Apostila TE 001

Universidade Positivo

Notas de Aula de Teoria das Estruturas

Prof. Juliano J. Scremin

CURITIBA2012

SUMÁRIO1.FUNDAMENTOS – ESTRUTURAS EM BARRAS.........................................................................................................................82.VIGAS......................................................................................................................................................................................93.PÓRTICOS.............................................................................................................................................................................104.GRELHAS...............................................................................................................................................................................115.TRELIÇAS...............................................................................................................................................................................126.LINHAS DE INFLUÊNCIA DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS.......................................................................................................13

6.1.INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................................136.2.LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA UMA VIGA BI-APOIADA........................................................................................................................13

6.2.1.LINHAS DE INFLUÊNCIA DAS REAÇÕES DE APOIO ......................................................................................................................13EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................................156.2.2.LINHA DE INFLUÊNCIA DO MOMENTO FLETOR NUMA SEÇÃO S ENTRE OS APOIOS.................................................................................16EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................................176.2.3.LINHA DE INFLUÊNCIA DA FORÇA CORTANTE NUMA SEÇÃO S ENTRE OS APOIOS...................................................................................18EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................................19

6.3.LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA UMA VIGA ENGASTADA.........................................................................................................................206.3.1.LINHAS DE INFLUÊNCIA DAS REAÇÕES DE APOIO......................................................................................................................206.3.2.LINHAS DE INFLUÊNCIA DE MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE PARA A SEÇÃO S...........................................................................20

6.4.TREM-TIPO.......................................................................................................................................................................21EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................................21

6.5.CARREGAMENTO INDIRETO......................................................................................................................................................246.6.LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA VIGAS GERBER.................................................................................................................................24

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................................256.7.LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA TRELIÇAS.........................................................................................................................................276.8.ENVOLTÓRIA.......................................................................................................................................................................27

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................................................................................29APÊNDICE A -MODELAGEM COM ABAQUS.............................................................................................................................30

A.1.ABAQUS X ANSYS.........................................................................................................................................................30A.2.METODOLOGIA EMPREGADA E IMPLEMENTAÇÃO – CONSIDERAÇÕES EM RELAÇÃO AO PYSTEC E ANSYS.........................................................30

ANEXO I -TERMOELASTICIDADE..............................................................................................................................................32I.1.1.TENSÃO....................................................................................................................................................................32

I.1.1.1.TENSOR DE TENSÕES DE CAUCHY..............................................................................................................................32I.1.1.2.DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE DEFORMAÇÃO..................................................................................................................32

iii

ÍNDICE DE TABELASTabela A.1 - Compartimentos do script para ABAQUS........................................................................................................................... 20

iv

ÍNDICE DE ILUSTRAÇÕESFigura 6.1 - viga bi-apoiada com carga unitária móvel.......................................................................................................................... 13Figura 6.2 - LI’s das reações de apoio.......................................................................................................................................................... 14

Figura 6.3 - viga bi-apoiada – reações de apoio em função da carga móvel..................................................................................16

Figura 6.4 - LI do momento fletor na seção S........................................................................................................................................... 17

Figura 6.5 - viga bi-apoiada – reações de apoio em função da carga móvel..................................................................................18

Figura 6.6 - LI do esforço cortante na seção S.......................................................................................................................................... 19Figura 6.7 - viga engastada em balanço a com carga unitária móvel...............................................................................................20Figura 6.8 - LI’s de viga engastada em balanço a com carga unitária móvel.................................................................................21Figura 6.9 - LI’s de viga engastada em balanço a com carga unitária móvel.................................................................................24Figura 6.10 - LI’s de viga engastada em balanço a com carga unitária móvel..............................................................................24

v

LISTA DE SÍMBOLOS

Δ Q - variação da quantidade de calor (J - joule ou cal = 4,18 J)

vi

1. Fundamentos – Estruturas em BarrasAAAAAA.

8

2. VigasAAAAAA.

9

3. PórticosAAAAAA.

10

4. GrelhasAAAAAA.

11

5. TreliçasAAAAAA.

12

6. Linhas de Influência de Estruturas Isostáticas

6.1. Introdução

Linhas de Estado :

– representação dos esforços (M, Q, N etc.) devido a cargas permanentes ou acidentais “FIXAS”, em todos os infinitos pontos do modelo da estrutura.

