Apresentação - Conquista de Direitos Civis, Políticos ... · Capítulo 5 – Mercado de Capitais...

1

Apresentao

O Programa de Certificao de Profissionais do Instituto Educacional BM&FBOVESPA foi lanado em janeiro

de 2005 e constitui um dos requisitos bsicos do Programa de Qualificao Operacional (PQO).

A partir de dezembro de 2009, o Instituto Educacional expandiu o programa oferecendo certificao para as

reas de atuao dos profissionais. Esse novo formato estabelece um processo de atualizao contnua no

exerccio das atividades baseado em conhecimentos tcnico e normativo reconhecidos pelo mercado

financeiro. Com essa inovao, a Bolsa oferece aos participantes do mercado um programa de

desenvolvimento profissional que lhes permita construir carreira na indstria de intermediao.

A primeira verso do material de estudo para a prova de Certificao de Profissionais do Instituto

Educacional BM&FBOVESPA foi disponibilizada em seu site em maio de 2011. Todas as questes da prova

possuem a resposta correta discutida neste material.

Em janeiro de 2012, o Instituto Educacional BM&FBOVESPA disponibilizou a segunda verso deste material

de estudo que ser referncia para as provas realizadas aps 31 de maro de 2012. No rodap do material,

voc encontra a informao da ltima data de atualizao.

Neste trabalho, alm da realizao de ajustes ortogrficos e padronizao de valores e expresses, foram

considerados os ofcios circulares e comunicados externos divulgados pela BM&FBOVESPA e instrues

normativas, regulamentos, comunicados e decretos emitidos por instituies reguladoras do mercado. A

segunda verso do material de estudo datada em 31 de janeiro de 2012. No foi alterada a estrutura

bsica de captulos e nestes foram mantidas as divises de itens.

No site do Instituto Educacional BM&FBOVESPA, junto ao material de estudo, tambm divulgado um

quadro descritivo com as principais alteraes nos respectivo captulos, como forma de orientar melhor a

diferenciao entre as verses do material de estudo.

O objetivo deste material disponibilizar todo o contedo das provas de certificao de todas as reas. A

verso 2 possui 596 pginas, sendo 15 captulos divididos em 14 macrotemas (Mercados Derivativos A e B),

conforme apresentado no quadro a seguir.

Cada captulo est dividido em itens que representam os principais temas de estudo. Na segunda pgina de

cada captulo, voc encontra o quadro de orientaes de estudo para a prova de certificao do PQO

BM&FBOVESPA. Esse quadro relaciona cada prova da certificao aos itens de cada captulo. Voc deve

identificar a prova que ir fazer e estudar os tpicos sugeridos em cada um.

Bons estudos e boa prova!!!

2

Captulo Pgina

Captulo 1 Matemtica Financeira 50

Captulo 2 Introduo Economia e aos Indicadores Financeiros 22

Captulo 3 Aspectos Institucionais 30

Captulo 4 Mercado e Ttulos de Renda Fixa no Brasil 18

Captulo 5 Mercado de Capitais 58

Captulo 6 Parte A Mercados Derivativos 55

Captulo 6 Parte B Mercados Derivativos 46

Captulo 7 Fundos de Investimentos 15

Captulo 8 Introduo e Gesto de Risco 47

Captulo 9 Aspectos sobre Tributao no Mercado Financeiro 34

Captulo 10 Regulamento de Operaes Segmento Bovespa 61

Captulo 11 Estrutura e Processo de Liquidao na CBLC 79

Captulo 12 Regulamento de Operaes Segmento BM&F 33

Captulo 13 Estrutura e Processo de Liquidao na Cmara de Derivativos 19

Captulo 14 Cadastro, Segmentos BM&F e Bovespa 29

Nmero total de Pginas 596

Captulo 1 Matemtica Financeira

1.1 Apresentao do captulo

A matemtica financeira trata da comparao de valores monetrios ao longo do tempo.

Atravs de seu estudo, podemos analisar e comparar alternativas de investimento e

financiamento, como:

qual o valor de R$100.000,00 daqui a um ano?

como comparar valores no tempo (R$523.000,00 hoje contra R$532.400,00 daqui a um ms ou com R$597.600,00 daqui a um ano)?

quais as alternativas para tomar dinheiro emprestado, considerando os custos embutidos que voc dever arcar para saldar as suas dvidas futuras?

O objetivo deste captulo apresentar os conceitos bsicos necessrios para o bom

entendimento das principais frmulas da matemtica financeira, seus elementos e seus

respectivos clculos. Ao final, voc ter visto:

a definio de juro e de taxas de juro;

os regimes de capitalizao;

a diferena das taxas de juro nominais, efetivas e reais;

uma viso geral da anlise dos diferentes fluxos de caixa, do valor presente lquido

(VPL) e da taxa interna de retorno (TIR).

Na pgina seguinte, voc encontrar o quadro de orientaes de estudo para a prova de

certificao do PQO BM&FBOVESPA deste captulo. Identifique a prova que ir fazer e estude

os tpicos sugeridos.

Bons estudos!!!

Quadro de orientaes de estudo para a prova de certificao do PQO BM&FBOVESPA

Tipos de provas Item 1.2

Pg. 1 Item 1.3

Pg. 4 Item 1.4 Pg. 26

Item 1.5 Pg. 28

Item 1.6 Pg. 37

Item 1.7 Pg. 39

Operaes BM&FBOVESPA

Operaes segmento Bovespa

Operaes segmento BM&F

Comercial

Compliance

Risco

Back Office BM&FBOVESPA

Back Office segmento Bovespa

Back Office segmento BM&F

ltima atualizao: 31/01/12 Copyright Associao BM&F Direitos de edio reservados por Associao BM&F. A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.

1 MATEMTICA FINANCEIRA

1.2 Juro e taxas de juro

O juro representa o custo do dinheiro tomado emprestado ou, analogamente, a remunerao

pelo sacrifcio de adiar uma deciso de gasto/consumo e aplicar o capital (C0) por certo

nmero de perodos (n).

Definies

Capital: valor aplicado por meio de alguma operao financeira. Tambm conhecido como principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. Em geral, o capital costuma ser denotado por C0. Nmero de perodos: tempo, prazo ou perodo em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) em que o capital aplicado. Em geral, o nmero de perodos costuma ser simbolizado por n.

Suponha que voc resolva vender o seu apartamento pelo valor de R$100.000,00 e receba

uma proposta de compra por R$98.000,00 a vista quando da emisso do boleto de compra-

venda ou R$80.000,00 nesse ato e mais R$20.000,00 na escriturao, que ser realizada 30

dias depois. Qual ser o melhor negcio para voc: receber R$98.000,00 hoje ou as duas

parcelas sugeridas pelo comprador? Para resolver a questo precisamos entender o que so

juros.

Qual a diferena entre juro e taxa de juro? Juro (J): valor expresso em dinheiro (em reais, por exemplo) referente a determinado capital e para determinado perodo. Pode tambm ser definido como a remunerao do capital, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores em troca do uso do dinheiro. Ao fazer uma aplicao financeira, o montante final (Cn) resgatado aps n perodos deve ser igual ao capital inicial (C0) aplicado mais os juros (J) ganhos na operao. Logo, podemos escrever:

Montante final = Capital inicial + J

ou: Cn = C0 + J

Portanto: J = Cn - C0

Taxa de juro (i): a porcentagem aplicada ao capital inicial que resulta no montante de juros (J). Conceitualmente, a taxa de juro o custo de oportunidade do capital, isto , a taxa paga/recebida para que um capital seja aplicado e resgatado no futuro e no gasto no presente. A taxa de juro pode ser calculada da seguinte forma:

1

C

Ci

0

n

A taxa de juro sempre expressa em porcentagem; para tal, basta multiplicar o resultado por 100%.



A partir do clculo da taxa de juro, possvel calcular diretamente o montante de juros. Observe:

sendo a frmula da taxa de juro dada por:

1

C

Ci

0

n

esta frmula pode ser escrita como:

0

0n

0

0

0

n

C

CCi

C

C

C

Ci

sendo o montante de juro calculado como: 0n CCJ

substituindo J na frmula da taxa de juros:

0C

Ji

Portanto, pode-se obter o montante de juros por: 0CiJ

Assimilado este conceito, voc optaria por receber R$98.000,00 a vista ou R$80.000,00 hoje e mais R$20.000,00 em um ms? Logicamente, a resposta depender da taxa de juro praticada no mercado. Conforme a taxa vigente, poder ser mais vantajoso receber R$98.000,00 a vista e aplic-los em uma instituio financeira durante um ms ou receber R$80.000,00 hoje, aplic-los por um ms e, no final desse perodo, receber mais R$20.000,00 do comprador. Observe que, para tomar essa deciso, preciso comparar um valor atual com um valor em uma data futura.

Exemplos de clculos de juros, taxas de juro e do capital

a) Comprei um ttulo por R$98.039,22 que vai pagar R$100.000,00 em um ms. Qual a taxa mensal da aplicao e o montante de juros recebido?

Soluo: pelos dados do problema:

C0 = R$98.039,22

Cn = R$100.000,00

n = 1 ms

i = ?

J = ?



ms ao 0,0199i

198.039,22

100.000,00i 1

C

Ci

0

n

Para obter a taxa em porcentagem, basta multiplic-la por 100: 0,0199 x 100% = 1,99% ao ms.

