Apostila - Sinais Cap 9 - Bode

8/6/2019 Apostila - Sinais Cap 9 - Bode

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J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode

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9.6 Desmembramento de funes G(s) em factores bsicos

Qualquer funo transferncia G(s) pode facilmente ser reescrita somente com osfactores bsicos definidos acima nas duas seces anteriores.

Vamos ilustrar isso com um exemplo:

Exemplo 9.4: Considere agora a funo G(s) vista no exemplo 9.1 que dada por

)2s2s()2s(s)30s(2)s(G 2 +++

+=

Agora, substituindo-se (s + 30) no numerador por

+=+ 130s03)30s(

obtemos a expresso abaixo que j tem um fator bsico no numerador:

)2s2s()2s(s

130

s302)s(G 2 +++

+

=

Semelhantemente, para o denominador, uma vez que um dos 3 factores j um factorbsico (integrativo, plo na origem), substituindo-se os outros dois:

+=+ 1

2s2)2s(

e

++=++ 1s

2s2)2s2s(

22

obtemos a expresso abaixo que j tem trs fatores bsico no denominador:

++ +

+=

1s2s12ss22

130s302

)s(G 2


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15

Finalmente, juntando as constantes (do numerador e do denominador), obtm-se:

1522302KB =

=

e podemos escrever a expresso abaixo:

++

+

+=

1s2s1

2ss

130s15

)s(G2

que est inteiramente escrita em termos de factores bsicos na forma:

( )

( )

+

++

+=

1s2s1Tss

1s'TK)s(G

n2n

2B

onde:

KB = 15 T = 1/2 T = 1/30

2n = 707,022

21

===

Exemplo 9.5:

Para escrever a funo de transferncia G(s) do exemplo anterior na forma de factoresbsicos em j e ento obtermos G(j) basta substituir no resultado obtido para G(s),

s = 0 + j,

ou seja,s = j

pois esta a nica diferena entre as duas formas G(s) e G(j).

Fazendo isso, obtm-se:


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( )

+

+

+=

=

++

+

+=

j2

12

j1 j

30 j115

1 j2

j12

j j

130 j15

) j(G

2

2

9.7 Diagramas de Bode dos factores bsicos

Os diagramas de Bode so construdos para funes de transferncia G(j) e sodois:

diagramas de Bode de mdulo e

diagramas de Bode de fase .

Os diagramas de Bode de mdulo so grficos de

| G(j) | em dB (| G(j) |dB)

(com escala logartmica)

enquanto que os diagramas de Bode de fase so grficos deG(j) em graus

(com escala logartmica)

Sabendo-se os diagramas de Bode dos factores bsicos possvel utiliza-los na cons-truo dos diagramas de Bode de qualquer outra funo de transferncia G(j) que

desmembrarmos em termos dos factores bsicos.


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Uma vez familiarizados com os grficos dos diagramas de Bode dos factores bsicosque apresentamos aqui nesta seco, a construo dos diagramas de Bode das demaisfunes de transferncia fica facilitada, como veremos nos exemplos da prxima sec-o.

Portanto, agora vamos mostrar os diagramas de Bode ( mdulo e fase ) para cada umdos factores bsicos vistos na seco anterior.

O ganho de Bode (KB)

Como G(j) = KB uma constante (no varia com), temos que |KB| em dB dadopor:

B10dBB Klog20K =

enquanto queKB 0 ou 180,, isto :

KB = 0 se KB uma constante positiva,

ou

KB = 180 se KB uma constante negativa.Logo, como j dito acima na definio de diagramas de Bode da fase , o normal representar a fase de KB (i.e., o nguloKB) em graus (em vez de radianos).

==

0Kse,180

0Kse,0K) j(G

B

BB

claro que o ngulo de fase paraKB negativo, 180 o mesmo que +180 que naverdade . No entanto, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tendncia deadoptarKB = 180 nestas situaes.

Isso se deve ao facto de que, como G(j) tem um nmero de plos superior (ou nomximo igual) ao nmero de zeros, ento oG(j) ir sempre tender para a partenegativa (para a parte de baixo,abaixo de 0).

