UNIVERSIDADE PAULISTA CAMPUS ARARAQUARA

SISTEMAS DE CONTROLE E SERVOMECANISMOS

Ações de Controle e Tipos de Controladores P,I,D

5. CONTROLADORES PID

A introdução de um controlador em um determinado sistema visa a

modificação de sua dinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da

atuação sobre um ou mais dos seus parâmetros, com o objetivo de satisfazer certas

especificações com relação a sua resposta (Ogata, 1993). Os parâmetros do

sistema que sofrem uma ação direta do controlador, são denominadas de variáveis

manipuladas, enquanto que os parâmetros no qual se deseja obter as mudanças

que satisfaçam as dadas especificações, denominam-se variáveis controladas. O

controlador é um dispositivo físico, podendo ser: eletrônico, elétrico, mecânico,

pneumático, hidráulico ou combinações destes. No projeto real de um sistema de

controle, o projetista deverá decidir pela utilização de um ou mais controladores.

Esta escolha depende de vários fatores. O tipo de controlador mais comumente

usado, mesmo em plantas das mais diversas naturezas, é o controlador eletrônico.

De fato, os sinais não elétricos são, normalmente, transformados em sinais

elétricos, através de transdutores, e, devido a simplicidade de transmissão, aumento

da performance, aumento da confiabilidade e principalmente, facilidade de

compensação. Geralmente controladores eletrônicos são circuitos simples,

formados basicamente por amplificadores operacionais, sendo assim de fácil

implementação prática e baixos custos (Ogata, 1993).

5.1 ESTRUTURA DO CONTROLADOR PID

Controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, comumente

denominados de PID, são controladores largamente utilizados no cenário industrial.

De forma a apresentar a estrutura de um controlador PID, considera-se

inicialmente o sistema de controle em malha-fechada apresentado abaixo.

Em linhas gerais a tarefa do controlador apresentado acima é a de, com base

no sinal de diferença e(t) (ou erro) existente entre o sinal de referência r(t) e o sinal

de saída y(t), gerar em sua saída um sinal de controle u(t) que seja capaz de corrigir

e se possível anular tal diferença. No caso específico do controlador PID, a lei de

controle descrita pelo bloco do controlador é composta de três termos:

Cada um dos termos do lado direito da equação são individualmente

associados a cada um dos tipos de ações do controlador. Em nível de blocos, o

controlador PID apresentado, pode ser representado conforme abaixo. Nesta

representação observa-se que o sinal de erro e(t) é utilizado como entrada em três

blocos distintos.

O bloco superior, constituído de uma constante K, é o responsável pela ação

proporcional do controlador. O sinal de saída deste bloco é dado pela seguinte

equação:

De forma análoga, pode-se escrever os sinais de saída relativos aos blocos

integral e derivativo, apresentados nas equações abaixo:

A função de transferência do controlador PID é apresentada da seguinte

forma:

O efeito de cada uma destas ações e suas implicações no comportamento

dinâmico de um sistema de controle serão apresentados na seqüência.

5.2- AÇÕES DE CONTROLE PID

1. Controladores de duas posições ou liga e desliga (ON-OFF)

2. Controladores proporcionais (P)

3. Controladores do tipo integral (I)

4. Controladores do tipo derivativo (D)

5. Controladores do tipo proporcional-mais-integral (PI)

6. Controladores do tipo proporcional-mais-derivativo (PD)

7. Controladores do tipo proporcional-mais-integral-mais-derivativo (PID)

8. Controlador por Avanço de Fase (Lead)

9. Controlador por Atraso de Fase (Lag)

10. Controlador por Avanço-Atraso (Lead-lag)

5.2.1. Ação de controle de duas posições ou liga-desliga (on-off)

É o controlador comumente mais simples. Exemplo: termostato.

Embora seja barato e extremamente simples, a natureza oscilatória do

controle torna-os apropriados apenas para aquelas aplicações onde podem ser

usados sozinhos e o controle preciso não é essencial.

Em um controle de duas posições, u(t) permanece ou em um valor máximo

ou em um valor mínimo, dependendo de ε(t) ser positivo ou negativo.

