apostilaMatematica

Professor Acácio Pedro da Silva Junior

NivelameNto

matemÁtiCa

maRiNGÁ-pR2012

Reitor: Wilson de Matos Silvavice-Reitor: Wilson de Matos Silva Filhopró-Reitor de administração: Wilson de Matos Silva Filhopró-Reitor de eaD: Willian Victor Kendrick de Matos Silvapresidente da mantenedora: Cláudio Ferdinandi

NeaD - Núcleo de educação a Distância

Diretor Comercial, de expansão e Novos Negócios: Marcos GoisDiretor de operações: Chrystiano MincoffCoordenação de marketing: Bruno JorgeCoordenação de Sistemas: Fabrício Ricardo LazilhaCoordenação de polos: Reginaldo CarneiroCoordenação de pós-Graduação, extensão e produção de materiais: Renato DutraCoordenação de Graduação: Kátia CoelhoCoordenação administrativa/Serviços Compartilhados: Evandro BolsoniCoordenação de Curso: Ariane Maria Machado de Oliveira, Camila Barreto Rodrigues Cochia, Danillo Xavier Saes, José Renato de Paula Lamberti, Márcia Maria Previato de Souza , Reginaldo Aparecido Carneiro e Silvio Silvestre BarczszSupervisora do Núcleo de produção de materiais: Nalva Aparecida da Rosa MouraCapa e editoração: Daniel Fuverki Hey, Fernando Henrique Mendes, Luiz Fernando Rokubuiti e Renata SguissardiSupervisão de materiais: Nádila de Almeida Toledo Revisão textual e Normas: Cristiane de Oliveira Alves, Gabriela Fonseca Tofanelo, Janaína Bicudo Kikuchi, Jaquelina Kutsunugi e Maria Fernanda Canova Vasconcelos.

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância:

C397 Matemática (Nivelamento) / Acácio Pedro da Silva Junior - Maringá - PR, 2012. 140 f.

1. Conjuntos numéricos. 2. Múltiplos e divisores 3. Equa ções. 4. Porcentagem. 5 EaD. I. Título.

CDD - 22 ed. 372.7 CIP - NBR 12899 - AACR/2

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central - UNICESUMAR

“As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites pHotoS.Com e SHUtteRStoCK.Com”.

Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimação - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maringá - Paraná - www.cesumar.brNEAD - Núcleo de Educação a Distância - bloco 4 - (44) 3027-6363 - [email protected] - www.ead.cesumar.br

NivelameNto

matemÁtiCa

professor acácio pedro da Silva Junior

4 MATEMÁTICA| Educação a Distância

5MATEMÁTICA | Educação a Distância

apReSeNtaÇÃo Do ReitoR

Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderança e solução de problemas com eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho.

Cada um de nós tem uma grande responsabilidade: as escolhas que fizermos por nós e pelos nossos fará grande diferença no futuro.

Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros.

No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conheci-mento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária” –, o Centro Universitário Cesumar busca a integração do ensino-pesquisa-extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que contribua para o desenvol-vimento da consciência social e política e, por fim, a democratização do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade.

Diante disso, o Centro Universitário Cesumar almeja reconhecimento como uma instituição universitária de referência regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisição de compe-tências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; consolidação da extensão universi-tária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância; bem-estar e satisfação da comunidade interna; qualidade da gestão acadêmica e administrativa; compromisso social de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivando a educação continuada.

Professor Wilson de Matos SilvaReitor


Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um processo de transformação, pois quando investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente, transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo.

O Centro Universitário Cesumar, mediante o Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”.

Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontram-se integrados à proposta pedagógica, contribuindo no processo educacional, complementando sua formação profissional, desenvolvendo competências e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de maneira a inseri-lo(a) no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal objetivo “provocar uma aproximação entre você e o conteúdo”, desta forma, possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional.

Portanto, nossa distância nesse processo de crescimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das discussões. Além disso, lembre-se de que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica.

Então, vamos lá! Desejo bons e proveitosos estudos!

Professora Kátia Solange Coelho

Coordenadora de Graduação do NEAD - UniCesumar


apReSeNtaÇÃo

livro: MATEMÁTICAProfessor Acácio Pedro da Silva Junior

Caro aluno, apresento a você o livro que será uma ferramenta importante para o seu desenvolvimento acadêmico. Sou o professor Acácio e trabalhei com muito afinco para proporcionar a você conhecimentos sobre o temido mundo da Matemática.

Trabalho com matemática desde sempre e posso garantir que, com um pouco de dedicação aliado à maturidade adquirida durante esses anos de estudos, você vai vencer o medo da matemática.

Depois de algum tempo trabalhando exclusivamente com matemática, descobri que não são só os números que interessam à matemática: todo o raciocínio faz parte da construção e amadurecimento dos conceitos. Nessa oportunidade, a “Lâmpada da Ideia” se acendeu sobre a minha cabeça e passei a trabalhar mais com os conceitos do que com os números.

Meu objetivo ao escrever este livro não foi o de fornecer só fórmulas e expressões prontas, pelo contrário, procurei proporcionar métodos mais lógicos, nem sempre adquiridos de forma rápida mas, com certeza, métodos e conceitos que não se perderão com facilidade. É claro que a mecanização de alguns conceitos é importante para a maioria dos cursos, por isso, dependendo do tema, você terá baterias extensas de exercícios e problemas.

Este material foi elaborado com fins científicos e, apesar da linguagem pouco formal nas explicações e resoluções de exercícios, apresenta toda a formalidade exigida na apresentação teórico-conceitual. Trata-se de um material com algumas aplicações cotidianas e, sobretudo, aplicações em diversas áreas do conhecimento técnico.

Você verá desde os mais básicos pré-requisitos até os mais aprimorados. Tudo contribuirá para o seu desenvolvimento acadêmico global e, quando possível, trataremos das especificidades em cada uma das áreas do conhecimento. É evidente que cada curso terá uma aplicação diferente dos conteúdos, mas, se você quer aproveitar bem o seu curso, é aconselhável que você aproveite todas as oportunidades que lhe forem dadas.

O sucesso é certo, mas será necessário muito empenho de sua parte para a realização desse intenso e árduo trabalho.


DiCaS paRa apRoveitaR melHoR o mateRial:

1. preze pelo silêncio! Estudar em ambiente com muito barulho atrapalha seu rendimento e não permite que você se concentre. Se você gosta de estudar ouvindo música, coloque no seu playlist apenas as músicas que não possibilitem cantar junto.

2. Seja humilde! Sempre há algo para aprender, mesmo que você já tenha estudado algo parecido em outra oportunidade. No mínimo, releia!

3. Não se exceda! Mantenha-se nos seus limites. Passar tempo demais estudando é prejudicial: Prefira 30 minutos por dia, durante 7 dias ao invés de 3horas e 30 minutos de uma só vez.

4. Gerencie melhor o seu tempo! Reserve parte do dia para estudar e reserve parte do dia para descansar. “O trabalho dignifica o homem”, mas, em excesso, destrói.

5. Faça exercícios! Exercícios físicos ajudam a oxigenar o cérebro: você consegue aumentar a qualidade e a quantidade das ligações sinápticas e seu cérebro funciona no modo “Turbo”. Exercícios mentais ficam bem mais fáceis quando o cérebro está funcionando bem.

6. Não deixe para fazer tudo de uma só vez! Isso acarreta estafa mental. Não ache que estudando por horas você conseguirá grande absorção de conteúdos. Isso é lenda!

7. aproveite as oportunidades! Há uma história que diz: “a oportunidade é uma mulher que só tem cabelo na frente e vem correndo ao seu encontro. Você deve agarrá-la quando ela se aproxima, pois se você deixá-la passar, não dará nem para segurar pelos cabelos”.

8. Dedique-se! Mostre-se forte!


Símbolos

A matemática usa alguns símbolos de forma recorrente para simplificar a linguagem e para universalizá-la, isto é, escrever de forma que a leitura independa do idioma em que o texto está escrito.

É conveniente que você se esforce para reconhecê-los, isso facilitará a leitura dos problemas.

Símbolo Significado

/ “tal que”

Ǝ “existe ao menos um”

Ǝ! “existe um único”

“qualquer que seja” ou “para todo”

“implica” ou “então”

ou ≡ “é equivalente a”

≠ “é diferente de”

> “é maior que”

< “é menor que”

“é menor ou igual a”

“é maior ou igual a”

± “mais ou menos”

A

══›

══››

˃

˃


SUmÁRio

UNiDaDe i

TEORIA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. CONJUNTOS 16

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 26

UNiDaDe ii

MÚLTIPLOS E DIVISORES OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

3. MÚLTIPLOS E DIVISORES 41

4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 46

UNiDaDe iii

NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

5. NOTAÇÃO CIENTÍFICA 67

6. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 70

UNiDaDe iv

LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS

7. LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS 87

8. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 100

UNiDaDe v

RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS

9. RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS 125

10. PORCENTAGEM 131

CoNClUSÃo 139

ReFeRÊNCiaS 140

UNiDaDe i

teoRia De CoNJUNtoS CoNJUNtoS NUmÉRiCoSProfessor Acácio Pedro da Silva Junior

objetivos de aprendizagem

• EntenderosconceitosdateoriadeConjunto.

• RepresentareIdentificar,deformacoerente,osdiferentesConjuntos.

• Identificaroselementosdeumconjuntopormeiodesuacaracterística.

• Relacionarconjuntoaconjunto.

• Dominarasoperaçõesentreconjuntos.

• Entender,InterpretareResolverproblemas.

• Conhecerosconjuntosnuméricosbásicos.

plano de estudo

A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:

• Conjuntos

• RelaçãoentreElementoeConjunto

• Representaçãodeumconjunto

• ConjuntosEspeciais

• RelaçãoentreConjuntoeConjunto

• Operaçõesentreconjuntos

• ResoluçãodeProblemas

• ConjuntosNuméricos


iNtRoDUÇÃo

Nesta primeira unidade, você estudará um tema muito importante para o mundo da matemática: A teoria de Conjuntos. Trata-se de um conteúdo cercado de história, e contribuirá maciçamente com sua formação pessoal e acadêmica.

No campo da matemática, você aprenderá a manipular algumas “ferramentas fortes” para o desenvolvimento de conceitos mais elaborados como funções, limites e derivadas. Neste tópico, busco mostrar a importância da mecanização do processo sem que se perca todo o raciocínio lógico por trás de um problema. Entender como os conjuntos se relacionam impulsiona a compreensão do conceito “Função”, que dará início a tantos outros conceitos intimamente relacionados à matemática do ensino superior.

A história se beneficia com uma breve abordagem acerca da expansão comercial desenvolvida durante os séculos XV e XVI, que deu origem aos descobrimentos de novas terras e novas riquezas. Da necessidade do homem para desenvolver o comércio, surgiram novas formas de representar os números, surgiram novos conjuntos numéricos e houve um maior estímulo ao estudo das ciências. A expansão marítimo-comercial foi impulsionada pela necessidade da abertura de novos mercados, pela falta de matéria-prima (sobretudo, metais), pelo crescimento das transações comerciais com o Oriente, pela aparente crise econômica da Europa e até pela propagação da fé cristã. Como o Porto de Constantinopla havia sido tomado pelos Turcos Otomanos, o comércio com o Oriente agravou, ainda mais, a crise econômica europeia, obrigando os navegadores a evitar o Mar Mediterrâneo, escolhendo rotas alternativas pelo Oceano Atlântico para chegar às Índias. Portugal, além de sua localização privilegiada, ainda detinha conhecimentos adicionais da arte da navegação (principalmente o uso do astrolábio e da bússola) e estimulava os estudos na Escola de Sagre, (<http://pt.shvoong.com/social-sciences/1738724-expans%C3%A3o-maritima-comercial/#ixzz1nUkwxJT1>. Acesso em 12 fev. 2012).


1. CoNJUNtoS

Quando tratamos da teoria de conjuntos, não temos interesse exclusivo em conjuntos numéricos. Dependendo da sua área, você precisará desses conceitos para alavancar muitos outros. Algumas vezes será necessário entender se dado problema admite solução, quantas são estas soluções, se a solução é aceitável, qual é a probabilidade de algo acontecer, além de outras abordagens.

A palavra “conjunto” aparece no dicionário como coleção de objetos com uma característica comum. Assim, todo agrupamento ou coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto.

exemplos:I. O conjunto dos Números inteiros.

II. O conjunto dos meses do ano.

III. O conjunto musical “iRa!”.

Cada um dos objetos que compõem um conjunto é denominado elemento.

exemplos:

I. O conjunto “m” dos meses do ano é composto pelos elementos janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro e pode ser escrito como:

m = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}

II. O conjunto “i” dos componentes atuais do grupo musical iRa! é composto pelos elementos Nasi, Edgard Scandurra, André Jung e Ricardo Gaspa e pode ser escrito como:

i = {Nasi, Edgard Scandurra, André Jung, Ricardo Gaspa}

III. O conjunto “Z” dos Números inteiros é composto pelos elementos positivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... , pelos elementos negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8... , e pelo elemento nulo 0 (zero) e pode ser escrito como:

Z = {... -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Note a presença das reticências (...) neste conjunto. Esse símbolo indica que o conjunto é infinito e admite valores maiores que 8 e também valores menores que -8, desde que, inteiros.

Observação: quando não conhecemos os elementos de um conjunto, representamos tais elementos, na maioria das vezes, com letras minúsculas a, b, c, d... e, para representar conjuntos, usamos letras maiúsculas, a, B, C, ...

1.1. Relação entre elemento e Conjunto


Para indicar que determinado objeto “▪” é elemento de um dado conjunto Q, utilizamos o símbolo “∈” e os relacionamos como “▪ ∈ Q” (lê-se: ▪ pertence ao conjunto Q).

Paraindicarquedeterminadoobjeto“▪”não é elemento de um dado conjunto A, utilizamos o símbolo “∉” eosrelacionamoscomo“▪∉A”(lê-se:▪ não pertence ao conjunto A).

exemplos:

I. Considere o conjunto “m” dos meses do ano. Podemos escrever:

Janeiro ∈ M Domingo ∉ M

II. Considere o conjunto “i” dos componentes atuais do grupo musical iRa! Podemos escrever:

Nasi ∈ I Otto ∉ I

III. Considere o conjunto “Z” dos Números inteiros. Podemos escrever:

17 348 ∈ Z 0,5 ∉ Z

1.2. Representações de um Conjunto

Há três formas clássicas de representar um conjunto: por Extensão, por Compreensão e por Diagrama.

1.2.1 Representação por extensão

Listamos todos os elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas (exceto quando usamos números decimais, nesse caso usamos ponto e vírgula para separá-los).

1.2.2 Representação por Compreensão

O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos, em algumas situações, é impossível escrever tal característica. Nesses casos, optamos por outra forma de representação.

1.2.3 Representação por Diagrama

Utilizamos uma figura chamada Diagrama de venn (John Venn, lógico inglês; 1834-1923) para representar tais elementos. Para conjuntos finitos, é fácil usar esta representação. Para conjuntos infinitos, torna-se impossível. Nesse caso, elegemos alguns elementos para representar o conjunto, mas é necessário deixar claro que o conjunto não possui apenas tais elementos.

exemplos:

Compreensão: o conjunto U dos dias úteis da semana:

extensão: U = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}


Diagrama:

Segunda - feira Terça - feira

Quarta - feira

Quinta - feira Sexta - feira

U

Compreensão: A = {x ∈ IN/ x < 11} (lê-se: “x é um número natural tal que x é menor que 11”)

extensão: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Diagrama:

3

A

2

71

40

65

10 98

Observe que qualquer uma das formas de representação é suficiente para que se estabeleça a relação entre elemento e conjunto.

Domingo ∉ U 10 ∈ A

1.3. Conjuntos especiais

1.3.1. Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elementos.

exemplo:

T é o conjunto dos valores inteiros “x” tais que seu dobro é igual a 5.

T = {x ∈Z/2x=5}→T={5/2}

Note que 5/2 = 5 ÷ 2 = 2,5 que não é inteiro. Nesse caso, dizemos que não existe valor “x” que satisfaça e a solução é, portanto, o conjunto vazio.

Representamos o conjunto vazio por { } ou por Ø.

1.3.2. Conjunto Unitário

É o conjunto que possui exatamente um elemento.


exemplo:

H é o conjunto dos planetas reconhecidamente habitados do Sistema Solar.

H = {Terra}

1.3.3. Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos de todos os conjuntos que interessam ao desenvolvimento dos problemas.

Se o nosso problema englobasse a população paranaense, o conjunto universo teria, como elementos, todos os habitantes do Paraná.

1.4. Relação entre conjunto e conjunto (Subconjuntos)

Para indicar que um determinado conjunto “A” é subconjunto de um conjunto “B”, é necessário que todos os elementos do conjunto A estejam em B. Nesse caso, utilizamos o símbolo “⊂” e os relacionamos como “A ⊂ B” (lê-se: A está contido em B ou, A é subconjunto de B).

Há uma maneira pouco usual de representar a mesma relação: “B ⊃ A” (lê-se: B contém A).

exemplos:

Seja U = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira} e seja S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, podemos dizer que U é subconjunto do conjunto S, pois todos os elementos que estão em U também estão em S (U ⊂ S).

Acompanhe o diagrama:

Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 7}, podemos dizer que B é subconjunto do conjunto A, pois todos os elementos que estão em B também estão em A (B ⊂ A).

o conjunto U está sombreado


Acompanhe o diagrama:

Caso existam alguns elementos de A que não esteja em B, diremos que “A não é subconjunto de B” e simbolicamente escreveremos A ⊂ B (lê-se: A não está contido em B) ou ainda, “B ⊃ A” (lê-se: B não contém A).

É muito comum confundir os termos “está contido” e “pertence”. Na língua portuguesa, em algumas situações, podemos usá-los como sinônimos, mas, para a matemática, isso é um “crime”: só podemos usar o termo “está contido” para a relação conjunto – conjunto.

Para evitar confusões entre tais termos, sugiro que você leia diferente:

“∈” como “é elemento de”.

“∉” como “não é elemento de”.

“⊂” como “é subconjunto de”.

“⊂” como “não é subconjunto de”.

Assim ficará claro que os símbolos “∈” e “∉” são usados para relacionar elemento a conjunto e que os símbolos “⊂” e “⊂” são usados para relacionar conjunto a conjunto.

1.4.1. igualdade entre Conjuntos

Dois conjuntos são ditos “iguais” (A = B) quando possuem os mesmos elementos. Se existir ao menos um elemento que falte a um dos conjuntos, dizemos que os conjuntos são diferentes (A = B).

1.4.2. Resultados importantes

R1: se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B.

De fato: se “todos os elementos de A estão em B” e “todos os elementos de B estão em A”, não há elementos diferentes entre A e B, portanto, A = B.

R2: o Conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (∀ C, Ø ⊂ C). Observe um exemplo no diagrama:

o conjunto B está sombreado


Qualquer que seja o conjunto, você sempre pode optar por não escolher elemento algum (conjunto vazio).

1.5 operações entre conjuntos

1.5.1. União de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, definimos como “União entre A e B” (A ∪ B) o conjunto formado exclusivamente por todos os elementos de A e todos os elementos de B.

Exemplos:

Sejam os conjuntos:

A = {Terra, Vênus, Marte}

B = {Terra, Netuno, Saturno, Mercúrio, Vênus}

A ∪ B = {Terra, Vênus, Marte, Netuno, Saturno, Mercúrio}

Note que os elementos “Terra” e “Vênus” foram escritos apenas uma vez, apesar de aparecerem nos dois conjuntos.

Sejam os conjuntos:

U = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}

S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}.

o conjunto Ø está sombreado

o conjunto A ∪ B está sombreado


U ∪ S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}.

Note que os elementos “segunda-feira”, “terça-feira”, “quarta-feira”, “quinta-feira” e “sexta-feira” foram escritos apenas uma vez, apesar de aparecerem nos dois conjuntos.

1.5.2. intersecção entre Conjuntos

DadososconjuntosAeB,definimoscomo“IntersecçãoentreAeB”(A∩B)oconjuntoformadoportodosos elementos que estão simultaneamente em A e em B.

Exemplos:

Sejam os conjuntos:



A∩B={Terra,Vênus}

Sejam os conjuntos:



U∩S={segunda-feira,terça-feira,quarta-feira,quinta-feira,sexta-feira}.

o conjunto S ∪ U está sombreado

OconjuntoA∩Bestásombreado


SeaintersecçãoentreosconjuntosAeBnãotemelementos(A∩B=Ø), dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

1.5.3. Resultados importantes

R1: se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B.

R2: se A ⊂ B ⇒A∩B=A.

R3: se n(A) é o número de elementos do conjunto A, n(B) é o número de elementos do conjunto B, n(A ∪B)éonúmerodeelementosdauniãodosconjuntosAeBen(A∩B)éonúmerodeelementosdaintersecção dos conjuntos A e B, assim:

n(a ∪ B) = n(a) + n(B) – n(a ∩B)

Mas, qual é o motivo para que esta expressão se verifique?

Acompanhe os diagramas enquanto lê a explicação:

Quando você busca o número de elementos da união de dois conjuntos A e B, você utiliza todos os elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Suponha que exista intersecção entre os conjuntos A e B.

Quando contamos o número de elementos do conjunto A, contamos sua intersecção com B e, quando contamos os elementos do conjunto B, contamos novamente a sua intersecção com o conjunto A. Para se estabelecer a relação de igualdade, precisamos descontar os elementos que foram contados duas vezes.

O conjunto S ∩ Uestá sombreado


Contamos a intersecção quando selecionamos A e depois contamos novamente quando selecionamos B. Porisso,descontamosn(A∩B).Assim:

n(a ∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B)

1.5.4. Diferença entre Conjuntos (Subtração)

DadososconjuntosAeB,definimoscomo“DiferençaentreAeB”(A−B)oconjuntoformadoportodosos elementos que estão em A e não estão em B.

Exemplos:

Sejam os conjuntos:



A−B={Marte}

B−A={Netuno,Saturno,Mercúrio}

NotequeA−B≠B−A

Sejam os conjuntos:



U−S={}

S−U={domingo,sábado}

OconjuntoA−Bestá sombreado

OconjuntoB−Aestá sombreado


NotequeU−S≠S−U

observação: se U ⊂ S, a diferença S – U denomina-se complementar do conjunto U em relação ao conjunto S. Em outras palavras, é o que falta a U para ser S.

1.6. Resolução de problemas

A teoria dos conjuntos tem várias aplicações em situações cotidianas que, geralmente, aparecem em forma de problema. Exercícios que envolvam apenas conceitos imediatos e teoria servem apenas para fixar o conteúdo, para praticar.

exemplos

I. (INFO) - Em uma universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos leem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos:a) 80%.

b) 14%.

c) 40%.

d) 60%.

e) 48%.

