) as funcoes de utilidade in-direta e de demanda, respectivamente. Nos ıtens abaixo suponhadiferenciabilidade das funcoes envolvidas sempre que necessario.

i. Escreva o problema do consumidor como uma escolha de ren-das alocadas para os bens dos grupos L1 e L2. Suponha queo argmax e definido pela funcao y(p, w).

ii. Mostre que x(p, w) = (xi(pi, yi(p, w)))2i=1, onde x(p, w) e a

demanda marshalliana do problema associado a maximizar usujeito ao preco p e a renda w. Note que a demanda de umbem j ∈ L1 so depende do preco de k ∈ L2 atraves da rendaalocada para o grupo de bens L1.

iii. Sejam j, k ∈ L1. Utilizando os resultados anteriores, mostreque temos uma equacao analoga a equacao de Slutsky emtermos das funcoes xi(pi, yi), yi(p, w) e hi(pi, ai).

iv. Agora se j ∈ L1 e k ∈ L2, qual e a equacao analoga a equacaode Slutsky ?

v. Sejam j ∈ L1 e k ∈ L2. Defina gi(p, u) = yi(p, e(p, u)). Mostreque

∂x1,j(p1, g1(p, u))

∂y1

/∂g2(p, u)

∂pj

nao depende de j.

6i.e., mostre que existe uma bijecao entre as solucoes dos dois problemas.

2

vi. Mostre que se um bem j ∈ L1, normal no grupo L17 , e

substituto (estrito) de um bem normal k ∈ L2, entao o bemj e substituto de todos os bens normais no grupo L2.

2. Obtenha a demanda para a funcao utilidade u (x, y) =x+√×2+4y

2e

determine se tem bem inferior ou de Giffen.

3. Considere a funcao U definida na prop. 3.H.1,

U (x) := sup {u; p · x ≥ e (p, u) , ∀p >> 0} .

Mostre que U e fracamente monotona8 e quase-concava.

4. Se ν (p, w) tem as propriedades de uma funcao utilidade indireta (verprop. 3.D.3) mostre que a funcao

U (x) = inf {v (p, p · x) ; p >> 0}

e fracamente monotona, quase-concava e νU (p, w) = v (p, w).

5. Seja v (p, w) = w (pr1 + pr2)− 1

r . Verifique essa funcao tem as proprieda-des de uma utilidade indireta e encontre uma funcao utilidade U cujautilidade indireta seja ν.

7Considere a demanda intragrupo definida no item (d).8Isto quer dizer x >> y implica U (x) ≥ U (y) .

3


Gabarito - Lista 4

Exercıcio 1.

a. Seja z = (x, y) ∈ RL++.

(i) Temos:

TMSk1,k2 =∂k1u(z)

∂k2u(z)=∂k1φ1(x)

∂k2φ1(x)(1)

No otimo MRSk1,k2 = pk1/pk2 .

(ii) Temos:

TMSk,l =∂ku(z)

∂lu(z)=∂1v(φ1(x), φ2(y))

∂2v(φ1(x), φ2(y))

∂kφ1(x)

∂lφ2(y)(2)

No otimo MRSk,l = pk/pl. Sem impor a condicao de primeira ordem, no casoanalisado em (i) a taxa marginal de substituicao entre os bens k1, k2 ∈ L1 naodepende das quantidades consumidas dos bens do grupo L2. Ja em (ii) a TMSpode depender das quantidades consumidas de todos os bens (como sempre everdade no caso geral do problema de um consumidor).

Mas, ao se impor a condicao de primeira ordem do problema de maximizacaoa (1), a demanda por bens do grupo L1 (ou, simetricamente, do grupo L2),fica determinada se o total de renda gasta no consumo dos bens do grupo L2

(respectivamente, L1) for dado. Assim, podemos interpretar que ha uma certaseparacao entre os problemas de escolha em cada um dos grupos de bens.

b. Seja ei(pi, ai) a funcao despesa associada ao problema. Entao pelo Teorema do Enve-lope, temos:

µi(pi, ai) =∂ei(pi, ai)

∂ai

Assim, em um problema de minimizacao de despesa, o multiplicador de Langrangenos da o gasto marginal necessario para aumentar o nıvel de utilidade do consumi-dor. Podemos interpreta-lo entao como o preco sombra1 associado a utilidade.

Neste caso especıfico, note que temos que o nıvel de utilidade do consumidor ev(a1, a2), entao µi(pi, ai) pode ser intrerpretado como o preco sombra de ”utilida-des”de bens do grupo i ∈ {1, 2}.

c. Este exercıcio se baseia na teoria de ”Orcamentacao em dois estagios”2.

(i) Seja (a?1, a?2) ∈ φ1(RL1

+ ) × φ2(RL2+ ) solucao deste problema. Seja (x?, y?) =

(h1(p1, a?1), h1(p1, a

?1)). Suponha por absurdo que (x?, y?) nao e solucao do pro-

blema do consumidor. Entao existe (x, y) ∈ Bp,w tal que u(x, y) > u(x?, y?).Tome (a1, a2) = (φ1(x), φ2(y)). Entao

∑i ei(pi, ai) ≤ p1x + p2y ≤ w e

1Shadow price.2Two stage budgeting.

1

v(h1(p1, a1), h2(p2, a2)) = v(a1, a2) > v(a?1, a?2)

3, contradicao. Logo (x?, y?)e solucao do problema do consumidor.

Por outro lado, se (x?, y?) ∈ RL+ e solucao do problema do consumidor, de-

fina (a?1, a?2) = (φ1(x

?), φ2(y?)). Temos u((x?, y?)) ≥ v(φ1(x), φ2(y)), ∀(x, y) ∈

Bp,w, entao v(a?1, a?2) ≥ v(a1, a2) para qualquer (a1, a2) ∈ φ1(RL1

+ ) × φ2(RL2+ )

tal que (h1(p1, a1), h2(p2, a2)) ∈ Bp,w. Mas, como v e estritamente crescente, se(b1, b2) ∈ φ1(RL1

+ )×φ2(RL2+ ) e v(b1, b2) > v(a?1, a

?2) = u(x?, y?) entao

∑i ei(pi, bi) >

w. Logo (a?1, a?2) e solucao do problema.

Portanto a funcao φ = (φ1, φ2) : RL+ → φ1(RL1

+ )× φ2(RL2+ ) define uma bijecao

entre os conjuntos solucao dos dois problemas.

(ii) Neste problema os precos dos ”bens”a1 e a2 podem depender das quantidadesconsumidas. Isto ocorre pois µi(pi, ai) pode depender de ai. Note que pelo 1o

Teorema fundamental do Calculo4:

ei(pi, ai) =

∫ ai

inf{φi(RLi+ )}

µi(pi, s)ds

Se µi(pi, s) nao variar com s, isto e se for possıvel escrever µi(pi, s) = µi(pi),∀s;entao ei(pi, ai) = µi(pi)[ai − inf{φi(RLi

+ )}]. Terıamos entao o problema de umconsumidor escolhendo entre dois bens sujeito a uma restricao orcamentarialinear.

(iii) Note que no otimo temos

∂kφi(xi)µi(pi, ai) = pk

para qualquer k ∈ Li. Mas como φi representa preferencias homoteticas, entaoφi e homogenea de grau 1. Entao5

µi(pi, ai)∑k∈Li

∂kφi(xi)xk =∑k∈Li

pkxk

µi(pi, ai)ai = ei(pi, ai)

Usando que no caso em que φi e homogenea de grau 1 temos inf{φi(RLi+ )} = 0,

temos

µi(pi, ai)ai =

∫ ai

0

µi(pi, s)ds

para qualquer ai. Mas a unica solucao desta equacao diferencial e a solucaoconstante. Logo pelo ıtem anterior podemos concluir que pode-se interpretaro problema como o de escolha entre dois bens.

Este resultado ocorre pois com preferencias homoteticas a utilidade marginalda renda e constante com relacao a renda. Assim, o ganho marginal de compraruma unidade de ”utilidade”adicional de um grupo nao varia com a quantidadeja comprada desta ”utilidade”.

3Como φi e estritamente crecente, pela proposicao 3.E.3, temos φi(hi(pi, ai)) = ai.4Usei ei(pi, inf{φi(RLi

+ )}) = 0.5Note que se f : RL

+ → R e homogenea de grau 1 e diferenciavel, entao f(x) = ∂r[f(rx)] = Dxf(rx)·x⇒ f(x) = Dxf(x) · x.

2

(iv) Em um modelo de escolha intertemporal, poderıamos pensar os grupos debens como bens disponıveis em diferentes perıodos. Pode ser interessanteneste caso criar uma variavel que possamos chamar de ”consumo”, como sefaz usualmente em macroeconomia.

Por outro lado, a propriedade de separabilidade pode ser importante paraque possamos tratar de forma relativamente independente algumas decisoesdo consumidor. Por exemplo, em escolha sobre incerteza um investidor tem deescolher um portfolio de ativos com retornos incertos e sua cesta de consumo.Pode ser interessante considerar que o investidor decide em um estagio entre oquanto consumir e o quanto investir ; e, no outro, decide quais ativos deseja.

d. (i) O problema e:

max(y1,y2)>0

u(x1(p1, y1), x2(p2, y2)) (3)

s.a. y1 + y2 ≤ w

(iii) De fato, basta replicar a demonstracao feita em sala e temos:

∂pkxl(p, w) = ∂pk

h1,l(p1, v1(p1, y1(p, w)))− ∂y1x1,l(p1, y1(p, w))∂pky1(p, w) (4)

(iv) Neste caso, temos:

∂pkxl(p, w) = ∂y1x1,l(p1, y1(p, w))∂pk

y1(p, w) (5)

(v) Sejam j ∈ L1 e k ∈ L2. Temos a identidade hj(p, u) = xj(p, e(p, u)) =xj(p1, g1(p, u)). Logo ∂pk

hj(p, u) = ∂y1xj(p1, g1(p, u))∂pkg1(p, u). Mas, pela

simetria da matriz de slutsky6 temos ∂pkhj(p, u) = ∂pj

hk(p, u). Entao temos∂y1xj(p1, g1(p, u))∂pk

g1(p, u) = ∂y2xk(p2, g2(p, u))∂pjg2(p, u). Logo

∂y1xj(p1, g1(p, u))

∂pjg2(p, u)

=∂y2xk(p2, g2(p, u))

∂pkg1(p, u)

=1

κ

onde κ e constante pois a igualdade vale para qualquer j ∈ L1 e qualquerk ∈ L2.

(vi) Note que temos:

∂pkhj(p, u) = ∂y1xj(p1, g1(p, u))∂pk

g1(p, u)

= κ (∂y1xj(p1, g1(p, u))∂y2xk(p2, g2(p, u)))

Por definicao um bem e normal no grupo Li se ∂yixl(pi, gi(p, u)) ≥ 0. Assim,

como ∂pkhj(p, u) < 0 concluimos que κ < 0. Logo ∂pl

hj(p, u) < 0, ∀l ∈ L2 talque l e normal em L2.

Exercıcio 2. Nao e difıcil verificar que esta funcao nao e concava. Como u e contınuae Bp,w compacto sabemos que o problema tem solucao. Analisemos as condicoes de

6Suponha ∂h contınua.

3

primeira ordem. Sabemos que se (x?, y?) ∈ Bp,w e solucao do problema do consumidor,existe λ ≥ 0 tal que:

∂xu(x?, y?)− λpx ≤ 0 = 0⇔ x? > 0 (6)

∂yu(x?, y?)− λpy ≤ 0 = 0⇔ y? > 0 (7)

λ(w − pxx? + pyy?) = 0 (8)

E imediato que λ > 0. Apesar de nao sabermos se tais condicoes sao suficientes, sabemosque se apenas um ponto as satisfizer, entao e o maximo global. Temos tres casos7:

(i) p2x > wpy se, e somente se, X(p, w) = (0, w

py).

Seja p2x > wpy, suponha por absurdo que x? > 0. Temos neste caso que (6) vale

com igualdade. Entao

λ =1 + x?

((x?)2 + 4y?

)− 12

2px(9)

Assim

((x?)2 + 4y?

)− 12 ≤

1 + x?((x?)2 + 4y?

)− 12

2

pypx

(10)

2pxpy

≤((x?)2 + 4y?

) 12 + x? (11)

Se y? = 0, temospxpy≤ x? ⇒ x? >

w

px(12)

contradicao com a restricao orcamentaria.

Se y? > 0, entao temos que (11) vale com igualdade. Portanto:

2pxpy− x? =

((x?)2 + 4y?

) 12 (13)

⇒ y? =pxpy

(pxpy− x?

)(14)

Mas, como λ > 0 entao x? = w−pyy?

px. Substituindo esta ultima igualdade em (14),

temos w = p2xpy

, contradicao. Logo x? = 0, entao como λ > 0, temos y? = wpy

. E facil

provar que tambem vale a volta.

(ii) p2x < wpy se, e somente se, X(p, w) = ( w

px, 0).

Analogo ao caso anterior.

(iii) Se p2x = wpy, dos casos (i) e (ii) temos que (x?, y?)� 0. Entao

λ =1

2px − pyx?(15)

7Uma boa estrategia para descobrir quais sao os casos e fazer ”engenharia reversa”, i.e., supor porexemplo x? > 0 e y? = 0, assim se pode encontrar as desigualdades em termos de precos.

4

Substituindo este resultado em (7) e elevando os dois lados da equacao ao quadrado,temos:

p2x − pxpyx? = p2

yy? (16)

Assim qualquer solucao de (16) satisfaz as condicoes de primeira ordem8. Calcule-mos o maximo de u restrito a estes pontos. Defina g(x) = u(x, px−pxpyx

p2y), temos

g(x) =

x+

√x2 + 4px

py

(px

py− x)

2=x+

√(x− 2px

py)2

2=x+

∣∣∣x− 2px

py

∣∣∣2

Mas note que y = px−pxpyx

p2y= px

py

(pxpy− x)≥ 0⇒ px

py≥ x, portanto

g(x) =x− x+ 2px

py

2=pxpy

(17)

Logo temos9 X(p, w) = {(r wpx,(px

py

)2

− r wpy

); r ∈ [0, 1]}.

Nao temos bem de Giffen. Quando um preco de um bem aumenta, a quantidade deman-dada diminui. Por outro lado, o bem y e inferior no ponto em que ha uma mudanca docaso (i) para o caso (ii)10.

Exercıcio 3. Seja x ∈ Rn+ e Vx = {u; p · x ≥ e(p, u), ∀p � 0}. Pela demonstracao da

proposicao 3.H.1 feita em aula, Vx e limitado superiormente e nao vazio. Logo U(x) estabem definido.

Monotonicidade fraca Sejam x, y ∈ Rn+ tais que x� y. Entao p·x > p·y para qualquer

p � 0. Portanto, se u′ ∈ Vy, temos u′ ∈ Vx ⇒ Vy ⊂ Vx. Logo supVx ≥ supVy ⇒U(x) ≥ U(y).

Quase-concavidade Para b ∈ R, defina Ab = {x;U(x) ≥ b}. Temos que U e quase-concava se e somente se Ab for convexo para todo numero real b. Se Ab = ∅, entaoe convexo. Se Ab 6= ∅, tome x′, x′′ ∈ Ab e r ∈ (0, 1). Portanto existem u′ ∈ Vx′ eu′′ ∈ Vx′′ , tais que u′ ≥ b, u′′ ≥ b e, entao,

r(px′) + (1− r)(px′′) ≥ re(p, u′) + (1− r)e(p, u′′) , ∀p� 0

⇒ p(rx′ + (1− r)x′′) ≥ e(p,min{u′, u′′}) , ∀p� 0

Entao min{u′, u′′} ∈ Vrx′+(1−r)x′′ Como min{u′, u′′} ≥ b, temos U(rx′+ (1− r)x′′) =supVrx′+(1−r)x′′ ≥ b. Logo Ab e convexo. Como b e qualquer, U e quase-concava.

