Apostila_da unidade 1_Estatistica_descritiva

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO - UEMA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO MARANHÃO – UNIVIMA

Curso de Graduação em Administração Modalidade a Distância

Produção: Prof. Cristovam Filho 0

TEXTO COMPLEMENTAR – 1ª UNIDADE Estatística Aplicada à Administração

Prof: Cristovam Dervalmar Rodrigues Teixeira Filho

1 INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA. ................................................................................... 1

1.1 CAMPOS DE APLICAÇÃO. ............................................................................................. 1 1.2 UM POUCO DE HISTORIA. ............................................................................................ 1 1.3 O CRESCIMENTO E DESENVOLVIMENTO DA ESTATÍSTICA MODERNA.................................................... 2 1.4 DIVISÃO DA ESTATÍSTICA. ............................................................................................ 3 1.5 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO (ESTATÍSTICA DESCRITIVA); ........................................................ 3

2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.................................................................................. 4

2.1 DADOS ............................................................................................................... 4 2.2 TABELAS DE MEDIÇÃO ........................................................................................... 4 2.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA. ...................................................... 6 2.4 TIPOS DE FREQUÊNCIA. ......................................................................................... 8

3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL. ............................................................................ 9

3.1 MÉDIA ARITMÉTICA .................................................................................................. 9 3.2 MÉDIA GEOMÉTRICA. .......................................................................................... 10 3.3 MEDIANA E MODA............................................................................................... 12

4 QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (MEDIDAS SEPARATRIZES). ............................................... 16

4.1 QUARTIS. ........................................................................................................ 16 4.2 DECIS............................................................................................................. 17 4.3 PERCENTIS. ..................................................................................................... 18

5 MEDIDAS DE DISPERSÃO ......................................................................................... 19

5.1 VARIÂNCIA. ..................................................................................................... 19 5.2 DESVIO-PADRÃO OU QUADRADO MÉDIO. ................................................................... 20 5.3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO .................................................................................. 20




1 Introdução a Estatística.

1.1 Campos de Aplicação.

A utilização da Estatística é cada vez mais acentuada em qualquer atividade profissional da vida moderna. Nos seus mais diversificados ramos de atuação, as pessoas estão freqüentemente expostas a estatística, utilizando-a com maior ou menor intensidade.

A Estatística encontra aplicações em quase todos os campos da atividade humana.

O Estado e a Sociologia têm necessidade de conhecer as populações por seus efetivos, por sexo, idade, estado civil, profissão, nacionalidade, etc. O nível cultural de um povo pode ser indicado pela proporção dos que sabem ler e escrever, em relação ao total de habitantes e pelo número de alunos das escolas. As tábuas de mortalidade, confrontadas de tempos em tempos, ou com as de outros países, permitem avaliar a evolução do grau de sanidade Física. Os serviços de metereologia, tão importantes para a navegação aérea e marítima, são essencialmente estatísticos, com seus estudos de temperaturas, pressões, quedas de chuva, umidades, ventos, etc. Na agricultura, a Estatística serve como orientador seguro, fornecendo informações sobre colheitas, rendimento das terras, valores da produção e outros. Na indústria e no comércio podem-se comparar produções e volumes de vendas em relação ao total por região, estudar a situação dos mercados e suas tendências.

Grandes serviços a Estatística presta à Biologia, desde o "homem médio" de Quetelet, passando pela teoria da hereditariedade de Mendel, até as infinitas aplicações de hoje. A Geografia conclui através de estudos estatísticos as densidades demográficas, correntes migratórias, climas, etc. Na Informática também encontramos importantes aplicações, entre elas: Avaliação de desempenho de redes de computadores, assim como aplicações em redes neurais artificiais e mineração de dados, na Inteligência Artificial.

É possível distinguir duas concepções para palavra Estatística:

a) No plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados numéricos, reunidos com finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites etc. As estatísticas econômicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, preços, vendas e com outras atividades ligadas aos vários setores da vida econômica.

b) No singular, indica a atividade humana especializada ou um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.

1.2 Um pouco de Historia.

A origem da palavra Estatística esta associada à palavra latina “Status”. Há indícios de que em 3000 a.C, já se faziam censo na Babilônia, china e Egito e até mesmo no velho testamento, encontra-se referência a uma instrução dada a Moisés para fazer um




levantamento de homens de Israel que estivessem aptos para guerrear.

Usualmente estas informações eram utilizadas para a taxação de impostos ou para o alistamento militar.

