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TOPOGRAFIA III

Prof. Paulo Augusto F. Borges

Fevereiro 2015

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 3

2. EIXOS E PARTES PRINCIPAIS DE TEODOLITOS E ESTAÇÕES TOTAIS ............ 4

3. ERROS INSTRUMENTAIS ................................................................................................. 5

3.1 Erro de Esfericidade ..................................................................................................... 6

3.2 Erro de Centragem ....................................................................................................... 8

3.3 Erro de Direção: Centragem Imperfeita do Teodolito e da baliza ou Alvo ............... 10

3.4 Erro de Excentricidade do Limbo Horizontal ............................................................ 11

4. MEDIDAS ANGULARES .................................................................................................. 14

4.1 Classificação dos Equipamentos segundo à Precisão ................................................ 14

4.1.1 Teodolitos ........................................................................................................... 14

4.1.2 Med’s (Medidores Eletrônicos de Distâncias) ................................................... 15

4.1.3 Estações Totais ................................................................................................... 15

4.2 Métodos de Medição Angular .................................................................................... 15

4.2.1 Método da Repetição .......................................................................................... 15

4.2.2 Método da Reiteração ........................................................................................ 17

4.2.3 Método das Direções .......................................................................................... 18

5. MEDIDAS LINEARES ....................................................................................................... 20

5.1 Medida Direta de Distâncias ...................................................................................... 21

5.1.1 Trenas ................................................................................................................. 22

5.1.2 Piquetes .............................................................................................................. 23

5.1.3 Estacas ................................................................................................................ 23

5.1.4 Nível de Cantoneira ............................................................................................ 24

5.1.5 Barômetro de Bolso ............................................................................................ 24

5.1.6 Dinamômetro ...................................................................................................... 25

5.1.7 Termômetro ........................................................................................................ 25

5.2 Erros nas Medidas com Diastímetros ........................................................................ 25

5.2.1 Horizontalidade: ................................................................................................. 25

5.2.2 Dilatação: ........................................................................................................... 25

5.2.3 Catenária: ........................................................................................................... 26

5.2.4 Elasticidade: ....................................................................................................... 27

5.2.5 Padronagem: ...................................................................................................... 28

5.3 Medidas Lineares com Precisão................................................................................. 29

5.3.1 Desenvolvimento de Bases Topográficas ........................................................... 29

5.3.2 Medição de Distâncias com Teodolito e Mira Horizontal ................................. 31

5.4 Medida Eletrônica de Distâncias ............................................................................... 34

5.4.1 Princípios de Funcionamento ............................................................................. 35

5.4.2 Constante Aditiva, correção de zero ou erro de índice (z0) ............................... 41

5.4.3 Erro Cíclico (k3) ................................................................................................. 42

5.4.4 Erros cometidos na Medição Eletrônica de Distâncias. .................................... 43

5.4.5 Erros devidos ao processo eletrônico de obtenção da distância: ...................... 43

5.4.6 Correções efetuadas nas distâncias fornecidas pelos MED’s ........................... 43

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1. INTRODUÇÃO

Neste curso pretende-se apresentar os principais erros inerentes ao processo

de obtenção de ângulos e distâncias por meio de teodolitos e estações totais. Para

que ângulos e distâncias sejam obtidos com precisão e acurácia, deve-se ter o

conhecimento de certos cuidados a serem observados, tanto no instrumento a ser

operado, bem como no processo de medição. Pretende-se também apresentar a

evolução nas técnicas de medição de distância, detalhando-se o método de medição

eletrônica, disponível atualmente nas estações totais, laser scanners e trenas

eletrônicas.

Serão apresentados ainda, os métodos de medição angular que permitem a

obtenção de ângulos de forma mais precisa e confiável. Por fim, apresenta-se as

técnicas de interseção a Ré e a Vante, muito utilizadas em trabalhos de

levantamentos e locações topográficas.

Além de todo este estudo, pretende-se proporcionar o conhecimento e o uso

na prática, dos principais e mais modernos equipamentos utilizados para a execução

dos levantamentos topográficos, as estações totais, além de promover o

conhecimento das técnicas de medição.

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2. EIXOS E PARTES PRINCIPAIS DE TEODOLITOS E ESTAÇÕES

TOTAIS

Visando compreender melhor os tipos de erros que podemos verificar em um

teodolito/estação total, é necessário o conhecimento do sistema de eixos que

caracterizam estes equipamentos topográficos. A figura 2.1 abaixo, ilustra os eixos e

as partes principais de um teodolito/estação total:

VV” = Eixo de rotação, eixo vertical ou eixo principal;

HH” = Eixo Secundário (deve ser perpendicular ao eixo principal);

LL” = Linha de colimação (deve ser perpendicular ao eixo secundário e deve

encontrar o eixo principal.

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3. ERROS INSTRUMENTAIS

Neste capítulo são apresentados os principais erros inerentes à construção do

equipamento e que afetam de maneira significativa a qualidade das observações

angulares, bem como os erros devido ao efeito da curvatura da terra e da refração

atmosférica na obtenção de ângulos horizontais e verticais.

Inicialmente segue-se uma apresentação dos sistemas de eixos de um

teodolito ou estação total bem como as partes que o compõe.

Ao se realizar a fabricação de um teodolito ou de uma estação total, deve-se

atentar se os seguintes critérios foram atendidos:

� o eixo principal do teodolito deve ser perpendicular ao eixo secundário

(eixo de rotação da luneta);

� o eixo principal do teodolito deve ser normal ao plano do limbo

horizontal;

� o eixo principal do teodolito deve coincidir com o centro do limbo

horizontal;

� o eixo ótico da luneta deve ser perpendicular ao eixo secundário;

� o eixo ótico da luneta deve encontrar o eixo principal;

� a graduação do limbo deve ser correta.

Ao se realizar uma medição topográfica, o eixo principal do teodolito deve

estar na vertical, o que é possível a partir do correto nivelamento do instrumento.

Caso ocorra problemas na construção do equipamento, pode-se ter os seguintes

erros resultantes:

Condição de construção não satisfeita Erro resultante

Perpendicularidade entre o eixo principal e o plano do

limbo horizontal

Erro de inclinação do eixo principal

sobre o plano do limbo

Passagem do eixo principal pelo centro do limbo

azimutal

Erro de excentricidade da alidade

Graduação ou codificação do limbo exata Erro de graduação

Intersecção do eixo óptico com o eixo principal Erro de excentricidade do eixo óptico

Perpendicularidade entre o eixo secundário e o eixo

principal

Erro de inclinação do eixo

secundário

Perpendicularidade entre o eixo óptico da luneta e o

eixo secundário

Erro de colimação do eixo óptico

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3.1 Erro de Esfericidade

A extensão do Sistema Topográfico Local é limitada pela precisão

requerida para a determinação das posições dos pontos no processo de

levantamento e do erro ocasionado pela desconsideração da curvatura

terrestre, em um alinhamento definido pela distância do ponto mais afastado

do levantamento em relação à origem do sistema.

Seja a Figura 3.1, onde SF é um trecho da Superfície Física, PTL é o

plano tangente ao geóide na origem do Sistema Topográfico (ponto A1), R é o

raio da Terra, supostamente esférica. Seja B um ponto da superfície física,

cuja projeção sobre o plano tangente é definida pelo ponto B1, e sobre o

geóide é o ponto B2.

