Apresentação do...

• Conteúdo:

– Hedges

– Relações e Composições

Hedges: Operadores semânticos

• Atuam na modelagem de um sistema fuzzy da mesma forma que advérbios atuam em uma sentença.

• Modificam a natureza de um conjunto fuzzy.

• O hedge (limita) por condições ou exceções: – Variável linguística(substantivo): Velocidade

– Etiqueta ou Estado ou label (adjetivo): baixa, média, alta

– Hedge (advérbio): pouco, muito, quase


• Classes de Hedges:

– Concentradores: muito, extremamente.

– Diluidores: pouco, levemente, mais ou menos.

– Complemento: não.

– Aproximadores: em torno, aproximadamente, perto de.

– Restrição de uma região fuzzy: abaixo de , acima de.

– Contraste: positivamente, geralmente.


• Da mesma forma que os advérbio e adjetivos, a ordem do hedge é importante:

Não muito Alto Muito não Alto

• Múltiplos hedges podem ser aplicados a um único conjunto fuzzy

Positivamente não muito Alto

Conjunto fuzzy Múltiplos hedges


• O processamento dos hedges é de forma análoga à linguagem

Positivamente não muito Alto

(Positivamente (não (muito Alto)))


• Hedges podem ser usados no antecedente (premissas) e/ou no consequente (ação)

Se custos são muito Altos

Então as margens são Baixas

Se pressão (t-1) é muito Baixa e pressão (t) é Alta

Então incrementar aproximadamente Zero

Hedges: Concentradores

• Reduzem o espaço dos candidatos que pertencem ao conjunto fuzzy

Muito, Extremamente

𝜇𝐴 𝑥 ≥ 𝜇𝑀𝑈𝐼𝑇𝑂 𝐴 𝑥

• Concentradores de Zadeh

𝜇𝑀𝑈𝐼𝑇𝑂 𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴(𝑥)2

𝜇𝐶𝑂𝑁𝐶 𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴(𝑥)𝑛, 𝑛 ∈ 1,4


• Exemplo 1:


• Exemplo 2:

Muito de Meia-Idade

Meia-Idade

Hedges: Diluidores

• Diluem a função de pertinência para uma certa região fuzzy

Um pouco, Levemente

𝜇𝐴 𝑥 ≤ 𝜇𝑈𝑀 𝑃𝑂𝑈𝐶𝑂 𝐴 𝑥

• Contrariamente aos intensificadores, esses hedges devem ter valor de pertinência maior que a função básica.

Hedges: Diluidores

• Diluidores de Zadeh

𝜇𝑈𝑀 𝑃𝑂𝑈𝐶𝑂 𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴(𝑥)1/2

𝜇𝐷𝐼𝐿𝑈𝐼𝐷𝑂𝑅 𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴(𝑥)1/𝑛, 𝑛 ∈ 1,8

Hedges: Diluidores

• Exemplo 1

Para se obter o mesmo valor de (x) o elemento do domínio deve estar mais à esquerda

Levemente Alto n=1/3

Um pouco Alto n=1/2

Alto

Hedges: Diluidores

• Exemplo 2

Hedges

• Concentradores e Diluidores

– Possuem o mesmo suporte que o conjunto original

– Mesmo valor no domínio para (x) = 0 e (x) = 1

– Muito e Um pouco são os únicos hedges comutativos.

Hedges: Complemento

• Complemento

Hedges: Aproximadores

• Alargam ou estreitam uma região fuzzy (tipo sino)

• Transformam valores escalares em regiões fuzzy

Em torno de, Aproximadamente, Perto de


• Alargando


• Estreitando


• Transformando em Número Fuzzy

Hedges: Restrição de uma região fuzzy

• Restringem o escopo da função de pertinência

Acima de, Abaixo de


• Acima: Somente aplicável a funções que diminuam conforme se mova o domínio da esquerda para a direita


• Abaixo: Somente aplicável a funções que aumentem conforme se mova no domínio da esquerda para a direita.

