CENTRO UNIVERSITRIO DE ENSINO SUPERIOR DO AMAZONAS COORDENAO DE ADMINISTRAO ESTATSTICA Disciplina: Estatstica Aplicada Professora:Simara Moraes Vasconcelos Joo Alves de Souza Filho Jarder Allyson 2 Contedo 1A natureza da estatstica 2Populao, amostra e amostragem 3Representao grfica de sries estatsticas 4Distribuio de freqncia 5Medidas de posio 6Medidas de disperso 7Medidas de assimetria e curtose 8Nmeros ndices 9Probabilidade 10 Correlao e regresso linear simples 3 CAPTULO 1 A NATUREZA DA ESTATSTICA A Estatstica a parte da Matemtica Aplicada que fornece mtodos para coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a utilizao dos mesmos na tomada de decises. -umaferramentaadequadaparadescreverosacontecimentosetirarconclusessobreosdados coletados nas observaes; -Conjuntodeprocessosquetmporobjetivoaobservao,aclassificaoeaanlisedosfenmenos coletivos (ou de massa) e, por fim, a induo das leis a que eles obedecem; -Uminstrumentofundamentalparaoestudoquantitativoequalitativodosfenmenosaleatriose coletivos, quaisquer que sejam seus campos de observao. OsignificadodapalavraEstatsticaUmconjuntodedadosnumricosrelativosaumacategoriade fatos, agrupados de forma que possam ser analisados. 1.PANORAMA HISTRICO Todas as cincias tm suas razes na histria do homem. AMatemtica,originou-sedoconvviosocial,dastrocas,dacontagem,comcarterprtico,utilitrio, emprico. A Estatstica, ramo da Matemtica Aplicada, teve origem semelhante. Desdeaantiguidade,vriospovosjregistravamonmerodehabitantes,denascimento,debitos, faziamestimativas das riquezasindividuale social,distribuameqitativamenteterrasaospovos,cobravam impostos e realizavam inquritos quantitativos por processos que, hoje, chamaramos de estatsticas. EnvolviamaspectosquantitativosequalitativosqueeramdeinteressedoEstado,relativos necessidade de tomada de deciso face realidade dos fatos registrados (tais como reservas de alimentos, disponibilidadedearmamentosehomensparaarealizaodeumcercoouresistnciaaostioquefosse imposto, por exemplo). Na Idade Mdia colhiam-se informaes, geralmente com finalidades tributrias ou blicas. ApartirdosculoXVIcomearamasurgirasprimeirasanlisessistemticasdefatossociais,como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tabelas e os primeiros nmeros relativos. Nesta poca o registro quantitativo - qualitativo dos dados se desprendeu do carter de atendimento ao controle do Estado, para aplicar-se a campos particulares de conhecimento; NosculoXVIIIoestudodetaisfatosfoiadquirindo,aospoucos,feioverdadeiramentecientifica. Godofredo Achenwall batizou a nova cincia (ou mtodo) com o nome deEstatstica, determinando o seu objetivo e suas relaes com as cincias. Astabelastornaram-semaiscompletas,surgiramasrepresentaesgrficaseoclculodas probabilidades,eaEstatsticadeixoudesersimplescatalogaodedadosnumricoscoletivosparase tornaroestudodecomo chegaraconclusessobreotodo(populao),partindodaobservaodepartes desse todo (amostra). 4 2.A ESTATSTICA NAS EMPRESAS 2.1.APLICAES: As tcnicas estatsticas, associadas com programas adequados de computao, constituem valiosos instrumentos na administrao. -Lanamento de um novo produto no mercado Pesquisa de mercado para conhecer as preferncias dos consumidores no mercado de interesse; -Auditorianoslivrosdeumaempresaparasecertificardequeoslanamentosrefletem efetivamentea situaofinanceiradacompanhia Verificauma amostradedocumentosescolhidos aleatoriamente e, com base nessa amostra, fazer inferncias (tendncias) sobre toda a populao; -Experincias para garantir que um novo remdio lanado no mercado seguro e eficiente Testar umremdioconsisteemtomardoisgrupostosemelhantesquandopossvel,edaroremdioaum grupo (grupo experimental), mas no ao outro (grupo de controle), e verificar ento se os resultados nos dois grupos so diferentes; -Estatstica na administrao pblica Produto Interno Bruto (PIB) e o ndice de Preo ao Consumidor (IPC); -Consultoria a um rgo de trnsito sobre a viabilidade e eficincia da instalao de controladores develocidadeempontosestratgicodacidadeAnlisedoregistrodeocorrnciasdefinindo quando,onde,dequeformaparadefinirmososlocaisestratgicosparainvestiremequipamentoe pessoal. Adireodeumaempresa,dequalquertipo,incluindoasestataisegovernamentais,exigedeseu administrador a importante tarefa de tomar decises, e o conhecimento e o uso da Estatstica facilitaro seu trplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. Atravsdesondagem,pormeiodecoletadedados,podemosconhecerarealidadegeogrficae social,osrecursosnaturais,humanosefinanceirosdisponveis,asexpectativasdacomunidadesobrea empresa,eestabelecersuasmetas,seusobjetivoscommaiorpossibilidadedeseremalcanadosacurto, mdio ou longo prazos. AEstatsticaajudaremtaltrabalho,comotambmnaseleoeorganizaodaestratgiaaser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das tcnicas deverificao e avaliao da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possveis lucros e/ou perdas. Tudoissoqueseplanejou,precisaficarregistrado,documentadoparaevitaresquecimentos,afimde garantir o bom uso do tempo, da energia e do material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. O esquema do planejamento o plano, que pode ser resumido, com auxilio da Estatstica, em tabelas e grficos, que facilitaro a compreenso visual dos clculos matemtico-estatstico que lhes deram origem. 2.2.OBJETIVOS -Conjuntodeprocessosquetmporobjetivoaobservao,aclassificaoeaanlisedosfenmenos coletivos (ou de massa) e, por fim, a induo das leis a que eles obedecem; -Descreveradequadamentetodososgrandesgruposdepessoas,animaisouacontecimentosque pretendemos estudar, tanto em relao aos padres tpicos como variao esperada. 5 2.2.1.Por que um administrador deve estudar ESTATSTICA? Para atravs de tcnicas especficas ser capaz de saber: Como extrair informaes significativas de pilhas de dados brutos; Comoanalisartendnciasobreanaturezadeumapopulaocombaseemobservaesdeuma amostra dela extrada; Como predizer taxas de ocorrncia de eventos aleatrios; Como entender e interpretar clculos estatsticos efetuados por outras pessoas. 3.ESTATSTICA DESCRITIVA E ESTATSTICA INFERENCIAL 3.1.ESTATSTICA DESCRITIVA apartedaestatsticaquenospermitecoletar,organizareinterpretardeumamaneiraeficazum conjuntodedadosdeumfenmenopesquisado.Permite-nosdescreveradequadamentetodososgrandes gruposdepessoas,animaisouacontecimentosquepretendemosestudar,tantoemrelaoaospadres tpicos como a variao esperada. Utilizaderol,tabelas,frmulasparaclculos,grficosquepermitamdescreverresumidamenteos fenmenos. 3.2.ESTATSTICA INFERENCIAL OU INDUTIVA Consiste em obter e generalizar concluses, a partir da anlise e interpretao dos dados. Ou seja, inferir propriedades para o todo (populao) com base na parte (amostra). O processo de generalizao est associado a uma margem de incerteza devido ao fato de que a concluso baseia-se em uma parcela do total de observaes. 4.MTODO um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja; Maneira de ordenar a ao segundo certos princpios. 4.1.Mtodo Cientfico Ordem seguida na investigao, no estudo, na persecuo de quaisquer fatos.Dos mtodos cientficos podemos destacar o mtodo experimental e o estatstico. 4.1.1.Mtodo Experimental Consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar estacausa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. Aplicado no estudo da Fsica, da Qumica etc. 4.1.2.Mtodo Estatstico Aplicamos o mtodo estatstico quando precisamos estudar fenmenos que se refere a um conjunto ondesuascaractersticasprpriasestosujeitasacondiespeculiaresecomplexas,influenciadospor vrios fatores. Na impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as,registrandoessasvariaeseprocurandodeterminar,noresultadofinal,queinflunciacabemacada uma delas. Exemplo: Determinao das causas que definem o preo de uma mercadoria.Ascausasnosofixas,nomomentodapesquisa.Noexisteumauniformidadedossalrios,o gostodosconsumidoresnoconstante,serianecessriaafixaodonvelgeraldospreosdasoutras necessidades e outros fatores. Todas as causas variam. 6 5.FASES DO MTODO ESTATSTICO Quando se pretende um estudo estatstico completo, existem diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados finais do estudo. Essas etapas ou operaes so chamadas fases do trabalho estatstico. 5.1 Definio do Problema Aprimeirafasedotrabalhoestatsticoconsisteemumadefinioouformulaocorretado problemaaserestudado.Almdeconsiderarminuciosamenteoproblemaobjetodoestudo,oanalista deverexaminaroutroslevantamentosrealizadosnomesmocampoeanlogos,umavezqueparteda informao de que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses ltimos. Exemplo:Umfabricantedesabonete,quedesejalanarumprodutonovonomercado,poderiaestar interessadoemumestudosobreascaractersticasdosconsumidoresatuais.Nohavendoestudos semelhantes, ele dever formular o problema com base em sua prpria experincia. Uma lista de fatores relevantes dever resultar dessa investigao preliminar: -Nmero de unidades consumidas por famlia em cada ano; -Nmero mdio de pessoas que compe cada famlia; -Nmero de membros adultos da famlia, as marcas preferidas e assim por diante. Saber exatamente o que se pretende pesquisar o mesmo que definir corretamente o problema. 5.2Planejamento O passo seguinte, aps a definio do problema, compreende a fase do planejamento, que consiste emdeterminaroprocedimentonecessriopararesolveroproblemae,emespecial,comolevantar informaes sobre o assunto objeto do estudo. -Que dados devero ser obtidos? -Como obt-los? -O que ser pesquisado? -Quem participar da pesquisa? (Critrios de incluso e excluso) -Em que setor geogrfico ser feita a pesquisa? -Qual o grau de preciso exigido na pesquisa? -Qual o tipo de amostragem? -Qual o tamanho da amostra? -Quais materiais sero necessrios para realizar a pesquisa? -Qual o tempo disponvel para fazer a pesquisa? -Qual o custo previsto? -Qual a verba destinada ao projeto? Etc. precisoplanejarotrabalhoaserrealizado,tendoemvistaoobjetivoquesepretendeatingir.Mais especificamente, na fase do planejamento a preocupao maior reside na escolha das perguntas, bem como sua correta formulao, qualquer que seja a modalidade de coleta dos dados. O planejamento pode ser dividido em: censitrio que utilizado quando a contagem for completa, ou por amostragem quando for parcial. Exemplos: Censitrio levantamento do IBGE. Amostragem opinio dos eleitores sobre o presidente. 7 5.3Coleta de Dados Apsplanejamentoeanlisedoquesequerpesquisar,damosiniciocoletadosdadosnumricos necessrios sua descrio.Pode ser direta e indireta: Acoletadiretaquandofeitasobreelementosinformativosderegistroobrigatrio(nascimentos, casamentose bitos,importaoe exportaodemercadorias),elementospertinentes aos pronturios dos alunosdeumaescola,quandoosdadossocoletadospeloprpriopesquisadoratravsdequestionrios, como o caso do censo demogrfico etc. classificada em: a.Contnua (registro) - quando feita continuamente. b.Peridica - quanto feita em intervalos constante de tempo, como os censos. c.Ocasional - quanto feita extemporaneamente, a fim de atender a conjuntura ou a uma emergncia, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros. A coleta indireta quando inferida de elementos conhecidos (direta) e/ou do conhecimento de outros fenmenosrelacionadoscomofenmenoestudado.Comoexemplo,podemoscitarapesquisasobrea mortalidade infantil, que feita atravs de dados colhidos por outra coleta direta. 5.4Crtica de Dados Obtidososdados,elesdevemsercuidadosamentecriticados,procuradepossveisfalhase imperfeies, a fim de no incorremos em erros grosseiros, que possam influir sensivelmente nos resultados. externa quando visa s causas dos erros por parte do informante, por distrao ou m interpretao dasperguntasquelheforamfeitas;internaquandovisaobservaroselementosoriginaisdosdadosda coleta. 5.5 Apurao dos dados Soma e o processamento dos dados obtidos e a disposio mediante critrios de classificao. Pode ser manual ou eletrnica. 5.6 Exposio ou apresentao dos dados. Osdadosdevemserapresentadossobaformaadequada(tabelasougrficos),tornandomaisfcilo exame daquilo que est sendo objeto de tratamento estatstico. 5.7 Anlise dos resultados Oobjetivoltimodaestatsticatirarconclusessobreotodo(populao)apartirdeinformaes fornecidas por parte representativa do todo (amostra). APRESENTAMOS O DIAGRAMA DA ESTATSTICA DESCRITIVA QUESTES 1.O que estatstica? 2.Diferencie Estatstica Descritiva de Estatstica Inferencial. Coleta De dados Organizao ou critica de dados Tabulao dos dados Apresentao dos dados Tabela Grfico Anlise 8 CAPTULO 2 POPULAO, AMOSTRA E AMOSTRAGEM 1.POPULAO E AMOSTRA 1.1. Populao-oconjuntodeelementos(pessoas,coisas,objetos)quetmemcomumuma caracterstica em estudo. A populao pode ser: i.Finita: quando apresenta um nmero limitado de indivduos. Exemplos: (a) A populao constituda por todos os parafusos produzidos em uma fbrica em um dia.(b) Nascimento de crianas em um dia em Manaus. ii.Infinita: quando o nmero de observaes for infinito. Exemplo:Apopulaoconstitudadetodososresultados(caraecoroa)emsucessivoslancesde uma moeda. 1.2. Amostra-oconjuntodeelementosretiradosdapopulao,suficientementerepresentativos dessapopulao.Atravsdaanlisedessaamostra,estaremosaptosparaanalisarosresultados da mesma forma que se estudssemos toda a populao. Eis alguns exemplos: Exemplo 1: "Os campos de aplicao da Estatstica so muitos e os mais variados." Estudos demercado Ogerentedeumafbricadedetergentespretende lanarumnovoprodutoparalavarloua,uma empresaespecialistaemestudosdemercado encarregadade"estimar"apercentagemde potenciais de compradores desse produto. Populao:Conjunto de todos os agregados familiares do Pas. Amostra:Conjunto de alguns agregados familiares, inquiridos pela empresa. Problema:Pretende-se,apartirdapercentagemderespostasafirmativas,dosinquiridossobrea compradonovoproduto,obterumaestimativadonmerodecompradoresna Populao. 9 Exemplo 2: "Os campos de aplicao da Estatstica so muitos e os mais variados." Medicina Pretende-se estudar oefeito de um novo medicamento para curardeterminadadoena.selecionadoumgrupode20 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitualaos restantes. Populao:Conjunto de todos os doentes com a doena que o medicamento a estudar pretende tratar. Amostra:Conjunto dos 20 doentes selecionados. Problema:Pretende-se,apartirdosresultadosobtidos,realizarum"testedehipteses"para tomar uma deciso sobre qual dos medicamentos melhor. Exemplo 3: "Os campos de aplicao da Estatstica so muitos e os mais variados." Controle de Qualidade Oadministradordeumafbricadeparafusospretendeassegurar-sedequea percentagem de peas defeituosas no excede um determinado valor, a partir do qual determinada encomenda poderia ser rejeitada. Populao: Conjunto de todos os parafusos fabricados ou a fabricar pela fbrica, utilizando o mesmo processo. Amostra:Conjuntodeparafusosescolhidosaoacasodeentreolote de produzidos. Problema: Pretende-se,apartirdapercentagemdeparafusos defeituosospresentesnaamostra,"estimar"apercentagem de defeituosos em toda a produo. Exemplo 4: "Os campos de aplicao da Estatstica so muitos e os mais variados." Pedagogia Umconjuntodepedagogosdesenvolveuumatcnicanovaparaaaprendizagemda leitura,naescolaprimria,aqual,segundodizem,encurtaotempodeaprendizagem relativamente ao mtodo tradicional. Populao: conjuntodetodososalunosqueentramparaa escola primria, sem saber ler. Amostra:conjuntodealunosdealgumasescolas selecionadasparaesteestudo.Osalunosforam separadosemdoisgruposparaseaplicaremas duas tcnicas em confronto. Problema:doestudodaamostra,decidirqualatcnica melhor. 10 Outros exemplos. a.Populao: Todos os eleitores do estado do Amazonas. Amostra: 3.000 eleitores entrevistados em uma pesquisa de opinio. b.Populao: Todos os livros e lanamento anual de uma grande firma. Amostra: Livros e lanamentos escolhidos aleatoriamente para auditoria. c.Populao: Produtos de um fornecedor a serem embarcados. Amostra: Inspeo de algumas peas de item escolhido aleatoriamente. Obs. A amostra sempre finita. Quanto maior for a amostra mais significativa o estudo. 2.AMOSTRAGEM 2.1.Amostragem Aleatria Simples Este tipo de amostra equivalente a um sorteio lotrico. Exemplo:Vamosobterumaamostrarepresentativaparapesquisadaestaturadenoventaalunosde uma escola: a.Numeramos os alunos de 01 a 90 (numera-se a populao). b.Escrevemos os nmeros, de 01 a90, em pedaos iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaos de papel retiramos, um a um, nove nmeros que formaro a amostra. Neste caso, 10% da populao. Quandoonmerodeelementosdaamostragrande,utilizamosaTabeladeNmerosAleatrios, construda de modo que os dez algarismos (0 a 9) so distribudos ao acaso nas linhas e colunas.A leitura databelapodeserfeitahorizontalmente(dadireitaparaesquerdaouvice-versa),verticalmente(decima parabaixoou vice-versa),diagonalmente(nosentidoascendenteou descendente)ouformando odesenho de uma letra qualquer. A opo, porm, deve ser feita antes de iniciado o processo. 2.2.Amostragem proporcional estratificada Muitas vezes a populao se divide em sub-populaes estratos. Exemplo: Supondo, que em uma sala de aula com noventa alunos, sendo que 54 so meninos e 36 so meninas, vamos obter a amostra proporcional estratificada. So,portanto,doisestratos(sexomasculinoesexofeminino)equeremosumaamostrade10%da populao. Logo, temos: SEXOPOPULAO10%AMOSTRA M5410010 54 = 5,4 5 F3610010 36= 3,6 4 Total9010010 90= 9,0 9 11 2.3.Amostragem sistemtica Quandooselementosdapopulaojseachamordenados,nohanecessidadedeconstruiro sistemadereferncia.Soexemplosospronturiosmdicosdeumhospital,osprdiosdeumarua,as linhas de produo etc. Nestes casos, a seleo dos elementos que constituiro a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos sistemtica. Estaamostragemsemelhantealeatriasimples,masalistagemordenada.Devemosseguiros seguintes passos: Divide-seotamanhodapopulao(N)pelotamanhodaamostra(n),obtendoumintervalode retirada (k). sorteia-se o ponto de partida. a cada k elementos retira-se uma para amostra. Assim,nocasodeumalinhadeproduo,podemos,acadadezitensproduzidos,retirarumpara pertencer amostra da produo diria. Neste caso, estaramos fixando o tamanho da amostra em 10% da populao. Exemplo:Suponhamosumaruacom450casas,dasquaisdesejamosobterumaamostraformadapor25 casas para uma pesquisa de opinio. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: 1 Passo: como 450/25 = 18, portanto o intervalo 18. 2Passo:escolhemosporsorteiocasualumnmerode01a18,oqualindicariaoprimeiroelemento sorteado para a amostra; 3 Passo: os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o nmero sorteado fosse 4 a amostra seria: 4 casa, 22 casa, 40 casa, 58 casa, 76 casa, etc. 3.TIPO DE VARIVEISVariveis podem ser classificadas da seguinte forma:3.1.VariveisQuantitativas:soascaractersticasquepodemsermedidasemumaescala quantitativa,ouseja,apresentamvaloresnumricosquefazemsentido.Podemsercontnuasou discretas.3.1.1.Variveisdiscretas:caractersticasmensurveisquepodemassumirapenasumnmero finitoouinfinitocontveldevalorese,assim,somentefazemsentidovaloresinteiros. Geralmentesooresultadodecontagens.Exemplos:nmerodefilhos,nmerodebactrias por litro de leite, nmero de cigarros fumados por dia.3.1.2.Variveiscontnuas,caractersticasmensurveisqueassumemvaloresemumaescala contnua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidasatravsdealguminstrumento.Exemplos:peso(balana),altura(rgua),tempo (relgio), presso arterial, idade. 12 3.2.VariveisQualitativas(oucategricas):soascaractersticasquenopossuemvalores quantitativos,mas,aocontrrio,sodefinidasporvriascategorias,ouseja,representamuma classificao dos indivduos. Podem ser nominais ou ordinais.3.2.1.Variveisnominais:noexisteordenaodentreascategorias.Exemplos:sexo,cordos olhos, fumante/no fumante, doente/sadio.3.2.2.Variveis ordinais: existe uma ordenao entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estgio da doena (inicial, intermedirio, terminal), ms de observao (janeiro, fevereiro,..., dezembro). Outros exemplos: Onmerodotelefonede umapessoa,onmero da casa,onmerode suaidentidade.s vezes o sexo do indivduo registrado na planilha de dados como 1 se macho e 2 se fmea, por exemplo. Isto no significa que a varivel sexo passou a ser quantitativa!Exemplo dos ursos marrons (continuao):