J = 100.000,00 98.039,22 = 1.960,78

Ou, pela frmula direta: 1.960,7898.039,220,0199J

Repare que, ao calcular a taxa de juro, no resultado est especificada a periodicidade da taxa,

o que muito importante. No caso, como a aplicao foi de um ms, a taxa calculada a taxa

mensal, ou ao ms.

b) A taxa de juro igual a 20% ao ano. Qual o valor, hoje (C0), de um ttulo cujo valor de

resgate R$50.000,00 e que vence daqui a um ano?

Soluo

O enunciado do problema nos diz que:

C0 = ?

Cn = R$50.000,00

n = 1 ano

i = 20% ao ano

67,666.41C

1C

50.000,000,20 1001

C

Ci

0

00

n

Ou seja, se uma aplicao for feita hoje no valor de R$41.666,67 taxa de 20% ano, aps um ano ser resgatado R$50.000,00.



Utilizando a frmula para calcular a taxa de juro,

1

C

Ci

0

n , o valor futuro pode ser

facilmente encontrado:

i1CC 0n

Pelos dados do exemplo anterior, tem-se:

00,000.50C0,20167,666.41C nn x

O montante final (C0) obtido na aplicao financeira tambm conhecido como VALOR FUTURO (VF).

Exemplo: se eu aplicar R$50.000,00 por um ano taxa de juro de 13% ao ano, qual o valor

futuro do resgate?

00,500.56C0,13100,000.50C nn

Neste caso, o montante de juros 00,500.600,000.500,13J , que a diferena entre

o capital aplicado e o valor futuro esperado.

1.3 Regimes de capitalizao

As taxas de juro foram calculadas apenas para um nico perodo, entretanto, para resolver problemas de clculo de taxas de juro em dois ou mais perodos necessrio trabalhar com a noo de regime de capitalizao.

Definies

Regime de capitalizao: a forma como a taxa de juro incide sobre o capital inicial em vrios perodos de tempo.

possvel destacar os seguintes regimes de capitalizao:

Regime de Capitalizao Simples: os juros de cada perodo so sempre calculados em relao ao capital inicial (C0);

Regime de Capitalizao Composta: os juros de cada perodo so calculados com base no capital inicial (C0), acrescido dos juros relativos aos perodos anteriores.



A taxa de juro do Regime de Capitalizao Simples conhecida como taxa de juro simples. J no Regime de Capitalizao Composta, definida como taxa de juros compostos.

Algumas caractersticas so iguais nos dois regimes de capitalizao:

os juros so pagos ou recebidos ao final de cada perodo de capitalizao;

o capital, aplicado ou emprestado, capitalizado a cada perodo de tempo;

os perodos de tempo so discretos, isto , so pontuais; por exemplo: dias, meses e anos.

A seguir, sero detalhados os regimes de capitalizao.

REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES OU JUROS SIMPLES

No regime de capitalizao simples, como dito anteriormente, as taxas de juro (i)

denominadas de juro simples recaem sempre sobre o capital inicial (C0). Dessa forma, ao

resgatar a aplicao corrigida por juros simples, o montante final (Cn) ou valor futuro (VF)

ser o capital inicial depositado acrescido do montante de juros ganhos nos n perodos em que

o capital ficou aplicado.

Para entender o funcionamento do regime de capitalizao simples, suponha que voc aplicou

R$10.000,00, taxa de juro simples de 2% ao ms (a.m.), por quatro meses, corrigindo o

capital sempre no fim de cada ms. Qual o montante final da aplicao? Vamos acompanhar

esta operao passo a passo:

Perodo Capitalizao Frmula

Data 0

(dia da

operao)

C0 = R$10.0000

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 4 meses

No h correo do capital inicial, que

ocorrer somente a partir do primeiro

ms da aplicao.

Ms 1 1C = valor futuro (VF) ao final do ms 1 i11CC

CiCC

01

001



200.1002,1000.10C

02,011000.10C

000.100,02000.10C

1

1

1

Ms 2

2C = valor futuro (VF) ao final do ms 2

400.1004,1000.10C

04,01000.10C

02,021000.10C

02,00,02110.000C

10.00002,010.00002,010.000C

2

2

2

2

2

i

ii

ii

21CC

1CC

CCCC

02

02

0002

Ms 3


600.1006,1000.10C

06,01000.10C

02,03110.000C

02,002,02110.000C

000.1002,002,02110.000C

3

3

3

3

3

i31CC

ii21CC

Cii21CC

03

03

003

Ms 4


800.1008,1000.10C

08,01000.10C

02,04110.000C

02,002,03110.000C

000.1002,002,03110.000C

4

4

4

4

4

i41CC

ii31CC

Cii31CC

04

04

004

Note que, a cada ms, as taxas de juro recaem sempre sobre o capital inicial (i x C0) em

parcelas que so somadas ao valor futuro do ms anterior, at chegar ao valor final de resgate

(C4). Assim, a cada ms, o valor do montante de juros novos sempre o mesmo (neste

exemplo, igual a R$200,00).



Assim podemos definir a expresso matemtica de Capitalizao Simples para um nmero n de perodos como:

ni1CC 0n

onde:

C0 = valor presente (capital inicial)

Cn = valor futuro aps n perodos

n = nmero de perodos

i = taxa de juro

Importante

O prazo da operao (nmero de perodos n) e a taxa de juro (i) devem ser expressos na mesma unidade de tempo. Caso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ano, o nmero de perodos deve se referir quantidade de anos.

Exemplo de regime de capitalizao simples

Ao aplicar um montante de R$1.000,00, taxa de juro de 3% a.m., por sete meses, qual o

valor de resgate desta operao?

Soluo: substituindo os valores dados no problema, na frmula de capitalizao simples,

temos:

210.121,1000.1C

21,01000.1C

703,01000.1C

ni1CC

7

7

7

0n

Dessa forma, aps sete meses, taxa de juro simples de 3% ao ms, o valor de resgate ser de R$1.210,00.

O montante de juros somado a cada ms ao capital inicial de:

J = i x C0 = 0,03 x 1.000 = 30 por ms

No total dos sete meses:

J = n x i x C0 = 7 x 0,03 x 1.000 = 210

que justamente o montante adicionado ao capital inicial para chegar ao valor de resgate.



VARIVEIS DA FRMULA DE JUROS SIMPLES

A partir da frmula de capitalizao simples, possvel extrair outras trs frmulas muito teis

para os clculos financeiros. Observe a seguir:

1) Valor presente

Para encontrar a frmula do valor presente (ou capital inicial) a partir da frmula do valor

futuro na capitalizao simples, basta isolar o termo C0 na equao:

ni1C

C n0

2) Taxa de juro

Conhecendo o valor inicial, o valor final e o prazo da aplicao, possvel encontrar a taxa de juro pela seguinte frmula:

n

1C

C

i 0

n

3) Prazo da operao

Dada uma determinada taxa de juro, o valor inicial do investimento e o valor final que se deseja alcanar, qual o prazo que o capital deve permanecer na aplicao? Esta pergunta pode ser diretamente respondida pela frmula a seguir:

i

1C

C

n 0

n

Exemplos

1) Voc fez um emprstimo de R$10.000,00 taxa de juro simples de 1,5% ao ms a ser pago em 12 meses. Qual o montante final do emprstimo?

11.8001,1810.000C

0,18110.000C

120,015110.000C

n

n

n

Logo, ao final do emprstimo voc ir pagar ao credor R$11.800,00.



2) Qual o valor presente de um emprstimo que deve ser pago em seis meses, cujo valor futuro de R$13.400,00, admitindo uma taxa de juro simples de 2% ao ms?

Assim, para resgatar R$13.400,00 em seis meses taxa de 2% ao ms, deve-se aplicar, hoje, R$11.964,28.

3) Se voc aplicar R$50.000,00 taxa de juro simples de 12% ao ano, quantos anos vai esperar para triplicar este valor, atingindo, portanto, R$150.000,00?

anos67,1612,0

13

12,0

1000.50

000.150

n

n

Isto , para atingir R$150.000,00, aplicando R$50.000,00 taxa de juros simples de 12% ao ano, o capital deve permanecer aplicado 16,67 anos.

4) Uma aplicao de R$100.000,00 foi resgatada 13 meses depois, resultando em um valor final de R$123.000,00. Qual a taxa de juro da operao, considerando que foi feita capitalizao simples?

ms ao 1,77%ms ao 0,017713

11,23i

13

1100.000

123.000

i

Assim, o capital inicial de R$100.000,00 deve ser corrigido taxa de juro simples de 1,77% ao

ms para que se resgate R$123.000,00 aps 13 meses.

28,964.11

12,1

400.13

12,01

400.13

602,01

400.13

0

0

0

C

C

C



Importante

Note que a unidade de tempo dos perodos das aplicaes e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quando os prazos estiverem em meses, a taxa de juro resultante deve ser expressa ao ms. Se o prazo estiver expresso em anos, a taxa de juro deve ser expressa ao ano.