Sejam D e D1 as distâncias entre os pontos A e B referidas ao geóide

A1B2 e ao plano tangente A1B1, respectivamente.

Figura 3.1: Erro devido à esfericidade ou curvatura da Terra.

Verifique que:

αtan111 ⋅=⋅= RBAD (3.1)

Admitindo-se que α é um ângulo muito pequeno, pode-se escrever:

α⋅=⋅= RBAarcoD 21 (3.2)

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A diferença entre D1 e D é denominada de erro planimétrico (∆D)

devido à curvatura da Terra, portanto:

( )αααα −⋅=⋅−⋅=−=∆ tantan1 RRRDDD (3.3)

Sendo o ângulo central α muito pequeno, convém desenvolver a função

tangente em série de potências:

++⋅+⋅++= ...315

1715

23

tan753 ααα

α a (3.4)

Limitando a expressão (3.4) ao segundo termo deste desenvolvimento

e substituindo a expressão (3.3) tem-se:

33

33 αα

α⋅=

−+⋅=∆ RaRD (3.5)

Da expressão (3.2) tem-se α em função de R e D:

3

33

R

D

R

D=→= αα (3.6)

Inserindo a equação (3,6) na equação (3,5) tem-se:

2

3

3 R

DD

⋅=∆ (3.7)

Esta é a expressão do erro planimétrico devido à curvatura da Terra. O

erro ∆D corresponde a um erro ε na escala E da planta, ou seja: A seguir,

estão consignados na tabela 3.1 abaixo, diversos valores de distâncias

calculadas sobre o geóide e sobre o plano tangente de referência, incluindo

também os erros planimétricos “absolutos” e “relativos”.

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Tabela 3.1: Valores das distâncias calculadas sobre o elipsóide e sobre o plano tangente.

Considerando-se o elipsóide GRS67 utilizado no sistema SAD69 tem-

se:

Semi-eixo maior � a = 6.378.160,000 m

Semi-eixo menor � b = 6.356.774,719 m

m5736.371.031,3

2=

+⋅=

baRm (3.8)

3.2 Erro de Centragem

Consideremos a Figura 3.2 a seguir.

Figura 3.2: Erro de centragem.

α D1 = Rm . tan α D = Rm.α ∆D (m) Erro Relativo 0º01’00” 1853,258 1853,258 0,0000523 1:35.454.308 0º03’00” 5559,775 5559,774 0,001 1:3.939.367 0º06’00” 11119,559 11119,548 0,011 1:984.842 0º09’00” 16679,360 16679,322 0,038 1:437.707 0º12’00” 22239,186 22239,096 0,090 1:246.210 0º15’00” 27799,046 27798,869 0,176 1:157.575 0º18’00” 33358,948 33358,643 0,305 1:109.427 0º21’00” 38918,901 38918,417 0,484 1:80.395 0º24’00” 44478,914 44478,191 0,723 1:61.552 0º27’00” 50038,994 50037,965 1,029 1:48.634

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Considere o aparelho sendo instalado no ponto E1, onde pretende-se

observar o ponto de ré E0 e em seguida realizar a visada de vante ao ponto E2

, obtendo-se assim o ângulo horizontal �. Consideremos ainda que, devido a

um erro de centragem incorreta do aparelho, este foi, na verdade, instalado

sobre o ponto E1’. Sendo assim, tem-se um erro de centragem ��.

Seja ∆� = ��� �� �� ����� � ��� �� ��������. Por definição, temos que:

���� = ��� ������� − ��� ��� ��. Portanto:

∆� = � − � Observando-se a figura 3.2, verifica-se que:

� + � + � = 180° � � + � + $ = 180° � + $ = � + � ∴ � − � = � − $

Logo, temos que

∆� = � − $ (3.2.1)

O erro angular é a diferença entre o erro na direção �&�'((((((((() e o erro na

direção �&�*((((((((().

Do triângulo E1E1’E0, tem-se +,-.

./ = 012 34546(((((((((() mas como � é muito pequeno,

logo sen � = �:;< e a equação acima será dada por:

�:;< = ./4546(((((((((() ∗ sen > (3.2.2)

Do triângulo E1E1’E2, tem-se +,-?

./ = 012@3ABC454D(((((((((() mas como $ é muito

pequeno, logo sen $ = $:;< e a equação acima será dada por:

$:;< = ./454D(((((((((() ∗ sen@> + �C (3.2.3)

Substituindo as equações (3.2.3) e (3.2.2) na equação (3.2.1), tem-se:

∆�:;< = ���1�0(((((((() ∗ sen > − ��

�1�2(((((((() ∗ sen@> + �C (3.2.4)

O Erro de centragem máximo ocorre quando � = 180° e > = 90°. Substituindo esses valores na equação (3.2.4), tem-se:

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∆�:;< = �� ∗ G 1�1�0(((((((() + 1

�1�2(((((((()H (3.2.5)

Transformando ∆�:;< em ∆�", tem se:

∆�" = 206265 ∗ �� ∗ G &4546(((((((((() + &

454D(((((((((()H (3.2.6)

3.3 Erro de Direção: Centragem Imperfeita do Teodolito e da baliza ou

Alvo

A Figura 3.3 abaixo mostra a condição mais desfavorável @> = 90°C

para este erro.

Figura 3.3: Erro de direção devido à centragem imperfeita.

Em que:

� ei = erro linear de centragem do teodolito;

� eb = erro linear de centragem do alvo;

� LMNO = direção procurada;

� PMQNO = direção observada;

� γ = erro na direção LMNO;

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Considerando o valor ei + eb = arco de circunferência de raio OB, e sendo

γ um ângulo muito pequeno, podemos escrever que:

�� + �� = �� ∗ �:;<

�� � �� � �R ∗ �:;<

STUV W XYAXZ[\ , ou ainda, S" W XYAXZ

[\ ∗ ]^_]_`

3.4 Erro de Excentricidade do Limbo Horizontal

Mesmo com a alta tecnologia empregada na fabricação de

instrumentos topográficos, aliado a alta capacitação dos profissionais

envolvidos, fazer com que o eixo de rotação da alidade passe exatamente

pelo centro do círculo graduado, é uma tarefa muito difícil.

Para exemplificar a magnitude deste erro e sua influência na medição

de ângulos, se a distância do eixo do instrumento estiver a 0,1 mm do centro

do círculo graduado, de 10 cm de diâmetro, o erro na medida do ângulo pode

chegar a 13’ 45”.

Considere a Figura 3.4 abaixo:

Figura 3.4: Eliminando o erro de excentricidade da Alidade.

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U � V � Z � a ∴ U − Z � a − V

Chamando-se U − Z � b, temos queb � a − V.

Considerando � � � �dd&e&, � o erro de excentricidade e � o raio

do limbo, obtém-se:

���(�)� � ���(�)

� → ���(�) � �� ∗ ���(�)

���(�)

� � ���( � �)� → ���(�) � �

� ∗ ���( � �)

Na Figura 3.4, considere que C seja o centro do círculo graduado, C1 o

ponto do plano do mesmo círculo graduado por onde passa o eixo de rotação

da alidade, e O a origem da graduação e que o sentido é horário.

Sendo M e M1 as posições do índice, correspondentes às duas

direções do plano visual do colimador, a rotação efetuada pela alidade para

passar de uma direção à outra, será expressa pelo ângulo ed&e& � U,

(ângulo formado por essas direções).