Noconjuntodedadosursosmarrons,soqualitativasasvariveissexo(nominal)emsda observao (ordinal); so quantitativas contnuas as demais: idade, comprimento da cabea, largura da cabea, permetro do pescoo, permetro do trax, altura e peso. EXERCCIO 1)Amostragemestratificada.Emumafbricaexistem180funcionrios,sendo:8nofinanceiro;6no fiscal; 4 no RH; 7 no CPD; 9 na Manuteno; 46 na Embalagem; 80 na Produo; 20 na Expedio. Crie uma tabela que obtenha uma amostra de 80 funcionrios. 2)Amostragemestratificada.Odiretordeumaescola,naqualestomatriculados280meninose320 meninas,desejaconhecerascondiesdevidaextra-escolardeseusalunosenodispedetempo paraentrevistartodasasfamlias,resolveufazerumlevantamento,poramostragem,em10%dessa clientela. Obtenha, para este diretor, os elementos componentes da amostra. 3)Uma populao encontra-se dividida em trs estratos, com tamanhos, respectivamente, n1= 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao realizar uma amostragem estratificada proporcional, 9 elementos da amostra foram retirados do 3 estrato, determine o nmero de elementos da amostra. 4)Tenho 80 lmpadas numeradas numa caixa.Como obtemos uma amostra de 12 lmpadas, a partir da amostragem sistemtica? 5)De uma populao de 480 elementos ordenados, retire uma amostra sistemtica de tamanho 20. 6)Deseja-se retirar uma amostra sistemtica de 10 unidades de uma populao de tamanho 890. 13 7)Classifique as variveis em qualitativas(nominal ou ordinal) ou quantitativas (contnuas ou discretas): a.Da Populao, alunos de uma cidade estuda-se a varivel, cor de olhos. b.DaPopulao,estaometeorolgicadeumacidade,estuda-seavarivel,precipitao pluviomtrica, durante um ano. c.DaPopulao,BolsadeValoresdeSoPaulo,estuda-seavarivel,nmerodeaes negociadas. d.Da Populao, funcionrios de uma empresa, estuda-se a varivel, salrios. e.Da Populao, pregos produzidos por uma mquina, estuda-se a varivel,comprimento. f.Da Populao, casais residentes em uma cidade, estuda-se a varivel, sexo dos filhos. g.Da Populao, propriedades agrcolas do Brasil, estuda-se a varivel, produo de algodo. h.Da Populao, segmento de reta, estuda-se a varivel, comprimento. i.Da Populao, bibliotecas da cidade de So Paulo, estuda-se a varivel, nmero de volumes. j.Da Populao, aparelhos produzidos em uma linha de montagem, estuda-se a varivel, nmero de defeitos por unidade. 14 Tabela de Nmeros Aleatrios 15 CAPTULO 3 REPRESENTAO GRFICA DE SRIES ESTATSTICAS 1TABELAS um quadro que resume um conjunto de observaes. Uma tabela compe-se de: a.corpo conjunto de linhas e colunas que contm informaes sobrevarivel em estudo; b.cabealho parte superior da tabela que especifica o contedo das colunas; c.coluna indicadora parte da tabela que especifica o contedo das linhas; d.linhas retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; e.casa ou clula espao destinado a um s nmero; f.ttulo conjunto de informaes, as mais completas possveis, respondendo s perguntas: O qu?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela. Haindaaconsideraroselementoscomplementaresdatabela,quesoafonte,asnotaseas chamadas, colocados, de preferncia, no seu rodap. Exemplo: PRODUO DE CAF TTULO BRASIL - 1998-02 ANOS PRODUO (1.000 t) CABEALHO 1998 2.535 CASA OU CLULA CORPO19992.66520002.122 LINHAS 20013.75020022.007RODAPFONTE: IBGE. COLUNA INDICADORA COLUNA NUMRICA De acordo com a Resoluo 886 do IBGE, nas casas ou clulas da tabela devemos colocar: oum trao horizontal ( - ) quando o valor zero;otrs pontos ( ... ) quando no temos os dados;ozero ( 0 ) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;oum ponto de interrogao ( ? ) quando temos dvida quanto exatido de determinado valor. Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto. 16 2SRIES ESTATSTICAS Toda tabela que apresenta a distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da espcie. 2.1Sries histricas, cronolgicas, temporais ou marchas Descrevem os valores da varivel, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo variveis. Exemplo: PRODUO DE FERTILIZANTES FOSFATADOS BRASIL 1996-00 ANOSQUANTIDADE (t) 19963.570.115 19974.504.201 19985.448.835 19994.373.226 20004.024.813 FONTE:AssociaoNacionalparaDifusodeAdubose Corretivos Agrcolas. 2.2 Sries geogrficas, espaciais, territoriais ou de localizao Descrevem os valores da varivel, em determinado instante, discriminados segundo regies. Exemplo: 2.3 Sries especficas ou categricas Descrevemosvaloresdavarivel,emdeterminadotempoelocal,discriminadossegundo especificaes ou categorias. Exemplo: REBANHOS BRASILEIROS - 2001 ESPCIE QUANTIDADE (1.000 dzias) Bovinos139.599 Bufalinos1.181 Eqinos5.855 Asininos1.304 Muares1.984 Sunos32.121 Ovinos20.085 Caprinos11.313 Coelhos909 FONTE: IBGE PRODUO DE OVOS DE GALINHA NO BRASIL - 2001 REGIO QUANTIDADE (1.000 dzias) Norte66.092 Nordeste356.810 Sudeste937.463 Sul485.098 Centro-Oeste118.468 FONTE: IBGE 17 2.4 SRIES CONJUGADAS TABELA DE DUPLA ENTRADA Muitas vezes temos necessidade de apresentar, em uma nica tabela, a variao de valores de mais de uma varivel, isto , fazer uma conjugao de duas ou mais sries. Conjugando duas sries em uma nica tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Exemplo: TELEFONES INSTALADOS - 1999-2001 REGIO199920002001 Norte373.312 403.712 457.741Nordeste1.440.531 1.567.006 1.700.467Sudeste8.435.308 8.892.409 8.673.660Sul2.106.145 2.192.762 2.283.581Centro-Oeste803.013 849.401 944.075Total13.158.309 13.905.290 14.059.524Fonte: IBGE Aconjugao,noexemplodado,foisriegeogrfica-sriehistrica,quedorigemsrie geogrfico-histrica ou geogrfico-temporal. EXERCCIOS 1)Classifique as sries estatsticas: a)PRODUO DE BORRACHA NATURAL 1991-93 ANOSTONELADAS 199129.543 199230.712 199340.663 FONTE: IBGE b) AVICULTURA BRASILEIRA 1992 ESPCIES NMERO (1.000 cabeas) Galinhas204.160 Galos, frangos, frangas e pintos435.465 Codornas2.488 FONTE: IBGE c) EXPORTAO BRASILEIRA 1985-1990-1995 IMPORTADORES 1985 % 1990 % 1995 % Amrica Latina13,013,425,6 EUA e Canad28,226,322,2 Europa33,935,220,7 sia e Oceania10,917,715,4 frica e Oriente Mdio14,08,85,5 Fonte: MIC e SECEX 2)Verificou-se, em 1993, o seguinte movimento de importao de mercadorias: 14.839.804 t, oriundas daArbiaSaudita,novalordeUS$1.469.104.000;10.547.889t,dosEstadosUnidos,novalorde US$6.034.946.000;e561.024t,doJapo,novalordeUS$1.518.843.000.Confeccioneasrie correspondenteeclassifique-a,sabendoqueosdadosacimaforamfornecidospeloministrioda fazenda. 17 3Grficos Estatsticos Arepresentaogrficadassriesestatsticastemporfinalidaderepresentarosresultadosobtidos, permitindoquesechegueaconclusessobreaevoluodofenmenoousobrecomoserelacionamos valoresdasrie.Aescolhadogrficomaisapropriadoficaracritriodoanalista.Contudo,oselementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados, quando da elaborao de um grfico. Simplicidadeogrfico deve serdestitudo dedetalhesdeimportnciasecundria, assimcomodetraos desnecessrios que possam levar o observador a uma anlise morosa ou com erros. Clareza o grfico deve possibilitar uma correta interpretao dos valores representativos do fenmeno em estudo. Veracidade o grfico deve expressar a verdade sobre o fenmeno em estudo. Diretrizes para a construo de um grfico: -Ottulodogrficodeveseromaisclaroecompleto possvel.Quando necessrio,deve-se acrescentar subttulos; -A orientao geral dos grficos deve ser da esquerda para a direita;-As quantidades devem ser representadas por grandezas lineares; -Sempre que possvel, a escala vertical h de ser escolhida de modo a aparecer a linha 0 (zero); -S devem ser includas no desenho as coordenadas indispensveis para guiaro olhar do leitor ao longo da leitura. Um tracejado muito cerrado dificulta o exame do grfico;-A escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita, e a vertical de baixo para cima; -Os ttulos e marcaes do grfico devem ser dispostos de maneira que sejam facilmente lidos, partindo da margem horizontal inferior ou da margem esquerda.