Resolução:

Como todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o total é 100%. Mas, se você somar as parciais 80% e 60% o resultado é 140%. Os 40% excedentes representam os valores que foram contados duas vezes: foram contados como leitores de X e depois como leitores de Y. Assim, 40% leem ambos os jornais. (Alternativa C)

II. (INFO) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram

OconjuntoS−Uestá sombreado


nenhuma das sobremesas?a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0

Resolução:

Acompanhe o diagrama enquanto lê a resolução:

Para resolver este tipo de problema você precisa organizar os conjuntos citados X e Y contando com uma possível intersecção. Na sequência, posicionamos o valor correspondente à intersecção dos conjuntos (“3 comeram as duas”). A seguir, completamos os conjuntos X e Y: X já tem 3 elementos e precisa de mais 2 para completar 5; Y já tem 3 elementos e precisa de mais 4 para completar 7. Desta forma, o diagrama teria: 2 que comeram só X; 4 que comeram só Y e 3 que comeram as duas sobremesas (X e Y). Somando essas quantidades encontramos 9, que representam as 9 pessoas que comeram alguma coisa (seja só X, só Y ou ambas). Falta 1 pessoa para completar as 10 citadas, esta não comeu sobremesa alguma. (Alternativa A)

2. CoNJUNtoS NUmÉRiCoS

Você sabe como surgiram os números? Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número, mas não foi bem assim.

A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. Os números surgiram da necessidade de contar objetos.

Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, nós em uma corda, marcas em um osso... Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem aos números.


Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e para se proteger da chuva e do frio. Para registrar os animais mortos em uma caçada, eles limitavam-se a fazer marcas e em uma vara. Nessa época, o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. A escrita ainda não tinha sido criada.

Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura.

2.1. Conjunto dos Números Naturais

O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. Pela manhã, levava suas ovelhas, ou cabras, para pastar e, pela noite, as recolhia e guardava em um cercado. Mas como controlar o rebanho? Como ter certeza de que nenhuma ovelha (cabra) havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?

O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas (cabras) com pedras. Assim, cada animal que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que os animais entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número. (Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras).

Nosso corpo teve papel importantíssimo nesse processo. Pois se passou a relacionar a ideia de contagem com os dedos da mão: cinco dedos, cinco peixes, cinco animais, e assim por diante. A associação entre dedos e números até hoje está presente na palavra dígito, que provém do latim “digitus” e significa dedo.

e os números que surgiram “naturalmente”, pela necessidade de contar, representam o Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

2.2. Conjunto dos Números inteiros

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles


encontraram de resolver tais situações-problema consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha 30 kg de determinado produto em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg desse produto, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 Kg, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.

Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (Zahlen em alemão significa número). Z = {...–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...}.

e os números naturais acompanhados de seus opostos (negativos), pela necessidade comercial de representar as dívidas, compõem o Conjunto dos Números inteiros Z = {...–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

N ⊂ Z

2.3. Conjunto dos Números Racionais

A expansão comercial aumentou ainda mais a circulação de dinheiro e, agora, não bastava escrever lucros e prejuízos. Era difícil pensar na comercialização de ovelhas e cabras inteiras (mesmo porque algumas famílias não tinham posses suficientes para compras de grande porte). A solução para isso foi vender partes da produção: meia cabra, parte de um porco... Surge nesse momento a necessidade de representar partes de um todo e com ele o conjunto Q dos números racionais, elencando todos os números que podem ser escritos em forma de fração.

Usamos a letra Q para os racionais, pois relacionamos “Racionais” à “Razão”, “Razão” à “Fração”, “Fração” à “Divisão” e “Divisão” a “Quociente”.

e os números que surgiram pela necessidade de comercializar partes de algo, representam o Conjunto dos Números Racionais ℚ = {a/b; a ,b ∈ℤeb≠0}.

Note que não conseguiríamos escrever todos os números racionais, uma vez que todos os números inteiros poderiam ocupar o lugar de “a” e “b”. O que podemos fazer é citar alguns exemplos: {1/2, 1/3, 1/4, ..., 2/2, 2/3, 2/4, ...., 3/2, 3/3, 3/4, ...}.

Note que 1/2 = 0,5 que, além de ser um decimal exato, ainda pôde ser escrito em forma de fração e, portanto, é racional.

Note ainda que 2/2 = 1 que, além de ser inteiro, também pôde ser escrito em forma de fração e, portanto, é racional.

Note também que 1/3 = 0,33333333... que, além de ser uma dízima periódica, ainda pôde ser escrito em forma de fração e, portanto, é racional.


N ⊂ Z ⊂ ℚ

O diagrama abaixo pode ser favorável para a memorização, caso você tenha dificuldades em entender:

Na representação acima:

A parte cinza corresponde aos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Apartelistradacorrespondeaosnúmerosinteirosnegativos{...,−5,−4,−3,−2,−1}.

A parte branca corresponde às frações cujo quociente não é um número inteiro {1/2, 1/3, 13/28...}.

Você pode encontrar no Youtube uma série vídeos produzidos pela BBC de Londres: “A História da Matemática” (The story of maths). Este foi escolhido como Melhor Documentário produzido no ano pela estação BBC. Apre-sentadopelopesquisadoreprofessordaUniversidadedeOxford,MarcusduSautoy,ofilmevoltaàhistóriadamatemática da Grécia e de Atenas e explica o quão importante ela ainda é para nós nos dias de hoje.O Documentário é dividido em 4 capítulos. Capítulo 1 - A Linguagem do UniversoCapítulo 2 - O Gênio do OrienteCapítulo 3 - As Fronteiras do EspaçoCapítulo4-RumoaoInfinitoeMaisAlémDevido ao limite de 10 minutos por vídeo postado no Youtube, cada capítulo está dividido em 5 ou 6 partes. Você encontra os links na sequência em: <http://www.estudarcomputacao.com/2010/06/historia-da-matematica-serie-da-bbc-em.html>.Procure-os! Vale a pena!

2.4.ConjuntosNuméricosEspeciais

Podemos ainda definir alguns conjuntos numéricos especiais, alguns funcionais e outros apenas curiosos.

2.4.1. Conjunto dos Números primos

É formado por todo número natural que pode ser dividido APENAS por 1 e por si mesmo. Em outras palavras, se um número for múltiplo de algum outro número (que não o 1), não será primo.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}


Não há uma ordem de formação para o conjunto dos números primos, não tente criar um padrão pois você irá perder tempo. O que você precisa saber é “o que é um número primo” e não “quais são os números primos”. Se houver dificuldade, memorize os cinco ou seis primeiros. Isso já é suficiente.

Acesse o site a seguir e veja que muitos ainda estão construindo a matemática, há números primos absurdamen-te grandes, e outros tantos são descobertos de tempos em tempos: <http://www.matematicahoje.com.br/telas/cultura/curiosidades/curiosidades.asp?aux=E>.

2.4.2. Conjunto dos Números triangulares

É formado pelos números naturais que podem ser escritos geometricamente como uma figura triangular.

T = {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...}.

Tente se lembrar de um jogo de boliche ou de um jogo de sinuca

Certamente, você reconheceu os números triangulares nos 10 pinos de boliche ou nas 15 bolas de sinuca.


2.4.3. Conjunto dos Números ℚuadrados

É formado pelos números naturais que podem ser escritos geometricamente como uma figura quadrangular ou algebricamente como um número inteiro ao quadrado.

Q = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...}

Q = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112...}

No futuro, veremos mais conjuntos numéricos. No momento, o que você precisa saber é isso.

2.5. outros Símbolos

Há, ainda, outros símbolos que nos ajudarão a restringir os conjuntos. Eles não aparecem com tanta frequência, mas você deve saber identificá-los quando aparecerem.

+ no canto inferior direito representa os números não negativos que fazem parte daquele conjunto (não confunda com positivos!).

−nocanto inferioresquerdorepresentaosnúmerosnão positivos que fazem parte daquele conjunto (não confunda com negativos!).

* no canto superior direito representa os números não nulos que fazem parte daquele conjunto.N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

N+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} = N

N− = {0}

Z* ={..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} = N

Z− = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Podemos estender o conceito para todos os outros conjuntos, apesar de não conseguirmos explicitá-los.

Comentário: o número ZeRo NÃO TEM SINAL (não é positivo nem negativo), mas tem paridade: ZERO É PAR! (afinal, é um múltiplo de dois! Note que zero pode ser escrito como duas vezes algum número inteiro: o próprio zero).


eXeRCÍCioS:

01. Considere os conjuntos E, F e G, abaixo, para determinar o que se pede:E = {3, 4, 6, 8}

F = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}

G = {4, 5, 6, 7, 8}

a) E ∪ F b) F – E

c) F ∪ G d) G – E

e) E ∪ G ∪ F f) G – F

g) E ∩ F ∩ G h) (F – G) ∩(G – F)

i) E – F j) (E ∩ G) ∩ (G – F)

02. Considere o conjunto a = {0, 1, 2, {3}, Ø} para determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações a seguir:a) ( ) 0 ∈ A b) ( ) 0 ⊂ A

c) ( ) 0 ⊄ A d) ( ) 3∈ A

e) ( ) 3∉ A f) ( ) 3 ⊄ A

g) ( ) {3} ∈ A h) ( ) {3} ∉ A

i) ( ) {3} ⊄ A j) ( ) {3} ⊂ A

k) ( ) Ø ∈ A l) ( ) Ø ∉ A

m) ( ) Ø ⊄ A n) ( ) Ø ⊂ A

o) ( ) {1} ⊂ A p) ( ) {1} ∈ A

q) ( ) {1, 3} ⊂ A r) ( ) {1, {3}} ⊂ A

s) ( ) {0, 1, 2} ⊂ A t) ( ) {1, Ø} ⊂ A

u) ( ) {{3}, Ø} ⊂ A v) ( ) {1, 2, 3} ⊂ A

w) ( ) {0, 1, 2, {3}} = A x) ( ) {1, 2, 3} ∈ A

y) ( ) A ⊂ Ø z) ( ) { } ∈ A


03. Dados os conjuntos A = {1}, B = {0, 1} C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 4}, use os símbolos ⊂ e ⊄ para determinar a relação de inclusão entre os pares de conjuntos a seguir:

a) A ___ B b) A ___ C

c) A ___ D d) B ___ C

e) B ___ D f) C ___ D

04. Seja o conjunto H = {n ∈ IN/ 2 < n < 40, onde n é múltiplo de 2 e não é múltiplo de 3}. Escreva todos os elementos que compõem o conjunto H.

05. Uma pesquisa foi feita com 100 leitores de um jornal. Constatou-se que cada um deles é leitor de pelo menos um dos jornais A ou B, 60 deles leem A e 80 leem o jornal B. Quantos leitores leem os dois jornais?

06. Dos 56 alunos de uma classe da escola, 40 já leram pelo menos um dos romances de Machado de Assis, Memórias Póstumas de Brás Cubas (MPBC) ou Dom Casmurro (DC). 28 alunos já leram MPBC e 31 já leram DC. a) Quantos alunos leram os dois romances?

b) Quantos alunos não leram MPBC?

07. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas?

08. Em uma certa cidade, 40% da população têm pé chato, 25% um irmão chato e 15% além de ter pé chato ainda têm um irmão chato. Qual é o percentual de pessoas que não tem nem o pé nem o irmão chato?

09. Dos 500 alunos entrevistados em um colégio, 240 praticavam futebol, 180 frequentavam um curso de idiomas e 120 realizavam as duas atividades. Quantos realizam pelo menos uma atividade?

10. (F.M. Itajubá-MG) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados: 21 consumidores usam A, 17 usam B, 15 usam C, 4 usam A e B, 6 usam B e C, 7 usam A e C e 3 consumidores usam as 3 marcas. Calcule: a) Quantos consumidores só utilizam A. b) Quantos só utilizam B. c) Quantos só utilizam C. d) Quantos utilizam duas marcas. e) Quantos utilizam exatamente duas marcas. f) Quantos não utilizam A. g) Quantos não utilizam B. h) Quantos não utilizam C.

11. Em um grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances, A ou B; 270 leram B; 80 leram A e B, e 340 não leram o romance A. O número de estudantes desse grupo é igual a:

12. (UFMA) Em um homicídio praticado na Rua X, a polícia fez as seguintes anotações, no boletim de ocorrência, sobre as pessoas encontradas no local do crime: havia 5 mulheres. 5 pessoas usavam


óculos. 4 homens não usavam óculos. 2 mulheres usavam óculos. Considerando que todas as pessoas encontradas no local são suspeitas, então quantos são os suspeitos?

13. Em um colégio de segundo grau com 2000 alunos, foi realizada uma pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas disciplinas de Física e Matemática. Os resultados da pesquisa são: 1000 alunos gostam de Matemática, 800 de Física e 500 não gostam de nenhuma das duas. O número de alunos que gostam de Matemática e Física simultaneamente é:

14. (FEI-SP) Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa que: 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral; 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade; 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. Quantas tartarugas foram observadas?

15. (UEL) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de frango, 3 somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe. Quantos alunos foram entrevistados?

16. (CONSULPLAN) Os resultados de uma pesquisa em que várias pessoas foram entrevistadas sobre suas preferências em relação a 3 tipos de revistas, A, B e C, estão indicados abaixo:- 52 pessoas leem a revista A.

- 65 pessoas leem a revista B.

- 63 pessoas leem a revista C.

- 5 pessoas leem as 3 revistas.

- 39 pessoas não leem nenhuma das 3 revistas.

- 8 pessoas leem as revistas A e B.

- 12 pessoas leem as revistas A e C.

- 14 pessoas leem as revistas B e C.

Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 180 b) 200

c) 170 d) 210

e) 190

17. Uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Em uma pesquisa


feita com todos os habitantes, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4 500 pessoas apreciam o clube A. Pergunta-se:a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?

b) Quantas pessoas apreciam o clube B?

c) Quantas pessoas apreciam apenas o clube B?

18. Em uma pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B. Pergunta-se:a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A?

b) Quantas pessoas leem apenas o jornal B?

c) Quantas pessoas leem jornais?

d) Quantas pessoas não leem jornais.

19. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:600 leram A Moreninha.

400 leram Helena.

300 leram Senhora.

200 leram A Moreninha e Helena.

150 leram A Moreninha e Senhora.

100 leram Senhora e Helena.

20 leram as três obras.

Calcule:a) O número de pessoas que leu apenas uma das três obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma obra.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

20. Em um grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:

a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei?

b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?


c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

21. Em uma cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela a seguir:

Produtos Número de Consumidores

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhum 180

Pergunta-se:a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?

b) Quantas pessoas consomem o produto A e o produto B?

c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?

d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?

e) Quantas pessoas foram consultadas?

22. Em uma pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

23. (Faap-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

CoNSiDeRaÇÕeS FiNaiS

Durante esta unidade, você deve ter visto a importância de representar os números em conjuntos. Deve ter visto também, a possibilidade de reescrever os conjuntos de outras formas, de acordo com a necessidade. Além disso, deve ter cansado de ver a palavra “necessidade” explicando o surgimento da matemática.

No decorrer do material, você verá que a matemática é composta por diversos conceitos e teorias que podem fazer muita diferença para o seu desenvolvimento acadêmico. Nesse contexto, você verá que há muitos problemas para ler, interpretar, agrupar informações relevantes e determinar o método de resolução para que, finalmente, sejam feitos alguns cálculos a fim de encontrar uma resposta.


Geralmente, digo que não existem dificuldades na matemática, o que falta é a prática (mesmo que seja exigida desde a contagem).

ativiDaDe De aUtoeStUDo

1. Há vários problemas envolvendo conjuntos. Se não existisse o conceito, seria mais fácil enumerar os seus elementos termo a termo, sem generalizações?

2. Entender a história pode representar um conhecimento mais amplo acerca de diversos conceitos. Para a matemática, de que forma isso surge?

3. As situações envolvendo teoria de conjunto são bastante racionais. Qual seria o melhor método para aplicar tal teoria em seu curso?

DANTE, Luis Roberto. matemática: Contextos e Aplicações – Volume Único. 3. edição. São Paulo: Ática, 2008. Trata-se de um livro completo, atual e perfeitamente sintonizado com as novas tendências para os conceitos e conteúdos do Ensino Médio, priorizando a compreensão, a contextualização e a interdisciplinaridade. O livro inclui 300 questões dos últimos vestibulares e dos últimos exames do Enem.

UNiDaDe ii

mÚltiploS e DiviSoReS opeRaÇÕeS Com NÚmeRoS iNteiRoSProfessor Acácio Pedro da Silva Junior


• Entenderosconceitosrelacionadosaosmúltiplosedivisoresdeumnúmero.

• TerhabilidadesparacalcularoMínimoMúltiploComumeoMáximoDivisorComumentredoisoumaisnúmeros.

• IdentificareResolverproblemasqueenvolvammúltiplosedivisores.

• Manipularasoperaçõesentrenúmerosinteiros.

• Exercitarhabilidadesbásicasdeoperarnúmerosinteiros.

• EstimularoraciocínioLógico-matemático.

• Sabermanipularcorretamenteosparênteses,colchetesechaves.

• Dominarasseisoperaçõesfundamentais:Adição,Multiplicação,Subtração,Divisão,PotenciaçãoeRadiciação no conjunto dos números inteiros.

• Entenderaspropriedadesparacadatipodeoperação.

• Saberresolverexpressõesnuméricas,desdeasmaissimples,atéasmaiselaboradas.

plano de estudo


• OconjuntodosMúltiplosdeumnúmero

• OMínimoMúltiplocomum

• PropriedadesdoMMC

• OconjuntodosDivisoresdeumnúmero

• OMáximoDivisorComum

• ResoluçãodeProblemasenvolvendoMMCeMDC

• Operaçõescomnúmerosinteiros

• Cálculomentaldeexpressõessimples

• Adição/Subtraçãodeinteiros


• Remoçãodosparêntesesacompanhadosdesinal

• Ordemderesoluçãoquantoaosseparadores:Parênteses,ColcheteseChaves

• Multiplicação/Divisãodeinteiros

• JogodeSinais

• Propriedadesdasquatrooperaçõesiniciais

• Ordemderesoluçãoquantoàsoperações

• Potenciação

• Propriedadesdaspotências

• Radiciação

• Interpretaçãodasraízescomopotências

• Racionalização


iNtRoDUÇÃo

Nesta segunda unidade, você estudará temas muito importantes para o mundo da matemática: a manipulação numérica. Trata-se de um conteúdo da educação básica e, talvez por isso, muitos afirmem que é um tema fácil. A experiência mostra que não é bem assim.

Sem o domínio pleno desta unidade, não há forma de obter bons resultados em disciplinas que envolvam álgebra, cálculo, geometria analítica, estatística, física, entre tantas outras. Por isso, você deve se esforçar ao máximo para resolver as extensas baterias de exercícios de fixação. Ter dúvidas é um bom sinal (no mínimo é um sinal de que você está fazendo)!

O início desta unidade trata de mais alguns conjuntos numéricos: o conjunto dos Múltiplos e o conjunto dos Divisores de um número. Ambas serão ferramentas essenciais às aplicações envolvendo frações, de modo geral, e aos conceitos de álgebra.

A segunda parte desta unidade irá desafiá-lo ao cálculo mental, ao raciocínio lógico e às novas formas de interpretar algumas das operações ditas fundamentais. Você se surpreenderá com o poder dos parênteses, colchetes e chaves em uma expressão numérica. E descobrirá que o resultado pode mudar drasticamente a partir da utilização, ou não, desses separadores, tornando a manipulação das expressões numéricas bastante delicada.

3. mÚltiploS e DiviSoReS

Depois de estudar o que são e como se relacionam os conjuntos, é conveniente buscar o entendimento acerca de dois tipos especiais de conjuntos: o conjunto dos Múltiplos de um número e o conjunto dos Divisores de um dado número.

3.1. Conjunto dos múltiplos de um Número

Chamamos de Múltiplo de um dado número natural “n” todo número inteiro que pode ser obtido pelo produto entre “n” e algum número inteiro. Simbolicamente, escrevemos M(n) para representar os múltiplos de “n”.

Ainda podemos escrever que um número “a” é um múltiplo do número “n” se a divisão de “n” por “a” for exata.

exemplos

M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12...} é o conjunto dos múltiplos de 2

M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ±12, ±15, ...} é o conjunto dos múltiplos de 3




Note que tais conjuntos são infinitos: não há como definir um maior múltiplo de algum número, ainda que você pense em um número suficientemente grande como múltiplo de um dado “n”, sempre será possível encontrar algum maior.

Na maioria das vezes, temos interesse em usar apenas os múltiplos positivos dos números dados. Assim consideraremos:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12...} é o conjunto dos múltiplos positivos de 2.

M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, ...} é o conjunto dos múltiplos positivos de 3.



Lembre-se: zero não tem sinal! Não é positivo nem negativo e, por isso, não está elencado no conjunto dos múltiplos positivos.

Note que o menor múltiplo positivo de um dado número “n” é o próprio número “n”.

3.2. mínimo múltiplo Comum - mmC

Antes de explicitar o conceito “Mínimo Múltiplo Comum”, é necessário entender o termo, palavra por palavra:

A palavra “Múltiplo” foi definida anteriormente e dispensa maiores explicações.

M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 ...}.

M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 72 ...}.

O termo “Múltiplo Comum” se refere ao conjunto dos múltiplos comuns a dois ou mais números:

MC (3, 4) = {12, 24, 36, 48...} representa os múltiplos comuns a 3 e 4.

MC(3,4)=M(3)∩M(4)

A expressão “Mínimo Múltiplo Comum” se refere ao menor elemento do conjunto dos múltiplos comuns a dois ou mais números:

MMC (3, 4) = 12

Assim, o Mínimo Múltiplo Comum entre os números a, b, c ... é o menor número inteiro, positivo, que é múltiplo, simultaneamente, de a, b, c ...


3.2.1. propriedades do mmC

I. Se “a” é múltiplo de “b”, MMC (a, b) = 1

II. Se “a” e “b” são consecutivos, MMC (a, b) = a.b

III. Se “a” e “b” são primos entre si, MMC (a, b) = a.b

O conceito “primos entre si” relaciona dois números de forma que não exista qualquer outro inteiro, diferente de 1, que os divida simultaneamente.

exemplos:

MMC (100, 101) = 10100 = 100 . 101 (são consecutivos).

MMC (64, 1024) = 1024 (1024 é múltiplo de 64).

MMC (10, 21) = 210 (são primos entre si – não há outro número, além do 1, que divida 10 e 21 simultaneamente).

MMC (1, 10) = 10 (10 é múltiplo de 1, em particular, qualquer número é múltiplo de 1).

3.3. Conjunto dos Divisores de um Número

Chamamos de Divisor de um dado número natural “n” todo número inteiro que divida “n”. Simbolicamente, escrevemos D(n) para representar os divisores de “n”.

exemplos

D(6) = {±1, ±2, ±3, ±6} é o conjunto dos divisores de 6.


D(20) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20} é o conjunto dos divisores de 20.


A exemplo dos múltiplos, na maioria das vezes, usamos apenas os divisores positivos dos números dados. Assim, consideraremos:

D(6) = {1, 2, 3, 6} é o conjunto dos divisores de 6.


D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} é o conjunto dos divisores de 20.



Note que o maior divisor positivo de um dado número “n” é o próprio número “n”.

