Apostila_Eletricidade
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Faculdade de Ciências e Tecnológicas Norte de Minas – IFNMG
Eletricidade Básica – Eletrotécnica _ Prof.: Paulo Roberto
PÁGINA 1
POTÊNCIA DE DEZ
Em física trabalhamos com grandezas cujos valores algumas vezes são muito grandes ou muito pequenos.
Veja como é dada a massa do sol: kg00000000000000000000002000000000Msol ou a massa de um próton
kg00000016700000000000000000000,0Me
.
Imagine você fazendo uma simples multiplicação com os números acima! Para simplificar as operações
matemáticas os números “cabeludos” acima são escrito em potência de 10. Isso é na forma N10Ax onde A
= COEFICIENTE, 10 é a BASE e N = EXPOENTE. Logo as massas acima são escritas; kg10x2M 30sol
e kg10x67,1M 27
e
.
EXEMPLO: transformando os números e potência de dez:
710x610x10x10x10x10x10x10x66000000
5
510x4
10
4
10x10x10x10x10
4
100000
400004,0
NOTAÇÃO CIENTICIA: Há uma metodologia cientifica para a escrita e uso correto dos números em
potência de dez.
Na forma N10Ax , o correto o valor de A deve estar em um intervalo de 1 a 10.
10|A|1
REGRA DA VIRGULA ,para direita
Expoente diminui
,para esquerda
Expoente aumenta
EXEMPLO: escrever os números a seguir em notação cientifica:
a) 86 10x35,210x235
b) 68 10x5,210x025,0
OPERAÇÕES COM POTÊNCIA DE 10 Lembrando das operações exponenciais básicas:
Para N,M e A .
1ª propriedade: NMNM AA.A
2ª propriedade: NMNM AAA
3ª propriedade: N.MNM A)A(
4ª propriedade: N/MN M AA N pertence > 1.
5ª propriedade: A/1A 1 .
SOMA – soma-se os coeficientes conservando a base de mesmo expoente. Exemplos:
a) 888 10x5,810x5,610x0,2
b) 888 10x0,310x5,210x5,5
c) 77776 10x25,310x0,310x25,010x0,310x5,2
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO – multiplica-se os coeficientes conservando a base 10 e somando os
expoentes. Exemplos:
a) )10x0,2(x)(3,4x10 0,002x340000 35 235 10x510x8,6
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b) 743
4
3
10x210x210x2
10x4
200000
004,0
POTÊNCIA – eleva-se o coeficiente ao expoente dado conservando a base e multiplicando os expoentes.
EXEMPLO:
a) 126626 10x4)10x2(x)10x2()10x2(
RADICIAÇÃO – extrai-se a raiz do coeficiente, e divide o expoente pelo valor de raiz. EXEMPLO:
a) 82162 1616 10x0,210x0,210x0,410x0,4
b) 53153 15 10x0,310x0,310x0,27
TABELA 1 – PREFIXOS NUMERICOS
fator prefixo símbolo fator prefixo símbolo
1024
Yotta Y 10-1
deci d
1021
Zetta Z 10-2
Centi c
1018
Exa E 10-3
Mili m
1015
Peta P 10-6
Mícrom μ
1012
Tera T 10-9
Nano n
109 Giga G 10
-12 Pico p
106 Mega M 10
-15 Femto f
103 Quilo K 10
-18 Atto a
102 Hecto H 10
-21 Zepto z
10-10
Angs-
Trons o
A 10-24
Yocto Y
1.1 - A CARGA ELÉTRICA E FORÇA ELETRICA
Alguns dos fatos históricos apresentados na Cronologia mostram que, de fato, realizar experiências
para demonstrar a existência de cargas e forças elétricas é muito simples.
Não vamos aqui repetí-los, vamos apenas enunciar a conclusão de Franklin, qual seja,
a carga elétrica é uma propriedade física da matéria.
Tanto quanto a massa, a carga elétrica é uma propriedade intrínseca da matéria. E as observações
experimentais permitiram a descoberta de importantes propriedades que a carga elétrica possui (em comum com a massa):
- as cargas elétricas criam e são sujeitas à forças elétricas, o que facilmente se observa
dos experimentos de eletrização;
- cargas elétricas não podem ser criadas nem destruídas.
1.1.1 - Princípio de conservação da carga elétrica
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Em relação a segunda das assertivas acima, quando um corpo é eletrizado por fricção, por exemplo, o
estado de eletrização final se deve à transferência de cargas de um objeto para o outro. Não há criação de
cargas no processo. Portanto, se um dos objetos cede uma certa carga negativa ao outro, ele ficará
carregado positivamente, com a mesma quantidade de carga cedida ao outro. Esta observação é coerente
com a observação de que a matéria neutra, isto é, sem excesso de cargas, contém o mesmo número de
cargas positivas (núcleo atômico) e negativas (elétrons). Estabelecemos assim o princípio de conservação
da carga elétrica.
Como exemplo podemos citar o chamado processo de aniquilação entre um elétron, carga -e e sua
antipartícula, o pósitron, coma carga +e. Quando se aproximam, estas duas partículas podem desaparecer
originando um par de raios g, partículas sem massa e sem carga mas com energias altas. O processo pode
ser representado por
Observe que a carga total antes e depois do processo é nula, conservando-se portanto.
Outro exemplo interessante ocorre nas estrelas e é conhecido como fusão. Neste caso, dois núcleos de
deutério (hidrogênio pesado, 2H), composto por 1p e 1n se fundem com duas possibilidades finais, a saber,
. Na primeira, o resultado é um núcleo de trítio,
3H,, que possui 1p e 2n. Na segunda, resulta o isótopo do
hélio 3He, que possui 2p e 1n. Nas duas possibilidades a soma final das cargas é + 2e, idêntica à situação
inicial.
1.1.2 - Quantização da carga elétrica
No século XVIII, a carga elétrica era considerada como um fluido continuo. Entretanto, no início do
século XX, Robert MILLIKAN (1868-1953) descobriu que o fluido elétrico não era contínuo e, sim, que a
carga elétrica era constituída por um múltiplo inteiro de uma carga fundamental e, ou seja a carga q de um
certo objeto pode ser escrita como q ne , com n = 1, 2, 3, ...
tendo e o valor de 1,60 x 10-19
C e sendo uma das constantes fundamentais da natureza*.
Podemos então dizer que a carga elétrica existe em pacotes discretos ou, em termos modernos, é
"quantizada", não podendo assumir qualquer valor.
Todos os objetos da natureza contém cargas. Entretanto, na maioria das vezes não conseguimos
percebe-las. Isto se deve ao fato de que os objetos contém quantidades iguais de dois tipos de cargas:
cargas positivas e cargas negativas (conforme estabelecido por Franklin). Assim, a igualdade leva ao
equlíbrio de cargas, e dizemos que os objetos são eletricamente neutros, ou seja, não possuem uma carga
líquida. Por outro lado, se o equlíbrio for desmanchado, dizemos que que ele está eletrizado, i.e, uma
carga líquida existirá, e o corpo poderá interagir eletricamente.
Outras experiências da época de Millikan mostraram que o elétron tem carga -e e o próton +e, o que
assegura que um átomo neutro tem o mesmo número de prótons e elétrons. A Tabela 1.1 abaixo sumariza
as cargas e massas dos constituíntes atômicos de interesse.
Tabela 1.1
Partícula Carga (C) Massa (Kg)
elétron 1,6021917 x 10-19
9,1095 x 10-31
Kg
próton 1,6021917 x 10-19
1,67261 x 10-27
Kg
nêutron 0 1,67492 x 10-27
Kg
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* Obs.: Na realidade, uma carga livre menor do que e nunca foi observada. Entretanto, teorias
modernas propõem a existência de partículas com cargas fracionárias, os quarks, com cargas ±e/3 e
±2e/3. Tais partículas seriam as constituintes de várias outras partículas conhecidas, inclusive do
próton e do nêutron. Indícios experimentais sobre a existência destas partículas no interior dos núcleos
atômicos existem, embora elas nunca tenha sido encontradas livremente.
1.2 - Isolantes, condutores, semicondutores e supercondutores
Quanto a capacidade de conduzirem cargas elétricas, as substâncias podem ser caracterizadas como
isolantes e condutores.
Isolantes são aquelas substâncias nas quais as cargas elétricas não podem se mover livremente com
facilidade. Como exemplos, podemos citar a borracha, o vidro, o plástico e a água pura, entre outros.
Por outro lado, os condutores são aqueles materiais nos quais a movimentação das cargas (negativas,
em geral) pode ocorrer livremente. Exemplos: metais, água da torneira, o corpo humano.
Mais recentemente, surgiram duas novas categorias para os materiais. Os semicondutores apresentam-
se agora como uma terceira classe de materiais. Suas propriedades de condução elétrica situam-se entre as
dos isolantes e dos condutores. Os exemplos mais típicos são o silício e o germânio, responsáveis pelo
grande desenvolvimento tecnológico atual na área da microeletrônica e na fabricação de microchips.
Por fim, temos os supercondutores, materiais que a temperaturas muito baixas não oferecem
resistência alguma a passagem de eletricidade. Foi descoberta 1911 por Kammerlingh ONNES que a
observou no mercúrio sólido (à temperatura de 4,2 K). Atualmente já estão sendo desenvolvidas ligas (à
base de Nióbio) que sejam supercondutoras a temperaturas mais elevadas facilitando, assim, sua utilização
tecnológica.
1.3 - Métodos de eletrização
Dois são os métodos de eletrização mais conhecidos e utilizados: eletrização por condução (ou por
"fricção") e eletrização por indução.
A eletrização por condução se dá quando friccionamos entre si dois materiais isolantes (ou condutores
isolados) inicialmente descarregados, ou quando tocamos um material isolante (ou condutor isolado)
inicialmente descarregado com outro carregado. Durante o contato, ocorre uma transferência de elétrons
entre os dois objetos.
Suponhamos que carreguemos desta forma um bastão de borracha atritado com pele de animal e uma
barra de vidro atritada com seda. Se suspendermos o bastão de borracha por um fio isolante e dele
aproximarmos outro bastão de borracha carregado da mesma maneira, os bastões repelir-se-ão. O mesmo
acontece para dois bastões de vidro, nesta situação.
Por outro lado, se aproximarmos a barra de vidro ao bastão de borracha, ocorrerá uma atração entre eles.
Evidentemente constatamos que a borracha e o vidro têm estados de eletrização diferentes, e pela experiência concluímos que;
- cargas iguais se repelem;
- cargas diferentes se atraem.
Franklin convencionou que a carga da barra de vidro é positiva e a do bastão de borracha é negativa.
Assim, todo o corpo que for atraído pelo bastão de borracha (ou repelido pelo bastão de vidro) deve ter
carga positiva. Da mesma forma, todo o corpo que for repelido pelo bastão de borracha (ou atraído pela
barra de vidro) deve ter carga negativa.
No processo de eletrização por indução não há contato entre os objetos. Através da indução podemos
carregar os materiais condutores mais facilmente. Vejamos como isto é possível.
Suponhamos que aproximemos o bastão de borracha (carga negativa) de uma barra metálica isolada e
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inicialmente neutra. As cargas negativas (elétrons) da barra metálica serão repelidas para regiões mais
afastadas e a região mais próxima ao bastão ficará com um excesso de cargas positivas. Se agora ligarmos
um fio condutor entre a barra metálica e a terra (o que chamamos de aterramento), os elétrons repelidos
pelo bastão escaparão por este fio, deixando a barra carregada positivamente tão logo o fio seja removido.
Se, por outro lado, fôsse a barra de vidro (carga positiva) aproximada da barra metálica, esta última
ficaria carregada negativamente, pois pelo fio condutor aterrado seriam atraídos elétrons da terra.
Observe que, em ambos os processos, os bastões carregados (indutores) não perderam carga alguma.
Situação parecida ocorre quando aproximamos objetos carregados dos isolantes. Novamente as cargas
serão separadas no material isolante e, uma vez afastado o bastão indutor, as cargas não retornam às suas
posições iniciais devido à pouca mobilidade que possuem no isolante. Dizemos então que o isolante ficou
polarizado. O fenômeno da polarização será estudado em detalhes quando estudarmos os dielétricos.