Linhas de Influência (LI) :

– representação da “influência” de cargas acidentais “MÓVEIS” nos esforços (M,Q,N) que uma determinada seção (ou ponto) do modelo da estrutura está sujeita(o) em função da variação de posição destas cargas. As linhas de influência também servem para expressar como as reações de apoio da estrutura se comportam em função desta variação de posição do carregamento.

Objetivo das LI’s :

- determinação dos efeitos devidos às forças móveis em suas posições mais desfavoráveis, para que o dimensionamento da estrutura possa ser feito com a garantia de resistência a essas forças, juntamente com as ações permanentes.

Convenção de sinais para LI’s: abaixo positivo / acima negativo – para todos os esforços e reações

6.2. Linhas de Influência para uma Viga bi-apoiada

Seja uma carga móvel vertical e unitária “P” deslocando-se sobre a viga AB mostrada abaixo, e seja “x” a posição variável desta carga, medida a partir do bordo esquerdo da viga:

Figura 6.1 - viga bi-apoiada com carga unitária móvel

6.2.1. Linhas de influência das reações de apoio

Aplicação do somatório de momentos em relação ao ponto A (positivo no sentido anti-horário):

∑MA=0 → RB⋅L−P⋅(x−a)=0

RB=P⋅(x−a)

L→ como P=1 → RB=

(x−a)

L(6.1)

Aplicação do somatório de momentos em relação ao ponto B (positivo no sentido horário):

∑MB=0 → RA⋅L−P⋅(L+a−x)=0

RA=P⋅(L+a−x)

L→ como P=1 → RA=

(L+a−x)

L

(6.2)

Observações:

1. Equações lineares, logo, os gráficos são retas;

2. Os resultados das equações acima são os “coeficientes de influência” de uma “carga” sobre as reações de apoio;

3. Pontos notáveis da viga: x = 0; x = a; x = a+L; x = a+L+b;

13

Avaliando as equações de RA nos pontos notáveis :

RA(0)=(L+a−0)

L=

(L+a)

L

RA(a)=(L+a−a)

L=

LL

=1

RA(a+L)=(L+a−(a+L))

L=

0L

=0

RA(a+L+b)=(L+a−(a+L+b))

L=

−bL

(6.3)

Avaliando as equações de RB nos pontos notáveis :

RB(0)=(0−a)

L=

−aL

RB(a)=(a−a )

L=

0L

=0

RB(a+L)=((a+L)−a)

L=

LL

=1

RB(a+L+b )=((a+L+b)−a)

L=

(L+b)

L

(6.4)

Figura 6.2 - LI’s das reações de apoio

Observações:

4. Quando a carga móvel está sobre o apoio o coeficiente é 1 → transmissão total da carga sobre o apoio;

5. Considerando por exemplo o apoio A, quando a carga móvel ruma para o apoio B, o coeficiente de influência reduz de 1 até chegar a zero quando esta se posiciona sobre o apoio B;

6. Nos balanço ocorre somente um prolongamento das LI’s de reação de apoio isostáticas, sendo que, no balanço adjacente ao apoio considerado o coeficiente atinge valores maiores que 1, e no apoio contrário surgem valores negativos;

7. YSA é o valor do coeficiente de influência sobre a “reação de apoio A” quando a carga móvel está no ponto “S”

8. YSB é o valor do coeficiente de influência sobre a “reação de apoio B” quando a carga móvel está no ponto “S”

14

Exercícios Resolvidos

6.1. Trace a linha de influência das reações de apoio da viga abaixo:

Dado que:

RA=(L+a−x)

Le RB=

(x−a)

L

RA(0) =(8+3−0)

8=

118

= 1,375

RA(3) =(8+3−3)

8=

88

= 1

RA(3+8) =(8+3−(3+8))