Leitura e interpretao de um grfico: -Declararqualofenmenooufenmenosrepresentados,aregioconsiderada,operododetempo,a fonte dos dados, etc.; -Examinar o tipo de grfico escolhido, verificar se o mais adequado, criticar a sua execuo, no conjunto e nos detalhes; -Analisarcadafenmenoseparadamente,fazendonotarospontosmaisemevidncia,omximoeo mnimo, assim como as mudanas mais bruscas;-Investigarsehumatendnciageralcrescenteoudecrescenteou,ento,seofatoexposto estacionrio; -Procurar descobrir a existncia de possveis ciclos peridicos, qual o perodo aproximado, etc. 18 Classificao dos grficos: Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas. 3.1 Diagramas Sogrficosgeomtricosdispostosemduasdimenses.Soosmaisusadosnarepresentaode sries estatsticas. Eles podem ser: Grficos em linhas ou lineares. umdosmaisimportantesgrficos;representaobservaesfeitasaolongodotempo.Taisconjuntosde dados constituem as chamadas sries histricas. Exemplo:VendasdetelevisesdetuboemR$1000,00nosanosde2001a2007daempresaLLda Amaznia Ltda, localizadas em Manaus. Vendas de TV da Empresa LL - Manaus 01002003004005002001 2002 2003 2004 2005 2006 2007Mil ReaisFonte: Fictcia GrficosemBarras(ouemcolunas).arepresentaodeuma sriepormeioderetngulos,dispostos horizontalmente (em barras) ou verticalmente (em colunas). Quandoembarras,osretngulostmamesmaalturaeoscomprimentossoproporcionaisaos respectivos dados. Quandoemcolunas,osretngulostmamesmabaseeasalturassoproporcionaisaosrespectivos dados. Se as legendas no so breves usa-se de preferncia o grfico em barrasna horizontal. A ordem a ser observada a cronolgica, se a srie for histrica, e a decrescente, se for geogrfica ou categrica. 19 Exemplo: Populao Brasileira nas dcadas de 40 a 70 em milhes. Populao Brasileira em Milhes0204060801001940 1950 1960 1970Fonte: Fictcia Grficos em colunas superpostas. Eles diferem dos grficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barraoucolunasegmentadaempartescomponentes.Servempararepresentarcomparativamentedoisou mais atributos. Sofreqentementeusadospararepresentaode sriescronolgicascomumgrandenmerode perodos de tempo. As linhas so mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuaes nas sries ou quando h necessidade de se representarem vrias sries em um mesmo grfico. Quandorepresentamos,emummesmosistemadecoordenadas,avariaodedoisfenmenos,a parte interna da figura formada pelos grficos desse fenmeno denominada de rea de excesso. Exemplo: Populao urbana do Brasil por regio de 1940 a 1980 (x 1000) 20 Grficos em setores. Este grfico construdo com base em um crculo, e empregado sempre que desejamos ressaltar aparticipaododadonototal.Ototalrepresentadopelocrculo,queficadivididoemtantossetores quantas so as partes. Ossetoressotaisquesuasreassorespectivamenteproporcionaisaosdadosdasr ie.O grfico em setores s deve ser empregado quando h, no mximo, sete dados. Obs: As sries temporais geralmente no so representadas por este tipo de grfico. Exemplo: Representar a srie em grficos debarrase grfico de setor: Matrculas nos cursos da Cidade A 2009 CATEGORIAN. DE ALUNOS% Alfabetizao25.28662,90 Mdio11.68129,06 Superior3.2348,04 Total40.201100,00 Fonte Fictcia Representao em barrasRepresentao em setores 21 Grfico Polar ogrficoidealpararepresentarsriestemporaiscclicas,isto,sriesqueapresentamemseu desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a variao da precipitao pluviomtrica ao longo do ano, ou da temperatura ao longo do dia, o consumo de energia eltrica durante o ms ou o ano, etc. Exemplo: Movimento Mensal de Compras de uma agncia em 2006. MesesValores(R$ 1.000,00) Janeiro12 Fevereiro13 Maro14 Abril12 Maio15 Junho19 Julho17 Agosto18 Setembro14 Outubro16 Novembro12 Dezembro18 Fonte: dados Fictcios Movimento Mensal de Compras de uma agncia em 2006 Fonte: Dados Fictcios, em mil reais. 22 3.2 Estereogramas: Sogrficosgeomtricosdispostosemtrsdimenses,poisrepresentamvolume.Sousadosnas representaes grficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de grfico fica difcil de ser interpretado dada a pequena preciso que oferecem. 3.3 Pictogramas:Soconstrudosapartirdefigurasrepresentativasdaintensidadedofenmeno.Estetipodegrficotema vantagem de despertar a ateno do pblico leigo, pois sua forma atraente e sugestiva. Os smbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas que apenas mostram uma viso geral do fenmeno, e no de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo: 23 3.4Cartogramas:Soilustraesrelativasacartasgeogrficas(mapas).Oobjetivodessegrficoode figurar os dados estatsticos diretamente relacionados com reas geogrficas ou polticas. Exemplo:Populao da Regio Sul do Brasil 1990 Populao da Regio Sul do Brasil 1990 Densidade populacional da Regio Sul do Brasil 24 EXERCCIOS3)Faa a representao em linha dos dados contidos na srie abaixo: PRODUO BRASILEIRA DE LEO DE DEND 1987- 92 ANOSQUANTIDADE (1.000 t) 198739,3 198839,1 198953,1 199065,1 199169,1 199259,5 FONTE: Agropalma 4)Escolha o melhor tipo de grfico para representar os vrios tipos de sries. a)Os dez Estados que fizeram maior nmero de Transplantes de rim em 98. EstadosNo de Transplantes DF34 BA38 ES56 PE56 CE87 PR181 RJ181 MG231 SP756 FONTE: Assoc. Brasileira de Transplante de rgos. b)rea Terrestre do Brasil REGIOPERCENTUAL NORTE45,25 NORDESTE18,28 SUDESTE10,85 SUL6,76 CENTRO-OESTE18,86 FONTE: IBGE c)IMUNIZAES - DOSES APLICADAS POR MUNICPIO- 1997 MUNICPIODOSES APLICADAS ERECHIM51.215 NOVO HAMBURGO110.844 PORTO ALEGRE615.317 RIO GRANDE84.997 SANTA MARIA107.701 FONTE: Minstrio da Sade. d)COMRCIO EXTERIOR BRASIL - 1988/1993 AnosExportao Importao 1988169.66658.085 1989177.03357.293 1990168.09557.184 1991165.97463.278 1992167.29568.059 1993182.56177.813 FONTE: Ministrio da Indstria, Comrcio e Turismo. 25 e)O estado das florestas do planeta e o que foi devastado pela ocupao humana - em milhes de km. Continenterea Desmatadarea Atual deFlorestas Oceania0,50,9 sia10,84,3 frica4,52,3 Europa6,89,6 Amrica do Sul2,96,8 Amrica do Norte e Central 3,29,4 FONTE: World Resources Institute 5)DeacordocomoIBGE(1988),em1986ocorreram,emacidentesdetrnsito,27306casosdevtimasfatais, assimdistribudos:11712pedestres,7116passageirose8478condutores.Faaumatabelaparaapresentar esses dados, classifique e faa uma representao grfica. 6)De acordo com Ministrio da Educao a quantidade de alunos matriculados no ensino de 1 grau no Brasil nos de 1990 a 1996 em milhares de alunos, so: 19.720 20.567 21.473 21.887 20.598 22.473 23.564. Faa uma tabela para apresentar esses dados, classifique e faa uma representao grfica. 7)EstabelecimentosdeensinodaregionortedoBrasilem1982.Aregionortesubdivide-seem:Rondnia, Acre,Amazonas,Roraima,PareAmapepossuemumtotalde29,13,78,4,10e9estabelecimentosde ensino,respectivamente,segundooMEC.Faaumatabelaparaapresentaressesdados,classifiqueefaa uma representao grfica. 8)Faa a representao grfica em polar da srie a seguir, em que a fonte fictcia: Precipitao pluviomtricade Santa Maria RS-1999 MesesPrecipitao (mm) Janeiro174,8 Fevereiro36,9 Maro83,9 Abril462,7 Maio418,1 Junho418,4 Julho538,7 Agosto323,8 Setembro39,7 Outubro66,1 Novembro83,3 Dezembro201,2 9)ENADE2006.Alegislaodetrnsitobrasileiraconsideraqueocondutordeumveculoestdirigindo alcoolizado quando o teor alcolico de seu sangue excede 0,6 gramas de lcool por litro de sangue. O grfico abaixo mostra o processo de absoro e eliminao do lcool quando um indivduo bebe, em um curto espao de tempo, de 1 a 4 latas de cerveja. 26 Considere as afirmativas a seguir. I - O lcool absorvido pelo organismo muito mais lentamente do que eliminado. II - Uma pessoa que v dirigir imediatamente aps a ingesto da bebida pode consumir, no mximo, duas latas de cerveja. III - Se uma pessoa toma rapidamente quatro latas de cerveja, o lcool contido na bebida s completamente eliminado aps se passarem cerca de 7 horas da ingesto. Est(o) correta(s) a(s) afirmativa(s) (A) II, apenas (B) I e II, apenas (C) I e III, apenas (D) II e III, apenas (E) I, II e III. 27 CAPTULO 4 DISTRIBUIO DE FREQNCIADistribuio de freqncia uma tabela resumida na qual os dados so organizadosem grupos de classe ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente ordenadas. Nas distribuies de freqncia, os dados so agrupados segundo um critrio de magnitude, em classe ou pontos, permanecendo constante o fato, local e tempo, de talforma que se possa determinar a percentagem ounmero,decadaclasse.umtipodeapresentaoquecondensaumacoleodedadosconformeas freqncias ou repetiesde seus valores.