Exercıcio 4. A proposicao e:

Proposicao 1 (3.D.3). A utilidade indireta ν (p, w) e:

1. homogenea de grau zero em (p, w);

8Note que ao utilizar a restricao orcamentaria e w = p2x

pychegamos a uma identidade.

9Usando (16).10Mas note que em cada uma das regioes separadamente ele e normal.

5

2. estritamente crescente em w e decrescente em p;

3. quase-convexa em (p, w);

4. contınua em (p, w).

Defina o conjunto Gx = {v(p, p · x); p � 0}. Como v e homogenea de grau zero,Gx = {v(p, p · x); p � 0, ‖p‖ = 1}. Temos {p; p � 0, ‖p‖ = 1} ⊂ {p; ‖p‖ = 1} := ∆.Como ∆ e compacto e v e contınua, temos que Gx e limitado inferiormente. Logo U(x)esta bem definido.

Monotonicidade fraca Sejam x, y ∈ Rn+ tais que x � y. Entao p · x > p · y, ∀p � 0

⇒ v(p, px) > v(p, py), ∀p � 0, pois v e estritamente crescente em seu segundoargumento. Logo inf Gx ≥ inf Gy ⇒ U(x) ≥ U(y).

Quase-concavidade Sejam x, y ∈ Rn+ e r ∈ (0, 1). Fixe p′ � 0, entao, como v e es-

tritamente crescente em seu segundo argumento, temos v(p′, p′(rx + (1 − r)y)) ≥v(p′,min{p′x, p′y}) = min{v(p′, p′x), v(p′, p′y)}. Agora, como p′ foi tomado arbitra-riamente, temos inf Grx+(1−r)y ≥ {U(x), U(y)}. Logo U e quase-concava.

vU(p,w) = v(p,w) Primeiro, provemos que v(p, w) ≥ vU(p, w). Seja Bp,w = {x; px ≤w}. Para x ∈ Bp,w temos v(p, px) ≤ v(p, w). Entao vU(p, w) = supx∈Bp,w

Gx ≤v(p, w). Suponha que v e a utilidade indireta relativa a alguma funcao de utilidadeUv. Entao v(p, w) = Uv(x) para algum x ∈ Bp,w. Agora tome p′ 6= p tal quep′x ≤ w, entao v(p′, p′x) ≥ v(p, px) = Uv(x). Portanto11 U(x) = v(p, w). ComovU(p, w) ≥ U(x) = v(p, w), entao vU(p, w) = v(p, w).

Exercıcio 5. Suponha r 6= 0. E facil verificar que as propriedades (1) e (2) sao satisfeitas(para (2) basta derivar a funcao). A propriedade (4) e satisfeita para p 6= 0.

(Quase-convexidade) Temos v(q, p, w) = w(qr + pr)(−1/r). Quero provar que paraqualquer b ∈ R o conjunto Ab = {(q, p, w) ∈ R3

++; v(p, q, w) ≤ 0} e convexo. Mas

Ab = {(p, q, w) ∈ R3++;w(pr + qr)−

1r ≤ b} = {(p, q, w) ∈ R3

++;w ≤ b(pr + qr)1r }

Portanto Ab e convexo se e so se a funcao gb(p, q) := b(pr + qr)1r for concava. Mas

D2gb(p, q) = b(r − 1)(pr + qr)1r−2qr−2pr−2

[q2 −qp−qp p2

]E imediato entao que D2gb(p, q) e negativa semi-definida se(para quaisquer (p, q)� 0) esomente se r ≤ 1. Como b e arbitrario, v e quase-convexa se, e somente se, r ≤ 1.

(Recuperacao da funcao utilidade) Do exercıcio 4 acima, temos que

U(x, y) = inf{v(p, q, px+ qy); (p, q)� 0}

11Note que como v e homogenea de grau zero, para qualquer p � 0 existe α > 0 tal que v(p, px) =v(αp, αpx) com αpc ≤ w.

6

e uma funcao utilidade que gera v como utilidade indireta. Temos que v(p, q, px + py) econtınua em (p, q) ≤ 0. Como v e limitada inferiormente (por zero) temos que

U(x, y) = min{v(p, q, px+ qy); (p, q)� 0}

As condicoes de primeira ordem sao:

x− (px+ qy)

pr + qrpr−1 = 0 (18)

y − (px+ qy)

pr + qrqr−1 = 0 (19)

Para (x, y)� 0 temos:

x

y=

(p

q

)r−1

(20)

Se r < 1, entao pq

=(xy

) 1r−1

. S.p.g.12 fixe q=1, entao p =(xy

) 1r−1

. Assim

U(x, y) =

((x

y

) 1r−1

x+ y

)((x

y

) rr−1

+ 1

)− 1r

(21)

Simplificando, temos uma CES com parametro igual a rr−1

,

U(x, y) =(x

rr−1 + y

rr−1

) r−1r

(22)

Se r = 1, entao de (20) temos x = y, para quaisquer precos (p, q). Logo U(x, y) =min{x, y} gera tal utilidade indireta.

12v e homogenea de grau zero.

7

Lista 5 de Microeconomia IProf.: Carlos Eugênio

Monitor: Vitor Farinha Luz([email protected])

Exercício 1 (Prova 2007) Mostre que, se os agentes possuem preferências ho-motéticas e há um planejador central adotando uma regra de distribuição deriqueza em que cada agente h recebe uma parcela da renda agregada, isto é,�hy, com

PIh=1 �

h = 1, então a pseudo-matriz de Slutsky - a matriz de Slutskyda demanda agregada - é simétrica.

Exercício 2 Suponha que na questão acima todos os agentes sejam idênticos.A pseudo-matriz de Slutsky é negativa semi-de�nida? Existe um agente repre-sentativo positivo?

Exercício 3 MWG, exercício 4.C.1.

Exercício 4 Seja U(x) a "função utilidade" do planejador, de�nida por:

U(x) �

8><>:maxx1;:::;xI

W (u1(x1); :::; uI(xI))

s.a.IPi=1

xi � x:

(W (:) estritamente crescente em todos os argumentos e quase-côncava.)i)Mostre que se ui(:) côncava, 8i, então U(:) é quase-côncava.ii)Mostre que se ui(:) fortemente monótona, 8i, então U(:) é fortemente monó-tona.iii)Se ui(:) côncava, 8i, então U(:) é côncava? Dê um exemplo.

Exercício 5 (Browning e Chiappori) Suponha uma família com nível de utili-dade do homem e da mulher dadas por:

ui(xi; yi) = log xi + log yi, i = h;m.

i)Calcule

U(x; y; �) =

maxxh;yh;xm;ym

�uh(xh; yh) + (1� �)um(xm; ym)

s.a.�xh + xm � xyh + ym � y:

Para cada "regra" de barganha da família �, podemos de�nir uma "utilidade"da família - com as propriedades usuais (de acordo com exercício 4).ii)Calcule as demandas da família, condicional em �;

(x(p; w; �); y(p; w; �)) =argmaxx;y U(x; y; �)s.a. pxx+ pyy � w:

iii)Se �(p; w) = 11+w (sendo p o vetor de preços e w a renda da família), qual

a demana agregada do casal? Sua matriz de Slutsky é negativa semi-de�nida?Que propriedade ela tem?

1

Lista de Microeconomia IProf.: Carlos Eugênio

Monitor: Vitor Farinha Luz

Exercício 1 (Prova 2007) Mostre que, se os agentes possuem preferências ho-motéticas e há um planejador central adotando uma regra de distribuição deriqueza em que cada agente h recebe uma parcela da renda agregada, isto é,�hy, com

PIh=1 �

h = 1. Então a pseudo-matriz de Slutsky - a matriz de slutskyda demanda agregada - é simétrica.

Solução 1 A pseudo-matriz de slutsky é

SA = @pX(p; Y ) + @YX(p; Y )X(p; Y )0;

sendo X(p; Y ) =IX

h=1

xh(p; �hY ):

Então temos que

SA =IX

h=1

@pxh(p; �hY ) +

"IX

h=1

@wxh(p; �hY )�h

#"IX

h=1

xh(p; �hY )0

#

=

IXh=1

�@pxh(p; �

hY ) + @wxh(p; �hY )xh(p; �

hY )0| {z }

Matriz de Slutsky individual

�IX

h=1

@wxh(p; �hY )xh(p; �

hY )0

+

"IX

h=1

@wxh(p; �hY )�h

#"IX

h=1

xh(p; �hY )0

#

homoteticidade=

IXh=1

Sh �IX

h=1

xh(p; �hY )xh(p; �

hY )0

�hY+1

Y

"IX

h=1

xh(p; �hY )

#"IX

h=1

xh(p; �hY )0

#:

Como todos os termos são simétricos, a matriz é simétrica.

Exercício 2 Suponha que na questão acima todos os agentes sejam idênticos.A pseudo-matriz de slutsky é negativa semide�nida? Existe um agente repre-sentativo positivo?

Solução 2 Caso todos sejam idênticos, temos que

X(p; Y ) =IX

h=1

xh(p; �hY ) =

IXh=1

�hxh(p; Y ) = xh(p; Y )IX

h=1

�h = xh(p; Y ):

Então a demanda agregada é igual a demanda de qualquer um dos indivíduos,caso tivesse a renda agregada (qualquer indivíduo é agente representativo posi-tivo) e a pseudo-matriz de slutsky é simétrica e negativa semi-de�nida, já que éuma matriz de slutsky usual.

1

Exercício 3 MWG, exercício 4.C.1.

Solução 3 (Primeira parte) Seja x(p; y) uma demanda satisfazendo ULD, en-tão

(p0 � p) � (x(p0; w)� x(p; w)) � 0, 8p; p0 2 Rn++,com desigualdade estrita se x(p0; w) 6= x(p; w). Então tome p 2 Rn++ e z 2 Rnquaisquer, então

tz � (x(p+ tz; w)� x(p; w)) � 0, 8 t (tal que p+ tz esteja no domínio))

)(�t2)

z � (x(p+ tz; w)� x(p; w))t

� 0, 8 t

) limt!0

z � (x(p+ tz; w)� x(p; w))t

= z � limt!0

(x(p+ tz; w)� x(p; w))t| {z }

Derivada na direção z

� 0

) z �Dpx(p; w)z � 0:

Como a direção z 2 Rn é arbitrária, a matriz Dpx(p; w) é negativa semide�nida.�(Segunda parte) De�na P : [0; 1]! Rn como P (�) � �p0+(1��)p e w : [0; 1]!R por w(�) = (p0 � p) � [x(P (�); w)� x(p; w)]. Então

w0(�) = (p0 � p) �Dpx(P (�); w)(p0 � p):

Suponha, por absurdo, que x(p; w) não satisfaz ULD, então 9p; p0; w tais quex(p0; w) 6= x(p; w) e

(p0 � p) � [x(p0; w)� x(p; w)] � 0:

Então temos que w(1) � 0 e w(0) = 0. Pelo Teorema do Valor Médio, 9� 2(0; 1) tal que

w(1)� w(0) = w0(�)(1� 0) = w0(�)(1� 0) � 0)) w0(�) = (p0 � p) �Dpx(P (�); w)(p0 � p) � 0.

Uma contradição, pois Dpx(P (�); w) é negativa de�nida por hipótese (e p0 6= ppois x(p0; w) 6= x(p; w)). Logo vale ULD.�(Para usar o teorema do valor médio precisamos que w(:) seja contínua em [0; 1]e diferenciável em (0; 1), o que geralmente será atendido.)

Exercício 4 Seja U(x) a "função utilidade" do planejador, de�nida por:

U(x) �

8><>:maxx1;:::;xI

W (u1(x1); :::; uI(xI))

s.a.IPi=1

xi � x:(1)

(W (:) estritamente crescente em todos os argumentos e quase-côncava)i)Mostre que se ui(:) côncava, 8i, então U(x) é quase-côncava.ii)Mostre que se ui(:) fortemente monótona, 8i, então U(x) é fortemente monó-tona.iii)Se ui(:) côncava, 8i, então U(x) é côncava? Dê um exemplo.

2

Solução 4 i) Tome x; y 2 X e � 2 [0; 1] quaisquer, e sejam (x1; :::; xI) e(y1; :::; yI) soluções para o problema (1) respectivamente com x e y. Então de�naz = (z1; :::; zI) � (�x1 + (1� �)y1; :::; �xI + (1� �)yI), então

IXi=1

xi � x eIXi=1

yi � y =) �IXi=1

xi + (1� �)IXi=1

yi � �x+ (1� �)y:

Então sabemos que o vetor z é factível para a quantidade total �x + (1 � �)y.Logo,

U(�x+ (1� �)y) = maxq factível

W (u1(q1); :::; uI(qI)) �W (u1(z1); :::; uI(zI))

� W (�u1(x1) + (1� �)u1(y1); :::; �uI(xI) + (1� �)uI(yI))�

W quase-côncavamin fU(x); U(y)g :

ii)Tome x; y 2 X tais que x � y e x 6= y, e sejam (y1; :::; yI) solução para o prob-lema (1) com y de dotação total. Então de�na z = (z1; :::; zI) � (y1; :::; yI�1; yI+(x� y)); temos que

PIi=1 zi =

�PIi=1 yi

�+(x� y) � y+(x� y) = x, e fzigIi=1

é factível com dotação total x. Também sabemos que zi � yi8i e zI 6= yI (pois(x� y) � 0 e (x� y) 6= 0). Assim

U(y) = maxq factível

W (u1(q1); :::; uI(qI)) �W (u1(z1); :::; uI(zI)) > W (u1(y1); :::; uI(yI)) = U(y).

iii)Exemplo trivial: I = 1, u1 : R! R dado por u1(x) = x12 e W : R! R dada

por W (u) = u4 então U(x) = x2.

Exercício 5 (Browning e Chiappori) Suponha uma família com nível de utili-dade do homem e da mulher dadas por:

ui(xi; yi) = log xi + log yi, i = h;m.

i)Calcule

U(x; y; �) =

maxxh;yh;xm;ym

�uh(xh; yh) + (1� �)um(xm; ym)

s.a.�xh + xm � xyh + ym � y:

Para cada "regra" de barganha da família, podemos de�nir uma utilidade dafamília - com as propriedades usuais (de acordo com exercício 4).ii)Calcule

(x(p; w; �); y(p; w; �)) =argmaxx;y U(x; y; �)s.a. pxx+ pyy � w:

iii)Se �(p; w) = 11+w , qual a demana agregada do casal? Que propriedade a

matriz de Slutsky dessa demanda possui?

3

Solução 5 i) Temos que a condição de primeira ordem do problema de alocaçãode bens será:

�

xh=

(1� �)xm

;

�

yh=

(1� �)ym

;

xh + xm = x;

yh + ym = y:

De onde temos:

(xh; xm; yh; ym) = (�x; (1� �)x; �y; (1� �)y):

Então a utilidade "da família" é

U(x; y; �) = � [log �x+ log �y] + (1� �) [log(1� �)x+ log(1� �)y]

= loghx�x(1��)

i+ log

hy�y(1��)

i+ log �2�(1� �)2(1��)| {z }

A(�)

= log x+ log y +A(�):

ii)Para cada nível de �, a utilidade é uma transformação de uma cobb-douglassimples, então a demanda condicional em � é:

[xc(p; w; �); yc(p; w; �)] =

�w

2px;w

2py

�:

E note que a demanda é independente de �.iii)A demanda agregada do casal é:

[x(p; w); y(p; w)] = [xc(p; w; �(p; w)); yc(p; w; �(p; w))] =

�w

2px;w

2py

�:

Como a demanda agregada é igual a demanda condicional, já que independede �, então ela tem todas as propriedades de uma demanda. Inclusive possuiuma matriz de Slutsky simétrica e negativa semi-de�nida. Mas o intuito erasaber, pelo resultado do artigo, que a matriz teria que ser a soma de uma ma-triz simétrica e uma martiz de posto 1. No caso, a própria matriz de Slutskytem posto 1 (porque?).