A história da Estatística é dividida em três períodos:

1º Período ou de Preparação dos fatos. (vai do regime feudal até meados do século XVII);

2º Período ou de Preparação das teorias. (meados do século XVII até inicio do século XIX);

3º Período ou do Aperfeiçoamento. (iniciou em 1853 com a Reunião do Primeiro Congresso de Estatística).

1.3 O Crescimento e Desenvolvimento da Estatística Moderna.

Podem ser relacionados a três fenômenos isolados:

- Necessidade do Governo de coletar dados sobre as cidades;

- O desenvolvimento da teoria da Probabilidade;

- E o andamento da informática.

O Raciocínio Estatístico e o Gerenciamento Moderno.

Na ultima década, com a globalização da economia, cresceu o foco na qualidade de produtos e serviços. De fato, mais do que a participação de qualquer outro indivíduo, foi o trabalho de um estatístico, Edwards Deming, que levou esta mudança ás empresas.

Raciocínio Estatístico – Pode ser definido como os processos voltados para o entendimento, o gerenciamento e a redução de variações.

Por que os gerentes precisam conhecer Estatística?

“Raciocinar estatisticamente será um dia tão necessário quanto a habilidade de ler e escrever” (H. G. Wells)




a) Os gerentes precisam saber como apresentar e descrever informações de forma adequada;

b) Os gerentes precisam saber como tirar conclusões a partir de grandes populações com base somente na informação obtida de amostras;

c) Os gerentes precisam saber como melhorar processos;

d) Os gerentes precisam saber como obter previsões confiáveis a partir de variáveis de interesse.

1.4 Divisão da Estatística.

• Estatística Descritiva;

• Estatística Indutiva ou Inferência Estatística;

1.4.1 Estatística Descritiva:

Pode ser interpretada como uma função cujo objetivo é a observação de fenômenos de mesma natureza, a coleta de dados numéricos referentes a esses fenômenos, a organização e classificação desses dados observados e a sua apresentação através de gráficos e tabelas, além do cálculo de coeficientes (estatísticas)que permitem descrever resumidamente os fenômenos.

1.4.2 Estatística Indutiva ou Inferência Estatística;

Pode ser definida como os métodos que tornam possível a estimativa de uma característica de uma população ou tomada de uma decisão referente á população com base somente em resultados de amostras, ou seja, a inferência estatística refere-se a um processo de generalização a partir de resultados particulares.

1.5 Fases do Método Estatístico (Estatística Descritiva);

� Definição do Problema;

� Planejamento;

� Coleta de Dados;

� Apuração dos dados;

� Apresentação dos Dados;

� Análise e Interpretação de Dados.




2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA. É o tipo de tabela mais importante para a Estatística Descritiva.

2.1 Dados

Podem ser entendidos como a informação numérica necessária para nos ajudar a tomar decisões mais bem fundamentadas em determinada situação.

2.1.1 Dados Brutos

Após a coleta, os dados originais ainda não se encontram pronto para análise, por não estarem organizados em ordem numérica crescente ou decrescente.

2.2 TABELAS DE MEDIÇÃO

Um estatístico da área de pesquisas muito provavelmente desejará desenvolver um instrumento que faça diversas perguntas e lide com uma variedade de fenômenos ou características. Estes fenômenos ou características são chamados variáveis aleatórias. Os dados que são o produto observado destas variáveis aleatórias, podem divergir de resposta para resposta.

2.2.1 Tipos de Dados

• Variáveis aleatórias categorizadas: produzem respostas categorizadas.

Exemplo: Como você classificaria a sua disciplina de Estatística:

( ) ótimo ( ) bom ( ) regular ( ) péssimo.

• Variáveis aleatórias numéricas: produzem respostas numéricas.

Exemplo: Qual a sua idade?____________

Dados Discretos: São respostas numéricas que surgem a partir de um processo de contagem.

Dados contínuos: São respostas numéricas que surgem a partir de um processo de medição.

2.2.2 Tipos de Tabelas de Medição

Poderíamos também descrever nossos dados resultantes de acordo com o nível de medição alcançado. Em sentido mais amplo, todos os dados coletados são "medidos" de alguma maneira. Os quatro níveis de medição são: do mais fraco ao mais forte; as escalas nominal, ordinal, de intervalo e de proporcionalidade.

a) ESCALA NOMINAL E ORDINAL

Dados obtidos a partir de uma variável categorizada são interpretados como tendo sido medidos numa escala nominal ou numa escala ordinal. Se os dados observados são meramente classificados em várias categorias distintas, nas quais nenhum ordenamento está implícito, é alcançado um nível nominal de medição. Por outro lado, se os dados observados forem classificados em categorias distintas, nas quais o ordenamento está implícito, atingi-se um nível ordinal de medição.




