EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

Parte 3

Formulação integral

das equações de transporte para sistemas

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As leis físicas e o conceito de sistema

“As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. Elas são a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck

As leis físicas para fluidos foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa.

No sistema não há fluxo de massa na fronteira, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.

O volume de controle é uma região do espaço onde massa, forças e energia podem cruzar a fronteira.

Nesta aula vamos escrever as equações da massa, 2ª lei de Newton e a 1ª e 2ª leis da termodinâmica para um sistema.

Sistema Volume

Controle

Massaentra

Massasai

SistemaVolume Controle

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SistemasUm sistema pode ser caracterizado pela sua Massa, Quantidade de Mov. Linear, Energia, Entropia, e por outras propriedades.

A taxa de variação no tempo de uma propriedade (M, M.V, E, S) é avaliada seguindo o sistema. Porque

A massa do sistema é constante. Tratando de fluido, que é continuamente deformável, é um desafio avaliar como varia no tempo as propriedades (M, M.V, E, S) seguindo o sistema.

Este será o assunto da próxima aula: o Teorema de Transporte de Reynolds.

Esta aula apresenta as equações da massa, 2ª lei de Newton, 1ª e 2ª lei da termodinâmica para sistemas.

sis sis sissis

D MV D E D SDM, , ,

Dt Dt Dt Dt

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Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para partículas e corpos rígidos.

Aplicação do Conceito de Sistema

No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se deformam continuamente (FLUIDOS)!

Considere o exemplo da aula 1. Veja se você conseguiria identificar, de um instante para o seguinte, onde todas as partículas deverão estar.

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SistemasO sistema pode ser caracterizado pela massa, 2ª lei Newton, 1ª e 2ª leis termo.

Observe, o lado esquerdo é sempre uma taxa de variação do tempo de uma propriedade do sistema. O lado direito é específico para cada lei, ele é genericamente denominado por termo fonte. (M, M.V, E, S)

0Dt

DM

sis

ext

sis

FDt

VMD

WQ

Dt

ED

sis

S

sis

PT

Q

Dt

SD

• Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula:

• Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton

• Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica

• Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica

M, E e S – massa, energia e entropia do sistema.

Q, W, T e Ps – calor, trabalho, temperatura e produção de entropia

Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.

Fext – somatória das forças externas agindo no sistema

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Forma genéricaSe considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema, a taxa variação no tempo de B é expressa genericamente por:

SDt

DB

sis

Todas equações de transporte fluidos possuem esta forma genérica.

O termo D/Dt possui um significado especial: é uma derivada no tempo que avalia a taxa de variação de B seguindo o sistema. Note que este conceito é de um referencial Lagrangeano!

O termo à direita, S, são os termos fonte (não confunda c/ entropia)

Verifique as definições abaixo, elas reconstituem as eqs. slide anterior.

• Massa, B = M e S = 0;

• Q. Mov. B = MV e S = Fext;

• 1ª lei B = E e S = Q – W e,

• 2ª lei B = S e S = Q/T + Ps

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Sistema com propriedades não-uniformes

A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço.

A equação de transporte genérica do sistema para propriedades não uniformes é dada por: sis

Dd S

Dt

O valor de B no sistema passa a ser determinado por: sis

B d

m 0

Blim

m

Ela é avaliada definindo uma propriedade intensiva (ou específica) :

Sendo intensiva e dV = dm então outra forma de ver a integral de volume é: sis

B dm

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Propriedades de Sistemas

As equações que descrevem as variações das propriedades conservadas nos sistemas são postulados ou leis da física.

Para constituirmos estas equações devemos especificar:- e, - os termos fonte, isto é, S.

sis sis

DB Dd S

Dt Dt

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Equação da massa para um sistema

A equação da massa é obtida fazendo-se =1 e S = 0,

Note que não há termo fonte de massa, S=0. Pressupõe-se ausência de efeitos nucleares.

A massa de um sistema se conserva por definição de sistema!

sis sis

DM Dd 0

Dt Dt

SdDt

D

sis

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Equação da q. mov. (ref. Inercial) p/ sistema - 2ª Lei de Newton

A equação da Q. Movimento para um referencial inercial é obtida fazendo-se = V, e S = Fext.

SdDt

D

sis

A taxa variação M.V do sistema resulta numa equação vetorial, com três componentes para cada direção do vetor velocidade.

As forças externas são dividas em forças que agem na superfície e aquelas agem no volume do sistema.

• Tensões (pressão termodinâmica e de natureza viscosa) agem na superfície do sistema.

• Forças de campo que agem em todo o volume do sistema.

