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CLCULCLCULCLCULCLCULCLCULO DE CONCRETO DE CONCRETO DE CONCRETO DE CONCRETO DE CONCRETO ARMADOO ARMADOO ARMADOO ARMADOO ARMADO 1

Conceitos Bsicos

Ao se calcular uma estrutura de concreto, precisamos, primeiramen-te, determinar os seguintes itens:

Cargas caractersticasReaesEsforos solicitantes

Car gas Caract erst icas

Dividem-se em cargas permanentes e variveis (ou acidentais):

Cargas Permanentes: so cargas constitudas pelo peso prprio daestrutura e pelos pesos de todos os elementos fixos e instalaes permanen-tes. Abaixo esto alguns exemplos de cargas de alguns dos materiais mais co-nhecidos, fornecidas por peso especfico:

concreto simples = 24 kN/m2

concreto armado = 25 kN/m2

argamassa = 19 kN/m2

alvenaria de tijolo macio = 16 kN/m2

alvenaria de tijolo furado = 10 kN/m2

alvenaria de blocos de concreto = 13 kN/m2

Cargas Variveis ou Acidentais (NBR 6120): so as cargas que podematuar sobre as estruturas de edificaes em funo de seu uso. Abaixo estoalguns exemplos de cargas acidentais verticais atuando nos pisos das edificaes,devido a pessoas, mveis, utenslios, etc., e so supostas uniformemente dis-tribudas:

salas, quartos, cozinhas e W.C.s = 1,5 kN/m3

escadas, corredores e terraos = 3,0 kN/m3

restaurantes e salas de aula = 3,0 kN/m3

auditrios = 3,0 kN/m3

bibliotecas (estantes) = 6,0 kN/m3

cinemas (platia) = 4,0 kN/m3

Esforos sol ic it antes e Reaes

Esforos solicitantes e reaes foram objeto de disciplinas bsicas destecurso. Na figura seguinte, a ttulo de recordao, esto representados os es-foros solicitantes e reaes de algumas situaes em vigas:

esforos mximos na viga biapoiada

M = q l2/8

V = q l/2

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diagrama retangular simplificado

x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,86, quando a altura de zona comprimida no diminui em direo borda comprimida (seoretangular)

Estado limi t e lt imo convencional na f lexo

atingido quando ocorre uma das seguintes situaes:

a deformao de encurtamento no concreto (ecu) atinge 0,0036;denomina-se estado limite ltimo (ELU) por esmagamento do concreto:

a deformao de alongamento na armadura mais tracionada (esu)atinge 0,010; denomina-se estado limite ltimo (ELU) por alongamento plsti-co excessivo de armadura:

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Domnios de Deformao

Conforme foi visto no item anterior, o estado limite ltimo convenci-onal ocorre quanto o diagrama de deformao passa por um dos dois pontos,A ou B, na figura seguinte:

d= altura til da seo = distncia do centro de gravidade (CG) da armadura borda comprimidax = altura de zona comprimida

diagrama D2: o concreto pouco solicitado e a armadura est emescoamento: a ruptura do tipo dctil (com aviso).

diagrama D3: o concreto est adequadamente solicitado e a armadu-ra em escoamento: a ruptura tambm dctil. As sees acima so

ditas subarmadas ou normalmente armadas.diagrama D4: o concreto muito solicitado e a armadura pouco soli-

citada. A ruptura do tipo frgil(sem aviso). A seo ditasuperaramada e uma soluo anti-econmica pois a armadura no explorada ao mximo.