Aconstruodadistribuiodefreqnciadependedotipodedadocomosquaisseestlidando: contnuos ou discretos. O histograma mostra a Pirmide etria relativa de homens e mulheres nos anos de 1997 e 2007. 28 1.DISTRIBUIO SEM INTERVALOS DE CLASSE Distriduies em que no h uma necessidade de ordenar a varivel em estudo em intervalos.DigamosqueumalunoaofazeraavaliaoinstitucionaldoCIESA,temasseguintesopespssimo, ruim, bom, muito bom e timo. Portanto podemos organizar esse dados em uma distribuio de frequencia sem intervalos de classe, veja o exemplo: Exemplo1:NaavaliaoinstitucionaldoCIESA,temosoitemauto-avaliaodosalunosdeumadeterminada turma de Logstica, vejam a tabela primitiva (dados coletados sem ordenao). RuimRuimBomMuito BomBom BomBomMuito Bomtimotimo BomRuimMuito BomMuito BomBom PssimoMuito BomtimoMuito BomBom Podemos organizar esses dados (rol): PssimoBomBomMuito BomMuito Bom RuimBomBomMuito Bomtimo RuimBomBomMuito Bomtimo RuimBomMuito BomMuito Bomtimo Com esses dados podemos construir uma distribuio de freqncia sem intervalos de classe: ConceitoNmero de alunos Pssimo1 Ruim3 Bom7 Muito Bom6 timo3 20 Exemplo 2: Nmero de Partos Produzidos em uma maternidade, contagem diria durante um ms: 0; 1; 0; 2; 1; 4; 4; 1; 2; 1; 3; 2 ; 4; 4; 1; 4; 1; 2; 4; 2; 4; 4; 3; 2; 2; 4; 2; 3; 4; ; ROL (ordenando os fenmenos) 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4. Nmero de partosDias 02 16 28 34 410 Total30 29 2.DISTRIBUIO DE FREQUENCIA COM INTERVALOS DE CLASSE Distribuies em que ordenamos a varivel em estudo em intervalos. 2.1 TABELA PRIMITIVA E ROL Suponhamostermosfeitoumacoletadedadosrelativossestaturasdequarentaalunos,que compem uma amostra dos alunos de um colgio A, resultando a seguinte tabela de valores: TABELA 1 ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLGIO A ( cm ) 166160161150162160165167164160 162161168163156173160155164168 155152163160155155169151170164 154161156172153157156158158161 Aessetipodetabela,cujoselementosnoforamnumericamente organizados,denominamostabela primitiva. A tabela obtida aps a ordenao dos dados recebe o nome de rol. TABELA 2 ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLGIO A ( cm) 150154155157160161162164166169 151155156158160161162164167170 152155156158160161163164168172 153155156160160161163165168173 Agora,podemossaber,comrelativafacilidade,qualamenorestatura(150cm)equalamaior(173 cm);2.2 DISTRIBUIO DE FREQNCIA Denominamos freqncia o nmero de vezes que o elemento fica relacionado a um determinado valor da varivel. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuio de freqncia. TABELA 3 Estat.Freq.Estat.Freq.Estat.Freq. 150115821671 151116051682 152116141691 153116221701 154116321721 155416431731 15631651 15711661Total40 O processo da tabela de freqncia dado ainda inconveniente, j que exige muito espao. A soluo o agrupamento dos valores em vrios intervalos, denominado:Distribuio de freqncia com intervalos de classe: TABELA 4 ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLGIO A 30 Estaturas (cm)Freqncias 150 1544 154 1589 158 16211 162 1668 166 1705 170 1743 Total40 Assim,seumdosintervalosfor,porexemplo,154158(umintervalofechadoesquerdae aberto direita, diremos que nove alunos tm estaturas entre 154, inclusive, e 158 cm, exclusive. Destemodo,estaremosagrupandoosvaloresdevarivelemintervalos,sendoque,emEstatstica, preferimos chamar os intervalos de classes. Ateno:osinalsignificaqueonmeroondequeestfechadoincludonacontagem,eoaberto excludo. Ex. No intervalo de 150 cm (incluindo) a 154 cm ( excluindo este valor ) na Tabela 2 existem 4 alunos. Representamos assim 150 154. 2.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIA COM CLASSE VantagensGanhamos em simplicidade e visualizao. Desvantagens Perdemos em pormenores (detalhes) Os valores no aparecem individualmente. 2.3.1CLASSE Classe de freqncia ou, simplesmente, classes so intervalos de variao de varivel. Representadassimbolicamentepori,sendoi=1,2,3,...,k(ondekonmerototaldeclassesda distribuio). Classe: Agrupamento dos valores da varivel em intervalos. Intervalos de variaes da varivel. i = ndice n. de classes k = n. total de classes da distribuio. 2.3.2LIMITES DE CLASSE Determinamos limites de classe os extremos de cada classe. Li = limite inferior Ls = limite superior 31 Amplitude: Medida do intervalo observado da varivel, da classe ou da amostra. 2.3.3AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA ( AT ) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo da amostra: AT=Xmx Xmin

Xmx= valor mximo da amostra Xmin =valor mnimo da amostra

Ex. Na tabela 2 a amplitude de variao amostral de 173 150 = 23 cm. 2.3.4AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE a medida do intervalo que define a classe hi = Ls Li 2.3.5AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIO DE CLASSE (AT) adiferenaentreolimitesuperiordaltimaclasse(mximo)eolimiteinferiordaprimeiraclasse (mnimo).AT = L(mx) L(min)