5.2.2 Ação de Controle Proporcional (P)

)t(Ke)t(u = ; )s(KE)s(U =

onde e(t)= r(t) - y(t) = SP - PV

No controle proporcional, quanto maior a magnitude do erro atuante, maior é

a ação corretiva aplicada. Um compensador deste tipo, como não acrescenta pólos

nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste no seu ganho original.

- O controlador proporcional é um amplificador com ganho ajustável (K).

- O aumento do ganho K, diminui o erro de regime.

- Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatório, podendo torná-lo

instável

- Melhora o regime e piora o transitório, sendo bastante limitado.

Ex: r(t) +

-

c(t)1Ts+1

K

Para entrada degrau unitário ⇒ ess K=

+1

1

O erro será nulo somente para K → 00, o que nem sempre é possível.

O primeiro gráfico mostra o setpoint (sp) unitário e a saída do processo y para

diferentes valores do ganho K.O segundo gráfico mostra o sinal de controle (u) para

diferentes ganhos do controlador.

Muitos instrumentos usam um termo alternativo, Banda Proporcional (PB),

ao invés do ganho:

K100PB =

O termo Banda Proporcional se refere à faixa sobre a qual o erro deve variar

para que a saída do controlador (MV) excurcione em toda a sua faixa.

O ganho do controlador pode ser feito positivo ou negativo. Um ganho

positivo resulta em uma saída do controlador (MV) diminuindo quando a variável de

processo (PV) está crescendo (ação REVERSA). Para um ganho negativo a saída

do controlador (MV) diminui quando a variável de processo (PV) está cresce (ação

DIRETA). O sinal correto depende da ação do transmissor (usualmente direta), da

ação do válvula (ar-para-abrir-AO ou ar-para-fechar-AC) e do efeito do sinal de

controle (CS) na variável de processo (PV).

5.2.3. Ação de Controle Integral

O valor da saída do controlador u(t) é variado em uma taxa proporcional ao

sinal do erro atuante ε(t):

ou à

Se o valor de ε(t) é dobrado, então o valor de u(t) varia duas vezes mais

rápido. Para erro atuante nulo, o valor de u(t) permanece estacionário. A ação de

controle integral é muitas vezes chamada de controle de restabelecimento

(automatic reset).

5.2.4. Ação de Controle Derivativa

O valor da saída do controlador, u(t) é proporcional à derivada do erro

atuante, ε(t). Esse tipo de controle não produz nenhuma ação corretiva para

qualquer erro atuante constante, não importando sua magnitude, e portanto, essa

ação de controle isoladamente não tem utilidade prática.

5.2.5 Ação de Controle Proporcional + Integral (PI)

A ação integral esta então diretamente ligada à melhoria da precisão do

sistema. A ação integral do controlador move a variável de controle (CS) baseada

na integral no tempo do erro:

∫+=t

i

pp de

KteKtu

0

)()()( τττ

( )

)()( sEs

KsKsU ip +

= ou

onde i

iKpKτ

= e τi é o time integrativo ou tempo de reset com unidade da ordem de

minutos.

- Zera o erro de regime, pois aumenta o tipo do sistema em 1 unidade.

- É utilizado quando temos resposta transitória aceitável e resposta em regime

insatisfatória.

- Adiciona um pólo em p=0 e um zero em z= - Ki/Kp

- Como aumenta a ordem do sistema, temos possibilidade de instabilidade

diferentes do sistema original. Pode degradar o desempenho do controlador em

malha fechada.

Ex:

r(t) +

-

c(t)1Ts+1

Kp +Kis

PIe(t)

Para entrada degrau unitário ⇒ 01

1e ss =∞+

=

O primeiro gráfico mostra para um setpoint, ysp=1 e a saída para diferentes valores

do tempo integral (Ti). O segundo mostra estes valores com a variação do sinal de

controle (u). No caso do Ti = corresponde a um controle puramente proporcional.

Muitos controladores são calibrados em minutos (ou minutos/repetição, um termo

que origina-se do teste de colocar o controlador em um erro fixo e verificar quanto

tempo a ação integral leva para produzir a mesma mudança na saída do controlador

que o controlador proporcional tem com ganho 1; a integral repete a ação do

controlador proporcional).