2.2.3 Exemplos de escala nominal

Variável Categorizada Categorias Propriedade de automóvel Sim------------- Não Tipo de seg. de vida que possui Prazo limitado Por dote--- Toda a vida ---

outro--- nenhum Filiação a partido político PT ---PDT ---PFL---PSB---PSDB

2.2.4 Exemplos de escala ordinal

Variável categorizada Categorias ordenadas

(Mais baixo---------Mais alto)

Denominação de classe de

Estudantes Calouro, Secundarista, Terceiranista, Quartanista

Satisfação do produto Muito insatisfeito, relativamente insatisfeito, neutro, relativamente satisfeito, muito satisfeito

Titulo na UEMA Auxiliar, Assistente, Adjunto, Titular

b) ESCALAS DE INTERVALO E PROPORCIONALIDADE:

Uma escala de intervalo é uma escala ordenada em que a diferença entre as medições é uma quantidade significativa. Admite-se que em geral os dados obtidos a partir de variáveis numéricas foram medidos em uma escala de intervalo ou em uma escala de proporcionalidade. Estas escalas constituem o nível mais alto de medição. Elas são formas mais eficazes de medição do que uma escala ordinal, porque podemos distinguir não só qual é o maior valor observado como também quão maior é ele.

2.2.5 Exemplos de escala de intervalo e de proporcionalidade

Variável Numérica Nível de medição

Temperatura Intervalo

Calendário Intervalo

Altura Proporcionalidade

Peso Proporcionalidade

Idade Proporcionalidade




2.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.

2.3.1 População (N)

É um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum. Pode ser finita ou infinita.

2.3.2 Amostra (n)

Considerando a impossibilidade, na maioria das vezes, do tratamento de todos os elementos da população, retira-se uma amostra em conformidade com alguma técnica de amostragem.

2.3.3 Variável Discreta e Variável Contínua.

A variável é discreta quando assume valores em pontos da reta real. EXEMPLO: Número de erros em um livro: 0,1,2,3,4,5,...

A variável é contínua quando pode assumir teoricamente qualquer valor em certo intervalo da reta real. EXEMPLO: Peso de alunos, pois teoricamente, um indivíduo poderá ter 50,5 Kg; 50,572 Kg; 50,585 Kg;

2.3.4 FREQUÊNCIA SIMPLES ( f i )

É o número de observações correspondentes a um intervalo de classes ou a um valor individual.

2.3.5 AMPLITUDE TOTAL OU “RANGER” minmax AAAt −=

A amplitude total ou intervalo total é diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo.

2.3.6 NÚMERO DE CLASSES (K).

Não há fórmula exata para o cálculo do número de classes.

K=5 para n≤ 25 e K ≅ n , para n maior que 25

Obs: O nº de classes é um número inteiro.

Exemplo: Se K=6,5 deve-se arredondar para 6 ou 7

Outra maneira para calcular o nº de classes

a) Fórmula de STURGES K ≅ 1 + 3,22 log n, em que n = Tamanho da amostra.

b) Fórmula de ANSELMO RAPOSO:




K=2

)log22,31( n+ + ln n

OBS: ln é o logarítimo natural e o log é o logarítimo decimal

2.3.7 AMPLITUDE DAS CLASSES (h).

K

Ah t=

2.3.8 LIMITES DE CLASSES.

São números extremos de cada classe. Há um limite inferior ou mínimo e um limite superior.

EXEMPLO: Tabela de taxa escolar

2.3.9 PONTO MÉDIO DE CLASSE. (x i )

É a média entre o limite superior e o inferior da classe.

Classes

39.00 |— 45.89

45.89 |— 52.78

52.78 |— 59.67

59.67 |— 66.56

66.56 |— 73.44

Limite inferior da 1ª classe

Limite superior da 1ª classe

Este símbolo significa que o intervalo é fechado no limite inferior e aberto no limite superior. Ou seja, neste intervalo temos todos os elementos que iniciam com o nº 39 e terminam em 45,89 excluindo o mesmo. Nesta tabela

temos 5 classes




2.4 TIPOS DE FREQUÊNCIA.

2.4.1 FREQUÊNCIA SIMPLES ABSOLUTA ( )jf

2.4.2 FREQUÊNCIA SIMPLES RELATIVA ( )jfr

Representa a proporção de observações de um valor individual ou de uma classe, em relação ao número total de observações.

Ou

OBS 1: Desejando-se expressar o resultado em termos percentuais, multiplica-se o quociente por 100.

