apostila_mat3

Matemática III

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEDISCIPLINA: Matemática

PROFESSOR: THIAGO

Geometria Plana e Espacial

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Algumas definições

Polígono : É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo : É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

Polígono No. de lados

Polígono

Triângulo 3 Quadrilátero

Pentágono 5 Hexágono

Heptágono 7 Octógono

Pré-Universitário Popular da UFF

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE DISCIPLINA: Matemática III

Geometria Plana e Espacial

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são

isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos ementares para construir outros objetos mais complexos

como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de

É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes

É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior

s pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no

No. de lados

Quadrilátero 4

6

8

Eneágono 9

Undecágono 11

Polígono não convexo : Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes : são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo : É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

1. Os lados opostos são congruentes;2. Os ângulos opostos são congruentes;3. A soma de dois ângulos 4. As diagonais cortam-

Losango : Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo : É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado : É um paralelogramo que é ao mesmo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio : Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mosliga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a

Universitário Popular da UFF

1

Decágono 10

Dodecágono 12

Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que

Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

É um quadrilátero cujos lados opostos se mostrar que num paralelogramo:

Os lados opostos são congruentes; Os ângulos opostos são congruentes; A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;

-se ao meio.

Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um

É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos

Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base

se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a

Matemática III

média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles : Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

Triângulo e região triangular

No desenho abaixo, o triângulo ABC ésegmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Triângulo ABC Região triangular ABC

Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reuniãtrês regiões triangulares não sobrepostas.

O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".


média aritmética das somas das medidas das bases maior

Trapézio cujos lados não paralelos e caso, existem dois ângulos

congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos

m como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Região triangular ABC

Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de sobrepostas e coplanares (estão

no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

Duas ou mais regiões poligonais são nãoquando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.

2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.

3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n

Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:

a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região.

b. Usaremos expressões como ABC e a área do retângulo RSTUexpressões como a área da regie a área da região limitada pelo retângulo RSTU

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de


2

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias

Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns

A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões

sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.

Para facilitar o estudo de regiões poligonais, práticas:

Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região. Usaremos expressões como a área do triângulo

a área do retângulo RSTU no lugar de a área da região triangular ABC

a área da região limitada pelo retângulo RSTU.

A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Matemática III

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, qunidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.

O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b × h

Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.


Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro,

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades

AB pelo número de unidades da

O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.

rocessos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento

contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.

Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:

A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.


3

V acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.

emos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota

0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s²

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:

Triângulos com bases congruentes e alturas ssuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

A razão entre as áreas de dois triângulos emelhantes é igual ao quadrado da razão entre os

comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Matemática III

Área de ABC

Área de RST

=

a²

r²

=

b²

s²

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2.

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.

Circunferência circunscrita : Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência qem todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.

Circunferência inscrita : Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares


=

c²

t²

O losango é um paralelogramo e a sua área é também mento da medida da base pela

produto das medidas das

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é,

Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono

Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando

que está contida no polígono.

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

1. O apótema, aproximandocomo um limite.

2. O perímetro, aproximandocírculo como um limit

3. A área, aproximandoum limite.

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal re

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.

Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Relações associadas ao perímetro

1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da c

A razão entre o perímetro e o diâmetrode uma circunferência é uma constante

2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.


4

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

O apótema, aproximando-se do raio do cículo

O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite. A área, aproximando-se da área do círculo como

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.

é o valor limite da sequência das áreas s regulares inscritas no círculo

quando o número n de lados das poligonais aumenta

Relações associadas ao perímetro

Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:

A razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência é uma constante

Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre

e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre

Matemática III

A1

A2

=

D1

D2

=

r1

r2

3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada grega que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dídecimais é:

= 3,1415926536....

Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:

Área = r² = ¼ D²

Proporção com áreas : Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

A1

A2

=

(D1)²

(D2)²

=

(r1)²

(r2)²

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.

Elementos de um polígono regular

1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.

2. Raio da circunferência circunscrita do centro do polígono até um dos vértices.

3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.

4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.


Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra

que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das itas no mesmo. Nesse

caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo

Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois

razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem

ferências associadas a um polígono regular.

é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.

circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.

é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono

é o ângulo cujo vértice é o centro

do polígono e cujos lados contém vértices

Apótema: OM,Raios: OA,OFÂngulo central: AOF

5. Medida do ângulo central lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de niremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.

Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

A = a × Perímetro / 2

Comparando áre as entre polígonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.

Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.

Observação : Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.


5

Apótema: OM, Raios: OA,OF

Apótema: OX, Raios: OR,OT Ângulo central: ROT

central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular

graus.

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos

Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

as entre polígonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três

Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.

Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.

Matemática III

Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABCDE...

Área de A'B'C'D'E'...

=

s²

(s')²

Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que,considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiessa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.

Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo. Poliedros regulares


Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

ão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

=

t²

(t')²

itado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros

se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são

não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um

espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro Planificação

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, e F, o número de faces.