Chamando de ���& as leituras feitas no círculo graduado nas posições do

índice, a diferença � −�& é igual ao arco ghg que é a medida do ângulo

gigh � Z, e a diferença U − Z � jXk, que representa o erro angular devido à

excentricidade da alidade na medida do ângulo a.

Como os ângulos c e d são muito pequenos pode-se escrever:

� � ,l ∗ 206265 ∗ ���(�) � � ,

l ∗ 206265 ∗ ���( � �)

Onde se obtém:

jXk � a − V

jXk � �� ∗ 206265 ∗ ���(�) − �

� ∗ 206265 ∗ ���( � �) jXk � �

� ∗ 206265 ∗ m���(�) − ���( � �)n

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Em função das relações trigonométricas, sabemos que:

���� − ���� � 2 ∙ �� p(� � �)2 q ∙ ��� p(� − �)

2 q Logo, tem-se:

jXk � 2�� ∗ 206265 ∗ �� r � 2�

2 s ∙ ��� t2u

O erro αααα é nulo para (/2) � � � 90° ou (/2) � � � 270°, ou seja,

quando a reta CC1 é a bissetriz do suplemento de a, e é máximo para

(/2) � � � 180°, com (/2) � 90°, e também para (/2) � � � 360°, com

(/2) � 270. Nesses casos de máximo, o ângulo a é plano, de lados

perpendiculares a CC1 é o erro αααα é dado por:

jXk W ±2�� ∗ 206265

Como o ângulo que tem o vértice no interior de um círculo é igual ao

ângulo central que subentende um arco igual à média aritmética dos arcos

compreendidos entre as retas que determinam o ângulo dado, pode-se

deduzir que medida exata do ângulo a, mesmo com grande erro de

excentricidade da alidade, aplicando um segundo índice N à outra

extremidade da corda MN.

Chamando de m e m1 às leituras feitas com o índice M (PD) e n e n1

para as leituras feitas com o índice N (PI), m-m1 e n-n1 serão os valores dos

arcos MM1 e NN1, respectivamente, onde tem-se:

� (� −�&) � (� − �&)2

Exemplo:

Sendo as leituras m=50º30’40” n=230º30’42”

M1=20º30’50” n1=200º30’48”

A=((50º30’40”-20º30’50”)+(230º30’42”-200º30’48”))/2

A=(29º59’50”+29º59’54”)/2 ⇒ a=29º59’52”

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4. MEDIDAS ANGULARES

Em levantamentos por meio de técnicas convencionais (a partir de estações

totais e teodolitos), a medição de ângulos e distâncias se torna uma das tarefas mais

importantes da topografia. A qualidade de um trabalho topográfico está

intrinsecamente relacionada com a capacidade de se obter, através de métodos e

equipamentos de medição adequados, um nível de precisão tolerável para os fins a

que se destina o levantamento.

Em se tratando de levantamentos topográficos para fins de

georreferenciamento de imóveis rurais, as medições angulares e lineares devem ser

realizadas obedecendo-se às diretrizes estabelecidas pela Norma Técnica de

Georreferenciamento.

4.1 Classificação dos Equipamentos segundo à Precisão

Em poligonais para fins de apoio básico e de apoio à Demarcação

deve-se atentar à precisão do equipamento utilizado.

4.1.1 Teodolitos

Segundo a Norma NBR-13.133, os “teodolitos são classificados de

acordo com o desvio padrão de uma direção observada em duas posições da

luneta (CE/CD). O valor da precisão interna de cada modelo é normalmente

definido pelo fabricante. Não havendo indicação deste, a precisão angular

poderá ser aferida por entidade oficial habilitada a partir de testes efetuados

em campo de prova ou laboratório de aferição”.

Classe de teodolitos Desvio-padrão (precisão angular)

precisão baixa ≤ 30” precisão média ≤ 07” precisão alta ≤ 02”

Tabela 4.1: Classificação dos teodolitos de acordo com sua precisão angular (ABNT-NBR-13.133/DIN).

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4.1.2 Med’s (Medidores Eletrônicos de Distâncias)

Classe de MEDs Desvio-padrão precisão baixa (10 mm + 10 ppm x D) precisão média (5 mm + 5 ppm x D) precisão alta (3 mm + 3 ppm x D)

Tabela 4.2 - Classificação dos medidores eletrônicos de distância MEDs (ABNT-NBR-13.133).

4.1.3 Estações Totais

Classes de Estações Totais

Desvio padrão (precisão angular)

Desvio-padrão (precisão linear)

precisão baixa ≤ 30” (10 mm + 10 ppm x D) precisão média ≤ 07” (5 mm + 5 ppm x D) precisão alta ≤ 02” ( 3 mm + 3 ppm x D)

Tabela 4.3 - Classificação das estações totais de acordo com a precisão interna (ABNT-NBR-13.133).

4.2 Métodos de Medição Angular

Com o intuito de se obter melhores resultados nas medidas angulares,

uma vez que a obtenção destas medidas é uma das maiores fontes de erros

nas medições, são utilizados diferentes métodos de observação os quais

devem ser selecionados segundo o tipo de aparelho utilizado e o nível de

precisão exigida.

Dentre os métodos utilizados para obtenção dos ângulos horizontais o

mais preciso possível, destacam-se os seguintes:

4.2.1 Método da Repetição

Segundo ESPARTEL (1977) e DOMINGUES (1979) este método

consiste em visar, sucessivamente, os alinhamentos a vante e a ré de um

determinado ponto ou estação, fixando o ângulo horizontal lido e tomando-o

como partida para a medida da próxima direção a vante. Normalmente é um

método utilizado em equipamentos com movimento geral e particular

(teodolitos de eixo duplo, por exemplo, Wild T2), no qual é possível a fixação

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de uma direção qualquer para a primeira leitura a ré. A Figura abaixo

exemplifica o Método da Repetição:

Figura 4.1: Representação do Método da Repetição

Procedimentos para Aplicação do Método:

� Aponta-se a luneta do aparelho para o ponto a Ré (Ponto

E0), onde no limbo horizontal se fixa uma direção inicial, normalmente

próxima a zero graus;

� Libera-se o aparelho e a luneta é apontada para o ponto a

Vante (Ponto E2), onde anota-se a direção observada;

� O ângulo horizontal resultante será a leitura da direção a

Vante menos a leitura da direção a Ré;

� Fixa-se a direção observada a Vante e o aparelho é

liberado e a luneta é novamente apontada para o ponto a Ré;

� A nova direção a Ré será a leitura da direção a Vante lida

anteriormente.

� Libera-se novamente o aparelho e aponta-se para o ponto

a vante e uma nova direção é anotada;

� O processo se repete um certo número n de vezes.

Cada medição será denominada uma série de leitura, onde deve-se

definir o número de séries adequado para cada caso. Dependendo da

precisão exigida, deve-se utilizar 3 a 8 séries de leitura. O ângulo horizontal

final (Af) obtido será calculado pela seguinte expressão:

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( )

n

AA

A

n

i

ii

f

∑=

−−

= 1

1

(4.1)

Ai= Leitura do ângulo ao ponto de Vante (E2).

Ai-1 = Leitura do ângulo ao ponto de Ré (E0)

n = número de séries de leitura.

4.2.2 Método da Reiteração

Segundo ESPARTEL (1977) e DOMINGUES (1979) este método

consiste em visar de forma sucessiva os alinhamentos a Vante e a Ré a um

determinado ponto, tomando como partida para a medida dos ângulos um

valor com intervalos regulares do círculo.