OBS 2: A soma das freqüências simples relativas de uma tabela de freqüências é sempre igual a 1,00 ou 100%.

nfk

ii =∑

=1

∑=

=k

i

i

fi

fiFr

1

n

fiFr i

=

00,11

=∑=

k

iiFr

2

lslixi

+=




2.4.3 FREQUÊNCIA ACUMULADAS “ABAIXO DE” ( )jF ou ( )jFr ↓

Referem-se ao fato de que as freqüências a serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor ou à classe cuja freqüência acumulada se deseja obter, incluindo no cálculo a freqüência do valor ou da classe.

3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL. É comumente usada para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência.

Tais medidas orientam-nos quanto à posição da distribuição no eixo x (dos números reais ). São chamadas medidas de tendência central, pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentra-se os dados.

3.1 Média Aritmética

3.1.1 Média Aritmética Simples (dados não agrupados)

Seja x1, x2 ..., xn, portanto “n” valores da variável X. A média aritmética simples de X

representado por x é definida por:

Em que, n é o número de elementos do conjunto.

3.1.2 Média Aritmética Ponderada (Dados Agrupados).

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a média aritmética dos valores 1 2 3, , ..., ,nx x x x ponderados pelas respectivas freqüências

absolutas; 1 2 3, , ,..., ,nF F F F Assim:

1

n

ii

xx

n==∑

1

n

i ii

x fx

n==∑




Exemplo 2: Na tabela abaixo calcule a média Aritmética:

Classes fi xi xi.fi

39 |— 45 7 42 294

45 |— 51 8 48 384

51 |— 57 6 54 324

57 |— 63 4 60 240

63 |— 69 5 66 330

TOTAL 30 1572

Logo, pela fórmula da média para dados agrupados temos que:

30

1572=X

4,52=X

3.2 MÉDIA GEOMÉTRICA.

3.2.1 MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES (DADOS NÃO AGRUPADOS)

Sejam os valores de uma série, 1 2 3 ,, , , . .. , nx x x x definimos a média geométrica

simples como sendo a raiz n-ésima do produto de n termos positivos, isto é:

OBS: Um método mais rápido para cálculo da média geométrica é se usarmos a logaritmação.

E ao resultado aplicamos o antilogarítimico,

1 2. 3. ...nnG x x x x=

1 2 3log log log ... loglog nx x x x

Gn

+ + + +=

1

l o gl o g

n

ii

xG a n t

n==∑




3.2.2 MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA.

Para uma distribuição de freqüências por valores.

Exemplo 4:Calcule a média geométrica da tabela a seguir:

Notas obtidas dos alunos da UEMA

Notas ( )ix Nº de alunos

( )if log ix . logi if x

2 13 0,3010 3,9134

4 12 0,6020 7,2247

6 10 0,7782 7,7820

8 18 0,9031 16,2556

10 25 1,0000 25,0000

∑ 78 60,1757

Fonte: Secretaria Geral

Obs: aplica-se logarítimo para cada valor das notas.

Ex: log2=0,3010 e o resultado multiplica-se pela freqüência simples no caso igual a 13 e assim sucessivamente para cada uma das classes.

Calculando a Média aplicando a fórmula:

78

1757,60logantG =

7715,0logantG =

7715,010=G 9086,5=G

1

.loglog

n

i ii

f xG ant

n==∑




3.3 MEDIANA E MODA.

3.3.1 MEDIANA. ( )Md ou %x

A mediana é considerada uma separatriz, pois divide a distribuição ou conjunto de dados em duas partes iguais. O número que indica a ordem em que se encontra o valor

correspondente a mediana é denominado elemento mediano, cujo símbolo é M dE .

Se n for um número ímpar, a mediana coincide com o termo central da série, ou

seja, com o termo de ordem 1

2

n +. Se n for par, a mediana será a média entre os

elementos centrais de 12 2

n ne + .

a) Para dados não agrupados:

Exemplo 9: Seja X = (2;4;6;8;10) calcular a mediana:

Resposta: n é nº ímpar então coincide com o termo central da série no caso é 6. Para isso é preciso que os dados estejam em ordem.

Exemplo: Seja X = (1;4;5;6;9;10;11;14;16;20) calcular a mediana. - n é par então:

elementon

EMd º52

10

2=== é nº 9

elementon

EMd º6152

101

2=+==+= é nº 10

Logo a Mediana é calculada pela média dos dois números:

5,92109~

=+

=X

a) Mediana Para uma distribuição de freqüência por valores. (variável discreta).