Hedges: Contraste

• Muda a natureza da região fuzzy

– Positivamente ou Definitivamente: torna o conjunto menos fuzzy.

– Geralmente: torna o conjunto mais fuzzy.

Hedges: Contraste

• Positivamente: diminui a fuziness (DF).

• Fórmula de Zadeh

𝜇𝐷𝐹 𝐴 𝑥 = 2 𝜇𝐴(𝑥)

2 𝑠𝑒 𝜇𝐴(𝑥) ≥ 0.5

1 − 2{1 − 𝜇𝐴 𝑥 2} 𝑠𝑒 𝜇𝐴 𝑥 < 0.5

Hedges: Contraste

• Muda a função aumentando os (x) acima de 0,5 e diminuindo os (x) abaixo de 0,5.

Hedges: Contraste

• Geralmente: aumenta a fuziness (AF).

• Fórmula de Zadeh

• 𝜇𝐴𝐹 𝐴 𝑥 = 0.5 𝜇𝐴(𝑥)

1/2 𝑠𝑒 𝜇𝐴(𝑥) ≥ 0.5

1 − 0.5{1 − 𝜇𝐴 𝑥 1/2} 𝑠𝑒 𝜇𝐴 𝑥 < 0.5

Hedges: Contraste

• Muda a função reduzindo os (x) acima de 0,5 e aumentando os (x) abaixo de 0,5.

Relações Crisp no mesmo espaço

• Relação Crisp – Representa a presença ou ausência de associação,

interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos

– Relações binárias: são relações que envolvem dois conjuntos.


• Relação Crisp – Sejam os conjuntos, 𝑈 e 𝑉. O produto cartesiano desses

conjuntos é: 𝑈 × 𝑉 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝜖 𝑈 𝑒 𝑦 𝜖 𝑉}.

– Uma relação 𝑅(𝑈, 𝑉) é um subconjunto de 𝑈 × 𝑉 que pode ser definido como:

𝜇𝑅(𝑥, 𝑦) = 1 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅(𝑈, 𝑉)

0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

– Uma relação também é um conjunto e todas as operações de conjuntos crisp podem ser aplicadas.


• Exemplo: Sejam os conjuntos:

𝑈 = {𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 sistemas contínuos de 2ª ordem} e 𝑉 = {𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜s dos sistemas contínuos de 2ª ordem}

O produto cartesiano desses conjuntos esta dado por:

𝑈 × 𝑉 = 𝑥, 𝑦 𝑥 𝜖 𝑈 𝑒 𝑦 𝜖 𝑉}

Seja 𝑅 uma relação que representa a relação de estabilidade entre o conjunto de todos os sistemas contínuos lineares de 2ª ordem e o conjunto de polos de tais sistemas. 𝑅 é um subconjunto de 𝑈 × 𝑉.


Suponha que:

𝑈 = {𝑥1, 𝑥2} = {sistema 2ª ordem LVT, sistema de 2ª ordem LIT}

𝑉 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3} = {pólo no lado esquerdo do plano s, pólo no eixo imaginário, pólo no lado direito do plano s}

Então:

𝑅 = { 𝑥2, 𝑦1 , (𝑥2, 𝑦2)} = {(sistema de 2ª ordem LIT,pólo no lado esquerdo do plano s),(sistema de 2ª ordem LIT,pólo no eixo imaginário)}

LVT: linear variante no tempo LIT: linear invariante no tempo


𝑅 = { 𝑥2, 𝑦1 , (𝑥2, 𝑦2)} = {(sistema de 2ª ordem LIT,polo lado esquerdo),(sistema de 2ª ordem LIT,polo eixo imaginário)}

Matriz relacional Diagrama sagital

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑

𝒙𝟏 0 0 0𝒙𝟐 1 1 0

𝒚𝟏 𝒚𝟐

𝒚𝟑

𝒙𝟏 𝒙𝟐

Relações Fuzzy no mesmo espaço

• Relação Fuzzy: Representa a presença ou ausência de

associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos fuzzy

• Exemplos:

• 𝑥 é 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑦

• 𝑥 é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦

• 𝑥 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦


• Relação Fuzzy – Seja 𝑈 × 𝑉 o produto cartesiano de 2 conjuntos fuzzy 𝑈 e 𝑉. – 𝑅(𝑈, 𝑉) é um subconjunto fuzzy no espaço 𝑈 × 𝑉 que pode ser

definido como:

𝜇𝑅 𝑥, 𝑦 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝜖 𝑈 𝑒 𝑦 𝜖 𝑉.