L (mx )=Limite superior da ltima classe L (mn) =Limite inferior da primeira classe 2.3.6PONTO MDIO DE UMA CLASSE Ponto que divide o intervalo de classe ao meio, ou seja, o ponto que divide o intervalo de classe de classe em duas partes iguais. xi =2Ls + Li 2.3.7FREQNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA o nmero de observaes correspondentes a essa classe ou a esse valor. Soma de todas as freqncias. fi = n 32 Podemos, agora, dar a distribuio de freqncia das estaturas dos quarentas alunos do ColgioA a seguinte representao tabular tcnica: TABELA 4.1 ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLGIO A iEstaturas (cm)fihixi 115015444152 215415894156 3158162114160 416216684164 516617054168 617017434172 40 L(mx )174 2 = 154 (mn)150 - L5 = 170AT24 3TIPOS DE FREQNCIAS PARA DISTRIBUIO COM CLASSES Freqncia simples ou absoluta (fi) so os valores que realmente representam o nmero de dados de cada classe. Freqnciarelativa(fr) soosvaloresdasrazesentreasfreqnciassimplesdecada classeeo somatrio das freqncias, freqncia total. fr = iiff. 100 Freqncia acumulada (fac) o total das freqncias de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe: fac = f1 + f2 + + fk Freqnciaacumuladarelativa(frac)deumaclasseafreqnciaacumuladadaclasse,dividida pela freqncia total da distribuio. frac = iffac. 100 Considerando a Tabela 4, podemos montar a seguinte tabela com as freqncias estudadas: TABELA 4.2 iEstaturas (cm)fixifrfacfrac 115015441520,10040,100 215415891560,225130,325 3158162111600,275240,600 416216681640,200320,800 516617051680,125370,925 617017431720,075401,000 401,000 33 ROTEIRO PARA ELABORAO DA TABELA DE FREQUNCIA COM CLASSE 1)Transformar os dados Brutos em rol; 2)Encontrar a Amplitude Amostral,AA; 3)Definir o n de classes, para isso podemos usar as seguintes metodologia: a)O nmero de classe determinado pela raiz quadrada do nmero de observaes*: k =nb) A regra de Sturges descrita da seguinte forma, k = 1 + 3,3(log n); 4)Determinar a amplitude do intervalo de classes,h= kAT; 5)Determinar os limites das classes; 6)Construir a tabela de freqncia conforme as classes. 7)BOM SENSO. *Neste curso usaremos somente a metodologia (1), para definir o nmero de classes. EXERCCIO 1.Calcule as classes e Preencha a distribuio de freqncia: Foi contado o n de alunos por sala de aula para dimensionarmos a Escola, 384926741524746 46922822241625 1641201251121930 2320274831265241 5222492133511629 iN de alunosNo de salas ( fi )xifrfacfrac 114 222 330 438 546 654 Responda: a.Qual amplitude da distribuio (AT)? b.Qual o limite inferior da 5 classe? c.Qual o limite superior da 2 classe? d.Qual a amplitude do 6 intervalo de classe (hi )? e.Efi= ? f.Quantas salas existem com 30 alunos inclusive e38 exclusive? g.Quantas salas existem com 22 alunos inclusive e 46 exclusive? h.Quanto por cento de salas tem entre 30 alunos inclusive e 46 exclusive? 34 4REPRESENTAO GRFICA DE UMA DISTRIBUIO HISTOGRAMA formadoporumconjuntoderetngulosjustapostos,cujasbasesselocalizamsobreoeixo horizontal, de tal modo que seus pontos mdios coincidam com os pontos mdios dos intervalos de classe. distribuio da tabela 4 corresponde ao seguinte histograma. POLGONO DE FREQNCIA um grfico em linha, sendo asfreqncias (fi) marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadaspelospontosmdios(xi)dosintervalosdeclasse.distribuiodatabela4correspondeao seguinte polgono de freqncia. POLGONO DE FREQNCIA ACUMULADA traadomarcando-seasfreqnciasacumuladas(fac)sobreperpendicularesaoeixohorizontal, levantadasnospontoscorrespondentesaoslimitessuperiores(Li)dosintervalosdeclasse.Portanto, distribuio da tabela 4 corresponde ao seguinte polgono de freqncia acumulada. 35 EXERCCIO 1.Ocontroledequalidadedeumaindstriaselecionou48caixasnalinhadeproduoeanotouemcada caixa o nmero de peas defeituosas, obtendo os seguintes dados: 2 -0 -0 -4 -3 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -0 -0 -3 -0-0 -0 -2 -0 -0 -1 -1 -2 -0 -2 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -0 Determinar: a) o rol; b) a tabela de distribuio de freqncia sem intervalos; c) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peas defeituosas? 2.Uma empresa automobilstica selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado ms o nmero de unidades adquiridas por estes revendedores. Obt eve os seguintes dados: 10 -15 -25 -21 -6 -23 -15 -21 -26 -32 -9 -14 -19 -20 -32 -18 -16 -26 -24 -20 -7 -18 -17 -28 -35 -22 -19 -39 -18 -21 -15 -18 -22 -20 -25 -28 -30 1-6 -12 -20 a)Monte a tabela de distribuio de freqncia com intervalos. b)Faa uma anlise dos resultados. 3.A amostra abaixo apresenta as vendas dirias de um determinado aparelho eltrico, durante um ms, por uma firmacomercial: 14-12 -11 -13 -14 -13 -12 -14 -13 -14 -11 -12 -12 -14 -10 -13 -15 -11 -15 -13 -16 -17 -14 -14 Forme uma distribuio de freqncias sem intervalos. 4.Considere os salrios quinzenais de 100 funcionrios da Empresa Yasmim Ltda (em US$): 151 -152 -154 -155 -158 -159 -159 -160 -161 -161 -161 -162 -163 -163 -163 -164 -165 -165 -165 -166 -166 -166 -166 -167 -167 -167 -167 -167 -168 -168 -168 -168 -168 -168 -168 -168 -168 -168 -169 -169 -169 -169 -169 -169 -169 -170 -170 -170 -170 -170 -170 -170 -171 -171 -171 -171 -172 -172 -172 -173 -173 -173 -174 -174 -174 -175 -175 -175 -175 -176 -176 -176 --176 -177 -177 -177 -177 -178 -178 -178 -179 -179 -180 -180 -180 -180 -181 -181 -181 -182 -182 -182 -183 -184 -185 -186 --187 -188 -190 -190 Pede-se determinar: a) A amplitude amostral; b) O nmero de classes; c) A amplitude das classes; d) Construir a tabela de distribuio de freqncias com as classes; e) Qual a porcentagem de funcionrios que ganham salrios com valor igual ou superior a US$179; f) Qual a porcentagem de funconrios que ganham salrios com valores inferiores a US$163; g) O histograma; h) O polgono de freqncia; i) Qual o ponto mdio da 3 classe. 5.Oconjuntodedadosamostraisaseguirforneceumalistadonmerodeminutosque50assinantesda internet gastaram durante sua conexo mais recente.5029727363019674642 41415917443056373139 18561177692154335444 40345622398023393188 7817737286229515320 Determine: (a) Construa uma distribuio de freqncia que tenha sete classes; (b) Faa o histograma. 36 6.Os salrios semanais de 50 funcionrios de um hospital, em reais, foram os seguintes: 100122130140152160164176180188192200216 104126134146156160170176184190194200218 116128138150156162170178186190196200120128140150156162176180186192196210 a)Construaumadistribuiodefreqncias,comh=20elimiteinferiorparaaprimeira classeiguala 100. b)QuantosfuncionriostemumsalriosemanalsituadoentreR$120,00(inclusive)eR$160,00 (exclusive)? c)QueporcentagemdefuncionriostemumsalriosemanalsituadoentreR$180,00(inclusive)eR$ 200,00 (exclusive)? d)Faa o histograma, o polgono de freqncia e o polgono de freqncia acumulada. 7.Um administrador fez uma pesquisa de satisfao em sua empresa de um determinado item e obteve os seguintes resultados: RuimPssimoBomMuito BomBom BomBomMuito BomRuimRuim BomRuimMuito BomMuito BomBom PssimoMuito BomtimoMuito BomBom Determine, (a) Uma distribuio de freqncia; (b) O histograma. 8.Um dimetro foi medido 30 vezes,tendo sido obtidos os seguintes resultados (em milmetros): Construa uma tabela sem intervalo de classe e determine: a) if ;b) as freqncias relativas (em percentuais); c) as freqncias acumuladas; d) as freqncias acumuladas (relativas em percentuais). 9.Dada as notas dos alunos da disciplina de Estatstica em uma turma no CIESA: 77888 77889 77889 77889 Construa uma tabela e determine: a) if ; b) as freqncias relativas (em percentuais); c) as freqncias acumuladas; d) as freqncias acumuladas relativas (em percentuais). 37 QUESTES OBJETIVAS DOS CAPTULOS: 2, 3, 4 8.(SMV) Da populao, aparelhos produzidos em uma linha de montagem, estuda-se a varivel, nmero de defeitos por unidade. A variveis : a)Qualitativas ordinal;b)Qualitativas nominal; c)Quantitativas discretas; d)Quantitativas contnuas. e)N.D.A. 9.(SMV)Paraarealizaodeumaauditoriaemumafirma,16contas,dentreas120porelasmantidas, foram aleatoriamente selecionadas para verificao da presena de erro ou no. I.A populao consiste de todas as contas mantidas pela firma. II.A varivel observada do tipo qualitativa ordinal. III.A amostra consiste das 16 contas selecionadas Pode-se afirmar que: a)Apenas I correta. b)Apenas II correta. c)Apenas III correta. d)Apenas I e III so correta. e)I, II e III so corretas. 10. (SMV) O tipo de grfico que procura demonstrar em figuras : a) Grfico de setoresb) Ogiva de Galtonc)Grfico Pictricod)Cartograma e) Grfico Polar 11. (SMV) Os intervalos de classe podem ser apresentados de vrias maneiras, dentre as situaes abaixo, a correta : a)510compreende todos os valores entre 5 e 10, inclusive os extremos; b)510compreende todos os valores entre 5 e 10, exclusive os extremos; c)5 || 10compreende todos os valores entre 5 e 10, exclusive os extremos; d)5 |10compreende todos os valores entre 5 e 10, exclusive o 5 e inclusive o 10; e)5| 10compreende todos os valores entre 5 e 10, inclusive o 5 e exclusive o 10; 12. (J.A.) Marque a afirmativa correta 1-(Trs pontos),quando no se dispuser dos dados. 2-(Trs pontos), quando se dispe do dado. 3- (Trao) Quando o dado for nulo. 4- (Trao) Quando o dado existe. Resposta: a)Esto certas 1 e 3b)Esto certas 1 e4 c)Esto certas2 e 3d)Esto certas 2 e 4e) N.D.A. 38 13. (SMV) Os dados abaixo, mostram a distribuio de freqncia d levantamento de dados sobre o salrio de 50 funcionrios de uma determinada empresa.Quant. de salrios mnimos Quant. de funcionrios2| 414 4| 616 6| 810 8|1007 10|1203 50 correto afirmar que; a) 60% dos funcionrios recebem menos do que 6 salrios mnimos;b) 20% dos funcionrios recebem acima de 6 salrios mnimos; c) 5% dos funcionrios recebem menos do que 3 salrios mnimos;d) 80% dos funcionrios recebem de 6 a 8 salrios mnimos. e) N.D.A. 14. (SMV) ENADE Das regies estudadas, aquela que apresenta o maior percentual de jovens com carteira assinada, dentre os jovens que so assalariados do setor privado, : a) Belo Horizonte b) Recife c) Distrito Federal d) So Pauloe) Salvador39 CAPTULO 5 MEDIDAS DE POSIO 1.MDIA ARITMTICA - x o quociente da diviso da soma dos valores da varivel pelo nmero deles: nxxi =Sendo xi os valores da varivel e n o nmero de valores. DADOS NO-AGRUPADOS Determinamos a mdia aritmtica simples. Exemplo: Sabendo-se que a produo leiteira diria da vaca A, durante a semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, e 12 litros, temos, para produo mdia da semana: x=712 18 16 15 13 14 10 + + + + + + = 798 = 14. Logo:x=14 litros DESVIO EM RELAO MDIA A diferena entre cada elemento de um conjunto de valores e a mdia aritmtica. di = xi x Exemplo:d1 = 10 14 = 4 d2 = 14 14 = 0 d3 = 13 14 = 1 d4 = 15 14 = 1 d5 = 16 14 = 2 d6 = 18 14 = 4 d7 = 12 14 = 2 PROPRIEDADE O somatrio dos desvios em relao a mdia igual a zero ( ) 0= x xi Do exemplo anterior vamos fazer o somatrio: ( ) x xi= 4 + 0 1 +1 +2 +4 2 = 0 40 DADOS AGRUPADOS Sem intervalos de classe Consideramos a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando para varivel o nmero de filhos do sexo masculino. Neste caso,comoasfreqncias sonmerosindicadoresdaintensidadedecada valordavarivel, elas funcionam como fatores de ponderao, o que nos leva a calcular a mdia aritmtica ponderada. =iiff xix xifixi fi 020 166 21020 31236 4416 3478 x = =34782,3x= 2,3 meninos Com intervalos de classe Nestecaso,convencionamosquetodososvaloresincludosemumdeterminadointervalodeclasse coincidem com o seu ponto mdio, e determinamos a mdia aritmtica ponderada por meio de frmula: =iiff xxi onde xi o ponto mdio da classe. iESTATURAS (cm)fixixifi 1150 1544152608 2154 15891561.404 3158 162111601.760 4162 16681641.312 5166 1705168840 6170 1743172516 406.440 x = =406440161 x= 161 cm 41 2.A MODA (Mo) O valor que ocorre com maior freqncia em uma srie de valores. DADOS NO-AGRUPADOS Quando lidamos com valores no-agrupados, a moda facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definio, procurar o valor que mais se repete A srie de dados : 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15,tem moda igual a 10. Podemos,entretanto,encontrarsriesnasquaisnoexistavalormodal,isto,nasquaisnenhum aparea mais vezes que outros. o caso da srie: 3, 5, 8, 10, 12, 13, que no apresenta moda (amodal). Em outros casos, ao contrario, pode haver dois ou mais valores de concentrao. Dizemos, ento, que asrietemdoisoumaisvaloresmodais.Nasrie:2,3,4,4,4,5,7,7,7,8,9,temosduasmodas:4e7 (bimodal). DADOS AGRUPADOS Sem intervalos de classe Exemplo: Considerando a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando para varivel o nmero de filhos do sexo masculino. Filhos do sexo masculino (xi)Nmero de famlias (fi) 02 16 210 312 44 E fi = 34 A freqncia mxima (12) corresponde o valor da varivel 3.Logo, o nmero de filhos modal 3, Mo = 3. Com intervalos de classe o valor dominante que est compreendido entre os limites da classe modal Mtodo para o clculo da moda dado pela frmula de Czuber: h . Li Mo2 11A + A A+ =No qual: Li o limite inferior da classe modal h o intervalo de classe modal 1A= f- fant 2A= f- fpost Sendo: f a freqncia simples da classe modal fant a freqncia simples da classe anterior classe modal fant a freqncia simples da classe anterior classe modal 42 Exemplo: Calcular a moda usando a frmula de Czuber. iESTATURAS (cm)fi 1150 1544 2154 1589 3158 16211 4162 1668 5166 1705 6170 1743 E =40 Para esta distribuio, temos que a 3classe a classe modal, logoLi = 158 cm h = 4 cm f = 11 1A= f- fant= 11 9 = 22A= f- fpost = 11 8 = 3 Encontrando a moda: Mo =43 22158 ++= 158 + 1,6 = 159,6 cm 3 A MEDIANA outramedidadeposiodefinidacomoonmeroqueseencontranocentrodeumasriede nmeros, estando estes dispostos segundo uma ordem. 3.1 DADOS NO-AGRUPADOS Sriedevalores:5,13,10,2,18,15,6,16,9,oprimeiropassoaserdadoodeordenaodos valores:2,5,6,9,10,13,15,16,18.Emseguida,tomamosaquelenmero centralqueapresentaomesmo nmero direita e esquerda. Temos, ento:Md = 10. Se, porm, a srie dada tiver um nmero par de termos, a mediana ser, por definio, qualquer dos nmeros compreendidos entre os dois valores centrais da srie. Convencionou-se utilizar o ponto mdio. Assim, a srie de valores ordenados: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21,tem para mediana a mdia aritmtica entre 10 e 12. Logo: Md = 212 10 + =222 = 11 3.2 DADOS AGRUPADOS 3.2.1Sem intervalos de classe obastanteidentificarafreqnciaacumuladaimediatamentesuperiormetadedasomadas freqncias. dada por 2n 43 Exemplo: Considerando a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando para varivel o nmero de filhos do sexo masculino. Filhos do sexo masculino (xi) Nmero de famlias (fi)fac 022 168 21018 31230 4434 34 Sendo: 34/ 2 = 17 A menor freqncia acumulada que supera esse valor 18, que corresponde ao valor de 2 da varivel, sendo este o valor mediano. Logo,Md = 2 meninos. Exemplo: A distribuio mostra a nota de uma disciplina de uma turma Nota (xi) Nmero de alunos (fi) fac 53 3 65 8 74 12 83 15 91 16 16 Sendo, 216 = 8 = fac2 , amediana Md = 27 6 += 6,5. A nota mediana desta turma 6,5. 3.2.2Com intervalos de classe Nestecasooproblemaconsisteemdeterminaropontodointervaloemqueestcompreendidaa mediana. iESTATURAS (cm)fifac 1150 15444 2154 158913 3158 1621124 4162 166832 5166 170537 6170 174340 40 Temos : 2n =240 = 20 Comoh24valoresincludosnastrsprimeirasclassesdadistribuioecomopretendemos determinar o valor que ocupa o 20. lugar, a partir do incio da srie, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i = 3). Como h 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe igual a 4 (162 158), devemos tomar, a partir do limite inferior, a distncia. Sendo:44 Md = Li + mdfh .2|.|