Assim como indicado na figura a seguir:

� A luneta do aparelho é apontada para o ponto a vante

(pontaria fina) e o círculo horizontal do mesmo é zerado;

� Em seguida, o aparelho é liberado e a luneta é apontada

(pontaria fina) para o ponto a ré;

� O ângulo horizontal resultante é anotado ou registrado;

� O aparelho é liberado e a luneta é novamente apontada

para o ponto a vante;

� O ângulo de partida utilizado neste momento para a

segunda medida do ângulo horizontal deve ser diferente de zero e

inteiro. (ex.: 090º00’00”, 180º00’00”, 270º00’00”);

� Libera-se novamente o aparelho e aponta-se para o ponto

a ré;

� Um novo ângulo horizontal é anotado ou registrado.

� O processo se repete um certo número n de vezes, até

que o ângulo tenha sido medido em todos os quadrantes do círculo.

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Figura 4.2: Representação do Método da Reiteração

O valor final do ângulo horizontal final, para os alinhamentos medidos,

é dado pela seguinte relação:

n

HzA

A

n

i

ii

f

∑=

−

= 1

)(

(4.2)

Onde:

Ai: é a leitura do ângulo horizontal (na Vante).

Hzi: é o ângulo horizontal de partida utilizado (na Ré).

n: número de leituras efetuadas na vante.

4.2.3 Método das Direções

O método das direções é o mais utilizado e o mais indicado para a

medição de ângulos em um levantamento onde necessita-se obter

fechamentos com alta precisão. Consiste em medir um ângulo α entre dois

alinhamentos OA e OB (Ver Figura 4.9), por meio de uma série de

repetições.

Figura 4.3 – Medindo ângulos.

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O processo consiste em instalar o aparelho no ponto E1, visa-se o

ponto de ré (Ponto E0) com a luneta na posição direta medindo-se uma

primeira direção com o limbo horizontal próximo a 0º00’00”. Em seguida

mede-se a direção do ponto de vante (Ponto E2). Assim, inverte-se a luneta,

visa-se novamente o Ponto E0 (que agora terá uma direção próximo a

180º00’00”) e mede novamente a direção para o Ponto E2, completando-se

assim a primeira série de leitura (CD e CE ou PD e PI). Repete-se o processo,

alterando-se apenas a próxima direção inicial, que para 6 séries de leitura, por

exemplo, seria próxima a 00º00’00”, depois próximo a 30º00’00”, próximo a

60º00’00”, próximo a 90º00’00”, próximo a 120º00’00”, e finalizando-se com a

direção próxima a 150º00’00”.

Abaixo segue um exemplo de caderneta observada a partir do vértice

E1, utilizando-se um aparelho cuja precisão angular é de 5”, onde o objetivo

consiste em calcular o ângulo final entre os alinhamentos 01EE e 21EE

aplicando-se o método das direções:

Estação E0 (Ré) Estação E2 (Vante) CD/PD 00º 00’ 00” 175º 21’ 20”

CE/PI 180º 00’ 03” 355º 21’ 17” Média 1 00º 00’ 01,5” 175º 21’ 18,5” 175º 21’ 17,0”

CD/PD 31º 01’ 30” 206º 22’ 53” CE/PI 211º 01’ 27” 26º 22’ 49” Média 2 31º 01’ 28,5” 206º 22’ 51” 175º 21’ 22,5”

CD/PD 60º 05’ 43” 235º 27’02” CE/PI 240º 05’ 40” 55º 27’07” Média 3 60º 05’ 41,5” 235º 27’ 04,5” 175º 21’ 23,0”

CD/PD 90º 03’ 25” 265º 24’ 42” CE/PI 270º 03’ 21” 85º 24’ 37” Média 4 90º 03’ 23” 265º 24’ 39,5” 175º 21’ 16,5”

CD/PD 120º 10’ 12” 295º 31’ 38” CE/PI 300º 10’ 18” 115º 31’ 32” Média 5 120º 10’ 15” 295º 31’ 35” 175º 21’ 20,0”

CD/PD 151º 38’ 33” 326º 59’ 57” CE/PI 331º 38’ 29” 146º 59’ 51” Média 6 151º 38’ 31” 326º 59’ 54” 175º 21’ 23,0”

Tabela 4.4: Exemplo numérico do Método das Direções

20

O ângulo αn resultante das seis séries de leitura será dado por:

"33.20'21º1751 ==∑

=

n

n

i

i

n

α

α (4.3)

Se houver algum ângulo resultante de uma série de leituras em que a

diferença em relação à média final ultrapasse a precisão do instrumento

(neste exemplo 5”), deve-se desprezar esta série e recalcular a média com as

séries restantes, repetindo-se o procedimento, se necessário.

5. MEDIDAS LINEARES

A planimetria tem como objetivo a representação em planta da projeção

ortogonal dos pontos do terreno, por meio de suas coordenadas ortogonais. Para se

determinar estas coordenadas, deve-se determinar as distâncias entre os pontos,

juntamente com as medidas angulares.

Em planimetria nos interessa somente as dimensões horizontais. Desta forma

as distâncias medidas em campo, quando inclinadas devem ser reduzidas ao

horizonte e após isso, segundo a o item 5.15.1 da NBR-13.133, reduzidas ao nível

de referência altimétrica do sistema de projeção topográfica adotado. Isto é:

Figura 5.1: Elementos definidores do cálculo da distância horizontal

( )ZsenDD ih ×= (5.1)

21

Onde:

Dh é a distância reduzida ao horizonte;

Di é a distância inclinada; e

Z é a distância zenital.

Tanto Di como Z devem ser corrigidas das influências sistemáticas

conhecidas.

5.1 Medida Direta de Distâncias

Uma medição é dita “direta” quando se utiliza um instrumento

diretamente sobre o terreno, o qual está em uma unidade de medida e que é

tomada como termo de comparação. Para isso é necessário percorrer todo o

alinhamento determinando-se o número de vezes que a referida unidade cabe

dentro do trecho. Os instrumentos destinados à medida direta de distância

são denominados “diastímetros”.

De acordo com a natureza da unidade empregada (diastímetro) pode-

se ter:

a) Medição de baixa precisão: empregada em levantamentos

expeditos como o passo do homem ou do animal em que se monta

(passômetro e odômetro), pela roda das viaturas (odômetro), pelo som, pelo

relógio, por réguas graduadas, etc.

b) Medição de média precisão: empregado em levantamentos

regulares, atualmente apenas como auxílio ao processo de medição indireta,

por apresentar precisão inferior (excluindo-se a taqueometria). Os

diastímetros empregados são: corrente do agrimensor, fita de aço, trena de

aço, trenas de lona e de fibra de vidro.

c) Medição de alta precisão: que é o caso da fita de ínvar

empregada nas medições de bases geodésicas.

Nos interessa somente o estudo das medições diretas cujo diastímetro

é a trena, uma vez que, atualmente, praticamente em todos os levantamentos

topográficos as distâncias são medidas indiretamente, como veremos adiante,

sobrando a aplicação da trena, em distâncias auxiliares ao levantamento, de

menor precisão, ou em outro caso, em pequenas distâncias, principalmente

22

na locação de obras de montagem industrial.

Segundo ESPARTEL (1987) os principais dispositivos e acessórios

utilizados na medição direta de distâncias são:

5.1.1 Trenas

A trena é uma fita flexível com graduação em metros, centímetros e

milímetros cujo material utilizado em sua fabricação pode ser: lona, plástico

reforçado com fibra de vidro, aço ou ainda de ínvar (material amplamente

utilizado, por proporcionar menor dilatação linear em ambientes com

temperaturas elevadas).