Exercicio 1: Três esferas A, B e C tem 6 C, -6 C e 8 C de carga. Inicialmente A é colocada em
contato com B e depois B é colocada em contato com C. Se B perde 3/4 de sua carga para A , depois B ao
ser colocado em contato com C, esta perde 40%, qual deve ser a carga em cada esfera?
micron = = 10-6
Exercicio 2: (PESQUISE!) Em relação a questão seguinte, marque V( verdadeiro) para as alternativas
corretas.
I. ( ) Quando uma esfera isolante é eletrizada positivamente a carga se distribui por todo o volume e pelas
proximidades.
II. ( ) Quando uma esfera isolante é eletrizada positivamente a carga se distribui por todo o volume.
III. ( ) Quando uma esfera metálica é eletrizada positivamente a carga se distribui-se uniformemente pela sua
superfície.
IV. ( ) Quando uma esfera metálica é eletrizada negativamente a carga se concentra no seu centro.
V. ( ) Uma carga fundamental vale 1,6 x 10 -19
Coulomb.
VI. ( ) Na eletrização por contato, há tendencia das cargas se redistribuirem em mesmas quantidades, quando
os corpos apresentam mesmas características fisicas.
VII. ( ) O gerador de Wander Graff serve para produzir cargas em altos potenciais através da eletrização por
atrito.
VIII. ( ) Há uma tendência das cargas elétricas sairem pelas pontas dos condutores..
IX. ( ) O multimetro é um pequeno aparelho que serve para medir apenas tensões e correntes elétricas.
X. ( ) Para medirmos uma tensão de 127 volts devemos posicionar o cursor do multimetro na indicação de
100 volts. Não pode ser posicionado o cursor em 200 volts para medir uma tensão de 127 volts.
XI. ( ) Para medirmos uma resistência elétrica devemos primeiro posicionar corretamente o cursor do
ohmimetro na posição correta, depois colocamos em contato com as extremidades do resistor, os dois
plugs.
XII. ( ) Um corpo eletrizado positivamente recebeu cargas positivas de outro corpo, ou seja pode ter recebido
prótons..
XIII. ( ) Durante a eletrização os elétrons se deslocam. A região ocupada pelos elétrons fica carregada
negativamente e, a região abandonada pelos elétrons fica eletrizada positivamente.
XIV. ( ) Um átomo de Sódio (Na) ao se tornar um íon, tem tendência eletrônica de ganhar um próton e se tornar
Na+.
01) Determine o número de elétrons existentes em uma carga de 1,0 C.
a) Determine o número de elétrons em falta no corpo. A carga do elétron é -1,6. 10-19
C.
b) Quantos elétrons em excesso têm o corpo eletrizado com carga – 16nC.
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3) Um corpo tem 3.1018
elétrons e 4.1018
prótons. Sendo a carga elétrica elementar 1,6. 10-19
C, qual é a
carga elétrica do corpo?
04) Um pedaço de cobre eletricamente isolado contém 2.1022
elétrons livres, sendo a carga de cada um
igual a -1,6.10-19
C. Para que o metal adquira uma carga de 3,2. 10-9
C, será preciso remover um em cada
quantos elétrons livres?
05) Uma partícula apresenta carga elétrica negativa de -3,2. 10-15
C. Essa partícula está com excesso ou
falta de elétrons? Calcule a diferença.
06) De um corpo neutro retiramos 104 elétrons. Ele ficou com carga elétrica negativa ou positiva? Qual é o
valor de sua carga elétrica?
07) A esfera é constituída de ebonite, uma resina dura e negra. Atritando-a com um pedaço de seda,
arrancam-se dela aproximadamente 2.103 elétrons.
a) A esfera adquiriu carga positiva ou negativa?
b) Sabendo-se que a carga do elétron vale – 1,6. 10-19
C, qual é a carga elétrica final da esfera?
Eletrizaçao por Atrito
8) A unidade de carga elétrica no SI é o coulomb (C). Ele é definido a partir de duas outras unidades
básicas do SI: a de corrente elétrica, ou seja, o ampère (A) e a de tempo, o segundo (s). Podemos afirmar
que:
a) C = A . s
b) C = A/s
c) C = s/A
d) C = A . s2
e) C = A/s2
09) Um isolante elétrico:
a) não pode ser carregado eletricamente;
b) não contém elétrons;
c) tem de estar no estado sólido;
d) tem, necessariamente, resistência elétrica pequena;
e) não pode ser metálico.
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10) Considere uma esfera metálica oca, inicialmente com carga elétrica nula. Carregando a esfera
com certo número N de elétrons verifica-se que:
a) N elétrons excedentes se distribuem tanto na superfície interna como na externa;
b) N elétrons excedentes se distribuem em sua superfície interna;
c) N elétrons excedentes se distribuem em sua superfície externa;
d) a superfície interna fica carregada com cargas positivas;
e) a superfície externa fica carregada com cargas positivas.
11) Três corpos X, Y e Z estão eletrizados. Se X atrai Y e este repele Z, podemos afirmar que certamente:
a) X e Y têm cargas positivas.
b) Y e Z têm cargas negativas.
c) X e Z têm cargas de mesmo sinal.
d) X e Z têm cargas de sinais diferentes.
e) Y e Z têm cargas positivas.
12) Duas pequenas esferas metálicas idênticas, inicialmente neutras, encontram-se suspensas por fios
inextensíveis e isolantes.
Um jato de ar perpendicular ao plano da figura é lançado durante certo intervalo de tempo sobre as
esferas.
Observa-se então que ambas as esferas estão fortemente eletrizadas. Quando o sistema alcança novamente
o equilíbrio estático, podemos afirmar que as tensões nos fios:
a) aumentaram e as esferas se atraem;
b) diminuíram e as esferas se repelem;
c) aumentaram e as esferas se repelem;
d) diminuíram e as esferas se atraem;
e) não sofreram alterações.
13) Em 1990 transcorreu o cinqüentenário da descoberta dos "chuveiros penetrantes" nos raios cósmicos,
uma contribuição da física brasileira que alcançou repercussão internacional. (O Estado de São Paulo,
21/10/90, p. 30).No estudo dos raios cósmicos são observadas partículas chamadas píons. Considere um
píon com carga elétrica +e se desintegrando (isto é, se dividindo) em duas outras partículas: um múon
com carga elétrica +e e um neutrino. De acordo com o princípio de conservação da carga, o neutrino
deverá ter carga elétrica:
a) +e
b) - e
c) +2e
d) -2e
e) nula
14) De acordo com o modelo atômico atual, os prótons e nêutrons não são mais considerados partículas
elementares. Eles seriam formados de três partículas ainda menores, os quarks. Admite-se a existência de
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12 quarks na natureza, mas só dois tipos formam os prótons e nêutrons, o quark up (u), de carga elétrica
positiva, igual a 2/3 do valor da carga do elétron, e o quark down (d), de carga elétrica negativa, igual a 1/3
do valor da carga do elétron. A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente
a composição do próton e do nêutron:
próton nêutron
a) d, d, d u, u, u
b) d, d, u u, u, d
c) d, u, u u, d, d
d) u, u, u d, d, d
e) d, d, d d, d, d
15) Um bastão de vidro é atritado em certo tipo de tecido. O bastão, a seguir, é encostado num
eletroscópio previamente descarregado, de forma que as folhas do mesmo sofrem uma pequena
deflexão. Atrita-se a seguir o bastão novamente com o mesmo tecido, aproximando-o do mesmo
eletroscópio, evitando o contato entre ambos. As folhas do eletroscópio deverão:
a) manter-se com a mesma deflexão, independente da polaridade da carga do bastão;
b) abrir-se mais, somente se a carga do bastão for negativa;
c) abrir-se mais, independentemente da polaridade da carga do bastão;
d) abrir-se mais, somente se a carga do bastão for positiva;
e) fechar-se mais ou abrir-se mais, dependendo da polaridade da carga do bastão.
16) Uma pessoa penteia seus cabelos usando um pente de plástico. O que ocorre com o pente e com o
cabelo?
a) Ambos se eletrizam positivamente.
b) Ambos se eletrizam negativamente.
c) Apenas o pente fica eletrizado.
d) Apenas o cabelo fica eletrizado.
e) Um deles ficará positivo e o outro negativo
Exercícios de eletrização por Contato
17) Duas esferas idênticas de alumínio estão eletrizadas com cargas elétricas Q1 = - 3nC e Q2 = + 7nC.
Feito um contato entre elas, qual foi a carga resultante em cada uma delas? (Q’1 = Q’2 = 2nC).
18) Uma esfera de alumínio possui carga elétrica Q. Uma segunda esfera de alumínio, idêntica à primeira,
estando eletricamente neutra, é encostada a ela. A carga adquirida por essa segunda esfera foi:
a) 8
Q
. b) 4
Q
. c) 2
Q
. d) Q. e) 2Q.
19) Têm-se três esferas condutoras idênticas: A, B e C. A primeira delas possui uma carga elétrica positiva
Q. As demais estão neutras. Tocando-se a primeira em B e depois em C, qual é a carga adquirida pela
última?
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a) 8
Q
. b) 6
Q
. c) 4
Q
. d) 3
Q
. e) 2
Q
.
20) Considere duas esferas metálicas idênticas. A carga elétrica de uma é Q e a da outra é -2Q. Colocando-
se as duas esferas em contato, a carga elétrica da esfera que estava, no início, carregada positivamente fica
igual a:
a) 3 Q/2
b) Q/2
c) -Q/2
d) -3Q/2
e) -Q/4
Exercícios de eletrização por Indução
21) Um bastão de vidro, eletrizado positivamente, foi aproximado de um pêndulo constituído de um fio de
náilon e de uma esfera metálica oca muito leve, porém neutra. Verificou-se que o bastão atraiu a esfera
pendular. Analise cada uma das ,frases a seguir e assinale verdadeira (V) ou falsa (F).
I. Houve indução eletrostática.
II. A esfera pendular tornou-se eletrizada negativamente.
III. Devido à indução eletrostática na esfera pendular, apareceram, no seu lado esquerdo, cargas
negativas e, no lado direito, cargas positivas.
IV. A interação eletrostática entre as cargas indutoras e as induzidas fez surgir uma força de
atração.
São verdadeiras apenas as frases:
a) I e II. b) II e III. c) I e IV. d) I, III e IV. e) III e IV.
22) Pessoas que têm cabelos secos observam que, em dias secos, quanto mais tentam assentar seus
cabelos, penteando-os, mais eles ficam eriçados. Isso pode ser explicado do seguinte modo:
a) Os cabelos ficam eletrizados por atrito.
b) Os cabelos ficam eletrizados por indução eletrostática.
c) Os cabelos ficam eletrizados por contato.
A
B
C
A
B
C
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d) Os cabelos adquirem magnetismo.
e) Trata-se sim de um fenômeno puramente biológico.
23) Os corpos eletrizados por atrito, contato e indução ficam carregados respectivamente com cargas de
sinais:
a) iguais, iguais e iguais;
b) iguais, iguais e contrários;
c) contrários, contrários e iguais;
d) contrários, iguais e iguais;
e) contrários, iguais e contrários.
24) Uma pequena esfera de isopor (B), pintada com tinta metálica, é atraída por outra esfera maior (A),
também metalizada. Tanto A como B estão eletricamente isoladas. Este ensaio permite afirmar que:
a) A pode estar neutra;
b) B possui carga positiva;
c) As cargas elétricas em A em B são de sinais opostos;
d) A possui carga positiva;
e) A não pode estar neutra.