5.2.6 Ação de Controle Proporcional + Derivativo (PD)

A ação de controle de um controlador proporcional-mais-derivativo é definida

pela seguinte equação:

)(.)()( tedtdKteKtu dpp τ+= ; ( ) )s(EsKK)s(U dp += ou

onde Kd= Kp.τd, sendo τd a constante derivativa em minutos.

Obs.: Este compensador, por introduzir um avanço de fase, é considerado na

bibliografia como um caso particular de um compensador em avanço.

- Leva em conta a taxa de variação do erro

- Atuando beneficamente no regime transitório, tendendo a aumentar a estabilidade

relativa do sistema e reduzindo o tempo de acomodação,

- É utilizado quando temos resposta em regime aceitável e resposta transitória

insatisfatória.

- Adiciona um zero em z= - Kp/Kd

- Introduz um efeito de antecipação no sistema, fazendo com que o mesmo reaja

não somente à magnitude do sinal de erro, como também à sua tendência para o

instante futuro, iniciando, assim, uma ação corretiva mais cedo

- A ação derivativa tem a desvantagem de amplificar os sinais de ruído, o que pode

causar um efeito de saturação nos atuadores do sistema.

- Aumenta o tempo de subida e, por não atuar no regime permanente, não corrige o

erro de estado estacionário.

Ex:

r(t) +

-

c(t)1Js

Kp + Kd

PDe(t)

s 2

( )pd

2dp

KsKJs

sKK)s(R)s(C

++

+=

5.2.7 Ação de Controle Proporcional + Integral + Derivativo (PID)

O PID une as ações proporcional, integral e derivativa num só controlador,

atuando tanto no regime transitório quanto no regime permanente. A ação de

controle de um controlador proporcional-mais-integral-maisderivativo

é definida pela seguinte equação:

sKsKsK

E(s)U(s) )s(EsK

sK

K)s(U ip2

dd

ip

++=⇒

++= ou

Esse é um compromisso entre as vantagens e desvantagens dos controles PI

e PD. O offset é eliminado pela presença da ação integral e o modo derivativo reduz

o desvio máximo e o tempo de oscilação embora esse seja ainda maior do que com

apenas o controle PD. Tais controladores são freqüentemente instalados mais por

sua versatilidade e nem tanto porque a análise do sistema indicou a necessidade

da presença de todos os três modos de controle.

- É utilizado quando temos resposta transitória e em regime insatisfatórias.

- Adiciona um pólo em p=0 e 2 zeros, que dependem dos parâmetros do

controlador.

- Geralmente os dois zeros são reais e iguais.

5.2.8 Ação de Controle Avanço de Fase (Lead)

Sua principal finalidade é suprir um atraso de fase estabelecido naturalmente

pelas próprias características de alguns componentes do sistema original. Este tipo

de compensação permite remodelar o lugar das raízes de maneira a obterem-se

pólos dominantes desejados em malha fechada. Em geral seus efeitos

correspondem a um aumento no amortecimento, com menores tempo de subida e

de acomodação, o que corresponde, no domínio da freqüência, a um aumento na

largura de faixa. Além disso, as margens de ganho e de fase são melhoradas,

contudo o erro de estado estacionário não é afetado.

- Introduz um zero e um pólo

- Melhora o transitório, a exemplo do controlador PD

- Sempre adianta a fase

5.2.9 Ação de Controle Atraso de Fase (Lag)

Uma compensação em atraso melhora o erro em regime permanente, no

entanto, diminui a largura de faixa, o que implica, em termos de domínio do tempo,

numa resposta mais lenta, com maiores tempos de subida e acomodação. Em

alguns casos é preciso reduzir a largura de faixa de um dado sistema com o intuito

de torná-lo menos susceptível a sinais de ruído.

- Introduz um zero e um pólo

- Melhora o regime, a exemplo do controlador PI

- Sempre atrasa a fase

- Não zera o erro, mas o reduz bastante

5.2.10 Ação de Controle Avanço-Atraso de Fase (Lead-Lag)

Em casos onde se deseja uma resposta rápida, característica de sistema com

compensação em avanço, porém com diminuição do erro em regime estacionário,

que é garantida por uma compensação em atraso, é possível usar um controlador

que una ambas as características, que é o caso do controlador em avanço–atraso.

