APOSTILA DE CLCULO 3

APOSTILA DE CLCULO 3PROF. GUSTAVOFUNES DE VRIAS VARIVEIS REAIS

A grande parte das aplicaes (economia, fsica, engenharia) das funes apresenta relaes de trs ou mais variveis, da a convenincia do estudo de tais funes.

Definio 1: Espao Numrico n-dimensional

formado pelo conjunto das n-uplas ordenadas reais, denotado por Rn ou Rn onde cada par ordenado (x1, x2, x3, ... xn) chamado de ponto do espao n-dimensional.

1) Funes de Uma Varivel Real a Valores em R2.

uma funo em que A subconjunto de R. Associamos a cada real , um nico vetor . O domnio e e a imagem

Obs:A imagem pode ser a trajetria ou lugar geomtrico.

Exemplo 1) seja F definida por F(t)=(t,4t).

a) Calcule F(0) e F(2).

b) desenhe a imagem de F.

R: a) F(0)=(0,0) e f(2) = (2,8)

b) A imagem de F a reta de equaes paramtricas

Exemplo 2) Desenhe a imagem da funo F dada por .

R:

obs: O grfico da F coincide com o grfico da y = x2.

Exemplo 3) Seja Desenhe a imagem de F.

Soluo: F circunferncia de raio 1.

grfico de

grfico de

Exemplo 4) Desenhe a imagem da funo dada por

Soluo: F circunferncia de raio 1.

como (Elipse)

Ver grfico acima.

2) Funes de Duas Variveis Reais a Valores Reais

, onde A um subconjunto de R2. Uma tal funo associa, a cada par , um nico nmero . (obs: z, w so variveis dependentes).

A o domnio da e representado por ;

O conjunto imagem: .

Exemplo 1) Seja f a funo de duas variveis reais a valores reais dada por . A) achar o domnio de f.

R: O domnio de f o conjunto de todos os pares (x,y) de nmeros reais em .

Exemplo 2) Na funo anterior calcule:

a) f(2, 3)

b) (a+2, a-b).

R: a) =-5

R: b) = a/b

Exemplo 3) Represente o domnio de no grfico.

Exemplo 4) A funo f de duas variveis x e y o conjunto de todos os pares ordenados da forma (P, z), tal que . Encontre o domnio e a imagem e trace um esboo do grfico mostrando com uma regio sombreada o conjunto dos pontos do domnio.

R: Df = todos os pares (x,y) em

. Ver o grfico a seguir.

grfico exemplo 4 grfico exemplo 5

Exemplo 2) A funo g de duas variveis o conjunto de todos os pares ordenados da forma (P,z), tal que . Encontre o domnio de g e trace um esboo, mostrando com uma regio sombreada em R2 o conjunto de pontos do domnio de g.

S: conj dos pares ordenados (x,y) em e . Temos ento um conjunto de todos os pontos na circunferncia

. (ver grfico acima)

EXERCICIOS

1) Encontre a) f(3,-4); b) f(-2,1); c) f(u,3V) na funo .

2) Dada a funo , Calcular:

a) g(1, 4, -2)

b) g(2a, -b, 3c)

c) g(x2, y2, z2)

d) g(y, z, -x)

e) g(3a, 2a, a)

3)Encontre w na funo w = g(x,y,z) = em g(, -, ).

4) Dada e , encontre h(x,y) se h= f o g, e encontre o domnio de h.

5) Seja . Calcule:

f) f(1, -1)

g) f(a, x)

h)

i)

6)Seja determine o domnio e calcule .

7) A partir das funes abaixo, encontre o domnio e trace o grfico, mostrando a regio sombreada em R2.a) A)

b)

c)

Derivadas Parciais

As tcnicas, regras e frmulas desenvolvidas para diferenciar funes a uma varivel podem ser generalizadas para funes a duas ou mais variveis, considerando-se que uma das vaiveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relao varivel remanescente. Por exemplo, considere a funo f a duas variveis dada por f(x,y) = x + 3xy 4y. Consideremos, temporariamente, a segunda varivel y como constante e diferenciemos em relao primeira varivel x. Por conseguinte, visto que y constante

;

e ; da,

, da mesma forma em relao y fazendo x constante temos:

e

, da vem :

.

Se f uma funo a duas variveis e (x,y) um ponto de f, ento as derivadas parciais , de fem (x,y) em relao primeira e segunda varivel so definidas por:

e ,

, contanto que os limites existam.Caso tenhamos alguma situao na qual aparea a derivada de uma funo composta, procedemos da mesma maneira da forma j conhecida para funes de uma varivel utilizando a regra da cadeia. Por conseguinte, seja g uma funo a duas variveis, por facilidade de compreenso. Se w = f(v) e v = g(x,y), ou seja w = f[g(x,y)], ento mantendo y constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, temos:

; isto ,

, analogamente, = ; isto

, .

Exemplo: Se w = , encontre .Exerccio

1) Calcule as derivadas parciais f

EMBED Equation.3 e :

a) f(x,y) =

b) f(x,y) = 2xy + xy - 4xy

c) f(x,y) = x xy + xy

d) f(x,y) = 3y + 2xy - 5x

e) f(x,y) = xy + 3xy - 6y

f) f(x,y) = 10x- 5xy - 4xy

g) f(x,y) = 5x - 7xy + 2y

h) f(x,y) = senxcos7y

i) f(x,y) =

j) f(x,y) = xseny

k) f(x,y) =

l) f(x,y) =

Substituies Trigonomtricas

Uma integral que envolve uma das seguintes expresses radicais , ou ( onde a uma constante positiva) pode, muitas vezes, ser transformada numa integral trigonomtrica familiar, utilizando-se uma substituio trigonomtrica adequada ou uma mudana de varivel. Obs: quando uma integral aparece: ou a - u, deve-se substituir nesta expresso, u por asenz

Pois:

EMBED Equation.3 . Cqd.

Sendo assim temos as substituies:

X= asenz, substitui

X = atangz, substitui

X = asecz, substitui

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