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Capítulo 10 – Diagrama de Boode © Isabel Ribeiro, António Pascoal CONTROLO | 1º sem 2015/2016 Cap 10 – Diagrama de Bode e Relação TempoFrequência Isabel Ribeiro António Pascoal Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins disSntos daqueles para que foram elaboradas (lecionação no InsStuto Superior Técnico) sem autorização dos autores CONTROLO MEEC 1º semestre – 2015/2016

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

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io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  –  Diagrama  de  Bode    e  Relação  Tempo-­‐Frequência  

Isabel Ribeiro António Pascoal

Transparências  de  apoio  às  aulas  teóricas  

Todos  os  direitos  reservados  Estas  notas  não  podem  ser  usadas  para  fins  disSntos  daqueles  para  que  foram  

elaboradas  (lecionação  no  InsStuto  Superior  Técnico)  sem  autorização  dos  autores  

CONTROLO  MEEC  

1º  semestre  –  2015/2016  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

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Cap  10  /  2  

Resposta  em  Frequência  

•  O  que  é  o  estudo  da  Resposta  em  Frequência  de  um  SLIT?  –  Análise  da  resposta  a  uma  entrada  sinusoidal  

Resultados  de  um  teste  com  um  2CV  numa  estrada  de  perfil  sinusoidal,  com  velocidades  crescentes:  

•  Até  30Km/h  as  oscilações  de  posição  do  condutor  e  da  via  são  semelhantes,  i.e.,  quando  o  piso  sobe  o  condutor  sobe  e  vice-­‐versa,  

•  Por  volta  dos  70Km/h  a  amplitude  das  oscilações  ao  nível  do  condutor  é  muito  maior  do  que  a  amplitude  do  perfil  da  via,  

•  A  80/85Km  a  amplitude  das  oscilações  é  semelhante  à  observada  a  70Km/h;  no  entanto,  a  diferença  de  fase  é  da  ordem  dos  180º,  i.e.,  quando  a  estrada  se  eleva  o  condutor  vai  assento  abaixo,  quando  a  estrada  vai  abaixo  o  condutor  bate  com  a  cabeça  no  tejadilho,  

•  A  150Km/h  as  oscilações  ao  nível  do  condutor  são  quase  impercepjveis,  pelo  que  a  condução  se  torna  bastante  agradável  !  

Figura  reSrada  de  Análise  de  Sistemas  Lineares,  M.  Isabel  Ribeiro,  IST  Press,  2001  

Reprodução  proibida  

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Cap  10  /  3  

Resposta  em  Frequência:  conceito  (revisão)  

G(s)  r(t)=A  sinw1t   y(t)  

q   entrada  sinusoidal  q   como  é  a  componente  forçada  da  resposta  ?  

21

21

sA)s(R

ω+ω= )s(G

sA)s(Y 2

12

1

ω+ω=

)ps()ps)(ps()s(N)s(G

n21 +++=

!Assumem-­‐se  pólos  simples  sem  perda  de  generalidade  

∑= +

+ω−

+ω+

=n

1i i

i

1

2

1

1

ssR

jsc

jsc)s(Y

)j(Gj2A)s(G

jsAc 1js

1

11

1ω−−=

ω−ω=

ω−=

11js1

12 c)j(G

j2A)s(G

jsAc

1=ω=

ω+ω=

ω=

tsn

1ii

tj1

tj1

i11 eRe)j(Gj2Ae)j(G

j2A)t(y −

=

ωω− ∑+ω+ω−−=

resposta  forçada   resposta  natural  

)t(y)t(y)t(y nf +=

A  resposta  em  frequência  de  um  SLIT  analisa  a  evolução  da  componente  forçada  da  resposta  a  uma  entrada  

sinusoidal.  

