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06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
Cálculo III
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
Capítulo II
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Transformadas de Laplace
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
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06/06/2019 11:26 CÁLCULO III – Transformadas de Laplace
❑ Introdução
❑ Fundamentação Teórica
❑ Transformadas de Equações Diferenciais Ordinária
IV – Transformadas de Laplace
06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
❑ Introdução
❑ Fundamentação Teórica
❑ Transformadas de Equações Diferenciais Ordinárias
IV – Transformadas de Laplace
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06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
4.1 Introdução
✓ Um das ferramentas mais poderosas utilizadas na
resolução das equações diferenciais lineares são as
transformadas de Laplace.
✓ Uma das vantagens do método é o de reduzir o
problema de resolução da equação diferencial,
muitas vezes complexo, a um problema puramente
algébrico.
✓ Ademais, essa metodologia considera as condições
iniciais sem a necessidade de se determinar
inicialmente a solução geral para dela, então, obter-
se uma solução particular.
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4.1 Introdução
✓ Em sua essência, o desenvolvimento do método
consiste de três etapas:
i. A equação diferencial dada é transformada em
uma equação algébrica.
ii. Essa equação é resolvida por manipulações
puramente algébricas.
iii. A solução da equação algébrica obtida é
transformada em sentido contrário, de modo que
forneça a solução desejada da equação
diferencial original.
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❑ Introdução
❑ Fundamentação Teórica
❑ Transformadas de Equações Diferenciais Ordinárias
IV – Transformadas de Laplace
06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
✓ Uma transformada integral é uma relação da forma
𝐹 𝑠 = 𝛼
𝛽𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡,
✓ em que K(s,t) é uma função dada, chamada de
núcleo da transformação, e os limites de integração
e também são dados. Essa relação transforma a
função f em outra função F, que é chamada a
transformada de f.
✓ Se f(t) estiver definida para 𝑡 ≥ 0, então a integral
imprópria
0
∞𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
4.2 Fundamentação Teórica
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✓ é definida pelo limite
✓ 0
∞𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞0
𝑏𝐾 𝑠, 𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
✓ Se esse limite existe, diz-se que a integral existe ou
é convergente; se o limite não existe, diz-se que a
integral não existe ou é divergente.
✓ O limite existirá somente para certos valores da
variável s.
✓ Existem diversas transformadas integrais úteis em
matemática aplicada, entre elas a transformada de
Laplace.
4.2 Fundamentação Teórica
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Definição da Transformada de Laplace.
✓ Seja f(t) uma dada função que é definida para todos
os valores de t maiores ou iguais a zero (𝑡 ≥ 0). Se
essa função for multiplicada por 𝑒−𝑠𝑡 e o resultado
integrado em relação a t variando de zero ao infinito,
então ela será uma função de s denominada
transformada de Laplace da função original f(t),
desde que a integral resultante exista (convirja), e
será denotada por F(s) ou ℒ{𝑓 𝑡 }, definida pela
equação
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 = 0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡 .
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Além disso, a função original f(t) é chamada de
transformada inversa ou, simplesmente, a inversa de
F(s) e será representada por ℒ−1(𝐹); assim, ela será
escrita como
𝑓 𝑡 = ℒ−1[𝐹 𝑠 ].
✓ Como já ficou demonstrado, no tratamento das
transformadas de Laplace a função original será
representada por uma letra minúscula e sua
respectiva transformada pela mesma letra, porém
maiúscula.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Exemplo. Calcule a transformada de Laplace de
𝑓 𝑡 = 1.
✓ Solução:
ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 1
= 0
∞𝑒−𝑠𝑡(1)𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞0
𝑏𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
= lim𝑏→∞
ቚ−𝑒−𝑠𝑡
𝑠 0
𝑏
= lim𝑏→∞
−𝑒−𝑠𝑏+1
𝑠=
1
𝑠
✓ desde que 𝑠 > 0 (a integral converge, pois 𝑒−𝑠𝑡 → 0quando 𝑏 → ∞). Se 𝑠 < 0, a integral é divergente
(𝑒−𝑠𝑡 → ∞, quando 𝑏 → ∞).
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Definição de uma função contínua. Seja uma
função 𝑓 𝑡 : 𝑎, 𝑏 → 𝑅 e 𝑎 < 𝑡𝑜 < 𝑏. A função 𝑓(𝑡)é contínua em um certo ponto to, se
lim𝑡→𝑡𝑜
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡𝑜)
onde 𝑎, 𝑏 é um intervalo da forma
𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 e [𝑎, 𝑏].