Viga de seo retangular com armadura simples

Tem as seguintes caractersticas:

a zona comprimida da seo sujeita flexo tem forma retangular;a armadura constituda por barra agrupadas junto borda tracionada

e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade.

resultante das tenses

no concreto: Rcd= 0,85 fcdb 0,8x = 0,68 b x fcd

na armadura: Rsd= A

sssd

Equaes de equilbrio:

de fora: Rcd= Rsdou 0,68 b x fcd= Asssd

de momento: Mud= Rcd(d-0,4x)

1

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Viga de Seo T com Armadura Simples

A anlise de uma seo T pode ser feita como se indica a seguir:

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimidaem retngulos (1 e 2). As resultantes de tenso sobre as partes 1 e 2 valem:

Rcfd

= 0,85 fcd(b

f- b

w) h

f

eRcwd= 0,85 fcdbw(0,8 x)

A equao de equilibro de momento fornece:

Mud= M

d= M

cfd+ M

cwd= R

cfd(d - h

f/2) + M

cwd

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que uma seo retan-gular b

wpor d, portanto:

substituindo o valor das resultantes de tenso vem:

Mud= 0,68 b x fcd(d-0,4x)ou

Mud= A

sssd(d-0,4x)

Nos casos de dimensionamento, tem-se b, fck e faz-se Mud = Md(momento fletor solicitante em valor de clculo). Normalmente, pode-se ado-tar d = 0,9h. Desta forma, a equao 2 nos fornece o valor de x:

2

3

Com o valor de x, tem-se o domnio de deformao correspondente,podendo ocorrer as seguintes situaes:

domnio 2, ondex < x23= 0,269 d; essd= fyd

domnio 3, ondex23< x < x34= 0,0035d / (0,0035+eyd); essd= fyd

domnio 4, se x > x34, neste caso convm alterar a seo para seevitar a pea superarmada, aumentando-se h ou adotando-se arma-dura dupla.

Para a situao adequada de pea subarmada, tem-sessd = fyd. As-sim, a equao 3 nos fornece:

As = Md = M

d

ssd(d-0,4 x ) fyd(d-0,4x)

x = 1,25 d 1 - 1- Mcwd0,425 bwd

2fcd

x = 1,25 d 1 - 1- Md0,425 b d2fcd

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A equao de equilbrio de fora permite escrever:

Rcd= Rcfd+ RcwdAsfyd= Rcfd+ Rcwd

Portanto

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinado a primeiraparcela do momento resistente, designada por Mwd:

Mwd= 0,68 b x fcd(d - 0,4 x)e

Rsd1= Mwd/(d - 0,4x)

Comossd= fyd(pea subarmada), tem-se

As= Rsd1/fyd

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente:

DMd= Md Mwd

Tambm,

DMd= Rsd(d - d) = Asdscd(d - d) e

DMd= R

sd2 (d - d) = A

s2s

cd(d - d)

Que permitem determinar as reas restantes de armadura As2e As.De fato,

Costuma-se adotar um valor de x, por exemplo x = d/2. Dessaforma podem ser determinadas as armaduras Ase Ascomo se indica a se-guir. As equaes A e B sugerem a decomposio mostrada na figura seguin-te:

As= Rcfd+ Rcwdfyd

Viga de Seo Retangular com Armadura Dupla

Quando se tem, alm da armadura de trao As, outra As posicionadajunto borda comprimida, temos uma seo com armadura dupla. Isto feitopara se conseguir uma seo subarmada sem alterar as dimenses de seo

transversal. A armadura comprimida introduz uma parcela adicional na resul-tante de compresso, permitindo assim, aumentar a resistncia da seo. Ve-jamos as equaes de equilbrio:

De Fora:

Rsd= Rcd+ RsdAsssd= 0,68 b x fcd+ c

De Momento:

Md= Rcd(d - 0,4x) + Rsd(d - d)Md= 0,68 b x fcd(d - 0,4x) + Asscd(d - d)

Temos assim duas equaes (A e B) e trs incgnitas: x, As e As (poisas tenses na armadura depende de x).

B

A

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Rsd= Rsd2=DMd/(d - d) e

As2= Rsd2/fyd

O clculo de As, requer a determinao de tensossd. Com x < xlim,

tem-se, no domnio 3ec=0,0035 e, no domnio 2:

ec= 0,010x / (d - x) (por semelhana de tringulos)

Logo

es=ec(x - d) / x

que permite obterssd(no diagramasxede armadura)

Finalmente

As= Rsd/sse

As= As1+ As2

CISALHAMENTO

Sero analisadas sees sujeitas a fora cortante (V) e a momentotoror (T) que geram tenses de cisalhamento (t).