3.4. máximo Divisor Comum - mDC

Antes de explicitar o conceito “Máximo Divisor Comum”, é necessário entender o termo, palavra por palavra:

A palavra “Divisor” foi definida anteriormente e dispensa maiores explicações.

D(8) = {1, 2, 4, 8}.

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}.

O termo “Divisor Comum” se refere ao conjunto dos divisores comuns a dois ou mais números:

DC (8, 20) = {1, 2, 4} representa os divisores comuns a 8 e 20.

DC(8,20)=D(8)∩D(20)

A expressão “Máximo Divisor Comum” se refere ao maior elemento do conjunto dos divisores comuns a dois ou mais números:

MDC (8, 20) = 4

Assim, o Máximo Divisor Comum entre os números a, b, c ... é o maior número inteiro, positivo, que é divisor, simultaneamente, de a, b, c ...

Observação: se dois números “a” e “b” são primos entre si, o máximo divisor comum entre “a” e “b” é igual a 1, uma vez que o número 1 divide qualquer número. Onde escrevemos MDC (a, b) = 1.

3.5. Resolvendo problemas envolvendo mmC e mDC

Para resolver problemas envolvendo MMC e MDC, é imprescindível que você domine os conceitos:

Se você se depara com uma situação em que há uma variação dos números em quantidades constantes (de 5 em 5 anos, de 3 em 3 dias, a cada 4 minutos ...), o método para a resolução deve ser o MMC.

Se você se depara com uma situação em que é necessário dividir um dado número em porções iguais, sendo as maiores possíveis, o método para a resolução deve ser o cálculo do MDC.

exercícios:

01. (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família


ganhou foi:

a) 4 d) 9

b) 6 e) 10

c) 8

02. Numa certa vizinhança, há quatro gatos: Lalá, Lelé, Lili e Lulu. Lalá mia a cada 15 minutos, Lelé mia a cada 4 minutos, Lili mia a cada 12 minutos e Lulu a cada 2 minutos. Sabendo que miaram juntos às 15h15min, a que horas eles miarão juntos novamente?

03. Uma sala de cinema comporta certo número de pessoas. Quantas pessoas, no mínimo, há na sala se podem ser contadas de 12 em 12, de 6 em 6 e de 8 em 8?

04. Numa demonstração aeróbica, os participantes foram distribuídos em vários quadrados com 36 pessoas em cada um. Depois saíram em grupos de 20 pessoas. Qual seria o menor número possível de atletas que participaram da demonstração?

05. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho com tempo determinado e que este tempo é de 4 anos, os assessores dele também têm mandato com tempo determinado e, para estes, o tempo é de 6 anos e os auxiliares seguem o mesmo esquema e têm mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?

06. João e Maria moram em Salvador e de tempos em tempos vão à Feira de Santana, uma cidade próxima da capital baiana. Ele vai de 15 em 15 dias e ela vai de 10 em 10 dias. No dia 20 de Julho, os dois viajaram para Feira de Santana. Combinaram de ir juntos na primeira oportunidade. Quando isso acontecerá?

07. João tinha uma “prova” de admissão em uma tecelagem: deveria dividir dois rolos de tecido, um de 36 metros e outro de 48 metros de comprimento, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?

08. Três cordas, uma de 48 metros de comprimento, outra com 60 metros e a terceira medindo 90 metros deveriam ser divididas em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual será o comprimento de cada pedaço de corda?

09. Três relógios despertadores são programados da seguinte maneira: o primeiro deverá despertar a cada 4 horas; o segundo a cada 6 horas e o terceiro a cada 5 horas. Sabe-se que tocaram juntos às 15h 15min do dia 15 de Janeiro, em que ocasião os despertadores tocarão juntos novamente?

10. Virgínia deseja plantar 72 mudas de violeta, 24 de rosas, 36 orquídeas e 48 camélias no menor número possível de canteiros. Sabendo que cada canteiro deverá receber o mesmo número de plantas


de uma só espécie:

a) Quantos canteiros são necessários?

b) Qual é o número de plantas que deve conter cada canteiro?

11. (UFmG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi:

a) 4 b) 6

c) 8 d) 9

4. opeRaÇÕeS Com NÚmeRoS iNteiRoS

Antes de começarmos, tente resolver mentalmente o exercício a seguir:

4.1. exercitando Habilidades

Exercite sua habilidade em resolver algumas operações “simples” com números inteiros:

a) 4 + 7 h) 2 + 3 + 5 + 7 + 9

b) 4 – 7 i) – 2 – 4 + 1

c) 7 – 8 – 3 j) – 4 + 5 + 3

d) 4 + 8 – 7 k) – 6 + 4 – 2

e) 15 + 22 + 6 l) – 1 – 2 – 8 – 5

f) 15 – 7 – 3 + 5 m) – 4 – 20 – 6 + 100 – 1

g) 8 – 11 – 7 + 4 n) 125 – 108 + 57 – 135 + 50

Respostas:

a) 11 b) – 3 c) – 4 d) 5 e) 43 f) 10 g) – 6h) 26 i) – 5 j) 4 k) – 4 l) – 16 m) 69 n) – 11


Se você teve dúvidas, ou se errou algum dos itens, aconselho que não trate esta unidade com desdém. Estude com afinco e mantenha-se atento aos outros tópicos.

Pratique mais um pouco! (Use calculadora para conferir seus resultados!)

a) – 17 + 43 + 14 + 23 – 45 b) 24 – 7 – 8 – 10 – 4 + 31 – 19

c) 19 – 21 + 36 – 100 – 35 + 100 d) – 23 + 24 – 25 + 26 – 27 + 28

e) 210 + 60 – 126 + 63 – 208 + 117 f) – 99 + 85 – 121 – 310 + 420 + 115

g) 75 + 95 – 105 + 110 – 125 – 55 h) 104 + 104 + 104 – 210 – 312 + 105 + 105

Hora de aprender um pouco de lógica! Para completar as pirâmides de números a seguir, você deverá escrever em cada quadro vazio a soma dos dois quadros imediatamente abaixo dele. Observe:

−10 −4

2

−12

7 2

4

3

13

-2

1

6

1 1 1 1

9

7

5 2 4

3

6

2 −1 1

12

6

4

1

0

6 3

−4 1 −1

Quando elencamos as operações entre números inteiros, costumamos escrever: Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão, Potenciação, Radiciação, entre outras, como se, de fato, fossem muitas operações. No entanto:


A Subtração é a adição do oposto de um dado número e podemos usar a expressão “soma” para representá-la.

A Divisão é a multiplicação pelo inverso de um dado número e podemos usar a expressão “produto” para representá-la.

A Radiciação é a potência apresentada com expoente fracionário.

4.2. adição/ Subtração

Para determinar a soma (ou adição) de dois números inteiros, devemos considerar que os números POSITIVOS REPRESENTAM O QUE TEMOS e os números NEGATIVOS REPRESENTAM O QUE DEVEMOS. Se você tem mais do que deve, ainda te sobra algo. Se você deve mais do que tem, continua devendo. É por isso que sempre se mantém o sinal do maior número.

4.3. Remoção de parênteses quando acompanhado de sinal

Sinal positivo antecedendo os parênteses: quando uma adição contém parênteses precedidos pelo sinal positivo, podemos eliminar tanto os parênteses, quanto o sinal. (O sinal “+” manda manter o sinal).

Sinal negativo antecedendo os parênteses: quando uma adição contém parênteses precedidos pelo sinal negativo,devemostrocarossinaisdostermosqueestãoentreparêntesesparapodermoseliminá-los.(Osinal“−”manda trocar o sinal do que está entre os parênteses).

exemplos:

+ (– 7) = – 7

– (– 7) = + 7

8 + (– 5) = 8 – 5 = 3

8 – (– 5) = 8 + 5 = 13

– 3 + (– 4 + 2) = – 3 + (– 2) = – 3 – 2 = – 5

– 3 – (– 4 + 2) = – 3 – (– 2) = – 3 + 2 = – 1

2 + (– 3x + 6) = 2 – 3x + 6 = 8 – 3x

2 – (– 3x + 6) = 2 + 3x – 6 = – 4 + 3x

É possível estender as mesmas regras para as situações em que aparecem, além dos parênteses, os colchetes e as chaves.

4.4. ordem de resolução – {[(Separadores)]}

Por hora, para determinar a resolução de algumas expressões simples é importante que você saiba da existência de uma ordem de preferência para resolvê-las quanto aos separadores (Parênteses, Colchetes e Chaves).

Os primeiros símbolos que devem ser observados são os parênteses ( ). Nesse contexto, você deverá resolver o


que está entre parênteses antes dos outros símbolos. Seja sensato e resolva-os de forma coerente.

Na sequência, caso existam, você deverá observar os colchetes [ ]. Resolva o que está entre colchetes de forma coerente.

Por fim, resolva o que está entre as chaves { } e o que mais restar.

Releia e veja que a ordem não é obrigatória, é ordem de preferência. Há casos em que iremos resolver colchetes antes de parênteses e, além disso, se um separador não interferir no outro, também podemos resolvê-lo sem maiores preocupações quanto à ordem. Mas, se houver parênteses entre os colchetes, não há forma de resolver os colchetes sem que se saiba o valor numérico que está entre os parênteses.

Tomemuitocuidadoaocolocarossinais!Osnúmeros+5e−5,porexemplo,podemnãoservistosapenascomoum problema de sinal. Imagine que, em um dado problema, um carro pare 5 metros antes de bater em um caminhão (não há colisão), o sinal trocado pode indicar que o carro parou 5 metros depois de bater (há colisão).

exemplo:

y = 2 – [7 – (– 1 – 3 + 6) – 8]

y = 2 – [7 – (+ 2) – 8]

y = 2 – [7 – 2 – 8]

y = 2 – [– 3]

y = 2 + 3

y = 5

exercícios

01. Elimine os parênteses em cada uma das expressões a seguir, apresentando, como resposta, o resultado das somas envolvidas:

a) – (– 7 + 11) e) 14 + (– 1 – 2)

b) 7 + (8 – 3) f) – (1 + 1 + 1 – 4)

c) 10 – (– 2 + 5) g) 9 + (9 – 16) – 6

d) – 3 – (– 1 – 5 + 8) h) – 7 + (– 2 – 8) + 3 – (– 5 – 1 + 4)

02. Um número “a” é tal que a = – 9 + [(– 4 + 11) – (– 13 + 11) – 5]. Nessas condições, diga qual é o sinal de “a”.

03. Determine as somas algébricas a seguir:

a) 3 + [6 – (– 7 + 1)]

b) 3 + 6 – (– 7 + 1)

c) – 10 – [11 + (2 – 6)] + 1

d) – 10 – 11 + (2 – 6) + 1


e) – [21 + (– 20 + 22) – (24 – 29) – 23]

f) – 21 + (– 20 + 22) – (24 – 29) – 23

g) – 7 – [(– 5 + 11) + 11 – (– 5 – 18 + 9) – 4]

h) – 7 – (– 5 + 11) + 11 – (– 5 – 18 + 9) – 4

i) 6 – {4 + [– 7 – (– 3 – 9 + 5)]}

j) 6 – 4 + [– 7 – (– 3 – 9 + 5)]

Neste exercício, você deve ter percebido a importância dos símbolos ( ), [ ] e { }, pois a ausência dos mesmos altera o resultado.

4.5. multiplicação/ Divisão

Para determinar o produto (multiplicação) de dois números inteiros não nulos, devemos multiplicar número por número e sinal por sinal (a multiplicação por zero sempre resultará em zero).

Para determinar o quociente (divisão) entre dois números inteiros não nulos, devemos dividir número por número e sinal por sinal (a divisão do número zero sempre resultará em zero. A divisão por zero não é definida).

4.5.1. “Jogo de Sinais”

Para os dois casos, vale dizer que: se os dois fatores têm sinais iguais, o produto/ quociente é um número positivo. Caso tenham sinais diferentes, o produto/quociente será negativo. (Fiqueatento: essa regrasóseaplicaàmultiplicaçãoeàdivisão!).

Quando se trata da multiplicação de três ou mais números inteiros, multiplicamos dois deles e, na sequência, multiplicamos o resultado por um terceiro fator (quarto, quinto etc.). Ou ainda, quando possível, cabe multiplicá-los dois a dois.

exemplos:

(–3) . (–5) . (–4) = (+15) . (–4) = –60

(+12) . (–5) . (–4) . (–15) = (–60) . (+60) = –3600

4.6. propriedades

4.6.1. elemento Nulo da adição

Todo número “n” somado a zero, resulta em “n”. Zero é o elemento nulo para a adição.

4.6.2. elemento Neutro da multiplicação

Todo número “n” multiplicado por um, resulta em “n”. Um é o elemento neutro para a multiplicação.


4.6.3. Comutativa

Dada operação é dita comutativa se, ao trocar a ordem dos fatores (termos), o resultado não se alterar. A Multiplicação e a Adição são operações dotadas da propriedade comutativa. Subtração e Divisão NÃO são comutativas: (você já deve ter ouvido: “A ordem dos fatores não altera o produto!” – Isso é o mesmo que dizer: “A multiplicação é comutativa!”)

exemplos:

Operação a & b b & a

Adição 5 + 1 = 6 = 1 + 5 = 6

Multiplicação 15 . (– 4) = – 60 = (– 4) . 15 = – 60

Subtração 13 – 2 = 11 ≠ 2 – 13 = – 11

Divisão 4 ÷ (– 2) = –2 ≠ (– 2) ÷ 4 = –0,5

O símbolo & não tem sentido para a matemática. Só utilizamos para que fosse possível representar qualquer uma das quatro operações.

4.6.4. associativa

Dada operação é dita associativa se a forma de agrupar (associar) os fatores (termos) não alterar o resultado. A Multiplicação e a Adição são associativas. Subtração e Divisão NÃO são associativas:

exemplos:

Adição [(– 6) + (+ 8)] + (+ 5) = [(+ 2)] + (+ 5) = + 7(– 6) + [(+ 8) + (+ 5)] = (– 6) + [(+ 13)] = + 7

Multiplicação [(– 6) . (+ 8)] . (+ 5) = (– 48) . (+ 5) = – 240(– 6) . [(+ 8) . (+ 5)] = (– 6) . (+ 40) = – 240

Subtração [(– 6) – (+ 8)] – (+ 5) = [(– 14)] – (+ 5) = – 19(– 6) – [(+ 8) – (+ 5)] = (– 6) – [(+3)] = – 9

Divisão [(– 6) ÷ (+ 8)] ÷ (+ 5) = [(– 0,75)] ÷ (+ 5) = – 0,15(– 6) ÷ [(+ 8) ÷ (+ 5)] = (– 6) ÷ [(+1,6)] = – 3,75

4.6.5. Distributiva

Dado o produto de um número “n” por uma soma algébrica, o fator “n” pode ser distribuído entre os termos da soma algébrica, ou seja, para multiplicar um número por uma soma algébrica, podemos multiplicá-lo por cada uma das parcelas e, a seguir, adicionar os resultados obtidos, caso possível.

exemplos:

(+6) . [(+3) + (–5)] = (+ 18) + (– 30) = – 12


(–9) . (–3 + 7) = (+27) + (–63) = – 36

5 (3x – 16) = 15x – 80 (a ausência de operação entre o número 5 e os parênteses representa uma multiplicação!)

4.7. ordem de resolução - operações

Antes de resolver algumas expressões numéricas, é importante que você saiba que existe uma ordem predefinida para resolvê-las tanto quanto aos separadores (visto no tópico 4.4) quanto às operações e, além de respeitar a ordem dos símbolos (parênteses), [colchetes] e {chaves}, você deverá estar atento à ordem de resolução quanto às operações:

Primeiro você deverá resolver as POTÊNCIAS e RAÍZES (veremos na sequência).

Depois você deverá resolver as MULTIPLICAÇÕES e DIVISÕES (na ordem em que aparecerem).

Depois você deverá resolver as ADIÇÕES e SUBTRAÇÕES (na ordem em que aparecerem).

exercícios:

01. Calcule:

a) (–7) . (+11) . (–2) b) (–9) . (–5) . (–3)

c) (+10) . (+6) . (–4) d) (–12) . (–6) . (+3)

e) (–6) . (–2) . (–5) . (+10) . (–1) f) 81 + (–20) . (+4)

g) (–4) . (–7) – 30 h) –23 – (–6) . (+3)

i) (–9) . (+6) – (+2) . (–27) j) 25 – (–3) . (–7) + (–6) . (+4) – (–16)

k) 31 + (–40) : (+2) l) –10 – 20 : (+4)

m) (+30) : (–6) + (–18) : (+3) n) (–91) : 7 + 15

o) 7 : (–7) + 2 . (–6) + 11 p) (–36) : (–4) + 3 . (–3)

q) 46 : (–23) + 7 – 4 . (+2) r) 8 . (–11) + 200 : (+2) – 12

s) 63 – 84 : (–21) – 3 . (+23)

4.8. potenciação

A exemplo de outros conceitos matemáticos, a potenciação surgiu pela necessidade de simplificar a forma de escrever a multiplicação de um dado número “a” por ele mesmo com “n” repetições:

an = a . a . a . a ... a . a (n repetições) inicialmente com a ∈ N e n > 1.


Chamamos o número “a” de base, o número “n” de expoente e o termo “an” de potência. Nesse caso, dizemos que o número “a” está elevado ao expoente “n”.

4.8.1. Nomenclatura em relação ao expoente

Há formas de citar determinada potência em relação ao seu expoente:

Potência Como se lê

2a “a” elevado ao quadrado / “a” ao quadrado

3a “a” elevado ao cubo / “a” ao cubo

4a “a” elevado à quarta potência

5a “a” elevado à quinta potência

6a “a” elevado à sexta potência

A partir daí, seguimos dizendo:

“a” elevado (ao ordinal correspondente ao número do expoente) potência

A partir daí, seguimos dizendo:

“a” elevado (ao ordinal correspondente ao número do expoente) potência

4.8.2. Determinação do Sinal da potência

Quando tratamos da potenciação de números inteiros, a base pode ser um número positivo ou negativo, e devemos considerar os dois casos. Para não impor algo simples de compreender, gostaria que você tentasse entender as sequências a seguir:

Base Positiva Base Negativa

1(+ 2) = +2

2(+ 2) = (+ 2).(+ 2) = + 4

3(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 8

4(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 16

5(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 32

6(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2). (+ 2) = + 64

1(– 2) = – 2

2(– 2) = (– 2).(– 2) = + 4

3(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2) = – 8

4(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = + 16

5(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = – 32

6(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2).(– 2) .(– 2) = + 64

Quandooexpoenteéumnúmeroímpar,apotênciatemsempreomesmosinaldabase,independentedosinal da base.

Quandooexpoenteéumnúmeropar,apotênciatemsempresinalpositivo, independentedosinaldabase.

mUito CUiDaDo!

(−2)6=(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)=+64(osinaltambémfoielevadoaoexpoente6)

−26=−2.2.2.2.2.2=−64(apenasonúmero2foielevadoaoexpoente6)


4.8.3. propriedades das potências

Para apresentar cada uma das propriedades, buscaremos generalizar a partir de um exemplo aleatório. Todas as propriedades são válidas dentro do conjunto dos números inteiros, exceto quando for notada uma restrição.

( ) (b ≠ 0)

Exemplo

1. am . an = am + n 27 . 23 = (2. 2. 2. 2. 2. 2. 2) . (2. 2. 2) = 210 = 27 + 3

2. a ÷ a = a 27 ÷ 2 3 = 2 4 = 2 7 − 3

3. a0 = 1 (a ≠ 0) 20 = 27 – 7 = 27 ÷27 =

4. (an) k = ank (27)5 = (27). (27). (27). (27). (27) = 27 + 7 + 7 + 7 + 7 = 235 = 27. 5

5. (a.b)n

nn

= a

=

n . bn (3. 5)4 = (3. 5). (3. 5). (3. 5). (3. 5) = 3. 3. 3. 3. 5. 5. 5. 5 = 34 . 54

6. ( 34 ) = ( 3

4 )( 3

4 )( 3

4 )( 3

4 )( 3

4 ) = 3

45

7. 0n = 0 (n ≠ 0) 07 = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 = 0

8. 1n = 1 112 = 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 = 1

9. a−n = 1/ an 5−4 = 50−4 = 50 ÷ 54 = 50

54 = 154

2. 2. 2. 2. 2. 2. 22. 2. 2

2. 2. 2. 2. 2. 2. 22. 2. 2. 2. 2. 2. 2

a ab b

Propriedade

m n m - n

=

= 1

55n

As restrições nas propriedades 3 e 7 surgem pela discordância acerca da potência 00.

A propriedade 3 diria que a resposta é 1. (Por conta do expoente zero)

A propriedade 7 diria que a resposta é 0. (Por conta da base zero)

exercícios:

01. Efetue as expressões a seguir usando as propriedades listadas anteriormente (se o resultado for um número muito grande, deixe da forma mais simples possível, ainda na forma de potência):

a) 103 b) (-3)2

c) – 82 d) (- 8)2

e) ( 0,7)2 f) (-5)3

g) (0,5)-2 h) (- 0,1)-3

i) 27 j) (-3)4

k) (35)2 l) 3-2

m) (-3)-5 n) (82)5

o) 74 . 72 p) (0,9)10 : ( 0,9)4

q) 312 . 315 : 310 r) (72 . 133)4 : (78 . 1311)

s) 67 . 62 . 6-1 t) 0,310 . 0,3-5 . 0,37 : 0,310


u) 109 : 106 v) 3 . (-5)2 + 5 . (-3)3

w) 3

3

2÷ø

öçè

æ x) 33

3

2

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ

y) 22

2

1.

2

1-

÷ø

öçè

æ÷ø

öçè

æ z) 2

4

3-

÷ø

öçè

æ

02. Faça simplificações de modo que cada expressão algébrica fique reduzida a uma só potência:

a) p-7 . p19 . p-5 . p-1 . p-10 b) g150 . g50 : (g20)8

c) (y6)20 . (y -10)-2 : y95 d) ( ) ( )

( ) 10410

751021053

.

...

mm

mmmm--

03. Sabendoquex=−(−2)5, determine o valor de x.

04. Sabendoquex=−(−5)−2 e y = 10−1, calcule o valor de x + y.

05. Sabendo que a = (– 1)100 e b = (– 1)101, calcule o valor de (a + b) e de (a – b)

06. Reduza a uma só potência:

a) (– 8)5 . (– 8) . (– 8)4 b) [(+ 2)6]2

c) (– 10)9 : (– 10)6 d) (+ 9) . (+ 9)11 . (+ 9)8

e) (– 13)20 : (– 13)14 f) [(+ 7)4]3

g) (+ 10)5 . (+ 10) . (+ 10)8 h) (+ 20)7 : (+ 20)6

i) [(– 4)7 . (– 4)10 . (– 4)] : [(– 4)8]2 j) [(– 2)6]2 : [(– 2)6 . (– 2)2 . (– 2)]

07. Determine o valor de cada uma das expressões numéricas a seguir:

a)

23

1- b) 5−2 . 10

c)

12

8- d)

4

1

3

9-

-

e) 5−1 + 10−1 f) 2−5 – 2−3

g) (3−2 + 6−1)-2 h) (2−3 + 2−3) : (4−1 + 4−1)

08. (Desafio!) Qual é a metade de 222?