\|antfn No qual: Li o limite inferior da classe mediana; fant a freqncia acumulada da classe anterior classe mediana; fmd a freqncia simples da classe mediana; h a amplitude do intervalo da classe mediana; Temos:Md = 158 +4113 1 20= 158 + 2,54 = 160,54 Isto :Md = 160,5 cm Exerccios 1)Encontre a mdia dos seguintes conjuntos de observaes. a)X = {2, 3, 7, 8, 9}. R: 5,8 b)Y = {10, 15, 22, 18, 25, 16}. R: 17,67 c)Z = {1, 3, 6, 8}.R: 4,5 d)T = {1, 3, 6, 100}.R: 27,5 2)Encontre a mdia das notas na disciplina de Estatstica Aplicada. Notas na disciplina de Estatstica Aplicada Notasfi 5 |-- 618 6 |-- 715 7 |-- 812 8 |-- 903 9 |--1002 3)Dados os conjuntos abaixo, calcule a mdia aritmtica, mediana e moda. A = {3, 5, 2, 1, 4, 7, 9}. B = {6, 12, 15, 7, 6, 10}. C = {10, 5, 11, 8, 15, 4, 16, 5, 20, 6, 13}. D = {4, 4, 10, 5, 8, 5, 10, 8}. 4)Calcule a mdia aritmtica, a mediana e a moda da distribuio: xifi 2 4 5 7 10 3 5 8 6 2 fi = 24 45 5)Encontre a moda e a mediana das notas na disciplina de Estatstica Aplicada. . Notas na disciplina de Estatstica Aplicada Notasfi 5 |-- 618 6 |-- 715 7 |-- 812 8 |-- 903 9 |--1002 FONTE: Dados hipotticos. 6)Osalriode40funcionriosdeumescritrioestdistribudosegundooquadro.Calculeamdia aritmtica, a mediana e a moda. Salrios (R$)fi 400 500 500 600 600 700 700 800 800 900 900 1000 12 15 8 3 1 1 = 40 7) Um dimetro foi medido 30 vezes, tendo sido obtidos os seguintes resultados (em milmetros): Construa uma tabela sem intervalo de classe e determine a mdia aritmtica, a moda e a mediana (Nota. A tabela j foi montada no captulo anterior): 8)Uma pesquisa sobre os gastos semanais com refeies realizados pelos funcionrios de determinada empresa est consolidada na tabela de distribuio abaixo: Gastos semanais (R$)fi 10,00 a 19,996 20,00 a 29,998 30,00 a 39,9912 40,00 a 49,999 50,00 a 59,995 60,00 a 69,993 Determine: a) a mdia aritmtica; b) a moda; c) a mediana. 46 4Medidas de Separatrizes So nmeros que dividem a seqncia ordenada de dados em partes que contm a mesma quantidade de elementos da srie. Desta forma, a mediana que divide a seqncia ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dosvaloresdaseqncia,tambmumamedidadeseparatriz.Almdamediana,asoutrasmedidasde separatrizes que destacaremos so: quartis, decis e percentis. Quartis Se dividirmos a srie ordenada em quatro partes, cada uma ficar com seus 25% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos so chamados de quartis. -Oprimeiroquartil,queindicaremosporQ1,separaaseqnciaordenadadeixando25%deseus valores esquerda e 75% de seus valores direita. -Osegundoquartil,queindicaremosporQ2,separaaseqnciaordenadadeixando50%deseus valores esquerda e 50% de seus valores direita. Portanto, o Q2 a Mediana da srie. -Oterceiroquartil,queindicaremosporQ3,separaaseqnciaordenadadeixando75%deseus valores esquerda e 25% de seus valores direita. Decis Se dividirmos a srie ordenada em dez partes, cada uma ficar com seus 10% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos so chamados de decis. -Oprimeirodecil,queindicaremosporD1,separaaseqnciaordenadadeixando10%deseus valores esquerda e 90% de seus valores direita. - De modo anlogo so definidos os outros decis. Percentis Sedividirmosasrieordenadaemcempartes,cadaumaficarcom1%deseuselementos.Os elementos que separam estes grupos so chamados de centis ou percentis. -Oprimeiropercentil,queindicaremosporP1,separaaseqnciaordenadadeixando1%deseus valores esquerda e 99% de seus valores direita.-De modo anlogo so definidos os outros percentis. Observamos que os quartis e decis so mltiplos dos percentis, ento basta estabelecer uma relao entre eles, ou seja, todas as medidas podem ser identificadas como percentis: 47 Q1 = P25 Q2 = P50 Q3 = P75 D1 = P10 D2 = P20 D3 = P30 D4 = P40 D5 = P50 D6 = P60 D7 = P70 D8 = P80 D9 = P90 4.1. Dados agrupados com intervalos de classe Para obtermos a frmula geral para o clculo dos percentis, vamos generalizar a frmula de mediana: Pi = .L +hff100.antn i Sendo: Pi Percentil i (1, 2, 3, ..., 99); L - limite inferior da classe que contm o percentil; n nmero de elementos da srie ( fi); fant freqncia acumulada da classe anterior classe que contm o percentil; f - freqncia simples da classe que contm o percentil; h - amplitude do intervalo da classe. Exemplo: Calcule os quartis da tabela abaixo: iESTATURAS (cm)fiFi 1150 1544 4 2154 158913 3158 1621124 4162 166832 5166 170537 6170 174340 E =40. O quartil 2 = Md , que calculamos anteriormente: Primeiro Quartil Q1 = P25Temos, 100n . 25 = 10040 . 25=10 Q1 = P25 = .* +* h* fF(ant)100. 25n=. 154 + ( )94 4 10 = 156,7 cm Terceiro Quartil Q3 = P75 Temos,100n . 75=10040 75=30 Q3 = P25 = .* +* h* fF(ant)10075n = 162 + ( )84 24 30 = 165 cm Q1 Q3 48 Exerccio 9)Osalrio de40funcionriosdeumescritrio estdistribudosegundooquadro.CalculeaQ1,Q2e Q3. Salrios (R$)fi 400 500 500 600 600 700 700 800 800 900 900 1000 12 15 8 3 1 1 = 40 10) Utilizando-se do enunciado abaixo, determine os valores do Primeiro Quartil, Terceiro Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil: Emumensaioparaoestudodadistribuiodeumatributofinanceiro(X),foramexaminados200itensde naturezacontbildobalanodeumaempresa.Esseexerccioproduziuatabeladefreqnciasabaixo.A coluna ClassesrepresentaintervalosdevaloresdeX emreais eacolunaPrepresentaafreqnciarelativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes. ClassesP (%) 70 905 90 11015 110 130 40 130 150 70 150 170 85 170 190 95 190 210 100 49 CAPTULO 6 MEDIDAS DE DISPERSO 1. Disperso ou Variabilidade Chamamos de disperso ou variabilidade a maior ou menor diversificao dos valores de uma varivel em torno de um valor de tendncia central tomado como ponto de comparao. Exemplo 1: Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variveis x, y e z: X: 70, 70, 70, 70, 70. Y: 68, 69, 70, 71, 72. Z: 5, 15, 50, 120, 160. Calculando a mdia aritmtica de cada um desses conjuntos, obtemos: nxxi = x =5350= 70 nyyi = y =5350= 70 nzzi = z =5350= 70 Vemos, ento, que os trs conjuntos apresentam a mesma mdia aritmtica: 70. Entretanto, fcil notar que o conjunto X mais homogneo que os conjuntos Y e Z, j que todos os valores so iguais mdia. O conjunto Y, por sua vez, mais homogneo que o conjunto Z, pois h menor diversificao entre cada um de seus valores e a mdia representativa. Podemos dizer ento que o conjuntoX apresenta disperso ou variabilidade menor que o conjunto Z. Portanto, para qualificar os valores de uma dada varivel, ressaltando a maior ou menor disperso ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posio, a Estatstica recorre smedidas de disperso ou de variabilidade. 2. Amplitude Total adiferenaentreomaioreomenordosvaloresdasrie.Autilizaodaamplitudetotalcomo medidadedispersomuitolimitada,pois sendoumamedidaquedependeapenasdosvaloresexternos, instvel, no sendo afetada pela disperso dos valores internos. 2.1 Dados no-agrupados A amplitude total a diferena entre o maior e o menor valor observado: AT = x(max.) x(mn) Exemplo 2: Para os valores:40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70. Temos, AT = 70 40 = 30 AT = 30 50 Quando dizemos que a amplitude total dos valores 30, estamos afirmando alguma coisa do grau de suaconcentrao.evidenteque,quantomaioraamplitudetotal,maioradispersoouvariabilidadedos valores da varivel. Relativamente aos trs conjuntos de valores mencionados no incio: ATx = 70 70 = 0 (disperso nula) ATy = 72 68 = 4ATz = 160 5 = 155 2.2 Dados agrupados 2.2.1. Sem intervalos de classe AT = x(max.) x(mn.) Exemplo 3: Considerando a tabela abaixo: xi01234 fi261273

Temos: AT = 4 0 = 4 AT = 4 2.2.2. Com intervalos de classe Neste caso, a amplitude total a diferena entre o limite superior da ltima classe e o limite inferior da primeira classe: AT = L(max.) (mn.) Exemplo 4: Considerando a distribuio abaixo: iESTATURAS (cm)fi 1150 1544 2154 1589 3158 16211 4162 1668 5166 1705 6170 1743 Efi =40 Temos: AT = 174 150 = 24 Logo: AT = 24 cm Aamplitudetotaltemoinconvenientedeslevaremcontaosdoisvaloresextremosdasrie, descuidandodoconjuntodevaloresintermedirios,oquequasesempreinvalidaaidoneidadedoresultado. Ela apenas uma indicao aproximada da disperso ou variabilidade. Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia ou no ano, no controle de qualidade ou como uma medida de clculo rpido, e quando a compreenso popular mais importante que a exatido e a estabilidade. 51 3.Varincia e Desvio Padro 3.1 Introduo Como j vimos, a amplitude total instvel, por se deixar influenciar pelos valores extremos, que so, na sua maioria, devidos ao acaso. A varincia e o desvio padro so medidas que fogem a essa falha, pois levam em considerao a totalidade dos valores da varivel em estudo, o que faz delas ndices de variabilidade bastante estveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados. Varincia (s2) Avarincialevaemconsideraoosvaloresextremoseosvaloresintermedirios,isto,expressa melhor os resultados obtidos. A varincia relaciona os desvios em torno da mdia, ou, mais especificamente, a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios*. ( )nx xi =22o (da populao)** Quandotemosdadosdescritosdeumadaamostraenodapopulao,odenomi nadorda expressodeverseriguala(n1),emvezden.Arazodesseprocedimentoresidenofatodeque, utilizando-se o divisor (n 1), obtm-se uma estatstica melhor do parmetro de populao. ( )122= nx xsi(amostra) ou( )(((