8=

08

= 0

RA(3+8+5) =(8+3−(3+8+5))

8= −

58

= −0,625

RB(0) =(0−3)

8= −

38

= −0,375

RB(3) =(3−3 )

8=

08

= 0

RB(3+8) =((3+8)−3)

8=

88

= 1

RB(3+8+5) =((3+8+5)−3)

8=

138

= 1,625

6.2. Considere que na mesma viga do exercício anterior a carga móvel seja de 120 kN. Com base nisso, e nos resultado antes obtidos, calcule:

a) RA máx - máxima reação de apoio em Ab) RA mín - mínima reação de apoio em Ac) RA máx - máxima reação de apoio em Bd) RB mín - mínima reação de apoio em Be) RA 7 – reação de apoio em A para carga na posição x = 7f) RB 9 – reação de apoio em A para carga na posição x = 9

a) RA máx = 1,375 . 120 = 165 kN (carga na borda esquerda)

b) RA mín = 0,625 . 120 = 755 kN (carga na borda direta)c) RB máx = 1,625 . 120 = 195 kN (carga na borda direta)

d) RB mín = 0,375 . 120 = 45 kN (carga na borda direta)

e) coef. de influência de RA (7 ) =(L+a−x)

L=

(8+3−7)

8=

48

= 0,5

RA 7 = 0,500 . 120 = 60 kN

f) coef. de influência de RB(9) =(x−a)

L=

(9−3)

8=

68

= 0,75

RB 9 = 0,750 . 120 = 90 kN

15

6.2.2. Linha de influência do momento fletor numa seção S entre os apoios

Considerando agora uma seção “S” à uma distância “c” do apoio A e portanto distante d = (L-c) do apoio B, e levando em conta que as reações de apoio são funções de primeiro grau cuja variável “x” é a posição da carga móvel:

Figura 6.3 - viga bi-apoiada – reações de apoio em função da carga móvel

Olhando a esquerda da seção “S”, e considerando que carga a móvel está entre 0 e (a+c) [ trecho I ]:

* sinal positivo obedecendo a convenção padrão de sinais

MSI= RA⋅c−P⋅((c+a)−x) =(L+a−x)

L⋅c−1⋅(c+a−x)

MSI=(Lc+ac−xc)

L−c−a+x=

(a−x)⋅cL

−(a−x)

MSI= ( cL

−1)(a−x)

(6.5)

Ainda olhando a esquerda da seção “S”, porém considerando que carga a móvel está entre (a+c) e (a+L+b) [ trecho II ]:

MSII= RA⋅c =(L+a−x)

L⋅c (6.6)

Assim sendo, a LI de momento fletor na seção S, é representada por uma função por partes tal que:

MS={(cL

−1)(a−x) para 0 ≤ x ≤ (a+c)

(L+a−x)

L⋅c para (a+c) ≤ x ≤ (a+L+b)} (6.7)

Avaliando MS nos pontos notáveis com adição do ponto xs :

MS (0) = ( cL

−1)(a−0 )=( cL

−1)a

MS (a) = ( cL

−1)(a−a )=( cL

−1)⋅0=0

MS (a+c) = ( cL

−1)(a−(a+c))=( cL

−1)⋅(−c)=−c2

L+c ou ainda

MS (a+c) =(L+a−(a+c))

L⋅c =

(L−c)L

⋅c =−c2

L+c

MS (a+L) =(L+a−(a+L))

L⋅c =

(0)

L⋅c =0

MS (a+L+b) =(L+a−(a+L+b))

L⋅c = −

bL⋅c

(6.8)

16

Figura 6.4 - LI do momento fletor na seção S

Observações:

9. O momento é representado por uma função por partes, sendo que, para a seção “S”, as duas expressões devem resultar no mesmo valor de coeficiente de influência de momento;

10. É possível traçar o diagrama LI do momento na seção “S” apenas com parâmetros gráficos como demonstrado com as linhas tracejadas na figura acima;


6.3. Trace a linha de influência do momento fletor para a seção S da viga abaixo:OBS: As LI’s de reações de apoio já foram calculadas em exercício anterior.