Taxa proporcional

No regime de capitalizao simples, duas taxas so ditas proporcionais quando aplicadas a um

mesmo capital, e por um mesmo prazo, geram o mesmo montante. Pelo mtodo de clculo de

juros simples, duas taxas de juro, 1i e 2i , sero consideradas proporcionais se, ao aplicar dois

montantes iniciais iguais ( 0C ), por dois perodos distintos de capitalizao, 1n e 2n , os

montantes finais resgatados forem iguais aps determinado perodo de tempo, ou seja:

110 1 niCCn e 220 1 niCCn

em que:

0C = valor presente

nC = valor futuro aps n perodos


i = taxa de juro

Como os montantes finais ( nC ) so iguais, possvel escrever:

220110 11 niCniC

Logo, as taxas 1i e 2i so ditas proporcionais quando:

2211 nini

O que pode ser reescrito da seguinte forma:



1

221

n

nii

Esta ltima frmula mostra que possvel calcular a taxa de juro 1i proporcional taxa de juro

2i conhecendo-se apenas o prazo de capitalizao 1n e os dados da outra aplicao ( 2i e 2n ).

Exemplo

1) Qual a taxa anual proporcional taxa de juro de 1,5% ao ms?

= taxa proporcional anual a ser encontrada

= 1 ano

= 1,5% ao ms

= 12 meses

Logo:

2) Qual a taxa ao dia proporcional taxa de juro de 20% ao ano, considerando-se 360 dias

corridos?

= taxa proporcional ao dia a ser encontrada

= 360 dias corridos

= 20% ao ano

= 1 ano

logo:

1i

1n

2i

2n

1i

1n

2i

2n



Regime de Capitalizao Composta ou Juros Compostos

No regime de Capitalizao Composta, os juros de cada perodo incidem sobre o capital inicial

( 0C ) acrescido do montante de juros dos perodos anteriores, e no somente sobre o 0C em

cada perodo, como na capitalizao simples. Dessa forma, o crescimento do valor futuro passa

a ser exponencial e no mais linear, como no regime de capitalizao simples.

Vamos analisar uma aplicao feita sob a capitalizao composta para compreender a

formao do valor futuro (VF) neste tipo de operao. Suponha que voc aplicou R$10.000,00,

taxa de juro composta de 2% ao ms, por quatro meses. Qual ser o montante final da

aplicao? Vamos acompanhar esta operao passo a passo:

Perodo Capitalizao Frmula

Data 0

(dia da

operao)

C0 = R$10.0000

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 4 meses

No h correo do capital inicial, que

ocorrer somente a partir do primeiro

ms da aplicao.

Ms 1


200.1002,1000.10C

02,011000.10C

000.100,02000.10C

1

1

1

i11CC

CiCC

01

001

Ms 2


10.4041,040410.000C

1,0210.000C

0,02110.000C

0,0210,02110.000C

2

2

2

2

2

2

202

02

02

i1CC

i1i1CC

i1i11CC

Ms 3 3C = valor futuro (VF) ao final do ms 3

303

2

03

2

03

i1CC

i1i1CC

i1i1CC



08,612.101,06120810.000C

1,0210.000C

0,02110.000C

0,0210,02110.000C

3

3

3

3

3

2

3

Ms 4


32,824.101,08243210.000C

1,0210.000C

0,02110.000C

0,0210,02110.000C

4

4

4

4

4

3

4

404

3

04

3

04

i1CC

i1i1CC

i1i1CC

Veja, na tabela acima, que a taxa de juro (i) capitalizada sempre sobre o valor inicial, somado

aos juros do perodo anterior. Isso caracteriza o regime de capitalizao composta. Assim,

podemos definir a expresso matemtica da capitalizao composta para um nmero n de

perodos como:

n0n i1CC

onde:

C0 = valor presente (capital inicial)



i = taxa de juro em porcentagem

Esta expresso mostra como um capital inicial (C0), aplicado por n perodos, de juro (i)

composta, transforma-se no valor futuro (Cn).

Importante

Assim como no regime de capitalizao simples, o prazo da operao (nmero de perodos) e a taxa de juro devem ser expressos na mesma unidade de tempo. Caso, por exemplo, a taxa de juro seja expressa ao ano (12% ao ano, por exemplo), o nmero de perodos deve se referir quantidade de anos.



Variveis da frmula de juros compostos

So quatro (4) as variveis na composio da frmula de juros compostos. Observe:

n0n i1CC

Conhecendo trs elementos da expresso, possvel calcular o restante, bastando, para isso, realizar algumas transformaes na frmula bsica.

1) Valor presente

Para calcular o valor do capital inicial (valor presente) que deve ser aplicado, a uma dada taxa de juro, para resgatar um determinado montante, basta isolar C0 em um dos lados da equao do valor futuro da capitalizao composta, resultando em:

nn

0i1

CC

Podemos ainda obter o valor presente a partir dos juros do perodo. Observe abaixo:

2) Montante de juros

Considerando que o montante de juros (J) definido pela expresso: J = Cn - C0 , o valor de J encontrado diretamente quando substitumos o valor futuro (Cn) pela sua frmula de clculo. Assim:

0n

0 Ci1CJ

ou: 1i1CJ n0

1i1C

1i1C

Ci1C

i1

J

i1

CC

i1

C

i1

C

n0

n

0

0

n

0

nn

00

n

0

n

n

J

J

J

J



3) Taxa de juro

O montante de juros tambm pode ser encontrado diretamente pela taxa de juro. A frmula direta da taxa de juro derivada a partir do valor futuro :

1C

Ci

n

1

0

n

4) Prazo da operao

Por fim, o prazo da operao pode ser diretamente calculado por1:

i1ln

CC

ln

n0

n

Exemplos

1) Voc aplicou R$10.000,00 taxa composta de 2,1% ao ms por sete meses. Qual o

montante, Cn, acumulado ao final desse perodo? Calcule o montante de juros acumulado no

perodo.

Soluo

Valor futuro (montante acumulado):

92,565.11156592,1000.10C

021,1000.10C

021,01000.10C

n

7

n

7

n

Montante de juros:

92,565.1156592,0000.10

115692,1000.10

1021,01000.107

J

J

J

2) Calcule o capital inicial de uma aplicao que, investida por dois meses taxa de juro de 4%

ao ms, acumulou o montante final de R$16.000,00.

1 No Anexo voc encontra os procedimentos para clculo do logaritmo.



Soluo

89,792.140816,1

000.16C

04,1

000.16C

04,01

000.16C

0

20

20

3) Determine o capital que, aplicado durante seis meses taxa de juro composta de 2% ao

ms, obteve rendimento de R$20.000,00 de juro.

Soluo

85,528.15812616,0

000.20

112616,1

000.20

102,1

000.20

102,01

000.20

0

0

60

60

C

C

C

C

Logo, ao aplicar R$158.528,85 durante seis meses, taxa de juro de 2% ao ms, o retorno

obtido total ser de R$20.000,00.

4) Voc aplicou R$50.000,00 taxa de juro composto de 12% ao ano. Quantos anos sero necessrios para triplicar o valor?

Soluo

Ao triplicar o valor aplicado de R$50.000, o valor de resgate ser de 3 x R$50.000 = R$150.000. Com este dado, possvel chegar soluo usando a frmula direta do prazo da operao:



anos 9,690,11333

1,0986n

1,12ln

3lnn

0,121ln

50.000

150.000ln

n

Este resultado mostra que so necessrios 9,69 anos para triplicar o capital inicial de R$50.000 aplicados taxa de juro de 12% ano.

5) Se forem aplicados R$100.000,00 pelo regime de capitalizao composta, obtendo um resgate de R$123.000,00 aps 13 meses, qual a taxa de juro da aplicao?

Soluo

ms ao 0,01605101605,1i

123,1i

1100.000

123.000i

076923,0

13

1

Em porcentagem: 0,01605 x 100% = 1,605% ao ms

Portanto, a taxa de juro da aplicao de 1,605 % ao ms.

Importante

Assim como na capitalizao simples, a unidade de tempo dos perodos das aplicaes e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quando os prazos esto em meses, a taxa de juro resultante deve ser expressa ao ms. Se o prazo est expresso em anos, a taxa de juro deve ser expressa ao ano. No entanto, pode haver a necessidade de alterar a periodicidade da taxa de juro e/ou do prazo. Para que isso seja possvel, ser preciso analisar o conceito de taxas equivalentes no regime de capitalizao composta.

Taxas equivalentes

Duas taxas de juro so equivalentes se, ao aplicar um montante inicial 0C , por prazos

idnticos, mas com periodicidades diferentes, o montante final, capitalizado por cada uma das

taxas, for o mesmo.



No regime de juros compostos, duas taxas de juro 1i e 2i so consideradas equivalentes se, ao

capitalizar um montante inicial 0C pelo mesmo prazo, mas com periodicidades distintas 1n e

2n , resultar em um mesmo montante final nC . Dessa forma, possvel escrever que:

110 1n

n iCC e 2

20 1n

n iCC

em que:

C0 = valor presente



i = taxa de juro em porcentagem

Como os montantes finais nC so iguais, ento:

21 2010 11nn

iCiC

Elevando os dois lados da igualdade por 1

1

n e fazendo algumas manipulaes algbricas

chega-se a:

11 12

21

n

n

ii

Assim, possvel encontrar a taxa 1i , equivalente taxa de juro 2i , conhecendo os perodos de

capitalizao para cada uma das taxas, 1n e 2n .