(Dica: Escreva “a metade” como sendo uma “divisão por 2”).

4.9.ExpressõesNuméricasSimples

Já listamos a ordem de preferência para a resolução no caso de uma expressão numérica:


Quanto aos Separadores Quanto aos Operadores

Ordem Separador Símbolo Ordem Operador Símbolo

1º. Parênteses ( ) 1º. Potências e Raízes na e

2º. Colchetes [ ] 2º. Multiplicação e Divisão x e ÷

3º. Chaves { } 3º. Adição e Subtração + e −

√an

exemplos:

01. Calcular o valor da expressão numérica 32 : (– 2)2 – (– 3) . (– 3)3.

32 : (– 2)2 – (– 3) . (– 3)3 =

= 32 : (+ 4) – (– 3) . (– 27) = → efetuamos as potenciações

= (+8) – (+ 81) = → efetuamos as multiplicações e divisões

= +8 – 81 = → eliminamos os parênteses

= – 73

02. Calcular o valor da expressão numérica (–5 + 2)2 : (–9) – [2 . (–4 –2) – (–1)3 . (–5 + 8)]

(–5 + 2)2 : (–9) – [2 . (–4 –2) – (–1)3 . (–5 + 8)] =

= (–3)2 : (–9) – [2 . (–6) – (–1)3 . (+3)] → calculando o interior dos parênteses

= (+9) : (–9) – [2 . (–6) – (–1) . (+3)] → efetuando as potenciações

= (–1) – [(–12) – (–3)] → efetuando as divisões e multiplicações

= –1 – [–12 + 3] → eliminando os parênteses

= –1 – [–9] → calculando o interior dos colchetes

= –1 + 9 → eliminando os colchetes

= +8

exercícios:

01. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) (–9)2 – (+5). (+16)

b) (–2)4 : (+16). (–1)7

c) (–6)2 – (–7) + 130

d) 52 – (– 3)3 + 2 (–4)2


e) 4 . (–5)3 + (–20)2

f) 112 – 4 . (–5)2 + 100

g) 17 – 3 . (–2)2 – (–6)2 . (–1)7

h) 41 – 3 . (–4)2 + 6o – 20 : (–2)2

i) 7 . (–2)2 – 5 . (–2)3 – 102

j) (–3)3 – 5 . (–2) + 2 . (–3)2 – 1

02. Se a = – (– 3)3 e b = (–1)8, calcule a + b.

03. Se x = – (– 2)5 e y = – (+2)5, calcule x – y.

04. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) (– 7 – 4) . (– 9 + 2) – (– 72 + 2) : (– 5 – 5) + (– 9 – 4 + 6)

b) (– 9 – 3) : (– 1 + 7) – [10 – (– 4 – 3) . (– 5 + 4) + (– 36) : (– 1 – 3)]

c) 50 – 7 . (+ 4) – [(– 44) : (– 11) + (– 3) . (+ 3) – 1]

d) (– 6)2 : (– 12) – (– 3)3 + (– 2)5 : (– 4)2 – 50

e) (– 2 – 3)2 : (– 25) + [30 – (– 10 + 6)2 : (– 2)3 – 52]

f) (– 7)2 + [100 – (– 3)3 : (+ 9) – (– 1)9] – 42

g) 22 + (25 : 22) – [(– 3)4 : (– 3)2 – 42 : (– 11 + 7) + 100]

h) 52 – 7 . (– 2)3 – [– 20 : (– 2)2 + 6 . (– 1)4 – 3] + (– 5)2 : (– 5)

i) (– 3)2 – (– 3)3 – [(– 10)2 : (– 20) + (– 6 + 4)5 : (– 4)2 – 40]

j) (– 5)2 : 52 – (– 4)3 – [82 – (– 1)8 . (– 2)3 + (– 72) : (– 6)2]

k) (– 2) . (– 10)2 + 152 – [– 92 : (+ 3)3 + 62 : (– 12) + 23]

l) 100 + (– 300) : (– 10)2 – 18 + [(– 98) : 72 – 9 . (– 2)3 – 82]

4.10. Radiciação

A geometria nem sempre trabalha com números inteiros ou exatos. Em grande parte das vezes, é necessário indicar ou resolver uma raiz para determinar certa medida. Por exemplo, metros é a medida correspondente à diagonal de um quadrado de lado igual a 1 metro.

É importante que você saiba lidar com estes números:

é chamado de radical ou raiz, “a” é o radicando e “n” é o índice da raiz.

O nome da raiz segue a nomenclatura das potências, de forma bem próxima:

ou é a raiz quadrada no número “a”.


é a raiz cúbica de “a”

é a raiz quarta de “a”

é a raiz quinta de “a”

é a raiz (ordinal correspondente ao índice) de “a”

4.10.1. escrevendo Raízes como potências

Toda raiz pode ser escrita em forma de potência:

Assim, escrever é o mesmo que escrever 21/2 e, por se tratar de potência, valem as mesmas regras e propriedades das potências, ficando mais fácil de manipular as raízes, o melhor, as potências.

Buscar o valor numérico de uma raiz quadrada nem sempre será uma tarefa simples:

Para saber o valor de , você terá que buscar um número “b” de forma que b . b = a.

Para saber o valor de , você terá que buscar um número “b” de forma que b.b.b = a

não está definida nos reais, pois não há número real “n” que multiplicado por ele mesmo, resulte em um número negativo.

Generalizando: não existe raiz de índice par para números negativos (no Conjunto dos Números Reais).

exemplos:

No mais, tudo pode ser escrito de forma intuitiva, basta respeitar as propriedades.


4.10.2. Racionalização

A maior parte das pessoas encontra grandes dificuldades ao efetuar a divisão de um número inteiro por outro. Essa dificuldade se mostra ainda maior quando o divisor é uma raiz. Para tentar simplificar os cálculos, ajudando no trato da Trigonometria, da Geometria Plana, da Geometria Analítica entre outras, utilizamos um processo prático para forçar o “desaparecimento” da raiz no divisor: a Racionalização!

Tome a divisão como exemplo. O número , como divisor, não nos deixa ver de forma clara se a divisão é exata nem se o resultado continuará com raiz.

Resultado importante: multiplicar o divisor e o dividendo por um mesmo número que altera o quociente (resultado).

Assim, devemos buscar um número que ao multiplicar por √2, representa um número inteiro. O padrão é bem simples:

Para o número √2, usamos o número √2 como fator racionalizante, pois √2 . √2 = √4 = 2

Para o número √3, usamos o número √3 como fator racionalizante, pois √3 .√3 =√9= 3

Para o número√5, usamos o número√5 como fator racionalizante, pois√5 .√5 =√25 = 5

Em geral, para o número √n, usamos o número √n como fator racionalizante, pois √n = n

Desta forma:

Cuidado! Nem sempre o resultado será um número inteiro. Há diversas situações em que o número continuará com uma raiz (no dividendo, não no divisor). Veja mais dois exemplos:

exemplos:

I. No caso do número temos:

II. No caso do número temos:

Apesar de a tentação ser grande, não podemos simplificar o 15 que está dentro da raiz com o 5.


4.10.3. Conjugado

Há ainda um tipo especial de racionalização: a que busca a solução de uma divisão em que o divisor é composto por dois termos (sejam duas raízes ou uma raiz e um número racional qualquer). Tal método utiliza um conceito que não vimos até o momento (Produtos Notáveis), portanto, vamos simplesmente definir o Conjugado de um dado número como sendo o fator pelo qual o multiplicamos obtendo como resposta um número racional. A mecanização é mais fácil que a teoria. Acompanhe a tabela com os conjugados:

Número Fator Racionalizante Produto Note que basta trocar o sinal

que separa os dois termos.

Pratique! Multiplique cada

número pelo seu fator

racionalizante e encontre o

“produto” como resposta. Não é

para decorar, você tem que

saber fazer!!!!a - b²

a - b²

a² - b

a² - b

a - b

a - ba b+

a b+

a b+

ba +

a b-

ba -

a b-

a b-

b+a b-a

b-a b+a

exemplo:

No caso do número temos como fator racionalizante o número √3 √2

exercícios:

01. Calcule o valor das raízes abaixo:

a) √121 b) √729

c) √64 d) √576

e) f)

g) √1225 h)

i) j)

k) l)

m) n)


o) p)

q) r)

s) t)

02. Escreva as potências a seguir em forma de raiz

03. Escreva os radicais na forma de expoente fracionário:

04. Simplifique cada um dos seguintes radicais, retirando fatores do radicando:

05. Resolva as operações:

06. Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, simplifique as expressões com radicais: (siga o exemplo)


a) (Exemplo)

07. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes frações:

Use conceitos pré-adquiridos de área e perímetro para resolver a situação a seguir:

08. A figura abaixo representa um terreno retangular com as medidas dadas em metros.

a) Quantos metros de muro serão necessários para cercar esse terreno?

b) Qual é a área desse terreno?

c) Quanto o proprietário deverá gastar para gramar o terreno, se o preço do metro quadrado de grama corresponde a R$ 5,20?


(Caso você não se lembre: o perímetro é dado pela soma de todos os lados e a Área é dada pelo produto entre comprimento e largura).

09. Você vai conhecer uma “fórmula” usada em Física quando se estuda o movimento dos corpos em queda livre. Repare que, se não existisse o conceito e o símbolo para raiz quadrada, seria muito complicado explicar como se calcula o valor do tempo “t”, dado em segundos, quando se conhece o valor da altura “h”, dado em metros. Veja a fórmula:

Essa equação, descoberta por Galileu, diz em quantos segundos, aproximadamente, um objeto chega ao solo quando é abandonado de uma determinada altura dada em metros. Quanto tempo um objeto que cai de uma altura igual a 19,6 m demora para chegar ao solo?

Sugiro que você acesse <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/>. Trata-se de um site com linguagem bem simples e servirá para que você adquira novas experiências matemáticas. Essa recomendação vale para todas as unidades deste material!

ativiDaDe De aUtoeStUDo1. Como o domínio desses conceitos pode melhorar meu desempenho acadêmico?

2. Você dominava as seis operações? Foi surpreendido por alguma das operações que julgava dominar?

3. Existe forma de se desenvolver em seu curso sem que você precise conhecer as operações listadas?


IMENES, Luiz Márcio e LELLIS, Marcelo Cestari. matemática paratodos: – 4 Volumes. 2. ed. São Paulo: Sci-pione, 2006. O resultado é um trabalho inovador, que reinterpreta conteúdos tradicionais, traz novas ideias, aproxima a aula de Matemática da realidade e ajuda a “aprender a aprender”, desenvolvendo competências úteis para toda a vida.Aconselho que você encontre exemplares de 5ª série (6º ano) e 6ª série (7º ano) para ampliar os seus estudos – talvez você só os encontre em Sebos, pois o professor Imenes mudou de editora, agora está publicando pela EditoraModerna.Casoprefira,busquepeloautor.


Nesta unidade, você deve ter visto que a manipulação numérica é, de fato, muito importante para a matemática. No entanto, a compreensão das propriedades, sem ter que decorá-las, sugere mais do que simples “continhas”. Estamos diante de uma situação em que o saber fala mais alto que o decorar (até mesmo quando falamos em tabuada).

É possível que você tenha ficado surpreso com a quantidade de operações que podem ser realizadas de forma mais racional que mecânica.

Você deve ter entendido que a mecanização é muito importante, mas só se você já sabe resolver de forma racional, usando todo o raciocínio lógico que você adquiriu durante a sua formação intelectual.

Estamos chegando à metade!

UNiDaDe iii

NotaÇÃo CieNtÍFiCa

opeRaÇÕeS Com FRaÇÕeS

opeRaÇÕeS Com NÚmeRoS DeCimaiS

Professor Esp. Acácio Pedro da Silva Junior


• EntenderosconceitosrelacionadosàNotaçãoCientífica.

• EntenderocomportamentodePotênciasdeBase10.

• IdentificarnúmerosescritosemNotaçãoCientífica.

• EscreverusandoNotaçãoCientífica.

• Exercitarhabilidadesbásicasdeoperarnúmerosfracionários.

• IdentificarFraçõesEquivalentes.

• Dominaras6operaçõesfundamentais:Adição,Multiplicação,Subtração,Divisão,PotenciaçãoeRa-diciação no conjunto dos números racionais (decimais e fracionários).

• Entenderaspropriedadesparacadatipodeoperação.

• SabermanipularNúmeroMisto.

• SaberresolverExpressõesNuméricas,desdeasmaissimples,atéasmaiselaboradas.

plano de estudo


• PotênciasdeBase10

• CondiçõesparaescreveremNotaçãoCientífica

• FraçõesEquivalentes

• Adição/SubtraçãodeFrações

• MultiplicaçãodeFrações

• DivisãodeFrações

• NúmeroMisto


•Adição/SubtraçãodeDecimais

•MultiplicaçãodeDecimais

•DivisãodeDecimais

•ExpressõesNuméricas


iNtRoDUÇÃo

Nesta terceira unidade, você estudará um dos temas mais temidos (senão, o mais temido) do mundo da matemática: a manipulação de Frações. Trata-se de um conteúdo da educação básica que a maioria dos alunos diz odiar. Quando são perguntados a respeito dos motivos de tantas reservas quanto ao conteúdo, a resposta é sempre a mesma: “Eu nunca entendi Frações”. Você tem o tempo ao seu lado! As frações não são compreendidas, na maioria das vezes, por falta de maturidade intelectual. Se você chegou até aqui, essa maturidade já foi conquistada.

Tentei colocar neste material todos os métodos práticos para a manipulação das frações sem deixar o raciocínio lógico de lado. Por isso, você deve se esforçar ao máximo para entender esta unidade. Caso isso não seja suficiente, tente entender os métodos de mecanização e resolva as extensas baterias de exercícios de fixação.

O início desta unidade trata de Notação Científica, mais uma ferramenta importante para a produção acadêmica, sobretudo, para as ciências exatas.

A segunda parte desta unidade irá desafiá-lo à manipulação de frações, ao raciocínio lógico analítico e às formas de realizar operações fundamentais com números fracionários. Você descobrirá que as frações não são tão difíceis de manipular, mas descobrirá também que a falta de atenção pode prejudicar seus resultados a partir da primeira linha.

A terceira parte traz a manipulação de números decimais, que, na maioria das vezes, é interpretada como uma manipulação de números inteiros seguida de uma variação, ou não, na posição da vírgula. Divirta-se!

5. NotaÇÃo CieNtÍFiCa

Quando manipulamos números muito grandes ou números muito pequenos, há uma possibilidade de deixarmos algum zero “passar batido”. Nesse contexto, é importante conhecer uma forma alternativa de representação muito usada pela Química e pela Física: a Notação Científica.


5.1. potências de Base 10

Para que os conceitos sejam usados de forma concreta, analise as informações listadas abaixo:

Potência de base 10 Desenvolvimento Característica510 100 000 Expoente 5 e 5 zeros410 10 000 Expoente 4 e 4 zeros310 1 000 Expoente 3 e 3 zeros210 100 Expoente 2 e 2 zeros110 10 Expoente 1 e 1 zero010 1 Expoente 0 e nenhum zero

−110 Expoente −1 e 1 casa decimal

−210 Expoente −2 e 2 casas decimais




110

= 0,1

1100

= 0,01

11000

= 0,001

110000

= 0,0001

1100000

= 0, 00001

Para escrever a população aproximada do planeta Terra, por exemplo, ao representar os 7 bilhões de habitantes deveríamos escrevê-lo como 7 000 000 000 a fim de efetuar algum cálculo. O grande problema aqui está em esquecer algum zero, ou acrescentá-lo, de forma equivocada.

Uma forma mais simples de escrever seria a notação científica. Observe:

7 000 000 000 = 7 . 1 000 000 000 = 7 x 109.

Da mesma forma, podemos escrever o tamanho de um ácaro (0,2 mm) com unidades no Sistema Internacional de Medidas (em que a unidade de medida de comprimento é o metro):

0,2 mm = 0, 000 2 m = 2 . 0, 000 1 = 2 x 10−4

Essa forma mais simples de representar números muito grandes ou muito pequenos é chamada de Notação Científica.

5.2. Condições para escrever em Notação Científica

Dizemos que um dado número está escrito em Notação Científica se é representado como:

n x 108


Para valores de “n” entre 1 e 10 (1 < n< 10) e “e” inteiro.

Assim, 7 x 109 e 2 x 10−4 são exemplos de números postos em notação científica.

Note que, para que o número 7 000 000 000 se transformasse em notação científica, foi necessário “andar” com a vírgula 9 casas à esquerda (o expoente é 9).

Note também que, para que o número 0, 000 2 se transformasse em notação científica, foi necessário “andar”comavírgula4casasàdireita(oexpoenteé−4).

A mecanização do processo é bem simples:

Posicionamos uma vírgula de forma que o número fique entre 1 e 10.

Contamos o número de casas que a vírgula se deslocou para a esquerda ou para a direita, este será o expoente da base 10.

Observamos o lado para o qual a vírgula “andou”. Se foi para a esquerda, o sinal do expoente é positivo (o número original era maior que 10). Se foi para a direita, o sinal do expoente é negativo (o número original era menor que 1).

exemplo:

a) 352 000 000 000 000 000 000

Para conseguirmos um número entre 1 e 10 apenas pelo posicionamento da vírgula, devemos pô-la entre o 3 e o 5, formando o número 3,52. Para que a vírgula chegue a esse lugar, deve “andar” 20 casas à esquerda.

352 000 000 000 000 000 000 = 3,52 x 1020

b) 0, 000 000 004 567

Para conseguirmos um número entre 1 e 10 apenas pelo posicionamento da vírgula, devemos pô-la entre o 4 e o 5, formando o número 4,567. Para que a vírgula chegue a esse lugar, deve “andar” 9 casas à direita.

0, 000 000 004 567 = 4, 567 x 10−9

exercícios:

01. Escreva cada um dos números abaixo em notação científica:

a) 5 000 000 000 000 000 b) 3 500 000 000 000

c) 13 570 000 000 d) 0, 000 000 000 000 8


e) 0, 000 000 006 5 f) 0, 000 000 000 000 000 235

g) 0, 000 000 152 452 154 h) 32 100 000 000 000

02. As bactérias têm um comprimento médio de 2 x 10-4 milímetros. Imagine uma fila com 10 000 bactérias. Quanto essa fila mede? Mais ou menos que 1 milímetro?

03. A distância mínima entre a Terra e o planeta Vênus é de 4,1 x 107 km. Algumas naves terrestres (não tripuladas) já visitaram Vênus. Essas naves viajam a cerca de 104 quilômetros por hora. Quantos dias, aproximadamente, essa nave demoraria para ir da Terra até Vênus?

04. Escreva, em notação científica, o número de segundos vividos por uma pessoa de 50 anos.

05. (UFJF – MG) Supondo-se que um grão de feijão ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo retângulo de arestas 0,005m X 0,005m X 0,01m, qual é o número aproximado de grãos de feijão que podem ser postos em uma caixa d’água de 2 000 litros? Escreva o resultado em notação científica. (Dados: a) O volume do paralelepípedo é calculado multiplicando comprimento, largura e altura. b) 1m3 = 1 000 litros).

6. opeRaÇÕeS Com FRaÇÕeS

Nessa altura da sua vida acadêmica, já não faz mais sentido explicar de onde surgem as frações ou qual é o significado real de cada representação. O fato é que você precisa saber manipulá-las de forma coerente e reconhecer cada tipo de operação, sem medo das “tais frações”. Agora você já tem maturidade suficiente para entender o método e aplicá-lo nos exercícios.

Antes de apresentar as operações, é necessário apresentar uma “ferramenta” forte para a manipulação das operações:

6.1. Frações equivalentes

São frações com a “cara” diferente, mas representando a mesma quantidade:

Considerar Uma parte do que foi dividido em Duas é representar a fração 1/2 (metade).

Considerar Duas partes do que foi dividido em ℚuatro é representar a fração 2/4 (mas você também entende como metade).

Considerar três partes do que foi dividido em Seis é representar a fração 3/6 (mas você também entende como metade).

Assim, as frações 1/2, 2/4, 3/6, entre tantas outras, também representam metade e são ditas equivalentes.

Note que: se multiplicarmos numerador e denominador de uma dada fração pelo mesmo número, o


resultado obtido será uma fração equivalente à primeira.

1 4 532x2

x2

x3

x3

x4

x4

x5

x5

2 8 1064_ _ ___ ...====

6.2. adição/ Subtração

Há dois casos em que devemos estudar a adição/ subtração de frações: Denominadores Iguais e Denominadores Diferentes.

6.2.1. Denominadores iguais

Somamos os numeradores e copiamos o denominador comum. (Afinal, “meios” mais “meios” resulta em “meios”; “terços” mais “terços” resulta em “terços”; “quartos” mais “quartos” resulta em “quartos”).

exemplo:

6.2.2. Denominadores Diferentes

Devemos usar frações equivalentes às originais para que tais frações tenham os mesmos denominadores:

exemplo:

Observe que:


Assim,

Há um grande prejuízo na utilização do método: o tempo. Para dinamizar o método vamos ao processo prático:

Os denominadores das frações originais eram 5, 6 e 4. Note que o denominador usado nas frações equivalentes às originais é 60 e que MMC (5, 6, 4) = 60.

6.2.2.1.MétodoPrático

O método prático é descrito da seguinte maneira:

1º passo: encontramos o MMC entre os denominadores relacionados.

2º passo: buscamos frações equivalentes às originais com o denominador encontrado no 1º passo. (Nessa hora, para encontrar o numerador da fração equivalente, costumamos dividir o novo denominador pelo antigo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador antigo. Em outras palavras: “Divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima”).

3º passo: agora que todos os denominadores são iguais, opere normalmente.

MMC (2,5,6,8) = 120

60120

96120

20120

75120

- + - =

60 - 96 + 20 - 75120

= -91120

12

45

16

58

- + - =X


6.3. multiplicação

O método prático para a multiplicação é o mais simples entre todos os métodos: Multiplicamos Numerador por Numerador e Denominador por Denominador (em outras palavras, é o “de cima” pelo “de cima” e o “de baixo” pelo “de baixo”).

6.4. Divisão

O método prático para a divisão também é simples: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda (em outras palavras, copiamos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos).

6.5. Número misto

É comum termos um pouco de receio para resolver expressões que contenham um número na forma

. O que poucas pessoas sabem é que o número misto representa uma quantidade inteira e outra

fracionária. Basta saber lê-lo que o problema se resolve: é lido como “cinco inteiros e um quarto”. Isso significa que temos 5 unidades mais 1/4 (e isso nós sabemos resolver):

6.5.1. por que existe “Número misto”?

Você já deve ter ouvido falar em “Frações Impróprias” (aquelas em que o numerador é maior que o denominador). O problema é que sempre fomos ensinados (erroneamente) que as frações representam parte de um todo. O que dizer do número 21/4? São 21 partes do que está dividido em 4 partes. Como? Se está dividido em 4 partes, o máximo seria pegar 4.