Observe os exemplos:


6

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo

m cinco poliedros regulares:

Elementos

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas


6 vértices

12 arestas

12 faces pentagonais

20 vértices

30 arestas


12 vértices

30 arestas

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

é o número de vértices, A é o número de arestas

Matemática III

Prismas

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e

distintos, , um polígono convexo R

uma reta r que intercepta , mas não

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o

segmento , paralelo à reta r

Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de

todos os segmentos congruentes paral

Classificação

V=8 A=12 F=6

8 - 12 + 6 = 2

V = 12 A = 18

F = 8

12 - 18 + 8 = 2


Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e

R contido em e

, mas não R:

, vamos considerar o

:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de

paralelos a r.

Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

Chamamos de prisma regular todobases são polígonos regulares:

prisma regular triangular

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

Secção transversal é umintersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

A = 18

18 + 8 = 2


7

reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes

Matemática III

a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:

AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases

AT = AL + 2AB

Vejamos um exemplo.

Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoeparalelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo


):área de um dos paralelogramos

):soma das áreas dos paralelogramos

(n = número de lados do polígono da base)

): área de um dos polígonos das bases;

): soma da área lateral com a área das

Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

b) paralelepípedo reto

reto tem bases retangulares, ele retângulo,ortoedro ou

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões da figura:

Temos quatro arestas de medida medida b e quatro arestas de medida indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:

Área lateral


8

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c

de medida a, quatro arestas de e quatro arestas de medida c; as arestas

indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo


db = diagonal da base

dp = diagonal do paralelepípedo

No triângulo AFD, temos:

Matemática III

Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =Abc)

Área total

Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

Volume

O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base pela medida da altura h:

Cubo

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base


Na base ABCD, temos:


a área lateral de um paralelepípedo

= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac +

do, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

volume de um paralelepípedo retângulo de

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa

No triângulo ACE, temos:

Área lateral

A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a: AL=4a²

Área total

A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a: AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta

V= a . a . a = a3

Cilindro

Elementos do cilindro

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: os círculos de

• altura: a distância h entre os planos • geratriz: qualquer segmento de extremidades nos

pontos das circunferências das bases ( por

exemplo, ) e paralelo à reta

Classificação do Cilindro

Um cilindro pode ser:


9

é dada pela área dos quadrados de

é dada pela área dos seis quadrados de

De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes

bases: os círculos de centro O e O'e raios r

entre os planos geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por

) e paralelo à reta r

Matemática III

• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;

• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados.

Secção

Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Áreas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL)


circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas

reto: quando as geratrizes são

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro erado pela rotação completa de um

Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é cujos raios dos círculos das bases são

dimensões :

b) área da base ( AB):área do círculo de raio

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases

Volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano

se todo plano , paralelo ao plano sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V


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Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de

):área do círculo de raio r

): soma da área lateral com as áreas das

Para obter o volume do cilindro, vamos usar cípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano ,

, paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.

Matemática III

Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a área da base é a

área do círculo de raio r ;

portanto seu volume é:

Cilindro eqüilátero

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado eqüilátero.

:

Cone circular

Dado um círculo C, contido num plano V ( vértice) fora de , chamamos de

conjunto de todos os segmentos

Elementos do cone circular

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:


Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida

No caso do cilindro circular reto, a área da base é a

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro

, contido num plano , e um ponto , chamamos de cone circular o

.

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes

• altura: distância h do vértice • geratriz (g):segmento com uma extremidade no

ponto V e outra num ponto• raio da base: raio R do círculo

• eixo de rotação:reta do círculo e pelo vértice do cone

Cone reto

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g2 = h2

Secção meridiana

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chammeridiana.

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

Áreas

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio

:


11

do vértice V ao plano ):segmento com uma extremidade no

e outra num ponto da circunferência do círculo

eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base , também denominado cone de

. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a

+ R2

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento

Matemática III

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): área do setor circular

b) área da base (AB):área do circulo do raio

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base

Volume

Pirâmides

Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de

pirâmide o conjunto de todos os segmentos

Classificação

Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular.triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sbase seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).


Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

):área do circulo do raio R

):soma da área lateral com a área da base

, contido em um plano , chamamos de

o conjunto de todos os segmentos .

râmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, pirâmide regular. Ela pode ser

triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero,

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal dque:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;

• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;

• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.


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se com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro

Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo

as arestas laterais e a altura sejam divididas na

a secção obtida e a base sejam polígonos

as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Matemática III

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (AT): união da área lateral com a área da base

AT = AL +AB

Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:


Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

as áreas das faces laterais

): área do polígono convexo ( base da

): união da área lateral com a área da base

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma s possuem volumes iguais:

Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o

ividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e

Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

• as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas

Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior

AT =AL+A

Volume

O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Tronco do cone

Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:


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as bases são polígonos regulares paralelos e

as faces laterais são trapézios isósceles

Temos as seguintes áreas:

: soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

): soma da área lateral com a soma das e maior (AB)

+AB+Ab

de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Sendo o tronco do cone circular regular a seguir,

Matemática III

• as bases maior e menor são paralelas;• a altura do tronco é dada pela distância entre os

planos que contém as bases.

Áreas

Temos:

a) área lateral

b) área total

Volume

Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

Esfera

Chamamos de esfera de centro O e raio pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.


as bases maior e menor são paralelas; a altura do tronco é dada pela distância entre os

e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou

Considerando a rotação completa de um semicírculo , a esfera é o sólido gerado por essa

rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa

Volume

O volume da esfera de raio


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O volume da esfera de raio R é dado por:

apostila_mat3

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