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Cap  10  /  4  

Resposta  em  Frequência:  conceito  (revisão)  

resposta  natural  

)t(ye)j(Gj2Ae)j(G

j2A)t(y n

tj1

tj1

11 +ω+ω−−= ωω−

resposta  forçada  

G(s)  –  função  complexa  de  variável  complexa  )s(Gargje)s(G)s(G =

)j(Gargj11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω−=ω−

ímpar função )j(Gargpar função )j(G

ω

ω

)j(Gargj11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω=ω−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ω=ω−ω−ωω

j2e.ee.e)j(GA)t(y

)j(Gargjtj)j(Gargjtj

1f

1111

componente  forçada  da  saída  

))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=

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Cap  10  /  5  

sinal  de  entrada  

componente  forçada  do  sinal  de  saída  

Resposta  em  Frequência:  conceito  (revisão)  

•  SLIT  conjnuo  •  Excitado  por  um  sinal  sinusoidal  •  A  componente  forçada  da  saída  é  

ainda:  –  Um  sinal  sinusoidal  com  a  mesma  

frequência  –  Amplitude  e  fase  do  sinal  de  saída  

relacionadas  com  a  amplitude  e  fase  do  sinal  de  entrada  

 

G(s)  r(t)=A  sinw1t   yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))  

desfasagem  

•  |G(jw1)|  -­‐  ganho  de  amplitude  para  a  frequência  w1  

•  arg  G(jw1)  –  desfasagem  para  a  frequência  w1  

 

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Cap  10  /  6  

Função  Resposta  em  Frequência  de  SLITs  

•  Função  Resposta  em  Frequência  G(jw)  –  Função  de  transferência  calculada  ao  longo  do  eixo  imaginário    

ω==ω

js)s(G)j(G

•  Para  sistemas  causais  e  estáveis  •  A  Função  Resposta  em  Frequência  é  a  Transformada  de  Fourier  da  Resposta  

Impulsival  )]t(h[TF)j(G =ω

Representação  gráfica  da  Função  Resposta  em  Frequência  •  Que  funções  é  preciso  representar  ?  

•  |G(jw)|  •  Arg  G(jw)  

•  Que  Spo  de  representação  •  Diagrama  de  Bode  •  Diagrama  de  Nyquist  •  Diagrama  de  Nichols  

Estudo  da  estabilidade  de  SLITs  em  cadeia  fechada  

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Cap  10  /  7  

Diagrama  de  Bode:  aproximação  assimtóSca  

Representação  gráfica  da    Função  Resposta  em  Frequência  

2nn21

2nn11

)w/s(w/s21)(s1(s)w/s(w/s21)(sT1(K

)s(G22

11

+ξ+τ++ξ++

=

2nn21

2nn11

)w/jw(w/w2j1)(s1(jw)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K

)jw(G22

11

+ξ+τ++ξ++

=

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

2nn21

2nn11

22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

Exemplo  função  de  transferência  

função  resposta  em  frequência  

CaracterísGca  de  amplitude  

quociente  de  produtos  de  termos  

O  diagrama  de  Bode  (amplitude)  representa   )jw(Glog20)jw(GdB

=

dB

2nn2dB1dB

dB

2nn1dB1dB

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=

soma  algébrica  de  termos  

))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(

))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2

nn21

2nn11

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=

•  20  log|G(jw)|  como  função  de  w  (escala  logaritmica)  •  Arg  G(jw)  como  função  de  w  (escala  logaritmica)    

CaracterísGca  de  fase  

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Cap  10  /  8  

180º  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimtóSca:  exemplos  

K)s(G = K)jw(G = dBdBK)jw(G =

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

0K se º180

0K se º0)jw(Gargfunção  de  transferência   função  resposta  em  frequência  

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Cap  10  /  9  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimtóSca:  exemplos  

s10)s(G =

jw10)jw(G = ( ) wlog20dB20jw10)jw(G

dBdBdB−=−=

Recta  com  declive    de  –20dB/década    passando  em  0dB  para  w=1  

º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−=

 Perguntas:  •  Qual  é  o  ganho  estáSco  deste  sistema  ?  •   Qual  é  o  ganho  de  baixa  frequência  ?  •   Declive  da  assímptota  ?  E  se  o  sistema  Svesse  dois  pólos  na  origem  ?  