O diagrama de Bode ( mdulo e fase ) de G(j) =KB est esboado na figura 9.5.


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0dB

0

-90

0.1 1 10

0.1 101

90

1KB

>

1KB

=

10

0K B 1, ento0) j(G dB>

Se KB=1, ento0) j(G dB=

Se 0


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Isto , aumentando-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de mdulo subir enquanto que diminuindo-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bodede mdulo descer .

Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica inalterado s variaes de KB se

KB > 0 , ou fica deslocado para baixo de 180, no caso de KB < 0.

Factor Integral (j)-1

Para G(j) = (j)-1, temos que | G(j)| em dB dado por:

[ ]dBlog20 j

1log20) j(G

10

10dB

=

=

que na verdade a equao de uma recta com declive 20 dB/dcada pois estrepresentado na escala logartmica.

Para se ver isto, primeiramente note que

|G(j)|dB intercepta 0 dB em = 1, eq. (9.5)um detalhe que facilita para fazermos o seu esboo.

Na verdade temos que, olhando-se para algumas dcadas consecutivas, temos que, nodiagrama de Bode demdulo de G(j) (|G(j)|dB):

M M para = 0,01 G(j) = 40 dBpara = 0,1 G(j) = 20 dBpara = 1 G(j) = 0 dBpara = 10 G(j) = 20 dBpara = 102 G(j) = 40 dB

M M

o que permite se ver claramente que trata-se de uma recta com declive 20dB/dcada (como pode ser visto na figura 9.6).


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20

0dB

0

20dB

-90

0.1 1 10

0.1 101

declive : -20dB/dcada(ou -6dB/oitava)

-20dB

m d u

l o [ d B ]

[rad/s ]

[rad/s ]

f a s e

[ g r a u s

]

Fig. 9.6 Diagrama de Bode (mdulo e fase ). Factor integral G(j) = 1/ j.

Tambm costume se olhar para algumas oitavas consecutivas (em vez de dcadas)do diagrama de Bode demdulo de G(j) (| G(j)|dB). Isto : uma oitava corresponde: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda / aumentando-se / ou diminuindo-se).

M M para = 0,5 G(j) = 6 dBpara = 1 G(j) = 0 dBpara = 2 G(j) = 6 dBpara = 4 G(j) = 12 dB

M M

que uma forma alternativa de olhar para esta recta pois o declive de 20 dB/dcada equivalente a 6 dB/oitava.


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Uma oitava corresponde : odobro /ou ametade , dependendo do sentido (para direitaou para esquerda; aumentando-se / ou diminuindo-se).

Assim como o termo harmnico , que aparecia nas sries de Fourier (captulo 5),vem da msica, tambm este termo oitava vem da msica. Corresponde oitava nota, ou seja, a mesma nota mas no harmnico seguinte / ou no anterior, pois as notasso apenas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequncia. como o oitavo dia, que o mesmo dia da semana, mas na semana seguinte / ou naanterior.

Por outro lado, para a fase G(j), temos que:

G(j) = (1/ j) == j =

= 90 , .

Observe que, como est representado numa escala logartmica, ento semprepositivo ( > 0) e portanto j = 90, e logo j = 90.

Portanto, o diagrama de Bode de fase G(j),, uma constante igual a 90:

Este diagrama de Bode ( mdulo e fase ) de G(j) = 1/ j est esboado na figura 9.6.

O efeito do factor bsico G(j) = 1/j em um diagrama de Bode de fase com vriosfactores bsicos que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90.

Outros factores integrativos (j)-2, (j)-3, , (j)-n

Para G(j) = (j)-n

, temos uma situao bastante semelhante aos factores (j)-1

quevimos acima. Omdulo |G(j)| em dB dado por:

( )

[ ]dBlogn20

j1logn20

j1log20) j(G

10

10

n10dB

=

=

=


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que na verdade a equao de uma recta com declive 20n dB/dcada pois estrepresentado na escala logartmica (como pode ser visto na figura 9.7).

Equivalentemente esta recta tem o declive de 6n dB/oitava.

