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APRENDIZAGEM DE NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

Autor: Jarmes Venâncio Ramos1 Orientador: M. Sc. Daniel de Lima2

RESUMO Este artigo procura mostrar como se desenvolveu o Projeto de Intervenção Pedagógica, da etapa de Implementação e da Produção Didático-Pedagógica realizados para o Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE. Esta intervenção teve como objetivo capacitar os alunos do 4º ano do Curso de Formação de Docentes, futuros professores das séries iniciais da Educação Básica, do Colégio Estadual Ary João Dresch – EFMNP, da cidade Nova Londrina Núcleo Regional de Educação de Loanda – PR. Procurou-se utilizar a Modelagem Matemática como uma alternativa para explorar o tema números racionais que servirá de aporte aos conceitos, sendo que com estes serão estabelecidos vínculos para quantificar, qualificar, selecionar e contextualizar informações de maneira que sejam incorporadas às experiências do cotidiano. A implementação foi realizada sob forma de oficinas. Utilizou-se também, aliado à Modelagem Matemática, a resolução de problemas, exercícios com frações e material manipulativo construídos pelos próprios alunos. Como o projeto teve como público alvo futuros docentes, o foco esteve no desenvolvimento de atividades práticas que serão utilizadas nas séries iniciais da educação básica, aumentando a motivação dos alunos para o estudo dessa disciplina.

Palavras chaves: Ensino de frações; Modelagem matemática; Material manipulável.

ABSTRACT This paper aims at demonstrating how the Pedagogical Intervention Project (Projeto de Intervenção Pedagógica), developed during the Pedagogical Implementation and Production (Implementação e Produção Didático-Pedagógica) stage and part of the State Educational Development Program (Programa de Desenvolvimento Educacional), has been carried out. Such an intervention aimed at enabling Teaching Training 4th grade students, from Colégio Estadual Ary João Dresch – EFMNP, located in the city of Nova Londrina, member of Loanda School Board, to 1 Professor da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná, atua no colégio Estadual Ary

João Dresch. Graduado em Matemática pela UNOESTE. Especialização em: Didática e Metodologia do Ensino pela UNOPAR. 2 Professor Assistente do Colegiado de Matemática da UNESPAR – FAFIPA. Mestre em Métodos

Numéricos Aplicados à Engenharia pela Universidade Federal do Paraná (2004). Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Modelagem Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: Pesquisa Operacional, Programação Linear e Otimização.

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teach Fractional Rational Numbers to Basic Education students. Mathematical Modeling has been used by means of strategy to explore the theme of rational numbers which will contribute for the comprehension of the concepts with which rational numbers will be linked in order to quantify, qualify, select and contextualize information aimed at being incorporated to the Basic Education students` daily life. In addition to Mathematical Modeling; problem solving, fraction activities as well as manipulatives (developed by the students) have also been used. Once the project has had training teachers as its target audience, it has focused on practical activities which might be used for Basic Education first grades. This approach has been demonstrated to motivate these teachers- to-be studies on the subject. The work has been carried out during workshops.

Keywords: Fraction teaching. Mathematical Modeling. Manipulatives.

1- INTRODUÇÃO

Ao se atuar como professor de Matemática na escola de educação básica no

Ensino Fundamental e Médio pode-se observar diariamente as dificuldades dos

estudantes em trabalhar com os números racionais, e em particular com as frações.

A presença constante dessas dificuldades sempre trouxe incomodo, o que, em tese,

espera-se que leve ao interesse pelo ensino e aprendizagem das frações. O trabalho

foi desenvolvido com os alunos do Curso de Formação de Docentes, onde iniciou-se

conhecendo as concepções desses futuros professores sobre essa área do

conhecimento matemático para discutir em que medida tais concepções influenciam

sua prática pedagógica. Diante disso, a indagação a ser respondida foi: Como

ensinar Frações por meio da Modelagem Matemática? De acordo com informações

vindas desses alunos, diversas são as dificuldades na compreensão e no uso do

conceito de frações como também nas operações que as envolve. Com o objetivo

de auxiliá-los na superação dessas dificuldades e introduzi-los num processo

reflexivo sobre o ensino deste conceito, realizou-se oficinas, nas quais,

paralelamente, trabalhou-se com material concreto, materiais manipuláveis, jogos,

resolução de problemas, discussão das soluções e a formalização dos conceitos

envolvidos.

É sabido que a matemática faz parte da vida de todos nós, sendo que é

utilizada nas mais variadas situações do dia-a-dia e desta forma, se colocando como

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base de quase todas as áreas do conhecimento humano, desenvolvendo os níveis

de aprendizagem e criatividade.

O futuro depende da imaginação criadora da humanidade do nosso tempo

atual e posterior. Hoje, um grande desafio para o professor é fazer com que o aluno

compreenda o seu papel na sociedade, de agente ativo e transformador da sua

realidade enxergando a importância da Matemática no seu dia-a-dia.

Este projeto apresentou a Modelagem Matemática como uma proposta para

explorar o tema Números Racionais que servirá de aporte aos conceitos, com os

quais serão estabelecidos vínculos para quantificar, qualificar, selecionar e

contextualizar informações de maneira que sejam incorporadas às experiências do

cotidiano. Como o projeto atendeu futuros docentes, o foco esteve em desenvolver

atividades práticas que poderão ser utilizadas nas séries iniciais da Educação

Básica, aumentando a motivação dos alunos para o estudo dessa disciplina

1.1 - A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DAS SÉRIES INICIAIS DA EDUCAÇÃO

BÁSICA

A discussão que permeia a formação do professor tem sido amplamente

difundida nas últimas décadas, principalmente, porque se tem observado que a

deficiência nesse processo de construção da perspectiva educacional é também um

fator determinante dos resultados negativos que se tem obtido com o trabalho

referente à educação matemática nas escolas ao longo dos anos.

Para atuar como professor nos anos iniciais do Ensino Fundamental no

Brasil, não se exige formação especifica em uma área do conhecimento. Conforme a

LDB 9394/96, o Curso de Formação de Docentes, em nível médio habilita o futuro

professor. Em 1996, a LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação), em seu artigo

62 institui que:

A formação de docentes para atuar na educação básica far-se-á em nível superior, em curso de licenciatura, de graduação plena, em universidades e institutos superiores de educação, admitida, como formação mínima para o exercício do magistério na educação infantil e nas quatro primeiras séries do ensino fundamental, a oferecida em nível médio, na modalidade Normal.

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Nessa perspectiva, observa-se que a partir de 2007 conforme a legislação

os professores que tenham o diploma do curso normal, em nível médio estão

habilitados a trabalharem com a educação infantil e as séries iniciais do ensino

fundamental. Assim, eles perante a lei estão habilitados para atuarem no ensino da

matemática das séries iniciais do ensino fundamental.

Com essa observação já se verifica que o profissional desta etapa escolar

não possui, na verdade, conhecimento aprofundado em nenhuma área, sabe ou

supõe-se que sabe o que é básico e geral.

Assim sendo, é de extrema importância que durante sua formação estes

futuros professores tenham contato com diferentes técnicas para facilitar o

aprendizado visto que, o professor é quem diretamente sistematiza e planeja as

aulas a serem trabalhadas dentro da sala de aula, assim vislumbra-se ser ele que,

dentro de suas possibilidades, organiza sua ação pedagógica dentro da melhor

perspectiva de aprendizagem para seus alunos.

Conforme Lorenzato (2006), a importância da utilização de material de apoio

visual ou visual–tátil como facilitador de aprendizagem vem sendo discutidos como

de extrema importância por vários educadores. O autor defende a necessidade dos

professores utilizarem atividades dinamizadoras para o trabalho com os conteúdos,

em forma de material didático ele define Material Didático (MD) como qualquer

instrumento que facilite o processo de ensino aprendizagem que pode ser desde um

giz, calculadora, filme, quebra cabeça, entre outros.

Nestas concepções, ele compreende que o uso Material Didático bem

utilizado poderá auxiliar o professor na sua práxis pedagógica servindo como uma

ferramenta para que os alunos enxerguem a matemática com outros olhos e que um

número maior de alunos goste mais desta disciplina.

No entanto, é importante que o professor - peça chave no processo de

ensino e aprendizagem - saiba como utilizá-lo. Isto é, ele deve ter claro qual o

conteúdo que se pretende trabalhar e quais os objetivos que almeja atingir.

Lorenzato (2006, p.24) destaca ainda que:

O professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se: será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algum material didático? Com qual? Em outras palavras o professor está respondendo as questões: “Por que material didático?”, “Qual é o material didático?” e “Quando utilizá-lo?”. Em seguida, é preciso perguntar-se: “Como este material

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deverá ser utilizado?”. Está última questão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer uma aprendizagem significativa.

