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Prof. Jos J.Lunazzi UNICAMP - IF FUNDAMENTOS BSICOS SOBRE ERROS A norma bsica para o tratamento dos erros de medio considerar que SEMPRE EXISTEM, porque TODA MEDIO TEM ERRO. Mesmo elementar, as vezes podemos esquece - la e achar que os val ores que manipulamos so perfeitos. que estamos acostumados a aprender a fsica por meio de explicaes que envolvem valores j suficientemente testados onde foi visto que os erros no podiam alterar conceitualmente as concluses obtidas das medies. Portanto no necessrio nesses casos carregar junto os valores das incertezas. Em muitos outros casos tambm esses valores no so fornecidos, no que a pessoa que declara os resultados "assina embaixo" uma garantia de que j realizou todas as anlises necessrias de maneira a no haver incerteza nas concluses. A anlise de erros uma tarefa sempre trabalhosa e, como mesmo os grandes especialistas podem ter deixado de considerar algum fator, nunca aceito um resultado de grande importncia sem que este tenha sido verificado experimentalmente em mais de um laboratrio. Os valores das constantes fundamentais usadas em metrologia devem ser homologados por trs laboratrios especficos de diferentes pases. At que ponto podemos confiar em valores e apa relhos fornecidos por terceiros?. Essa questo no tem resposta, apenas disser que, quanto mais critrios tenhamos aplicado para verificar nos mesmos nossos resultados, mais certos estaremos deles. Sobre os aparelhos, convm disser que alm da confiabili dade em sua origem, as mudanas geradas pelo transporte e diversidade de ambiente podem ser suficientes para invalidar os testes realizados antes do embarque. Os antigos s filosofavam, no mediam?. Mediam sim. J sculos antes de Cristo um grego mediu o dimetro da terra. Teve de medir distncia entre duas cidades em passos, e no sei se fez estimativa de erros, mas o valor achado foi importante para a humanidade. A cincia de Galileo comeou a definir bem o universo no apenas porque mediu os efeito s da gravidade com suas pulsaes arteriais, no que obteve relaes de proporo muito boas, seno tambm porque teve medies astronmicas realizadas por seu contemporneo Tycho Brahe com cuidado e dedicao instrumental nicos na poca. Na medida em que as medies so feitas com menor erro v - se que as teorias necessitam ser acrescidas de mais termos ou

novas formulaes que contemplem novos detalhes que so detectados. Einstein no teria como provar que sua teoria estava certa, se vivesse na poca de Newton.

ERROS SISTEMTICOS E ERROS ALEATRIOS A primeira classificao geral chama de sistemticos os que sempre acontecem da mesma maneira, enquanto os aleatrios podem ter valores positivos ou negativos, grandes e pequenos, com a mesma probabilidade (" distribuio gaussiana") ou seguindo alguma outra lei estatstica em casos especiais. Tomemos exemplos disto no caso dos erros de leitura num instrumento de escala com agulha como o galvanmetro. Temos que definir primeiramente o zero da escala fazendo a lineao visual da agulha com a primeira diviso. A posio dessa primeira diviso respeito das outras no pode ser perfeitamente regular seno o mais regular que o fabricante pode fazer. Se um erro afetasse essa posio ele ia afetar todas as leituras. S e, P.es., a primeira diviso est algo a direita do lugar certo , todas as leituras sero algo maiores que o valor certo dando um erro sistemtico de valor positivo e constante. Temos ento que a preciso da construo da escala afeta as medies, de uma maneira que o fabricante calcula e inclui em sua avaliao do erro final. No exemplo anterior o erro foi sistemtico, mas podemos pensar que o erro de posicionamento variasse aletoriamente para cada diviso, ou que houvesse uma combinao dos dois tipos d e erros. Atribuindo a todos os erros o valor do erro mximo pode- se ganhar em simplicidade perdendo em preciso, que o caso mais prtico. A calibrao da posio inicial passa tambm pela qualidade do ajuste visual ao considerar que a linha de uma diviso est perfeitamente coincidente com a linha da agulha. fcil entender que isto depende da preciso de nosso sistema visual e tambm da espessura das linhas, dois fatores de erro claramente aleatrios. Se as linhas forem grossas o aparecimento da d iviso pela lateral da agulha influencia menos o aspecto global da imagem ( Figura 1 ). De todas maneiras o fator bsico vem dado pelo menor detalhe que podemos visualizar, menor que uma dcima de milmetro, mas que varia de uma pessoa para outra.