Note tambm que, assim como antes [na eq. (9.5)],

|G(j)|dB intercepta 0 dB em = 1, eq. (9.6)

um detalhe que facilita para fazermos o esboo do diagrama de Bode.

Fig. 9.7 Diagrama de Bode (mdulo e fase ). Factores integrativos G(j) = (1/ j)n.


G(j) = (1/ j)n == n ( j) == 90 n, .


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Portanto, o diagrama de Bode de fase G(j),, uma constante igual a

90 n:

Este diagrama de Bode ( mdulo e fase ) de G(j) = (1/ j)n est esboado nafigura 9.7.O efeito do factor bsico G(j) = (1/ j)n em um diagrama de Bode de fase comvrios factores bsicos que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90 n.

Factores derivativos j, (j)2, (j)3, , (j)n

Para G(j) = (j)n, temos uma situao um pouco semelhante aos factores (j)-n quevimos acima. Omdulo |G(j)| em dB dado por:

( )

[ ]dBlogn20

jlogn20

jlog20) j(G

10

10

n10dB

=

=

=

que a equao de uma recta com declive +20n dB/dcada pois est representadona escala logartmica (como pode ser visto na figura 9.8).

Equivalentemente esta recta tem o declive de +6n dB/oitava.

Note tambm que aqui novamente, assim como antes [na eq. (9.5) e (9.6)],

|G(j)|dB intercepta 0 dB em = 1, eq. (9.7)

que nos facilita para fazermos o esboo do diagrama de Bode demdulo .


G(j) = (1/ j)n == n ( j) =

= 90 n, .


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24

Portanto, o diagrama de Bode de fase G(j),, uma constante igual a +90 n:

Este diagrama de Bode ( mdulo e fase ) de G(j) = (j)n est esboado na figura 9.8.

O efeito do factor bsico G(j) = (j)n em um diagrama de Bode de fase com vrios

factores bsicos que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90 n.

Fig. 9.8 Diagrama de Bode (mdulo e fase ). Factores derivativos G(j) = (j)n.

Factor plo primeira ordem (1 + jT)-1

Para G(j) = 1/ (1 + jT), temos que omdulo |G(j)| em dB dado por:

( )

( )210

10dB

T1log20

T j11log20) j(G

+=

+=


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que vamos dividir em 2 intervalos: > 1/T, ou seja, para frequnciasbaixa s e altas .

No intervalo, >T 102

10dB22

+=+

e portanto:

( ) >>

1/T ( frequncias altas ) de facto uma recta comdeclive de 20 dB/dcada, (ou 6 dB/oitava), pois est representado na escalalogartmica.

Note que:

a recta assmptota para frequncias altas intercepta 0 dB em = c = 1/T, eq. (9.8)

em vez de em = 1, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7).

Este um detalhe a ter em ateno ao fazermos o esboo do diagrama de Bode demdulo .

Na verdade, este ponto:0 dB para = 1/T

onde as duasrectas assmptotas se interceptam (como pode ser visto na figura 9.9).


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26

Por esta razo a frequncia T1

c = chamada de frequncia de canto (corner frequency ), s vezes tambm chamada de frequncia de corte (em processamentode sinais quando envolvem filtros).

T 1

T

10

T 10

1

Fig. 9.9 Diagrama de Bode demdulo . Factor plo primeira ordemG(j) = 1/ (1 + jT).

A curva real de G(j)|dB s coincide com asassmptotas quando > c, que na prtica corresponde a

( )T101


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O erro mximo de3 dB e ocorre exactamente na frequncia de cantoc = 1/T, oponto onde as duasassmptotas se encontram, pois para este valor de,

( ) T1para,

21log20

j11log20) j(G c1010dB ====+

= % % % %

(como pode ser visto na figura 9.9).

Para o ngulo de fase G(j), temos que:

G(j) =1/ (1 + jT) == (1 + jT)= arctg (T) eq. (9.9)

Aqui tambm pode-se pensar nos intervalos: > 1/T, ou seja, para frequncias baixa s ealtas .