Nota-se aqui a importância de utilizar materiais didáticos de forma planejada,

pois se isso não ocorrer os resultados não poderão ser positivos. Ainda destaca que

apesar do planejamento pode ocorrer de o professor não conseguir atingir todos os

seus objetivos.

1.2 - O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES

As frações surgiram para solucionar problemas da vida do homem e já eram

usadas desde a Antiguidade. Os egípcios (por volta de 200 a.C.) usavam as frações

unitárias, os babilônios, as sexagesimais e os gregos descobriram as frações como

razão entre inteiros (BROLEZZI, 1996). Durante muito tempo o desenvolvimento foi

lento e veio a se concretizar com o desenvolvimento da aritmética e do cálculo. Com

ele, ficou claro que as frações se submetiam às mesmas regras que os inteiros.

Dessa forma, os números, que antes serviam apenas para funções restritas,

tornaram-se “marcas” úteis para inúmeros usos (FERREIRA, 2001).

Atualmente, com as calculadoras, o uso social diminuiu, mas não diminuiu

sua importância, pois “seu estudo se justifica, entre outras razões, por ser

fundamental para o desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos (proporções,

equações, cálculo algébrico)” (BRASIL, l998, p.103).

O novo milênio trouxe para a sociedade grandes desafios e para os

educadores um desafio maior, “[...] entre eles o de antever e propor à sociedade um

novo cidadão, que comandará a economia, a produção, o lazer e outras atividades

que ainda surgirão nas próximas décadas.” (BIEMBENGUT; 2000, p.9). Para a

educação matemática, esses desafios são ainda maiores, pois toda atividade

praticada por um individuo envolve matemática, desde a mais simples até as mais

complexas, por isso, devemos utilizar toda articulação possível para aprender e

ensinar Matemática.

Devido a essa constante transformação, nós educadores temos que estar

sempre atentos às mudanças sociais, tecnológicas e cientificas para desenvolver um

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pensamento critico e estar preparados para as abordagens curiosas dos alunos em

sala de aula. Segundo Lima (1999, p.5).

Quem usa a mente como instrumento de trabalho não pode deixar de cultivar, diariamente, a inteligência. Os professores, por exemplo, precisam atualizar-se permanentemente, acompanhando o desenvolvimento da ciência e da tecnologia (os mestres são os intermediários entre as pesquisas, descobertas e inovações, e as novas gerações).

Essa curiosidade natural dos alunos leva-os a aprendizagem, e partindo dos

conhecimentos matemáticos já adquiridos, que se consegue levá-los à construção

de um conhecimento mais elaborado, com apropriação dos conceitos de forma

prazerosa e legítima; não podemos nos enganar achando que nossos alunos são

como páginas em branco, onde podemos escrever nelas, da forma que achamos

mais fácil ou mais correta, não, os alunos mesmo nas séries iniciais já trazem

consigo uma bagagem muito significativa de conhecimento matemático. D’Ambrosio

(2005, p.18) diz que: “todo indivíduo vivo desenvolve conhecimentos e tem um

comportamento que reflete esse conhecimento, que por sua vez vai-se modificando

em função dos resultados do comportamento. Para cada indivíduo, seu

comportamento e conhecimento estão em permanente transformação”

2 - MODELAGEM MATEMÁTICA

Conforme as Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná

(2008), o ensino de Matemática deve contribuir para que o aluno tenha condições de

constatar regularidades, generalizações e apropriação de linguagem adequada para

descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento.

E modelagem matemática está presente na vida do homem desde os tempos

remotos, ao utilizar conhecimentos matemáticos para modelar e resolver situações

problemáticas com as quais se deparava. Quando esses conhecimentos se

mostravam insuficientes, a busca de novos objetos e/ou relações matemáticas fazia-

se necessário (Costa e Ghedin, 2007). Eis alguns modelos importantes criados pelo

homem: a roda inventada pelos sumérios no ano 3000 a.C.; o modelo criado por

Eratóstenes (276-196 a.C) para calcular a circunferência da Terra e os modelos

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criados por Galileu Galilei (1564-1642) para a queda dos corpos e para o movimento

parabólico dos projéteis.

A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa que pode ser

utilizada em todos os níveis de ensino, pois o grande desafio hoje é fazer com que o

aluno compreenda o seu papel na sociedade, de agente ativo e transformador da

sua realidade, e a importância da matemática no seu dia-a-dia e, existem também

outros desafios a serem vencidos, como por exemplo, a falta de apoio das

instituições de ensino no sentido de viabilizar condições necessárias e suficientes às

praticas de ensino alternativos, a própria desmotivação por parte do professor que

exerce uma carga excessiva de horas de trabalho, falta de interesse por parte dos

alunos, indisciplina, resistência por parte de outros professores da área que estão

“acostumados” com o ensino tradicional e se opõem a tentativa de buscar novas

metodologias de ensino se opondo às mudanças, pois obrigaria à estes uma

reciclagem em sua metodologia de ensino, o programa do currículo é previamente

estabelecido não dando muitas vezes a oportunidade do professor variar sua

metodologia de ensino, pois é necessário “cumprir” o programa (que é inflexível),

entre outros.

A fim de romper com essas barreiras epistemológicas, a modelagem

matemática surge para desenvolver ambientes de investigação em sala de aula que

privilegiem a construção e aplicação dos conceitos, respeitando os aspectos

históricos, teóricos e de relacionamento com outras ciências. Este trabalho será

embasado em autores que discutem a modelagem matemática na educação em

diferentes níveis de ensino e contextos.

Para Bassanezi (2002), faz-se necessário buscar alternativas de ensino

aprendizagem que facilitem a compreensão da matemática e sua utilização.

Segundo o autor, a modelagem matemática é capaz de unir a teoria e prática,

motivar o aluno no entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para

agir sobre ela e transformá-la.

Segundo Burak (2004), a modelagem matemática vem ao encontro das

expectativas do educando, por dar sentido ao que ele estuda, por satisfazer suas

necessidades, seus interesses, realizando seus objetivos. O aluno passa a trabalhar

com mais entusiasmo e perseverança formando atitudes positivas em relação às

frações, ou seja, há o despertar do gosto pela disciplina.

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Barbosa (2004, p. 4), ao discutir atividades de modelagem na educação

matemática desenvolvidas no ensino, sintetiza que modelagem matemática “é um

ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e

investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade”. O autor

registra situações com modelagem matemática desenvolvidas em sala de aula e as

conquistas obtidas em favor da educação matemática.

Caldeira (2004), ao se referir à modelagem matemática, enfatiza a

necessidade dos conhecimentos para o aluno atuar como sujeito de transformação

social e sugere que essa aprendizagem parta do contexto sociocultural do aluno,

proporcionando-lhe o desenvolvimento do pensamento lógico, da criatividade, de

aprender conceitos e de construir estruturas matemáticas, a fim de compreender a

realidade social, histórica e cultural.

Diante desses argumentos, entende-se que a modelagem matemática faz

sentido para a aprendizagem a partir do contexto do aluno, pois o mesmo passa a

ser um agente ativo no processo de construção do saber. Portanto, para

desenvolver este trabalho os dados a serem pesquisados deverão estar no contexto

dos alunos favorecendo a aprendizagem da disciplina e o professor deve estar

ciente do contexto no qual seu aluno está inserido.

2.1- POR QUE FAZER MODELAGEM MATEMÁTICA?

Hoje quando se fala em Educação Matemática, almeja-se um ensino que

possibilita aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de

conceitos e formulação de idéias. “Aprende-se Matemática não somente por sua

beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem

amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da

sociedade” (SEED/PR, 2008, p.48).

A educação matemática apresenta certo grau de complexidade, pois “[...]

exige uma constante superação de conflitos, rupturas, retornos, e esses obstáculos

integram as ações de aprender e de ensinar” (PAIS, 2006, p.8). Tais dificuldades

podem ser percebidas quando aos conceitos matemáticos são colocados os

conhecimentos do cotidiano, ou reciprocamente.

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Propõe-se neste trabalho, fazer uma análise de como está acontecendo o

ensino dos números racionais representados por frações no Ensino Médio e, mais

especificamente no Curso de Formação de Docentes com o objetivo de procurar

possíveis caminhos que possam conduzir a uma prática do ensino de Frações

utilizando a Modelagem Matemática.

Sabe-se que alguns aplicativos de modelagem e simulação tem auxiliado

estudantes e professores a visualizarem, generalizarem e representarem o fazer

matemático de uma maneira passível de manipulação, pois permitem construção,

interação, trabalho colaborativo, processos de forma dinâmica e o confronto entre a

teoria e a prática.

Portanto, pretende-se pesquisar maneiras de ensinar o conteúdo Números

Racionais para os futuros professores proporcionando uma formação diferenciada e

contextualizada das Frações.