No número misto não há confusão: é o mesmo que pegar 5 unidades inteiras e considero uma sexta unidade, que divido em 4 partes e pego uma.... Bem menos confuso, não acha? (Se respondeu “Não!” releia até se convencer).


exercícios:

01. Use os conceitos listados anteriormente para encontrar o valor de cada uma das sentenças simples listadas a seguir:

a) 3

12

9

14-

c) 5

1

3

4-+

e) 6

5

15

7-

g)

2

1

6

5

3

2-+

i) 10

111

8

7

5

3+-+-

k) ÷ø

öçè

æ-

--÷

ø

öçè

æ--

10

3

4

1

10

9

5

4

2

1

m) ÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

3

2.

5

2

o) ÷ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ-

27

22.

11

9

q) ÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ+÷ø

öçè

æ-6

1.

7

2.

9

7

s) ÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

7

9:

7

6

u) ÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ-

9

10:

27

5

w) ( ) ÷ø

öçè

æ+-

5

12:6

y) ÷

ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ+

3

11:

9

22

b)

8

7

8

6+-

d) 6

4

12

7+-

f) 4

7

3

1--

h) 2

13

4

12

8

15

9

12+--

j) 2

3

3

2

6

5

9

4+--

l)

5

9

10

15

2

1

5

72

4

3-÷

ø

öçè

æ+--÷

ø

öçè

æ+-+

n) ÷

ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ+

4

3.

2

1

p) ÷ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ+

20

9.

9

5

r) ÷ø

öçè

æ--÷ø

öçè

æ+14

5.)3(.

3

7

t) ÷ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ+

14

11:

7

3

v) ÷

ø

öçè

æ+÷ø

öçè

æ-8

25:

8

5

x) ÷ø

öçè

æ+-

11

27:)9(

z) ÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

14

5:

7

30

02. Determine o valor de cada uma das expressões:

-

12585

a)

6119

11

b)

25211514

c) +

-

- -

+


Bateria extra de exercícios

Se você teve dúvidas nas resoluções anteriores, se você demorou muito para resolver ou, se você acha que precisa praticar mais, experimente resolver esta sequência:

01. 4

5

4

3+

03. 8

5

6

2+

05. 9

5

6

4+

07. 15

11

40

1+

09. 412

3

4

7

5

2+++

11. 4

5

4

3-

13. 8

5

4

3-

15. 8

11

16

7-

17. 25

1

15

2-

19. 4

1

2

3

3

1

5

12---

21. ÷ø

öçè

æ---

4

1

2

3

3

1

5

12

23. 412

3

4

7

5

2-÷

ø

öçè

æ--

02.

5

12

5

1

5

2++

04. 8

5

4

3+

06. 8

11

16

7+

08. 25

1

15

2+

10. 4

1

2

3

3

1

5

12+++

12. 5

12

5

1

5

2--

14. 9

5

6

4-

16. 8

5

6

2-

18. 5

12

7

5-

20. ÷ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-

4

1

2

3

3

1

5

12

22. 4

1

2

3

3

1

5

12-÷

ø

öçè

æ--

24. ÷ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ- 4

12

3

4

7

5

2


25. ÷ø

öçè

æ--- 4

12

3

4

7

5

2

27. 4

1

2

3

3

1

5

12++-

29. 4

1

2

3

3

1

5

12-+-

31. 4

1

2

3

3

1

5

12-++

33. 60

4

20

2

30

15+-

35. 5

1.

2

5.

3

4.

700

9.

3

350

37. ÷ø

öçè

æ-

4

55.

5

4

39. 4

1

2

3.

3

1.

5

12+

41. 4

1.

6

1

5

1

3

1÷ø

öçè

æ+-

43. 16

1

3

1.

3

21 +÷

ø

öçè

æ-

45. ÷ø

öçè

æ--+

3

20

6

17

6

14

5

23

47.

6

14

5

23 -

49. ÷

ø

öçè

æ-+ 6

4

13

5

32.

3

25

26. 412

3

4

7

5

2---

28. 4

1

2

3

3

1

5

12--+

30. 4

1

2

3

3

1

5

12+--

32. 4

1

2

3

3

1

5

12+-+

34. 4

1.

5

3.

6

1.

5

2

36. 4

1.

2

3.

3

1.

5

12

38. 4

1.

2

3

3

1.

5

12+

40. 4

1.

2

3.

3

1

5

12+

42. ÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

5

1

3

1.

5

1

3

1

44. 6

17

6

1

5

23 -+

46. 6

14.

5

23

48. ÷ø

öçè

æ-+- 6

4

13

5

32

3

25

50. ÷ø

öçè

æ-+ 6

2

13

15

33.2

6.6. operações com Números Decimais

Para impulsionar a teoria envolvendo os números decimais, vamos deixar claras algumas coisas: Números Decimais são como todos os outros, se você entrar com medo, ele te domina; se você entrar com disposição você os domina.

Neste capítulo vincularemos os conceitos de números decimais aos conceitos de fração, não que seja necessário para a resolução, mas é de extrema importância para a compreensão.


6.6.1. adição/ Subtração

Para efetuar as operações de adição e subtração nos números decimais, precisamos somar/subtrair a parte inteira com parte inteira, décimos com décimos, centésimos com centésimos, milésimos com milésimos e assim por diante. Na prática, ao resolver, basta posicionar os números de forma que as vírgulas presentes nos números estejam sobre a mesma vertical (na resposta, a vírgula aparecerá sobre esta mesma vertical). Caso seja necessário, podemos acrescentar tantos zeros quanto quisermos a fim de igualar as casas decimais (para a adição não é obrigatório, mas no caso da subtração é aconselhável que você complete as casas decimais).

Para calcular 121,8 + 1, 089 + 16 + 0,0045 podemos fazer:

1 2 1 , 8

1 , 0 8 9

1 6

+ 0 , 0 0 4 5

1 3 8 , 8 9 3 5

Note que o número 16 não tem vírgula (ela foi omitida), mas nós sabemos que R$16 é o mesmo que R$16,00.

Paracalcular121,8−1,089podemosfazer:

2 1

,

8

− 1 , 0 8 9

1 2 1 , 8 0 0

− 1 , 0 8 9

,

1

Agora finja que são números inteiros, opere normalmente e encontre 120,771 como resposta.

Note que para somar, você pode elencar todos os números disponíveis de uma só vez. Para subtrair, você só pode operar dois a dois.

6.6.2. multiplicação

Na hora de multiplicar, devemos atentar para um detalhe simples: os números decimais são frações e serão vistas como tal até que tenhamos uma forma de mecanizar o processo. Siga os exemplos a seguir:

3,75 . 11,7 = 375

100 .117

10=

43875

1000= 43,875

O número 3,75 tem duas casas decimais.


O número 11,7 tem uma casa decimal.

O resultado 43,875 tem três casas decimais.

4,25 .12,16 = 425

100 .

1216

100=

516800

10000= 51,6800 = 51,68



O resultado 51,6800 tem quatro casas decimais, se não descontarmos os zeros.

Generalizando: a multiplicação entre dois números decimais, um com “n” casas decimais e outro com “m” casas decimais, deverá ser feita como uma multiplicação de inteiros, no entanto, o produto será representado por um número com “m + n” casas decimais. Assim, ao multiplicar 3,22 por 1,44, multiplicamos 322 por 144. Assim, ao multiplicar 3,22 por 1,44, multiplicamos 322 por 144, encontrando 46368. Para o resultado correto, basta determinar o número de casas decimais a partir dos fatores listados: cada fator tem 2 casas decimais, então, a resposta terá 4 (= 2 + 2) casas decimais.

Assim, 3,22 . 1,44 = 4,6368

6.6.3. Divisão

Na hora de dividir, devemos atentar para o mesmo foco observado pela multiplicação: os números decimais são frações e, até que tenhamos uma forma de mecanizar o processo, usaremos as frações. Observe os exemplos:

12,155 ÷ 4,25 = 121551000

÷425100

=121551000

.100425

= 1215500425000

= 121554250

= 2,86( ( ))

Compare os dois membros que estão destacados pelo símbolo ( ). Eles garantem que a divisão de 12,155 por 4,25 é igual à divisão de 12155 por 4250. Na prática, é como se tivéssemos acrescentado um zero ao número 4,25 (que tinha apenas duas casas decimais, passando agora a três casas decimais como o número 12,155) e tivéssemos removido as vírgulas.

8,4 ÷ 1,05 = 8410 ÷ 105

100= 84

10 . 100105

= 84001050

=840105

= 8( ) ( )

Compare os dois membros que estão destacados pelo símbolo ( ). Eles garantem que a divisão de 8,4


por 1,05 é igual à divisão de 840 por 105. Na prática, é como se tivéssemos acrescentado um zero ao número 8,4 (que tinha apenas uma casa decimal, passando agora a duas casas decimais como o número 1,05) e tivéssemos removido as vírgulas.

Generalizando, a divisão entre dois números decimais deve seguir uma sistematização simples: completamos com zeros até que o número de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoramos a vírgula e realizamos os cálculos como se tratássemos de números inteiros.

lembre-se: sempre que falamos de multiplicação ou divisão, vale o “joguinho de sinais”.

exercícios:

01. Calcule os produtos e quocientes a seguir:

1) (+ 2,3) . (– 0,3) 2) (+ 5) . (+ 0,02)

3) (– 2,1) . (+ 2,8) 4) (+ 7,31) . (– 1,7)

5) (+ 0,18) . (+ 0,36) 6) (+ 0,066) . (– 1,1)

7) (– 30,4) . (+ 0,4) 8) (– 1,44) . (– 0,24)

9) (+ 18) . (+ 0,05) 10) (+ 6) . (– 2,5)

11) (+ 2,3) . (– 0,3) 12) (+ 5) . (+ 0,02)

13) (– 2,1) . (+ 2,8) 14) (+ 7,31) . (– 1,7)

15) (+ 0,18) . (+ 0,36) 16) (+ 0,066) . (– 1,1)

17) (– 30,4) . (+ 0,4) 18) (– 1,44) . (– 0,24)

19) (+ 18) . (+ 0,05) 20) (+ 6) . (– 2,5)

21) (+ 2,34) ÷ (– 0,2) 22) (+ 0,6) ÷ (+ 0,03)

23) (– 2,1) ÷ (+ 2,8) 24) (+ 7,31) ÷ (– 1,7)

25) (– 0,18) ÷ (+ 0,36) 26) (+ 0,66) ÷ (+ 1,1)

27) (– 30,4) ÷ (+ 4) 28) (– 1,44) ÷ (– 0,24)

29) (+ 8) ÷ (0,05) 30) (+ 6) ÷ (– 2,5)


6.7.ExpressõesNuméricas

As expressões numéricas já foram vistas de forma breve e superficial em situações isoladas, aplicadas ao conjunto dos números inteiros e, na sequência, utilizamos o processo para resolver expressões envolvendo frações. A partir de agora, veremos expressões numéricas mais complexas que as anteriores, envolvendo várias operações, vários símbolos e várias formas de escrever os números.

Tudo que você viu até o momento, continua valendo para estas expressões. Cabe ressaltar a ordem de preferência para a resolução:

Quanto aos Separadores Quanto aos Operadores

Ordem Separador Símbolo Ordem Operador Símbolo

1º Parênteses ( ) Potências e Raízes

2 Colchetes [ ] Multiplicação e Divisão

3 Chaves { } Adição e Subtração

x e ÷

+ e −

an e √n

a

º

º

1

2

3

º

º

º

Cuidado! Seja coerente no desenvolvimento, veja os exemplos a seguir e, em caso de dúvida, use-os de forma recorrente.

exemplos:

Caso 1:

Nesse caso, não há como resolver a divisão antes de resolver a adição e subtração. A tabela acima elenca a ordem de preferência e não a ordem obrigatória de resolução. Só para concluir:

−5

4+

1

3÷

4

6+ 1

2=( ) ( )

( )−15

12+

4

12÷

4

6+

3

6=( )

−11

12÷

7

6=( ) ( )

−11

12

6

7=( )( )

= −11

14


Caso 2:

−

35−

43

710 +

14

=

Nesse caso, trate a fração maior como uma divisão (como de fato é):

−

35

−

43

710 +

14

= −3

5−

43

÷ 7

10+

1

4=( ) ( )[ ]

[ ]( )−9

15− 20

15÷ 14

20+

5

20=( )

[ ]( )− −11

15÷ 19

20= − − 11

15 20

19=[ ]( ) ( ) ( )

− −220

285= +

44

57[ ]

Caso 3:


Caso apareçam números decimais, aconselho que você os transforme em frações antes de resolver. Isso diminui a carga excessiva de conhecimentos que você deve absorver.

exercícios:

01. Determine o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:

( ) ÷

ø

öçè

æ-¸+-÷

ø

öçè

æ+¸÷

ø

öçè

æ-

4

132

5

6

15

7

( ) ÷

ø

öçè

æ---¸÷

ø

öçè

æ+

6

1.32

4

3

÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ-+÷

ø

öçè

æ-¸

40

3.

3

20

5

12

25

4

(–4,2) ÷ (–2,8) – (+0,2) ÷ (–0,5)

( ) ( )5,0

3

54,0

9

4-¸--¸

( ) ÷ø

öçè

æ-¸÷ø

öçè

æ+-÷ø

öçè

æ-÷ø

öçè

æ++-¸2

3

4

1

8

3.

3

42

3

2

( ) ÷

ø

öçè

æ -¸-7

12.

8

716,0

(–1,47) ÷ (+0,3) – (–3,9) ÷ (+1,2)

36

16

8

3

2

9 3

+÷ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ-

2

6

5

6

7

9

7÷ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ-

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

( )23

4

1.12

2

1.

3

8÷ø

öçè

æ---÷

ø

öçè

æ-

( ) ÷ø

öçè

æ+¸÷

ø

öçè

æ---÷

ø

öçè

æ-

9

4

3

210.

3

2 22


m) ( )232

5.25

7

3

2

3

4+÷

ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ-

n)

052

2

1

4

3

8

7

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ+-

o) 2

3

12

4

2

3

5

3

1÷ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ-+-

p) ÷ø

öçè

æ+-÷

ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ+-

3

11.

4

11

5

3

2

3

5

3

10

1

q) 242

12

11

2

3

2

1

4

3÷ø

öçè

æ---÷

ø

öçè

æ-+÷

ø

öçè

æ-

r) 22

3

11

36

15

2

1

3

2÷ø

öçè

æ+--÷

ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ-

s) ÷ø

öçè

æ+¸ú

û

ùêë

é÷ø

öçè

æ-¸÷

ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ+

3

2

3

4

3

2.

2

12

t) ÷ø

öçè

æ-

úú

û

ù

êê

ë

é÷ø

öçè

æ-+÷

ø

öçè

æ-

4

1:729.

3

1

100

49.

14

54

u)

÷ø

öçè

æ-¸÷ø

öçè

æ +-

¸÷ø

öçè

æ -

2

35

4

3

8

9

8

11

4

3

v)

6

1

3

1

6

3

15

4

2

+÷ø

öçè

æ-

-

w) 4

1

2

1

8

1.

7

3

2

132

+úú

û

ù

êê

ë

é÷ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-

x) ( )úú

û

ù

êê

ë

é÷ø

öçè

æ---¸÷

ø

öçè

æ-+÷

ø

öçè

æ-

22

22

2

12

2

1

5

4

y)

8

11

4

3.

4

2

2

1

2

1.

4

3

2

3

-÷ø

öçè

æ-

+÷ø

öçè

æ-

z) ( ) úû

ùêë

é÷ø

öçè

æ----÷ø

öçè

æ --5

2.23:11

6

1

5

2.2



Nesta unidade você deve ter visto que as frações não são tão difíceis quanto se pensa. Deve ter visto que há muitos mecanismos para facilitar a manipulação de frações e, um destes, é a compreensão do conceito. É claro que não trabalhei as frações como se você fosse um “analfabeto em frações”, mas forneci ferramentas para que qualquer um pudesse entender “como” se resolve. Enquanto acadêmico isso basta.

Deve ter visto ainda, que há formas bem mais simples de representar números muito grandes ou muito pequenos, além dos métodos para transição entre as diferentes formas de representar os números.

Se você faz parte do grupo que odeia frações, deve ter amado o tópico que relaciona os números decimais e deve ter pensado: “Bem mais fácil do que frações”.

Já passamos da metade! Falta “pouco”!

ativiDaDe De aUtoeStUDo1. Faça uma análise: compare os conhecimentos que você trazia como bagagem intelectual aos conte-

údosquevocêlevaaofinaldestaunidade.Fraçõessófazempartedamatemática?

2. Você dominava as seis operações envolvendo frações e decimais? Foi surpreendido por alguma das operações que julgava ser muito difícil, mas que teve facilidade ao resolver os exercícios?

3 Uma expressão numérica pode ser resolvida aleatoriamente, sem maiores preocupações quanto à ordem de resolução?

IMENES, Luiz Márcio e LELLIS, Marcelo Cestari. matemática paratodos: – 4 Volumes. 2 ed. São Paulo: Sci-pione, 2006.

Mais uma vez, cito como um trabalho inovador, que trata conteúdos tradicionais com novas ideias, aproximando a Matemática da realidade.Aconselho que você utilize o exemplar destinado à 7ª série (8º ano) para ampliar seus conhecimentos.


UNiDaDe iv

leitURa De GRÁFiCoS e taBelaS

eℚUaÇÕeS

SiStemaS De eℚUaÇÕeS



•Entenderocomportamentonuméricoemdeterminadasituaçãopormeiodaanálisedegráficosetabe-las.

•Identificarasdiferentesrepresentaçõesgráficas.

•Resolverequaçõeseproblemasqueserelacionamdeformalinear.

•Determinaroconjuntosoluçãodeumaequaçãodeprimeirograu.

•Exercitarhabilidadesparaa leitura, interpretação,montagemeresoluçãodeproblemasenvolvendoduas incógnitas.

•Dominarosmétodosparaaresoluçãodesistemasdeequaçõeslineares.

•Resolverequaçõeseproblemasqueserelacionamdeformaquadrática.

•ExercitarahabilidadederesolverasequaçõesdesegundograupelaequaçãodeBháskara.

•Resolverequaçõesquadráticasincompletas.

•Exercitarhabilidadesparaa leitura, interpretação,montagemeresoluçãodeproblemasenvolvendoduas incógnitas relacionadas de forma quadrática.

plano de estudo


•LeituradeGráficodeLinhas

•LeituradeGráficodeBarras

•LeituradeGráficodeSetores

•RelaçãoentreTabelaeGráfico

•ResoluçãodeequaçõesdePrimeiroGrau

•ConjuntoSolução


•ResoluçãodeProblemasenvolvendoEquaçõesdePrimeiroGrau

•ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLineares

•Operaçõeselementares

•ResoluçãodeProblemasenvolvendoSistemasdeEquaçõesLineares

•ResoluçãodeequaçõesdeSegundoGrau(completaseincompletas)

•ResoluçãodeProblemasenvolvendoequaçõesdeSegundoGrau

•ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesQuadráticas

•ResoluçãodeProblemasenvolvendoSistemasdeEquaçõesQuadráticas


iNtRoDUÇÃo

Nesta quarta unidade, você estudará os temas mais usados na matemática: Leitura de Gráficos, Resolução de Equações e Sistemas de Equações. Trata-se de conteúdos recheados de aplicações cotidianas, análise de informações com problemas dos mais variados níveis de complexidade.

São problemas, métodos e técnicas que podem e serão usados para a geometria, álgebra, cálculo, física, química, biologia e todas as áreas que, de alguma forma, tratam de conceitos numéricos com a necessidade de encontrar o valor de uma ou mais incógnitas.

Não são conceitos novos, mas certamente são abordagens novas. As baterias de exercícios são extensas e cabe dispensar um pouco mais de tempo e dedicação.

Desde os primórdios, o homem busca responder “quantos” ou “quantas”. Este capítulo dá ferramentas para encontrar essas possíveis respostas.

“ Por quase um século antes de seu tempo, os filósofos escolásticos vinham discutindo a quantificação das ‘formas’ variáveis, um conceito de Aristóteles aproximadamente equivalente a qualidades [...] Oresme1 conhecia bem esse resultado, e ocorreu-lhe em algum momento antes de 1361 um pensamento brilhante – por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas [...] por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante [...]”. (BOYER, Carl B., História da Matemática, p. 192).

7. leitURa De GRÁFiCoS e taBelaS

Podemos perceber que a partir do século XIV, “um pensamento brilhante” surge no encantador cenário da matemática: “traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas”. Este pensamento conduziu boa parte da matemática para um patamar bem mais elevado. Alguns matemáticos ousam dizer até que Oresme foi o cocriador da Geometria Analítica. O fato é que sua ideia de representar o comportamento de uma grandeza de acordo com a variação de outra impulsionou parte da matemática para fora do campo abstrato, tornando a análise absolutamente visual.

7.1. leitura de Gráfico de linhas

O gráfico de linhas, em geral, é usado para representar quantidades de forma a poder compará-las quanto ao seu possível crescimento ou queda. Em geral, podemos representar o crescimento ou decrescimento no faturamento de uma empresa por meio de uma interpretação gráfica bem simples. Acompanhe o gráfico a seguir:

1 ORESME, Nicole (1323? -1382), sábio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux.


Receita

01Jan 01Fev 01Mar 01Abr 01Mai

O gráfico mostra que, apesar de não sabermos os valores das recitas de cada mês, podemos compará-las por uma simples observação:Em01deJaneiro,ográficomostraqueareceitafoiamenordoperíodo.

De01deJaneiroa01deFevereiro,areceitaaumentou(dizemosqueográficoécrescente).

De01deFevereiroa01deMarço,areceitasemanteve(dizemosqueográficoéconstante).

De01deMarçoa01deAbril,areceitadiminuiu(dizemosqueográficoédecrescente).

De01deAbrila01deMaio,areceitaaumentou(dizemosqueográficoécrescente).

Caso você tenha problemas ou dúvidas para determinar se certo comportamento é crescente, decrescente ou constante, basta imaginar que alguém está sobre a linha do gráfico, indo da esquerda para a direita: se a pessoa está subindo, o gráfico é crescente; se a pessoa está descendo, o gráfico é decrescente; se não está subindo nem descendo, é constante.

Subida

Plano

Descida

Crescente

Constante

Decrescente

7.2. leitura de Gráfico de Barras

O gráfico de barras, em geral, é usado para relacionar “quantidades” a “qualidades” (um número também pode ser visto como uma qualidade – se 7,0 representa a nota que um alunos conseguiu em uma avaliação, esse número é uma característica, uma qualidade). Em geral, usamos esse tipo de gráfico quando precisamos determinar dados estatísticos como Média, Moda e Mediana, ou ainda, quando queremos comparar as “qualidades”. Acompanhe o gráfico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa “Qual é a cor do seu carro?”:


Frequência

Prata Branca Preta Outra

Cor

29

27

24

20

Podemos ver que 29 pessoas disseram que seu carro tem cor Prata; 27 pessoas disseram ter carro de cor Preta; 20 pessoas disseram ter carro de cor Branca e 24 pessoas disseram ter carro de outra cor.