Em uma distribuição de freqüências por valores a mediana é localizada utilizando-se o posicionamento da mediana dentro da distribuição, através da freqüência acumulada de ordem crescente.

0 50% 100%

%x




Exemplo: Notas obtidas dos alunos da UEMA


( )if acf

0 5 5

2 8 13

4 12 25

6 10 35

8 18 53

10 25 78

∑ 78


elementoEMd º392

78== logo a mediana é 8, pois o trigésimo nono elemento

está na 5ª classe

b) Para uma distribuição de freqüências por classes de valores. (dados agrupados).

Cálculo da mediana – variável contínua.

1º Passo: Calcula-se ordem 2

n. Como a variável é contínua não se preocupe se n é par

ou impar.

2º Passo: Pela acf identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md).

3º Passo: Utiliza-se a fórmula:

Em que:

Mdl = limite inferior da classe Md.

n = tamanho da amostra ou número de elementos.

%

.2

MdMd

nf h

x lf

− = +

∑




f∑ = soma das freqüências anteriores à classe Md.

h = amplitude da classe Md.

Mdf = freqüência simples da classe Md.

3.3.2 MODA ( )0M ou X∧

.

A moda, norma, valor normal, ou mais freqüente. É por definição, o valor de ix da série que ocorre em maior número de vezes, Isto é, cuja freqüência é máxima.

a) Para uma distribuição de dados brutos e por valores:

Exemplo 14: Seja X = (2;4;6;6;8;8;8;10), qual o valor da moda:

^

8=X

Exemplo: Dada a distribuição de freqüência abaixo qual o valor da moda:


Notas ( )ix Nº de alunos ( )if

0 5

2 8

4 12

6 10

8 18

10 25

∑ 78


A moda é igual a 10.

b) Para uma distribuição de freqüência por classes de valores. (Dados agrupados).

1º passo é identificar a classe modal (aquela que possuir maior freqüência). Em seguida aplicar Fórmula.




Fórmula de CZUBER Fórmula de KING

Onde:

oml - Limite inferior da classe Modal;

omf - Freqüência simples da classe modal;

antf - Freqüência simples da classe anterior à classe moda;

postf - Freqüência simples da classe posterior à classe modal;

h - Amplitude do intervalo de classe;

1 om antf f∆ = −

2 om postf f∆ = −

OBS: outra maneira de calcular a moda quando a distribuição apresentar boa simetria em relação à média é:

Fórmula de PEARSON

1

1 2

.oo mM l h

∆= +

∆ +∆ .

o

posto m

ant post

fM l h

f f= +

+

%3 2oM x x= −




4 QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (MEDIDAS SEPARATRIZES).

4.1 QUARTIS.

Divide um conjunto de dados em quatro partes iguais.

1Q = 1º quartil, deixa 25% dos elementos;

2Q = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos;

3Q = 3º quartil, deixa 75% dos elementos.

a) Cálculo do quartis para uma distribuição de dados brutos ou freqüência por valores (dados não agrupados).

Fórmula do Posicionamento do Quartil de ordem i

Exemplo: Na tabela Abaixo calcule o 3º Quartil:

Notas dos alunos da UEMA


( )if acf

0 5 5

2 8 13

4 12 25

6 10 35

8 18 53

10 25 78

.

4i

i nPQ =

0% 25% 50% 75% 100%

Q2 Q1 Q3




∑ 78


elementoX

PQ º595,584

7833

≅== está na ultima classe logo 103 =Q ou seja 75% das

notas dos alunos estão variando de 0 a 10.

b) Cálculo do quartil para uma distribuição de freqüências por classes de valores (dados agrupados por intervalos de classes).

Determinação de 321, eQQQ

1º passo: Calcular 4

.niPQi =

2º passo: Identifica a classe do quartil pela acf

3º passo cálculo:

4.2 DECIS.

Dividem um conjunto de dados em 10 partes iguais.

a) Para distribuição de dados brutos ou de freqüência por valores (dados não

agrupados).

hf

fni

lQMd

mdi .)

4

.( ∑−

+=

0% 50% 100% 10% 20% 30% 40% 60% 70% 80% 90%

D3 D6 D9 D5 D7 D8 D1 D2 D4




Fórmula de posicionamento do Decil de ordem i

b) Decil para uma distribuição de freqüências por classes de valores (dados agrupados).

1º passo: calcula-se

2º passo: identifica-se a classe iD pela acf

3ºpasso: Cálculo do decil

4.3 PERCENTIS.

Dividem um conjunto de dados em 100 partes iguais.

a) Percentis para uma distribuição de dados ou freqüência por valores (dados não agrupados).