2.2 TIPOS DE MODELAGEM

Classifica-se Modelagem Matemática em três tipos:

- O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, com as

informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos

alunos o processo de resolução;

- O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade,

cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução;

- A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem

problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e

simplificação das situações-problema.

2.3 BENEFÍCIOS PARA OS ALUNOS AO TRABALHAR COM MODELAGEM

MATEMÁTICA

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Como método científico a modelagem apresenta algumas características de

investigação que também se fazem presentes quando aplicada no ensino.

Conforme Ponte e colaboradores (2005: 13), investigar em Matemática "é

descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos,

procurando identificar as respectivas propriedades". Envolve quatro momentos:

exploração e formulação de questões, organização de dados e formulação de

conjecturas, realização de testes e reformulação das conjecturas, justificação e

avaliação.

Diante dessas características investigativas apresenta algumas

potencialidades que permite aos alunos desenvolver uma aprendizagem

significativa. Dentre os argumentos favoráveis a sua utilização no ensino, Barbosa

(2004a, 2004b), Bassanezi (2004) e Monteiro e Junior (2001) destacam:

A motivação dos alunos e do próprio professor uma vez que os alunos são

convidados a participar de um ambiente de investigação por meio da Matemática,

situações oriundas de outras áreas da realidade. Conforme (Barbosa, 2001, p.6-7).

"A investigação é o caminho pelo qual a indagação se faz. É a busca, seleção,

organização e manipulação de informações." Envolve quatro momentos: exploração

e formulação de questões, organização de dados e formulação de conjecturas,

realização de testes e reformulação das conjecturas, justificação e avaliação.

(Ponte et al., 2005). É neste sentido que este ambiente se aproxima daquele

proposto para o ensino de Matemática.

2.4 - CONDIÇÕES PARA IMPLEMENTAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

NA ESCOLA.

É importante que o professor conheça as etapas da modelagem para que

possa definir os responsáveis (aluno e/ou professor) pelas atividades de cada etapa

e adequar sua aplicação à realidade da turma, considerando aspectos como: os

conceitos prévios estudados pelos alunos; o conteúdo programático a ser

desenvolvido; os objetivos conceituais, o grau de desenvolvimento do aluno bem

como o seu processo de evolução; o tempo para sua aplicação e a experiência do

professor com atividades de modelagem.

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As etapas para aplicação da modelagem matemática em cursos regulares

são apresentadas por autores como Biembengut e Hein (2003), Bassanezi (2004) e

Rosa (20001 apud Rosa 2005) com características comuns, exceto o diagnóstico,

encontrado apenas em Biembengut e Hein (2003). Estas etapas são sugeridas como

uma forma de minimizar as dificuldades para sua aplicação. Um esquema das

principais etapas é apresentado na figura 1.

fonte: pepsic.bvsalud.org/img/revistas/cc/v14n3/a10fig

No diagnóstico o professor deverá fazer um levantamento sobre a realidade

sócio-econômica, os interesses e metas dos alunos, o conhecimento matemático

que possuem; considerar o tempo disponível para realização de trabalho extraclasse

e destinar um número de horas-aula para orientação do trabalho.

1- Escolha do tema: com base no diagnóstico, o(s) tema(s) pode(m) ser

escolhido(s) pelo professor, pelos alunos ou em conjunto. Biembengut e Hein (2003)

sugere que o professor selecione possíveis temas para que os alunos não escolham

um tema inadequado ao desenvolvimento do conteúdo desejado ou um tema

complexo em relação ao conhecimento matemático que possuem. Caso sejam

escolhidos vários temas, os estudantes devem ser distribuídos em grupos que

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possuem o mesmo interesse de pesquisa e que desenvolva no mínimo o conteúdo

programático.

2- Interação com o tema: faz-se um estudo (coleta de informações) sobre o

tema escolhido através de visitas técnicas a órgãos e profissionais, pesquisa na

internet, livros, revistas, entrevistas, reportagens de jornais ou experimentos. Caso

os alunos não tenham acesso à internet, ou para otimizar o tempo, o professor pode

fornecer os dados (Rosa, 2005; Barbosa, 2001, 2004a) nas empresas.

Os estudantes devem propor questões que de uma maneira geral,

inicialmente são bastante simples, podendo ser solucionadas utilizando conceitos

matemáticos que já conhecem. O professor pode, então, ajudá-los a formular

questões mais complexas que permitam desenvolver o novo conteúdo programático

e possibilite fazer generalizações com a utilização de analogias com situações

correlatas (Rosa, 2005).

Os itens 1 e 2 relacionados anteriormente no esquema estão dentro da

realidade das escolas, mas não fazem parte do ensino da Modelagem. Portanto a

Modelagem Matemática inicia-se a partir dos próximos itens.

3- Formulação do problema: o professor deve auxiliar os estudantes na

formulação do(s) problema(s) matemático(s) relacionado(s) ao tema, das hipóteses

utilizando a simbologia adequada e descrevendo as relações em termos

matemáticos, uma vez que a transferência da linguagem verbal para linguagem

matemática é na maioria das vezes uma tarefa que exige esforço dos alunos. Na

medida em que se está formulando ou resolvendo o problema, o conteúdo

programático vai sendo desenvolvido. Deste modo, a matemática vai sendo

desenvolvida à medida que se faz necessária (Rosa, 2005).

4- Elaboração dos modelos matemáticos: o professor deve orientar os

estudantes na construção do modelo devido sua natureza conceitual e abstrata.

Deve-se indicar porque algumas características do modelo foram consideradas e

outras rejeitadas. A partir do modelo obtido, os estudantes podem elaborar

estratégias que os auxiliam na explicação, análise e resolução do problema.

5- Resolução dos problemas matemáticos: nesta etapa, os conceitos

matemáticos que foram identificados na elaboração dos modelos matemáticos

devem ser sistematizados. (Rosa, 2005). O professor deve mostrar outros exemplos

e propor exercícios para que o conteúdo não se restrinja ao modelo obtido,

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permitindo assim, que o aluno aprimore a apreensão dos conceitos (Biembengut e

Hein, 2003).

6- Interpretação da solução: cada grupo/estudante deve avaliar e interpretar

a solução, verificando a adequação da solução obtida ao modelo utilizado. A

interpretação da solução envolve uma retomada dos conceitos matemáticos que

estão relacionados ao problema. Por isso, recomenda-se que a interpretação do

resultado obtido com a resolução do modelo matemático seja realizada de diferentes

maneiras: analítica, gráfica, geométrica ou algébrica (Rosa, 2005).

7-Validação da solução: o resultado obtido pelo modelo matemático é

comparado com o sistema "real".

8- Exposição escrita e oral do trabalho: esta etapa é importante, pois muitas

vezes, os alunos não possuem um registro escrito organizado daquilo que fizeram e

têm muitas limitações na comunicação matemática oral (Ponte et al., 2005). Cada

grupo deve elaborar um relatório contendo o objetivo do trabalho, a justificativa e o

referencial teórico do tema escolhido; a definição do problema, das hipóteses e

questões levantadas; os procedimentos utilizados para organizar os dados, validar

as conjecturas, obter o modelo e solucionar o problema; as tentativas realizadas e

dificuldades encontradas; as conclusões do trabalho e a bibliografia (Biembengut e

Hein, 2003; Ponte et al., 2005). Após elaboração do relatório, os grupos devem

expor os resultados da pesquisa para os demais, pois eles podem colaborar com

sugestões para a modificação ou aperfeiçoamento dos modelos obtidos.

9- Avaliação: devem ser avaliados critérios como organização, clareza e

criatividade (Ponte et al.2005). Uma sugestão dada por (o prof. Dr. Barbosa, 1999),

uma avaliação por meio de relatórios, analisando o grau de desenvolvimento do

aluno bem como o seu processo de evolução, ou seja, o que ele realmente

aprendeu através da Modelagem Matemática.

O ensino da Matemática deve ter por finalidade preparar cidadãos para

atuarem de forma conhecedora e confiante na sociedade e não apenas visar a

transmissão de conteúdos. No ensino da Matemática, pode-se observar alguns

pontos críticos, como as dificuldades que os alunos encontram em conceituar

matemática, números e as operações básicas, ausência de significado com relação

a Matemática, falta de relação entre a matemática e outras áreas do conhecimento,

bem como sua utilização na vida diária. Percebe-se assim que a Matemática não

lhes é ensinada como uma disciplina a ajudar no desenvolvimento do pensamento e

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raciocínio lógico, mas sim de forma mecânica sem uma construção e sem ligação

com o cotidiano do aluno.