25) Uma barra metálica isolada está próxima de um pêndulo esférico de isopor com superfície metalizada,
conforme mostra o esquema. Ambos estão inicialmente descarregados. Uma carga elétrica positiva é
aproximada do extremo M da barra, sem toca-la. A esfera é atraída pelo extremo P. Após o contato da
esfera com a barra, a carga positiva é deslocada para longe. A nova situação é melhor apresentada por:
A
B
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1. A lei de Coulomb - Força eletrostática (lei de Coulomb)
Coulomb verificou que o valor da força de interação entre cargas elétricas (seja de atração ou de repulsão)
é tanto maior quanto maiores forem os valores das cargas nos corpos, e tanto menor quanto maior for a
distância entre eles. Ou seja: a força com que duas cargas se atraem ou repelem é proporcional às
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. Assim, se a distância
entre duas cargas é dobrada, a força de uma sobre a outra é reduzida a um quarto da força original.
2
21
4
1
d
QQF
o
(3.3)
F = força de atração ou repulsão (N)
Q1 e Q2 = carga elétrica (C)
d = distância entre as cargas elétricas (m)
k = constante eletrostática do meio
o = permissividade elétrica do vácuo
No sistema internacional-SI, a unidade de carga elétrica é o Coulomb cujo símbolo é C.
As forças eletrostáticas são de campo, ou seja, não é necessário o contato entre as cargas, podem ser de
atração ou repulsão, formam um par do tipo ação e reação, dependem do meio (na água a força é 80 vezes
menor que no vácuo), geralmente são bem mais intensas que as forças gravitacionais.
+
+
+
+
-
- -
-
-
-
-
-
+
-
-
-
+
a)
d)
b)
e)
c)
M
P
+
+
+
+
+
+
o
ok4
1 (vácuo)
.10.9
2
29
C
mNko 2
212
.10.85,8
mN
Co
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Na figura 3.3 – pode ser observada a relação entre a força e a distância de separação das cargas elétricas.
Fig. 3.3 – Gráfico F x d
Para medir as forças, Coulomb aperfeiçoou o método de detectar a força elétrica entre duas cargas por
meio da torção de um fio. A partir dessa idéia criou um medidor de força extremamente sensível,
denominado balança de torção.
A balança de torção consiste em uma haste isolante de fibra com duas esferas metálicas q1 e q3 na ponta
(sendo uma delas de contrapeso). Outra barra isolante provida, no seu extremo, de uma pequena esfera
metálica carregada q2 é introduzida pelo orifício superior ligada a um ponteiro com uma escala graduada
(Fig. 3.4).
Fig. 3.4 – Balança de torsão
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Para a experiência, Coulomb aproximou a esfera metálica (q2) carregada eletricamente de uma das esferas
presas à haste (q1), (também carregada) repelindo-a e fazendo com que a fibra faça uma rotação de certo
ângulo . Girando o ponteiro Coulomb compensava esta rotação, e lia na escala graduada o valor deste
ângulo. Este valor passou a ser uma medida relativa da força de atração. Repetindo estas experiências e
colocando a carga eletrizada a várias distâncias, Coulomb percebeu que a força elétrica era inversamente
proporcional ao quadrado da distância.
Como a força é uma quantidade vetorial podemos expressar a lei de Coulomb da forma seguinte
rr
QQF
o
ˆ4
12
2112
(3.4)
Intensidade da força eletrostática F
entre duas cargas Q1 e Q2 (Fig. 3.5)
Fig. 3.5 – Intensidade da força eletrostática entre duas cargas
A força de interação entre duas cargas no espaço pode ser representada como na figura 3.6.
Fig. 3.6 – Força de interação entre duas cargas
A expressão da força é dada por:
122
12
212
ˆ4
1r
rr
qqF
o
(3.5)
2F
é a força exercida pela carga q1 sobre a carga q2.
+ +
r
F
F
Q1 Q2
+ +
r
F
F
Q1 Q2
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Para uma distribuição continua de cargas, a carga total é dada por:
Qdtqdt
dqQ (3.6)
Distribuições de carga elétrica
a) distribuição linear de carga: dldqdl
dq (3.7)
unidade: mC /][
b) distribuição superficial de carga: dSdqdS
dq (3.8)
unidade: 2/][ mC
c) densidade volumétrica de carga: dVdqdV
dq (3.9)
unidade: 3/][ mC
Exemplo 3.3
Duas cargas puntiformes encontram-se no vácuo a uma distância de 30 cm uma da outra. As cargas valem
Q1= 3 x108
C e Q2 = 9 x 108
C. Calcular a força de interação entre elas.
Solução
Nd
QQKF 27
3,0
1091031092
889
2
21
12
Exemplo 3.4
Calcular a força de interação de duas cargas, onde Q = 2 x 106
C e a distância de separação entre as cargas
é d = 0,3m (ver figura abaixo).
Solução
NQQ
d
QQKF
BA
AB 2,109,0
1021023109
3,0
3109 669
2
9
2
Exemplo 3.5
Três cargas elétricas em A, B e C estão alinhadas como mostra a figura abaixo. A carga em C exerce sobre
B uma força igual a 3µN (FCB = 3x106
N). Achar a força resultante dos efeitos das cargas em A e C sobre
a carga colocada em B
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Solução
FAB e FCB são as forças de repulsão exercidas pelas cargas QA e QC sobre a carga QB. Supondo as cargas
iguais, então QA = QB = Q. Usando a lei de Coulomb para a força FAB.
213
4
29
2
9
2109
10
109
01,0
109Q
QQQ
d
QQKF
AB
BA
AB
Lei de Coulomb para a força FCB
213
4
29
2
9
210
109
109
03,0
109Q
QQQ
d
QQKF
CB
BC
CB
A relação entre as forças é dada por: 910
109213
213
Q
Q
F
F
CB
AB
NNFF CBAB
66 102710399
A força resultante é dada por
NFFF CBABR
666 10241031027
Exemplo 3.6
Nos vértices A, B e C de um triângulo retângulo, estão situadas três cargas puntiformes: Q1= 2µC, Q2 = 2
µC e Q3 = 3µC, respectivamente. Calcule a intensidade da resultante das forças que as cargas Q1 e Q2
exercem em Q3.
FAB FCB
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Solução
A força exercida pela carga Q1 sobre a carga Q3 é dada por
N
d
QQKF 6,0
3,0
1031021092
669
2
13
31
13
Força exercida pela cargaQ2 sobre a carga Q3
Nd
QQKF 6,0
3,0
1031021092
669
2
23
32
23
A intensidade da força resultante será
NFFFR 26,06,026,06,02222
23
2
13
Exemplo 3.7
Calcular a força de interação eletrostática que as cargas Q1, Q2, Q3 exercem sobre a carga Q4
Solução
F14 é a força de atração exercida pela carga Q1 sobre a carga Q4
-Q2
Q3
30 cm
30 cm
Q1
A
BC
F13
F23
FR
-Q2
Q3
30 cm
30 cm
Q1
A
BC
F13
F23
FR
Q1 = 1µC Q2 = 2µC Q3 = 3µC Q4 = 1µC
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F24 é a força de repulsão exercida pela carga Q2 sobre a carga Q4
F34 é a força de repulsão exercida pela carga Q3 sobre a carga Q4
FR1 é a força resultante de F14 e F34
N
d
QQKF 1,0
3,0
1011011092
669
2
41
14
N
d
QQKF 3,0
3,0
1011031092
669
2
43
34
NFFFR 1,03,01,0222
23
2
131
Na figura FRT é a força resultante total obtida de FR1 e F24
F24 é a força de repulsão exercida pela carga Q2 sobre a carga Q4
Nd
QQKF 2,0
23,0
1011041092
669
2
42
24
A força resultante total FRT pode ser calculada FR1 e F24
NFFF RRT10
32,01,0
222
24
2
1
1. Duas cargas puntiformes, Q1 2 = -
30 cm. Determine a força elétrica entre elas.
30cm
Q2 -Q1
Q3
Q4
30 cm
F34
F14 FR1
30cm
Q2 -Q1
Q3
Q4
30 cm
F34
F14 FR1
30cm
Q2 -Q1
Q3
Q4
30 cm
FR1
F24
FRT
30√2
30cm
Q2 -Q1
Q3
Q4
30 cm
FR1
F24
FRT
30cm
Q2 -Q1
Q3
Q4
30 cm
FR1
F24
FRT
30√230√2
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2. Duas cargas elétricas puntiformes Q1 2
entre si 0,4 m, no vácuo. Determinar a intensidade da força elétrica resultante sobre uma carga Q3 = -
C, colocada a 0,1m de B, sobre a reta AB. Considere K=9x109.
3. A intensidade da força elétrica entre duas cargas elétricas puntiformes iguais, situada no vácuo a
uma distância de 2 m uma da outra, é de 202, 5 N. Qual o valor das cargas.
4. Uma pequena esfera recebe uma carga de 40
cm de distancia , recebe uma carga de -
a. qual a força de atração entre elas?
b. Colocando as esferas em contato e afastando-as 5 cm, determine a nova força de interação elétrica
entre elas.
5. Duas cargas puntiformes Q1 2 = - -se fixadas nos pontos A e B como
mostra a figura ao abaixo.
a ) Determinar a intensidade da força resultante que atua sobre uma carga Q3
C. Considere o meio como sendo o vácuo.
b) indique por meio de vetores as forças atuantes em cada carga
6. Dois corpos puntiformes e condutores estão eletrizados com cargas de mesmo sinal e estão
separados por uma distancia r, no vácuo. Nessas condições eles se repelem com uma força elétrica de
intensidade F. É correto afirmar
a. Dobrando-se a distancia entre eles, a intensidade da força de interação eletrostática fica 4 vezes
menor;
b. Dobrando-se a quantidade de carga elétrica em cada corpo, a intensidade da força elétrica fica 4
vezes menor.
c. Se os corpos forem colocados em contato e, em seguida, retornarem à posição original, a força
elétrica entre eles passa a ser de atração.
d. Se os corpos forem colocados em contato e, em seguida, retornarem à posição original, a força
elétrica entre eles apresenta a mesma intensidade.
Exercicios complementares de revisão
Questão 1) Três Esfera A, B e C tem respectivamente 8C , 4C e 12C de cargas elétricas. Encontrar
as cargas elétricas em cada situação a seguir:
a) Se ocorrer o equilíbrio eletrostático.
b) Se num contato, a esfera C receber 40% de B e depois receber 50% de A.
Questão 2) Explique a diferença entre eletrização por indução e polarização.
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Questão 3) Três corpos, A, B e C, inicialmente neutros, foram eletrizados. Após a eletrização verifica-se
que A e B têm cargas positivas e C tem carga negativa. Assinale a alternativa que apresenta uma hipótese
possível a respeito dos processos utilizados para eletrizar esses corpos.
a) A e B são eletrizados por contato e, em seguida, C é eletrizado por atrito com B.
b) A e B são eletrizados por atrito e, em seguida, C é eletrizado por contato com B.
c) B e C são eletrizados por atrito e, em seguida, A é eletrizado por contato com B.
d) B e C são eletrizados por contato e, em seguida, A é eletrizado por atrito com B.
Questão 4) Três objetos com cargas elétricas idênticas estão alinhados como mostra a figura. O objeto C
exerce sobre B uma força igual a 3,0 x 10-6
N.
A força elétrica resultante dos efeitos de A e C sobre B é:
a) 2,0 x 10-6
N
b) 12 x 10-6
N
c) 30 x 10-6
N
d) 24 x 10-6
N
e) 6,0 x 10-6
N
Questão 5) Considerando três esferas idênticas e condutoras A, B e C. A esfera A tem 22104 elétrons
em excesso, a esfera B tem 22106 elétrons em falta e a esfera C está inicialmente neutra. Encontre a
carga em cada esfera após um contato com equilíbrio eletrostático.
XV. ( ) Analisando esta figura, conclui-se que as cargas Q1 e Q2 são respectivamente:
I. + e +
II. – e –
III. – e +
IV. – e +
Questão 6) Uma esfera metálica é eletrizada negativamente e isolada. Pode-se afirmar corretamente que
sua carga:
V. Distribui-se por todo o volume e pelas proximidades.
VI. Distribui-se uniformemente por todo seu volume.
VII. Distribui-se uniformemente pela sua superfície.
VIII. Acumula-se no seu centro.
Questão 7) Não é possível eletrizar uma barra metálica segurando-a com a mão, porque:
e) A barra metálica é isolante e o corpo humano com condutor.
f) A barra metálica é condutora e o corpo humano isolante.
g) Tanto a barra metálica quanto o corpo humano são bons condutores.
h) A barra metálica é condutora e o corpo humano semicondutor.
i) Tanto a barra metálica como o corpo humano, são isolantes.