A largura destes instrumentos varia de 10 a 12 mm com comprimentos

vários, alguns de 30, 60, 100 e 150 metros de extensão. São apresentados

enrolados em um tambor ou em cruzetas com cabos distensores nas

extremidades para permitir esticá-los no momento da medição.

O processo de medição com trenas, basicamente consiste em definir o

alinhamento utilizando-se de balizas para o auxílio à medição (empregadas

com o objetivo de demarcar ou balizar um alinhamento no terreno, as quais

podem ser de madeira ou de aço).

Figura 5.2: Balizas

Uma terceira baliza deve ser utilizada para orientar as trenadas.

Durante a medição a trena deve ser mantida, o máximo possível, na

horizontal, a partir de uma maior tração em suas extremidades.

Para a medição de alinhamentos maiores que o comprimento da trena,

se utiliza marcadores denominados fichas (peças metálicas pontiagudas em

uma extremidade terminando em argolas na outra).

23

Figura 5.3: Exemplos de Fichas.

Assim a cada trenada de 20 m, por exemplo, assenta-se a baliza

intermediária e crava-se uma ficha. Ao final do processo de medição do

alinhamento, contam-se as fichas, multiplica-se por 20 e soma-se a fração de

trenada no final do trecho.

Figura 5.4: Exemplos de trenas.

5.1.2 Piquetes

São necessários para marcar, convenientemente, os extremos do

alinhamento a ser medido. Normalmente feitos de madeira roliça ou de seção

quadrada com a superfície no topo plana, onde se crava uma tachinha de

cobre, ou até mesmo um prego, para materialização do ponto topográfico.

Seu comprimento varia de 15 a 30 cm, e o diâmetro varia de 3 a 5cm.

É cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5 cm) deve

permanecer visível.

5.1.3 Estacas

As estacas são utilizadas como testemunhas da posição do piquete,

para facilitar a localização do piquete. São cravadas próximas ao piquete

cerca de 30 a 50 cm, onde seu comprimento varia de 15 a 50 cm;

São chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição numérica

ou alfabética, que pertence ao piquete testemunhado.

24

Figura 5.5: Exemplo de piquete e estaca.

5.1.4 Nível de Cantoneira

É utilizado para auxiliar o posicionamento da baliza na posição vertical,

uma vez que está dotado de um nível de bolha circular.

Figura 5.6 –Exemplo de nível de cantoneira.

5.1.5 Barômetro de Bolso

Destinado à medição da pressão atmosférica (em mb = milibares) para

fins de correção dos valores obtidos no levantamento. São aparelhos digitais,

que além de fornecerem valores de pressão, fornecem também valores de

altitude.

Figura 5.7: Exemplo de barômetro de bolso.

25

5.1.6 Dinamômetro

Destinado à medição das tensões que são aplicadas aos diastímetros

para fins de correção dos valores obtidos no levantamento em função do

coeficiente de elasticidade do material com que o diastímetro foi fabricado.

5.1.7 Termômetro

Destinado à medição da temperatura do ar (ºC) no momento da

medição para fins de correção dos valores obtidos no levantamento em

função do coeficiente de dilatação do material com que o diastímetro foi

fabricado.

5.2 Erros nas Medidas com Diastímetros

Segundo LOCH e CORDINI (1995) os principais erros causadores de

imprecisões na determinação de distâncias com diastímetros são:

5.2.1 Horizontalidade:

Em qualquer medição com um diastímetro, deve sempre ser

observada a sua horizontalidade no momento da medição. Os erros

cometidos serão sempre proporcionais ao comprimento do diastímetro, que

será maior quanto maior for o seu comprimento. Este erro será sempre

positivo, ou seja, a distância medida será sempre maior que a medida real.

5.2.2 Dilatação:

Os fabricantes em geral graduam as trenas na temperatura de 20º.

Para corrigir o efeito de dilatação devido ao efeito da temperatura, que causa

um erro negativo para temperaturas de trabalho acima da de aferição, deve-

se aplicar a equação:

( ) α⋅−⋅= 0ttSct (5.2)

onde :

t0 é a temperatura de aferição da trena

t é a temperatura de trabalho

26

S é o comprimento da trena

α é o coeficiente de dilatação da trena

Para uma trena de 30 m com temperatura de aferição de 20º C e

temperatura de trabalho de 40º, sendo o coeficiente de dilatação do aço de

1,2×10-5 ºC-1, tem-se uma variação de 7 mm, que é um valor considerável

para as medidas de precisão.

5.2.3 Catenária:

A catenária é a curva descrita pela trena quando suspensa do solo e

tracionada, sendo ocasionada pelo seu próprio peso.

A figura a seguir (DOMINGUES, 1979) indica a flecha (f) do arco

formado pelo comprimento (l) do diastímetro com tensão (T) aplicada nas

extremidades.

Figura 5.8: Catenária.

O erro devido à catenária, para um único lance, pode ser encontrado

através da relação:

S

fCc

⋅

⋅=

3

8 2

(5.3)

onde :

f é a flecha da catenária

S é o comprimento da trena

O valor de f pode ser obtido pela equação

Este erro é cumulativo, provoca uma redução do diastímetro e,

consequentemente, resulta numa medida de distância maior que a real.

Assim, a distância horizontal correta (z{/) entre dois pontos será encontrada

27

subtraindo-se da distância horizontal medida (z{|), o erro da catenária (d/)

multiplicado pelo número de lances (N) dado com o diastímetro:

z{/ = z{| − @} ∙ d/C

O cálculo da flecha da catenária pode ser obtido pela seguinte relação:

0

2

8 T

SPf

⋅

⋅= (5.4)

Onde :

~ = Flecha (m)

� = peso unitário da trena (kgf/m)

�= Comprimento da trena (m)

�' = componente horizontal da força axial aplicada nas extremidades

(Kgf).

Observe que para uma flecha de 0,10 m em uma trena de 20 m o erro

é de 1 mm, evidenciando-se a pequena influência do efeito da catenária. Isto

mostra, também, que é desnecessário tracionar demasiadamente a trena no

afã de neutralizar a catenária. Para produzir efeito mais positivo, pode-se

colocar vários suporte intermediários que, praticamente, eliminam o efeito da

catenária; ou aplicar-se a correção conforme formulação apresentada.

1 N/m2= 0,1 Kgf/m2 ( 0,10197 kilograma-força por metro quadrado )

5.2.4 Elasticidade:

Para minimizar o efeito da catenária, e em alguns casos, para vencer a

força do vento, a trena é submetida a uma força de tração superior aquela

com que foi aferida. Quando a tensão é assegurada a mão (ao invés do

dinamômetro), pode-se cometer erros sensíveis para trabalhos de precisão.

Neste caso o erro é negativo, já que se obtém uma medida menor que a real.

A variação do comprimento da trena (c), pode ser calculada por:

28

( )EA

SCe

⋅

−⋅= 0σσ

(5.5)

onde:

S é o comprimento da trena (m)

σ é a tensão de aferição da trena (kgf)

σ0 é a tensão de trabalho (kgf)

A é a área da seção da trena (mm2)

E é o módulo de elasticidade da trena (kg/mm2)

Considerando, por exemplo, uma trena de 50 m com seção de 0,4 mm

× 12 mm, graduada sob tensão de 10 kg e trabalhando a 15 kg, sofrerá uma

variação de 3 mm, que pode ser considerável em trabalhos que requeiram

maior precisão. Por outro lado para cometer erros inferiores a 1 mm a tensão

de trabalho não deve exceder a 2 kg da de aferição, isto é, 10 kg ±2 kg.