– Isto é:

𝑅 𝑈, 𝑉 = {[ 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑅(𝑥, 𝑦)]/ (𝑥, 𝑦)𝜖 𝑈 × 𝑉

– A relação fuzzy também é um conjunto fuzzy, as operações com essas relações podem ser definidas utilizando os operadores: União, Interseção e Complemento.


• Exemplo:

Sejam os conjuntos 𝑈 = {ℝ} e 𝑉 = {ℝ}

E seja a relação fuzzy “ o valor de 𝑥 é perto do valor de 𝑦”, com 𝑥 𝜖 𝑈 e 𝑦 𝜖 𝑉 , supondo que o maior valor da diferença entre 𝑥 e 𝑦 é 5, a relação pode ser representada como:

𝜇𝑃𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑥, 𝑦 , = 𝑚á𝑥 5 − 𝑥 − 𝑦

5, 0

Composições Fuzzy no mesmo espaço

• Sejam 𝑅 𝑥, 𝑦 e 𝑆 𝑥, 𝑦 duas relações fuzzy no espaço 𝑈 × 𝑉 a interseção e união de 𝑅 e 𝑆, isto é, as composições dessas duas relações definem-se como:

𝜇𝑅∩𝑆 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑅(𝑥, 𝑦) ⋆ 𝜇𝑆(𝑥, 𝑦)

𝜇𝑅∪𝑆 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑅(𝑥, 𝑦) ⊕ 𝜇𝑆(𝑥, 𝑦)

Onde ⋆ é qualquer t-norm e ⊕ é qualquer t-conorm.


• Exemplo: – Considere a afirmação:

“𝑥 é muito maior que 𝑦 e 𝑦 é muito próximo de 𝑥” – A afirmação não é verossímil!

– Para estabelecer uma função de pertinência para essa afirmação, deve-se observar e proceder como segue:

• A afirmação é uma composição de duas relações “𝑥 é muito maior que 𝑦” e “𝑦 é muito próximo de 𝑥”.

• As duas relações pertencem ao mesmo espaço 𝑈 × 𝑉.

• Criar funções de pertinência para cada relação: 𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 e 𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑥 .

• Obter 𝜇𝑀𝑀∩𝑀𝑃 𝑥, 𝑦 usando um t-norm adequado.


• Exemplo: Suponha que as as relações 𝜇𝑀𝑀 e 𝜇𝑀𝑃 estão representadas

pelas matrizes abaixo, com 𝑈 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑉 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4} . Na

matriz do lado direito apresenta-se a composição dessas relações.

𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 =

𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4𝑥1 0.8 1 0.1 0.7𝑥2 0 0.8 0 0𝑥3 0.9 1 0.7 0.8

𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 ∩ 𝜇𝑀𝑷 𝒚, 𝒙

𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4𝑥1 0.4 0 0.1 0.6𝑥2 0 0.4 0 0𝑥3 0.3 0 0.7 0.5

A maioria dos graus de pertinência são menores que 0.5, isto significa que a afirmação é pouco verossímil.

𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑥 =

𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 0.4 0.9 0.3𝑦2 0 0.4 0𝑦3 0.9 0.5 0.8𝑦4 0.6 0.7 0.5

Composições Crisp em espaços diferentes

• Sejam 𝑃(𝑈, 𝑉) e 𝑄(𝑉,𝑊) duas relações crisp nos espaços 𝑈 × 𝑉 e 𝑉 ×𝑊 respectivamente.