Exemplos de taxa equivalente

1) Qual a taxa diria equivalente a 6% ao ms, pelo regime de capitalizao composta?

= taxa equivalente diria a ser encontrada 1i



= 30 dias

= 6% ao ms

= 1 ms

Logo: dia ao 0,0019410,061i 301

1

Em porcentagem: 0,00194 x 100% = 0,194% ao dia

2) Qual a taxa anual equivalente a 1,5% ao ms, pelo regime de capitalizao composta?

= taxa equivalente anual a ser encontrada

= 1 ano

= 1,5% ao ms

= 12 meses

Logo: ano ao 0,195610,0151i 112

1

Em porcentagem: 0,1956 x 100% = 19,56% ao ano.

Taxas acumuladas

A taxa acumulada de juros em um perodo obtida mediante a aplicao da Frmula de

Fisher. Esta taxa amplamente utilizada no mercado financeiro para clculo do rendimento de

investimentos que mudam sua remunerao a cada perodo (exemplo: fundos de investimento

atrelados aos Depsitos Interfinanceiros de 1 dia).

Frmula de Fisher:

n321acumulada i1...i1i1i1i1

1i1...i1i1i1i n321acumulada

1n

2i

2n

1i

1n

2i

2n



1i = taxa de juro referente ao perodo 1



...

ni = taxa de juro referente ao perodo n

Lembrete2

A frmula da taxa de juro real advm da Frmula de Fisher com a qual se obtm uma taxa

acumulada em um perodo de tempo a partir das taxas que ocorreram em seus

subperodos. Assim:

n321acumulada i1...i1i1i1)i1(

pode-se definir: laoinfrealefetiva i1i1)i1(

de onde: 1)i1(

)i1(i

laoinf

efetivareal

Exemplos

Caso 1

Um investidor aplicou dinheiro em um fundo que apresentou as rentabilidades citadas abaixo.

Conhecendo os dados, calcule a rentabilidade acumulada no trimestre.

Outubro: 1,65%

Novembro: 2,01%

Dezembro: 1,86%

0186010201010165011 ,,,)i( acumulada

eaotrimestriacumulada 0562,010186,010201,010165,01

Em porcentagem: acumuladai = 0,0562 x 100% = 5,62% ao trimestre

2 Este conceito ser melhor discutido no item 1.4 Taxas nominal, efetiva e real



Caso 2

Um agente de mercado aplicou certa quantia em ttulos prefixados durante 96 dias, cuja

rentabilidade era de 18% a.a. Aps o resgate, aplicou novamente em ttulos por 120 dias, que

garantiram rentabilidade de 18,50%a.a. Calcule a rentabilidade acumulada no perodo.

Note que, neste caso, preciso calcular a taxa equivalente para as duas aplicaes.

10596,0105821,1i

10596,1i1

1,058211,045124i1

185,010,181i1

acumulada

acumulada

acumulada

360

120

360

96

acumulada

Em porcentagem: acumuladai = 0,10596 x 100% = 10,596% ao perodo

Caso 3

Em certo ano, um indexador registrou as taxas de inflao indicadas abaixo. Calcule a inflao

acumulada no perodo.

Janeiro: 2,2%

Fevereiro: 2,0%

Maro:1,4%

Abril: 0,5%

Maio: 0,3%

Junho: 0,01%

0656,010656,1i

0656,1i1

0001,1003,1005,1014,102,11,022i1

0001,01003,01005,01014,0102,010,0221i1

acumulada

acumulada

acumulada

acumulada

Em porcentagem: 0,0656 x 100 = 6,56% ao perodo



Taxas contnuas

Nos regimes de capitalizao simples e composta, os juros so pagos ou recebidos ao final de

cada perodo. O valor, aplicado ou emprestado, capitalizado e tem aumento a cada intervalo

de tempo considerado, sendo este discreto.

diferena dos regimes de capitalizao citados, no regime de capitalizao contnua, existe

pagamento de juros a cada perodo infinitesimal de tempo. Com isso, o capital cresce

continuamente no tempo taxa de juro instantnea.

Veja, a seguir, os conceitos relativos a este tipo de capitalizao, entendendo os

procedimentos de clculos.

No regime de capitalizao composta, ao investir um determinado capital (C0), taxa de juro

(i), pelo perodo de n anos, obteremos um valor igual a:

n0n i1CC

Se a capitalizao ocorrer k vezes ao ano, o valor de resgate ser dado por:

kk

i1CC

n

0n

Caso o nmero de capitalizaes tenda ao infinito (k ), temos o regime de capitalizao

contnua. Neste caso, o valor de resgate dado por:

nr

0n eCC

onde: r = taxa de juro instantnea

Para calcular a taxa de juro instantnea (r) equivalente a uma dada taxa de juro composta (i),

tem-se:

)ln(

)ln(ln

)ln(ln

)ln(ln

)(

iir

iier

iinenr

iie

iie

nnr

nnr



Exemplos de taxas contnuas

1) Considerando uma taxa de juro de 16% ao ano, no regime de capitalizao composta, calcule a taxa instantnea de juro para 30 dias.

Soluo

A taxa de juro instantnea ao ano igual a:

r = ln (1 + 0,16) = 0,1484 ao ano

Em porcentagem: r = 0,1484 x 100 = 14,84% ao ano.

Para um perodo de 30 dias, a taxa de:

ms ao 0,0124360

300,1484r

Em porcentagem: r = 0,0124 x 100 = 1,24% ao ms

2) A partir de uma taxa de juro composta de 2% ao ms, qual a taxa instantnea de juro ao semestre?

Soluo

Considerando o perodo de um ms, temos a seguinte taxa de juro instantnea:

r = ln (1 + 0,02) = 0,0198 ao ms

Em porcentagem: r = 0,0198 x 100 = 1,98% ao ms

A taxa ao semestre :

r = 0,0198 6 = 0,1188 ao semestre

Em porcentagem: r = 0,1188 x 100 = 11,88% ao semestre

3) Quais so as taxas de juro mensal e anual no regime de capitalizao contnua, sabendo que

a taxa instantnea de juro semestral de 5%.



Soluo

r = ln (1 + 0,05) = 0,04879 ao semestre

Em porcentagem: r = 0,04879 x 100 = 4,879% ao semestre

A taxa mensal de:

ms ao 0,008136

10,04879r

Em porcentagem: r = 0,00813 x 100% = 0,813% ao ms

Calculando a taxa anual, tem-se:

r anual = 0,04879 2 = 0,09758 ao ano

Em porcentagem: 0,09758 x 100 = 9,758% ao ano

TAXAS EQUIVALENTES NA CAPITALIZAO CONTNUA

A razo entre o valor de resgate (Cn) e valor inicial (C0) nos regimes de capitalizao contnua e

de capitalizao composta dada pelas respectivas frmulas:

Cn /C0 = e I n = Regime de capitalizao contnua

Cn /C0 = (1 + r) n = Regime de capitalizao composta

Sendo r a taxa de juro na capitalizao composta.

possvel, ento, concluir que:

e I n = (1 + r) n e I = (1 + r)

e, portanto:

i = ln(1 + r)



Exemplos de taxas equivalentes na capitalizao contnua

a) Dadas as taxas de juro compostas, calcule a taxa de juro contnua equivalente.

r i

10% a.m. i = ln (1 + 0,10) = 9,53% a.m.

21% a.a. i = ln (1 + 0,21) = 19,06% a.a.

3,5% a.t. i = ln (1 + 0,035) = 3,44% a.t.

b) Dadas as taxas de juro instantneas, calcule a taxa de juro composta equivalente.

i r

5% a.m. r = e0,05 1 = 5,13% a.m.

17% a.a. r = e0,17 1 = 18,53% a.a.

2% a.t. r = e0,02 1 = 2,02% a.t.

Note que os exemplos apresentados consideraram os mesmos perodos de tempo nas duas

taxas de juro. Podem existir casos, no entanto, em que uma taxa de juro (r) no regime de

capitalizao composta fornecida para um perodo e solicita-se a taxa instantnea de juro (i)

equivalente para um perodo diferente do anterior.

O primeiro passo para este tipo de questo consiste em achar a taxa instantnea de juro,

considerando o mesmo prazo da taxa de juro composta. Feito isso, obtm-se a taxa de juro

equivalente quela obtida. Para tanto, fundamental saber que, no regime de capitalizao

contnua, as taxas de juro equivalentes so linearmente proporcionais. Ou seja, uma taxa de

juro instantnea de 6% ao semestre equivale a uma taxa anual de 12%. Veja os exemplos a

seguir.

Exemplos de taxas contnuas a) Considerando uma taxa de juro de 16% a.a. no regime de capitalizao composta, calcule a

taxa instantnea de juro para 30 dias.



A taxa de juro instantnea para um ano igual a:

i = ln (1 + 0,16) = 14,84 % a.a.

Para um perodo de trinta dias, a taxa de:

i = 0,1484 30 / 360 = 1,24% a.m.

b) A partir de uma taxa de juro composta de 2% a.m., qual a taxa instantnea de juro ao

semestre?

Considerando o perodo de um ms, temos a seguinte taxa de juro instantnea:

i = ln (1 + 0,02) = 1,98% a.m.