5.2.5 Padronagem:

Erro ocasionado pelo uso contínuo do diastímetro que produz

deformações que causam o seu alongamento, apresentando comprimento

diferente do valor que indica. É um erro sistemático cumulativo e pode dar

diferenças razoáveis. Para evitá-lo deve-se adquirir trenas de boa qualidade e

fazer constantes aferições, comparando-se com outra trena confiável ou com

um distanciômetro (MED). O erro cometido pode ser corrigido após a correta

aferição da trena.

29

5.3 Medidas Lineares com Precisão

6.2.4 Desenvolvimento de Bases Topográficas

O desenvolvimento de bases topográficas consiste em calcular uma

distância horizontal D a partir da solução de triângulos, partindo-se de uma

base inicial menor observada por um método mais preciso (medida por meio

do ângulo paralático com mira horizontal – método descrito no item seguinte)

e observando os ângulos necessários para a resolução do triângulo. Pode-se

utilizar duas metodologias para determinação da distância D:

a) Medindo dois ângulos:

Considere a figura abaixo onde:

AB = d = base observada

CB = D = base a ser determinada

α e β = ângulos horizontais observados

Figura 5.9: Desenvolvimento de bases topográficas medindo dois ângulos.

Do Triângulo ABC tem-se ( )[ ]βαα +−

=180sen

d

sen

D. Entretanto

sabemos que ( )[ ] ( )βαβα +=+− sensen 180 .

Logo temos que:

( )βα

α

+∗=

sen

sendD (5.6)

30

b) Medindo quatro ângulos:

Considere a figura abaixo onde:

AB = d = base observada

CE = D = base a ser determinada

α, β, δ e λ = ângulos horizontais observados.

Figura 5.10: Desenvolvimento de bases topográficas medindo quatro ângulos.

Do Triângulo ABC tem-se ( )[ ]βαα +−

=180sen

d

sen

BC. Entretanto

sabemos que ( )[ ] ( )βαβα +=+− sensen 180 .

Logo temos que:

( )βα

α

+∗=

sen

sendBC (5.7)

Do Triângulo ABE tem-se ( )[ ]λδλ +−

=180sen

d

sen

BE. Entretanto

sabemos que ( )[ ] ( )λδλδ +=+− sensen 180 .

Logo temos que:

( )λδ

λ

+∗=

sen

sendBE (5.8)

Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo CBE temos:

( )βδ +∗∗∗−+= cos2222

BEBCBEBCD (5.9)

ou ainda:

Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo CAE, após calcular Ac e

AE temos:

( )λα +∗∗∗−+= cos2222

AEACAEACD (5.10)

31

6.2.5 Medição de Distâncias com Teodolito e Mira Horizontal

A utilização de uma mira horizontal é um processo de obtenção de

distancias horizontais por meio indireto onde através da medição de direções

pela observação dos extremos de uma mira horizontal de ínvar (estádia)

calibrada, colocada em diferentes posições durante o levantamento e,

sabendo-se o comprimento da mira horizontal, pode-se calcular por

trigonometria a distância horizontal entre o aparelho e a posição da mira. É

um método que pode melhorar sensivelmente os resultados para pequenas

distâncias.

A mira horizontal é constituída por uma régua de ínvar (metal com

baixo coeficiente de dilatação linear) de comprimento L, que possui dois

alvos, um em cada uma de suas extremidades usado como referência para a

visada com o teodolito.

Para sua operação, a mira horizontal deve ser instalada em um tripé na

posição horizontal, sobre o ponto que define o alinhamento a ser medido com

a posição onde está o aparelho. Assim, com o teodolito tomam-se visadas

angulares entre as extremidades da mira horizontal, registrando-se o ângulo

α, conforme figura abaixo:

Figura 5.11 – Medida de distância com mira horizontal.

32

Figura 5.12: Foto ilustrativa de uma mira horizontal.

Pela figura 5.11 acima verifica-se que:

D

btg

∗=

22

α �

∗

=

22

αtg

bD (5.11)

Normalmente b = 2,00 m, sendo assim tem-se que:

=

2

1

αtg

D (5.12)

Avaliação de Erros:

Aplicando a lei de propagação de erros na equação 5.12 temos que:

2

2

2

2

2

ασδα

δσ

δ

δσ ∗

+∗

=

D

b

DbD (5.13)

Derivando a equação 5.12 acima temos:

2

2

2

2

2

2

24

22

1ασ

ασ

ασ ∗

∗

+∗

∗

=

sen

b

tgbD (5.14)

Por se tratar de uma mira de ínvar o desvio padrão para o comprimento

b da mira pode ser considerado igual a zero ( 02

=bσ ), e como se trabalha em

pequenas distâncias tem-se que o ângulo α é pequeno. Logo

=

22

ααtgsen

e assim tomando-se também a equação 5.12 tem-se que:

33

radD

Dbασσ ∗

⋅=

4

2

. Mas prad

"αα

σσ =

onde p = 206.265 e

b = 2,00 m. Assim, a equação para determinação do desvio padrão da

distância medida D será dada por:

"

2

2ασσ ∗=

p

DD (5.15)

Como exemplo, se "1±=ασ então:

412530

2DD ±=σ (5.16)

Sabemos que a mira horizontal deve ser utilizada para pequenas

distâncias, pois quando se utiliza de um teodolito com precisão angular de 1”

é possível medir até uma distância de 100 m para se obter uma precisão

aceitável para a distância D. Em caso de necessidade de obtenção de

distâncias maiores, deve-se recorrer ao método de Divisão do Alinhamento

em Seções conforme a figura abaixo:

Figura 5.13: Dividindo o alinhamento em seções na medição de distâncias com mira horizontal.

Este método consiste em dividir a distância total D em n seções de

comprimento dn, para as quais pode-se obter uma precisão suficiente por

meio da mira horizontal, uma vez que cada seção não apresentará distâncias

superiores a 100 m. Dessa forma, a distância total D será dada por:

ndddddD +++++= ...4321

34

5.4 Medida Eletrônica de Distâncias

Durante décadas, os profissionais da mensuração utilizaram um

teodolito ótico mecânico com luneta estadimétrica e mira vertical para

determinação de distâncias. Tal prática proporcionava erros da ordem de

±20 a 40 cm/100 m.

Com o surgimento dos distânciômetros eletrônicos a partir da década

de 40 houve uma revolução na medição de distâncias. O primeiro MED

(Medidor Eletrônico de Distância) que se tem notícia foi desenvolvido pelo

cientista sueco E. Bergstrand, que projetou o Geodímetro em 1943. Sua

comercialização teve início a partir de 1950 pela empresa Sueca AGA, com

um modelo de nome Geodimeter NASM-2. Em 1954, o Instituto Nacional de

Telecomunicações da África do Sul desenvolveu o Telurômetro que passou a

ser comercializado em 1957. Entretanto esta nova tecnologia somente veio a

ganhar grandes escalas comerciais a partir de 1960.