Panorama de tenses pr incipais numa viga de compor t amen-to elst ico linear.

Considere-se uma viga biapoiada sujeita a duas cargas concentradasde valor P, simetricamente dispostas no vo distncia a dos apoios, conformemostra a figura abaixo:

O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga con-centrada est sujeito a momento fletor e a fora cortante. No trecho compre-endido entre as cargas concentradas, sujeito flexo simples, a direo dastenses principais de trao paralela ao eixo da viga. As trajetrias de ten-ses principais esto esquematizadas na figura que segue.

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Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado

Como se sabe, o concreto um material de boa resistncia com-presso (f

cc), porm, de baixa resistncia trao (f

ct). Dessa forma, se a viga

da primeira figura fosse de concreto armado ela tenderia a apresentar fissurasperpendiculares tenso principal de trao (s1), ou seja, fissuras paralelas tenso principal de compresso (s2). Pode-se notar que na flexo simples (tre-cho compreendido entre as cargas concentradas) as fissuras tendem a ser per-pendiculares LN; e na flexo combinada com cisalhamento (trecho compre-endido entre a carga concentrada e o apoio) as fissuras tendem a se inclinardevido fora cortante. Neste caso diz-se que ocorre uma fissurao diagonal.

A idia bsica do concreto armado est na associao de dois materi-ais, concreto e armadura, de modo que esta ltima supra deficincia trao

do primeiro. Para isso, a armadura deve ser posicionada de modo a costuraras fissuras de trao e, quando possvel, paralelamente s tenses de trao.

As trajetrias de tenses de trao (figura anterior) sugerem os se-guintes arranjos prticos de armadura:

Armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo)

Armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo)

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O estribo nunca dispensado nas vigas devido, principalmente, a ra-zes de ordem construtiva. O primeiro dos arranjos citados parece ser me-lhor porque a armadura longitudinal acompanha, relativamente bem, as traje-trias de tenses principais de trao; os ensaios, contudo, tm mostrado obom comportamento do segundo arranjo onde os estribos, distribudos compequeno espaamento entre si, tem a funo de resistir ao cisalhamento e aarmadura longitudinal, flexo e constitui esquema muito prtico e de uso

bastante comum.

Mtodo de ver ificao

Modelo simplificado para o comportamento da viga (trelia clssicaou trelia de Mrsch)

O panorama de fissurao, que se implanta na viga por ocasio daruptura, sugere um modelo em forma de trelia para o seu esquema resisten-te. Esta trelia constituda de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superi-

or comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente armadura longitudinal de flexo), diagonais comprimidas de concreto inclina-das de 45o(bielas diagonais) e pendurais correspondentes armadura trans-versal.

Os esforos na trelia mltipla podem ser estimados atravs de umatrelia mais simples, isosttica (figura abaixo), dita trelia clssicaoutreliade Mrsch. Cada pendural nesta trelia representa (z/s) estribos, da treliaoriginal, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.

Solicitaes nos elementos da trelia

Do equilbrio do ponto J (figura abaixo), tem-se:

Tenses mdias nos elementos da trelia

Tenso mdia na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)

Rswd = Vd e Rcwd = Vd 2

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Conforme a figura anterior, pode-se escrever:

scwd= 2to

sendo

Como z ~d/1,15, tem-se, tambm:

scwd= 2,3twd

onde

twd =

Vd

bwz

Tenso mdia no estribo (armadura de combate ao cisalhamento)

sswd =torw

sswd =1,15twdrw

Sendo Asw

a rea total correspondente a um estribo, tem-se para oestribo usual de 2 ramos:

Asw= 2 As1(As1= rea da seo da armadura do estribo)