A taxa ao semestre de:

i = 0,0198 6 = 11,88% a.s.

c) Quais so as taxas de juro mensal e anual no regime de capitalizao contnua, sabendo que

a taxa instantnea de juro semestral de 5%.

i mensal = 0,05 1/6 = 0,83% a.m.

i anual = 0,05 2 = 10% a.a.

1.4 Taxas nominal, efetiva e real

Uma taxa de juro definida como nominal quando calculada em relao ao valor nominal da aplicao ou emprstimo, conforme o valor acordado no contrato ou ttulo. Dessa forma, possvel notar que se trata de um valor aparente.

Em situaes em que a taxa de juro calculada sobre o valor efetivamente emprestado ou aplicado, define-se a taxa como efetiva. Adicionalmente, quando este valor corrigido pela inflao do perodo da operao, a taxa de juro calculada definida como real. Esta ltima obtida pela seguinte frmula:



1)InflaodeTaxa1(

)EfetivaTaxa1(realTaxa

Exemplos de taxas nominal, efetiva e real

Considere que a empresa TNK obtenha um emprstimo do banco com a qual trabalha no valor de R$70.000,00 sendo que ter que pagar R$85.000,00 aps quatro meses da contratao. O banco solicita que o cliente mantenha 10% do valor do emprstimo como saldo mdio durante o perodo da operao. Alm disso, foi cobrada uma taxa de abertura de crdito de R$80,00; a qual foi paga no ato da contratao. Nesses quatro meses, a taxa de inflao acumulada foi igual a 7%. Calcule as taxas de juro nominal, efetiva e real da operao.

a) Taxa nominal

.m.a%97,4oup.a%43,21100000.70

)000.70000.85(100

inicialCapital

pagosJurosi

alminno

b) Taxa efetiva

100

000701008000070

0007010080000700007010000085

100

.,.

.,..,.

efetivoinicialCapital

pagosJurosefetivai

.m.a%52,5oup.a%97,23iefetiva

Como o banco cobrou uma taxa para o emprstimo e estipulou que a empresa deixasse 10% do valor do emprstimo como saldo mdio em conta corrente, observe que o valor efetivo do

emprstimo de R$62.920,00 (= R$70.000,00 0,10 R$70.000,00 R$80,00) e que o valor de resgate igual a R$ 78.000 (o pagamento do emprstimo completado pelos R$7.000,00 mantidos como saldo mdio).



c) Taxa real

.p.a%86,15i1001)07,01(

)2397,01(i1001

)i1(

)i1(i realreal

laoinf

efetivareal

Lembrete

Na literatura sobre este assunto, existe outra abordagem relativa ao conceito de taxa

nominal e efetiva. A taxa nominal de juros consiste na taxa em que a unidade de

tempo para a qual ela foi definida no coincide com a unidade de tempo para a qual

foi capitalizada. J para a taxa efetiva, existe tal coincidncia. Observe:

Suponha que temos uma taxa de juro de 24% a.a. capitalizada mensalmente:

a) Taxa de juro nominal = i / n de capitalizaes = 0,24 / 12 = 0,02 = 2% a.m.

b) Taxa de juro efetiva= 2682,0102,01 12 = 26,82% a.a.

1.5 Anlise dos diferentes fluxos de caixa

Suponha que voc decida comprar uma televiso de 20 polegadas para o seu filho. Para tanto,

inicia uma pesquisa de preos em vrias lojas da cidade. Ao observar o nvel dos preos para

esse eletroeletrnico, chega concluso que no ser possvel realizar a compra a vista. Assim,

dois oramentos, considerando vendas a prazo, parecem ser os mais atraentes:

A loja EletroSom est vendendo televisores de 20 polegadas da marca X a R$550,00 a vista ou em 10 parcelas iguais e mensais de R$59,64, sendo o primeiro pagamento feito 30 dias depois da compra;

A loja MultiSom anuncia o mesmo televisor a R$550,00 a vista ou em 12 parcelas iguais e mensais de R$49,94, sendo o primeiro pagamento feito no ato da compra.

Qual das alternativas a mais vantajosa?

Analisando conceitualmente este exemplo, podemos perceber que alguns pontos diferem da

anlise anterior, quando trabalhamos com a ideia da existncia de um investimento ou

emprstimo de um montante de capital (ou valor presente VP) por um perodo de tempo (n)

a uma taxa de juros (i) que resultaria em um valor futuro (VF). Neste captulo:



os pagamentos e os recebimentos sero feitos em determinados prazos;

as entradas ou sadas tero vencimentos peridicos;

a primeira prestao ou aplicao pode incidir no comeo do perodo, ou seja, no ato da compra (termos antecipados) ou no final (termos postecipados).

Esta situao ocorre em vrios tipos de financiamentos e emprstimos credirios, leasing,

Crdito Direto ao Consumidor (CDC) etc.

Acompanhe os conceitos apresentados a seguir e ao final voc aprender como avaliar qual a

melhor opo para a compra do televisor.

FLUXOS DE CAIXA HOMOGNEOS

Pagamentos postecipados Fluxos de caixa homogneos

Em situaes em que a primeira prestao (ou aplicao) paga (ou recebida) em um perodo

aps a contratao, temos um fluxo de caixa com termos postecipados. Quando as prestaes

so iguais ao longo do perodo temos um fluxo de caixa homogneo. Veja os esquemas a

seguir:

Prestaes Iguais Pagamento Postecipado

n

VP

1 2 3

PMT = valor das prestaes



Observe que, no primeiro caso, o capital inicial (valor presente VP) ser igual somatria dos

valores presentes das prestaes (PMT), considerando a taxa de juros (i) praticada. Ou seja:

n32 )i1(

PMT

)i1(

PMT

)i1(

PMT

)i1(

PMTVP

A partir desta expresso, possvel concluir que:

1)i1(

ii1VPPMT

i)i1(

1i1PMTVP

n

n

n

n

No segundo caso, o Valor Futuro (VF) ser igual somatria das aplicaes corrigidas pela taxa

de juros vigente. Ou seja:

niPMTiPMTiPMTiPMTVF )1()1()1()1( 32

Realizando algumas transformaes algbricas, chegamos a:

Aplicaes Iguais Investimento Postecipado

n 1 2 3

PMT = valor das aplicaes

0

VF



1)1(

11n

n

i

iVFPMT

i

iPMTVF

Em cada frmula, verifique que temos quatro variveis: o capital inicial (valor presente VP)

ou o capital final (valor futuro VF), a taxa de juros (i), o perodo (n) e a prestao (PMT).

Com isso, uma srie de situaes pode ocorrer, tendo como incgnita uma destas variveis.

Acompanhe os exemplos a seguir.

Exemplos de pagamentos postecipados (fluxos de caixa homogneos)

1) A loja Promocional est anunciando a venda de televisores de 20 polegadas a R$600,00 a

vista ou em 10 parcelas iguais e mensais, sendo o primeiro pagamento feito 30 dias depois da

compra. A taxa de juros praticada pela loja de 1,5% ao ms Com base nestas informaes,

calcule o valor das prestaes.

Soluo: note que temos o valor presente (VP = R$600,00), a taxa de juros (i = 1,5% ao ms),

perodo (n = 10 meses) e sabemos que o pagamento postecipado. O objetivo calcular o

valor das prestaes (PMT), cuja frmula :

06,65$

1)015,01(

015,0015,01600

1)1(

110

10

RPMTi

iiVPPMT

n

n

2) O Sr. Endividado obteve um financiamento, na modalidade Crdito Direto ao Consumidor

(CDC). Restam 20 parcelas mensais para serem amortizadas, inclusive a que vence no final

deste ms, no valor de R$1.759,03. A taxa de juro praticada pela instituio financeira de

3,5% ao ms. Com tais dados, calcule o valor presente do financiamento.

Soluo: foram dados pelo problema: o valor das parcelas (PMT = R$1.759,03), perodo (n = 20

meses), a taxa de juros (i = 3,5% ao ms) e a informao de que o pagamento postecipado.

Devemos achar o valor presente da seguinte forma:



04,000.25$

035,0)035,01(

1035,0103,759.1

)1(

1120

20

RVPii

iPMTVP

n

n

3) A concessionria Bom Passeio est vendendo um carro X a R$30.000,00 a vista ou em 36

parcelas mensais de R$1.175,10, sendo o primeiro pagamento feito em 30 dias. Calcule a taxa

de juros mensal praticada pela empresa.

Soluo: neste caso, temos o Valor Presente (VP = R$30.000,00), o valor das parcelas (PMT =

R$1.175,10), perodo (n = 36 meses) e sabemos que o pagamento postecipado. Para calcular

a taxa de juro, necessrio utilizar uma calculadora financeira, pois o resultado deve ser

alcanado por processo iterativos (pois no possumos uma frmula como no caso de PV, ou

FV):

..%99,1

1)1(

1000.3010,175.1

1)1(

136

36

maii

ii

i

iiVPPMT

n

n

4) Certo cliente necessita fazer um financiamento no valor de R$7.000,00 para a compra de

um veculo, porm pode apenas dispor de R$555,00 mensais para pagamento. Sabendo que a

taxa de juros da instituio financeira que realizar o financiamento de 2,25% ao ms e que o

pagamento postecipado, calcule o perodo de tempo da amortizao da dvida.