Dado que:

RA=(L+a−x)

L=

(11−x)

8e RB=

(x−a)

L=

(x−3 )

8

MS={(3,58

−1)(3−x) para 0 ≤ x ≤ 6,5

(11−x)

8⋅3 para 6,5 ≤ x ≤ 16}

MS (0)=(3,58

−1)(3−x)=( 3,58

−1)(3−0)=−1,6875

MS (3)=(3,5x

−1)(3−x)=(3,58

−1)(3−3)=0

MS (6,5)=( 3,5x

−1)(3−x)=( 3,58

−1)(3−6,5)=1,96875

ou ainda

MS (6,5)=(11−x)

8⋅3=

(11−6,5)

8⋅3,5=1,96875

MS (11)=(11−11)

8⋅3,5=0

MS (16)=(11−16)

8⋅3,5=

−58

⋅3,5=−2,1875

17

6.4. Considere que na mesma viga do exercício anterior a carga móvel seja de 350 kN. Com base nisso, e nos resultados de LI de momento fletor da seção S obtidos, calcule:

a) O máximo momento fletor positivo na seção S (MS máx) e qual a posição da carga móvelb) O máximo momento fletor negativo na seção S (MS mín) e qual a posição da carga móvel

a) MS máx = 1,96875 . 350 = 691,06 kNm (carga sobre a seção S)b) MS mín = -2,1875 . 350 = -765,5 kNm (carga na borda direta)

6.5. Substituindo a carga móvel concentrada por uma carga móvel distribuída de 50 kN/m (comprimento indefinido), calcule:

a) O máximo momento fletor positivo na seção S (MS máx)b) O máximo momento fletor negativo na seção S (MS mín)

a) MS máx = 50 kN/m . 8 m . 1,96875 / 2 = 393,75 kNmb) MS neg. esq = 50 kN/m . 3 m . 1,6875 / 2 = 126,56 kNm

MS neg. dir = 50 kN/m . 5 m . 2,1875 / 2 = 273,44 kNmOu seja, MS mín = 273,44 kNm

6.2.3. Linha de influência da força cortante numa seção S entre os apoios

Toma-se as mesmas considerações utilizadas para o LI do momento fletor numa seção “S” entre apoios:

Figura 6.5 - viga bi-apoiada – reações de apoio em função da carga móvel

Olhando a esquerda da seção “S”, e considerando que carga a móvel está entre 0 e (a+c) [ trecho I ]:

* sinal positivo obedecendo a convenção padrão de sinais para esforço cortante ( horário )

QSI= RA−P =(L+a−x)

L−1 =

(L+a−x−L)

L=

(a−x)

Lou seja −RB (6.9)

Ainda olhando a esquerda da seção “S”, porém considerando que carga a móvel está entre (a+c) e (a+L+b) [ trecho II ]:

QSII= RA =(L+a−x)

Lou seja RA (6.10)

Assim sendo, a LI de esforço cortante na seção S, é representada por uma função por partes tal que:

QS={(a−x)

Lpara 0 ≤ x < (a+c)

(L+a−x)

Lpara (a+c) < x ≤ (a+L+b)} (6.11)

18

Avaliando QS nos pontos antes considerados :

QS (0) =(a−x)

L=

(a−0)

L=

aL

QS (a) =(a−a)

L=

0L

= 0

QS (a+c) =(a−(a+c))

L=

(a−a−c)L

= −cL

QS (a+c) =(L+a−(a+c))

L=

(L+a−a−c)L

=(L−c)

L

QS (a+L) =(L+a−(a+L))

L=

(L+a−a−L )

L= 0

QS (a+L) =(L+a−(a+L+b ))

L=

(L+a−a−L−b)

L= −

bL

(6.12)

Figura 6.6 - LI do esforço cortante na seção S

Observações:

11. Para a LI do esforço cortante em uma seção entre apoios, o valor pela esquerda é diferente do valor pela direita – ocorre uma descontinuidade no gráfico ;