- Introduz dois zeros e dois pólos

- É usado para melhorar o desempenho em regime e o transitório

- É análogo ao controlador PID

5.3 RESUMO DAS CARACTERÍSTICAS DOS MODOS PROPORCIONAL,

INTEGRAL E DIFERENCIAL

Admitindo como sinal de referência, ref(t), um degrau com amplitude

qualquer, faremos algumas observações sobre o efeito de cada um a das ações de

controle do PID. O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de

forma a diminuir o tempo de subida (tr), diminuindo adicionalmente o erro de regime

permanente. O controlador integral elimina por completo o erro de regime

permanente, mas pode piorar a resposta transitória do sistema. A ação derivativa

tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal, e

melhorando a resposta transitória. O efeito de cada uma das ações de controle no

sistema em malha-fechada é sumariado na tabela abaixo:

Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela

conjunção destas ações de controle, pode não seguir exatamente as especificações

observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser empregada somente

como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao

encargo do projetista.

Exemplo sistema regulador de nível mostrado abaixo.

Gráfico das Ações de Controle para o exemplo do Regulador de Nível

5.4- MODIFICAÇÕES DAS AÇÕES DE CONTROLE

5.4.1 PID Original

O controlador PID representado no diagrama de blocos abaixo é uma forma

simplificada. A implementação industrial do PID deve levar em consideração alguns

detalhes práticos.

5.4.2 Filtragem da Parte Derivativa

Como observado na ação de controle derivativa, o controle PD possui um alta

sensibilidade ao ruído do sistema. Para eliminarmos este tipo de problema a

implementação da ação derivativa é dada com a introdução de um pólo em alta

freqüência, como na equação abaixo:

NsT

sKTsGd

dd

+=

1)(

Esta equação pode ser interpretada como o termo derivativo sTd sendo filtrado por

um sistema de primeira ordem com tempo constante Td/N, ou seja, atua como

derivativa para sinais de baixa freqüência ou filtro bassa baixa. O ganho, no entanto,

fica limitado a KN, isto significa que a medição do ruído a altas freqüência é

amplificado pelo fator KN. Geralmente o valor de N varia de 4 a 20.

5.4.3 Setpoint Weighting

Uma mudança brusca (degrau) no sinal de referência (setpoint) pode gerar um

impulso no sinal de controle. Geralmente isto não é desejável, afinal a ação

derivativa não se aplica no sinal de referência. Este problema pode ser contornado

filtrando o sinal de referência antes de enviá-lo ao controle, o qual é chamado de

Setpoint Weighting. A equação então do controlador PID ficaria assim:

++= ∫

td

di

p dtdeTdsse

TeKtu

0

)(1)(

Onde o erro na parte proporcional é:

ybye spp −=

Onde o erro na parte derivativa:

ycye spd −=

E o erro na parte integrativa, o qual seria o verdadeiro erro:

yye sp −=

Os controladores com setpoint weighting, mesmo com diferentes valores de b e c,

obtêm os mesmos valores de resposta que o controlador PID original para

alterações de ruído e distúrbio sistema. A resposta para a variação do sinal de

referência pode ser modificado pelos parâmetros b e c. O sobressinal do sistema

para mudanças do setpoint é o menor para b=0. O parâmetro c é geralmente zero

para evitar grandes mudanças no sinal de controle devido a mudanças repentinas

do setpoint.

5.4.4 PI-D (Ligação alternativa do modo derivativo) e I-PD (com ligação alternativa

do modo proporcional)

O sinal de entrada usual de cada modo (proporcional, integral e derivativo) do

controlador PID é o erro entre o sinal de referência e o sinal de saída medido. Se o

sinal de erro está sujeito a mudanças repentinas de valor, o modo derivativo tende a

produzir instantaneamente valores muitos altos que podem saturar o sinal de

controle. Uma forma de atenuar esse efeito é conectar a entrada do modo derivativo

diretamente do sinal de saída medido, conforme diagrama de blocos abaixo. O sinal

de saída medido não apresenta alterações bruscas de valor, pois a própria dinâmica

associada ao processo funciona como um filtro. O controlador com o modo

derivativo ligado diretamente do sinal de saída medido é chamado de PI+D, para

diferenciar do esquema original do PID. A modificação proposta para o modo

derivativo também pode ser aplicada no modo proporcional. A modificação proposta

para o modo derivativo também pode ser aplicada no modo proporcional. Com isso

obtém-se o controlador I-PD o qual é muito utilizado para não derivar e nem

amplificar variações bruscas no sinal de referência.