Se não existe lim𝑡→𝑡𝑜
𝑓(𝑡) ou se ele existe, mas
lim𝑡→𝑡𝑜
𝑓(𝑡) ≠ 𝑓(𝑡𝑜) , diz-se que a função 𝑓(𝑡) é
descontínua em 𝑡𝑜.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Tipos de descontinuidades. Se f(t) é uma função
descontínua em um ponto 𝑡𝑜 do seu domínio, diz-se
que:
i. f(t) tem descontinuidade de salto (1ª espécie) em
um certo ponto 𝑡𝑜, se os limites laterais da função
em 𝑡𝑜 existem (são finitos), mas são distintos.
ii. f(t) tem descontinuidade infinita (2ª espécie) em
um certo ponto 𝑡𝑜 , se a função toma valores
arbitrariamente grandes ou arbitrariamente
pequenos próximos de 𝑡𝑜 .
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ A figura mostra a função f(t) contínua no intervalo
[a, b] e a função g(t) que apresenta uma
descontinuidade em saltos (1ª espécie) no ponto b e
uma descontinuidade infinita (2ª espécie) no ponto c.
f(t) g(t)
t
t
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Ordem exponencial. Diz-se que uma função f(t) é de
ordem exponencial em [0,∞) se existem constantes
, M > 0, tal que para todo 𝑡 ≥ 0 se tem 𝑓(𝑡) ≤𝑀𝑒𝛼𝑡.
✓ São funções de ordem exponencial:
✓ 𝑓 𝑡 = 𝑡, pois 𝑡 < 𝑒𝑡;
✓ 𝑓 𝑡 = 𝑡2, pois 𝑡² < 2𝑒𝑡;
✓ 𝑓 𝑡 = 𝑡2 cos(𝑎𝑡), pois 𝑡2cos(𝑎𝑡) < 2𝑒(1+𝑎)𝑡;
✓ 𝑓 𝑡 = 𝑒−1, pois 𝑒−1 < 𝑒𝑡 .
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4.2 Fundamentação Teórica
𝒆𝒕
𝒕
𝑡 é de ordem
exponencial
𝒕²𝟐𝒆𝒕
𝑡² é de ordem
exponencial
𝒆𝒕𝒆𝒕²𝑒𝑡²não é de
ordem
exponencial𝑡2 cos𝑡 é de
ordem
exponencial
𝒕2𝒄𝒐𝒔 𝒕𝟐𝒆𝟐𝒕
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Condições suficientes para a existência da
transformada de Laplace. Consistem em que a função
𝑓(𝑡) seja contínua em intervalos e 𝑓(𝑡) não cresça
demasiadamente rápido à medida que t se aproxima do
infinito (f seja de ordem exponencial) .
✓ Uma função 𝑓 𝑡 é dita contínua em intervalos (ou
seccionalmente contínua) sobre um intervalo finito 𝑎 ≤𝑡 ≤ 𝑏 , se nesse intervalo há um número finito de
descontinuidades de 1ª espécie. Então, os saltos finitos,
conforme definidos, são as únicas descontinuidades que
uma função contínua em intervalos pode possuir, e onde,
evidentemente, todas as funções contínuas estão incluídas.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Teorema 1 (Teorema de existência). Seja 𝑓 𝑡 uma
função contínua em intervalos (contínua por partes
ou seccionalmente contínua) no intervalo [0,∞) ,
como também satisfaça a relação
𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝛼𝑡
✓ para qualquer 𝑡 ≥ 0 e para certas constantes ∝, 𝑀 >0, isto é, seja de ordem exponencial para 𝑡 ≥ 0;
então, a sua transformada de Laplace existe para todo
s > ∝.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Demonstração. Como 𝑓(𝑡) é contínua em
intervalos, 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) é integrável em qualquer
intervalo finito sobre o eixo 𝑡, e da relação 𝑓(𝑡) ≤𝑀𝑒𝛼𝑡, tem-se
✓ ℒ{𝑓} = 0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
0
∞𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
✓ ≤ 0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑀𝑒𝛼𝑡𝑑𝑡 = 𝑀
0
∞𝑒− 𝑠−∝ 𝑡𝑑𝑡 =
𝑀
𝑠−∝
✓ isso implica que a integral converge para todo s > ∝.
Logo, a transformada existe para todo s > ∝ ,conforme se queria demonstrar.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Teorema 2 (Linearidade). A transformada de
Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer
funções f(t) e g(t) cujas transformadas de Laplace
existam, e quaisquer constantes a e b, tem-se
ℒ 𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔(𝑡) = aℒ 𝑓 + 𝑏ℒ 𝑔
✓ Demonstração. Por definição,
ℒ{𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔 𝑡 } = 0
∞𝑒−𝑠𝑡[𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔 𝑡 ]𝑑𝑡
= 𝑎 0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑏
0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑔 𝑡 𝑑𝑡
= 𝑎ℒ 𝑓 𝑡 } + 𝑏ℒ{𝑔(𝑡)
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ A tabela a seguir mostra as transformadas de Laplace
de algumas funções elementares muito importantes,
pois a partir delas, boa parte das transformadas
necessárias podem ser obtidas pelo emprego de
alguns teoremas gerais.