Neste sentido, acredita-se que a proposta de trabalho é viável para sua

aplicação, pois Ensinar Matemática por meio de experiências pessoais e culturais

relevantes ajudará os alunos a conhecer mais sobre si próprio, sobre o cotidiano,

sobre a sua cultura, e sobre sua sociedade (FASHEH, 1998).

O papel da Matemática na sociedade, segundo Barbosa (2001), é

reconhecido pelas suas aplicações na solução de problemas naturais, humanos ou

sociais, geralmente obtidos com a utilização dos modelos matemáticos, que

parecem descrever satisfatoriamente os fenômenos que os suscitam,

independentemente da interferência humana.

A disciplina de Matemática, por várias razões, é considerada muito difícil e

desinteressante para muitos, e até inacessível para outros. No entanto, há muitas

pessoas cientes que o conhecimento matemático é muito importante para o mundo

moderno.

D’Ambrosio (2002, p.29) salienta que “Matemática que vem dominando os

programas é, em grande parte, desinteressante, obsoleta e inútil para as gerações

atuais”, e Teixeira (2002) nos lembra que poucas reformas aconteceram na

Matemática neste século. Novos conteúdos foram acrescentados ao programa sem

no entanto “modificar a velha memorização, a repetição infindável de exercícios e o

poder de centralização das ações pedagógicas assumidas pelo professor”

(TEIXEIRA, 2002,p.42).

Geralmente quando aborda-se frações os alunos apresentam dificuldades.

Diante disso, percebe-se que atualmente as escolas públicas em geral vêm a cada

dia exigindo menos dos alunos em relação aos cálculos com frações nas situações

do cotidiano.

O ensino de frações nas series iniciais é importantíssimo como ensino

aprendizagem na medida em que se encontra presente e interconectado com outros

conceitos dentro do campo da matemática e de outras ciências.

Dessa forma, a abordagem desse conteúdo por meio da Modelagem

Matemática que tem como pressuposto, segundo as Diretrizes Curriculares de

matemática (2008) a problematização de situações do cotidiano, possibilita que o

aluno possa levantar problemas e sugerir questionamentos sobre situações de vida

o que aproximará as frações da vida do aluno tornando-as mais fácil de

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entendimento, pois os problemas reais poderão transformar-se em problemas

matemáticos.

2.5 - ASPECTOS A SEREM CONSIDERADOS AO APLICAR A MODELAGEM

MATEMÁTICA

Embora sejam vários os argumentos favoráveis ao uso da modelagem,

Bassanezi (2004) e Monteiro e Junior (2001) destacam algumas dificuldades a

serem enfrentadas para que ela possa ser utilizada em cursos regulares, tais como:

A necessidade de tempo para planejar as atividades de modelagem,

preferindo, assim, restringir suas aulas ao conteúdo do livro didático, que geralmente

apresenta a sequência: teoria, exemplos, exercícios de fixação e problemas de

aplicação.

A mudança de postura dos estudantes exigida pelo ambiente de

modelagem, de passiva para ativa, pois acostumados a ver o professor como

transmissor de conhecimentos, quando colocados no centro do processo ensino-

aprendizagem, muitas vezes oferece resistência ao uso da modelagem.

Acostumados a aplicarem algoritmos e fórmulas, conseguem atingir o seu objetivo

(na maioria das vezes, é obter boa nota) com problemas mais simples (estritamente

matemáticos).

A falta de conhecimento pelos professores para desenvolver atividades de

modelagem, seja por falta de conhecimento do processo ou por medo de se

depararem em situações embaraçosas devido desconhecerem as áreas onde as

aplicações matemáticas foram abordadas. Esse último fator reflete mais uma vez a

necessidade de uma reorientação epistemológica dos professores no que diz

respeito à visão descontextualizada, algorítmica, infalível e analítica da ciência.

Mas, alguns dos obstáculos citados podem ser minimizados na medida em

que os temas e situação-problema escolhidos sejam motivadores; não apresentem,

a princípio, grande grau de dificuldade tanto para o aluno quanto para o professor,

especialmente se este não tiver experiência em atividades de modelagem

matemática; o professor esteja atento e auxilie os alunos na condução das

atividades e esteja disposto a pesquisar temas de outras áreas e de relevância

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social que possam ser fontes de investigação matemática (Monteiro e Junior, 2001).

O prof. Jonei Cerqueira Barbosa, da Universidade Jorge Amado-Salvador, dá a

seguinte sugestão com relação à aplicação da Modelagem Matemática dentro do

atual programa:

- Conhecer os limites da instituição de ensino;

- Começar com modelos curtos e mais simples, que durem no máximo duas

aulas, por exemplo;

- Analisar o tempo, e aquilo que é possível saber;

- Analisar o seu saber e o saber do aluno;

- A disposição e grau de interesse dos alunos, bem como a sua motivação;

- A disposição e apoio da equipe pedagógica da escola.

3 - O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA NA ESCOLA

Considerando a escola, como uma instituição que possibilita o acesso aos

saberes, tão importantes para a formação do individuo e que um dos objetivos do

Projeto Político Pedagógico deste colégio reconhece os aspectos e relevância social

da Matemática bem como tem preocupação com a efetivação da aprendizagem da

Matemática pelos alunos, pretende-se com a realização deste trabalho integrar as

prerrogativas das Diretrizes Curriculares, as necessidades dos alunos e a proposta

da escola.

Faz-se uma abordagem histórica das frações e levantam-se os obstáculos

epistemológicos. A seguir, observa-se alguns aspectos da transposição didática

através da analise dos manuais didáticos, do levantamento da concepção sobre

frações de alunos do Curso de Formação de Docentes e os obstáculos didáticos

encontrados com o objetivo de desenvolver atividades práticas que possam ser

utilizadas nas Séries Iniciais da Educação Básica.

Com isso, desenvolve-se atividades com a participação efetiva dos alunos

do Curso de Formação de Docentes com o intuito de conseguirmos sanar as

dificuldades apresentadas e procuraremos mostrar que a forma com que o professor

apresenta o conteúdo pode fazer diferença. Neste sentido, destaca-se também que

a Modelagem Matemática contribui de forma significativa para o aprendizado dos

conteúdos propostos.

16

Lorenzato (2006, p.25) reforça que: Para o aluno, mais importante que

conhecer essas verdades matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a

percepção da sua competência, a melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a

pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfação do sucesso, e

compreender que a matemática, longe de ser um bicho-papão, é um campo de

saber onde ele, aluno, pode navegar.

Assim é de extrema importância que o professor entenda a Matemática

como uma disciplina que está não acima dos seres humanos.

Posteriormente, efetua-se análise de estudo de caso, fazendo com que o

aluno busque mapear suas concepções de Frações, declaradas na construção de

mapas conceituais sobre este tema. Procura-se observar também o aluno lidando

com questões contextualizadas (situação problema), que requer a aplicação de

Frações. Com esse enfoque, tenta-se verificar se ocorrem mudanças nas

concepções dos alunos sobre a aplicabilidade das Frações.

Na sequência faz-se pesquisas e organiza materiais para o trabalho com os

números racionais de forma particular as Frações e aplica com os alunos. Por fim,

será organiza-se material de apoio pedagógico para os professores.

4-ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DAS FRAÇÕES POR MEIO DA MODELAGEM

MATEMÁTICA

Investigar as concepções dos alunos do Curso de Formação de Docentes

sobre Frações e estratégias de aprendizagem sustentadas por estes, e examinar

relação entre as concepções dos alunos e a prática de atividades contextualizadas.

Construir o conceito de número fracionário junto aos estudantes do Curso de

Formação de Docentes futuros professores das series iniciais da Educação Básica,

via as concepções parte/todo, quociente e medida, de modo que eles reflitam sobre

estas diferentes abordagens e dêem sentido a este conceito.

Apresentar a utilização da Modelagem Matemática como estratégia de

ensino e aprendizagem das Frações, mostrando sua instrumentalização para a

compreensão da problematização da vida diária e fazer com que os alunos do Curso

17

de Formação de Docentes, obtenham uma aprendizagem mais significativa voltada

a sua realidade e ao ensino dos alunos das séries iniciais da Educação Básica.

Tornar o estudante capaz de identificar os diferentes contextos nos quais a

noção de fração esta presente.

Instrumentalizar o estudante para que ele seja capaz de efetuar operações

básicas – adição, subtração, multiplicação e divisão – com frações, por meio de

atividades manipulativas e formais, tornando-o capaz de identificar os diferentes

contextos nos quais a noção de frações está presente.

Produzir uma Unidade Didática demonstrando o ensino das Frações

utilizando a Modelagem Matemática.

5.1- ANÁLISE E RESULTADOS DA PESQUISA 5.1.1- PRÉ-TESTE

Elaboramos um instrumento inicial de avaliação contendo dez questões, com

o objetivo de verificar a concepção que os futuros professores têm antes de qualquer

instrução sobre números fracionários.