Conforme a figura anterior, tem-se:

twd< twu= 0,3 fcd < 4,5 MPa

onde

z / s = nmero de estribos no comprimento z de vigarw= Aw/bws = taxa geomtrica de armadura transversal

Estados limites ltimos na solicitao tangencial

Ruptura cortante-compresso

Admite-se que a segurana esteja devidamente atendida quando

to = Vo bwz

ou

que corresponde, no modelo da trelia clssica, seguinte tenso decompresso na biela diagonal de concreto:

scwd< 2,3 0,3fcd= 0,69 fcd

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Resultados de anlises experimentais permitem considerar na flexosimples

Ruptura cortante-trao

A figura que segue apresenta, esquematicamente, o diagrama de ten-so de trao no estribo provocado pela fora cortante. Nota-se que, a partirde um certo nvel de solicitao, os diagramas de tenso de trao real (diagra-mas em linhas pontilhadas) so praticamente paralelos quele da trelia clssi-

ca (em linha tracejada). Para menores relaesq, entre a espessura da alma daseo e a largura de sua mesa, eles se aproximam de uma reta envoltriaafastada detcdo diagrama correspondente ao modelo da trelia clssica.

Dessa forma, atribuindo tenso de trao nos estribos o valor fywd,eles podem ser quantificados atravs da expresso:

tc = 0,15 fck

rw =1,15twd- twdf

ywd

onde

fywd= 43,48 kN/cm2 para os aos CA50 e CA60B.

Ruptura por escorregamento da armadura de flexo junto aos apoiosextremos

Admite-se que a segurana esteja garantida pela verificao das duascondies seguintes:

- a armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto face interna do apoio, a resultante de trao igual a:

Rs,apo,d= Vd a1 > Vd d 2

alm disso, quando estas barras tiverem gancho de extremidade (si-

tuao usual, prxima figura) elas devem estender-se, a partir da face internado apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 f) > 6 cm, ondef odimetro da barra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o aoCA50: r = 2,5fquandof< 20 e r = 4fparaf> 20); neste caso, quando ocobrimento lateral das barras na regio do apoio for maior ou igual a 7 cm e acarga acidental q no for freqente, suficiente verificar apenas esta condio.

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Arranjo da armadura tr ansversal

Armadura transversal mnima (estribo mnimo)

rmin

= 0,14% - para CA50/CA60 0,25% para CA25

A este estribo mnimo corresponde uma fora cortante V*.

twd= fyd rwmin+tc = g1 V* = 1,4 V* 1,15 bwd bwd

V* = bwd (f

ywdrmin+tc )

1,61

Tipo de estribo

Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw 40 cm.

Dimetro dos estribos (ft)

5 mm < ft< bw12

Espaamento dos estribos (s)

Recomenda-se obedecer s seguintes condies:

30 cms < d/2

21f(CA25)12f(CA50/60) - para armadura dupla

As duas ltimas condies so aplicadas quando se tem armaduracomprimida de flexo (As).

Cobertura do diagrama de fora cortante

Costuma-se garantir a resistncia ao cisalhamento, adotando-se es-tribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a cobertura em

degraus do diagrama de fora cortante; cada degrau correspondendo a umtrecho de estribo constante. A figura que segue ilustra este procedimento.Para vigas usuais de edifcios, pode-se adotar, em cada vo, 3 trechos: umcentral correspondente armadura mnima (rwmine V*), e mais dois trechos,adjacentes aos apoios do vo com estribos calculados para as respectivas for-as cortantes mximas.

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Lajes Retangulares Macias

Lajes so elementos estruturais planos de concreto armado sujeitos acargas transversais a seu plano. Os apoios das lajes so, geralmente, constitu-

dos por vigas vigas de piso. Nestes casos, o clculo das lajes feito, de manei-ra simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios livres rotao e indeslocveis translao, considerando, contudo, a continuidadeentre lajes contguas.

Do ponto de vista de comportamento flexo, as lajes retangularesmacias podem ser classificadas em:

Lajes armadas em uma direo: quando a flexo (curvatura) bastan-te predominante segundo a direo paralela a um dos lados;

correspondem s lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e cont-nuas, com ou sem balanos laterais), e s lajes alongadas apoiadasem todo o permetro.