• Composição 𝑅(𝑈,𝑊) das relações crisp 𝑃 e 𝑄 é:

𝑅(𝑈,𝑊) = 𝑃(𝑈, 𝑉) ∘ 𝑄(𝑉,𝑊)


𝑅(𝑈,𝑊) = 𝑃(𝑈, 𝑉) ∘ 𝑄(𝑉,𝑊)

Onde 𝑅(𝑈,𝑊) é um subconjunto de 𝑈 ×𝑊 tal que:

𝑥, 𝑧 ∈ 𝑅 𝑈,𝑊 se e somente se ∃𝑦 ∈𝑉 / 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 𝑒 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄


• Na composição crisp , o cálculo de cada elemento é obtido através do produto booleano das matrizes 𝑃(𝑈, 𝑉) e 𝑄(𝑉,𝑊). Onde: – Cada multiplicação ou “e booleano” é tratado como o “mínimo” ou

“produto”

– Cada soma ou “ou booleano” é tratado como o “máximo”.

𝜇𝑃∘𝑄 𝑥, 𝑧 = { 𝑥, 𝑧 ,𝑚á𝑥𝑦

[𝑚í𝑛(𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 )]}

𝜇𝑃×𝑄 𝑥, 𝑧 = { 𝑥, 𝑧 ,máx

𝑦[𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 ]}


𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑦1

𝑦2

𝑦3

𝑦4

𝑧1

𝑧2

𝑧3

𝑧4

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑧1

𝑧2

𝑧3

𝑧4

P(U,V) Q(V,W)

R(U,W)=P(U,V) Q(V,W)

Composições Fuzzy em espaços diferentes

• A composição de duas relações fuzzy 𝑃(𝑈, 𝑉) e 𝑄(𝑉,𝑊) é análoga ao caso crisp, exceto que no caso fuzzy os conjuntos são conjuntos fuzzy com:

𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 𝜖 0,1 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 𝜖 0,1


• De modo similar à composição crisp, a composição fuzzy pode ser calculada como:

Onde:

“×” é uma composição sup-star e ⋆ é um t-norm.

𝑃 e 𝑄 possuem universos de discurso discretos e podem ser representados por um diagrama sagital ou uma matriz relacional.

𝜇𝑃×𝑄(𝑥, 𝑧) = sup𝑦∈𝑉

[𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 ⋆ 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 ]


• Exemplo: 𝑈 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3}

𝑉 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4}

𝑊 = {𝑧1, 𝑧2, 𝑧3}

E as matrizes relacionais

𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 e 𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑧

“𝑥 é muito maior que 𝑦 E 𝑦 é muito próximo de z”

𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑧

𝜇𝑀𝑀∘𝑀𝑃 𝑥, 𝑧 =?

𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 =

𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4𝑥1 0.8 1 0.1 0.7𝑥2 0 0.8 0 0𝑥3 0.9 1 0.7 0.8

𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑧 =

𝑧1 𝑧2 𝑧3𝑦1 0.4 0.9 0.3𝑦2 0 0.4 0𝑦3 0.9 0.5 0.8𝑦4 0.6 0.7 0.5


As composições máx-mín e máx-produto são obtidas como segue:

No caso crisp, os resultados são os mesmos se for o máx-mín ou o máx-produto. Já no caso fuzzy os resultados são diferentes. Esta é uma diferença entre o crisp e o fuzzy para composição de relações em espaços diferentes.

𝑧1 𝑧2 𝑧3

𝑥1 0.6 0.8 0.5𝑥2 0 0.4 0𝑥3 0.7 0.9 0.7

𝑧1 𝑧2 𝑧3

𝑥1 0.42 0.72 0.35𝑥2 0 0.32 0𝑥3 0.63 0.81 0.56

𝑴á𝒙{𝑴í𝒏[𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑀𝑷 𝒚, 𝒛 ]} 𝑴á𝒙{𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝜇𝑀𝑷 𝒚, 𝒛 }


• Caso particular: Relação Fuzzy P é apenas um conjunto fuzzy:

𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑃 𝑥

𝑈 = 𝑉

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