O pré-teste foi elaborado a partir dos testes utilizados no levantamento da

concepção dos alunos. Seus resultados foram usados na comparação com os

resultados do pós-teste, com o intuito de verificar se os objetivos propostos foram

atingidos.

QUESTÕES

Com o objetivo de levantar as experiências ou fatos que marcaram os

estudos de frações dos futuros professores. Antes de iniciar os trabalhos com a

18

Modelagem Matemática. Elaboramos um instrumento de avaliação para analisar que

idéia esses alunos fazem da disciplina quanto ao nível de dificuldade, como a

consideram em termos de preferência e importância, as concepções de uma boa

aula e de um bom professor de Matemática e de como acham que aprendem

melhor.

1) Que boa experiência você teve durante sua aprendizagem de frações?

Tabela1: Distribuição dos alunos segundo as experiências sobre a

aprendizagem de frações.

Respostas Número de alunos Percentual %

Nenhuma ou nada marcante 4 31

Algumas, mas esqueci tudo 6 46

Só teoria 3 23

Total 13 100

Fonte: O autor (2011)

Gráfico 1: Distribuição dos alunos segundo as experiências sobre a aprendizagem de frações.

As experiências dos alunos sobre a aprendizagem de frações


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Nenhuma Alguma Só teoria

Série1

19

Esta questão teve como objetivo verificar as experiências ou fatos que

marcaram os estudos de frações dos futuros professores.

Observamos: que a maioria deles relataram nenhuma experiência vivida ou

não souberam descrever algo que os tivesse marcado durante seus estudos de

frações.

2) O que você entende por frações? Para que servem?

Tabela 2: Distribuição dos alunos segundo para que servem as frações

Respostas Número de alunos Percentual (%)

Repartir tudo 9 69

Para tudo 1 8

Repartir algo 3 23

Total 13 100


Gráfico 2: Distribuição dos alunos segundo para que servem as frações.

Para que servem as frações


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

repartir tudo para tudo repartir algo

Série1

20

3) Como é feita a leitura de uma fração?

Tabela 3: Distribuição dos alunos segundo a leitura de uma fração

Resposta Nº de alunos Percentual (%)

Certa 11 85

Errada 2 15

Total 13 100


Gráfico 3: Distribuição dos alunos segundo a leitura de uma fração

Leitura de uma fração


4) Qual fração é maior 3

1ou

4

1?

Tabela 4: Distribuição do alunos segundo as respostas no pré-teste e no pós-teste.

Resposta Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)

Certa 5 38 13 100

Errada 8 62 0 0

Total 13 100 13 100


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

certa errada

Série1

21

O objetivo é observar como eles se colocam perante o conhecimento que

têm, e se conseguem explicitar as suas dificuldades.

Gráfico 4: Distribuição dos alunos segundo seus conhecimentos a respeito das frações

Comparação entre os resultados no pré-teste e o pós-teste sobre o valor de cada fração.


5) Como você se sai quando trabalha com frações?

Tabela 5: Distribuição dos alunos segundo como se saem quando trabalham com frações.

Respostas Número de alunos Percentual %

Não me saio muito bem, é difícil, tenho dificuldade.

9 69

Tem coisas que nunca ficam claras, esqueço as regras.

3 23

Certa facilidade com os números, mas dificuldades com os desenhos.

1 8

Total 13 100


Gráfico 5: Distribuição dos alunos segundo como se saem quando

22

trabalham com frações.

Como os alunos se saem quando trabalham com frações


O objetivo desta questão é observar como eles se colocam diante o

conhecimento que têm, e se conseguem explicar as suas dificuldades.

A maioria fala de suas dificuldades, até porque somente um admite ter tido certa facilidade com as frações.

O objetivo é verificar que tipo de procedimento eles usam para resolver essa situação problema.

6) Divida os três chocolates entre as cinco crianças. Quanto cada criança vai receber?

Tabela 6: Distribuição dos alunos segundo a divisão de três chocolates entre cinco crianças.

Respostas Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)

Certa 2 15 6 46

Errada 11 85 7 54

Total 13 100 13 100


23

Gráfico 6: Distribuição dos alunos segundo a divisão de três chocolates entre cinco crianças.

Comparação entre o resultado do pré-teste e o pós-teste da divisão de três chocolates entre cinco crianças.


Observar os procedimentos de distribuição utilizados, se representam tortas para visualizar a distribuição; se distribuem tortas inteiras, dividindo somente uma, ou se dividem todas as tortas. De que forma escrevem esta resposta.

Somente 2 alunos (15%) acertaram a questão. O restante ou ficou sem resolvê-la ou resolveu de forma inadequada.

7) Se dividirmos 4 tortas entre três crianças, que fração das tortas cada criança vai receber?

Que sentença matemática posso usar para representar essa situação?

Objetivo é perceber, a partir dessas operações, a atitudes que tomam perante a correção da produção de um aluno. E observar como eles operam com frações.

Tabela 7. Distribuição dos alunos segundo a divisão de quatro tortas entre três crianças

Resposta Nº de alunos

Pré-teste (%)

Nº de alunos

Pós-teste (%)

Certa 4 31 7 54

Errada 9 69 6 46

Total 13 100 13 100


24

Gráfico 7: Distribuição dos alunos segundo a divisão de 4 tortas entre três crianças. Divisão de quatro tortas entre três crianças


Observamos que 7 alunos responderam corretamente, sendo que destes 2 responderam 4/3, 4 responderam 1 1/3 e 1 respondeu 1/3 de cada torta.

8) Um aluno deu as respostas abaixo para cinco contas envolvendo frações:

a) 6

1+

6

3

6

2 b)

13

2

8

1

5

1 c)

0

21

35

6

35

27

d) 5

0

9

3

4

3 e)

2

1

4

2

2

1

O que você diria a esse aluno depois da correção?

Tabela 8. Distribuição dos alunos segundo a resposta de um aluno sobre os resultados de cinco operações.


Certa 7 54 8 62

Errada 6 46 5 38

Total 13 100 13 100


25

Gráfico 8. Distribuição dos alunos segundo resposta de um aluno sobre os resultados de cinco operações.

Comparação entre o pré-teste e o pós-teste sobre a correção de cinco operações fracionárias

Fonte:Oautor(2011)

9) Comprei nove goiabas e 3

2 delas tinham bichos. Quantas goiabas

estavam estragadas?

Tabela 9: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com fração.


Certa 2 15 11 85

Errada 11 85 2 15

Total 13 100 13 100


26

Gráfico 9: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com fração.

Comparação entre o resultado do pré-teste e do pós-teste de uma situação problema.


10) Ilustre as frações

3

2 e

3

1 desenhando uma série de bolas que

mostre que 3

2 das bolas são pretas e

3

1 são vermelhas.

Objetivo é que percebam que nesta situação a distribuição deve ser feita em partes com a mesma quantidade de bolinhas, podendo essas partes serem representadas por frações.

Tabela 10: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com números fracionários.


certa 9 69 4 31

errada 4 31 9 69

total 13 100 13 100


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Pré-teste Pós-teste

certa

errada

27

Gráfico 10: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com números fracionários. Comparação entre o resultado do pré-teste e o pós-teste de uma situação problema com números fracionários.


6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esse trabalho teve como objetivo capacitar os alunos do Curso de Formação

de Docentes futuros professores das séries iniciais da Educação Básica, romper

resistências de modo a torná-los capazes de integrar as novas metodologias para

ensinar os conteúdos matemáticos. Buscando através das oficinas a potencialização

pelo acesso e habilidade no uso de diferentes técnicas para facilitar o aprendizado

possibilitando a organização de suas ações pedagógicas dentro da melhor

perspectiva de aprendizagem para seus alunos. A Modelagem Matemática como

ferramenta, incluindo recursos (materiais didáticos manipulativos de aprendizagem),

capazes de produzir e estimular a produção dos professores de diferente maneira,

de forma articulada à proposta pedagógica e a uma concepção interacionista de

aprendizagem, colocando o maior número possível de problemas de

ensino/aprendizagem dos números fracionários, para que os futuros professores

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

pré-teste pós-teste

certa

errada

28

refletissem sobre os principais pontos da introdução do número fracionário no

ensino.

Durante a realização do material didático, o trabalho foi visto pelos alunos

como um momento descontraído de aprendizagem. Com relação às atividades a

atitude e a disposição dos alunos mantiveram-se as mesmas. Essa atitude não

mudou, mesmo durante as correções surgiam discussões acaloradas, quase

sempre, geradas pelo rompimento que propúnhamos com o conhecimento

estabelecido.

Muitos grupos não tiveram dúvidas na execução das questões, porque

acreditavam, naquele momento, que estavam corretos e só foram perceber seus

erros na correção das atividades.