Questão 8) Dizer que a carga elétrica é quantizada significa:
a) Que ela só pode ser positiva ou negativa.
b) Que ela só pode assumir valores múltiplos da carga fundamental.
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c) Que ela existe livre na natureza.
d) Que ela sempre existe em quantidades positivas.
e) Que ela é sempre negativa.
Questão 9) Considere três esferas condutoras, idênticas, A, B e C. A esfera A tem carga 18Q, a esfera B
está carregada com –6Q e a terceira esfera está neutra. Inicialmente, toca-se a esfera A na esfera B e,
separado-as, tocas-se a esfera B com a C. As cargas finais dessas esferas são. Respectivamente:
a) 6Q, 6Q, 6Q b) 4Q, 4Q, 4Q c) 12Q, 6Q, 3Q d) 6Q, 3Q, 3Q e)12Q, 6Q, -6Q
Questão 10) Qual dos gráficos representa a maneira com varia a força elétrica entre duas cargas puntuais
em função da distância que a separa, quando são aproximadas ou afastadas uma da outra?
Questão 11) Duas cargas elétricas positivas estão apoiadas em uma superfície horizontal sem atrito.
Inicialmente, as cargas estão em repouso e separadas por uma distância d, no vácuo. À medida em que as
cargas se afastam, os módulos da velocidade e da aceleração de cada carga terão as seguintes
modificações:
a) Velocidade aumenta, aceleração diminui.
b) Velocidade e aceleração aumenta.
c) Velocidade e a aceleração diminuem.
d) Velocidade diminui, aceleração aumenta.
e) Velocidade aumenta, aceleração permanece constante.
Questão 12) Duas esferas igualmente carregadas, no vácuo, se repelem mutuamente quando separadas a
uma certa distância. Triplicando-se a distância entre as esferas, a força de repulsão entre elas torna-se:
a) 3 vezes menor
b) 6 vezes menor
c) 9 vezes menor
d) 12 vezes menor
Questão 13) Duas cargas elétricas puntiformes Q e 2Q estão fixadas a uma certa distância d (ver figura).
Considerando-se uma 3ª carga, a força elétrica sobre ela sra nula quando ela for colocada em um
determinado ponto:
a) Do eixo e de x < 0.
b) Do eixo e de 0 < x < d.
c) Do eixo e de x > d.
d) Fora do eixo.
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e) Depende do sinal dessa 3ª carga.
Questão 14) Três objetos com cargas elétricas idênticas estão alinhados como mostra a figura. O objeto C
exerce sobre B uma força igual a 3,0 x 10-6
N.
A força elétrica resultante dos efeitos de A e C sobre B é:
a) 2,0 x 10-6
N b) 12 x 10-6
N c) 30 x 10-6
N d) 24 x 10-6
N e) 6,0 x 10-6
N
Questão 15) Nos vértices da base de um triângulo localizam-se as cargas elétricas +Q e –Q. No terceiro
vértice se encontra uma carga +q. A carga +q apresenta tendência de movimento na direção e sentido
melhor representados pela seta:
Questão 16) Qual deve ser a distância entre a carga pontual q1 = 26,0 μC e a carga pontual q2 = -47, 0 μC
para que a força eletrostática entre elas tenha uma intensidade de 5,70 N?
Questão 17) Uma carga pontual de +3,00 × 10-6
C está distante 12,0 cm de uma segunda carga pontual de
C 1050,1 6 . Calcule a intensidade da força sobre cada carga.
Questão 18) Duas partículas igualmente carregadas, mantidas a uma distância de 3,2 × 10-3
m, são soltas a
partir do repouso. Observa-se que a aceleração inicial da primeira partícula é de 7,0 m/s2
e que a da
segunda é de 9,0 m/s2. Se a massa da primeira partícula for de 6,3 X 10
-7 kg, quais serão (a) a massa da
segunda partícula e (b) a intensidade da carga de cada partícula? Lembrem-se: amF
Questão 19) Duas esferas condutoras isoladas
idênticas 1 e 2 possuem cargas iguais e estão
separadas por uma distância que é grande,
comparada com os seus diâmetros (fig.22.16a). A
força eletrostática atuando na esfera 2 devido à
esfera 1 é F . Suponha agora que uma terceira
esfera idêntica, a esfera 3, tendo um cabo isolante e
inicialmente neutra, toque primeiro a esfera 1
(fig.22.16b), depois a esfera 2 (fig.22.16c) e
finalmente seja removida (fig.22.16d). Em termos
da intensidade F , qual a intensidade da força
eletrostática ,
F que atua agora sobre a esfera 2?
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Questão 20) Na Fig. 22.17, (a) quais as
componentes horizontais e (b) quais as
componentes verticais da força eletrostática
resultante sobre a partícula carregada no canto
inferior esquerdo do quadrado se
C 1000,1q 7 e a = 5,0cm?
Questão 21) As cargas pontuais q1 e q2 estão situadas sobre o eixo x nos pontos x = -a e x = +a,
respectivamente. (a) Qual deve ser a relação entre q1 e q2 para que a força eletrostática resultante sobre a
carga pontual + Q. colocada em 2ax seja nula? (b) Repita (a), mas com a carga pontual + Q agora
colocada em 23ax .
Questão 22) Duas partículas fixas de carga q1 = +1,0 μC e q2 = -3,0 μC, estão a uma distância de 10 cm. A
que distância de cada uma das cargas deveria estar localizada uma terceira carga de modo que a força
eletrostática resultante atuando sobre ela fosse nula?
Questão 23) As cargas e as coordenadas de duas partículas carregadas mantidas fixas no plano xy são q1 =
+ 3 μC, x1=3,5 cm, y1 = 0,50 cm e q2 = -4,0 μC, x2 = -2,0 cm, y2 = 1,5 cm (a). Determine a intensidade, a
direção e sentido da força eletrostática sobre q2. De a resposta na forma de vetores unitários.Onde poderia
ser colocada uma terceira carga q3 = +4μC de tal modo que a força eletrostática resultante sobre q2 fosse
nula?
Campo Elétrico e Potencial Elétrico
Na natureza um dos tipos mais comuns de força são as forças de campo. O efeito dessas forças pode ser
sentido mesmo à distância, ainda que não haja contato entre os corpos (por exemplo a força de atração
gravitacional). Isso é possível devido a ação do campo gravitacional que transmite a força de atração
gravitacional de um corpo ao outro. Assim como corpos que tem massa criam à sua volta campos
gravitacionais, corpos eletrizados também criam em torno de si campos elétricos, cuja função é transmitir
a força elétrica de atração ou repulsão entre eles.
Prótons e elétrons se atraem, mesmo à distância, devido à ação do campo elétrico produzido por aquelas
cargas. Esse campo tem por função transmitir, de uma carga a outra, a força elétrica de atração entre elas.
A força de interação entre duas cargas pode ser tratada com a Lei de Coulomb.
3.5.1 – Definição de campo elétrico
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Em uma região ao redor de uma carga elétrica Q, onde, qualquer outra carga elétrica de prova q é
colocada, nessa região a carga q sofrerá a ação de uma força elétrica F exercida pela carga Q (Fig. 3.7).
Fig. 3.7 – A carga Q exerce uma força sobre a carga de prova q.
Podemos expressar essa observação como: Eq
F ( E : campo elétrico).
A força exercida pela carga Q sobre a carga de prova q pode ser expressa por:
q
FE
q
FlimE 0 q (3.10)
Pela lei de Coulomb: 2r
4
1F
o
2r
Q
4
1E
o (3.11)
É a intensidade do campo elétrico criado pela carga Q. O módulo ou intensidade do campo elétrico, no
sistema SI, é medido em N / C (Newton/Coulomb), [E]: N/C. Como o campo elétrico é um vetor,
ro
ˆr
Q
4
1E
2
(3.12)
r̂ : vetor unitário na direção da força F. Na Fig. 3.8 observa-se F vs. r.
Direção do campo elétrico A mesma da força F
Sentido Afastamento em relação à carga-fonte, se esta for positiva; e aproximação se a carga-fonte for
negativa.
Q: carga geradora
q: carga de prova
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Fig. 3.8 – Variação da intensidade do campo elétrico em função da distância
+
+carga de prova q
carga fonte Q
EF
+
+carga de prova q
carga fonte Q
EF
+
_carga de prova q
carga fonte Q
E
F
+
_carga de prova q
carga fonte Q
E
F
_
+
carga de prova q
carga fonte Q
E
F_
+
carga de prova q
carga fonte Q
E
F
_
_carga de prova q
carga fonte Q
E
F
_
_carga de prova q
carga fonte Q
E
F
Figura 3.9 – Direção e sentido da força e do campo elétrico entre a carga fonte Q e a carga de prova q.
As figuras 3.9 a,b, c e d, ilustram a direção e o sentido do vetor campo elétrico e força elétrica devido a
uma carga fonte positiva e negativa.
Sobre as cargas fonte:
O campo elétrico causado por cargas fonte positiva +Q diverge delas, independente do sinal da carga de
prova q.
O campo elétrico causado por cargas fonte negativa – Q converge para elas, independente do sinal da
carga de prova q.
3.5.2 – Linhas de força
Para indicarmos o sentido e a direção do campo elétrico, podemos usar linhas imaginárias que indicam a
presença de campo elétrico em certas regiões do espaço, essa linhas são denominadas linhas de força
(Fig. 3.10)
a) b)
c)
d)
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Fig. 3.10 – Linhas de força de cargas elétricas puntiformes.
Na região onde as linhas de força estão mais próximas o campo é mais intenso do que na região onde elas
estão mais afastadas. Se, em todos os pontos de certa região o campo elétrico tem a mesma direção,
sentido e módulo, podemos dizer que o campo elétrico nessa região é uniforme. Nesse caso, as linhas de
força são retas e paralelas.
3.5.3 – Campo elétrico gerado por cargas elétricas puntiformes
Consideremos, agora, o caso em que o campo elétrico (E) no ponto P é criado por uma carga Q. Se a carga
fonte for positiva, o campo elétrico será de afastamento (Fig. 3.11a). Se a carga for negativa, o campo
elétrico será de aproximação (Fig. 3.11b).
Fig. 3.11 – Campo elétrico E criado por uma carga puntiforme Q no ponto P.
Para calcular o módulo do vetor campo elétrico, num ponto P, localizado a uma distância r da carga fonte
Q, se pode usar a relação:
24
1
r
QE
o (3.13)
Q
+
PE
r
Q
+
PE
r
Q
_
P
Er
Q
_
P
Er
a) b)
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Quando um corpo se encontra eletrizado gera um campo elétrico à seu redor. Cada ponto do campo
elétrico é caracterizado por um vetor. Toda e qualquer carga colocada num desses pontos permanecerá
subordinada a uma força elétrica. A carga Q gera um campo elétrico no espaço em torno dela e esse
campo elétrico é responsável pela força elétrica que atua em qualquer carga q (Fig 3.12).
Fig. 3.12 – Campo elétrico criado pela carga Q nos pontos A1 e A2.