12. A soma do módulo dos valores pela esquerda e pela direita no ponto de descontinuidade do gráfico é igual a 1;


6.6. Trace a linha de influência do esforço cortante para a seção S da viga dos exercícios anteriores (reaproveitando dados já obtidos):

Dado que: QS={(3−x)

Lpara 0 ≤ x < 6,5

(11−x)

Lpara 6,5 < x ≤ 16}

QS (0)=(3−0)

8=0,375

QS (3)=(3−3)

8=

08=0

QS ESQ(6,5)=(3−6,5 )

8=−0,4375

e ainda

QS DIR(6,5)=(11−6,5)

8=0,5625

QS (11)=(11−11)

8=0

QS (16)=(11−16)

8=−0,625

19

6.7. Considere na viga do exercício anterior uma carga distribuída de 70 kN/m. Com base nisso, e nos resultados de LI de esforço cortante da seção S obtidos, calcule:

a) O máximo cortante positivo na seção S (QS máx)b) O máximo cortante negativo na seção S (QS mín)

a) QS máx = ( (3 m . 0,375/2) + (4,5 m . 0,5625/2) ) . 70 kN/m = 128,0 kN b) QS mín = ( (3,5 m . -0,4375/2) + (5 m . -0,625/2) ) . 70 kN/m = -163,0 kN

6.3. Linhas de Influência para uma Viga engastada

Seja uma carga móvel vertical e unitária “P” deslocando-se sobre uma viga engastada em balanço, mostrada abaixo, e seja “x” a posição variável desta carga, medida a partir do engaste da viga:

Figura 6.7 - viga engastada em balanço a com carga unitária móvel

6.3.1. Linhas de influência das reações de apoio

Aplicação das condições de equilíbrio (convenção de sinais):

∑MA = 0 → MA−P⋅x = 0 → MA = x∑ Fv = 0 → RA− P → como P=1 → RA=1

(6.13)

6.3.2. Linhas de influência de momento fletor e esforço cortante para a seção S

Olhando a direita da seção “S”, e considerando que carga a móvel está entre 0 e c [ trecho I ]:

(convenção de sinais):

∑M = 0 → M S = 0∑V = 0 → QS = 0

(6.14)

Olhando a direita da seção “S”, e considerando que carga a móvel está entre c e (c+d) [ trecho II ]:

(convenção de sinais):

∑M = 0 → M S−P⋅(x−c) = 0 → MS−1⋅(x−c) = 0 → MS = c−x∑V = 0 → QS − P = 0 → QS = P → QS = 1

(6.15)

A LI de momento fletor na seção S, é representada por uma função por partes tal que:

MS={ 0 para 0 ≤ x ≤ cc−x para c ≤ x ≤ c+d} (6.16)

A LI de esforço cortante na seção S, é representada por uma função por partes tal que:

QS={0 para 0 ≤ x < c1 para c ≤ x ≤ c+d} (6.17)

Calculando o valor da LI do momento fletor na extremidade do balanço:

MS (c+d)=c−(c+d) → MS (c+d)=c−c−d=−d (6.18)

20

Figura 6.8 - LI’s de viga engastada em balanço a com carga unitária móvel

6.4. Trem-Tipo

Um trem-tipo é um conjunto de forças móveis, concentradas e/ou distribuídas, de valores constantes e de distâncias relativas fixas entre si, que representam a combinação prevista de veículos e de pessoas que atravessarão a estrutura, em situação mais desfavorável, sendo esta combinação usualmente definida em normas de projeto.