Com relação aos resultados, das questões do pós-teste esperava-se que

todos responderiam corretamente mostrando domínio do conteúdo trabalhado.

Porém podemos perceber que para alguns alunos o conhecimento adquirido

anteriormente, apresentava raízes profundas, e necessitaria de um trabalho, mais

longo para que essas raízes fossem removidas e pudessem crescer novamente com

mais força e em outras direções.

Podemos concluir que as questões inicialmente colocadas foram em parte

respondidas satisfatoriamente, e que é possível fazer um trabalho mais construtivo

com várias concepções na formação dos futuros professores das séries iniciais,

reforçando a necessidade de um trabalho de formação a partir de novos enfoques

didáticos e pedagógicos, para o conceito de número fracionário.

Esperamos que os resultados e as conclusões desta pesquisa contribuam

efetivamente para o desenvolvimento do ensino de frações, tornando-o significativo,

não só para o professor, como também para os alunos. Esperamos ter contribuído

também para a prática pedagógica do professor, independente do conteúdo

abordado, levando-o a refletir sobre as concepções espontâneas de seus alunos,

permitindo várias soluções para um mesmo problema e não a repetição de modelos

pré-determinados para cada tipo de situação. Esperamos também que, com a

prática e o amadurecimento do professor, sua contribuição pessoal e dos alunos

envolvidos tragam contribuições importantes para o processo de ensino

aprendizagem dos números fracionários.

29

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E ELETRÔNICAS:

A virgula no mundo das operações. Disponível

em:<www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1852-8.pdf?>, acesso em

27 dez 2010.

BARBOSA, J.C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o

debate teórico. Anais, 24 Reunião Anual da ANPED (pp. 01-15). Caxambu. 2001.

_____. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, 4, 73-80.

(2004a).

_____. A "contextualização" e a Modelagem na educação matemática do

ensino médio. Recife. Anais, 8º Encontro Nacional de Educação. (2004b).

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática – uma

nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática no ensino. São Paulo:

Contexto, 2000.

BRASIL. Lei nº. 9.394,de 20.12.96: Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional.

Brasília: 1996.

_____. Pró-Letramento: Programa de Formação Continuada de Professores dos

Anos/Séries Iniciais do Ensino Fundamental: Matemática. Brasília : Ministério da

Educação, Secretaria de Educação Básica, 2007.

BURAK, DIONISIO. Modelagem matemática e a sala de aula. In: Encontro

Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, 1., 2004, Londrina. Anais.

Londrina: UEL, 2004. 1 CD-ROM.

30

CARGNIN-STIELER, Marinez. Compreensão de conceitos de matemática e

estatística na perspectiva da modelagem matemática. Disponível

em:<need.unemat.br/3- fórum/artigos/14.pdf >, acesso em: 13 jan. 2011.

CAVALIERI, Leandro. O ensino das frações. Monografia apresentada ao curso

de Especialização em Ensino da Matemática, como requisito parcial para

obtenção do título de Especialista. Umuarama – PR 2005. Disponível

em:<www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid>,

acesso em 14 jan. 2011.

Ciências & Cognição - A modelagem matemática através de conceitos.

Disponível em: <pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S1806...script=sci>, acesso em

13 jan2011.

DRUZIAN, Maria Eliana Barreto. Jogos como recurso didático no ensino

aprendizagem de frações. Disponível

em:<http://sites.unifra.br/Portals/35/Artigos/2007/Vol_1/V-JOGOS>, acesso em: 03

abril 2011.

GUIMARÃES, Luiz Carlos e CABANAS Maria Inmaculada Chao. Laboratório de

Pesquisa e Desenvolvimento em Ensino de Matemática e Ciências - LIMC.

Disponível em:<http://limc.ufrj.br/limc/images/b/bd/Manual_bingo_A4.pdf>, acesso

18 nov 2010.

LORENZATO, S. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos

manipuláveis. In: LORENZATO, S. (org). O laboratório de ensino de matemática na

formação de professores. São Paulo: Autores Associados, 2006.

Programa Educ@r – Curso para professores de 1ª a 4ª série do Ensino

Fundamental. Disponível em <http://educar.sc.usp.br/matematica/matematica.html>,

acesso em: 01 fev 2011.

31

SEED/PR. Diretrizes curriculares da educação básica do Paraná: Matemática.

Secretaria de Estado da Educação. Curitiba: SEED, 2008. Disponível

em:<http//www.diaadiaeducacao.seed.pr.gov.br>, acesso em: 22 dez. 2010.

SILVA, MJF DA. Sobre a introdução do conceito de número fracionário.

Disponível em: <www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/maria_jose.pdf> acesso

em 17 jan. 2011.

SOARES, M.R. Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino e

Aprendizagem no Ensino Fundamental I. 2007. 46 f. Monografia (Especialização

em Instrumentalização para o Ensino de Matemática). Universidade Tecnológica

Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2007.

32

ANEXO 1

Registro das Ações Realizadas nas Oficinas

Período Ação

16/08 2 aulas

Apresentação do projeto ao Diretor, Equipe Pedagógica e alunos.

Números Racionais: Uma abordagem metodológica de ensino utilizando a Modelagem Matemática.

23/08 2 aulas

Apresentação e resolução de problemas do cotidiano envolvendo números racionais.

Relacionamento de problemas do cotidiano com as frações utilizadas na escola, utilizando a idéia de Modelagem Matemática.

27/08 4 aulas

Construção histórica dos conceitos básicos de Frações e Modelagem Matemática.

Pesquisa desenvolvida no laboratório de informática abordando história das Frações e da Modelagem Matemática.

30/08, 03/09, 13/09 17/09. 8 aulas

Confecção de materiais manipulativos.

Confecção do material, desenvolvidos em grupos, para representar as frações e os jogos.

20/09, 24/09, 04/10 08/10 8 aulas

Aplicação de atividades com o uso do material manipulativo confeccionado pelos alunos cursistas.

Acompanhamento das atividades feitas em grupo onde cada grupo apresentou a aplicabilidade do material confeccionado e sua função dentro das Frações.

18/10, 22/10, 08/11 19/11 8 aulas

Desenvolvimento das atividades.

Atividade desenvolvidas através de jogos sendo que cada grupo apresentou a aplicabilidade do material para desenvolver o conteúdo programado.

Total 32 horas

1º - Caracterização da atividade de Modelagem Matemática

Suas fases; Escolha do Tema; levantamento das questões a partir desse

Tema; as possibilidades de resolução e validação; como poderão ser utilizados na

sala de aula.

2º - Aspectos da atividade de Modelagem Matemática

33

Principais aspectos das atividades; natureza; organização da sala de aula;

discussão entre aluno e professor neste ambiente; comunicação no ambiente de

Modelagem.

3º - O fazer Modelagem Matemática

Preocupação do processo de fazer a atividade de Modelagem Matemática

na sala de aula.

4º - Reflexão sobre as possibilidades

Discussão/reflexão sobre as possibilidades da Modelagem Matemática no

ensino de Matemática; avaliação sobre essa pratica no processo ensino-

aprendizagem.

Histórico sobre as frações

Apresentação das frações;

Leitura das frações;

Representação das frações;

Para que servem as frações;

Principais erros cometidos pelos alunos quando trabalham com esse

conteúdo.

Material manipuláveis

1º - Tiras retangulares representando as frações

Comentário sobre as atividades desenvolvidas com esse material.

- operações de adição e subtração com os mesmos denominadores e com

denominadores diferentes;

- frações equivalentes;

2º - Círculos de cores diferentes para representar as frações.

3º - Operações com sobreposição de frações

Utilização de peças construídas com folhas transparentes e sobrepondo as

mesmas para efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação e de divisão.

34

4º - Atividades complementares para melhor entendimento dos alunos

através dos seguintes jogos:

- Domino das frações;

- Bingo das frações;

- Baralho das frações.

Relato do projeto de implementação

A Implementação Pedagógica com os alunos do 4º ano do Curso de

Formação de Docentes do meu Colégio e do município foi uma experiência muito

gratificante, pois todos tiveram total liberdade de perguntar e tirar suas dúvidas

quanto ao conteúdo proposto em Unidade Didática que é sobre Números Racionais

mais especificamente as Frações.

Durante a aplicação das atividades propostas em minha Produção Didático

Pedagógica pude observar que maioria dos alunos tinham muita insegurança em

trabalhar Frações, pois alegaram que este conteúdo sempre foi visto de forma

bastante vaga e superficial dificultando assim sua compreensão e aprendizagem,

portanto, para trabalhar esse conteúdo com seus futuros alunos iriam ter bastante

dificuldades, durante o desenvolvimento do curso surgiram as dificuldades como:

- não saber quando que uma fração é maior que a outra;

- como representar uma fração;

- que para representar uma fração o todo ou o inteiro tem que ser dividido do

mesmo tamanho ou com a mesma quantidade;

- muita dificuldade quanto às operações, pois não conseguem entender que

cada operação tem uma maneira diferente de ser resolvida.