Com a utilização de MED’s diferentes áreas passaram a usufruir dos

grandes benefícios dessa tecnologia, com aplicações em Geodésia,

Cartografia, Topografia e Engenharia Civil. Uma tecnologia que trouxe uma

grande economia de tempo, facilidade de operação e principalmente uma

melhoria considerável de precisão que passou a ser adequada para as

diferentes aplicações.

Os MED’s usavam ondas do espectro eletromagnético com variações

de comprimento de onda de alguns Ângstrons (luz visível) a 1mm

(infravermelho). O grande avanço dessa tecnologia foi verificado quando se

utilizou MED’s com ondas curtas, com comprimento da ordem de centímetros

a alguns metros, os quais proporcionavam uma precisão da ordem de ±0,3 a

0,1 cm/km.

Inicialmente os MED’s eram simplesmente chamados de

distânciômetros eletrônicos e utilizavam-nos acoplando-se a um teodolito

convencional. Atualmente esta tecnologia é utilizada em larga escala nos

equipamentos chamados Estações Totais, equipamentos com tecnologia

mais avançada que permitem não só a obtenção das distâncias com grande

precisão, bem como obter eletronicamente as informações angulares e

35

armazenar estas informações em uma memória interna possibilitando

descarregar essas informações em microcomputadores.

Os grandes avanços que a tecnologia dos MED’s proporcionaram aos

trabalhos topográficos, geodésicos e cartográficos é inquestionável,

entretanto juntamente com esses grandes benefícios surgem também

grandes preocupações para com o uso racional destes instrumentos. Assim

como outros equipamentos, estes também proporcionam erros sistemáticos,

necessitando assim um conhecimento seguro de suas boas condições de

funcionamento, obtida a partir de tecnologias para sua aferição e controle de

precisão. Segundo LOCH e CORDINI (1995) não há no Brasil, salvo algumas

exceções, um controle usual para verificação sistemática dos equipamentos

de acordo com uma precisão pré-estabelecida. Isto significa dizer que não há

uma regulamentação que obriga os usuários a realizar manutenções e

aferições dentro de um tempo estabelecido por lei, uma vez que estas são

necessárias devido ao tempo de uso e envelhecimento dos instrumentos.

5.4.1 Princípios de Funcionamento

A medida eletrônica de distâncias utiliza como princípio básico o tempo

que uma onda eletromagnética leva para percorrer duas vezes (ida e volta) a

distância a ser determinada. Baseia-se na emissão/recepção de sinais

luminosos (visíveis ou não) ou de micro-ondas que atingem um anteparo ou

refletor. A distância entre o emissor/receptor e o anteparo ou refletor (prisma)

é calculada eletronicamente e, segundo KAVANAGH e BIRD (1996), baseia-

se no comprimento de onda, na frequência e velocidade de propagação do

sinal.

Figura 5.14: Componentes Básicos de um MED.

36

Uma vez conhecendo-se a velocidade (v) de propagação da radiação

eletromagnética e se o tempo (t) for medido, a distância a ser determinada

seria obtida pela equação:

2

tvD

∗= (5.17)

Este processo de cálculo da distância é também conhecido como

Método do Pulso (Timed-Pulse). Considerando v = 3 x 108 m/s (velocidade da

luz) e aplicando a lei de propagação de erros à equação anterior tem-se:

tD

v 22

2

4σσ ∗= isto é:

tD σσ ∗×

=2

103 8

(5.18)

Dessa maneira, admitindo-se σt = ±10-7 s então σD = ± 15 m. Assim,

um pequeno erro na determinação do tempo (10-7 s) acarretaria uma

imprecisão considerável na distância D.

Nos MED’s que utilizam como sinal emitido o infravermelho, a onda

portadora é gerada por um diodo luminescente de arseniato de gálio (GaAs)

com comprimento de onda variando de 0,80 a 0,93 µm, os quais possuem

menor eficiência em condições de altas temperaturas, necessitando-se,

portanto, protegê-los contra a luz solar direta.

37

Tabela 5.1: Espectro de frequências das ondas eletromagnéticas. Adaptado de DOUBEK (1974).

Segundo (HERREWEGEN, 1977), a precisão do instrumento ou o

perfeito ajuste de uma série de medidas em comparação a valores padrões,

basicamente depende da estabilidade da frequência de modulação f e da

acuracidade das medidas das diferenças de fase, enquanto que a acurácia

depende da distância medida. Para obter precisão razoável para a

determinação da distância a partir da medida da diferença de fase deve-se

determinar este intervalo de tempo com precisão na ordem do intervalo de 1 x

10-11 a 1 x 10-14 do segundo.

Devido à dificuldade na obtenção do tempo com tamanha precisão,

esse princípio não pode ser aplicado dessa forma tão simples para a

obtenção da medida.

Segundo SCHWENDENER (1972), A grande maioria dos MED’s

adotam para o cálculo da distância a seguinte expressão:

3000

222kz

fn

C

fn

CND

aa

++⋅+⋅

=π

φ (5.19)

38

� D = distância medida (eletrônica);

� na = índice de refração da atmosfera;

� C0 = velocidade da luz no vácuo;

� f = frequência de modulação;

� φ = ângulo de fase entre sinais emitido e recebido;

� z0 = erro de zero ou constante aditiva;

� N = número de meio-comprimento de onda (λ/2);

� k3 = erro cíclico do instrumento.

Percebe-se, portanto, que a medição eletrônica utiliza o método de

comparação de fase ou a medida da defasagem entre a onda emitida e a

onda de retorno. Assim, uma onda eletromagnética de alta frequência,

denominada onda portadora, é modulada em amplitude com um sinal de

comprimento de onda muito maior e emitida de maneira contínua.

Modular uma onda significa modificar sua amplitude, a frequência ou a

fase de uma onda de alta frequência a partir de outra onda auxiliar de baixa

frequência.

Figura 5.15: Princípio de medição de distâncias em MED’s, por caminho duplo, usando o método de diferença de fase FONTE: (Adaptado de KENNIE et al (1993).

39

Na Figura 5.15 acima, um sinal de freqüência f é emitido a partir da

estação onde se encontra o MED em um meio isotrópico. Assim o sinal é

refletido por prismas e retransmitido para a estação onde se gerou o sinal,

que será analisado e utilizado para calcular a distancia. Como as duas

estações estão fixas não haverá efeito DOPPLER, sendo assim a freqüência f

de saída é a mesma refletida.

Figura 5.16: Aspectos gerais de determinação da distância.

Sendo M o número inteiro de comprimentos de onda λ (que neste

exemplo será igual a 2) e ∆λ a parte fracional do comprimento de onda, a

distância será dada pela seguinte expressão:

λλ ∆+⋅= MD (5.20)

Como o sinal é refletido de volta ao instrumento (estação total), a

distância entre os dois vértices do alinhamento medido será dada por:

'2 λλ ∆+⋅=⋅ ND (5.21)

Onde:

N é o número inteiro de revoluções do vetor OA (neste caso 4, 2 na

ida e 2 na volta);

∆λ’ é a parte fracional dada pelo ângulo de fase.

Pela figura 5.14 tem-se que λπ

φλ ⋅=∆

2' . Substituindo esta

expressão na equação (5.26) tem-se:

40

λπ

φλ ⋅+⋅=⋅

22 ND

(5.22)

222

λ

π

φλ⋅+⋅= ND

(5.23)

A diferença de fase ∆λ’ pode ser obtida por meio de métodos

analógicos ou digitais. Abaixo segue esquema representativo do processo de

obtenção digital da diferença de fase ∆λ’.