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4.2 Fundamentação Teórica
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Exemplo. Ache a transformada de Laplace de
𝑓 𝑡 = 3𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡.
ℒ 3𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 3ℒ 𝑡 − 5ℒ 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
= 31
𝑠2− 5
2
𝑠2 + 4=−7𝑠2 + 12
𝑠2 𝑠2 + 4𝑠 > 0
✓ Teorema 3 (Primeiro teorema do deslocamento).
Se ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 quando 𝑠 > 𝑎, segue-se que
£ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 − 𝑎 ,
isto é, a substituição de s por s – a na transformada
corresponde à multiplicação da função por 𝑒𝑎𝑡.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Demonstração. Por definição,
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠) = 0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
e, portanto,
𝐹(𝑠 − 𝑎) = 0
∞𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
= 0
∞𝑒−𝑠𝑡[𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 ]𝑑𝑡 = ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡
✓ Exemplo. Sabendo-se que ℒ 𝑡² = Τ2 𝑠 ³ ache
ℒ 𝑒−2𝑡𝑡2 .
✓ ℒ 𝑒−2𝑡𝑡2 =2
[𝑠− −2 ]³=
2
(𝑠+2)³𝑠 > −2
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Exemplo. Calcule ℒ 𝑒5𝑡𝑡³
Solução: Da comparação com o teorema do
deslocamento
£ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 − 𝑎 ≡ ℒ 𝑒5𝑡𝑡³
tem-se que 𝑓 𝑡 = 𝑡3, 𝑎 = 5.
✓ Como ℒ 𝑓(𝑡𝑛) =𝑛!
𝑠𝑛+1, então
✓ ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝑡3 =3!
𝑠3+1=
3!
𝑠4= 𝐹 𝑠
✓ ℒ 𝑒5𝑡𝑡³ = 𝐹 𝑠 − 5 =3!
(𝑠−5)4
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Teorema 4 (Derivada de f(t)). Seja uma função f(t)
contínua para 𝑡 ≥ 0, que satisfaça a relação de ordem
exponencial (para determinados ∝ e M) e possua uma
derivada 𝑓′(𝑡) contínua em intervalos sobre qualquer
intervalo finito em 𝑡 ≥ 0,então a transformada de
Laplace da referida derivada existe quando s > ∝, e
ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑠ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑓 0 (𝑠 > 𝛼)
✓ Demonstração. Considerando-se que 𝑓′(𝑡) é
contínua para 𝑡 ≥ 0; então, de acordo com a definição
e mediante uma integração por partes, tem-se
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4.2 Fundamentação Teórica
ℒ 𝑓′ 𝑡 = 0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡
= ȁ𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) 0∞ + 𝑠
0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
= −𝑓 0 + 𝑠ℒ{𝑓 𝑡 }
ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑠ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑓(0)
supondo-se que 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) → 0 quando 𝑡 → ∞.Analogamente,
ℒ 𝑓′′ 𝑡 = 𝑠ℒ 𝑓′ 𝑡 − 𝑓′(0)
= 𝑠 𝑠ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑓 0 − 𝑓′ 0
ℒ 𝑓′′ 𝑡 = 𝑠2ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′ 0
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Semelhantemente,
✓ ℒ 𝑓′′′ 𝑡 =
✓ = 𝑠3 ℒ 𝑓 𝑡 −𝑠2 𝑓 0 − 𝑠𝑓′ 0 − 𝑓′′(0).
✓ Por indução e considerando as condições de existência
das transformadas de Laplace, obtém-se a seguinte
extensão
ℒ 𝑓(𝑛) 𝑡 = 𝑠𝑛ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑛−1𝑓 0
−𝑠𝑛−2𝑓′ 0 − ⋯− 𝑓 𝑛−1 (0)
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Exemplo. Seja 𝑓 𝑡 = Τ𝑡2 2. Determinar ℒ 𝑓 𝑡 .