Obs.: Seja�A BC D

�uma matriz qualquer, então

�A BC D

�=

�A CC D

�| {z }simétrica

+

�0 B � C0 0

�| {z }

posto 1

: Então para o caso 2x2 a propriedade inferida pelo artigo é triv-

ial.

4

Lista 5

1. Seja � uma relacao de preferencias em RL+. Dizemos que � e localmente

nao saciada se para todo x ≥ 0 e para todo ǫ > 0 existe x′ � x tal que√

∑L

i=1(x′

i − xi)2

< ǫ. A relacao � e fracamente monotona se x ≥ y ≥ 0 im-

plicar x � y. Mostre que uma relacao de preferencias fracamente monotonae localmente nao saciada e monotona.

2. 3.I.3, 3.I.5, 3.I.6, 4.B.1, 4.D.4 (a)

3. Suponha u (·) homogenea de grau um. Calcule σ (x) := − x′D2u(x)x

x·grad u(x).

4. Como se alteram e (p, u) e ν (p, w) se no lugar da funcao utilidade U usarmosU3?

5. Um consumidor tem utilidade u (x, y, z) = min {x, y}+z e tem renda m > 0.Determine a demanda do consumidor e a utilidade indireta.

9


Gabarito - Lista 5

Exercıcio 1. Sejam x, y ∈ RL+ tais que x � y. Defina ε = min{‖xi − yi‖; i ∈ L} > 0.

Entao, pela nao saciedade local, existe z′ ∈ {z; ‖y − z‖ < ε}, tal que z′ � y. Mas,por construcao x ≥ z′, portanto pela monotonicidade fraca temos x � z′. Logo portransitividade x � y.

Exercıcio 3. Fixe x e defina f(r) = u(rx). Supondo u duas vezes diferenciavel, temosf ′(r) = Dxu(rx) · x e f ′′(r) = x′ · D2

xxu(rx) · x. Mas, como u e homogenea de grau 1,temos f(r) = ru(x), entao u(x) = Dxu(x) · x e x′ ·D2

xxu(x) · x = 0. Logo σ(x) = 0.

Exercıcio 5. Analogamente ao exercıcio 1 item b da lista 3 (olhar gabarito), temos queno otimo x = y. Separemos o exercıcio em tres casos:

1. Se pz < px + py, entao X(p,m) = (0, 0, mpz

). De fato, temos 1pz> 1

px+py, portanto

a utilidade marginal de uma unidade adicional de renda na compra do bem z esempre maior do que a utilidade marginal da compra dos bens x e y, i.e.,

m

pz

> rm

pz

+ (1− r) m

px + py

, ∀r ∈ [0, 1)

2. Se pz > px + py, entao X(p,m) = ( mpx+py

, mpx+py

, 0). Analogo ao caso anterior.

3. Se pz = px + py, entao X(p,m) ={

(r mpx+py

, r mpx+py

, (1− r) mpz

); r ∈ [0, 1]}

. Note que

neste caso a utilidade marginal ganha com o gasto de uma unidade de renda nacompra do bem z ou da cesta de bens x = y e a mesma. Portanto o consumidor eindiferente entre as cestas, o que se reflete em sua demanda.

A funcao de utilidade indireta e entao:

v(p,m) =

{mpz

se pz ≤ px + py

mpx+py

se pz > px + py

1

1. Suponha que um consumidor tem uma relacao de preferencia � noespaco de loterias L. Para dado (m, v) ∈ X := {(m, v) ; m ∈ R, v ≥ 0}seja (m, v) = {L ∈ L; E[L] = m, Var (L) = v}. Suponha que � sa-tisfaca a seguinte propriedade: para 0 < p < 1, x ∈ R,

y > z =⇒ y ◦ (1− p)⊕ x ◦ p � z ◦ (1− p)⊕ x ◦ p.

Defina uma relacao de preferencias induzida em X da seguinte maneira:(m′, v′) �X (m′′, v′′) se para toda loteria L′ ∈ (m′, v′) e L′′ ∈ (m′′, v′′)for verdade que L′ � L′′. Mostre que se (m′, v′) ∼X (m′′, v′′) entaov′ = v′′ ou m′ = m′′. O que isto permite concluir sobre uma analise deloterias baseada somente na media e variancia?

Sug. Se (m′, v′) ∼X (m′′, v′′) e v′ 6= v′′ e m′ 6= m′′ e considere as loteriasL = y ◦ (1− p)⊕ x ◦ p e L = z ◦ (1− p)⊕ x ◦ p.

x =v′m′′ − v′′m′

v′ − v′′ , p =(m′ −m′′)2

(m′ −m′′)2 + (v′ − v′′)2 .

y = m′ + v′ v′ − v′′

m′ −m′′ , z = m′′ + v′′ v′ − v′′

m′ −m′′ .

2. Uma firma competitiva tem custo de producao C (y) sendo C ′′ > 0 eC (0) = 0. O preco do unico produto e uma variavel aleatoria P comdistribuicao F e F (0) = 0. Suponha que a quantidade produzida yseja produzida antes da firma conhecer a realizacao de P e suponhaque a firma seja avessa ao risco. Mostre que se P �1 P e a utilidadede Bernoulli tenha aversao absoluta ao risco decrescente a producaoaumenta.

3. Seja a < b e c < d. Seja F a distruicao uniforme em [a, b] e G adistribuicao uniforme em [c, d]. Qual a relacao entre a, b, c, d para queF �1 G? E para que F �2 G?

4. Escolha a, b, c, d no exercıcio anterior para que F nao domine G nemG domine F em segunda ordem. Encontre um consumidor avesso aorisco que prefira a loteria F a loteria G.

1


Gabarito - Lista 61

Exercıcio 1. Suponha por contradicao que(m′, (v′)2

)∼X

(m′, (v′)2

)e (v′)2 6= (v′′)2

(isto e v′ 6= v′′) e m′ 6= m′′. Calculando a media e a variancia de L e L utilizando

p =(v′ − v′′)2

(v′ − v′′)2 + (m′ −m′′)2(1)

encontramos E(L) = m′, E(L) = m′′, V ar(L) = (v′)2 e V ar(L) = (v′′)2. Logo L ∈(m′, (v′)2

)e L ∈

(m′′, (v′′)2

). Se

(m′, (v′)2

)∼X

(m′, (v′)2

), temos L ∼ L. Mas temos

y > z ou z > y, contradicao com a propriedade de � admitida no enunciado.

Exercıcio 2. O objetivo do exercıcio e aplicar a Proposicao 4 (Notas de Aula do dia22/3) a este caso especıfico. Temos π(y, p) = py − C(y). Considere P = t(P ) �1 P esuponha que t′ ≤ 1.Entao

• u′ > 0 > u′′ e r′(x) ≤ 0

• πp > 0, πpp = 0, πyy < 0 e πyp ≥ 0

• Se k(p) = t(p)− p, temos k′ ≤ 0, pois t′ ≤ 1

Portanto, pela Proposicao 4, a producao otima sob P e maior do que a producao sobP .

Exercıcio 3. Temos F �1 G ⇔ F (x) ≤ G(x),∀x ⇔ x−ab−a ≤

x−cd−c ,∀x ∈ [a, b] ∩ [c, d].

1. Se a = c : Entao x−ab−a ≤

x−cd−c , ∀x ∈ [a, b] ∩ [c, d] ⇐⇒ b− a ≥ d− c ⇐⇒ b ≥ d.

2. Se a > c : Note que se b < d =⇒ G(b) = b−cd−c < 1 = F (b). Logo se F �1 G entao

b ≥ d. A volta tambem vale pois, se b ≥ d, H(a) ≡ G(a) − F (a) > 0 e H(d) > 0.Logo, ∀x ∈ (a, d) ∃λ ∈ (0, 1) t.q. x = λa + (1 − λ)d. Com isso, como H e linear,H(x) = λH(a) + (1 − λ)H(d) > 0. Entao F (x) ≤ G(x),∀x ∈ [a, d]. Para x < a ex > d e trivial.

3. Se a < c : Entao F �1 G pois F (c) = c−ab−a > F (a) = 0 = G(c).

Logo F �1 G ⇔ a ≥ c e b ≥ d.

Usaremos a definicao mais geral de �2. Se F �1 G ⇒ F �2 G. Por outro lado, senao vale F �1 G nem G �1 F , quero construir F e G de tal forma que exista x? ∈ (a, b)tal que se x ≤ x? temos F (x) ≤ G(x) e se x > x? temos F (x) ≥ G(x), para entao aplicara Proposicao 3. Assim, se a > c e b < d =⇒ H(a) > 0 e H(b) < 0 =⇒ ∃x? ∈ (a, b)com as propriedades desejadas. Por fim, F �2 G ⇔ a+b

2≥ c+d

2⇔ a − c ≥ d − b. Logo,

se a− c ≥ d− b, a > c e b < d ou a ≥ c e b ≥ d =⇒ F �2 G

Exercıcio 4. Tome a = 0.35, b = 0.6, c = 0 e d = 1. Temos a− c = 0.35 < 0.4 = d− b eb < d. Mas usando a bernoulli

√x temos que UEF ' 0.687187 > 2/3 = UEG.

1Este gabarito contem apenas algumas alteracoes em relacao ao gabarito do ano passado.

1



Exercício 1 Seja Y um conjunto de possibilidades de produção. Dizemos que uma tecnologia é aditivaquando y; y0 2 Y ) y + y0 2 Y . Uma tecnologia é dita divisível se y 2 Y ) ty 2 Y; 8t 2 [0; 1]. Mostre quese uma tecnologia é aditiva e divisível, então Y é convexo e apresenta retornos constantes de escala.

Exercício 2 Uma função de produção dita homotética se f(x) = f(x0) implica em f(tx) = f(tx0), para todot � 0.

1. (a) Mostre que se f é uma transformação monotônica de uma função homogênea de grau 1 (ie.,f = g � h, onde h é homogênea de grau 1 e g é uma função monotônica), então f é homotética.

(b) Mostre que se f é homotética, então a taxa marginal de substituição técnica em x é igual à taxamarginal de substituição técnica em tx.

Exercício 3 Mostre que se uma tecnologia apresenta retornos crescentes de escala e existe algum ponto ondeo lucro é estritamente positivo, então o problema de maximização do lucro não possui solução.

Exercício 4 Calcule as funções oferta e lucro para as funções de produção abaixo (x � 0):

1. (a) f(x) = x�

(b) f(x) = 20x� x2

(c) f(x) = x�1 x1��2

(d) f(x) = minf�x1;�x2g

Exercício 5 Encontre as funções demanda condicional por fator e custo para as funções de produção abaixo:

1. (a) f(x) = x�1x1��2

(b) f(x) = minf�x1;�x2g

(c) f(x) = (x�1 + x�2)

1�

(d) f(x) = �x1 + �x2

Exercício 6 (Prova 2-2005) Considere uma �rma produtora de �utilidade�com �função de produção�u (x)crescente, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava em x 2Rn. De�na sua funçãocusto comoe (p, u) = minx pxs.t. U (x)� ua)Moste que e (p, u) é côncava em p. Denote xh a demanda compensada da �rma.b) Dada a função custo acima, suponha que a �rma do item anterior possa vender seu produto a um

�preço�constante ��1, Resolva o problema de maximização de lucro encontrando o vetor de demandas (não-condicional) xf da �rma. Mostre que

@xf

@pi<@xh

@pi

Use � = @v(p; y)=@y para argumentar que a demanda frisch é mais negativamente inclinada que a demandahicksiana.

Exercício 7 Seja x(p,y) a demanda condicional por fatores de alguma função de produção quase-côncava.Mostre que Dpx(p; y) é simétrica e negativa semi-de�nida.

Exercício 8 Mostre que se a função de produção f(:) é quase-côncava, estritamente crescente e homogêneade grau 1, então ela é côncava. (também f(0) = 0)

1



Exercício 1 Seja Y um conjunto de possibilidades de produção. Dizemos que uma tecnologia é aditivaquando y; y0 2 Y ) y + y0 2 Y . Uma tecnologia é dita divisível se y 2 Y ) ty 2 Y; 8t 2 [0; 1]. Mostre quese uma tecnologia é aditiva e divisível, então Y é convexo e apresenta retornos constantes de escala.

R: Convexidade: Sejam y; y0 2 Y: Da divisibilidade, temos que �y; (1� �) y0 2 Y para todo � 2 [0; 1] :Portanto, pela aditividade temos que �y + (1� �) y0 2 Y para todo � 2 [0; 1]. Logo, Y é convexo.

Retornos Constantes de Escala: Tome y 2 Y , � 2 <+. Pela propriedade Arquimediana, existe n naturaltal que n � 1 � � < n. Segue que � = (n� 1) + [�� (n� 1)], onde 0 � � � (n� 1) < 1. Aplicandoo princípio da indução �nita na propriedade de aditividade, temos que (n� 1) y 2 Y . Além disso, pordivisibilidade, segue que [�� (n� 1)] y 2 Y . Então, por aditividade, obtemos �y 2 Y .

Exercício 2 Uma função de produção dita homotética se f(x) = f(x0) implica em f(tx) = f(tx0), para todot � 0.

1. (a) Mostre que se f é uma transformação monotônica de uma função homogênea de grau 1 (ie.,f = g � h, onde h é homogênea de grau 1 e g é uma função monotônicacrescente), então f éhomotética.

(b) Mostre que se f pode ser representada como g � h, onde h é homogênea de grau 1 e g é umafunção monotônica crescente (de�nição alternativa de homoteticidade), então a taxa marginal desubstituição técnica em x é igual à taxa marginal de substituição técnica em tx.

R: a) Seja f = g � h e tome x; x0 tais que g (h (x)) = g (h (x0)). Como g é crescente (logo injetiva),temos que h (x) = h (x0) :Mas como h é homogênea de grau 1, segue que h(tx) = th(x) = th(x0) =h(tx0), para todo t 2 <+. Portanto, h (tx) = h (tx0) e, logo g (h (tx)) = g (h (tx0)).b) É possível mostrar que se f é homotética, então f = g � h onde h é homogênea de grau 1e g é monotônica (De fato, Varian (p.482) de�ne homoteticidade desta forma). Como h(:) éhomogênea de grau 1, h0(:) é homogênea de grau 0. Logo, h0(x) = h0(tx) 8t 2 <+. Segue que@f(x)@xi = g0 (h (x)) @h

@xi(x).

TMST (x) = � @f=@xi@f=@xj

= �g0 (h (x)) @h

@xi(x)

g0 (h (x)) @h@xj (x)

= �@h@xi

(x)

@h@xj (x)

= �@h@xi

(tx)

@h@xj (tx)

TMST (x) = �@h@xi

(tx)

@h@xj (tx)

g0 (h (tx))

g0 (h (tx))= TMST (tx) :

Exercício 3 Mostre que se uma tecnologia apresenta retornos crescentes de escala e existe algum ponto ondeo lucro é estritamente positivo, então o problema de maximização do lucro não possui solução.