Isso foi muito bom, porque alguns que se sentiam constrangidos por não

compreender o conteúdo passaram a entender, compreender e assimilar o mesmo

através das atividades propostas no meu material didático e até tiveram segurança

de aplicar as mesmas atividades entre as outras equipes, pois o meu trabalho foi

desenvolvidos entre equipes.

Por isso é importante lembrarmos, que mesmo após nossa graduação

devemos estar sempre nos atualizando, nos capacitando, seja através de pesquisas,

cursos, seminários, grupos de estudos onde podemos estar trocando experiências

com nossos colegas.

35

ANEXO 2

PRÉ-TESTE

Questões

1) Que boa experiência você teve durante sua aprendizagem de frações?

2) O que você entende por frações? Para que servem?



1ou

4

1?

O objetivo é observar como eles se colocam perante o conhecimento que

têm, e se conseguem explicitar as suas dificuldades.

5) Como você se sai quando trabalha com frações?

O objetivo é verificar que tipo de procedimento eles usam para resolver essa

situação problema.

6) Divida os três chocolates entre as cinco crianças. Quanto cada criança vai

receber?

Observar os procedimentos de distribuição utilizados, se representam tortas

para visualizar a distribuição; se distribuem tortas inteiras, dividindo somente uma,

ou se dividem todas as tortas. De que forma escrevem esta resposta.

7) Se dividirmos 4 tortas entre três crianças, que fração das tortas cada

criança vai receber?

Que sentença matemática posso usar para representar essa situação?

36

Objetivo é perceber, a partir dessas operações, a atitudes que tomam

perante a correção da produção de um aluno. E observar como eles operam com

frações.


a) 6

1+

6

3

6

2 b)

13

2

8

1

5

1 c)

0

21

35

6

35

27

d) 5

0

9

3

4

3 e)

2

1

4

2

2

1



2 delas tinham bichos. Quantas goiabas

estavam estragadas?

10) Ilustre as frações 3

2 e

3

1 desenhando uma série de bolas que mostre

que 3

2das bolas são pretas e

3

1são vermelhas.

Objetivo é que percebam que nesta situação a distribuição deve ser feita em

partes com a mesma quantidade de bolinhas, podendo essas partes serem

representadas por frações.

37

ANEXO 2.1

PÓS-TESTE

Questões

1)Que boa experiência você teve durante sua aprendizagem de frações

nesse curso? 2) O que você entende por frações? Para que servem?



1ou

4

1?

5) Como você se sentirá quando for trabalhar com as frações? 6) Divida os três chocolates entre as cinco crianças. Quanto cada criança vai

receber?

7) Se dividirmos 4 tortas entre três crianças, que fração das tortas cada criança vai receber? Que sentença matemática posso usar para representar essa situação?


2 delas tinham bichos. Quantas goiabas estavam

estragadas?


a) 6

1+

6

3

6

2 b)

13

2

8

1

5

1 c)

0

21

35

6

35

27

d) 5

0

9

3

4

3 e)

2

1

4

2

2

1


10) Ilustre as frações 3

2 e

3

1 desenhando uma série de bolas que mostre

que 3

2das bolas são pretas e

3

1são vermelhas.

38

ANEXO 3

Como o objetivo principal desse trabalho é ver como se efetuam as

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.

Para isso, vamos utilizar as noções de: frações iguais (ou equivalentes) e de

simplificação de frações, apresentadas anteriormente.

Utilizaremos as idéias básicas das operações simples, sempre com o uso de

desenhos e nunca decorando regras e, só depois deveremos usar as técnicas

operatórias.

Adição de frações com denominadores iguais

5

2 +

5

1 =

5

3

Registro do aluno

O aluno deverá trabalhar com o retângulo que foi dividido em cinco partes,

separar duas peças, e depois, uma peça do mesmo retângulo. Após, deverá fazer a

contagem.

Professor:

Com outras atividades semelhantes a essa o aluno deverá perceber que

somando frações com denominadores iguais, o que muda é somente o numerador.

2

1+

2

1 =

2

2

Professor:

Você pode trabalhar de forma que o aluno também perceba que quando o

resultado da soma der igual ao denominador, ela representa um inteiro.

Adição de frações com denominadores diferentes

4

1+

6

1 =

12

5

39

Registro do aluno

O aluno deverá separar as peças de cada fração acima e procurar nos

demais retângulos, quais peças se sobrepõe sobre o 1/4 e sobre 1/6 ao mesmo

tempo;

Ele deverá perceber que as partes que se sobrepõe é do retângulo dividido

em doze partes, onde cabem três peças no 1/4 e duas peças no 1/6;

Após determinar as peças é só contar o numero delas que foi necessário

sobrepor, e teremos o resultado.

Professor:

É importante que o aluno perceba que para somar frações com

denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e

aplicamos a regra anterior.

Observação:

Este método é bom porque mostra a relação entre somar frações e as

frações equivalentes, e deve ser usado com os alunos, mas além de entendermos o

que estamos fazendo, é sempre útil conhecermos técnicas práticas para fazer

contas. No caso da adição de frações, vamos continuar usando, é claro, a idéia de

encontrar frações equivalentes às originais, mas com denominadores iguais, só que

ao invés de fazermos listas e as compararmos, vamos usar uma técnica mais direta.

Veja:

Queremos somar 6

5 e

10

3;

Para achar frações equivalentes a 6

5 e a

10

3, o método mais direto é

multiplicar o numerador e o denominador de cada uma delas por um mesmo

número, diferente de zero;

6

5=

a

a

.6

.5 e

10

3 =

b

b

.10

.3

40

Agora perguntamos: “6 . a = 10 . b, porque as duas frações têm que ter o

mesmo denominador. Quais são estes números a e b?”. Há muitas respostas, por

exemplo, “6 . 5 = 10 . 3”, mas há uma resposta que é bem fácil de achar, não temos

que procurar muito: “6 . 10 = 10 . 6”. Se multiplicarmos um denominador pelo outro,

vai dar o mesmo resultado que se multiplicar o outro pelo um!

Agora sim. A fração equivalente a 6

5 é encontrada multiplicando-se seu

numerador e seu denominador por 10; a fração equivalente a 10

3 é encontrada

multiplicando-se seu numerador e seu denominador por 6;

6

5 .

10

10 =

60

50 e

10

3 .

6

6 =

60

18, de modo que

6

5 +

10

3 =

60

50 +

60

18 =

60

68

Vamos resumir esta técnica para somar frações:

O denominador do resultado vai ser o produto dos dois denominadores (no

caso acima, 6 .10 = 60)

Multiplique “em cruz” os numeradores e denominadores, e some os

resultados:

6

5 X

10

3 5.10 + 3.6=50 + 18 = 68, que é o numerador do resultado.

Assim: 6

5+

10

3=

10.6

10.5+

10.6

6.3=

60

68

60

18

60

50

A vantagem de se usar com os alunos, no inicio, esta notação mais longa, é

que fica sempre possível ver a relação com frações equivalentes, mas à medida que

eles adquiram segurança, pode-se sugerir uma notação mais abreviada, mais

resumida:

60

68

60

6.310.5

10

3

6

5

Usando letras para resumir e expressar de forma simbólica:

41

db

cbda

d

c

b

a

.

..

Subtração de frações com denominadores iguais

5

1

5

4 =

5

3

Registro do aluno:

O aluno deverá trabalhar com o retângulo que foi dividido em cinco partes,

separar quatro peças, retira uma peça. Após, deverá fazer a contagem.

Professor:

Com outras atividades semelhantes a essa o aluno deverá perceber que

subtraindo frações com denominadores iguais, o que muda é somente o numerador

Subtração de frações com denominadores diferentes

6

1

3

1

2

1

Registro do aluno:

O aluno deverá separar as peças de cada fração acima e procurar nos

demais retângulos, quais peças se sobrepõe sobre 1/2 e sobre 1/3 ao mesmo

tempo;

Ele deverá perceber que as partes que se sobrepõe é do retângulo dividido

em seis partes, onde cabem duas peças no 1/3 e três peças no 1/2;

Após determinar as peças é só tirar e contá-las, e teremos o resultado.

Professor:

Quando os denominadores são diferentes, podemos torná-los iguais usando

o mesmo procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a

subtração:

42

Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição:

Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as

frações ao mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o

denominador.