Figura 5.17: Esquema de um medidor digital de fase. FONTE: SCHOFIELD, 1993

O comprimento de onda λ tem uma relação inversa com a frequência

de modulação f, a velocidade de repetição de qualquer fenômeno periódico.

41

Quando se lida com radiação eletromagnética no vácuo, essa velocidade é

igual à velocidade da luz C0. Assim tem-se que:

f

C0=λ (5.24)

C0 = velocidade da luz no vácuo = 299.792.458 ±1,2 m/s.

Considerando-se o meio onde se está realizando a medição, deve-se

levar em conta o índice de refração da atmosfera (na), logo tem-se que:

fn

C

a

0=λ (5.25)

Logo a equação (5.23) será dada por:

fn

C

fn

CND

aa 222

00 ⋅+⋅=π

φ (5.26)

5.4.2 Constante Aditiva, correção de zero ou erro de índice (z0)

Segundo GRIPP JR. (1986), o erro de zero ou constante aditiva é a

distância entre o centro eletrônico e o centro geométrico do aparelho. Nos

MED’s mais modernos, tem-se procurado anular este erro, entretanto sempre

é necessária uma aferição periódica do equipamento devido ao uso constante

e envelhecimento do aparelho. Em aparelhos em que este valor deve ser

considerado, normalmente o fabricante fornece o valor admissível para este

erro.

Um procedimento simples e que permite determinar de maneira

aproximada o erro de índice z0 consiste em determinar uma distância entre

dois pontos segundo o esquema representado na figura 5.18 a seguir:

42

Figura 5.18: Prática para determinação do erro de zero ou constante aditiva.

Considere:

011 ' zdd += ; 022 ' zdd += e 033 ' zdd += .

Se 321 ddd += então ( )3210 ''' dddz +−= (5.27)

onde d’1, d’2 e d’3 são as distâncias medidas e d1, d2 e d3 são as

distâncias verdadeiras.

5.4.3 Erro Cíclico (k3)

O erro cíclico é um erro proveniente de falhas na determinação da

diferença de fase; surge em consequência de variações bruscas da fase,

entre a emissão e a recepção do sinal. É um erro sistemático de natureza

cíclica, com período igual à metade do comprimento da onda moduladora e

que possui variação conforme a distância a ser medida.

O valor da amplitude do erro cíclico pode ser obtido a partir de

medições em linha de bases, ajustadas pelo MMQ. Pode-se observar

variações de 5 a 10 mm nas medições eletrônicas atribuídas ao erro cíclico,

principalmente em aparelhos mais antigos e com maior tempo de uso.

Segundo LAND VICTORIA (2002), a maioria dos equipamentos modernos

apresentam magnitudes inferiores a 2 mm, sendo considerado desprezível.

Diferentes modelos matemáticos utilizados para a determinação do

erro cíclico são apresentados por CORDINI, J. (1991).

43

Considerando-se os dois últimos erros que devem ser corrigidos

na equação (5.26), obtém-se a equação (5.19) utilizada para o cálculo da

distância eletrônica pelo método da diferença de fase.

5.4.4 Erros cometidos na Medição Eletrônica de Distâncias.

Várias são as fontes de erros que ocasionam imprecisões na medição

de distâncias com MED’s. Dentre outras destacamos:

a) Erro na centragem do MED e do refletor.

b) Erro de pontaria.

c) Erro na altura dos instrumentos.

d) Fatores externos que podem afetar os instrumentos.

e) Desconhecimento do MED por parte do operador.

f) Erros de alinhamento ocasionados por problemas do sistema ótico

do MED.

5.4.5 Erros devidos ao processo eletrônico de obtenção da distância:

g) Erro no valor adotado para a velocidade de propagação das ondas

eletromagnéticas. O valor atualmente recomendado pela União

Astronômica Internacional é de 299.792.458 ±1,2 m/s;

h) Erro no índice de refração;

i) Erro na frequência de modulação;

j) Erro na determinação da diferença de fase;

k) Erro de zero ou constante aditiva;

l) Erro de fase ou erro cíclico.

5.4.6 Correções efetuadas nas distâncias fornecidas pelos MED’s

Uma vez inserindo os parâmetros solicitados nos equipamentos, os

MED’s mais modernos normalmente já executam algumas correções para os

valores de distâncias que são fornecidos. Entretanto, algumas correções

devem ser efetuadas posteriormente, entre elas podemos citar:

44

a) Correção Meteorológica(Cm).

n

nCm 0= (5.28)

Onde:

n0 = índice de refração para a atmosfera padrão e n = índice de

refração no local da determinação,

( )42

6

0

0680,08864,4604,287101

λλ++=∗−n (5.29)

Onde:

λ = comprimento da onda portadora, que é fornecido pelo fabricante e

( )( )

ett

Pnn ∗∗

+−

+

∗−∗=− −60 10

15,273

02,15

15,273

1359408,01 (5.30)

onde:

t = temperatura do ar em ºC;

P = pressão atmosférica em mmHg;

O valor de e será obtido por:

( )

+∗−∗∗−=

778,872

'1'0006606,0'

tttPee (5.31)

Com t = temperatura do ar (bulbo úmido) em ºC;

t’ = temperatura do ar (bulbo seco) em ºC;

e’ = pressão do vapor saturado em mmHg, obtido pela equação:

)3,237/(5,7105828895,4' tte +∗= (5.32)

Recomendações:

Durante os trabalhos de campo as temperaturas (seca e úmida) e a

pressão atmosférica devem ser obtidas nas extremidades da linha medida.

Recomenda-se utilizar um aneroide e um psicrômetro com precisão de

±0,2ºC.

Assim, a distância inclinada (Dm) corrigida dos efeitos

metereológicos será dada por:

mim CDD ×= (5.33)

45

b) Redução ao Horizonte (Dh)

Para reduzir a distância ao horizonte basta utilizar a seguinte

expressão:

senZDD mh ∗= ou ainda IDD mh cos∗= (5.34)

Nos MED’s atuais pode obter diretamente o valor da distância reduzida

ao horizonte, conhecida também como distância horizontal.

c) Redução ao Geóide (ao nível do mar) (Dg)

Para reduzir a distância ao geóide toma-se a equação:

−∗=

R

hDD hg 1 (5.35)

onde h = altitude do MED

R = raio médio terrestre.

d) Redução ao elipsóide (De)

++−∗= ....1

2

2

R

h

R

hDD he (5.36)

onde Dh = distância reduzida ao horizonte

R = raio de curvatura da seção normal ao elipsóide

H = altitude geométrica ou elipsoidal que é dada por Nhh +=

Com h = altitude ortométrica e N = ondulação geoidal.

e) Obtenção da diferença de Nível (dn)

)( lisenDd mn −+∗= α (5.37)

ou ainda:

)(cos liZDd mn −+∗= (5.38)

Sendo:

46

i = altura do MED

l = altura do refletor (prisma).

Para corrigir a diferença de nível segundo a curvatura terrestre e a

refração atmosférica adicionamos à expressão acima os termos:

( )rElisenDd mn −+−+∗= )(α (5.39)

ou ainda:

( )rEliZDd mn −+−+∗= )(cos (5.40)

onde:

r = efeito da refração atmosférica;

E = efeito da curvatura terrestre.

Ekr ∗= e (5.41)

com k = 0,1306 (coeficiente de refração de Gauss).

R

DE

2

2

= (5.42)