R: Sabemos (por hipótese) que 9z 2 Y tal que p � z > 0. Suponha, por contradição, que x� é solução soproblema de maximização da �rma. Então

p � x� � p � x, 8x 2 Y ) p � x� � p � z > 0:

Mas, como a tecnologia tem retornos crescentes de escala, temos que 2x� 2 Y , e p � (2x�) = 2(p � x�) >p � x�, uma contradição pois x� seria o ótimo.

Exercício 4 Calcule as funções oferta e lucro para as funções de produção abaixo (x � 0):

1. (a) f(x) = x�

(b) f(x) = 20x� x2

1

(c) f(x) = x�1 x1��2

(d) f(x) = minf�x1;�x2g

R: (a) O problema de maximização de lucro é dado por:

maxx�0

px� � wx

Caso (1): � < 1Calculando a condição necessária de primeira ordem do problema, obtemos:

�px��1 = w

A condição su�ciente de segunda ordem para máximo é garantida se 0 � � � 1.Logo, a demanda pelo fator é:

x (p; w) =��pw

� 11��

Segue que as funções oferta e lucro são dadas por:

y (p; w) =��pw

� �1��

� (p; w) = p��pw

� �1�� w

��pw

� 11��

= w

�1� ��

��pw

� 11��

Caso (2): � = 1Temos que, nesse caso, o lucro da �rma é:

px� wx = x (p� w) :

Então a função lucro é:

�(p) =

�0 , se p � w1 , se p > w (não de�nido).

E a função oferta será:

[y(p; w); x(p; w)] =

8<: (0,0) , se p < winde�nido , se p = w(1;1) (inde�nido) , se p > w:

Caso (3): � > 1Nesse caso, a �rma apresenta retornos constantes de escala. Então não há solução pois a �rma semprepode ter o lucro que quiser produzindo mais:

limx!1

px� � wx = limx!1

x�px��1 � w

�=1:

Então o lucro e as funções oferta não estão de�nidas.

b. Escrevendo o problema de maximização de lucro, obtemos:

maxx�0

p�20x� x2

�� wx = max

x�0x [p (20� x)� w]

Caso (1): 20p� w > 0A condição de primeira ordem é dada por:

20p� 2px� w = 0

2

Supondo w2p � 10, a condição acima é necessária e su�cente (pois a CSO é �2p � 0). Portanto, temos:

x (p; w) = 10� w

2p;

y (p; w) =

�10� w

2p

��10 +

w

2p

�=

�100� w2

4p2

�;

� (p; w) = p

�100� w2

4p2

�� w

�10� w

2p

�=

�10� w

2p

��p

�10 +

w

2p

�� w

�=

=

�10� w

2p

��10p� w

2

�= p

�10� w

2p

�2:

Caso (2): 20p� w � 0Nesse caso temos que

� = x [p (20� x)� w]�< 0 , se x > 0= 0 , se x = 0

Então temos [�(p; w); x(p; w)] = (0; 0):

c. Note que esta tecnologia apresenta retornos constantes de escala (ver questão 5). Portanto, aresolução deste ítem é análoga à do ítem abaixo.

d. O problema de maximização de lucro é dado por:

maxx�0

[minf�x1;�x2g � w1x1 � w2x2]

Se �x1 6= �x2 então é possível aumentar o lucro reduzindo algum dos insumos. Segue que �x1 = �x2.Substituindo na função objetivo, obtemos:

maxx�0

�x2 � w1�x2�� w2x2

Se ��w1 �� w2 > 0 (ie., � >w2��w1 ), então é possível obter lucro tão grande quanto se queira tomando

x2 arbitrariamente grande. Segue que o problema não tem solução neste caso.

Se � � w1 �� w2 < 0 (ie., � <w2��w1 ), então x (p; w) = 0. Neste caso, y (p; w) = � (p; w) = 0

Caso � � w1 �� w2 = 0 (ie., � =w2��w1 ), então existem in�nitas soluções pois todo x positivo fornece

lucro zero. Segue que x (p; w) 2 <2+. Logo, y (p; w) 2 <2+ e � (p; w) = 0:

Exercício 5 Encontre as funções demanda condicional por fator e custo para as funções de produção abaixo:

1. (a) f(x) = x�1 x1��2

(b) f(x) = minf�x1;�x2g

(c) f(x) = (x�1 + x�2)

1�

(d) f(x) = �x1 + �x2

R: (a) ver Varian p.54.

(b) ver Varian p.56.

(c) ver Varian p.55.

(d) ver Varian p.57.

3

Exercício 6 (Prova 2-2005) Considere uma �rma produtora de �utilidade�com �função de produção�u (x)crescente, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava em x 2Rn. De�na sua funçãocusto comoe (p, u) = minx pxs.t. U (x)� ua)Moste que e (p, u) é côncava em p. Denote xh a demanda compensada da �rma.b) Dada a função custo acima, suponha que a �rma do item anterior possa vender seu produto a um

�preço�constante ��1, Resolva o problema de maximização de lucro encontrando o vetor de demandas (não-condicional) xf da �rma. Mostre que

@xf

@pi<@xh

@pi

Use � = @v(p; y)=@y para argumentar que a demanda frisch é mais negativamente inclinada que a demandahicksiana.

R: a)Sejam x1 = xh(p1; u); x2 = xh(p2; u); pt = tp1 + (1 � t)p2 e xt = xh(pt; u): Temos que, por ser xh

argmin do problema acima, p1x1 � p1xt e p2x2 � p2xt:Daí, tp1x1 + (1� t)p2x2 � [tp1 + (1� t)p2]xt:Ou seja, te(p1; u) + (1� t)e(p2; u) � e(pt; u); sendo côncava a função e(p; u).

b)Tome o problema de maximização da �rma:

maxu��1u� e(p; u)

Que de�ne a "produção" de utilidade ótima através da CPO dada por:

��1 = eu(p; u)

A condição de segunda ordem para a minimização é:

euu(p; u) > 0

De�nindo xf como a demanda incondicional temos, também, que xf (��1; p) = xh(p; u(��1; p)): Daí,

@xfi@pi

=@xhi@pi

+@xh

@u

@u

@pi

:Como estamos mantendo ��1 constante, podemos usar o Teor. da Função Implícita na CPO para obter

@u

@pi= �eupi(p; u)

euu(p; u)= �epiu(p; u)

e uu(p; u)= �

@xhi@u

e uu

(última desigualdade utilizando teorema do envelope). Portanto, @xfi

@pi=

@xhi@pi

� (@xh@u )2=euu(p; u) <

@xhi@pi�

Exercício 7 Seja x(p,y) a demanda condicional por fatores de alguma função de produção quase-côncava.Mostre que Dpx(p; y) é simétrica e negativa semi-de�nida.

R: Seja o problema EMP dado por:

minx

p � xs.a. f(x) � y :

Então temos que a função custo c(p; y) = argminEMP é côncava (prova no exercício acima). Etemos que Dpc(p; y) = x(p; y) pelo teorema do envelope, então Dpx(p; y) = D2

pc(p; y) que é simétricae negativa semi-de�nida pois é a hessiana de uma função côncava.

Exercício 8 Mostre que se a função de produção f(:) é quase-côncava, estritamente crescente e homogêneade grau 1, então ela é côncava. (também f(0) = 0)

4

R: Tome � 2 [0; 1] e x; y � 0. Então temos que, como f(:) é crescente, f(x); f(y) > 0. Além disso, temos apartir da homegeneidade de grau 1 de f(:) que

f

�x

f(x)

�=

1

f(x)f (x) = 1 =

1

f(y)f (y) = f

�y

f(y)

�:

E, pela quase-concavidade de f(:),

f

��

�x

f(x)

�+ (1� �)

�y

f(y)

�� minf1; 1g = 1:

Em especial, isso vale para � = �f(x)�f(x)+(1��)f(y) e (1� �) =

(1��)f(y)�f(x)+(1��)f(y) . Então

f

��f(x)

�f(x) + (1� �)f(y)

��x

f(x)

�+

�(1� �)f(y)

�f(x) + (1� �)f(y)

��y

f(y)

��= f

��x+ (1� �)y

�f(x) + (1� �)f(y)

�� 1:

Logo, usando novamente homogeneidade de grau 1,

f (�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y):

Então provamos que f(:) é côncava em Rn++, a extensão para Rn+ segue pela continuidade de f(:).

5

Lista 7 de Microeconomia 1

Professor: Carlos EugênioMonitor: Vitor Farinha

1. Considere três payo¤s monetários, $0, $100 e $200. Considere três loteriassob esses payo¤s:

L1 = (1=3; 1=3; 1=3);

L2 = (1=2; 0; 1=2) e

L3 = (0; 3=4; 1=4):

Um consumidor representativo a�rma que L1 � L2 e L1 � L3.

(a) Mostre que as preferências deste consumidor contradizem a maxi-mização da utilidade esperada.

(b) Como o resultado do item (a) se relaciona com o axioma da inde-pendência?

2. (Problema de escolha do portfólio) Considere o problema de um investidorque deve decidir quanto de sua renda inicial W investir em um ativo derisco. O ativo arriscado pode ter taxas de retorno ri (as quais podemser tanto positivas quanto negativas) com probabilidade de ocorrência pi;i = 1; 2; :::; n: Seja � a parcelaw de sua renda inicial a ser investida noativo com risco, então o problema do investidor é:

max�

nXi=1

piu(W + �ri)

em que a função utilidade Bernoulli u(:) é crescente e estritamente côncava.

(a) Mostre que um indivíduo avesso ao risco se abstém completamente doativo com risco se e somente se o ativo possui um retorno esperadonão positivo. (Dica: analise a solução de canto em que a funçãoobjetivo atinge máximo em �� = 0).

(b) Qual é a implicação empírica deste resultado? Em particular, o resul-tado obtido é compatível com o comportamento observado de váriaspessoas que não investem em ações? Você consegue dar uma expli-cação para esse aparente parodoxo?

(c) Suponha que o ativo com risco possui retorno esperado positivo e que�� <W (portanto o problema possui solução interior). Analise como�� varia com W.

1

3. Considere o problema de seguros estudado no exemplo 6.C.1 do MWG.

(a) O que ocorre quando o indivíduo é neutro ao risco?

(b) O que ocorre quando o indivíduo é propenso ao risco?

(c) Mostre que, se o seguro não é atuarialmente justo (q > �), então oindivíduo não se assegurará totalmente.

(d) Na prática, não é comum encontrarmos indivíduos se assegurandocompletamente. Você consegue encontrar ummotivo para esta aparentecontradição?

4. Suponha que um indivíduo maximiza sua utilidade esperada com Bernoulliu(:) de�nida em relação a quantias monetárias. Mostre que as seguintesproposições são equivalentes:

(a) i. o indivíduo é neutro ao risco;ii. u(:) é linear;

iii. c(F; u) =ZxdF (x); 8 F (:);

iv. �(x; "; u) = 0 8 x; "

5. (Taxação sobre retorno de ativo de risto) A economia possio um agentemaximizador de utilidade esperada com função Bernoulli u(:). Há doisestados da natureza (A e B), que ocorrem respectivamente com probabil-idade � e (1 � �). Há um ativo de risco com retornos rA e rB em casaestado respectivamente, com rA > rB . O agente possui renda inicial we a alíquota do imposto sobre o capital é t. Assumindo solução interior,responda:

(a) Qual é a condição de ótimo no que tange a escolha de investimentono ativo de risco quando t = 0? E quando t 6= 0?

(b) Encontre a relação entre o investimento em cada caso.

(c) Você consegue dar uma intuição econômica para este resultado aparente-mente paradoxal?

2

Gabarito da Lista 7 de Microeconomia IProfessor: Carlos EugênioMonitor: Vitor Farinha

1. Considere três payo¤s monetários, $0, $100 e $200. Considere três loteriassob esses payo¤s:

L1 = (1=3; 1=3; 1=3);

L2 = (1=2; 0; 1=2);

L3 = (0; 3=4; 1=4):

Um consumidor representativo a�rma que L1 � L2 e L1 � L3

(a) Mostre que as preferências deste consumidor contradizem a maxi-mização da utilidade esperada.

(b) Como o resultado do item (a) se relaciona com o axioma da inde-pendência?

R. (a) Seja u (0) = u1; u (100) = u2 e u (200) = u3Então, se o agente possui utilidade na forma esperada, temos:1=3u1+1=3u2+1=3u3 > 1=2u1+1=2u3 () 2u2 > u1+u3 (1)

Além disso, também vale:1=3u1+1=3u2+1=3u3 > 3=4u2+1=4u3 , 4u1+u3 > 5u2 (2)

Somando 3u2 em ambos os lados da desigualdade (1), segue:5u2 > u1+3u2+u3 (3)

Como a utilidade é crescente na renda, temos:u2 > u1 =) u1+3u2 > 4u1 (4)

Portanto, de 3 e 4, segue:4u1 + u3 < 5u2; o que é uma contradição com a desigualdade 2.

(b) Sempre que utilizamos utilidade na forma esperada, estamos supondoque o axioma da independência está atendido. Aqui, podemos mostrarque o axioma da independência nos leva a uma contradição.Vamos escrever as loterias L1 e L2 em termos de loterias comuns edistintas:L1 = 2=3(1=2; 0; 1=2) + 1=3(0; 1; 0)L2 = 2=3(1=2; 0; 1=2) + 1=3(1=2; 0; 1=2)Caso o axioma da independência seja válido:L1 � L2 () (0; 1; 0) � (1=2; 0; 1=2) (5)

Da mesma forma, temos:L1 = 1=2(0; 1=2; 1=2) + 1=2(1=6; 2=3; 1=6)

1

L3 = 1=2(0; 1=2; 1=2) + 1=2(0; 1; 0)Mais uma vez, caso seja válido o axioma da independência:L1 � L3 () (1=6; 2=3; 1=6) � (0; 1; 0)Entretanto, note que, a partir de (5) e do axioma da independência,temos:(1=6; 2=3; 1=6) = 1=3(1=2; 0; 1=2) + 2=3(0; 1; 0) � (0; 1; 0)Ora, mas isto é uma contradição, pois:(0; 1; 0) � (1=6; 2=3; 1=6) � (0; 1; 0):

2. (Problema de escolha do portfólio) Considere o problema de um investidorque deve decidir quanto de sua renda inicial W investir em um ativo derisco. O ativo arriscado pode ter taxas de retorno ri (as quais podemser tanto positivas quanto negativas) com probabilidade de ocorrência pi= 1; 2; :::; n: Seja � o montante de sua renda inicial a ser investida no ativocom risco, então o problema do investidor é:

max��0

nXi=1

piu(W + �ri)

(o indivíduo não pode "vender" o ativo: � 2 R+) em que a função utilidadeBernoulli u(:) é crescente e estritamente côncava.

(a) Mostre que um indivíduo avesso ao risco se abstém completamente doativo com risco se e somente se o ativo possui um retorno esperadonão positivo. (Dica: analise a solução de canto em que a funçãoobjetivo atinge máximo em �� = 0).

(b) Qual é a implicação empírica deste resultado? Em particular, o resul-tado obtido é compatível com o comportamento observado de váriaspessoas que não investem em ações? Você consegue dar uma expli-cação para esse aparente parodoxo?

(c) Suponha que o ativo com risco possui retorno esperado positivo e que�� <W (portanto o problema possui solução interior). Analise como�� varia com W.