✓ Solução:
✓ Tem-se 𝑓 0 = 0, 𝑓′ 0 = 𝑡 = 0, 𝑓′′ 0 = 1,
✓ Como ℒ{𝑓′′ 𝑡 } = ℒ 1 =1
𝑠, obtém-se
✓ ℒ 𝑓′′ 𝑡 = 𝑠2ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′ 0
✓ ℒ 1 =1
𝑠= 𝑠2ℒ 𝑓 𝑡 − 0 − 0
✓ ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ Τ𝑡2 2 =1
𝑠3
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Teorema 5 (Integração de f(t)). Se a função f(t) é
contínua em intervalos e de ordem exponencial (para
determinados ∝ e M), então a transformada de
Laplace da referida integração existe quando 𝑠 >0 e 𝑠 > ∝, e
ℒ 0
𝑡𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑠ℒ 𝑓 𝑡 (𝑠 > 0, 𝑠 > 𝛼)
✓ Demonstração. Considerando-se que 𝑓 𝑡 satisfaça
as condições de existência das transformadas de
Laplace, então a integral 𝑔 𝑡 = 0
𝑡𝑓(𝑢)𝑑𝑢 é
contínua.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Definido-se
✓ 𝑔 𝑡 = 0
𝑡𝑓(𝑢)𝑑𝑢,
✓ então, pelo teorema fundamental do cálculo,
✓ 𝑔′ 𝑡 =𝑑
𝑑𝑡𝑔 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡0
𝑡𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑓 𝑡 e
✓ 𝑔 0 = 0
0𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 0.
✓ Portanto,
✓ F s = ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 𝑔′ 𝑡 = 𝑠ℒ 𝑔 𝑡 − 𝑔(0),
e como 𝑔 0 = 0, então
ℒ 𝑔 𝑡 =1
𝑠ℒ 𝑓 𝑡
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Exemplo. Seja ℒ 𝑓 𝑡 =1
𝑠2(𝑠2+22), achar
𝑓 𝑡 , utilizando a transformada da integral.
✓ Solução: Da tabela de transformadas tem-se
✓ 𝑓 𝑡 = ℒ−11
𝑠²(𝑠2+2²)
✓ ℎ 𝑡 = ℒ−11
𝑠2+2²= ℒ−1
1
2∙
2
𝑠2+2²=
1
2ℒ−1
2
𝑠2+2²
✓ =1
2𝑠𝑒𝑛 2𝑡
✓1
𝑠
1
𝑠2+2²=
1
𝑠ℒ ℎ 𝑡 = ℒ
0
𝑡ℎ 𝑢 𝑑𝑢
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ℒ−11
𝑠
1
𝑠2+2²=
0
𝑡ℎ 𝑢 𝑑𝑢 =
1
20
𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑢𝑑𝑢
✓ =1
4(1 − cos 2𝑡)
𝑓 𝑡 = ℒ−1 1
𝑠²
1
𝑠2+2²= ℒ−1
1
𝑠
1
𝑠
1
𝑠2+2²
= 0
𝑡 1
4(1 − cos 2𝑢) 𝑑𝑢
=1
4𝑡 −
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
2
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ FRAÇÕES PARCIAIS (Revisão). O uso de frações
parciais é muito importante quando se procura a
transformada de Laplace inversa que envolve uma
fração aparentemente complexa. Existem vários casos
de aplicação da técnica, mas aqui serão revisados
somente os casos mais comuns.
✓ Caso I. O denominador contém somente fatores
lineares distintos, como no cálculo da transformada
inversa
ℒ−11
(𝑠 − 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 4).
06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
4.2 Fundamentação Teórica
✓ Neste caso, existem únicas constantes A, B e C tais
que:
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 4)=
𝐴
𝑠 − 1+
𝐵
𝑠 + 2+
𝐶
𝑠 + 4
1 = 𝐴𝑠2 + 4𝐴𝑠 + 2𝐴𝑠 + 8𝐴 + 𝐵𝑠2 + 4𝐵𝑠 − 𝐵𝑠
−4𝐵 + 𝐶𝑠2 + 2𝐶𝑠 − 𝐶𝑠 − 2𝐶
1 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑠2 + 6𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 𝑠
+(8𝐴 − 4𝐵 − 2𝐶)
✓ Comparando-se os coeficientes das potências de s
em ambos os lados da igualdade tem-se
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4.2 Fundamentação Teórica
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0; 6𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0 e 8𝐴 − 4𝐵 − 2𝐶 = 1
✓ de onde se obtém 𝐴 = Τ1 15 , 𝐵 = Τ−1 6 e C = Τ1 10.
Então, pode-se escrever
✓1
(𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4)=
1/15
𝑠−1−
1
6
𝑠+2+
1
10
𝑠+4
✓ e assim,
✓ ℒ−11
(𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4)=
1
15ℒ−1 1
𝑠−1−
1
6ℒ−1
1
𝑠+1
✓ +1
10ℒ−1
1
𝑠+4
✓ =1
15𝑒𝑡 −
1
6𝑒−2𝑡 +
1
10𝑒−4𝑡
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Caso II. O denominador contém fatores lineares
repetidos, como no cálculo da transformada inversa a
seguir
ℒ−1𝑠 + 1
𝑠²(𝑠 + 2)³.