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Fig .1: Aparncia do erro de alinhamento em duas situaes idnticas a) no caso de linhas finas. b) no caso de linhas grossas. A leitura na posio final da agulha no acontece exatamente pela sobreposio da agulha com uma diviso, e o valor estimado para a leitura mais afetado de erro. Quanto?. O VALOR MXIMO DO ERRO SEMPRE PODE SER ESTIMADO. Tomemos o caso da Figura 2 , onde a agulha se encontra na posio mais desfavorvel.

Fig.2: Estimativa do erro mximo de le itura visual numa escala.Duas linhas divisrias imaginarias aparecem tracejadas. Se fizermos uma subdiviso mental do espao entre as divises, em quanto poderamos faze - lo?. Dividamos o espao em trs e veremos que, certamente, se a agulha est prxima do centro, no poderemos disser que est em algum dos outros teros, se est de um lado, tambm no. Assim, o erro seria 1/3 da menor diviso. Poderamos afirmar que a diviso mental do espao entre divises seria possivelmente mais precisa?. Talvez sim, mas para isto o esforo mental passa a ser maior e a situao menos natural. Somando ento o valor de 1/3 a algum erro do ajuste do zero, temos a regra muito conhecida que diz "o erro metade da menor diviso do instrumento". Em geral, o fabricante defi ne as divises e o desenho do instrumento de maneira a atender essa norma, mas ateno, isto certo sempre apenas respeito do erro visual e assume que a escala sempre uniforme, o que, no caso de um ohmimetro P.es., no verdade. Se o instrumento estiv er descalibrado ou outros fatores externos afetassem a leitura, como uma instabilidade ou um erro sistemtico, devidos p.es. a flutuaes na tenso da rede eltrica ou a mudanas na temperatura que afetam os componentes, a regra deixa de valer. O ERRO NO VALE SEMPRE METADE DA MENOR DIVISO, APENAS O ERRO DE LEITURA VISUAL PODERIA VALER ISTO, MAS NO BOM GENERALIZAR PARA TODA A EXPERINCIA DE MEDIO SEM REFLETIR ANTES SOBRE A SITUAO. Assim, no devemos nos entusiasmar demais pela alta preciso na l eitura ao ponto de no perceber a presena de outros erros que estejam prejudicando a exatido da medida. Embora a palavra exatido seja a correta para definir o resultado final, a palavra preciso , que corresponderia estritamente fineza da leitura, usada frequentemente no mesmo sentido de exatido . Outros termos que no devem ser confundidos so preciso e sensibilidade . Uma alta sensibilidade no garante a estabilidade (repetio de uma mesma leitura) nem a linearidade da resposta. conhecid o o caso do detetor de infravermelho para astronomia defendido por Edison. Ele era baseado em gros de carvo e extremamente sensvel. Com seu grande prestigio Edison conseguiu a aprovao oficial para seu projeto , que nunca deu certo, prejudicando um outro que finalmente ficou consagrado. Podemos ainda analisar mais um tipo de erro, o chamado "erro de paralaxe" (erro gerado pela mudana de perspectiva de uma