Soluo: foram dados pelo problema: valor presente (VP = R$7.000,00), valor das parcelas

(PMT = R$555,00), a taxa de juro (i = 2,25% ao ms) e a informao de que o pagamento

postecipado. Assim, como no caso do clculo da taxa de juros, necessrio contar com uma

calculadora financeira para encontrar o resultado. Neste caso, o resultado :

mesesn

ii

iPMTVP

n

n

n

n

150225,0)0225,01(

10225,01555000.7

)1(

11



5) Sabendo que a caderneta de poupana tem rendimento mdio de 0,9% ao ms, um

investidor gostaria de saber quanto deve aplicar mensalmente para obter, aps 12 meses, a

quantia de R$10.000,00. Considere que a primeira aplicao ser feita daqui a 30 dias.

Soluo: o problema, neste caso, achar o valor das prestaes, PMT. Sabemos o valor futuro

(VF = R$10.000,00), a taxa de juros (i = 0,9%ao ms) e o perodo de tempo (n = 12 meses).

Alm disso, temos que o pagamento postecipado. Veja os clculos abaixo:

88,792$1)009,01(

009,0000.10

1)1( 12RPMTPMT

i

iVFPMT

n

6) O Sr. Econmico aplica todo ms uma quantia de R$2.000,00 em um fundo que vem

rendendo 1,5% ao ms Considerando que esta aplicao seja efetuada durante 18 meses,

calcule o valor futuro (ou valor de resgate) deste investimento. Utilize o conceito de termos

postecipados.

Soluo: agora, a questo consiste em achar o Valor Futuro, sabendo a taxa de juros (i = 1,5%

ao ms), a prestao (PMT = R$2.000,00) e o perodo de tempo (n = 18 meses). Observe os

clculos, considerando que os termos so postecipados.

40.978,75$

015,0

1015,01000.2

1118

RVFVFi

iPMTVF

n

Importante

Observe que esses problemas seguem sempre a mesma lgica. A partir dos princpios apresentados, possvel tambm calcular a taxa de juro e o nmero de prestaes em situaes em que se realizam aplicaes.

Pagamentos Antecipados Fluxos de caixa homogneos

Os termos antecipados so caracterizados quando a primeira prestao (ou aplicao) paga

(ou recebida) no ato da contratao. Observe, a seguir, os respectivos fluxos nos casos em que

realiza-se o pagamento de prestaes para abater o saldo devedor.



No caso apresentado anteriormente, considerando termos antecipados, temos:

)1(

1

1)1(

1)1(

)1(

11

ii

iiVPPMTi

ii

iPMTVP

n

n

n

n

No caso de aplicaes de certos valores (homogneos) para resgate futuro, temos:

Em situaes em que se deseja obter o valor futuro de aplicaes iguais e consecutivas, utiliza-

se:

)1(

1

1)1()1(

11

ii

iVFPMTi

i

iPMTVF

n

n

Prestaes Iguais Pagamento Antecipado

n

VP

1 2 3


Aplicaes Iguais Investimento Antecipado

1 2 3


VF

0 n n+1



Da mesma forma que no caso dos pagamentos com termo postecipado, em cada frmula

temos quatro variveis: capital inicial (valor presente VP) ou capital final (valor futuro VF),

a taxa de juro (i), o perodo (n) e a prestao (PMT). Neste sentido, os problemas fornecero

trs variveis e determinaremos a quarta.

Para efetuar os clculos recomendvel o uso de calculadoras financeiras que tenham vrias

das funes discutidas at aqui, inclusive a de diferenciar o clculo quando o fluxo

postecipado ou antecipado.

Exemplos de pagamentos antecipados (fluxos de caixa homogneos)

1) Uma pessoa fsica obteve um financiamento na modalidade CDC (Crdito Direto ao

Consumidor) no valor de R$50.000,00, para ser amortizado em 120 parcelas mensais iguais e

consecutivas. Sabendo que a taxa de juros praticada de 16% ao ano e que os pagamentos so

antecipados, calcule o valor das aplicaes.

Soluo: neste problema, temos: o valor presente (VP = R$50.000,00), o perodo de tempo (n =

120) e a taxa de juros (i = 16% ao ano). Observe que ser preciso deixar a taxa de juro e o

perodo com a mesma unidade de tempo. Como necessrio calcular o valor das prestaes

em termos mensais, passaremos a taxa de juros de anual para mensal.

i = [(1+0,16)30 / 360 -1] x 100 = 1,2445% ao ms

Sabendo que os termos so antecipados, aplicamos a frmula:

794,77$

)012445,01(

1

1)012445,01(

012445,0012445,01000.50

)1(

1

1)1(

1

120

120

RPMTPMT

ii

iiVPPMT

n

n

2) Calcule o valor presente do financiamento feito por um consumidor para a compra de uma

geladeira, sabendo que o pagamento deve ser efetuado da seguinte forma: entrada de

R$185,00 mais 11 prestaes de R$185,00, com taxa de juro de 2,85% ao ms.



Soluo: para obter o valor presente deste financiamento, basta aplicar a frmula:

1911,04$)0285,01(

0285,0)0285,01(

10285,01185

)1()1(

11

12

12

RVP

iii

iPMTVP

n

n

3) Calcule a taxa de juro mensal de um financiamento no valor de R$35.000,00 para a compra

de um veculo, sendo que a amortizao ocorrer em 24 parcelas, mensais e consecutivas de

R$1.636,60, com a primeira delas vencendo no ato da contratao.

Soluo: sabemos o valor presente, o perodo do financiamento e o valor das parcelas. Para

calcular a taxa de juros, aplicamos a expresso abaixo; porm, em funo da complexidade dos

procedimentos de clculo, utiliza-se a calculadora financeira para chegar na taxa de juro.

)1(

)1(

1160,636.1000.35)1(

)1(

1124

24

iii

ii

ii

iPMTVP

n

n

i = 1,03%ao ms

4) Um lojista toma um financiamento no valor de R$10.000,00 para realizar alguns reparos em

seu estabelecimento. Tendo conscincia de que apenas pode honrar parcelas de, no mximo,

R$400,00 mensais e sabendo que a taxa de juro do banco com o qual trabalha de 1,99% ao

ms, calcule o perodo de tempo necessrio para quitar a dvida. Considere que o pagamento

seja com termos antecipados.

Soluo: neste exerccio, temos o valor presente, o valor das prestaes e a taxa de juro do

banco. Assim, para achar o nmero de parcelas do financiamento, preciso calcular com ajuda

da calculadora financeira, o que produz o resultado indicado abaixo.



)0199,01(

0199,0)0199,01(

10199,01400000.10)1(

)1(

11

n

n

n

n

iii

iPMTVP

n = 34 meses

5) Calcule a quantia que devo aplicar hoje (valor da aplicao) em ttulos privados com taxa de

juros compostos de 1,60% ao ms para obter um valor futuro (ou de resgate), daqui a 24

meses, de R$30.000,00. Considere que os termos sejam antecipados.

Soluo

)016,01(

1

1)016,01(

016,0000.30

)1(

1

1)1( 24

PMT

ii

iVFPMT

n

PMT = R$1.018,87

6) Certo cliente do Banco XLS deseja saber o valor futuro a ser resgatado daqui a 12 meses,

caso aplique mensalmente 10% de seu salrio de R$3.950,00 em um fundo de renda fixa com

taxa de juro de 1,3% ao ms.

Soluo

)013,01(

013,0

1013,01395VF)i1(

i

1i1PMTVF

12n

VF = R$5.160,26

1.6 Valor presente lquido (VPL)

O mtodo do valor presente lquido (VPL) amplamente utilizado para anlise e avaliao de

projetos de investimento. Seu objetivo consiste em determinar o valor do projeto no instante

inicial do fluxo de caixa, dados a taxa de juro (i), o perodo de tempo (contnuo ou no), as

despesas e as receitas futuras.

Vale ressaltar que a taxa de juro considerada uma taxa mnima de retorno esperada. Ao se

deparar com a possibilidade de um investimento, o agente de mercado possui outras opes

que lhe garantem uma taxa de retorno (aplicaes no mercado financeiro, por exemplo).



Dessa forma, o investimento ser vivel se a taxa de retorno obtida no projeto for igual ou

maior taxa de retorno dessas aplicaes. Ou seja, o retorno esperado pelo investimento

dever ser maior que o seu custo de oportunidade (neste caso, seria o retorno obtido nas

outras aplicaes livres de risco), o que, assim, viabilizaria o projeto.

Para obter o VPL, deduzimos o valor do fluxo inicial, sendo, em geral, um investimento (com

isso, representa uma sada) dos fluxos futuros de caixa considerados a valor presente. Ou seja:

nn

i

VF

i

VF

i

VF

i

VFVPVPL

1...

1113

3

2

2

1

1

sendo:

VPL = valor presente lquido

VP = valor presente do fluxo de caixa

VFt = valor futuro do fluxo de caixa - pode ser tanto negativo (sada) como positivo (entrada)

i = taxa de juro considerada mnima para o investimento

Caso:

VPL 0, conclui-se que a taxa de retorno do investimento menor que a mnima desejada (i). Ou seja, a realizao do projeto no recomendvel.

VPL 0, conclui-se que a taxa de retorno do investimento maior que a mnima desejada (i). Ou seja, a realizao do projeto recomendvel.