Neste caso o campo elétrico resultante é dado por:
2
2
2
1
214
1
r
Q
r
QEEE
o, (3.14)
No caso de n cargas puntiformes Q, o campo elétrico resultante pode ser expresso como:
2
1
3214
1....
i
i
o
n
i
inr
QEEEEEE
, (3.15)
Para uma distribuição de carga dq o campo elétrico pode ser expresso por:
rr
dqE
o
ˆ4
12
(3.16)
Exemplo 3.8
Determinar a intensidade, a direção e o sentido do vetor campo elétrico no ponto P nos casos mostrados
nas figuras abaixo. dados: Q = 2µC, r = 1m
a) P
rr
r r r
P
+ Q -Q + Q -Q
b)
horizontal
a) P
rr
r r r
P
+ Q -Q + Q -Q
b)
horizontal
A2A2
r2 r1
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Solução
O campo elétrico é dado por:
2
2
2
1
214
1
r
Q
r
QEEE
o
onde: )/(1094
1 229 CmNKo
a)
222
2
4
1
4
1
r
Q
r
Q
r
QE
oo
CCE 3610361
1022109 6
2
69
b) 04
1
4
1222
r
Q
r
Q
r
QE
oo
3.6 – Potencial elétrico
O campo elétrico (uma grandeza vetorial) pode também ser descrito em termos de uma grandeza escalar, o
potencial elétrico V. Para definir o potencial num ponto qualquer (P), tem-se que escolher arbitrariamente
um ponto como tendo potencial nulo. A diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B de uma
região que possui um campo elétrico E é definida como sendo: o trabalho (WAB) necessário para
deslocar uma carga unitária q de A até B, ou seja,
q
WVV AB
BA (3.17)
O potencial é uma grandeza já conhecida, pois a tensão (ou voltagem) utilizada em sua casa para fazer
funcionar seus equipamentos eletro-eletrônicos nada mais é do que uma diferença de potencial elétrico
(ou, simplesmente, ddp). Portanto, são as diferenças de potencial que nos interessam.
O potencial elétrico será igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga unitária desde o infinito até
o ponto considerado no campo elétrico. Já o vetor intensidade de campo elétrico E é definido em termos da
forca elétrica atuando sobre q. Utilizando estas duas definições podemos chegar a uma equação que
expressa a relação existente entre a diferença de potencial elétrico e E:
B
A
BA ldEVV
(3.18)
P
r
r+ Q -Q
E1
E2
EP
r
r+ Q -Q
E1
E2
E
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Vamos considerar um sistema composto por duas placas metálicas paralelas carregas com cargas elétricas
opostas (Fig. 3.13). O campo elétrico gerado por as duas placas metálicas carregadas pode ser expresso
por:
r
VE AB (3.19)
Fig. 3.13 – Campo elétrico E criado por duas placas paralelas carregadas.
A diferença de potencial será dada por:
B
A
BA rEldEVV
rEVAB
Como 24
1
r
QE
o , podemos expressar a diferença de potencial da forma:
r
QV
o
AB4
1
Se quisermos chegar ao conceito de potencial em um ponto, basta supor que o outro ponto está no início, e
arbitrariamente atribuir valor zero ao potencial no infinito. Em geral o potencial elétrico num ponto P pode
ser definido como:
r
QPV
o4
1)( (3.20)
O potencial elétrico, no sistema SI, é medido em J / C = V (Joule/Coulomb= Volt), [V]: J/C =V
O potencial no ponto P, a uma distância r da carga q, é de acordo com a eq. (3.20)
r rr
P EdlEdlldEVV cos
(3.21)
Como drdl , 0V , e E é dado pela expressão (4.4), mostra-se facilmente que
r
QrV
o4
1)( (3.22)
O potencial devido a um grupo de cargas puntiformes pode ser encontrado através do principio de
superposição
VA
VB
r
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n
i
n
i i
i
o
ir
QVV
1 14
1
(3.23)
Pontos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial. O trabalho
realizado por um campo elétrico sobre uma partícula quando ela se move entre dois pontos localizados
sobre a mesma equipotencial é nulo.
Levando em conta o principio de superposição, podemos estabelecer uma expressão para o potencial
eletrostático V(r) devido uma distribuição geral de cargas (discreta, continua volumétrica, superficial,
linear).
i
n
ii
i
o rr
dQ
rr
QrV ´
1
4
1)(
(3.24)
Exemplo 3.9
Determinar o potencial elétrico no ponto P, devido às cargas puntiformes Q1, Q2 e Q3, cujos valores são 2
C, 5 C e -4 C, respectivamente.
O potencial total no sistema é dado por: )()()()( 321 PVPVPVPV
V
x
r
QPV
o
469
1
11 106
3,0
102109
4
1)(
V
x
r
QPV
o
469
2
22 109
5,0
105109
4
1)(
V
x
r
QPV
o
469
3
33 109
4,0
10)4(109
4
1)(
O potencial total será:
VVVVPV 4444 106109109106)(
40cm
Q2 Q1
Q3 P
30 cm
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Questão 1) Na Figura 1, as linhas de campo elétrico na esquerda possuem uma separação que é o dobro da
separação à direita. (a) Se a intensidade do campo em A for de 40 N/C, que força atua sobre um próton em
A? (b) Qual é a intensidade do campo em B?
Questão 2) Qual a intensidade de uma carga pontual que criaria um campo elétrico de 1,00 N/C em pontos
afastados de 1,00 m?
Questão 3) Qual a intensidade de uma carga pontual cujo campo elétrico a uma distância de 50 cm possui
a intensidade de 2,0 N/C?
Questão 4) Duas partículas de mesma intensidade de carga 2,0 x 10-7
C, mas de sinais contrários, são
mantidas a 15 cm uma da outra. Quais a intensidade, a direção e o sentido de E no ponto localizado no
ponto médio entre as cargas?
Questão 5) Um átomo de plutônio-239 possui um núcleo com raio de 6,64 fm e número atômico Z=94.
Supondo que a carga positiva está distribuída uniformemente no interior do núcleo, quais a intensidade, a
direção e o sentido do campo elétrico na superfície do núcleo devidos à carga positiva?
Lembre-se: Q = n · e
Questão 6) Duas cargas pontuais, q1= 2,1 x 10-8
C e q2= - 4,0q1, são fixadas com uma separação de 50 cm.
Encontre o ponto ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas no qual o campo elétrico se anula.
Questão 7) (a) Na Figura 2, duas cargas pontuais fixas q1= - 5q e q2=+2q estão separadas por uma
distância d. Localize o ponto (ou pontos) onde o campo elétrico resultante devido às duas cargas se anula.
(b) Esboce as linhas do campo elétrico resultante qualitativamente.
Questão 8) Na Figura 3, qual a intensidade do campo elétrico no ponto P devido às quatro cargas pontuais
mostradas?
Fig. 3 – Exercício 8 Fig. 4 – Exercício 9 Fig. 5 – Exercício 10
Questão 9) Calcule a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico no ponto P da Figura 4 devido
às três cargas pontuais.
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Questão 10) Quais a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da Figura
5 se q = 1,0 x 10-8
C e a = 5,0 cm?
Questão 11) Calcule o momento de dipolo elétrico de um elétron e um próton distantes 4,30 nm um do
outro.
2. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS
A corrente elétrica é um fluido descontinuo devido a energia ser passado de um corpo para outro em
pacotes quânticos (discretos) devido o deslocamento dos elétrons (no metais) quando submetidos por uma
diferença de potencial elétrico (ddp).
Nos metais a corrente é devido o deslocamento dos elétrons.
Nos líquidos e gases a corrente elétrica é devido à presença e deslocamento dos íons.
A quantidade de corrente i, é a razão entre a quantidade de carga Q(positiva) que passa na secção reta
de um condutor num intervalo de tempo t e é calculada por:
t
Qi
O sentido convencional da corrente é o sentido que as cargas positivas se moveriam, do maior para o
menor potencial. É o sentido convencional que iremos usar nos problemas da física.
O sentido Real é o sentido de deslocamento dos elétrons, do menor para o maior potencial.
No SI, a corrente elétrica é dada em Ampare (A). s/CA 11 .
A Densidade De Corrente Elétrica é a razão entre a quantidade de corrente i e a área A, do condutor
e é dada por: A
iJ . No SI, a densidade é dada por A/m
2.
3. RESISTÊNCIA DE UM CONDUTOR: é a dificuldade de deslocamento que um condutor R
oferece à movimentação das cargas elétricas. A resistência R entre duas superfícies equipotenciais
quaisquer de um condutor é definida como:
i
VR
onde V é a ddp e i a corrente.
A unidade da resistência elétrica é o ohm(Ω): 1 Ω = 1 V/A.
4. RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE: em um condutor de comprimento L e área de secção reta A, e
resistividade ρ é dada pela expressão: A
LR . A resistividade em um material é a razão entre o campo
elétrico (E) e a densidade de corrente (J). J
E . Já a condutividade é o inverso da resistividade.
1
ou E
J .
Resistividade de Alguns Materiais
Material Resistividade (Ω.m)
Prata (Metais=M) 81061 x,
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Cobre (M) 81071 x,
Alumínio (M) 81072 x,
Ferro (M) 81079 x,
Tungstênio (M) 81025 x,
Silício puro (semicondutor) 31052 x,
Vidro (isolantes) 241001 x,
RESISTORES
O QUE É UM RESISTOR: Os resistores são elementos que apresentam resistência à passagem de
eletricidade. Podem ter uma resistência fixa ou variável. A resistência elétrica é medida em ohms.
Chama-se de Resistência a oposição à passagem de corrente elétrica.. Quanto maior a resistência, menor é
a corrente elétrica que passa num condutor.
REPRESENTAÇÃO DO RESISTOR: A representação do resistor pode ser dada de duas formas, tanto
como um “retângulo” ou um “zig-zag “ :
O "retângulo" com terminais, é uma representação simbólica para os resistores de valores fixos tanto na
Europa como no Reino Unido; a representação em "linha quebrada" (zig-zag) é utilizda nas Américas e
Japão. Apesar disso, nas ilustrações eletrônicas brasileiras (de revistas etc.) opta-se pelo "retângulo",
talvez por simplicidade do desenho. Nos livros de Física publicados no Brasil, em geral, usam-se do "zig-
zag" (linha quebrada).
FUNÇÃO DE UM RESISTOR: Na prática, os resistores limitam a intensidade de corrente elétrica
através de determinados componentes.
Resistores de valores fixos: A ilustração mostra detalhes construtivos de um resistor de filme de carbono
(carvão):
Durante a construção, uma película fina de carbono (filme) é depositada sobre um pequeno tubo de
cerâmica. O filme resistivo é enrolado em hélice por fora do tubinho até que a resistência entre os dois
extremos fique tão próxima quanto possível do valor que se deseja. São acrescentados terminais (um em
forma de tampa e outro em forma de fio) em cada extremo e, a seguir, o resistor é recoberto com uma
camada isolante. A etapa final é pintar faixas coloridas transversais para indicar o valor da resistência.
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CÓDIGO DE CORES: Os valores Ôhmicos do resistor podem ser reconhecidos através das faixas
coloridas, pintadas em seu corpo. As cores e suas posições revelam os valores , veja a equivalência de cada
cor na tabela. abaixo :
A primeira faixa é interpretada como o primeiro dígito do valor ôhmico da resistência do resistor. No
exemplo acima, a primeira faixa é amarela, assim o primeiro dígito é 4. A segunda faixa dá o segundo
dígito.Essa é uma faixa violeta, então o segundo dígito é 7. A terceira faixa é chamada de multiplicador e
não é interpretada do mesmo modo. O número associado à cor do multiplicador nos informa quantos
"zeros" devem ser colocados após os dígitos que já temos. Aqui, uma faixa vermelha nos diz que devemos
acrescentar 2 zeros. O valor ôhmico desse resistor é então 4 7 00 ohms, quer dizer, 4 700W ou 4,7 kW .
Se houver a existência de uma quarta faixa, um pouco mais afastada das outras três, é a faixa de
tolerância. Ela nos informa a precisão do valor real da resistência em relação ao valor lido pelo código de
cores. Isso é expresso em termos de porcentagem. A maioria dos resistores obtidos nas lojas apresentam
uma faixa de cor prata, indicando que o valor real da resistência está dentro da tolerância dos 10% do
valor nominal. A codificação em cores, para a tolerância é a seguinte:
MARROM ------------------- 1% (+ ou -) OBS .: A ausência de uma quarta
VERMELHO ---------------- 2% (+ ou -) faixa, indica uma tolerância de 20%
OURO ------------------------ 5% (+ ou -)
PRATA ----------------------- 10% (+ ou -)
Nosso resistor apresenta uma quarta faixa de cor OURO. Isso significa que o valor nominal que
encontramos 4 700W tem uma tolerância de 5% para mais ou para menos. 5% de 4700 W são 235 , então
o valor real do resistor poderia ser qualquer um entre 4465 e 4935.