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cena). Como a agulha est um pouco acima do plano da diviso, se o observador est de lado ver a coincidncia acontecer quando, na viso frontal, no acontece. Se sempre observasse desde a mesma posio (e no muito perto do painel), teramos o caso feliz de um erro sistemtico se cancelando na posio inicial e na posio final. Mas como no garantido o posicionamento fixo do observador, alguns instrumentos trazem junto da escala um pequeno e espelho onde deve- se alinhar a agulha com sua imagem refletida antes de medir. desta maneira obriga - se o observador a ter uma viso frontal. Temos deix ado de considerar se o fenmeno seria realmente linear, com o campo magntico do im uniforme e a agulha girando perfeitamente sobre seu eixo. Vale agora a pergunta: ser que toda esta anlise sobre os instrumentos de medio por agulha faz sentido nesta poca de eletrnica digital?. Aparelhos eletrnicos : Os medidores eletrnicos so diferentes dos eltricos. So mais delicados e incorporam elementos ativos, por isto necessitam de uma fonte de energia. So mais instveis e sujeitos a mudanas dos materiais por causa do uso, clima ou simplesmente do tempo. So mais indicados para o caso de se querer medir sinais de pequena amplitude sem realizar correes pelo efeito da resistncia interna dos equipamentos de medio. O medidor de bobina mvel n ecessita de uma certa quantidade de corrente para ser acionado, que retira do elemento sob medio. Isto uma consequncia do principio universal de que toda medio afeta aquilo que pretende medir. Para reduzir isto, usa - se o efeito amplificador da corrente eltrica, que foi inventado a partir da introduo de mais eletrodos numa lmpadinha eltrica de filamento, gerando primeiramente o diodo e depois o triodo, que ao evoluir foi chamado de vlvula eletrnica (de Forest, 1925). Um amplificador um el emento que permite controlar um fluxo grande de energia com um gasto mnimo. como no caso de se dirigir um carro ou regular uma torneira, com pouca energia controlamos a aplicao de um a quantidade bem maior. Uma vlvula eltrica (ainda hoje usada nos t ransmissores das estaes de radio e TV)ou os modernos transistores introduzem o potencial do sinal controlador de maneira a criar uma barreira que freie o fluxo da corrente eltrica desenvolvida a partir de uma fonte. Temos assim o multmetro eletrnico, que pode ter leitura por bobina mvel ou por mostradores de cristal lquido, onde cada nmero composto por meio de sete segmentos que escurecem quando uma corrente (muito pequena) aplicada. Um multmetro digital acostuma ser fabricado de maneira que o erro do instrumento coincida com o valor

correspondente ao digito que no mostrado, introduzindo geralmente um processo de arredondamento (si >0,5 -- >1, si 0 . Como ele incorpora amplificadores possui mais sensibilidade e pode ter mais prec iso. Mesmo assim, podemos verificar em nosso laboratrio de ensino que alguns valores so melhor medidos pelos instrumentos convencionais, tambm chamados de analgicos. De outro lado, o aparelho eletrnico tem mais tendncia a mudar suas caracterstica s por envelhecimento. Comparao de medies: Se, medindo uma mesma fonte, notamos uma diferena de leituras entre um instrumento analgico e um digital, NO CORRETO disser que o analgico o errado. Qualquer um dos dois pode estar. Se medimos um valor de x por um mtodo e obtemos o resultado x1, depois por outro mtodo obtendo x2 , no faz sentido

comparar Dx = x1 - x2 e disser que esse o erro. Vejam que, por acaso, poderia ser nulo, e medio sempre tem erro

(pense bem nisso). Posso comparar Dx1 com Dx2 , para saber qual mtodo melhor. Observe de passo que os dois mtodos, se tiveram o erro bem calculado, devem oferecer uma regio de valores comuns, ou seja que as faixas de incerteza devem ter sobreposio e seria nessa regio de sobreposio onde o valor correto deve se encontrar. Padres para aferio: A nica sada para avaliar completamente um instrumento aferi - lo com instrumentos mais estveis desenhados especificamente para aferies, ou por meio de elementos como pilhas e resistores do tipo chamado "padro". A UNICAMP possui um laboratrio especfico apenas para aferir instrumentos de medio eltrica. O IPT (no campus da USP) e o INMETRO (n o Rio de Janeiro) tambm. Os padres usados so geralmente de terceira ou quarta gerao, quer dizer que foram aferidos por padres de terceira ou segunda gerao, e assim por diante, at chegar nos padres primrios que so guardados nos principais instit utos de metrologia do mundo (como no caso do metro padro, feito de platina, P.es.) mas que cada vez mais conseguem ter uma definio que permitiria sua reconstruo a partir de propriedades fsicas bsicas e no pela cpia de uma pea que poderia eventual mente at desaparecer. Temos assim o padro de tempo pelo relgio atmico, o de comprimento pelo comprimento de onda de uma certa luz de laser, ou, mais recentemente, pela distncia