Fórmula de posicionamento do percentil de ordem i

b) Percentil para uma distribuição de freqüências por classes de valor (Dados agrupados).

1º passo: Calcula-se o posicionamento do percentil de ordem i

0% 50% 100% 1% 2% 3% . . . . . . 97% 98% 99%

P3 P99 P50 P97 P98 P1 P2

.

100i

i nPP =

.

1 0i

i nP D =

.

10i

i nP D =

..

10i

i

i DD

i nf h

D lf

− = +

∑




0250,6=−

X

2º passo: Identifica-se a classe iP pela acf

3º passo: Calcula-se o percentil

5 MEDIDAS DE DISPERSÃO

5.1 VARIÂNCIA.

É a mais usada entre as medidas absolutas de dispersão ou variabilidade. Sendo que 2σ a variância populacional e

2S a variância amostral.

a) Para uma distribuição de dados brutos

e

b) Para uma tabela distribuição de freqüência

e

EXEMPLO: Dada a tabela a seguir calcule a variância populacional.

( )2

2 1

n

ii

x X

Nσ =

−=∑

( )2

2 1

1

n

ii

x XS

n=

−=

−

∑

( )2

2 1

.n

i ii

x X f

Nσ =

−=∑

( )2

2 1

.

1

n

i ii

x X fS

n=

−=

−

∑

.

1 0 0i

i nP P =

..

100i

i

i PP

i nf h

P lf

− = +

∑





Notas ix Nº de alunos

if ( )2ix X− ( )2.i ix X f−

0,00 5,00 44,1029 220,5144

2,00 8,00 21,5389 172,3110

4,00 12,00 6,9749 83,6986

6,00 10,00 0,4109 4,1088

8,00 18,00 1,8469 33,2439

10,00 25,00 11,2829 282,0720

∑ 78,00 795,9487


22 3369,10178

9487,795pontosS =

−=

5.2 DESVIO-PADRÃO OU QUADRADO MÉDIO.

É a medida de dispersão mais usada, tendo em comum com o desvio médio o fato de ambos serem considerados os desvios com relação a média. Para se calcular o desvio-padrão deve-se primeiramente determinar o valor da variância e em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado, assim:

Desvio-padrão populacional

Desvio-padrão amostral

5.3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dado por:

E

2σ σ=

2S S=

100CVX

σ= × 100

SCV

x= ×




Obs: Análise do coeficiente de variação:

o Baixa dispersão: 15%CV ≤

o Média dispersão: 15% 30%CV< <

o Alta dispersão: 30%CV ≥

EXEMPLO 1: Suponhamos que uma firma que ofereça serviços de consultoria para alunos de segundo grau em todo o território do Brasil tenha contratado uma analista para comparar as taxas escolares cobradas por faculdades e universidades em diferentes regiões do País. Os dados abaixo apresentam as taxas escolares de 60 Faculdades e Universidades em dólares.

Montar os dados numa tabela de distribuição de freqüência e calcular as medidas de tendência central, separatrizes, dispersão e fazer o histograma.

Dados brutos das taxas escolares

7,2 - 4,9 - 10,7 - 10,4 - 6,4 - 4,8 - 4,7 - 4,6 - 6,0 - 5,4 - 4,8 4,7 – 8,3 - 3,8 – 4,8 – 8,3 – 6,4 – 6,6 – 4,5 – 8,0 - 3,6 – 2,4 – 8,5 – 8,8 – 7,7 – 4,9 – 8,6 – 12,0 4,9 7,0 – 11,0 – 4,9 – 3,9 – 4,9 –4,4 – 4,9 – 4,9 – 8,0 3,6 – 7,4 – 7,9 – 4,9 – 5,8 – 39 – 11,6 –10,3 – 3,4 3,9 – 5,0 – 3,9 – 8,0 – 3,5 - 4,9 - 5,8 - 4,1 - 3,9 3,5 - 4,8 - 5,9 - 3,6.

Fonte: Dados extraídos da Associação Nacional das Mantenedoras.

É necessário colocar os dados em ordem. Para isso vamos colocá-los num diagrama ramo e folha




DISPOSIÇÃO RAMO E FOLHA

Uma disposição ramo-e-folha separam as entradas de dados em dígitos leading ou ramos e dígitos trailing folhas. A coluna de números à esquerda da linha vertical é chamada de ramo. Estes números correspondem aos dígitos ramo dos dados. Em cada linha, as folhas se ramificam para a direita da linha vertical e estas entradas correspondem aos dígitos folha.