Lajes armadas em duas direes ou em cruz: quando as curvaturasparalelas aos lados so valores comparveis entre si, so lajes apoia-das em todo seu contorno e com lados no muito diferentes entre si(l

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mx= plx2/ 8

my=umxvx= plx/ 2

Esforos Solicit ant es

Laje Isolada: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje correspondea uma viga isolada sujeita a carga distribuda uniforme;

Laje em balano: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje

corresponde a uma viga em balano e o carregamento consiste numacarga uniforme distribuda p mais uma concentrada P aplicada junto extremidade do balano.

Laje contnua: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje correspondea uma viga contnua.

Abaixo esto os grficos destes 3 casos:

Esforos Mximos na Laje Isolada

mx= plx2/ 8

vx= plx+ P

Esforos Mximos na Laje em Balano

Esforos Mximos na Laje Contnua

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Dimensionamento Flexo (Estado Limit e lt imo - ELU)

O dimensionamento feito para uma seo retangular de larguraunitria (normalmente, b =1 m =100 cm) e altura igual espessura total dolaje, h.

Altura t il

A armadura de flexo ser distribuda no largura de 100 cm. Em ge-ral, tem-se nos vos, num mesmo ponto, dois momentos fletores (m

xe m

y,

positivos) perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentoscorresponde uma altura til; d

xpara o momento fletor m

xe dy para o momen-

to fletor my. Normalmente, m

x maior que m

y; por isso costuma-se adotar d

x

> dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor m

y(As

y)

colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx(Asx):

Conforme a figura anterior, tem-se:

dx= h - c - fx/2 edy= h - c -fx-fy/2

onde

c = cobrimento mnimo de armadura em lajes, fixado em 0,5 cm naslajes protegidas com argamassa de espessura mnima de 1 cm (NBR 6118)fx= dimetro da armadura Asxcorrespondente a m xfy= dimetro da armadura Asycorrespondente a m y

Nas lajes macias revestidas, usuais em edifcios, pode-se adotar apro-ximadamente:

dx= h - c - 0,5 cm e

dy= h - c - 1,0 cm

Clculo das Armaduras

f= dimetro nominal da barra em mmAs1= rea nominal da seo transversal de uma barram1= massa de uma barra por metro linear

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Nas lajes, normalmente, a flexo conduz a um dimensionamento comopea subarmada com armadura simples. Assim, conforme a figura acima, aequao de equilbrio conduz a

md= 0,68 b x fcd(d - 0,4x) com md=gcm = 1,4 m

Resultando, para a altura de zona comprimida o valor

e a armadura

f(mm) As1(cm) m1(kg/m)

4,0 0,125 0,105,0 0,200 0,16

6,3 0,315 0,25

8,0 0,500 0,40

10,0 0,800 0,63

f= dimetro nominal da barra em mmA

s1= rea nominal da seo transversal de uma barra

m1= massa de uma barra por metro linear

x = 1,25 d 1 - 1- Md0,425 b

wd2f

cd

As = mdfyd(d - 0,4x)

ondeA

d

= Asx

para m = mxe

Ad= Asy para m = my

Escolha das bar ras

A escolha da bitola o espaamento (f e s) feita para as bitolas comer-ciais com as seguintes recomendaes:

fmin= 4 mm

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LAJES ARMADAS EM DUAS DIREES (EM CRUZ)

Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir, apoiada em todoo seu contorno sobre vigas, sujeita carga distribuda p e sejam:

lx= o menor vo terico

lx= o maior vo terico (l

y> l

x)

Normalmente consideram-se as hipteses simplificadoras:

vigas rgidas flexo continuidade de lajes vizinhas quando no mesmo nvel

As deformaes da laje segundo os cortes A (paralela a lx) e B (parale-la a ly) esto esquematizadas na figura a seguir:

Pode-se notar a presena de curvaturas comparveis segundo os doiscortes, sugerindo a presena de momentos fletores comparveis:

mx= momento por unidade de largura com plano de atuao parale-lo a lx;

my= momento por unidade de largura com plano de atuao parale-lo a l

y.