O gráfico nos dá mais informações: ao todo, foram 100 entrevistados (29 + 27 + 20 + 24). A cor predominante entre os carros é Prata, seguida da cor Preta. Não há forma de garantir que a cor Branca é a terceira mais votada (há 24 entrevistados que têm outra cor de carro: poderiam ser todos vermelhos – é improvável, mas pode acontecer).

7.3. leitura de Gráfico de Setores

Em geral, usamos gráficos de setores para representar termos percentuais. Nesse caso, é fácil comparar as grandezas (mesmo que não apareça a porcentagem relacionada à característica). Acompanhe o gráfico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa “Qual é a área do conhecimento de sua preferência?”:

Humanas (33%)

Biológicas (28%)

Exatas (17%)

Outra (22%)

Podemos dizer que a maioria dos pesquisados prefere Ciências Humanas (33%), mas não podemos dizer que a menor parcela prefere Ciências Exatas, pois a parte correspondente à “Outra” pode ser composta por outras áreas com menor preferência.

Lembre-se que uma volta corresponde a 100% em relação às informações listadas e a 360º em relação ao ângulo central. Caso precise manipular algum desses valores, use proporcionalidade (uma regra de


três simples é suficiente para descobrir o ângulo central).

Agora você precisa praticar um pouco!

Vá com calma, observe bem cada um dos gráficos.

Só formule uma resposta depois de analisar bem o problema.

Deixe para ler as alternativas só depois que já tiver uma ideia, mesmo que superficial, sobre as respostas.

exercícios

01. (Unifor-Ce) No gráfico abaixo tem-se a evolução do PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro nos anos 80 e 90 do século XX, tomando como base o valor de 100 unidades, em 1979.

100

110

120

130

140

150

160

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98(Fonte: IBGE, Folha de S. Paulo)

A partir desse gráfico, é correto concluir que:a) Os valores do PIB foram crescentes no período de 1980 a 1989.

b) Os valores do PIB foram decrescentes no período de 1987 a 1992.

c) A diferença entre os valores do PIB dos anos 1989 e 1987 foi igual a dos anos 1992 e 1990.

d) Os valores do PIB são sempre crescentes.

e) O crescimento dos valores do PIB foi maior de 1983 a 1986 do que no período de 1986 a 1989.


02. (UFmt) Observe a figura.

-0,25

1,87

3,43

15 16 17 18 19

-1,02

-2,05

-1,40

Variação diária em relação ao dia anterior, em %AS BOLSAS DE VALORES NO MUNDO

(Maio)

Nova Iorque

São Paulo

Tóquio

Adaptado de: Revista Veja. 24/05/2000, p.134.

Admita que o gráfico representativo do desempenho da bolsa de Tóquio é uma função real f(t), da bolsa de Nova Iorque uma função real g(t) e da bolsa de São Paulo é uma função real h(t), com t ∈ [15, 19]. A partir dessas informações, julgue os itens.()h(t)≥g(t),qualquerquesejatpertencenteaointervaloconsiderado.

( ) A equação f(t) = h(t) admite uma raiz.

( ) A partir do ponto associado ao dia 16, a função g(t) é estritamente decrescente.

03. (UFmt) Os gráficos abaixo apresentam dados relativos ao transporte de carga no Brasil, segundo o Ministério dos Transportes. Observe-os com atenção e julgue as afirmações.

o Brasil optou pelas estradas

Hidrovias

Ferrovias Rodovias

Duto12%

4%

21%63%

O transporte de carga no país está concentrado nas rodovias.

Construir uma estrada é mais barato que fazer ferrovia (custo por quilômetro):


Ferrovia

Estrada

1,4 milhão de reais

600.000 reais

$

$

Transportar carga por trem é mais barato do que por caminhão.

Consome-se 1 litro de óleo diesel para levar 1 tonelada de carga por:25 quilômetros de rodovia

84 quilômetros de ferrovia

Fonte: Ministério dos Transportes. Veja, 4/8/99, p.44.( ) O ângulo do setor circular referente às rodovias mede 226,8º.

( ) Com o que é gasto para se construir 1 km de ferrovia, pode-se construir 7/3 km de rodovia.

( ) Para se transportar uma tonelada de carga em uma mesma distância, o transporte rodoviário conso-me 336% mais combustível que o transporte ferroviário.

04. (UFmt) Com base na figura abaixo, julgue os itens.

1985 1990 1995

14 000

18 000

24 000

Muitos doentes,poucos tratamento

No Brasil são 9 milhões de diabéticos.

Deles, 50% não sabem que estão doentes.

Dos que sabem, 23% se tratam.

Cresce o número de óbitos por causado diabetes


( ) A metade dos diabéticos no Brasil não sabe que está doente.

( ) Dos que sabem que estão doentes 1,035 milhões não se tratam.

( ) O número de óbitos por causa do diabetes, de 1985 para 1990, aumentou em 40%.

( ) O número de óbitos por causa do diabetes em 1995 foi 4/3 do número de óbitos em 1990.

05. (UFmS) Um grupo de alunos fez uma pesquisa sobre o tipo de sangue dos 540 alunos da escola. Os alunos, para resumirem os dados encontrados, construíram um gráfico de setores e, no lugar das porcentagens, eles indicaram os ângulos de alguns desses setores circulares, como mostra o gráfico. Pode-se afirmar que o número de alunos que tem o tipo de sangue B é:

Tipo O

Tipo AB

Tipo B

Tipo A

162º

36º

108º

?

a) 96 d) 124

b) 81 e) 162

c) 108

06. (U. F. lavras - mG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados na figura:

A B C Indecisos

Número de votos

162015001400

880

A opção incorreta é:a) O candidato B pode se considerar eleito.


b) O número de pessoas consultadas foi de 5400.

c) O candidato B possui 30% das intenções de voto.

d) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candi-dato A, o candidato C assume a liderança.

e) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleições.

07. (eNem) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras abaixo:

100

80

60

40

20

0

TvA TvB TvC TvD Nenhum

Nº d

e re

sidêc

ias

O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de:a) 100 d) 200

b) 135 e) 220

c) 150

08. (eNem) No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação ao real, entre o final de 2001 e o início de 2005. Por exemplo, em Janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.

4.00

3.60

3.20

2.80

2.40

2.00

1.60

1.20Jan 2002 Jan 2003 Jan 2004 Jan 2005

Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em relação ao dólar foi no: a) Final de 2001.b) Final de 2002.


c) Início de 2003.d) Final de 2004.e) Início de 2005.

09. No gráfico “Percentage of chart which looks like Pac-man” (Porcentagem dos gráficos que parecem com o Pac-man), suponha que a parte correspondente a “Does not look like Pac-man” (Não parecem o Pac-man) tenha um ângulo aproximado de 60º e que a parte correspondente a “Looks like Pac-man” (Parece o Pac-man) tenha um ângulo aproximado de 300º.

Com base nestas informações, encontre os valores para cada uma destas partes em termos percentuais.

10. (UFSe – adaptado) Segundo dados do IBGE (1999), o Brasil vem reduzindo nos últimos anos, o índice de mortalidade infantil. Na tabela abaixo, temos o número de óbitos de crianças entre zero e um ano de idade, para cada mil nascidas vivas (na Região Nordeste nos anos indicados).

Taxa de mortalidade infantil Região Nordeste

Ano 1950 1970 1991 1998

Taxa 184,33 150,07 68,59 54,47

Das figuras a seguir, a que MELHOR representa esses dados é:


200

100

1950 1970 1991 1998

Taxa de mortalidade infantil

ano

a)

200

100

1998


ano199119701950

200

100

1998


ano199119701950

200

100

1998


ano199119701950

a)

b)

c)

d)

200

100

1998


ano199119701950

e)

a)

b)

c)

d)

e)


11. (eNem) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico a seguir.

Sem filhos 1 filho 2 filhos 3 filhos

10

8

6

4

2

0

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é de:a) 1/3

b) 1/4

c) 7/15

d) 7/23

e) 7/25

12. (eNem) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes: a primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, C em 3º lugar e assim por diante.

Ordenação Nº de votantes

A B C 10

A C B 04

B A C 02

B C A 07

C A B 03

C B A 07

Total de Votantes 33


Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso:a) A é eleito com 66 pontos.

b) A é eleito com 68 pontos.

c) B é eleito com 68 pontos.

d) B é eleito com 70 pontos.

e) C é eleito com 68 pontos.

13. (eNem) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã.

11

:00

10

:50

10

:40

10

:30

10

:20

10

:10

10

:00

9:5

00

9:4

0

9:3

0

9:2

0

9:1

0

9:0

0

8:5

0

8:4

0

8:3

0

8:2

0

8:1

0

8:0

0

7:5

0

7:4

0

7:3

0

7:2

0

7:1

0

7:0

0

6:5

0

6:4

0

6:3

0

6:2

0

6:1

0

6:0

0

1201101009080706050403020100

Horário de saída

Tem

po do p

ercu

rso (

min

uto

s)

De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até às 10h30min ao ponto final dessa linha deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até às:”a. 9h20min.

b. 9h30min.

c. 9h00min.

d. 8h30min.

e. 8h50min.


14. (eNem) A eficiência do fogão de cozinha pode ser analisada em relação ao tipo de energia que ele utiliza. O gráfico abaixo mostra a eficiência de diferentes tipos de fogão.

Fogões a lenha

Fogões a carvão

Fogões a querosene

Fogões agás

Fogões elétricos

70605040302010 0

Eficiência do fogão (%)

Pode-se verificar que a eficiência dos fogões aumenta:a) À medida que diminui o custo dos combustíveis.

b) À medida que passam a empregar combustíveis renováveis.

c) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a lenha por fogão a gás.

d) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a gás por fogão elétrico.

e) Quando são utilizados combustíveis sólidos.

15. (ENEM) Um dos aspectos utilizados para avaliar a posição ocupada pela mulher na sociedade é a sua participação no mercado de trabalho. O gráfico mostra a evolução da presença de homens e mulheres no mercado de trabalho entre os anos de 1940 e 2000.

%

100

80

60

40

20

0

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Homens

Mulheres

Da leitura do gráfico, pode-se afirmar que a participação percentual do trabalho feminino no Brasil:a) Teve valor máximo em 1950, o que não ocorreu com a participação masculina.

b) Apresentou, tanto quanto a masculina, menor crescimento nas três últimas décadas.

c) Apresentou o mesmo crescimento que a participação masculina no período de 1960 a 1980.

100MATEMÁTICA| Educação a Distância

d) Teve valor mínimo em 1940, enquanto que a participação masculina teve o menor valor em 1950.

e) Apresentou-se crescente desde 1950 e, se mantida a tendência, alcançará, em curto prazo, a partici-pação masculina.

8. eℚUaÇÕeS e SiStemaS De eℚUaÇÕeS

Em geral, todos os conceitos vinculados à matemática estão intimamente ligados às equações. A busca por um número desconhecido justifica o estudo das equações. Este capítulo tratará mais de “como resolver” e “onde se aplica”. As explicações acerca da origem serão deixadas de lado.

8.1. equações de primeiro Grau

Em primeiro plano, vamos definir “Equação” como toda sentença matemática expressa por uma igualdade. O que estiver à esquerda da igualdade será chamado de Primeiro Membro e o que está à direita da igualdade é o Segundo Membro.

Ao resolver uma equação, buscamos determinar o valor da variável (simbolizado por uma letra), de forma que a equação seja verdadeira.

exemplos:i. Para resolver a equação “x + 3 = 7”, buscamos um número “x” que, somado a 3, resulte em 7. A res-

posta natural para essa equação é “x = 4” (observe que 4 = 7 – 3).

ii. Para resolver a equação “5x = 30”, buscamos um número “x” que, multiplicado por 5, resulte em 30. A resposta natural para essa equação é “x = 6” (observe que 6 = 30 ÷ 5).

iii. Para resolver a equação “x – 2 = 14”, buscamos um número “x” que, ao subtrairmos 2, resulte em 14. A resposta natural para essa equação é “x = 16” (observe que 16 = 14 + 2).

iv. Para resolver a equação “x/5 = 30”, buscamos um número “x” que, dividido por 5, resulte em 30. A resposta natural para essa equação é “x = 150” (observe que 150 = 30 x 5).

Note que:

No exemplo I, a equação tinha a adição de 3 unidades no primeiro membro e a resposta foi conseguida subtraindo 3 unidades do segundo membro.

No exemplo II, a equação tinha uma multiplicação por 5 no primeiro membro e a resposta foi conseguida dividindo o segundo membro por 5.

No exemplo III, a equação tinha a subtração de 2 unidades no primeiro membro e a resposta foi conseguida somando 2 unidades ao segundo membro.

No exemplo IV, a equação tinha uma divisão por 5 no primeiro membro e a resposta foi conseguida multiplicando o segundo membro por 5.


8.1.1.MétodosparaaresoluçãodeumaEquaçãodePrimeiroGrau

Ao mudarmos um termo (ou um fator) da equação para o outro membro (passar de um membro para outro, trocar de lado na equação), devemos fazer uso da operação inversa, ou seja:

• operação inversa da adição é a subtração, e a operação inversa da subtração é a adição;

• a operação inversa da multiplicação é a divisão, e a operação inversa da divisão é a multiplicação.

Alguns chamam esse método de “Método Rápido”.

Cuidado com os vícios! Não existe “trocar de lado e mudar o sinal”, existe “trocar de lado e mudar a operação”.

Nem sempre as equações serão imediatas. É aconselhável que você entenda que a igualdade (sinal de igual) funciona como uma balança: tudo que você fizer de um lado da equação, deve fazer no outro para compensá-la. Alguns conhecem esse método por “Método Longo”.

exemplo:

Nocasodaequação“5x−4=21”devemosevidenciarovalorde“x”,paraisso,otermo4eofator5devem“sair” do primeiro membro:

Pelo “Método Longo”:

5x – 4 = 215x – 4 + 4 = 21 + 4 Somamos 4 aos dois lados da equação.5x = 25(5x) ÷ 5 = (25) ÷ 5 Dividimos os dois lados da equação por 5.x = 5

Pelo “Método Rápido”:

5x – 4 = 215x = 21 + 4 Mudamos o 4 para o segundo membro e trocamos a operação.5x = 25x = 25 ÷ 5 Mudamos o 5 para o segundo membro e trocamos a operação.x = 5

Note que os métodos têm o mesmo número de passos. Por que seriam “Método Longo” e “Método


Rápido”? É que no “Método Rápido”, depois de treinar um pouco, você poderá omitir as linhas dois e quatro apresentando os resultados de forma imediata.

Pelo “Método Rápido”, com a omissão de alguns passos:

5x – 4 = 21 O 4 passa para o segundo membro somando.5x = 25 O 5 passa para o segundo membro dividindo.x = 5

Agora abordaremos um exemplo um pouco mais complexo e também resolveremos pelos dois métodos.

Resolvendo a equação:

− 2

3=

+ 1

6+ 3 − 7

2

c c c

Pelo “Método Longo”:

− 2

3=

+ 1

6+

3 − 7

2

c cc

6. − 2

3=

6. + 1

6+

6. 3 − 7

2

c c c( ) ( ) ( )

2. − 2 =

1. + 1 + 3. 3 − 7c c c( )( )

2 − 4 = + 1 + 9 − 21

2 − 4 =

10 − 20

2 − 4

+ 4 =

10 − 20 + 4

2 = 10 − 16 2 − 10 =

10 − 16 − 10

−8 = −16

−8 ÷ −8 = −16 ÷ −8

= 2

( ) ( ) ( ) ( )

c

c

c

c c c c

c c

c c

cc

c c c

Multiplicaremos todos os termos da equação por 6 com o objetivo de eliminar os denominadores.

Simplificando.

Aplicando a Propriedade Distributiva.

Arrumando.

Deixando os termos sem x no segundo membro.

Deixando os termos com x no mesmo membro.

Dividindo por – 8.

Pelo “Método Rápido”:

Tirando o MMC.

Aplicando a distributiva e escolhendo não dividir os dois lados da equação por 6.


Arrumando.

Dividindo por – 8.

8.1.1.1. Conjunto-Solução

O valor encontrado para “x” é a solução do problema e, em geral, os problemas pedem para que seja evidenciada a resposta por meio da apresentação do “Conjunto – Solução” simbolizado por S.

Assim S = {5} é o Conjunto-Solução da equação “5x – 4 = 21”.

Nem toda equação terá uma solução explícita. Há casos em que o problema não admite solução (dizemos que S = Ø ou S = { }) e em outros qualquer número satisfaz (dizemos que S = R).

8.1.2. equação impossível

Chamamos de Impossíveis as equações que não admitem solução, ou seja, aquelas para as quais não existe valor de “x” que torne a equação verdadeira:

Exemplo:2x – 20 = 2 (x – 1)

2x – 20 = 2x – 2

2x – 2x = – 2 + 20

0 = 18 S = { }

Note que “0 = 18” é um absurdo, é impossível.

8.1.3. equação identidade

Chamamos de Identidade a equação que independe do valor de x, ou seja, aquelas para as quais não há como definir valor para “x”, qualquer valor satisfaz à equação:

Exemplo:2x – 20 = 2 (x – 10)

2x – 20 = 2x – 20

2x – 2x = – 20 + 20

0 = 0 S = R

Note que “0 = 0” é uma tautologia (é sempre verdade), é possível, mas não há como determinar valor para “x”. A equação admite infinitas soluções, é uma identidade e sua solução é indeterminada.


exercícios

A prática leva à perfeição. Divirta-se!

01. x + 1 = 7 02. x – 1 = 7

03. x + 2 = 20 04. x – 2 = 20

05. x + 3 = 1 06. x – 3 = 1

07. x + 4 = 2 08. x – 4 = 2

09.x–6=−1 10.x+6=−1

11.x–5=−20 12.x+5=−20

13. 2 x = 12 14. 12 x = 12

15.3x=1 16.5x=−10

17.5x=10 18.20x=−5

19.20x=20 20.22x=−1

21.21–x=16 22.3+x=−1

23.3–x=−1 24.12–x=3

25.12–x=−3 26.6–x=0

27.−6–x=0 28.15–x=−22

29.−4–x=−2 30.−2–x=1

31.−3+x=−20 32.−3–x=−20

33.−12–x=3 34.−15–x=−22

35. 2 x + 3 = 9 36. 2 x – 3 = 9

37. 5 x – 4 = 26 38. 5 x + 4 = 29

39.4–5x=29 40.8–3x=−7

41.8+3x=−7 42.3x–8=7

43. 15 x + 3 = 15 44. 7 x – 1 = 11


45. 8 x + 4 = 64 46. 3 x – 12 = 22

47. 2 x – 16 = 21 48. 7 x + 11 = 13

49.11–7x=13 50.1–2x=−4

51. 4 a + 5 = 25 52. 3 b + 5 b – 2 = 3 b + 8

53.−6c–2c=24–2c 54.2(d–2).=10

55. 3 (e + 2) = 2 (3e – 2) 56. 3. (x – 5) = 2 x + 1

57.−2(4+y)+2(−y–5)=8 58.7.(a–6)=7.(−6+a)

59.2h−(1/4)=h+(1/2)–5 60.2

3x = 21

61. 6

4x = 18 62. 4

3x = 18

63. 4

8x =−4 64.133x = 13

65. 3

2x = 124 66. 42x− =−8

67. 2x + 1 = 6 68.

21+x = 6

69. 2x −1=6 70.

21−x = 6

71. 3x + 2 = 12 72.

32+x = 12

73. 2x = 1 74.

11x =−4

75. 7x = 22 76.

3x =−7

77. 2f + f = 6 78.

5)3(2 +x =

27 +

3x

79. 1 + 3y =10+y 80.2m–7=−

25m + 14

81. 52

21

53

−=− yy 82. 3

243

31

23 yy

−=−

73. 2x = 1 74. 11

x = −4

75. 7x = 22 76. 3

x = −7

77. 2f + f = 6 78. 5

)3(2 +x = 27 + 3

x

79. 1 + 3y = 10 + y 80. 2m – 7 = − 2

5m + 14

81. 52

21

53 −=− yy 82. 3

243

31

23 yy −=−

83. 58

21

10512 +=−+ xx 84. 2

124

313 −=+− xx

85. 21

85

102 −=−+− xx

86. 312

31

42 −−+−=− xxx

87. 3324

21 −−=−− xx

88. 441

32 =+−− xx

89. 43

32

21 −=−+− xxx

90. 5512

43 =−−− xx

91. )2(34

21

321 +=

−− xx

92. 43123

15 −=

−+ xxx

93. 80173

81

1022 10

3485 xxx =

−−

−

94. 21

108

41

52 =

+−+ xx

95.

−−=−−

245

3134

93 xxx

96. )2(34

21

321 +=

−

− xx


73. 2x = 1 74. 11

x = −4

75. 7x = 22 76. 3

x = −7

77. 2f + f = 6 78. 5

)3(2 +x = 27 + 3

x

79. 1 + 3y = 10 + y 80. 2m – 7 = − 2

5m + 14

81. 52

21

53 −=− yy 82. 3

243

31

23 yy −=−

83. 58

21

10512 +=−+ xx 84. 2

124

313 −=+− xx

85. 21

85

102 −=−+− xx

86. 312

31

42 −−+−=− xxx

87. 3324

21 −−=−− xx

88. 441

32 =+−− xx

89. 43

32

21 −=−+− xxx

90. 5512

43 =−−− xx

91. )2(34

21

321 +=

−− xx

92. 43123

15 −=

−+ xxx

93. 80173

81

1022 10

3485 xxx =

−−

−

94. 21

108

41

52 =

+−+ xx

95.

−−=−−

245

3134

93 xxx

96. )2(34

21

321 +=

−

− xx

97.

−

−=−−

243

32

493 xxxx

98. 808

1

10

22

5

34

8

5 xxx =÷

ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-

8.2. problemas envolvendo equações do primeiro Grau

Ao resolver qualquer tipo de problema, é importante que você LEIA o problema quantas vezes for necessário, ANOTE as informações dadas pelo exercício, EQUACIONE as informações, RESOLVA a equação montada e VERIFIQUE se a resposta é coerente ao problema.

8.2.1. termos e expressões usadas em problemas

Na maioria das vezes, o problema não nos garante a clareza quanto às operações envolvidas. Alguns termos usados devem ser interpretados enquanto expressão algébrica. Outros subentendem sinais, operações ou o sinal de igual. Acompanhe algum destes:

Se você gosta de usar x para todo o problema, vai se realizar na tabela a seguir onde usaremos “x” para representar qualquer número desconhecido:


Expressão por extenso Expressão Algébrica

O dobro de um número 2x

O triplo de um número 3x

O quádruplo de um número 4x

O quíntuplo de um número 5x

O sêxtuplo de um número 6x

A metade de um número x/2

A terça parte de um número x/3

A quarta parte de um número x/4

A quinta parte de um número x/5

A sexta parte de um número x/6

O inverso de um número 1/x

O oposto de um número -x

A diferença de dois números x-y

A soma de dois números x+y

O produto entre dois números x.y

O quociente entre dois números x/y

O consecutivo entre dois números x+1

8.2.2. Resolução de problemas

Como já vimos a resolução de equações de forma exaustiva, trabalharemos apenas a montagem dos problemas.

exemplos:

I. Reparta 169 em quatro parcelas de modo que a segunda seja o triplo da primeira, que a terceira ainda tenha 4 unidades a mais que a segunda e que a quarta seja metade da primeira.