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percorrida pela luz numa frao muito bem definida de tempo, e outros. Testes de linearidade: Podemos provar um instrumento com testes de linearidade, como

P.es., se uma pilha lida como tendo 1,5 0,05 V e outra 1,6 0,05 V , devemos esperar que ao coloca - las e m serie a leitura seja 3,1 0,1 V, se no fosse, perceberamos assim o defeito (mas no poderamos corrigi - lo). Caso de escalas com diferente constante: Cada escala do instrumento pode ser linear, mais uma delas correspond er a uma constante que no a correta. Nesse caso, possvel at que algum valor lido seja o mesmo nas duas escalas, por acaso. Valores relativos e absolutos : Em muitas experincias o conhecimento do valor absoluto medido no necessrio, porque somente observam - se variaes relativos sobre referncias conhecidas. Se, p.es., medimos levantando uma curva que tem picos gerados por fenmenos conhecidos e j medidos, basta tomar a distncia a esses picos como referncia, o que nos livra de uma traba lhosa aferio. Mesmo assim, as experincias que um fsico deve desenvolver necessitam de conceitos criteriosos sobre erros. Imaginemos tambm um fsico trabalhando no desenho ou aferio de instrumentos ou em experincias para as quais no instrumentos prontos para medio. O uso rigoroso dos valores absolutos importante na industria, p.es. quando os componentes no so produzidos numa mesma planta, ou seja, no so controlados pelos mesmos instrumentos. Componentes que saem de uma fbrica tem d e se corresponder com os que vem de outra. A nvel internacional isto gera o gerenciamento de normas rigorosas. Aplicao da estatstica no clculo do erro: Se o fenmeno oferece variaes maiores que o erro de leitura, os valores lidos sero difer entes ao repetir a medio, podendo se aplicar estatstica tirando a mdia < x> e

o desvio quadrtico ( ss). A mdia representa o valor mais

provvel e o desvio o erro mais provvel. Para isto o numero de medies precisa ser g rande. Quanto?. At que o valor da mdia e do desvio deixem de ter variaes apreciveis (vide explicao por extenso na Ref.1). Quanto uma variao aprecivel? A resposta sai da mesma considerao que define quanto o erro tolervel, como veremos ma is adiante.

x @@ < x > ss ____________

= x = xi / N , ss = ( x- xi )2/ N (1)

Assim, usamos como erro absoluto Dx o valor de ss , mas isto implica numa probabilidade baixa de o erro estar fora dessa faixa. Esta modalidade us ada em fsica porque d o erro mais provvel e em engenharia onde permite baixar os custos de produo.

PROPAGAO DOS ERROS

De maneira absoluta: Uma magnitude resulta geralmente da medio de varias outras, combinadas numa frmula. Os erros de leitura s das magnitudes primrias afetam ao resultado de maneira diversa, segundo seja a frmula. Chamamos isto de propagao do erro da magnitude primria no resultado final. Assim, se a magnitude A vem definida por uma frmula como P.es.: A = B . C / D

e as magnitudes B, C e D so medidas com erros DB, DC e DD, o erro DA vem de ob ter o valor mximo possvel de A:

AM = ( B + DB) ( C + DC)/ ( D - DD) e subtrai - lo do mnimo:

Am = ( B - DB) ( C - DC)/ ( D + DD)

Assim, damos como valorde A a media e o desvio DA segundo as relaes :

A = DA

= ( AM + Am)/2 DA = ( AM - Am)/2 ( 2) que o valor do erro, sem usar nenhuma aproximao.

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Na aproximao diferencial: Se a frmula for muito complexa pode ser difcil manipula - la, ficando sempre disponvel o resultado por clculo numrico (calculadora, computador). Uma outra maneira de obter frmulas semelhantes, muito usada nos textos, surge de aproximar os resultados do clculo diferencial. Se possvel aceitar que o erro pequeno (de novo a questo:

quanto?) frente ao valor medido, p ode- se aproximar o erro DDx ao valor diferencial d x, igualando o incremento da funo pela derivada da curva:

y = f( x) ---- > Dy Dy* = d y/dx . Dx (3) que corresponde ao caso da Figura 3.