R. (a) Suponha que o agente é avesso ao risco. Tomando a C.P.O do prob-lema, temos:

nXi=1

piriu�(w + ��ri) � 0 (= 0 se �� > 0)

Assim, se �� = 0; esta condição pode ser reescrita como:

nXi=1

piriu�(w) = u�(w)nXi=1

piri| {z }E(ri)

� 0, E(ri) � 0; pois u�(w) > 0 é constante:

2

Agora, assuma quenXi=1

piri � 0: Nesse caso, temos que,8� > 0;

u(w) � u(w + �nXi=1

piri) = u(nXi=1

pi(w + �ri)) �nXi=1

piu(w + �ri)

O último termo da expressão acima é justamente a utilidade esperadaquando � > 0 (usamos concavidade da u(:)). Logo, a melhor opçãoé estabelecer � = 0:

(b) A implicação interessante é que pessoas avessas ao risco sempre in-vestiriam uma parte de suas riquezas em ações cujo retorno esperadofosse positivo. Entretanto, na prática, diversas pessoas não aplicamem ações que possuem retornos dominados por ativos livres de risco,como títulos públicos por exemplo. Uma possível causa para esteparodoxo é a existência de custos de transação e informação; outraexplicação pode residir na não-validade da utilidade esperada (mas,nesse caso, qual seria a abordagem correta?).

(c) Como temos solução interior, a C.P.O. do problema é:

nXi=1

piriu�(w + ��ri) = 0

Agora, apliquemos o Teorema das Funções Implícitas na expressãoacima para avaliarmos d��

dw :

d��

dw= �

nXi=1

piriu��(w + ��ri)

nXi=1

pir2i u��(w + ��ri)

=

nXi=1

piriu��(w + ��ri)��

nXi=1


��=

E [riu00 (w + ��ri)]��

nXi=1


��;

mas sabemos que

Cov(x; y) = E(xy)� E(x)E(y):

Entãod��

dw=Cov(ri; u

00) + E(ri)E(u00)��

nXi=1


��:

Uma consideração importante para analisar o sinal desta expressãoé o sinal de terceira derivada de u(:) (ou seja, a concavidade dafunção u0(:)). Caso essa seja positiva, sabemos que u00(:) é uma funçãocrescente em ri (pois � � 0) então Cov(ri; u00) � 0. No entanto, se oagente for avesso ao risco, u00(:) < 0 ) E(u00) < 0; assim para dizerque d��

dw � 0 precisaríamos de E(ri) � 0 (e não positivo).

3

3. Considere o problema de seguros estudado no exemplo 6.C.1 do MWG.

(a) O que ocorre quando o indivíduo é neutro ao risco?

(b) O que ocorre quando o indivíduo é propenso ao risco?

(c) Mostre que, se o seguro não é atuarialmente justo (q > �), então oindivíduo não se assegurará totalmente.

(d) Na prática, não é comum encontrarmos indivíduos se assegurandocompletamente. Você consegue encontrar ummotivo para esta aparentecontradição?

R. (a) Se o agente é neutro ao risco, então sua utilidade marginal é constantee, portanto, qualquer quantidade de seguro resolve o problema.

(b) No caso de um agente propenso ao risco, a condição de primeiraordem obtida no MWG não caracteriza um máximo, mas sim ummínimo. Como o agente prefere a loteria ao seu valor esperado, entãopercebemos que ele não compra nenhum seguro. Na verdade, sepudesse, o agente ofertaria seguro.

(c) Analisemos a condição de primeira ordem em �� = D: Nesse caso, aC.P.O. nos dá:

�(1� q)u�(w � ��q)� (1� �)qu�(w � ��q) = u�(w � ��q) [�(1� q)� (1� �)q]= u�(w � ��q) (� � q) < 0;

então, com a concavidade da função objetivo, vemos que �� < D.

(d) Em grande medida, as probabilidades de sinistro não são exógenas(como nesse exemplo). Na verdade, uma vez que um indivíduo estátotalmente segurado, suas atitudes com relação à prevenção de sin-istros acabam se alterando, o que provoca uma mudanças nas prob-abilidades originais. Este fenômeno, conhecido como perigo moral(ou moral hazard), explica o fato de que seguradoras não estão, emgeral, dispostas a fornecer seguro total sem cobrar algo a mais porisso (você já deve ter ouvido falar a respeito da franquia em um se-guro de automóvel). Há, portanto, uma mudança nos incentivos àcompra de seguro total.

4. Suponha que um indivíduo maximiza sua utilidade esperada com Bernoulliu(:) de�nida em relação a quantias monetárias. Mostre que as seguintesproposições são equivalentes:

(a) o indivíduo é neutro ao risco;

(b) u(:) é linear;

(c) c(F; u) =ZxdF (x); 8 F (:);

4

(d) �(x; "; u) = 0 8 x; "

R. (a) a) =) b) Se o indivíduo é neutro ao risco, então u(E(x)) = E(u(x));o que, pela Desigualdade de Jensen, de�ne a linearidade de u(:) (seuma função real é côncava e convexa ela é a�m).

(b) b) =) c) Da de�nição de c(F; u); u(c(F; u)) = E(u(x)) = u(E(x)) =u(RxdF (x)); conforme o item anterior. Mas, dado que a função

Bernoulli é estritamente crescente, temos que c(F; u) =RxdF (x);

fato que vale 8 F (:):(c) c) =) d) Tome uma loteria do seguinte tipo: o agente ganha x + ",

com probabilidade 1=2+�; e ganha x�"; com probabilidade 1=2��:Da de�nição de equivalente à certeza e dado a resultado anterior,temos:

u (x) = u((c(:; :)) = (1=2� �)u(x� ") + (1=2 + �)u(x+ ") = u((1=2� �)(x� ") + (1=2 + �)(x+ "))= u(x+ �")() �" = 0) � = 0:

(d) d) =) a) De d), temos que u(x) = 1=2[u(x�")+u(x+")]: Derivandoa expressão com relação a "; temos:0 = u�(x+ ")� u�(x� "): Da de�nição de derivada, segue:u��(x) = limh!0

u�(x+h)�u�(x�h)2h = 0; portanto, o coe�ciente de aversão

absoluta ao risco é nulo.

5. (Taxação sobre o retorno de ativo de risco) A economia possui um agentemaximizador de sua utilidade esperada com função Bernoullu u(:). Hádois estados da natureza (A e B), os quais ocorrem com probabilidade� e (1 � �): Há um ativo de risco com retornos ra e rb em cada estado,respectivamente, com ra > rb. O agente possui renda inicial w e alíquotade imposto sobre o rendimento do capital é t. Assumindo solução interior,responda:

(a) Qual é a condição de ótimo no que tange a escolha de investimentono ativo de risco quando t = 0? E quando t 6= 0?

(b) Encontre a relação entre o investimento em cada caso.

(c) Você consegue dar uma intuição econômica para este resultado aparente-mente paradoxal?

R. (a) Quando t = 0, o problema do agente é:

maxx

E(u(x)) = �u(w + xrA) + (1� �)u(w + xrB)

Tirando a C.P.O., que no presente contexto é condição su�ciente,temos:

5

�u�(w + x�rA)rA + (1� �)u�(w + x�rB)rB = 0

Se t 6= 0; temos:

�u�(w+~x (1� t) rA) (1� t) rA+(1��)u�(w+~x (1� t) rB)(1�t)rB = 0

Podemos cancelar (1� t) na última expressão, de sorte que teremos:

�u�(w + ~x (1� t) rA)rA + (1� �)u�(w + ~x (1� t) rB)rB = 0

(b) Se x� resolve o problema quando t = 0, então, se estabelecermos ~x =x�

(1�t) , claramente resolvemos o problema para t 6= 0:

(c) Parece paradoxal o fato de que a imposição de uma taxa sobre oretorno aumenta a demanda pelo ativo de risco, mas a explicaçãoé bastante simples. Primeiro, note que, na medida em que não háaplicações alternativas ao ativo de risco e dado que estamos assu-mindo solução interior, então ocorre que rB < 0, pois, do contrário,o agente investiria toda a sua riqueza (o ativo de risco dominariao não-investimento). Além disso sabemos que, se o agente é avessoao risco, para ter solução interior precisamos de E(r) > 0. Entãoteríamos que o valor esperado da riqueza, dado um nível de tribu-taçaõ t seria

� (w + ~x (1� t) rA)+(1��) (w + ~x (1� t) rB) = w+(1�t)~x(�rA + (1� �)rB)| {z }E(r)

:

Então um imposto maior diminui o valor esperado da loteria, paraqualquer nível de investimento. Tudo bem, mas e por qual motivoaumenta o investimento? Ora, é verdade que a taxação diminui oretorno no estado bom, mas também é verdade que diminui a perdano estado ruim. Ao aumentar seu nível de investimento, o agentepode reproduzir seu padrão de riqueza quando da não incidência doimposto, o que caracteriza uma escolha ótima. Ou seja, o tributodiminui seu retorno esperado, mas também diminui o risco da apli-cação. Finalmente, vemos que t é, ao mesmo tempo, um tributo sobreo rendimento no estado bom e um subsídio sobre o rendimento noestado ruim.

6

Lista 8 de Microeconomia IProfessor: Carlos EugênioMonitor: Vitor Farinha

Problema 1 (Prova 2005) Considere uma economia em que todos os agentesse deparam com um risco idiossincrático de perder $100 com probabilidade p.Um grupo de N agentes se junta para repartir os riscos de forma igual, ou seja,dividem igualmente a soma dos prejuízos que eventualmente ocorrerem.a) Descreva o risco residual de cada agente quando N = 1 e N = 2.b) Mostre que ao passar de N = 2 para N = 3, o risco carregado por cadaagente é reduzido no sentido de dominância estocástica de segunda ordem. (dica:desenhe a CDF).

Problema 2 (Prova 2005) Considere duas loterias L1 e L2 que tenham amesma média, porém a variância de L1 é superior à variância de L2. Issosigni�ca que todo agente com utilidade bernoulli u(:) côncava prefere L2 a L1?Sempre é possível conseguir um agente com utilidade bernouli côncava u(:) quepre�ra L2 a L1? Mostre tal utilidade.

Problema 3 (Prova 2005) Considere 2 agentes iguais em tudo, exceto suariqueza inicial (que é sua única fonte de renda). Ambos possuem utilidadebernouli

u(c) =c1��

1� � :

Os indivíduos investem em K ativos de risco que pagam retorno bruto Rk (var-iável aleatória). O problema do indivíduo i então pode ser escrito como

maxa1;:::;aK2RK+

E

"Wi �

KXk=1

akpk +

KXk=1

akRk

#:

Ache as K condições de primeira ordem e mostre que a proporção investida emcada ativo, dada por

�k �akpkwi

;

independe do nível de renda.

Problema 4 (Prova 2006) Uma variável aleatória têm distribuição U [a; b] (uni-forme) se tem densidade

f(x) =

�1b�a , se x 2 [a:b];0, caso contrário.

a) A ditribuição U [0; 2] domina distribuição U [0; 1]? Em que ordem?b) A distribuição U [�1; 1] domina a distribuição U [�2; 2]? Em que ordem?(desenhar os grá�cos pode ser útil.)

1

Problema 5 (Prova 2007) Derive e mostre que a aproxmação de Arrow-Prattpara o prêmio de risco, quando o risco é multiplicativo, é uma função linear docoe�ciente de aversão ao risco relativo. Mostre que a aproximação é crescentena resnda se o coe�ciente de aversão ao risco também o for.

Problema 6 (Prova 2007) O prêmio de risco compensado p é a mínima com-pensação que induz um agente a aceitar uma loteria não-degenerada. A funçãop(w0; u; ~x) é de�nida implicitamente por:

u(w0) = E [u (w0 + ~x+ p)] :

Mostre que o risco compensado é convexo no tamanho do risco, isto é, queg(�) � p (w0; u; �~x) é convexa em �. Isto não necessariamente é verdade parao prêmio de risco. (considere a loteria ~x tal que E(~x) = 0)

2

Gabarito da lista 8 de Microeconomia IProfessor: Carlos EugênioMonitor: Vitor Farinha

Problema 1 (Prova 2005) Considere uma economia em que todos os agentesse deparam com um risco idiossincrático de perder $100 com probabilidade p.Um grupo de N agentes se junta para repartir os riscos de forma igual, ou seja,dividem igualmente a soma dos prejuízos que eventualmente ocorrerem.a) Descreva o risco residual de cada agente quando N = 1 e N = 2.b) Mostre que ao passar de N = 2 para N = 3, o risco carregado por cadaagente é reduzido no sentido de dominância estocástica de segunda ordem. (dica:desenhe a CDF).

Solução 1 a)Temos que a distribuição da perda distribuída entre n indivíduos(de�nida Sn) é dada pela função de probabilidade:

P

�Sn =

i

n

�=

�pi(1� p)n�i , se i = 1; :::; n0 , caso contrário.

Então temos que

P (S2 = x) =

8>><>>:(1� p)2 , se x = 02p(1� p) , se x = 50p2 , se x = 1000 , caso contrário,

E também temos:

P (S3 = x) =

8>>>><>>>>:(1� p)3 , se x = 03p(1� p)2 , se x = 100

33p2(1� p) , se x = 200

3(1� p)3 , se x = 1000 , caso contrário.

b) Seja ~u(:) côncava a bernoulli de um agente. Para cada nível de renda wpodemos de�nir u(x) � ~u(w� x) que é côncava em x (porque?). Então seja Una utilidade de um agente que reparte o risco com outros n � 1 agentes. Entãotemos que:

U2 = (1� p)2u(0) + 2p(1� p)u(50) + p2u(100), e

U3 = (1� p)3u(0) + 3p(1� p)2u�100

3

�+ 3p2(1� p)u

�200

3

�+ (1� p)3u(100).

E temos, como u(:) é convexa,

u

�100

3

�� 1

3u(50) +

2

3u(0) e

u

�200

3

�� 1

3u(100) +

2

3u(50):

1

Então substituindo temos

U3 � U2: (desigualdade estrita se u(:) é estritamente côncava)

Problema 2 (Prova 2005) Considere duas loterias L1 e L2 que tenham amesma média, porém a variância de L1 é superior à variância de L2. Issosigni�ca que todo agente com utilidade bernoulli u(:) côncava prefere L2 a L1?Sempre é possível conseguir um agente com utilidade bernouli côncava u(:) quepre�ra L2 a L1? Mostre tal utilidade.

Solução 2 Não podemos a�rmar, a preferência do agente depende do nível deconcavidade e de toda a dispersão da loteria, principalmente no caso de loteriasassimétricas �ca mais difícil concluir.No entanto, sempre é possível de�nir a utilidade bernoulli u(x) = � [x� �]2,onde � é a média das duas loterias L1 e L2. Então E [u(x)] = E

h� (x� �)2

i=

�V ar(x) e esse indivíduo prefere a loteria L2 a L1. Sendo que u00(x) = �2 < 0,então o indivíduo é avesso (a utilidade é côncava).

Problema 3 (Prova 2005) Considere 2 agentes iguais em tudo, exceto suariqueza inicial (que é sua única fonte de renda). Ambos possuem utilidadebernouli

u(c) =c1��

1� � :

Os indivíduos investem em K ativos de risco que pagam retorno bruto Rk (var-iável aleatória). O problema do indivíduo i então pode ser escrito como

maxa1;:::;aK2RK+

E

"u

Wi �

KXk=1

akpk +KXk=1

akRk

!#:

Ache as K condições de primeira ordem e mostre que a proporção investida emcada ativo, dada por

�k �akpkwi

;

independe do nível de renda.