VPL = 0, conclui-se que a taxa de retorno do investimento igual mnima desejada (i). Ou seja, existe uma indiferena entre realizar ou no o investimento.

Neste sentido, possvel concluir que quanto maior o VPL, maior ser o retorno de um investimento. Com isso, pode-se avaliar a viabilidade de um projeto em comparao com as alternativas existentes.

Exemplo de valor presente lquido (fluxos de caixa homogneos)

1) O Sr. Build est analisando a possibilidade de realizar um investimento que provavelmente

lhe proporcionar receitas anuais de R$25.000,00 durante trs anos. O fluxo abaixo mostra

que, ao realizar um investimento inicial de R$45.000,00, projetam-se retornos futuros anuais

no variveis. Qual o valor presente lquido do fluxo de caixa apresentado abaixo,

considerando uma taxa de juros anual de 14%? O investimento dever ou no ser realizado?



Soluo

80,040.13$

14,01

000.25

14,01

000.25

14,01

000.25000.45

321RVPL

Sendo VPL> 0, conclui-se que o valor do investimento menor que o valor presente dos retornos futuros. Ou seja, a taxa de retorno obtida no investimento maior que a taxa mnima aceita. Assim, o Sr. Build deve realizar o investimento.

1.7 Taxa interna de retorno (TIR)

Outro mtodo para anlise de projetos de investimento e aplicaes financeiras consiste no

clculo da taxa interna de retorno (TIR). a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais

pagamentos com o valor presente de um ou mais recebimentos. Ou seja, a taxa que zera o

valor presente lquido. Veja a frmula e o grfico a seguir:

0

1...

1113

3

2

2

1

1

n

n

i

VF

i

VF

i

VF

i

VFVP

sendo:

VP = valor presente do fluxo de caixa

VFt = valor futuro do fluxo de caixa

i = taxa interna de retorno (TIR)

R$25.000,00 R$25.000,00 R$25.000,00

R$45.000,00

1 2 3



importante ressaltar que VF representa as sadas e as entradas nos fluxos, tendo, portanto,

valores negativos e positivos, respectivamente.

Observe que para definir a TIR, preciso obter a raiz que torna a equao polinomial acima

igual a zero.

Lembrete

Por se tratar de uma equao polinomial, possvel encontrar duas ou mais

razes (existncia de taxas internas de retorno mltiplas). Caso isso ocorra,

recomenda-se a utilizao do mtodo do valor presente lquido para avaliao

do projeto de investimento.

Tal situao pode surgir quando temos mais de uma inverso de sinal no fluxo de

caixa. Com isso, pode-se concluir que a TIR s aplicvel em projetos de

investimento com apenas uma inverso de sinal, ou seja, quando temos, por

exemplo, uma despesa na data inicial e um fluxo de receitas lquidas nas datas

futuras (como considerada na frmula apresentada anteriormente) ou um valor

inicial positivo e um fluxo de despesas nas datas posteriores. Nestes casos,

possvel provar matematicamente a existncia de apenas uma raiz real positiva.

Ao obter a TIR, compara-se com a taxa de juro mnima aceitvel ao investimento. Caso a TIR

seja maior que a taxa mnima, o projeto pode ser considerado vivel.

VPL

i

TIR > i

TIR = i

TIR < i



Exemplo de taxa interna de retorno (fluxos de caixa homogneos)

1) O Sr. Jos solicitou um emprstimo de R$90.000,00 que ser pago em trs prestaes

mensais consecutivas de R$45.000,00. Determine a taxa interna de retorno dessa operao

sob a tica do credor.

Soluo: o credor possui o seguinte fluxo de caixa:

Com o auxlio da calculadora, temos que a TIR corresponde a 23,37%.

Portanto, sendo a taxa mnima desejada para executar este projeto menor que 23,37%, conclui-se que o Sr. Jos deve realizar o investimento. Se a taxa mnima desejada for maior, o Sr. Jos no deve realizar o investimento.

FLUXOS DE CAIXA HETEROGNEOS

Pagamentos postecipados Fluxos de caixa heterogneos

Os pagamentos postecipados so caracterizados pela prestao (ou aplicao) paga (ou

recebida) em um perodo aps a contratao. Quando as prestaes possuem valores

diferentes ao longo do perodo temos um fluxo de caixa heterogneo. Veja os esquemas a

seguir:

R$45.000,00 R$45.000,00 R$45.000,00

R$90.000,00

1 2 3



Pagamentos antecipados Fluxos de caixa heterogneos

Os pagamentos antecipados so caracterizados pela primeira prestao (ou aplicao) paga

(ou recebida) no ato da contratao. Observe, a seguir, o diagrama dos pagamentos

antecipados em fluxos de caixas heterogneos.

Exemplos de valor presente lquido (fluxos de caixa heterogneos)

1) O Sr. Calculista est analisando um determinado projeto de investimento no qual deseja uma rentabilidade mnima de 2,5% ao ms. O quadro a seguir mostra que ao realizar um investimento inicial de R$28.000,00, projetam-se retornos futuros mensais variveis. Calcule o valor presente lquido do fluxo de caixa apresentado abaixo e avalie se o investimento deve ou no ser feito.

Prestaes Diferentes Pagamento Postecipado

n

VP

1 2 3


Prestaes Diferentes Pagamento Antecipado

n

VP

1 2 3




0 1 2 3 4 5 6

-28.000 5.000 3.000 7.000 2.000 5.000 7.000

Soluo

654321 025,01

000.7

025,01

000.5

025,01

000.2

025,01

000.7

025,01

000.3

025,01

000.5000.28

VPL

R$1.499,06 - VPL

Sendo VPL



Soluo: o primeiro passo para calcular este exerccio saber o valor dos juros pagos

semestralmente ao Sr. Investidor. Temos uma taxa de juro de 10% ao ano. Portanto, preciso

obter tal taxa ao semestre:

%a.s.8809,4100110,01 21

.

eqi

Assim, semestralmente, o investidor recebe uma remunerao de R$48,81.

Para obter o PU da debnture, ainda temos que calcular a taxa de juro ao semestre que o

investidor considera mnima.

%a.s.2381,7100115,01 21

.

eqi

Feito isso, vamos calcular o PU com auxlio de uma calculadora financeira, tendo como

resultado o valor de R$836,25.

Taxa interna de retorno Fluxos de caixa heterogneos

Exemplo de taxa interna de retorno (fluxos de caixa heterogneos)

1) O Sr. No Vermelho solicitou um emprstimo de R$80.000,00 que ser pago em trs

prestaes mensais consecutivas de R$40.000,00, R$35.000,00 e R$15.000,00. Determine a

taxa interna de retorno desta operao sob a tica do banco.

Com auxlio de uma calculadora financeira, chega-se a 7,16% ao ms.

1.8 Comentrios finais

Ao terminar este captulo, espera-se que voc tenha compreendido os conceitos de

capitalizao simples, composta discreta e composta contnua que so constantemente

utilizadas no mercado financeiro seja para o apreamento de ativos seja para o clculo de



rendimentos, prazos ou taxas de juro implcitas nas operaes. O material apresentado aqui,

rene de maneira ordenada todos os assuntos que capacitam o leitor para atuar no mercado

financeiro. Alm da discusso e exemplificao dos clculos nos diferentes regimes de

capitalizao, foi dada especial ateno anlise dos fluxos de caixa de sries de pagamento

homogneo e heterogneo e das caractersticas das taxas de juro. No anexo, no final deste

trabalho, voc encontra uma reviso sobre logaritmos para fortalecer seus estudos.

Importante

Revise os principais pontos e BOA PROVA!!!



BIBLIOGRAFIA

ASSAF NETO, Alexandre. Matemtica financeira e suas aplicaes. 11 ed. So Paulo: Atlas. 2009. VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica financeira. 7 ed. So Paulo: Atlas. 2009. 409 p. INSTITUTO EDUCACIONAL BM&FBOVESPA. Material dos cursos on-line e presenciais.



ANEXO Reviso - Logaritmos

Obviamente as equaes de soma e subtrao so mais fceis que as equaes de

multiplicao ou diviso.

Os logaritmos so, portanto, uma ferramenta para facilitar clculos complicados. Podemos

definir logaritmos como:

Sejam a e b nmeros reais e positivos, com 1a , chama-se logaritmo de b na base a, o

expoente ao qual se deve elevar a base a de modo que a potncia obtida seja igual a b.

baxblog xa

onde:

a base na b de logaritmo o x

dologaritman o b

logaritmo do base a a

0b e 1a0 com Rb,a

Propriedades mais importantes:

1) 1a01log 0a

2) aa1alog 1a

3) babloga



Exemplos de logaritmos

a) 5x22322x32log 5xx2

b) 2x224

12x

4

1log 2xx2

c) 0x3313x1log 0xx3

d) 1x77x7log 1x7

e) 2

13log

2

1x1x2333)3(39x3log 9

1x21x2x9

Importante

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano, representado por LN, o logaritmo de base e, sendo que o e chamado de nmero de Euler, muito utilizado em estudos de finanas e possui um valor aproximado de 2,71828... .