•   Qual  é  a  componente  forçada  da  resposta  deste  sistema  à  entrada  r(t)=2sin(100t)  ?  

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Cap  10  /  10  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimtóSca:  exemplos  

sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

( )2dB

wT1log20)jw(G +−=

1wTT1w <<⇒<<

1wTT1w >>⇒>>

Baixa  frequência  

Alta  frequência  

dB01log20)jw(GdB

=−≅

Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB

−−=−≅

Recta  com  declive    de  –20dB/década    passando  em  0dB  para  w=1/T  

assímptota  de  baixa  frequência  

assímptota  de  alta  frequência  

caracterísGca  de  amplitude   caracterísGca  de  fase  

)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−=

1wTT1w <<⇒<<

1wTT1w >>⇒>>

Baixa  frequência  

Alta  frequência  

º0)jw(Garg ≅

2)jw(Garg π−≅

T1w =4

)jw(Garg π−=

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Cap  10  /  11  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimtóSca:  exemplos  

sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

T=0.5  Pólo  =  -­‐  2  

w=2rad/s  -­‐>  frequência  de  corte  do  pólo  

-­‐  20dB/dec  0  dB/dec  

assimptota  de  baixa  frequência  assimptota  de  alta  frequência  

0º  

-­‐  45º  

-­‐  90º  

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Cap  10  /  12  

3dB  

2   20  0.2  

2   20  0.2  

5.71º  

5.71º  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimtóSca:  exemplos  

sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

T=0.5  Pólo  =  -­‐  2  

Um  pólo  de  mulGplicidade  1  contribui  para  a  fase  total  com  um  ângulo  que  varia,  de  uma  década  antes  a  uma  década  depois,  de  0º  a  –90º  passando  a  –45º  na  

frequência  de  corte.  

T1w =

dB32log20)wT(1log20)jw(G 2dB

−=−=+−=

º45)j1arg()jw(Garg −=+−=

T101w =

º71.510j1arg)jw(Garg −=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ +−=

T10w =

( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−=

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Cap  10  /  13  

Largura  de  Banda  :  Relação  Tempo-­‐Frequência  

Largura  de  Banda  (a  3dB)     •  Banda  de  frequência  na  qual  o  módulo  da  função  resposta  em  frequência  não  cai  mais  de  3dB  em  relação  ao  ganho  de  baixa  frequência.  

•  A  Largura  de  Banda  traduz  a  capacidade  de  um  sistema  reproduzir  mais  ou  menos  perfeitamente  os  sinais  aplicados  à  sua  entrada  Ko  

Ko-­‐3dB  

w  wBW  Num  SLIT  de  1ªordem,  sem  zeros,    

Largura  de  Banda  =frequência  de  corte  do  pólo  

LB=2rad/s  

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Cap  10  /  14  

w1   w2  

1/w1  1/w2  

Largura  de  Banda  :  Relação  Tempo-­‐Frequência  

1

11 ws

w)s(G+

=2

22 ws

w)s(G+

=

12 ww >ganho  estáSco  unitário  

Largura  de  banda  maior  

Resposta  mais  rápida  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

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Cap  10  /  15  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólo  duplo  

2)5s(250)s(G+

=

•   Ganho  estáSco  ?  •   Declive  da  

•   Assimptota  de  baixa  frequência  •   Assimptota  de  alta  frequência  

•   Fase  para    •   Baixas  frequências  •   Altas  frequências  

PERGUNTAS  

RESPOSTAS  •   Ganho  estáSco  =  G(s)|s=0  =  10  =  20dB  •   Declive  da  

•   Assimptota  de  baixa  frequência  •   O  sistema  não  tem  pólos  nem  zeros  na  origem  •   declive  =  0db/dec  