Solução 3 A condição de primeira ordem do problema é

E

(u0

"Wi +

KXk=1

ak(Rk � pk)#(Rk � pk)

)� 0 ( = 0 se ak > 0), k = 1; :::;K:

Que pode ser reescrita como:

E

8<:"Wi +

KXk=1

ak(Rk � pk)#��

(Rk � pk)

9=; � 0, ou

W��i E

8<:"1 +

KXk=1

akWi(Rk � pk)

#��(Rk � pk)

9=; � 0:

2

Como Wi > 0 (e logo desigualdade acima independe ddo valor Wi), então temosque essa condição de primeira ordem de�ne a razão ak

Wi, e logo também de�ne

�k =akWipk. Logo se dobramos a rende de um indivíduo, ele consederará ótimo

comprar o dobro em todos os ativos. O nome dessa função é CRRA (Constantrelative risk aversion), ou seja, a avaliação de risco desse indivíduo, em relaçãoa sua riqueza, é sempre a mesma. (Note que a CPO pode resumir a decisãopois a gunção objetivo é côncava - � > 0)

Problema 4 (Prova 2006) Uma variável aleatória têm distribuição U [a; b] (uni-forme) se tem densidade

f(x) =

�1b�a , se x 2 [a:b];0, caso contrário.

a) A ditribuição U [0; 2] domina distribuição U [0; 1]? Em que ordem?b) A distribuição U [�1; 1] domina a distribuição U [�2; 2]? Em que ordem?(desenhar os grá�cos pode ser útil.)

Solução 4 a) Temos que a distribuição U [0; 2] domina estocasticamente emprimeira ordem a distribuição U [0; 1]. Para veri�car considere qualquer funçãoutilidade crescente u(:) e vamos avaliar a comparação entre a utilidade esperadanas duas loterias:

E[0;2](u)� E[0;1](u) =

Z 2

0

u(x)

2dx�

Z 1

0

u(x)dx =

�Z 1

0

u(x)

2dx+

Z 2

1

u(x)

2dx

��Z 1

0

u(x)dx

=

Z 2

1

u(x)

2dx�

Z 1

0

u(x)

2dx =

Z 2

1

u(x)� u(x� 1)2

dx > 0:

b)Agora temos que a distribuição U [�1; 1] domina estocasticamente de segudnaordem U [�2; 2]. Para veri�car considere u(:) côncava. EntãoZ 1

�1

u(x)

2dx�

Z 2

�2

u(x)

4dx =

Z 1

�1

u(x)

2dx�

�Z �1

�2

u(x)

4dx+

Z 1

�1

u(x)

4dx+

Z 2

1

u(x)

4dx

�=

Z 1

�1

u(x)

4dx�

�Z �1

�2

u(x)

4dx+

Z 2

1

u(x)

4dx

�=

Z 1

0

u(x) + u(x� 1)4

dx��Z 1

0

u(x� 2)4

dx+

Z 1

0

u(x+ 1)

4dx

�=

1

4

Z 1

0

f[u(x� 1)� u(x� 2)]� [u(x+ 1)� u(x)]g dx � 0:

A última desigualdade vale pela concavidade de u(:), uma vez que isso implicaque uma unidade a mais de consumo gera ganhos decrescentes com o nível derenda. (Para provar, usa-se apenas o Teorema do Valro Médio).

Problema 5 (Prova 2007) Derive e mostre que a aproxmação de Arrow-Prattpara o prêmio de risco, quando o risco é multiplicativo, é uma função linear docoe�ciente de aversão ao risco relativo. Mostre que a aproximação é crescentena renda se o coe�ciente de aversão ao risco também o for.

3

Solução 5 Ver apostila.

Problema 6 (Prova 2007) O prêmio de risco compensado p é a mínima com-pensação que induz um agente a aceitar uma loteria não-degenerada. A funçãop(w0; u; ~x) é de�nida implicitamente por:

u(w0) = E [u (w0 + ~x+ p)] :

Mostre que o risco compensado é convexo no tamanho do risco, isto é, queg(�) � p (w0; u; �~x) é convexa em �. Isto não necessariamente é verdade parao prêmio de risco. (considere a loteria ~x tal que E(~x) = 0)

Solução 6 tome �1; �2 e � 2 (0; 1) quaisquer, e de�na �t = ��1 + (1� �)�1.vamos usar a equação que de�ne g(�) nesses três níveis:

u(w0) = E [u (w0 + �1~x+ g(�1))] ; (1)

u(w0) = E [u (w0 + �2~x+ g(�2))] e (2)

u(w0) = E [u (w0 + �t~x+ g(�t))] : (3)

Então combinando (1) e (2) temos:

�u(w0) + (1� �)u(w0) = u(w0) = �E [u (w0 + �1~x+ g(�1))] + (1� �)E [u (w0 + �2~x+ g(�2))]= E [�u (w0 + �1~x+ g(�1)) + (1� �)u (w0 + �2~x+ g(�2))] :

Cosiderando u(:) estritamente côncava:

u(w0)z }| {E [�u (w0 + �1~x+ g(�1)) + (1� �)u (w0 + �2~x+ g(�2))] (4)

> E [u (w0 + ��1~x+ (1� �)�2~x+ �g(�1) + (1� �)g(�2))] (5)

= E [u (w0 + ��t~x+ �g(�1) + (1� �)g(�2))] .

Comparando (4) com (3), vemos que

g(�t) > �g(�1) + (1� �)g(�2).

Logo, g(:) é convexa.

(Última questão foi cancelada.)

4

1. Suponha que um consumidor tem uma relacao de preferencia � noespaco de loterias L. Para dado (m, v) ∈ X := {(m, v) ; m ∈ R, v ≥ 0}seja (m, v) = {L ∈ L; E[L] = m, Var (L) = v}. Suponha que � sa-tisfaca a seguinte propriedade: para 0 < p < 1, x ∈ R,

y > z =⇒ y ◦ (1− p)⊕ x ◦ p � z ◦ (1− p)⊕ x ◦ p.

Defina uma relacao de preferencias induzida em X da seguinte maneira:(m′, v′) �X (m′′, v′′) se para toda loteria L′ ∈ (m′, v′) e L′′ ∈ (m′′, v′′)for verdade que L′ � L′′. Mostre que se (m′, v′) ∼X (m′′, v′′) entaov′ = v′′ ou m′ = m′′. O que isto permite concluir sobre uma analise deloterias baseada somente na media e variancia?

Sug. Se (m′, v′) ∼X (m′′, v′′) e v′ 6= v′′ e m′ 6= m′′ e considere as loteriasL = y ◦ (1− p)⊕ x ◦ p e L = z ◦ (1− p)⊕ x ◦ p.

x =v′m′′ − v′′m′

v′ − v′′ , p =(m′ −m′′)2

(m′ −m′′)2 + (v′ − v′′)2 .

y = m′ + v′ v′ − v′′

m′ −m′′ , z = m′′ + v′′ v′ − v′′

m′ −m′′ .

2. Uma firma competitiva tem custo de producao C (y) sendo C ′′ > 0 eC (0) = 0. O preco do unico produto e uma variavel aleatoria P comdistribuicao F e F (0) = 0. Suponha que a quantidade produzida yseja produzida antes da firma conhecer a realizacao de P e suponhaque a firma seja avessa ao risco. Mostre que se P �1 P e a utilidadede Bernoulli tenha aversao absoluta ao risco decrescente a producaoaumenta.

3. Seja a < b e c < d. Seja F a distruicao uniforme em [a, b] e G adistribuicao uniforme em [c, d]. Qual a relacao entre a, b, c, d para queF �1 G? E para que F �2 G?

4. Escolha a, b, c, d no exercıcio anterior para que F nao domine G nemG domine F em segunda ordem. Encontre um consumidor avesso aorisco que prefira a loteria F a loteria G.

1


Gabarito - Lista 8

Exercıcio 1. Suponha por contradicao que v′ 6= v′′ e m′ 6= m′′. Calculando a media e avariancia de L e L utilizando

p =(v′ − v′′)2

(v′ − v′′)2 + (m′ −m′′)2(1)

encontramos E(L) = m′, E(L) = m′′, V ar(L) = (v′)2 e V ar(L) = (v′′)2. Logo L ∈(m′, (v′)2) e L ∈ (m′′, (v′′)2). Se (m′, (v′)2) ∼ (m′′, (v′′)2), temos L ∼ L. Mas temos y > zou z > y, contradicao com a propriedade de � admitida no enunciado.

Exercıcio 2. O objetivo do exercıcio e aplicar a Proposicao 48 a este caso especıfico.Temos π(y, p) = py − C(y). Considere P = t(P ) �1 P e suponha que t′ ≤ 1.Entao

• u′ > 0 > u′′ e r′(x) ≤ 0

• πp > 0, πpp = 0, πyy < 0 e πyp ≥ 0

• Se k(p) = t(p)− p, temos k′ ≤ 0, pois t′ ≤ 1

Portanto, pela Proposicao 48, a producao otima sob P e maior do que a producao sobP .

Exercıcio 3. Temos F �1 G ⇔ F (x) ≤ G(x), ∀x ⇔ x−ab−a≤ x−c

d−c,∀x ⇔ a ≥ c e b ≥ d.

Usando a definicao mais geral de �2. Se F �1 G ⇒ F �2 G. Por outro lado, se naovale F �1 G, entao existe x? ∈ (a, b) tal que se x ≤ x? temos F (x) ≤ G(x) e se x > x?

temos F (x) ≥ G(x). Podemos entao aplicar a Proposicao 44. Obtemos assim F �2 G ⇔a+b2≥ c+d

2⇔ a− c ≥ d− b. F �2 G ⇔ a− c ≥ d− b ou a ≥ c e b ≥ d.

Exercıcio 4. Tome a = 0.35, b = 0.6, c = 0 e d = 1. Temos a− c = 0.35 < 0.4 = d− b eb < d. Mas EF

√x ' 0.687187 > 2/3 = EG

√x.

1

Gabarito Prova 1 2008 - Microeconomia IProf. Carlos EugênioMonitor: Vitor Farinha

Questão 1 (2 pontos)

Temos a seguinte utilidade indireta:

V (p; y) = [k + (�+ �) log y � � log p1 � � log p2]3 :

a) (0,5 ponto) Pela identidade de Roy: x1(p; y) = �@V (p;y)=@p1@V (p;y)=@y =

��

�+�

�yp1e

analogamente x2(p; y) = �@V (p;y)=@p2@V (p;y)=@y =

��

�+�

�yp2:

b) (0,5 ponto) Temos a igualdade V (p; e(p; u)) = u: De onde vem

u1=3 = k + (�+ �) log e(p; u)� � log p1 � � log p2 =)

) log e(p; u) =u1=3 � k(�+ �)

+� log p1(�+ �)

+� log p2(�+ �)

:

Temos então

e(p; u) = p( ��+� )1 p

( ��+� )2 ; onde � exp

�u1=3 � k(�+ �)

�:

c) (0,5 ponto) �1(p; u) =@e(p;u)@p1

= �

��+�

�p( ��+� )1 p

( ��+� )2 =

��

�+�

��p2p1

�( ��+� )

,

e analogamente �2(p; u) = �

��+�

��p1p2

�( ��+� )

:

d) (0,5 ponto) Para provar que a matriz de slutsky é simétrica basta ver que@�1(p;u)@p2

= @�2(p;u)@p1

:De fato, temos que:

@�1(p; u)

@p2=

��

(�+ �)21

p( ��+� )1 p

( ��+� )2

=@�2(p; u)

@p1:


a) (0,6 ponto) A função despesa é côncava ) Ver Mas-Colell, pág.59.

b) (0,7 ponto) A matriz de slutsky é negativa semi-de�nida =)Ver Mas-Colell,pág.69. (Note que a matriz não é negativa de�nida pois a homogeneidadede grau zero nos preços da demanda hicksiana implica @p�(p; u) � p = 0:)

1

c) (0,7 ponto) Seja

�c�j(p�j ; u; xj) =argminx�j p�j � x�js.a. u(x�j ; xj) � u

(Hicksiana condicional); e

��j(p; u); �j(p; u)

�=

argminx p � xs.a. u(x�j ; xj) � u

(Hicksiana tradiconal).

Temos a seguinte igualdade

�c�j(p�j ; u; pj ; �j(p; u)) = ��j(p; u): (1)

Derivando �ci (p�j ; u; xj) em (1) por pi, temos

@�ci (p�j ; u; pj ; �j(p; u))

@pi+@�ci (p�j ; u; pj ; �j(p; u))

@xj

@�j(p; u)

@pi=@�i(p; u)

@pi;

e derivando (1) por pj temos

@�ci (p�j ; u; pj ; �j(p; u))

@xj

@�j(p; u)

@pj=

@�i(p; u)

@pj)

)@�ci (p�j ; u; pj ; �j(p; u))

@xj=

@�i(p;u)@pj

@�j(p;u)

@pj

:

Usando as duas equações acima, segue

@�i(p; u)

@pi�@�ci (p�j ; u; pj ; �j(p; u))

@pi=

@�i(p;u)@pj

@�j(p;u)

@pi

@�j(p;u)

@pj

=Simetria slutsky

�@�i(p;u)@pj

�2@�j(p;u)

@pj

< 0:

Como @�i(p;u)@pi

e@�ci (p�j ;u;pj ;�j(p;u))

@pisão negativos (a demanda condicional

também vem de um problema de minimização de custos, e logo o jacobianoda demanda em relação a preços é negativo semide�nido também) temosque o efeito de uma variação no preço i sobre a demanda compensada dobem i é maior no longo prazo (com ajuste de todas as quantidades) doque no curto prazo (com nível de xj �xado).

Questão 3 (1 ponto)

A receita tarifária gerada pelo indivíduo i é dada por:

RTi = t � xi(p+ t; yi)= (p+ t) � xi(p+ t; yi)� p � xi(p+ t; yi)= yi � p � xi(p+ t; yi):

2

Ao mesmo tempo temos que a variação equivalente desse indivíduo é

EVi = ei(p; ui0)� e(p; ui1)

= ei(p; vi(p; yi))� ei(p; vi(p+ t; yi))= yi � ei(p; vi(p+ t; yi)):

Mas temos que ei(p; vi(p+t; yi)) � p�x(p+t; y) (geralmente menor estrito, já queo indivíduo pode achar uma forma mais barata de atingir utilidade vi(p+ t; yi)- visto em monitoria). Logo EVi � RTi:Esse resultado sugere que o governo deveria arrecadar diretamente da renda dosindivíduos ao invés de taxação sobre os preços dos bens. Ele pode arrecadarmais gerando a mesma perda de bem-estar, ou então poderia arrecadar o mesmomontante com perda de bem-estar menor. O problema é que a variação equiv-alente do indivíduo i é de�nida por EVi = yi � ei(p; vi(p+ t; yi)), então para ogoverno arrecadar a variação equivalente de cada indivíduo ele teria que poderidenti�car cada um (saber a renda e a preferência de todos).

Questão 4 (1,5 pontos) Sendo U : S1 � S2 ! R fracamente separávelsabemos que é da forma U(x1; x2) = V (u1(x1); u2(x2)):8x; y 2 S2, U(x10; x) e U(x10; y) são números reais, logo

U(x10; x) � U(x10; y) =) (x10; x) % (x10; y)) x %2 you

U(x10; x) � U(x10; y) =) (x10; y) % (x10; x)) y %2 x:

Logo, %2 é completa.Sejam x; y; z tais que x %2 y e y %2 z, então

(x10; x) % (x10; y)) U(x10; x) � U(x10; y) e

(x10; y) % (x10; z)) U(x10; y) � U(x10; z).