✓ Neste caso, ter-se-á tantas frações parciais (e
constantes) quantos forem o número de fatores. No
exemplo a seguir, tem-se 5 fatores, logo as constantes
serão A, B, C, D e E, tais que:
𝑠 + 1
𝑠²(𝑠 + 2)³=𝐴
𝑠+𝐵
𝑠²+
𝐶
𝑠 + 2+
𝐷
(𝑠 + 2)²+
𝐸
(𝑠 + 2)³
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4.2 Fundamentação Teórica
Procedendo-se da mesma maneira anterior, chega-se a
𝑠 + 1 = 𝐴𝑠 𝑠 + 2 3 + 𝐵 𝑠 + 2 3 + 𝐶𝑠2 𝑠 + 2 2
+𝐷𝑠2 𝑠 + 2 + 𝐸𝑠2
✓ Substituindo-se 𝑠 = 0 e 𝑠 = −2 (os zeros do
denominador), conclui-se que 𝐵 = Τ1 8 e 𝐸 = Τ−1 4,
respectivamente. Igualando-se 𝑠4, 𝑠³ e 𝑠, tem-se
0 = 𝐴 + 𝐶; 0 = 6𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 + 𝐷; 1 = 8𝐴 + 12𝐵,
de onde se obtém
𝐴 = − Τ1 16 , 𝐶 = Τ1 16 e 𝐷 = 0.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Logo
✓ ℒ−1 𝑠+1
𝑠²(𝑠+2)³=
✓ = ℒ−1 −Τ1 16
𝑠+
Τ1 8
𝑠2+
Τ1 16
𝑠+2+
0
𝑠+2 2 −Τ1 4
(𝑠+2)³
✓ = −1
16ℒ−1 1
𝑠+
1
8ℒ−1 1
𝑠²
✓ +1
16ℒ−1 1
𝑠+2−
1
4ℒ−1 1
(𝑠+2)³
✓ = −1
16+
1
8𝑡 +
1
16𝑒−2𝑡 −
1
8𝑡²𝑒−2𝑡
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06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
4.2 Fundamentação Teórica
✓ Caso III. O denominador contém um fator quadrático
irredutível (raízes complexas), como no cálculo da
transformada inversa a seguir
ℒ−13𝑠 − 2
𝑠³(𝑠² + 4).
✓ Neste caso, ter-se-á quatro frações parciais quantos
forem o número de fatores (quatro constantes), mas a
fração correspondente ao fator quadrático apresentará
duas constantes. No exemplo a seguir, tem-se quatro
fatores, um deles quadrático, logo serão quatro
frações com cinco constantes A, B, C, D e E, tais que:
06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
4.2 Fundamentação Teórica
3𝑠−2
𝑠³(𝑠²+4)=
𝐴
𝑠+
𝐵
𝑠²+
𝐶
𝑠³+
𝐷
(𝑠+2)²+
𝐷𝑠+𝐸
𝑠²+2
Procedendo-se da mesma maneira anterior,chega-se a
3𝑠 + 2 = 𝐴𝑠2 𝑠2 + 4 + 𝐵𝑠 𝑠2 + 4
+ 𝐶(𝑠2 + 4) + 𝐷𝑠 + 𝐸 𝑠3
✓ Substituindo-se 𝑠 = 0 (o zero real do denominador),
conclui-se que 𝐶 = − Τ1 2. Os demais coeficientes
serão calculados comparando-se as potências de s
em ambos os lados da igualdade. Assim
A = Τ1 8; B = Τ3 4 ;𝐷 = − Τ1 8 ; 𝐸 = Τ−3 4.
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Logo
✓ y t = ℒ−1 3𝑠−2
𝑠³(𝑠2+4)=
✓ = ℒ−1 Τ1 8
𝑠+
Τ3 4
𝑠2−
Τ1 2
𝑠³+
− Τ(𝑠 8)− Τ3 4
𝑠2+4
✓ = −1
8ℒ−1
1
𝑠+
3
4ℒ−1
1
𝑠²
✓ −1
4ℒ−1 2
𝑠3−
1
8ℒ−1 𝑠
𝑠2+2²−
3
8ℒ−1 2
𝑠2+2²
✓ 𝐲(𝐭) =𝟏
𝟖+
𝟑
𝟒𝒕 −
𝟏
𝟒𝒕𝟐 −
𝟏
𝟖𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 −
𝟑
𝟖𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ CONVOLUÇÃO. Se duas funções, f e g, forem
contínuas em intervalos sobre o intervalo 0,∞ , então a
convolução de f e g, denotada por 𝑓 ∗ 𝑔, é dada pela
integral
𝑓 ∗ 𝑔 = 0𝑡𝑓 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
✓ Pode ser demonstrado que a convolução de duas
funções é comutativa, ou seja, 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓.