•   Assimptota  de  alta  frequência  •   #  pólos  -­‐  #  zeros  =  2  •   declive  =  -­‐40dB/dec  =  2  *  (-­‐20dB/dec)  

•   Fase  para    •   Baixas  frequências  

•   Sistema  é  de  fase  mínima  •   Sistema  não  tem  pólos  e  zeros  na  origem  •   Fase  para                                                  é  igual  a  0º  

•   Altas  frequências  •   Sistema  é  de  fase  mínima  •   #  pólos  -­‐  #  zeros  =  2  •   Fase  para                                  é  igual  a  –180º  

s/rad 0w →

∞→w

A  contribuição  para  a  amplitude  e  para  a  fase  de  um  pólo  duplo  é  a  soma  das  contribuições  de  dois  pólos  reais  

simples.  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

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Cap  10  /  16  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólo  duplo  

2)5s(250)s(G+

=

2)5s(250)s(G+

= 2

5s1

10)s(G⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=forma  das  constantes  de  tempo  

6dB  

-­‐90º  

2*5.71º  

2*5.71º  

-­‐180º  

Deste  modo  a  assimptota  de  baixa  frequência  correspondente  ao  

pólo  duplo  passa  em  0dB  

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Cap  10  /  17  

Diag.  Bode:  Relação  Tempo-­‐Frequência  

22 )5s(250)s(G+

=)5s(

50)s(G1 +=

Sistema  de  1ª  ordem  Pólo  real  simples  em  –5  Ganho  estáSco  =  10  

Sistema  de  2ª  ordem  Pólo  real  duplo  em  –5  Ganho  estáSco  =  10  

•   Qual  dos  dois  sistemas  tem  a  maior  largura  de  banda?  •   Qual  dos  dois  sistemas  é  mais  rápido  ?  

Sistema  1   Sistema  2  

Resposta  a  uma  entrada  escalão  

CaracterísSca  de  amplitude  junto  da  frequência  de  corte  

s/rad 5LB1 =

s/rad 15.3LB2 ≅

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ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  18  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólo  na  origem  e  pólos  reais  não  nulos  

)100s)(10s(s100)s(G

++=

•   Ganho  estáSco  ?  

3  pólos    e  0  zeros  

Assimptota  de  alta  frequência  com  declive  de  

3*(-­‐20)  =  -­‐  60dB/dec  

)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

- 90º

- 180º

- 270º

0º

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  19  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólo  na  origem  e  pólos  reais  não  nulos  

)100s)(10s(s100)s(G

++=

•   Ganho  estáSco  ?  

3  pólos    e  0  zeros  

Assimptota  de  alta  frequência  com  declive  de  

3*(-­‐20)  =  -­‐  60dB/dec  

)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

- 90º

- 180º

- 270º

0º

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  20  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimptóSca  (exemplos)  

+  20dB/dec  

45º  

90º  

3dB  

•   Qual  é  a  contribuição  de  um  factor  do  Spo  (1+jwT)  ?  Ø   CaracterísScas  assimptóScas  de  amplitude  e  fase  simétricas  relaSvamente  às  obSdas  para  um  pólo  real  com  a  mesma  frequência  de  corte  

T=0.1  

Um  zero  de  mulGplicidade  1  contribui  para  a  fase  total  com  um  ângulo  que  varia,  de  uma  década  antes  a  uma  década  

depois,  de  0º  a  90º  passando  a  +45º  na  frequência  de  corte.  