No Brasil utilizam-se as seguintes normas:

• NBR 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestres

• NBR 7189 – Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias


6.8. Trace a linhas de influência das reações no apoio A, e de momento fletor para as seções S1, S2 e S3 do pórtico abaixo:

- Cálculo das reações de apoio em função da posição “x” da carga P=1:

• como há uma rótula interna, as reações precisam ser descritas em função da posição de P=1 a esquerda e a direita da rótula, ou seja:

-- esquerda (esq): 0,0 <= x <= 4,5-- direita (dir): 4,5 <= x <= 9,0

• para efeito de cálculo das reações, dada a existência de uma reação superabundante que é compensada pela rótula interna, a condição de equilíbrio será analisada considerando também que em C (ponto da rótula) o momento é “zero”;

• na aplicação da condição de equilíbrio sobre a rótula C será considerada sempre a parte da estrutura que está à esquerda dela;

21

- Reações de apoio:

(+hor.)∑ M apoioB=0 → 6⋅VA−P⋅(7,5−x)=0 → V A=(7,5−x)

6

(+acima)∑ FV=0 → VA+VB=1 → VB=1−VA → VB=(−1,5+x)

6

- para P= 1 em 0,0 <= x <= 4,5: (carga P à esquerda da rótula – esq.)

(+hor.)∑ M Cesq=0 → −4⋅HA

esq+3⋅VA−P⋅(4,5−x)=0 → HAesq=

(−1,5+x)

8

- para P= 1 em 4,5 <= x <= 9,0: (carga P à direita da rótula – dir.)

(+hor.)∑M Cdir=0 → −4⋅HA

dir+3⋅VA=0 → HAdir=

(7,5−x)

8

(+acima)∑ FH=0 → HA−HB=0 → HB=HA → HB={(−1,5+x)

8para P em : 0≤x≤4,5

(7,5−x)

8para P em : 4,5≤x≤9,0}

- Para a seção S1: * considerar 3 intervalos de posicionamento da carga P1 [1] – antes de S1 (0<=x<=1,5) [2] – entre S1 e a rótula C (1,5<=x<=4,5) [3] – depois da rótulo C (4,5<=x<=9,0)

[1] (+hor.)MS1[1]=−P⋅(1,5−x) → MS1

[1 ]=x−1,5 [2] (+hor.)MS1

[2]=0

[3] (+hor.)MS1[3]=0

- Para a seção S2: * considerar os mesmos 3 intervalos. * por simplicidade será considerado somente o trecho AS2:

[1] (+hor.)MS2[1]=−4⋅HA

esq → MS2[1 ]=

(3−2x)

4

[2] (+hor.)MS2[2]=−4⋅HA

esq → MS2[2]=

(3−2x)

4

[3] (+hor.)MS2[3]=−4⋅HA

dir → M S2[3 ]=

(−7,5+x)

2

- Para a seção S3: * considerar os mesmos 3 intervalos.

[1] (+hor.)MS3[1]=−4⋅HA

esq−P⋅(1,5−x) → MS3[1 ]=

(−3+2x )

4

[2] (+hor.)MS3[2]=−4⋅HA

esq → MS3[2]=

(3−2x )

4

[3] (+hor.)MS3[3]=−4⋅HA

dir → M S3[3 ]=

(−7,5+x)

2

22

6.9. Trace a linhas de influência de momento fletor para as seções S1, S2 e S4 e de esforço cortante para as seções S2, e S3:

Reações de apoio:

(+hor.)∑M apoioB=0 → 6⋅VA−P⋅(6−x)=0 → VA=(6−x)

6

(+acima)∑ FV=0 → VA+VB=1 → VB=1−RA=1−(6−x)

6B

→ VB=x6

LI de MS1:- Para P= 1 em 0,0 <= x <= 2,0:

(+hor.)MS1esq=2⋅V A−P⋅(2−x) → MS1

esq=2⋅x3

- Para P= 1 em 2,0 <= x <= 9,5:

(+hor.)MS1dir=2⋅VA → MS1

dir=2−x3

LI de MS2:- Para P= 1 em 0,0 <= x <= 6,0:(+hor.)MS2

esq=2⋅V A−P⋅(6−x) → M S2esq=0

- Para P= 1 em 6,0 <= x <= 9,5:(+hor.)MS2

dir=2⋅VA → MS2dir=6−x

LI de MS4:- Para P= 1 em 0,0 <= x <= 7,0:(+hor.)MS4

esq=7⋅V A−1⋅VB−P⋅(7−x) → MS4esq=0

- Para P= 1 em 7,0 <= x <= 9,5:(+hor.)MS4

esq=7⋅V A−1⋅VB → MS4esq=7−x

LI de QS2:- Para P= 1 em 0,0 <= x <= 6,0:

(+acima)QS2esq=VA−P → QS2

esq=−x6

- Para P= 1 em 6,0 <= x <= 9,5:

(+acima)QS2dir=V A → QS2

dir=(6−x)

6

LI de QS3:- Para P= 1 em 0,0 <= x <= 6,0:(+acima)QS2

esq=VA+V B−P → QS3esq=0

- Para P= 1 em 6,0 <= x <= 9,5:(+acima)QS2

dir=VA+VB → QS3dir=1

23

6.5. Carregamento Indireto

O carregamento atuante em uma estrutura é dito indireto quando é transmitido através de uma estrutura secundária a pontos discretos da estrutura. Seja a estrutura da figura abaixo sujeita a um carregamento indireto:

:


Calculando o efeito da carga P entre os pontos de transmissão de cargas E e D, verificamos que para obter a L.I. para o carregamento indireto, traçamos inicialmente a L.I. supondo o carregamento direto nestes dois pontos e ligando suas ordenadas por segmentos de reta, obtemos a linha de influência desejada.


6.6. Linhas de Influência para Vigas Gerber

Observando o traçado da linha de influência da viga mostrada na figura acima, podemos enunciar um roteiro para traçado de L.I. de vigas Gerber:

1. Decompor a viga Gerber em vigas bi-apoiadas e/ou vigas engastadas em balanço (principais e secundárias);

2. Traçar a linhas de influência para as vigas simples as quais pertençam os apoios ou seções para os quais se deseje obter linhas de influências;

3. Se a extremidade das viga simples forem rotuladas com uma viga secundária, ligar o ponto extremo da ordenada do balanço até a intersecção da vertical que passa pela rótula seguinte da viga secundária;

4. Para cargas indiretas, se houver, traçar a linha de influência como se a carga atuasse diretamente. Unir por um segmento de reta os pontos determinados pela interseção da linha de influência com a vertical traçara a partir dos pontos de apoio das vigas simples transmissoras de carga.

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6.10. Trace as linhas de influência das reações de apoio, e as linhas de influência do momento fletor e esforço cortante para as seções de S1 a S5 na viga Gerber da figura abaixo:

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6.7. Linhas de Influência para Treliças

Para obtenção das linhas de influência de treliças planas isostáticas, se faz necessário o uso do método das seções (ou método de Ritter).

Através do métodos das seções, separamos a treliça em duas partes, de modo que os esforços correspondentes às barras cortadas pela seção sejam aqueles para os quais se desejam traçar as linhas de influência.

6.8. Envoltória

Envoltória ---- truturas isostáticas, de eixo reto, que resultam da associação de vigas simples (vigas em balanço ou vigas biapoiadas);

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7.

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Referências BibliográficasAbaqus 6.9 Documentation.

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APÊNDICE A - MODELAGEM COM ABAQUS

A.1. ABAQUS X ANSYSAlguns pontos podem ser salientados na comparação entre o uso dos pacotes comerciais ANSYS® e

ABAQUS®:

A.2. METODOLOGIA EMPREGADA E IMPLEMENTAÇÃO – CONSIDERAÇÕES EM RELAÇÃO AO PYSTEC E ANSYS

A principal diferença entre a metodologia utilizada pelas análises do pySTEC e a metodologia empregada nos modelos gerados com o ABAQUS® está na sequência de análise.