EXEMPLO 1:

2 4

3 869694995956

4 9876878599994999918

5 48089

6 4046

7 27049

8 33058600

9

10 743

11 06

12 0




A disposição ramo-e-folha revisada: colocar as folhas em ordem crescente.

2 4

3 455666899999

4 1456778888999999999

5 04889

6 0446

7 02479

8 00033568

9

10 347

11 06

12 0

ROL (DISPOSIÇÃO ORDENADA).

Quando colocamos os dados em ordem de classificação, da menor para a maior observação, a seqüência é chamada de disposição ordenada. Quando os dados estão classificados em uma disposição ordenada, nossa avaliação dos seus principais aspectos fica facilitada. Torna-se mais fácil detectar os extremos, os valores típicos e as concentrações de valores.

EXEMPLO 1:

Disposição Ordenada I

2,4 – 3,4 – 3,5 – 3,5 – 3,6 – 3,6 – 3,6 – 3,8 – 3,9 – 3,9 – 3,9 – 3,9 – 3,9 – 4,1 - 4,4 - 4,5 – 4,6 – 4,7 – 4,7 – 4,8 – 4,8 – 4,8 – 4,8 – 4,9 – 4,9 – 4,9 – 4,9 – 4,9 4,9 – 4,9 – 4,9 - 4,9 – 5,0 – 5,4 – 5,8 – 5,8 – 5,9 – 6,0 – 6,4 – 6,4 – 6,6 – 7,0 - 7,2 – 7,4 – 7,7 – 7,9 – 8,0 –8,0 – 8,0 – 8,3 – 8,3 – 8,5 - 8,6 - 8,8 - 10,3 - 10,4 10,7 - 11,0 - 11,6 - 12,0




Montagem da tabela

Calcular:

a) A amplitude total

dolaresAt 6,94,212 =−=

b) O nº de classes

classesK 77256,660log22,31 ≅=+=

c) A amplitude de classes

5,13714,17

6,9===h

d) O Limite das classes: Para montagem da tabela Inicia-se com o menor nº da distribuição e adiciona-se o valor da amplitude de classes.

Classes

2.40 |— 3.90

3.90 |— 5.40

5.40 |— 6.90

6.90 |— 8.40

8.40 |— 9.90

9.90 |— 11.40

11.40 |— 12.90

e) Freqüência Simples ( if ): Utiliza-se a disposição ordenada para realização da contagem,

ou seja, verificam-se quantos elementos têm entre 2,4 até 3,9. No caso são oito faculdades que praticam taxas neste intervalo.

Classes fi

2.40 |— 3.90 8

3.90 |— 5.40 25

5.40 |— 6.90 8

6.90 |— 8.40 10

8.40 |— 9.90 3

9.90 |— 11.40 4

11.40 |— 12.90 2




TOTAL 60

f) Ponto médio (xi): Soma o limite inferior e superior de cada classe dividido por dois. O ponto médio representa cada intervalo de classe.

Classes fi xi

2.40 |— 3.90 8 3.15

3.90 |— 5.40 25 4.65

5.40 |— 6.90 8 6.15

6.90 |— 8.40 10 7.65

8.40 |— 9.90 3 9.15

9.90 |— 11.40 4 10.65

11.40 |— 12.90 2 12.15

TOTAL 60

g) Freqüência acumulada (fac)

h) Freqüência relativa em porcentagem (Fr%)

Classes fi xi fac Fr%

2.40 |— 3.90 8 3.15 8 13.33%

3.90 |— 5.40 25 4.65 33 41.67%

5.40 |— 6.90 8 6.15 41 13.33%

6.90 |— 8.40 10 7.65 51 16.67%

8.40 |— 9.90 3 9.15 4 5.00%

Classes fi xi fac

2.40 |— 3.90 8 3.15 8

3.90 |— 5.40 25 4.65 33

5.40 |— 6.90 8 6.15 41

6.90 |— 8.40 10 7.65 51

8.40 |— 9.90 3 9.15 4

9.90 |— 11.40 4 10.65 58

11.40 |— 12.90 2 12.15 60

TOTAL 60

Significa que temos 33 faculdades que praticam taxas a partir de 2,4 até 5,4 dólares




9.90 |— 11.40 4 10.65 58 6.67%

11.40 |— 12.90 2 12.15 60 3.33%

TOTAL 60 100.00%

i) Freqüência relativa em porcentagem acumulada ( %acFr )