Nas frequncias baixas , >T =+

resultados que tambm poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.9) comT0 e T , respectivamente, pois

arctg (0) = 0 e arctg() = 90.

e portanto:

>>


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a curva doG(j) passa por 45 em = 1/T, eq. (9.10)

isto , na metade do intervalo entre 0 e 90; um detalhe a ter em ateno ao fazer-mos o esboo do diagrama de Bode de fase .

Ou seja diagrama de Bode de fase G(j) tende assimptoticamente para 0 (esquerda) e para 90 ( direita).

Na prtica consideramos queG(j) varia de 0 a 90 enquanto a frequncia varia

cc 10at

10de .

isto , desde uma dcada antes da frequncia decanto c = 1/T (assmptota para fre-quncias baixas ) at uma dcada depois da frequncia decanto c = 1/T (assmptota para frequncias altas ).

O diagrama de Bode de fase de G(j) = (1 + jT)-1 est esboado na figura 9.10.

T 1

T 10

T 101

f a s e

[ g r a u s

]

Fig. 9.10 Diagrama de Bode de fase . Factor plo primeira ordemG(j) = 1/ (1 + jT).

Factores plos mltiplos (1 + jT)-2, (1 + jT)-3, ..., (1 + jT)-n

Para G(j) = 1/ (1 + jT)n, temos que omdulo |G(j)| em dB dado por:


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( )

( ) [ ]dBT1logn20

T j11log20) j(G

210

n10dB

+=

+=

e dividindo em 2 intervalos: > 1/T, ou seja, para frequncias baixa se altas , observamos que:

( ) >>


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30

Novamente, a curva real de G(j)|dB s coincide com asassmptotas quando > c, que na prtica corresponde a

( )T101


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31

>>


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Factores zeros simples e mltiplos (1 + jT)1, (1 + jT)2, ..., (1 + jT)n

Para G(j) = (1 + jT)n, n = 1,2, , n a situao anloga aos casos de plos sim-ples e mltiplos nas duas seces anteriores. Temos que omdulo |G(j)| em dB dado por:

( )

( )210

10dB

T1logn20

T j1log20) j(G n

+=

+=

e dividindo em 2 intervalos: > 1/T, ou seja, para frequncias baixa se altas , observamos que:

( ) >>+


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Note que, aqui tambm tem-se a frequncia decanto ou decorte (corner fre-quency ), c = 1/T, e assim como nas seces anteriores, eq. (9.8) e eq. (9.11), aquitambm:

a recta assmptota para frequncias altas

intercepta 0 dB em = c = 1/T, eq. (9.14)um detalhe a ter em ateno ao fazermos o esboo do diagrama de Bode demdulo .

Novamente, para a curva real de G(j)|dB, as assmptotas so vlidas para uma dcada antes da frequncia de cantoc = 1/T (no caso daassmptota para frequn-cias baixas ) ou uma dcada depois da frequncia de cantoc = 1/T (no caso daassmptota para frequncias altas ).

Nas proximidades da frequncia decanto c as assmptotas apenas aproximam dacurva real de G(j)|dB apresentando um erro mximo de3n dB que ocorre exacta-mente na frequncia de cantoc = 1/T, o ponto onde as duasassmptotas se encon-tram.


G(j) = (1 + jT)n == n

arctg (

T)

e portanto:

>>


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isto , desde uma dcada antes da frequncia decanto c = 1/T (assmptota para fre-quncias baixas ) at uma dcada depois da frequncia decanto c = 1/T (assmptota para frequncias altas ).

O diagrama de Bode de fase de G(j) = (1 + jT)-n est esboado na figura 9.14.

T 1 T 10T 101 f a s e

[ g r a u s

]

Fig. 9.14 Diagrama de Bode de fase . Factores zeros simples e mltiplos

G(j) = (1 + jT)n, n = 1, 2,

Factores plos quadrticos [1 + 2(j / n) + (j / n)2]-n, n = 1, 2, , 10 .