Considere-se o corte genrico CC e a deformada segundo este cor-te. Nota-se tambm a presena de momento, podendo este ser expresso por:

mx= mxcosa + mysena

Esforos nas la jes isoladas

Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores mxi-mos no vos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nosfornecem estes momentos mximos para alguns casos usuais de lajes macias.Nos edifcios, onde o carregamento usual constitudo de carga distribudauniforme, so muito teis as tabelas de Czrny preparadas com coeficiente dePoisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fletores extremos sodados por:

mx= p lx2 ; my= p ly

2 ; mx= p lx2 ; my= p ly

2

ax ay bx by

onde as variveis esto tabeladas em funo dos seguintes parmetros:

Tipo de carga (por ex. distribuda uniforme); Condies de apoio da laje (tipo de apoio); Relao (l

y/ l

x).

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Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuda uniforme, eos tipos de apoio indicados a seguir:

apoiado

engastaado

Mtodo simplif icado aplicvel a pisos usuais de edifcios

Para os pisos usuais de edifcios residenciais e comerciais pode seraplicado o mtodo simplificado exposto a seguir:

Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, para cadauma delas, as seguintes condies de apoio:

Apoio livre, quando no existir laje vizinha a este apoio; Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nvel, permi-

tindo assim a continuidade da armadura negativa de flexo de umalaje para a outra;

Vigas rgidas de apoio da laje;

e, calculam-se os momentos fletores mximos (em valor absoluto)nestas lajes isoladas (mx, my, mx, my).

Correo dos momentos fletores devido continuidade entre as la-jes vizinhas:

Momentos sobre os apoios comuns s lajes adjacentes: adota-se para

o momento fletor de compatibilizao, o maior valor entre 0,8 m> e(m1 + m2) / 2, onde m1 e m2 so os valores absolutos dos momen-tos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado, e m>,o maior momento entre m1 e m2.

Momentos no vos: para sobrecargas usuais de edifcios podem seradotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto,sem nenhuma correo devido continuidade. Para sobrecargas mai-ores convm efetuar essas correes.

Altura til

Da mesma forma que para as lajes armadas em uma s direo, asalturas teis so dadas por:

dx= h - c -fx/2e

dy= h - c -fx-fy/2

podendo ser estimadas, nas lajes usuais, pord

x= h - c 0,5 cm

edy= h - c 1,0 cm

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Clculo de AsEscolha das bar ras

Dimetro : 4 mm 0,9 cm/m e

r= As> 0,15% (CA50/60) b h 0,20% (CA25)

Armaduras sobre os apoios de continuidade:

As> 1,5 cm/me

r= As> 0,15% (CA50/60)

b h 0,20% (CA25)

As 8 cm < s < 20 cm

3h

armadura nos apoios:

As 8 cm < s < 20 cm2h

LAJES NERVURADASAs lajes macias podem ser recomendadas para vos at cerca de

5m. Para vos maiores, ela se torna antieconmica devido ao seu grande pesoprprio. Uma opo melhor para este caso pode ser conseguida atravs daslajes nervuradas. As nervuras tem a funo de garantir a altura necessria paraa armadura de trao resistir flexo.