=2i 2i2nxx11sn(forma prtica) Sendoavarinciacalculadaapartirdosquadradosdosdesvios,elaumnmeroemunidade quadrada em relao varivel em questo, o que, sob o ponto de vista prtico, um inconveniente; por isso, tempoucautilidadenaestatsticadescritiva,masextremamenteimportantenainfernciaestatsticaeem combinaes de amostras. Desvio padro (s) O desvio-padro a medida mais usada na comparao de diferenas entre conjuntos de dados, por ter grande preciso. O desvio padro determina a disperso dos valores em relao mdia e calculado por meio da raiz quadrada da varincia. DESVIO PADRO =VARINCIAPara dados amostrais: ( )12= nx xsi

ou( )(((

=2i 2inxx11sn(forma prtica) Tanto o desvio padro como a varincia so usados como medidas de disperso ou variabilidade.O uso de uma ou de outra depender da finalidade que se tenha em vista. A varincia uma medida que tem poucautilidadecomoestatsticadescritiva,pormextremamenteimportantenainfernciaestatsticaeem combinaes de amostras. * Nota: Lembremos que E di = E(xi x ) = 0, por esse motivo usamos o quadrado dos desvios para definirmos a varincia. * *Nota: No trabalharemos com dados populacionais neste curso. 52 Propriedades do desvio padro O desvio padro goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos: 1)Somando-se(ousubtraindo-se)umaconstanteadetodososvaloresdeumavarivel,odesvio padro no se altera: yi = xi c sy = sx 2) Multiplicando-se todos os valores de uma varivel por uma constante (diferente de zero), o desvio padro fica multiplicado por essa constante: yi = c . xisy = c . sx Essas propriedades nos permitem introduzir, no clculo do desvio padro, simplificaes teis. 3.2 Dados no-agrupados Exemplo 5: Tomemos, como exemplo, o conjunto de valores da varivel x: 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70 O modo mais prtico para se obter o desvio padro formar uma tabela com duas colunas: uma para xi e outra para xi2. Assim: xixi2 40 45 48 52 54 62 70 1.600 2.025 2.304 2.704 2.916 3.844 4.900 E = 371E = 20.293 O desvio padro populacional , ( )(((

=2i 2inxx11sn= ((

7371202931 712= 10,25 53 3.3 Dados agrupados 3.3.1 Sem intervalos de classe Como, neste caso, temos a presena de freqncias, devemos lev-las em considerao, resultando a frmula: ( )1f x xsi2i2= nou( )(((

=2i i 2i i2nx fx f11sn ( )(((

=2i i 2i inx fx f11sn(forma prtica) Exemplo 6: Consideremos a distribuio da tabela abaixo: xi01234 fi261273 Omodomaisprticoparaseobterodesviopadroabrir,natabeladada,umacolunaparaos produtosfixieoutraparafixi2,lembrandoqueparaobterfixi2 bastamultiplicarcadafixipeloseurespectivoxi. Assim: xififixifixi2 0 1 2 3 4 2 6 12 7 3 0 6 24 21 12 0 6 48 63 48 E = 30E = 63E = 165 O desvio padro : ( )(((

=2i i 2i inx fx f11sn= ((

230631651 301= 1,13 3.3.2 Com intervalos de classe Exemplo 7: Tomemos como exemplo a amostra da distribuio da estatura de 40 alunos do colgio A, calcular o desvio padro amostral IEstaturas (cm)fixifixifixi2 1150154415260892.416 215415891561.404219.024 3158162111601.760281.600 416216681641.312215.168 51661705168840141.120 6170174317251688.752 Efi =40 E fixi = 6.440E fixi2= 1.038.080 54 Comecemos por abrir as colunas para xi (ponto mdio), para fixi e para fixi2. Assim: ( )(((