A 2ª lei de Newton para um sistema é:

sis sis

D DVd Vdm

Dt Dt

ext

A A

F

S p ndA ndA gd

ext

sis

D Vd F

Dt

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Equação da q. mov. (ref. não-inercial) p/ sistema - 2ª Lei de Newton

A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se = VNI,

• As velocidades, VNI , são medidas de um refe. não-inercial;

• A aceleração do ref. NI em relação ao ref. Inercial é aNI.

• A Fext permanece a mesma do slide anterior,

o Tensão viscosa não depende do referencial mas do deslocamento dos

seus vizinhos.

o Pressão é isotrópica, também não depende do referencial.

NI ext NI

sis

DV d F a d

Dt

SdDt

D

sis

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Equação da energia para um sistema

A equação da energia é obtida fazendo-se = e, onde ‘e’ é a energia específica e S = Q – W.

As formas de energia ‘e’ serão: cinética, interna e potencial, porém ainda não serão especificadas neste estágio,

• Q e W são os termos fonte da equação da energia,

• Q e W só existem na superfície do sistema,

• O calor é exclusivamente devido a condução térmica.

• O trabalho é realizado pelas tensões que atuam na fronteira do sistema.

sis sissis

sis

D E Ded D

ed Q WDt DtDt

S Q W

SdDt

D

sis

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2a Lei para um Sistema

A 2a Lei é obtida fazendo-se, = s, e S = Q/T + Ps

• O lado esquerdo refere-se a taxa de variação da entropia no sistema.

• O 1º termo do lado direito refere-se ao fluxo de calor que cruza a asuperfície do sistema

• O 2º termo do lado direito refere-se a produção de entropia dentro do sistema. Este termo está associado às irreversibilidades do sistema, Ps 0.

sissisS

sis

S

D S Dsd

Dt Dt D Q sd P

Dt TQS P

T

SdDt

D

sis

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Forma integral generalizada das

equações para um sistema

Eqs. Transporte escritas a partir do sistema (referencial Lagrangeano!)

Fonte

Massa 1 0

Movimento

1a Lei e

2a Lei s

extF

SdDt

D

sis

V

Q W

SQ T P

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O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) permite que se calcule a taxa de variação de uma propriedade seguindo um Sistema (conceito Lagrangano) a partir do conceito de campo aplicado aoVolume de Controle (conceito Euleriano)!

Sistema x Volume de Controle

• O Volume de controle, V.C. , é uma região do espaço onde se deseja realizar determinar o campo das propriedades (P, T, V, e etc) – um conceito Eueriano.

• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.

• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço; fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;

Identifique:

- S.C. estacionária e fronteiras fixas;

- S.C. móvel e fronteiras fixas;

- S.C. estacionária com fronteiras

deformável e fixas

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O Teorema de Transporte de Reynolds, TTR

As eqs. de Transporte são escritas a partir do sistema. Para manter a

identidade de cada partícula que compõe o sistema é necessário seguir

todas as partículas do sistema (referencial Lagrangeano!)

O TTR permite escrever as eqs. de transporte para um fluido a partir

do conceito de Volume de Controle, usando um referencial Euleriano!

Objetivo da próxima aula: expressar a equação acima em função

das propriedades do volume de controle.

SdDt

D

sis

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FIM

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Calculo da vazão mássica que cruza uma superfície

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Fluxo e vazão mássica que cruza uma superfície

Fluxo está associado a uma propriedade (massa, quantidade de movimento, energia etc) que cruza uma superfície por unidade de área da superfície.

Nota: deveríamos expressar fluxo de vazão mássica, fluxo da taxa no tempo q. movimento, fluxo de potência mas se omite o termo ‘a variação no tempo’.

2

2 2

2

kg sfluxo de massa =

m

V m Nfluxo q. mov. =

m m

J sfluxo de energia =

m

O fluxo de massa é expresso pelo produto .Vr:

Verifique que o fluxo de q. movimento, energia e entropia que cruzam uma área são dados pelo produto de (.Vr) por uma propriedade intensiva.

Nota: V é a razão quant. Movimento pela massa, portanto intensiva!

r 2

r 2

r 2

r 2

kg sfluxo de massa = V

m

Nfluxo q. mov. = V V

m

J sfluxo de energia = e V

m

J s.Kfluxo entropia = s V

m

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A vazão mássica, quantidade de movimento, energia e

entropia que cruza uma superfície

Por exemplo: massa, q. mov., energia e 2ª ( = 1; V; e; s) lei temos que:

r

S

r

S

r

S

r

S

vazão massica = V n dA kg s

quant. mov. = V V n dA N

energia = e V n dA J s

entropia = s V n dA J s K

r

S

V n dA unidades de B tempo

dm

A integral da variável genérica abaixo expressa a taxa de B por tempo que cruza a superfície S :

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FIM