Apresentação - Introdução e Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

Engenharia Mecânica - FAENG

SISTEMAS DE CONTROLESISTEMAS DE CONTROLE

Prof. Josemar dos Santos

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SumárioSumário

• Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle• Definições Básicas;• Exemplos.

• Transformadas de Laplace• Definição;

Transformada de Laplace;• Transformada de Laplace;• Exemplo.

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Sistemas de ControleSistemas de Controle

Objetivo:j•Introduzir ferramental matemático, conceitos fundamentais e algumas técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos e de Engenharia de Controle Moderno;Controle Moderno;•Utilização do Scilab como ferramenta computacional de engenharia para aplicação dos conceitos e técnicas de controle e modelagem.

Ementa:• Introdução à engenharia de controle de sistemas.

Preliminares matemáticas Re isão de Números Comple os e• Preliminares matemáticas: Revisão de Números Complexos e Transformadas de Laplace.• Conceitos e técnicas de modelagem de sistemas.• Funções de transferência e diagramas de blocos.• Critérios de desempenho, estabilidade e realimentação de sistemas.• Técnicas de síntese de controle pelo método do lugar das raízes e

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de resposta em freqüência.• Projeto de compensadores.



Livro Texto:• Nise, N. Engenharia de Sistemas de Controle, 3a edição, LTC Editora , 2002.

Bibliografia Complementar:• Franklin, G.; Powell, J.D. Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice-Hall 2005Prentice-Hall,2005.• Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, 4a edição, Prentice-Hall, 2003.

Dorf R C Sistemas de Controle Moderno LTC Editora 2001• Dorf, R.C. Sistemas de Controle Moderno, LTC Editora, 2001.

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Critério de Avaliaçãoç

P1*0 4+P2*0 4+AT*0 2P1*0,4+P2*0,4+AT*0,2

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Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle

• Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle• Definições Básicas;• Exemplos.

• Transformadas de Laplace• Definição;

Transformada de Laplace;• Transformada de Laplace;• Exemplo.

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• Controle

Controle é o ato de comandar, dirigir, ordenar,manipular alguma coisa ou alguém. Assim, ummanipular alguma coisa ou alguém. Assim, umsistema de controle é um conjunto decomponentes que tem por função dirigir algumacomponentes que tem por função dirigir algumacoisa (ou alguém).

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• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.

– Entradas são grandezas que estimulam, excitam um sistema Também chamadas de Referência ou dosistema. Também chamadas de Referência ou do inglês, Set Point (SP).

– Saídas são as reações, respostas, do sistema a um ou mais estímulos externos. Também chamadas deou mais estímulos externos. Também chamadas de Variável do Processo ou do inglês, Process Variable (PV).

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– Variável manipulada é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para que modifique oque é variada pelo controlador para que modifique o valor da variável controlada. Do inglês, Manipulated Variable (MV).a ab e ( )

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– Perturbações (ou distúrbios) são sinais que tendema afetar adversamente o valor da saída do sistemaa afetar adversamente o valor da saída do sistema.Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela édenominada perturbação interna, enquanto que umade o ada pe u bação e a, e qua o que u aperturbação (distúrbio) externa é gerada fora dosistema e constitui uma entrada.

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Introdução a Sistemas de Controle

Si t d t l li t d é i t


• Sistema de controle realimentado é um sistema que mantém uma determinada relação entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle. Exemplo: um sistema de controle da temperatura ambiente. Os sistemas de controle realimentados não estão limitados a aplicações de p çEngenharia. Um exemplo é o sistema de controle da temperatura do corpo humano, que é um sistema altamente avançado.avançado.

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S (SC )


• Sistema de controle a malha aberta (SCMA)

é l i t íd ã t h f it bé aquele sistema em que a saída não tem nenhum efeito sobre a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida nem realimentada para comparação com p p ça entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas.

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Sistema de controle a malha fechada (SCMF)


•Sistema de controle a malha fechada (SCMF)

Nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF a dif t f ê i ( i l d t d ) did d iá ldiferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado O termo controle a malhaa saída do sistema a um valor desejado. O termo controle a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro do sistema.

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• SCMF x SCMA

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• Componentes de um Sistema de Controle

SP MV PV Controlador Atuador Planta

±

Sensor

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Modelo MatemáticoModelo Matemático

Conceitos BásicosConceitos Básicos

Modelo Matemático

Consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia para se obter uma representação matemática d i tde um sistema.

• Circuitos Elétricos – Lei de Ohm e as Leis de Kirchoff• Sistemas Mecânicos – Leis de Newton

Entrada SaídaDescrição

matemática

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Modelo MatemáticoModelo Matemático


Modelo Matemático

Equações Diferenciais

1 1

ad ydt

ad ydt

adydt

a y bd xdt

bd xdt

bdxdt

b xn

n

n n

n

n m

m

m m

m

m+ + + + = + + + +−

−

− −

−

−1

1

1 1 0 1

1

1 1 0... ...

y - saída do sistema

t d d i tx - entrada do sistema

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d l á iModelo Matemático


Modelo Matemático: Exemplo

Circuito RLC

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d l á iModelo Matemático



Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-cargaImpedânciaZ(s) = V(s)/I(s)

AdmitânciaY(s) = I(s)/V(s)

Tabela 1 - Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores e indutores

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s)

Indutor

Nota: ν( t ) = V (volts) i( t ) = A (ampères) q( t ) = Q (coulombs) C = F (farads) R = Ω (ohms) G = (mhos) L = H (henries)

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Nota: ν( t ) V (volts), i( t ) A (ampères), q( t ) Q (coulombs), C F (farads), R Ω (ohms), G (mhos), L H (henries)


M d l M t átiModelo Matemático



Circuito RLC

∫t

diRitdiL )()(1)()(∫ =++ tvdi

CtRi

dtL

0

)()()()( ττ

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Circuito RLC

M d d iá l tMudança de variável corrente para carga

1)()(2 tdqtqd )()(1)()(2 tvtq

CdttdqR

dttqdL =++

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Circuito RLC

Utili d l ã t ã d T b l 1Utilizando a relação tensão-carga da Tabela 1.