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Tabela A.1 - Compartimentos do script para ABAQUS

Compartimentos: Ações:

1 ENTRADA DE DADOS:

- tipo de análise (Térmica / Estrutural / Termo-estrutural )- propriedades térmicas e elásticas do material- definições para a malha de elementos finitos- dados variáveis conforme o tempo de análise

2 FUNÇÕES- função de interpolação de dados da curva de calor gerado- função de cálculo do módulo de elasticidade

3 LISTAS DE TEMPOS DA ANÁLISE E DADOS TRANSIENTES

- tempos da análise para nomeação dos passos (incluindo continuidade)- tempos de lançamento de camadas- temperaturas do ambiente em cada tempo de análise- temperatura de lançamento de cada camada

4 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS E GEOMETRIA

- tabela os módulos de elasticidades conforme unidade de horas inteiras como idades do concreto;- criação dos elementos geométricos com bases em “assemblies”

5CRIAÇÃO DOS PASSOS DE CARGA DA ANÁLISE (Load Steps)

- cria como objetos os passos de carga

6 CRIAÇÃO DE SURFACES E REGIONS - nomeação de elementos da geometria para aplicação de cargas (surfaces e regions);

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APLICAÇÃO DE CONDIÇÕES DE CONTORNO (BCs), CAMPOS PRÉ DEFINIDOS (PREDEFINED FIELDS), INTERAÇÕES (INTERACTIONS) E CARREGAMENTOS (LOADS)

- aplica engastamento na base da última camada (BCs)- aplica fluxo de calor nulo na base (LOADS)- aplica carga de gravidade em todas as camadas (LOADS)- aplica o calor gerado como força de corpo em cada camada para passo de carga conforme a idade do concreto (LOADS)- aplica temperatura inicial de cada camada (PREDEFINED FILEDS)- aplica os fluxos de convecção nas surfaces definidas como contorno da estrutura conforme a variação deste contorno em cada passo de carga (INTERACTIONS)

8 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS - malha todas as instâncias com elemento CPE8T

9 “CONSTRAINTS”- aplica relações entre os nós de interfaces das “assemblies” sendo cada assembly uma camada, o que garante que a estrutura trabalhe como um todo a cada lançamento de nova camada

10 “INTERACTIONS” DE MODIFICAÇÃO DA GEOMETRIA

- desativação de todas as camadas e definição da reativação paulatina de cada camada a seu devido tempo, ou seja, nos devidos load-steps

11DEFINIÇÃO DO TIPO DE RESULTADOS DESEJADOS E CRIAÇÃO DO “JOB” DA ANÁLISE

- especifica o cálculo dos campos de: Temperatura (NT11), Deslocamentos (U1,U2), Deformações totais (E11, E22, E12) Deformações Térmicas (ET11), Tensões (S11,S22, S33, S12, Smax, Smed, Smin)- escreve o arquivo de input relativo ao “JOB” da análise

12REESCREVE O ARQUIVO .INP APLICANDO O MÓDULO DE ELASTICIDADE VARIÁVEL

- abre o arquivo de input gerado e em cada load-step aplica os módulos de elasticidade conforme a Idade do concreto de cada camada- salva o arquivo de input com o mesmo nome anterior porem adicionando a palavra “_final.inp”

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ANEXO I - TERMOELASTICIDADESegundo SADD (2009), a relação entre a deformação e a energia térmica de um material elástico foi

documentada pela primeira vez em 1805 por J. Gouh, tendo sido publicado por Lord Kelvin o primeiro tratamento teórico do efeito ter

I.1.1. TENSÃO

Segundo POPOV (1990), tensão é uma grandeza física que mensura a força média por unidade de área de uma superfície em um corpo deformável sobre a qual forças internas atuam. Pode-se afirmar que ela é a intensidade destas forças internas atuando

I.1.1.1. TENSOR DE TENSÕES DE CAUCHY

sendo o último termo do segundo membro uma forma de calcular o volume do tetraedro tomando a área do plano inclinado como base, e encontrando Δ h como a distância da origem do sistema cartesiano até o ortocentro da área do plano inclinado.

Nomeando as componentes do vetor de tensões t⃗ tem-se:

t⃗ n̂T = [t nx , tny , tnz ] (I.1)

ituintes de um corpo se deslocaram de sua posição original segundo a referência a um sistema de eixos.

I.1.1.2. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE DEFORMAÇÃO

Segundo POPOV (1990), como as deformações geralmente variam de ponto para ponto em um contínuo, uma definição de deformação deve relacionar-se a um elemento infinitesimal. Com isso em mente, considere uma deformação linear oco

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Apostila TE 001

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