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Para estas lajes tem-se as seguintes recomendaes:

Os esforos solicitantes podem ser obtidos pela teoria das placaspara faixas de largura unitria; multiplicando estes esforos pelosespaamentos entre nervuras tem-se os esforos atuantes em cadanervura;

A mesa deve ser verificada flexo se b > 50 cm ou se houver carga

concentrada atuando diretamente sobre ela; A verificao do cisalhamento nas nervuras pode ser feita como lajese b

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onde

a= a

1+ a

2= a

1 1

1- P/Pfl

Pfl = p2EcIc = p

2EcAc , com l=lc e io= Iclfl

2 l2 io Ac

sendo

lfl= comprimento de flambagem do pilarlfl= 2lno pilar em balano;lfl= lno pilar biarticulado com alongamento livre;lfl= l, biengastado com deslocamento transversal livre;lfl= 0,7l, engastado de um lado e articulado do outro;io= raio de girao da seo do pilar

Assim

O momento fletor adicional mximo vale M2= Pa, ento M2=8000,0466 = 37,3 kNm. A figura a seguir representa M2:

io= I

c= 244/ 12 = 7,22 cm2

Ac 252

l=lc = 2 400 = 111 io 7,22

Pfl

= p2EcIc = p2E

cA

c=

p2 3000 252 = 1502 kN

lfl2 l2 111

2

a = a1+ a2= a1 1 = 2,18 1 =4,66cm1- P/Pfl 1-800/1502

O momento mximo na base do pilar vale:

M = Mh+ Ma= M2= (1 + M1/Mh+ M2/Mh)M = 40 ( 1 + 16/40 + 37,3/40)M = 40 (1 + 0,40 + 0,93)

Portanto, nesse caso, Ma representa 40% de Mhe, M2, 93%, mos-trando a importncia do desaprumo e do deslocamento (efeito de segundaordem) no esforo solicitante final. Convm lembrar que ainda existem solici-taes adicionais provenientes do comportamento no linear com concretoarmado e da fluncia que age sobre o efeito da carga permanente.

Outro fator de grande importncia a esbeltez do pilar (ndice deesbeltez l), que pode ser notado atravs da expresso a2 , pois quanto maior

for o l, maior ser o momento de segunda ordem M2. Considere-se, no exem-plo visto anteriormente, o efeito da variao da seo transversal de 25 x 25cm at 90 x 90 cm. A figura a seguir apresenta os resultados obtidos:

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Nota-se que o efeito de segunda ordem desprezvel para valores del at em torno de 40 e que a partir deste valor a sua influncia cada vez maior.Assim, para efeito de um mtodo de verificao e de clculo, a NBR 6118prope a seguinte classificao dos pilares em funo do ndice de esbeltez:

Pilar Curto: para l< 40; pode-se desprezar o efeito de segundaordem e fluncia;

Pilar Medianamente Esbelto: para 40

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Os efeitos de segunda ordem quando l > 40 que podem ser conside-rados atravs da excentricidade e2. Esta excentricidade pode ser esti-mada, para pilares medianamente esbeltos, atravs do mtodo dopilar padro. As hipteses admitidas neste mtodo so:

Seo constante do pilar (inclusive armadura); Configurao fletida de forma senoidal.

Conforme a figura anterior, temos:

Com 1/r = -y tem-se, para a seo do meio do vo 1 / r = (p/lo)2e2

ou

y = e2 senpx; y = -p2

e2 senpx = - p2

yl

ol

ol

ol

o

e2= 1 / r = lo2 1

p /lo p2r

Por outro lado, sendo 1/r = (eco+eo)/d , a NBR 6118 permite consi-derar pilares medianamente esbeltos e esbeltos:

onde Es= 21000 kN/cm e ud= Nd/ AcfcdO comprimento de flambagem do pilar (lo) tomado aproximada-

mente igual ao p direito, pois as extremidades de cada lance do pilar podemser consideradas indeslocveis. Os efeitos de fluncia (quando l > 80) po-dem der considerados atravs da excentricidade complementar equivalenteeo.

Dimensionamento da Seo Retangular (armadura simtrica)

Costuma-se dimensionar uma seo retangular com armadura sim-trica considerando-se a mais crtica entre as situaes de projeto indicadas nafigura a seguir. No caso geral (pilar de canto), tem-se duas situaes de clculosujeitas a flexo composta oblqua (FCO); da situao 1 resulta a taxa mecni-cav 1e da situao 2,v 2; a maior destas taxas define a armadura da seo.Estas situaes de clculo so obtidas atravs do deslocamento mximo doponto de aplicao da fora normal segundo hx(situao 1) e, segundo hy(situ-ao 2). Para pilares internos, tem-se duas situaes de clculo sujeitas a flexocomposta normal (FCN). Nos pilares de extremidade resultam uma FCN euma FCO. Nesta ltima situao, pode-se, em geral, desprezar a excentricida-de inicial resultando, ento, dois dimensionamentos a FCN.