)()( tCvtq =

)()()()(

)()(2

tvtvtdvRCtVdLC

tCvtq

CC

C

=++

=

)()(2 tvtvdt

RCdt

LC C =++

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Circuito RLC

)()(2 tdvtvd )()()()(2 tvtv

dttdvRC

dttvdLC C

CC =++

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Circuito RLC

)()()()(2

2

tvtvdt

tdvRCdt

tvdLC CCC =++2 dtdt

Aplicar a Transformada de LaplaceAplicar a Transformada de Laplace

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Transformada de LaplaceTransformada de Laplace

• Método para solucionar equações diferenciais ordinárias

• É uma operação semelhante à transformada logarítmica• É uma operação semelhante à transformada logarítmica

• Equações diferenciais são transformadas em equações algébricasalgébricas

• Realiza-se operações no domínio “s”

• Retorna ao domínio “t” através da transformada inversa

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EsquematicamenteEsquematicamente

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Transformada de Laplace

Matemático francês LAPLACE (1749-1827) inventou um método para resolver equações diferenciais da seguinte forma

•Multiplica cada termo da equação diferencial por e-st

•Integra cada termo em relação ao tempo de ZERO a INFINITO• “s” é uma constante de unidade 1/tempo

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Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:


( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF st−∞

∫L


( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF ∫==0

L

Em que ωσ js += é uma variável complexa

Onde: F(s) - símbolo da transformada de Laplace f(t) - função contínua em 0 < t < infinitoL operador de Laplace

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L - operador de Laplace




Transformada Inversa de LaplaceTransformada Inversa de Laplace

[ ]( ) ( )[ ]f t f s= −L 1

Onde: f(t) - função que não é definida para t < 0L-1 - operador da inversa de Laplace

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Tabela de Transformadas de Laplace

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PROPRIEDADES• PROPRIEDADES

1 - SOMA DE DUAS FUNÇÕESÇ

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftftftf 212121 +=+=+ LLL

2 - MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE

( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= =( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= =

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3 – FUNÇÃO COM ATRASO NO TEMPOÇ

( )[ ] ( )L f t t e F st s− = −0

0( )[ ]0

( )∞∞

∫∫( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L f t t f t t e d t t e f t e dts t t s t s t− = − − =− − −∫∫0 0 000

0 0

( )[ ] ( )L f t t e F ss t− =00

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( )[ ]




4 – DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNÇÃOÇ

( )( ) ( ) ( ) ( )L d f t

d tsF s f o n d e f f t

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= − = =0 0 0:

d t⎣ ⎦

( ) ( ) [ ]df t df t⎡ ⎤ ∞∞ ∞

∫∫( ) ( )

( ) ( ) [ ] ( )L Ldf t

dtfdf t

dte dt f t e dt f t e s fs t s t s t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = = + = −− − −∫∫

00 0

0

( )( ) ( )L

df tF f

⎡⎢

⎤⎥ 0

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( ) ( )Ldt

sF s f⎣⎢

⎦⎥ = − 0




5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃOÇ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )00

022

2

=−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡tf

dtdonde

dtdfsfsFs

dttfd :L⎦⎣ dtdtdt

( ) ( ) ( )df ( ) ( ) ( )φ s sF s f= − 0φ =dfdt

⎡ ⎤ [ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = = −φ φ φ

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5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃOÇ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0000 22

2

'fsfsFsfssFsdt

fd−−=−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φL

dt ⎠⎝

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6 – DERIVADA N-ÉSIMA DE UMA FUNÇÃOÇ

d d dn n⎡ ⎤ 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L ddt

f t s F s S f Sddt

fddt

fn

nn n n

n⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥= − − − −− −

−1 2

1

0 0 0......

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R f ê i Bibli áfiReferências Bibliográficas

BEGA E A (Organizador) Instrumentação Industrial 1a ed Rio de Janeiro:BEGA, E. A. (Organizador). Instrumentação Industrial 1a. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2003. 541 p.

FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D., EMAMI-NAEINI, A. Feedback Control of Dynamic ySystems 3a. ed. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 778 p.

GARCIA, CLAUDIO. Modelagem e Simulação 1a. ed. São Paulo: EDUSP, 1997. 458 p.

MARLIN, T. Process Control - Designing Processes and Control Systems for Dynamics Performance 1a. ed. USA: McGraw-Hill, 1995. 954 p.

NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle 3a. Edição ed. São Paulo: LTC, 2002. 695 p.

OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4a ed São Paulo: Pearson Prentice HallOGATA, K. Engenharia de Controle Moderno 4a. ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall, 2005. 788 p.

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Apresentação - Introdução e Transformadas de Laplace

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