✓ Exemplo. A convolução de 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 e 𝑔 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 é
𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑒𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑡
= 0𝑡𝑒𝜏𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 =
1
2(−𝑠𝑒𝑛 𝑡 − cos 𝑡 + 𝑒𝑡)
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ A transformada de Laplace da convolução de duas
funções pode ser calculada sem a necessidade de
resolver a integral que a define, como feito
anteriormente, conforme demonstra o teorema a
seguir:
✓ Teorema 6 (Teorema de convolução). Sejam
𝑓 𝑡 e 𝑔 𝑡 funções contínuas em intervalos sobre o
intervalo 0,∞ e de ordem exponencial; então,
ℒ 𝑓 ∗ 𝑔 = ℒ 𝑓 𝑡 ∙ ℒ 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑠 ∙ 𝐺(𝑠)
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Demonstração. Seja
✓ 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 = 0
∞𝑒−𝑠𝜏𝑓(𝜏)𝑑𝜏 e
✓ 𝐺 𝑠 = ℒ 𝑔 𝑡 = 0
∞𝑒−𝑠𝛽𝑔(𝛽)𝑑𝛽
✓ Então
✓ 𝐹 𝑠 ∙ 𝐺 𝑠 = 0
∞𝑒−𝑠𝜏𝑓(𝜏)𝑑𝜏
0
∞𝑒−𝑠𝛽𝑔(𝛽)𝑑𝛽
✓ = 0
∞𝑒−𝑠𝜏𝑓(𝜏)
0
∞𝑒−𝑠𝛽𝑔(𝛽)𝑑𝛽 𝑑𝜏
✓ = 0
∞𝑓(𝜏)
0
∞𝑒−𝑠𝜏𝑒−𝑠𝛽𝑔(𝛽)𝑑𝛽 𝑑𝜏
✓ = 0
∞𝑓(𝜏)
0
∞𝑒−𝑠(𝜏+𝛽)𝑔(𝛽)𝑑𝛽 𝑑𝜏
✓
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Fixando 𝜏 e fazendo 𝑡 = 𝜏 + 𝛽, 𝑑𝑡 = 𝑑𝛽, tem-se
✓ 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 = 0
∞𝑓(𝜏)
𝜏
∞𝑒−𝑠𝑡𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝑑𝜏
✓ Como as funções são contínuas a ordem de integração
pode ser invertida (Teorema de Fubini), então
✓ 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 = 0
∞𝑒−𝑠𝑡
0
𝑡𝑓 𝜏 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑑𝑡
✓ 𝑓 ∗ 𝑔
✓ A integral interna é a convolução de 𝑓 e 𝑔 (𝑓 ∗ 𝑔).Logo, da definição da transformada de Laplace, tem-
se que
✓ 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 = ℒ{𝑓 ∗ 𝑔}
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4.2 Fundamentação Teórica
Inversão da ordem de integração →
Plano 𝜏 − 𝑡
𝝉 = 𝒕
𝒕
𝝉
Integral externa
𝒕: 0 𝑎 ∞
𝝉 = 𝟎
Reta 𝝉 = 𝒕
𝝉 = 𝒕
𝒕
𝝉
Integral
externa
𝝉: 0 𝑎 ∞
𝝉 = 𝟎
Reta 𝝉 = 𝒕
𝝉 = 𝒕
Integral
interna
t: 𝜏 𝑎 ∞ Integral
interna
𝝉: 0 𝑎 𝑡
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ Exemplo. Calcule
ℒ 0
𝑡𝑒𝜏𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
Solução: Da definição de convolução, tem-se que
0
𝑡𝑒𝜏𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 ∗ 𝑔,
onde 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 e g 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡. Então
ℒ 0
𝑡𝑒𝜏𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = ℒ 𝑓 ∗ 𝑔 = ℒ 𝑓 ∙ ℒ 𝑔
= ℒ 𝑒𝑡 ∙ ℒ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 =1
𝑠−1∙
1
𝑠2+1=
1
(𝑠−1)(𝑠2+1)
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ TEOREMA DA CONVOLUÇÃO (Forma inversa).