Classes fi xi fac Fr% Frac%

2.40 |— 3.90 8 3.15 8 13.33% 13.33%

3.90 |— 5.40 25 4.65 33 41.67% 55.00%

5.40 |— 6.90 8 6.15 41 13.33% 68.33%

6.90 |— 8.40 10 7.65 51 16.67% 85.00%

8.40 |— 9.90 3 9.15 4 5.00% 90.00%

9.90 |— 11.40 4 10.65 58 6.67% 96.67%

11.40 |— 12.90 2 11.15 60 3.33% 100.00%

TOTAL 60 100.00%

j) Média aritmética X

Classes fi xi xi.fi

2.40 |— 3.90 8 3.15 25.2

3.90 |— 5.40 25 4.65 116.25

5.40 |— 6.90 8 6.15 49.2

6.90 |— 8.40 10 7.65 76.5

8.40 |— 9.90 3 9.15 27.45

9.90 |— 11.40 4 10.65 42.6

11.40 |— 12.90 2 12.15 24.3

TOTAL 60 361.5

dolaresX 0250,660

5,361==

l) Média Geométrica (G)

Classes fi xi logxi fi.logxi

2.40 |— 3.90 8 3.15 0.4983 3.98648

3.90 |— 5.40 25 4.65 0.6675 16.6863




5.40 |— 6.90 8 6.15 0.7889 6.311

6.90 |— 8.40 10 7.65 0.8837 8.83661

8.40 |— 9.90 3 9.15 0.9614 2.88426

9.90 |— 11.40 4 10.65 1.0273 4.1094

11.40 |— 12.90 2 12.15 1.0846 2.16915

TOTAL 60 44.9832

6198,5107497,0log60

9832,44log 7497,0 ==== antantG

m) Mediana

~

X

Classes fi fac

2.40 |— 3.90 8 8

3.90 |— 5.40 25 33

5.40 |— 6.90 8 41

6.90 |— 8.40 10 51

8.40 |— 9.90 3 4

9.90 |— 11.40 4 58

11.40 |— 12.90 2 60

TOTAL 60

elementoEMd º302

60== a mediana está na 2ª classe.

dolaresX 22,55,1.25

)830(9,3

~

=−

+= . Este valor corta a distribuição em 50%

2,4 12,9

0 50%% 100%

%x =5,22




n) Moda

^

X

Classes fi

2.40 |— 3.90 8

3.90 |— 5.40 25

5.40 |— 6.90 8

6.90 |— 8.40 10

8.40 |— 9.90 3

9.90 |— 11.40 4

11.40 |— 12.90 2

TOTAL 60

A maior freqüência é a da 2ª classe. Utilizando a fórmula de KING temos que:

dolaresX 65,45,1.)88(

89,3

^

=+

+=

o) Quartis

Classes fi fac

2.40 |— 3.90 8 8

3.90 |— 5.40 25 33

5.40 |— 6.90 8 41

6.90 |— 8.40 10 51

8.40 |— 9.90 3 4

9.90 |— 11.40 4 58

11.40 |— 12.90 2 60

TOTAL 60

Cálculo de 1Q

elementoPQ º154

60.11

== Está na 2ª classe

32,45,1.25

)815(9,31 =

−+=Q Significa que 25% das faculdades amostradas praticam taxas

entre 2,4 e 4,32 dólares.

Atividade: Calcule o valor de 32eQQ




p) Variância 2S

Classes fi xi (xi-X)² (xi-X)².fi

2.40 |— 3.90 8 3.15 8.2656 66.1250

3.90 |— 5.40 25 4.65 1.8906 47.2656

5.40 |— 6.90 8 6.15 0.0156 0.1250

6.90 |— 8.40 10 7.65 2.6406 26.4063

8.40 |— 9.90 3 9.15 9.7656 29.2969

9.90 |— 11.40 4 10.65 21.391 85.5625

11.40 |— 12.90 2 12.15 37.516 75.0313

TOTAL 60 329.8125

Deve-se 1º calcular o valor da média aritmética (neste caso foi 6,0250). Depois subtrair cada valor de xi da mesma e elevar ao quadrado. Em seguida multiplicar pela freqüência simples da classe. Exemplo:

(3,15-6,0250)²= 8,2656 X 8 =66,1250

22 59,5160

8125,329dolaresS =

−=

q) Desvio Padrão S

dolaresS 3643,259,5 == Ou seja, cada valor da distribuição está desviando

em torno da média aritmética 2,3643 dólares em média

r) Covariância ou coeficiente de Variação CV

%2419,39%1000250,6

3643,2== XCV Significa que temos alta dispersão dos dados em torno

da média aritmética




Apresentação Gráfica para dados numéricos

Este gráfico foi feito no programa BIOSTAT vs 3.0

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