Captulo 2 Introduo Economia e aos Indicadores

Financeiros

2.1 Apresentao do captulo

O objetivo deste captulo apresentar os conceitos bsicos dos fundamentos da economia, da

moeda, das variveis macroeconmicas e dos indicadores financeiros. Ao final, voc ter visto:

funes e caractersticas da moeda;

conceito de oferta e de demanda;

definio e impacto da inflao e da deflao;

conceitos de PIB, de PNB e sua relao;

viso geral das polticas de renda, fiscal, cambial e monetria;

principais indicadores financeiros da economia brasileira.

Na pgina seguinte, voc encontrar o quadro de orientaes de estudo para a prova de

certificao do PQO BM&FBOVESPA deste captulo. Identifique a prova que ir fazer e estude

os tpicos sugeridos.

Bons estudos!!!

Quadro de orientaes de estudo para a prova de certificao do PQO BM&FBOVESPA

Tipos de provas Item 2.2

Pg. 1 Item 2.3

Pg. 3 Item 2.4

Pg. 5 Item 2.5 Pg. 15

Item 2.6 Pg. 18

Operaes BM&FBOVESPA

Operaes segmento Bovespa

Operaes segmento BM&F

Comercial

Compliance

Risco

Back Office BM&FBOVESPA

Back Office segmento Bovespa

Back Office segmento BM&F


INTRODUO ECONOMIA E AOS INDICADORES FINANCEIROS

1

2.2 O conceito e o papel da moeda na economia

A economia de um pas consiste em milhares de pessoas, empresas, instituies financeiras,

prestadores de servios e, principalmente, o Governo, entre outros agentes, comprando e

vendendo bens e servios. O principal mecanismo de troca, com o desenvolvimento da

economia, desde a evoluo das sociedades primitivas que praticavam a atividade do escambo

(troca), a moeda. Por meio da moeda que ocorre grande parte das transaes econmicas

e financeiras.

Voc j parou para pensar quantas vezes usa o seu dinheiro em um dia? Alm disso, voc j

pensou como ele move praticamente todas as suas atividades? Trabalhamos em troca de um

salrio; se compramos uma roupa ou um equipamento eletrnico, como pagamos essa

compra?

Formalmente, o bem que denominamos como dinheiro definido pelos economistas como

moeda. Portanto, podemos classificar a moeda como o conjunto de ativos na economia que

usamos para comprar bens e servios.

Importante

Dinheiro a forma mais lquida da moeda.

LIQUIDEZ

Liquidez representa a facilidade com que um ativo pode ser convertido em meio de troca na

economia. Em outras palavras, o grau de facilidade que qualquer indivduo aceitar o bem

como troca pelo bem que ele est oferecendo.

Importante

Voc consegue diferenciar a liquidez de um apartamento, de um carro e do seu

dinheiro?

Mesmo entre apartamentos e carros, cada bem apresenta uma liquidez diferente. Se um

apartamento colocado venda e o negcio concretizado rapidamente, sem que o

proprietrio tenha de baixar o efetivo valor de mercado para vend-lo, podemos afirmar que

esse apartamento relativamente lquido.



2

O raciocnio inverso tambm verdadeiro. Se o mesmo apartamento ficasse meses para ser

vendido e o preo tivesse de ser significativamente reduzido para vend-lo, poderamos

afirmar que esse imvel tem baixa liquidez.

O mesmo raciocnio pode ser aplicado para o mercado de aes, por exemplo. Qual ao

mais facilmente vendida no mercado? H diferena de liquidez entre aes? De uma forma

resumida, a liquidez pode ser avaliada como a facilidade de negociao do bem, os seus custos

de transao e a sua aceitao. Entendido o conceito de liquidez, vamos analisar as funes

das moedas.

FUNES DAS MOEDAS

Basicamente, a moeda possui trs principais funes que a distinguem dos demais ativos da

economia:

um meio de troca pois a moeda comumente aceita, sem restrio, em todas as

compras de bens e mercadorias ou servios;

uma unidade de conta (medida) pois um padro de medida utilizado para definir

o preo de todos os bens e servios, ou seja, uma forma de exprimir numericamente

o valor da transao;

uma reserva de valor pois de posse da moeda, podemos no us-la hoje para

comprar algo no futuro, transferindo o poder de compra.

Importante

verdade que outros ativos possuem uma ou mais dessas categorias, mas a presena

das trs em um nico bem representa a figura da moeda.

Outras caractersticas tambm fazem com que a moeda seja utilizada e aceita universalmente

como fator de troca, tais como: portabilidade, durabilidade, homogeneidade, divisibilidade e

cunhabilidade. Fica aqui o desafio para voc refletir sobre essas caractersticas e a importncia

de cada uma.

Neste ponto, voc deve ter entendido que a moeda o ativo que possui maior liquidez dentre

os ativos da economia. O papel-moeda a principal forma de moeda utilizada na economia.

Porm, com o desenvolvimento de tecnologia, outras formas de moedas, tambm de altssima

liquidez, esto se consolidando como os cartes de crdito e dbito. At pagamentos por

celular j esto em fase de testes no mercado.



3

Importante

Veja as opes disponveis no mercado.

O volume de moeda disponvel na economia fundamental para determinar o grau de

transao dos bens e servios. Neste momento, essencial inserir o conceito de oferta e

demanda.

2.3 Oferta e demanda

A demanda pode ser entendida como a quantidade de um bem ou servio que desejada por

um consumidor ou por um grupo, em um determinado nvel de preo, naquele instante do

tempo. Em outras palavras, a quantidade do bem que seria adquirido por aquele preo

naquele momento.

Neste sentido, fica fcil deduzir que quanto mais moeda as pessoas possurem, mais elas iro

consumir e, por outro lado, quanto menos moeda estiver disponvel, menor ser o nvel de

consumo.

Importante

As pessoas, em um comportamento normal, gostariam que os preos dos produtos

fossem cada vez menores.

J a oferta pode ser entendida como a quantidade de um bem ou servio que as empresas

esto dispostas a produzir e vender naquele nvel de preo, naquele instante.

Importante

Neste sentido, tambm fcil deduzir que as empresas ofertantes sempre desejam

que os preos sejam os mais altos possveis.

Quando o comprador (demandante) e o vendedor (ofertante) encontram um equilbrio no

preo do produto, ou seja, no nvel de preo em que interessante para o primeiro comprar e

para o segundo vender, ocorre a definio de preo do produto na economia, pois a

quantidade a ser transacionada naquele preo atende expectativa dos dois lados da

negociao.



4

muito importante entender a dinmica da oferta e da demanda em relao ao nvel de

preos. Caso o preo sofra reduo, por exemplo, no caso de uma promoo, mais

consumidores estaro aptos a comprar aquele produto, pois o nvel de preo se enquadra nas

suas expectativas. Por outro lado, se ocorrer aumento do preo, menos consumidores estaro

aptos a adquirir aquele produto, sendo consumida uma quantidade inferior anterior. Por

isso, o equilbrio fundamental.

MAS QUAL O IMPACTO DA MOEDA NESSA RELAO?

A disponibilidade de moeda fundamental para esse equilbrio. Como comentado

anteriormente, o aumento da disponibilidade de moeda em poder do pblico faz com que as

pessoas queiram consumir mais e, at mesmo, que fiquem mais dispostas a adquirir o mesmo

produto por um preo mais alto. Portanto, ocorrendo aumento de moeda disponvel, a

demanda pelo produto ser maior.

Se os produtores tiverem condies de aumentar a produo para atender demanda, o ciclo

continuar movimentando a economia de uma forma mais intensa. Por outro lado, se no for

possvel aumentar a produo, ocorrer um excesso de demanda, o que faz com que falte

aquela mercadoria para atender a toda a demanda existente e, naquele momento,

identificado o excesso de demanda, os produtores tendem a aumentar o preo e passam a

atender apenas os consumidores que esto dispostos a pagar mais.

Se efetivamente eles aumentarem os preos, ocorrer uma elevao do nvel de preos, ou

seja, voc precisar de mais dinheiro para comprar aquele produto. Esse fenmeno chamado

inflao, ou seja, ocorre um aumento do nvel dos preos, quando, para adquirir o mesmo

produto necessria uma quantidade maior de dinheiro. Seria o mesmo que dizer que o

dinheiro perdeu o poder de compra.

Importante

Inflao o aumento no nvel geral de preos.

Por outro lado, tambm pode ocorrer o efeito deflao, quando acontece uma reduo do

nvel de preo. A causa mais comum desse evento o excesso de oferta, onde h muitos

produtos disponveis e o vendedor obrigado a reduzir o preo para conseguir vender o

produto. Neste caso, ocorre uma elevao do poder de compra, quando, para comprar o

mesmo produto, necessria menor quantidade de dinheiro.



5

Importante

Se a deflao boa para o consumidor, note que ela no favorvel para o produtor,

pois, cada vez mais, seu lucro ser menor e, se ele no conseguir ajustar seus custos,

poder ir falncia.

Portanto, o equilbrio do nvel de preos fundamental para um bom desempenho da

economia. Uma das grandes vantagens da variao de preos controlada, seja o movimento de

inflao ou de deflao, a possibilidade mais concreta do planejamento econmico,

principalmente de longo prazo, pois h maior poder de previsibilidade da economia como um

todo.

Neste sentido, uma das principais preocupaes e atuaes da equipe eco

Apresentação - Conquista de Direitos Civis, Políticos ... · Capítulo 5 – Mercado de Capitais...

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