20

2)wT(1log20jwT1log20 +=+

1wT >>

≅+ 2)(1log20 wT

frequência  de  corte  do  zero  

Para  

TwwT log20log20)log(20 +=≅

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  21  

Diag.  Bode  |  aproximação  assimptóSca  (exemplos)  :  um  pólo  e  um  zero  reais  

)1.0s()10s(1.0)s(G

++=

-­‐  90º  

90º  

45º  

0º  

0.01   0.1   1   10   100   w  (rad/s)  

20dB  

40dB  

-­‐20dB  

-­‐40dB  

-­‐20dB/dec  

contribuição  do  zero  

ganho  estáSco   Excesso  pólos-­‐zeros  =  0  

Assimptota  de  alta  frequência  com  declive  nulo  

-­‐  45º  

0.01   0.1   1   10   100   w  (rad/s)  

Não  há  pólos  nem  zeros  na  origem  

A  fase  para  muito  baixa  freq.  é  nula  

Excesso  pólos-­‐zeros  =  0  

A  fase  para  muito  alta  freq.  é  nula  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

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io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  22  

Diag.  Bode:  Relação  Tempo-­‐Frequência  

 Ganho  de  Baixa  Frequência   00wK)jw(Glim =

→ ganho  estáSco  do  sistema  

y(t)lim)s(G limKt0s0 ∞→→

== Para  uma  entrada  escalão  unitário  

Ganho  da  Resposta  em  Frequência  à  frequência  w=0  

2)1s(s)s(G+

= 2)1s(1)s(G+

=

+20dB/dec  -­‐20dB/dec  

-­‐40dB/dec  

1   10  0.1   0.1   1   10  0dB  0dB  

-­‐20dB   -­‐20dB  

-­‐40dB  -­‐40dB  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

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CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  23  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólos  complexos  

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

ganho  estáSco  unitário  2

nn ww

ww2j1

1)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

2

nndB w

www2j1 log20)jw(G ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+−=

CaracterísGca  de  amplitude  

2

n

2

2n

2

dB ww2

ww1log20)jw(G ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

nww <<

nww >>

dB0)jw(GdB

≅ Assimptota  de  baixa  frequência  

2

n

2

2n

2

dB ww2

wwlog20)jw(G ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

10 <ζ≤

n

2

n wwlog40

wwlog20 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅ Assimptota  de  alta  frequência  

Declive  de  –40dB/dec    passando  em  0dB  para  w=wn  

w=wn  é  a  frequência  de  corte  associada  ao  par  de  pólos  complexos  conjugados  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

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io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  24  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólos  complexos  

10 <ζ≤

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

2nr 21ww ζ−=

frequência  de  ressonância  

nr w w 0 →⇒→ζnr ww <

Para                                                a  caracterísSca  real  apresenta  um  pico  de  ressonânica  

707.00 <ζ<

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

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io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  25  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólos  complexos  

10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+= 1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ1=ζ

dB6

2r121)jw(G

ζ−ζ=

ζ=21)jw(G n

em  unidades  lineares,  numa  situação  de  ganho  estáGco  unitário  

Para                                                      embora  haja  sobreelevação  na  resposta  no  tempo  não  há  ressonância  na  resposta  em  frequência  

707.0>ζ

2nr 21ww ζ−=

Para                                                a  caracterísSca  real  apresenta  um  pico  de  ressonânica  

707.00 <ζ<

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

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io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  26  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólos  complexos  

10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

2

nn ww

ww2j1

1)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

212

n

n

ww1

ww2

arctg)jw(Garg θ−θ−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ζ−=

nww <<

nww >>

w=wn  é  a  frequência  de  corte  associada  ao  par  de  pólos  complexos  conjugados  

)jww2s)(jww2s(w)s(G

dndn

2n

−ζ++ζ+=

σ

jw

njw

1jwq1  

q2  

º0)jw(Garg ≅

º180)jw(Garg −≅

nww = º90)jw(Garg −=

CaracterísGca  de  fase  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

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io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  27  

Diag.Bode  |aproximação  assimptóSca    (exemplos):  pólos  complexos  

10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+= 2

nn ww

ww2j1

1)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=)jww2s)(jww2s(

w)s(Gdndn

2n

−ζ++ζ+=

1.0=ζ2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

1=ζ0=ζ

Como  são  os  diagramas  de  amplitude  e  fase  para                        ?                                                          