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Para resistores com valores ôhmicos nominais entre 1 ohm e 10 ohms, a cor do multiplicador é mudada
para OURO. Por exemplo, as cores marrom, preto e ouro indicam um resistor de resistência 1 ohm
(valor nominal).
Outro exemplo, as cores vermelho, vermelho e ouro indicam uma resistência de 2,2 ohms
Exercícios 1
1. Numa região do ar passam 16104x elétrons vindos das nuvens (devido aos acúmulos de cargas em um
dia chuvoso) em um intervalo de 6102 x s. Qual é a corrente elétrica?
2. Na secção reta de um fio metálico passam 20C de carga em 4 segundos. Então a corrente elétrica será
de:
a) 20A. b) 6A. c) 5A. d)
80A.
3. Uma corrente de 20 A passa em uma lâmpada. Num intervalo de 20 microssegundos quantos elétrons
estão passando no resistor da lâmpada?
4. Um chuveiro ligado a 120 volts permite passar uma corrente de 30 Amperes. Qual é o valor da
resistência elétrica no resistor do chuveiro?
5. Um resistor de 20Ω ligado a 100V tem corrente de quantos amperes?
6. 2 000 000 íons positivos passam em uma solução salina durante 4 000 segundos. Qual é a corrente
nessa solução?
7. uma corrente de 120A percorre um conjunto de resistores de resistência equivalente a 360Ω. Encontre
a ddp do circuito.
8. Uma barra metálica condutora de 2m de comprimento, 2cm de altura e 4cm de largura é percorrida por
uma corrente de 50 A quando ligada a uma diferença de potencial de 400 V.
a) Encontre a densidade da corrente elétrica.
b) Encontre a resistência do material.
9. Um fio metálico de raio R=0,2cm condutor ligado a uma ddp de 100 V e resistência R = 5Ω deve ter
a densidade de corrente de quantos Amperes por metros quadrados?
10. Uma corrente de 60 Amperes percorre um fio de área A e a densidade de corrente é de 3 A/m2. Qual é
a área do fio?
5. A LEI DE OHM:
A corrente fluindo através de um dispositivo é diretamente proporcional à diferença de potencial
aplicada ao dispositivo.
O dispositivo obedece a Lei de Ohm quando sua resistência é independente do valor da polaridade da
ddp aplicada.
A resistividade não depende do vetor campo.
Os espalhamentos eletrônicos produzem calor.
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Circuito Simples Gráfico 1: Lei de Ohm Gráfico 2: Lei de Ohm
(Direito.C.L. -97) Considerando uma lâmpada incandescente, de 60 watts e 120 volts, todas as afirmativas
estão corretas, exceto:
a. a lâmpada converte em 1,0h cerca de 2,2 x 105 joules de energia elétrica em luz e calor
b. a resistência elétrica da lâmpada acesa vale 2,4 x 102
.
c. a potência elétrica dissipada pela lâmpada, sob uma tensão de 90 volts, é menor dom que 60 watts.
d. a resistência da lâmpada é a mesma, quer esteja acesa, quer esteja apagada.
e. a intensidade da corrente, na lâmpada acesa, é de 0,50 A.
2. (Direito.C.L. -96) Uma barra de certo metal tem resistência R. Se fundirmos esta barra e, com o mesmo
material, construirmos outra, de comprimento duplo, ela terá uma resistência:
a. R/2
b. R
c. 2R
d. 4R
e. 8R
3. (UNIPAC 97) Com um fio de material ôhmico e 3,5 m de comprimento pode-se construir uma
resistência elétrica de 10,5W . Se utilizarmos 7,0 m deste mesmo fio e o submetermos a uma diferença de
potencial de 42 volts, pode-se afirmar que será percorrido por uma corrente igual a:
a. 1,0A
b. 2,0A
c. 3,0A
d. 4,0A
4. (UFMG 97) Uma lâmpada fluorescente contém em seu interior um gás que se ioniza após aplicação de
alta tensão entre seus terminais. Após a ionização, uma corrente elétrica é estabelecida e os íons negativos
deslocam-se com uma taxa de 1,0 x 1018
íons/segundo.
Sabendo-se que a carga de cada íon positivo é de 1,6 x 10-19
C, pode-se dizer que a corrente elétrica na
lâmpada será:
a. 0,16 A
b. 0,32 A
c. 1,0 x 1018
A
d. nula.
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5. (FUNREI 97) Um chuveiro elétrico, ligado em 120V, é percorrido por uma corrente elétrica de 10A,
durante de 10 minutos. Quantas horas levaria uma lâmpada de 40W, ligada nesta rede, para consumir a
mesma energia elétrica que foi consumida pelo chuveiro?
a. 6 horas
b. 5 horas
c. 4 horas
d. 3 horas
6. (PUC RS 98) Um condutor elétrico tem comprimento L, diâmetro D e resistência elétrica R. Se
duplicarmos seu comprimento e diâmetro, sua nova resistência elétrica passará a ser
a. R
b. 2R
c. R/2
d. 4R
e. R/4
7. (PUC RS 98) Se a resistência elétrica de um chuveiro é reduzida à metade, mantendo-se constante a
vazão, a temperatura da água
a. aumenta, porque aumenta a corrente.
b. aumenta, porque diminui a corrente.
c. diminui, porque diminui a corrente.
d. permanece a mesma, porque a potência não foi alterada.
e. permanece a mesma, porque a tensão não foi alterada.
8. (PUC RS 98) Um automóvel possui uma bateria de 12V de força eletromotriz . Quando a chave de
ignição do automóvel é acionada, a bateria fornece uma corrente elétrica de 60A, durante 2s, ao motor de
arranque. A energia fornecida pela bateria, em joules, é de
a. 360
b. 720
c. 1000
d. 1440
e. 2000
9. (UFMG 99). Duas lâmpadas foram fabricadas para funcionar sob uma diferença de potencial de 127 V.
Uma delas tem potência de 40 W, resistência R1 e corrente i1 . Para a outra lâmpada, esses valores são,
respectivamente, 100 W, R2 e i2 .
Assim sendo, é CORRETO afirmar que
a. R1 < R2 e i1 > i2.
b. R1 > R2 e i1 > i2.
c. R1 < R2 e i1 < i2.
d. R1 > R2 e i1 < i2.
10. (UFMG 99) A figura mostra um cabo telefônico. Formado por dois fios, esse cabo tem comprimento
de 5,00 km.
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Constatou-se que, em algum ponto ao longo do comprimento desse cabo, os fios fizeram contato elétrico
entre si, ocasionando um curto-circuito. Para descobrir o ponto que causa o curto-circuito, um técnico
mede as resistências entre as extremidades P e Q, encontrando 20,0 R e S,
Com base nesses dados, é CORRETO afirmar que a distância das extremidades PQ até o ponto que causa
o curto-circuito é de
a. 1,25 km.
b. 4,00 km.
c. 1,00 km.
d. 3,75 km.
11. Um ferro elétrico de resistência R consome uma potência elétrica P quando ligado a uma rede de
220V. Para que outro ferro ligado a uma rede de 110V consuma a mesma potência P, ele deve ter
resistência R’ tal que
a.
b.
c.
d.
e.
12. Uma lâmpada tem as seguintes especificações: 127 V - 100 W. Se esta lâmpada é acesa durante 30
dias, 24 horas por dia, a energia elétrica consumida será:
a. 100 kwh
b. 86,4 kwh
c. 127 kwh
d. 72 kwh
e. 12,7 kwh
13. (PUC MG 98) Um condutor é formado por três seções cilíndricas de mesmo comprimento e raios,
respectivamente, R , 2R e 3R.
Sendo VAD a diferença de potencial aplicada ao conjunto e i1, i2 e i3 as correntes em cada seção, é
CORRETO dizer que:
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a. i1 = i2 = i3 , VAB = VBC = VCD
b. i1 > i2 > i3 , VAB > VBC > VCD
c. i1 = i2 = i3 , VAB > VBC > VCD
d. i1 = i2 = i3, VAB < VBC < VCD
e. i1 < i2 < i3 , VAB < VBC < VCD
14. (PUC MG 98) O gráfico abaixo representa a variação de uma corrente i que passa através de um
condutor ôhmico.
Nesse caso o gráfico da diferença de potencial V em função do tempo é:
15. (PUC MG 98) Um condutor é formado por três seções cilíndricas de mesmo comprimento e raios,
respectivamente, R , 2R e 3R.
Sendo VAB a diferença de potencial aplicada ao conjunto e P1, P2 e P3 as potências dissipadas em cada
seção, é CORRETO dizer que:
a. P1 = P2 = P3
b. P3 > P2 > P1
c. P1 > P3 > P2
d. P2 > P3 > P1
e. P1 > P2 > P3
16. (PUC MG 98) Um condutor ôhmico é submetido a uma diferença de potencial que varia em função do
tempo como mostrado no gráfico abaixo:
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Nessas condições, assinale a opção cujo gráfico
representa a variação da corrente (eixo vertical) com o
tempo (eixo horizontal):
17. (UFJF 2000) Uma lâmpada é fabricada para dissipar a potência de 100W quando alimentada com a d.
d. p. de 120V. Se a lâmpada for ligada numa d. d. p. de 127 V, então:
a. a potência dissipada aumentará cerca de 12%;
b. a corrente que a percorre não mudará;
c. a sua resistência elétrica diminuirá cerca de 18%;
d. a corrente que a percorre diminuirá, mantendo a potência inalterada.
18. (UFJF 99) Um chuveiro elétrico ligado a uma d. d. p. de 110 V possui uma resistência de
comprimento L. O mesmo chuveiro, ligado à mesma d. d. p., mas com a resistência de comprimento L/2
terá uma potência dissipada
a. 4 vezes maior;
b. 4 vezes menor;
c. 2 vezes maior;
d. 2 vezes menor.
19. ( UFMG 98) A conta de luz de uma residência indica o consumo em unidades de kWh (quilowatt-
hora).
kWh é uma unidade de
a. energia.
b. corrente elétrica.
c. potência.
d. força.
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20. (UFMG 99) Nesta questão, realize os cálculos como se a corrente elétrica nas residências fosse
contínua.
a) Um chuveiro elétrico tem uma chave seletora que altera o comprimento de seu resistor. Essa chave tem
duas posições: Água quente e Água morna.
Em qual das duas posições o resistor tem maior comprimento? JUSTIFIQUE sua resposta.
b) Considerando que esse chuveiro tem uma potência de 4400 W quando ligado a uma rede elétrica de 110
V, CALCULE sua resistência elétrica.
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
d d b b b c a d d c a d c c c b a c a a) morna, maior comprimento, maior resistência,
menor potência dissipada, menos calor. b) 2,75W
6. POTÊNCIA ELÉTRICA: é a taxa de transferência da energia térmica que um resistor permite
quando percorrido por uma corrente (i) ligada a uma ddp.
i.VPt
V.q
t
U
tempo
energiaP AB
AB
No SI, a potencia é dada em Watt. 1W = 1 J/s.
A corrente elétrica ao passar por um resistor R dissipa energia a uma taxa dada por;
RiP)Ri.(iPiVP2 ou
R
VP
2
7. ENERGIA ELÉTRICA EM CIRCUITOS: uma carga Q produz em seu redor um campo elétrico e
pode ser detectado um potencial V. d
kQV
q
d.d
kQq
Vq
d.F
q
WV
2
A relação trabalho e energia fica: q.VUW
Num conjunto de cargas a energia elétrica das cargas puntiformes é a soma das energias de cada carga.
NN U...UUUU 321
Para um resistor de resistência R e potencia P, percorrido por uma corrente i e ligado a uma ddp V a
energia U é dada por:
t.i.VUVit
UiVP
O custo da energia elétrica é calculado sabendo a energia gasta mensalmente (em kWh) pelo preço de um
kilowatts.
.Energia Potência tempo E pt .