Observação:

Tudo que dissemos sobre a adição, vale também para a subtração:

60

18

60

12

60

30

10.6

6.2

10.6

10.3

10

2

6

3

Para somar frações com números inteiros, basta lembrar que números

inteiros podem ser representados como frações com denominador 1:

5

23

5

3

5

20

1.5

1.3

5.1

5.4

5

3

1

4

5

34

Estamos certos de que se você examinar esta conta, pensando sobre ela,

vai criar um modo mais pratico de somar números naturais e frações.

Finalmente, se você tiver que somar mais de duas frações, nossa sugestão

é que some duas, depois mais outra, e assim por diante, ou que use o método de

procurar frações equivalentes, para somar todas de uma vez.

Sugestões Materiais e atividades

Para as próximas atividades vamos confeccionar quadradinhos de forma que

possamos trabalhar com a multiplicação e divisão de frações.

Construção do material

43

Material:

Os quadradinhos podem ser confeccionados com folhas de EVA. Essa

construção deverá ser feita pelos próprios alunos em sala de aula. Os quadradinhos

têm uma importância muito grande para a serem utilizados para o calculo da

multiplicação de frações.

Multiplicação de frações.

15

8

5

4

3

2x

Registro do aluno:

O aluno deverá trabalhar com três quadradinhos sendo dois azuis e um

branco para montar um retângulo e formar a fração 2/3, e depois, cinco

quadradinhos, quatro verdes e um branco para montar o outro retângulo e formar a

outra fração. Após, deverá fazer a contagem das peças coloridas, e teremos o

resultado.

Operações com sobreposição de frações

Utilizando as peças construída com papel celofane, ou papel vegetal

pintado, da mesma cor.

Adição:

Sobrepondo as duas figuras, observa-se que: 9

4 e

3

1 representa a parte em azul-

escuro, na qual as cores azul-claro se sobrepõem. Logo, a parte azul-escuro da

figura corresponde a 27

4do todo essa parte é contada duas vezes e as outras partes

azul-claro é contada uma única vez, ficando assim:

44

27

21

3

1

9

4

27

21

27

5

27

8

27

4

27

4

Subtração

Na subtração as figuras são sobrepostas da mesma maneira só que o

resultado é contado somente a parte azul-claro que ficou nos9

4, ou seja:

8 - 5 = 3

Logo: 27

3

27

9

27

12

3

1

9

4

9

4 –

3

1 =

27

3

27

9

27

12

Multiplicação:

Sobrepondo as duas figuras, o resultado visual obtido será o seguinte:

45

Observa-se que 4/9 de 1/3 representa a parte em azul-escuro, na qual as

cores azul-claro se sobrepõem. Logo, a parte azul-escuro da figura corresponde a

4/27 do todo.

Logo: 27

4

3

1

9

4x

9

4 x

3

1 =

27

4

Divisão

Sobrepondo as duas figuras de frações.

Por exemplo, quando se propõe ao aluno calcular 9

4 :

3

1, pergunta-se a ele

quantas vezes 9

4 cabe em

3

1:

9

12

3

1:

9

4

9

4 :

3

1 =

9

12

46

No outro exemplo, quando se propõe calcular 1/3 : 4/9, pergunta-se a ele

quantas vezes 1/3 cabe em 4/9:

9

12

3

1:

9

4

3

1 :

9

4 =

12

9

Avaliação:

A avaliação por meio de relatórios, analisando o grau de desenvolvimento do

aluno bem como seu processo de evolução, ou seja, o que ele realmente aprendeu

através da Modelagem Matemática.

O trabalho com problemas pode ser desencadeado por varias abordagens,

podemos trabalhar com um jogo que apresente problema para os participantes;

podemos trazer problema antigo, resgatando a historia da matemática, e assim por

diante. O que pretendemos com esse trabalho é usar a Modelagem Matemática

como fator gerador de problemas. Como já foi definido anteriormente, a Modelagem

consiste na transformação de problemas da realidade em problemas matemáticos e

interpretação de suas soluções na linguagem real (BASSANEZI, 2002),

desenvolvendo nos alunos, dessa forma, habilidades que auxiliem na resolução

desses problemas.

47

ANEXO 4

Desenvolvimento das atividades durante a implementação do projeto na escola

Alunos produzindo o material didático Alunos construindo o material pedagógico

Dominó das frações construído pelos alunos Baralho das frações construído pelos alunos

Construção dos círculos fracionários Construção do Bingo das frações

48

ANEXO 5

Relato das atividades do GTR

Síntese da temática 1

No fórum foi proposta uma discussão sobre como o Projeto de Intervenção

Pedagógica poderia contribuir para melhorar a qualidade de ensino numa

aprendizagem mais significativa para o professor e aluno e após a leitura do referido

projeto, os participantes interagiram uns com os outros achando interessante

trabalhar as Frações através da Modelagem Matemática e a utilização de Material

Didático e Manipulável favorecendo assim o aprendizado do conteúdo de Frações

mais interessante para o aluno. No diário foi solicitado aos cursistas o seguinte: os

conteúdos citados na Estratégia de Ação do Projeto de Intervenção que seriam

trabalhados através de Material Didático e Manipulativo poderiam contribuir com a

prática pedagógica de cada um em sala de aula de forma mais significativa para o

aluno. E segundo as respostas dadas por eles é que trabalhar as Frações da

maneira que está no Projeto de Intervenção irá contribuir muito com suas práticas

pedagógicas e o uso de Material Didático e Manipulativo é de suma importância para

o ensino deste conteúdo.

Síntese da temática 2

O fórum desta temática tinha como texto para leitura a Produção Didático-

Pedagógica e foi solicitado aos cursistas uma socialização com os colegas a

respeito da referida Produção e alguns disseram que as atividades sugeridas nessa

produção é de extrema importância visto que apresentam significados

49

fundamentados na Modelagem Matemática sendo bastante elogiada pelos colegas

cursistas pela elaboração desta Produção.

No diário, as considerações sobre a Produção Didática alguns disseram que

esta apresenta atividades muito interessantes sempre com um resgate histórico do

tema. Figuras, materiais e textos muito bem produzidos e elaborados, inseridos de

tal maneira que fica muito fácil de acompanhar a sequência do trabalho. Objetivos

claros, estratégias amplas e referências de grande relevância fazem com que

o projeto culmine num excelente caderno de atividades e fonte de pesquisa para

qualquer professor e que a construção de materiais manipulativos faz com que as

aulas de matemática aconteçam de maneira mais dinâmica, atrativa e interessante.

Consequentemente os alunos se apropriam dos conteúdos com muito mais

facilidade e dificilmente esquecerão aquilo que lhes fora ensinado.

Enfim, nesta temática houve ótimas contribuições por parte dos cursistas e

que é difícil citar todas neste espaço, só posso deixar aqui meu agradecimento a

todos.

Síntese da Temática 3

Nesta temática o texto para leitura foi as ações de implementação e tivemos

dois fóruns, o primeiro o título foi “Vamos Refletir e Opinar” onde coloquei um

pequeno comentário de como foi minha Implementação Pedagógica na minha

escola cujo trabalho foi desenvolvimento com os alunos do 4º ano do Curso de

Formação de Docentes e aqui os cursistas me parabenizaram por este trabalho e

outros disseram que precisamos estar sempre estudando mesmo depois de ter

terminado a graduação, pois foi através de cursos de formação continuada que

muitos aprenderam a trabalhar melhor os conteúdos enriquecendo assim suas

aulas. E no segundo fórum que é Vivenciando a Prática, os cursistas apresentaram

ótimas sugestões de trabalho utilizando a prática e a construção de material

manipulativo para o conteúdo de frações. Também aqui quero deixar meu muito

obrigado a todos pelas excelentes contribuições deixadas pelos cursistas.

50

Considerações finais

Em primeiro lugar quero deixar meus sinceros agradecimentos a cada um de

vocês que sem medir esforços para estar contribuindo em meu GTR que para mim

como professor PDE foi uma experiência nova e ao mesmo tempo muito grandiosa,

pois tive o privilégio interagir com professores de diversas escolas, cidades e NRE

diferentes e onde as dificuldades e necessidades são praticamente as mesmas

vivenciadas por todos.

Quanto ao trabalho cujo título é “Números Racionais: Uma abordagem

metodológica utilizando a Modelagem Matemática” espera-se ter atendido a todos

dentro dos objetivos propostos, pois o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola

e a Produção Didático-Pedagógica procurou-se levar a todos através de atividades

numa sequência didática os conteúdos de Frações de maneira significativa,

prazerosa e atrativa para que os professores possam estar desenvolvendo com seus

alunos essa metodologia com a história dos conteúdos frações através da

Modelagem Matemática.

E, finalmente, quanto aos fóruns e diários todos os participantes que

deixaram suas contribuições e interagiram com os demais colegas atenderam as

expectativas.

APRENDIZAGEM DE NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA …€¦ · 1- INTRODUÇÃO Ao se atuar como professor...

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