Como  é  o  diagrama  de  Bode  (amplitude  e  fase)  para  um  par  de  zeros  compexos  conjugados?  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  28  

Dig.  Bode  |  sistemas  com  pólos  complexos  –  Tacoma  Narrow  Bridge  

Tacoma  Narrows  Ø   em  Puget  Sound,  junta  da  localidade  de  Tacoma,  Washington  Ø   Ponte  suspensa  aberta  ao  tráfego  só  alguns  meses  Ø   Em  7.Nov.1940  a  ponte  caiu  pelo  efeito  de  forças  que  nela  actuavam,  em  parScular  do  vento  

h{p://www.youtube.com/watch?v=lXyG68_caV4  

• O  efeito  do  vento  induziu  uma  excitação  na  frequência  natural  do  sistema  

• O  sistema  Snha  um  comportamento  (macro)  como  o  de  um  sistema  de  2ª  ordem  com  pólos  complexos  conjugados  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  29  

Diagrama  de  Bode  |  Sistemas  de  Fase  não  Mínima  

1s10s)s(G1 +

+=1s10s)s(G2 +

−=sistema  de  fase  mínima  

sistema  de  fase  não  mínima  

jw110wj1

.10)jw(G1 +

+=

jw110wj1

.10)jw(G2 +

−−=

2

2

21w110w1

.10)jw(G)jw(G+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

==

a  mesma  caracterísSca  de  amplitude  

)w(arctg10warctg)jw(Garg 1 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= )w(arctg

10warctgº180)jw(Garg 2 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−+=

zθpθ pθ

zθpz1 )jw(Garg θ−θ= pz2 )jw(Garg θ−θ=

-­‐  90º  

0º  

90º  0.1   1   10   100  

-­‐  90º  

0º  

90º  0.1   1   10   100  

180º  

-­‐10   -­‐1   -­‐1   10  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  30  

Diagrama  de  Bode  |  Sistemas  de  Fase  não  Mínima  

1s10s)s(G1 +

+=1s10s)s(G2 +

−=sistema  de  fase  mínima  

sistema  de  fase  não  mínima  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  31  

Diag.  de  Bode:  IdenSficação  de  Sistemas  •  3  SLITS  •  Todos  com  a  mesma  caracterísSca  de  amplitude  •  CaracterísScas  de  fase  disSntas  

Sistema  1  

Sistema  2  

Sistema  3  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  32  

Diag.  de  Bode:  IdenSficação  de  Sistemas  •  3  SLITS  •  Todos  com  a  mesma  caracterísSca  de  amplitude  •  CaracterísScas  de  fase  disSntas  

Sistema  1  

Sistema  2  

Sistema  3  

( )10s1s10)s(G

±±±=

10s1s10)s(G1 +

−=

10s1s10)s(G2 −

+−=

10s1s10)s(G3 +

+=

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  33  

a=1  

a=3  

a=8  

Diag.  Bode:  pólos  dominantes  e  não  dominantes  

)25s4s)(as(a*25)s(G 2 +++

= )25s4s(25)s(G 2 ++

=

a=1  a=3  

a=8  

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Capítulo  10  –  Diagrama  de  Boode    

©  Isabel  Ribeiro,  A

ntón

io  Pascoal  

CONTROLO  |  1º  sem  2015/2016    

Cap  10  /  34  

Diag.  Bode:  pólos  dominantes  e  não  dominantes  

2nnp

2

2nnz

2

2n

2n

pp

zz

z

p

wsw2swsw2s

ww

)s(G+ζ++ζ+

=

Problema:  idenGfique  os  sistemas  

Sistema 1 1 0.2 1 0.5 Sistema 2 1 0.7 1 0.5 Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5 Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5

pnzn w wpz

ζζ


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