✓ Pelo Teorema da Convolução, anteriormente
demonstrado, tem-se que
ℒ−1 𝐹 𝑠 𝐺(𝑠) = 𝑓 ∗ 𝑔
✓ Exemplo. Calcule ℒ−11
(𝑠−1)(𝑠+4)
Solução:
ℒ−11
(𝑠−1)(𝑠+4)= ℒ−1
1
𝑠−1∙
1
𝑠+4
𝐹 𝑠 =1
𝑠−1e 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+4
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ ℒ−1 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 e
✓ ℒ−1 𝐺(𝑠) = 𝑔 𝑡 = 𝑒−4𝑡
✓ ℒ−11
𝑠−1∙
1
𝑠+1=
✓ = ℒ−1 𝐹(𝑠) ∙ 𝐺(𝑠) = 𝑓 ∗ 𝑔
✓ = 0
𝑡𝑒𝜏𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 =
0
𝑡𝑒𝜏𝑒−4(𝑡−𝜏)𝑑𝜏
✓ = 𝑒−4𝑡 0
𝑡𝑒5𝜏𝑑𝜏 =𝑒−4𝜏 ቚ
1
5𝑒5𝜏
0
𝑡
✓ =1
5𝑒𝑡 −
1
5𝑒−4𝑡
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4.2 Fundamentação Teórica
✓ FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO.
✓ A função degrau unitário é considerada como de
fundamental importância na definição de certas
funções de relevância no uso da transformação de
Laplace.
✓ Definição. A função degrau unitário, representada
por 𝓊𝑎(𝑡 − 𝑎) é definida por
✓ 𝓊𝑎 𝑡 = ቊ0 𝑡 < 𝑎1 𝑡 ≥ 𝑎.
Exemplo: Esboce o gráfico das funções de 𝓊𝑜 𝑡 e
𝑢2 𝑡
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4.2 Fundamentação Teórica
(a) 𝓊𝑜 𝑡 → 𝑎 = 0 → 𝓊0 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 0
(b) 𝓊2 𝑡 → 𝑎 = 2 → 𝓊2 𝑡 = ቊ0 0 ≤ 𝑡 < 21 𝑡 ≥ 2.
𝒕
𝓾
𝟏
𝒕
𝓾
𝟏
𝟐
(a) (b)
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❑ Introdução
❑ Fundamentação Teórica
❑ Transformadas de Equações Diferenciais Ordinárias
IV – Transformadas de Laplace
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4.3 Transformadas de EDOs
✓ Para resolver equações diferenciais ordinárias
utilizando as transformadas de Laplace, considerar-
se-á, como exemplo, a equação
𝑦′′ + 𝑤2𝑦 = 𝑟(𝑡)
✓ com 𝑤 e 𝑟 𝑡 conhecidos. Aplicando-se a
transformada de Laplace, obtém-se
𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 𝑤2𝑌 𝑠 = 𝑅(𝑠),
✓ onde 𝑌(𝑠) é a transformada de Laplace da função
incógnita 𝑦(𝑡), e 𝑅(𝑠) é a transformada de Laplace
de 𝑟(𝑡).
06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
4.3 Transformadas de EDOs
• Esta equação algébrica é, geralmente, denominada
equação subsidiária da equação diferencial, e sua
solução é
𝑌 𝑠 =𝑠𝑦 0 + 𝑦′ 0
𝑠2 +𝑤2+
𝑅(𝑠)
𝑠2 + 𝑤2,
• na qual 𝑌(𝑠) é completamente determinado por meio
das condições iniciais, 𝑦 0 = 𝑘1 e 𝑦′ 0 = 𝑘2.
• Conhecido Y(s), procede-se a última etapa do método,
que consiste em se determinar a transformada inversa
ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝑦(𝑡), que é a solução desejada.
• Posteriormente, pode-se verificar, por substituição, se
𝑦(𝑡) satisfaz à ED dada e às condições iniciais.
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06/06/2019 11:26 CÁLCULO III - Transformadas de Laplace
4.3 Transformadas de EDOs
✓ Exemplo 01. Determinar a solução da ED abaixo, que
satisfaz às condições iniciais y 0 = 0, 𝑦′ 0 = 2.