Note que a funo de transferncia G(j)

+

=

+

+=

2

nn

12

nn j21

1 j j21) j(G

tem um par de plos que sero:a) plos complexos se 10

Os factores quadrticos que tratamos nesta seco fazem parte dos casos (a) e (b)acima, isto 10 , pois o caso (c), plos reais e distintos (1> ), j esto co-bertos nos factores bsicos anteriores.


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Na verdade, mesmo no caso (b), quando temos a situao limite de1= , ento

2

n

2

nn

j1

1 j21

1) j(G

+

=

+

=

que corresponde a plos duplos e iguais a n / j , um caso que tambm j est abran-gido nos factores bsicos anteriores.

Portanto as tcnicas que sero apresentadas nesta seco para 10 vo coincidircom outras j apresentadas anteriormente no caso particular de1= .

Para G(j) = [1 + 2(j / n) + (j / n)2]-n, n = 1,2, , n temos que omdulo |G(j)|em dB dado por:

2

n

2

n10

2

nn10dB

j21logn20

j j21log20) j(Gn

+

=

+

+=

e dividindo em 2 intervalos: > n , ou seja, para frequncias baixa s ealtas , observamos que:

( ) >>


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10n

Fig. 9.15 Diagrama de Bode demdulo . Factores plos quadrticos

G(j) = [1 + 2(j / n) + (j / n)2]-n, = 1, n = 1.

Nas proximidades da frequncia naturan as assmptotas apenas aproximam da curvareal de G(j)|dB apresentando um erro mximo de6n dB que ocorre exactamente na

frequncia de canton , o ponto onde as duasassmptotas se encontram.A curva G(j)|dB para o caso particular que falamos acima,

1= , est representado

na figura 9.15.

A medida que o valor de diminui, 1


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707,022

==

ento a frequncia de ressonnciar = n /2.

8dB

14 dB

10 n5dB

n

-40 dB

=0.1

=0.2=0.3

=1=0.8

=0.707

=0.510

n =0.60dB

m d u

l o [ d B ]

[rad/s ]

Fig. 9.16 Diagrama de Bode demdulo . Factores plos quadrticos

G(j) = [1 + 2(j / n) + (j / n)2]-n, n = 1, 2,

Por outro lado, estes picos atingem valores Mr

Mr = pico de ressonnciaque tem os valores

220para,

121M

2r

=

Note que para 1707,0 no h pico de ressonncia. Em particular, se = 0,707,ento

Mr = 1 = 0 dB

(tambm no h pico de ressonncia).


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A medida que diminui, o pico de ressonncia Mr aumenta. Por exemplo,

,dB25,1155,1M5,0quando r == ,dB6,6133,2M25,0quando r ==

,dB14025,5M1,0quando r == .dB2001,10M05,0quando r ==

A figura 9.16 ilustra estes picos de ressonncia.


=

+

=

2

n

n

n2

nn 1

2

arctgn j j

21) j(G

010 n

-90

n

-180

10n

=0.1

=1

[rad/s ]=0.5

Fig. 9.17 Diagrama de Bode de fase . Factores plos quadrticos

simples e mltiplos G(j

) = (1 + j

T)n, n = 1, 2,

Portanto:

=

=

,n180

,n90

0,0

) j(G n

conforme esboado a figura 9.17.


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39

Na prtica consideramos queG(j) varia de 0 a 180 n enquanto a frequncia varia

nn 10at

10de .

isto , desde uma dcada antes da frequncia denatural n (assmptota para frequn-cias baixas ) at uma dcada depois da frequncia denatural n (assmptota para fre-quncias altas ).

O diagrama de Bode de fase de G(j) se torna mais ngreme (com declive maisacentuado) a medida que 0 e isto est ilustrado na figura 9.17.

Factores zeros quadrticos [1 + 2(j / n) + (j / n)2]n, n = 1, 2,

Os factores zeros quadrticos que tm a funo de transferncia G(j)n2

nn

j j21) j(G

+

+=

so em tudo anlogo aos factores plos quadrticos que vimos acima. Ou seja, curva

de mdulo e fase para os factores zeros quadrticos podem ser obtidas invertendo-seo sinal das curvas demdulo e fase dos factores plos quadrticos

As principais diferenas so que os picos de ressonncia so para baixo em vez depara cima e as curvas de fase vo de 0 a 180 em vez de 0 a 180.