Chamaremos a primeira parcela de x; a segunda parcela será 3x, a terceira parcela será 3x + 4 e a quarta parcela será x/2.

Ao todo, as quatro parcelas devem representar o número 169:

x + 3x + 3x + 4 + x/2 =169

Resolva e encontre as 4 parcelas (na ordem) 22, 66, 70 e 11.


II. A soma de dois números é 77. O maior supera o menor em 7 unidades. Quais os números?

Chamaremos o menor de x. Como o maior supera o menor em 7 unidades, será x + 7. Assim:

x + x + 7 = 77

Resolva e encontre os dois números 35 e 42.

exercícios

01.Escreva uma expressão algébrica para cada frase a seguir. (Se possível, simplifique).a) O dobro de um número mais uma unidade.

b) A metade de um número.

c) O sucessor de um número.

d) O antecessor de um número.

e) Um número par.

f) Um número ímpar.

g) Um número mais um quinto.

h) Um número mais um quinto dele.

i) O quádruplo de um número.

j) O triplo de um número.

k) A terça parte de um número.

l) Três quintos de um número mais dois quintos dele.

m) O quádruplo de um número mais o triplo deste mesmo número.

n) O sucessor de um número par.

o) O antecessor do quádruplo de um número.

p) A metade do quádruplo de um número.

q) Um número somado com a metade de seu antecessor.

r) Um número somado com ele mesmo.

s) O dobro de um número.

t) Um número multiplicado por ele mesmo.

u) Um número elevado ao quadrado.

v) O perímetro de um triângulo equilátero de lado x.

w) O perímetro de um quadrado de lado p.

x) O dobro de um número somado com seis.


y) O dobro da soma de um número com seis.

z) O dobro de seis somado com um número.

02. Traduza as expressões a seguir para linguagem matemática, resolva-as e encontre o valor do número desconhecido em cada item:a) O dobro de um número menos quatro é igual a trinta.

b) O triplo de um número somado com nove é igual a doze.

c) O triplo da soma de um número com nove é igual a doze.

d) Quinze menos o triplo de um número é igual a doze.

e) Seis unidades somadas à metade de um número resulta em 30.

f) Somando 8 ao dobro de um número, obtemos 20. Qual é esse número?

03. O quádruplo do número de meninos da turma menos 6 é igual a 26. Quantos são os meninos?

04. A terça parte da medida do raio de uma circunferência menos 3 unidades é igual a 10 m. Qual a medida do raio dessa circunferência?

05. Um número menos 6 é igual a 3/4 do mesmo número. Qual é esse número?

06. Como dividir o número 84 em duas partes de modo que o maior seja o triplo do menor?

07. A soma das áreas de dois terrenos é 420 m2. A área de um é o dobro da área do outro. Qual é a área de cada terreno?

08. A soma de três números consecutivos é 105. Calcule esses números.

09. As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros e consecutivos. Determine a medida de cada lado, sabendo que seu perímetro é 36 cm.

10. Reparta 281 em duas parcelas de forma que a diferença entre elas seja 31.

11. A soma de três números é 150. O segundo é o triplo do primeiro e o terceiro tem 10 unidades a mais do que o segundo. Quais são esses números?

12. A soma de dois números pares e consecutivos é 126. Quais são esses números?

13. Um retângulo tem 36m de perímetro. O comprimento é 2 metros maior que a largura. Quais são as medidas desse retângulo?

8.3. Sistemas de equações lineares

Chamamos de Sistema de Equações Lineares a toda sentença matemática formada por duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Nesse contexto, buscaremos os valores das duas incógnitas para compor


o nosso conjunto-solução, que será formado por um par ordenado da forma (x, y).

Há algumas formas de resolver o mesmo sistema:

8.3.1.MétododaSubstituição

É o processo de resolução mais utilizado. Não é o processo mais fácil para resolver, mas, sem sombra de dúvidas, é o mais fácil de lembrar:

Basta ISOLAR uma das incógnitas numa das equações à sua escolha e, depois, SUBSTITUIR na outra equação.

exemplo:

Isolamos uma incógnita em uma equação à nossa escolha:

x - y - 13 → x - 13 = y

Substituímos na outra equação:

x + 2y - 16 → (13 + y + 2y - 16)

Resolvendo encontramos y = 1.

Substituindo em x = 13 + y temos x = 14. Assim: S = {(14, 1)}.

8.3.2.MétododaAdição

É o processo de resolução mais simples, mas exige que a estrutura esteja previamente preparada com dois números opostos do mesmo lado da equação.

Basta SOMAR o primeiro membro de uma ao primeiro membro da outra e o segundo membro da primeira ao segundo membro da segunda.

exemplo:

Somando o primeiro termo ao primeiro termo e somando o segundo termo ao segundo termo, temos:

x + 2y + x - 2y = 16+12

2x=28→x=14


Substituindo em x + 2y = 16 temos y = 1. Assim: S = {(14, 1)}.

8.3.3.MétododoEscalonamento(OperaçõesElementares)

É o processo de resolução mais abrangente, independe da forma como o sistema está montado, independente dos números envolvidos, é só efetuar uma ou duas multiplicações e somar:

8.3.3.1 operações elementares

São Operações Elementares:I. Multiplicar ou Dividir uma linha toda por um número não nulo.

II. Somar duas ou mais linhas.

III. Usar os dois itens anteriores em conjunto: Multiplicar e depois Somar.

exemplo:

Tente resolver o sistema a seguir por um dos métodos anteriores:

Se você optou pelo método da substituição, encontrou frações um pouco chatas de resolver; se você optou pelo método da adição, não conseguiu fazer nenhuma letra sumir para resolver. Tente assim:

I. Escolha uma letra para desaparecer. (Eu escolhi o y).

II. Multiplique a linha de cima pelo coeficiente do termo de baixo e vice-versa, trocando o sinal de um deles.

→

III. Aplique o método da Adição:

7x=21→x=3

IV. Substitua em qualquer equação:

5.3+2y=19→y=2

Assim, S = {(3, 2)}.

8.4. problemas envolvendo Sistemas de equações lineares

Na resolução de problemas que envolvam sistemas de equações, devemos seguir as mesmas diretrizes postas para resolver problemas envolvendo equações de primeiro grau: LER, ANOTAR, EQUACIONAR,


RESOLVER e VERIFICAR.

O VERIFICAR é importante, pois, se estamos falando em número de pessoas, por exemplo, uma resposta não inteira não satisfaz o problema. Se estivéssemos falando em medidas, um número negativo não satisfaria o problema. Pare, analise e julgue a coerência antes de responder.

exemplo:

A soma das idades de pai e filho é igual a 95 anos e o pai é 31 anos mais velho que o filho. Quais são as idades de pai e filho?

Use P para a idade do Pai e F para a idade do filho.

Use o método da substituição e encontre o pai com 63 anos e o filho com 32 anos.P + F = 95

F + 31 + F = 952F = 64F = 32

ComoP=F+31→P=31+32→P=63

exercícios01. Em uma lanchonete pagam-se R$5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3

pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$3,60. Qual é o preço do refrigerante?

02. Uma omelete feita com 2 ovos e 30 gramas de queijo contém 280 calorias. Uma omelete feita com 3 ovos e 10 gramas de queijo contém também 280 calorias. Quantas calorias possui um ovo?

03. Num quintal, entre cachorros e galinhas há setenta animais. Cada cachorro cuida de uma galinha e outros dez cachorros não cuidam de nada. Quantas galinhas há ao todo?

04. Resolva pelo método que preferir:

a)

=+

=+

3623

5835

rp

rp b)

=−

=+

34

20

nm

nm

c)

=−

=+

123

102

yx

yx d)

−=−

=+

14

1032

yx

yx

e)

−=−

=−

14

1032

yx

yx f)

=−

=+

3623

5835

rp

rp


05. A soma de dois números é 84 e a diferença entre eles é igual a 12. Qual é o maior deles?

06. Numa fazenda, há 120 animais entre patos e gatos. O fazendeiro contou os pés desses animais e constatou que totalizavam 320 pés. Quantos patos haviam na fazenda?

07. Três latas de massa de tomate mais uma lata de atum custam R$ 6,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de atum custam R$ 6,80. Quanto custa a lata de massa de tomate?

08. A soma de dois números é 188 e a diferença entre o maior deles e o menor é 38. Calcule esses dois números.

09. Marlene confecciona tapetes artesanais de dois modelos, redondo e retangular. Num certo mês, ela confeccionou 60 tapetes e teve um lucro líquido de R$ 500,00. Sabendo que cada tapete retangular foi vendido por R$ 12,00, que cada tapete redondo foi vendido por R$ 10,00 e que Marlene gastou R$ 160,00 em materiais, quantos tapetes de cada modelo ela confeccionou nesse mês?

10. A diferença entre dois números é 5. O menor deles é 3/5 do maior. Quais são esses números?

11. Um professor aplicou uma prova em um sistema bastante curioso: a prova, contendo 40 questões, atribui ao aluno 5 pontos para cada questão certa e tira do aluno 2 pontos para cada questão errada. Uma aluna que fez 109 pontos acertou quantas questões?

12. No zoológico há cisnes e girafas num total de 96 cabeças e 242 pés. Quantas são as girafas?

13. Um comerciante comprou dois tipos de produtos. Cada produto tipo I custa 10 dólares, e cada produto do tipo II custa 15 dólares. Se uma compra de 35 itens custou 400 dólares, quantos produtos de cada tipo foram comprados?

14. A soma de dois números é 106 e a diferença entre eles é 100. Determine o maior deles.

15. Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos?

16. A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?

17. A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?

18. O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?

19. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. Qual é o peso do copo vazio?


20. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

21. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

22. Em uma companhia aérea, a lista de preços é a seguinte: Primeira Classe: R$ 500,00 e Classe Turística: R$ 180,00. Em um voo viajaram 200 pessoas, e a companhia faturou R$ 45.600,00. Quantos passageiros viajaram de primeira classe? E de turística?

23. Um menino foi à quitanda para comprar chicletes e balas. Ele tinha somente 7 anos de idade e não sabia ler. Na porta da quitanda existia um anúncio: 1 bala e 1 chiclete = 20 centavos; 3 balas e 2 chicletes = 49 centavos. O menininho pediu para o homem da quitanda 9 balas e 1 chiclete. O homem lhe cobrou 100 centavos pela compra. Será que o homem está dando o preço certo? O menino deveria dar quanto de dinheiro?

24. Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

25. A idade de um pai é o triplo da idade de um filho. Qual é a idade de cada um sabendo que a diferença entre elas é de 32 anos?

26. Numa fábrica trabalham 360 pessoas. Sabendo-se que o número de mulheres é metade do número de homens, qual é o número de homens e mulheres?

27. Numa garagem, entre carros e motos, há 23 veículos. O número total de rodas é 74. Supondo que cada moto possa transportar duas pessoas e cada carro, 5 pessoas, qual o número de pessoas que esses veículos podem transportar?

28. Num pátio, existem automóveis e motos. O número total de rodas é 130, e o número de motocicletas é o triplo do número de automóveis. Sabendo que cada automóvel pode transportar 5 pessoas e que cada motocicleta pode transportar até duas pessoas, quantas pessoas podem ser transportadas por esses veículos?

29. Paguei uma conta de R$ 6.000,00 com 24 cédulas de R$ 500,00 e R$ 200,00. Quantas cédulas de cada valor usei?

30. Num terreno, há coelhos e pintos; ao todo 25 cabeças e 70 pernas. Quantos são os coelhos e quantos são os pintos?

31. Comprei 50 vidros de tinta por certa quantia. Se cada vidro tivesse custado R$ 0,50 menos, poderia ter levado mais 10 vidros. Quanto me custou cada vidro?

32. A soma das idades de pai e filho é 45 anos. Há 5 anos, a idade do pai era 4 vezes a do filho. Quais


as idades atuais?

33. DESAFIO! Um rapaz conheceu uma moça há 18 anos quan do ela ainda era menina. Naquela época, sua idade era o dobro da dela. Casaram-se uns anos depois. Daqui a 9 anos, quando o marido tiver cinco quartos de idade da mulher, pretendem comemorar uma importante data de aniversário de casamento. Quantos anos cada um tem atualmente e quantos terão por ocasião da festa, se tudo correr como planejam?

8.5. equação do Segundo Grau

Uma equação Quadrática, ou de Segundo Grau, é uma expressão polinomial de grau 2 e pode ser representada por “ax2 +bx+c=0”comoscoeficientesreais“a”,“b”e“c”,a≠0.Naexpressão,“ax2 + bx + c = 0” é o coeficiente que acompanha o termo quadrático, “b” é o coeficiente do termo linear e “c” é o termo independente.

A resolução de uma equação de segundo grau se faz por meio da equação de Bháskara:

Onde Δ = b2 - 4ac(Δ é a letra grega “Delta”)

Equivalentemente, podemos escrever:

ODiscriminanteΔéextremamenteimportante:seusinalnosdizquantassãoasrespostasdedeterminadaequação:

• seΔépositivo,aequaçãoadmiteduassoluçõesnoconjuntodosnúmerosreais;

• seΔézero,aequaçãoadmiteapenasumasoluçãonoconjuntodosnúmerosreais;

• seΔénegativo,aequaçãonãoadmitenenhumasoluçãonoconjuntodosnúmerosreais.

exemplos:

I. Para resolver a equação 5x2 - 30x + 25 = 0, temos que determinar valores para “a”, “b” e “c”.

Comparando a “ax2 + bx + c = 0” determinamos que a = 5, b = 30 e c = -30, assim:


ou

S = {1, 5}

Note que o conjunto-solução não é um par ordenado. Os dois valores são possíveis valores para x.

II. Para resolver a equação 5x2 - 10x + 5 = 0 , determinamos que a = 5, b = -10 e c = 5:

S = {1}

III. Para resolver a equação 5x2 - 10x + 6 = 0, determinamos que a = 5, b = -10 e c = 6:


S = { } ou S = Ø

Não definimos raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.

8.5.1. equações do Segundo Grau incompletas

Equações incompletas são aquelas para as quais os valores de “b” e “c” são zero, podendo acontecer simultaneamente ou não.

8.5.1.1.Casoemquea≠0,b=0ec≠0

Esse é o caso mais fácil. Basta resolver como uma equação de primeiro grau até que o termo quadrático esteja sozinho. Depois disso, basta tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação.

exemplos:

I. Para resolver a equação 5x2 - 45 = 0 :5𝑥𝑥 − 45 = 0 :

𝟓𝟓 𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎

𝟓𝟓 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝒙𝒙 =

=

𝟗𝟗

𝒙𝒙 ± √𝟗𝟗

𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 ou 𝒙𝒙 − 𝟑𝟑

S = { −3, +3}

2

2

2

2

= =

S={−3,+3}

II. Para resolver a equação x2 + 25 = 0 :

S = { }

8.5.1.2.Casoemquea≠0,b≠0ec=0

Esse caso é o único em que podemos garantir a existência de uma raiz real: x = 0 sempre será raiz.

Para esse caso, precisamos evidenciar o fator “x” e resolver uma equação de primeiro grau.

exemplo:

Para resolver a equação :


Já que todos os termos têm x, o evidenciaremos.

Multiplicação resultando em zero: ao menos um dos fatores será zero.

Resolvendo a equação simples (ignore os parênteses).

→ S = {0, 9}

8.5.1.3.Casoemquea≠0,b= 0 e c = 0

Esse caso só serve para constar. Não tem aplicação, não tem resolução e o conjunto-solução é imediato: S = {0}.

S = {0}

exercícios

01. A seguir, há uma relação de equações de segundo grau, que será usada de forma recorrente:a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0

c) x2 – x - 6 = 0 d) x2 + x - 6 = 0

e) x2 + 7x + 12 = 0 f) x2 + 2x + 1 = 0

g) x2 – 2x + 1 = 0 h) x2 + 6x + 9 = 0

i) x2 – 6x + 9 = 0 j) x2 – 3x = 0

k) x2 + 3x = 0 l) x2 – 9 = 0

m) x2 + 16 = 0 n) 3x2 – 33x + 90 = 0

o) 5x2 + 15x + 10 = 0 p) 7x2 + 28x + 28 = 0

q) 4x2 - 5x + 2 = 0 r) 12x2 – 300 = 0

s) 12x2 – 300x = 0 t) 12x2 + 300 = 0

u) 12x2 + 300x = 0 v) x2 – 6x + 3 = 0

w) x2 + 6x + 3 = 0 x) x2 + 6x - 3 = 0

y) x2 – 6x - 3 = 0 z) 2x2 – 2x - 1 = 0


02. Complete as lacunas na tabela abaixo de acordo com o que se pede:

ax² + bx + c = 0 a b c Sinal do Número de raízes reais

3x² + 7x + 4 = 0

x² − 6x + 5 = 0

5x² + x = 0

−11x² - 3 = 0

2 -1 7

5 1/3 22

-1 0 0

3 0 1

3 1 0

03. Resolva as equações abaixo, explicitando as suas raízes:a) 8x2−2x−1=0 b)3x2−8x+10=0

c)−x2−2x+3=0 d)x2 – 2x = 0

e) 8x2 – 32 = 0 f) (x + 2)2 + (x – 2)2 = 106

04. Quais são os números que satisfazem a expressão “Um número elevado ao quadrado é igual ao seu dobro”?

8.6. Sistemas de equações do Segundo Grau – problemas

O tópico dispensa maiores apresentações: sabemos o que são Sistemas de Equações e sabemos o que são Equações de Segundo Grau. Sistemas de Equações de Segundo Grau são sistemas de equações que, em algum momento, passarão por uma equação de segundo grau.

8.6.1. problemas envolvendo equações e Sistemas de equações do Segundo Grau

Vale lembrar que para a resolução de quaisquer problemas devemos: LER, ANOTAR, EQUACIONAR, RESOLVER e VERIFICAR.

exemplos:

I. A diferença entre o quadrado de um número natural e o próprio número é 30. Qual é esse número?


Usando x para representar o número natural desconhecido, temos:

ou

S = {6}

Note que o enunciado dizia que o número é natural, a resposta x = – 5 não satisfaz.

II. A soma de dois números é 8, e o produto entre eles é 12. Quais são esses números?

Usando x e y como números, podemos escrever:

Usando o método da substituição, podemos escrever “ ” e substituir na segunda equação:

Resolvendo, encontramos x = 2 ou x = 6.

Para x = 2, teremos y = 6.

Para x = 6, teremos y = 2.


E o conjunto-solução é composto por dois pares ordenados: S = {(2, 6); (6, 2)}.

exercícios01. A soma do quadrado de um número real com o seu triplo é igual a 54. Qual é o número?

02. A diferença entre um número e seu inverso é igual a 63/8. Encontre esses números.

03. O quíntuplo de um número menos o seu quadrado é igual a 6. Encontre esse número.

04. A soma de um número e seu quadrado é igual ao sêxtuplo desse número diminuído de 4 unidades. Encontre esse número.

05. Encontre dois números consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja igual a 41.

06. Encontre os dois números consecutivos tais que a soma de seus inversos seja igual a 3/2.

07. O quadrado da idade de Renato menos o triplo dela é igual ao quíntuplo de sua idade mais 20. Qual a idade de Renato?

08. Encontre as dimensões de um retângulo, sabendo que o mesmo tem perímetro igual a 38 metros e área igual a 84 metros quadrados.

09. A soma dos quadrados de dois números naturais é igual a 80, e a diferença entre os quadrados desses números é igual a 48. Encontre esses números.

10. Decomponha o número 15 em duas parcelas cujo produto seja 50.

ativiDaDe De aUtoeStUDoI. Emquesituaçõesdocotidianopodemosencontrargráficoscomoobjetosdeinformação?Vocêcon-

seguecolherasinformaçõesdosgráficos?

II. Como anda a sua habilidade em resolver equações? Percebeu que o termo “passa pro outro lado” e troca o sinal não vale para as equações?

III.Suasdificuldadesaoresolverproblemasestãonamatemáticaounainterpretação?

Acesse <http://www.somatematica.com.br/efund.php> e tente outra forma de entender a teoria. O site trata al-guns conceitos de maneira mais tradicional, vale a pena dar uma olhadinha!


IMENES, Luiz Márcio; e LELLIS, Marcelo Cestari. matemática paratodos: – 4 Volumes. 2. ed. São Paulo: Sci-pione, 2006. Aconselho que você utilize os exemplares destinados à 7ª série (8º ano) e à 8ª série (9º ano) para ampliar seus conhecimentos.


UNiDaDe v

RaZÃo, pRopoRÇÃo e ReGRa De tRÊS

poRCeNtaGem



• Entenderosignificadodeserproporcional.

• IdentificarProporçãoDiretaeProporçãoInversa.

• Utilizartrêsvaloresproporcionaisparaencontrarumquartovalor.

• Relacionarsituaçõescotidianasquepodemsertratadasdeformaproporcional.

• Dominarasoperaçõesentreconjuntos.

• Entender,InterpretareResolverproblemas.

• IdentificarPorcentagens.

• Entenderesercapazderesolverostrêscasosdeporcentagem:“porcentagemdealgo”,“porcenta-gem corresponde a algo” e “qual é a porcentagem”.

• Conhecertaxaacumulada.

• Usarosconceitos“desconto”e“acréscimo”emtermospercentuais.

plano de estudo


• Razão

• Proporção

• RegradeTrêsSimples

• GrandezasDiretamenteProporcionais

• GrandezasInversamenteProporcionais

• MétodosparaaresoluçãodeRegrasdeTrêsSimples

• ResoluçãodeProblemas

• Porcentagem


• Porcentagemdealgo

• Porcentagemcorrespondeaalgo

• Qualéaporcentagem

• Taxaacumulada

• Resoluçãodeproblemas


iNtRoDUÇÃo

Nesta última unidade, você estudará os temas mais aplicáveis ao cotidiano: Proporções e Porcentagens. São temas bastante abrangentes e encontrados, sobretudo, em operações comerciais e financeiras. Trata-se de conteúdos que a maioria das pessoas julga dominar e, em algumas situações, até dominam, mas não conseguem colocar no papel.

Você aprenderá a manipular algumas ferramentas e a formalizar alguns conceitos. Vai entender que nem tudo que é tratado pela matemática tem características proporcionais. Vai se espantar ao ver que existem grandezas que, apesar de não crescerem juntas seguindo um mesmo padrão, são proporcionais (proporção inversa).

Depois de amadurecer alguns conceitos, vai aprender a calcular taxas percentuais acumuladas, que funcionam de forma parecida com a inflação, com correções de poupança e outras tantas correções financeiras. Vai ver também que dar um desconto de 10% e, depois, um acréscimo de 10%, não é voltar ao preço original.