𝑦′′ + 9𝑦 = 0✓ Solução:
✓ ℒ{𝑦′′ + 9𝑦} = ℒ 𝑦′′ + 9ℒ 𝑦 } = ℒ 0✓ 𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 9𝑌(𝑠) = 0✓ 𝑠2𝑌 𝑠 − 0 − 2 + 9𝑌 𝑠 = 0
✓ 𝑌 𝑠 =2
𝑠2+9=
2
3
3
𝑠2+3²
✓ Da tabela de transformadas decorre
✓ 𝒚 𝒕 = 𝓛−𝟏 𝒀 𝒔 =𝟐
𝟑𝐬𝐞𝐧𝟑𝒕
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4.3 Transformadas de EDOs
✓ Exemplo 02. Resolver a equação
𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑡2𝑒3𝑡, 𝑦 0 = 2, 𝑦′ 0 = 6
✓ Solução:
✓ ℒ{𝑦′′} − 6ℒ 𝑦′ + 9ℒ{𝑦} = ℒ{𝑡2𝑒3𝑡}
✓ 𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 − 6[𝑠𝑌 𝑠
✓ −𝑦 0 ] + 9𝑌(𝑠) =2
(𝑠−3)²
✓ (𝑠2− 6𝑠 + 9)𝑌 𝑠 = 2𝑠 − 6 +2
(𝑠−3)³
✓ s − 3 2𝑌 𝑠 = 2 𝑠 − 3 +2
(𝑠−3)³
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4.3 Transformadas de EDOs
𝑌 𝑠 =2
𝑠−3+
2
(𝑠−3)5
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌(𝑠) = ℒ−12
𝑠−3+
2
𝑠−3 5
= 2ℒ−1 1
𝑠−3+ 2ℒ−1 1
(𝑠−3)5
✓ Da tabela de transformadas inversas de Laplace
✓ ℒ−11
𝑠−𝑎= 𝑒𝑎𝑡, ℒ−1 1
(𝑠−𝑎)𝑛=
1
(𝑛−1)!𝑡𝑛−1𝑒𝑎𝑡,
✓ logo
𝒚 𝒕 = 𝟐𝒆𝟑𝒕 + 𝟐𝟏
𝟒!𝒕𝟒𝒆𝟑𝒕 = 𝒆𝟑𝒕 𝟐 +
𝒕𝟒
𝟏𝟐
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4.3 Transformadas de EDOs
✓ De outra forma:
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌(𝑠) = ℒ−12
𝑠−3+
2
𝑠−3 5
= 2ℒ−11
𝑠−3+ 2ℒ−1 1
(𝑠−3)5
✓ Do teorema da translação e da tabela:
✓ ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠) → ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
✓ ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡) → ℒ−1 𝐹 𝑠 − 𝑎 = 𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)
✓ ℒ−11
𝑠𝑛=
𝑡𝑛−1
(𝑛−1)!→ ℒ−1
1
(𝑠−𝑎)𝑛= 𝑒𝑎𝑡
𝑡𝑛−1
(𝑛−1)!
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4.3 Transformadas de EDOs
ℒ−1 ቚ1
𝑠5 𝑠→𝑠−3= 𝑒3𝑡
𝑡5−1
(5−1)!= 𝑒3𝑡
𝑡4
4!
✓ logo
𝒚 𝒕 = 𝟐𝒆𝟑𝒕 + 𝟐𝟏
𝟒!𝒕𝟒𝒆𝟑𝒕 = 𝒆𝟑𝒕 𝟐 +
𝒕𝟒
𝟏𝟐
Exemplo 02. Resolver a equação
𝑦(4) − 𝑦 = 0,
𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 1, 𝑦′′ 0 = 0, 𝑦′′′ 0 = 0
Solução:
✓ ℒ{𝑦(4)} − ℒ{𝑦} = ℒ{0}
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4.3 Transformadas de EDOs
✓ 𝑠4𝑌 𝑠 − 𝑠3𝑦 0 − 𝑠2𝑦′ 0✓ −𝑠𝑦′′ 0 − 𝑦′′′ 0 − 𝑌 𝑠 = 0
✓ 𝑠4𝑌 𝑠 − 𝑠3 0 − 𝑠2 1 − 𝑠 0 − 0 − 𝑌 𝑠 = 0
𝑌 𝑠 =𝑠2
𝑠4−1=
𝐴𝑠+𝐵
𝑠2−1+
𝐶𝑠+𝐷
𝑠2+1
𝑌 𝑠 = 𝑠2 = 𝐴 + 𝐶 𝑠3 + 𝐵 + 𝐷 𝑠2
+ 𝐴 − 𝐶 𝑠 + 𝐵 − 𝐷
𝐴 + 𝐶 = 0𝐵 + 𝐷 = 1𝐴 − 𝐶 = 0𝐵 − 𝐷 = 0
→ 𝐴 = 𝐶 = 0 e 𝐵 = 𝐷 = Τ1 2
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4.3 Transformadas de EDOs
𝑌 𝑠 = ℒ 𝑦(𝑡) =1
2
𝑠2−1+
1
2
𝑠2+1=
1
2
1
𝑆2−1²+
1
2
1
𝑆2+1²
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 =1
2ℒ−1
1
𝑠2 − 1²+1
2ℒ−1
1
𝑠2 − 1²
𝒚 𝒕 =𝟏
𝟐(𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒕 + 𝒔𝒆𝒏 𝒕)