9.8 Factores bsicos com sinais negativos

No caso de factores bsicos com sinais negativos do tipo

( )1Ts1)s(G

= , ( )21Ts1)s(G

= , ( )31Ts1)s(G

= , L ou

( )1Ts)s(G = , ( )21Ts)s(G = , ( )31Ts)s(G = , L fcil mostrar que o diagrama de Bode demdulo idntico ao factor bsico corres-

pondente com sinal + , entretanto para a construo do diagrama de Bode de fase necessrio um cuidado maior na anlise.


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40

Nos prximos exemplos ilustramos como fazer nestas situaes.

Exemplo 9.6:

+

+=++=

1100

s)1s(100

1

)100s()1s() j(G

Note que neste caso KB = 1/100= 40 dB e G(j) tem mais dois factores bsicos:1

1s1001e)1s(

++

Alm disso, a fase de G(j) dada por)100 / j1() j1() j(G ++=

Fig. 9.18 Diagrama de Bode demdulo e fase do Exemplo 9.6.


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Exemplo 9.7:

+

=

+

=1

100s

)1s(1001

)100s()1s() j(G

Note que neste caso KB = 1/100= 40 dB novamente e G(j) tem ainda mais doisfactores bsicos:

1

1s1001e)1s(

+

Logo, o diagrama de Bode demdulo igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.6).Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1() j1(180)100 / j1() j1() j(G ++=++=



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Exemplo 9.8:

+=

+

=1

100s

)1s(1001

)100s()1s() j(G

Note que neste caso KB = 1/100 = 40 dB novamente e G(j) tem ainda mais doisfactores bsicos:

1

1s1001e)1s(

+

Logo, o diagrama de Bode demdulo igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos9.6 e 9.7). Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1(180) j1()100 / j1() j1() j(G ++=++=

0db

-40dB

0.1 1 10 100 1000

-180

-90

0.1 1 10 100 10000



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Exemplo 9.9:

=

=1

100s

)1s(1001

)100s()1s() j(G

Note que neste caso KB = 1/100 = 40 dB novamente e G(j) tem ainda mais os 2factores bsicos:

1

1s1001e)1s(

Logo, o diagrama de Bode demdulo igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos9.6, 9.7 e 9.8). Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1() j1()100 / j1(180) j1(180)100 / j1() j1() j(G

=

+=++=



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Exemplo 9.10:

( )

++=

++=

1100s1s

1)100s()1s(

100) j(G

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB e G(j) tem ainda mais dois factores bsicos:1

1 1s1001e)1s(

++

Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1() j1() j(G ++=



45/54


45

Exemplo 9.11:

( )

+=

+=

1100s1s

1)100s()1s(

100) j(G

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(j) tem ainda mais dois factoresbsicos:

11 1s

1001e)1s(

+

Logo, o diagrama de Bode demdulo igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.10).Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1(180) j1()100 / j1() j1() j(G ++=++=



46/54


46

Exemplo 9.12:

( )

+=

+=

1100s1s

1)100s()1s(

100) j(G


11 1s

1001e)1s(

+

Logo, o diagrama de Bode demdulo igual aos dois exemplos anteriores (Exemplos9.10 e 9.11). Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1() j1(180)100 / j1() j1() j(G +=++=



47/54


47

Exemplo 9.13:

( )

=

=

1100s1s

1)100s()1s(

100) j(G


11 1s

1001e)1s(

Logo, o diagrama de Bode demdulo igual aos trs exemplos anteriores (Exemplos9.10, 9.11 e 9.12). Alm disso, a fase de G(j) dada por

)100 / j1() j1(

)100 / j1(180) j1(180)100 / j1() j1() j(G

=

=++=



48/54


48

9.9 Exemplos adicionais de construo de diagramas de Bode (mdu -lo e fase)

Nesta seco apresentamos vrios exemplos de diagramas de Bode (mdulo e fase )que foram esboados usando quase sempre o auxlio dos factores bsicos apresenta-dos aqui.