Logo, o custo será, ( )Custo Energia preço kWh C E preço
8. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES-CIRCUITOS: Os resistores circundam o nosso dia a dia. As
lâmpadas, os motores elétricos, rádios, tvs, eletrodomésticos, computadores, apresentam a propriedade de
resistência a corrente elétrica. E esses dispositivos são encontrados na forma de circuitos de duas
maneiras: Circuitos em Série e Circuitos em Paralelo.
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Resistores em Serie: a resistência equivalente a todo o circuito é a soma das demais resistências.
OBS:As ddp em cada resistor são diferentes.
RiV
III
VVVV
321
321
332211 IRIRIRRI
para 321 III temos;
NEq R...RRRR 321 .
Resistores em paralelo: o inverso da resistência equivalente em todo o circuito é a soma do inverso de
cada resistência. As ddp em cada resistor são iguais.
1 21 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1V V ( )
V VV VV V RI I I I V V
R R R R R R
21
21
RR
R.RR
ou
3221EqR
1...
R
1
R
1
R
1
R
1
EXERCÍCIOS 2
1) Quatro resistores de 40Ω cada estão associados em série e ligados a 20 volts. a) qual é a resistência
equivalente? b) Qual é a corrente no circuito?
2) um circuito formado por 12 resistores de 2 Ω cada é percorrido por uma corrente de 6 A. Qual a ddp
do circuito?
3) Um fio de cobre com 100 m de comprimento e diâmetro de 6 mm é usado para fazer uma fiação
elétrica de uma residência. a) Qual é a resistência no fio? b) qual é a corrente que o fio permite passar ao
ser ligado a 120 V? c) Qual é a potência máxima de energia dissipada no fio?
4) Um fio de comprimento L, resistividade ρ e área A, é ligado a uma ddp V. a) Se o comprimento do fio
for reduzido à metade e mantendo a mesma área, qual será a nova resistência? b) Se o comprimento do fio
for dobrado e ser raio for reduzido à metade, qual será a nova resistência?
5) Um chuveiro elétrico, de uma residência, é ligado a uma ddp de 120V, e percorrido por uma corrente
de 40 A.
A) Qual é a potencia do chuveiro?
B) Qual é a corrente do chuveiro?
C) Qual é o valor da resistência elétrica no resistor do chuveiro?
6) Nos circuitos abaixo encontrar a resistência equivalente se cada resistor vale 8 Ω.
CIRCUITOS
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9. Circuitos – Regras de Resolução: a partir da figura abaixo vamos analisar as seguintes regras de
resolução de um circuito. Obs: os sentidos das correntes são escolhidos arbitrariamente.
1 2
1R
3R 2
R1i 3
i2i
b
d Regra da Corrente: A partir do nó d. Como a carga é levada para o nó pelas correntes i1 e i3, e é retirada
desse nó por i2, não há aumento nem diminuição da carga. Logo,
231 iii
Regra das malhas: a soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha
fechada de qualquer circuito deve ser NULA.
0iR
Regra da resistência: Percorrendo-se um resistor no sentido da corrente, a variação do potencial é Ri ;
no sentido oposto é Ri . Num análogo gravitacional: andando correndo abaixo num riacho, nossa
elevação diminui; andando-se corrente acima ela aumenta.
Ri VV ab
Regra da Força Eletromotriz (fem): Percorrendo-se um dispositivo no sentido ideal de fem no sentido
da seta da fem, a variação no potencial é + ; no sentido oposto é - .
VV AB
Regra dos Nós: A soma das correntes que chega a qualquer nó deve ser igual à soma das correntes que
saem de qualquer nó.
Partindo do ponto b no e passado em abd no circuito abaixo:
0RiRi 33111 (malha da esquerda)
Partindo de b passando por bdc no circuito abaixo obtemos:
0RiRi 22233 (malha da direita)
EXERCÍCIOS 3
1. No circuito abaixo, encontre a resistência equivalente e a corrente no circuito.
5
5
5
5 520 V
10 V
2. Se E for invertida, qual será a corrente no circuito anterior?
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3. Dada a rede elétrica figurada:
V10
V142
3
4
1V13
Determine:
a) a intensidade da corrente elétrica que circula em torno dos ramos;
b) a ddp entre os ramos A e B;
4. No circuito seguinte, a intensidade de corrente i1, vale 0,2 A. Determine i2, i3 e R3.
V31
5R1 5R
3
5R2
3i
1i 2
i
V52
5. No circuito a seguir são dados os sentidos e as intensidades das correntes nos ramos.
4
1
5
v36A
B
E
1A 3A
2A
A força eletromotriz E do gerador de resistência 2Ω, inserindo entre os pontos A e B, é de:
a) 6V b) 12V c) 24V d) 30V e) 36V.
10. CAPACITORES:
Capacitores ou Condensadores
Capacitores ou condensadores são elementos elétricos capazes de armazenar carga elétrica e,
conseqüentemente, energia potencial elétrica.
Podem ser esféricos, cilíndricos ou planos, constituindo-se de dois condutores denominados armaduras
que, ao serem eletrizados, num processo de indução total, armazenam cargas elétricas de mesmo valor
absoluto, porém de sinais contrários.
O capacitor tem inúmeras aplicações na eletrônica, podendo servir para armazenar energia elétrica,
carregando-se e descarregando-se muitas vezes por segundo. Na eletrônica, para pequenas variações da
diferença de potencial, o capacitor pode fornecer ou absorver cargas elétricas, pode ainda gerar campos
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elétricos de diferentes intensidades ou muito intensos em pequenos volumes.
2. Capacitor Plano
É constituído por duas placas iguais, planas e paralelas que, ao serem conectadas a um gerador, adquirem
cargas elétricas, como mostra a figura.
O símbolo do capacitor é constituído por duas barras iguais e planas que representam as armaduras do
capacitor plano.
Qualquer que seja o tipo de capacitor, sua representação será a mesma do capacitor plano.
Quando as placas das armaduras estão eletricamente neutras, dizemos que o capacitor está descarregado.
Ao conectarmos o capacitor a um gerador, ocorre um fluxo ordenado de elétrons nos fios de conexão, pois
inicialmente há uma diferença de potencial entre a armadura e o terminal do gerador ao qual está ligada.
Na figura ao lado, a armadura A tem, inicialmente, potencial elétrico nulo e está conectada ao terminal
positivo da pilha; logo, os elétrons migram da armadura para a pilha, já a armadura B, que também tem
potencial elétrico nulo, está conectada ao terminal negativo da pilha, e assim elétrons migram do terminal
da pilha para a armadura B.
Acontece que, enquanto a armadura A está perdendo elétrons, ela está se eletrizando positivamente e seu
potencial elétrico está aumentando; o mesmo ocorre na armadura B, só que ao contrário, ou seja, B está
ganhando elétrons, eletrizando-se negativamente, e seu potencial elétrico está diminuindo.
Esse processo cessa ao equilibrarem-se os potenciais elétricos das armaduras com os potenciais elétricos
dos terminais do gerador, ou seja, quando a diferença de potencial elétrico (ddp) entre as armaduras do
capacitor for igual à ddp nos terminais do gerador, e nesse caso dizemos que o capacitor está carregado
com carga elétrica máxima.
Num circuito, só há corrente elétrica no ramo que contém o capacitor enquanto este estiver em carga ou
em descarga.
3. Capacidade ou Capacitância de um Capacitor
A carga elétrica armazenada em um capacitor é diretamente proporcional à diferença de potencial elétrico
ao qual foi submetido.
Assim sendo, definimos capacidade eletrostática C de um capacitor como a razão entre o valor absoluto da
carga elétrica Q que foi movimentada de uma armadura para outra e a ddp U nos seus terminais.
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Na verdade os capacitores são dispositivos que servem para armazenar cargas elétricas. Os capacitores
são construídos basicamente com duas placas condutoras de área A, separadas a uma distancia d. Quando
ligamos os terminais de um capacitor em uma bateria (ddp), adquire uma carga Q. A carga em um
capacitor é dada por;
CVQ
onde; C é capacitância no capacitor. No SI, a capacitância é dada em Faraday (F). 1F=C/V.
Figuras de Capacitores
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A capacidade eletrostática de um capacitor depende da forma e dimensões de suas armaduras e do
dielétrico (material isolante) entre as mesmas.
A unidade de capacidade eletrostática, no Sistema Internacional de Unidades (SI), é o farad (F).
4. Energia Armazenada
O gráfico abaixo representa a carga elétrica Q de um capacitor em função da ddp U nos seus terminais.
Como, nesse caso, Q e U são grandezas diretamente proporcionais, o gráfico corresponde a uma função
linear, pois a capacidade eletrostática C é constante.
Considerando que o capacitor tenha adquirido a carga Q quando submetido à ddp U do gráfico, a energia
elétrica Welétr armazenada no capacitor corresponde à área do triângulo hachurado.
ENERGIA EM CAPACITORES a energia U em um capacitor de capacitância C, ligado a uma ddp V é
verificada em:
q.VUW como CVQ então, C2
QU
2
energia potencial ou 2
21 CVU
Exercícios Resolvidos
01. Carrega-se um capacitor de capacidade eletrostática 5 µF com carga elétrica de 20 µC. Calcule a
energia potencial elétrica armazenada no capacitor.
Resolução : Calculando a ddp U nos terminais do capacitor:
Calculando a energia elétrica armazenada:
02. Um capacitor armazena 8 · 10–6 J de energia elétrica quando submetido à ddp U. Dobrando-se a ddp
nos seus terminais, a energia armazenada passa a ser:
a) 1 · 10–6 J
b) 4 · 10–6 J
c) 8 · 10–6 J
d) 16 · 10–6 J
e) 32 · 10–6 J
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Resolução: Sendo;
constante, então:
CAPACITORES EM SERIE: Num conjunto de capacitores em serie a capacitância equivalente no
circuito é a soma das capacitâncias. A carga em cada capacitor é igual e a ddp e a soma das ddps.
21
21
21
QQ pois
2
1
1
1
2
2
1
12121
CC
CCC
C
1
C
1
C
1
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
C
QVVV e CVQ , QQ como
21
NEq C...
CCCC
11111
321
ou de dois a dois:21
21
CC
CCCEq
CAPACITORES EM PARALELO: a ddp é a mesma em cada capacitor e a carga total é a soma da
demais cargas.
212121
22112121
CCC)CC(VCV então VV como
,VCVCCVQQQ e CVQ , VV
NEq C...CCCC 321
11. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS: para encontrarmos a capacitância é dada por:
d
AC 0
onde; m/F10x85,8 12
0
)Nm/Cm/F( 22 é a constante de permissividade elétrica, A é a área do
capacitor e d é a distancia de separação entre as placas.
Capacitor cilíndrico
A figura abaixo mostra um condutor cilíndrico de raio , comprimento L b , e carga Q , coaxial com
uma casca cilíndrica de raio b a , também condutora, e possuindo carga Q .
Figura: Capacitor Cilíndrico
Tomando superfícies gaussianas cilíndricas de comprimento l L , a lei de Gauss nos dá
int int
0 0 0
1 1 1ˆ ˆ ˆ
2 2 2
0 em qualquer outro ponto.
q qr r r a r b
rl l r rE
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onde é a carga por unidade de comprimento do cilindro. O potencial é
0 0
1= ln
2 2
b
a
bV E ds dr
r a
Portanto, a capacitância é: 02
ln ab
LQ LC
V V
EXERCÍCIOS 7
1. (resolvido)Três capacitores C1 =1 F, C2 = 3 F e C3 = 12 F estão ligados a uma ddp de 10 volts,
mostrados na figura abaixo.
1C
2C3C
10v
a) Encontre a carga total nos capacitores.
Q=CV C = (1+3)*12 / (1+3+12)=3F Q =3*10 =30C
b) A carga nos capacitores C1 e C2 são iguais? Explique. Não, pois estão em paralelo, a ddp sim .
c) Qual a ddp em cada capacitor?
Q12=Q3 C12V12 =C3V3 4V12=12V3 V12 =3V3
V=V12+V3 V =3V3 +V3 = 4V3 V=4V3 V3=2,5 volts e V12=7,5volts
d) Qual é a carga em C3?