Fig.3: Aproximao do incremento de uma curva por meio da derivada. Observe o segmento tangente a curva representando a derivada. Para saber quando isto possvel necessitamos de uma evaluao que tambm no simples, mas aceitando que algum j testou o critrio, teremos uma frmula como:

D D D DAAB

BAC

CAD

D= + +

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onde no usamos o sinal da derivada porque , no sabendo o sinal do erro, escolhemos a situao mais desfavorvel, a de que os erros sempre acontecem em nossa contra (algo como a "Lei de Murphy"). Experimente usar agora uma frmula de uma experincia das realizadas calculando o erro por (2) e por ( 3) . Calculo do erro propagado aplicando estatstica: Se o numero de magnitudes (fatores de erro) for grande (quanto?), podemos pensar que no seriamos to azarados como para cair sempre no caso pior, e pensar que alguns dos erros poderiam aparecer de mane ira favorvel, diminuindo algo o valor do erro final(caduca a lei de Murphy). Nisto entra a estatstica, calculando essa probabilidade. No caso normal, gaussiano, somamos os erros de maneira algo parecida da soma de vetores:

D D D DAAB

BAC

CAD

D= + +

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Vejamos aproximadamente como isto funciona na Figura 4 , onde (1), (2) e (3) representam os termos dentro da raiz quadrada na equao 5.

Fig.4: Soma estatstica de erros (figura aproximada). Os segmentos tracejados representam a soma.

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O erro cresce, mas no tanto quanto sua soma direta. Lembremos que este caso independente da estatstica nos erros de leitura, mas que os dois assumem uma probabilidade de no serem certos, que talvez poderia se chamar de probabilidade de erro do valor estimado para o erro . Valor permitido para um erro : Quanto de erro bom? 1%, 5%? ... depende de cada caso. Se perguntarmos: "5 reais muito dinheiro?, no haveria resposta possvel sem conhecimento do contexto da situao. Conhecer o tamanho de um ser extraterrestre com exatido de 200% seria muito bom, j para medir o consumo de eletricidade de uma casa essa preciso seria segurament e insuficiente. Consequncia do erro nos grficos : Ao colocar as faixas de erro na representao de valores medidos num grfico, lembre sempre que a curva esperada pode passar por qualquer ponto dentro dessa faixa, no necessariamente pelo valor medido. Lembre tambm que o fato de um ponto medido ser superior (ou inferior) aos outros no indica que esse seja o mximo (ou o mnimo) da curva, visto que falta conhecer todos os outros pontos na vizinhana. No caso da interseo de duas curvas, observe que a extenso da largura delas at a faixa de erro determina uma possibilidade de deslocamento do ponto de interseo no sentido das abcissas, dando uma faixa de erro para o ponto de interseo. Obs.: As figuras foram realizadas com o programa AUTOCAD R10, muito apropriado para o desenho tcnico porque o objeto pode ser definido por suas coordenadas. E tambm de maneira tridimensional, oferecendo depois a vista (perspectiva) mais conveniente. Ele pode funcionar num PC 286, mas necessita de co- processador ma temtico. O programa compactado cabe num nico disquete. A verso mais atual a R13, para DOS ou Windows. produzido pela firma AutoDesk e pode ser acoplado ao programa 3DStudio para fazer animaes.

Referncias bibliogrficas: 1) Apostilas de curs o semelhantes dessenvolvidas desde 1989. Procurar em http://geocities.com/prof_lunazzi/f329/f329.htm

2) Mecnica Elemental, Roederer, Juan G., cap.1, Editorial Universitria de Buenos Aires - EUDEBA, 1963, p.17 - 39.(vide copia fornecida na pasta da discipl ina na biblioteca do IFGW). 3) Problemas experimentais de Fsica, Guimaraes, Roversi, Hennies, ed. UNICAMP,1984, vol.2 e suplemento sobre Algaritmos significativos, erros e desvios, ou edies mais atuais.