5.4.5 Saturação do sinal de controle

Os processos industriais são submetidos a restrições construtivas, ou seja, a faixa

de valores do sinal de controle aplicado ao processo é definida pelas suas

características intrínsecas. Por exemplo, um controlador opera num intervalo

limitado de 0–10 volts ou 0–20 mA, uma válvula não pode abrir mais que 100% e

menos que 0%, um motor funcionando como atuador tem um limite de velocidade,

etc. Tais restrições são usualmente descritas como limitações na entrada da planta.

Por tanto, é preciso limitar os sinais de controle aplicados ao processo dentro uma

faixa de operação especificada. O sinal de entrada do processo deve ser limitado

dentro desta faixa de operação, chamada de saturação. Como resultado das

limitações, a entrada real da planta é temporariamente diferente da saída do

controlador. Quando isto acontece, se o controlador é inicialmente projetado para

operar em uma região linear, o desempenho em malha fechada deteriora-se em

relação ao desempenho linear esperado. Esta deterioração de desempenho é

denominada windup.

5.4.6 Anti-Windup

A ação chamada de Anti-Windup, consiste em atenuar o efeito produzido pela

saturação do sinal de controle no desempenho do sistema. Um das formas de

aplicar essa ação é evitar que o modo integral mantenha o atuador saturado mesmo

quando o erro diminui.

A técnica de back-calculation funciona da seguinte forma: quando a saída do

atuador satura, o termo integral é novamente calculado de forma que seu valor

permaneça no limite do atuador. É vantajoso fazer esta correção não

instantaneamente, mas dinamicamente com uma constante de tempo Tt. O

diagrama abaixo exemplifica a inclusão de uma ação Anti-windup num controlador

PID.

O sistema apresenta uma malha de realimentação adicional. A diferença entre

a entrada e saída do atuador constitui um erro es que é realimentado à entrada do

integrador com ganho 1/Tt. Note que quando não existe saturação o erro es é nulo

e, portanto, a malha não tem nenhum efeito quando o controlador está operando

linearmente, ou seja, quando a saída u(t) não está saturada. Se existe a saturação

es é diferente de zero. O tempo para que a entrada do integrador chegue a zero é

determinado pelo ganho 1/Tt, onde Tt pode ser interpretado como a constante de

tempo que determina o quão rápido a entrada do integrador é levada a zero. Assim,

a seleção de valores pequenos para Tt pode parecer vantajosa à primeira vista.

Entretanto, deve-se ter cuidado na seleção de Tt especialmente em sistemas com

ação derivativa. O que pode acontecer é que ruídos espúrios podem levar a saída

do controlador à saturação provocando a atuação rápida da malha anti-windup e

tornando a entrada do integrador indesejavelmente zero. Na prática deve-se ter Tt

maior que Td e menor que Ti. Uma regra empírica sugerida é selecionar de acordo

com t i dT TT= .

5.4.7 Controlador IP

O controlador do tipo PI é empregado na maioria dos processos industriais onde se

deseja prioritariamente reduzir ou eliminar o erro de regime existente entre o valor

de referência e o sinal de saída. O diagramna abaixo exemplifica um controlador PI.

Uma variante da estrutura de controle PI, mostrada acima, é o chamado

controlador Integral- Proporcional (IP), mostrado no diagrama abaixo. O controle IP

é utilizado em controle de velocidade de maquinas elétricas e apresenta as mesmas

características de regulação e menor sobressinal a resposta ao degrau em relação

ao controle PI.

5.4.8 PID completo

O diagrama abaixo apresenta um esquema completo do PID incluindo um filtro

passa-baixa no modo derivativo e anti-windup no modo integral. As variáveis b e c

introduzidas no modo proporcional e o modo derivativo relativo à entrada de

referência valem 1 ou 0. Para b=1 e c=1 tanto o modo proporcional e derivativo

estão ligados ao sinal de referência, por outro lado se b=0 e c=0, estes modos estão

desligados do sinal de referência originado a configuração I+PD. A configuração

padrão do controlador PID é obtida com b=1 e C=1 e a configuração PI+D é obtida

com b=1 e c=0.