Logo

U(x10; x) � U(x10; y) � U(x10; z)) U(x10; x) � U(x10; z)

) (x10; x) % (x10; z)) x %2 z:

%2 é transitiva.Além disso temos que

U(x10; x) = V (u1(x1); u2(x2)) � U(x10; y) = V (u1(x10); u2(y))

mu2(x) � u2(y)

mV (u1(z); u2(x)) � V (u1(z); u2(y)); 8z 2 S1:

3

E temos que a (pré) ordenação de preferências sobre S2 independe da escolhade x10 2 S1.

Questão 5 (1,5 pontos)

Tarifa ) T (Y ) =

�t0Y , se Y < Yt0Y + t1(Y � Y ) , se Y � Y :

(t0 < t1 e Y = wl:)

E a utilidade éu(c; l) = log c+ log(1� l):

a) (0,5 ponto) R.O. "relevante" para o indivíduo 1) c = wl�t0Y �t1(Y �Y )) c = w(1�t1)l+ (t1 � t0)Y| {z }

renda virtual do indivíduo 1)I1

:

R.O. "relevante" para o indivíduo 2) c = wl � t0Y ) c = w(1� t0)l + 0|{z}

renda virtual do indivíduo 2)I2

:

(Necessária explicação do que é a renda virtual.)

b) (1 ponto) Sabemos que o indivíduo 1 escolhe Y > Y , então seu compor-tamento (na margem) é o de um indivíduo com restrição linear ao preçow(1 � t1) e renda não ligada ao trabalho I1. O mesmo vale para o indi-víduo 2. Então a oferta de trabalho é (solução padrão do problema doconsumidor):

l1(w; t0; t1; I1) = 1��

1 +

��1 +

I1w(1� t1)

�, e da mesma forma,

l2(w; t0; t1; I2) = 1��

1 +

��1 +

I2w(1� t1)

�:

i, ii e iii)

@l1

@Y= �

�

1 +

�@I1=@Y

w(1� t1)= �

�

1 +

�(t1 � t0)w(1� t1)

< 0;

@l1

@t0= �

�

1 +

�@I1=@t0w(1� t1)

=

�

1 +

�Y

w(1� t1)> 0;

@l1

@t1= �

�

1 +

��@I1=@t1w(1� t1) + wI1

w2(1� t1)2

�;

= ��

1 +

��Y w(1� t1) + wI1

w2(1� t1)2

�< 0:

Como I2 = 0,@l2

@t0=@l2

@t1=@l2

@Y= 0.

4


a) (0,4 ponto) Falso, o aumento do preço de um bem só reduz o conjuntoorçamentário do indivíduo, ele não pode melhorar.

b) (0,4 ponto) Verdadeiro, u(x; y) = A�(x)� (y)� = exp(logA + � log �(x) +� log (y)): De�na U : R ! R por U(x) � exp(logA + x), u1(x) �� log �(x) e u2(x) � � log (y). Então temos que u(x; y) = U(u1(x) +u2(y)) e u(:) é fortemente separável.

c) (0,4 ponto) Falso. Seja U(x1; :::; xI) = V (u1(x1) + :::+ uI(xI)), onde U(:) éuma utilidade fortemente separável nos grupos 1; :::; I.Podemos escrever o problema de minimização de custos como:

(�1(p; u); :::; �I(p; u)) =argmin(y1;:::;yI) y1 + ::::+ yIs:a: v1(y1) + :::+ vI(yI) � V �1(u);

(2)

onde:

vi(pi; yi) =maxxi ui(xi)s:a: pi � xi � yi

(3)

para i = 1; :::; I. O problema (2) determina a alocação da renda en-tre os grupos, enquanto o problema (3) se refere a otimizção dentro decada grupo, e gera um vetor de demandas marshalianas, para cada rendaalocada para o grupo:

(xi1(pi; yi); :::; xini(pi; yi)) =argmaxxi ui(xi)s:a: pi � xi � yi:

Temos então, que para o bem h pertencente ao grupo H e para o bem qdo grupo Q; �h(p; u) = xHh(pH ; �H(p; u)), logo

@�h(p; u)

@pq=@xHh(pH ; �H(p; u))

@yH| {z }?0

@�H(p; u)

@pq| {z }>0

:

O segundo termo é negativo pois ao aumentar o preço de um bem do grupoQ, o indivíduo vai realocar mais renda para os outros grupos (a utilidademarginal da renda no grupo Q caiu). Mas o primeiro termo é de sinalinde�nido uma vez que ele depende se o bem h é normal ou inferior dentrodo grupo H.

d) (0,4 ponto) Falso. Considere, por absurdo, % não contínua representada porU(:) contínua. Como a preferência é não contínua, 9 sequências de cestasfxngn2N e fyngn2N tais que

xn % yn, 8n 2 N, ou seja, U(xn) � U(yn); 8n 2 N;

mas quelimxn � lim yn:

5

Porém,

U(xn) � U(yn); 8n 2 N) limU(xn) � limU(yn):

Mas se U(:) é contínua,

limU(xn) = U(limxn) e limU(yn) = U(lim yn):

EntãoU(limxn) � U(lim yn)) limxn % lim yn;

uma contradição.

e) (0,4 ponto) Falso. Como sua demanda excedente era zero, o indivíduo podecontinuar comprando a mesma cesta aos novos preços, então estará pelomenos tão bem quanto antes (de fato, ele pode estar melhor!).

6

Gabarito da Prova 2 de Microeconomia I - 2008Professor: Carlos E. E. da CostaMonitor: Vitor Farinha Luz

Solução 1 (1 ponto) a)Veja que apenas de�nimos que as preferências sãohomotéticas, sem dizer nada sobre a representação de utilidade especí�ca emquestão. Sendo assim, há liberdade para trabalhar com a representação que maislhe convier. Sabemos que uma preferência homotética possui uma representaçãode utilidade u(:) homogênea (a existência de uma representação já é assumidana questão). A partir daí temos que a utilidade indireta v(p; y) é da forma

v(p; y) = y (p):

Pois como u(:) é homogênea de grau 1 e sabemos que as demandas serão ho-mogêneas de grau 11 , temos

v(p; y) = u [x (p; y)] = u [yx (p; 1)] = yu [x(p; 1)]| {z } (p)

:

(1 ponto) b)Considere as funções utilidade indireta descritas acima, então oproblema do planejador pode ser escrito da forma (exercício 5 da lista 4)

maxy1;:::;yI

( PIi=1 �i log [yi i(p)]

s.a.PIi=1 yi � y

=IXi=1

�i log [ i(p)]+ maxy1;:::;yI

( PIi=1 �i log (yi)

s.a.PIi=1 yi � y:

Com condição de primeira ordem (o problema é côncavo em fyigIi=1)

�iyi

= �;

IXi=1

yi = y:

(� é o multiplicador de lagrange da restrição.) O que nos dá a regra distributivaótima �i(p; y) = �iy (que é da forma �i(p; y) = �iy, com �i = �i, 8i).

Solução 2 (0,6 ponto) a)Temos que

[y (w; p) ; x (w; p)] = arg max(y;x)2Y

py � x � w| {z }�(w;p)

, e

1Suponha, por contradição, que temos x(p; �y) 6= �x(p; y). Então, como x(p; y) era factívelcom a renda y, ou seja, p � x(p; y) � y, então �x(p; y) é factível com a renda �y (p ��x(p; y) =� (p � x(p; y)) � �y). Então temos que x(p; �y) � �x(p; y) ) 1

�x(p; �y) � x(p; y) (homoteti-

cidade de %). Mas então, como 1�x(p; �y) é factível à renda y, então x(p; y) não poderia ser

a demanda, uma contradição.

1

x (w; y) = arg min(y;x)2Y

x � w:

E temos que vale:

x (w; p) = x [w; y (w; p)]) @ixi (w; p) = @ix [w; y (w; p)]+@yx [w; y (w; p)] @iy (w; p) :

Mas sabemos, pelo teorema do envelope:

@iy (w; p) = @2pi� (w; p) = @2ip� (w; p) = �@pxi (w; p) = �@px [w; y (w; p)]= �@yx [w; y (w; p)] @py (w; p)

, logo

@ixi (w; p) = @ix [w; y (w; p)]� f@yx [w; y (w; p)]g2 @py (w; p)| {z }@2pp�(w;p)>0 (convexidade)

:

Logo, temos que @ixi (w; p) < @ix [w; y (w; p)].

(0,6 ponto) b)Temos que vale (p1�p2)�[y (p1)� y (p2)] = p1 �[y (p1)� y (p2)]+p2 � [y (p2)� y (p1)]. Mas, por de�nição de função lucro:

p1 � y(p1) � p1 � y; 8y 2 Y e

p2 � y(p2) � p2 � y; 8y 2 Y:

Em especial, p1 � y(p1) � p1 � y (p2) ) p1 � [y(p1)� y(p2)] � 0 e p2 � y(p2) �p2 � y(p1) ) p2 � [y(p2)� y(p1)] � 0. A soma das duas desigualdades prova oresultado.

(0,8 ponto) c)O problema do indivíduo i então pode ser escrito como

maxa1;:::;aK2RK+

E

"u

Wi �

KXk=1

akpk +KXk=1

akRk

!#:

A condição de primeira ordem do problema é

E

(u0

"Wi +

KXk=1

ak(Rk � pk)#(Rk � pk)

)� 0 ( = 0 se ak > 0), k = 1; :::;K:

Que pode ser reescrita como:

E

8<:"Wi +

KXk=1

ak(Rk � pk)#��

(Rk � pk)

9=; � 0 ( = 0 se ak > 0), ou

W��i E

8<:"1 +

KXk=1

akWi(Rk � pk)

#��(Rk � pk)

9=; � 0 ( = 0 se ak > 0):

Como Wi > 0 (e logo desigualdade acima independe ddo valor Wi), então temosque essa condição de primeira ordem de�ne a razão ak

Wi, e logo também de�ne

2

�k =akWipk. Logo se dobramos a rende de um indivíduo, ele consederará ótimo

comprar o dobro em todos os ativos. O nome dessa função é CRRA (Constantrelative risk aversion), ou seja, a avaliação de risco desse indivíduo, em relaçãoa sua riqueza, é sempre a mesma. (Note que a CPO pode resumir a decisãopois a gunção objetivo é côncava - � > 0).

Solução 3 (0,5 ponto) a) O valor mínimo que um indivíduo pelo qual ele sedispõe a vender a loteria é pv de�nido por:

�u (W +G) + (1� �)u (W +B) = u(W + pv): (1)

Esse é o valor que deixaria o indivíduo entre �car indiferente entre a loteria ea venda (nesse caso não há incerteza). A compensação ocorre quando o agentetem certeza. Para qualquer valor acima desse o indivíduo aceita vender a loteria(sendo u(:) crescente). (Caso essa loteria tivesse valor esperado nulo, esse seriao prêmio de risco.)

(0,5 ponto) b)O valor máximo que o indivíduo está disposto a pagar é pc

de�nido implicitamente por:

�u (W +G� pc) + (1� �)u (W +B � pc) = u(W ): (2)

Nesse caso o indivíduo paga pc quando a incerteza ocorre (ele comprou a loteria,então terá incerteza e pagará o preço). Para qualquer valor abaixo desse o indi-víduo aceita comprar a loteria (sendo u(:) crescente). (Caso o valor esperado daloteria fosse nulo, esse seria o prêmio de risco compensado discutido na últimalista.)

(0,5 ponto) c) Considere um indivíduo com aversão absoluta ao risco con-stante, com utilidade u(c) = � exp (��c) (função CARA).Então pc e pv são de�nidos por:

�� exp f�� [w +G� pc]g � (1� �) exp f�� [w +D � pc]g = � exp [��w] e�� exp f�� [w +G]g � (1� �) exp f�� [w +D]g = � exp [�� (w + pv)] :

Manipulando a primeira equação

�� exp f�� [w +G� pc]g � (1� �) exp f�� [w +D � pc]g = � exp [��w])

) � exp (�pc) f� exp f�� [w +G]g+ (1� �) exp f�� [w +D]gg = � exp f��wg )

) f�� exp f�� [w +G]g � (1� �) exp f�� [w +D]gg = � exp f��wg exp (��pc) == � exp [�� (w + pc)])

) pc = pv.

Então temos que se o indivíduo possue aversão absoluta ao risco constante,então pv = pc.

3

O caso em que o indivíduo é neutro ao risco é um caso especí�co de aversãoabsoluta ao risco constante, já que u00(:) = 0, mas é o único caso em que afunção não pode ser expressa na forma descrita acima. Se o indivíduo é neutroao risco (u(c) = c), então (1) �ca

� (W +G) + (1� �) (W +B) = W + pv

) pv = �G+ (1� �)B:

Analogamente, (2) �ca:

� (W +G� pc) + (1� �) (W +B � pc) = W

) pc = �G+ (1� �)B:

Assim pc = pv.

(0,5 ponto) d)Nesse caso temos G = 44, B = 21, W = 100 e u(x) =px.

Então a expressão (1) �ca

�p100 + 44 + (1� �)

p100 + 21 =

p100 + pv

12� + 11(1� �) =p100 + pv

pv = (11 + �)2 � 100:

E a expressão (2) �ca como

�p100 + 44� pc + (1� �)

p100 + 21� pc =

pW:

(não tem uma forma fechada, mas a função já está de�nida implicitamente - aequação só tem uma solução.)

Solução 4 O indivíduo desse problema se confronta com um risco ", e tema possbilidade de comprar um ativo que paga exatamente a realização dessavariável aleatória em cada estado da natureza. Caso " seja um choque negativoesse ativo é um seguro. O ativo afeta o bem-estar do indivíduo através dasfunções �(:) e (:), mas apenas nos importa a relação de " com a avaliação deriqueza monetária (a função �(:)), que é a afetada pelo ativo O problema doindivíduo em comprar o ativo pode ser escrito como2

maxk2R+

E f� [y � �"+ k("� p)] + (")g :

Podemos ver que a função objetivo é côncava em k, então podemos analisar asolução do problema através da CPO:

E��0 [y � �"+ k("� p)] ("� p)

� 0 ( = 0, se k > 0).

2Poderia ser incluída a restrição de renda: pk � y. No entanto, a única mudança na questãotoda seria no caso em que � > 0, quando o agente quer comprar ativos, ele pode não conseguirse segurar totalmente (o importante da questão é se ele irá comprar alguma quantidade).Nesse caso, levando em consideração essa restrição, o agente com � > 0 compraria: k� = �,se �p � y, e k� = y

p, se �p > y.

4

Dessa equação podemos ver que o que importa para o indivíduo ao comprar umativo correlacionado com algum choque é como esse choque afeta a utilidademarginal da renda (a função (:) não é importante).

(1 ponto) a) Temos que � = 0 e p = E("). Então a CPO avaliada em k = 0é:

E��0 (y) ("� p)

�= �0(y)E ("� p) = 0:

Então podemos concluir, como a função objetivo é estritamente côncava em k,que o ótimo para o indivíduo será k = 0.

(1 ponto) b)Ainda consideramos E(") = p. Para saber se o agente compraráquantidade positiva do ativo, temos apenas que avaliar a condição de primeiraordem em k = 0. Caso seja satisfeita, sabemos que esse é o ótimo. Casocontrário, sabemos que o ótimo será com k > 0.