=2i i 2i inx fx f11sn=((

240644010380801 401=5,64 Portanto,s = 5,64 cm 4Coeficiente de variao (CV) O desvio padro por si s no nos diz muita coisa. Assim, um desvio padro de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma srie de valores cujo valor mdio 200; no entanto, se a mdia for igual a 20,omesmono pode serdito.Almdisso,ofatode odesviopadroserexpressonamesmaunidadedos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais sries de valores, relativamente sua disperso, quando expressas em unidades diferentes. Paracontornaressasdificuldadeselimitaes,podemoscaracterizaradispersodosdadosem termos relativos a seu valor mdio, medida essa denominada coeficiente de variao (CV). 100xsCV =Exemplo 8: Paraumadistribuioemqueamdia161cmes=5,57cm,temososeguintecoeficientede variao: CV = 1615,57100 = 3,5% Diz- se que uma distribuio tem:-Baixa disperso: CV s15%-Mdia disperso: 15% < CV < 30%-Alta disperso: CV> 30% Exemplo9:Tomemososresultadosdasmedidasdasestaturasedospesosdeummesmogrupode indivduos, calcular os respectivos coeficientes de variao e compar-los, para saber qual obteve a maior disperso relativa. x s ESTATURA175 cm5,0 cm PESO68 kg2,0 kg Exerccio 1)Calcule a amplitude total e o desvio padro dos conjuntos de dados: a.1, 3, 5, 9 b.20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 c.10, 6, 2, 3, 7, 9, 10 55 2)Onmerodecarrosvendidosporcadaumdosvendedoresdeumnegciodeautomveisduranteumms particular, em ordem crescente: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15. Determinar (a) a mdia, (b) a mediana, (c) a moda, (d) o desvio padro. 3)Adistribuioaseguirmostracomovariaaidadedeumgrupodejovensqueparticipamdeumacolniade frias. Determine (a) A amplitude total e (b) O desvio padro. Idade (anos)Nmero de Jovens 102 125 131 145 153 164 4)Calcule a amplitude e o desvio padro das distribuies abaixo: a) Em um perodo de um ms, h o seguinte registro de atendimentos de urgncia em um hospital em Manaus. xi01234 fi151082 b) Em uma amostra contendo crianas e jovens, temos a distribuio em classes: Idade (anos)2 610 1418 22 fi512 21 15 7 5)Uma pesquisa sobre os gastos semanais com refeies realizados pelos funcionrios de determinada empresa est consolidada na tabela de distribuio abaixo: Gastos semanais (R$)fi 10,00 a 19,996 20,00 a 29,998 30,00 a 39,9912 40,00 a 49,999 50,00 a 59,995 60,00 a 69,993 Determine: (a)A mdia aritmtica; (b)A varincia; (c)O desvio padro. 6)Paraduasemissesdeaesordinriasdaindstriaeletrnica,opreomdiodirio,nofechamentodos negcios,duranteumperododeumms,paraasaesA,foideR$150,00comumdesviopadrodeR$ 5,00. Para as aes B, o preo mdio foi de R$ 50,00 com um desvio padro de R$ 3,00. Em relao ao nvel do preo, qual dos tipos de aes mais varivel? Exerccio Complementar 7)Umaamostrade20operriosdeumacompanhiaapresentouosseguintessalriosrecebidosduranteuma certasemana,arredondadosparaovalormaisprximoeapresentadosemordemcrescente:140,140,140, 140, 140, 140, 140, 140, 155, 155, 165, 165, 180, 180, 190, 200, 205, 225, 230, 240. Calcular (a) a mdia, (b) a mediana, (c) a moda, (d) o desvio padro, (e) o coeficiente de variao, para este grupo de salrios. 8)Considerando que foi extrada uma amostra aleatria simples de 10 alunos de uma grande escola, cuja varivel emestudoanotaobtidaemMatemtica,obteve-se:5,7,8,6,5,4,8,9,10e6.Determineamdiada amostra, a varincia da amostra e o desvio padro da amostra. 56 9)Dado os salrios dos funcionrios de uma determinada empresa. Salrios semanais para 100 operrios no especializados Salrios semanaisfi 140 |-- 1607 160 |-- 18020 180 |-- 20033 200 |-- 22025 220 |-- 24011 240 |-- 2604 fi =100 Calcule usando a definio: a.A mdia aritmtica; b.A varincia; c.O desvio padro. 10)Emconjuntocomumaauditoriaanual,umafirmadecontabilidadepblicaanotaotemponecessriopara realizaraauditoriade50balanoscontbeis.Calcular(a)amdia,(b)odesviopadro,paraotempode auditoria necessrio para esta amostra de registro. Tempo necessrio para a auditoria de balanos contbeis. Tempo de auditoria. (min.) N de balanos. (fi) 10 |-- 203 20 |-- 305 30 |-- 4010 40 |-- 5012 50 |-- 6020 Total50 11)Considerando que as trs distribuies hipotticas apresentam os valores indicados abaixo: DISTRIBUIO AB N = 200N = 50 Efx = 4000Efx = 500 Efx2 = 85000Efx2 = 5450 a) Determine os indicadores: mdia aritmtica, varincia, desvio padro e coeficiente de variao. b) Baseado nos resultados encontrados mencione a distribuio que apresenta maior homogeneidade e a que apresenta maior heterogeneidade. 12)A distribuio das alturas de um grupo de pessoas apresentou uma altura mdia de 182 cm e um desvio padro de 15 cm, enquanto que a distribuio dos pesos, apresentou um peso mdio de 78 kg, com um desvio padro de 8 kg. Qual das duas distribuies apresentou maior disperso? Por qu? 13)Considere as duas amostras abaixo: Amostra A: 23; 32; 18; 14; 37; 11; 16; 5; 27; 34; Amostra B: 132; 158; 220; 97; 114; 215; 238; 179; 108; 142; 150. Determine para cada uma destas amostras: a) mdia aritmtica; b) moda, mediana; c) o desvio padro; d) qual dos processos apresenta maior variabilidade? Por qu? 57 CAPTULO 7 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE 1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA Estasmedidasreferem-seformadacurvadeumadistribuiodefreqncia,maisespecificamentedo polgono de freqncia ou do histograma. Denomina-se assimetria o grau de afastamento de uma distribuio da unidade de simetria. -Simetria Em uma distribuio simtrica, tem-se igualdade dos valores da mdia, mediana e moda. x = Md = Mo -Assimetria Todadistribuiodeformadasempreassimtrica.Entretanto,aassimetriapodedar-senacauda esquerda ou na direita da curva de freqncias. Assimetria direita (ou positiva) Em uma distribuio assimtrica positiva, ou assimetria direita, tem-se: Mo 0Assimetria Positiva 2. MEDIDAS DE ACHATAMENTO OU CURTOSE A curtose ou achatamento mais uma medida com a finalidade de complementar a caracterizao da disperso em uma distribuio. Esta medida quantifica a concentrao ou disperso dos valores de um conjunto de dados em relao s medidas de tendncia central em uma distribuio de freqncias. Para uma distribuio de freqncias, o Coeficiente percentlico de curtose pode ser calculado conforme a frmula abaixo: ) P 2(PQ QC10 901 3= Denominamos Curtose o grau de achatamento de uma distribuio em relao Distribuio Normal. A distribuio de referncia (Distribuio Normal) denominada MESOCRTICA (Meso = Meio, Central, etc). Quando a distribuio apresenta uma curva de freqncia mais fechada (mais aguda em sua parte superior), ela denominada LEPTOCRTICA (Lepto = Delgado, Alongado, Magro, etc). Quando a distribuio apresenta uma curva de freqncia mais aberta (mais achatada em sua parte superior), ela denominada PLATICRTICA (Plato = Chato, Plano, Largo, etc). Uma distribuio classificada quanto ao grau de achatamento como:-Leptocrtica: quando a distribuio apresenta uma curva de freqncia bastante fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro, C < 0,263.-Mesocrtica: quando os dados esto razoavelmente concentrados em torno de seu centro, C = 0,263. -Platicrtica:quandoadistribuioapresentaumacurvadefreqnciamaisaberta,comosdados fracamente concen em torno de seu centro, C > 0,263.59 Exerccio 1.Uma distribuio de freqncia apresenta as seguintes medidas: x= 48,1, Md = 47,9 e s = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria. 2.Calcule o coeficiente de assimetria de cada distribuio. Distribuio A Peso (kg)Fi 2 66 6 1012 10 1424 14 1812 18 226 60 x =...... Md = ....... Mo = ....... s = ....... As= ....... Distribuio B Peso (kg)fi 2 66 6 1012 10 1424 14 1830 18 226 78 x =...... Md = ....... Mo = ....... s = ....... As= ....... Distribuio C Peso (kg)fi 2 66 6 1030 10 1424 14 1812 18 226 78 x =...... Md = ....... Mo = ....... s = ....... As= ....... 60 3.Dada a distribuio de peso dos funcionrios de uma determinada empresa: PESO (kg)50|----- 6060|----- 7070|----- 8080|----- 9090|----100 FUNCIONRIOS5101583 Determine: a)A mdia aritmtica; b)A mediana; c)O coeficiente de assimetria; d)a distribuio simtrica? Justifique a sua resposta. QUESTES OBJETIVAS DOS CAPTULOS: 5, 6, 7 4.A mdia de uma srie de valores iguais a uma constante : a)Zero; b)A unidade; c)No possvel calcular; d)O valor da constante; e)N.D.A. 5.(FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Um candidato obteve, nas diversas provas de um concurso, as seguintes notas com os respectivos pesos: MatriaNotaPeso Portugus663 Contabilidade633 EstatsticaX2 Direito792 A mdia aritmtica ponderada, obtida pelo candidato foi de 69,3. A nota que o candidato obteve em Estatstica foi de: a)66 b)68 c)70 d)72 e)74 6.Dentre as medidas de posio, aquela que apresenta sempre a mesma quantidade de elementos, sua esquerda e sua direita : a)A moda b)A mediana c)A mdia aritmtica d)A varincia e)N.D.A. 7.Numa curva simtrica, podemos afirmar que: a)a mdia maior que a moda, que por sua vez maior que a mediana;b)a mdia menor que a moda, que por sua vez menor que a mediana; c)a mdia, a moda e a mediana so medidas iguais; d)a mdia igual a moda e a mediana nula;e)N.D.A. 61 8.O desvio padro de um conjunto de dados 9. A varincia ser: a)3 b)36 c)18 d)81 e)N.D.A. 9.(Controladoria de arrecadao RJ 2004 FJG) Os valores de uma amostra de cinco elementos so: 4, 3, 3, 5, 5. A varincia dessa amostra de: a)4,00 b)3,00 c)2,33 d)1,00 e)N.D.A. 10.11. Sabe-se que uma distribuio apresentou as seguintes medidas: Q1= 24,4cm Q3= 41,2cm P10=20,2cmP90= 49.5cm, com tais medidas a curtose :a) Leptocrticab) Platicrticac) Mesocrtica d) Assimtrica.e) N.D.A. 62 CAPTULO 8 NMEROS NDICES 1INTRODUO Segundo Milone (2004): -Em Estatstica, como em muitas outras reas, o nmero ndice sinnimo de variao na varivel de interesse. -Em Economia, h ndices de preo, quantidade e valor dos bens, de custos de vida, de desemprego, debolsasdevalores,deconcentraodosmercados,demonopliodeempresas,deimportaoe exportao.-Paraoeconomista,oconhecimentodenmerondicesindispensvel comouminstrumentotil ao exerccioprofissional,querseusproblemasestejamvoltadosparaamicro-economia,querparaa macro-economia.No primeirocaso,podemos citar,porexemplo,anecessidadede se saberatque ponto o preo de determinado produto aumentou com relao aos preos dos demais produtos em um mesmomercado.Se,poroutrolado,oproblemaforquantificarainflao,sernecessriomediro crescimento dos preos dos vrios produtos como um todo, por intermdio do ndice geral de preos. -EmAdministrao,ndicesdeproduo,deliquidez(correnteeseco),velocidadedevendas, lucratividade e endividamento possibilitam avaliar a sade financeira das empresas; em Administrao Pblica,diversosndicespermitemavaliaraqualidadedevida,apermannciaouevasoescolar,o nvel de criminalidade e o padro de sade das populaes. -grandeaimportnciadosnmerosndicesparaoadministrador,especialmentequandoamoeda sofreumadesvalorizaoconstanteequandooprocessodedesenvolvimentoeconmicoacarret a mudanas contnuas nos hbitos dos consumidores, provocando com isso modificaes qualitativas e quantitativas na composio da produo nacional e de cada empresa individualmente. -Ehmais,bemmais,emEngenharia,Fsica,Medicina(ndicesdefertilidade,natalidade,morbidez, mortalidade,etc.),naschamadascinciasdocomportamento(Psicologia,Sociologiaetc.)eem educao (quociente de inteligncia, coeficiente de aprovao etc.). 1.1ndices simples e compostos Quando s um produto est em jogo,ondice chamadondice simples.Por exemplo, quando uma famlia nota que o preo do po o dobro do que era h 10 anos, est fazendo uso de certo tipo de Numero ndice de um s produto. Enquanto que uma comparao que envolva um grupo de artigos chamada de ndice composto. Por exemplo, alm do po, uma famlia pode incluir em sua observao itens como leite, manteiga, carne, verduras eenlatados.Algunsdessesartigospodemtertidoaumentossubstanciaisnopreo,outrospodemtertido aumentospequenos,eoutrosaindaumareduodepreo.Afinalidadedondicecompostosintetizara variao global de preos para estes tipos de produtos. Mas, as compras daquela famlia podem tambmter se modificado ao longo dos anos. Talvez tenha aumentado o consumo de leite e carne. Isto ocorrer se tiver 63 aumentadoonmerodepessoasnafamlia.Oconsumodemanteiga,poroutrolado,podeterdiminudo, particularmenteporquestodepeso.Logo,precisoincluirnosvariaesdepreo,comotambm variaes de quantidades, a fim de obter um quadro mais preciso da variao global. 2NDICES SIMPLES Umnmerondicesimplesavaliaavariaorelativadeumnicoitemouvariveleconmicaentre dois perodos de tempo. As trs variveis em que estudaremos: preo, quantidade e valor, sendo este ltimo o resultado do produto do preo pela quantidade. 2.1RELATIVOS DE PREOS Trata-sedonmerondicemaissimples.Relacionando-seopreodeumprodutonumapoca chamada poca atual ou poca dada, com o de uma pocachamada bsica ou simplesmente base, teremos umrelativodepreo.Fazendo-se tp =preonumapocaatuale 0p =preonapoca-base,definiremos relativo de preo pela seguinte quantidade: 0,0ttppp=Se quisermos expressar em termos percentuais o relativo de preo, bastar multiplicarmos o quociente citado por 100. 0,0100ttppp= Exemplo: O preo de determinado artigo, em 1999, foi R$ 1,20 e em 2000 subiu para R$ 1,38. Tomando-se por base o ano 1999, determinar o preo relativo em 2000. Soluo: O ano considerado base corresponder sempre ao ndice igual a 100. Os demais apresentaro, portanto, valores que flutua em torno de 100. Ento: - Perodo base (0) = 1999 - Perodo atual (t) = 2000 15 , 120 , 138 , 1990000 , 99= = =pppou 115% Esse resultadopode serinterpretadoda seguintemaneira:queem 2000houve umaumentode15% (115-100) no preo do artigo, com relao ao preo do mesmo artigo em 1999. Se tivssemos 2000R$1,02 p =e 1999R$1,20 p = , o relativo de preo seria: 85 , 020 , 102 , 1990000 , 99= = =pppou 85% Em 2000, o artigo em questo apresentou um preo de 15% (85-100) inferior ao de 1999. 2.2RELATIVOS DE QUANTIDADE Assimcomopodemoscompararospreosdebens,podemostambmfaz-loemrelaoa quantidades, quer sejam elas produzidas, vendidas ou consumidas.0,0ttqqq=64 Exemplo: Uma empresa produziu 46 toneladas de ao em 1999 e 69 toneladas em 2000.Qual a quantidade relativa ser, tomando-se o ano de 1999 como base? 50 , 14669990000 , 99= = =qqqou 150%No ano de 2000 esta empresa aumentou sua produo em 50% (150100) em relao a 1999. 2.3RELATIVOS DE VALOR Sepforopreodedeterminadoartigoemcertapocaeqaquantidadeproduzidaouconsumida desse mesmo artigo na mesma poca, ento, o produtop x q ser denominado valor total de produo ou de consumo. 0, 0, 0,0 0 0t t tt t tv p qv p qv p q= = = Exemplo:Umaempresavendeu, em2000,1000unidadesde umartigoaopreounitriodeR$500,00.Em 2001,vendeu800unidadesdomesmoartigoaopreounitriodeR$600,00.Ovalorrelativodavendaem 2001 foi: 01 01 0100,0100 00 00600 8000, 96ou 96%500 1000v p qvv p q = = = = Em 2001, o valor das vendas foi 4% (96-100) inferior ao de 2000. 3PROPRIEDADES DOS NMEROS NDICES - Propriedade da identidade: O nmero ndice deve ser igual unidade quando a poca dada (t) coincidir com a poca bsica (0).Ia,a = 1 EmqueIrepresentaumnmerondicesimplesqualquer.Assim,casosejatomadocomobasede comparao o ano de 2000, tem-se que para o ano 2000, o preo relativo igual 1 ou 100%. - Propriedade da reverso do tempo: Ao se permutarem dois perodos, os resultados sero o inverso um do outro. a bb aII.,1=- Propriedade cclica: O valor do ndice na ltima data, com base na primeira, ser igual ao produto dos valores da srie de ndices cujas bases so as datas anteriores. t t tI I I I I, 0 , 1 3 , 2 2 , 1 1 , 0= Exemplo 4: Um artigo foi vendido, em fevereiro, com um acrscimo de 10% em relao a janeiro; em maro, comumacrscimode5%relativamenteafevereiro;emabrilcomumaquedade4%comparativamentea maro. Calcular o acrscimo percentual de preo em abril com relao a janeiro. Soluo: jan-fev = 10%; fev-mar = 5%; mar-abr = 4% Pjan,fev = 100% +10% = 110% Pfev,mar = 100% +5% = 105% Pmar,abr = 100% 4% = 96% Pjan,abr = Pjan,fev Pfev,mar Pmar,abr= 1,10 1,05 0,96 = 110,88% 65 Houve um acrscimo de preo de 10,88% no perodo de janeiro a abril. EXERCCIO 1)O preo de um produto, em 2003 (data-base) era R$ 1.200,00. Em 2004 esse mesmo produto foi vendido por R$ 1.100,00. Qual o relativo de preo e qual a variao porcentual de preo? 2)Pedro ganhava por dia, em dezembro de 1997, R$ 9,87, e, em dezembro de 2007, R$ 19,96. Qual o seu ndice de salrio e qual seu percentual de aumento no perodo? 3)Em 2002, o preo de um produto era 35% mais baixo que em 2003 e, em 2004, 30% maior que em 2003. Qual o ndice de preo de 2002 (base) para 2004?R: 200 4)O salrio de um empregado, em janeiro de 2004, era de R$ 2.500,00. Se o ndice de preos nesse mesmo ms, em relao a dezembro de 2003 era de 101,13, qual o salrio desse empregado em dezembro de 2003? 4NMEROS NDICES DE LIGAO 4.1ELOS DE RELATIVOS (RELATIVOS DE LIGAO) Vrios relativos formam elos quando cada um deles calculado tomando como base o ano anterior; so os relativos de base mvel. Exemplo: Um bem apresentou no perodo de 2001 a 2004, respectivamente os preos de R$ 240, R$ 300, R$ 360 e 540. Vamos calcular os elos de relativos. 100010202 , 01 =ppp 100240300 = =125% 100020303 , 02 =ppp 100300360 = =120% 100030404 , 03 =ppp 100360540 = =150% Portanto: AnoRelativos 2001--- 2002125 2003120 2004150 Fazemosusodoselosderelativosquandoqueremosacompanharoscrescimentos(positivosou negativos) anuais (ou mensais, ou dirias). 66 4.2RELATIVOS EM CADEIA Orelativoemcadeiaondicedebasefixa:todososrelativossocalculadostomando-seuma determinada poca como base. Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, tomando como base fixa 2001, temos: 100010101 , 01 =ppp 100240240 = =100% 100010202 , 01 =ppp 100240300 = =125% 100010303 , 01 =ppp 100240360 = =150% 100010404 , 01 =ppp 100240540 = =225% Portanto: AnoRelativos do Preo 2001100 2002125 2003150 2004225 Fazemosusodosrelativosemcadeiaquandodesejamoscompararumdeterminadoano,considerado significativo, com os anos anteriores e os consecutivos. 4.3MUDANA DE BASE A mudana de uma srie de nmero ndices para uma outra base feita dividindo-se cada ndice da srie original pelo nmero ndice correspondente nova base, e exprimindo os resultados em porcentagens. Exemplo: Fazer a mudana de base do exemplo anterior, para 2003. Soluo: Dividi-se os valores dos ndices do preo da anterior pelo preos relativos a 2003. AnoPreos Relativos 200167 200283 2003100 2004150 Isso sempre pode ser feito, quando no temos os valores e somente os ndices. Seria a mesma coisa que calcular os ndices do preo com base fixa de 2003 usando a tabela original. 67 EXERCCIO 5)So dados os valores das exportaes de um pas em moeda local. Determine os ndices tomando como base o ano de 2006. Ano Exportao em milhes de Dlares 20021,234 20031,345 20041,027 20051,825 20061,975 20071,754 20081,938 6)Dada a Tabela: MsQuantidadePreoValor Jan.6,351,9712,51 Fev.8,632,5622,09 Mar.7,092,1315,10 Abr.6,651,9512,97 Maio7,171,8312,12 Determine: a)Os elos de relativos do preo (ou seja, os relativos de base mvel); b)Os relativos da quantidade com base em Janeiro (ou seja, os relativos de base fixa); c)Os relativos do valor com base em abril (ou seja, os relativos de base fixa). 7)AtabelaabaixoapresentaosvaloresdaarrecadaoanualdaContribuioProvisriasobre Movimentao Financeira (CPMF), medidos em R$ milhes, entre 1999 e 2003. AnoValor 19997.956 200014.546 200117.196 200220.368 200326.207 Fonte: Conjutura Econmica, vol. 58, no 3 mar. 2004. Responder: a.O nmero-ndice com base de comparao fixa em 1999. b.O nmero-ndice com base de comparao fix