1 = 0,0035 + fcd/ Esr h [(ud= 0,5) p >1]

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Dimenses M nimas

Para a seo retangular de dimenses hxh

yseja b o menor dos lados

e h o maior.

recomenda-se:

b > 20 cm e lo/25 , ondelo o p direito livre. Neste caso, toma-segf= 1,4.

Excepcionalmente 12 cm < b < 20 cm e h < 60 cm, devendo-seutilizar, neste caso,gf= 1,8.

Recomenda-se que a armadura tenha distribuio simtrica e que suataxa geomtrica (r) obedea a seguinte condio:

rmin< r= As/ Ao 30

rmin= 0,5% se

l< 30

Disposies Const rut ivas, Bit olas e Espaament os

10 5 ;

30 cm7cm < s

l< b

12ft190ft2/fl

As disposies construtivas, bitolas e espaamentos apresentados nafigura acima esto assim convencionados:

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Travament os Adicionais na Seo t ransversal

A possibilidade de flambagem das armaduras inibida pelos estribosque introduzem pontos de travamento, a cada distncia s

t. Este travamento

integral junto aos cantos, mas travamentos adicionais a cada 20ft, so neces-srios nas sees alongadas.

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REFERNCIA PARA CLCULODE CONCRETO ARMADO

So Paulo - 2001

Compil ao : Karin Regina de Castro Marins, Roberto Issamu Takahashi e Tiago Gimenez Ribeiro (2000)

[ Baseado no resumo de Marcos Silveira ]Reviso e Projet o Grfico: Andrea Sae Yang, Camila Massumi Ishihat a, Debora Lika Yakushiji, Marcelo Kussunoki e Marco

Masamoi Naka (2001)a part ir das Apost ilas do Depart ament o de Engenhari a de Estrut uras e Fundaes da Escola Politcnica

UNIVERSIDADE DE SO PAULO ESCOLA POLITCNICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAES

ndiceconceitos bsicos ........................................................................................................1cargas caractersticas..........................................................................................................1esforos solicitantes e reaes.............................................................................................1regras de pr-dimensionamento de peas...........................................................................2flexo simples....................................................................................................................3diagramas....................................................................................................................................3estado limite ltimo convencional na flexo............................................................................4

domnio de deformao..............................................................................................................5vigas de seo retangular com armadura simples.......................................................... 5viga de seo T com armadura simples............................................................................6viga de seo retangular com armadura dupla...................................................................7cisalhamento......................................................................................................................................................................................................................................................................................8panorama de tenses principais numa viga de comportamento elstico linear..................8arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado....................................................9mtodo de verificao...............................................................................................................10arranjo da armadura transversal................................................................................................13lajes retangulares macias..................................................................................................14lajes armadas em uma direo........................................................................................14esforos solicitantes..................................................................................................................15

dimensionamento flexo......................................................................................................16altura til................................................................................................................16clculo das armaduras................................................................................................16escolha das barras...................................................................................................17lajes armadas em duas direes.............................................................................18esforos nas lajes isoladas...........................................................................................18mtodo simplificado aplicvel a pisos usuais de edifcios..........................................19altura til..........................................................................................................20armaduras mnimas...................................................................................................20escolha das barras....................................................................................................20lajes nervuradas....................................................................................................20pilares....................................................................................................................21tipos de pilares........................................................................................................23situao de clculo...................................................................................................23dimensionamento da seo retangular (armadura simtrica).............................................24dimenses mnimas..................................................................................................25disposies construtivas, bitolas e espaamentos...........................................................25travamentos adicionais na seo transversal..................................................................26

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