E��0 [y � �"] ("� p)

= Cov

��0 (y � �") ; "� p

�: R 0, � R 0:

No caso � > 0, o choque aumenta a utilidade marginal da renda, então umativo que paga mais quando esse choque é maior é bem-vindo pelo indivíduo(um exemplo seria o seguro de vida feito para o pai de família). No caso � < 0,o contrário ocorre, e o indivíduo deseja levar renda para os estados em que " émenor (um exemplo seria o seguro de vida que o pai não faz para o seu �lho).No entanto isso não é possível pois ele só pode comprar quantidades positivasdo ativo. No caso � = 0, o choque em questão não afeta em nada a valoraçãomarginal da renda pelo indivíduo, então não há porque ele negociar compensaçãomonetária por esse choque. Note que em qualquer um dos casos o choque podeser algo positivo ou negativo, isso depende se 0(")� ��0(y � �") é positivo ounegativo. O importante é apenas o efeito do choque na utilidade marginal darenda.

Solução 5 (0,5 ponto) a) @iy(w; p) = @2pi�(w; p) Q 0: Sabemos que a funçãolucro �(w; p) é convexa, então sabemos que @2(p;w)�(w; p) é positiva semi-de�nida.Sendo assim podemos a�rmar que os termos diagonais são positivos (@2ii�(w; p) >0), mas nada podemos a�rmar sobre efeitos cruzados, então pode ser que o au-mento do preço de um insumo aumente a quantidade produzida.

Alternativamente: No ótimo temos p = @yc (w; y) :Mantendo p constante, temos0 = @yic (w; y) dwi + @yyc (w; y) dy: Donde,

dy

dwi= � @yic (w; y)

@yyc (w; y)= �@yx

i (w; y)

@yyc (w; y)? 0

dependendo de ser o insumo �normal�� @yxi (w; y) � 0 � ou inferior� @yx

i (w; y) <0: Como dy=dp > 0, o resto segue daí.

(0,5 ponto) b) Falso. Geralmente teremos d� (p; u) = dpPh S

h�p; uh

�+

5

dpH onde H é uma matriz negativa semi-de�nida e simétrica. Ela é nec-essariamente simétrica para que exista um consumidor representativo positivo(condição necessária mas não su�ciente) e tem que ser negativa semi-de�nidapara que o consumidor representativo seja normativo.

(0,5 ponto) c)Verdadeiro. Considere o problema de um indivíduo que vive 2períodos e decide poupar ou não, tendo uma renda incerto no período 1 (consid-eremos, para simplicidade do argumento, taxa de juros nula)

maxsu(y0 � s) + �E [u(y1 + s)] ;

com condição de primeira ordem

�u0(y � s) + �E [u0(y1 + s)] = 0:

Suponha que elevamos a variabilidade de y1 mantendo sua média constante.Para a�rmar o que acontece com a condição acima, precisamos saber a concavi-dade da função u0(:), que é determinada pela função u000(:). Caso u000(:) < 0,a função u0(:) é côncava, então se a variabilidade de seu argumento aumenta,através de um mean preserving spread, E [u0(y1 + s)] se reduz, então a condiçãode primeira ordem, avaliada no nível de poupança inicial, seria negativa, ouseja, o indivíduo gostaria de diminuir sua poupança. O contrário vale casou000(:) > 0. (estamos falando o aumento na varibilidade de y1 ser um meanpreserving spread com relação a distribuição inicial). Temos que�

�u00(c)

u0(c)

�0=

�u000(c)u0(c) + u00(c)2u0(c)2

< 0) u000(c) > 0, e��u

00(c)

u0(c)c

�0=

�u000(c)u0(c)c� u00(c)u0(c) + u00(c)2cu0(c)2

< 0) u000(c) > 0:

Então se algum dos coe�cientes de aversão ao risco é decrescente na rendasabemos que u000(:) > 0, então ao aumentar a incerteza quanto à sua rendafutura, o agente aumenta a poupança.

(0,5 ponto) d) Verdadeiro. Seja U(:) a função utilidade que de�ne preferênciassobre sequências de consumo fctgt2N. Então temos que se U(:) é recursiva,então

U(c) = u(c0)+�U(c1) = u(c0)+�

�u(c1) + �U(c

2)�= ::: =

t=TXt=0

�tu(ct)+�T+1U(cT+1):

Sendo que c� = fct+�gt2N = (c� ; c�+1; c�+2; :::). Então podemos ver que

@ctU(c)

@ct+�U(c)=

�tu0(ct)

�t+�u0(ct+� )= ��|{z}

f(�)

u0(ct)

u0(ct+� ):

6

Prova de Reposição de Micro I

18/04/2008

Questão 1 (2 pontos): Considere um agente cuja função utilidade indireta é

v (p; y) = �+ (�+ �) log I � � log p1 � � log p2;

onde � é uma constante, I é a renda do indivíduo, p1 e p2 são os preços, respectivamente,

dos bens 1 e 2:

a) Ache as demandas marshallianas dos bens 1 e 2

b) Ache a função despesa e as demandas hicksianas dos bens

c) Como a utilidade marginal da renda varia como função de mudanças nos preços?

Ache a demanda Frisch.

Questão 2 (1,5 pontos): Uma �rma tem função de produção (Leontief)

y = minf�x1; �x2g; �; � > 0:

a) Mostre que a demanda condicional de fatores independe dos preços. Explique a razão

econômica para isso.

b) Ache as funções lucro, demanda de cada insumo e oferta do produto.

c) Suponha que o insumo 1 seja usado somente nessa indústria (ou seja somente por

�rmas que produzem este bem.) É razoável, neste caso, supor que a oferta da indústria

é in�nitamente elástica? Que hipótese adicional sobre a oferta do insumo garante este

resultado?

Questão 3 (1 ponto) Considere uma economia em que todos os agentes de deparam

com um risco idiossincrático de perder $100 com probabilidade p: Um grupo de N agentes

se junta para repartir os riscos de maneira igual. Ou seja, dividem de forma igual a soma

dos prejuízos que eventualmente ocorrerem.

1) Descreva o risco residual de cada agente quando N = 2 e N = 3:

1

2) Mostre que ao passar de N = 2 para N = 3; o risco carregado por cada agente é

reduzido no sentido de dominância estocástica de segunda ordem. [dica: desenhe a CDF]

Questão 4 (2 pontos):

a) Suponha que um agente tem preferências homotéticas. Mostre que existe uma

representação para suas preferências que induz uma função utilidade indireta

v (p; y) � � (y) (p)

b) Considere uma economia composta somente de agentes com preferências homotéti-

cas (não necessariamente iguais), usando a representação como a apresentada acima, e

suponha que a função de bem-estar social seja

W�u1; :::; uI

��Xi

�i log�ui��i > 0 8i e

Xi

�i = 1

mostre que a regra ótima de repartição de renda é �i (p; �y) = �i�y, onde �y é a renda

agregada da economia.

Questão 3 (1,5 pontos) Mostre que: a) a função utilidade indireta é quase-convexa

em preços e renda; b) A demanda de um insumo k é decrescente em seu preço e a oferta

do produto j crescente em seu preço.

Questão 5 (2 pontos): Responda Verdadeiro ou Falso justi�cando.

a) O aumento do preço de um bem pode reduzir o custo marginal de aumentar a

utilidade.

b) Considere duas loterias, L1 e L2 de médias iguais e suponha que a variância de

L1 é maior do que a variância de L2; então, todo agente com utilidade Bernoulli u (�)crescente e côncava prefere L2 a L1:

c) Se duas �rmas são iguais em todos os aspectos exceto seus custos �xos não-

afundados então suas curvas de oferta são iguais no curto, mas não no longo prazo.

Se, porém, a diferença é somente em custos afundados então as curvas de oferta serão

iguais independentemente do prazo.

d) As �rmas maximizadoras de lucro fazem hedge, porque a a variabilidade dos preços

diminui seu lucro esperado.

2

Gabarito da Prova Substitutiva de Microeconomia I - 2008Prof.: Carlos E.E. da CostaMonitor: Vitor F. Luz

Questão 1) (2 pontos) Vide Gabarito Questão 8 da prova 3 (no item (b)faltou dizer que �i =

@e(p;u)@pi

, para i = 1; 2).a) (0,7 ponto) b) (0,7 ponto) c) (0,6 ponto)

Questão 2) (1,5 pontos)a) (0,5 ponto) A função de produção da �rma é dada por F (x1; x2)min f�x1; �x2g,com �; � > 0. Então o problema de minimização de custos da �rma é dado por

[xc1(w; y); xc2(w; y)] = arg min

x1;x2�0

�w1x1 + w2x2s.a. min f�x1; �x2g � y:

Podemos ver facilmente que �xc1 6= �xc2 nunca é solução (com preços posi-tivos), pois imagino uma "solução" com �xc1 > �x

c2, então pela restrição temos

�xc1 > �xc2 � y, assim a �rma poderia diminuir na margem a demanda de x1,

diminuindo seu custo e ainda satisfazendo a restrição. Sabemos também que arestrição vale na igualdade, senão teríamos �xc1 > y e �x

c2 > y e a �rma pode

diminuir na margem qualquer um de seus insumos. Então temos

�xc1(w; y) = �xc2(w; y) = y ) [xc1; x

c2] (w; y) =

�y

�;y

�

�:

Pode ser visto que a demanda condicional não depende do preço dos fatores. Issose dá pois essa é uma tecnologia de proporções �xas, então não há nenhum graude substitutabilidade entre os fatores e logo os preços relativos não importam.

b) (0,5 ponto) temos que (vide Gabarito da questão 4 da Lista 6 - item (d))

[y; x1; x2; �] (p; w) =

8<:[+1;+1;+1;+1] , se p > w1

� + w2� ;

[0; 0; 0; 0] , se p < w1� + w2

� ;

[ND;ND;ND; 0] , se p = w1� + w2

� :

(ND signi�ca "Não de�nido").

c) (0,5 ponto) Dados os preços dos insumos, a oferta da �rma é de fato in�ni-tamente elástica ao preço w1

� + w2� . No entanto também precisaríamos (e no

problema estamos implicitamente assumindo) que a oferta dos insumos fosse in-�nitamente elástica aos preços w1 e w2, pois observe que a �rma precisa podercomprar qualquer quantidade dos fatores a esse preço. Então não parecerazoável esperar que na economia uma �rma possa produzir uma quantidadeinde�nidamente grande de algum produto (vivemos em um mundo de recursosescassos).

1

Questão 3) (1 ponto) Vide gabarito da questão 1 da Lista 8 (itens (a) e(b) valem 0,5 ponto cada).

Questão 4) (2 pontos) Vide gabarito da questão 1 da Prova 2. (itens (a) e(b) valem 1 ponto cada.)

Questão 5) (1,5 pontos)a) (0,75 ponto) Vide Mas-Colell, pág. 56.

b) (0,75 ponto) Seja �(p) e y(p) as funções lucro e oferta de uma �rma, re-spectivamente, então temos que y(p) = Dp�(p) ) Dpy(p) = D2

p�(p), e pelaconvexidade de �(p)1 temos que Dpy(p) é positiva semi-de�nida, o que implicaque @yi(p)

@pi� 0, 8i. Então segue que a oferta de cada produto é crescente em

seu preço e a demanda de cada insumo é decrescente em seu preço (lembre quese yj é um insumo então yj < 0).

Questão 6) (2 pontos)a) (0,5 ponto) Verdadeiro. Considere o problema de minimização de custos doconsumidor

e(p; u) = minx2Rn+

�p � xs.a. u(x) � u:

Então temos que o custo marginal de aumentar a utilidade é @e(p;u)@u (como

V (p; e(p; u)) = u) @V (p;e(p;u))@y =

h@e(p;u)@u

i�1), então queremos saber o sinal de

@ (@e=@u)

@pi=@2e(p; u)

@u@pi=@2e(p; u)

@pi@u=@�i(p; u)

@u=@xi(p; e(p; u))

@y| {z }Q0

@e(p; u)

@u| {z }>0

Q 0:

Vemos assim, que o sinal depende de o bem ser normal ou inferior.

b) (0,5 ponto) Falso. Ver questão 2 da lista 8.

c) (0,5 ponto) Falso. Os custos �xos nao importam no longo prazo (na verdade,a própria de�niçaõ de longo prazo é o prazo no qual os insumos �xos podem servariados). Então as curvas de longo prazo são iguais se a �rma difere em custos�xos não afundados. Enquanto isso, a segunda parte da a�rmativa está correta.Custos afundados não afetam decisão alguam da �rma.

d) (0,5 ponto) Falso. como o lucro é uma função convexa, o lucro esperado crescecom a variabilidade dos preços (variabilidade no sentido de mean preservingspread). Veja que, pela desiguldade de Jensen, E [�(p)] � � [E(p)].

1Considere p1; p2 2 Rn++ e � 2 [0; 1] quaisquer e de�na p� = �p1 + (1 � �)p2 e y1; y2; y�como as ofertas aos respectivos preços. Então temos que p1 �y1 � p1 �y� e p2 �y2 � p2 �y�, logo� (p1 � y1) + (1� �)(p2 � y2) � [�p1 + (1� �)p2] � y�, ou seja, ��(p1) + (1� �)�(p2) � �(p�).

2

Microeconomia I - 2008Prof.: Carlos E. E. L. da CostaMonitor: Vitor Farinha Luz

Questão 4 (1a prova 2006) Considere uma sociedade onde todas as pessoastêm as mesmas preferências sobre lazer e consumo representáveis pela função

ui (c; l) =

( �c1�� + l1��

� 11�� para � > 0; � 6= 1

log c+ log l para � = 18i

Cada indivíduo i tem, uma restrição orçamentária ci + liwi = wi: A únicadiferença entre as pessoas nesta sociedade é sua produtividade, wi:i) Ache a elasticidade de substituição entre consumo e lazer.ii) Quem trabalha mais, agentes mais produtivos (wi maiores) ou menos produ-tivos (wi menores) se:a) a elasticidade de substituição é menor do que um?b) a elasticidade de substituição é igual a um?c) a elasticidade de substituição é maior do que um?

iii) Quem tem utilidade maior, os mais ou os menos produtivos?

Solução 1 i)Da utilidade temos:

@u(c; l)

@c=

8><>:(c1�� + l1��)

�1�� (1� �)c��

(1� �) ,se � � 0 e � 6= 11

c,se � = 1;

@u(c; l)

@l=

8><>:(c1�� + l1��)

�1�� (1� �)l��

(1� �) ,se � � 0 e � 6= 11

l,se � = 1:

Logo, TMS =@u(c;l)

@l@u(c;l)@c

=

� �cl

��,se � � 0 e � 6= 1

cl ,se � = 1;

. E sabemos que no ótimo

vale a CPO:

TMS =

�c(wi)

l(wi)

��=plpc= wi =) ln

�c(wi)

l(wi)

�= � 1

�lnwi;

e, pela de�nição, Elasticidade de substituição = ei = �@

�c(wi)

l(wi)

�@( 1

wi)

1

wihc(wi)

l(wi)

i =

�@ ln

�c(wi)

l(wi)

�@ ln( 1

wi)= 1

� :

ii)Mais uma vez, da CPO temos�c(wi)l(wi)

��= wi ) c(wi) =

�wi� 1� l(wi) )

R:O:�wi� 1� l(wi)+wil(wi) = wi )

�wi� 1��

� l(wi)+ l(wi) = 1)�1��

� �wi� 1� l(wi)+

1

h�wi� 1��

� + 1i@l(wi)@wi = 0) @l(wi)

@wi =h�wi� 1��

� + 1i�1 �

��1�

� �wi� 1� l(wi):

Logo,@l(wi)

@wiR 0, � R 1, ei S 1:

(Note que no problema � é sempre não negativo.)

iii)Como o conjunto orçamentário dos indivíduo mais produtivos contém o dosmenos produtivos, logo sua utilidade será maior.

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Apostila Questões de Micro I - FGV

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