A carga em Q3 =C3V3 =12*2,5 =30C = Q1+Q2.
e) A carga em C1 e C2 são iguais? Então quais são os valores das cargas em C1 e C2?
Q12 =C12V12=4*7,5=30C =Q3 e a carga Q1 = C1V1 =3*7,5=21,5C
A carga Q2 =C2V2 =1*7,5=7,5C
2. Um capacitor adquire uma carga de 0,02C após ser ligado a uma ddp de 10 V. Qual é a capacitância no
capacitor?
3. Um capacitor de capacitância C=2μF é ligado a uma ddp de 20V. Qual será a carga máxima que o
capacitor adquire?
4. Um capacitor se carrega ao ser ligado em quatro baterias em série de 20V cada e sua capacitância é de
4μF. Qual a carga no capacitor?
5. Qual é a capacitância de 4 capacitores iguais a 2μF cada associados: a) em série? b) e em paralelo?
6. Um capacitor de 20μF é ligado a 100V. Qual é a energia armazenada elétrica armazenada?
7. Qual a carga em um capacitor de capacitância C = 2F ligado a 10 volts?
A) 5F B) 0,2F C) 20F D) 40F E) 200F
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8. Determine a capacitância equivalente no circuito abaixo:
para C1 = 12μF, C2 = 5,3μF e C3 = 4,5μF.
9. Encontre no problema anterior a carga em cada capacitor e a energia total se for ligado a 10 volts?
10. Um conjunto de 5 capacitores em paralelo com capacitâncias de 0,002F cada é ligado a uma ddp de
200V. A carga acumulada vale:
A) 2C B) 20C C) 200C D) 2000C E) 0,2C
11. Dado um conjunto de capacitores iguais entre si com capacitâncias de 6 Faraday cada, e ligados a uma
ddp de 110 volts tem capacitância total de:
1C 2C 3C 4C
5C
6C
A) 1,8F B) 9F C) 10F D) 11 F E) 15 F
12. DIELÉTRICOS: são isolantes (plásticos e óleos minerais, etc) colocados entre as placas de um
capacitor, aumentando a capacitância por um fator k (constante dielétrica). A capacitância de um capacitor
com dielétrico C é dada por: arkCC onde arC é a capacitância no ar; d
AkC 0
EXERCÍCIOS 4
1. Um dielétrico de constate k = 2,5 é colocado em um capacitor de capacitância C=20μF. Qual é o valor
da nova capacitância?
2. Um capacitor de placas paralelas cheias de ar tem uma capacitância de 1,3pF. Dobra-se a separação
das placas e insere-se parafina entre as placas. A nova capacitância é de 2,6pF. Determine a constante
dielétrica da parafina.
3. Um capacitor de placas paralelas cheio de ar tem uma capacitância de 50pF. a) Sabendo-se que suas
placas têm uma área de 0,35m2, qual é a separação entre elas? b) Se a região entre as placas for preenchida
com um material de constante dielétrica igual a 5, qual será a nova capacitância?
4. A capacitância de um capacitor é dada por d
AC 0 . Se a área A de um capacitor C for dobrada e a
separação entre as placas for reduzida à metade o que ira acontecer com a capacitância?
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5. Se no problema anterior for colocado um dielétrico de constante k = 5 como será a capacitância?
6. Duas placas, condutoras, de 2cm2 são colocadas em paralelo separadas a uma distancia d e ligadas a
uma ddp de 50V adquirindo uma carga de 2nC.
a) Qual é a separação entre as placas?
b) Qual deve ser a nova distancia de separação entre as placas se for colocado um dielétrico de constante k
= 3 e dobrando a capacitância?
Exercícios Complementares
1. Uma lâmpada A é ligada à rede elétrica. Uma outra lâmpada B, idêntica à lâmpada A, é ligada,
simultaneamente, em paralelo com A. Desprezando-se a resistência dos fios de ligação, pode-se afirmar
que:
a. a corrente da lâmpada A aumenta.
b. a diferença de potencial na lâmpada A aumenta.
c. a potência dissipada na lâmpada A aumenta.
d. as resistências elétricas de ambas as lâmpadas diminuem.
e. nenhuma das anteriores
2.As dez lâmpadas de uma árvore de natal são ligadas em série. Numerando estas lâmpadas de 1 a 10 e
supondo que a nona lâmpada queime:
a. todas apagam.
b. ficam acesas apenas as lâmpadas de 1 a 8.
c. somente a nona lâmpada apaga.
d. fica acesa somente a décima lâmpada
e. todas queimam.
3. Um circuito elétrico é composto de quatro lâmpadas. As lâmpadas encontram-se ligadas de tal forma
que se uma delas se queimar outra também se apaga e as duas restantes permanecem acesas. Assinale,
dentre as opções abaixo, aquela que pode representar o circuito descrito.
4. Assinale, dentre as opções abaixo aquela que melhor representa a melhor forma de ligar a uma bateria
ideal três resistores idênticos para que dissipem o máximo de potência:
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5. Na figura abaixo está apresentado o circuito de um aquecedor elétrico.
Na posição indicada, o circuito está desligado e a chave C pode ser conectada ao ponto A ou B, ligando o
circuito à tensão de 110V. Considerando-se que todos os resistores são iguais a 4,W , em que posição da
chave C haverá maior dissipação de calor e qual é a corrente elétrica nesta situação?
a. chave conectada em A, corrente de 55A.
b. chave conectada em B, corrente de 55A.
c. chave conectada em A, corrente de 27,5A.
d. chave conectada em B, corrente de 27,5A.
6. O circuito abaixo representa um gerador de resistência interna desprezível, de força eletromotriz 30V,
duas lâmpadas L iguais e um interruptor aberto.
Quando o interruptor é fechado, pode-se afirmar que o valor
a. da corrente que passa pelo gerador não se altera.
b. da corrente que passa pelo gerador dobra.
c. da corrente que passa pelo gerador reduz-se à metade.
d. da tensão aplicada em cada lâmpada passa a ser de 15V.
e. da tensão aplicada em cada lâmpada passa a ser de 60V.
7. A figura L representa uma lâmpada de potência média igual a 6W ligada a uma bateria de força
eletromotriz igual a 12V.
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Para que a corrente elétrica do circuito seja reduzida à metade é necessário associar
a. em série com a lâmpada L, uma resistência de 24 ohms.
b. em paralelo com a lâmpada L, uma resistência de 24 ohms.
c. em paralelo com a lâmpada L, uma resistência de 12 ohms.
d. em série com a lâmpada L, uma resistência de 12 ohms.
e. em série com a lâmpada L, uma resistência de 36 ohms.
8. Na entrada de rede elétrica de 120 V, contendo aparelhos puramente resistivos, existe um único
disjuntor de 50 A. Por segurança, o disjuntor deve desarmar na condição em que a resistência equivalente
de todos os aparelhos ligados é menor que
a. 0,42
b.
c.
d.
e.
9. Em relação à rede elétrica e aos aparelhos resistivos de uma casa são feitas as seguintes afirmativas:
I. Exceto algumas lâmpadas de Natal, todos os aparelhos são ligados em paralelo.
II. O aparelho de maior potência é o que tem mais resistência.
III. O disjuntor (ou fusível) está ligado em série com os aparelhos protegidos por ele.
Analisando-se as afirmativas, conclui-se que
a. somente I é correta.
b. somente II é correta.
c. somente III é correta.
d. I e II são corretas.
e. I e III são corretas.
10. Pilhas comerciais de 1,5 V são comercializadas em tamanhos pequeno, médio e grande. O tamanho
tem relação com a potência do aparelho que a pilha deve alimentar. Considerando-se as três pilhas e três
lâmpadas idênticas de lanterna, cada pilha alimentando uma lâmpada, após um tempo considerável de
desgaste, a pilha grande estará originando maior __________, revelando possuir, internamente, _________
do que as outras.
a. força eletromotriz menor resistência
b. força eletromotriz maior resistência
c. corrente maior força eletromotriz
d. energia menor força eletromotriz
e. corrente menor resistência
11. A, B, C e D são quatro amperímetros que estão ligados no circuito da figura a seguir, que contém três
resistores IGUAIS:
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Qual das opções abaixo representa um conjunto coerente para as leituras dos amperímetros A, B, C e D,
NESSA ORDEM?
a. 50, 100, 100, 100
b. 50, 25, 25, 50
c. 50, 50, 50, 50
d. 50, 100, 100, 50
e. 50, 25, 25, 25
INSTRUÇÃO: Responder às questões 12 e 13 com base nos esquemas e afirmativas abaixo.
Duas lâmpadas de filamento, L1 de 30 W para 12 V e L2 de 60 W para 12 V , são ligadas numa bateria de
12 V, em paralelo conforme esquema 1 e em série conforme esquema 2, abaixo.
Afirmativas:
I. No esquema 1, a lâmpada L1 dissipa 30 W.
II. No esquema 2, as duas lâmpadas têm a mesma dissipação de potência.
III. No esquema 2, a lâmpada L1 dissipa mais potência que a lâmpada L2.
12. Analisando as afirmativas conclui-se que
a. todas estão corretas.
b. somente I está correta.
c. somente II está correta.
d. I e II estão corretas.
e. I e III estão corretas.
13. No esquema 1, a intensidade da corrente cedida pela bateria vale
a. 2,5 A
b. 4,0 A
c. 5,0 A
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d. 7,5 A
e. 9,5 A
14. Para o circuito abaixo, determine em volts, a diferença de potencial entre as extremidades do resistor
de 2 .
15. No circuito abaixo, onde L1, L2, L3 e L4 representam 4 lâmpadas, é correto afirmar-se que passará
corrente
a) em todas as lâmpadas.
b) apenas em L1 e L4.
c) apenas em L1, L2 e L3.
d) apenas em L1, L3 e L4.
e) apenas em L2, L3 e L4.
16. Um fio metálico, uniforme, de resistência igual a 48
pedaços, monta-
17. A figura mostra um circuito elétrico onde estão representados duas lâmpadas L1 e L2, um fusível F
(elemento elétrico que se rompe quando a corrente nele excede um determinado valor), uma bateria B,
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uma chave C e um amperímetro A. A resistência de cada lâmpada é 4,0 ohms , a do fusível é 2,0 ohms , a
força eletromotriz da bateria é 6,0 V e o amperímetro tem resistência desprezível.
Na situação inicial, a chave C se encontra na posição I.
a. CALCULE o valor da corrente indicada pelo amperímetro nessa situação.
b. Num determinado momento, a chave C é colocada na posição II. Nessa situação, o fusível demora
3,0 segundos para se romper. CALCULE a energia dissipada no fusível até o seu rompimento.
18. Para se efetuar medições elétricas num circuito:
a. deve-se ligar o amperímetro em série e o voltímetro em paralelo
b. deve-se ligar o amperímetro e o voltímetro em paralelo
c. deve-se ligar o amperímetro em paralelo e o voltímetro em série
d. deve-se ligar o amperímetro e o voltímetro em série
e. não se pode ligar amperímetro e o voltímetro juntos num mesmo circuito
19. Dispondo de quatro resistores iguais, escolha a opção de ligações que fornece a maior corrente total,
quando uma única fonte estiver disponível:
a. todos os quatro ligados em série.
b. todos os quatro ligados em paralelo.
c. dois ligados em paralelo e ligados em série com os outros dois em paralelo.
d. dois ligados em série e ligados em paralelo aos outros dois em série.
e. usar apenas um dos resistores.
20. Um voltímetro é ligado diretamente aos terminais de uma bateria e a leitura é 10,5 V. Uma resistência
de 10 ohms é ligada aos pólos da bateria. O mesmo voltímetro ligado agora em paralelo com a resistência
acusa 8,0 V. Isso indica que:
a. a corrente elétrica é maior na situação II e a bateria tem resistência interna não desprezível.
b. a corrente elétrica diminui na situação II e a resistência interna da bateria é desprezível.
c. a resistência interna da bateria deve ser próxima de 10 ohms.
d. deve haver engano de informações, pois a leitura em II deveria ser maior do que 10,5 V.
e. a diferença de potencial na resistência R deve ser de 2,5 volts.