Exemplo 9.14:

++

+

+=

++++

=1s

4005

400s1s

1001s

1s411,0

)400s5s()100s(s)4s(1000) j(G

22



49/54


49

Exemplo 9.15:

+

+

+=

+++

=1s

400

5

400

s1s100

1s

1s411,0

)400s5s()100s(s)4s(1000) j(G 22

O diagrama de Bode demdulo igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.14). Odiagrama de Bode de fase est esboado na figura 9.27.

0 10010

-270

-90

-180

0.1 10001

90

180

n = 20 = 0,125

Fig. 9.27 Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.15.

Exemplo 9.16:

++

+=

+++

=1s

4005

400s1s

1001s

1s411,0

)400s5s()100s(s)4s(1000) j(G 22

O diagrama de Bode demdulo igual aos dos 2 exemplos anteriores (Exemplos9.14 e 9.15). O diagrama de Bode de fase est esboado na figura 9.28.


50/54


50


Exemplo 9.17:

++

+

=

+++

=1s

4005

400s1s

1001s

1s411,0

)400s5s()100s(s)4s(1000) j(G 22

O diagrama de Bode demdulo igual aos dos trs exemplos anteriores (Exemplos9.14, 9.15 e 9.16). O diagrama de Bode de fase est esboado na figura 9.29.



51/54


51

Exemplo 9.18:

++

=

++

=1s

400

5

400

s1s100

1s

1s411,0

)400s5s()100s(s)4s(1000) j(G 22

O diagrama de Bode demdulo igual aos dos quatro exemplos anteriores(Exemplos 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17). O diagrama de Bode de fase est esboado nafigura 9.30.


Exemplo 9.19:

( )

++

+

+=+++

+=1s

10

1

10

s1s10

1s

1s10)10s10s()10s(s

)1,0s(10) j(G

24

2422

6

Note que

dB01KB == 100n = 5,0=

dB897,0155,11

1M2r

==

=

)zero(10T1= )plo(

10

1T2

=

71,7021 2nr ==


52/54


52

0

0.120dB40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01 10000

- 2 0 d B / d e c

0

101

-270

-90

-180

0.01 1000.1

1 10

100

1000

1000 10000

0dB/dec

- 6 0 d B / d e c

- 2 0 d B / d e c

Mr = 1.155 = 0,9 dB

r = 70,7

n = 100

= 0,5K B = 0 dB


Exemplo 9.20:

( )( )( )1ss1s1,0s 1s101,0)1ss()10s(s )1,0s(10) j(G 22 +++ +=+++ += Note que

dB201,0KB == 1n = 5,0=

707,021 2nr == dB897,0155,11

1M2r

==

=

)zero(10T1 = )plo(101

T2 =


53/54


53

0 0.1

20dB

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.0110000

- 2 0 d B / d e c

0101

-270

-90

-180

0.01 1000.1

1

10 100 1000

1000 10000

Mr = 1.155 = 0,9 dB

r = 0,707

n = 1

= 0,5K B = -20 dB

- 6 0 d B / d e c

0dB/dec- 4 0 d B / d e c


Exemplo 9.21:

( )

++

+

+=

+++

+=

12s

2s1

20ss

1s2)2ss()20s(s

21s80

) j(G 22

Note que

dB01KB == 414,12n == 354,0=


54/54


224,121 2nr == dB58,0069,11

1M2r

==

=

2T1 = (zero da F.T.) 201

T2 = (plo da F.T.)

-82

0 dB

10

20dB

1

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01 1000.1 0.5 202

- 2 0 d B / d e c

9.8dB10.7dB

-29.5dB

- 4 0 d B / d e c

- 6 0 d B / d e c

0

10

1

-270

-90-180

0.01100

0.1 0.5

20

2

-74

-111

-250 -258

Mr = 1.07 = 0,58 dB

r = 1,224

n = 1,41

= 0,354K B = 0 dB


Apostila - Sinais Cap 9 - Bode

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