Se você estiver disposto, vai ver que as coisas são mais simples do que se pensa. Bom trabalho!

9. RaZÃo, pRopoRÇÃo e ReGRa De tRÊS

O tema é um dos mais importantes da matemática, pois pode ser aplicado em diversas áreas do conhecimento. Não há como estudar Química, Física, Matemática ou Arte sem saber o que significa proporção. Por diversas vezes, entender proporção (ou regra de três) evita cálculos muito complexos. Vale a pena se dedicar um pouco mais:

9.1. Razão

O termo “razão” vem de divisão, fração. Nesse caso, ao escrever que dois números estão na razão de 1 para 2, dizemos também que o primeiro corresponde à metade do segundo, ou ainda, que a razão é 1/2. Dizer que dois números estão na razão de 2 para 1 é o mesmo que dizer que o primeiro número é o dobro do segundo, ou ainda, que a razão é 2/1.

A razão não é usada individualmente. É apenas uma ferramenta para outros temas e problemas.

9.2. proporção

A proporção representa a igualdade entre duas razões e só faz sentido quando não sabemos uma das parcelas dessa igualdade.

Se dois números estão na razão de dois para três e o primeiro número é 12, o valor do segundo número deve ser 18, pois 2/3 = 12/18 (são frações equivalentes).


Seria o mesmo que escrever:

= 23

= 12

12

23

2 36

18

y

=

=

=

9.3. Regra de três Simples

A regra de três simples é um processo prático para determinar, a partir de três valores conhecidos, um quarto valor com o qual todos se relacionem proporcionalmente. Na prática, a Regra de Três é a mecanização da proporção, dispondo-os em uma espécie de tabela organizada.

Para entendermos melhor a Regra de Três na resolução de determinados, é necessário que você domine grandezas proporcionais.

9.3.1. Grandezas Diretamente proporcionais

São grandezas relacionadas de forma idêntica quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento de uma grandeza implica no aumento da outra e a diminuição de uma grandeza implica na diminuição imediata da outra.

exemplos:I. Quanto maior o objeto, maior sua sombra. “Tamanho do Objeto” e “Tamanho da Sombra” são grande-

zas diretamente proporcionais (sob as mesmas condições).

II. Quanto mais produtos eu compro, maior o preço. “Quantidade de Produtos” e “Preço” são grandezas diretamente proporcionais (sob as mesmas condições).

III. Quanto mais pessoas trabalhando, maior a produção. “Quantidade de Trabalhadores” e “Produção” são grandezas diretamente proporcionais (sob as mesmas condições).

Essa forma, em particular, é a mais fácil de lembrar. É a forma que está vinculada a diversas operações comerciais.

Se você e um amigo apostam na Mega Sena, você investe R$ 9,50 na aposta e ele investe R$ 0,50, no caso de ganharem, a divisão será meio a meio?

Se você abre uma loja em sociedade com outras duas pessoas: você investe R$ 30 000, um dos seus sócios investe R$ 5 000 e o restante investe R$ 2 500. Ao receber os R$ 15 000 de lucro da empresa, você daria R$ 5 000 para cada um?


Na pior das hipóteses, você diria que o sócio que investiu R$ 2 500 deveria receber X; o segundo, que investiu R$ 5 000, deveria receber 2X (pois investiu o dobro do que investiu o primeiro) e você levaria 12X (pois investiu 12 vezes o que o primeiro investiu).

Assim, X + 2X + 12X = R$ 15 000 de onde tiramos X = R$ 1 000 e você teria direito a R$ 12 000, enquanto os outros receberiam R$ 1 000 e R$ 2 000, de acordo com os investimentos feitos.

Viu só? Você sabia o que é ser diretamente proporcional. Talvez o conceito tenha sido guardado sem nome. Sistematize o processo!

9.3.2. Grandezas inversamente proporcionais

São grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento de uma grandeza implica na diminuição da outra, e a diminuição de uma grandeza implica no aumento imediato da outra.

exemplos:

I. Quanto maior a velocidade, menor o tempo para percorrer um percurso. “Velocidade” e “Tempo” são grandezas inversamente proporcionais (sob as mesmas condições).

II. Quanto maior o número de pessoas, menor o tempo para concluir um trabalho. “Número de Pessoas” e “Tempo” são grandezas inversamente proporcionais (sob as mesmas condições).

III. Quanto maior Volume, menor a Pressão sobre certo gás. “Volume” e “Pressão” são grandezas inver-samente proporcionais (sob as mesmas condições).

Essa forma, em particular, é mais chatinha de lembrar. Geralmente relaciona velocidades de acontecimento em quaisquer tipos de situação:

Você vai de Maringá a Londrina andando a uma determinada velocidade. Se você aumentar a velocidade, aumentará o tempo?

Você tem, em suas mãos, uma esponja de espuma e começa a comprimi-la aumentando a pressão entre seus dedos. A esponja também aumenta de tamanho?

Viu só? Você tinha uma noção acerca do que é ser inversamente proporcional.

9.3.3. Resolução de Regra de três Simples

Para auxiliar na resolução das Regras de Três, precisamos agilizar o processo criando alguns mecanismos para fugir das proporções:

9.3.3.1. orientação para determinar proporção Direta ou inversa

Quando quisermos comparar grandezas, usaremos setas orientadas (para cima ou para baixo) de acordo


com o que pensarmos ou dissermos: quando dissermos “quanto mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos “quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.

9.3.3.2. Forma para Resolução

Devemos multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse processo não é aleatório: deve seguir as setas de forma a estabelecer um caminho. Não existe esse negócio de “regra de três é só multiplicar cruzado”. Há circunstâncias em que o caminho é multiplicar cruzado e há circunstâncias em que o caminho é multiplicar o “de cima” pelo “de cima” e o “de baixo” pelo “de baixo”.

exemplos

I. Um monomotor percorre certa distância voando com velocidade igual a 300 km/h, durante 6 horas; outro avião percorrerá a mesma distância, com a velocidade igual 360 km/h. De quanto tempo o segundo avião precisará?

Note que: se a velocidade aumentar, o tempo de percurso diminui, mostrando que o problema é de grandezas inversamente proporcionais.

Velocidade em (km/h) Tempo (h)

300 6

360 T

Nesse caso escrevemos:360.6 = 360.T1800 = 360.T T = 5h

II. Um automóvel percorre 300 km em 5 horas. Mantendo a mesma velocidade, que distância percorrerá em 7 horas?

Note que: se o tempo aumentar, a distância também aumenta (estão em velocidade constante), mostrando que o problema é de grandezas diretamente proporcionais.


Distância (km) Tempo (h)

7

Nesse caso escrevemos:300.7 = 5.D2100 = 5 DD = 420 Km

D5300

exercícios

01. Precisamos repartir R$ 5 000,00 entre Marcelo, 7 anos, Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a divisão?

02. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20 000 e Maria, com R$ 30 000. Se ao fim de um ano obtiverem um lucro de R$ 7 500,00, quanto cabe a cada um?

03. Sérgio e Luzia formaram uma sociedade. Sérgio investiu R$ 2 960,00 enquanto Luzia investiu R$ 2 500,00. Depois de certo tempo, obtiveram um lucro de R$ 163,80. Que parte do lucro coube a cada um dos sócios?

04. Ana tinha R$ 2 000,00, Maria R$ 4 000,00 e Joana R$ 5 000,00. Juntaram esses valores, abriram uma loja de roupas e se saíram tão bem que seis meses depois tinham um lucro de R$ 46 200,00. Como dividir proporcionalmente o investimento de cada uma delas?

05. Três irmãos prontificaram-se a ajudar a mãe a fazer o almoço de domingo. Clara trabalhou 2 horas, Pedro 1 hora e Lucia meia hora. A mãe, então, deu-lhes R$ 17,50 para dividir proporcionalmente ao tempo que cada filho trabalhou. Quanto cada filho recebeu?

06. Se 20 operários fazem certa obra em 18 dias, em quantos dias 30 operários poderão fazer o mesmo trabalho?

07. Em 5 dias, 8 operários fazem determinado trabalho. Para fazê-lo em 4 dias, quantos operários são necessários?

08. Em 10 dias, 8 operários fizeram metade do trabalho de que foram incumbidos. Depois disso, 2 operários abandonaram o serviço. Quanto tempo devem os restantes trabalhar para concluir a obra?


09. Dez operários fazem certo serviço em 6 dias. Quantos operários são necessários para fazer o mesmo serviço em 4 dias?

10. Para fabricar um determinado número de peças, uma indústria utiliza 8 máquinas durante 15 dias. A fim de atender a um pedido urgente, foram empregadas 12 máquinas iguais às primeiras. Em quantos dias foi fabricado o mesmo número de peças?

11. Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra têm, respectivamente, 12 e 54 dentes. Quantas voltas dará a menor enquanto a maior dá 8?

12. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?

13. Um relógio atrasa 1min 15s a cada hora. Quanto tempo ele estará atrasado ao final de 1 dia?

14. Quatro torneiras idênticas enchem um reservatório em 15 horas. Com dez dessas torneiras, em quantas horas o tanque ficaria cheio?

15. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido à energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

16. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?

17. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe faria o mesmo trabalho?

18. Uma máquina funcionando 6 horas por dia produz 3000 unidades de certo produto em 5 dias. Quanto produzirá funcionando 4 horas por dia durante 8 dias?

Comentário: você pode ser induzido a resolver esse problema por Regra de Três Composta. É dispensável.

A informação 6 horas por dia durante 5 dias representa 30 horas.

A informação 4 horas por dia durante 8 dias representa 32 horas.

Assim, podemos reescrever o problema:

“Uma máquina funcionando 30 horas produz 3000 unidades de certo produto. Quanto produzirá funcionando 32 horas?”

19. Um andarilho percorre 120 km em 5 dias, andando 6 horas por dia. Supondo que ande em velocidade constante, em quantos dias percorrerá 320 km, andando 8 horas por dia?


20. A pressão de certo gás ideal que ocupa um volume de 3 L, à temperatura constante, é de 2 atm. Sabendo que pressão e volume, à temperatura constante, são inversamente proporcionais, qual será a nova pressão quando o gás se expandir de 2 L?

21. A sombra de uma palmeira mede 5,4 m no mesmo instante em que uma vara vertical de 2 m colocada no local tem uma sombra de 0,9 m. Qual a altura da palmeira?

22. Para engarrafar uma produção de vinho são necessárias 204 garrafas de 0,7 L cada uma. Usando garrafões de 4,2 L, quantos serão necessários?

23. Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Neste mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros?

24. Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será igual a quanto?

25. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2?

10. poRCeNtaGem

Porcentagem é o nome dado a toda fração cujo denominador é 100. O número 20/100 representa 20 porcento, o número 8/100 representa 8 porcento e o número x/100 representa x porcento.

Simbolicamente, usamos “%” para indicar a porcentagem. 20 porcento = 20%.

Nesses casos, chamamos o número que acompanha o símbolo de Taxa Percentual.

Trata-se de um conceito diretamente ligado às operações financeiras (apesar de não ser a única aplicação).

Font

e: SH

UTTE

RSTO

CK.C

OM


Ao abordar porcentagens, você deve estar por dentro de alguns conceitos simples. O endereço <http://www.matematicahoje.com.br/telas/cultura/midia/midia.asp?aux=M> traz esses conceitos de uma forma bem fácil de entender.

10.1. Resolução de porcentagem

Para resolver problemas que envolvam porcentagem sempre podemos usar Regra de Três Simples com grandezas Diretamente Proporcionais. No entanto, em várias situações, é muito importante conhecer outras técnicas de resolução:

10.1.1. porcentagem de algo

Esse é o tipo mais comum de porcentagem. Ao sair às compras, ao ler um jornal, sempre encontramos porcentagens escritas dessa forma: “Até 70% de desconto”. “Atualmente, 9,7% dos brasileiros são considerados analfabetos”.

Na maioria das vezes, conseguimos resolver esse tipo de porcentagem mentalmente com certa facilidade. O problema é escrever (ou explicar para alguém) tudo que foi feito.

O fato é que esse “de” sugere uma multiplicação da fração correspondente à porcentagem pelo número em questão.

exemplos:

8 % de $ 50 = 8

100 .50 =

400 100

= RR $ 4

30100 100

180030% de 1 hora = 30% de 60 min = . 60 = = 18 min

10.1.2. porcentagem corresponde a algo

Nesse caso, não conhecemos o valor total a ser trabalhado e, quando possível, usaremos proporções diretas para resolver e encontrar o total (100%).


exemplos:

Multiplicando tudo por 5

Dividindo tudo por 2


Reescrevendo a unidade

Dividindo tudo por 3


10.1.3.QualéaPorcentagem?

Nesse caso, em geral, devemos investigar o percentual de variação entre dois valores. Na maioria das vezes, buscamos responder quantos por cento certa mercadoria aumentou ou diminuiu seu preço.

exemplos:

Uma coxinha sofreu um aumento de R$ 2,00 para R$ 2,40. Qual foi o percentual de aumento?

Note que houve um aumento de R$ 0,40 sobre o preço antigo, R$ 2,00, basta traduzir para a linguagem matemática:

0 ,40 2 ,00

= 0 ,20 = 20

100= 20%

$

$

R

R

Em todos os casos listados, é possível resolver por Regra de Três. Exercite!

Cuidado! É comum aparecer situações em que há um desconto e, na sequência, um acréscimo da mesma taxa. Isso é pegadinha! O preço não volta ao normal!

Se o preço inicial for R$ 200, por exemplo, um desconto de 20% sobre esse preço corresponderia a R$ 40 e derrubaria o preço para R$ 160. Um acréscimo de 20% sobre esse preço vai resultar em R$ 32 e aumentaria o preço para R$ 196.

Mesmo que você tivesse dado o aumento primeiro e depois o desconto, chegaria aos mesmos valores.

10.1.4. taxa acumulada

Leia o problema:


A situação econômica do país “Albertópolis” anda bem crítica: em janeiro passado houve uma inflação de 20%, em fevereiro a inflação atingiu 35% e em março atingiu 25%. Qual foi a taxa inflacionária nesse trimestre em “Albertópolis”?

Nesse tipo de situação, devemos comparar, para a mesma mercadoria, o preço do início do período ao preço do final do período. Tome, como base, qualquer mercadoria que possa valer R$ 100.

R$ 100 Aumento de 20% 20% de 100 = .100 = R$20

R$ 120 Aumento de 35% 35% de 120 = .120 = R$42

R$ 162 Aumento de 25% 25% de 162 = .162 = R$40,25

R$ 202,25

20100

100

100

35

25

No fim do trimestre, a mercadoria que custava R$ 100 passou a custar R$ 202,50, houve um aumento de R$ 102,50 sobre o valor inicial R$ 100:

102, 50R 100 = 102, 5 %$

$R

Parasaberumpoucomaissobretaxasacumuladas,inflaçãoecorreçõesmonetárias,sugiroquevocêacesseotrabalho disponível em: <http://www.fae.edu/publicacoes/pdf/IIseminario/iniciacaoCient%C3%ADfica/iniciacao_10.pdf>.

exercícios

01. Numa prova de seleção, 40% dos candidatos são reprovados. Sabendo que 2.500 candidatos fizeram a prova, quantos foram aprovados?

02. Calcule o número de analfabetos que residem em certa cidade, sabendo que a cidade tem 45.000 habitantes e que, destes, 8% são analfabetos.

03. Uma barraca de cocada vendia o produto por R$ 1,60. Depois de um tempo, o dono da barraca decidiu aumentar o preço para R$ 2,00 a unidade. De quantos por cento foi o aumento?

04. Quantos por cento 48 minutos representa de 1 hora?

05. Se 18% do meu salário corresponde a R$ 360,00, qual é o meu salário?


06. Numa loja, um secador de cabelos custa R$ 48,00, mas uma promoção anuncia o desconto de 20% no pagamento à vista. Quanto custa um secador de cabelos comprado na promoção?

07. Um aparelho de DVD custa R$ 279,00 à vista. A prazo há um acréscimo de 17%. Quanto ele passa a custar?

08. Do salário de um trabalhador é descontada uma quantia igual a R$ 250,00 que corresponde a 5% do total. Qual é o salário desse trabalhador?

09. No mês passado, Juliana tinha R$ 6 000,00 na sua conta corrente. Nesse mês, sua conta teve um rendimento de 3,5%. Qual é o saldo da conta?

10. Ao se casar, Renata comprou um guarda roupas de R$ 980,00. Deu 20% de entrada e dividiu o restante em 8 parcelas. Qual foi o valor de cada parcela?

11. Determine:a) 20% de 500 Reais. b) 30% de 20 Quilos.

c) 10% de 6 Metros. d) 4% de 15 Dias.

e) 5% de 700 Pessoas. f) 7,5% de 1000 Litros.

g) 130% de 3 quilômetros. h) 165% de 20 minutos.

i) 12% de R$ 725,00. j) 6,5% de R$ 385,00.

12. A situação econômica do país “Sambaquistão” anda bem crítica: em janeiro passado houve uma inflação de 20%, em fevereiro a inflação atingiu 15% e em março atingiu 25%. Qual foi a taxa inflacionária nesse trimestre em “Sambaquistão”?

13. Certo comerciante ganha 3% das quantias que recebe. Tendo cobrado R$ 17 500,00, quanto recebeu?

14. Em determinada fábrica de meias, cuja produção foi de 14.500 pares, 290 deles foram refugados na expedição. Qual foi a porcentagem de refugo?

15. Num concurso feito por certo número de candidatos, houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aprovei tados; noutro, feito por 350 candidatos houve 22% de aproveitamento. Determinar quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram aprovados no segundo.

16. Fez-se a mistura de 40 litros de álcool com 80 litros de água. Quanto por cento há de álcool na mistura?

17. Em uma turma de alunos comprometidos a um exame, o número de reprovações, que atingiu a 15%, foi de 12 concorrentes. Quantos compareceram ao exame?

18. O peso total de uma caixa e o seu conteúdo é 60 kg. Pesando 48 kg a mercadoria contida nessa caixa, qual é a taxa de porcentagem correspondente ao invólucro?


19. Um comerciante comprou 200 sacas de café por R$ 600 000,00; ganhou na venda 15%. Por quanto vendeu cada saca de café?

20. Uma geladeira vendida por R$ 10 400,00 dá o lucro de 30% sobre o custo. Qual é o lucro?

21. Qual é o número cujos 15% valem 105?

22. Para assistir a decisão do campeonato carioca de futebol de 1982, entre o Flamengo e o Vasco, compareceram ao Maracanã 170.000 pessoas. Ao final do jogo 40% dos torcedores saíram tristes do estádio. Os restantes festejaram a conquista do campeonato pelo Vasco. Quantos assistentes torceram pelo Flamengo? Quantos torceram pelo Vasco?

23. Dos 125 alunos de um colégio, 36% são maiores. Quantos alunos menores há no colégio?

24. Um apartamento foi vendido por R$ 240 000,00. Por quanto foi comprado esse apartamento se o lucro obtido foi de 25%?

25. A população de uma cidade aumentou de 350.000 para 420.000 habitantes. Qual foi a porcentagem de acréscimo da população?

26. Vendi uma mercadoria com lucro correspondente a 1/5 do custo. Qual a porcentagem do lucro?

27. Das 80 aves que há em uma granja, 60 são galinhas e o resto galos. Calcular a porcentagem destes.

28. Um comerciante compra 310 quilos de açúcar a R$ 120,00 o quilo. Vende 1/5 com lucro de 20%; 2/5 com 15% e o resto com 10%. Qual o lucro total?


No decorrer deste capítulo você deve ter visto que a matemática tem diversas aplicações a outras disciplinas. A Física se beneficia muito dos conceitos de proporção e regras de três, enquanto a Química, além desses conceitos, ainda se beneficia das porcentagens.

Você deve ter visto também que as porcentagens cercam o nosso cotidiano de “descontos nos preços de mercadorias”, “aumentos salariais”, “taxa de inflação”, “alta do Dólar”, “percentual dos brasileiros analfabetos” entre tantas outras. Para entender a informação que se esconde atrás da porcentagem, é necessário entendê-la nas três esferas citadas.


ativiDaDe De aUtoeStUDo1. Ao manipular problemas que envolvam duas ou mais grandezas, como determinar se as grandezas

são proporcionais ou não?

2. Regra de três e Química sempre caminharam juntas. Tente encontrar grandezas relacionadas à Quí-mica que são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

3. O estudo das porcentagens mostra que não há só um tipo de porcentagem. Você consegue se lem-brar das três formas? Como resolvê-las?

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. a conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2007. 336 p.Dispensa comentários. O material do 7º ano é tudo que você precisa!

Entre todas as sugestões, trago esta como sendo o “fechamento com chave de ouro”:<http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/educacao-fiscal-licao-cidadania-matemati-ca-427088.shtml>.


Casovocêaindanãotenhaassistido,sugiroqueassistaaofilme“DonaldnoPaísdaMatemágica”.ÉumcurtadaDisneydeaproximadamente27minutos.Ofilmemostraqueexistematemáticaemváriassituaçõesdonossocotidiano. Você pode encontrar os fragmentos no Youtube, mas o som é muito ruim... A Disney relançou na cole-ção “Fábulas da Disney” com preços bem acessíveis, vale a pena comprar o original!


CoNClUSÃo

No decorrer do material você deve ter visto que a matemática não é apenas um monte de números. É claro que eles também fazem parte da matemática, mas os conceitos e teorias são bem mais importantes do que os números.

Você deve ter visto que a história contribui, e muito, para a formação dos conceitos matemáticos. Nenhuma ciência sobrevive sozinha, está tudo relacionado!

Deve ter visto que a matemática está no nosso cotidiano e, por isso, passar pelo curso sem conhecê-la é o mesmo que passar por um jardim e não sentir o cheiro das flores.

Daqui para frente, é com você! Espero tê-lo ajudado a percorrer este caminho doloroso, mas necessário, dando ferramentas mais eficientes para a sua formação acadêmica.

Um abraço e Boa Sorte!

Professor Acácio


ReFeRÊNCiaS

BOYER, Carl. História da matemática, 2. ed. São Paulo: Edgar Blücher/ Edusp, 1996.

IMENES, Luiz Márcio. vivendo a matemática: Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. matemática paratodos: – 4 Volumes. 2. ed. São Paulo: Scipione, 2006.

MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, Alex. tópicos de matemática aplicada. 20. Curitiba: Ibpex, 2006. 211 p.

PACÍFICO, José Carlos. apostila Sólon – Matemática: 2010.

A Criação dos Números – Números Naturais. Disponível em: <http://matematica.no.sapo.pt/natural.htm> e <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22107>. Acesso em: 20 dez. 2011.

Conjuntos Numéricos - O surgimento dos Números – Números Inteiros. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm>. Acesso em: 20 dez. 2011.

Teste de avaliação. Disponível em: <http://www.colegioapogeu.com.br/portal/images/stories/2010/apogeu_world/provas/ta_02/TA_2_MATEMATICA_PISM1.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2011.

<http://www.youtube.com/watch?v=WyQNXNdrdbk>.

apostilaMatematica

Documents

Transcript of apostilaMatematica